Matemática conquista 9

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

MANUAL DO PROFESSOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.

BENEDICTO CASTRUCCI (Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Ensino Fundamental – Anos Finais Componente curricular: Matemática

4˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editora de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy A conquista da matemática : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. “Componente curricular: Matemática.” ISBN 978-85-96-01919-4 (aluno) ISBN 978-85-96-01920-0 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci, Benedicto. II. Título. 18-20689

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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apresentação O intuito desta obra é oferecer aos alunos e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que se destina. Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre o aluno e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão. Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente do seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor. Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos alunos precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa aventura que é o processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas sugestões e bases para o seu trabalho diário. Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e prazerosas na área da Matemática no Ensino Fundamental. Aventure-se você também!

Os autores.

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sumário

CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR ...........................................V Material impresso ..................................................................................................V Material digital .....................................................................................................VI CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA ................................. VII Modelagem........................................................................................................ VIII Resolução de problemas ......................................................................................IX Tecnologias digitais: suas potencialidades no ensino e na aprendizagem .................................................................................................XI Comunicação nas aulas de Matemática............................................................ XII A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA ........................................................... XIII As competências ................................................................................................ XIV QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC.........................................................XVI UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS .........XXV O PAPEL DO PROFESSOR ................................................................................. XXVI AVALIAÇÃO ...................................................................................................... XXVII CONHEÇA A OBRA ........................................................................................... XXX As aberturas de unidades ............................................................................... XXX Os capítulos ..................................................................................................... XXX Os boxes e as seções desta obra .................................................................... XXX Quadros de conteúdos e habilidades da obra ............................................ XXXII REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................XXXVII DOCUMENTOS OFICIAIS ................................................................................ XXXIX SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR ................................................ XXXIX ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR...........................................................................XL SITES .........................................................................................................................XL ORIENTAÇÕES ESPECÍFICAS DO VOLUME 9 Unidade 1 – Números reais, potências e radicais ....................................................12 Unidade 2 – Produtos notáveis e fatoração ............................................................60 Unidade 3 – Equações do 2o grau .............................................................................86 Unidade 4 – Relações entre ângulos ......................................................................118 Unidade 5 – Proporção e semelhança ....................................................................144 Unidade 6 – Porcentagem, probabilidade e estatística........................................174 Unidade 7 – Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência.....196 Unidade 8 – Figuras planas, espaciais e vistas .......................................................222 Unidade 9 – Função ..................................................................................................246 Resoluções.................................................................................................................289

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CONHEÇA AS ORIENTAÇÕES PARA O PROFESSOR MATERIAL IMPRESSO

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos por nós percorridos desde a idealização desta obra até a efetivação das propostas apresentadas em cada volume. Acreditamos ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que a embasam para, a partir desses, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscamos promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e as possíveis ações e estratégias utilizadas em sala de aula. Não podemos deixar de mencionar que muitas explorações aqui apresentadas ao professor trata-se de sugestões e, portanto, podem e devem ser adaptadas sempre que necessário. Durante a elaboração deste manual, procuramos utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações por nós idealizadas. Organizamos este material em duas partes: • Na primeira parte, serão apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e dos possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos anos finais do Ensino Fundamental e, como dissemos anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra. Dentre os documentos por nós utilizados está a Base Nacional Comum Curricular (BNCC). • Na segunda parte, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no livro do aluno, juntamente com sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso. Além dessas indicações, será possível visualizar as habilidades e competências a serem desenvolvidas. Nessa parte o professor encontrará as seções:

Competências e Habilidades No início de cada Unidade serão explicitadas as competências (gerais e específicas) e as habilidades a serem exploradas e desenvolvidas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O professor encontrará comentários e orientações específicas referentes a cada página do livro do aluno; os comentários podem abordar o conteúdo principal a ser desenvolvido e/ou ainda as seções e boxes existentes na página que está sendo comentada. Acreditamos que essas indicações poderão favorecer o trabalho do professor levando a um melhor aproveitamento dos conhecimentos matemáticos a serem explorados.

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Ampliando Nesta Seção serão apresentadas atividades e leituras complementares que podem enriquecer o trabalho do professor e permitir o aprofundamento, tanto do professor quanto do aluno, das questões e abordagens apresentadas na referida Unidade.

NO DIGITAL Indicações de planos de desenvolvimento, projetos integradores, sequências didáticas e propostas de acompanhamento de aprendizagem que podem ser encontrados no Manual do professor – Material digital e que têm o propósito de enriquecer a sua prática pedagógica.

NO AUDIOVISUAL Indicações de materiais audiovisuais produzidos exclusivamente para a coleção.

Ao final da segunda parte, já não disposto em U, o professor encontrará a resolução das atividades propostas ao longo do volume. Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um aluno crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de forma consciente, cooperativa e autônoma.

MATERIAL DIGITAL Além dos quatro volumes impressos deste Manual do Professor, a coleção apresenta quatro volumes de Manual do professor – Material digital. São recursos que ajudam a enriquecer o trabalho do professor e a potencializar as relações de ensino-aprendizagem em sala de aula. Os materiais digitais estão organizados em bimestres e cada um deles possui a composição a seguir. Plano de desenvolvimento: documento que apresenta os temas que serão trabalhados ao longo do bimestre, relacionando-os aos objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC. Também são sugeridas estratégias didático-pedagógicas que auxiliam o professor na gestão da sala de aula e fontes de pesquisa complementares que podem ser consultadas pelo professor ou apresentadas para os alunos. Cada Plano de desenvolvimento apresenta um Projeto integrador, cujo objetivo é tornar a aprendizagem dos alunos mais concreta, articulando diferentes componentes curriculares a situações de aprendizagem relacionadas ao cotidiano da turma. Por meio dos projetos, é possível explorar temas transversais, estimular o desenvolvimento das competências socioemocionais e trabalhar com habilidades próprias de diferentes componentes curriculares.

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Sequências didáticas: são um conjunto de atividades estruturadas aula a aula que relacionam objetos de conhecimento, habilidades e competências presentes na BNCC, de modo a ajudar o aluno a alcançar um objetivo de aprendizagem definido. Nas sequências didáticas, foram propostas atividades que podem ser aplicadas complementarmente ao livro impresso. Também estão presentes sugestões de avaliações que ajudam o professor a aferir se os alunos alcançaram os objetivos de aprendizagem propostos. Proposta de acompanhamento da aprendizagem: é um conjunto de dez atividades (e seus respectivos gabaritos) destinadas ao aluno, acompanhado de fichas que podem ser preenchidas pelo professor. Esse material tem o objetivo de ajudar a verificar a aprendizagem dos alunos, especialmente se houve domínio das habilidades previstas para o período, e a mapear as principais dificuldades apresentadas pela turma, auxiliando o trabalho de planejamento do professor e a autoavaliação da própria prática pedagógica. Material digital audiovisual: são vídeos e videoaulas produzidos para os alunos. Nesses materiais tivemos a preocupação de contextualizar os conteúdos, por vezes utilizando conexões com as demais áreas e/ou a história da Matemática. Esses recursos poderão complementar o trabalho do professor no desenvolvimento de habilidades e competências previstas na BNCC.

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo. Considerando a importância do ensino da Matemática na esfera escolar, devemos ter em mente que: O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 263. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/abase/#fundamental/a-area-de-matematica>. Acesso em: 13 ago. 2018.

Desse modo, durante seu estudo, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar o aluno a mobilizar as aprendizagens e solucionar situações do cotidiano. O aprendizado durante esse processo certamente servirá ao aluno como exercício para o desempenho de seu papel como cidadão em interação com o mundo que o cerca; afinal, não queremos formar uma pessoa que apenas saiba, mas que, com seus conhecimentos, possa estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente. Podemos dizer que compreender a Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, escutar as dos outros, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, dentre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e mais abrangente.

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A possibilidade de analisar várias formas de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções e não se inibindo diante de questões complexas. Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e também contribuem para que os alunos se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados. Temos assistido no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, pedagogia de projetos e uso de tecnologias digitais (TD) – e as justificativas educacionais que a sustentam, a tal ponto que fica difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012) A seguir apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências.

MODELAGEM

Para melhor compreendermos o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperá-lo no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano. Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles. As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação-problema. Durante e depois da criação do modelo o profissional verifica a coerência do modelo e a validade do modelo no contexto do problema original. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Segundo esse autor, uma transferência do método da modelagem, como exposto anteriormente, vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento do aluno na própria Matemática. Essa transferência de método se dá apoiada na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem o aluno a buscar soluções. Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas.

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As duas pretendem focar situações de interesse do aluno. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada de modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado. Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001), A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento. BEAN, D. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática. A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia muito indicada para o Ensino Fundamental de Matemática na BNCC em detrimento da modelagem matemática e da modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por “resolução de problemas” avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino da Matemática. Onuchic (1999) nos traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schoeder e Lester (1989) que aponta para diferentes modos de abordá-la. Pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco nesse caso é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar a Matemática por meio da resolução de problemas, na qual [...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isto. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos). ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207.

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Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCNs e estendemos aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os alunos “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da Matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, p. 263). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (p. 211). Embora não haja uma forma rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro básico metodológico, que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra. O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas: Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente em sala de aula. A ideia é que mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir deles, construir novos conhecimentos necessários para a resolução. Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas. Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os alunos, em seus grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolvê-lo. Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento. Registro das resoluções no quadro de giz: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, no quadro de giz, suas resoluções independentemente de estarem certas ou erradas. Plenária: para essa etapa, são convidados todos os alunos, a fim de discutirem as diferentes resoluções registradas no quadro de giz pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem suas dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os alunos. Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a classe, chegar a um consenso do resultado correto. Formalização do conteúdo: neste momento, denominado formalização, o professor registra no quadro de giz uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema. Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos alunos dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando a você, professor, perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação. Onuchic (1999) alerta para a importância de sua ação, professor, e de sua formação ao aplicar essa metodologia. Nisso vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 212.

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TECNOLOGIAS DIGITAIS: SUAS POTENCIALIDADES NO ENSINO E NA APRENDIZAGEM

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) nas nossas vidas particulares, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época em que vivemos. Nossa intenção é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessa relação. Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro intitulado Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática. Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática online, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento. BORBA, M. C.; SCUCUGLIA, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Editora Autêntica, 2014, p. 16.

As diferentes formas – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro. A primeira fase, nos anos de 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que principalmente caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas. A segunda fase teve início em 1990. Nela existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores em suas vidas pessoais e profissionais. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores. A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, estimulando a coautoria do estudante na atividade proposta.

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Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD). É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade. O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas nas nossas vidas e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação. O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania. BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e Educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010, p. 17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e alunos na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do aluno na aprendizagem. No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a sua prática, professor, está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz de você também um protagonista da construção escolar como um todo. Não queremos deixar a impressão de que todos os embates do uso das TD na educação estejam resolvidos. Pesquisas atuais se debruçam em estudos sobre o ciberespaço visando entendê-lo, bem como às possibilidades que se abrem para o mundo da educação e da Educação Matemática, os quais deixaremos como indicações bibliográficas para estudo e aprofundamento.

COMUNICAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA

Na escola, todos os dias os alunos convivem com os colegas, professores e demais funcionários, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, inclusive, nas aulas de matemática.

Os alunos precisam ser estimulados a se expressar de diferentes formas, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal forma que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 9. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

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Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar, não apenas o próprio aluno a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem, como também favorecer os demais colegas a validar suas hipóteses ou a compreender por que pensam diferente ou utilizam um caminho com estratégias distintas. Nesse processo de socialização, os alunos são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, inclusive socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 10. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem sua homologação.

Não podemos desprezar o tamanho do nosso país, seja em territorialidade ou em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um de nossos desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os nossos estudantes sem perder a particularidade e singularidade de cada região ou grupo. Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais. Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais. No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014 essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os alunos do território nacional as aprendizagens essenciais preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais. Desta forma, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os alunos da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os alunos da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências mínimas que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

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Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e utilização consciente da informação e da tecnologia.

AS COMPETÊNCIAS

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares. Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza”. BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a Base. Brasília, DF, 2018. p. 8. Disponível em: <http://basenacionalcomum.mec.gov.br/download-da-bncc>. Acesso em: 13 ago. 2018.

São apresentadas 10 competências gerais que se inter-relacionam ao longo de todo percurso escolar da Educação Básica, são estas: 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, colaborando para a construção de uma sociedade solidária. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e inventar soluções. 3. Desenvolver o senso estético para reconhecer, valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, e para participar de práticas de produção artístico-cultural. 4. Utilizar conhecimentos das linguagens verbal, corporal, multimodal, artística, matemática, científica, tecnológica e digital para expressar-se e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Utilizar tecnologias digitais de comunicação e informação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas do cotidiano. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida pessoal, profissional e social, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas e com a pressão do grupo. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, reconhecendo-se como parte de uma coletividade com a qual deve se comprometer. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base nos conhecimentos construídos na escola, seguindo princípios éticos democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

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Como dissemos anteriormente, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que alunos devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e no que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação. Além dessas competências gerais, dentro das áreas do conhecimento, temos os componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa. Cada área do conhecimento, em conformidade com as 10 competências gerais, tem suas competências específicas da área e/ou do componente curricular. Veja a seguir as competências específicas da Matemática.

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Para garantir o desenvolvimento dessas competências específicas, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

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QUADRO DE HABILIDADES DA BNCC 6o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica. (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

Divisão euclidiana Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes. (EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica. (EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora. (EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

Múltiplos e divisores de um número natural

Números

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UNIDADES TEMÁTICAS

Álgebra

Geometria

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Propriedades da igualdade

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros. (EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos. (EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros. (EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

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UNIDADES TEMÁTICAS

Grandezas e medidas

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas. (EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão. (EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) Probabilidade e estatística

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas Coleta de dados, organização e registro Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico. (EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões. (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto. (EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

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7o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Múltiplos e divisores de um número natural

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. (EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. (EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Equações polinomiais do 1o grau

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Números

Álgebra

HABILIDADES

XIX

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UNIDADES TEMÁTICAS

Geometria

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

A circunferência como lugar geométrico

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

Problemas envolvendo medições

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. (EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

Medida do comprimento da circunferência

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. (EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

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8o ano UNIDADES TEMÁTICAS

Números

Álgebra

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Notação científica

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

Potenciação e radiciação

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

O princípio multiplicativo da contagem

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

Porcentagens

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

Dízimas periódicas: fração geratriz

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

Valor numérico de expressões algébricas

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax² = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax² = b.

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes. (EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano. (EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

Geometria

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

Grandezas e medidas Volume de cilindro reto Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Probabilidade e estatística

HABILIDADES (EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos. (EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes. (EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

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9o ano UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números

Álgebra

HABILIDADES

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos e fracionários

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e problemas

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

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UNIDADES TEMÁTICAS

OBJETOS DE CONHECIMENTO

HABILIDADES

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Semelhança de triângulos

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo

Geometria

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

Distância entre pontos no plano cartesiano

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

Vistas ortogonais de figuras espaciais

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

Grandezas e medidas

Probabilidade e estatística

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos. (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Unidades de medida utilizadas na informática

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

Volume de prismas e cilindros

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

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UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS

Um dos desafios mais urgentes do ensino da Matemática é fazer com que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral do aluno, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas de conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos alunos dos anos finais, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Para que a prática docente seja organizada, de modo que desenvolva um trabalho que possibilite a formação de um cidadão crítico, precisamos entender a contextualização como um acontecimento ou situação pertencente a um encadeamento de elementos que proporcionam relações com recursos disponíveis em cada área de conhecimento. Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano do aluno para a sala de aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer com que os alunos aprendam a relacioná-las. As experiências vivenciadas pelos alunos e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Dessa forma, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos alunos, mas que possam estar relacionados aos seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo. Por isso, fazer conexões entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências (da natureza e humanas – Geografia e História), Educação Física, Inglês utilizando-se, inclusive, os temas contemporâneos poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado aos alunos. Não podemos nos esquecer das explorações que favoreçam a leitura e reflexões sobre a História da Matemática (Etnomatemática). Até mesmo pesquisadores internacionais têm reconhecido a importância da leitura e da escrita, inclusive nas aulas de Matemática: O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de Matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um processo que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os temas contemporâneos visam promover a difusão de valores fundamentais ao interesse social. Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os temas descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser com-

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plementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo. Para isso, se torna de fundamental importância o planejamento e estudos prévios por parte do professor. Dentre os temas contemporâneos descritos na BNCC e explorados nesta obra temos: • direitos da criança e do adolescente; • educação para o trânsito; • educação ambiental; • educação alimentar e nutricional; • processo de envelhecimento, respeito e valorização do idoso; • educação em direitos humanos; • educação das relações étnico-raciais e ensino de história e cultura afro-brasileira, africana e indígena; • saúde; • vida familiar e social; • educação para o consumo; • educação financeira e fiscal; • trabalho; • ciência e tecnologia; • diversidade cultural.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus alunos. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os alunos já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas para quem está ensinando. Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos alunos sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam. Quanto mais o professor ajudar os alunos a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender e se interessar pela Matemática. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano. Nesse sentido, é importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros. Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas formas de compreender e resolver as situações-problema, os exercícios e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

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O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes formas de se fazer Matemática e dar suporte para que os alunos consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si. Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os alunos, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade no dia a dia escolar. As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar o aluno no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Dessa forma, o foco não é mais o aluno, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos. Uma vez que as respostas dos alunos às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma forma, os alunos são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é (re)definido constantemente. Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus alunos aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham: [...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Ed. da UFSCar, 2011. p. 20.

Portanto, neste processo de parceria e interrelação existente entre alunos e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos alunos, como o ingresso nas universidades. A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se o aluno tinha ou não condições de progredir com seus estudos). Hoje, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se o aluno atingiu os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhe uma nota ou conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumem o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso do aluno e sinalizar possíveis desafios. Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos alunos como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, inclusive o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principal-

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mente no que se refere à vinculação do professor com seus alunos. Por isso, é essencial compreender como esses alunos lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas. Nesse contexto, a avaliação diagnóstica é fundamental nos processos de ensino e aprendizagem. O professor e o aluno precisam identificar os conhecimentos anteriores já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. Acreditamos que a clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo aonde se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os alunos os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar. Avaliar o processo Uma possibilidade é observar a estratégia que os alunos utilizam para resolver as situações-problema em sala de aula; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, a forma como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos alunos. Pedir a eles que socializem com os colegas seus raciocínios e estratégias é mais uma forma de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um. Como dissemos anteriormente, é importante estimular os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os alunos são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir que registrem o mesmo processo de formas distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais “tranquilo” ou “desafiador”. Autoavaliação O aluno precisa se responsabilizar por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que perceba a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilize-os como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que representa a sua nota, o aluno precisa ser motivado a identificar nos acertos as conquistas realizadas e nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto, o espaço/tempo para os alunos se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor. Nesse processo de autoavaliação os alunos podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros. Nesta obra, os alunos encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados anteriormente para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações/estudos. Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelo próprio aluno e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um

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aluno corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os alunos também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante. De acordo com Cuccioli (2010), A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os alunos podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas. Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos alunos, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias. A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como dissemos anteriormente, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos alunos. A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos alunos. Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN): Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF, 1997. p. 41. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf>. Acesso em: 22 ago. 2018.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, que incluem questões como: Procura resolver problemas por seus próprios meios? Faz perguntas? Usa estratégias criativas para solucionar problemas? Justifica as respostas obtidas? Comunica suas respostas com clareza? Participa dos trabalhos em grupo? Ajuda os outros na resolução de problemas? Contesta pontos que não compreende ou com os quais não concorda? Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. A tarefa do avaliador constitui um permanente exercício de interpretação de sinais, de indícios, com base nos quais manifesta juízos de valor que lhe permitem reorganizar a atividade pedagógica.

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CONHEÇA A OBRA

No livro do aluno, cada volume desta obra divide-se em unidades e cada unidade em capítulos.

AS ABERTURAS DE UNIDADES

Nesta obra, as aberturas de unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada volume, a unidade é introduzida por uma abertura que traz: • uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) – relacionada com temas que serão estudados ao longo do capítulo e cujo objetivo é instigar os alunos a uma discussão inicial; • algumas questões – para contextualizar os alunos no assunto da unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

OS CAPÍTULOS

Nos volumes desta obra, as unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema. Em cada capítulo, os alunos contarão com diferentes explorações e recursos, dentre estes textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontradas seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos e articulações.

OS BOXES E AS SEÇÕES DESTA OBRA Teoria

Neste boxe os alunos encontrarão a sistematização ou a formalização de algum conceito explorado no capítulo.

F Ó R UM

Esta seção traz questões que podem favorecer o debate e permitir a troca e o compartilhamento de ideias e conhecimentos, fazendo com que os alunos pratiquem o desenvolvimento de estratégias de argumentação. As propostas podem ou não ser realizadas on-line, caso a escola possua uma ferramenta desse tipo ou você opte por usar uma ferramenta de uso livre na internet, criando um grupo fechado.

p e n s e e r e s p o nd a

Neste boxe, serão apresentadas questões que buscam mobilizar conhecimentos e promover reflexões e/ou investigações acerca dos assuntos a serem explorados ou previamente vistos. UM NOVO OLHAR

Possibilita ao aluno retomar os conhecimentos explorados na abertura das unidades e perceber, por exemplo, as habilidades já desenvolvidas e as que precisam ser desenvolvidas.

SAIBA QUE

Neste boxe, os alunos encontrarão um texto curto que fornecerá uma dica interessante ou um recado importante. DESCUBRA MAIS

Uma seção contendo sugestões de livros e links para o aluno consultar informações complementares. NÓS

Aqui, o aluno encontrará alguns textos e questões que podem promover articulações com outros conceitos para além da Matemática. Este boxe poderá propiciar reflexões sobre valores. Propõe-se que seja realizada em duplas, trios ou grupos.

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ATIVIDADES Nesta seção, os alunos encontrarão diferentes atividades que foram dispostas em ordem crescente de complexidade para facilitar a visualização e a conferência. Eventualmente, surgirão atividades que desafiam os alunos. P O R T O D A P A RT E

É uma seção que apresenta textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas que podem permitir ao aluno uma maior contextualização dos assuntos e explorações realizadas na unidade.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA Nesta seção, os alunos encontrarão temas como hábitos conscientes de consumo, controle de gastos, economia, entre outros. A partir de leituras e reflexões, serão estimulados a ver e rever suas ações e atitudes ligadas ao consumo e a lidar com o dinheiro.

PARA QUEM QUER MAIS

Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras disciplinas ou áreas do conhecimento.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão Nesta seção, que reúne propostas de trabalho com temas associados à probabilidade e estatística, os alunos encontrarão textos, imagens, gráficos, tabelas e atividades numeradas, sempre buscando a contextualização desses temas.

Tecnologias Explicita como usar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

ATUALIDADES EM FOCO RETOMANDO O QUE APRENDEU

Nesta seção, os alunos encontrarão atividades que podem permitir articulações entre os temas contemporâneos e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

Nesta seção, os alunos serão convidados a revisitar os conteúdos explorados na unidade para que possam perceber conquistas e identificar possíveis dúvidas.

Um dos objetivos é promover a articulação entre as diferentes áreas do conhecimento e minimizar possíveis rupturas existentes nos processos de ensino e aprendizagem. Nesta seção, os alunos terão a oportunidade de aprofundar e ampliar seus conhecimentos e repertório cultural, passear por diferentes temas contemporâneos e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano.

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QUADROS DE CONTEÚDOS E HABILIDADES DA OBRA

Disponibilizamos este quadro com a divisão dos conteúdos da obra, indicando a unidade, os principais conteúdos abordados nela e quais as habilidades nela desenvolvidas.

6o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Sistemas de numeração

• Sistemas de numeração • Sistema de Numeração Decimal • O conjunto dos números naturais • Leitura e interpretação de tabelas • Calculadoras

EF06MA01 EF06MA02 EF06MA31 EF06MA32

2 – Cálculos com números naturais

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Relações fundamentais • Expressões numéricas • Leitura e interpretação de gráfico de barras

EF06MA03 EF06MA31

3 – Figuras geométricas

• Ponto, reta e plano • Semirreta e segmento de reta • Figuras geométricas • Estimativas e projeções

EF06MA17 EF06MA28

4 – Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade • Divisores e múltiplos de um número natural • Números primos • Gráfico pictórico

EF06MA04 EF06MA05 EF06MA06 EF06MA32

5 – A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência e formas) • Adição e subtração de frações • Fração e porcentagem • Probabilidade • Tabela de dupla entrada e gráfico de barras duplas

EF06MA07 EF06MA08 EF06MA09 EF06MA10 EF06MA15 EF06MA32

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UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

6 – A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação) • Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) • Cálculo de porcentagens • Probabilidade • Tipos de calculadoras

EF06MA01 EF06MA08 EF06MA10 EF06MA11 EF06MA12 EF06MA13 EF06MA24 EF06MA30

7 – Ângulos e polígonos

• O ângulo • Transferidor • Construção de retas paralelas e perpendiculares • Polígonos (definição, identificação e nomenclatura) • Polígonos regulares • Triângulos (elementos e classificação) • Quadriláteros (elementos e classificação) • Plano cartesiano • Construção de polígonos no plano cartesiano • Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de software

EF06MA16 EF06MA18 EF06MA19 EF06MA20 EF06MA21 EF06MA22 EF06MA23 EF06MA25 EF06MA26 EF06MA27 EF06MA32

8 – Comprimento e área

• O metro linear • Transformação das unidades de medida de comprimento • Perímetro de um polígono • O metro quadrado • Transformação das unidades de medida de superfície • Medidas agrárias • Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo) • Gráfico de segmentos

EF06MA24 EF06MA28 EF06MA29 EF06MA32

9 – Massa, volume e capacidade

• O grama • Transformação das unidades de massa • Balança de dois pratos • O metro cúbico • Transformação das unidades de volume • Volume do bloco retangular e do cubo • O litro • Transformação das unidades de capacidade • Pesquisa e fluxograma

EF06MA14 EF06MA24 EF06MA33 EF06MA34

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7o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números naturais e operações

• M.M.C e M.D.C • Leitura e interpretação de gráfico de barras/colunas simples

EF07MA01

2 – O conjunto dos números inteiros

• Módulo de um número inteiro • Operação com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada) • Expressões numéricas

EF07MA03 EF07MA04

3 – Transformações geométricas e simetria

• Transformações no plano • Simetria • Gráfico de setores

EF07MA19 EF07MA20 EF07MA21 EF07MA37

4 – O conjunto dos números racionais

• Operações com números racionais na forma de fração (multiplicação, divisão e potenciação) • Raiz quadrada exata de números racionais • Média aritmética • Média aritmética ponderada

EF07MA05 EF07MA06 EF07MA07 EF07MA08 EF07MA09 EF07MA10 EF07MA11 EF07MA12 EF07MA35

5 – Linguagem algébrica e equações

• Sequência • Expressões algébricas • Igualdade • Equações (conjunto universo e solução; equivalência) • Equações do 1o grau com uma incógnita

EF07MA13 EF07MA14 EF07MA15 EF07MA16 EF07MA18

6 – Figuras geométricas planas

• Ângulos • Retas paralelas cortadas por uma transversal • Triângulos (construção, condição de existência e soma dos ângulos internos) • Polígonos regulares (ângulos internos, externos e construção) • Circunferência

EF07MA22 EF07MA23 EF07MA24 EF07MA25 EF07MA26 EF07MA27 EF07MA28 EF07MA33

7 – Grandezas proporcionais

• Razão • Proporção • Regra de três

EF07MA17

8 – Porcentagem, probabilidade e pesquisa estatística

• Porcentagem • Probabilidade • Média • Amplitude • Pesquisa censitária e amostral

EF07MA02 EF07MA34 EF07MA36

9 – Área e volume

• Equivalência entre áreas • Volume

EF07MA29 EF07MA30 EF07MA31 EF07MA32

XXXIV

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8o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números racionais

• Porcentagem e juro simples • Dízima periódica

EF08MA04 EF08MA05

2 – Potências, raízes e números reais

• Potência de um número racional • Números quadrados perfeitos • Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo • Números irracionais • Números reais

EF08MA01 EF08MA02

3 – Ângulos e triângulos

• Ângulos • Altura, mediana e bissetriz de um triângulo • Congruência de triângulos • Propriedades nos triângulos

EF08MA15 EF08MA17

4 – Expressões e cálculo algébrico

• Expressões algébricas • Valor numérico de uma expressão algébrica • Monômio (grau, semelhança e operações) • Polinômios (grau e operações)

EF08MA06

5 – Equações

• Equação do 1o grau com uma incógnita • Equação fracionária com uma incógnita • Equação do 1o grau com duas incógnitas • Sistema de equações do 1o grau com duas incógnitas • Equação do 2o grau

EF08MA07 EF08MA08 EF08MA09

6 – Polígonos e transformações no plano

• Diagonais de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo • Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo • Propriedades dos quadriláteros • Transformações no plano

EF08MA14 EF08MA16 EF08MA18

7 – Contagem, probabilidade e estatística

• Contagem • Probabilidade • População e amostra • Média • Moda • Mediana • Amplitude

EF08MA03 EF08MA22 EF08MA23 EF08MA24 EF08MA25 EF08MA26 EF08MA27

8 – Área, volume e capacidade

• Área do círculo • Volume do cubo e do bloco retangular • Volume do cilindro • Equivalência entre decímetro cúbico e litro

EF08MA19 EF08MA20 EF08MA21

9 – Variação de grandezas

• Grandezas proporcionais e não-proporcionais • Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica • Grandezas diretamente proporcionais • Grandezas inversamente proporcionais • Regra de três simples e composta

EF08MA10 EF08MA11 EF08MA12 EF08MA13

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9o ano UNIDADES

PRINCIPAIS CONTEÚDOS ABORDADOS

HABILIDADES DA BNCC TRABALHADAS NA UNIDADE

1 – Números reais, potências e radicais

• A Geometria e a descoberta do número irracional • Números irracionais • Os números reais • Potências • Notação científica • Radicais

EF09MA01 EF09MA02 EF09MA03 EF09MA04 EF09MA18

2 – Produtos notáveis e fatoração

• Os produtos notáveis • Fatoração de polinômios

EF09MA09

3 – Equações do 2o grau

• Equação do 2o grau com uma incógnita

4 – Relações entre ângulos

• Ângulos determinados por retas transversais • Circunferência e ângulos

EF09MA10 EF09MA11

5 – Proporção e semelhança

• Segmentos proporcionais • Figuras semelhantes • Triângulos semelhantes

EF09MA07 EF09MA08 EF09MA12

6 – Porcentagem, probabilidade e estatística

• Juro simples e juro composto • Probabilidade • Análise de gráficos • Elaboração de pesquisa

EF09MA05 EF09MA20 EF09MA21 EF09MA22 EF09MA23

7 – Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

• O teorema de Pitágoras • Relações métricas no triângulo retângulo • Comprimento de arco de circunferência • Relações métricas na circunferência

EF09MA13 EF09MA14

8 – Figuras planas, espaciais e vistas

• Polígono regular • Representações no plano cartesiano • Figuras espaciais

EF09MA15 EF09MA16 EF09MA17 EF09MA19

9 – Função

• Função afim • Função quadrática

EF09MA06

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ARIÈS, P. História social da criança e da família. 2. ed. São Paulo: LTC, 1981. BAZÍLIO, L. C.; KRAMER, S. Infância, educação e direitos humanos. São Paulo: Cortez, 2011. BEAUCHAMP, J.; PAGEL, S. D.; NASCIMENTO, A. R. do (Org.). Introdução. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobasefinal.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. BEAN, D. O. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. BIGODE, A. J. L.; GIMÉNEZ, J. R. Metodologia para o ensino da aritmética: competência numérica no cotidiano. São Paulo: FTD, 2009. BORBA, M. C.; Scucuglia, R. R. S.; GADANIS, G. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte. Editora Autêntica, 2014, p. 16. BRASIL, L. A. S. Aplicações da teoria de Piaget ao ensino da matemática. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1977. CARDOSO, V. C. Materiais didáticos para as quatro operações. São Paulo: CAEM-USP, 2005. v. 2. CARRAHER, T. N. (Org.). Aprender pensando: contribuições da psicologia cognitiva para a educação. 12. ed. Petrópolis: Vozes, 1998. CARRAHER, T. N. et al. Na vida dez, na escola zero. 16. ed. São Paulo: Cortez, 2011. CENTURIÓN, M. Conteúdo e metodologia da matemática: números e operações. 2. ed. São Paulo: Scipione, 2002. COLL, C.; MARTÍN, E. (Org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004. CORSINO, P. As crianças de seis anos e as áreas do conhecimento. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. CUCCIOLI, E. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, C. E.; MUNIZ, M. I. S. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. FERRÉS, J. Vídeo e educação. Porto Alegre: Artmed, 1996. FONSECA, M. da C. F. R. Alfabetização matemática. In: BRASIL. Secretaria de Educação Básica. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec. gov.br/materiais-listagem/item/66-apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018. FREIRE, P. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016. GUIMARÃES, K. P.; BRENELLI, R. P. Abstração reflexiva e construção da noção de multiplicação. In: BRITO, M. R. F. de (Org.). Psicologia da educação matemática: teoria e pesquisa. Florianópolis: Insular, 2001. GUIMARÃES, K. P. et al. Educação matemática e jogos de regras: uma experiência em estágio supervisionado na formação de professores. In: IX CONGRESSO ESTADUAL PAULISTA SOBRE FORMAÇÃO DE EDUCADORES, 2007. Projetos e práticas de formação de professores – relatos. São Paulo: Unesp, 2007. v. 1. HERNÁNDEZ, F. Cultura visual, mudança educativa e projetos de trabalho. Porto Alegre: Artes Médicas, 2000. HOFFMANN, J. Avaliação: mito e desafio: uma perspectiva construtivista. 44. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014. HOFFMANN, J. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.

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KAMII, C. A criança e o número. Tradução: Regina A. de Assis. Campinas: Papirus, 2007. KAMII, C; DECLARCK, G. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. Campinas: Papirus, 2000. LEAL, T. F.; ALBUQUERQUE, E. B. C. de; MORAIS, A. G. de. Avaliação e aprendizagem na escola: a prática pedagógica como eixo da reflexão. In: BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2007. LOPES, A. J. Os saberes das crianças como ponto de partida para o trabalho pedagógico. In: BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://wp.ufpel.edu.br/antoniomauricio/files/2017/11/0_Apresenta%C3%A7ao_ pg001-072.pdf>. Acesso em: 14 ago. 2018. LUCKESI, C. C. Avaliação da aprendizagem escolar. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2011. MACEDO, L. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994. NACARATO, A. M.; LOPES, C. E. (Org.). Escritas e leituras na educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. ONUCHIC, L. de la R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, M. A. V. (Org.). Pesquisa em Educacão Matemática: concepções & perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, 1999, p. 207. PARRA, C.; SAIZ, I. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Tradução Juan Acuña Llorens. Porto Alegre: Artmed, 2006. PASSOS, C. L. B.; ROMANATTO, M. C. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. PERRENOUD, P. Avaliação: da excelência à regulação das aprendizagens: entre duas lógicas. Tradução: Patrícia Chittoni Ramos. Porto Alegre: Artmed, 2007. PERRENOUD, P. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000. PIAGET, J.; INHELDER, B. Gênese das estruturas lógicas elementares. Tradução: Álvaro Cabral. Brasília: Zahar, 1975. POWELL, A.; BAIRRAL, M. A escrita e o pensamento matemático. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática). RANGEL, A. C. S. Educação matemática e a construção do número pela criança: uma experiência em diferentes contextos socioeconômicos. Porto Alegre: Artes Médicas, 1992. SCHOENFELD, A. Por que toda esta agitação acerca da resolução de problemas? In: ABRANTES, P.; LEAL, L. C.; PONTE, J. P. (Org.). Investigar para aprender matemática. Lisboa: Universidade de Lisboa, 1996. SISTO, F. F. (Org.). Atuação psicopedagógica e aprendizagem escolar. 10. ed. Campinas: Papirus, 2005. SISTO, F. F. (Org.). Leituras de Psicologia para formação de professores. 3. ed. Petrópolis: Vozes; São Paulo: Edusf, 2004. TOLEDO, M.; TOLEDO, M. Teoria e prática de matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010. (Teoria e prática). VERGNAUD, G. El niño, las matemáticas y la realidad. Ciudad de México: Editorial Trillas, 1991. VYGOTSKY, L. S. (Org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007. ZUNINO, D. L. A matemática na escola: aqui e agora. 2. ed. Porto Alegre: Artes Médicas, 2007.

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DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: Educação é a base. Terceira versão final. Brasília, DF, 2018. Disponível em: <http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/a-base>. Acesso em: 14 ago. 2018. BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF, 2007. BRASIL. Ministério da Educação. Ensino fundamental de nove anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. Brasília, DF: SEB, 2006. BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: <http://pacto.mec. gov.br/materiais-listagem/item/66-apresentacao>. Acesso em: 14 ago. 2018.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, DF, 1997. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: ética. Brasília, DF: 1997. v. 8. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: meio ambiente e saúde. Brasília, DF, 1997. v. 9. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: temas transversais: pluralidade cultural e orientação sexual. Brasília, DF, 1997. v. 10. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas. Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 1. SÃO PAULO (Estado). Atividades matemáticas: ciclo básico. São Paulo, 1994. v. 2. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educacão. Proposta curricular para o ensino de matemática: 1o grau. 4. ed. São Paulo: CENP, 1991.

SUGESTÕES DE REVISTAS E OUTRAS PUBLICAÇÕES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR A Educação Matemática em Revista Temas & Debates Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) Departamento de Matemática – sala 108 Av. Prof. Luís Freire, s/n – Cidade Universitária CEP 50740-540 – Recife – PE Fone e Fax: (0XX81) 3272-7563 E-mail: sbem@sbem.com.br

Boletim GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática – GEPEM Instituto de Educação da UFRRJ – sala 30 Rod. BR 465, km 7 CEP 23890-000 – Seropédica – RJ Fone e fax: (0XX21) 2682-1841 E-mail: gepem@ufrrj.br Site: <http://livro.pro/t2uk2m>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos de Prática de Ensino – Série Matemática – USP Faculdade de Educação – Departamento de Metodologia do Ensino e Educação Comparada – Projeto USP/BID Avenida da Universidade, 308 – CEP 05508-900 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3091-3099 – Fax: (0XX11) 3815-0297

Cadernos do CAEM Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 E-mail: caem@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Cadernos – Série Ideias da Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE Av. São Luís, 99 – CEP 01046-001 República – São Paulo – SP Fone: (0XX11) 3158-4000 Revista do Professor de Matemática – RPM Sociedade Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 – Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 E-mail: rpm@ime.usp.br Site: <http://livro.pro/a4amc2>. Acesso em: 14 ago. 2018.

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ENDEREÇOS DE OUTRAS ENTIDADES DE APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP Rua do Matão, 1 010 – Bloco B – sala 167 – CEP 05508-090 Cidade Universitária – São Paulo – SP Fone e fax: (0XX11) 3091-6160 Site: <http://livro.pro/v62my9>. Acesso em: 14 ago. 2018. Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F Brasília – DF – CEP 70070-929 Tel.: 0800-616161 Site: <http://livro.pro/foruai>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática – LEM Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC Caixa Postal 6065 – CEP 13083-970 – Campinas – SP Fone: (0XX19) 3521-6017 Fax: (0XX19) 3521-5937 Site: <http://livro.pro/65jbqe>. Acesso em: 14 ago. 2018. Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA

SITES

Acessos em: 14 ago. 2018. A COR DA CULTURA. Disponível em: <http://livro.pro/ jknmqu>. EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA: Ensino de Matemática e Formação para Cidadania: Discussão de uma Possibilidade. Disponível em: <http://livro.pro/nv4p5b>. EDUMATEC. Disponível em: <http://livro.pro/xt9vnq>. ESCOLA DO FUTURO. Disponível em: <http://livro.pro/ yuee2v>. FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: <http://livro.pro/icx2w8>. INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática nas séries iniciais. Disponível em: <http://livro.pro/iiknwe>. INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: <http://livro.pro/kiubrz>. LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: <http://livro.pro/5pwpdo>.

Fone: (0XX71) 3263-6265 Site: <http://livro.pro/usuwug>. Acesso em: 14 ago. 2018. Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED Universidade Estadual de Campinas – Unicamp Cidade Universitária Zeferino Vaz Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP CEP 13083-970 – Tel.: (0XX19) 3788-7136 E-mail: nied@unicamp.br Site: <http://livro.pro/fur7ka>. Acesso em: 14 ago. 2018. Projeto Fundão – Matemática Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Instituto de Matemática Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108 Cidade Universitária Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972 Rio de Janeiro – RJ Fone e fax: (0XX21) 2562-7511 Site: <http://livro.pro/or6swh>. Acesso em: 14 ago. 2018. Sociedade Brasileira de Matemática – SBM Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109 Jardim Botânico CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ Fone: (0XX21) 2529-5073 Site: <http://livro.pro/c23hyf>. Acesso em: 14 ago. 2018.

LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: <http://livro.pro/7nrv5t>. MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: <http:// livro.pro/jxi7cc>. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: <http:// livro.pro/fezagx>. NOVA ESCOLA. Disponível em: <http://livro.pro/5rm6us>. PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: <http://livro.pro/rd5qcz>. PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: <http://livro.pro/p4rqd5>. REDE DO SABER. Disponível em: <http://livro.pro/rtugtx>. REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: <http://livro.pro/woiu24>. SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA – SBEM. Disponível em: <http://livro.pro/3muqad>.

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JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Médio desde 1985.

BENEDICTO CASTRUCCI (Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Ensino Fundamental – Anos Finais Componente curricular: Matemática

4˜ edição – São Paulo – 2018

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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni Júnior, 2018. Diretor editorial Diretora editorial adjunta Gerente editorial Editor Editores assistentes Assessoria Gerente de produção editorial Coordenador de produção editorial Gerente de arte Coordenadora de arte Projeto gráfico Projeto de capa Foto de capa Supervisora de arte Editora de arte Diagramação Tratamento de imagens Coordenadora de ilustrações e cartografia Ilustrações Cartografia Coordenadora de preparação e revisão Supervisora de preparação e revisão Revisão

Supervisora de iconografia e licenciamento de textos Iconografia Licenciamento de textos Supervisora de arquivos de segurança Diretor de operações e produção gráfica

Antonio Luiz da Silva Rios Silvana Rossi Júlio Roberto Henrique Lopes da Silva João Paulo Bortoluci Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Diana Santos, Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Luís Felipe Porto Mendes, Marcos Antônio Silva, Tatiana Ferrari D’Addio Cristiane Boneto, Francisco Mariani Casadore, Luciana de Oliveira Gerzoschkowitz Moura, Marcelo Eduardo Pereira, Patricia Furtado Mariana Milani Marcelo Henrique Ferreira Fontes Ricardo Borges Daniela Máximo Carolina Ferreira, Juliana Carvalho Sergio Cândido Bob Sacha/Getty Images Isabel Cristina Ferreira Corandin Dayane Santiago, Nadir Fernandes Racheti Débora Jóia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, José Aparecido A. da Silva, Lucas Trevelin Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Marcia Berne Estúdio MW, Ilustra Cartoon, Marcos Guilherme, Paulo Manzi, Studio Caparroz Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz Lilian Semenichin Maria Clara Paes Ana Lúcia Horn, Carolina Manley, Cristiane Casseb, Edna Viana, Giselle Mussi de Moura, Jussara R. Gomes, Kátia Cardoso, Lilian Vismari, Lucila V. Segóvia, Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr., Solange Guerra, Yara Affonso Elaine Bueno Rosa André Carla Marques, Vanessa Trindade Silvia Regina E. Almeida Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni Júnior, José Ruy A conquista da matemática : 9o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — 4. ed. — São Paulo : FTD, 2018. “Componente curricular: Matemática.” ISBN 978-85-96-01919-4 (aluno) ISBN 978-85-96-01920-0 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Castrucci, Benedicto. II. Título. 18-20689

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Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Cibele Maria Dias – Bibliotecária – CRB-8/9427

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

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apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Essas são perguntas que um dia provavelmente passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem em uma brincadeira até nos modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes das nossas vidas, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata, o que pode gerar certo desapontamento em você. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! Os autores

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conheça seu livro

Abertura de unidade

As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade. Nelas, você é convidado a observar textos e/ou imagens e relacioná-los com seus conhecimentos sobre o tema ou com contextos que serão articulados pelas questões.

Gráfico – IPCA Acumulado últimos 12 meses 4.39 4.48

4.53

4.19

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EDITORIA DE ARTE

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2.95 2.86 2.84

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Percentual (%)

5

N ov .1

Porcentagem, probabilidade e estatística

O ut

6

Um dos índices que medem a variação média dos preços dos produtos é o IPCA (Índice de Preços ao Consumidor Amplo), calculado pelo IBGE. Observe o gráfico do IPCA acumulado no período de outubro de 2017 a setembro de 2018.

Acumulado (%)

Fonte: ÍNDICES E INDICADORES. Gráfico IPCA acumulado últimos 12 meses. Disponível em: <http://www.indiceseindicadores.com.br/ ipca/>. Acesso em: 8 nov. 2018.

Você sabe o que é inflação?

Como em outubro de 2017 a inflação estava acumulada em 2,7% e em novembro estava acumulada em 2,8%, podemos entender que a inflação de novembro foi de 2,8% – 2,7% = 0,1%.

Leia o texto a seguir. A inflação, tecnicamente, é representada por um índice que mede como os preços, de maneira geral, estão variando na economia. Essa variação é representada em porcentagem e diz respeito à média dos preços em determinado período [...] “variação média dos preços”, ou seja, de vários produtos, e não de um só[...]. Por exemplo, se a inflação do mês de junho foi de 0,79%, quer dizer que os preços, em média, aumentaram 0,79% entre esse mês e o anterior. Outro exemplo: se a inflação de 2014 foi de 6,75%, então houve aumento médio acumulado de 6,75% entre o primeiro e o último dia do ano. E os preços não sobem de maneira uniforme na economia: alguns produtos ficam mais caros e outros continuam custando mais ou menos o mesmo. Algumas coisas ficam até mais baratas. [...] Fonte: POR QUÊ? ECONOMÊS EM BOM PORTUGUÊS. O que é inflação? Disponível em: <http://porque.uol.com.br/cards/o-que-e-inflacao/>. Acesso em: 9 nov. de 2018.

Com base no texto e no gráfico, converse com os colegas e o professor para responder às questões a seguir. KHONGTHAM/SHUTTERSTOCK.COM

• O que você sabe sobre inflação? Como você explicaria que o preço de um produto sofreu inflação em um período? Respostas pessoais. Resposta possível: Se um produto sofreu inflação, então seu valor aumentou neste período. • Observando o gráfico do IPCA acumulado nesse período, qual foi a inflação verificada no mês de novembro de 2017? • Nesse período, a maior variação do IPCA ocorreu entre quais meses consecutivos? De quanto foi essa variação? A maior alta ocorreu entre os meses de maio e junho de 2018. A inflação do período foi de 4,49% – 2,86% = 1,63%.

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11. O produto de dois polinômios é x2y 2 _ a6. Se um dos polinômios é xy _ a3, qual é o outro? xy + a3

16. Observe: Quero que vocês desenvolvam esta expressão.

12. Sabe-se que xy = 72 e x 2 + y 2 = 306. Qual é o valor de (x + y)2? 450 13. (OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y 2? Alternativa d.

Fórum

Traz questões para debate, em que você e os colegas poderão praticar estratégias de argumentação.

a) 64

c) 120

b) 109

d) 124

15. (Saresp-SP) A expressão algébrica que representa a situação: “o quadrado da soma de dois números, mais 5 unidades” é: Alternativa c. c) (x + y)2 + 5 a) x + y + 52

Então: (x ! y)3 " x3 ! 3x2y ! 3xy2 ! y3 cubo da soma de dois termos

Consideremos o produto notável (x _y)3. Observe: propriedade das potências de mesma base (x _ y)3 = (x _ y) ? (x _ y)2 = = (x _ y) ? (x2 _ 2xy + y 2) = pela regra do quadrado da diferença = x3 _ 2x2y + xy 2 _ x2 y + 2xy 2 _ y 3 = pela multiplicação de polinômios polinômio reduzido = x3 _ 3x2y + 3xy 2 _ y 3 Então:

b) (2x + y)2 _ 6xy _ (x _ y)2 3x2 Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir.

(x # y)3 " x3 # 3x2y ! 3xy2 # y3

DESAFIO

cubo da diferença de dois termos

18. Qual é o polinômio que representa a diferença (x _ y + 2)2 _ (x _ y _ 2)2? O polinômio procurado é 8x _ 8y.

ATIVIDADES

Quando se pretende comprar um produto, principalmente de alto valor, é muito importante fazer uma pesquisa de preços, pois no mercado são consideráveis as diferenças de preço para o mesmo item. Entretanto, em pequenas compras de supermercado, por exemplo, também é possível economizar. O ideal é preparar uma lista dos gêneros necessários, ficar atento aos preços e fazer uma pesquisa. Isso também vale para as compras on-line, situação em que, além de pesquisar em vários sites, é importante considerar o preço do frete. No caso de compras em lojas físicas, o consumidor deve ficar atento e verificar se o preço anunciado na vitrina corresponde ao valor afixado no produto. Nos supermercados, é possível que o preço afixado na prateleira para um produto seja diferente do preço cadastrado ou anunciado. Quando isso acontece, o consumidor tem o direito de pagar o menor valor, conforme estabelece o Código de Proteção e Defesa do Consumidor.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Desenvolva as seguintes expressões: a) (a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) (b _ c)3 b 3 _ 3b2c + 3bc2 _ c3 c) (2a + 1)3 8a3 + 12a2 + 6a + 1 d) (1 _ 2a)3 1 – 6a + 12a2 – 8a³ e) (2x + y)3 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ f) (3y _ 1)3 27y³ _ 27y² + 9y – 1 2. Qual é a forma mais simples de escrever as expressões? a) (a _ b)3 _ (a3 _ b3) + 4ab(a _ b) a2b – ab2

• Na sua opinião, qual é a importância de fazer uma pesquisa de preços antes de realizar uma compra? Discuta com seus colegas. Resposta pessoal.

b) (2x _ y)3 _ (2x + y)3 + 2xy(2x + y) _2y³ + 20x²y + 2xy² c) (1 _ a)3 + 2a(_2 + a2) + (1 _ a3) 3a² _ 7a + 2

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d) x2 + y + 52

Atividades

Vamos considerar o produto notável (x + y)3. Para desenvolvê-lo, usaremos as regras já aprendidas. Observe: propriedade das potências de mesma base (x + y)3 = (x + y) ? (x + y)2 = = (x + y) ? (x2 + 2xy + y 2) = pela regra do quadrado da soma = x3 + 2x2y + xy 2 + x2y + 2xy 2 + y 3 = pela multiplicação de polinômios = x3 + 3x2y + 3xy 2 + y 3 polinômio reduzido

Cubo da diferença de dois termos

A resposta do aluno está correta? Se não estiver correta, dê a resposta certa. 17. Escreva na forma reduzida cada um dos polinômios: 4_x a) (x + 1)2 _ x + (x _ 1)2 _ 2 ? (x2 _ 1)

F Ó R UM

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4

e) 154

14. (Mack-SP) Se (x _ y)2 _ (x + y)2 = _20, então x ? y é igual a: Alternativa d. 1 a) _1 c) 10 e) 5 b) 0 d) 5

b) (x + y + 5)2

Professor, a resposta é 2x ! 4xy 3 " y6. 2

11/22/18 11:27

Cubo da soma de dois termos

Não. A resposta correta é 4x2 _ 4xy 3 + y6.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

10. Para obtermos (a _ 2b)2, devemos acrescentar um termo ao polinômio a2 _ 2ab + 4b2. Qual é esse termo? _2ab

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Os exercícios apresentados são variados e visam à prática do conteúdo aprendido. Por vezes você se deparará com exercícios mais desafiadores, inclusive o de elaborar seus próprios exercícios e compartilhá-los com seus colegas.

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D2-MAT

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Equações completas p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Pense e responda

1. Mariana recortou, em cartolina, um quadrado e quatro retângulos como estes a seguir (as medidas são dadas em centímetros). 3

3

3 1

1 3

As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses.

3

3 1

1

Usando o quadrado e os quatro retângulos, Mariana formou a figura ao lado. Agora, partindo dessa figura, Mariana quer formar um novo quadrado. Para isso, terá de acrescentar quadradinhos à figura. Responda no caderno: a) De quantos quadradinhos ela vai precisar? 4 b) Qual deve ser a área de cada um desses quadradinhos? 1 c) Qual será a área do novo quadrado? 25

1

1

1

1

3 3

3 3

1

1

1

1

O processo de completar quadrados

b

a2

ab

a

b

ab

b2

b

a

b

PARA QUEM QUER MAIS

Para quem quer mais

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Nesta seção você encontra informações complementares relacionadas ao conteúdo estudado.

Heron e a área do triângulo Heron de Alexandria, matemático grego que viveu por volta da segunda metade do século I, desenvolveu tantos e diferentes trabalhos sobre Física e Matemática que é costume apresentá-lo como um enciclopedista dessas áreas. Dos trabalhos de Heron, o mais importante é A métrica, organizado em três livros. É no livro I dessa obra que se encontra a brilhante dedução da famosa fórmula da área de um triângulo em função dos três lados. Quando conhecemos as medidas a, b e c dos lados de um triângulo qualquer, podemos determinar a área desse triângulo usando a fórmula deduzida por Heron:

Área da figura de triângulo:

UNIVERSAL HISTORY ARCHIVE/GETTY IMAGES

a

a

Matemático e astrônomo árabe, al-Khwarizmi viveu entre 780 e 850. Ele escreveu um tratado de Álgebra e um livro sobre os numerais hindus. Essas obras exerceram enorme influência na Europa do século XII.

ALBERTO LLINARES

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Com base na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita. Inicialmente, vamos observar a figura que é a representação geométrica da expressão (a + b)2:

Heron de Alexandria ao centro da imagem.

a +b + c . 2

p (p _ a)(p _ b)(p _ c) com p =

Vamos resolver o problema a seguir aplicando a fórmula de Heron. Uma praça pública tem a forma triangular. Na figura, estão indicadas as medidas dos lados dessa praça em metro. Qual é a área ocupada pela praça em metro quadrado? 2 = 1,4.)

(Considere

De acordo com a figura, vamos considerar: Assim, temos: a+b + c 110 + 90 + 40 240 = = 120 p= = 2 2 2

CAPÍTULO

ELABORANDO UMA PESQUISA

p = 120 m 110 m

Usando a fórmula deduzida por Heron, temos:

90 m

A = p (p _ a)(p _ b)(p _ c) = 120 (120 _110)(120 _ 90)(120 _ 40) A = 120 ? 10 ? 30 ? 80 = 2 880 000 = 288 ? 10 000 = 2

2

2

2

! 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 100

48 m

Responda no caderno.

1. Um terreno tem a forma triangular, e suas medidas 24 m estão indicadas na figura ao lado. Qual é a área desse terreno? (Use 14 = 3,7.) 128 14 m2 ou 473,6 m2.

40 m

43

Saiba que...

Traz informações complementares de maneira rápida e acessível.

A escolha do tamanho da amostra para que ela seja confiável depende de vários fatores: tamanho da população, margem de erro que se deseja, nível de confiabilidade, entre outros. Por exemplo, para um universo de 10 000 indivíduos (população) e margem de erro de 5%, precisamos de uma amostra com no mínimo cerca de 400 indivíduos. OM

De modo simplificado, os passos de uma pesquisa são: • levantamento dos objetivos e determinação da população; • coleta e organização dos dados; • construção de tabelas e gráficos; • leitura e interpretação dos gráficos; • registro das conclusões.

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8. Na representação em escala a seguir, os quadrados são iguais, e cada centímetro representa 100 km. Um avião sai da cidade A, faz uma parada para abastecer na cidade C e chega à cidade B, conforme a figura. Alternativa e.

C

6 cm

12 cm

B

Das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo da distância percorrida pelo avião, de A até B, passando por C.

187

A

30° O

Se a medida do segmento OA é 5 cm, e adotando p = 3, qual é a distância percorrida pelo ponto A? Alternativa a.

A

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A área ocupada pela praça é de 1 680 m2.

SAIBA QUE

BAKH SHUT TIAR TER ZEIN/ STOC K.C

40 m

A = 1 200 2 = 1 200 ? 1,4 = 1 680

Você já observou que há diferentes tipos de pesquisa? Nem todas as pesquisas utilizam conhecimentos estatísticos como, por exemplo, quando você pesquisa um assunto (em diversas fontes confiáveis) para compor um trabalho escolar. No entanto, as pesquisas em estudos estatísticos são muito importantes, pois fornecem dados que, depois de organizados e analisados, podem nortear planejamentos de mudanças acerca do assunto pesquisado. Em nosso dia a dia, são muito comuns pesquisas de opinião (servem para apontar informações sobre produtos e serviços utilizados pelo público, opiniões de pessoas sobre determinado assunto etc.) e pesquisas de mercado (servem para conhecer o perfil do cliente, perceber estratégias de concorrentes, analisar fornecedores, entre outros). Uma pesquisa pode coletar dados de toda a população estatística, ou seja, coletamos os dados de todos os indivíduos de interesse, como acontece no Censo. No Brasil, o Censo Demográfico ocorre normalmente de 10 em 10 anos e todas as residências do Brasil são entrevistadas. Na maioria das pesquisas, no entanto, os dados são coletados em uma amostra (grupo representativo da população). Nesse caso, dizemos que é uma pesquisa por amostragem. Para esse tipo de pesquisa fazemos um estudo prévio dos indivíduos de interesse e os separamos em grupos com afinidades como, por exemplo: crianças, jovens, adultos e idosos; ou estudantes, desempregados, trabalhadores e aposentados. Para que possamos extrapolar os dados e conclusões obtidas no estudo da amostra para a população de interesse, ela deve ser uma amostra significativa.

a) 2,5

c) 1,7

b) 5,5

d) 3,4

e) 4,5

10. Uma pessoa que sai do ponto A e vai ) B, conaté o ponto B, seguindo o arco A forme esquema a seguir, percorre que distância? (Considere p = 3.) Alternativa d.

a) 1 000 km

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

4

a = 110 m, b = 90 m e c = 40 m

b) 950 km c) 1 150 km

O

d) 1 400 km

360 m

e) 1 250 km

A

9. Um segmento OA descreve um arco de 30° em torno do ponto O, como indica a figura a seguir.

360 m 120°

a) 600 m

c) 700 m

b) 630 m

d) 720 m

B

e) 750 m

UM NOVO OLHAR

Um novo olhar

Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado

É o momento de você refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com a aprendizagem.

Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado, podemos estabelecer uma relação importante entre a medida da diagonal e a medida do lado do quadrado. No quadrado ABCD, l é a medida do lado, e d, a medida da diagonal. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, podemos escrever: l

D

C

d2 = l2 + l2 d=

2l2

d

l

l

d=l 2

A

l

B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

d2 = 2l2 (l > 0)

Nas relações métricas do triângulo retângulo estudadas nesta Unidade, conhecemos o teorema de Pitágoras e alguns aspectos históricos que o envolvem, além de suas aplicações, e complementamos os estudos com outras relações métricas do triângulo retângulo. Estudamos ainda a circunferência, o cálculo do comprimento de uma circunferência, um pouco da história do número p e as relações métricas na circunferência. Na abertura, vimos uma aplicação do teorema de Pitágoras em uma situação que implica medidas inacessíveis, que são calculadas por meio de triângulos. Vamos retomar as aprendizagens desta Unidade e refletir respondendo às questões a seguir no caderno. • Dentre as diversas demonstrações para o teorema de Pitágoras, pesquise uma delas e registre a diferença entre a demonstração encontrada e a exposta nesta Unidade. Resposta pessoal. • As relações métricas são obtidas utilizando triângulos semelhantes. Como podemos justificar a semelhança desses triângulos? Pelo caso AA, ou seja, se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, então eles são semelhantes. • Na abertura desta Unidade, você foi convidado a apresentar a solução para o problema de um engenheiro. E agora, qual solução você daria ao engenheiro, se uma das medidas conhecidas é 21 m e a outra é 28 m? Qual é a distância que o engenheiro precisa calcular? Usar o teorema de Pitágoras; 35 m. • Quais são os elementos de uma circunferência? Corda, raio, diâmetro e arco.

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Acompanhe as situações a seguir.

1 Quanto mede a diagonal do quadrado abaixo? D

8 cm

A

8 cm

d

8 cm

C

8 cm

B

Pela expressão vista anteriormente, temos d = l 2 . Substituindo l por 8, temos d = 8 2 . Logo, a medida da diagonal desse quadrado é 8 2 cm.

2 A diagonal de um quadrado mede 10 cm. Quanto mede o lado l desse quadrado? Pela situação, temos d = 10 cm. Substituindo na expressão d = l 2 , temos: 10 = l 2 h l 2 = 10 h l =

Descubra mais

10 10 2 hl= hl=5 2 2 2

Logo, o lado desse quadrado mede 5 2 cm. DESCUBRA MAIS

Os peregrinos (coleção O contador de histórias e outras histórias da Matemática), de Egídio Trambaiolli Neto. Editora FTD, 1998. Um grupo de adolescentes precisa resolver um grande desafio: evitar um cataclisma, que ameaça extinguir toda a vida terrestre.

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Apresenta indicações de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.

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3

CAPÍTULO

FIGURAS SEMELHANTES Encontrando semelhanças

Nós

Podemos dizer que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma sem precisar ter, necessariamente, o mesmo tamanho. Dessa maneira, podemos entender uma ampliação e uma redução como exemplos de semelhança. Figuras congruentes também são semelhantes. Vejamos melhor o que significa “ser semelhante a” em Geometria. Os dois mapas a seguir são representações do estado do Paraná, mas estão em escalas diferentes. Neles, destacamos algumas cidades. Veja:

Propicia a reflexão sobre valores, que será feita sempre em duplas, trios ou grupos.

Estado do Paraná 50°O 50°O

Estado do Paraná 50°O 50°O

25°S 25°S

124,8 km 124,8 km

SONIA VAZ

SONIA VAZ

25°S 25°S

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

Mapa 1.

Mapa 2.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

Você pode notar que, embora sejam de tamanhos diferentes, os dois mapas têm a mesma forma: o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que esses mapas representam figuras semelhantes. NÓS

Riscos dos balões Diferentemente do balonista, que é o praticante do balonismo, o baloeiro tem como atividade a fabricação e a soltura de balões feitos, em geral, de papel, arame e madeira. Fabricar, vender, transportar ou soltar balões é crime com pena prevista de detenção de um a três anos e/ou multa, pois, além de perigosos, não possuem controle e podem provocar incêndios, atingir aviões, entre outras coisas. • Todos os anos, principalmente nos meses de junho e julho, diversas propagandas sobre os riscos de soltar balões são veiculadas em todo o território nacional. Mesmo assim, não são poucas as notícias sobre balões que cortam os céus das cidades. Debata com seus colegas sobre os motivos que levam à ineficácia dessas propagandas na conscientização de quem pratica essa atividade.

P O R T O D A P A RT E

ROGERIO REIS/TYBA

Responda às questões no caderno. No município de Canela (RS), há forte presença da cultura alemã. Os imigrantes alemães recriaram os ambientes de suas cidades natais e construíram casas com base na arquitetura europeia. As construções enxaimel, representadas por edificação com estrutura aparente de madeira, fazem parte da arquitetura alemã e são muito comuns na região Sul do Brasil.

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Resoluções a partir da p. 289

Ivoti e as contruções enxaimel

Informações obtidas em: <http://www.ivoti.rs.gov.br/turismo>. Acesso em: 6 nov. 2018.

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Castelinho Caracol, arquitetura de

Esta seção apresenta diversas situações que possibilitam ainda mais a conexão da Matemática com diversas áreas do conhecimento.

Dados sobre a Ponte de Todos – Newton Navarro Extensão da ponte: 1 781,60 m Altura da ponte: 55 m Largura da ponte: 22 m Altura de cada mastro principal: 103,45 m Extensão do vão central: 212 m

A Ponte de Todos – Newton Navarro, inaugurada em novembro de 2007, está localizada na cidade de Natal (RN) e liga a região central da cidade aos corredores que dão acesso às belezas naturais do litoral norte.

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Poupança: o que é? Postado pelo O Jornal Econômico em 28 de setembro de 2018.

dispor de um plano de saúde.

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11/22/18 20:55

[...]

[...] A poupança é a parte do rendimento disponível que não afeta a despesa de consumo final. Permite precaver e enfrentar imprevistos tal como o desemprego, um acidente, doença ou despesa inesperada. Para além de se tornar um fundo de emergência (pelo, menos, 5 a 6 vezes o rendimento mensal da família) para acomodar o impacto financeiro de uma dessas situações imprevistas, a poupança pode ter como objetivo planear a compra de bens ou serviços, criar um complemento de reforma, ou para acautelar os estudos dos filhos ou ainda para

A importância da poupança

Educação financeira

A elaboração do orçamento familiar permite o controle das despesas correntes e a tomada de decisões financeiras importantes e a regularidade com que faz e gere o vosso orçamento é a Chave para o Sucesso! [...] Todos os meses, ou sempre que possível e com regularidade, as famílias devem retirar uma parte dos seus rendimentos para uma poupança. O ideal seriam 10% do rendimento, no entanto esta avaliação terá que ser feita, caso a caso.

Fonte: O Jornal Econômico. Extraído do site: <https://jornaleconomico.sapo.pt/noticias/poupanca-o-que-e-359747>. Acesso em: 13 nov. 2018.

Como você viu no texto, é muito importante planejar seus gastos e poupar regularmente. Ao estabelecer metas e prazos, pode-se ter uma ideia de quanto é preciso guardar por mês para realizar um sonho. 1. Veja o exemplo de Ricardo, com 14 anos, que já está pensando no futuro, e quer economizar R$ 50,00 por mês. Por meio de uma função, podemos representar o total economizado por ele ao longo dos meses cuja lei é dada por y = 50x, em que y é o total economizado, e x, o número de meses. Usando essa função, responda no caderno:

22/11/18 13:37

Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e Estatística.

No gráfico de linhas a seguir, é possível observar a variação de temperatura máxima nos trinta dias do mês de setembro de 2018 na cidade de Cuiabá.

Resoluções a partir da p. 289

A cidade de Cuiabá, no Mato Grosso, é conhecida por suas altas temperaturas

Temperaturas máximas registradas em Cuiabá no mês de setembro de 2018

45 40

A cidade de Cuiabá é conhecida por diversas características, além de suas altas temperaturas, também recebe o reconhecimento de Cidade Verde por ser muito bem arborizada, é um polo industrial, comercial e de serviços do estado onde é capital, Mato Grosso. Por estar situada em uma região de muitas paisagens naturais, Cuiabá é rica em atrações turísticas e, por ser antiga, também conta com um patrimônio histórico importante. Essa cidade possui vários lugares que valem a pena ser visitados, como: museus, prédios restaurados, mercado de peixes, obelisco, o marco do centro geodésico da América do Sul, o Horto Florestal e muito mais. Para aprender um pouco sobre o modo de vida da população local, é possível conhecer as comunidades ribeirinhas, apreciar os artesanatos feitos por eles e alguns de seus costumes, como se banhar nos rios e baías, onde também praticam a pesca.

35 30 25 20 15 10 5 0

Informações obtidas em: Guia do Turismo Brasil. Disponível em: <https://www.guiadoturismobrasil.com/cidade/MT/970/cuiaba> Acesso em: 16 nov. 2018.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Dia Fonte: ACCUWEATHER. Disponível em: <https://www.accuweather.com/pt/br/cuiaba/44281/ month/44281?monyr=9/01/2018>. Acesso em: 16 nov. 2018.

Temperaturas máximas registradas em Cuiabá no mês de setembro de 2018 Dia

Temperatura máxima (em °C)

Dia

Temperatura máxima (em °C)

01

37

16

34

02

19

17

31

03

24

18

32

04

28

19

35

05

32

20

35

06

35

21

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07

37

22

38

08

38

23

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09

38

24

37

10

39

25

34

11

39

26

37

12

39

27

37

13

39

28

31

14

38

29

35

15

35

30

30

Responda às questões no caderno. 1. A partir das informações coletadas, determine:

Aproximadamente 34,63 °C a) a média das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018.

b) a mediana das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018. 36 °C 3. As temperaturas máximas variaram entre 19 °C e 39 °C, 2. Observando o gráfico e os dados coletados identifique: com amplitude de 20 °C. A média de 34,63 °C se aproxima do limite superior, e a mediana a) a menor temperatura máxima no mês. 19 °C de 36 °C indica que em muitos dias do mês de setembro as temperaturas estavam próximas a esse valor. b) a maior temperatura máxima no mês. 39 °C c) a amplitude das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018. 20 °C 3. Analisando o gráfico e as medidas obtidas nas atividades 1 e 2, o que se pode concluir em relação às temperaturas máximas do mês de setembro na cidade de Cuiabá?

Vista aérea do entardecer na cidade de Cuiabá, MT.

Fonte: ACCUWEATHER. Disponível em: <https://www.accuweather.com/pt/br/cuiaba/44281/ month/44281?monyr=9/01/2018>. Acesso em: 16 nov. 2018.

82

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FILIPE FRAZAO

Tratamento da informação

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

EDITORIA DE ARTE

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Com o objetivo de desenvolver reflexões sobre atitudes como hábitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.

Temperatura máxima (em ºC)

Saldo (reais)

b) Usando a lei da função, calcule quanto Saldo do investimento dinheiro ele terá se guardar esse valor Depósito de R$ 50,00 ao mês com incidência mensal durante 9 anos. R$ 5 400,00 Saldo do investimento de juros Depósito de R$ 50,00 ao mês com juros de 0,5% ao mês c) Qual é a diferença entre o valor ob7 172,68 7 000,00 6 172,13 tido no item b com o valor mostrado 6 000,00 5 229,71 5 000,00 4 342,04 no gráfico ao lado, que corresponde 4 000,00 3 505,94 3 000,00 a colocar esse dinheiro em um in2 718,42 1 976,64 2 000,00 1 277,96 vestimento rendendo juro em vez de 1 000,00 619,86 0,00 simplesmente guardá-lo? Essa dife6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 Tempo (anos) rença corresponde a que percentual do total guardado? Fonte: dados fictícios. Diferença de R$ 1 772,68, que corresponde a cerca de 32,8% dos R$ 5 400,00 economizados. 251

EDITORIA DE ARTE

a) Quanto Ricardo terá economizado em 1 ano? R$ 600,00

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DU ZUPPANI/PULSAR IMAGENS

pilar sob a ponte

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

6

EDITORIA DE ARTE

Por toda parte

1. Quantos metros de ripa de madeira foram utilizados em todos os triângulos maiores da torre? Utilize uma calculadora para obter o resultado aproximado até o centímetro. Aproximadamente 28,97 m.

2. A ponte estaiada é um tipo de ponte suspensa por cabos de sustentação, presos em um ou mais mastros e no chão (tabuleiro) da ponte. Em muitas cidades do Brasil podemos encontrar pontes estaiadas. Observe o esquema dessa ponte e, usando fios mais longos mastro principal uma calculadora, descubra cerca de quan90° 90° tos metros de fio de sustentação foram x 103,45 103,45 gastos em cada um dos fios mais longos 106 106 (indicados pelas setas), que têm suas extremidades presas no centro do vão central e vão central no alto dos mastros. Cerca de 148 m.

ILUSTRA CARTOON

Observe ao lado a representação de uma construção influência alemã, construída em 1913, característica do Rio Grande do Sul, em que a torre em Canela, 2011 torre (sem o telhado) lembra a forma de um sólido – prisma hexagonal – cujas faces têm 2 m de largura. Os triângulos maiores de madeira incrustados nas paredes da torre têm 1 m de altura, 2 m de base e são isósceles.

83

11/21/18 12:03

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11/23/18 16:29

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11/24/18 14:49

D2-MAT

/18 17:48

Analisando os gráficos da figura 1, responda as questões no caderno:

Tecnologias

Tecnologias

1. O que acontece com o gráfico quando o valor do coeficiente a aumenta? A parábola vai se fechando com relação ao eixo y. 2. Qual o vértice dessas funções? A origem do plano cartesiano, V(0, 0).

• Agora, crie um novo arquivo e represente, em um mesmo plano, as funções f(x) = _x2,

Explorando a função quadrática

1 f(x) = _2x2, f(x)= _ x2 e f(x) = _5x2. 10 Analisando os gráficos, responda as questões no caderno:

O Winplot é um programa que gera gráficos com base em funções polinomiais. Você fornece a ele a expressão algébrica e ele retorna com a representação gráfica correspondente. Com esse recurso é possível explorar e estabelecer as relações entre os coeficientes da função quadrática e a forma do gráfico. A ideia inicial é explorar a função quadrática, na forma f(x) = ax2 + bx + c com a, b e c números reais e a 5 0, e entender como a representação gráfica se comporta de acordo com os valores dos coeficientes.

Nesta seção você verá como utilizar ferramentas tecnológicas na resolução de problemas ou questões matemáticas.

3. O que acontece com o gráfico quando o valor do coeficiente a diminui? A parábola vai se fechando com relação ao eixo y. 4. Qual o vértice dessas funções? A origem do plano cartesiano, V(0, 0).

Após essas observações, o que podemos dizer sobre o coeficiente a da função quadrática? O coeficiente a é responsável pela abertura e pela concavidade para parábola. Quando a , 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo, quando a ! 0, a concavidade é voltada para cima. Análise da variação do coeficiente b, com a e c fixos, com a = 1 e c = 1.

Análise da variação do coeficiente a, com b = 0 e c = 0. Procedimentos: • Ao abrir o software, escolher as opções: Janela 2 dim Equação Explícita • Digitar a função f(x) = x2 na caixa de diálogo (escrever x^2) e clicar em “ok”.

Seguindo os mesmos procedimentos anteriores, vamos representar graficamente as funções f(x) = x 2+ x + 1, f(x) = x2 + 2x + 1, f(x) = x2+ 3x + 1, f(x) = x 2_ x + 1, f(x) = x 2 _ 2x + 1, f(x) = x2 _ 3x + 1. Analisando os gráficos da figura 2, responda as questões no caderno:

5. O que acontece com o gráfico quando o Figura 2. valor do coeficiente b aumenta? O vértice do gráfico se desloca para a esquerda. 6. O que acontece com o gráfico quando o valor do coeficiente b diminui?

• Após essas observações, o que podemos dizer sobre o coeficiente b da função quadrática? Espera-se que os alunos percebam que a variação em b determina a posição do vértice e indica se o ponto de intersecção do gráfico com o eixo y ocorre em seu trecho crescente ou decrescente. Análise da variação do coeficiente c, com a e b fixos, com a = 1 e b = 1.

• Clicar em Equação

Seguindo os mesmos procedimentos anteriores, vamos representar graficamente as funções f(x) = x 2+ x, f(x) = x 2+ x + 1, f(x) = x 2+ x + 2, f(x) = x2+ x _ 1, f(x) = x2 + x _ 2.

Explícita e digitar a função f(x) = 2x (escrever 2x^2). 1 2 • Seguir o mesmo procedimento para as funções f(x) = x (escrever 1/10x^2) e 10 f(x) = 5x2 (escrever 5x^2). 2

FOTOS: WINPLOT 2018

Espera-se que o aluno visualize que c indica o ponto onde o gráfico da função quadrática intercepta o eixo das ordenadas (y) e que associe isso ao fato de que f(0) = c. 273

Figura 1.

272

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ATUALIDADES EM FOCO

Atualidades em foco

23/11/18 19:14

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11/23/18 5:17 PM

1. Você concorda com a afirmação da ANEEL de que “com as bandeiras, a conta de luz ficou mais transparente e o consumidor tem a melhor informação, para usar a energia elétrica de forma mais eficiente, sem desperdícios”? Justifique sua resposta. Resposta pessoal. 2. Em sua opinião, quais ações poderiam ser realizadas para que, de fato, as pessoas passassem a utilizar de forma mais eficiente, sem desperdícios a energia elétrica? Resposta pessoal.

Resoluções a partir da p. 289

De olho na bandeira!

3. Juntamente com seus colegas e professor, elabore um plano de ações que possa efetivar algumas das sugestões apresentadas pela turma. Resposta pessoal.

ANEEL/PORTAL DA EDUCATIVA/GOVERNO DE MATO GROSSO DO SUL

Você já ouviu falar nas bandeiras tarifárias? A cor da bandeira na cobrança da conta de luz pode interferir diretamente no orçamento mensal e anual de sua casa. Na imagem podemos perceber que essas tarifas foram aprovadas em uma audiência pública. Observe algumas informações apresentadas pela Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) em 27 de julho de 2018. Fonte: PORTAL DA EDUCATIVA. Bandeira vermelha. Disponível em: <http://www.portaldaeducativa.ms.gov.br/tag/bandeira-vermelha/>. Acesso em: 19 nov. 2018.

Leia o texto a seguir.

Como é feita a cobrança de energia elétrica? A conta de energia elétrica tem tido destaque na mídia nos últimos meses, pois a geração de energia, por conta principalmente de problemas como a falta de chuva, tem se tornado mais cara. [...] A partir de fevereiro de 2016, em razão da melhora na quantidade de chuvas, principalmente na região Sudeste, o sistema de cobrança sofreu diminuição de seus valores, porém continuará no regime de bandeira vermelha, que agora possui dois patamares de cobrança dependendo da quantidade de termoelétricas ainda ligadas.

Bandeira tarifária segue vermelha patamar 2 em agosto Histórico O sistema de bandeiras foi criado para sinalizar aos consumidores os custos reais da geração de energia elétrica. O funcionamento é simples, para que os consumidores possam assimilar que as cores verde, amarela ou vermelha indicam se a energia custa mais ou menos por causa das condições de geração. Com as bandeiras, a conta de luz ficou mais transparente e o consumidor tem a melhor informação, para usar a energia elétrica de forma mais eficiente, sem desperdícios. Cabe frisar que as bandeiras tarifárias não promovem aumento de custos ou da tarifa. O sistema permite, a partir de sua métrica de acionamento e de seus adicionais, um ajuste mais harmônico ao fluxo de custos do processo operativo do Sistema Interligado Nacional (SIN).[...]

Bandeira

Cobrança

Verde

Não há acréscimo na conta

Amarela

Acréscimo de R$ 1,50 para cada 100 KWh consumido

Vermelha 1

Acréscimo de R$ 3,00 para cada 100 KWh consumido

Vermelha 2

Acréscimo de R$ 4,50 para cada 100 KWh consumido

[...] Podemos calcular a energia consumida através do produto da potência elétrica do aparelho pelo tempo de uso, [...] Como exemplo, imagine uma família de quatro pessoas que consome 300 kWh mensais de energia elétrica. Após a baixa do preço na cobrança, e supondo que a empresa de fornecimento de energia cobre R$ 0,45 por cada kWh utilizado, qual seria o valor da conta de energia para a situação de cada uma das bandeiras? Bandeira VERDE : 300 kWh ? 0,45 = R$ 135,00 Bandeira AMARELA: (300 kWh ? 0,45) + 4,5 = R$ 139,50 Bandeira VERMELHA 1: (300 kWh ? 0,45) + 9,00 = R$ 144,00 Bandeira VERMELHA 2: (300 kWh ? 0,45) + 13,5 = R$ 148,50

Fonte: ANEEL. Bandeira tarifária segue vermelha patamar 2 em agosto. Disponível em: <http://www.aneel.gov.br/ sala-de-imprensa-exibicao/-/asset_publisher/XGPXSqdMFHrE/content/bandeira-tarifaria-segue-vermelha-patamar2-em-agosto/656877?inheritRedirect=false&redirect=http%3A%2F%2Fwww.aneel.gov.br%2Fsala-de-imprensaexibicao%3Fp_p_id%3D101_INSTANCE_XGPXSqdMFHrE%26p_p_lifecycle%3D0%26p_p_state%3Dnormal%26p_p_ mode%3Dview%26p_p_col_id%3Dcolumn-2%26p_p_col_count%3D3>. Acesso em: 14 nov. 2018.

Você já analisou uma conta de energia elétrica? Veja uma imagem com algumas informações apresentadas nesse tipo de conta.

Fonte: MUNDO EDUCAÇÃO. Como é feita a cobrança de energia elétrica? Disponível em: <https:// mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/como-feita-cobranca-energia-eletrica.htm>. Acesso em: 14 nov. 2018.

4. Observe uma conta de luz, de preferência, do local onde você reside e responda:

a) Na conta de luz, é possível observar a cobrança de impostos? Identifique, na conta que analisou, o valor dos impostos. Em seguida, faça uma pesquisa para descobrir qual a finalidade desses impostos. Resposta pessoal.

Veja no material audiovisual o vídeo sobre Energia elétrica: usos, eficiência energética e consumo consciente.

ACERVO DA EDITORA

Nesta seção você encontrará o trabalho com temas atuais e de importância social. Será um momento de refletir sobre esses assuntos e de perceber como a Matemática ajuda a entender o mundo em que vivemos.

FOTOS: WINPLOT 2018

Analisando os gráficos da figura 3, responda as questões no caderno:

7. O que acontece com o gráfico quando o valor do coeficiente c aumenta? O gráfico se desloca para cima. Figura 3. 8. O que acontece com o gráfico quando o valor do coeficiente c diminui? O gráfico se desloca para baixo. • Após essas observações, o que podemos dizer sobre o coeficiente c da função quadrática?

b) Observando o valor praticado pela bandeira verde, podemos concluir que há uma função que define o valor a ser pago em decorrência do consumo? Qual seria a função que define a bandeira verde? Sim, podemos afirmar que o preço varia em função do consumo. Considerando y o preço a ser pago e x o consumo mensal, em kWh, podemos estabelecer a seguinte função: y = 0,45x.

276

277

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Responda às questões no caderno.

1. (Saresp) Um prédio projeta uma sombra de 40 m ao mesmo tempo em que um poste de 2 m projeta uma sombra de 5 m. Então, a altura do prédio é de:

12

c) 14 m.

b) 12 m. d) 16 m. Alternativa d. 2. Caio tem um carrinho de brinquedo que é uma miniatura do carro de seu pai. A razão entre o comprimento do carro do pai e o comprimento do carro de 14 Caio é . Se o carro de Caio tem 0,9 m 3 de comprimento, qual é o comprimento do carro do pai de Caio? Alternativa b. a) 4 m

c) 4,5 m

b) 4,2 m

d) 4,8 m

e) 3,6 m

3. Para determinar a altura de uma árvore, utilizou-se o esquema a seguir.

5m

30 m

Nessas condições, qual é a altura da árvore? Alternativa c. c) 37,5 m

b) 36 cm

d) 38,5 m

a) 9,5

b) 10

c) 8,8

d) 8,6

e) 8,5

6. Vamos considerar que, na figura a seguir, a medida do lado AB seja 20 cm, a medida do lado BC seja 5 cm, e o quadrilátero BCMP represente A um losango, cujo lado mede x cm. P

M

B

a) 12

c) 20

b) 16

d) 18

C

respostas UNIDADE 1 Atividades p. 18 1. a) 8 b)

2

0

E

300

m

36

2

5

30 m m

1

3

c) 2,83 2. a) 5 b)

B C

x

0

A

1

1

2

3

5

3. 2,24

D

Nessas condições, obteve-se *ABC / / *EDC. Determine a largura x do lago.

a) 2,4 m

c) 3,2 m

a) 250 m

c) 260 m

e) 450 m

b) 2,8 m

d) 3,6 m

b) 400 m

d) 360 m

Alternativa a.

172

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11/21/18 12:02 PM

4. _109 5. _3 6. Não é raiz. 7. a) 5 b) = 8. 380 9. 54 10. Alternativa e. 11. a) +1 b) +1

Números reais, potências e radicais

e) 24 Alternativa b.

a altura da casa é 6,0 m, qual é a altura da porta? Alternativa a. e) 1,8 m

Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades de todos os conteúdos estudados na Unidade.

7. Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema abaixo.

e) 40 m

4. A porta de entrada e a fachada de uma casa são figuras retangulares semelhantes, e a razão de semelhança da altura 5 . Se da casa para a altura da porta é 2

C

3

D

14

Nessas condições, qual é o perímetro do losango, em centímetro?

4m

a) 35 m

E B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a) 10 m.

Alternativa e. x

11/21/18 2:11 PM

Retomando o que aprendeu

Resoluções a partir da p. 289

5. Considerando a figura abaixo, determine a medida x indicada. A

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

RETOMANDO O QUE APRENDEU

22/11/18 13:47

Respostas

No final do livro estão todas as respostas das atividades propostas.

4.

7; 2, 64

Atividades p. 22 1. a) 7 b) _3 e 7 c) _3 d) _ 3 ; _1,4; 0,3333... 2

d) 1 9

f) 1 81

e) 1 27 e) 0,015625 f) 0,1 g) 0,001 h) 0,04 c) 5_6 d) 2_10

3. a) 7_5 b) 10_9 4. 3 5. a) 2

d) _0,9

b) +169

e) 125

c) _343

f) +10,24

6. a) _ 2 3

c) _ 8 81 d) 1

b) 8 7. _ 5 6 8. 6 9. a) 73 b) 2_1 c) 8_5 10. a) x2 b) x2

d) 512 e) 8 f) 23

b) 57 c) 2

_5

d) 3_3

g) _225 h) − 32 243 i) +81

c) 10 d) 2 e) 3 f) 7

3. a) x = 7 b) x = 1

c) x = 1 d) x = 2

4. a) 3 2

c) 4 10

b)

3

d) 5 54

5. a)

2

e) 4 23 f) 6 25

6. a) x = 4

b) x = 3

7. a)

d) 6 x _ 6 y

5? 7

b) 3 a ? 3 x 7

g) 2_3 h) 3_1

2

7

3 ? 11 2? 5

e)

2? a? b

f) 3 x2 ? 3 x y d) 7 2 ? 7 3 ? 7 5

b) 6 3 ? 6 7

e) 10 3 ? 10 5

c) 9 5 ? 9 7

f) 3 2 ? 3 7 ? 3 11

Atividades p. 42 1. a) 11 3

d) 6 6 e) 8 2

b) 26 7

c) x_12 d) a_3

c) 10 5 3

12. a) 7_2 ? 13_2 b) 9_3 : 5_3 c) 2_2 : 5_4 d) 3_4 : 10 e) 2_10 ? 34 ? 112 f) 7 _2 : 10 4

f) 35 3 7

2. a) x2 x

e) xy y

b) y 3 y

f) xy 5 y2

c) x 4 x d) y

25

y

2

3. a) 5 3

g) y 9 y h) x10 x3 f) 20 2

b) 10 7

g) 30 2

c) 5 3 2

h) 5 3 3

d) 25 6

i) 30 3

e) 2 11

j) 26 10 e) 14,1 f) 22,3 g) 17,08 h) 25,95

Por toda parte p. 34 1. Pesquisa do aluno.

4. a) 7,05 b) 5,19 c) 8,92 d) 12,2 5. 72 m 6. 24 7. a) 2 8. 20 3

Educação financeira p. 35 1. a) R$ 709,50 b) R$ 1 109,50

Para quem quer mais p. 43 1. 128 14 m2 ou 473,6 m2.

2. 7 ? 106 3. 4 ? 107 t 4. a) 2,3 ? 1022 b) 6,8 ? 103 e 2,05 ? 108 c) 1,06 ? 10_8 5. a) 1 ? 10_2 m b) 1 ? 106 L

4

c) 1 ? 10_6 g

d) 5a2

d) 3 22

c) 4 3

c)

1 1. ou 10−10 1010

2. a) 7 777 b) 4 algarismos iguais. c) 28 3. +32

d) _10 e) _1 f) _5

Atividades p. 40 b) 7 1. a) 3 2. a) 7 b) 3 c) 5

8. a)

Atividades p. 33

c) 2n

1. Duas; 4 −16 e −1 . 2. 36; 144; 10; 100; 25 3. Sim, 11. 4. Sim, pois 25 = 5. 5. a) 0,5 b) 0,2 c) 8

b) 3 3

c) _ 8 125 d) 64

11. a) 102

c) F d) F

Pense e responda p. 24 1. 2; 4; 8; 16; 32; 64 b) 1 024 2. a) 64 Atividades p. 27 1. a) 64

c) +1 d) _1

b) 25

Atividades p. 20 c) 15,7 cm 1. a) 50,24 cm b) 2,826 cm d) 43,96 cm 2. 18 cm 3. a) 1,884 m b) 9 420 m 4. Aproximadamente 69,08 cm. 5. 25 voltas. 6. 314 mudas.

2. 27 10 3. a) V b) V

Atividades p. 31 1. a) 3 b) 1 c) 1 3 2. a) 0,5 b) 0,03125 c) 0,25 d) _0,0625

Atividades p. 37

c) 5 d) =

b) 10

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sumário

Unidade 1

NÚMEROS REAIS, POTÊNCIAS E RADICAIS ................................................. 12

1. A Geometria e a descoberta do número irracional ............................... 14 Atividades .....................................................18 Um número irracional importante: o número p (pi) ........................................... 19 Atividades .....................................................20 2. Os números reais ..................................... 21 As operações com números reais ................ 22 Atividades .....................................................22 3. Potências .......................................................23 Propriedades das potências com expoentes naturais ...................................... 25 Expoente zero ............................................. 26 Atividades .....................................................27 Potência de um número real com expoente inteiro .......................................... 28 Propriedades das potências com expoentes inteiros ....................................... 30 Atividades .....................................................31 A notação científica .................................... 32 Escrevendo na notação científica ................. 32 Atividades .....................................................33 Por toda parte • Dados demográficos do Estado do Amazonas ............................... 34 Educação financeira • Os juros do cartão de crédito ........................................ 35 4. Radicais ..................................................... 36 Raiz enésima de um número real ................ 36 Atividades ...............................................37 Propriedades do radical .............................38 Atividades ...............................................40 Simplificando radicais .................................. 41 Atividades................................................. 42 Introduzindo um fator externo no radical .... 44 Atividades................................................. 44 Adição algébrica de radicais ........................ 45 Atividades................................................. 46 Multiplicação e divisão de radicais com mesmo índice ...................................... 47 Atividades................................................. 48 Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice......................................... 49

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Multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes ................................. 50 Atividades................................................. 50 Potenciação de radicais ............................... 51 Atividades................................................. 51 Racionalização de denominadores ............... 52 Atividades................................................. 53 Potência com expoente racional .................. 54 Atividades................................................. 56 Calculando raízes com a calculadora científica ................................... 56 Atividades................................................. 57 Retomando o que aprendeu........................58

Unidade 2

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO ........60 1. Os produtos notáveis .................................62 Quadrado da soma de dois termos .................63 Quadrado da diferença de dois termos ...........64 Produto da soma pela diferença de dois termos ......................................................65 Atividades .....................................................67 Cubo da soma de dois termos.........................69 Cubo da diferença de dois termos...................69 Atividades .....................................................69 2. Fatorando polinômios..................................70 Atividades .....................................................70 Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência.......................................71 Fatoração por agrupamento ............................72 Atividades .....................................................74 Fatoração da diferença de dois quadrados ......75 Atividades .....................................................76 Fatoração do trinômio quadrado perfeito ........77 Atividades .....................................................78 Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos........................................................79 Fatoração mais de uma vez..............................79 Usando a fatoração para resolver equações ....80 Atividades .....................................................81 Tratamento da informação • A cidade de Cuiabá, no Mato Grosso, é conhecida por suas altas temperaturas .......................... 82 Retomando o que aprendeu ........................ 84

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D2-MAT

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Unidade 3

Unidade 4

1. Equação do 2o grau com uma incógnita ...................................................... 88 Conhecendo a equação do 2o grau com uma incógnita ......................................... 89 Equação completa e equação incompleta ...... 90 Atividades .................................................... 90 Forma reduzida da equação do 2o grau com uma incógnita ......................................... 91 Atividades .................................................... 91 2. Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita .................................... 92 Equações incompletas..................................... 92 Atividades .................................................... 93 Equações completas ....................................... 94 O processo de completar quadrados .............. 94 O processo geométrico de al-Khwarizmi ........ 96 Atividades .................................................... 98 O processo algébrico de Bhaskara .................. 99 Fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita ..........................100 Atividades .................................................. 102 Tecnologias • Resolução de equação do 2o grau ....................................................104 3. Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita ........................................... 106 Soma das raízes ............................................ 106 Produto das raízes......................................... 106 Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes ................................... 107 Atividades .................................................. 108 4. Mais equações .......................................... 109 Equações biquadradas .................................. 109 Atividades .................................................. 110 Equações irracionais ...................................... 110 Atividades .................................................. 111 Tratamento da informação • Os gráficos e a importância de sua representação correta .......................................................... 112 Retomando o que aprendeu ....................114 Atualidades em foco • Cultura afro-brasileira se manifesta na música, religião e culinária ...... 116

1. Ângulos determinados por retas transversais ..................................... 120 Ângulos opostos pelo vértice........................ 120 Ângulos adjacentes ....................................... 120 Ângulos correspondentes ............................. 121 Atividades .................................................. 122 Ângulos alternos ........................................... 123 Ângulos colaterais ......................................... 124 Atividades .................................................. 126 2. Circunferência ........................................... 127 Posições relativas de uma reta e uma circunferência......................................... 128 Atividades .................................................. 130 Arco de circunferência e ângulo central ........ 131 Atividades .................................................. 132 Ângulo inscrito.............................................. 133 Atividades .................................................. 136 Tecnologia • Ângulo inscrito e ângulo central .............................................. 138 Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência ............................................. 140 Atividades .................................................. 141 Retomando o que aprendeu ....................142

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RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS ...................118

FLORIAN MONHEIM/AGEFOTOSTOCK/EASYPIX

EQUAÇÕES DO 2 GRAU ............................ 86 O

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Unidade 6

Unidade 5

PORCENTAGEM, PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA ......................................... 174

PROPORÇÃO E SEMELHANÇA ................ 144 1. Segmentos proporcionais ...................... 146 Razão e proporção ....................................... 146 Razão entre segmentos ................................ 147 Atividades .................................................. 148 Segmentos proporcionais.............................. 149 Atividades .................................................. 149 2. Feixe de retas paralelas .......................... 150 Propriedade de um feixe de retas paralelas ................................................ 150 Teorema de Tales .......................................... 151 Atividades .................................................. 153 Teorema de Tales nos triângulos ................... 154 Atividades .................................................. 156 Teorema da bissetriz interna de um triângulo ................................................. 157 Atividades .................................................. 158 3. Figuras semelhantes ................................ 159 Encontrando semelhanças............................. 159 Polígonos semelhantes.................................. 160 Atividades .................................................. 163 Triângulos semelhantes ................................. 164 Atividades .................................................. 166 Teorema fundamental da semelhança de triângulos ................................................. 168 Atividades .................................................. 169 Por toda parte • O cálculo para as alturas das pirâmides ................................... 171 Retomando o que aprendeu ....................172

1. Porcentagem e problemas envolvendo juros...................................... 176 Juro simples .................................................. 176 Juro composto .............................................. 177 Atividades .................................................. 178 2. Probabilidade .............................................. 179 Eventos dependentes e eventos independentes .............................................. 179 Atividades .................................................. 181 3. Analisando gráficos ................................. 182 Por toda parte • Os gráficos no dia a dia ....................................................... 185 Atividades .................................................. 186 4. Elaborando uma pesquisa...................... 187 Atividade .................................................... 189 Tecnologias • Planilhas eletrônicas e gráficos estatísticos....................................... 190 Retomando o que aprendeu ....................192 Atualidades em foco • Educação, envelhecimento e cidadania ............................194

Unidade 7

BILL HEINSOHN/ PHOTOGRAPHER'S CHOICE/GETTY IMAGES

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO E NA CIRCUNFERÊNCIA.... 196

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1. O teorema de Pitágoras.......................... 198 O triângulo retângulo dos egípcios ............... 199 O triângulo retângulo e um grego famoso ... 199 Uma demonstração do teorema de Pitágoras .................................................. 202 Atividades .................................................. 204 Aplicando o teorema de Pitágoras no quadrado ................................................. 206 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo equilátero....................................... 207 Atividades .................................................. 208 2. As relações métricas no triângulo retângulo ................................................... 209 Atividades .................................................. 212 Por toda parte • Ivoti e as construções enxaimel....................................................... 213 3. Comprimento de arco de circunferência............................................ 214 Atividades .................................................. 216 4. Relações métricas na circunferência .... 217 Relação entre cordas ..................................... 217 Relação entre segmentos secantes ............... 217 Relação entre segmentos secante e tangente .................................................... 218 Atividades .................................................. 219 Retomando o que aprendeu ...................... 220

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Unidade 8

FIGURAS PLANAS, ESPACIAIS E VISTAS ...................................................222

DAD

O PH

OTO

S/SH

UTT

ERS

TOC

K.CO

M

1. Polígono regular .................................... 224 Polígonos regulares inscritos na circunferência .......................................... 224 Elementos de um polígono regular inscrito .......................................... 225 Atividades ............................................... 227 Relações métricas ...................................... 227 Construção de polígonos regulares ........... 228 Atividades ............................................... 230 Área de um polígono regular .................... 231 Área do círculo e de um setor circular .......... 232 Atividades ............................................... 233 Tratamento da informação • Leitura e construção de gráfico de setores ............... 234 2. Representações no plano cartesiano ..... 236 Atividades ............................................... 237 3. Figuras espaciais .................................... 238 Projeção ortogonal.................................... 238 Vistas ortogonais ...................................... 239 Atividades............................................... 241 Volume de prismas e de cilindros .............. 242 Atividades............................................... 243 Retomando o que aprendeu ..................... 244

Unidade 9

FUNÇÃO .....................................................246 1. A noção de função ................................ 248 Domínio e conjunto imagem de uma função .............................................. 249 Atividades............................................... 250 Educação financeira • Poupança: o que é?........................................................ 251 2. A função polinomial afim ..................... 252 Função linear ............................................ 253 Atividades............................................... 253 Gráfico da função polinomial afim ............ 254 Atividades............................................... 255 Zero da função polinomial afim................. 256 Atividades............................................... 256 Por toda parte • A renda de bilro ........... 257 A tapeçaria artesanal ..... 257 Tratamento da informação • Interpretando informações ........................ 258 3. A função polinomial quadrática ............. 260 Atividades............................................... 262 Gráfico da função quadrática .................... 263 Atividades............................................... 264 Zeros da função quadrática ....................... 265 Atividades............................................... 266 Concavidade da parábola .......................... 267 Traçando o gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano ................. 268 Atividades............................................... 269 Ponto de mínimo e ponto de máximo da função quadrática ................................ 270 Atividades............................................... 271 Tecnologias • Explorando a função quadrática................................................. 272 Retomando o que aprendeu ..................... 274 Atualidades em foco • De olho na bandeira! ...............................................276

ANDREY SUSLOV/SHUTTERSTOCK.COM

Respostas .................................................................................................... 278 Referências bibliográficas .......................................................................288

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ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

1

Números reais, potências e radicais

Até agora, você estudou os conjuntos dos números naturais, dos números inteiros e dos números racionais. A cada novo conjunto numérico estudado, números novos foram agregados ao conjunto numérico já aprendido por você. O conjunto dos números inteiros agregou ao conjunto dos números naturais os seus opostos. Já o conjunto dos números racionais agregou ao conjunto dos números inteiros todos os outros números a na forma , em que a e b são números inteiros e b b 5 0, e que podem ser escritos na forma decimal ou na forma de fração. Ainda assim, com esses conjuntos não é possível escrever todos os números existentes. Temos, por exemplo, o número π que, entre outros usos, é muito utilizado no estudo de circunferência. Veja ao lado um pouco da história do número π.

MUSEU BRITÂNICO, LONDRES

GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

O número p é conhecido há pelo menos 4 000 anos.

O Papiro de Ahmes (ou Papiro de Rhind), assim chamado em homenagem ao escriba que o copiou, por volta de 1650 a.C., mostra que os matemáticos egípcios utilizavam o valor 3,16 para o número p. DE AGOSTINI/GETTY IMAGES

COMPETÊNCIAS

Uma aproximação para o número π pode ser obtida dividindo-se o comprimento de uma circunferência qualquer por duas vezes a medida de seu raio. Agora, pense um pouco e responda no caderno: • O número p, não sendo um número natural, nem inteiro nem racional, faz parte de outro conjunto de números. Que outro número você imagina que possa fazer parte desse conjunto? Ele deve ter alguma propriedade em comum com o número p? • Como podemos obter uma aproximação para o número p?

Na Grécia antiga, Arquimedes (287-212 a.C.) atribuía a p um 10 10 e3 . valor entre 3 71 70

• Em 2013, o número p foi escrito com 8 quatrilhões de dígitos. Obviamente não podemos usar todos esses dígitos sempre que precisarmos fazer um cálculo matemático. Como fazer, então, para usar esse número em cálculos? Aproximando o valor do número π para um valor conveniente. Resposta esperada: 2 , 3 e 5 são alguns exemplos. Todos esses números, assim a como o p, possuem infinitas casas decimais e não podem ser escritos na forma , sendo a e b b 12 números inteiros e b 5 0.

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Números • EF09MA01 • EF09MA02 • EF09MA03 • EF09MA04 Grandezas e medidas • EF09MA18

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SP STO ATIN L/L

CK

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Em 1761, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), matemático nascido em Mulhouse (Alsácia), na época, parte do território suíço, foi o primeiro a provar que o número p é irracional.

MATHEMATICAL INSTITUTE/LEIDEN UNIVERSITY

No fim do século XVI, o holandês Ludolph van Ceulen (1540-1610) obteve um valor para o número p com 35 casas decimais.

Por ocasião de sua morte, a esposa de Ludolph van Ceulen mandou gravar no túmulo dele o valor de p com as 35 casas decimais, como pode ser observado acima.

ILOLAB/SHUTTERSOCK.COM

O matemático chinês Tsu Ch’ung-chih (430-501 d.C.), por volta de 480 de nossa era, chegou a um valor entre 3,1415926 e 3,1415927, resultado surpreendente para a época.

PRIVATE COLLECTION /PHILADELPHIA MUSEUM OF ART

SCIENCE PHOTO LIBRARY/LATINSTOCK

CARSTEN LEUZINGER/IMAGEBROKER/EASYPIX BRASIL

No início de 2013, Ed Karrels, um pesquisador afiliado à Universidade de Santa Clara (Estados Unidos), usando 24 computadores, conseguiu representar o número p com 8 quatrilhões de dígitos!

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Abertura de Unidade Ao iniciar o trabalho com essa abertura, levantar os conhecimentos que os alunos possuem a respeito do número p, se já ouviram falar nesse número e o que sabem sobre ele. Em seguida, iniciar a leitura dos textos que compõem a abertura ressaltando que os conhecimentos matemáticos que hoje estão construídos foram elaborados de maneira contínua em diversos períodos da história. Questionar os alunos a respeito das possíveis motivações que poderiam estar por trás dos estudos sobre o número p que ocorreram na Grécia Antiga, na China e na Europa. Se achar necessário e conveniente, é possível pesquisar com os alunos outros matemáticos que, ao longo da história, ajudaram a desenvolver os conhecimentos a respeito do número p. No link a seguir é possível encontrar uma breve história do número p, que pode ser utilizada como fonte de consulta: <http://livro.pro/gqytgv>. Acesso em: 9 nov. 2018. NO DIGITAL – 1˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 1, 2 e 3. • Desenvolver o projeto integrador sobre modelo didático do Sistema Solar. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA01, E F 0 9 M A 02 , E F 0 9 M A 0 3, EF09MA04, EF09MA11 e EF09MA18. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

A Geometria e a descoberta do número irracional As explorações que se iniciam nessas páginas têm como objetivo levar os alunos a identificar a existência de números irracionais e a reconhecer que todo número cuja representação decimal é infinita e não periódica é um número irracional. Organizar os alunos em duplas, distribuir papel quadriculado para elas e pedir que representem outros triângulos retângulos isósceles (cujos dois lados estão sobre lados dos quadradinhos das malhas, como os apresentados no livro, na malha pontilhada). Em seguida, eles devem construir os quadrados sobre os lados desses triângulos e observar o que ocorre com as áreas, comparando o valor numérico da área do quadrado construído sobre o maior lado com a soma dos valores numéricos das áreas dos quadrados construídos sobre os lados menores, que nesse caso têm a mesma medida. Espera-se que eles observem a relação de igualdade existente nessa comparação.

A GEOMETRIA E A DESCOBERTA DO NÚMERO IRRACIONAL

EDITORIA DE ARTE

Vejamos a seguir a malha pontilhada em que representamos um triângulo retângulo isósceles (colorido de verde) e construímos quadrados sobre os lados desse triângulo (coloridos de amarelo). Considerando o quadradinho vermelho como unidade de área, vamos determinar os números que expressam a área de cada quadrado amarelo construído.

• Área do quadrado construído sobre o lado maior do triângulo: 2 unidades de área. • Área de cada quadrado construído sobre os lados menores do triângulo: 1 unidade de área. Com esses números, podemos escrever a igualdade: valor numérico da área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo valor numérico da área do quadrado construído sobre um dos lados menores do triângulo valor numérico da área do quadrado construído sobre o outro lado menor do triângulo

2!1"1

Considerando uma malha igual à anterior, vejamos um novo triângulo retângulo isósceles (colorido de roxo) e os quadrados construídos sobre os lados desse triângulo (os quadrados estão coloridos de azul). 14

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Comentar com os alunos que a relação estudada na página anterior é válida para qualquer triângulo retângulo, mesmo que ele não seja isósceles. Propor a eles que desenhem na malha quadriculada triângulos retângulos quaisquer (sempre com seus lados menores sobre lados de quadradinhos da malha). Depois, propor que verifiquem a mesma relação anterior.

Considerando ainda o quadradinho vermelho como unidade de área, vamos determinar os números que expressam a área de cada quadrado azul. • Área do quadrado construído sobre o lado maior do triângulo: 8 unidades de área. • Área de cada quadrado construído sobre os lados menores do triângulo: 4 unidades de área. Com esses números, podemos escrever a igualdade: valor numérico da área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo valor numérico da área do quadrado construído sobre um dos lados menores do triângulo valor numérico da área do quadrado construído sobre o outro lado menor do triângulo

8!4"4

Esse fato vai se repetir sempre que considerarmos um triângulo retângulo isósceles, e também em um triângulo retângulo qualquer. Essa propriedade será demonstrada na Unidade 7.

Dado um triângulo retângulo qualquer, a área do quadrado construído sobre o seu maior lado será igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados.

Acompanhe, então, a seguinte situação.

1 A figura a seguir representa um triângulo retângulo isósceles cujo maior lado mede x, e cada lado congruente mede 1 unidade de comprimento. Qual é o valor numérico da medida?

x

1 1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aplicando a propriedade vista, temos a seguinte figura:

1

x

x ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Solicitar aos alunos que utilizem a malha quadriculada da página anterior para determinar a expressão que indica a medida da diagonal de um quadrado. Comentar com os alunos que a relação estudada na página anterior pode ser utilizada, uma vez que a diagonal do quadrado divide a figura em dois triângulos isósceles.

1 1

NO AUDIOVISUAL Um dos materiais audiovisuais disponíveis nesta coleção é um vídeo a respeito dos números irracionais. Nesse vídeo abordam-se alguns usos dos números no dia a dia e as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos. Também se apresenta a descoberta dos números irracionais, atribuída a Hipaso de Metaponto, além de destacar algumas aplicações do número p e comentar a respeito da proporção áurea.

1

Veja no material audiovisual o vídeo sobre números irracionais.

Pela figura, obtemos: valor numérico da área do quadrado construído sobre o maior lado do triângulo

soma dos valores numéricos das áreas dos quadrados construídos sobre os outros dois lados do triângulo

x2 ! 12 " 12

x2 = 1 + 1 x2 = 2 ou x ? x = 2 Como x é a medida do maior lado, x . 0. Então, o valor numérico de x, que verifica essa equação, representa a raiz quadrada do número 2, ou seja, 2 . Vamos ver como é possível localizar o número irracional 2 em uma reta numérica, partindo da construção de um triângulo retângulo isósceles. Acompanhe: Vamos construir um triângulo retângulo isósceles cujos lados menores medem 1 unidade, com um dos catetos sobre a reta numérica.

2

0

1

1

2

Vimos anteriormente que o maior lado desse triângulo mede 2 unidades. O ponto correspondente a esse valor na reta numérica pode ser encontrado colocando-se a ponta-seca do compasso em 0 e tomando como raio a medida da hipotenusa. O ponto em que a ponta de grafite cruza a reta numérica corresponde a 2. 16

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AMPLIANDO Podemos fazer uma construção similar para posicionar o número irracional numérica.

3 sobre a reta

Atividade complementar Propor aos alunos uma pesquisa a respeito do pensador grego Pitágoras, os pitagóricos e os números irracionais.

Vamos, a partir da figura anterior, construir um triângulo retângulo cujos lados menores medem agora 1 e

2 unidades. Pela propriedade apresentada anteriormente, é possível verificar que a medida do maior lado desse triângulo é 3 .

2

3

1

0

1

2

2

EDITORIA DE ARTE

x2 = 12 + 2 x2 = 1 + 2 x2 = 3 x= 3

Esta ideia provinha do estudo dos números naturais, quando aplicada aos objetos geométricos requeria que todas as medidas pudessem ser expressas na forma de razão de inteiros [...]. Mas eles notaram que a diagonal de um quadrado cujos lados medem uma unidade é igual a 2 e que este número é incomensurável (hoje chamamos de números irracionais esses números).

Observando essas construções geométricas, é possível perceber que os números irracionais 2 e 3 estão entre os números 1 e 2. Como os números 2 e 3 não são quadrados perfeitos, vamos calcular um valor aproximado para 2 e 3.

1 O número 2 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 12 e 4 = 22. Fazemos tentativas: (1,1)2 = 1,21

1,21 , 2

(1,2)2 = 1,44

1,44 , 2

(1,3)2 = 1,69

1,69 , 2

(1,4)2 = 1,96

1,96 , 2

(1,5)2 = 2,25

2,25 . 2

Observamos, portanto, que

2 está entre 1,4 e 1,5. Continuando o cálculo, temos:

(1,41)2 = 1,9881

1,9881 , 2

(1,42) = 2,0164

2,0164 . 2

2

LUCHETTA, V. O. J. Pitágoras de Samos. Disponível em: <https:// www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/ pitagoras.html>. Acesso em: 16 nov. 2018.

2 está entre 1,41 e 1,42. Prosseguindo com o cálculo, temos:

Então,

(1,411)2 = 1,990921

1,990921 , 2

(1,412) = 1,993744

1,993744 , 2

(1,413)2 = 1,996569

1,996569 , 2

(1,414)2 = 1,999396

1,999396 , 2

(1,415) = 2,002225

2,002225 . 2

2

2

Desse modo, verificamos que um valor aproximado para

2 está entre 1,414 e 1,415. Então, podemos considerar que

2 é 1,414. 17

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A numeração decimal de posição introduziu também a infinita complexidade do universo dos números [...]. Desde o século VI a.C., os matemáticos gregos, a começar por um certo Pitágoras, já tinham descoberto que a diagonal de um quadrado ‘não tem medida comum’ com o seu lado. [...] Foi a descoberta do que hoje denominamos ‘números irracionais’, os que não são nem inteiros nem frações. [...] A categoria dos números irracionais ficou ainda pouco precisa durante séculos por causa das notações imperfeitas de outrora, que não permitiam a representação destes números de um modo coerente [...]. Beneficiados por uma notação numérica muito eficaz e por uma ciência cada vez mais avançada, os matemáticos europeus dos tempos modernos conseguiram ter sucesso [...]. Eles descobriram que estes números eram identificáveis a números decimais sem fim, cujos algarismos após a vírgula nunca se reproduzem na mesma ordem.

2 O número 3 está entre os quadrados perfeitos 1 e 4, pois 1 = 12 e 4 = 22. Para descobrir o valor de 3 , vamos fazer: (1,1)2 = 1,21

(1,5)2 = 2,25

(1,2) = 1,44

(1,6)2 = 2,56

(1,3)2 = 1,69

(1,7)2 = 2,89

(1,4)2 = 1,96

(1,8)2 = 3,24

2

Vemos, então, que 3 está entre 1,7 e 1,8. Vamos continuar o cálculo: (1,71)2 = 2,9241 (1,72)2 = 2,9584 (1,73)2 = 2,9929 (1,74)2 = 3,0276 Vemos que

3 está entre 1,73 e 1,74.

Prosseguindo com o cálculo, temos: (1,731)2 = 2,996361 (1,732)2 = 2,999824 (1,733)2 = 3,003289 Pelos últimos cálculos, vemos que 3 está entre 1,732 e 1,733. Então, podemos considerar que um valor aproximado para 3 é 1,732.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Observe a representação do quadrado da imagem. a) Calcule a medida de sua diagonal.

Fonte: SOUZA, E. de J. Sobre a história dos números. Disponível em: <http://www.ifba.edu.br/ dca/Corpo_Docente/MAT/EJS/ SOBRE_A_HISTORIA_DOS_ NUMEROS.pdf>. Acesso em: 16 nov. 2018.

b) Colocando a ponta-seca do compasso em 0 e tomando a medida da diagonal como raio, localize, na reta numérica, a posição de 8 . Resposta no final do livro.

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2

0

1

2

8

3

c) Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais. 2,83

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2. Considere um triângulo retângulo cujos lados menores medem 2 cm e 1 cm. a) Calcule a medida do seu maior lado. 5 b) Construa, em uma folha de papel quadriculado, o triângulo acima. O lado de 2 cm deve estar sobre a reta numérica, graduada a partir do zero. Colocando a ponta-seca do compasso em 0 e tomando a medida do maior lado como raio, localize, na reta numérica, a posição de 5 .

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

3. Sabemos que 5 está entre 2 e 3. Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais. 2,24

Atividades A atividade 1 trabalha o cálculo e a localização na reta numérica de 8 , utilizando como base a diagonal de um quadrado de lado 2. Lembrar aos alunos que, para qualquer quadrado, a medida da diagonal pode ser calculada usando a relação envolvendo os lados do triângulo retângulo, estudada no início da Unidade.

4. Qual deve ser o valor do número x, não negativo, para que se tenha x 2 = 7? Determine o valor aproximado desse número irracional, com duas casas decimais. 7 ; 2,64

Um número irracional importante: o número p (pi)

UM NÚMERO RACIONAL IMPORTANTE: O NÚMERO p (PI) Nesse momento, caso tenha interesse, é possível realizar uma atividade experimental com os alunos. Pedir a eles que levem objetos redondos, que possam ter seus diâmetros medidos, fita métrica e calculadora. Com a fita métrica, calcular o comprimento da circunferência e o diâmetro do objeto. Depois, com o auxílio da calculadora, pedir aos alunos que façam a divisão da primeira medida pela segunda e que comparem os valores obtidos. Na sequência, leia o texto com os alunos para fazê-los perceber que o valor obtido é sempre próximo de p.

EDITORIA DE ARTE

Imagine que as três circunferências da figura a seguir foram cortadas no ponto indicado pela tesoura, e a linha do traçado de cada uma delas foi esticada, dando origem a segmentos de reta.

2. 5

0

1

1

2

3

5

EVILWATA/ SHUTTERSTOCK.COM

A medida de cada segmento obtido representa o comprimento de cada uma das respectivas circunferências. Podemos estabelecer uma relação entre a medida do diâmetro e o comprimento da circunferência. Essa relação é obtida dividindo-se o comprimento da circunferência pela medida de seu diâmetro. Veja: • Se medirmos uma moeda de 1 real, encontraremos, aproximadamente, 84,9 mm de comprimento da circunferência e 27 mm de diâmetro. comprimento da circunferência 84,9 mm = ! 3,1444 medida do diâmetro 27 mm

comprimento da circunferência 220 mm = ! 3,1428 medida do diâmetro 70 mm

70 mm INFINI/SHUTTERSTOCK.COM

• Se medirmos uma lata de alumínio, encontraremos, aproximadamente, 220 mm de comprimento da circunferência e 70 mm de diâmetro.

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Atividades As atividades propostas nessa seção exploram situações que envolvem a aplicação do número p e do cálculo de medidas da circunferência (comprimento, diâmetro ou raio). Mostrar como é importante o conhecimento acerca do número p, ao fazê-los notar como esse conhecimento é aplicado nas atividades de 3 a 6. As atividades em que os alunos tiverem mais dificuldades podem ser resolvidas na lousa.

Nos dois exemplos, ao dividir o comprimento da circunferência pela medida do diâmetro (na mesma unidade), encontramos sempre um número maior que 3 (aproximadamente 3,14). Pode-se verificar que esse fato se repete para qualquer circunferência, ou seja, dividindo-se a medida do comprimento de uma circunferência pela medida de seu diâmetro, obtém-se sempre o mesmo valor. Esse valor constante representa um número muito importante em Matemática: o número pi, representado pela letra grega p. comprimento da circunferência = π medida do diâmetro π = 3,14159265... Por ser um número irracional, utilizamos nas aplicações uma aproximação do valor de p, em geral 3,14.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Usando o valor 3,14 para p, calcule o comprimento de uma circunferência cujo raio mede: a) 8 cm 50,24 cm

c) 2,5 cm 15,7 cm

b) 0,45 cm 2,826 cm

d) 7 cm 43,96 cm

2. Sabendo que o comprimento de uma circunferência é 56,52 cm, determine o diâmetro dessa circunferência. Considere p = 3,14. 18 cm

0,60 m

PHOTODISC/GETTY IMAGES

3. Veja a medida do diâmetro de um pneu de automóvel:

Considerando p = 3,14, responda às questões. a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência desse pneu? 1,884 m

b) Se esse pneu der 5 000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel? 9 420 m 4. Um abajur tem base circular com 22 cm de diâmetro. Necessita-se de uma fita que envolva to d o o co n to r n o dessa base. Qual é o comprimento de fita necessário para envolver a base desse objeto, aproximadamente? Aproximadamente 69,08 cm. 5. Uma pista circular tem 200 m de diâmetro. Em uma competição, os corredores percorreram 15,7 km. Quantas voltas foram dadas nessa pista por esses corredores? (Considere p = 3,14.) 25 voltas. EVERYTHING/ SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

6. Ao redor de um jardim circular vão ser plantadas mudas de flores com espaçamento de 50 cm entre cada uma. Considerando que o jardim tem 50 m de diâmetro, quantas mudas serão plantadas? (Considere p = 3,14.) 314 mudas.

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Os números reais Desenhar, na lousa, o diagrama que representa a relação de inclusão dos conjuntos numéricos já estudados e oriente os alunos a reproduzi-lo no caderno. Explorar com eles o significado desse diagrama e pedir que relatem o que interpretam nessa apresentação dos conjuntos numéricos. Eles podem verificar a relação de inclusão entre esses conjuntos e perceber que não há um número irracional que também seja racional, simultaneamente. Além disso, eles também podem observar que, reunindo-se todos os números racionais aos números irracionais, formamos o conjunto dos números reais. Enfatizar a relação entre os conjuntos e a necessidade do surgimento dos diferentes tipos de números ao longo da história da Matemática.

OS NÚMEROS REAIS

Reunindo-se, em um mesmo conjunto, todos os números racionais e todos os números irracionais, formamos o conjunto dos números reais, representado por R. 2∈R

_

1 ∈R 6

_0,48 ∈ R

_5 ∈ R

π∈R

10 ∈ R

3 ∈R 4

1,25 ∈ R

1,666... ∈ R

2,030030003... ∈ R

_ 3 ∈R

_2,1333... ∈ R

Os conjuntos numéricos N, Z e Q são subconjuntos de R, pois todos os elementos de cada um deles pertencem também a R. Além desses, outros subconjuntos de R são muito utilizados: R*

conjunto dos números reais não nulos (números reais diferentes de 0)

R+

conjunto dos números reais não negativos (números reais maiores ou iguais a 0).

R_

conjunto dos números reais não positivos (números reais menores ou iguais a 0).

R*+

conjunto dos números reais positivos (números reais maiores que 0).

R*_

conjunto dos números reais negativos (números reais menores que 0).

Em uma reta numérica, podem ser representados todos os números racionais e todos os números irracionais, ou seja, podem ser representados todos os números reais; e cada ponto dessa reta pode ser associado a um número racional ou a um número irracional.

_3

_2 _

8 3

0

_1 _ 2

_

1 4

1 1 4

2 2

3

EDITORIA DE ARTE

Essa reta é denominada reta real. Observe a representação de alguns números na reta: 4

8 3

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS As operações com números reais Explorar com os alunos exemplos de diferentes operações com números reais. Aproveitar para revisar operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, enfatizando as limitações operacionais de cada conjunto numérico. Avaliar também o resultado de raízes com índice ímpar de números negativos, tal como 3 _8 = _2, cujo resultado é um número real, uma vez que existe um número (_2) que, elevado ao cubo resulta em _8. Atividades As questões apresentadas nessa seção têm como principal objetivo levar os alunos a aplicar os conhecimentos adquiridos a respeito do conjunto dos números reais. Ampliar a atividade 1 com questionamentos do tipo: • Que números pertencem ao conjunto dos números reais, mas não pertencem ao conjunto dos números racionais? Resposta: Os números irracionais. • Que números pertencem ao conjunto dos números inteiros não negativos, mas não pertencem ao conjunto dos números inteiros positivos? Resposta: Apenas o zero.

As operações com números reais Já vimos que há certas limitações em relação às operações nos conjuntos numéricos N, Z e Q. Assim: • no conjunto N, nem sempre é possível subtrair, obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número natural; • no conjunto Z, nem sempre é possível obter divisões exatas ou extrair a raiz quadrada e encontrar um número inteiro; • no conjunto Q, nem sempre é possível extrair a raiz quadrada exata e encontrar um número racional. Porém, no conjunto dos números reais, efetuamos qualquer adição, subtração, multiplicação e divisão com números reais (exceto a divisão por zero), bem como extraímos a raiz quadrada de qualquer número positivo e encontramos número reais. Vale lembrar que há restrições: a raiz quadrada de um números negativo, por exemplo, não representa um número real, pois não existe número real que elevado ao quadrado tenha como resultado um número real negativo. Então, por exemplo, − 4 { R. Vejamos algumas situações que envolvem operações com números reais. 1 Calcular, com aproximação até a segunda casa decimal, o produto 5 ? 3 . 3 1 1,73 então 5 ? 3 1 5 ? 1,73 ⇒ 5 ? 3 1 8,65 O valor procurado é 8,65.

2 Calcular

54

54 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 625 = 25 Logo, o valor procurado é 25.

3 Com valores aproximados até a segunda casa decimal, determinar 14 + 2 . 14 1 3,74 e 2 1 1,41 14 + 2 1 3,74 + 1,41; então, 14 + 2 1 5,15 Então, o valor procurado é 5,15.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Observe os números a seguir. 3 _3; − ; _1,4; 0,3333...., 7, 51 2 Quais deles pertencem ao conjunto:

2. Qual destes números reais é o maior: 27 27 . 7 ou 10 10 3. Analise cada uma das sentenças a seguir e diga se são verdadeiras ou falsas:

a) N? 7

a) 100 ∈ R+ V

b) Z? _3 e 7

b) 100

c) Z, mas não pertencem a N? _3 d) Q, mas não pertencem a Z? _ 3 ; _1,4; 2 0,3333....

c)

R_ V

−16 ∈ R F

d) _π

R_ F

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3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Potências O objetivo aqui é retomar o conceito de potência. Para isso, solicitar aos alunos que façam a leitura individual da tirinha e do texto a respeito de bactérias dados no livro do aluno. Perguntar quais informações a respeito das bactérias eles podem extrair dos textos lidos. Se possível, anotar na lousa as respostas mais relevantes dadas por eles.

POTÊNCIAS

FERNANDO GONSALES

Leia a tirinha e depois observe as informações sobre bactérias.

O mundo das bactérias. Fernando Gonsales.

As bactérias possuem dois tipos principais de reprodução: assexuada e sexuada. A reprodução assexuada acontece com uma única bactéria e sem a troca de pedaços de DNA. É a forma mais rápida de as bactérias se reproduzirem. Na reprodução assexuada, a célula bacteriana divide-se em duas partes; cada uma dessas partes será uma nova bactéria igual à primeira. A cada intervalo de tempo, o número de bactérias dobra; com isso, em questão de horas, uma única bactéria dá origem a diversas outras. Como todos os descendentes são iguais, se por acaso o ambiente mudar e tornar-se mortal para a primeira bactéria, todas as outras também morrerão, o que é uma desvantagem nesse tipo de reprodução.

SCIMAT/SCIENCE SOURCE/GETTY IMAGES

SELMA CAPARROZ

AS CORES NÃO SÃO REAIS. IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

Ilustração elaborada com base em: RAVEN, P. H. et al. Biologia vegetal. 5. ed. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2001. p. 176.

Bactéria Lactobacillus acidophillus (aumento aproximado de 5 461 vezes e colorido artificial).

Nem todas as bactérias são causadoras de doenças; muitas delas são encontradas em queijos, leites, iogurtes e outros alimentos fermentados. Quando administradas em quantidades adequadas, essas bactérias são benéficas à saúde. A esses organismos dá-se o nome de probióticos, termo derivado do grego, que significa “pró-vida”. 23

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

p e n s e e r e s p o nd a

Pense e responda Essa atividade tem como objetivo levar os alunos a associar o crescimento do número de bactérias em uma reprodução assexuada a uma sequência de potências de base 2, ou seja, 2, 4, 8, 16... É interessante que eles resolvam as atividades dessa seção em duplas, facilitando, assim, a troca de conhecimentos e de ideias.

1. Com base nas informações apresentadas anteriormente, construa no caderno um quadro como este para os seis primeiros intervalos de tempo. Depois, complete-o relacionando a quantidade de intervalos de tempo transcorrido e a quantidade de bactérias existentes após cada um desses intervalos. Quantidade de intervalos de tempo transcorrido 0 1 2 3

Quantidade de bactérias existentes 1 2 4 8

2. Com base no quadro, responda no caderno: a) Qual será a quantidade de bactérias existentes após os seis primeiros intervalos de tempo transcorrido? 64 b) E depois de 10 intervalos de tempo, qual será a quantidade de bactérias existentes? 1 024 c) Que expressão se pode usar para representar a quantidade de bactérias existentes após n intervalos de tempo transcorrido? 2n

A expressão encontrada na seção Pense e responda é chamada potência e podemos defini-la do seguinte modo: Dado um número real a e um número natural n, n 5 0, a expressão an, denominada potência, representa um produto de n fatores iguais ao número real a. an ! a " a " a " a " ... " a n fatores Assim: • 34 ! 3 " 3 " 3 " 3 ! 81

• (#1,4)2 ! (!1,4) " (!1,4) ! $1,96

4 vezes

2 vezes

• (#2) ! (!2) " (!2) " (!2) " (!2) " (!2) ! #32 5

uma vez

5 vezes 3

1

1

1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ • ⎜⎝_ ⎟⎠ = ⎜⎝_ ⎟⎠ ? ⎜⎝_ ⎟⎠ ? ⎜⎝_ ⎟⎠ =_ 6 6 6 6 216 1

1

3 vezes

Na potência an:

• 101 ! 10 1

• ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 3 ⎝ 5⎠ 5 uma vez

o número real a chama-se base;

o número natural n chama-se expoente. Observação: Vamos considerar as potências !22 e (!2)2. Pela definição, temos: #22 ! #(2 " 2) ! #4 e (#2)2 ! (#2) " (#2) ! $4 Logo, !22 % (!2)2. 24

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades das potências com expoentes naturais

PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS COM EXPOENTES NATURAIS Incentive os alunos a fazerem o fichamento das propriedades das potências com expoentes naturais. O processo de fichamento dessas informações ajuda na fixação das propriedades, além de ser uma ferramenta rápida de consulta, ajudarão os alunos no estudo das potências com expoentes inteiros e nos cálculos com radicais.

Existem propriedades das potências que nos auxiliarão, e muito, nos cálculos. Para estudá-las, vamos usar dois números reais a e b, não nulos, e dois números naturais m e n. 1a propriedade: Observe a multiplicação com potências de mesma base: 72 ! 73 " (7 ! 7) ! (7 ! 7 ! 7) " 7 ! 7 ! 7 ! 7 ! 7 " 75

Então, 72 73 = 75. Como 5 = 2 + 3, temos 72 73 = 72 + 3 = 75. Como esse fato sempre ocorre quando temos uma multiplicação com potências de mesma base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade: am an = am + n

Assim: • (0,6)4 (0,6)7 = (0,6)4 + 7 = (0,6)11 5

9

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ • ⎜⎝ ⎟⎠ ? ⎜⎝ ⎟⎠ ? ⎜⎝ ⎟⎠ = ⎜⎝ ⎟⎠ 2 2 2 2

5+1+9

⎛ 1⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

15

2a propriedade: Observe a divisão com potências de mesma base:

75 ! 73 "

75 7!7!7!7!7 " " 7 ! 7 " 72 73 7!7!7

Então, 75 73 = 72. Como 2 = 5 _ 3, temos 75 73 = 75 _ 3 = 72. Como esse fato sempre ocorre quando temos uma divisão com potências de mesma base, isso nos permite escrever a seguinte propriedade: am : an = am _ n (a 5 0)

Assim: • (1,5)10 : (1,5)4 = (1,5)10_4 = (1,5)6

⎛ 2⎞

9

⎛ 2⎞

⎛ 2⎞

• ⎝⎜ 3 ⎠⎟ : ⎝⎜ 3 ⎠⎟ = ⎝⎜ 3 ⎠⎟

9 _1

⎛ 2⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O trabalho relacionado com as propriedades das potências requer uma atenção especial, pois é um tema de grande importância por relacionar outros assuntos matemáticos e ter ampla aplicação em outras áreas do conhecimento (por exemplo, em cálculos de Física). Além disso, a apresentação cuidadosa das propriedades da potenciação visa minimizar erros, e não prejudicar as próximas etapas do processo de aprendizagem dos alunos. Por esse motivo, cada propriedade deve receber atenção especial, destacando-se características, origens, exemplos e contraexemplos quando necessário. Verificar dúvidas em cada propriedade, respeitando o tempo de aprendizagem de cada aluno.

3a propriedade: Observe a potenciação cuja base é uma potência: 2

(75) ! 75 " 75 ! 75 # 5 ! 710 2

2

Então, (75) ! 710. Como 10 = 5 2, temos (75) ! 75 " 2 ! 710 Como esse fato sempre ocorre quando temos uma potência de outra potência, isso nos permite escrever a seguinte propriedade: n

(am ) = a m ? n Assim: 3

• (72) ! 72 " 3 ! 76 4 3

• [(0,5) ] ! (0,5)

2

4"3

2"5" 2 20 ⎧⎪ ⎡ 1 2⎤ 5 ⎫⎪ 1 1 • ⎨ ⎢⎛ ⎞ ⎥ ⎬ ! ⎛ ⎞ !⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎪⎩ ⎣ 4 ⎦ ⎪⎭

! (0,5)

12

4a propriedade: Observe as potenciações cuja base é um produto ou um quociente: • (3 " 5)2 ! (3 " 5) " (3 " 5) ! 3 " 5 " 3 " 5 ! 3 " 3 " 5 " 5 ! 32 " 52 2 ⎛2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ 2" 2 22 ! 2 ! 22 ! 72 • (2 ! 7)2 ! ⎜ ⎟ ! ⎜ ⎟ " ⎜ ⎟ ! ⎝7⎠ ⎝7⎠ ⎝7⎠ 7"7 7

Como esses fatos sempre ocorrem quando temos a potência de uma multiplicação ou de uma divisão, podemos escrever a seguinte propriedade: (a " b)n ! an " bn e (a ! b)n ! an ! bn (b 5 0)

Assim: 3 2

2 2

3 2

• (2 " 3 " 5 ) ! (2 ) " 3 " (5 ) ou 2 " 3 " 5 2

2

4

• (5 ! 11)4 ! 54 ! 114

2

6

SAIBA QUE

Essa 4a propriedade não é válida para a adição ou subtração, pois (a + b)2 5 a2 + b2

Expoente zero Vamos calcular o quociente de 25 25. • Aplicando a definição de potência, temos 25 ! 25 ! 32 ! 32 ! 1. • Aplicando a propriedade da divisão de potências de mesma base, temos 25 ! 25 ! 25 $ 5 ! 20. Comparando os dois resultados, podemos escrever que 20 = 1, o que ocorre com qualquer número real não nulo. De modo geral: Para todo número real a, com a 5 0, temos a0 = 1.

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Aplicando a definição de potência, calcule o valor de: a) 82 64

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Atividades Essas atividades levam os alunos a rever conceitos da potenciação com expoente natural diferente de zero e base real não nula, e aplicá-los para realizar cálculos, determinar valores de expressões numéricas e resolver problemas que envolvem potências. As quatro últimas atividades propostas têm como objetivo levar os alunos a rever e aplicar as propriedades da potenciação com expoente natural diferente de zero e base real não nula, e rever e aplicar a particularidade do expoente zero. Na atividade 6, explorar a ideia de raiz de uma equação, pois ela será retomada na Unidade 3, no estudo das equações do 2o grau.

expressão algébrica x2 _ x, em que x representa o número de duplas. Quantos jogos tem esse campeonato? 380

b) (_13) +169

g) _152 _225

c) (_7)3 _343 d) (_0,9)1 _0,9

5 32 ⎛ 2⎞ h) ⎜ − ⎟ − ⎝ 3 ⎠ 243

e) 53 125

i) (_3)4 +81

2. Considere o número N = (65 + 1) e responda às questões: 4 algarismos a) Qual é o valor de N? 7 777 iguais. b) Quantos algarismos formam o número N? c) Qual é a soma dos valores absolutos dos algarismos que formam o número N? 28

3. Dada a expressão:

(_2)3 + (_3)2 _ (_1)2 _ (_2)5 +32

Calcule o valor numérico dessa expressão. 4. Determine o número real que representa o valor da seguinte expressão: (_2)4 _ (0,5)2 (+0,1)3 _ (_5)3 _109 5. Sabendo que x = (_2)4 : 42 _ 42 : (_2)3 e y = [(_1)3 _ (_1)5 ? (_1)4] + (_1)7, qual é o valor da expressão x ? y? _3 6. Verifique se o número real (_1,5) é raiz da equação 2x2 _ 5,5x + 3 = 0. Não é raiz 7. Usando o sinal = ou 5, você deve comparar as potências: a) (_10)2 e _102 5 b) (_3)3 e _33 = c) (_2)6 e _(+2)6 5 d) _(_7)3 e 73 = 8. Um campeonato de tênis de mesa é disputado por 20 duplas, que jogam entre si em turno (jogo de ida) e returno (jogo de volta). O número total de jogos nesse tipo de campeonato é dado pela

ILUSTRA CARTOON

f) (_3,2)2 +10,24 2

9. Sabendo que x ! (5 2 ) " (5 3 ! 5 2 ) e 2 2 y ! (59) ! (54 " 52) , qual é a potência de 5 que representa o valor de x ! y? 54 3

4

10. (Enem/MEC) Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável. Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consumam 1 000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? Alternativa e. a) 10_2

d) 106

b) 103

e) 109

c) 10

4

11. Calcule o valor de: a) 100 +1

c) (_10)0 +1

b) _100 +1

d) _(_10)0 –1 27

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Potência de um número real com expoente inteiro O objetivo aqui é levar os alunos a retomar o conceito e as propriedades da potenciação com expoente inteiro e base real diferente de zero. Sugerir aos alunos que façam uma leitura individual dessas páginas para compreender os conceitos e estimular a sua autonomia. Incentivar a expressão oral e a troca de ideias e conhecimento entre eles. Depois, escrever na lousa algumas expressões para os alunos aplicarem esses conhecimentos.

Potência de um número real com expoente inteiro Vamos calcular o quociente de 23 : 24 . • Considerando o quociente na forma de uma fração: 23 : 24 =

23 2?2?2 1 = = 24 2?2?2?2 2

• Aplicando a propriedade do quociente de potências que têm a mesma base: 23 : 24 = 23− 4 = 2_1 Comparando os dois resultados, podemos dizer que: 1 2 Procedendo da mesma forma, podemos mostrar que: 2_1 =

1 • 3 = 3 _1

⎛ 1⎞ • ⎜⎝ ⎟⎠ 7

1 • 5 = 5

1 • 4 = 4

_1

_1

_1

=7

De modo geral:

Para todo número real a, com a 5 0, temos a_1 =

1 . a

Logo: _1 • 10 =

⎛ 3⎞ • ⎜⎝ ⎟⎠ 5

1 10

_1

=

5

1 5 = 3 3 5

• (_3) = _1

1 1 =_ _3 3

8

Vamos agora calcular o quociente de 2 : 2 . • Considerando o quociente na forma de uma fração: 25 : 28 =

25 2⋅2⋅2⋅2⋅2 1 ⎛ 1⎞ = = 3 =⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ 28 2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2 2

3

• Aplicando a propriedade do quociente de potências de mesma base: 25 : 28 = 25_8 = 2_3 Comparando os dois resultados, podemos dizer que: ⎛ 1⎞ 2_3 = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

3

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Se considerarmos o expoente zero e alguns números inteiros negativos como expoentes, podemos montar este quadro: Base

Expoente

Potência

2

4

24 = 16

1

1 de 16 2 1 4 é igual a de 8 2 1 2 é igual a de 4 2 1 1é igual a de 2 2 1 1 é igual a de 1 2 2

2

1 1 1 é igual a de 4 2 2

3

1 1 1 é igual a de 8 2 4

8 é igual a

2

3

23 = 8

2

2

22 = 4

2

1

21 = 2

2

0

20 = 1

2

_1

1 1 ⎛ 1⎞ 2_1= ⎜ ⎟ = 1 = ⎝ 2⎠ 2 2 1 1 ⎛ 1⎞ 2_2 = ⎜ ⎟ = 2 = ⎝ 2⎠ 2 4

_2

2

1 1 ⎛ 1⎞ 2_3 = ⎜ ⎟ = 3 = ⎝ 2⎠ 2 8

_3

2

De modo geral: ⎛ 1⎞

n

1

Para todo número real a, com a 5 0, temos a_n = ⎜⎝ ⎟⎠ = n , a a sendo n um número natural. Assim: 2

1 1 • 5_2 = ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎝ 5⎠ 25

• (_2)

_4

4

⎛ 4⎞ • ⎜_ ⎟ ⎝ 7⎠

1 ⎛ 1⎞ = ⎜_ ⎟ = ⎝ 2⎠ 16

_3

3

343 ⎛ 7⎞ = ⎜_ ⎟ = _ ⎝ 4⎠ 64

Veja a seguir algumas situações em que esses conhecimentos são aplicados.

1 Determinar o valor da expressão 3_1 + 2_2 _ (_4)_1. 3_1 + 2_2 _ (_4)_1 = 2

1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ + ⎜ ⎟ _ ⎜_ ⎟ = ⎝ 4⎠ 3 ⎝ 2⎠ 1 1 1 10 5 = + + = = 3 4 4 12 6 =

3 _1 _1 2 Para a 5 0 e x 5 0, escrever a expressão (2a x ) com expoentes positivos.

(2a x )

3 _1 _1

1⎞ ⎛ = ⎜ 2a3 ⋅ ⎟ ⎝ x⎠

_1

⎛ 2a3 ⎞ =⎜ ⎝ x ⎟⎠

_1

=

x 2a3

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Propriedades das potências com expoentes inteiros Muitas vezes, escrever um número em forma de potência facilita os cálculos. Apresentar aos alunos os dois exemplos a seguir e discutir como simplificar as expressões. 1. Escrever a expressão 256 ? 49 na forma de uma 87 única potência de base 2 e calcular o seu valor. Decompondo 256, 4 e 8, temos: 256 = 28, 4 = 22, 8 = 23. Daí, teremos a seguinte expressão: 9 28 (22) 256 ? 49 = = 7 87 (23) 28 ? 218 226 = 21 = = 221 2 = 25 = 32 2. Simplificar a fração algé4 6 brica (a5 b2) : (a2 b4) . 5 2 4

5 4

Propriedades das potências com expoentes inteiros Vamos considerar as propriedades a seguir. 1a propriedade: Para multiplicação de potências de mesma base podemos escrever a seguinte propriedade: am ? an = am + n Então: • 52 ⋅ 5_6 = 52 +(_6) = 52 _ 6 = 5_4 • 10_3 ⋅ 10_2 = 10_3 +(_2) = 10_3_2 = 10_5 • 2n ⋅ 23 = 2n + 3 sendo n um número inteiro. 2a propriedade: Para divisão de potências de mesma base, podemos escrever a seguinte propriedade: am am : an = am _ n ou n = am _ n a Então: • 64 : 67 = 64 _ 7 = 6_3 • 103 : 10_2 = 103_(_2) = 103 + 2 = 105 2_5 _5_(_7) = 2_5 + 7 = 22 • 2_7 = 2 •

3a propriedade: Para potência de uma potência, podemos escrever a seguinte propriedade:

2 4

(a b ) (a ) ? (b ) 6 = 6 6 = (a2b4) (a2) ? (b4) a20 ? b8 a20 b8 = 12 ? 24 = 12 24 a ?b a b 1 a8 = a8 ? b_16 = a8 ? 16 = 16 b b

=

3n _ 2 = 3n _ 2 _(n +1) = 3n _ 2 _ n _1 = 3−3 , sendo n um número inteiro. 3n + 1

n

(am) = am ? n Então: _2

• (103)

_1 _3

• (5 )

= 103 ? (_2) = 10_6 = 5(_1) ? (_3) = 53

5

• (10x) = 10x ? 5 = 105x , sendo x um número inteiro 4a propriedade: Para transformar potência de um produto em um produto de potências, e potência de um quociente em um quociente de potências, podemos escrever a seguinte propriedade: (a ⋅ b)n = an ⋅ bn ou (a : b)n = an : bn Então: _4 −4 _4 • (2 ⋅ 5) = 2 ⋅ 5 _3

• (7 : 2)

= 7_3 : 2_3

• (10 ⋅ x)_2 = 10_2 ⋅ x_2 , com x 5 0 • (x : 5)_1 = x_1 : 5_1 , com x 5 0.

SAIBA QUE

As mesmas propriedades estudadas para as potências com expoentes naturais valem para as potências com expoentes inteiros e base real não nula.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Observe a seguinte sequência: 34 = 81, 33 = 27, 32 = 9

7. Um número real R é tal que R=

Agora, calcule o valor de: 1 1 a) 31 3 e) 3_3 27 c) 3_1 3 b) 30 1 d) 3_2 1 f) 3_4 1 9 81 2. Dê o valor, na forma decimal, de: e) _(_4)_3 0,015625 a) 2_1 0,5

⎛ 1⎞ _22 + ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ 2

8. Qual é o número real expresso por _1 ⎛ 1⎞ 20 + (_2)6 ⋅ 4_3 _ (_2)3 _ ⎜ ⎟ ? 6 ⎝ 4⎠

9. Escreva cada uma das seguintes expressões na forma de uma só potência:

c) (_2)_2 0,25

g) 10_3 0,001

a) 711 ⋅ 7_8 73

d) _2 _0,0625

h) 5

b) 24 : 25 2−1

0,04

_n 3. Você sabe que a =

1 1 e que n = a_n , an a pela propriedade simétrica da igualdade. Nessas condições, escreva na forma de potência com expoente inteiro negativo cada uma das seguintes expressões: 1 _6 1 c) 6 5 a) 5 7_5 5 7

b)

1 10_9 109

d)

1 2_10 210

4. Um número real x é tal que: x = (20 + 2_1) : (20 _ 2_1) .

25

⎛ 1⎞ d) ⎜_ ⎟ ⎝ 8⎠

e) 83 ⋅ 8_7 ⋅ 85 8 f) ( 2 )

_1 _3

23

g) 2 : 2 2−3 d) 59 : 5_3 512 h) 3_1 ⋅ 36 ⋅ 34 ⋅ 3_10 3−1 10. Nas expressões seguintes, a base de cada potência é um número real não nulo. Transforme cada expressão em uma só potência: a) x3 ⋅ x_7 ⋅ x6 x2 _4

−5

_1

b) x_1 : x_3 x2 c) ( x6)

_2

x−12

d) a ⋅ a ⋅ a7 ⋅ a_15 a−3 _4

11. Escreva cada fração na forma de uma só potência:

5. Calcule o valor de cada uma das seguintes potências: _1 _3 8 ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ c) ⎜_ ⎟ _ a) ⎜⎝ ⎟⎠ 2 125 ⎝ 2⎠ 2 _2

c) (8 ) 8 −1 5

9

Qual é o valor do número x? 3

1 b) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 5⎠

.

5 Qual é o valor de R? _ 6

f) _(_10)_1 0,1 _2

_2

_24 + (_3) + 40

b) 2_5 0,03125 _4

Atividades É importante ressaltar que não é raro alguns alunos registrarem erroneamente (x + y)2 = = x2 + y2, pois fazem analogia com (x ? y)2 = x2 ? y2, que é uma das propriedades das potências. Deixar claro para os alunos essa diferença. Para resolver as atividades finais desse bloco os alunos precisam aplicar, para os expoentes negativos, as propriedades das potências com expoentes inteiros.

_2

64

6. Determine o valor numérico de cada uma das seguintes expressões: 2 a) (_1)_3 _ (_3)_1 _ 3 _1 b) (2_4 + 4_2) 8 8 c) 3_4 _ 3_2 _ 81 _ 1 d) (8_2 ⋅ 43) 1

a)

10_2 102 10_4

b)

56 7 5 5_1

2_3 −5 2 22 7 3 d) 10 3−3 3 c)

12. Transforme cada expressão em um produto (ou em um quociente) de potências: _2 a) (7 ⋅ 13) 7−2 ? 13−2 b) (9 : 5)_3 9−3 : 5−3

c) (2_1 ⋅ 5_2) 2−2 : 5−4 2

d) (34 : 10_1) 3−4 : 10 5 −2 _1 _2 e) (2 ⋅ 3 ⋅ 11 ) 2−10 ? 34 ? 112 _1

f) (7_1:102) 7 −2 : 10 4 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Nós Uma sugestão para trabalhar essa seção é organizar a classe em dois grupos. Um grupo pesquisa os argumentos a favor dos financiamentos das missões espaciais pelos governos; o outro grupo, os argumentos contra. Depois, preparar um debate com os representantes de cada grupo para exercitar a argumentação com os dois pontos de vista, contra e a favor dos investimentos públicos para as missões espaciais. É interessante observar que a opinião a respeito desse assunto pode ser influenciada pelas experiências, vivências e visão pessoal. Alguns alunos talvez tenham uma preocupação com as necessidades imediatas da população; nesse caso, quando se compara uma missão espacial com investimento na educação ou saúde, a missão espacial pode perder relevância. No entanto, quando se avaliam as necessidades da humanidade em médio e longo prazos, as missões espaciais ganham relevância e se tornam importantes para a manutenção da vida do ser humano na Terra ou mesmo fora dela, além das contribuições dos avanços tecnológicos que as viagens espaciais ajudam a acelerar.

A notação científica Muitas vezes é conveniente escrever um número em forma de potência. Por exemplo, o número 140 000 000, que representa a medida aproximada, em metros, do diâmetro do planeta Júpiter, é um número muito grande, enquanto o número 0,0000000106, que representa, em centímetros, a medida aproximada do diâmetro de um átomo de hidrogênio, é um número muito pequeno. Para escrever esses e outros números, podemos usar potências de 10, conforme veremos a seguir: 1 Escrever o número: 0,0000001 na forma de potência de 10. 1 1 0,0000001= = 7 = 10_7 10000000 10 7 zeros 7 casas decimais

2 Vamos escrever o número 5 000 000 000 na forma de potência de 10. 5 000 000 000 = 5 ? 1 000 000 000 = 5 ? 109 9 zeros NÓS

Exploração espacial Além de motivada pelo interesse que o ser humano sempre teve pelo espaço, a exploração espacial é impulsionada pelo desenvolvimento científico que gera. Não só novas tecnologias são criadas, como o próprio espaço fornece um ambiente único, com características físicas impossíveis de serem simuladas na Terra, tornando-o um laboratório sem igual para estudos científicos. • As missões espaciais, apesar de importantes, são caras e não trazem retorno financeiro para os governos que as financiam. Você acredita que esse grande investimento financeiro justifica o conhecimento científico adquirido com as missões espaciais? Debata com seus colegas de sala.

Escrevendo na notação científica A distância média aproximada da Terra ao Sol é 150 000 000 km. Por ser um número muito grande, podemos escrever o número 150 000 000 usando a notação científica. Na notação científica, um dos fatores deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, enquanto o outro fator deve ser uma potência de 10. Voltando ao número 150 000 000, temos: 150 000 000 = 15 ? 107 Para a notação científica, vamos dividir o fator 15 por 10 e, para não alterar o número, vamos multiplicar o fator 107 por 10: 15 ? 107 = [15 : (10)] ? [107 ? (10)] = 1,5 ? 108 Então, a distância média aproximada da Terra ao Sol é 1,5 ? 108 km, na notação científica. 32

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. A expressão um décimo de milésimo do metro pode ser escrita usando potências de 10 da seguinte forma: 1 1 1 1 x = = 4 ou 10_4 10 1000 10 000 10 Em texto publicado no jornal Folha de S.Paulo, em 16/9/2007, o físico brasileiro Marcelo Gleiser escreveu que “átomos têm diâmetros de aproximadamente um décimo de bilionésimo de metro”. Como você pode escrever esse número usando potência de 10? 1 ou 10_10. 1010 2. Em março de 2011, a frota de veículos da cidade de São Paulo ultrapassou a marca de 7 000 000 de veículos. Escreva esse número usando um produto de dois fatores em que um deles é um número inteiro maior que 1 e menor que 10, e o outro é uma potência de 10. 7 ? 106 3. Em 2008, o Brasil foi um dos três maiores produtores de frutas do mundo, ficando somente atrás da China e da Índia, representando cerca de 5% da produção mundial. Sua produção superou 40 milhões de toneladas. Escreva o número que representa a produção do Brasil, em toneladas, na forma de potência de 10. 4 ? 107 t 4. Escreva, em notação científica, os números destacados em cada uma das afirmações: a) Em um grama de água há 23 000 000 000 000 000 000 000 de moléculas. 2,3 ? 1022 b) O diâmetro do planeta Marte mede cerca de 6 800 km, e a distância mínima de Marte ao Sol é 205 000 000 km. 6,8 ? 103 e 2,05 ? 108 c) O diâmetro de um átomo de hidrogênio mede 0,0000000106 cm. 1,06 ? 10_8

Atividades As atividades desta página trabalham o uso da notação científica para representar números muito grandes e muito pequenos. Comentar com os alunos a importância da aprendizagem da notação científica, pois ela é amplamente utilizada em meios de comunicação como jornais, revistas e portais da internet. Também é bastante utilizada na comunidade acadêmica, na escrita de trabalhos científicos. Verificar se os alunos percebem que a representação de números muito grandes ou muito pequenos utilizando a notação científica facilita o entendimento e a compreensão da noção de grandeza do número em questão.

5. Algumas potências de 10, pela sua grande utilização, estão associadas a prefixos originados do latim e do grego. Prefixo

Significado

Potência de 10

giga

gigante 9 (em grego) 10 (1 000 000 000)

mega

grande 6 (em grego) 10 (1 000 000)

quilo

mil 3 (em grego) 10 (1 000)

hecto

cem 2 (em grego) 10 (100)

deca

dez 1 (em grego) 10 (10)

deci

décimo _1 (em latim) 10 (0,1)

centi

centésimo 10_2 (0,01) (em latim)

mili

mil _3 (em latim) 10 (0,001)

micro

pequeno _6 (em grego) 10 (0,000001)

nano

anão _9 (em grego) 10 (0,000000001)

Assim, o prefixo quilo, usado em expressões como quilômetro, equivale a 1 000 metros, e quilowatt, equivale a 1 000 watts. Escreva, usando a notação científica, os valores destacados em cada uma das afirmações: a) O prefixo centi é usado em expressões como centímetro, que equivale a um centésimo do metro. 1 ? 10_2 m b) O prefixo mega, usado em expressões como megalitro (unidade usada para medir a capacidade de lagos e represas), equivale a um milhão de litros. 1 ? 106 L c) O prefixo micro é usado em expressões como micrograma, que equivale à milionésima parte do grama. 1 ? 10_6 g 33

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Por toda parte Explorando a densidade demográfica de estados (ou municípios) brasileiros, os alunos aplicam seus conhecimentos de notação científica e potenciação, realizando mais aproximações. No caso, é possível estimar o erro cometido com as aproximações. Após a pesquisa a respeito da população e da área do estado e do município onde vivem, incentivar os alunos a estabelecerem diferentes aproximações para os dados obtidos, calculando em seguida a densidade demográfica em cada caso. Explorar a estimativa do erro cometido (em taxa percentual) oralmente, discutindo a relação erro cometido/melhor aproximação. Espera-se que os alunos concluam que quanto maior a aproximação dos valores do cálculo, o resultado aproximado será mais distante do valor exato.

P O R T O D A P A RT E

Dados demográficos do Estado do Amazonas

O Amazonas é o maior estado brasileiro em área e detém uma imensa biodiversidade. De acordo com dados do IBGE (Censo 2010), o Amazonas ocupa uma área de aproximadamente 1 559 162 km2, com uma população de 3 483 985 habitantes. Informações obtidas em: GOVERNO DO ESTADO DO AMAZONAS. Dados. Disponível em: <www.amazonas.am.gov.br/o-amazonas/dados/>. Acesso em: 13 fev. 2015. JOSE ROBERTO COUTO/TYBA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vista da cidade de Parintins, com o Rio Amazonas ao fundo, AM. Junho de 2014.

Usando uma calculadora, vamos determinar a densidade demográfica do Amazonas em 2010: densidade demográfica =

número de habitantes área ocupada em km2

3 483 985 hab. = 2,23 hab./km2 1 559 162 km2 Fazendo aproximações e usando a notação científica e as propriedades das potências de mesma base, vamos agora calcular a densidade demográfica aproximada do estado do Amazonas em 2010:

densidade demográfica =

• População = 3 483 985 ou, aproximadamente, 3 500 000 habitantes Na notação científica: 3 500 000 = 3,5 ? 106; • Superfície = 1 559 162 km2 ou, aproximadamente, 1 600 000 km2 Na notação científica: 1 600 000 = 1,6 ? 106. 3,5 ? 106 3,5 106 densidade demográfica = = ? 1 2,20 ? 100 = 2,20 ? 1= 2,20 6 1,6 ? 10 1,6 106 Note que, utilizando aproximações, obtivemos um resultado (2,20) bem próximo do resultado real (2,23).

1. Agora, faça uma pesquisa sobre a população e a área do seu estado e do seu município. Usando os dois processos aqui apresentados, calcule, com uma calculadora, e registre no caderno a densidade demográfica do estado e do município onde você mora. Compare os resultados e avalie a diferença entre os valores.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

Educação financeira O texto permite a discussão a respeito do perigo da falta de planejamento e das altas taxas de juros do crédito rotativo. É importante que os alunos percebam que, apesar de alguns considerarem abusivos os juros do cartão de crédito, a responsabilidade continua sendo da pessoa que faz a dívida, pois esses valores são previamente informados. O texto ajuda a explorar a compreensão de quanto o juro pode aumentar uma dívida. O texto alerta para a necessidade de planejamento em gastos com cartão de crédito.

Os juros do cartão de crédito 80% dos brasileiros preferem o cartão na hora de parcelar, mas só um terço conhece os juros cobrados SPC Brasil Mas para usufruir das vantagens, é preciso Publicado em 2 junho 2014. controle para que a pessoa não gaste mais do Um estudo feito pelo portal ‘Meu Bolso que efetivamente possa pagar. Aqueles conFeliz’ (http://meubolso feliz.com.br), uma ini- sumidores que não quitam o valor integral da ciativa de Educação Financeira do Serviço de fatura correm o risco de cair no efeito ‘bola Proteção ao crédito (SPC Brasil), mostra que de neve’, já que hoje a taxa média cobrada o cartão de crédito é a modalidade de paga- nessas operações gira em torno de 200% ao mento mais utilizada pelos consumidores ano. É uma das maiores do mundo”[...]. na hora de parcelar uma compra: 83% dos Usar o cartão pode ser vantajoso entrevistados afirmam ter incorporado esse [...] “O grande diferencial do cartão costume em seu dia a dia, sendo que quase de crédito é que ele proporciona poder de um quarto (23%) dos consumidores ouvidos compra. Isso significa que o consumidor pode costuma fazer compras parceladas com o adquirir um bem mesmo sem ter o dinheiro. chamado ‘dinheiro de plástico’ ao menos Porém, essa é uma vantagem que se transuma vez por mês. [...] forma facilmente em desvantagem, quando [...] mais da metade (57%) dos consumi- não há controle. O cartão de crédito, ao condores entrevistados já usou ou tem o hábito trário do que muitos pensam, não é um vilão de usar o crédito rotativo – situação em que para o consumidor. Tudo depende de como o consumidor opta por pagar apenas o valor ele é utilizado”, garante. mínimo da fatura do cartão. Um agravante Ameaças do cartão de crédito é que a maioria dos consumidores (77%) Já em relação aos perigos oferecidos pelo reconhece não ter conhecimento do valor cartão de crédito, quatro em cada dez entrevisdos juros cobrados nesse tipo de operação. tados (39%) atribuem à facilidade de compra “O cartão de crédito trouxe conveniência como a principal causa das compras supére segurança porque viabiliza o poder imediato fluas, seguida pela dificuldade em manter o de compra, mesmo que o consumidor não controle do valor das compras realizadas (36%) disponha de dinheiro no momento do uso. e não resistir às compras por impulso (16%). Fonte: CNDL. 80% dos brasileiros preferem o cartão na hora de parcelar. Disponível em: <http://www.cndl.org.br/noticia/80-dos-brasileiros-preferem-o-cartao-na-hora-de-parcelar-mas-soum-terco-conhece-os-juros-cobrados/>. Acesso em: 6 nov. 2018.

Responda à questão no caderno.

1. Ana Maria gastou mil reais em seu cartão de crédito e não pode pagar o valor total no primeiro mês. Ana Maria tem um cartão de crédito cuja taxa de juro é 7,5%. No primeiro mês, ela recebeu sua fatura com valor de R$ 1 000,00. Como não havia planejado corretamente esse gasto, pagou apenas R$ 200,00. Preocupada com a dívida, parou de usar esse cartão para novas compras. No

segundo mês, recebeu a nova fatura com o que restou da dívida e os juros e, novamente, pagou apenas R$ 200,00. Analise a situação de Ana Maria e responda: a) Quanto ela deve pagar no terceiro mês, sem fazer novas compras, para quitar totalmente a dívida? R$ 709,50 b) Quanto ela vai pagar, no total, para quitar os R$ 1 000,00 iniciais no terceiro mês? R$ 1 109,50 35

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Radicais Os objetivos aqui são levar os alunos a reconhecer e identificar os termos de um radical, compreender a restrição para a radiciação em r e compreender a raiz enésima de um número real observando a condição de existência. Como esse é um conteúdo relativamente novo para os alunos, é possível que eles apresentem algumas dificuldades. Para auxiliá-los na compreensão dos conceitos, apresentar diversos exemplos de radicais, com os mais variados números no radical, números inteiros, racionais, raízes não exatas etc.

RADICAIS Raiz enésima de um número real

Consideremos um número real a e um número natural n, com n . 1. A raiz enésima de um número real a é indicada pela expressão: índice n

a

radicando

Para examinar esse conceito de raiz enésima, vamos separar o estudo em dois casos: quando o índice for par e quando o índice for ímpar. Acompanhe-os a seguir. 1o caso: O índice n é par. Podemos dizer que: • quando o número real a é positivo (a . 0) e n é um número natural par diferente de zero, a expressão n a é igual ao número real positivo b, tal que bn = a. • quando o número real a é negativo (a , 0) e n é um número natural par diferente de zero, a expressão n a não é definida no conjunto dos números reais. Observe: 49 ! 7, pois 72 ! 7 " 7 ! 49.

•

27,04 ! 5,2, pois 5,22 ! 5,2 " 5,2 ! 27,04.

•

6

729 ! 3, pois 36 ! 3 " 3 " 3 " 3 " 3 " 3 ! 729.

•

8

256 ! 2, pois 28 ! 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 " 2 ! 256.

Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo, pois ao elevarmos um número real ao quadrado não obteremos um número real negativo. Esse fato se estende quando temos a raiz quarta ou a raiz sexta ou a raiz oitava, e assim por diante, de um número real negativo. Observe: 22 é igual a 4, e (_2)2 também é igual a 4. Não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a _4. Dizemos, então, que _4 não se define em R. Veja outros exemplos: • 8 _256 não se define em R. •

4

•

6

Já vimos que não se define a raiz quadrada de um número real negativo. Você se lembra por quê? MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

•

_1 não se define em R.

_81 não se define em R.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS É importante notar a diferença entre as expressões _ 9 e _9 .

Atividades As atividades têm como objetivos levar os alunos a reconhecer a restrição da radiciação em r, identificando as expressões com radicais que podem ser definidas no conjunto dos números reais, determinar a raiz enésima de um número real e determinar o valor de expressões numéricas que envolvem radicais. Nas atividades 1 a 4, os alunos devem identificar as expressões que são definidas em r. Pedir a eles que justifiquem as respostas e orientá-los a levar em consideração o índice n dos radicais, diferenciando expressões com índice par e expressões com índice ímpar. Como sugestão de atividade complementar, sugerimos uma atividade envolvendo a calculadora e a raiz quadrada. Se possível, levar para a sala de aula calculadoras que tenham a tecla de raiz quadrada para que os alunos verifiquem os cálculos solicitados na atividade 5. Orientar os alunos a expressar os conhecimentos acerca da manipulação da calculadora, mostrando os procedimentos realizados em cada etapa.

• _ 9 é o oposto de 9 ; logo, _ 9 = _3. •

_9 não se define no conjunto R. 2 caso: o

O índice n é ímpar. Podemos dizer que: Dado um número real a e um número natural ímpar n, a expressão n a é igual ao número real b, tal que bn = a.

Observe que nesse caso o radicando pode ser positivo ou negativo. Veja alguns exemplos: • 3 8 = 2, pois 23 = 2 ? 2 ? 2 = 8. • 3 −8 = _2, pois (_2)3 = (_2) ? (_2) ? (_2) = _8. • 5 3125 = 5, pois 55 = 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 3 125. • 5 −3125 = _5, pois (_5)5 = (_5) ? (_5) ? (_5) ? (_5) ? (_5) = _3 125. Observação: Sendo n um número natural maior ou igual a 2, define-se: n 0 = 0. • 20 =0

• 25 0 = 0

ATIVIDADES

• 103 0 = 0

1. Quantas das expressões seguintes não são definidas no conjunto R dos números reais? Duas; 4 _16 e _1 . _8

5

32

10

7 855

0 =0

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

3

•

_1

4

_16

1

3

_125

2. Quais dos números a seguir têm raiz quadrada definida no conjunto R? 36; 144; 10; 100; 25 g) 100 d) 144 a) 36 b) _64

e) 10

h) _9

c) _81

f) _4

i) 25

3. Quando a = 10, b = 21 e c = 8, a expressão b2 _ 4ac é definida no conjunto R? Qual é o valor dessa expressão? Sim; 11.

4. Verifique se a expressão x2 _ y2 é definida no conjunto R quando x = 13 e y = _12. Sim, pois 25 = 5. 5. Sabendo que todas as expressões seguintes são definidas no conjunto R dos números reais, calcule o valor de cada uma. a)

0,25 0,5

b) 3 0,008 0,2 c)

(_8)2 8

d) _ 100 _10 e) 7 _1 _1 f) 3 _125 _5 37

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades do radical Toda expressão matemática que tenha forma a , com a [ R+, n [ N e n . 1, recebe o nome de radical aritmético. Em todo radical, podemos destacar: n

5

índice n

3

a

4

Assim: • No radical é 5.

10

Raiz quadrada Raiz cúbica de cinco. de dez. radicando

2 3

Raiz quarta de dois terços.

5 , o índice é 2, e o radicando

• No radical 3 10 , o índice é 3, e o radicando é 10.

Propriedades Os radicais aritméticos apresentam propriedades importantes não só para o estudo dos radicais como também para estudos futuros de outros temas de Matemática. Conheça, a seguir, estas propriedades.

2 1 1,414 e 3 1 1,732

1a propriedade:

2 ? 3 1 1,414 ? 1,732 = = 2,449048 Em seguida promover um debate com a turma a respeito das dificuldades enfrentadas na realização dos cálculos. Espera-se que os alunos percebam que, em determinados contextos, o trabalho com números irracionais e números racionais com muitas casas decimais pode ser bastante trabalhoso. Nesse caso, o uso das propriedades dos radicais para efetuar os cálculos e escrever apenas o resultado como um número decimal aproximado é mais adequado.

Quer saber como se leem estes números? GRACELIN/SHUTTERSTOCK.COM

Propriedades do radical Os objetivos aqui são levar os alunos a reconhecer um radical aritmético, compreender, identificar e utilizar as propriedades dos radicais em situações-problema. Para isso, retomar com os alunos a nomenclatura dos elementos que compõem a operação radiciação: radical, radicando, índice e raiz. Também é oportuno rever a leitura dos radicais: raiz quadrada, raiz cúbica, raiz quarta etc. Em seguida são apresentadas as propriedades dos radicais. Solicitar aos alunos que façam alguns cálculos envolvendo raízes não exatas, mas em sua forma decimal aproximada, já que são números irracionais. Por exemplo:

n

an = a , com a [ R+, n [ N e n . 1.

Considere as expressões abaixo. • 5 32 = 2 e 32 = 25

•

Então: 5

4

4

81 = 3 e 81 = 3

Então: 5

4

5

32 = 2 ! 2

4

81 ! 34 ! 3

Dessa forma, temos: •

• 3 103 = 10

72 = 7

• 5 (x + 3)5 = x + 3 , com x + 3 > 0.

2a propriedade:

n

am =

n:p

am : p com a [ R , n, m, p [ N, n . 1, p 5 0 e p divisor comum de m e n. +

Considere as expressões 8 108 e 102 Usando a primeira propriedade, obtemos: 38

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS 8

108 = 10

Comparando, temos

102 = 10

8

Para a compreensão das propriedades dos radicais, sugere-se, primeiramente, que os alunos sejam organizados em grupos. Determinar para cada grupo uma das 5 propriedades dadas nesse capítulo para que expliquem para a classe quais as características da propriedade e como utilizá-la. Solicitar que cada grupo faça um cartaz para essa explicação. Depois da explicação, expor todos os cartazes na sala de aula e deixar lá para que os alunos possam consultá-los ao longo do trabalho com radicais e sempre que sentirem necessidade. Verificar se os alunos compreendem que, além de facilitar os cálculos, trabalhar com radicais utilizando as propriedades também diminui o erro nas aproximações. Por exemplo, retomando o exemplo apresentado na página anterior, fazendo aproximações para 2 e 3 , obtivemos:

108 = 102 .

8: 4

108 : 4 = 102 Veja o que fizemos: 8 108 = Essa propriedade nos auxilia na simplificação de um radical do tipo n am , quando existe um divisor comum (diferente de 1) dos números n e m. Veja alguns exemplos de simplificação. •

6

104 =

6:2

• 20 25 =

104 : 2 = 3 102

• 12 64 = 12 26 = 12: 6 26 : 6 = 2 21 =

2

10

• 25 (xy)

20 : 5

25 : 5 = 4 2

= 25 : 5 (xy)10 : 5 = 5 (xy)2

3a propriedade: m n

Observe as expressões 3

a =

m ⋅n

a , com a [ R+, m, n, [ N, m . 1 e n . 1.

64 e 6 64

Calculando: 3

64 = 3 8 = 2

6

64 = 2 Comparando, temos 3

64 = 6 64 .

Veja o que fizemos: 3

64 =

3?2

64 = 6 64 .

Assim: •

5 3

2 =

5⋅3

2 = 15 2

•

10 =

2⋅2

10 = 4 10

4a propriedade:

2 ? 3 1 2,449048 n

Considerando as expressões Calculando, temos: 4 ⋅ 25 = 100 = 10 4 ⋅ 25 = 2 ⋅ 5 = 10 Comparando, temos Então:

Se tivéssemos aproximado os valores das raízes quadradas para uma casa decimal, teríamos:

a ⋅ b = n a ⋅ n b , com a [ R+, b [ R+, n [ N e n . 1.

4 ? 25 e

4 ⋅ 25 =

4 ⋅ 25 .

2 1 1,4 e 3 1 1,7 2 ? 3 1 1,4 ? 1,7 = 2,38 Agora, usando a propriedade da multiplicação de radicais com mesmo índice, temos:

4 ⋅ 25

2 ? 3 = 2?3=

3 ⋅ 11 = 3 ⋅ 11

•

• 3 2⋅5 = 2 ⋅ 5 3

•

7

= 6 1 2,449 Comparando os valores obtidos, vemos que há uma diferença, de 2,38 para 2,449.

3

4xy = 4 ⋅ x ⋅ y com x, y [ R+. 7

7

7

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5a propriedade:

Atividades Nas atividades 1 a 6 os alunos vão calcular radicais aritméticos e aplicar suas propriedades. Sugerir que essas atividades sejam feitas individualmente. Observar as possíveis dificuldades de cada aluno e retomar as definições e os conceitos necessários para esclarecê-las.

AMPLIANDO Atividade complementar Sugerimos uma atividade para ser feita com calculadora. Para isso, providenciar calculadoras que tenham a tecla para os alunos trabalharem individualmente ou em duplas. Outra possibilidade é solicitar previamente que os alunos tragam as calculadoras de casa. Ou ainda podem ser utilizadas as calculadoras disponíveis nos smartphones. Explicar aos alunos que um número palíndromo é aquele que não se altera quando lido da direita para a esquerda ou da esquerda para a direita. Orientar os alunos a explorar a tecla

121 e 12 321:

• Tecle 1 , 2 , 1 ,

n a a = n , com a [ R+, b [ R*+, n [ N, e n . 1. b b

Considerando as expressões

25 9

e

25 5 = 9 3

25 . 9

25 25 = 9 9 Portanto: 3 3 • = 7 7

• 5

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

8. a)

aparecerá no visor 11 .

• Tecle 1 , 2 , 3 , 2 ,

Responda às questões no caderno.

1. Dê o valor de cada uma das expressões. a) 5 35 3

c) 7 (2 ? 5)7 10

3 b) 73 7

d)

(5a2)2 5a

Propor a resolução das seguintes atividades: 1. Investigue, com o auxílio de uma calculadora, qual é a raiz quadrada do número palíndromo 1 234 321. 1 234 321 = Resposta: = 1 111 2. O que você acha que vai acontecer com as raízes quadradas dos números palíndromos a seguir? Registre no caderno.

2⋅ 5

c) 9 5 ⋅ 9 7 e) 10 3 ⋅ 10 5 d) 7 2 ⋅ 7 3 ⋅ 7 5 f) 3 2 ⋅ 3 7 ⋅ 3 11

a)

49 7

b) 6 729 3

c) 4 625 5

e) 4 81 3

d) 10 1024 2

f) 3 343 7

3. Determine o valor do número x em cada uma das igualdades. a) 14 28 = x 24 x = 7 c) 8 54 = 5x x = 1 4. Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número, diferente de zero, simplifique os radicais. 15 3 a) 25 2 c) 16 104 4 10 b) 14 37

3

5. Decomponha o radicando em fatores primos e, em seguida, simplifique cada um dos radicais. a) 10 32

2

2. Decomponha o radicando em fatores primos e, em seguida, use uma das propriedades dos radicais aritméticos para encontrar o valor das expressões.

e aparecerá no visor

111.

5 a a com a [ R+ = 5 5 5

b) 6 3 ⋅ 6 7

b) 15 105 = 3 10x x = 1 d) 10 6x = 5 6 x = 2

e

25 5 = 9 3

Comparando, temos:

para investigar a raiz

quadrada de alguns números palíndromos. Por exemplo, para calcular

1 ,

n

2

d) 6 16

3

22

b)

9

27

3

3

e) 8 64 4 23

c)

16

81

4

3

f) 12 1024

6

25

6. Determine o número real x das igualdades.

a) x 6 10 = 24 10 x = 4 b) 5 x 3 = 15 3 x = 3

7. Escreva como um produto de radicais. 5⋅7

a)

5 ⋅ 7

d) 6 x ⋅ y

a ⋅ x

e)

b)

3

ax

c)

7

3 ⋅ 11 7 32 ⋅ 7 11

3

3

2

f)

6

2⋅ a ⋅ b

2ab 3

x

2y

x ⋅6 y

3

x2 ⋅ 3 x y

8. Decomponha o radicando em fatores primos e escreva cada expressão na forma de um produto de radicais.

d) 10 58 5 54

10

c) 9 35

e) 10 15

b) 6 21

d) 7 30

f) 3 154

a)

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a) 123 454 321

Resposta: 123 454 321 = = 11 111 b) 12 345 654 321 Resposta: 12 345 654 321 = 111 111 Incentivar os alunos a verificarem se há um padrão nos resultados das raízes quadra-

das apresentadas e obtidas. Pedir-lhes que expliquem o padrão que observaram (caso não consigam, sugira o padrão na lousa) e indicar qual será o próximo número palíndromo e sua raiz quadrada. Comentar com os alunos que esse padrão existe apenas para números palíndromos em

que os algarismos são consecutivos. Isso não acontece com outros números palíndromos, como por exemplo, 161, 37 573. Veja:

• •

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161 1 12,69 37 573 1 193,84

Incentivar os alunos a explicar porque esse padrão acontece.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Simplificando radicais

Simplificando radicais O objetivo aqui é levar o aluno a compreender, identificar e utilizar a simplificação de radicais com a extração de fatores do radicando. Inicialmente, pedir aos alunos que façam a leitura individual e atenta dos exemplos dados no texto do livro, com o objetivo de compreender como simplificar e extrair fatores dos radicais. Em seguida, solicitar que alguns alunos expliquem, na lousa e para a classe, como realizar esses procedimentos a partir de casos similares às situações vistas no livro. Por 4 exemplo: 105, 29 , 34 ? 25. É sempre interessante criar um clima de desafio para que os alunos se sintam estimulados a participar desse tipo de atividade. Incentivar a expressão oral dos alunos e a troca de ideias entre eles.

Observe as seguintes expressões:

52 ! 7

"

Aplicamos a propriedade

Transformamos o radical dado em um produto de radicais. 3

•

2 ! 33 ! 7 3

"

3

5! 7 "5 7

"

n

3

n

a " a.

3

2 ! 33 ! 7 3

3

"

Transformamos o radical dado em um produto de radicais.

21 3 2

2 !3!7 " 3

3

3

"3

3

7

3

"7

KCKATE16/SHUTTERSTOCK.COM

52 ! 7

•

Assim: Se um ou mais fatores do radicando têm o expoente igual ao índice do radical, de acordo com a propriedade n an = a , esses fatores podem ser extraídos do radicando. Em alguns casos, o expoente do radicando é maior que o índice do radical. Procura-se, então, fazer transformações convenientes no radicando, como você pode ver nas expressões a seguir. 103 = 102 ⋅ 10 = 102 ⋅ 10 = 10 10

• • •

3

27 = 3 23 ⋅ 23 ⋅ 2 = 3 23 ⋅ 3 23 ⋅ 3 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 2 = 4 3 2 23 ⋅ 54 = 22 ⋅ 2 ⋅ 52 ⋅ 52 = 22 ⋅

2 ⋅ 52 ⋅ 52 = 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 50 2

Há situações, porém, em que temos necessidade de fazer uma fatoração do radicando antes de realizar a extração dos fatores. Acompanhe algumas dessas situações. 1 Simplificar a expressão 75 . Fatorando o radicando 75, vamos encontrar 3 ? 52. Daí, temos: 75 = 3 ⋅ 52 = 3 ⋅ 52 = 5 3 2 Qual é a forma mais simples possível de escrita da expressão 3 162 ? Fatorando o radicando 162, vamos encontrar 2 ? 34. Daí, temos: 3

3

162 = 3 2 · 34 = 3 2 · 33 · 3 = 3 2 · 33 · 3 3 = 3 3 2 · 3 = 3 3 6

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Para isso estimule-os a realizar as multiplicações que resultam no radicando na forma “armada”. Por exemplo:

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1 1 x 1 1 1 1 + 1 1 1 2 1

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades têm como objetivo levar os alunos a simplificar um radical com a extração de um fator do radicando e utilizar os conhecimentos a respeito de radicais para resolver situações-problema. Salientar aos alunos que, na atividade 4, por exemplo, é dado 2 = 1,41 (valor com aproximação de duas casas decimais), mas, para determinar melhores aproximações no cálculo de expressões que resolvem esse radical, eles podem utilizar outras aproximações para 2 , aumentando as casas decimais. Assim: • 2 = 1,414 (com aproximação de três casas decimais) Ou • 2 = 1,4142 (com aproximação de quatro casas decimais) Incentivar os alunos a utilizar a calculadora para determinar aproximações de 2 , 3 , 5 e 6 , com três e quatro casas decimais.

2 3 Sabendo que x e y são números reais positivos, simplifique a expressão 50x3y . 5 2 Fatorando o radicando 50, vamos encontrar 2 ? 5 . Daí, temos: 2 5

50x3y =

2 5

2 · 52 · x2 · x · y =

2 · 5 · x · 2 · x · y = 2x 2xy 5

Veja, a seguir, outra situação relacionada com a simplificação de radicais. 4 Se l é a medida do lado da figura de um quadrado, sua área é dada por A = l2. Calcular a medida l do lado de um terreno quadrado que tem 700 m2 de área, considerando 7 1 2,65. Temos: A = l2 h l ? l = A h l = A . Então, l é o número positivo que elevado ao quadrado resulta em A, ou seja, l = A . No caso, temos: l = 700 = 22 · 52 · 7 = 2 · 5 · 7 = 10 · 7 = 10 · 2,65 = 26,5 simplificando o radical

O lado desse terreno mede, aproximadamente, 26,5 m.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Retirando fatores do radicando, escreva da forma mais simples possível cada um dos radicais. 3 ⋅ 11211 3 c) 5 25 ⋅ 3 ⋅ 5510 5 3 e)

a)

278 2

f) 3 53 ⋅ 74 35 3 7 2. Nos radicais seguintes, os números x e y são números reais positivos. Nessas condições, simplifique cada radical retirando fatores do radicando. y9 y b) 6 26 ⋅ 7

a) b) c)

d)

5

x x

4

y y

e)

x9 x 4 x

f)

x 3

26 7

y

2

3

d)

636 6

5

12

y

25

2

g)

y

x y xy y h)

10

x13 x10 x3

y y

2 3

5

10

9

x5y7 xy 5 y2

3. Fatore o número que aparece no radicando e, a seguir, simplifique cada um dos radicais retirando fatores do radicando. e)

a)

75 5 3

b)

700 10 7 f)

4

176 2 4 11 i)

2 700

800 20 2 j) 6 640 2 6 10 c) 3 250 5 3 2 g) 1800 30 2 30 3 d) 5 192 2 5 6 h) 3 375 5 3 3

4. Considere os seguintes valores: •

2 = 1,41

•

5 = 2,23

•

3 = 1,73

•

6 = 2,44

Usando esses valores, simplifique os radicais e dê o valor de cada um na forma decimal. 17,08 a) 50 7,05 d) 150 12,2 g) 294 b)

27 5,19

e)

c)

80 8,92

f)

200 14,1 h) 500 22,3

675 25,95

5. Um terreno é quadrado e tem área de 5 184 metros quadrados. Qual é a medida de cada lado desse terreno? 72 m 6. Sabendo que x =

2 304 e y = 6 64 , qual é o valor da razão x ? 24 y 7. Transforme as expressões em um só radical e, depois, calcule o valor de cada uma. a)

3

4 096

2

b)

10 000

10

8. Para a = 40, b = 25 e c = 200, determine o valor numérico da expressão algébrica c + ab . 20 3

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PARA QUEM QUER MAIS

Para quem quer mais Propor que a leitura seja feita em duplas e que os alunos expliquem a fórmula apresentada. Informar que p indica o semiperímetro do triângulo (já que perímetro é a soma das medidas dos lados). Em seguida, cada dupla pode resolver a questão proposta.

Heron de Alexandria, matemático grego que viveu por volta da segunda metade do século I, desenvolveu tantos e diferentes trabalhos sobre Física e Matemática que é costume apresentá-lo como um enciclopedista dessas áreas. Dos trabalhos de Heron, o mais importante é A métrica, organizado em três livros. É no livro I dessa obra que se encontra a brilhante dedução da famosa fórmula da área de um triângulo em função dos três lados. Quando conhecemos as medidas a, b e c dos lados de um triângulo qualquer, podemos determinar a área desse triângulo usando a fórmula deduzida por Heron:

Área da figura de triângulo:

UNIVERSAL HISTORY ARCHIVE/GETTY IMAGES

Heron e a área do triângulo

AMPLIANDO Link Para saber mais a respeito da vida e outros feitos de Heron de Alexandria, acessar o site <http://livro.pro/oeowtt>. Acesso em: 16 nov. 2018.

Heron de Alexandria ao centro da imagem.

p (p _ a)(p _ b)(p _ c) com p =

a +b + c . 2

Vamos resolver o problema a seguir aplicando a fórmula de Heron. Uma praça pública tem a forma triangular. Na figura, estão indicadas as medidas dos lados dessa praça em metro. Qual é a área ocupada pela praça em metro quadrado? (Considere

2 = 1,4.)

De acordo com a figura, vamos considerar: a = 110 m, b = 90 m e c = 40 m Assim, temos: a+b + c 110 + 90 + 40 240 = = 120 p= = 2 2 2

p = 120 m

Usando a fórmula deduzida por Heron, temos:

110 m 90 m

A = p (p _ a)(p _ b)(p _ c) = 120 (120 _110)(120 _ 90)(120 _ 40) A = 120 ? 10 ? 30 ? 80 = 2 880 000 = 288 ? 10 000 =

A = 1 200 2 = 1 200 ? 1,4 = 1 680

40 m

A área ocupada pela praça é de 1 680 m2.

Responda no caderno.

1. Um terreno tem a forma triangular, e suas medidas 24 m estão indicadas na figura ao lado. Qual é a área desse terreno? (Use 14 = 3,7.) 128 14 m2 ou 473,6 m2.

48 m

40 m

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

! 22 ? 22 ? 2 ? 32 ? 1002

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades propostas têm como objetivo levar os alunos a simplificar expressões e resolver situações aplicando o que aprenderam para introduzir um fator externo no radical. Para a atividade 4, orientar os alunos a realizar os cálculos por etapas: 3 3 3= 3 4

= 3 33 =

4

Introduzindo um fator externo no radical A introdução de um fator externo no radicando pode ser feita de acordo com as propriedades dos radicais. Do mesmo modo que quando simplificamos radicais podemos extrair fatores do radicando, também podemos, se necessário, introduzir um fator externo no radical sem alterar o valor da expressão. Observe no exemplo a seguir que a igualdade se mantém: 2 3 = Presença de fator externo

32 ? 3 = 34 ? 33 =

8

= 37 Após a realização das atividades dessa página, conversar com os alunos, pedindo a eles que apresentem oralmente as conclusões que obtiveram a respeito do assunto “introduzindo um fator externo no radical”, isto é, quais as implicações que conseguiram perceber quanto ao uso dessa regra. Enquanto apresentam as conclusões, é importante mediar a conversa enfatizando, sempre que possível, a utilidade do que aprenderam para viabilizar cálculos matemáticos.

22 ? 3 Sem fator externo

De modo geral, temos que um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando, bastando para isso escrevê-lo com um expoente igual ao índice do radical. Acompanhe mais estes exemplos: 1 Introduzir no radicando o fator externo da expressão 5 3 . 5 3 = 52 ? 3 =

25 ? 3 = 75

5 2 Transformar em um só radical a expressão x 3 x com x > 0. Neste problema, devemos inicialmente introduzir o fator x no radical mais interno: 5

x

3

x ! 5 3 x3 " x !

5 3

x4 !

15

x4

pela propriedade: m n a !

ATIVIDADES

1. Introduza o fator externo no radicando das expressões seguintes. 4a3 162 d) 5 3 2 3 250 g) 2a a

h) x10 x310 13 x c) 10 5 500 f) 8 a 64a i) 6b 3 2b 3 432b4 2. Transforme cada expressão em um só radical, sabendo que x e y são dois números reais positivos. b) 2 7

a) b)

6

3

x x

e) 25 2 5 64

28

2 2 3

x5 x y

18

x5 10

7 3

xy

a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

a) 9 2

m⋅n

3. Escreva a expressão 3

a a na forma b b de um único radical. Se possível, simplifique a expressão. a b 4. Como você pode representar a expressão

3 3 3

radical?

8

na forma de um único

7

3

5. Qual é a forma mais simples de escrever a expressão

x3 y

x3 x ? x4 3 y y

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição algébrica de radicais

Adição algébrica de radicais Os objetivos dessas páginas são levar os alunos a reconhecer e compreender radicais semelhantes, compreender e realizar as operações de adição e de subtração de radicais semelhantes e simplificar expressões que apresentam radicais semelhantes. Para isso, sugerir a leitura coletiva do texto. Depois pedir aos alunos para darem exemplos de radicais semelhantes. Anotar na lousa as sugestões dadas e verificar junto à classe a validade desses exemplos. Dar oportunidade para que expressem suas ideias; dessa forma, será possível coletar dados a respeito da compreensão e das possíveis dificuldades dos alunos.

Consideremos a expressão algébrica inteira 9x + 3x _ 15x + 8x _ x. Como todos os termos dessa expressão são semelhantes, podemos reduzi-la a um só termo: 9x + 3x _ 15x + 8x _ x = (9 + 3 _ 15 + 8 _ 1) x = 4x Dois ou mais radicais são semelhantes quando têm o mesmo índice e o mesmo radicando. Observe: •

10 e _3 10 são radicais semelhantes.

SAIBA QUE

• 3 2, _10 3 2 e 73 2 são radicais semelhantes.

Só é possível a adição de radicais semelhantes.

Se uma expressão contiver radicais semelhantes, também podemos reduzi-la a um só termo. Vamos, então, considerar as seguintes situações:

a + b 5 a +b

1 Reduzir a um só termo a expressão 10 3 + 5 3 _ 11 3 + 2 3 . Observe que

3 é o fator comum a todos os termos.

10 3 + 5 3 _ 11 3 + 2 3 = (10 + 5 _ 11 + 2) 3 = 6 3 Logo, 6 3 é a forma mais simples da expressão dada. 2 Simplificar a expressão 6 5 _ 2 7 _ 5 5 + 3 7 . 6 5 _ 2 7 _ 5 5 + 3 7 = 6 5 _ 5 5 _ 2 7 + 3 7 = 1 5 +1 7 = 5 + 7 5 + 7 é a forma mais simples de escrever a expressão dada usando radicais, pois não há radicais semelhantes. Porém, podemos encontrar valores aproximados para os radicais e em seguida adicioná-los.

2,23 ! 2,64 ! 4,87

forma decimal aproximada de forma decimal aproximada de

7

5

PHOTODISC/GETTY IMAGES

5! 7

O mesmo ocorre com expressões como: •

5 _ 2 2,23 ! 1,41 ! 0,82

• 3+ 3 3 " 1,73 ! 4,73

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Atividades As atividades apresentadas têm como objetivos levar os alunos a reconhecer radicais semelhantes, adicionar e subtrair radicais semelhantes e simplificar expressões que apresentam radicais semelhantes. Nessas atividades é importante reforçar a ideia de que só podemos adicionar dois radicais, reduzindo-os a um só termo, quando eles são semelhantes. Muitas vezes é comum os alunos pensarem que são verdadeiras igualdades do tipo 2 + 3 = 5. Para verificar que 2 + + 3 5 5 , podemos realizar os cálculos de cada membro e compará-los: 2 + 3 1 1,41 + 1,73 = = 3,14 5 1 2,23 Como 3,14 5 2,23, concluímos que 2 + 3 5 5 . Outra opção é sugerir aos alunos que usem uma calculadora para determinar os valores de 2 , 3 e 5 e verificar que a igualdade 2 + 3 = = 5 é falsa.

Há expressões que exigem a simplificação de seus termos antes da realização da adição. Observe os exemplos a seguir. 1 Calcular o valor de

50 + 18 .

Como 50 = 2 ? 5 e 18 = 2 ? 32, vamos, então, simplificar cada radical com a extração de fatores do radicando: 2

2 ? 52 + 2 ? 32 = 5 2 + 3 2 = 8 2

50 + 18 =

Logo, o valor procurado é 8 2 . 2 Simplificar a fração 12 + 75 = 2 147

12 + 75 . 2 147 22 ? 3 + 3 ? 52

=

2

2 3?7

2 3 +5 3 7 3 1 = = 2 14 3 14 3

3 Escrever a forma mais simples da expressão 200 + 500 + 8 _

= 10 2 + 10

200 + 500 + 8 _ 2

2

2

45 .

2 ? 2 ? 5 + 2 ? 5 ? 5 + 2 ? 2 _ 32 ? 5 =

45 =

5 +2 2 _ 3

= (10 + 2) 2 + (10 _ 3)

2

2

5 = 10 2 + 2 2 + 10

5 _3

5 =

5 = 12 2 + 7 5

Logo, a forma mais simples da expressão dada é 12 2 + 7 5 .

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Reduza as seguintes expressões a sua forma mais simples. a)

12 + 75 _ 9 3 + 27 + 48

b) 4 125 + 3 45 _ 30 5 _ 5 c)

54 + 6 − 150 + 2 24

5 3

3 6

2. Um número real P é tal que

P = 72 + 3 200 + 392 . Qual é o valor do número P? 70,5 (Considere:

Simplifique os radicais e calcule o perímetro desse triângulo. 200,9 cm (Use:

6 = 2,45.)

5. Um terreno com forma triangular tem as medidas, em metro, como indicado na figura. Qual é o perímetro desse terreno? 129,85 m (Considere 7 = 2,65.) 5 112

7 28

2 = 1,41.)

3. Qual é a forma simplificada de cada uma das frações? 50 _ 18 1 28 + 175 7 a) b) 5 200 3 63

4. Os lados de um triângulo medem

4 486 cm, 4 96 cm e 5 216 cm.

3 175

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

6. Sabendo que

A = 243 _ 162 e B = 300 _ 50 determine o valor da expressão A + B. 19 3 _ 14 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação e divisão de radicais com mesmo índice

Multiplicação e divisão de radicais com mesmo índice Para o estudo da multiplicação de radicais com o mesmo índice, é bastante importante que os alunos se lembrem da aplicação da propriedade distributiva. Além dos exemplos apresentados no livro, propor ainda o seguinte exemplo: Calcular [2 _ 7 ] ?

Recordando as propriedades dos radicais aritméticos, uma delas nos mostra que: n

a ? b = n a ? n b , com a > 0, b > 0, n [ N e n . 1.

Usando a propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever: n

a ? n b = n a ? b , com a > 0, b > 0, n [ N e n . 1.

? [5 + 7 ] . Dessa maneira, temos: • •

2 ? 3

5 ?

7 = 3

[2 _

2 ? 7 = 14

+2?

3

6 = 5 ? 6 = 3 30

7 _5? 7 _

7 ?

? 7 = 10 + 2 7 _ 5 7 _ 7 =

Assim:

= 10 _ 7 + 2 7 _ 5 7 = =3_3 7 Sugerir aos alunos que façam o registro das ideias principais a respeito da multiplicação e da divisão de expressões com radicais de mesmo índice. É interessante, também, que façam o fichamento desses procedimentos para uma possível consulta no decorrer do ano letivo.

O produto de dois ou mais radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice, cujo radicando é igual ao produto dos radicandos desses radicais.

Utilizando a propriedade distributiva na multiplicação de radicais Acompanhe as situações a seguir. 1 Calcular

7 ] ? [5 + 7 ] = 2 ? 5 +

5 ? (3 2 _ 5 ) 5 ? (3 2 _ 5 ) = 5 ? 3 2 _ 5 ?

5 =

= 3 10 _ 52 = 3 10 _ 5 2 Calcular ( 3 + 2 2 ) ? ( 3 _ 5 2 ) = 32 _ 5 6 + 2 6 _ 10 22 = = 3 _ 5 6 + 2 6 _ 20 = = 3 _ 20 _ 5 6 + 2 6 = _17 _ 3 6 _17 _

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Nesse bloco de atividades, os alunos terão a oportunidade de aplicar as técnicas operatórias usando algoritmos da multiplicação de radicais de mesmo índice para efetuar as multiplicações indicadas e resolver as situações apresentadas. Sempre que possível, procurar trabalhar com atividades que envolvam conceitos geométricos, principalmente perímetro e área de figuras planas e volume de sólidos geométricos. Aproveitar as atividades para rever esses conceitos geométricos. Na atividade 3, por exemplo, eles poderão trabalhar com a adição e com a multiplicação de radicais para determinar a área do trapézio. Além disso, na continuação das atividades na página seguinte, os alunos vão efetuar divisões que envolvem radicais de mesmo índice. Sempre que necessário, retomar os conceitos já estudados, como no caso da atividade 9, e relembrar que a divisão de duas frações se faz conservando a primeira e multiplicando-a pelo inverso da segunda. Além disso, relembrar que, para multiplicar duas frações, efetua-se o produto entre os numeradores e entre os denominadores.

Dividindo expressões com radicais de mesmo índice Por uma das propriedades dos radicais, sabemos que:

n

n a a , com a > 0, b . 0, n [ N e n . 1. = n b b

E pela propriedade simétrica das igualdades, podemos escrever: n a a = , então n b b

Se n

n n

a a =n , com a > 0, b . 0, n [ N e n . 1. b b

Agora, observe as seguintes divisões: • •

40 = 5

40 : 5 = 3

96 : 3 2 =

3 3

40 = 5

40 : 5 =

8 =2 2

96 96 =3 = 3 96 : 2 = 3 48 = 23 6 2 2

Temos que: O quociente de dois radicais de mesmo índice é um radical com o mesmo índice, cujo radicando é igual ao quociente dos radicandos desses radicais.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Efetue cada multiplicação e simplifique o resultado. a) 8 ? 6 4 3 d) 2 10 ? 5 30 100 3 12 ? 10 3 120 2 c) 42 ? 28 f) 6 7 ? 5 2 ? 8 21 14 6 1680 6 2. Dê o perímetro e a área da região retangular representada pela figura. b)

2 ?

27 3 6 e)

8 ?

Calcule a área do terreno representado pela figura, cujas medidas são dadas em metro. 1 250 m2 20 5

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

19 2 cm

15 2 cm

3. A área de um trapézio é dada pela (B + b) h em que B refórmula A = 2 presenta a medida da base maior, b representa a medida da base menor, e h representa a medida da altura.

10 5

30 5

Perímetro: 68 2 cm ; área: 570 cm . 2

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4. a) 7 5 + 5 4. Qual é a expressão, na forma mais simples possível, que se obtém quando efetuamos as multiplicações a seguir? 5 ? (7 + 5 ) b) 15 ? ( 3 + 5 )

8 ? (2 _ 6 ) 4 2 _4 3 3 5 +5 3 5. Qual é a expressão que representa o resultado da multiplicação (7 _ 5 3 ) ? (2 _ 8 3 )? 134 _ 66 3 6. Usando a multiplicação, escreva a expressão que representa cada uma das potências a seguir. 9 + 2 14 2 2 a) (1 + 10 ) 11+ 2 10 c) ( 7 + 2 ) a)

c)

b) (3 _ 5 ) 14 _ 6 5 d) ( 10 _ 7 ) 17 _ 2 70 2

2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

7. Dê o resultado de cada uma das seguintes divisões: a) b)

15 : 3 4

4

21 : 7

5

c)

162 : 3 3 6

3

d)

240 : 6 2 10

4

8. Simplifique as expressões. 40 486 2 2 c) a) 5 3

Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice A redução de radicais ao mesmo índice é bastante útil quando desejamos multiplicar ou dividir radicais. Para isso, encontramos um múltiplo comum aos índices dos radicais e fazemos a equivalência necessária, multiplicando tanto o índice quanto o expoente do radicando.

9 2

150 5 2 3 9. Qual é o número que representa o quo(2 + 3 ) : ( 6 _ 2) 3 + 2 3 ciente ? 3 (2 + 6 ) 2 b)

54 ?

d)

3 9 2

Redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice Acompanhe e analise as situações a seguir.

1 Vamos considerar os radicais 3 72 e 4 63 . Podemos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deve ser múltiplo comum dos índices 3 e 4. Assim, temos: 12, 24, 36, 48, 60, ... Vamos escolher o menor deles: o 12. Agora, observe: 3

4

72

!4

!4 12

63

!3

!3 12

78

69

Então: 3

72

,

4

63

radicais com índices diferentes

12

78

,

12

69

radicais equivalentes (com o mesmo índice)

2 Consideremos, agora, os radicais 8 a5 e 6 a3 , com a > 0. Vamos reduzir esses radicais a um mesmo índice, que deverá ser múltiplo comum de 8 e 6. Assim, temos: 24, 48, 72, 96, 120, ... Por facilidade, escolhemos o menor deles: o 24. 8

!3

!3 24

Então:

8

a5

6

a5 !4

!4 24

a15

,

6

a3

radicais com índices diferentes

a3

24

a15

a12

,

24

a12

radicais equivalentes (com o mesmo índice)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Nestas atividades, os alunos vão efetuar multiplicações e divisões que envolvem radicais de índices diferentes. Antes de trabalhar com essas atividades, retomar o conceito de mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Explicar aos alunos que será necessário, inicialmente, determinar o mínimo múltiplo comum entre os índices para reduzir radicais com índices diferentes a um mesmo índice e transformá-los em radicais equivalentes; então, poderão realizar as operações indicadas. Com esse trabalho, perceberão que, da mesma forma que no estudo das frações, o m.m.c. é um excelente recurso para transformar radicais com índices diferentes em radicais de mesmo índice.

Multiplicação e divisão de radicais com índices diferentes A redução de dois ou mais radicais ao mesmo índice nos possibilita efetuar a multiplicação e a divisão de radicais que inicialmente apresentam índices diferentes. Acompanhe e analise os exemplos a seguir. 1

10 3 Vamos calcular 4 2 ⋅ 2 Como os radicais têm índices diferentes, precisamos, primeiro, reduzi-los ao mesmo índice para, depois, efetuar a multiplicação. 4

2 ? 10 23 = 20 25 ? 20 26

2 Calcular 10 : 3 10 . Inicialmente, reduzimos os dois radicais ao mesmo índice e, em seguida, efetuamos a divisão. Observe: 10 : 3 10 = 6 103 : 6 102 = 6 103 : 102 = 6 10

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Reduza ao mesmo índice cada conjunto 42 15 42 18 de radicais a seguir. 2 , 2 6

a) 3 2 , 3

22 , 6 33

d) 14 25 , 21 29

3 3 2 b) 7 a , b 21 a9 , 21 b14 e) 10 32 , 6 2 , 15 24

c) 5 32 , 4 33 20 38 , 20 315 f) 5 34 , 10 6 , 2 10 8 10 e) 30 36 , 30 25 , 30 28 3 , 6 , 10 25 2. Reduza cada par de radicais ao mesmo índice e, em seguida, compare os valores obtidos usando o sinal . ou ,. a)

10

2 e

15

10

b) 12 3

e

8

3

6

c)

2

e

30

2

2

2 , 36

11

18

3

3 3

3

2

.

36

4 22

3. Vamos efetuar as operações indicadas e, quando possível, simplificar cada resultado. b)

7 :57

c) 4 3 ? d)

2 :

3 20

7

2

108

15

a) 3 10 ? 5 10 10

73

4

33

20

3

2

30

f) 6 75 : 3 72

6

5

7

4 g) 4 23 ? 5 24 ? 10 27 4 2

h) 8 65 : 12 62

611

24

4. Em cada uma das expressões, a e b são números reais positivos. Escreva, então, a expressão algébrica que representa o resultado de: a)

8

a5b3 : 6 ab2

24

a11b

b)

9

a7b6 : 6 a3b2

18

a5b6

3

29 , 24 212

24

2

30

30

e) 6 52 : 10 53

a b :3 b a

6

a5 b5

4

a5b3 : 12 a10b9

12

6

(ab)5

4

ab3

c) d) e)

12

a7 b

5. (Fuvest-SP) Se a = o valor de a ? b é: a)

4

b)

4

a5

8

c)

4

d)

2 e b = 4 2 , então

8

8

4

e)

4

Alternativa a.

8

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação de radicais

Potenciação de radicais O estudo da potenciação de radicais finaliza o bloco de operações realizadas com os mesmos. O desenvolvimento de potências que envolvem soma ou subtração de radi-

Considere as seguintes potências: 2 3 3 ( 10 ) , ( 7 ) , (5 2 ) Usando a definição de potência (produto de fatores iguais), temos: • ( 10 ) = 10 ? 2

• ( 7) = 7 ? 3

• ( 2) = 5

3

5

2 ?

10 = 102 = 10 7 = 73 = 72 ? 7 = 7 7

7 ? 5

2 ?

5

2 =

5

2

cais, como em [ 5 + 3 ] , será feito, inicialmente, com a aplicação da propriedade distributiva da multiplicação.

3

2

Assim, de modo geral:

(n a ) = n am , com a [ R+, m [ Z, n [ N e n . 1. m

Então:

• ( 3) = 5

35 = 32 ? 32 ? 3 = 9 3

• (3 10 ) = 3 104 = 3 103 ? 10 = 10 3 10 4

Nas expressões que envolvem radicais, podemos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação. Veja:

( 5+

3 ) = ( 5 + 3 ) ? ( 5 + 3 ) = ( 5 )2 + 5 ? 3 + 3 ? 5 + ( 3 )2 = 2

= 5 + 2 15 + 3 = 8 + 2 15

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

4. São dados os números reais x = 2 10 e y = 10 2 . Qual é o valor da expressão x2y2? 8 000

Responda às questões no caderno.

1. Vamos calcular: a) ( 21 )

21

d) (4 2 ) 4 4 2

b) (3 4 )

23 2

⎛1 ⎞ 10 ⎟ e) ⎜ ⎝2 ⎠

2

2

9

2

c) (8 3 ) 192 2

f)

5 2

(6 8 ) 2 2

2. Nas expressões seguintes, os números a e b são reais positivos. Nessas condições, escreva a forma mais simples de cada expressão algébrica. a) (a b ) a b

c) (ab b ) a b

b) (b a ) ab

⎛a d) ⎜ ⎝b

2

3

4

2

43

3

a

3. Um número real A é tal que

4

⎞ ab ⎟ ⎠

4 53

2

b

a3 b

A = 5 32 _ (2 2 ) . Qual é o valor de A? 4 2 3

5. Consideramos os números reais a = 3 2 eb=2 3 . a Determine a razão , dando a resposta b na forma de número decimal. 1,22

6. Aplicando a propriedade distributiva, calcule: a) ( 3 + 2 ) 5 + 2 6 2

b) (1 _ c)

7)

2

8_2 7

(4 2 + 5)(4 2 _ 5) 7

d) (2 + 10 ) 14 + 4 10 2

e) ( 11 + 7 )( 11 _ 7 ) 4 f)

(3 3 + 2 ) 29 + 6 6 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Racionalização de denominadores

Adotando

1 . 3

3 = 1,732 (aproximação com três

casas decimais), vamos encontrar a forma decimal 1 aproximada da expressão : 3

10000 1732 13400 0,577 12760 0636

1 1 1 1 0,577. 1,732 3 Voltemos a considerar a expressão

PHOTODISC/GETTY IMAGES

Consideremos, inicialmente, a expressão

1 . 3

Usando a propriedade da equivalência de frações, multiplicamos o numerador e o denominador dessa expressão pelo mesmo número aproximada do resultado:

1 = 3

1? 3 = 3 ? 3

3 32

=

( 3 ) e determinamos, em seguida, a forma decimal

3 1 0,577 3

1,732

3

23

0,577

22 1

1 e 3 resultado na forma decimal aproximada: 0,577. Como você pôde observar, as expressões

PHOTODISC/GETTY IMAGES

Racionalização de denominadores Aqui o objetivo é levar os alunos a aplicar as propriedades das frações, dos radicais e a propriedade distributiva para racionalizar denominadores de expressões fracionárias. É sempre interessante propiciar situações em que os alunos possam desenvolver a autonomia. Para isso, sugerir aos alunos a leitura individual e cuidadosa do texto dessas páginas com o objetivo de compreender e aplicar os conceitos e as propriedades utilizadas para a racionalização dos denominadores de uma expressão fracionária. Depois da leitura, perguntar aos alunos o que é a racionalização de denominadores. Pedir que mostrem pelos exemplos dados na lousa no livro do aluno. Nesse momento, estimular a expressão oral e a troca de ideias entre os alunos.

3 são equivalentes. Obtivemos o mesmo 3

A uma transformação em que o denominador é um número racional damos o nome de racionalização de denominadores. Essa racionalização consiste em transformar uma expressão com denominador contendo números irracionais em uma expressão equivalente com denominador contendo apenas números racionais.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vejamos, então, mais um caso de racionalização de denominadores. 1 Racionalizar o denominador da expressão Multiplicando 3 10 por

10 temos:

Atividades Os alunos aplicarão, nessas atividades, os conhecimentos adquiridos e realizarão a racionalização usando propriedades de radicais e propriedade distributiva. Sugerir que essas atividades sejam feitas individualmente. Assim, é possível observar melhor as possíveis dificuldades e dúvidas de cada aluno. Depois retomar os conceitos e procedimentos para esclarecê-las.

5 . 3 10

2

3 10 ? 10 = 3 10 = 3 ? 10 = 30 10 é o fator racionalizante da expressão

Dizemos que

5 5 ? 10 5 10 5 10 = = = = 2 3 10 3 10 ? 10 3 ? 10 3 ? 10 10 6

5 . 3 10

10 6

expressão equivalente com denominador racional

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Racionalize o denominador de cada uma das expressões. 2 10 e) 20 2 5 i) 2 3 6 a) 2 5 5 2 5 10 5 6 3 6 7 3 6 f) b) j) 2 6 6 2 7 21 9 3 3 20 2 10 c) g) 2 3 3 3 10 1 7 5 10 d) h) 2 7 7 2 2. Dadas as expressões a seguir, racionalize 3_ 6 os denominadores. 1_ 3 3 _ 23 3 _3 d) a) 3 3 3 3 2 _2 2+ 2 e) 2 2

b)

3_ 2 2

c)

5 + 2 5 + 10 1+ 2 f) 5 5 5 5 + 10

2 +1

5

n a a = n . 3. Você já aprendeu que b b Nessas condições, racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões. n

a)

3 10

5 3 15 3 3 1 5 b) d) f) 5 15 8 2 8 10 5 4 4 4. Determine, na forma decimal, o valor de cada expressão a seguir. (Use: 6 = 2,449; 2 = 1,414 e 10 = 3,162.) a)

3 2

1,224

c)

1 2

0,707

b)

2 5

0,632

d)

2 3

0,816

30 10

c)

1 2

e)

2 2

5. Racionalize os denominadores das 4 expressões. 8 5 2 1 2 9 2 4 2 6 c) 9 7 e) 4 3 a) 5 3 2 6 6 2 8 6 20 15 3 2 3 5 b) 3 d) 10 5 210 35 f) 11 8 5 3 10 11 2 103 6. Racionalize o denominador das seguintes expressões: 1 2 _ 2 8_5 2 3+ 6 d) a) 7 3 3+ 2 3_ 6 b) c)

2 5 _ 3 e) 2 _ 2 2 _ 2 5 + 3 2_ 2 11 3 _ 2 2 3 + 1 f) 5_2 6 2 3 _1 3 + 2 53

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Potência com expoente racional Retomar as discussões e apontamentos elaborados pelos alunos, auxiliando na conclusão de que as propriedades estudadas para as potências com expoentes inteiros também são válidas para as potências com expoentes fracionários. Propor situações que envolvam o uso da calculadora. Exemplo:

Potência com expoente racional Já estudamos expressões da forma 102, 6_1 e 20, que são potências com expoentes inteiros, cujos significados já conhecemos: 1 6_1 = 20 = 1 102 = 100 6 Mas qual será o significado de uma potência com expoente fracionário? Vamos considerar algumas situações. 3

1 Qual é o significado de 2 4 ? •

Se elevarmos os dois membros à 4a potência, teremos:

( ) h y =2 3 4

3

y = 2 4 h y4 = 2 4

• Sem usar a tecla

obter um valor aproximado para 8354 e verificar o resultado. Orientar os alunos a verificar o valor encontrado multiplicando o resultado por ele mesmo e comparando o produto obtido com 8 354.

3

Consideremos um número real y, tal que y = 2 4 .

I

4

3

• II Consideremos um número real x, tal que x =

4

23 .

Elevando os dois membros à 4a potência e utilizando as propriedades de radicais, temos: x = 4 23 h x 4 = 4 212 h x 4 = 23

Comparando I e II , obtemos: x 4 = 23 e y 4 = 23 Como x . 0 e y . 0, temos: x4 = y4 h x = y Na expressão acima, como os expoentes são iguais, as bases positivas também são iguais. Daí, podemos escrever: 3

2 4 = 4 23 2 Vamos considerar, agora, o radical 5 220 .

Como o radicando 220 pode ser escrito na forma (24) , é possível fazer: 5 220 = 5 (24) = 24. 5

5

Ocorre que o expoente 4 pode ser escrito na forma 20

⎞ 20 ⎛ 20 expressam o mesmo número⎟ . ⎜4 e ⎠ 5 ⎝ 5

É possível, portanto, escrever: 5 220 = 24 = 2 5 . 20

25

potência com expoente fracionário

O mesmo podemos fazer quando temos, por exemplo: 12

•

3

1012 = 10 3

30

• 6 230 = 2 6

Você pôde observar que, nos exemplos dados, o expoente do radicando é múltiplo do índice do radical. 54

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Porém, mesmo quando isso não ocorre, procedemos dessa maneira. Veja: 2

5

3

• 3 25 = 2 3 • Assim, podemos escrever:

1

102 = 10 3

•

Atividades Essas atividades têm como objetivos escrever radicais na forma de potência com expoente fracionário e vice-versa e calcular potências com expoente fracionário, reconhecendo que as propriedades já estudadas para potências com expoentes inteiros valem também para as potências com expoentes fracionários.

5

5 = 52

•

8

35 = 3 8

m

a n = n am , com a [ R+, m [ Z e n [ Z+* . Acompanhe as seguintes situações:

1 Qual é o valor da expressão 81 Inicialmente, fazemos

As mesmas propriedades que já estudamos para expoentes inteiros valem também para as potências com expoentes fracionários.

?

0,75

! 25

0,75 =

3 75 = . 100 4 ! 25

Decompondo 81, temos 81 = 34. 3

3

4?

810,75 = 814 = (34) 4 = 3 Logo: 810,75 = 27

3 4

= 33 = 27 1

_

_

1

1

36 2 = (62) 2 = 6 1 _ 1 Logo 36 2 = . 6 _

⎛ 1⎞ 2 ? ⎜_ ⎟ ⎝ 2⎠

ATIVIDADES

= 6 _1 =

1 6

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Escreva na forma de potência com expoente fracionário os seguintes radicais: 1 3

a)

7

23 2 7

b)

5

104 10 5

c)

3

2

7 7

4

2 3

5

d) e) f)

6 9

11 112

25 2 2

g)

2

26

h) 4 23 2 4

5

1 9

1

5

3

2. Escreva na forma de radical as seguintes potências com expoentes fracionários: a) 5 b) 3

2 3

2

3

5 7 3

c) 10 4

5

WAVEBREAK MEDIA/EASYPIX BRASIL

2 Qual é o número real expresso por 36 2 2 Decompondo 36, encontramos 22 ? 32 = (2 ? 3) = 62.

d) 7

1 2

7

4 3 3

7

35

e) 6

4

103

f) 8 7

5

7

4

6

85

g) 6 h) 7

3 2

2

4 9 9

3. Sabendo que x é um número real positivo, escreva na forma de uma única potência de base x (com x . 0) a ex1

1

pressão x 2 ? x 3 Em seguida, escreva a potência obtida na forma de radical. 5

x 6 ; 6 x5 4. Escreva na forma de uma única potência de 3: 1 1 2 3

6

a) (3 )

1

5

74

b) 3 3 : 3 6

36

3

2

1

36 _

1

c) 27 6

1

32 55

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Calculando raízes com a calculadora científica Vamos aprender como trabalhar com a radiciação usando uma calculadora científica. Nem todos os modelos de calculadora científica apresentam as três teclas destacadas na foto ao lado, afinal existem diversos modelos disponíveis. Se esse for o caso da calculadora que você está usando, pesquise quais as teclas que possuem função semelhante às destacadas. Se necessário, junte-se a um colega. Observe nos quadros a seguir algumas funções das teclas destacadas.

Calculadora científica.

MONGPIMMIE/SHUTTERSTOCK.COM

Calculando raízes com a calculadora científica Existem vários tipos de calculadoras: as básicas, as científicas, as financeiras, as estatísticas e até as gráficas. Para o Ensino Fundamental e Médio, orienta-se o uso da científica, pois permite acesso a operações matemáticas estudadas nesses períodos. Os alunos poderão se certificar de que seus cálculos estão corretos ao longo do estudo de potenciação, radiciação, logaritmos, trigonometria, fatorial, além das operações básicas. Caso eles não possuam uma, comentar que muitos celulares hoje em dia apresentam as funções de uma calculadora científica. Além disso, também há sites na internet que apresentam calculadoras científicas on-line. Veja a seguir alguns exemplos: • CALCULADORA ONLINE. Calculadora científica. Disponível em: <http://livro.pro/ idajs7>. Acesso em: 16 nov. 2018. • Web 2.0 Calc.com. Disponível em: <http://livro.pro/895xvo>. Acesso em: 16 nov. 2018. Ao trabalhar com a calculadora, é preciso conhecê-la. Todas as calculadoras científicas são similares, o que diferencia uma da outra é a maneira como as informações serão introduzidas. Por isso é importante familiarizar-se com as teclas e com as funções de cada uma.

é utilizada para calcular a raiz quadrada de um número. Essa tecla também

A tecla

é encontrada em algumas calculadoras simples. Para calcular 169 , por exemplo, devemos seguir o seguinte passo a passo: 1. Clique em

e digite o radicando 169. = . No visor vai aparecer o número 13.

2. Para finalizar, aperte a tecla

A tecla x é utilizada para o cálculo de potências de expoente 3. Contudo, a função 3

desejada é a função secundária, ou seja, a que está em amarelo e que é usada para o cálculo de raízes cúbicas. Vamos ver uma aplicação? Por exemplo, o cálculo de 3 8 . Para fazer esse cálculo, adotamos o seguinte procedimento: 1. Apertamos a tecla Shift e habilitamos a função secundária do teclado. 2. Em seguida, clicamos em x . 3

3. No visor aparecerá o radical com índice 3. 4. Depois, digitamos o radicando, que, nesse caso, é 8. 5. Por fim, apertamos a tecla

= . No visor vai aparecer o número 2.

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Como no caso anterior, também vamos usar a função secundária da tecla

^

deparou. Pedir que calculem qual deveria ser a velocidade teórica inicial (v0) de lançamento para que o foguete atingisse uma altura máxima de 95 m. Para isso, os alunos deverão utilizar a equação de Torricelli (físico e matemático italiano), v2 = v 20 _ 2gh, adotando g = 10 m/s2 para a aceleração da gravidade, sabendo que, quando o foguete atinge sua altura máxima (h = hmáx), sua velocidade é nula (v = 0). Se necessário, permita o uso de calculadora para calcular alguma raiz. Essa atividade pode ser realizada com o professor de Ciências, pois envolve alguns conceitos de Física.

.

A função secundária dessa tecla calcula raízes com qualquer valor para o índice. Veja, por exemplo, como calcular 4 1296 . 1. Digite o valor do índice, no caso, 4. 2. Por meio da tecla Shift , habilitamos a função secundária e, em seguida, clicamos em

^

.

Aparecerá na tela o radical e no lugar do índice vai aparecer x. 3. Digitamos o radicando, neste caso, 1 296. 4. Para finalizar, aperte a tecla

= . No visor vai aparecer o número 6.

Vamos efetuar alguns cálculos com expoentes fracionários, escritos na forma decimal.

Resolução de atividade

Veja, por exemplo, como calcular 490,5.

Do enunciado do problema temos as seguintes informações: g = 10 m/s2 h = 95 m v = 0 m/s Queremos determinar a velocidade teórica inicial (v0). Então, utilizando a equação de Torricelli, temos: 02 = v 20 _ 2 ? 10 ? 95 0 = v 20 _ 1 900 v 20 _ 1 900 v0 = ± 1900

1. Digite o valor da base, no caso, 49. 2. Como no caso anterior, também vamos usar a função secundária da tecla

^

.

3. Digitamos o expoente, 0,5. 4. Para finalizar, aperte a tecla

ATIVIDADES

= . No visor vai aparecer o número 7.

Resoluções a partir da p. 289

Como estamos querendo determinar a velocidade inicial, ela não pode ser negativa, então: v0 = + 1900 1 43,59

Responda às questões no caderno. 1. Agora que você já viu alguns recursos da calculadora científica para o cálculo de raiz, resolva: a)

5

32 768 8

784 28 c) 3 46 656 36 d) 10 1048 576 4 b)

e) 160,25 2

Portanto, a velocidade teórica inicial do foguete deveria ser 43,59 m/s.

f) 320,2 2 g) 121

0,5

11

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AMPLIANDO

Atividade complementar Como curiosidade, indicar o filme O Céu de Outubro para seus alunos e fazer alguns comentários relacionados ao cálculo de radicais. O Céu de Outubro conta a história de Homer e seus ami-

gos, adolescentes de uma pequena cidade do interior dos Estados Unidos, cuja principal atividade profissional era uma antiga mineradora de carvão. Para realizar o sonho de colocar um foguete em órbita e, ainda, concorrer a uma bolsa de estudos em uma universidade conceituada, Homer teve

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de aprender alguns conceitos matemáticos, incluindo os que foram vistos nesta Unidade. Mais informações a respeito do filme estão disponíveis em <http://livro.pro/mwd8vu>. Acesso em: 10 nov. 2018. Diante disso, desafiar seus alunos a resolver um dos problemas com os quais Homer se

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Retomando o que aprendeu As questões propostas nessa seção visam retomar o trabalho com números reais. Incentive os alunos a socializar suas estratégias e trocar ideias com colegas a respeito de temas que ainda tenham dúvida. Procure acompanhar e orientar os alunos nesse trabalho. Use esse momento para explicar as dúvidas que ainda persistam. Na atividade 4, para resolver a expressão 5 ? ? [ 5 + 5 ] ? [ 5 _ 5 ], orientar os alunos a utilizarem a 4a propriedade dos radicais, apresentada na página 39, e em seguida aplicar a propriedade distributiva da multiplicação por partes, iniciando pelo produto [5 + 5 ] ? [5 _ 5 ].

RETOMANDO O QUE APRENDEU 1. Observe as afirmações e verifique se são verdadeiras ou falsas. Use V ou F para identificar cada caso. a) O número 3,8 não pertence ao conjunto dos números irracionais. V b) O número 7 pertence ao conjunto dos números irracionais. V c) Todo número racional também é um número irracional. F d) O número 81 pertence ao conjunto dos números racionais. V e) O número 5,80 pertence ao conjunto dos números naturais. F 2. A representação decimal de um número pode ser: finita, infinita e periódica ou, ainda, infinita e não periódica. Escreva qual é o caso de cada um dos números Infinita e a seguir. não periódica. 27 b) 0,23 c) a) 2 6 Infinita e periódica. Finita. 3. Observe os números a seguir e responda às questões: 49 3 49 ;_ 3 ; ; 1,25 ; p _97; Sim; 7 5 7 a) Alguns desses números pertencem ao conjunto dos números naturais? Qual? b) Quais números pertencem ao conjunto dos números inteiros? _97; 49 7 c) Quais números são irracionais? _ 3 e p d) Quais números são reais, mas não são racionais? _ 3 e p e) Quais números são reais, mas não são irracionais? 1,25; 49 ; _97; 3 7 5 4. Qual é o resultado da expressão

( 5+ 5 ) ? ( 5 _ 5 )?

5 ? a)

5

b) 2 5 c) 10

Resoluções a partir da p. 289

5. Qual é o número que se obtém simplificando a expressão 5

31 + 6 10 _ 83 _

4

?

a) 2

d) 4

b) 1

e) 6 Alternativa a.

c) 3

1

1

6. A expressão numérica 812 + 32 5 tem valor: a) 7

d) 10

b) 8

e) 11 Alternativa e.

c) 9 7. Sabendo que

2 +x = 4 2 e

3 ? y = 5 6 , calcule o valor de x + y.

a) 2 2

d) 8 2

b) 4 2

e) 10 2

c) 5 2

Alternativa d.

8. Sendo a = 24 e b = 4 36 , o valor do produto ab será: a) 2 6

d) 4 6

b) 6

e) 24 Alternativa c.

c) 12

(

9. A expressão 3 6 29

) ?( 5

6 3

29

) é igual a: 5

a) 2

d) 10 2

b) 2 2

e) 32

c)

Alternativa e.

32

10. Qual é o valor da expressão

32 + 4 8 _ 50 _ ( 2 ) ? 3

d) 10 5

a) 5 2

d) 6 2

e) _10 Alternativa c.

b)

e) _ 2

2

c) _5 2

Alternativa a.

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a)

d) 0

3

c) _1

12. Sabendo que x 2 = 12 2 e 3 o valor de x _ y é:

y

d) 5

b) 0

e) 10 Alternativa a.

c) 6

3 10 _

10 _ 3

?

c) 16 d) 14 15. O valor da expressão 32 0,2 + 27 0,5 _

(108) 2

a) 2

1 2

+ (0,0016)

0,25

d) _10

c) 22

b) 5

e) _5 Alternativa d.

d) 2,2 + 6 3

√2

1

0

1

2

Construir um triângulo retângulo isósceles de modo que os lados menores meçam 1 u e um deles esteja sobre uma reta numérica, a partir do zero. Desse modo, o lado maior mede 2 u. A partir dessa construção, com o compasso aberto com a medida do lado maior, posicionar a ponta-seca sobre o zero da reta numérica e traçar um arco de circunferência que intersecte a reta numérica. O ponto em que o arco de circunferência traçado cruza a reta numérica está a 2 u de distância do zero da reta numérica. A última questão retoma a existência de resultado para a raiz de um número negativo. Destacar que a raiz de um número negativo, quando o índice da raiz é par, não está definida no conjunto dos números reais.

é:

Alternativa b.

b) 2,2

a) 1 c) 10

então A

e) 10

13. Qual é o número inteiro que você obtém quando simplifica a expressão 10

2

A terceira questão deve ser resolvida por meio de desenho geométrico, indicando uma possibilidade para medir o segmento, conforme a construção a seguir.

b) 18

5 = 15 5 ,

a) 1

14. Se A = 8 + 16 _ (_2) + 8 vale: Alternativa c.

4 3

a) 20

e) 2 Alternativa d.

b) 1

1 4

EDITORIA DE ARTE

11. Se x = 1 _ 3 e y = _1 + 3 , o número real que expressa o valor x2 _ y2 é:

1 3

e) 22 + 6 3

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, ampliamos nossos estudos sobre o conjunto dos números reais e foi possível explorar: os números irracionais e sua descoberta pela Geometria, o número p, os números reais, o cálculo com radicais, iniciando pela raiz enésima de um número real, seguindo pelas propriedades operatórias dos radicais, pela simplificação, pela adição algébrica, pela multiplicação e pela divisão, chegando à potenciação de expressões com radicais. Para melhor organizar o estudo dos cálculos com radicais, sugerimos que você faça um breve resumo de cada propriedade contendo um ou mais exemplos que achar relevantes. Com esse resumo em mãos, vamos retomar as aprendizagens desta Unidade. Agora, vamos refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes: • A abertura desta Unidade apresentou o número irracional p. Agora, responda novamente à questão feita anteriormente: “Como podemos obter uma aproximação para o número p?”. • Na abertura desta Unidade, você foi convidado a sugerir um número que, assim como o número p, também fosse um número irracional. O número que você sugeriu se mostrou como sendo um número irracional? Se sim, qual característica esse número apresenta para ser considerado um número irracional? Se não, qual número você responderia se fosse novamente convidado a responder a essa questão? Respostas pessoais. • Como podemos construir um segmento de medida 2 utilizando Geometria? Traçando a diagonal de um quadrado cujo lado mede 1. • Considerando o conjunto dos números reais, em que situação não existe a raiz de um número negativo? No conjunto dos números reais, não é possível extrair a raiz quando o índice for um número par.

Podemos obter uma aproximação para o número p dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu diâmetro, ou o dobro da medida do raio. 59

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade poderão permitir, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das

aprendizagens individuais. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas a respeito de cada conteúdo apresentado na Unidade.

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As questões iniciais dessa seção visam retomar alguns conceitos tratados na abertura dessa Unidade. É uma ótima oportunidade para verificar as aprendizagens desenvolvidas ao longo das explorações da Unidade.

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2

COMPETÊNCIAS GERAIS 4. Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

PRODUTOS NOTáveis e fatoração

Vitral é uma vidraça constituída de pedaços de vidro, geralmente coloridos, combinados para formar desenhos. Na imagem, vemos o fôlder de uma fábrica de vitrais que trabalha com peças em forma de retângulos e de quadrados. Nesse fôlder, há o formato das peças que são utilizadas e algumas configurações oferecidas pela fábrica. Observe que a medida de algumas peças pode variar, dependendo da área do vitral. Essa área pode ser descrita algebricamente. Esse cálculo faz parte dos estudos que faremos nesta Unidade. Resposta pessoal. Espera-se que o aluno perceba que a área do vitral é composta pela soma das áreas de cada uma das peças que o constituem. Agora, pense e responda no caderno: • No fôlder é mostrado um exemplo de configuração oferecida por essa fábrica com sua área indicada. O que você percebe? • A cada composição é destinada uma área específica, mas cada modelo de vitral tem sua área generalizada. Qual é a área dos três vitrais que são dados como exemplo? Para que serve essa generalização? • Com a ajuda de dois colegas, crie e construa o modelo de um vitral para uma janela de sua escola utilizando papéis de sua preferência; lembre-se de que o vitral deve ter as mesmas medidas da janela escolhida. Resposta pessoal.

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Modelo I: x 2 + 2xy + y 2; Modelo II: 4x 2 + 4xy + y 2; Modelo III: 4xy + y 2. A generalização serve para calcular a área dos vitrais quaisquer que sejam as medidas de suas peças.

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HABILIDADES p. XXIII e XXIV

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Álgebra • EF09MA09 Probabilidade e estatística • EF09MA22

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS MANZI

Abertura da Unidade A abertura desta Unidade pretende mostrar que muitos temas estudados nas aulas de Matemática estão interligados e podem ser estudados por vias distintas. No caso dos produtos notáveis, será mostrado como a representação geométrica ajuda a entender a manipulação algébrica de determinado produto. Conversar com a turma a respeito dos vitrais da situação proposta na abertura. Espera-se que eles compreendam que o valor a ser pago vai depender da área do vitral de acordo com a disposição escolhida para as peças montadas. Discutir as questões colocadas na abertura. Os alunos podem construir cartazes com as resoluções propostas e, no momento adequado da Unidade, poderão retomá-los, analisando se o que imaginaram previamente se confirma ao longo do desenvolvimento da Unidade.

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1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Os produtos notáveis O trabalho com o cálculo algébrico teve início no 8o ano. Além das definições de monômios e polinômios, os alunos efetuaram algumas operações básicas, como adições, subtrações e multiplicações. No 9o ano, além da propriedade distributiva, os produtos serão mais uma vez discutidos, mas agora com o objetivo de apresentar e formalizar os produtos notáveis para, em seguida, explorar os casos de fatoração. Esses temas são fundamentais para a resolução futura de equações do 2o grau, principalmente as incompletas. Trabalhar o vocabulário associado ao termo produto notável. Muitas vezes, o significado de alguns termos matemáticos torna mais claro o conceito envolvido.

OS PRODUTOS NOTÁVEIS No 8o ano você estudou monômios e polinômios. Vamos relembrar?

Denomina-se monômio ou termo algébrico toda expressão algébrica representada apenas por um número, ou apenas por uma variável, ou por uma multiplicação de números e variáveis em que a variável não esteja nem no denominador nem no radical. Assim, são exemplos de monômios: 3x

7y

x2

abc

4x

Já um polinômio é qualquer adição algébrica de monômios. São exemplos de polinômios as seguintes expressões: ab + x2 + 3x

9z + 3y

3x + 2y _ x2 + y2

y _ 2x

Observe a seguinte situação: Qual é a expressão algébrica que representa a área da figura a seguir?

a

x

1 2

x

EDITORIA DE ARTE

b

A área da figura é dada pela soma das áreas das figuras 1 e 2 . Adicionamos, então, as áreas das duas figuras: ab + x2. Assim, a área dessa figura é dada pela soma ab + x2 Observações: • Qualquer monômio é considerado um polinômio. • Os monômios que formam um polinômio são denominados termos do polinômio. Assim: 2xy é um polinômio de um só termo (monômio) 100x + 10y + 2 é um polinômio de três termos: 100x, 10y e 2 62

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No cálculo algébrico, alguns produtos aparecem com muita frequência. Veja alguns desses produtos:

Quadrado da soma de dois termos O primeiro produto notável estudado é o quadrado da soma de dois termos. Antes de iniciar o estudo, retomar a questão do vocabulário. Discutir a diferença entre representar, algebricamente, o quadrado da soma de dois termos e a soma do quadrado de dois termos. Caso julgue oportuno, solicitar aos alunos que construam as figuras geométricas apresentadas no livro do aluno em uma folha de papel quadriculado. A visualização geométrica deste produto notável auxilia na compreensão. Espera-se que, ao final os alunos compreendam que (x + y)2 5 x2 + y2.

• (x + y) ? (x + y) ou (x + y)2 (quadrado da soma de dois termos) • (x _ y) ? (x _ y) ou (x _ y)2 (quadrado da diferença de dois termos) • (x + y) ? (x _ y) (produto da soma pela diferença de dois termos) Pela importância que têm no cálculo algébrico, esses produtos são chamados produtos notáveis.

Quadrado da soma de dois termos Vamos considerar a expressão (x + y)2, que representa o quadrado da soma de dois termos, e desenvolvê-la algebricamente. Aplicando a definição de potência, temos: (x ! y)2 " (x ! y) # (x ! y) "

= x2 + xy + xy + y 2 = x2 + 2xy + y 2 Então, temos a igualdade: (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2 Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o problema a seguir. 1 Considerando dois segmentos, um de comprimento x e outro de comprimento y, como se pode calcular a área do quadrado cujo lado mede (x + y)? y

Usando esses dois segmentos, construímos a representação do quadrado: Esse quadrado tem como medida do lado (x + y), e sua área, (x + y)², pode ser expressa pela soma das áreas das figuras que o formam. Veja: x

x

y

x2

xy

x

y

x

x2

xy

x

y

xy

y2

y

x

y

y

x

x

xy y2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x

y

y x2

+

2 ? (xy)

+

y2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tanto algébrica como geometricamente ficou demonstrado que: (x ! y)2 quadrado da soma de dois termos

x2

2xy

!

quadrado do 1o termo

y2

!

duas vezes o produto do 1o pelo 2o termo

quadrado do 2o termo

O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. Observe os seguintes exemplos do que acabamos de apresentar: • (3x + 2y)2 = (3x)2 + 2 ? 3x ? 2y + (2y)2 = 9x2 + 12xy + 4y 2 • (a3 + 5b)2 = (a3)2 + 2 ? a3 ? 5b + (5b)2 = a6 + 10a3b + 25b2

Quadrado da diferença de dois termos Vamos considerar a expressão (x _ y)2, que representa o quadrado da diferença de dois termos, e desenvolvê-la algebricamente. Inicialmente, de acordo com a definição de potência, temos: (x # y)2 " (x # y) $ (x # y) "

AMPLIANDO

" x2 # xy # xy ! y 2 " x2 # 2xy ! y 2 Então, temos a igualdade:

(x _ y)2 = x2 _ 2xy + y 2 Geometricamente, podemos encontrar a mesma igualdade resolvendo o problema a seguir. 1 Considerando dois segmentos, de medidas x e y, com x . y, como se pode calcular a área do quadrado cujo lado mede (x _ y)? y

x

y

(x _ y)2

y(x _ y)

y2

x_y

y

x

y(x _ y)

y

Usando os dois segmentos, construímos a representação do quadrado indicado no problema. Note que a parte que não está hachurada é um quadrado de lado de medida (x _ y). O quadrado de lado de medida (x _ y) tem sua área expressa por (x _ y)2 ou por: x2 _ y(x _ y) _ y(x _ y) _ y 2 = 2 = x _ xy + y 2 _ xy + y 2 _ y 2 = x2 _ 2xy + y 2 Portanto: (x _ y)2 = x2 _ 2xy + y 2

x

x_y

x_y

x

EDITORIA DE ARTE

x

x_y

Atividade complementar Desenvolva as expressões a seguir: a) (_x _ y)2 b) (y _ x)2 c) (x + y + z)2 d) (x _ y + z)2 e) (x _ y _ z _ w)2 Resolução de atividade a) (_x _ y)2 = [_(x + y)]2 = = (x + y)2 = = x2 + 2xy + y2 b) (y _ x)2 = [y + (_ x)]2 = = y2 _ 2yx + x2 c) (x + y + z)2 = [(x + y) + + z]2 = = (x +y)2 + 2 ? (x + y) ? ? z + z2 = = x2 + 2xy + y2 + 2z(x + + y) + z2 = = x2 + 2xy + y2 + 2xz + + 2yz + z2 = = x2 + y2 + z2 + 2xy + + 2xz + 2yz d) (x _ y + z)2 = [(x _ y) + z]2 = = (x _ y)2 + 2z(x _ y) + + z2 = = x2 _ 2xy + y2 + + 2xz _ 2yz + z2 = = x2 + y2 + z2 _ 2xy + + 2xz _ 2yz e) (x _ y _ z _ w)2 = = [(x _ y) _ (z + w)]2 =

"

y

Quadrado da diferença de dois termos No início do estudo de produtos notáveis, sempre que possível, utilizar a representação geométrica, para facilitar a compreensão dos alunos. Mostrar que o caso (x _ y)2 pode ser visto como um caso particular de (x + y)2. Para isso, basta fazer [x + (_y)]2, identificando x como o primeiro termo do binômio e (_y) como o segundo termo. Assim: [x + (_y)]2 = x2 + 2 ? x ? (_y) + + (_y)2 = x2 _ 2xy + y2. Apresentar outras situações que recaem no quadrado da soma de dois termos (ou no quadrado da diferença de dois termos). Algumas sugestões são apresentadas na atividade complementar a seguir.

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= (x _ y)2 _ 2 ? (x _ y) ? ? (z + w) + (z + w)2 = = x2 _ 2xy + y2 _ (2x _ 2y) (z + w) + z2 + 2zw + w2 = = x2 + y2 + z2 + + w2 _ 2xy _ 2xz _ 2xw + + 2yz + 2yw + 2zw

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tanto algébrica como geometricamente ficou demonstrado que: (x ! y)2

"

quadrado da diferença de dois termos

x2 quadrado do 1o termo

!

2xy duas vezes o produto do 1o pelo 2o termo

Produto da soma pela diferença de dois termos O produto da soma pela diferença também é trabalhado geometricamente. Os alunos poderão, novamente, construir as figuras em folhas de papel quadriculado. Mais uma vez, a identificação do vocabulário associado ao produto notável pode contribuir para sua melhor compreensão. Após desenvolver a expressão da soma pela diferença de dois termos, é interessante substituir x e y por valores numéricos para que os alunos verifiquem que a expressão da área do retângulo cujas medidas dos lados são (x + y) e (x _ y) tem validade.

y2

#

quadrado do 2o termo

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo.

Observe os seguintes exemplos do que acabamos de aprender: • (3a _ 4b)2 = (3a)2 _ 2 ? 3a ? 4b + (4b)2 = 9a2 _ 24ab + 16b2 • (a3 _ xy)2 = (a3)2 _ 2 ? a3 ? xy + (xy)2 = a6 _ 2a3xy + x2y 2

Produto da soma pela diferença de dois termos Considere a expressão (x + y) ? (x _ y), que representa o produto da soma pela diferença de dois termos, e vamos desenvolvê-la algebricamente: (x # y) $ (x ! y) " x2 ! xy # xy ! y 2 " x2 ! y 2 Daí, temos a seguinte igualdade: (x + y) $ (x _ y) = x2 _ y 2 Geometricamente, obtemos essa mesma igualdade resolvendo o problema a seguir.

1 Considerando dois segmentos de medidas x e y, com x . y, como se pode calcular a área do retângulo cujos lados são os segmentos de medidas (x + y) e (x _ y)? Consideremos os segmentos de medidas x e y, com x . y, x e um terceiro segmento de medida (x _ y): Usando os três segmentos, podemos construir o seguinte y retângulo: x+y (x _ y) x_y

x_y

x+y

A figura montada é um retângulo, cujos lados medem (x + y) e (x _ y), e sua área é expressa por (x + y) ? (x _ y). 65

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Se julgar oportuno, explorar a situação do retângulo na prática com os alunos, por meio de recorte de folha de papel. Isso pode fazer com que eles compreendam melhor o que aconteceu com as partes do retângulo para se tornar a nova figura.

Observe como podemos decompor o retângulo em dois quadriláteros (I e II) e compor uma nova figura. x

x_y

y

I y

x

AMPLIANDO

x

Atividade complementar Desenvolva as expressões a seguir: a) (a + b)(a _ b) b) (3x + 5y)(3x _ 5y) c) (2m + 4n)(2m _ 4n) Resolução de atividade a) (a + b)(a _ b) = = a2 + ab _ ab _ b2 = = a2 _ b2 b) (3x + 5y)(3x _ 5y) = = 9x2 + 15xy _ 15 xy _ 25y2 = = 9x2 _ 25y2 c) (2m + 4n)(2m _ 4n) = = 4m2 + 8mn _ 8mn _ 16n2 = = 4m2 _ 16n2

x_y

II

I

x–y

y

x II y

x–y

Podemos dizer que a figura composta (colorida de amarelo) corresponde a um quadrado cujo lado mede x, do qual retiramos outro quadrado cujo lado mede y. Assim, a área da figura colorida de amarelo é expressa por x2 _ y 2. Podemos observar que a área do retângulo e a área da figura composta são iguais, o que nos permite escrever a igualdade: (x + y) ? (x _ y) = x2 _ y 2 Tanto algébrica como geometricamente ficou demonstrado que: (x ! y) soma dos termos

"

(x # y) diferença dos termos

x2

$

#

quadrado do 1o termo

y2 quadrado do 2o termo

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo.

Observe os seguintes exemplos do que acabamos de aprender: • (x2 + 7y) ? (x2 _ 7y) = (x2)2 _ (7y)2 = x4 _ 49y 2 • (4 _ xy 2) ? (4 + xy 2) = (4)2 _ (xy 2)2 = 16 _ x2y4

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Utilizando o que aprendeu sobre produtos notáveis, escreva o polinômio correspondente a: a) (8x + 1)(8x _ 1) 64x2 _ 1 b) (10 + 3x)2 100 + 60x + 9x2 c) (7a _ b)2 49a2 _ 14ab + b2 d) (x + 0,5y) x + xy + 0,25y 2

2

2

e) (ax + b)(ax _ b) a2x2 _ b2 f) (a2 _ 4y)2 a4 _ 8a2y + 16y 2 g) (1,4 _ abc)(1,4 + abc) 1,96 _ a2b2c2 h) (a3 + b3)2 a6 + 2a3b3 + b6 i) (x4 + 5y 3)2 x8 + 10x4y 3 + 25y6 j) ⎛⎜bc ! 1 a2⎞⎟ ⎛⎜bc " 1 a2⎞⎟ b2c2 ! 1 a4 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ 4 2. Qual é o polinômio que obtemos quando multiplicamos: a) 3x2 _ 2c por 3x2 + 2c? 9x4 _ 4c2 b) a2 b2 + 2,5c por a2 b2 _ 2,5c? a4b4 _ 6,25c2

3. (Saresp-SP) O polinômio 9x2 _ 25 é equivalente a: Alternativa a. a) (3x + 5)(3x _ 5) b) (3x + 5)(3x + 5) c) (3x _ 5)(3x _ 5) d) 3x(3x _ 25) 4. (Saresp-SP) A expressão x2 _ a2 é equivalente a: Alternativa d. a) _2ax b) (x _ a)2 c) (x + a)2 d) (x _ a)(x + a)

5. Desenvolvendo a expressão (3x5 _ 0,5)2, encontramos um trinômio. a) Qual é esse trinômio? 9x10 _ 3x5 + 0,25 b) Qual é o coeficiente numérico do termo em x5? _3 c) Qual é o produto dos coeficientes numéricos do trinômio? _6,75 6. Entre as igualdades seguintes, identifique aquelas que são falsas e corrija-as, escrevendo-as corretamente. a) (b _ 2c)2 = b2 _ 4bc + 4c2 V b) (3y _ a)(3y + a) = 3y 2 _ a2 F; 9y 2 _ a2 c) (2c _ a)2 = 2c2 + 4ac + a2 F; 4c2 _ 4ac + a2 d) (x3 + y 3)(x3 _ y 3) = x6 _ y6 V 7. Quando você divide um polinômio P por 2ax + 5, vai encontrar o polinômio 2ax + 5. Usando as regras dos produtos notáveis, escreva o polinômio P. (2ax + 5)2 = 4a2x2 + 20ax + 25 8. (Saresp-SP) Ao calcular a área de uma determinada casa, representada na figura a seguir, uma pessoa calculou a área de cada cômodo da casa, encontrando a seguinte expressão: ab + ac + 10b + + 10c. Outra pessoa calculou a área dessa mesma casa de outra maneira, chegando também ao resultado anterior. De que forma essa pessoa pode ter representado a área dessa casa? c Alternativa a. b o

eir

sala

10 cozinha

quarto

a

nh

ba

Atividades O objetivo dessas atividades é que os alunos identifiquem e utilizem os produtos notáveis estudados até aqui, bem como simplifiquem expressões algébricas que envolvam tais produtos notáveis e outros conhecimentos já adquiridos. Para que os alunos compreendam a denominação produto notável, é preciso que eles identifiquem que há uma regularidade nesses produtos. Para isso, orientar os alunos a fazerem alguns exercícios usando primeiramente a propriedade distributiva antes de utilizar os produtos notáveis. No item a da atividade 1, por exemplo, podem fazer assim: (8x + 1)(8x _ 1) = = 64x2 _ 8x + 8x _ 12 = = 64x2 _ 1 Em algumas atividades, como a atividade 7, os alunos vão precisar identificar o produto notável que envolve as expressões dadas comparando com o produto notável genérico conhecido.

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

a) (a + 10)(b + c)

c) (c + 10)(a + b)

b) (a + b)(10 + c)

d) (a + c)(b + 10)

9. Considere o polinômio x 2 + 8x. Qual é o termo que devemos adicionar a esse binômio para obtermos (x + 4)2? 16 67

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Desafio No desafio da atividade 18, se necessário, sugerir aos alunos que escrevam cada quadrado como a soma ou a diferença de dois termos, assim: • (x _ y + 2)2 = [(x _ y) + 2]2 • (x _ y _ 2)2 = [(x _ y) _ 2]2 Depois disso, eles devem aplicar o produto notável para resolver a atividade. Resolução do Desafio Aplicando separadamente os produtos notáveis do quadrado da soma e da diferença, temos: • [(x _ y) + 2]2 = (x _ y)2 + + 2 ? (x _ y) ? 2 + 22 = = x2 _ 2xy + y2 + 4x _ 4y + + 4 = x2 + y2 + 4 + + 4x _ 4y _ 2xy • [(x _ y) _ 2]2 = = (x _ y)2 _ 2 ? (x _ y) ? 2 + 22 = = x2 _ 2xy + y2 _ 4x + 4y + 4 = = x2 + y2 + 4 _ 4x + + 4y _ 2xy Assim, os alunos podem efetuar a diferença (x _ y + + 2)2 _ (x _ y _ 2)2. Para facilitar a visualização dos termos semelhantes, vamos “armar” a conta, colocando cada termo semelhante um embaixo do outro. Atenção com os sinais de cada termo do segundo polinômio. Lembre-se que o sinal de menos troca todos os sinais de cada termo. x2 + y2 + 4 + 4x _ 4y _ 2xy _x2 _ y2 _ 4 + 4x _ 4y + 2xy 8x _ 8y Logo, o polinômio procurado é 8x _ 8y.

Fórum No mundo globalizado atual cresceu muito a oferta de produtos. Artigos podem ser comprados de outros estados e até de outros países com apenas um click no botão do mouse de um computador. Por isso, os preços de um mesmo produto podem variar até 10 vezes de um estabelecimento para outro e a pesquisa de preços se tornou fundamental para um consumo consciente.

10. Para obtermos (a _ 2b)2, devemos acrescentar um termo ao polinômio a2 _ 2ab + 4b2. Qual é esse termo? _2ab 11. O produto de dois polinômios é x2y 2 _ a6. Se um dos polinômios é xy _ a3, qual é o outro? xy + a3

16. Observe: Quero que vocês desenvolvam esta expressão.

Não. A resposta correta é 4x2 _ 4xy 3 + y6.

12. Sabe-se que xy = 72 e x 2 + y 2 = 306. Qual é o valor de (x + y)2? 450 13. (OBM) Se x + y = 8 e xy = 15, qual é o valor de x2 + 6xy + y 2? Alternativa d. a) 64

c) 120

b) 109

d) 124

e) 154

14. (Mack-SP) Se (x _ y)2 _ (x + y)2 = _20, então x ? y é igual a: Alternativa d. 1 a) _1 c) 10 e) 5 b) 0 d) 5 15. (Saresp-SP) A expressão algébrica que representa a situação: “o quadrado da soma de dois números, mais 5 unidades” é: Alternativa c. c) (x + y)2 + 5 a) x + y + 52 b) (x + y + 5)2

Professor, a resposta é 2x2 ! 4xy 3 " y6.

d) x2 + y + 52

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A resposta do aluno está correta? Se não estiver correta, dê a resposta certa. 17. Escreva na forma reduzida cada um dos polinômios: 4_x a) (x + 1)2 _ x + (x _ 1)2 _ 2 ? (x2 _ 1) b) (2x + y)2 _ 6xy _ (x _ y)2 3x2 Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir. DESAFIO

18. Qual é o polinômio que representa a diferença (x _ y + 2)2 _ (x _ y _ 2)2? O polinômio procurado é 8x _ 8y.

F Ó R UM Quando se pretende comprar um produto, principalmente de alto valor, é muito importante fazer uma pesquisa de preços, pois no mercado são consideráveis as diferenças de preço para o mesmo item. Entretanto, em pequenas compras de supermercado, por exemplo, também é possível economizar. O ideal é preparar uma lista dos gêneros necessários, ficar atento aos preços e fazer uma pesquisa. Isso também vale para as compras on-line, situação em que, além de pesquisar em vários sites, é importante considerar o preço do frete. No caso de compras em lojas físicas, o consumidor deve ficar atento e verificar se o preço anunciado na vitrina corresponde ao valor afixado no produto. Nos supermercados, é possível que o preço afixado na prateleira para um produto seja diferente do preço cadastrado ou anunciado. Quando isso acontece, o consumidor tem o direito de pagar o menor valor, conforme estabelece o Código de Proteção e Defesa do Consumidor. • Na sua opinião, qual é a importância de fazer uma pesquisa de preços antes de realizar uma compra? Discuta com seus colegas. Resposta pessoal.

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Discutir com a turma a respeito desse tema e enfatizar a importância da matemática nas análises de preços. Isso pode evitar que o consumidor seja enganado por alguma propaganda. Espera-se que os alunos percebam isso e incorporem esse fato em suas respostas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Cubo da soma de dois termos

Cubo da soma de dois termos Desenvolver a expressão do cubo da soma de dois termos e verificar se os alunos tem alguma dúvida quanto ao desenvolvimento. Apontar que há diferença em calcular o cubo da soma de dois termos e a soma do cubo de dois termos. Cubo da diferença de dois termos Desenvolver a expressão do cubo da diferença e verificar se os alunos percebem que o desenvolvimento é parecido com o caso anterior.

Vamos considerar o produto notável (x + y)3. Para desenvolvê-lo, usaremos as regras já aprendidas. Observe: propriedade das potências de mesma base (x + y)3 = (x + y) ? (x + y)2 = 2 2 = (x + y) ? (x + 2xy + y ) = pela regra do quadrado da soma = x3 + 2x2y + xy 2 + x2y + 2xy 2 + y 3 = pela multiplicação de polinômios = x3 + 3x2y + 3xy 2 + y 3 polinômio reduzido Então: (x ! y)3 " x3 ! 3x2y ! 3xy2 ! y3 cubo da soma de dois termos

Cubo da diferença de dois termos Consideremos o produto notável (x _y)3. Observe: propriedade das potências de mesma base (x _ y)3 = (x _ y) ? (x _ y)2 = = (x _ y) ? (x2 _ 2xy + y 2) = pela regra do quadrado da diferença = x3 _ 2x2y + xy 2 _ x2 y + 2xy 2 _ y 3 = pela multiplicação de polinômios polinômio reduzido = x3 _ 3x2y + 3xy 2 _ y 3 Então:

AMPLIANDO Link No Portal da Matemática OBMEP existem diversos vídeos que apresentam os produtos notáveis, além de exercícios resolvidos e um aplicativo, que demonstra geometricamente o cubo da soma. O material pode ser acessado pelo link <http://livro.pro/pa2t63>. Acesso em: 19 nov. 2018.

(x # y)3 " x3 # 3x2y ! 3xy2 # y3 cubo da diferença de dois termos

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Desenvolva as seguintes expressões: a) (a + b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) (b _ c)3 b 3 _ 3b2c + 3bc2 _ c3 c) (2a + 1)3 8a3 + 12a2 + 6a + 1 d) (1 _ 2a)3 1 – 6a + 12a2 – 8a³ e) (2x + y)3 8x³ + 12x²y + 6xy² + y³ f) (3y _ 1)3 27y³ _ 27y² + 9y – 1 2. Qual é a forma mais simples de escrever as expressões? a) (a _ b)3 _ (a3 _ b3) + 4ab(a _ b) a2b – ab2

b) (2x _ y)3 _ (2x + y)3 + 2xy(2x + y) _2y³ + 20x²y + 2xy² c) (1 _ a)3 + 2a(_2 + a2) + (1 _ a3) 3a² _ 7a + 2 69

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Fatorando polinômios Enfatizar que a fatoração pode ser feita de diferentes maneiras, como o exemplo envolvendo o número 90. Propor aos alunos outros números e solicitar que pensem em diferentes maneiras de escrevê-los usando a multiplicação.

90 2 ? 45

3 ? 30

5 ? 18

6 ? 15

9 ? 10

2 ? 32 ? 5

Quando escrevemos o número 90 nas formas apresentadas anteriormente, transformamos esse número em uma multiplicação de fatores. Em qualquer um dos casos, fizemos a fatoração do número 90. Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais fatores.

Considerando esses conhecimentos, vamos representar a área da figura a seguir: 1a maneira: Área da figura I mais área da figura II , ou seja, ac + bc. 2a maneira: Fazendo c ? (a + b). Daí, podemos escrever: ac ! bc " c # (a ! b) polinômio

AMPLIANDO Link O link a seguir apresenta o material didático denominado Algeplan, que pode ser construído com cartolina colorida ou outro material disponível. Disponível em: <http://livro. pro/6oxbvw>. Acesso em: 20 nov. 2018.

Veja como podemos escrever o número 90 utilizando a multiplicação:

c

a

b

I

II

EDITORIA DE ARTE

Atividades As atividades desse bloco têm como objetivo retomar a fatoração numérica e propor algumas fatorações de expressões algébricas, para que os alunos possam aplicar a ideia do que é fatorar e correlacionar com a fatoração numérica que acabaram de fazer. Na atividade 1, ressaltar que se pode fatorar o número 54 com mais de dois fatores naturais de variadas maneiras e que a fatoração completa se dá com a decomposição em fatores primos: 54 = 2 ? 3 ? 3 ? 3

FATORANDO POLINÔMIOS

multiplicação de polinômios

Quando escrevemos o polinômio ac + bc na forma c ? (a + b), estamos transformando o polinômio inicial em uma multiplicação de polinômios. Fatorar um polinômio, quando for possível, significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

1. a) 2 ? 27; 3 ? 18; 6 ? 9 b) 2 ? 60; 4 ? 30; 10 ? 12 Essas são algumas possibilidades de respostas; existem outras. 2. Quando você efetua a multiplicação Responda às questões no caderno. (a + b) ? (a _ b), você encontra o po1. Usando uma multiplicação de dois linômio a2 _ b2. Escreva na forma de fatores, escreva cada um dos números multiplicação os polinômios a seguir. de três maneiras diferentes. a) 54

b) 120

a) x2 _ y 2 (x + y)(x _ y)

b) b2 _ c2 (b + c)(b _ c)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência Considere as seguintes situações:

1 Vamos calcular o perímetro da figura do retângulo, cujas dimensões medem x e y. O perímetro desse retângulo pode ser indicado de duas maneiras: 2x + 2y ou 2 ? (x + y) Então, podemos escrever: 2x ! 2y " 2 # (x ! y) polinômio

x

y

y

x

forma fatorada do polinômio

Notamos que: • 2 é um fator comum a todos os termos do polinômio e foi colocado em evidência; 2x + 2y • o outro fator (x + y) é o mesmo que (2x ! 2) + (2y ! 2) ou 2 2 2 A figura nos mostra um quadrado ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. Vamos calcular a área total da figura, ou seja, a área do retângulo ABEF. De acordo com a figura, podemos escrever:

y x

y

A

D

F

B

C

E

x

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x

Fatoração pela colocação de um fator comum em evidência Apresentar, na lousa, as situações exploradas nessa página, destacando os fatores comuns (que podem ser monômios ou polinômios). Na situação 1, escrever a expressão para o perímetro da figura e para a área dela, a fim de que os alunos verifiquem que são diferentes, já que se tratam de conceitos diferentes. Comentar que, em muitas situações, é necessário decompor ou compor figuras para compreender as expressões que serão envolvidas. Isso ocorre na situação 2, em que a área do retângulo ABEF é composta pelas áreas do quadrado ABCD e do retângulo CEFD.

área do quadrado ABCD ! área do retângulo CEFD " área do retângulo ABEF x2

xy

!

x # (x ! y)

"

ou seja: x2 ! xy polinômio

"

x # (x ! y) forma fatorada do polinômio

Notamos que: • x é um fator que aparece em todos os termos do polinômio e foi colocado, como fator comum, em evidência; x2 + xy • o outro fator (x + y) é dado por (x2 ! x) + (xy ! x) ou x x x

y

Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO Atividade complementar Fatore completamente as expressões a seguir: a) 2x2 _ 2x _ x + 1 b) x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 Resolução da atividade Se necessário, explicar que fatorar completamente é usar todos os casos possíveis de fatoração envolvidos na expressão, até que não seja mais possível fatorar. a) 2x2 _ 2x _ x + 1 = = 2x ? (x _ 1) _ (x _ 1) = = (x _ 1) ? (2x _ 1) Comentar com os alunos que nem sempre é conveniente fazer a soma algébrica dos termos semelhantes. Nesse caso, por exemplo, ao se fazer 2x2 _ 3x + 1, ficará mais difícil obter a fatoração envolvendo situações que só serão estudadas posteriormente. b) x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + + x7 = = (x2 + x3) + (x4 + x5) + + (x6 + x7) = = x2 ? (1 + x) + x4 ? (1+ x) + + x6 ? (1 + x) = = (1 + x) ? (x2 + x4 + x6) Embora o polinômio já esteja expresso como um produto (e, portanto, está fatorado), percebe-se que em um dos fatores ainda há termo comum. Assim, ainda é possível fatorar esse fator: x2 + x4 + x6 = x2 ? (1 + x2 + + x3) Logo, a fatoração completa é dada por: x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + + x7 = = (1 + x) ? x2(1 + x2 + x3) = = x2(1 + x)(1 + x2 + x3)

Veja, agora, estas outras situações:

1 Fatorar o polinômio 6ax + 8ay. O fator comum é 2a. Daí temos: 6ax ! 8ay " 2a # (3x ! 4y) (6ax : 2a) (8ay : 2a)

A forma fatorada do polinômio 6ax + 8ay é 2a(3x + 4y). 2 Vamos escrever na forma de um produto o polinômio a4 _ a3 + a2. O fator comum é a2. Daí temos: a4 $ a3 ! a2 " a2 # (a2 $ a ! 1) (a4 : a2) (a3 : a2) (a2 : a2)

O polinômio a _ a + a na forma de um produto é a2 (a2 _ a + 1). 4

3

2

3 Qual é a forma fatorada de 8a4b5 _ 20a3b2 _ 16a2b4? O fator comum é 4a2b2. Daí temos: 8a4b5 $ 20a3b2 $ 16a2b4 " 4a2b2 # (2a2b3 $ 5a $ 4b2) (16a2b4 : 4a2b2) (20a b : 4a2b2) 3

2

(8a b : 4a2b2) 4

5

A forma fatorada do polinômio 8a4b5 _ 20a3b2 _ 16a2b4 é 4a2b2(2a2b3 _ 5a _ 4b2). 4 Fatorar a ? (a _ b) + x ? (a _ b). O fator comum é (a _ b). Daí temos: a # (a $ b) ! x # (a $ b) " (a $ b) # (a ! x) [x # (a $ b)] : (a – b) [a # (a $ b)] : (a $ b)

A forma fatorada do polinômio a ? (a _ b) + x ? (a _ b) é (a _ b)(a + x).

Fatoração por agrupamento Observe as três figuras a seguir: a

a

b

a

b

x

ax

bx

x

x ? (a + b)

x

y

ay

by

y

y ? (a + b)

y

b ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Fatoração por agrupamento Espera-se que os alunos percebam que o caso da fatoração por agrupamento utiliza mais de uma vez a fatoração pela colocação do termo comum em evidência.

A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio:

A área dessa figura pode ser dada pelo polinômio:

A área dessa figura pode ser dada pelo produto:

ax + bx + ay + by

x ? (a + b) + y ? (a + b)

(a + b) ? (x + y)

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Comentar com os alunos que há outros caminhos para se chegar a essa forma fatorada. Por exemplo, eles poderiam primeiramente colocar x2, termo comum a todos os termos, em evidência, para depois agrupar e continuar a fatorar.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como as três figuras têm áreas iguais, podemos escrever:

Apresentar os exemplos propostos no livro do aluno e verificar se ainda surgem dúvidas em relação aos procedimentos utilizados. Destacar a importância da atenção aos sinais durante a fatoração, pois podem ocorrer erros graves caso os alunos troquem algum sinal. Se julgar oportuno, mostrar aos alunos como um erro de sinal pode mudar completamente a expressão final.

ax ! bx ! ay ! by " x # (a ! b) ! y # (a ! b) " (a ! b) # (x ! y) polinômio

forma fatorada do polinômio

Veja como podemos escrever algebricamente, na forma fatorada, o polinômio ax + bx + ay + by: ax ! bx ! ay ! by "

agrupamos os termos que possuem fator comum

" x(a ! b) ! y(a ! b) "

em cada grupo colocamos os fatores comuns em evidência

" (a ! b)(x ! y)

colocamos, novamente, em evidência o fator comum

Acompanhe outros exemplos: 1 Qual é a forma fatorada do polinômio mx _ nx + 2m _ 2n? mx $ nx ! 2m $ 2n " x(m $ n) ! 2(m $ n) " (m $ n)(x ! 2)

Então, (m _ n)(x + 2) é a forma fatorada do polinômio mx _ nx + 2m _ 2n. 2 Fatorar a3 + a2 + a + 1 a3 ! a2 ! a ! 1 " a2 # (a ! 1) ! 1 # (a ! 1) " (a ! 1)(a2 ! 1)

Então, (a + 1)(a2 + 1) é a forma fatorada de a3 + a2 + a + 1. 3 Fatorar 3ax + 2b2 + b2x + 6a. Inicialmente, agrupamos os termos usando a propriedade comutativa. 3ax ! 6a ! b2x ! 2b2 " 3a(x ! 2) ! b2(x ! 2) " (x ! 2)(3a ! b2)

Então, (x + 2)(3a + b2) é a forma fatorada de 3ax + 2b2 + b2x + 6a.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades propostas têm como objetivo levar os alunos a reconhecer e utilizar os casos de fatoração estudados até agora: fator comum em evidência e agrupamento. Caso julgue necessário, resolver algumas questões na lousa com os alunos. Para isso, trabalhar as atividades 3 e 12, pois inserem o conteúdo matemático em situações mais próximas do cotidiano. Na atividade 12, verificar se os alunos estão atentos em relação à expressão do perímetro e não confundem com a da área para os dois retângulos. Para o retângulo de lados a e b, vão obter a expressão a + b = 9 e para o retângulo de lados b e c, vão obter b + c = 13. Ao fatorar a expressão ab + b2 + ac + bc, vão obter: b(a + b) + c(a + b) = (b + c) (a + b) = 9 ? 13 = 117

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

1⎛ 1 ⎞ ⎜ a ! b⎟⎠ 3⎝ 3 Responda às questões no caderno. 1. g)

7. Sabe-se que 2x _ y = 20 e que a + b + + c = 100.

1. Colocando o fator comum em evidência, fatore os seguintes polinômios: a) 10x + 10y 10(x + y) f) x2y 2 _ x5y5 x2y 2 (1 _ x3y 3) 1 b) y 2 + 9xy y(y + 9x) g) 1 a! b 3 9 c) 0,5x _ 1y 0,5(x _ 2y) 2 d) ab _ a3b3 ab(1 _ a2b2)h) 2,5ax _22,5a 2,5a(x _ 1) e) a2x + abx ax(a + b)

Nessas condições, escreva a forma fatorada do polinômio a(2x _ y) + b(2x _ y) + + c(2x _ y) e calcule seu valor numérico. (2x _ y)(a + b + c); 2 000 8. Fatore os seguintes polinômios:

2. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios:

c) a5 + a3 + 2a2 + 2 (a2 + 1) ? (a3 + 2)

a) a2 + ab + ax + bx (a + b) ? (a + x)

b) ax _ x + ab – b (a _ 1) ? (x + b)

a) b2 _ ab – b b(b _ a _ 1)

d) bx2 _ 2by + 5x2 _ 10y (x2 _ 2y) ? (b + 5)

b) 24x5 _ 8x4 _ 56x3 8x3(3x2 _ x _ 7)

e) 2b2 + 2 _ b2k – k (b2 + 1) ? (2 _ k)

c) a7 + a5 + a3 a3(a4 + a2 + 1)

f) 5y 3 _ 4y 2 + 10y – 8 (5y _ 4) ? (y 2 + 2)

d) 120ax _ 100ax + 60ax 20ax(6x _ 5x + 3) g) a12 + a8 _ a4 – 1 (a4 + 1) ? (a8 _ 1) e) 1 ab ! 1 a2b" 1 ab2 1 ab ⎛⎜ 1 ! 1 a " b⎞⎟ ⎠ h) 2an + n _ 2am – m (2a + 1) ? (n _ m) 8 4 2 2 ⎝4 2 3. A professora de Carlos escreveu no i) 1 ! 1 x ! xy ! y (x ! 1) ? ⎛⎜ y ! 1 ⎞⎟ quadro de giz a expressão ac + ad + bc + ⎝ 2⎠ 2 2 + bd e fez o seguinte comentário: 9. Determine o valor numérico do polinômio ac _ bc + ad _ bd, sabendo que “Nessa expressão, a, b, c e d represenc + d = 2,5 e a _ b = _1,1. _2,75 tam quatro números inteiros em ordem 3

2

2

crescente. A soma dos dois números maiores é 59 e a soma dos dois números menores é 34. Então, quem me diz qual é o valor numérico dessa expressão?” Que resposta Carlos deve fornecer para acertar a pergunta feita por sua professora? 2006 4. Qual é a forma fatorada de:

a) a(x + y) _ b(x + y)? (x + y)(a _ b) b) x(p + h) + y(p + h)? (p + h)(x + y) c) b(a _ x) _ c(a _ x)? (a _ x)(b _ c)

5. Dado o polinômio 5ax2 _ 5ay 2, escreva sua forma fatorada e dê seu valor numérico sabendo que a = 20 e x2 _ y 2 = 25. 5a(x2 _ y 2); 2 500 6. Fatore o polinômio xy 3 + 7xy 2 _ 3xy e dê seu valor numérico sabendo que xy = 6 e y 2 + 7y = 20. xy(y 2 + 7y _ 3); 102

10. Fatore os polinômios:

a) ax _ bx + cx + ay _ by + cy (a _ b + c)(x + y) b) am + bm + m _ an _ bn – n (a + b + 1)(m _ n) c) a(x + y) + b(x + y) + x(a + b) + + y(a + b) 2(a + b)(x + y)

11. Dado o polinômio x2 _ xz + 2xy _ 2yz, determine sua forma fatorada e o valor numérico da expressão obtida, sabendo que x _ z = 5 e x + 2y = 27. (x _ z)(x + 2y); 135 12. As medidas dos lados de um retângulo são expressas por a e b, e esse retângulo tem 18 unidades de perímetro. Um segundo retângulo tem 26 unidades de perímetro, e as medidas dos seus lados são expressas por b e c. Nessas condições, calcule o valor numérico da expressão ab + b2 + ac + bc. 117

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração da diferença de dois quadrados

Fatoração da diferença de dois quadrados Para utilizar esse caso de fatoração, os alunos devem reconhecer números quadrados perfeitos. Se julgar oportuno, fazer uma lista com os quadrados perfeitos até 400: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Propor que os alunos reproduzam a figura apresentada no livro do aluno em uma folha de papel e façam o procedimento de recortar e montar uma nova figura de mesma área na prática. Isso pode ajudar na compreensão dos alunos a respeito do que está sendo realizado.

Considere a figura: x_y y y x

x2 _ y2

x_y

x

A área colorida da figura pode ser indicada pelo polinômio x² _ y², que expressa uma diferença de dois quadrados. Separando a figura em dois retângulos, conforme a Figura 1 , pelo tracejado e juntando as duas partes obtidas, formamos uma nova figura. Observe: x_y

x_y

Figura 1

x

y

I II

x

I

y

II

Figura 2

x_y

x

x_y

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

y

Notando que a área da Figura 1 , que é expressa por x2 _ y 2, e a área da Figura 2 , que é expressa por (x + y)(x _ y), são iguais, escrevemos: x2 ! y2 polinômio

"

(x # y) $ (x ! y) forma fatorada do polinômio

Acompanhe estas outras situações:

1 O polinômio x2 _ 36 representa uma diferença de dois quadrados. Fatorar esse polinômio. Como 36 = 62, temos: x2 _ 36 = x2 _ 62 = (x + 6)(x _ 6). Então, (x + 6)(x _ 6) é a forma fatorada de x2 _ 36. 75

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades têm como objetivo que os alunos apliquem o caso da fatoração da diferença de dois quadrados. Na atividade 1, verificar se os alunos percebem que no item f eles podem fatorar novamente utilizando o mesmo caso de fatoração. Assim: a4 _ c4 = (a2 _ c2) ? (a2 + c2) Como (a2 _ c2) é uma diferença de dois quadrados, então a fatoração continua: (a2 _ c2) ? (a2 + c2) = = (a _ c)(a + c)(a2 + c2) Se julgar conveniente, comentar que, ao fatorar novamente todas as expressões que forem possíveis, se obtém a fatoração completa da expressão original. Em seguida, apresentar outras expressões para serem fatoradas completamente pelos alunos.

AMPLIANDO Atividade complementar Fatore completamente a expressão x8 _ y8. Resolução de atividade x8 _ y8 = (x4 _ y4) ? (x4 + y4) (x4 _ y4) H diferença de dois quadrados (x4 _ y4) ? (x4 + y4) = = (x2 _ y2) ? (x2 + y2) ? (x4 + y4) (x2 _ y2) H diferença de dois quadrados (x2 _ y2) ? (x2 + y2) ? (x4 + + y4) = (x _ y)(x + y)(x2 + y2) (x4 + y4)

2 Qual é a forma fatorada do polinômio

1 ! x2y2? 9

2

2

Como

1 1 2 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ " ⎜ ⎟ , temos: ! x2y2 " ⎜ ⎟ ! (xy) " ⎜ # xy⎟ ⎜ ! xy⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝3 ⎠⎝3 ⎠ 9 9

1 1 1 ! x2y2. Então, ⎛⎜ # xy⎞⎟ ⎛⎜ ! xy⎞⎟ é a forma fatorada do polinômio ⎝3 ⎠⎝3 ⎠ 9 3 Escrever o polinômio (n + 7)2 _ 1 na sua forma fatorada. Como 1 = 12, essa expressão representa uma diferença de dois quadrados: (n + 7)2 _ 12 = [(n + 7) + 1] ? [(n + 7) _ 1] = (n + 7 + 1)(n + 7 _ 1) = (n + 8)(n + 6) Então, (n + 8)(n + 6) é a forma fatorada de (n + 7)2 _ 1. 4 Escrever a expressão a2 _ (b + c)2 na forma de uma multiplicação.

a2 _ (b + c)2 = [a + (b + c)] ? [a _ (b + c)] = (a + b + c) ? (a _ b _ c)

Assim, a forma fatorada da expressão a2 _ (b + c)2 é (a + b + c)(a _ b _ c).

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Cada um dos polinômios seguintes representa uma diferença de dois quadrados. Fatore esses polinômios. a) a2 – 64 (a + 8)(a _ 8) b) 100 _ b2 (10 + b)(10 _ b) c) x2 _ 0,25 (x + 0,5)(x _ 0,5) d) 16b2 _ 9c2 (4b + 3c)(4b _ 3c) e) 1 _ x2y 2 (1 + xy)(1 _ xy) f) a4 _ c4 (a2 + c2)(a2 _ c2) g) a6b6 _ 0,01 (a3b3 + 0,1)(a3b3 _ 0,1) h) x4 – 100 (x2 + 10)(x2 _ 10) i) 9 _ y6 (3 + y 3)(3 _ y 3) j) 81r2 _ s4 (9r + s2)(9r _ s2) 2. Qual é a forma fatorada de cada polinômio? 1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ a) ! 9x2 ⎜ # 3x⎟ ⎜ ! 3x⎟ ⎝2 ⎠⎝ 2 ⎠ 4 1 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ! a2b2 ⎛⎜ # ab⎟ ⎜ ! ab⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 10 ⎠ 100 1 1 1 1 ⎞ 1 4 1 2 ⎛ ⎞⎛ a ! y ⎜ a2 # y⎟ ⎜ a2 ! y⎟ c) ⎝ ⎠ ⎝ 5 2 5 2 ⎠ 25 4 b)

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 2 ⎛ c ⎜b # c⎟ ⎜b ! c⎟ ⎝ 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16 3. O professor de Matemática disse que 5x _ y = _20 e que 5x + y = _2. Nessas condições, qual é o valor numérico do polinômio 25x2 _ y 2? 40 d) b2 !

4. Dado o polinômio a2b2 _ x2, escreva sua forma fatorada e calcule seu valor numérico para ab + x = 21 e ab _ x = 5. (ab + x)(ab _ x); 105 5. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios considerando que representam diferenças de dois quadrados: a) (x _ 4)2 – 16 x(x _ 8) b) (y + 1)2 – 25 (y + 6)(y _ 4) c) (a + b)2 _ c2 (a + b + c)(a + b _ c) d) (n + 5)2 – 36 (n + 11)(n _ 1) e) (3x _ 1)2 _ x2 (4x _ 1)(2x _ 1) f) (a3 + 3)2 _ a6 3(2a3 + 3) g) x2 _ (x + y)2 _y(2x + y) h) a2 _ (a + 1)2 _1(2a + 1)

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração do trinômio quadrado perfeito A figura I representa um quadrado cujo lado mede (x + y) unidades de comprimento e cuja área pode ser escrita de duas maneiras: x2 + 2xy + y 2 ou (x + y)2 Na figura II , a região não hachurada representa um quadrado cujo lado mede (x _ y) unidades de comprimento e cuja área pode ser representada de duas maneiras: x2 _ 2xy + y 2 ou (x _ y)2

x

y

x

x2

xy

y

xy

y2

Fatoração do trinômio quadrado perfeito Apresentar a definição de trinômio quadrado perfeito e pedir aos alunos que verifiquem se alguns polinômios são quadrados perfeitos ou não. É possível que alguns alunos verifiquem apenas se o polinômio é um trinômio e esqueçam de analisar a relação entre os termos. Caso isso ocorra, retomar com a turma o significado de ser quadrado perfeito.

Então, podemos escrever as seguintes igualdades:

(x # y)(x # y) " (x # y)2

"

polinômio

x_y

forma fatorada do polinômio

Os polinômios x + 2xy + y 2 e x2 _ 2xy + y 2 são chamados trinômios quadrados perfeitos. Trinômios, porque possuem três termos; quadrados perfeitos, porque o primeiro representa o quadrado de (x + y), e o segundo representa o quadrado de (x _ y). Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É importante reconhecer se um trinômio é ou não quadrado perfeito. Para isso, considere as seguintes situações: 2

x

AMPLIANDO

y

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

• x2 # 2xy ! y2

x

forma fatorada do polinômio

x_y

polinômio

Figura I

(x ! y)(x ! y) " (x ! y)2

"

y

• x2 ! 2xy ! y2

Figura II

Link No Portal do Saber OBMEP é possível visualizar algumas videoaulas a respeito do tópico fatoração de expressões algébricas, além da resolução de alguns exercícios. Disponível em:<http://livro. pro/pa2t63>. Acesso em: 13 nov. 2018.

1 Verificar se o trinômio x2 + 8xy + 16y 2 é quadrado perfeito. Inicialmente, verificamos se pelo menos dois termos do trinômio são quadrados. Nesse caso, x2 e 16y 2 são quadrados, pois: x2 ! 8xy ! 16y2 (4y)2

x2

Finalmente, multiplicamos por 2 o produto dessas duas raízes para verificar se o resultado será igual ao termo restante: 2 ? x ? 4y = 8xy. Como, nesse caso, o termo restante é justamente 8xy, dizemos que o trinômio dado é quadrado perfeito. 2 Verificar se o trinômio x2 _ 6x + 9 é quadrado perfeito. x2 e 9 são termos quadrados. x2 # 6x ! 9 x2

32

2 ? x ? 3 = 6x 6x é o termo restante do trinômio Logo, x2 _ 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito. 77

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades propostas têm como objetivo que os alunos utilizem o caso de fatoração de trinômio do quadrado perfeito e retomem conhecimentos já adquiridos anteriormente. Se julgar necessário, ampliar a atividade 1 colocando na lousa outros trinômios (quadrados perfeitos e não quadrados perfeitos) para os alunos os identificarem. Na atividade 6, os alunos podem começar resolvendo a diferença indicada entre os polinômios. Nesse caso, deixe que eles percebam que dessa maneira não vão conseguir usar as informações dadas no enunciado. Se houver necessidade, orientá-los a fatorar cada polinômio.

3 Verificar se o trinômio 16x2 _ 24x + 25 é quadrado perfeito. 16x2 e 25 são termos quadrados. 16x2 ! 24x " 25 (4x)2

52

2 ? 4x ? 5 = 40x 40x não corresponde ao termo restante do trinômio. Logo, 16x2 _ 24x + 25 não é um trinômio quadrado perfeito. Os seguintes trinômios são quadrados perfeitos. Vamos fatorá-los: • Fatorar x2 + 8xy + 16y 2. x2 " 8xy " 16y2 x2

x2 " 8xy " 16y 2 # (x " 4y)2

(4y)2

2 $ x $ 4y # 8xy • Fatorar a6 _ 10a3b + 25b2. a6 ! 10a3b " 25b2 (a3)2

a6 ! 10a3b " 25b2 # (a3 ! 5b)2

(5b)2

2 $ a3 $ 5b # 10a3b

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Verifique se cada um dos seguintes trinômios representa um trinômio quadrado perfeito: a) a _ 10ab + 25b Sim. 2

2

b) x2 _ 8x + 25 Não. c) 9x2 _ 6x + 1 Sim. d) 16y 2 + 24xy + 9x2 Sim. 2. Se você fatorar x + 18x + 81, qual polinômio vai obter? (x + 9)2 2

3. O trinômio x2 _ 0,4x + 0,04 é quadrado perfeito. Qual é sua forma fatorada? (x _ 0,2)2 4. Sabendo que os trinômios a seguir são quadrados perfeitos, escreva a forma fatorada de cada um deles. a) 4x2 _ 12xy + 9y 2 (2x _ 3y)2 b) y 2 + 22y + 121 (y + 11)2

c) 81p2 _ 18p + 1 (9p _ 1)2 d) 4b2 + 16bx + 16x2 (2b + 4x)2 e) 100p2 _ 20px + x2 (10p _ x)2 f) 144x2y 2 + 24xy + 1 (12xy + 1)2 g) m2 _ 12m + 36 (m _ 6)2 h) 16a4 + 8a2b + b2 (4a2 + b)2 i) 100 _ 20bc + b2c2 (10 _ bc)2 j) x10 + 4x5y 3 + 4y6 (x5 + 2y 3)2 5. Para se obter (3a + 2)2, qual termo deve ser adicionado ao trinômio 9a2 + 10a + 4? 2a 6. Quando x + y = 15 e x _ y = _6, qual é o valor numérico da expressão algébrica (x2 + 2xy + y 2) _ (x2 _ 2xy + y 2)? 189 7. Sabe-se que 2a _ 3 = _11. Qual é, então, o valor numérico do polinômio 4a2 _ 12a + 9? 121

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos

Fatoração da soma ou da diferença de dois cubos Como sugestão de encaminhamento de aula, explorar, na lousa, os exemplos apresentados no livro do aluno. Questionar os alunos a respeito dos casos de fatoração que podem ser aplicados em cada situação. Enfatizar, novamente, os cuidados que os alunos devem ter ao trabalhar com os sinais das expressões, evitando possíveis erros.

Observe as multiplicações: 1 (x ! y) " (x2 # xy ! y2) $ x3 # x2y ! xy2 ! x2y # xy2 ! y3 $ x3 ! y3 Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos: x3 + y 3 = (x + y) ? (x2 _ xy + y 2) polinômio

forma fatorada do polinômio

2 (x _ y) ? (x + xy + y ) = x + x y + xy 2 _ x2y _ xy 2 _ y 3 = x3 _ y 3 Pela propriedade simétrica das igualdades, escrevemos: 2

2

3

2

x3 _ y 3 = (x _ y) ? (x2 + xy + y 2) x3 # y3

$

polinômio

(x # y) " (x2 ! xy ! y2) forma fatorada do polinômio

Fatorando mais de uma vez Vamos fatorar o polinômio x4 _ 16. Como esse polinômio representa uma diferença de quadrados, fazemos: x4 _ 16 = (x2 + 4) ? (x2 _ 4) Note, porém, que a fatoração não está terminada, pois o fator (x 2 _ 4) também é uma diferença de quadrados e, portanto, pode ser fatorado. Sendo assim, escrevemos: x4 _ 16 = (x2 + 4) ? (x2 _ 4) = (x2 + 4) ? (x + 2) ? (x _ 2) Existem polinômios cuja fatoração exige a aplicação de mais de uma técnica. Acompanhe estes exemplos: 1 Fatorar x3 _ 4x2 + 4x.

2 x ! 4x " 4x # x $ (x ! 4x " 4) # x $ !""#""$ (x ! 2) 2 !"""""#"""""$

fator comum em evidência

trinômio quadrado perfeito

PHOTODISC/GETTY IMAGES

3 2 !"""""#"""""$

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Usando a fatoração para resolver equações Muitas equações de grau maior que 1 podem ser fatoradas e transformadas em equações de produto nulo. Assim, os alunos podem resolver equações complexas, mesmo sem ter aprendido como solucioná-las de outra maneira. Ao explorar as situações apresentadas, enfatizar o fato de os alunos terem que escrever cada produto igual a zero para determinar as raízes da equação. Isso ocorre, por exemplo, na situação 1 em que (x + 4)(x _ 4) = 0.

2 Fatorar a4b + ab4.

a b ! ab " ab # !""#""$ (a3 ! b3) " ab # !""""""""#""""""""$ (a ! b) # (a2 $ ab ! b2)

4 4 !""#""$

soma de dois cubos fator comum em evidência

PHOTODISC/GETTY IMAGES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Usando a fatoração para resolver equações Existe uma propriedade importante, válida para os números reais, que nos mostra que: se x ? y = 0, então x = 0 ou y = 0. Considerando essa propriedade e usando os casos de fatoração, podemos resolver algumas equações. Veja as seguintes situações: 1 Quais são as raízes da equação x2 _ 16 = 0? Como x2 _ 16 é uma diferença de quadrados x2 _ 42, temos: x2 _ 16 = 0 (x + 4)(x _ 4) = 0

forma fatorada

(x ! 4)(x # 4) " 0 h

x ! 4 " 0 ! x " #4 ou x#4"0 !x"4

Então, as raízes da equação x2 _ 16 = 0 são os números _4 e 4. SAIBA QUE

As raízes de uma equação são os valores que tornam a sentença verdadeira, ou seja, a solução da equação.

2 Quais são as raízes da equação x2 + 7x = 0? x2 + 7x = 0 x ? (x + 7) = 0

x $ (x ! 7) " 0 h

Colocamos o fator x em evidência.

x"0 ou x ! 7 " 0 ! x " #7

Então, as raízes da equação x2 + 7x = 0 são os números 0 e _7. 80

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Responda às questões no caderno. 1. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios: a) x3 + y 3 (x + y)(x2 _ xy + y 2) b) b3 _ c3 (b _ c)(b2 + bc + c2) c) a3 – 1 (a _ 1)(a2 + a + 1)

10. Para x = 0:

a) x2 _ 9x = 0 0 e 9. b) x2 _ 81 = 0 _9 e 9. c) x2 _ 64 = 0 _8 e 8. d) x2 + 20x = 0 _20 e 0. e) x2 _ x = 0 0 e 1.

e) 27 _ m3 (3 _ m)(9 + 3m + m2) c 1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ " ! c2⎟ f) ! c3 ⎜ ! c⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 5 25 5 125

g) x2 _ 1 = 0 _1 e 1.

a) a4 _ b4 (a2 + b2)(a + b)(a _ b)

b) 3x2 _ 6x + 3 3(x _ 1)2 c) m2x – x x(m + 1)(m _ 1) d) 5a2 + 30ab + 45b2 5(a + 3b)2 e) x3y _ xy 3 xy(x + y)(x _ y) f) m8 _ n8 (m4 + n4)(m2 + n2)(m + n) ? (m _ n) g) x3 _ xy 2 + x2y _ y 3 (x + y)2 (x _y) h) a4 _ ax3 a(a _ x)(a2 + ax + x2) 1 4 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ p ⎜1! p2⎟ ⎜1! p⎟ ⎜1" p⎟ i) 1" ⎝ 16 4 ⎠⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ j) y3 ! 4 y2 ! 4 y y ⎛⎜ y ! 2 ⎞⎟ ⎝ 3 9 3⎠ k) x3y – y y(x _ 1)(x2 + x + 1)

2

l) ax _ a + bx – b (a + b)(x + 1)(x _ 1) 2

2

m) a3 + 2a2 + a + a2b + 2ab + b (a + b)(a + 1)2 n) 2x7 _ 2xy6 2 2x(x + y)(x _ y)(x + xy + y 2) ? (x2 _ xy + y 2) o) a5 + a2b3 _ a3b2 _ b5 (a + b)2 (a _ b)(a2 _ ab + b2) 3. Sabendo que x _ y = 6, determine o valor numérico do polinômio 5x 2 _ 10xy + + 5y 2. 180 4. Qual é a fatoração da expressão ab2 _ ac2 + b3 _ bc2? (a + b)(b + c)(b _ c) 5. Fatore o polinômio x 3y + 2x 2y 2 + xy 3 e determine o seu valor numérico, sabendo que xy = 10 e x + y = _5. xy(x + y)2; 250 6. Fatore o polinômio ax3 _ ax + bx3 _ bx. x(a + b)(x + 1)(x _ 1)

Atividades Esse bloco de atividades tem como objetivo que os alunos reconheçam e utilizem os casos de fatoração aprendidos anteriormente. Além disso, as atividades abrangem também algumas equações que podem ser resolvidas usando fatoração e outros conhecimentos já adquiridos. Na atividade 2, verificar se os alunos percebem que há alguns itens em que devem utilizar mais de um caso de fatoração. Se eles tiverem muitas dúvidas, propor a resolução desses itens na lousa, chamando alguns alunos para resolver. Na atividade 4, estimular o descobrimento de mais um modo de agrupar. Além disso, os alunos devem usar mais de um caso de fatoração. Na atividade 8, verificar se os alunos escrevem a expressão somando as medidas dos quatro lados do retângulo e não apenas (2x + 1) + + (x _ 3).

7. Determine as raízes de cada uma das seguintes equações, sendo U = R:

d) x3 + 8 (x + 2)(x2 _ 2x + 4)

2. Fatore os polinômios:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

2x ! 3 #"1 2x " 3 2x ! 3 #"5 Para x = 1: 2x " 3

Resoluções a partir da p. 289

f) x2 _ 0,25 = 0 _0,5 e 0,5. h) x2 + 0,6x = 0 _0,6 e 0. i) x2 _ 0,01 = 0 0,1 e _0,1. 1 j) x2 " x # 0 0 e . 4 4 8. (Saresp-SP) Observe a figura ao lado. A expressão algébrica mais simples que determina o perímetro desse retângulo é: a) 6x _ 4 Alternativa a. b) 4x _ 6 c) _4x2 + x _ 3

2x + 1 EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

x_3

d) x + 4 9. Qual é a forma fatorada da expressão (x + y)2 _ (2x + y)(_x + y)? Alternativa b. a) x(3x _ y)

d) y(3x _ y)

b) x(3x + y)

e) y(3x + y)

c) x(2x + y) 10. Fatore os polinômios e simplifique a 4x2 ! 12x ! 9 fração algébrica . Em 4x2 " 9 seguida, calcule o valor numérico da expressão obtida para x = 0 e para x = 1. 11. Calcule o valor numérico de 9x2 _ 18xb + + 9b2, para x _ b = 5. 225 12. Faça o que se pede. Calcule o valor numérico do polinômio P = 2 ? (3a _ 2b) ? ? (6a + 4b), sabendo que 9a2 _ 4b2 = 15. 60 81

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tratamento da informação Nessa seção, é explorado o gráfico de linhas, mais indicado para representar situações que relacionam variações ao longo do tempo. Conversar com os alunos a respeito dos tipos de gráficos existentes e a aplicação dos mesmos em diferentes contextos. Aproveitar o tema e sugerir que os alunos pesquisem as temperaturas máximas e mínimas da cidade em que moram e construam uma tabela para indicar esses valores, conforme a apresentada no livro do aluno. Relembrar os alunos de que a tabela ajuda a organizar os dados e apresentá-los de modo resumido, tarefa que pode ser feita usando algum recurso digital, para posteriormente construírem um gráfico a respeito do que pesquisaram.

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções a partir da p. 289

A cidade de Cuiabá, no Mato Grosso, é conhecida por suas altas temperaturas A cidade de Cuiabá é conhecida por diversas características, além de suas altas temperaturas, também recebe o reconhecimento de Cidade Verde por ser muito bem arborizada, é um polo industrial, comercial e de serviços do estado onde é capital, Mato Grosso. Por estar situada em uma região de muitas paisagens naturais, Cuiabá é rica em atrações turísticas e, por ser antiga, também conta com um patrimônio histórico importante. Essa cidade possui vários lugares que valem a pena ser visitados, como: museus, prédios restaurados, mercado de peixes, obelisco, o marco do centro geodésico da América do Sul, o Horto Florestal e muito mais. Para aprender um pouco sobre o modo de vida da população local, é possível conhecer as comunidades ribeirinhas, apreciar os artesanatos feitos por eles e alguns de seus costumes, como se banhar nos rios e baías, onde também praticam a pesca. Informações obtidas em: Guia do Turismo Brasil. Disponível em: <https://www.guiadoturismobrasil.com/cidade/MT/970/cuiaba> Acesso em: 16 nov. 2018.

Temperaturas máximas registradas em Cuiabá no mês de setembro de 2018 Dia

Temperatura máxima (em °C)

Dia

Temperatura máxima (em °C)

01

37

16

34

02

19

17

31

03

24

18

32

04

28

19

35

05

32

20

35

06

35

21

37

07

37

22

38

08

38

23

39

09

38

24

37

10

39

25

34

11

39

26

37

12

39

27

37

13

39

28

31

14

38

29

35

15

35

30

30

Fonte: ACCUWEATHER. Disponível em: <https://www.accuweather.com/pt/br/cuiaba/44281/ month/44281?monyr=9/01/2018>. Acesso em: 16 nov. 2018.

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FILIPE FRAZAO

No gráfico de linhas a seguir, é possível observar a variação de temperatura máxima nos trinta dias do mês de setembro de 2018 na cidade de Cuiabá.

Temperaturas máximas registradas em Cuiabá no mês de setembro de 2018

45

35 30 25 20 15 10 5 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Dia

EDITORIA DE ARTE

Temperatura máxima (em ºC)

40

Fonte: ACCUWEATHER. Disponível em: <https://www.accuweather.com/pt/br/cuiaba/44281/ month/44281?monyr=9/01/2018>. Acesso em: 16 nov. 2018.

Responda às questões no caderno. 1. A partir das informações coletadas, determine:

Explorar o gráfico de linhas apresentado no livro do aluno. Espera-se que os alunos percebam que, pelo gráfico, é possível determinar de maneira direta em que dias ocorreram a maior e a menor temperatura máxima. Solicitar aos alunos que façam as questões propostas. Elas retomam o cálculo das medidas de tendência central e sua relação com os dados obtidos na tabela. Destacar a atividade 3, que pede uma conclusão a respeito dos dados apresentados. Comentar com os alunos que as conclusões podem ser obtidas a partir da observação do que ocorre ao longo do tempo. Portanto, é importante que o gráfico seja feito corretamente para evitar possíveis conclusões erradas em qualquer pesquisa.

Aproximadamente 34,63 °C a) a média das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018.

b) a mediana das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018. 36 °C 3. As temperaturas máximas variaram entre 19 °C e 39 °C, 2. Observando o gráfico e os dados coletados identifique: com amplitude de 20 °C. A média de 34,63 °C se aproxima do limite superior, e a mediana a) a menor temperatura máxima no mês. 19 °C de 36 °C indica que em muitos dias do mês de setembro as temperaturas estavam próximas a esse valor. b) a maior temperatura máxima no mês. 39 °C c) a amplitude das temperaturas máximas registradas durante o mês de setembro de 2018. 20 °C 3. Analisando o gráfico e as medidas obtidas nas atividades 1 e 2, o que se pode concluir em relação às temperaturas máximas do mês de setembro na cidade de Cuiabá?

Vista aérea do entardecer na cidade de Cuiabá, MT.

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Retomando o que aprendeu As questões apresentadas nessa seção visam retomar o trabalho com o cálculo algébrico e os polinômios. Incentivar os alunos a socializarem suas estratégias e trocar ideias com os colegas a respeito de temas nos quais ainda tenham dúvida. Acompanhar e orientá-los nesse trabalho. Se necessário, explicar na lousa as dúvidas que ainda persistam na classe. Os alunos podem fazer esse bloco de questões como uma autoavaliação, por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem essa atividade em sala de aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas, por exemplo. Orientá-los a consultar o livro do aluno para tirar dúvidas e buscar informações. Conversar com os alunos a respeito de seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuais. Outra possibilidade é propor aos alunos que resolvam algumas das questões previamente em casa e que desenvolvam outras em aula, formando duplas ou grupos com os colegas. Nessa interação devem aproveitar para fazer a autocorreção daquelas que trouxeram prontas. Sugerir também que os alunos refaçam algumas atividades anteriores dos assuntos que tiverem dúvidas. Ressaltar tais temas ao corrigir as atividades. Procurar trabalhar em sala com o conteúdo no qual os alunos mais tiveram dificuldade durante o desenvolvimento da Unidade também pode contribuir nesse momento.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. (Saresp-SP) Calculando-se os valores da expressão n2 + 3n + 1 para n valendo 1, 2, 3 etc., obtém-se uma das sequências a seguir. Qual delas? Alternativa b.

Resoluções a partir da p. 289

6. Na figura a seguir, a área do retângulo 1 é ab, a área do quadrado 2 é b2, e a área do retângulo 3 é bc. 1

2

a) 5, 11, 17, 23, ... b) 5, 11, 19, 29, ...

3

c) 5, 7, 9, 11, ... d) 1, 5, 9, 13, ... 2. (Saresp-SP) O valor numérico da expressão 2b2 + 8 para b igual a _3 é: Alternativa c. a) 17 b) 18 c) 26 d) 34 3. A sequência

xy x2y , , x 3 y, ... tem 7 4 2 termos. Qual é o último termo dessa sequência? Alternativa a. a) 16x7y

b) 8x7y c) 16x6y d) 16x5y e) 32x7y 4. Dois números a e b são tais que a = 2x + 3 e b = 2x _ 1. Sabendo que a2 _ b2 = 40, determine o valor de x. 2 5. Considere a fórmula matemática R . Quando R = 28,8 e S = 1,5, V! S"3 o valor de V é: Alternativa e. a) 3,2 b) 4,2 c) 5,4

EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Qual é a área do retângulo cor-de-rosa? Alternativa a. a) ac b) a2 c) bc d) ab e) n.d.a.

7. Em uma adição de polinômios, encontrou-se o resultado 3x 3 _ 4x + 6, mas verificou-se que a parcela 5x3 _ 8x2 _ 9 havia sido incluída indevidamente. A soma dos coeficientes dos termos do polinômio, que é o resultado correto da adição, é: Alternativa a. a) +17 b) _17 c) +5 d) _5 e) +16 8. Utilizando o que aprendeu sobre produtos notáveis, escreva o polinômio correspondente a: a) (3x + 1)(3x _ 1) 9x2 _ 1 b) (10 + 2x)2 100 + 40x + 4x2 c) (7a _2b)2 49a2 _ 28ab + 4b2 d) (2x + 0,5y)2 4x2 + 2xy + 0,25y 2 e) (3x + b)(3x _ b) 9x2 _ b2 f) (a + 2b)3 a3 + 6a2b + 12ab2 + 8b3

d) 5,8

g) (2a _ b)3 8a3 – 12a2 b + 6ab2 _ b3

e) 6,4

h) (2 _ 3a)3 8 – 36a + 54a2 – 27a³

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9. Escreva a forma fatorada de cada um dos seguintes polinômios: a) b _ 2ab + b b(b _ 2a + 1) 2

b) 18x5 + 6x4 _ 42x3 6x3 (3x2 + x _ 7) c) 2a5 + 2a3 + 2a 2a (a4 + a2 + 1)

a) 0,18

d) 0,9

d) 100ax3 _ 60ax2 + 120ax 20ax(5x2 _ 3x _ 6) e) a2 – 49 (a + 7)(a _ 7)

b) 1,8

e) 2,8

f) 64 _ b2 (8 + b)(8 _ b) g) 4 _ a2b2 (2 + ab)(2 _ ab) 10. Para se obter (4a + 3)2, qual termo deve ser adicionado ao trinômio a seguir? 16a2 + 20a + 9 4a 11. Calcule o valor numérico do trinômio a seguir para x – 2y = 6. 7x2 _ 28xy + 28y 2 252

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

12. Sabe-se que a2 + b2 = 2,25 e x + y = 0,8. Qual é o valor numérico da expressão abaixo? Alternativa b. a2x + b2x + a2y + b2y

c) 18 13. A área de um retângulo é expressa pelo polinômio x 2 _ 9, em que x > 3. Fatorando-o, temos as medidas de seus lados. Se o perímetro do retângulo é 32 cm, qual é a área desse retângulo? Alternativa d. d) 55 cm2 a) 51 cm2 b) 53 cm2

e) 57 cm2

c) 54 cm2

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, foram abordados os conceitos de monômios, polinômios e suas operações, produtos notáveis e fatoração de polinômios. Devido à variedade e à riqueza dos conteúdos dos assuntos, sugerimos a você que:

• faça um resumo de todas as operações trabalhadas com monômios e polinômios (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação), garantindo um exemplo para cada operação; • faça um quadro-resumo dos produtos notáveis de forma generalizada e responda como esses produtos se relacionam com a fatoração (não se esqueça de apontar exemplos); Em seguida, registre suas dúvidas para uma conversa em sala de aula. Essa conversa pode começar em pequenos grupos e terminar de maneira coletiva, socializando possíveis dúvidas que seu grupo não conseguiu resolver. Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às questões no caderno. • Na sua opinião qual é a importância do estudo de monômios e polinômios?* • Para que usamos os produtos notáveis e a fatoração?** • Considerando o vitral que você e seus amigos criaram e construíram no início desta Unidade, elaborem um polinômio que expresse a área do vitral criado. Resposta pessoal. *Resposta pessoal. **Resposta possível: para facilitar o processo de simplificação em uma divisão de polinômios.

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Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade poderão permitir, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados, reflexões a respeito das aprendizagens individuais. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas aprendizagens e possíveis dúvidas. Devido ao volume dos conceitos tratados, sugere-se, no encerramento dessa Unidade, que os alunos registrem os pontos principais e levem exemplos que os ilustrem, dando destaque para as operações de monômios e polinômios e a relação entre produtos notáveis e fatoração. Esse conteúdo não é facilmente assimilado em virtude da abstração exigida, o que faz esperar que apareçam dúvidas. Portanto, socializar os registros e as dúvidas poderá permitir maior e melhor visualização do entendimento da turma a respeito do assunto e, desse modo, criar novas oportunidades de aprendizagem. Primeiramente, permitir aos alunos que discutam as dúvidas em grupos de três a quatro integrantes. Nesse momento, parte das questões deve ser resolvida e apenas questões mais específicas precisarão ser resolvidas em atividade posterior de compartilhamento com a sala. As questões finais buscam refletir a respeito do propósito de estudar monômios e polinômios. Espera-se que os alunos percebam que uma das motivações está no contexto matemático, na simplificação de operações.

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3

COMPETÊNCIAS GERAIS 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Galileu Galilei foi um dos responsáveis pelos estudos que envolvem a queda livre de corpos; ele descobriu que todo corpo em queda livre, ou seja, abandonado sem que seja aplicada uma velocidade inicial, pode ser modelado da ⎛ 1⎞ seguinte forma: ⎜ ⎟ gt2 = d, em que d é ⎝ 2⎠ a altura da queda, g é o valor da aceleração da gravidade no local da queda (uma boa aproximação é 9,8 m/s2 na Terra) e t é o tempo de queda. Dessa forma, conhecendo a altura da queda, podemos fazer uma equação que determine o tempo de queda de um corpo. Por exemplo, para uma altura de 35 metros, temos: ⎛ 1⎞ 2 ⎜⎝ ⎟⎠ ⋅ 9,8t = 35 2

ALIM YAKUBOV

ESPECÍFICAS 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

EQUAÇÕES DO 2o GRAU

*Em uma equação do 1o grau o expoente da incógnita é 1 e na equação apresentada é 2. Agora, responda às questões no caderno. • A equação dada anteriormente possui alguma incógnita? Se sim, qual é ela e qual é o expoente? Sim, a incógnita é t e seu expoente é 2. • Comparando a equação dada com uma equação do 1o grau, qual diferença você consegue notar entre elas?* • Segundo a equação, aproximadamente quanto tempo levará para um corpo cair de uma altura de 35 metros? Pela equação se calcula o tempo em segundos. Aproximadamente 2,67 s.

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HABILIDADES p. XXIII e XXIV Números • EF09MA03 Álgebra • EF09MA09 Probabilidade e estatística • EF09MA21

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS PAULO MANZI Galileu foi um físico, matemático,

LEEMAGE/UNIVERSAL IMAGES GROUP/GETTY IMAGES

astrônomo e filósofo italiano que teve grande papel na revolução científica. Conta-se que para comprovar seus estudos sobres os corpos lançados de uma mesma altura, teria subido até a Torre de Pisa e lançado duas esferas de chumbo de massas diferentes.

MARTIN RUEGNE/RADIUS IMAGES/GETTY IMAGES

Imagem de Galileu Galilei. Quadro de 1636.

Torre de Pisa e Catedral de Pisa, Toscana. Itália. (Sem informação de data.)

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Abertura de Unidade Ao iniciar esta abertura, propor a seguinte experiência: “o que chegará primeiro ao chão: uma borracha ou uma folha de papel quando lançados em queda livre de uma mesma altura?”. Para demonstrar, soltar ao mesmo tempo a borracha e a folha de papel aberta (nesse caso, a borracha cairá primeiro). Em seguida, amassar a folha de papel para que ela fique com o formato de uma bolinha e soltá-la novamente em queda livre ao mesmo tempo que a borracha. Elas, provavelmente, vão parecer cair ao mesmo tempo. Se for possível, pedir a algum aluno que grave a cena para analisarem de maneira mais detalhada. Realizar a leitura do texto da abertura e verificar se os alunos já ouviram falar a respeito de Galileu Galilei. Possivelmente eles tenham visto a história envolvendo a Torre de Pisa em algum momento. Para apresentar um breve relato da vida de Galileu, acessar o link <http://livro.pro/obrfbn>. Acesso em: 19 nov. 2018. Perguntar se os alunos compreendem por que Galileu deveria estar no vácuo para que seu experimento realmente fosse bem-sucedido. Espera-se que eles percebam que a resistência do ar influencia na queda dos objetos. As questões retomam alguns conceitos a respeito de equações. Caso algum aluno tenha dúvida ao respondê-las, relembrar os assuntos tratados nas questões iniciais.

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CAPÍTULO

Equação do 2o grau com uma incógnita Após a contextualização histórica do tema apresentado, comentar com os alunos a respeito do processo babilônico utilizado na resolução de situações-problema. Organizar a turma em duplas ou grupos e propor novas situações. Exemplo: • A soma de dois números é 50 e o produto entre eles é 400. Quais são esses dois números? Espera-se que eles concluam que os números são 40 e 10. Solicitar que busquem outros processos de resolução, desenvolvendo as próprias estratégias. Nesse momento, podem ser exploradas resoluções com cálculo mental. Na discussão da atividade, enfatizar que o processo babilônico permite apenas determinar a solução natural e que, posteriormente, será apresentado o motivo desse fato.

EQUAÇÃO DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

x 1. Considere os polígonos e responda às questões no caderno. a) Qual é a expressão que representa a área do quadrado? x2 b) Qual é a expressão que representa a x área do retângulo laranja? 3x c) Escreva a equação que representa a seguinte afirmação: o número que expressa a área do quadrado menos o número x que expressa a área do retângulo laranja é 4. x2 _ 3x = 4 d) Descubra, entre os números 2; 5; 9; 6; 3 4; 8; 7; 10; 12, o valor do número x que satisfaz a equação encontrada no item c. O número é 4. e) Como você faria a resolução dessa equação para encontrar tal número? Troque ideias com um colega. Resposta pessoal.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Textos babilônicos, escritos há cerca de 4000 anos, já faziam referência a problemas que hoje resolvemos usando equações do 2o grau. Um dos problemas mais comuns nos escritos babilônicos tratava da determinação de dois números, quando conhecidos a soma e o produto deles. A resolução desses problemas era estritamente geométrica: considerava-se o produto de dois números como a área, e a soma deles, como o semiperímetro de um retângulo. As medidas dos lados do retângulo correspondiam aos números dados, que eram sempre naturais. Esse tratamento geométrico era longo e cansativo, o que levou os gregos – e posteriormente os árabes – a buscar um procedimento mais simples para resolver tais problemas. No século IX, al-Khwarizmi, matemático árabe, desenvolveu um processo para a resolução desses problemas, que deu início à chamada Álgebra Geométrica. No século XII, com base nos estudos feitos por al-Khwarizmi, o matemático hindu Bhaskara (1114-1185) apresentou um processo puramente algébrico, que permitia resolver qualquer equação do 2o grau. Partindo desse processo, e com o uso da Álgebra Simbólica, os matemáticos puderam chegar a uma fórmula, usada até hoje, que ficou conhecida como fórmula resolutiva para equações do 2o grau. 88

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conhecendo a equação do 2 grau com uma incógnita o

Conhecendo a equação do 2o grau com uma incógnita Em anos anteriores, os alunos tiveram contato com equações do 2o grau incompletas do tipo ax2 + c = 0. Agora esse estudo será ampliado para diferentes tipos de equações desse grau. Explorar a situação-problema que relaciona a planta de um escritório ao cálculo da área de figuras retangulares usando expressões algébricas de grau 2. Verificar se há alguma dificuldade na compreensão dos alunos a respeito da representação algébrica. Apresentar a definição de equação do 2o grau, detalhando os seus elementos e respectivos coeficientes. Se julgar oportuno, solicitar aos alunos que escolham valores para a, b e c e apresentem a equação do 2o grau correspondente.

Observe a planta parcial de um escritório.

corredor

x

1m

sala 2

sala 1

EDITORIA DE ARTE

1m

x

As duas salas quadradas e o corredor retangular têm, juntos, 40 m2 de área. Cada sala tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de largura. Qual é a medida x do lado de cada sala quadrada? De acordo com a figura e os dados do problema, podemos concluir que: • a área de cada sala é x2. • a área do corredor é dada por 1 ∙ 2x ou 2x. • a equação que representa o problema é: 2x2 + 2x = 40 área do corredor área das duas salas

Obtivemos uma equação que não é do 1 grau (que você já sabe resolver), pois existe um termo em que a incógnita x se apresenta com expoente 2. o

Denomina-se equação do 2o grau na incógnita x toda equação da forma ax + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais e a 5 0. 2

Assim: • 2x2 _ 2x _ 40 = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 2, b = _2 e c = _40. • x2 _ 25 = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = _25. • 6x2 _ 9x = 0 é uma equação do 2o grau na incógnita x, em que a = 6, b = _9 e c = 0. Nas equações do 2o grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x: • a será sempre o coeficiente do termo em x2; • b será sempre o coeficiente do termo em x; • c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x. 89

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades têm como objetivo levar os alunos a reconhecer uma equação do 2o grau com uma incógnita e identificar seus coeficientes e reconhecer equações do 2o grau completas e incompletas. Na atividade 4, orientar os alunos a escreverem no caderno a equação do 2o grau substituindo os coeficientes pelos valores numéricos apresentados e a perceberem a estrutura da equação do 2o grau composta de coeficientes a, b e c na forma ax2 + bx + c = 0, em que a 5 0. Ao terminar, pedir aos alunos que identifiquem quais dessas equações são incompletas. Espera-se que eles identifiquem as equações dos itens c e d. Para complementar essa atividade, sugerir aos alunos que, após escrever as equações, pensem em qual seria o valor de x para cada equação incompleta de modo que a equação seja verdadeira. Isso pode ser feito por tentativa. Alguns comentários podem auxiliá-los nessa tarefa: c) 4x2 _ 25 = 0 Se a diferença dos dois termos é zero, então esses termos são iguais, ou seja, 4x2 tem de ser igual a 25. d) _21x2 + 7x = 0 Nessa equação todos os termos possuem a incógnita x, portanto x = 0 vai anular o 1o membro da equação. Assim, x = 0 é uma solução para a equação. É importante que os alunos percebam a dificuldade de resolver equações do 2o grau apenas por tentativas, pois mais adiante serão apresentados métodos de resolução.

Equação completa e equação incompleta Pela definição, devemos ter sempre a 5 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Assim: Exemplos: Quando b 5 0 e c 5 0, a equação do 2o grau se diz completa.

• 5x2 _ 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = _8 e c = 3). • y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12 e c = 20). Exemplos:

Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2 grau se diz incompleta. o

• x2 _ 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = _81). • 10t 2 + 2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0). • 5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Escreva as equações que são do 2 grau com uma incógnita: a) 3x2 _ 5x + 1 = 0 b) 10x4 _ 3x2 + 1 = 0 c) 2x _ 3 = 0 d) _x2 _ 3x + 2 = 0 e) 4x2 _ x = 0 f) 9x2 _ 1 = 0 g) 2x4 + 5 = 0 h) 0x2 _ 5x + 6 = 0 a, d, e, f o

2. Identifique como completa ou incompleta cada equação do 2o grau: a) x2 _ 7x + 10 = 0 Completa. b) _2x2 + 3x _ 1 = 0 Completa. c) _4x2 + 6x = 0 Incompleta. d) x2 _ x _ 12 = 0 Completa. e) 9x2 _ 4 = 0 Incompleta. f) 7x2 + 14x = 0 Incompleta.

3. Todas as equações seguintes são do 2o grau e estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0. Identifique os coeficientes de cada equação. a) 10x2 + 3x _ 1 = 0 a = 10, b = 3, c = _1 b) x2 + 2x _ 8 = 0 a = 1, b = 2, c = _8 c) y2 _ 3y _ 4 = 0 a = 1, b = _3, c = _4 d) 7p2 + 10p + 3 = 0 a = 7, b = 10, c = 3 e) _4x2 + 6x = 0 a = _4, b = 6, c = 0 f) r 2 _ 16 = 0 a = 1, b = 0, c = _16 g) _6x2 + x + 1 = 0 a = _6, b = 1, c = 1 h) 5m2 _ 10m = 0 a = 5, b = _10, c = 0 4. Escreva a equação ax 2 + bx + c = 0, quando: a) a = 1, b = 6, c = 9 x2 + 6x + 9 = 0 b) a = 4, b = _6, c = 2 4x2 _ 6x + 2 = 0 c) a = 4, b = 0, c = _25 4x2 _ 25 = 0 d) a = _21, b = 7, c = 0 _21x2 _ 7x = 0

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4x2 + 12x + 9 = 10 _ x2 _ 2x + 8 H eliminamos os parênteses 4x2 + 12x + 9 = _x2 _ 2x + + 18 H juntamos os termos semelhantes 4x2 + x2 + 12x + 2x + + 9 _ 18 = 0 H pelo princípio aditivo 5x2 + 14x _ 9 = 0 H forma reduzida da equação dada

Forma reduzida da equação do 2o grau com uma incógnita Observe as seguintes equações do 2o grau com uma incógnita: • x2 _ 5x + 6 = 0

• y2 _ 25 = 0

• _3t2 + 4t _ 1 = 0

• _2x2 + 8x = 0

Essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma reduzida de uma equação do 2o grau com uma incógnita. Há, porém, algumas equações do 2o grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, como, por exemplo: 2 1 x − = • 3x2 _ 6x = x _ 3 • (com x 5 0 e x 5 4) x 2 x−4

2 _ x (com x 5 0 e

2. Escrever a equação

1 x = 2 x_4 x 5 4) na forma reduzida.

Por meio de transformações, nas quais aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo da igualdade, tais equações podem passar a ser expressas nessa forma. Acompanhe as situações a seguir.

2 1 x _ = H x 2 x_4

1 Escrever a equação 2x2 _ 7x + 4 = 1 _ x2 na forma reduzida. equação dada 2x2 _ 7x + 4 = 1 _ x2 2x2 _ 7x + 4 _ 1 + x2 = 0 aplicamos o princípio aditivo 2 3x _ 7x + 3 = 0 forma reduzida da equação dada

ATIVIDADES

H equação dada 4(x _ 4) _ x (x _ 4) = 2x(x2 _ 4) 2x2 H = 2x(x _ 4)

Resoluções a partir da p. 289

e) x2 _

Responda às questões no caderno. 1. Observe a frase: x2 + 2x _ 35 = 0

f)

O quadrado de um número aumentado do triplo desse número é igual ao próprio número mais 35. Agora, escreva na forma reduzida a equação do 2o grau que se pode formar com os dados da frase anterior. 2. Escreva na forma ax2 + bx + c = 0 as seguintes equações do 2o grau:

1 1 = x2 5x2 _ 2 = 0 3 6

x2 1 x2 x 2 + = + x _ 10x + 2 = 0 4 10 5 2

g) x + 6 = h) i)

4x x _2

(x 5 2) x2 _ 12 = 0

2x x +1 = x_3 x +3

x2 + 8x + 3 = 0

(x 5 _3, x 5 3)

x 1 x _ 3x2 2 4x + x _ 1 = 0 + = 2 x _1 x _1 x +1 (x 5 1, x 5 _1)

3. A medida do lado de um quadrado é 2 2 expressa por (3x _ 1) cm, e a área desse a) x _ 7 = x + 5 x _ x _ 12 = 0 quadrado é 64 cm2. Qual é a equação 2 b) x + 11x = 16x _ 6 x2 _ 5x + 6 = 0 do 2o grau, escrita na forma reduzida, 2 2 c) (x + 1) _ (2x + 3) = 0 _3x2 _ 10x _ 8 = 0 que se pode obter com os dados desse 2 d) (x _10) + x (x + 17) = 1042x2 _ 3x _ 4 = 0 problema? 3x2 _ 2x _ 21 = 0 91

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Forma reduzida da equação do 2o grau com uma incógnita Os alunos vão trabalhar com a forma reduzida de uma equação do 2o grau fazendo manipulações algébricas ou usando contextos geométri-

cos. Para isso, apresentar os exemplos do livro e comentar a respeito dos princípios aditivo e multiplicativo nas igualdades. Se julgar pertinente, apresentar mais dois exemplos de equações que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0 para auxiliar os alunos na resolução de algumas atividades.

H reduzimos todos os termos ao mesmo denominador 4(x _ 4) _ x (x _ 4) = 2x2 H H eliminamos os denominadores pelo princípio multiplicativo 4x _ 16 _ x2 + 4x = 2x2 H H aplicamos a propriedade distributiva _x2 + 8x _16 = 2x2 H juntamos os termos semelhantes _x2 _ 2x2 + 8x _ 16 = 0 H H pelo princípio aditivo _3x2 + 8x _ 16 = 0 H forma reduzida da equação dada

Atividades Para resolver a atividade 2, os alunos podem consultar os exemplos apresentados e a sugestão de exemplo proposta anteriormente. Ainda assim, se surgirem dúvidas, discuta com a turma os procedimentos utilizados na resolução.

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1. Qual é a forma reduzida da equação (2x + 3)2 = 10 _ (x + 4) (x _ 2)? (2x + 3)2 = 10 _ (x + 4) (x _ 2) H equação dada 4x2 + 12x + 9 = 10 _ (x2 + + 2x _ 8) H resolvemos o produto notável e a multiplicação dos polinômios

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Equações incompletas O objetivo é que os alunos compreendam como determinar o conjunto solução de equações do 2o grau incompletas. Explorar os exemplos do livro, reforçando as condições de cada equação, e verificar se os alunos se recordam de algum dos procedimentos de fatoração visto em anos anteriores.

RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA Equações incompletas

Você já sabe que resolver uma equação significa determinar os possíveis valores que satisfazem a equação (o conjunto solução) em um conjunto universo dado. Na resolução das equações incompletas do 2o grau, usaremos a fatoração e estas duas propriedades importantes dos números reais: • Sendo x e y dois números reais quaisquer e x ⋅ y = 0, então x = 0 ou y = 0. • Sendo x e y dois números reais quaisquer e x 2 = y, então x = + y ou x=_ y.

Resolvendo equações da forma ax2 + bx = 0 Acompanhe a situação a seguir: Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número? Representando por x o número procurado, podemos escrever a equação: x2 = 3x x2 _ 3x = 0 forma reduzida x (x _ 3) = 0 colocamos x em evidência Pela propriedade dos números reais, temos: x=0 uma raiz da equação ou x_3=0 x=3 outra raiz da equação O número procurado é 0 ou 3.

Resolvendo equações da forma ax2 + c = 0

ILUSTRA CARTOON

Acompanhe as situações a seguir. A medida da área de uma praça quadrada é 144 m2. Quanto mede o lado dessa praça?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Indicando por x a medida do lado dessa praça, podemos escrever a equação: x2 = 144 x = ± 144 x = ±12 SAIBA QUE

Utilizamos a notação x = ± a para representar x = + a ou x = _ a .

Como a medida do lado não pode ser um número negativo, a solução x = _12 não serve para o problema. Logo, a medida do lado da praça é 12 m. 6 6 5 d) 0, i) − , 7 7 3

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

{ } { } { }

f) −

4 4 , 3 3

{

{

k) − 14 , 14

1. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau, no conjunto R: a) x2 _15x = 0 {0, 15}

g) x2 + 25 = 0 @

b) x2 _ 81 = 0 {_9, 9}

h) 11x2 _ x = 0

c) x2 _ 121 = 0 {_11, 11} i) 49x2 = 36 d) 3x2 _ 5x = 0

j) 3x2 _ 27x = 0{0, 9}

e) x2 _ x = 0 {0, 1}

k) x2 _ 14 = 0

f) 9x2 _ 16 = 0

l) _25x2 _ 15x = 0

2. Qual é o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau, sendo U = R? a) x + 3x (x _ 12) = 0 {0, 9} 2

b) (x _ 5) = 25 _ 9x {0, 1} 2

{ }

13 6 3. Calcule o conjunto solução de cada equação: 11x2 3x x _ = , U = R {0, 1} a) 10 5 2 3 1 10 _ x2 b) + = 2 , x_5 x + 5 x _ 25 U = R _{_5, 5} {0, _4} c) (x _ 4) + 5x (x _ 1) = 16 0, 2

}

{ }

_3 1 ,0 l) 11 5 4. Determine o número real positivo x para h) 0,

Responda às questões no caderno.

}

que se tenha

x2 _ x x _ x2 = x_ . 2 3 O número é 7.

5. Sendo x e y reais, considere a equação x2y = 90 e determine:

a) o valor de y quando x vale 50% de 8. 5,625 b) os valores de x quando y = 10. _3 ou 3. 6. Leia as afirmações:

O quadrado de um número real positivo x é igual a 81. O quíntuplo de um número real positivo y é igual ao seu quadrado.

Saiba que Ao apresentar a notação x = ± a , pode ocorrer de algum aluno comentar que não existe _ a para o conjunto dos números reais, ao confundir essa notação com _a para a . 0. Se isso vier a acontecer, dar exemplos numéricos pode ajudá-lo a compreender as diferenças. Atividades As atividades têm como objetivo levar os alunos a determinar o conjunto solução de equações do 2o grau incompletas. A atividade 1 apresenta equações que não têm solução no conjunto dos números reais. Verificar se os alunos compreendem o que isso significa e como expressar a inexistência de solução. Na atividade 4, enfatizar a necessidade de escrever as equações na forma reduzida para decidir qual o processo a ser utilizado na sua resolução. Para resolver a atividade 7, caso seja necessário, relembrar os alunos da fórmula A = = p ? R2 para o cálculo da área A de um círculo de raio R.

Qual é o valor da expressão x + y? 9 + 5 = 14 7. Em uma praça há um canteiro circular cuja área é 706,5 m2. Quanto mede o diâmetro desse canteiro? Considere p = 3,14. 30 m 8. Em um triângulo de 24 cm2 de área, a medida da base é o triplo da medida da altura. Determine as medidas da altura e da base deste triângulo. 4 cm; 12 cm. 93

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Equações completas p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

1. Mariana recortou, em cartolina, um quadrado e quatro retângulos como estes a seguir (as medidas são dadas em centímetros). 3

3

3

1

1

3

3

3

1

1

Usando o quadrado e os quatro retângulos, Mariana formou a figura ao lado. Agora, partindo dessa figura, Mariana quer formar um novo quadrado. Para isso, terá de acrescentar quadradinhos à figura. Responda no caderno: a) De quantos quadradinhos ela vai precisar? 4 b) Qual deve ser a área de cada um desses quadradinhos? 1 c) Qual será a área do novo quadrado? 25

1

1

1

1

3 3

3 3

1

1

1

1

O processo de completar quadrados

a

b

a

a2

ab

a

b

ab

b2

b

a

b

ALBERTO LLINARES

Com base na interpretação geométrica dada pelos gregos à expressão (a + b)2, o matemático al-Khwarizmi estabeleceu um processo geométrico para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita. Inicialmente, vamos observar a figura que é a representação geométrica da expressão (a + b)2:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Pense e responda Explorar a situação envolvendo cartolina. O objetivo é que os alunos sejam introduzidos ao processo de completar quadrados, um método de resolução de equações do 2o grau que será estudado a seguir. Se possível, realizar o recorte de uma cartolina para que os alunos vejam na prática o que acontece. O processo de completar quadrados Solicitar aos alunos que façam a leitura do texto apresentado no livro do aluno. Nele, eles terão a oportunidade de conhecer o processo geométrico para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita desenvolvido pelo matemático árabe al-Khwarizmi. Se achar conveniente, propor uma pesquisa para ampliar os conhecimentos da turma acerca da biografia do astrônomo e matemático al-Khwarizmi, observando a importância de seus estudos e os aspectos culturais e sociais da época em que ele viveu.

Matemático e astrônomo árabe, al-Khwarizmi viveu entre 780 e 850. Ele escreveu um tratado de Álgebra e um livro sobre os numerais hindus. Essas obras exerceram enorme influência na Europa do século XII.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pela figura, vemos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 A interpretação geométrica dessa expressão algébrica é:

Se julgar pertinente, levar para a sala de aula cartolinas coloridas, réguas e canetas hidrográficas. Solicitar aos alunos que, em duplas, construam a interpretação geométrica da expressão x2 + 6x e completar um quadrado. A manipulação dos materiais, associada ao apelo visual, contribui para que a compreensão do método seja mais eficaz por parte dos alunos. Na sequência, solicitar que façam a construção para o caso x2 + 5x.

a2 ! 2ab ! b2 área do quadrado de lado b área de um dos retângulos de lados a e b área do quadrado de lado a

Utilizando essa interpretação, vamos acompanhar os exemplos a seguir, que mostram como al-Khwarizmi desenvolveu seus estudos. 1 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x2 + 6x e completar um quadrado. x2 ! 6x " x2 ! 2(3x)

área de um retângulo cujos lados medem 3 e x área de um quadrado cujo lado mede x

x

3

x

3

x2

3x para completar o quadrado, acrescentamos o quadrado de lado 3

3x

x

3

x

x2

3x

3

3x

32

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada:

Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado de lado 3, ou seja, de área 32. Assim, se adicionarmos 32 à expressão x 2 + 6x, obteremos x2 + 6x + 32, que é um trinômio quadrado perfeito. Daí, podemos escrever: x2 ! 6x ! 32 expressão algébrica correspondente à área do quadrado formado

"

x2 ! 6x ! 9 trinômio quadrado perfeito

"

(x ! 3)2 forma fatorada do trinômio

Note que x2 + 6x 5 x2 + 6x + 9, pois representam áreas diferentes. 2 Fazer uma interpretação geométrica da expressão x2 + 5x e completar um quadrado. ⎛5 ⎞ x2 + 5x = x2 + 2 ⎜ x⎟ ⎝2 ⎠ área de um retângulo cujos lados medem área de um quadrado cujo lado mede x

5 ex 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS O processo geométrico de al-Khwarizmi Comentar com os alunos que o processo geométrico de resolução das equações nos ajuda a compreender o significado delas, entretanto, na prática será mais usado o processo algébrico para resolver equações. Explorar a resolução do exemplo x2 + 6x + 8 = 0. Inicialmente é pensado na construção geométrica da expressão x2 + 6x e o que é preciso acrescentar para obter um quadrado, no caso, 32.

Construindo a figura de acordo com a interpretação geométrica dada: x

5 2

x

x2

5x 2

5 2

5x 2

5 2 2

Pela figura, notamos que, para completar um quadrado, devemos acrescentar o quadrado 2

2

5 ⎛ 5⎞ ⎛ 5⎞ ou seja, um quadrado de área ⎜ ⎟ . Assim, se adicionarmos ⎜ ⎟ à expressão ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 2 2 2 x + 5x, teremos:

de lado

⎛ 5⎞ x2 + 5x + ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

2

=

expressão algébrica correspondente à área do quadrado formado

x2 + 5x +

25 4

=

trinômio quadrado perfeito

5⎞ ⎛ ⎜⎝ x + ⎟⎠ 2

2

forma fatorada do trinômio

O processo geométrico de al-Khwarizmi Aplicando o processo de completar quadrados, vamos resolver as seguintes equações do 2o grau com uma incógnita no conjunto dos números reais. x 3

x2 ! 6x " x2 ! 2(3x) área de um retângulo cujos lados medem 3 e x área de um quadrado cujo lado mede x

x

x2

3x

3

3x

(3)2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

1 Resolver a equação x2 + 6x + 8 = 0. Da expressão x2 + 6x, podemos interpretar:

Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o número (3)2, ou seja, 9, à expressão x + 6x, para obter um quadrado. 2

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x2 ! 6x ! 8 " 0 x2 ! 6x " #8

princípio aditivo

x ! 6x ! 9 " #8 ! 9

princípio de equivalência das equações

2

x

quadrado perfeito

Note que, ao acrescentarmos 9 à expressão x + 6x do 1 membro da equação, acrescentamos 9 também ao 2o membro para obter uma equação equivalente à anterior. Fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no 1o membro, temos a equação:

x

(x + 3) = _ 1 x + 3 = _1 x = _1 _ 3 x = _4

x

2 Resolver a equação x2 + 3x _ 4 = 0. Considerando a expressão x2 + 3x, podemos interpretar:

área de um quadrado cujo lado mede x

Pela figura, observamos que é necessário acrescentar o

x

2

9 ⎛ 3⎞ à expressão x2 + 3x para obter um número ⎜ ⎟ , ou seja, ⎝ 2⎠ 4

3

Para formar um quadrado maior, é preciso completar a figura com um quadrado de lado 3 cm. Desse modo a nova área da figura será 100 cm2. Assim, é possível escrever: (x + 3) ? (x + 3) = 91 + 9 (x + 3)2 = 100

3 ex 2

3 2

x

x2

3 x 2

3 2

3 x 2

3 2 2

9 9 = 4+ 4 4

x + 3 = ± 100 x + 3 = _10 h x = _13 (não convém) x + 3 = 10 h x = 7 Então, x + 6 = 7 + 6 = 13. Portanto, as medidas dos lados do cartão são: 7 cm e 13 cm.

EDITORIA DE ARTE

área de um retângulo cujos lados medem

x2 ! 3x " 4

x

x

⎛3 ⎞ x2 + 3x = x2 + 2 ⎜ x⎟ ⎝2 ⎠

x2 ! 3x # 4 " 0

3

3

Logo, os números reais _4 e _2 são as raízes da equação dada.

quadrado. Depois de descobrir geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão x2 + 3x, voltamos à equação que queremos resolver:

3

Agora, reorganizar as partes do cartão:

Daí, temos: ou

x

o

(x + 3)2 = 1

x2 + 3x +

3

x 2

(x + 3) = + 1 x+3=1 x=1_3 x = _2

3

quadrado perfeito 2

3⎞ 25 3 ⎛ = ± ⇒ x + ⎜⎝ x + ⎟⎠ = 2 4 2

25 4 97

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Verificar se os alunos recordam como fatorar um trinômio quadrado perfeito. Isso será muito usado para resolução de equações do 2o grau. Ao explorar o exemplo envolvendo a equação x2 + 3x _ 4 = 0, espera-se que os alu-

nos percebam que os procedimentos de resolução são similares ao exemplo anterior. Antes de iniciar as atividades, propor a seguinte situação para que os alunos pensem em grupo: Um cartão retangular tem 91 cm2 de área. Qual é a medida de cada lado desse cartão,

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se a medida da base supera a medida da altura em 6 cm? Para resolver, é possível ilustrar a situação. x

x!6

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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A área desse cartão pode ser expressa assim: (x + 6)x = 91. Dividir o cartão em um quadrado de lado x e dois retângulos iguais de lados 3 e x:

Descoberto geometricamente o valor que devemos acrescentar à expressão x2 + 6x, voltamos à equação que queremos resolver:

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Comentar com os alunos que construir uma figura pode ajudá-los a pensar na resolução de algumas dessas atividades. Aproveitar para iniciar uma discussão a respeito da relação entre o termo a ser acrescentado para o complemento do quadrado e os coeficientes da equação, como preparação para o processo algébrico de Bhaskara, que virá na sequência. Na atividade 1, os alunos vão precisar pensar em qual expressão indica um quadrado perfeito a partir dos valores indicados em cada item. Caso tenham dificuldade em alguns itens, relembrar que, às vezes, o termo a ser acrescentado é uma fração. Descubra mais Sugerir aos alunos que façam a leitura coletiva de alguns trechos do livro proposto e realizem uma discussão com a turma.

Daí, temos: 3 25 3 25 ou x + x + =+ =_ 2 4 2 4 3 5 3 5 x+ = + ou x + =_ 2 2 2 2 5 5 3 3 _ x= ou x = _ _ 2 2 2 2 2 8 = 1 ou x = _ = _4 x = 2 2 Logo, os números reais _4 e 1 são as raízes da equação dada.

ATIVIDADES

2

Resoluções a partir da p. 289

2

2

1 9 5 1 81 25 1. e) ⎛⎜ ⎞⎟ ou ; f) ⎛⎜ ⎞⎟ ou ; h) ⎛⎜ ⎞⎟ ou ; ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 4 4 4 2

2

1 3 1 9 i) ⎛⎜ ⎞⎟ ou ; j) ⎛⎜ ⎞⎟ ou . ⎝ 4⎠ ⎝ 6⎠ 36 16 Responda às questões no caderno. 2. Usando o processo geométrico de al-Khwarizmi, determine as raízes de 1. Qual número real você deve adicionar cada uma das seguintes equações do a cada expressão a seguir para que se 2o grau com uma incógnita no conjunto dos números reais: tenha um trinômio quadrado perfeito? a) x2 + 2x _ 15 = 0 _5 e 3. Se necessário, utilize a interpretação b) x2 + 4x _ 12 = 0 _6 e 2. geométrica, fazendo um esboço das c) x2 + 12x + 32 = 0 _8 e _4. figuras. d) x2 + 6x _ 7 = 0 _7 e 1. a) x2 + 8x (4)2 ou 16. h) x2 + x e) x2 + 3x _ 10 = 0 _5 e 2. b) x2 _ 10x (5)2 ou 25. 3 f) x2 + 2x + 1 = 0 _1 i) x2 _ x 2 2 2 c) x + 2x (1) ou 1. g) x2 + 2x _ 3 = 0 _3 e 1. h) x2 + 10x + 25 = 0 _5 d) x2 _ 12x (6)2 ou 36. x 2 j) x + i) x2 _ 10x + 21 = 0 3 e 7. 3 e) x2 + 9x j) x2 _ 10x + 16 = 0 2 e 8. k) x2 _ 2ax a2 1 f) x2 _ 5x k) 3x2 _ 2x _ 1 = 0 _ e 1. 3 2 2 2 2 g) x _ 30x 15 = 225 l) x + 6ax l) 10x + 7x + 1 = 0 1 1 (3a)2 = 9a2 e_ . _ 5

2

DESCUBRA MAIS

Equação do 2o grau (coleção Pra que serve Matemática?), de Luiz Marcio Pereira Imenes, Marcelo Cestari Lellis e José Jakubovic, editora Atual, 2004. Neste livro, você verá a equação do 2o grau em diversas aplicações por meio de situações divertidas e interessantes. No livro, há também outros métodos de resolução da equação do 2o grau utilizados ao longo da História, além de sua utilização por diversos pensadores, como al-Khwarizmi, Bhaskara, Arquimedes, Pitágoras, Galileu e Newton.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O processo algébrico de Bhaskara

O processo algébrico de Bhaskara Pedir aos alunos que façam uma leitura individual do texto para o entendimento das resoluções pelo processo algébrico. Depois, realizar uma discussão com a turma de modo que alguns alunos possam explicar o caminho trilhado pelo método de Bhaskara, refazendo, na lousa, os exemplos dados no texto. Estimular a expressão oral dos alunos para verificar se eles estão acostumados a usar termos matemáticos durante as explicações.

Voltemos a considerar as equações x2 + 6x + 8 = 0 e x + 3x _ 4 = 0, que já resolvemos usando o processo geométrico de al-Khwarizmi. 2

ALBERTO LLINARES

• Em x2 + 6x + 8 = 0, o número que acrescentamos aos 2 ⎛ 6⎞ dois membros da equação foi 9 = (3)2 = ⎜⎝ ⎟⎠ . 2 coeficiente b

⎛ 6⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 2

2

• Em x2 + 3x _ 4 = 0, o número que acrescentamos aos 2 9 ⎛ 3⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ dois membros da equação foi 4 2 coeficiente b

⎛ 3⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 2

2

No século XII, o matemático hindu Bhaskara baseou-se em estudos de al-Khwarizmi para apresentar um processo algébrico que permitia resolver qualquer equação do 2o grau. Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita em sua forma reduzida, foi possível determinar, de maneira mais simples, as raízes de qualquer equação do 2o grau com uma incógnita.

Nas duas equações, nas quais o coeficiente a é igual a 1, o número acrescentado aos dois membros corresponde à metade do coeficiente b, elevada ao quadrado. Esse fato foi constatado por Bhaskara ao estudar o processo de al-Khwarizmi. Bhaskara apresentou, então, um processo algébrico que não mais necessitava da interpretação geométrica para a resolução de equações do 2o grau com uma incógnita. Veja a seguir o caminho trilhado por Bhaskara. 1 Resolver a equação x2 _ 2x _ 8 = 0, sendo U = R. x2 _ 2x _ 8 = 0 x2 _ 2x = 8 x2 _ 2x + 12 = 8 + 12 adicionamos em ambos os membros da equação a 2

expressão ⎛⎜_ 2 ⎞⎟ = (_1)2 = 12 ⎝ 2⎠

x2 _ 2x + 1 = 8 + 1 (x _ 1)2 = 9 x_1=± 9 x _ 1 = ±3 Daí, temos: x_1=3 x=3+1=4

ou

x _ 1 = _3 x = _3 + 1 = _2

Logo, os números reais _2 e 4 são as raízes da equação dada. 99

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita Ao explorar o quadro com o passo a passo da dedução da fórmula de Bhaskara, verificar se surge alguma dúvida relacionada aos procedimentos adotados. É importante que os alunos compreendam o porquê da fórmula ser x =

Fórmula resolutiva de uma equação do 2o grau com uma incógnita Veja como podemos chegar à fórmula resolutiva: Dedução da fórmula resolutiva

Processo algébrico de Bhaskara para o exemplo

ax2 + bx + c = 0 (a 5 0)

x2 + 4x _ 12 = 0

ax2 bx c 0 ! ! " a a a a

b2 _ 4ac . 2a Comentar que o discriminante da equação servirá para determinar a quantidade e a natureza das raízes de uma equação do 2o grau. =±

x2 !

b c x! "0 a a

b c c c _ " 0_ x! a a a a

x2 !

x2 !

b c x "_ a a

H

x2 + 4x = 12

H

⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ x2 ! 4x ! ⎜ ⎟ " 12 ! ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠

H

x2 + 4x + 4 = 12 + 4

b2 _ 4ac b ⎞ ⎛ ⎜⎝ x ! ⎟⎠ " 2a 4a2

H

(x + 2)2 = 16

x+

b b2 _ 4ac =± 2a 4a2

H

(x + 2) = ± 16

x +

b =± 2a

b2 _ 4ac 2a

H

x+2=±4

b =± 2a

b2 _ 4ac 2a

H

2

⎛ b ⎞ ⎛ b ⎞ b c ⎜ a ⎟ ⎜ a ⎟ 2 "_ ! ⎜ x ! x !⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ 2 ⎟⎠ a a x2 !

b2 c b b2 x ! " _ 2 a 4a 4a2 a

x2 !

b2 _ 4ac b b2 x! " 2 a 4a 4a2

2

2

2

2

x =_

x=

_b ± b2 _ 4ac 2a

H

x=_2±4

x = 2 ou x = _6

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A fórmula x =

_b ±

2

b _ 4ac é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2a

Explorar os exemplos apresentados no livro e pedir aos alunos que se atentem a que conjunto está sendo pedida a solução da equação. Nos exemplos desta página, todas as equações são resolvidas no conjunto dos números reais, entretanto, se a resolução for no conjunto dos números inteiros, por exemplo, algumas das possíveis soluções gerais da equação podem ser desconsideradas.

2o grau ax2 + bx + c = 0. A expressão b2 _ 4ac (que é um número real) é usualmente representada pela letra grega D (delta) e é chamada discriminante da equação. _b ± ∆ Então, a fórmula resolutiva pode ser escrita assim: x = 2a A fórmula resolutiva recebeu, também, o nome de fórmula de Bhaskara em homenagem ao grande matemático hindu. A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante D = b2 _ 4ac. Na equação ax2 + bx + c = 0, temos D = b2 _ 4ac e consideramos: ⎧∆ . 0 (duas raízes diferentes) • Quando D > 0, a equação tem raízes reais ⎨ ⎩∆ = 0 (duas raízes iguais) • Quando D , 0, a equação não tem raízes reais. Vamos, agora, determinar as raízes de algumas equações do 2o grau com uma incógnita usando a fórmula resolutiva. 1 Resolver a equação x2 + 2x _ 8 = 0 no conjunto R. Nessa equação, temos: a=1 b=2 c = _8 D = b2 _ 4ac = (2)2 _ 4 ? (1) ? (_8) = 4 + 32 = 36 Como D . 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas por: 4 _2 + 6 ⎧ = =2 ⎪x′ = 2 2 ⎪ _b ± ∆ _(2) ± 36 _2 ± 6 ⇒ ⎨ e x= = = 2a 2? (1) 2 ⎪ 8 _2 _ 6 = _ = _4 ⎪⎩x′′ = 2 2 Os números _4 e 2 são as raízes reais da equação dada. Então: S = {_4, 2}. 2 Resolver a equação x2 _ 14x + 49 = 0 no conjunto R. Nessa equação, temos: a=1 b = _14 c = 49 D = b2 _ 4ac = (_14)2 _ 4 ? (1) ? (49) = 196 _ 196 = 0 Como D = 0, a equação tem duas raízes reais iguais, dadas por: _b _(_14) 14 = x‘ = x’ = = =7 2a 2(1) 2 O número 7 é a raiz real da equação dada. Então: S = {7}. 3 Resolver a equação x2 _ 5x + 8 = 0 no conjunto R. a=1 b = _5 c=8 D = b2 _ 4ac = (_5)2 _ 4 ? (1) ? (8) = 25 _ 32 = _7 Como D , 0, a equação dada não tem raízes reais. Logo, S = @. 101

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6. A raiz fracionária é

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades levam os alunos a resolverem uma equação completa do 2o grau usando o processo algébrico de Bhaskara, a determinarem o número de raízes reais que uma equação do 2o grau possui por meio do seu discriminante (D) e a determinarem o conjunto solução de uma equação do 2o grau aplicando a fórmula resolutiva. A atividade 4 solicita a quantidade de números inteiros entre as raízes da equação x2 _ 2x _ 15 = 0, fato importante para que os alunos analisem diferentes conjuntos. Na atividade 13, é preciso escrever a expressão matemática que traduz o problema, no caso, x2 = 7x _ 6. Depois, resolver essa equação, obtendo 1 e 6 como raízes. Na atividade 15, aproveitar para revisar a relação fundamental da divisão: dividendo = divisor x quociente + + resto, para que os alunos possam aplicar essa ideia a partir dos dados propostos: Q(x) = (x3 + 6x2 _ x _ 6) ? (x + 1). Como pede-se Q(x) = 0, então é preciso resolver a equação (x3 + 6x2 _ x _ 6) ? ? (x + 1) = 0, que pode ser resolvida em duas partes: x3 + + 6x2 _ x _ 6 = 0 e x + 1 = 0. As respostas a serem obtidas são _6, _1 e 1.

ATIVIDADES

5 ; logo, 5 + 4 = 9. 4 Resoluções a partir da p. 289

Como as raízes são _3 e 5, existem 7 números inteiros: _2, _1, 0, 1, 2, 3 e 4. Responda às questões no caderno. 1. Utilizando o processo algébrico de Bhaskara, determine as raízes das equações do 2o grau no conjunto dos números reais: a) x2 + 4x _ 5 = 0 _5 e 1. 1 e 4. b) 2x2 _ 9x + 4 = 0 2 c) x2 + 8x + 16 = 0 _4

9. A maior raiz dessa equação é 1, e 1 não é primo; portanto, não podemos afirmar que a maior raiz é um número primo. 8. Considere a expressão algébrica 32 _ [8x + + (8 _ 2x)(4 _ x)]. Determine os valores reais de x para que o valor numérico dessa expressão seja 8. 2 x_3 x2 _ 4 = 9. Considere a equação . 3 2 Podemos afirmar que a maior das raízes dessa equação é um número primo? Por quê?

2. As equações seguintes estão escritas na forma reduzida. Usando a fórmula reso- 10. Vamos determinar o conjunto solução S de cada uma das seguintes equações do lutiva, determine o conjunto solução de 2o grau, sendo U = R. cada equação no conjunto R. 1 4 1 a) x2 _ 3x _ 28 = 0 {_4, 7} S = _ ,1 a) x2 _ x = 5 5 5 2 b) x + 12x + 36 = 0 {_6} x2 + 4 c) 6x2 _ x _ 1 = 0 _ 1 , 1 = 2 S = {_6, 1} b) x + 5 3 2 d) 9x2 + 2x + 1 = 0 11. Resolva as seguintes equações do 2o grau: ! 3. Resolva, no conjunto R, as seguintes 9 a) x + 10 = _ (com x [ R e x 5 0). {_9, _1} equações: x a) x2 _ 2x = 2x – 4 {2} 3x +5 5 b) 6x + 5 = (com x [ R e x 5 1). _1, b) x2 _ 2x = x + 4 {_1, 4} x 1 _ 3 2 1 1 c) 6x + 3x = 1 + 2x 1 3 1 ,_ = _ (com x [ R, x 5 0 e c) 2 d) 9x2 + 3x + 1 = 4x2 3 x 2 x_1 ! x 5 1). 1 ,2 4. Quantos números reais inteiros existem 3 6 entre as raízes da equação x2 _ 2x _ 15 = 0? + x _ 3. 12. Considere a igualdade y = x 5. Veja estas equações: Quais são os valores reais de x para que x2 _ 12x = 85 x2 + 51 = 20x se tenha y = 4? 1 ou 6.

{

{ }

}

{

}

{

Essas equações têm uma raiz real comum. Determine a soma das raízes não comuns. 6. Uma das raízes da equação 4x2 _ 21x + + 20 = 0 é um número fracionário. Qual é a soma dos termos dessa fração? (A fração deve ser simplificada.) 7. Sendo U = R, determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações do 2o grau: a) (x + 2)2 + x = 0 {_4, _1} b) 3x2 = 2(x _ 1)2 + 3 {_5, 1} A raiz comum é 17, e as não comuns são _5 e 3. Logo, _5 + 3 = _2. 102

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}

{ }

13. O quadrado de um número real inteiro é igual a sete vezes o número, menos 6. Qual é esse número? 6 ou 1. 14. O quadrado da diferença entre um número real x e 3 é igual a cinco vezes o número x subtraído de 1. Qual é esse número x? 10 ou 1. 15. Quando você divide o polinômio x 3 + + 6x2 _ x _ 6 por x + 1, você tem uma divisão exata e um quociente Q(x). Quais os valores reais de x que tornam o polinômio Q(x) igual a 0? _6 ou 1

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17. Os registros de temperatura tomados entre 0 hora e 24 horas de um dia em uma zona rural se ajustam à fórmula 1 matemática T = _ (x _ 12)2 + 10 , 10 em que T representa a temperatura em graus Celsius, e x representa as horas do dia. A que horas do período da tarde a temperatura registrada foi de 9,6 °C? 14 horas. 18. Uma pessoa distribui 240 balas para um número x de crianças. Se cada criança receber uma bala a menos, o número de balas que cada criança vai receber será igual ao número de crianças. Qual é o valor de x? 15

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

22. O piso de um galpão retangu- x + 2 lar tem 140 m2 de área. As medidas dos lados desse x+6 piso, em metros, estão indicadas na figura. Quais são essas medidas? 14 m e 10 m. 23. O quadrado e o retângulo seguintes têm a mesma área. x

Na atividade 20, é preciso observar que a fórmula d = n(n _ 3) relaciona o nú= 2 mero de diagonais de um polígono ao número de lados. Portanto, ao calcular as raízes da equação 18 = n2 _ 3n no item a e 40 = n2 _ 3n no item b, os alunos precisam considerar apenas as respostas positivas, já que estão tratando de quantidades. Na atividade 24, orientar os alunos a calcularem a medida do recuo usando a área do depósito. Assim: (80 _ 2x) ? (50 _ 2x) = 1 000

x+5 16

x

a) Qual a medida do lado e o perímetro do quadrado? 20; 80. b) Qual o perímetro do retângulo? 82

dimensões do depósito

24. Em um terreno retangular de 80 m por 50 m, foi construído um barracão que serve de depósito para uma firma. Esse 2 19. Um terreno retangular tem 1 100 m depósito ocupa uma área de 1 000 m2. de área. A frente desse terreno tem Em torno do barracão, há um recuo de 28 metros a menos que a lateral. Quais x metros de cada lado para um gramado são as dimensões desse terreno? 50 m e 22 m. (ver figura). Qual é a medida x desse 20. Us ando a fórmula matemátic a recuo? 15 m n (n _ 3) d= , que relaciona o número 80 m 2 de diagonais (d) e o número de lados x (n) de um polígono, calcule o número de x x lados do polígono que tem:

5m

Se aumentarmos o comprimento e a largura na mesma quantidade, a área do novo retângulo será 7 vezes a área do retângulo original. 10 m e 7 m. a) Quais as dimensões do novo retângulo? b) Qual é o perímetro do novo retângulo? 34 m

25. A tela de um x quadro tem a x x forma retangular e mede x 50 cm e 30 cm. Nessa tela, foi 50 cm colocada uma moldura, também retangular, de largura x. Calcule essa largura, sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 2 400 cm2. 5 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2m

x

30 cm

a) 9 diagonais. b) 20 diagonais. 6 lados. 8 lados. 21. Um retângulo apresenta as medidas indicadas na figura.

Com isso, vão obter 50 e 15 como raízes dessa equação. Questionar os alunos sobre o porquê de o valor 50 não poder ser resposta do problema. Espera-se que eles concluam que a medida não pode ser 50, pois essa é a medida da largura do terreno.

50 m

}

16. Na figura a seguir, a soma dos números que estão na linha é igual à soma dos números que estão na x2 !7 6x coluna. Quais são os valores reais de x que 13 tornam verdadeira essa !x afirmação? 4 ou _5.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Tecnologias Apresentar aos alunos o software Ofi Calc que pode servir como auxílio na conferência de resultados obtidos envolvendo diferentes equações. Para tornar o uso da ferramenta pedagogicamente mais relevante, é necessário e fundamental que cada aluno manipule o software. Caso não haja a possibilidade de uso de um computador para cada um, levar um computador para a sala de aula e, com o auxílio de um projetor multimídia, promover o uso do software. Solicitar aos alunos que utilizem o software para verificar algumas equações já resolvidas ao longo da Unidade. Assim vão poder se familiarizar com o uso dessa ferramenta.

Resoluções a partir da p. 289

Resolução de equação do 2o grau

OFI CALC

Nesta seção, exploraremos o campo destinado à resolução de equação do 2o grau do Ofi Calc, que é um software disponível para download gratuito no site <http://livro.pro/tbfg5r>. Acesso em: 16 nov. 2018. Além de poder nos auxiliar a resolver operações básicas, o Ofi Calc possui diversas outras ferramentas, por exemplo, uma para resolver equações do 2o grau. Esse software é de grande utilidade para auxiliá-lo na conferência de resultados e não deve substituir os cálculos feitos por você. Veja como podemos utilizar o Ofi Calc. Clique na aba Ferramentas (Ferram.) e, depois, em Equações – Polinômios.

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Após ter operado com as atividades já feitas ao longo da Unidade e corrigidas com a turma, solicitar aos alunos que façam as atividades propostas. Depois, compartilhar os métodos de resoluções e possíveis dúvidas que tenham surgido ao longo da aplicação do software. Para aprofundar o estudo de softwares nas aulas de Matemática que auxiliam a aprendizagem dos conteúdos envolvidos e permitem agilidade nos cálculos, segue a sugestão de leitura do texto “Uso de softwares matemáticos como facilitador da aprendizagem”, disponível em <http://livro. pro/9yvxgo>. Acesso em: 19 nov. 2018.

OFI CALC

OFI CALC

Teremos nova tela e nela devemos selecionar a aba Equação/função do 2o grau e biquadrada.

Teremos uma tela em que podemos preencher os valores dos coeficientes de uma equação do 2o grau e obter a resolução. Por exemplo: para resolver a equação x2 _10x + 24 = 0, basta completar os campos dos coeficientes com a = 1, b = _10 e c = 24 que o software retornará às raízes e à forma fatorada da equação.

1. Agora, com o auxílio do software Ofi Calc, obtenha as raízes das seguintes equações do 2o grau: a) 4x2 _ 11x + 26 = 0 Não tem raiz real. b) x2 _ 6x + 9 = 0 A raiz é 3.

53 . 3 2. Verifique se nos itens b e c os valores apresentados pelo software são de fato raízes das equações dadas. Sim, são as raízes. 3. Explore, com um amigo, outras ferramentas do software. Resposta pessoal. c) 3x2 _ 53x = 0 As raízes são 0 e

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita A resolução de equações de 2o grau usando soma e produto é uma estratégia ágil e rápida, que dispensa os inúmeros cálculos que devem ser feitos na resolução ao utilizar a fórmula de Bháskara. Destacar aos alunos que as relações envolvendo soma e produto de raízes de equações do 2o grau servem para qualquer equação que tiver esse grau, já que a dedução das relações foi feita a partir da equação genérica ax2 + bx + + c = 0, com a 5 0, e x’ e x’’ as raízes. Utilizar exemplos de equações resolvidas anteriormente para aplicar a soma e o produto com valores numéricos, a fim de que os alunos verifiquem a validade dessas relações.

SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO 2o GRAU COM UMA INCÓGNITA Soma das raízes

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 5 0, e x‘ e x’ as raízes reais dessa equação. Entre as raízes x‘ e x’ e os coeficientes a, b e c da equação existem duas relações importantes, as quais veremos a seguir. 1a relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos: x′ =

_b + ∆ _b _ ∆ e x′′ = 2a 2a

Adicionando membro a membro essas duas igualdades, obtemos a 1a relação. x′ + x′′ =

_b + D _b _ D _b + = = 2a 2a

D _b _ 2a

D

=

_2b _b = 2a a

Em toda equação do 2o grau, em que x‘ e x’ são raízes reais, temos x′ + x′′ =

_b . a

Produto das raízes 2a relação: Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos: −b + ∆ 2a

x′ =

e x′′ =

−b − ∆ 2a

Multiplicando membro a membro as duas igualdades, obtemos a 2a relação.

(

_b + _b + ∆ −b _ ∆ ? = 2a 2a 2 2 2 (_b) _ ∆ b _∆ = = 4a2 4a2 x′ ? x′′ =

)(

∆ _b _ ∆ 4a2

( )

)=

Como D = b²_ 4ac, fazemos a substituição a seguir. x′ ? x′′ =

(

) = b _ b + 4ac = 4ac =

b2 _ b2 _ 4ac 2

4a

2

2

4a2

4a2

4ac c = 4a ? a a

Então, nas equações do 2o grau, em que x‘ e x’ são raízes reais, temos x′ ? x′′ =

c . a

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Vamos, agora, usar essas duas relações importantes para resolver este problema.

Criar desafios para os alunos aplicarem a ideia de soma e produto das raízes de equações do 2o grau. Por exemplo: 1. Carlos observou a equação 2x2 _ 12x = 0. Sem fazer cálculos, ele afirmou: “Uma das raízes é zero”. Qual é a outra raiz? 2. Marina observou a equação 4x2 _ 36 = 0 e afirmou, sem fazer cálculos: “As raízes são números opostos”. Quais são as raízes? Em pequenos grupos, pedir aos alunos que resolvam as questões. Espera-se que eles apliquem as relações estudadas. Para o item 1: _b H 0 + x’’ = x’ + x’’ = a _(_12) = h x’’ = 6 2

1 A equação 3x2 _ 8x _ 3 = 0 apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes. Pela equação dada: a=3 b=_8 c=_3 De acordo com as relações, podemos escrever: x′ + x′′ =

_b _(_8) 8 = = a 3 3

Logo, a soma das raízes da equação é

x′ ? x′′ =

c _3 = = _1 a 3

8 , e o produto dessas raízes é _1. 3

Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes Podemos aplicar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação do 2o grau para escrever a equação na forma ax2 + bx + c = 0 quando são dados dois números reais (x‘ e x’) como raízes da equação. Consideremos a equação ax2 + bx + c = 0. Como a 5 0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a: b c ax2 bx c + + = 0 ⇒ x2 + x + = 0 a a a a a Sendo x‘ e x’ as raízes reais da equação, temos:

1

_b _b b x′ + x′′ = = x′ + x′′ ⇒ = _(x′ + x′′) ⇒ a a a x′ ? x′′ =

c c ⇒ = x′ ? x′′ a a

Para o item 2: c H x’ ? (_x’) = x’ ? x’’ = a _36 _36 = h _(x’)2 = h 4 4 _36 h _(x’)2 = h x’ = 3 e 4 x’’ = _3

2

3

Substituindo 1 e 3 na equação 1 : x2 _ (x‘ + x’)x + x‘ ? x’ = 0 Se indicarmos por S a soma das raízes (x‘ + x’ = S) e por P o produto dessas raízes (x‘ ? x’ = P), escrevemos a equação na forma:

Depois, estimular a criação de novas questões entre os alunos. Se achar conveniente, comentar com os alunos que em anos posteriores eles vão estudar relações envolvendo soma e produto para equações de graus maiores que 2.

x2 _ Sx + P = 0 Dessa forma, obtemos uma equação do 2o grau na incógnita x quando são dadas as raízes x‘ e x’. Consideremos, então, o exemplo a seguir.

1 Determinar a equação do 2o grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação são os números reais _3 + 3 e _3 _ 3 . S = (_3 + 3 ) + (_3 _ 3 ) = _3 + 3 _ 3 _ 3 = _6 P = (_3 + 3 ) ? (_3 _ 3 ) = (_3)2 _ ( 3 )2 = 9 _ 3 = 6 x2 _ Sx + P = 0 h x2 _ (_6)x + 6 = 0 h x2 + 6x + 6 = 0 Logo, a equação procurada é x2 + 6x + 6 = 0. 107

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Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes Escrever uma equação a partir da relação entre as raízes e os coeficientes a, b e c, é algo muito importante e que será utilizado com frequência em anos posteriores do estudo de Matemática. Verificar se os alunos se atentam para os sinais ao longo da aplicação de soma e produto.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades O objetivo das atividades é levar os alunos a obter a soma e o produto das raízes de uma equação do 2o grau, sem precisar resolvê-la. Para isso, vão aplicar as relações entre coeficientes e raízes estudadas anteriormente. Na resolução da atividade 8, é necessário aplicar a relação da soma das raízes da 8 equação mx2 _ x + 2 = 0, m com m 5 0, sabendo que essa soma é 2, assim: _b H2= x’ + x’’ = a 8 _[_[ ]] m 8 = h 2m = h m m h m2 = 4 h m = _2 ou m = 2

Desafios Na atividade 13, os alunos serão estimulados a realizar cálculo mental. Incentivar a observação e socializar as estratégias utilizadas para resolver mentalmente as equações. Para o item a, espera-se que eles façam perguntas como “Quais números que somados resultam em 5 e multiplicados resultam em 6?” e concluam que são 2 e 3. Usar o mesmo raciocínio para os outros itens. Resolução dos Desafios

13. a) Procuramos dois números cuja soma é 5 e o produto é 6. Esses números são 3 e 2. b) Procuramos dois números cuja soma é 10 e o produto é 24. Esses números são 6 e 4. c) Procuramos dois números cuja soma é 4 e o produto é _12. Esses números são 6 e _2. 14. Para poder utilizar a técnica da soma e do produto das raízes, precisamos que o coeficiente a seja 1. Então, dividimos todos os termos da equação por 3: x2 _ 5x + 4 = 0. Procuramos dois números cuja soma é 5 e o produto é 4. Esses números são 1 e 4.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Todas as equações seguintes têm raízes reais diferentes. Sem resolvê-las, calcule a soma e o produto dessas raízes. a) x2 _ x _ 20 = 0 x’ + x” = 1 x’ ? x” = _20 b) 16x2 + 8x + 1 = 0 c) 6x2 _ 4x _ 3 = 0 d) 10x2 + 3x _ 4 = 0 2. A equação x2 _ 6x _ 16 = 0 tem duas raízes reais diferentes, expressas por x‘ e x’. Sem resolver a equação, determine o valor de: a) x‘ + x’ 6 b) x‘ ? x’ _16 1 1 3 + c) _ x′ x′′ 8

3. Escreva as equações na forma reduzida e, sem resolvê-las, determine a soma S e o produto P das raízes de cada uma. x _1 5 = a) S = 3 e P = _18 4 x_2 7 6 1 1 5 b) S= eP=_ + = 5 5 x x +1 6 x 4 9 9 + =5 S= c) eP= x_2 x_1 2 2 4. Se S é a soma e P é o produto das raízes reais da equação x2 _ 11x + 28 = 0, qual é o valor de S _ P? _17 5. Considere a equação a seguir: x2 _ 0,8x _ 1,6 = 0 Sendo S a soma e P o produto das raízes S reais dessa equação, determine . _0,5 P 6. Determine a soma e o produto das raízes de cada uma das equações a seguir, sem resolvê-las. a) x2 _ 4 2 x + 3 = 0 S = 4 2 e P = 3 b) x2 _

1 1 , x’ ? x” = 2 16 2 1 c) x’ + x” = , x’ ? x” = _ 3 2 3 2 d) x’ + x” = _ , x’ ? x” = _ 10 5 7. Dada a equação 10x 2 _ 7x + c = 0, determine o valor do coeficiente c de maneira que o produto das raízes reais 1 (Dê a resdessa equação seja igual a 8 posta na forma decimal.) c = 1,25 8 8. Se na equação mx2 _ x + 2 = 0, com m m 5 0, a soma S das raízes é 2, qual é o valor de m? _2 ou 2

1. b) x’ + x” = _

2 x _ 3 = 0 S = 2 e P = _3

9. Considere a equação a seguir: x2 _ 3mx + m = 0 Se a soma das raízes dessa equação é 15, qual é o produto dessas raízes? 5 10. Considere que o produto das raízes da equação x2 _ 2mx + m = 0 é 4, qual é a soma dessas raízes? 8 11. As raízes reais de 2x2 + 5x + h _ 5 = 0 são tais que uma delas é igual ao inverso 1⎞ ⎛ da outra ⎜⎝ x′ = ⎟ . Nessas condições, x′′ ⎠ determine o valor de h. h = 7 12. Na equação 4x2 _ 2(k _ 1)x _ 1 = 0, as raízes são opostas ou simétricas. Nessas condições, qual é o valor de k? k = 1 DESAFIO

Junte-se a um colega e resolva os desafios a seguir: 13. Descubra mentalmente as raízes de cada uma das equações a seguir. a) x2 _ 5x + 6 = 0 3 e 2 b) x2 _ 10x + 24 = 0 6 e 4 c) x2 _ 4x _ 12 = 0 6 e _2 14. As raízes da equação 3x2 _ 15x + 12 = 0 são as medidas dos lados de um retângulo. Descubra mentalmente as raízes e calcule a área e o perímetro desse retângulo. x’ = 1 e x” = 4; A = 4 e P = 10

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Assim, a área A e o perímetro P do retângulo são: A=1?4=4 P = 1 + 4 + 1 + 4 = 10

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Equações biquadradas O objetivo é levar os alunos a identificar equações biquadradas e determinar o conjunto solução de uma equação biquadrada utilizando uma incógnita auxiliar e a fórmula resolutiva da equação do 2o grau. Para isso, antes de explorar a resolução da equação x4 _ 5x2 + + 4 = 0, fazer alguns questionamentos. Exemplos: • Qual é o grau dessa equação? • Como são os expoentes da incógnita? • É possível identificar alguma semelhança com uma equação do 2o grau? Dessa discussão pode sair a ideia da utilização de uma incógnita auxiliar, conforme mostrado no livro do aluno.

MAIS EQUAÇÕES Equações biquadradas

Denomina-se equação biquadrada na incógnita x toda equação da forma ax + bx2 + c = 0, em que a, b e c são números reais e a 5 0. As equações a seguir são biquadradas:0 4

• x4 _ 10x2 + 9 = 0

• x4 + 20x2 _ 3 = 0

• x4 _ 5x2 + 4 = 0

• 16x4 _ 2 = 0

• 9x4 _ 6x2 = 0 Podemos notar que as equações biquadradas são equações incompletas de 4o grau, desprovidas dos termos em que a incógnita teria expoente ímpar. A resolução das equações biquadradas envolve um artifício, conforme veremos nos exemplos a seguir. 1 Resolver a equação x4 _ 5x2 + 4 = 0, considerando U = R. Vamos, inicialmente, indicar x2 = p, usando a incógnita auxiliar p. Substituindo x2 por p na equação dada, temos: x4 _ 5x2 + 4 = 0 (x2)2 _ 5x2 + 4 = 0 p2 _ 5p + 4 = 0

equação do 2o grau na incógnita p

Nessa equação, temos: a=1

b = _5

c=4

D = b2 _ 4ac = (_5)2 _ 4 ? (1) ? (4) = 25 _ 16 = 9 5+3 8 ⎧ ⎪ p′ = 2 = 2 = 4 ⎪ _b ± ∆ _(_5) ± 9 5 ±3 ⇒ ⎨e p= = = 2a 2 ? (1) 2 ⎪ 5_ 3 2 = =1 ⎪⎩ p′′ = 2 2 As raízes 4 e 1 são valores reais da incógnita p. Como fizemos x2 = p, precisamos, agora, obter os valores de x, que serão as raízes da equação biquadrada. Assim: Para p = 4, temos: x2 = 4 h x = ± 4 h x = ±2 Para p = 1, temos x2 = 1 h x = ± 1 h x = ±1 Então: S = {_2, 2, _1, 1}. 109

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Na atividade 2, espera-se que os alunos compreendam que, para as expressões 11x4 _ 6x2 e x2 + 4 terem valores iguais, significa que 11x4 _ 6x2 = x2 + 4. Portanto, é necessário resolver essa equação para determinar as raízes. Ao aplicar os procedimentos de resolução de equações biquadradas, os alunos vão obter _1 e 1. Ao resolver as equações biquadradas com a turma, verificar se os alunos têm dúvidas em relação ao passo a passo da resolução. É importante que eles tomem cuidado com possíveis erros ao trocar sinais. Equações irracionais Nas equações irracionais, sugerir aos alunos que sempre façam a verificação se o valor encontrado para a incógnita é realmente a raiz da equação proposta. Para isso, os alunos devem substituir o valor encontrado na resolução no lugar da incógnita e resolver a expressão numérica resultante. Se a sentença matemática obtida for verdadeira, o valor encontrado é, de fato, raiz da equação.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

a) (x2 _ 1)(x2 _ 12) + 24 = 0 {_3, 3, _2, 2} b) (x2 + 2)2 = 2 ? (x2 + 6) {_ 2 , 2 } c) (x + 2)(x _ 2)(x + 1)(x _ 1) + 5x2 = 20 {_2, 2} d) x2 (x2 _ 9) = _20 {_ 5 , 5 , _2, 2}

Responda às questões no caderno.

1. Determine, no conjunto R, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas: a) x4 _ 8x2 _ 9 = 0 {_3, 3} b) x4 _ 4 = 3x2 {_2, 2} c) x4 _ 16x2 = 0 {0, _4, 4} d) x4 _ 8x2 + 16 = 0 {_2, 2} 2. Para que valores reais de x as expressões a seguir apresentam valores numéricos iguais? _1 e 1. 11x4 _ 6x2

x2 + 4

3. Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U = R:

4. Qual é a soma das raízes reais positivas desta equação? 5 + 1 = 6 x4 _ 26x2 + 25 = 0 5. Considere a equação x2 _ 2 =

6 , x2 _ 1 em que x 5 1 e x 5 _1. Essa equação

tem quantas raízes reais? Duas: _2, 2 2 6. Todas as raízes da equação x2 ! 2 " 3 , x com x 5 0, são números reais. Essa afirmação é correta? Justifique. Sim; pois as raízes são _1, 1, _ 2 e 2 .

Equações irracionais Como já vimos, toda equação que apresenta a incógnita no radicando é chamada equação irracional. Para transformar uma equação irracional em uma equação racional, elevamos os dois membros da equação a uma potência conveniente. Ao fazer isso, podemos considerar raízes que não valem para a equação irracional dada; portanto, sempre temos de fazer a verificação dos resultados encontrados. Consideremos, então, os exemplos a seguir.

1 Resolver a equação x + 5 = x _ 1. Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 5, ou seja, U = {x [ R | x > 5}. Note que x também deve ser maior que 1 para que x _ 1 não seja negativo, já que, no conjunto dos números reais, o resultado de uma raiz quadrada não pode ser negativo.

( x + 5 ) = (x _ 1) 2

2

x + 5 = x2 _2x +1 x2 _ 3x _ 4 = 0

x =

_b ± ∆ 2a

elevamos os dois membros ao quadrado equação racional a ser resolvida

3+5 8 ⎧ ⎪ x′ = 2 = 2 = 4 ⎪ _(_3) ± 25 3±5 ⇒ ⎨e = = 2 ? (1) 2 ⎪ 3_ 5 2 = _ = _1 ⎪⎩ x′′ = 2 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Determinamos, assim, as raízes da equação racional do 2o grau. Para determinar as raízes da equação irracional dada, precisamos fazer uma verificação com os valores obtidos para a incógnita x. Veja a verificação. Logo, apenas o número 4 satisfaz a equação irracional dada. Para x = 4, temos: 4 + 5 = 4 _1 9 =3 3 = 3 (verdadeira)

Atividades Nas atividades, os alunos aplicarão os conhecimentos obtidos a respeito de resolução de equações irracionais. Estimular a expressão oral dos alunos após a resolução para compartilharem o raciocínio utilizado e possíveis dúvidas.

Para x = _1, temos: (_1) + 5 = (_1)_1 4 = _2 2 = _2 (falsa)

Então: S = {4}. 2 Vamos resolver a equação x _ 3 + 5 = x. Nessa equação, devemos ter x real, tal que x > 3, ou seja, U = {x [ R | x > 3}. x_3 +5=x x_3 =x_5 isolamos o radical no primeiro membro Aqui podemos ver que x deve ser maior que 5 para que a raiz quadrada seja um número positivo. ( x _ 3 )2 =(x _ 5)2 x _ 3 = x2 _ 10x + 25 x2 _ 11x + 28 = 0

elevamos os dois membros ao quadrado equação racional a ser resolvida

a=1

b = _11

c = 28

D = b _ 4ac = (_11) _ 4 ? (1) ? (28) = 121 _ 112 = 9 11 + 3 14 ⎧ = = 7 ⎪ x′ = 2 2 ⎪ 11 ± 3 _b ± ∆ _(_11) ± 9 ⇒ ⎨e x= = = 2a 2 ? (1) 2 ⎪ 11 − 3 8 = = 4 ⎪⎩ x′′ = 2 2 2

2

Fazendo a verificação. Para x = 7, temos: 7_3 + 5=7 4 +5=7 2 + 5 = 7 (verdadeira)

ATIVIDADES

Para x = 4, temos: 4_3 +5=4 1 +5 =4 1 + 5 = 4 (falsa)

Logo, S = {7}.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Resolva a equação irracional x _ 1 = 3 _ x. {2} 2. Quais os valores reais de x para os quais a expressão x2 _ 6x + 16 é igual a 2 2 ? 4 ou 2 3. Qual é o conjunto solução da equação 4 _ x = x + 2 ? {2}

4. Para quais valores reais de x as expressões x2 _ 9 e x + 11 apresentam o mesmo valor? {_4, 5} 5. Resolva a equação irracional 7x _ 3 _ 1 = x. {1, 4} 6. Qual é o valor real x que torna a expressão x2 _ x + 4 igual a 4? x = 4 ou x = _3 111

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

TRATAMENTO DA INFORMAÇão

Resoluções a partir da p. 289

Os gráficos e a importância de sua representação correta 1. Uma empresa que produz chocolates, a ChocoCharm decidiu fazer uma pesquisa de mercado para verificar, dentre as marcas oferecidas, qual a preferida pelos consumidores. Em seguida, construiu um gráfico de barras para apresentar os resultados:

Preferência dos consumidores Porcentagem 25%

90% 80% 70% 60% 50%

40%

40% 30% 20%

15%

11%

9%

10%

Marcas de chocolate

0% Choco Charm Choco Love

Choco Mais

Não come chocolate

Não sabe

EDITORIA DE ARTE

Os gráficos e a importância de sua representação correta Pode ocorrer de os gráficos apresentados em mídias serem construídos de maneira errada. Isso pode levar o leitor/ espectador a realizar conclusões equivocadas. Para que isso não ocorra, é preciso estar atento às informações apresentadas, às escalas utilizadas e ao tipo de gráfico escolhido. Na atividade 1, a altura das barras não está respeitando a escala, fazendo parecer que a primeira marca está muito acima das demais. Espera-se que os alunos identifiquem isso ao responder ao item b. No item c, pedir aos alunos que compartilhem as respostas para que uma discussão seja realizada a respeito da importância de os gráficos estarem corretos. Verificar quais possíveis conclusões erradas poderiam ser feitas a partir da interpretação desse gráfico.

Não está correto, pois a escala do eixo vertical vai de 0% a 100% e o tamanho da barra indica Fonte: Pesquisa da ChocoCharm uma preferência de quase 90%. a) Qual o percentual de consumidores que escolheram a ChocoCharm? 25% b) Você considera que o tamanho da barra apresentada no gráfico, para representar o percentual de consumidores que preferem ChocoCharm está correto? Explique. c) Imagine que esse gráfico tenha sido publicado em um meio de comunicação, como um jornal ou uma revista. Um leitor poderia ser levado a se confundir com os dados apresentados no gráfico? d) Construa o gráfico que representa corretamente as informações dadas. Resposta ao final do livro. Sim, pois os tamanhos das colunas não estão proporcionais. Por exemplo, 40% dos consumidores entrevistados não escolheram nenhum chocolate, mas esta coluna é menor que a coluna que representa 25%. 112

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Na atividade 2, o gráfico de linhas não é adequado para ser utilizado, pois ele serve para indicar grandezas que oscilam ao longo do tempo. É esperado que os alunos concluam isso no item d. Pedir aos alunos que deem exemplos de situações em que poderiam usar um gráfico de linhas, como o faturamento de uma empresa durante 1 semestre, o número de visitantes de um museu ao longo de uma semana, o nível de chuva, dia a dia, durante um mês. Para ampliar a atividade, pedir aos alunos que pensem em quais dados precisariam ser obtidos ou alterados para que o gráfico de linhas fosse usado no contexto apresentado. Uma possível resposta é obter o número de pessoas que adquiriu cada um desses bens, mês a mês, ao longo dos 4 meses.

2. O gráfico de linhas a seguir está representando a quantidade de bens de consumo duráveis adquiridos pelos pesquisados nos últimos 4 meses:

Bens de consumo duráveis adquiridos nos últimos 4 meses Número de pessoas 9 8 7 6 5 4 3 2

0

Carro

Fogão

Geladeira

Bem de consumo

Televisão

EDITORIA DE ARTE

1

Fonte: Dados fictícios

Fonte: Pesquisa da ChocoCharm

Não sabe Não come chocolate Choco Charm Choco Love Choco Mais

25%

15%

9%

40%

Preferência dos consumidores

Bens de consumo duráveis Bens duráveis

Quantidade

Carro

6

Fogão

3

Geladeira

2

Televisão

9

Bens de consumo duráveis adquidos nos últimos 4 meses Número de pessoas 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Carro

Fogão

Geladeira

Televisão

Bem de consumo

Fonte: Dados fictícios

40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%

Porcentagem

Resposta da pág. anterior 1. d.

11%

Marcas de chocolate

a) Observando o gráfico, é possível afirmar que houve uma queda na compra de veículos? Não, pois o gráfico não mostra a evolução da venda de carros ao longo do meses. b) Copie e complete a tabela a seguir no seu caderno, a partir das informações do gráfico.

Fonte: Dados fictícios

c) A partir das informações da tabela, construa um gráfico de barras, relacionando a quantidade de bens duráveis adquiridos pelos pesquisados nos últimos 4 meses. d) O gráfico de linhas é adequado para representar as grandezas envolvidas nessa atividade? Explique. Não. O gráfico de linhas é indicado para mostrar uma tendência, crescente ou decrescente, em um período de tempo, por exemplo. 113

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Retomando o que aprendeu Por meio de atividades de múltipla escolha, os alunos vão revisar os conceitos estudados na Unidade e poderão detectar possíveis dúvidas. Na atividade 3, para calcular o valor de (x’ _ x’’)2, os alunos precisam relembrar que essa expressão pode ser escrita assim: (x’ – x’’)2 = x’2 _ 2 ? x’ ? x’’ + + x’’2 = (x’2 + x’’2) _ 2 ? ? (x’ ? x’’) Na atividade 12, basta relembrar o que significa o discriminante da equação. No caso, como a equação tem duas raízes reais diferentes, é preciso que o discriminante seja maior que zero, ou seja, (2m _ 3)2 _ 4 ? 1 ? (m2 + 3) . 0. Ao resolver essa inequação, 1 conclui-se que m , _ . 4

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Considere a equação 5x + 9 = 5 +

1 , x com x 5 0. A menor raiz dessa equação é o número real: Alternativa d. 1 a) d) _1 5 1 e) _ b) 5 5 c) 1

2. Observe a equação a seguir.

b) 21,5

e) 1

c) 0,5 3. Se x‘ e x’ (com x‘ . x’) são as duas raízes 12 = 1, com x 5 0, reais da equação x _ x o valor da expressão (x‘ _ x’)2 é: a) 36

d) 64

b) 45

e) 81

c) 49

Alternativa c.

5. Considerando que a equação x2 + 11 = = 12x tem duas raízes reais diferentes, pode-se dizer que a média aritmética dessas raízes é: Alternativa b. c) 5

b) 6

d) 4

c) 8 7. Determine os números reais x que fazem com que as expressões

x+ x_1 e

x = 4_ x

4_ x (com x 5 4)? S = {2} 2

9. Considere V = 2k +

h2 . Quando V = 25 5 e 5k = 2,5, temos para h dois valores, que são: Alternativa a.

a) _10 e 10. b) _5 e 5. c) _11 e 11. d) _15 e 15. e) _9 e 9.

4. Sabe-se que x é um número real inteiro, 1 5 " . diferente de 0, tal que x ! x 2 Nessas condições, o valor numérico da 1 expressão x3 + 3 é: Alternativa e. x 65 a) 51 c) 59 e) 8 b) 53 d) 61

a) 8

e) 6

b) 9

8. Qual é a solução da equação

Uma das raízes dessa equação é o número: Alternativa a. d) 2,5

6. Considere a equação 5x2 + 6 = 31x. Uma das raízes dessa equação é expressa por uma fração. A soma dos termos da fração que expressa essa raiz é: d) 7 Alternativa e. a) 10

7 tenham o mesmo valor numérico. 5

x(4x _ 1) = 3(x + 1)

a) 1,5

Resoluções a partir da p. 289

e) 3

10. O menor valor de x que verifica a igual4 dade y = _ + x _ 1, quando y = 2, é x o número real: Alternativa d. a) 4

d) _1

b) 2

e) _2

c) 1 11. A equação ax2 _ 4x _ 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. Qual é a outra raiz dessa equação? Alternativa c. a) 4 b) 2 c) _2 d) _4 e) _6

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12. A equação x2 + (2m _ 3)x + m2 + 3 = 0 tem duas raízes reais diferentes. Nessas condições, devemos ter: Alternativa b. 1 a) m , 4 1 b) m , _ 4 1 c) m > 4 1 d) m > _ 4 e) m , _2 13. Na equação px _ 2(q _ 1)x + 6 = 0, a soma das raízes é _3, e o produto das raízes é 3. Nessas condições, qual é o valor de q? Alternativa e. 2

a) 3 b) 2 c) 1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

14. Se S é o número que expressa a soma e P o número que expressa o produto das raízes da equação 2x2 + 5x _ 3 = 0, S então a razão vale: Alternativa a. P 5 3 a) d) _ 3 5 5 2 b) _ e) _ 3 3 3 c) 5 15. O valor de x que satisfaz a equação

Um novo olhar Os questionamentos existentes no encerramento dessa Unidade permitem reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham a respeito de determinado assunto abordado.

2x2 _ 4x + 9 = 2x _ 3 é um número real que está entre: Alternativa c.

a) 1 e 3.

c) 3 e 5.

b) 2 e 4.

d) 4 e 6.

e) 5 e 7.

16. Ao subtrair 3 de certo número real x, você obtém o dobro da raiz quadrada desse número x. Então, o valor de x é: a) 1

d) 16

d) _1

b) 9

e) _2

c) 4

e) 5 Alternativa b.

UM NOVO OLHAR Nesta Unidade, estudamos as equações do 2o grau com uma incógnita completa e incompleta. Verificamos como escrever uma equação desse tipo na forma reduzida e os métodos de resolução dela. Estudamos o processo de completar quadrados e a fórmula resolutiva que leva o nome do matemático indiano Bhaskara. Também estudamos duas variações da equação do 2o grau: a equação biquadrada, que na verdade é uma equação do 4o grau incompleta, e as equações irracionais. Na abertura da Unidade, tratamos de uma aplicação da equação do 2o grau na Física, descoberta por Galileu Galilei: a queda livre dos corpos. Vamos retomar as aprendizagens desta Unidade e refletir respondendo às seguintes questões no caderno: • Em que caso uma equação do 2o grau tem duas raízes reais distintas? Quando seu discriminante é maior que zero. • Como podemos escrever uma equação do 2o grau conhecendo suas 2 raízes?Pela soma e pelo produto das raízes utilizando a equação x _ Sx + P = 0, em que S é a soma e P é o produto. • No início da Unidade você foi convidado a resolver uma equação. Agora, utilizando a fórmula resolutiva, resolva a equação novamente. O resultado encontrado foi o mesmo? Resposta pessoal. O mais importante nesse momento é verificar se os alunos conseguiram utilizar a fórmula resolutiva para resolver a equação.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atualidades em foco Inicialmente, promover um debate com os alunos a respeito da cultura afro-brasileira. Questioná-los sobre o que sabem a respeito do assunto tratado na seção, abrindo espaço para que compartilhem costumes, informações, sensações e experiências pessoais. Em seguida, solicitar que elenquem outras contribuições que a cultura afro-brasileira trouxe para o Brasil. Incentivá-los a socializar as informações que possuem acerca das heranças deixadas pela cultura afro-brasileira. Se possível, estimulá-los a construir um painel com as informações obtidas. Para finalizar, questionar os alunos sobre a opinião deles a respeito da legislação informada no texto (lei no 10.639) e convidá-los a pesquisar informações a respeito dos temas contemporâneos descritos na Base Nacional Comum Curricular (BNCC). Aproveitar a oportunidade para promover reflexões acerca deste documento e suas finalidades. Em seguida, se julgar conveniente, convidá-los a elaborar uma pesquisa para coletar informações com o tema preconceito e racismo. A ideia é que elaborem uma entrevista a ser realizada com as pessoas que se declaram pardas ou negras. Comentar com a turma que, nesta coleta de informações, o principal objetivo será descobrir se, nos dias atuais, ainda há questões envolvendo o reconhecimento e a valorização da cultura afro-brasileira.

ATUALIDADES EM FOCO

Resoluções a partir da p. 289

Cultura afro-brasileira se manifesta na música, religião e culinária Somente a partir do século XX as manifestações, os rituais e costumes africanos começaram a ser aceitos e celebrados como expressões artísticas genuinamente nacionais. Você sabia dessa informação? Converse com seus colegas e professor. SERGIO PEDREIRA/PULSAR IMAGENS

“O Brasil tem a maior população de origem africana fora da África e, por isso, a cultura desse continente exerce grande influência, principalmente, na região Nordeste do Brasil. Hoje, a cultura afro-brasileira é resultado também das influências dos portugueses e indígenas, que se manifestam na música, religião e culinária. Devido à quantidade de escravos recebidos e também pela migração interna destes, os estados de Maranhão, Pernambuco, Alagoas, Bahia, Minas Gerais, Espírito Santo, Rio de Janeiro, A cultura negra é um elemento essencial para a São Paulo e Rio Grande do Sul foram os formação da identidade brasileira mais influenciados. No início do século XIX, as manifestações, rituais e costumes africanos eram proibidos, pois não faziam parte do universo cultural europeu e não representavam sua prosperidade. Eram vistas como retrato de uma cultura atrasada. Mas, a partir do século XX, começaram a ser aceitos e celebrados como expressões artísticas genuinamente nacionais e hoje fazem parte do calendário nacional com muitas influências no dia a dia de todos os brasileiros. Em 2003, a lei no 10.639 passou a exigir que as escolas brasileiras de ensino fundamental e médio incluíssem no currículo o ensino da história e cultura afro-brasileira. Fonte: GOVERNO DO BRASIL. Cultura afro-brasileira se manifesta na música, religião e culinária. Disponível em: <http://www.brasil.gov.br/noticias/cultura/2009/10/cultura-afro-brasileira-semanifesta-na-musica-religiao-e-culinaria>. Acesso em: 7 nov. 2018.

• Entre as heranças da cultura afro-brasileira podemos destacar a música, a capoeira, a religião e a culinária. O que você sabe sobre cada uma dessas heranças? Resposta pessoal. • Você conhece a Base Nacional Comum Curricular (BNCC)? Se sim, que informações possui acerca desse documento? Resposta pessoal. • Reúna-se com três colegas e, juntos, pesquisem informações sobre os temas contemporâneos descritos na BNCC. Pesquisa do aluno. 116

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*Confusão, barulho. ** Casa, lugar sujo. *** Ato de coçar, de leve, a cabeça de alguém, dando Língua estalidos com as unhas para provocar sono. **** Manco, coxo. *****Algazarra, barulho, confusão. [...] As línguas africanas exerceram tanta influência no modo de falar do povo brasileiro que a nossa língua já é considerada diferente do Português de Portugal. Na Bahia, são usadas cerca de 5 mil palavras de origem africana. A maior parte das palavras que enriqueceram o vocabulário brasileiro vêm do quimbundo, língua do povo banto. Na época da escravidão, o quimbundo era a língua mais falada nas regiões Norte e Sul do país. [...] Fonte: FRANZIN, A. Você sabe qual é a importância da cultura negra para a história do Brasil? Disponível em: <http://www.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2012/11/voce-sabe-qual-e-a-importancia-da-cultura negra-para-a-historia-do>. Acesso em: 7 nov. 2018.

Você sabia que “o português falado no Brasil é resultado de um amplo e complexo processo de transformação ao longo dos anos” e, na Bahia são usadas cerca de 5 mil palavras de origem africana? A maioria dessas palavras vêm do quimbundo, língua do povo banto. • Forme dupla com um colega e, juntos, realizem uma pesquisa para descobrir o significado das palavras da tabela. Criada, escrava de estimação, que ajudava nos serviços domésticos e acompanhava sua senhora à rua, em passeios. Palavra

Solicitar aos alunos que compartilhem com a turma o que conhecem a respeito da culinária afro-brasileira. Caso julgue interessante, solicitar uma pesquisa sobre os principais alimentos e receitas típicas consumidos no Brasil e de origem africana. Em seguida, verificar a possibilidade de cada aluno ou grupo de alunos fazerem essas receitas em casa e trazerem para a escola para serem socializadas com a comunidade escolar. Nesse momento, os alunos também explicarão as origens da culinária que está sendo apresentada.

Significado

BANZÉ* BIBOCA** CAFUNÉ *** CAPENGA **** FUZUÊ ***** MUCAMA ZABUMBA Bumbo. • Vocês já utilizaram alguma ou algumas dessas palavras? Se sim, em qual situação? Resposta pessoal.

Culinária [...] Ingredientes como o leite de coco, a pimenta malagueta, o gengibre, o milho, o feijão preto, as carnes salgadas e curadas, o quiabo, o amendoim, o mel, a castanha, as ervas aromáticas e o azeite de dendê não eram conhecidos nem usados no Brasil antes da chegada deles. Muitos pratos conhecidos e apreciados aqui vieram de lá: vatapá, o caruru, o abará, o abrazô, o acaçá, o acarajé, o bobó, os caldos, o cozido, a galinha de gabidela, o angu, a cuscuz salgado, a moqueca e a famosa feijoada. E os doces? [...] Fonte: FRANZIN, A. Você sabe qual é a importância da cultura negra para a história do Brasil? Disponível em: <http://www.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2012/11/voce-sabe-qual-e-a-importancia-da-cultura negra-para-a-historia-do>. Acesso em: 7 nov. 2018.

• Com a mesma dupla, realizem uma pesquisa para descobrir alguns doces, consumidos em nosso país, da cultura africana. Pesquisa do aluno. 117

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4

COMPETÊNCIAS GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

• Observe a primeira e a última imagens do processo de construção da rosácea. A primeira imagem é somente a linha em torno do centro, a última imagem é composta dessa linha e de toda a região interna. Como diferenciar matematicamente esses dois casos? No primeiro caso, trata-se de uma circunferência e, no outro caso, trata-se de um círculo.

TOCK/EASY /AGEFOTOS MONHEIM

• Utilizando um software livre de Geometria dinâmica, elabore uma rosácea com base na ferramenta de criar círculos. Você pode usar uma ferramenta on-line. Um exemplo de ferramenta está disponível em GeoGebra on-line: <http://livro.pro/ hssovj>. Acesso em: 12 nov. 2018. Resposta pessoal.

M; FLORIAN

Agora é com você! Resposta pessoal. • Utilizando um compasso, desenhe e construa algumas rosáceas. Lembre-se de tentar fazer uma composição harmônica.

PIX

Podemos perceber que a Matemática tem uma relação muito próxima com a Arte, principalmente quando olhamos para a Geometria. Uma dessas relações pode ser observada no trabalho com rosáceas, construções com vidro muito comuns nas catedrais de estilo gótico. Uma rosácea é obtida com base em processos de desenho geométrico. Observe a imagem apresentada ao lado e o processo de construção de um exemplo de rosácea.

CK.CO UTTERSTO UCTIONS/SH SYDA PROD

ESPECÍFICAS 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

RELAÇÕES ENTRE ÂNGULOS

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HABILIDADES p. XXIII e XXIV

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Geometria • EF09MA10 • EF09MA11

Abertura de Unidade Analisar a imagem de abertura de Unidade e verificar se os alunos já viram, pessoalmente, exemplos de rosáceas e mandalas. Discutir a relação

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da Geometria com as diversas manifestações artísticas, como a presença de circunferências e círculos em obras de arte. É um momento importante para os alunos compartilharem a experiência cultural que eles têm nessa área.

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B

2

A

B

3

C A

B

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

D

4

A

5

Trace uma circunferência de raio qualquer.

Com a ponta-seca do compasso em qualquer ponto da circunferência e com a mesma abertura usada no passo anterior, trace uma nova circunferência. Com a ponta-seca do compasso em um dos pontos onde as duas circunferências desenhadas se cruzam, e com a mesma abertura usada nos passos anteriores, trace uma nova circunferência.

Essa mesma orientação pode ser dada nos passos 3, 4 e 5. No passo 4, espera-se que os alunos encontrem uma figura como esta:

Com a ponta-seca do compasso no ponto onde somente a primeira e a terceira circunferências desenhadas se cruzam, e com a mesma abertura usada nos passos anteriores, trace uma nova circunferência.

Continue esses passos com novas circunferências até obter uma figura semelhante a essa ao lado. Depois basta colorir.

Interior da Catedral Saint-Denis, França.

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ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

1

Verificar como os alunos realizam a construção da rosácea a partir dos passos indicados. No passo 2, é possível orientar os alunos a desenharem a segunda circunferência com parte dela tracejada, conforme mostra a imagem. Isso pode facilitar a visualização da rosácea.

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Sugerir uma pesquisa a respeito do trabalho do artista Maurits Cornelis Escher e, se possível, apresentar aos alunos algumas obras que julgar que complementam esse tema. Há informações a respeito desse artista neste site oficial <http://livro.pro/c4njps>. Acesso em: 20 nov. 2018. É possível encontrar mais informações a respeito das mandalas e rosáceas nos sites: <http://livro.pro/vnpx3a> e <http://livro.pro/3os488>. Acessos em: 20 nov. 2018.

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1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Ângulos opostos pelo vértice Realizar a demonstração da congruência dos ângulos opostos pelo vértice na lousa. Uma sugestão de atividade prática é desenhar, em uma folha de papel, duas retas que cruzam em um ponto e recortar essa folha de tal modo que os dois ângulos opostos vão se sobrepor ao dobrar a folha. Se necessário, retomar os conceitos de ângulos complementares e suplementares. Construir um mural permanente na sala de aula com o vocabulário estudado ao longo da Unidade é um bom modo de retomar, ao final, as ideias apresentadas. Podem constar os termos: ângulos opostos pelo vértice, ângulos adjacentes, ângulos complementares, ângulos suplementares etc.

ÂNGULOS DETERMINADOS POR RETAS TRANSVERSAIS Ângulos opostos pelo vértice

r Consideremos duas retas, r e s, que se cruzam a em um ponto V, formando quatro ângulos de medidas: a, x, b e y, conforme mostra esta figura. y x V Os ângulos de medidas x e y são chamados b ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.). Também s são opostos pelo vértice os ângulos de medidas a e b. Observe que os lados do ângulo de medida a são formados pelos prolongamentos dos lados do ângulo de medida b.

Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Vamos mostrar que essa afirmação é verdadeira. Pela figura, podemos notar que:

r

a • x + a = 180° • y + a = 180° Então: y x x+a=y+a V Cancelando a nos dois membros, obtemos: s x=y Portanto, dois ângulos opostos pelo vértice sempre têm a mesma medida. Você poderia também verificar que as medidas de ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida usando um transferidor. Basta medir quantos graus tem cada um dos ângulos. Você vai perceber que eles são congruentes, ou seja, têm a mesma medida.

Ângulos adjacentes Dois ângulos são consecutivos quando eles possuem o mesmo vértice e têm um lado comum. Na figura ao lado, AÔB e BÔC são ângulos consecutivos. Note que eles têm em comum apenas o lado OB, e não têm pontos internos comuns.

C

B

O

A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

NO DIGITAL – 2˙ bimestre • Ver o plano de desenvolvimento para as Unidades 4 e 5. • Desenvolver o projeto integrador sobre construção de mosaicos. • Explorar as sequências didáticas do bimestre, que trabalham as habilidades EF09MA05, EF09MA07, EF09MA08 e EF09MA15. • Acessar a proposta de acompanhamento da aprendizagem.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ângulos correspondentes Em anos anteriores, os alunos verificaram as propriedades de ângulos formados por retas paralelas interceptadas por uma transversal. Essa verificação pode ser feita, também, usando softwares de geometria dinâmica. Apresentar, caso a caso, os pares de ângulos correspondentes que são formados por retas paralelas e o cruzamento de uma transversal. Como atividade prática, pode ser construído um exemplo dessa situação com valores numéricos e, com a ajuda do transferidor, verificar que os valores dos ângulos correspondentes são iguais.

Dois ângulos consecutivos que não possuem pontos internos comuns são chamados ângulos adjacentes.

Então, em nosso exemplo, AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. Observe, agora, AÔB e AÔC. Eles têm um lado comum (OA) e possuem o mesmo vértice (O); logo, são ângulos consecutivos. No entanto, eles têm pontos internos comuns. Por esse motivo, AÔB e AÔC não são ângulos adjacentes.

Ângulos correspondentes t

Dadas duas retas paralelas interceptadas por uma transversal, obtemos oito ângulos. Veja. Os pares de ângulos â e ê; b̂ e fˆ ; ĉ e ĝ; d̂ e ĥ são chamados ângulos correspondentes. Sabemos que â e ĉ são opostos pelo vértice, assim como ê e ĝ. Portanto a medida desses ângulos é a mesma, ou seja, a = c e e = g. Porém, como r // s, também podemos concluir que a = e e d = g.

d

a

c

b h g

r e

s

f

Dadas duas retas paralelas interceptadas por uma transversal, os ângulos correspondentes são congruentes. Se a reta transversal corta duas retas determinando ângulos correspondentes congruentes, então essas retas são paralelas (â 2 ê H r // s). t a e

t r

r c

s

s

g aˆ e eˆ são ângulos correspondentes. r // s k â 2 ê

f

t

t r

r d

s

s

h bˆ e fˆ são correspondentes. r // s k b̂ 2 f̂

dˆ e hˆ são correspondentes. r // s k d̂ 2 ĥ

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

b

cˆ e gˆ são correspondentes. r // s k ĉ 2 ĝ

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

60° 2x 60°

4x

y

t

O ângulo destacado, também, é igual a 2x + 60°. Portanto, basta resolver a equação: 2x + 60° = y h h 2 ? 20° + 60° = y h h 100° = y

a s b

• Como r // s, temos: a = b (ângulos correspondentes) 2x + 50° = 4x _ 30° 2x _ 4x = _30° _ 50° _2x = _80° x = 40°

ATIVIDADES

• Como a = 2x + 50°, temos: a = 2 ? (40°) + 50° a = 80° + 50° a = 130° Como b = a, então b = 130°.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Dois ângulos correspondentes, determinados por duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, medem 2x + 40° e _3x + 90°.

4. Determine a medida de x. 16,8°

b) Determine a medida de cada um dos ângulos dados. Cada um dos ângulos mede 60°. 2. Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x _ 75° e x + 15°. Determine o valor de x. 45° 3. Em cada caso, determine o valor de x e y, sabendo que r//s. a)

y

4x _ 5°

r

x = 60°; y = 135°. 2x _ 75°

b)

s

3x ! 37° 2

5. Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas. Qual é, em graus, a medida do ângulo y? a) 100° Alternativa a. b) 110° c) 120° d) 130°

3 x 4

r

s

a) Determine o valor de x. 10°

s

120°

r

Na figura ao lado, r // s. Vamos calcular os valores das medidas dos ângulos â e b̂, sabendo que, em graus, a = 2x + 50° e b = 4x _ 30°.

e) 140°

r 2x

4x y

s

120°

6. (UFMA) Dois ângulos opostos pelo vértice medem 3x + 10° e x + 50°. Um deles mede: Alternativa b.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

r

EDITORIA DE ARTE

Atividades Para resolver as atividades, espera-se que os alunos encontrem equações para cada situação a partir das definições vistas até o momento. Na atividade 5, é preciso notar que a soma dos ângulos de medidas 60°, 2x e 4x é igual a 180°. Portanto: 60° + 2x + 4x = 180° h h 6x = 120° h x = 20° Depois, observar que o ângulo de medida y é correspondente ao ângulo destacado na figura abaixo.

a) 20° r

x = 30°; y = 210°. s

b) 70° 7x

210° y

c) 30° d) 80° e) 50°

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulos alternos

Ângulos alternos Apresentar a definição de ângulos alternos e pedir aos alunos que identifiquem quais deles são internos e quais são externos. Isso é importante para que eles construam as relações existentes entre cada par de ângulos.

Ângulos alternos são pares de ângulos não adjacentes que estão em lados opostos em relação à reta transversal. r

• 3̂ e 5̂ estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Portanto, 3̂ e 5̂ são ângulos alternos internos.

3 6

• 4̂ e 6̂ estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s. Então, 4̂ e 6̂ são ângulos alternos internos.

5 s

t 2

• 1̂ e 7̂ estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Portanto, 1̂ e 7̂ são ângulos alternos externos. • 2̂ e 8̂ estão em lados opostos em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Então, 2̂ e 8̂ são ângulos alternos externos. Considere, agora, as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t. Vamos determinar a relação entre as medidas de dois ângulos alternos (internos ou externos). 1 ĉ 2 â (ângulos o.p.v.) 2 â 2 ê (ângulos correspondentes) De 1 e 2 , obtemos: ĉ 2 ê (ângulos alternos internos congruentes). 3 ĝ 2 ê (ângulos o.p.v.) 4 ê 2 â (ângulos correspondentes) De 3 e 4 , obtemos: ĝ 2 â (ângulos alternos externos congruentes)

4

7

1

s

8

t

r

t a

r

c e

s

t

a e

r s

g

Propriedade Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos alternos congruentes (internos ou externos). Assim: t

c f g

a

Se r // s, então: r

d e

h

ĉ ! ê d̂ ! f̂

s

â ! ĝ b̂ ! ĥ

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b

alternos internos

alternos externos

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Usando essa propriedade, podemos resolver a seguinte questão: Na figura abaixo, a = 3x _ 50° e b = x + 14°. Qual é a medida, em grau, dos ângulos â e b̂, sendo r // s?

Ângulos alternos Resolver o exemplo envolvendo ângulos alternos internos. Comentar com os alunos que antes de resolver qualquer problema envolvendo ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, é preciso identificar a relação que há entre os pares de ângulos. No exemplo, os ângulos são congruentes, portanto, se usa a equação apresentada. Se julgar pertinente, propor mais um exemplo, como o indicado a seguir: Determine os valores de a e b, na figura abaixo, sendo r // s. r

b

s

b

Como r // s, a = b (alternos internos). Então: 3x _ 50° = x + 14° 3x _ x = 14° + 50° 2x = 64° x = 32° Daí: a = 3 ? (32°) _ 50° = 96° _ 50° = 46° Portanto, a = 46° e b = 46°.

Ângulos colaterais Ângulos colaterais são pares de ângulos não adjacentes localizados no mesmo lado da reta transversal. r

s 3

a 6

Notar que os ângulos de 2 x são medidas x _ 15° e 3 correspondentes, portanto: 2 x _ 15° = x h x = 45° 3 Como os ângulos de medida b e x _ 15° são alternos internos, então: b = x _ 15° b = 45° _ 15° h b = 30° Como os ângulos de medida a e x _ 15° são adjacentes suplementares, então: a + x _ 15° = 180° a + 45° _ 15° = 180° h h a = 150°

Ângulos colaterais Apresentar a definição de ângulos colaterais e destacar que esses ângulos devem estar do mesmo lado da reta transversal.

4

5 s

t

• 3̂ e 6̂ estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s (região interna). Então, 3̂ e 6̂ são ângulos colaterais internos. • 4̂ e 5̂ estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região determinada entre as retas r e s. Então, 4̂ e 5̂ são ângulos colaterais internos. 2

7 t

8

1

r

s

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x ! 15°

a

EDITORIA DE ARTE

2 x 3

r

t

• 1̂ e 8̂ estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Assim, 1̂ e 8̂ são ângulos colaterais externos. • 2̂ e 7̂ estão no mesmo lado em relação à reta transversal t e na região externa às retas r e s. Assim, 2̂ e 7̂ são ângulos colaterais externos. 124

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Voltemos a considerar as retas r e s, paralelas, e uma reta transversal t. Vamos determinar a relação entre as medidas de dois ângulos colaterais (internos ou externos). 1 Como d̂ e â são ângulos adjacentes suplementares, temos: d + a = 180°. 2 Como â e ê são ângulos correspondentes, então: â = ê. De 1 e 2 , obtemos: d + e = 180° (d̂ e ê são ângulos colaterais internos). 1 Como ĥ e ê são ângulos adjacentes suplementares, temos: h + e = 180°. 2 Como ê e â são ângulos correspondentes, então: ê = â. De 1 e 2 , obtemos: h + a = 180° (ĥ e â são ângulos colaterais externos).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS t a

Desenvolver os exemplos apresentados e verificar se os alunos têm alguma dúvida quanto às relações estabelecidas pelos pares de ângulos. Comentar que uma mesma atividade pode ser resolvida de diferentes maneiras, dependendo das escolhas de relações que são feitas.

r

d e

s

t a

r

e

s

h

Propriedade Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares. Assim: t

b c f

c ! f " 180° d ! e " 180° a ! h " 180° b ! g " 180°

d

e

g

Se r // s, então:

r

a

s

h

colaterais internos

colaterais externos

Usando essa propriedade, vamos considerar o seguinte problema: Na figura a seguir, temos r // s. Vamos calcular, em grau, as medidas dos ângulos â e b̂, sabendo que a = 2x e b = 3x _ 20°.

t

a

b s

r

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Como r // s, temos: a + b = 180° (colaterais externos) 2x + 3x _ 20° = 180° 5x = 180° + 20° 5x = 200° x = 40° Como a = 2x, vem: a = 2 ? (40°) = 80° Mas como a + b = 180°, então: b = 180° _ 80° = 100° Portanto, a = 80° e b = 100°. 125

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Atividades Comentar com os alunos que para resolver algumas atividades, às vezes, é preciso desenhar o prolongamento de retas ou construir retas a partir de vértices indicados, pois assim é possível verificar melhor as relações entre os ângulos. Na atividade 7, para resolver o item a, observar a relação entre os ângulos d e f e resolver a equação para determinar o valor de x: 9x _ 10° + 3x + 10° = = 180° h x = 15° Para resolver o item b, basta aplicar o valor de x em cada equação: a = 2x + 5° a = 2 ? 15° + 5° h a = 35° d = 9x _ 10° d = 9 ? 15° _ 10° h h d = 125° Como os ângulos b e d são adjacentes suplementares, então: b + d = 180° b + 125° = 180° h h b = 55° Para resolver o item c, lembrar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Na figura abaixo, determine o valor de x, sabendo que r//s. 15° r x ! 42° 3

5. Na figura, as retas r e s são paralelas. O ângulo a mede 42°, o ângulo b mede 71°, e o ângulo d mede 33°. Determine, em grau, a medida do ângulo c. r s a) 71° Alternativa e. b) 42° c) 73°

2x + 17°

d) 33°

s

e) 62°

2. (Unimontes-MG) Se r//s, então o valor de x, na figura abaixo, é: Alternativa c. a) 52° b) 68°

112°

c) 72°

r

40°

6. Na figura, AB é paralelo a DE. Sendo med(BĈD) = 68° e med(AB̂C) = 34°, calcule a med(CD̂E). Alternativa b. a) 112°

a) 30°

r

y

x

c) 40°

50°

d) 45°

e) 46°

D

7. Junte-se a um colega e resolvam a situação a seguir: Na figura, as retas r e s são paralelas. e

C

s f

c a A

d

b

r

B

Sabendo que a = 2x + 5°, d = 9x _ 10°, f = 3x + 10°, determinem: a) x; 15° b) a e b; a = 35° e b = 55°.

E

c) a + b + c. 180°

a b

C

Determine, em grau, o valor de a _ b. a) 10°

d) 45°

b) 20°

e) 50°Alternativa c.

c) 30°

E

C

z s

4. Na figura, ABCD é um retângulo e EF//AB. A medida de DÂC é a metade da medida de BÂC. A

D

d) 68°

e) 50°

F

A

c) 78°

s

3. As retas r e s da figura são paralelas. Sabendo que x + 2y + 2z = 340°, qual é o valor, em graus, de y? Alternativa a.

B

B

b) 102°

x

d) 58°

b) 35°

d̂

ĉ

b̂

â

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Agora, respondam: d) Como vocês classificariam os ângulos BAC, ABC e ACB quanto às suas medidas?BÂC é agudo, AB̂C é agudo e AĈB é reto. e) De acordo com a soma de suas medidas, como são chamados os ângulos BAC e ABC? Complementares.

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Circunferência O estudo da circunferência foi iniciado em anos anteriores. Agora, será retomado para relembrar parte do vocabulário associado ao tema. Raio, diâmetro, corda, circunferência e círculo são palavras importantes que serão usadas ao longo da Unidade, que apresentará outros termos, como ângulos inscritos, centrais e arcos de circunferência.

CIRCUNFERÊNCIA

Não é a primeira vez que falamos sobre a circunferência – figura fundamental em numerosas construções geométricas. E você também já aprendeu a traçar a figura de uma circunferência usando o compasso. Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano.

r O

r

r

r

r

Esse ponto fixo é chamado centro da circunferência (ponto O). A distância constante é o comprimento do raio, indicado por r. Observe, nas figuras a seguir, alguns elementos de uma circunferência: corda B raio O

A

A

Qualquer segmento que une o centro a um ponto da circunferência chama-se raio.

diâmetro

Qualquer segmento que une dois pontos distintos da circunferência chama-se corda.

B

O

O

A corda que passa pelo centro da circunferência chama-se diâmetro. O diâmetro é a maior corda da circunferência.

Note que a medida do diâmetro (d) é igual ao dobro da medida r do raio, ou seja:

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A

r r

O

d = 2r d

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

r

0

A

s

t

Nesse caso, pode-se ver que a reta r é secante à circunferência (A é um dos pontos comuns), a reta s é tangente (A é o único ponto comum), e a reta t é externa (a distância entre o centro e a reta é maior do que a medida do raio).

Posições relativas de uma reta e uma circunferência Vamos, agora, estudar as posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência.

Reta secante A reta s corta a circunferência em dois pontos distintos. Nesse caso, s é chamada reta secante à circunferência. Note que a distância d do centro à reta s é menor que o comprimento r do raio, ou seja, d , r.

A M B

d

O

s

r

Reta tangente A reta s tem apenas um ponto em comum com a circunferência, o ponto T, que é chamado ponto de tangência. Nesse caso, s é chamada reta tangente à circunferência. Note que a distância d do centro à reta s é igual ao comprimento r do raio, ou seja, d = r.

T O

d

=

r

s

Reta externa A reta s e a circunferência não têm ponto em comum. Nesse caso, a reta s é uma reta externa à circunferência. Note que a distância d do centro à reta s é maior que o comprimento r do raio, ou seja, d . r.

r N

O d

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

EDITORIA DE ARTE

Posições relativas de uma reta e uma circunferência Apresentar as três posições que uma reta pode ocupar em relação a uma circunferência: secante, tangente ou externa. Pedir aos alunos que indiquem a quantidade de pontos em comum em cada um desses casos. Ao final, sugerir que ilustrem em uma única imagem as três posições estudadas, como mostrado abaixo.

KUCHER SERHII/SHUTTERSTOCK.COM

s

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da reta tangente

T O t

A menor distância do ponto O à reta t é o segmento OT, perpendicular à reta t. Como o ponto T pertence à circunferência, OT representa um raio dessa circunferência.

P

0

T O

Qualquer reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência: t À OT.

B P

P

3. Determinar a mediatriz entre os pontos A e B para marcar o ponto Q. A reta que passa por P e Q é a reta tangente à circunferência inicial:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

A

0

2a propriedade: A figura nos mostra dois segmentos, PA e PB, tangentes à circunferência, traçados de um ponto P exterior.

EDITORIA DE ARTE

2. Prolongar o raio OP. Com centro em P e abertura do compasso menor que o raio OP, determinar os pontos A e B:

t

O

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Propriedades da reta tangente Após explorar as propriedades apresentadas, se julgar pertinente, fazer a construção da reta tangente a uma circunferência, usando régua e compasso, junto aos alunos. Uma sugestão de passo a passo: 1. Desenhar uma circunferência e identificar o centro O e um ponto P.

As retas tangentes a uma circunferência apresentam duas propriedades importantes. 1a propriedade: Na figura, vemos uma circunferência de centro O e uma reta t, tangente a essa circunferência.

Q B

Se considerarmos os triângulos retângulos OAP e OBP, podemos afirmar que são congruentes, pois têm a hipotenusa (OP nos dois triângulos) e um cateto (OA no *OAP e OB no *OBP) respectivamente congruentes. Se *OAP 2 *OBP, então PA 2 PB.

P

Se de um ponto P, exterior a uma circunferência, traçamos os segmentos PA e PB tangentes à circunferência nos pontos A e B, então os segmentos PA e PB são congruentes.

0

A

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B

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Atividades As atividades levam os alunos a aplicar os conceitos de reta secante, reta tangente e reta externa a uma circunferência, e as propriedades de reta tangente, retomando outros conceitos geométricos como perímetro de polígonos. Na atividade 2, a reta r é tangente à circunferência em A, portanto, x = 90°. O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo de medida y é ângulo interno do triângulo retângulo destacado. Portanto: y + 30° = 90° y = 60°

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Uma reta t é secante a uma t circunferência O d de centro O e 10 cm de raio. Indicando por d a distância do ponto O à reta t, qual é o maior valor inteiro que d pode assumir? 9 cm 2. Na figura, a reta r é tangente à circunferência. Determine, em grau, as medidas x e y. x = 90° e y = 60°

5. Observe a figura. 12

b) do segmento AN, caso o perímetro do *ABC seja 46 cm. 3 cm 6. Observe a figura a seguir. C

25 cm

N O

c

11 cm A

B

M

a

31 cm

Determine: a = 11 cm, b = 25 cm e c = 31 cm. a) as medidas a, b e c indicadas na figura; b) o perímetro do triângulo ABC. 134 cm

O

7. Considerando a figura, determine: C

B P B

P

6 O

4x + 3

C

a) x do lado BC do triângulo ABC; 20 cm

P

3. Na figura, a medida do segmento PA é expressa por x, e a medida do segmento AB é expressa por y. Qual é o polinômio que expressa o perímetro do triângulo PAB? 2x + y A

5 x + 10 3

M

b

A

4. Observe a figura.

8 cm

Determine a medida:

x

P

O

x

30°

O

N

cm

B

r

y

A

P

A

Determine: a) a medida x; 3 cm b) a medida do segmento PA; 15 cm c) a medida do segmento PB; 15 cm d) o perímetro do quadrilátero PAOB, se o comprimento do raio é 7 cm. 44 cm

B

O r

8

M

N A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

a) o comprimento r do raio da circunferência; 2 b) o perímetro do quadrado ANOM; 8 c) a expressão algébrica que representa o perímetro do *ABC, se a medida do segmento PC é dada por a; 2a + 16 d) o perímetro do quadrilátero BMOP. 16

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Arco de circunferência e ângulo central

Arco de circunferência e ângulo central Apresentar as definições de arco de uma circunferência e ângulo central, bem como as notações usadas para indicar esses termos. É importante que os alunos saibam identificar a diferença entre as notações e se acostumem com a linguagem matemática utilizada.

Na circunferência representada abaixo, estão assinalados os pontos A e B, distintos. B arco

O

A

Esses pontos dividem a circunferência em duas partes e cada uma dessas partes é chamada arco de circunferência.

arco B

Os pontos A e B são chamados extremidades do ! e, para indicar arco. O arco menor é indicado por AB ! AB , tomamos mais um ponto desse arco, o arco maior por exemplo, o ponto C.

arco menor C

O

arco maior

AMPLIANDO Atividade complementar Como atividade complementar, pode ser pedido, aos alunos, que construam um quadro relacionando a medida do ângulo central e a fração do comprimento do arco correspondente de uma circunferência. Por exemplo:

A

! eo Assim, representamos o arco menor por AB " arco maior por ACB. Quando as extremidades do arco são extremidades de um mesmo diâmetro, cada um dos arcos denomina-se semicircunferência. semicircunferência

Qualquer ângulo que tenha o vértice no centro de uma circunferência é denominado ângulo central. Nesta figura, AÔB é o ângulo central.

B

O

A

O

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

B

Medida Arco em relação do ângulo à circunferência central

A

semicircunferência

Quando traçamos um ângulo central, ele determina um arco na circunferência cuja medida pode ser dada em grau. ! é o arco determinado na circunferência pelos lados do ângulo central AÔB. Na figura, AB Também temos que: B ! é 70°, pois o ângulo • a medida do arco menor AB central AÔB mede 70°; " é 290° (360° _ 70°). • a medida do arco ACB

O

70°

30°

1 12 da circunferência

60°

1 6 da circunferência

120°

1 3 da circunferência

180°

1 2 da circunferência

A

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Como os ângulos centrais que consideraremos serão sempre medidos em grau, podemos dizer que: • a medida do arco menor, em grau, é igual à medida do ângulo central cujos lados passam pelas extremidades do arco; • a medida do arco maior, em grau, é igual à diferença entre 360° (ângulo de uma volta) e a medida do arco menor.

ATIVIDADES

" ) = 285°. # ) = 75°; med (ACB 1. a) med (AB # " b) med (AB) = 90° ; med (ACB) = 270° .

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em cada uma das figuras, dê a medida ": ! e a do arco ACB do arco AB B

a) O

C

b)

75°

B

O A

C

A

2. Observando a figura, dê o valor da medida x. 80° P0 P5

P1 x 56° 56° 56° 56° 56° P2

P4

A 20°E

B

120°

A x

B

O

b) 45°

C

B O

A

C

B

y x O

4. Em cada uma das figuras a seguir, calcule a medida x do ângulo central associado !. ao arco menor AB a) 120°

A c

C

70° x

a b

6. Sabendo que o triângulo OAB da figura O é isósceles, deter35° mine a medida x do x ângulo central AÔB A e a medida y do arco y ! associado a esse AB ângulo central. x = y = 110°

y D

135°

B

# mede 80°, calcule 7. Sabendo que o arco BC o valor da expressão y _ x. 20°

P3

3. Na figura ao lado, calcule o valor de x #) e (medida do arco BC o valor de y (medida do # ). x = 45°; y = 90° arco DE

5. Na figura, temos que a = b = c, em que a, b e c são as medidas dos ângulos centrais associados a cada arco. Determine a !, medida dos arcos AB # e CA ! . 120° BC

x

45°

A

B

# são ! e RS 8. Na figura a seguir, as cordas AB congruentes. Você pode afirmar que os R triângulos AOB e ROS são congruentes? Em S x O caso afirmativo, que y B caso de congruência justifica sua resposta? A Sim; caso LLL.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades As atividades propõem aos alunos que reconheçam um ângulo central em uma circunferência e estabeleçam relações entre o ângulo central e os arcos correspondentes. Na atividade 2, verificar se os alunos não são induzidos a concluir que a medida de x é 56°, já que as outras medidas também são. Para resolver, devem considerar o ângulo total da circunferência (360°) e resolver a equação: x + 5 ? 56° = 360° h x = = 80° Na atividade 5, espera-se que os alunos concluam que, como as medidas dos ângulos centrais são iguais, então as medidas dos arcos correspondentes também são iguais, no caso, a 120°.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ângulo inscrito

Ângulo inscrito Apresentar a definição de ângulo inscrito. Depois, explorar os casos apresentados junto à demonstração dada. Para ampliar, pode ser consultado o site: <http://livro.pro/fivwki> (acesso em: 20 nov. 2018) que apresenta visualizações dinâmicas a respeito do ângulo inscrito e ângulo central.

Ângulo inscrito é todo ângulo que tem o vértice na circunferência e seus lados secantes a ela. !. Na figura, AB̂C é um ângulo inscrito. Ele determina na circunferência o arco AC B

A

C

". Na figura, SR̂T é um ângulo inscrito. Ele determina na circunferência o arco ST T

R

S

A todo ângulo inscrito corresponde um ângulo central, que determina na circunferência o mesmo arco determinado pelo ângulo inscrito. Nesta figura abaixo, temos:

B

O

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

V

A

• AV̂B é um ângulo inscrito. • AÔB é o ângulo central correspondente. !. • Ambos determinam o mesmo arco AB 133

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A demonstração da relação entre os ângulos central e inscrito em uma circunferência são separadas em três casos: quando o centro O pertence a um dos lados do ângulo inscrito; quando o centro O é interno ao ângulo inscrito; quando o centro O é externo ao ângulo inscrito. Durante a demonstração, verificar se surgem dúvidas dos alunos, pois é muito importante que compreendam o passo a passo para saberem de onde vem a relação encontrada.

Existe uma relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida do ângulo central correspondente: A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente. Vamos demonstrar essa relação considerando três casos. 1o caso: O centro O pertence a um dos lados do ângulo inscrito. Na figura:

V x

• x é a medida do ângulo inscrito;

O

• y é a medida do ângulo central correspondente.

y

Note que o triângulo OBV é isósceles, pois OB 2 OV e VB é a base. Portanto, os ângulos da base medem x. Como y representa a medida do ângulo externo do triângulo OBV, temos: y = x + x ⇒ y = 2x ⇒ x = 2o caso: O centro O é interno ao ângulo inscrito.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

x A

B

y 2

V x1 x

2

A

O

x1

y1

y2

x2 B

T

Vamos, novamente, indicar por: • x a medida do ângulo inscrito; • y a medida do ângulo central correspondente. Traçando, pelo vértice V, um diâmetro da circunferência, dividimos o ângulo inscrito em dois ângulos de medidas x1 e x2 (x1 + x2 = x) e o ângulo central correspondente em dois ângulos de medidas y1 e y2 (y1+ y2 = y). De acordo com o 1o caso, temos: • y1 = 2x1 (considerando o triângulo AOV); • y2 = 2x2 (considerando o triângulo BOV). Adicionando membro a membro, temos: y1 ! y2 " 2x1 ! 2x2 h y1 ! y2 " 2(x1 ! x2) h y " 2x h 2x " y h x = y

y 2

x

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determina um arco de 80° na circunferência maior. Qual é a medida desse ângulo inscrito e qual é a medida, em graus, do arco que ele determina na circunferência menor?

3o caso: O centro O é externo ao ângulo inscrito. Denominando x a medida do ângulo inscrito e y a medida do ângulo central correspondente, y é possível demonstrar, de acordo com a figura abaixo, que é válida a relação x = . 2 V

Resolução da atividade

x

y B A

R

Como o ângulo central tem a mesma medida do arco determinado por ele na circunferência, existe uma relação entre a medida do ângulo inscrito e a medida do arco correspondente. A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco determinado por ele na circunferência.

Se o vértice do ângulo inscrito é em O, então é um ângulo central da maior circunferência. Logo, o arco determinado nessa circunferência é de 20°. Para responder o item b, considerar que o ângulo está inscrito nas duas circunferências e fazer um esboço da situação:

V

Na figura seguinte, temos: • x é a medida do ângulo inscrito AV̂B; ! é o arco determinado pelo ângulo inscrito AV̂B. • AB

x

Então: ! medida do arco AB 2

B A

Acompanhe algumas situações sobre ângulos inscritos. 1 Vamos determinar a medida x do ângulo inscrito AV̂B na figura ao lado. ! é 40°, temos: Como a medida do arco AB

0 x

! , associado ao 2 Na figura ao lado, x é a medida do arco AB ângulo inscrito AĈB. Vamos determinar o valor de x. De acordo com os dados da figura, temos: !; • x: medida do arco AB

A

C

40°

B B

x

63°

• 63°: medida do ângulo inscrito AĈB. Então: 63° =

Se o arco determinado por esse ângulo inscrito na circunferência maior é de 80°, então a medida do ângulo inscrito é metade, isto é, 40°. Assim, o arco determinado na circunferência menor tem o dobro da medida do ângulo inscrito correspondente, ou seja, 80°, que é a mesma medida do arco da circunferência maior.

! medida do arco AB 40° = = 20° 2 2

x ⇒ x = 2 ? 63° ⇒ x = 126° 2

A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x=

V

EDITORIA DE ARTE

x=

r 0

EDITORIA DE ARTE

Para responder o item a, considerar R = 2r e fazer um esboço da posição das duas circunferências:

O

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

AMPLIANDO

Após apresentar os três casos, explorar situações numéricas propostas. Comentar que, antes de aplicar qualquer relação vista, é necessário analisar a qual caso ela pertence.

Atividade complementar Para complementar o assunto, propor a seguinte situação: uma circunferência de raio r é tangente internamente a outra circunferência de raio R e centro O, sendo R = 2r.

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a) Um ângulo inscrito, de 20°, na circunferência menor com vértice em O, determina na circunferência maior um arco de que medida, em graus? b) Um ângulo inscrito na circunferência menor com vértice no ponto de tangência entre as circunferências

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Atividades Para resolver as atividades, os alunos vão aplicar o conceito de ângulo inscrito e a relação de sua medida com a medida do ângulo central correspondente e a relação com a medida do arco determinado por esse ângulo inscrito. Na atividade 1, os ângulos p e t compreendem o mesmo arco. Observar que p é ângulo inscrito e t é ângulo central. Portanto, a medida de t é o dobro da medida de p. Na atividade 3, x e y são ângulos inscritos na circunferência que compreendem arcos de medidas respectivamente iguais a 86° e 62°. Por86o _ 62o = tanto, x _ y = 2 = 12°.

C

3 Considerando a figura abaixo, vamos determinar o valor da medida x. De acordo com a figura:

135°

• x: medida do ângulo inscrito BÂC; • 135°: medida do ângulo central BÔC, correspondente ao ângulo inscrito BÂC. 135° = 67° 30‘ Então: x = 2

O x A

B

4 Vamos encontrar o valor da medida x na figura abaixo. B C

O

5x

3x ! 42°

A

De acordo com a figura, o ângulo AÔB é o ângulo central correspondente ao ângulo inscrito AĈB. Então: 3x + 42° 3x + 42° h 10x = 2 2 2 10x = 3x + 42° h 10x _ 3x = 42°

5x =

7x = 42° h x =

42° 7

x = 6°

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. C

1. Qual é a relação de p igualdade entre as A medidas dos ângulos t O p e t indicados na B figura? t p = ou t = 2p. 2 " é 92°. Determine 2. A medida do arco BC as medidas x e y indicadas na figura. x = 46° e y = 92°. B

y

C

O

x

A

3. Considerando a figura abaixo, calcule o valor da expressão x _ y. 12° D A

x 86°

62° y B

C

C 4. A medida do arco D 1 ! AB corresponde a x 5 da medida da circunferência, em grau, y enquanto a medida do A B ! corresponde a arco CD 1 da medida da circunferência em grau. 6 Determine as medidas x e y indicadas na figura. x = 36° e y = 30°.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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B

P

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

9. Qual é a medida do ângulo inscrito na figura a seguir? 60° Q

Na atividade 8, escrever uma equação a partir da relação que há entre os ângulos: 10x + 48° h 14x = 7x = 2 = 10x + 48° h x = 12°

P

x ! 62° O x ! 2°

O A

Sabendo que O é o centro e P um ponto qualquer da circunferência, determine a medida do ângulo: a) AOB; 82°

10. Observando esta figura, determine a " e a medida x do medida do arco CD ! ângulo DBC. med(CD) = 130° e x = 65°. C

b) APB. 41°

70°

! mede 140°, calcule o 6. Sabendo que RS valor de x, a, b e c. x = 40°, a = 140°, T b = 20° e c = 20°.

O

B

D 100°

AMPLIANDO

A

b

a c

R

7. Observando a circunferência da figura, determine as medidas s e t indicadas. s = 104° e t = 38°. A

52° O s

x

O

S

x

Depois, substituir o valor de x em cada expressão de medida dos ângulos: 10x + 48° h 10 ? 12° + 48° = 168° 7x h 7 ? 12° = 84° Na atividade 13, verificar se os alunos percebem que os ângulos COB e DAB são correspondentes.

R

C

Atividade complementar Se julgar pertinente, propor essa atividade extra. Consideremos a figura na qual BC é um diâmetro da circunferência. Note que os 48° vértices do *ABC estão na cirb a cunferência e o diâmetro BC é S um dos lados desse triângulo. R Nesse caso, dizemos que o 110° *ABC está inscrito em uma ! = 2x, med(BC) ! = 3x,semicircunferência. ! ) = x + 30 med(DA) ! = x + 50°. med (CD 12. Em uma circunferência, med(AB)

11. Determine as medidas a, b, c e d, indicadas na figura. a = 54°, V 60° b = 101°, d c = 126° e T d = 79°. c

48

°

D

x

!

O 7x

10

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

! = ! = !)) = ! = ! ! ! ! med(AB) = 2x, 2x, med(BC) med(BC) = 3x, 3x, med med((CD CD = xx + + 30 30e med(DA) med(DA) = xx + + 50 50°°.. med(AB) ! ! ! ! med(AB) = 2x, med(BC) = 3x, med (CD) = x + 30 med(DA) = x + 50°. Determine a medida B do ângulo inscrito: 8. Dada a circunferência a seguir, detera) BÂC; 60° b) BĈD. 85° mine as medidas dos ângulos AOC e 13. Em uma semicircunferência de centro O e ABC. med(AÔC) = 168° e med(AB̂C) = 84°. " ) = 45° . diâmetro AB, OC//AD e med (CD C Determine a medida x indicada na figura. 45° t

A

B

C

A

x O

B

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A

EDITORIA DE ARTE

5. Na circunferência da figura abaixo, a corda AB determina na circunferência um arco que mede 82°.

a B

O

C

Responda às questões a respeito dessa situação. a) Qual é a medida do arco )BC? 180° b) Qual é o valor da medida a indicada? a = 90° c) Como você classificaria o *ABC quanto aos ângulos? Triângulo retângulo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Tecnologias Essa seção traz um roteiro que permite aos alunos verificarem o fato de que todo ângulo inscrito em uma circunferência mede exatamente metade do ângulo central correspondente a ele. Explorar essa seção relacionando-a com a demonstração dessa propriedade para que os alunos verifiquem, empiricamente, sua validade. Discutir a respeito do uso da tecnologia como facilitador para o ser humano construir figuras e verificar relações que possam existir entre partes delas. Enfatizar que apenas a demonstração matemática pode garantir que relações encontradas valem para qualquer figura do mesmo tipo.

Tecnologias

Resoluções a partir da p. 289

Ângulo inscrito e ângulo central Nesta seção, utilizaremos o GeoGebra para verificar a relação entre o ângulo inscrito e o ângulo central de uma circunferência. Vamos lá? Siga as instruções. 1 Abra o programa e, com o botão direito do mouse, oculte os eixos. Depois, feche a Janela de Álgebra.

FOTOS: GEOGEBRA

2 O próximo passo é construir uma circunferência. Para isso, basta selecionar a ferramenta Círculo dados Centro e Um de seus Pontos.

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Acompanhar o preenchimento do quadro pelos alunos. Espera-se que eles concluam que a medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida do ângulo central correspondente. Depois, verificar quais atividades vão ser selecionadas pelos trios de alunos para seguirem os procedimentos indicados usando o software utilizado nessa seção.

3 Utilizando os conhecimentos sobre os objetos matemáticos, construa um ângulo central e um ângulo inscrito. Para realizar esse procedimento, marcamos dois pontos na circunferência, denominados C e D. Após esse procedimento, construímos os segmentos de reta AD, AC, DB e BC.

FOTOS: GEOGEBRA

4 Por fim, construa os ângulos central e inscrito. Para isso, basta clicar na ferramenta Ângulo e construir os ângulos DAC e DBC.

Agora, movimente os ângulos inscrito e central, modificando as medidas. Copie o quadro em seu caderno e anote essas medidas. Ângulo inscrito

Ângulo central

Espera-se que o aluno verifique a propriedade de que a medida de um ângulo insAgora, é sua vez: crito é igual à metade da medida do ângulo central de mesmo arco determinado por ele na circunferência. 1. Analise o quadro que você preencheu. O que é possível concluir?

2. Organizados em trios, escolham um dos exercícios da Unidade para resolver utilizando as orientações desta seção com o software GeoGebra. Após resolvê-lo, cada trio deverá propor um desafio de modificação para outros trios resolverem. Resposta pessoal. 139

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Apresentar os dois casos especiais: quando o vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro; e quando o vértice é um ponto externo à circunferência. Verificar se, durante o desenvolvimento desses casos, surge alguma dúvida dos alunos.

Ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência Vamos analisar dois casos de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência, e que não são ângulos centrais. 1o caso: O vértice é um ponto interno à circunferência, distinto do centro. C

B x

P O

AMPLIANDO

a

Atividade complementar Para aplicar as relações desse tema, sugerir a seguinte atividade. O diâmetro de uma circunferência é o lado menor de um triângulo isósceles, conforme mostra a figura abaixo.

A

Como x é a medida de um ângulo externo ao triângulo APD, temos que x = a + b. Note que: !) !) med (AB med (CD eb = a = 2 2 Então, podemos escrever:

EDITORIA DE ARTE

x =

!) med (AB 2

+

!) med (CD 2

C B

b

x

O

Resolução da atividade

a

D

A

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

2o caso: O vértice é um ponto externo à circunferência.

Um dos arcos determinado pelo triângulo mede 80°. Determine a medida de todos os ângulos internos desse triângulo. Para resolver, considerar o arco maior determinado pelo triângulo com medida de 180°, pois o ângulo central é o ângulo raso (o arco é uma semicircunferência). Portanto, o arco menor é aquele que mede 80°. Assim, a medida v do ângulo do vértice do triângulo que é externo à circunferência é dada por: o o v = 180 _ 80 = 50° 2 O triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes. Ao indicar a medida dos ângulos da base por b, basta resolver a equação: b + b + v = 180° 2b + 50° = 180° h h 2b = 130° h b = 65° Logo, as medidas dos ângulos internos do triângulo são 65°, 65° e 50°.

b

D

Como a é a medida de um ângulo externo ao triângulo APC, temos: a=x+b⇒x=a_b Mas: !) !) med (CD med (AB eb = a = 2 2 Então: x =

!) med (CD 2

_

!) med (AB 2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Acompanhe as seguintes situações.

1 Vamos determinar a medida x indicada na figura, ! ) = 30°. ! ) = 60° e med (CD dados med (AB x = x =

!) med (AB

+

2

!) med (CD

B 60º

x

A

Atividades As atividades propõem aos alunos que apliquem o conceito de ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência e não são ângulos centrais. Na atividade 1, os alunos vão escrever as relações entre os ângulos para os dois casos estudados, mas em função de t e s, concluindo no item a que t+s e no item b que x = 2 x= t_s . 2

C 30º D

O

2

60° 30° + 2 2

x = 45° 2 Vamos determinar a medida x indicada na figura, ! ) = 130° e med (CD ! ) = 50°. dados med (AB x = x =

!) med (AB

_

2

!) med (CD

B D 130°

2

O

50°

x

P

C

130° 50° _ 2 2

A

x = 40°

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Em cada uma das figuras, vamos indicar ! e por s a por t a medida do arco AB ! . Determine a medida medida do arco CD x, em função de t e s. t_s a) b) t +s x= x = B 2 2 B

D

x

C

a

b c

C

C A

2. Determine a medida x em cada uma das figuras: D

a) 57° x

A 86°

B

b) 18°

28° C

P

C P

B

x

P

B

! destacado na 4. Quanto mede o arco CD figura? 87°

92°

D

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

A

D

D

x

3. Determine as medidas a, b e c indicadas na figura, sabendo que a medida do ! é 125° e a medida do arco CD !é arco AB 65°. a = 30°, b = 95° e c = 85°.

157°

56° D

A M

35° C

E

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Retomando o que aprendeu Incentivar os alunos a justificarem as estratégias utilizadas por meio dos conceitos vistos na Unidade. Pedir a eles que descrevam como pensaram e socializem as respostas. Se necessário, devem buscar e rever os conceitos no livro. Na atividade 2, notar que DC e BC são congruentes, resolver a equação formada a partir dessa informação, concluindo que x = 18. Depois, como o diâmetro da circunferência é 40 cm, então o raio mede 20 cm. Logo, AB + BC + CD + AD = 20 + 1 4 + [ ? 18 + 26] + [ ? 18 + 2 3

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno. 1. Na figura, as retas r e s são paralelas. O ângulo a mede 60°, e o ângulo b mede 80°. Qual é a medida, em grau, do ângulo c? a) 10° Alternativa c. r

b) 55°

a

c) 140°

c

d) 45°

s

b

e) 50° 2. A medida do diâmetro da circunferência a seguir é de 40 cm. D A

B

+ 11] + 20, portanto, AB + + BC + CD + AD = 110 cm.

4 x ! 11 cm 3

Calcule o perímetro do quadrilátero ABCD. Alternativa a. a) 110 cm

d) 120 cm

b) 112 cm

e) 122 cm

c) 115 cm 3. O triângulo ABC abaixo é isósceles, com AB 2 AC e RB 2 BT 2 TC 2 CS. Sabendo que med (AS) = a e med (SC) = b, qual é o polinômio que expressa o perímetro do triângulo ABC? Alternativa c. a) 2a + 2b

2 1 _ 3x = _ + x. Então, o 3 3 diâmetro dessa circunferência vale: Alternativa c. a) 10 m c) 0,5 m e) 2 m

da equação

b) 0,25 m

A

5. A distância do ponto A ao ponto B na figura a seguir é 29 cm. Sabendo que x _ y = 6,5, qual é o valor de y? a) 7 3x ! y b) 6,5 B c) 4 A 2x ! y d) 3,5 e) _0,5 Alternativa e.

S

b) 4a + 2b

O T

Quanto mede o ângulo obtuso OTB? Alternativa b.

A

c) 110°

b) 105°

d) 115°

120°

y

x

c) 0,25 d) 2

e) 4

100°

! mede 120°. 8. Na figura abaixo, o arco AB

d) 4a + 4b e) n.r.a.

a) 30°

d) 45°

b) 40°

e) 50° B Alternativa b.

B

T

C

4. Em uma circunferência, a medida do raio, em metro, corresponde à solução

e) 125°

7. Considerando os dados da figura abaixo, x podemos dizer que a razão vale: y Alternativa c.

Se x = 2y, qual é o valor da expressão x _ y?

c) 2a + 4b

B

a) 95°

a) 0,5 b) 0,75 R

d) 0,05 m

6. Na figura, o arco ! mede 75°. AT

C

1 x ! 26 cm 2

Resoluções a partir da p. 289

c) 42°

A

y

x C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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9. Considerando a figura abaixo, pode-se afirmar que x _ y vale: Alternativa a.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

11. Na figura a seguir, AB é o diâmetro da circunferência. Alternativa c.

Um novo olhar Os questionamentos do encerramento dessa Unidade poderão permitir reflexões a respeito das aprendizagens individuais, além de uma breve retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os alunos respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber o que aprenderam e as possíveis dúvidas que ainda tenham. Propor aos alunos que criem uma organização própria de registros para que possam avaliar os conhecimentos adquiridos ao longo desses estudos. A primeira questão permite que os alunos lembrem da relação entre os ângulos, definindo quando são complementares ou suplementares. A segunda questão leva os alunos a refletirem a respeito dos ângulos correspondentes e ângulos congruentes. A terceira questão resgata a diferença entre circunferência e círculo, e, para respondê-la, os alunos devem retomar as definições disponibilizadas no livro.

A B

x

y

O

A

114°

y

x O

B

2x C

Qual é o valor, em graus, da medida y?

c) 31°

b) 28°

d) 33°

e) 36°

10. Qual é o valor da medida x indicada na figura? Alternativa e.

a) 70°

c) 60°

b) 64°

d) 58°

e) 48°

12. Qual é o valor da medida x indicada na figura? Alternativa d.

C

x

M

A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

a) 24°

P D

P

x 120°

85°

62°

B

O 65°

A

a) 75°

c) 55°

N R

Q

e) 35°

a) 54°

c) 38°

e) 28°

b) 46° d) 34° b) 65° d) 45° ***Circunferência é a figura geométrica formada por todos os pontos de um plano que distam igualmente de um ponto fixo desse plano. UM NOVO OLHAR Círculo é a figura geométrica formada pela reunião de uma circunferência com a região interna a essa circunferência. Nesta Unidade, estudamos ângulos e circunferência. Foram abordados os ângulos determinados por retas transversais, os ângulos correspondentes, os ângulos alternos, os ângulos colaterais, as propriedades de uma circunferência, as posições relativas de uma reta e uma circunferência, as posições relativas de duas circunferências, os arcos de circunferência e os ângulos centrais, o ângulo inscrito em uma circunferência e os ângulos cujos vértices não pertencem à circunferência. Devido à série de conteúdos abordados nesta Unidade, sugerimos a você que realize um fichamento dos conteúdos expostos, fazendo registros gráficos (desenhos), exemplos e lembretes. Na abertura, foi apresentada uma aplicação da circunferência e do círculo na Arte. Como você entende que as propriedades que estudamos possam fazer parte de um objeto artístico que utilize esses conceitos? Vamos agora refletir sobre as aprendizagens adquiridas nesta Unidade. Responda às questões no caderno. *Ângulos complementares são ângulos cujas medidas somam 90°; ângulos suplementares são ângulos cujas medidas somam 180°. • Quando dois ângulos são complementares? E suplementares?* • O que são ângulos correspondentes? Qual é a diferença entre ângulo correspondente e ângulo congruente?** • Explique com suas palavras a diferença entre circunferência e círculo.***

**Ângulos correspondentes em retas paralelas são ângulos de mesma medida que coincidem por translação; ângulos congruentes são quaisquer ângulos de mesma medida entre si. Ângulos correspondentes são pares de ângulos congruentes, mas nem todo par de ângulos congruentes são ângulos correspondentes. 143

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GERAIS 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Quando utilizamos um software para ampliar ou reduzir imagens, existe uma opção que pode ser selecionada, que é a de fixar a proporção. Com essa opção selecionada, mesmo que você deforme a imagem manualmente somente em uma direção, o software vai aumentar a imagem na outra, fixando a proporção entre as medidas horizontal e vertical da imagem.

Quando possuem a mesma forma, sendo de tamanhos diferentes ou não. Observe as imagens ao lado e responda às questões no caderno. • Três das imagens apresentadas foram ampliadas sem que fossem fixadas as suas proporções. O que aconteceu com essas imagens? Elas ficaram distorcidas. • As imagens que estão em sequência foram ampliadas mantendo-se suas proporções. O que você nota nessas imagens? Elas foram ampliadas sem nenhuma distorção. • Quando duas figuras são semelhantes?

KOMKRIT NOENPOEMPISUT/SHUTTERSTOCK.COM

ESPECÍFICAS 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Proporção e semelhança BILL HEINSOHN/PHOTOGRAPHER'S CHOICE/GETTY IMAGES

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COMPETÊNCIAS

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HABILIDADES p. XXIII e XXIV

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Álgebra • EF09MA07 • EF09MA08 Geometria • EF09MA10 • EF09MA12

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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Abertura de Unidade Trabalhar a abertura de maneira prática com o auxílio da sala de informática, utilizando um programa que permita a manipulação de imagens. Para isso, pesquisar fotos na internet e organizar a turma em duplas. Em seguida, cada dupla deverá copiar e colar a foto no programa escolhido. Após a realização desse procedimento, pedir aos alunos que, com a régua, anotem as medidas da largura e da altura da foto, façam a ampliação, sem que haja distorção e anotem novamente as medidas; depois, deverão repetir o procedimento (aumentar sem distorcer) por três ou quatro vezes, anotando as medidas da imagem após a ampliação e, em seguida, perguntar a eles o que essas medidas têm em comum. A resposta possível é que a razão entre a medida da largura e a da altura é a mesma para todas as imagens (a inicial e as ampliações). Solicitar, depois, que ampliem a foto, agora fazendo com que haja distorção, ampliando-a vertical ou horizontalmente. E, como realizado anteriormente, deverão anotar as medidas. A pergunta a ser feita também será: “O que essas medidas têm em comum?”. A resposta esperada é: nesse caso, não se verifica igualdade das razões entre a medida da largura e a da altura das imagens consideradas. Caso os alunos tenham dificuldade em entender, iniciar os estudos de segmentos proporcionais e retomar a atividade posteriormente.

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1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

SEGMENTOS PROPORCIONAIS Razão e proporção

A ideia de proporção e sua aplicação em Geometria são bastante antigas. Aproximadamente em 600 a.C., altura da Tales, matemático e comerciante da cidade grega de pirâmide (AB = ?) Mileto, desenvolveu um dos trabalhos mais importantes sobre esse assunto. Conta-se que Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da C B grande pirâmide de Quéops. Com apenas um bastão e aplicando os conhecimetade da medida comprimento da da aresta da base sombra da pirâmide mentos que tinha sobre segmentos proporcionais, Tales venceu o desafio. Ele sabia que a razão entre a altura da E pirâmide e o comprimento da sombra projetada pela pirâmide (aumentado altura pela metade do comprimento da aresta da base da pirâmide) era igual do bastão D F à razão entre a altura do bastão e o comprimento da sombra que ele comprimento da projetava; bastava, portanto, fazer os cálculos. sombra do bastão A

ILUSTRA CARTOON

Pense e responda As atividades têm como objetivo levar os alunos a retomar e ampliar os conceitos de razão e de proporção. Pedir a eles que resolvam individualmente as atividades propostas, justificando suas respostas. Depois, discutir com a turma as justificativas de cada um e retomar os conceitos de razão e de proporção, trabalhando com mais exemplos. Se achar oportuno, sugerir que os alunos façam uma pesquisa a respeito da vida e a obra do matemático grego Tales de Mileto. Aproveitar esse momento para enfatizar a importância da Matemática para solucionar problemas aparentemente difíceis e para ampliar os conhecimentos dos alunos a respeito da história da Matemática.

Dados dois números reais a e b, com b 5 0, chama-se razão entre a a e b ou razão de a para b o quociente de a por b, ou seja, a : b ou . b Quatro números, dados em certa ordem, são proporcionais quando a razão entre os dois primeiros é igual à razão entre os dois últimos. Toda proporção é uma igualdade entre duas razões. Portanto, quando quatro números são proporcionais, eles formam uma proporção. p e n s e e r e s p o nd a

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Determine a razão entre os números: 35 7 ou 0,7 = a) 14 e 20 14 = 7 ou 0,7 b) 35 e 50 50 10 20 10 2. A razão entre 14 e 20 é igual à razão entre 35 e 50? Sim.

3. De acordo com a definição de números proporcionais, você pode afirmar que os números 14, 20, 35 e 50, nessa ordem, são proporcionais? Sim.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Razão entre segmentos

Razão entre segmentos A razão entre segmentos é retomada para que os alunos voltem a se familiarizar com este tema e possam compreender os conceitos que virão mais à frente na Unidade. O conceito de escala, trabalhado no Volume anterior, no tópico de grandezas proporcionais é retomado aqui, como a relação entre dois segmentos de reta:

Chamamos de razão entre dois segmentos de reta a razão entre os números que expressam as medidas desses segmentos, sempre tomados na mesma unidade. Exemplos: 1 Se o segmento AB mede 6 cm e o segmento CD mede 12 cm, vamos descobrir a razão entre eles. :6

6 1 AB = = ou 0,5 CD 12 2 :6

razão procurada

2 Qual é a razão entre os segmentos AB e DE, com AB = 60 cm e DE = 2 m? Vamos, inicialmente, transformar as duas medidas na mesma unidade. AB = 60 cm DE = 2 m = 200 cm Agora, podemos encontrar a razão entre AB e DE, veja:

escala = =

comprimento no desenho comprimento real

: 20

60 3 AB = = ou 0,3 DE 200 10 : 20

razão procurada

Como as medidas de dois segmentos são sempre expressas por números positivos, a razão entre dois segmentos também é um número real positivo. Como a razão é um número real, ela pode ser: • um número racional: nesse caso dizemos que os segmentos são comensuráveis. Por exemplo: 1 AB = CD 2

AB e CD são segmentos comensuráveis.

1 2

número racional

AB 3 = DE 10

AB e DE são segmentos comensuráveis.

3 10

número racional

• um número irracional: nesse caso dizemos que os segmentos são incomensuráveis. Por exemplo: MN = PQ

2 5

MN e PQ são segmentos incomensuráveis.

2 5

número irracional

Um caso típico do uso da razão entre dois segmentos é a escala:

escala =

comprimento no desenho comprimento real

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades As atividades exploram as ideias de que a razão entre as medidas de dois segmentos, tomadas na mesma unidade, determinam a razão entre dois segmentos. Verificar se os alunos apresentam alguma dificuldade durante a execução das atividades e auxiliá-los, caso necessário.

Acompanhe as situações a seguir.

1 Em um mapa, a distância, em linha reta, entre Petrópolis e Vassouras, cidades do interior do estado do Rio de Janeiro, é 0,6 cm. Sabendo que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é de 57 km, qual foi a escala usada nesse mapa? 57 km = 5 700 000 cm 0,6 6 1 = = escala 5 700 000 57 000 000 9 500 000 Logo, a escala usada nesse mapa foi de 1 : 9 500 000. Como 9 500 000 cm equivale a 95 km, cada 1 cm no mapa corresponde a 95 km da distância real. 2 Em 1988 foi criado o estado de Roraima, antigo território federal. Boa Vista, capital do estado, possui clima quente e úmido, com duas estações climáticas bem definidas: a estação das chuvas, de abril a setembro, e o verão, de outubro a março. A distância em linha reta entre Boa Vista e Brasília é de 5 cm em um mapa com escala de 1 : 50 000 000. Qual é a distância real, em quilômetros, em linha reta entre Brasília e Boa Vista? 1 ANDRE DIB/PULSAR IMAGENS 1 : 50 000 000 = 50 000 000 1 5 = Sendo x a distância real, temos: 50 000 000 x De acordo com a propriedade fundamental das proporções, temos: x = 5 ? 50 000 000 x = 250 000 000 cm Como 250 000 000 cm equivalem a 2 500 km, então a distância real entre Brasília e Boa Vista em linha reta é de 2 500 km.

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Considere dois segmentos, AB = 16 cm e CD = 40 cm. Qual é a razão entre AB e CD, nas formas fracionária e decimal?

2. São dados dois segmentos: o primeiro mede 4 m, e o segundo, 160 cm. Qual é a razão entre o primeiro e o segundo segmento? 5 ou 2,5. 2 3. A razão entre dois segmentos é 0,4, e o maior deles mede 8 m. Qual é a medida do menor segmento, em metros? 3,2 m 2 ou 0,4. 5 148

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4. Na figura abaixo, a representa a medida do segmento AB e b, a medida do segmento BC. A

B a

C b

EDITORIA DE ARTE

ATIVIDADES

Vista aérea da cidade de Boa Vista, RR. Foto de 2014.

Sabendo que a e b correspondem às raízes da equação do 2o grau x2 _ 24x + + 135 = 0, determine a e b e calcule a razão entre AB e BC. AB 3 a = 9, b = 15; = ou 0,6. BC 5

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AMPLIANDO

Segmentos proporcionais

Atividade complementar • Brasília, que está localizada no território do Distrito Federal, foi inaugurada em 21 de abril de 1960 pelo então presidente Juscelino Kubitschek, tornando-se a terceira capital do Brasil. Pesquise e responda no caderno: a) Que outras cidades foram capital do Brasil e em que ordem? b) Em um mapa, a distância entre Brasília e Salvador, em linha reta, é 21,2 cm. Se a distância real, em linha reta, é 1 060 km, em qual escala o mapa foi confeccionado? c) Um mapa foi confeccionado na escala 1:10 000 000. Em linha reta, a distância real entre Brasília e Florianópolis é de 1 310 km. Qual é a distância entre as duas cidades nesse mapa?

Pelas definições de proporção e razão de segmentos, podemos dizer que quatro segmentos, AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são proporcionais quando a razão entre as medidas dos dois primeiros for igual à razão entre as medidas dos dois últimos, ou seja: AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, proporcionais, quando

EF AB = . CD GH

Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade para formar a proporção. Considere, então, as seguintes situações: 1 Os segmentos AB = 4 cm, CD = 6 cm, EF = 8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção? AB 4 ! CD 6 :2

h

EF 8 4 = = GH 12 6

2 Quatro segmentos, AB, MN, PQ e XY, nessa ordem, são proporcionais. Sabendo que AB = 5 cm, MN = 15 cm e PQ = 4 cm, vamos encontrar a medida de XY. Como AB, MN, PQ e XY são proporcionais, AB PQ = . temos: MN XY

EF AB = CD GH

:5

Mas

:2

Logo, os segmentos AB, CD, EF e GH, nessa ordem, são proporcionais.

AB 5 1 = = . MN 15 3 :5

Então: 1 1 PQ 4 h h XY = 12 = = XY 3 XY 3

Resolução da atividade

Assim, a medida de XY é 12 cm.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno. 1. Usando uma régua graduada, meça, em centímetro, cada um dos seguintes segmentos. B

C

D

M

N

P

Q

EDITORIA DE ARTE

A

a) Primeira: Salvador; segunda: Rio de Janeiro. b) 1 310 km = 131 000 000 cm 21,2 1 = 106 000 000 5 000 000 Portanto, a escala do mapa é de 1 : 5 000 000. c) A escala do mapa é de 1 : 10 000 000, ou seja, 1 cm no mapa representa 10 000 000 cm na realidade. Com isso, podemos escrever a proporção: 1 x = 10 000 000 131 000 000

De acordo com as medidas obtidas, você pode afirmar que os segmentos AB, CD, MN e PQ, nessa ordem, são proporcionais? Por quê? Sim, pois AB = MN = 2 . CD PQ 3

2. Os segmentos AB CD, MN e PQ são proporcionais e tais que AB = 3,2 cm; MN = 6,5 cm e PQ = 26 cm. Nessas condições, qual é a medida de CD? 12,8 cm 3. Sabe-se que EF = x cm, GH = (x + 6) cm, RS = 16 cm e NP = 28 cm. Sabendo que EF, GH, RS e NP são, nessa ordem, segmentos proporcionais, determine o valor de x. 8 cm

4. Um segmento de 2 cm representa, no papel, uma estrada reta de comprimento 20 km. Esse segmento foi desenhado em que escala? Na escala 1 : 1 000 000.

131 000 000 10 000 000 x = 13,1 cm Portanto, a distância entre as duas cidades no mapa é de 13,1 cm. x=

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Segmentos proporcionais Organizar os alunos em duplas e propor que meçam, usando uma régua graduada, comprimentos de objetos encontrados na sala de aula, determinem a razão entre es-

sas medidas e comparem os valores obtidos, verificando a existência ou não de proporcionalidade entre os comprimentos considerados. Solicitar que façam individualmente, no caderno, as anotações de forma organizada. Incentivar a socialização desses resultados com os colegas.

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Atividades Se julgar pertinente, retomar com os alunos as unidades de medida de comprimento e como realizar a conversão entre elas.

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2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

Feixe de retas paralelas Na Unidade anterior foram retomadas as propriedades dos ângulos formados por duas ou mais retas paralelas interceptadas por uma transversal. Agora os alunos vão conhecer a relação dos segmentos formados a partir de um feixe de retas paralelas cortadas por uma ou mais retas transversais.

FEIXE DE RETAS PARALELAS

Duas retas, r e s, de um plano são paralelas quando não possuem pontos em comum.

r

Se considerarmos três ou mais retas paralelas entre si, teremos um feixe de retas paralelas ou simplesmente um feixe de paralelas.

r // s

s t

Na figura a seguir, a reta t que corta o feixe de retas paralelas é denominada reta transversal. De acordo com a figura, temos: • r⁄s⁄m⁄u • reta t

r s m u

feixe de retas paralelas

reta transversal

Propriedade de um feixe de retas paralelas Consideremos um feixe de retas paralelas cortadas por uma reta transversal t: t A

a

B

b

C

c

D

d

Como podemos ver na figura, o feixe de paralelas a ⁄ b ⁄ c ⁄ d determina na reta transversal t os segmentos AB, BC e CD. Usando uma régua graduada, vemos que: AB = BC = CD = 0,8 cm (os segmentos AB, BC e CD são congruentes) Vamos, agora, traçar uma reta m, também transversal ao feixe de paralelas, determinando os segmentos MN, NP e PQ:

B C D

m M

a N

b P

c Q

d

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

t A

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medindo esses segmentos, com uma régua graduada, vemos que MN = NP = PQ = 1,2 cm, ou seja, os segmentos MN, NP e PQ são congruentes entre si. Repetindo esse procedimento, traçamos outras transversais ao feixe de paralelas e verificamos que os segmentos determinados em cada transversal serão congruentes entre si. De modo geral, temos:

Teorema de Tales Inicialmente, propor aos alunos uma atividade. Pedir a eles que desenhem três retas paralelas cortadas por duas transversais, como na figura abaixo. A

A

M

B

• RM̂N 2 SN̂P (ângulos correspondentes) 2 • MR̂N 2 NŜP (b ⁄ c e MR ⁄ NS) 3

C

a N

R S

Por 1 , 2 e 3 , temos *MRN 2 *NSP (caso de congruência de triângulos ALA – Ângulo, Lado, Ângulo).

b P

c

Segmento

Medida (cm)

AB BC AC DE

Vamos ver o que acontece quando os segmentos determinados por um feixe de paralelas sobre duas transversais não são congruentes entre si.

EF DF

• Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c, que determinam na reta transversal t os segmentos AB e BC e na reta transversal m os segmentos MN e NP.

Estimular os alunos a determinar as proporções e fazer a correção na lousa. Essa atividade serve como preparação para o estudo do teorema de Tales. Pedir-lhes que, mantendo as transversais, dobrem a distância entre as retas paralelas r e s. Depois, solicitar que meçam os novos segmentos e estabeleçam as mesmas proporções. Orientar os alunos a registrar suas conclusões e, depois, discutir com toda a turma.

m M

N

b

P

c

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a

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t

Medida do segmento

Teorema de Tales

C

F

Em seguida, solicitar que meçam os segmentos, usando uma régua graduada, e preencham o quadro abaixo.

Portanto, MN 2 NP. Essa demonstração pode ser estendida a um feixe de mais de três retas paralelas.

B

s

C

• AB 2 BC (dado) H MR 2 NS 1

A

E

B

m

t

• BCSN é um paralelogramo H BC 2 NS

t

r r // s // t

Vamos fazer a demonstração usando um feixe de três retas paralelas. Sejam as retas a ⁄ b ⁄ c e as retas t e m duas transversais, tais que AB 2 BC. Vamos provar que MN 2 NP. Traçamos por M e N retas paralelas à reta t. • ABRM é um paralelogramo H AB 2 MR

D

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Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal, também determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

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GRÁFICOS: EDITORIA DE ARTE

Propor, na lousa, as seguintes situações de aplicação do teorema de Tales. 1. Na figura a seguir, temos r // s // t. Vamos determinar a medida x indicada.

• Vamos tomar uma unidade u que divida AB e BC em um número inteiro de partes iguais. Por exemplo, na figura abaixo AB = 2u e BC = 3u. Dividimos, assim, os segmentos AB e BC em duas e três partes, respectivamente, de modo que os cinco segmentos obtidos sejam congruentes. t u B u

a N

10

C u

P

s 2

x

Pelo teorema de Tales, temos: 10 8 = 2 x Pela propriedade fundamental das proporções temos: 10x = 2 ? 8 10x = 16 16 x= 10 x = 1,6 2. Vamos determinar a medida de y na figura abaixo, sabendo que a // b // c. y!2

t

• Pelos pontos de divisão, traçamos retas paralelas às retas a, b e c. Pela propriedade vista anteriormente, se os segmentos determinados em t são congruentes, então os segmentos determinados em m também serão congruentes. Chamamos essas medidas de v. Então, no exemplo dado temos: AB 2u 2 = = BC 3u 3

u B u

m M v v N

u u

a b

v v

C u

v

P

c

MN AB = , o que significa que os segmentos BC NP AB, BC, MN e NP, nessa ordem, são proporcionais.

Essa relação é conhecida como teorema de Tales, em homenagem ao matemático grego Tales de Mileto. Podemos enunciar o teorema da seguinte maneira: Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.

t

3 b

A

Podemos observar que

MN 2v 2 = = NP 3v 3

y

a

c

t

Resolução de atividade

y"2

b

u u

r 8

m M

A

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A

c

B

Resolução de atividade

Pelo teorema de Tales, temos: y+2 y_2 = y y Pela propriedade fundamental das proporções temos: 3 (y + 2) = y (y _ 2) 3y + 6 = y2 _ 2y _y2 + 3y + 2y + 6 = 0 _y2 + 5y + 6 = 0 y2 _ 5y _ 6 = 0 Resolvendo a equação do 2o grau: D = (_5)2 _ 4 ? (1) ? (_6) = = 25 + 24 = 49 _(_5) ± 49 5±7 = y= 2 2 12 y’ = =6 2 2 y’’ = _ = _1 2 Como y = _1 não satisfaz (não existe medida de segmento negativa), então y = 6.

m M

a N

C

b P

a⁄b⁄cH

MN AB = BC NP

c

Podemos ainda considerar outras proporções com base no teorema de Tales: •

MN AB = AC MP

•

NP BC = AC MP

•

BC AB = MN NP

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Em cada uma das figuras, temos que a ⁄ b ⁄ c. Considerando as medidas dadas, em unidades de comprimento, calcule o valor de x. a) 40 100

r x

2x + 4 s

80

a

32

5. Quais os possíveis valores que a medida x pode assumir na figura abaixo, sabendo que r ⁄ s ⁄ t? 8 ou 0,5

x+2

b

25 t

x

6. Quais são os valores das medidas x e y indicadas na figura? x = 1 e y = 9

c a

b)

b

c

5,4

r

b

3,6

4,5

2

a

s

3x y

2. Na figura, temos que a ⁄ b ⁄ c. Considerando que AB = 21 cm, AC = 49 cm e DE = 27 cm, qual a medida de DF? 63 cm D

B

a E

C

b F

c

3. Considerando a figura abaixo em que a ⁄ b ⁄ c, determine o valor de x + y. 6,9 5 8

x

2,75

4

y

a b c

4. Sabendo que a ⁄ b ⁄ c, qual é o valor de y _ x? A M 20 a 5

x

B

N

45

b

y

13 C

P

c

x+3

6

t

7. A figura seguinte indica três lotes de terreno com frentes para a rua A e para a rua B. As divisas dos lotes são perpendiculares à rua A e paralelas entre si. As frentes dos lotes 1, 2 e 3 para a rua A medem, respectivamente, 45 metros, 60 metros e 75 metros. A frente do lote 2 para a rua B mede 72 metros. Quais as medidas das frentes para a rua B dos lotes 1 e 3? Lote 1 = 54 metros; lote 3 = 90 metros. y B a Ru 72 x 1 45

8. Na figura, considere que a ⁄ b ⁄ c ⁄ d. De acordo com os dados, determine o valor da expressão x + y. 29

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

3

x

A

Atividades Os alunos terão a oportunidade de identificar e aplicar o teorema de Tales em diversas situações. Como complemento, sugerir que explorem a aplicação desse teorema em algumas construções geométricas, como dividir um segmento AB em cinco segmentos congruentes.

3

2 60 A Rua

75

b

a

c

x

d y

4 8

10

10

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

EDITORIA DE ARTE

A 20

x

30

Teorema de Tales nos triângulos No *ABC da figura, traçamos uma reta r, paralela ao lado BC . Assim, a reta r corta os lados AB e AC nos pontos M e P, respectivamente. A

M

B

A

C

M

s P

!#" r ⁄ s ⁄ BC

r

Pelo teorema de Tales: B

AM AP = . MB PC

C

r

Toda reta paralela a um lado de um triângulo que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos proporcionais.

C

B

r

!#" Se traçarmos pelo vértice!#A" uma !#" reta s, paralela à reta r, obteremos três retas paralelas (BC, r e s) e duas transversais (AB e AC).

80 y

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Teorema de Tales nos triângulos Para auxiliar os alunos na compreensão do conteúdo desta página, propor mais um exemplo a respeito do teorema de Tales em triângulos: • Em um triângulo ABC, uma reta r, paralela ao lado BC, vai dividir o lado AB em dois segmentos cujas medidas são 20 cm e 30 cm. Sabendo que o lado AC mede 80 cm, vamos obter as medidas dos segmentos determinados pela reta r nesse lado AC. Pelo enunciado do problema, temos a figura abaixo, em que x e y são as medidas dos segmentos determinados em AC pela reta r.

De acordo com o teorema de Tales nos triângulos, temos:

A

20 + 30 x+y = 20 x Como x + y = 80, temos: 50 80 = 20 x 50x = 1 600 1 600 x= 50 x = 32 Sabendo que x + y = 80, determinamos y: y = 80 _ x y = 80 _ 32 = 48 Então, os segmentos determinados medem 32 cm e 48 cm.

M

Se MP ⁄ BC, então:

P

B

AM AP = . MB PC

C

Considere, agora, a seguinte situação, na qual podemos aplicar o teorema de Tales no triângulo. Na figura abaixo, RS ⁄ BC. Vamos determinar a medida de x. A 2x R x B

x+4 S

x+1 C

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Aplicando o teorema de Tales no triângulo, temos: 2x x+4 = x x +1 2x(x + 1) = x(x + 4) x2 _ 2x = 0 x = 0 ou x _ 2 = 0 h x = 2 Como x = 0 não serve, então x = 2. PARA QUEM QUER MAIS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

SAIBA QUE

Nós Para esse tema, sugere-se que a atividade seja realizada em duas etapas. Na primeira etapa, solicitar aos alunos que imaginem como será o perfil dos brasileiros em 2050 caso a desaceleração populacional estimada pelo IBGE se confirme. Anotar na lousa as sugestões dadas pelos alunos. Na segunda etapa, pedir aos alunos que realizem uma pesquisa a respeito do tema e procurem países de diversos continentes como, por exemplo, os países europeus que têm baixa natalidade e população mais idosa. Eles também devem pesquisar os países da América que têm maior índice de natalidade, com perfil de população mais jovem. Por fim, pedir aos alunos que comparem o que foi observado na pesquisa com as sugestões listadas na lousa durante a primeira etapa. Em seguida, eles podem confrontar suas expectativas com as informações levantadas nas pesquisas.

As medidas dos lados de triângulos devem ser sempre maiores que zero. Assim, quando encontramos um valor menor ou igual a zero, devemos desconsiderá-lo.

Segmento áureo

x cm

(1 _ x) cm 1 cm

EDITORIA DE ARTE

Considere um segmento AB, que mede 1 cm, e um ponto C que fica entre A e B. Encontre a distância que esse ponto C deve ficar de A tal que a razão entre os segmentos CB e CA seja igual a razão entre os segmentos AB e AC. Analisando o enunciado, podemos montar o seguinte esquema:

Além disso, do enunciado, podemos escrever: CB AC 1_ x x = h = h x 2 = 1 _ x h x 2 + x _ 1= 0 CA AB x 1 Calculando as raízes da equação x2 + x _ 1 = 0 , temos:

x!

"1 ±

12 _ 4 (1)(_1) 2

⎧ "1 _ 5 ⎪ x1 ! 2 ⎪ h ⎨ ou ⎪ "1 # 5 ⎪ x2 ! 2 ⎩

Por se tratar de uma medida de comprimento o valor de x deve ser positivo, assim 5 "1 temos que o ponto C deve estar a cm do ponto A. 2 O número

5 "1 é conhecido como número de ouro, já o segmento AC recebe o nome 2

de segmento áureo. Esses elementos podem ser observados em diversas construções humanas (Parthenon, por exemplo) e até mesmo na natureza (conchas de caracóis, por exemplo). NÓS

Crescimento populacional De acordo com o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), o crescimento populacional do Brasil tende a reduzir-se ao longo dos anos. Ao observar os dados dos últimos anos, já é possível notar uma redução. Em 2011, o crescimento populacional foi de 1,4%; em 2013, foi de 0,83%; e, em 2016, foi de 0,8%; e a estimativa é que esse crescimento populacional continue desacelerando. Informações obtidas em: PESQUISA aponta queda no crescimento populacional no Brasil. Jornal Nacional. Disponível em: <http:⁄g1.globo.com/jornal-nacional/noticia/2016/08/pesquisaaponta-queda-no-crescimento-populacional-no-brasil.html>. Acesso em: 30 out. 2018.

• Se a estimativa do IBGE se confirmar, qual será o perfil dos brasileiros a partir de 2050? A tendência é que o crescimento da população continue desacelerando, aumentando assim, a idade média do brasileiro.

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Atividades Nessas atividades, os alunos terão a oportunidade de aplicar o teorema de Tales na resolução de problemas. Sugerir a eles que resolvam essas atividades em trios ou quartetos para que possam trocar ideias e estratégias. Solicitar a cada aluno que registre no caderno as estratégias e resoluções encontradas pelo grupo. Propor uma correção coletiva entre os grupos, solicitando a cada um deles que apresente a resolução das atividades. Incentive a troca de ideias entre os grupos. Caso seja necessário, intervir na resolução de dúvidas e o suporte das ideias.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

B

1. Determine o valor de x sabendo que: DE ⁄ BC. 3

x D 3 A

x+1 E

4

C

2. Na figura, temos que AB ⁄ MP. Qual é o perímetro do triângulo MNP? 127,5 M 40

4x ! 2 A 3x " 1

P 15

N

B

50 6. A figura re E presenta uma 60 Lote 2 y quadra de um lo- B 30 teamento que foi C dividida em dois Lote 1 120 lotes. Nela, estão x 100 indicadas algumas medidas, em metro. Sabendo que BC é paralelo A a DE, qual é o peLote 1: 205 m; rímetro de cada lote? lote 2: 185 m. D

Responda às questões no caderno.

22,5

3. No triângulo ABC da figura, temos que DE ⁄ BC. Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC e o perímetro desse triângulo.

7. Duas avenidas têm origem em um mesmo ponto A e cortam duas ruas paralelas, como mostra a figura. Em uma avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas medem 50 m e 80 m, respectivamente. Na outra avenida, partindo de A, o primeiro quarteirão é 36 m menor que o segundo. Quais os comprimentos dos quarteirões da segunda avenida? 60 m e 96 m 80

E

m

D 3 B

x+4 x

50

x_1

m

A

C

AB = 8 cm, AC = 16 cm, perímetro = 38 cm. 4. Em um triângulo ABC, o lado AB mede 30 cm. Se traçarmos uma paralela ao lado BC do triângulo, ela vai cortar o lado AB no ponto D e o lado AC no ponto E. Sabendo que AE = 15 cm, EC = 9 cm, determine as medidas x (do segmento AD) e y (do segmento DB). x = 18,75 cm; y = 11,25 cm 5. Considere que P QR ⁄ NP na 5 figura. Qual é 8 R o valor da N x medida x do Q segmento QN? M 12 7,5

A

8. O esquema mostra dois postes perpendiculares ao solo e que estão a 4 m de distância um do outro, e um fio bem esticado de 5 m ligando os seus topos. Prolongando esse fio até prendê-lo no solo, são utilizados mais 4 m de fio. Qual é a distância entre o ponto onde o fio foi preso ao solo e o poste mais próximo a ele? 3,2 m 5m 4m

4m

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema da bissetriz interna de um triângulo • Consideremos o triângulo ABC da figura. A

B

C

• Traçamos a bissetriz interna do ângulo A na figura, o segmento AS. A a1

B

M

a2

C

S

N

E A 1

B

a

2

S

C

Considerando o triângulo BCE e sabendo que AS ⁄ CE, podemos escrever: AB BS = AE SC

1

m

A

n = a2 (ângulos alternos internos)

a1

a1 = a2 (AS é bissetriz de Â) B

S

a2

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

E

m = a1 (ângulos correspondentes)

n C

BS AB . Substituindo AE por AC na proporção 1 , temos: = AC SC 157

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P

AMPLIANDO

• Tomando como base a mesma figura, temos:

Então, m = n. Portanto, *AEC é isósceles e AE = AC.

C

Pelo teorema da bissetriz interna, temos: 12 NC = x CP NC 2 = , teSabendo que CP 3 12 2 mos: = x 3 2x = 12 ? 3 36 2x = 36 h x = = 18 2 Então, MP = 18 cm.

• Traçamos pelo vértice C uma paralela à bissetriz AS e observamos que essa paralela vai encontrar o prolongamento do lado AB no ponto E.

a

x

12

EDITORIA DE ARTE

Teorema da bissetriz interna de um triângulo Se julgar pertinente, apresentar mais este exemplo de aplicação do teorema da bissetriz interna. Em um triângulo MNP, a bissetriz interna MC do ângulo M determina no lado NP os segmentos NC e CP, cuja razão é NC 2 = . Sabendo que CP 3 MN = 12 cm, determinar a medida do lado MP.

Link Para ampliar, apresentar aos alunos o vídeo com a demonstração do teorema da bissetriz interna. Essa é uma ferramenta disponível para que eles possam acessar e compreender os passos desenvolvidos na demonstração. Disponível em: <http:// livro.pro/m9vroq>. Acesso em: 17 nov. 2018.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades Nessas atividades, os alunos vão identificar e utilizar o teorema de Tales em triângulos e o teorema da bissetriz interna na resolução de situações-problema. Pedir a eles que reproduzam, no caderno, as figuras apresentadas ou desenhem uma figura para a situação proposta, de modo que possam acrescentar todas as informações do enunciado e as que eles forem determinando com seus cálculos.

A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, sobre o lado oposto, segmentos que são proporcionais aos lados do triângulo que formam o ângulo considerado. AS é a bissetriz interna do ângulo A no triângulo ABC da figura abaixo: A

B

Então: AB BS AB AC = = ou AC SC BS SC

C

S

Considere a seguinte situação: Na figura abaixo, BD é bissetriz interna do ângulo B. Vamos determinar o valor de x. Pelo teorema da bissetriz interna, temos: A 4 x h x ? x = 6 ? 4 h x2 = 24 h = x 6 x h x = 24 h x = 2 6 Então, x = 2 6 . Descartamos o valor −2 6 , pois, como se trata de uma medida de segmento, a resposta não pode ser nula, nem negativa.

ATIVIDADES

D

6

4 B

C

x

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Calcule o valor da medida x em cada figura, conforme a condição dada em cada item. A a) AD é a bissetriz do ângulo A. 5

10

4 B

2

C

x

D

3. Se os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 12 cm, 15 cm e 18 cm, e BD é a bissetriz do ângulo B, quanto medem os segmentos AD e DC? AD = 6 cm, DC = 9 cm 4. No triângulo ABC da figura, sabemos que PM ⁄ BC, e AD é a bissetriz interna do ângulo A. A

2 x

P

x

10 3,2

B

C

4

2. Sendo AD a bissetriz do ângulo A na figura, calcule as medidas de 6 AC, BD e DC. B AC = 8, BD = 3 e DC = 4.

z

8

M 6

4

A

x_1D

P B

x+4

x

C

7

D

y

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

b) BP é a bissetriz do ângulo B. 2,5

Nessas condições, qual é o perímetro: a) do triângulo ABC? 52,5 b) do trapézio PBCM? 40,8

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3

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

CAPÍTULO

FIGURAS SEMELHANTES Encontrando semelhanças

Podemos dizer que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma sem precisar ter, necessariamente, o mesmo tamanho. Dessa maneira, podemos entender uma ampliação e uma redução como exemplos de semelhança. Figuras congruentes também são semelhantes. Vejamos melhor o que significa “ser semelhante a” em Geometria. Os dois mapas a seguir são representações do estado do Paraná, mas estão em escalas diferentes. Neles, destacamos algumas cidades. Veja:

Estado do Paraná 50°O 50°O

Estado do Paraná 50°O 50°O

25°S 25°S

124,8 km 124,8 km

Mapa 1.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

SONIA VAZ

SONIA VAZ

25°S 25°S

Mapa 2.

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

Você pode notar que, embora sejam de tamanhos diferentes, os dois mapas têm a mesma forma: o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que esses mapas representam figuras semelhantes. NÓS

Riscos dos balões Diferentemente do balonista, que é o praticante do balonismo, o baloeiro tem como atividade a fabricação e a soltura de balões feitos, em geral, de papel, arame e madeira. Fabricar, vender, transportar ou soltar balões é crime com pena prevista de detenção de um a três anos e/ou multa, pois, além de perigosos, não possuem controle e podem provocar incêndios, atingir aviões, entre outras coisas. • Todos os anos, principalmente nos meses de junho e julho, diversas propagandas sobre os riscos de soltar balões são veiculadas em todo o território nacional. Mesmo assim, não são poucas as notícias sobre balões que cortam os céus das cidades. Debata com seus colegas sobre os motivos que levam à ineficácia dessas propagandas na conscientização de quem pratica essa atividade.

Encontrando semelhanças Explorar com os alunos os dois mapas que estão em escalas diferentes. Questionar a turma a respeito do porquê de mapas terem escalas diferentes. Espera-se que os alunos percebam que, quanto maior é a escala, mais detalhes serão apresentados no mapa. Nós Fabricar, vender, transportar ou soltar balões é crime previsto em lei. Pode ser que os alunos desconheçam essa questão jurídica, uma vez que tal prática ainda acontece em festas juninas, assim como as fogueiras e fogos de artifício. Dessa forma, é importante propor uma discussão sobre os problemas causados pela soltura de balões. Solicitar aos alunos que encontrem matérias de jornais que descrevam acidentes causados por balões. Isso pode contribuir para a sensibilização dos alunos. Em seguida, pedir que pesquisem algumas propagandas veiculadas no território nacional, a respeito dos riscos de soltar balões. E, por último, discutir a respeito dos motivos que levam à ineficiência dessas propagandas na conscientização de quem pratica essa atividade. Se achar conveniente, pedir aos alunos que deem sugestões do que pode ser feito para obter maior assertividade nessas propagandas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígonos semelhantes Observe os quadriláteros ABCD e MNPQ: A

6 cm 82°

B 78° M

4 cm

3 cm 1,6 cm

D

85°

115°

85° 5 cm

2,4 cm 82°

C

Q

78° 115° 2 cm

P

N 1,2 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

O objetivo desse estudo é levar os alunos a identificar polígonos semelhantes, a compreender as condições de semelhança desses polígonos e a aplicar essas condições para resolver problemas. Primeiro, explorar o exemplo apresentado para definir o que são polígonos semelhantes. Depois da leitura, perguntar aos alunos o que são polígonos semelhantes e pedir que expliquem com as próprias palavras. Enfatizar, nesse momento, as condições necessárias para que polígonos com o mesmo número de lados sejam semelhantes: ângulos internos respectivamente congruentes e lados correspondentes proporcionais. Em seguida, explorar os exemplos em que os polígonos não são semelhantes. Pedir a eles que contem com as próprias palavras o que ocorre nos dois exemplos de polígonos não semelhantes.

Note que: • os ângulos correspondentes possuem a mesma medida: Â 2 M̂, B̂ 2 N̂, Ĉ 2 P̂, D̂ 2 Q̂. • os lados correspondentes são proporcionais: 6 AB = = 2,5 MN 2,4 BC 3 = = 2,5 NP 1,2 CD 5 = = 2,5 PQ 2 AD 4 = = 2,5 MQ 1,6 Portanto: AB BC CD AD = = = = 2,5 MN NP PQ MQ Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes. Indicamos assim: quadrilátero ABCD / quadrilátero MNPQ semelhante Dois polígonos são semelhantes quando possuem os ângulos internos respectivamente congruentes e os lados correspondentes proporcionais. Observe novamente os quadriláteros ABCD e MNPQ. Note que os ângulos internos correspondentes desses quadriláteros são congruentes e que a razão entre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadrilátero MNPQ é sempre a mesma: 2,5. Dizemos, então, que os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes e que 2,5 é a razão de semelhança entre eles. Para saber se dois polígonos são semelhantes, devemos verificar duas condições: • os ângulos internos correspondentes devem ser congruentes; • os lados correspondentes devem ser proporcionais. 160

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Satisfazer apenas uma das condições não atesta a semelhança entre dois polígonos, como podemos comprovar pelos exemplos a seguir. 1 Vamos verificar se os quadriláteros ABCD e MNPQ são semelhantes. A

8 cm

B 6 cm

M 6 cm

6 cm

3 cm

3 cm Q

D

8 cm

N

P

6 cm

C

Observando os quadriláteros, podemos verificar que: • os ângulos correspondentes são congruentes (são retos); • os lados correspondentes não são proporcionais, veja: AB 8 4 = = MN 6 3 BC 6 = = 2 NP 3 BC AB . 5 MN NP Logo, os quadriláteros ABCD e MNPQ não são semelhantes. Portanto,

2 Vamos conferir se os quadriláteros a seguir são semelhantes. 8 cm

B

6 cm

6 cm

8 cm

4 cm

4 cm

P

3 cm Q

D

M

N 3 cm

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

A

C

Fazendo a verificação, temos: • Os lados correspondentes são proporcionais: AB 8 = =2 MN 4 BC 6 = =2 NP 3 Portanto,

AB BC = = 2. MN NP

• Os ângulos correspondentes não são congruentes. Nesse caso, os quadriláteros ABCD e MNPQ não são semelhantes. 161

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Uma propriedade importante Observe os pentágonos ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘. D 2,2 cm E

97°

130°

2,6 cm

D‘ 1,1 cm

C

120°

E‘

97°

1,3 cm

130° 120° C‘

1,4 cm 2,6 cm

2,8 cm

A‘ 100°

93° A

1,3 cm

93° 100° 1,5 cm

B‘

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Uma propriedade importante Nessas páginas, o objetivo é levar os alunos a compreender e aplicar a propriedade do perímetro em polígonos semelhantes. Para isso, sugerir a leitura do texto, que mostra a relação entre a razão de semelhança e a razão dos perímetros de polígonos semelhantes. Depois da leitura, para facilitar a compreensão, pedir a alguns alunos que expliquem com as próprias palavras o que entenderam a respeito da propriedade do perímetro em polígonos semelhantes. Estimular a expressão oral e a troca de ideias. Anotar na lousa as ideias sugeridas pelos alunos. Em seguida, organizar essas ideias e pedir que eles as anotem em um cartaz. Se achar conveniente, propor uma atividade de ampliação ou redução de figuras geométricas, de acordo com determinada razão; por exemplo, dado um hexágono ABCDEF, ampliá-lo na razão 1 para 3 em relação aos lados desse polígono, determinando o hexágono A’B’C’D’E’F’.

B

3 cm

Observe que: • os ângulos correspondentes são respectivamente congruentes; • os lados correspondentes são proporcionais: AB 3 = =2 A ‘B ‘ 1,5

BC 2,6 = =2 B ‘C ‘ 1,3

DE 2,2 = =2 D ‘E ‘ 1,1

EA 2,8 = =2 E ‘A ‘ 1,4

CD 2,6 = =2 C ‘D ‘ 1,3

Então, ABCDE / A‘B‘C‘D‘E‘, e a razão de semelhança é 2. Vamos, agora, calcular os perímetros dos dois pentágonos. • Perímetro (P) de ABCDE: P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cm P = 13,2 cm Perímetro (P‘) de A‘B‘C‘D‘E‘: P‘ = 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cm P‘ = 6,6 cm Calculando a razão entre os perímetros, temos: P 13,2 = =2 P‘ 6,6 razão de semelhança ou razão entre as medidas dos lados correspondentes

De modo geral: Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

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ATIVIDADES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resoluções a partir da p. 289

4. Dados os octógonos regulares O1 e O2, o perímetro de O1 é 48 cm, e a razão de 3 semelhança entre O1 e O2 é . 4

Responda às questões no caderno.

1. Dado o re - A tângulo ABCD da figura, demonstre as afirmações D dos itens a e b.

B 15 cm

y

C

24 cm

a) O retângulo ABCD é semelhante ao retângulo EFGH. E

O1

H

a) Qual é a medida do perímetro de O2? 64 cm b) Quais são as medidas de x e y? 6 cm e 8 cm

I

30 cm

24

20 cm

A

K

2. Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir: a) Falsa. b) Verdadeira. c) Falsa. a) Dois retângulos são sempre semelhantes. b) Dois quadrados são sempre semelhantes. c) Dois triângulos são sempre semelhantes. d) Dois triângulos equiláteros são sempre semelhantes. Verdadeira. e) Dois polígonos regulares com a mesma quantidade de lados são sempre semelhantes. Verdadeira.

3. Os hexágonos H1 e H2 são regulares; logo, são semelhantes. 20

E

20

20 H1

20 B

20

E D

15

20

F

C

B

J

Demonstração. L

5. Os trapézios ABCD e MQPN a seguir são semelhantes.

G

40 cm

b) O retângulo ABCD não é semelhante ao retângulo IJKL.

A

O2

F 25 cm

F

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

x

15

D

15

H2 15

A

C

Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2? 4 3

P y

12 D

62

M

N

z

a) Qual é a razão de semelhança entre os trapézios ABCD e MQPN? 2 b) Qual o valor das medidas x, y e z indicadas? x = 15; y = 20; z = 31 c) Sem fazer cálculos, escreva a razão entre o perímetro de ABCD e o perímetro de MQPN. 2

6. Sabe-se que os pentágonos ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘ são semelhantes; o lado CD é correspondente a C‘D‘ e o lado AB é ‘ ‘. correspondente a AB A

E A‘

2,1 cm

E‘

x 105°

C B

x

Q

40

B 15

15

30

D

3,0 cm

y

B‘

D‘

2,0 cm C‘

C

a) Qual a razão de semelhança entre ABCDE e A‘B‘C‘D‘E‘? 3 ou 1,5. 2 b) Qual a medida y indicada? 105° c) Qual a medida x indicada? 1,4 cm 163

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Atividades Nesse bloco de atividades, os alunos deverão reconhecer polígonos semelhantes, e compreender e aplicar a propriedade do perímetro em polígonos semelhantes.

AMPLIANDO Atividade complementar Ampliar as situações propostas e pedir aos alunos que realizem uma atividade prática para aplicar a razão de semelhança por meio da escala. Reproduzir plantas de casas ou de apartamentos encontradas em jornais e panfletos promocionais, levar para a sala de aula e distribuir entre os alunos. Em grupos, eles poderão realizar os cálculos da medida dos cômodos da casa na planta. Depois, pedir a eles que desenhem a planta baixa de uma casa, utilizando uma escala de 1 : 100. Posteriormente, a planta pode ser reproduzida em papelão ou isopor. Se julgar conveniente, propor a construção de uma maquete com o auxílio dos familiares. Na construção da maquete, os alunos poderão calcular as proporções e realizar o trabalho em escala. Combinar a apresentação das maquetes. Orientar os grupos a apresentar suas maquetes com a explicação de como foram realizados os cálculos para transformar as dimensões reais da casa escolhida na escala de 1 : 100 Além disso, poderão apresentar a área da maquete construída e a área da casa real.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Triângulos semelhantes Você se lembra dos mapas do estado do Paraná, desenhados cada um em uma escala da página 159? Observe os triângulos cujos vértices são os três pontos que indicam as cidades de Curitiba, Maringá e Cascavel. Estado do Paraná 50°O 50°O

Estado do Paraná

85º 85º

50°O

50°O

85º 85º

2,02,0 c cm m

3, 30, cm 0 cm

60º 60º

25°S

60º 60º

25°S 25°S

35º 35º

35º 35º

3,5 cm 3,5 cm

124,8 km 124,8 km

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

Mapa 3.

SONIA VAZ

25°S

4, 48, c 8m cm

SONIA VAZ

Triângulos semelhantes O objetivo desse estudo é levar os alunos a identificar triângulos semelhantes. Explorar os dois mapas, verificando as condições de semelhança de polígonos. É importante enfatizar que o triângulo é um caso específico entre os polígonos, pois basta verificar uma das duas condições de semelhança de polígonos para concluir que se trata de um polígono semelhante. Discutir com os alunos essa particularidade do triângulo em relação aos demais polígonos. Destacar a rigidez do triângulo e a garantia de que, se dois triângulos tiverem os três ângulos correspondentes congruentes, necessariamente eles são semelhantes. Comentar que os quadriláteros podem ter lados proporcionais, mas ângulos diferentes (mostre, por exemplo, um quadrado e um losango com ângulos diferentes).

Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro, 2012.

Mapa 4.

Esses dois triângulos satisfazem as condições que tornam semelhantes dois polígonos: os ângulos internos são respectivamente congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. Os triângulos, porém, constituem um caso especial de polígono: para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta que uma das duas condições citadas acima se verifique. Se uma delas for satisfeita, a outra também será. Vamos fazer essa verificação: • Os ângulos internos são respectivamente congruentes. M 85°

A 85° B

60°

35°

C

N

60°

35°

P

• Os lados correspondentes são proporcionais:

A 3,2 cm

B

4,8 cm

3,0 cm

2,0 cm

3,5 cm

C

N

5,6 cm

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS AB 2,0 20 5 = = = = 0,625 MN 3,2 32 8

Para auxiliar os alunos no entendimento do conceito de triângulos semelhantes, apresentar o exemplo a seguir na lousa. Considerando a figura a seguir, determine as medidas x e y indicadas.

AC 3,0 30 5 = = = = 0,625 MP 4,8 48 8 BC 3,5 35 5 = = = = 0,625 NP 5,6 56 8

6 cm

Dois triângulos são semelhantes quando têm: os ângulos internos respectivamente congruentes ou os lados correspondentes proporcionais.

B

• Os ângulos congruentes são chamados ângulos correspondentes. • Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos. Se dois triângulos têm dois ângulos respectivamente congruentes, o terceiro ângulo de cada triângulo também será congruente, pois a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é igual a 180°. Assim, para saber se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles possuem dois ângulos respectivamente congruentes. Consideremos os triângulos ABC e MNP. A

B

C

N

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

M

4 cm x

C

y

D 3 cm

Em relação aos triângulos ABC e CDE, temos: ÅB 2 ÅD (ângulos retos) BÅCA 2 DÅCE (ângulos o.p.v.) Logo, *ABC / *CDE. Sendo AB e DE, BC e CD, AC e CE os lados homólogos nos triângulos considerados, temos: AB BC AC = = DE CD CE 6 x 10 = = 3 4 y 6 é a razão de semelhança 3 Assim: 6 x = h 3x = 24 h 3 4 hx=8 6 10 = h 6y = 30 h 3 y hy=5 Então, x = 8 cm e y = 5 cm.

Pelas indicações nas figuras, temos: B̂ 2 N̂

10 cm

E

Em dois triângulos semelhantes:

 2 M̂

EDITORIA DE ARTE

A

Portanto, *ABC / *MNP.

Ĉ 2 P̂

Então, *ABC / *MNP. Vamos demonstrar que, se os ângulos do *ABC e do *MNP são congruentes, então: AB AC BC = = MN MP NP 165

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A

B

coincidente

Como os ângulos M̂ e  são congruentes, vamos sobrepor o *MNP ao *ABC, de modo que M̂ fique superposto a Â. Nessas condições, NP é paralelo a BC, pois N̂ 2 B (ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos: AC AB = MN MP

A9M

I

N

Como os ângulos N̂ e B̂ são congruentes, vamos sobrepor o *MNP ao *ABC, de modo que N̂ fique superposto a B̂.

P

B

C A

Nessas condições, MP é paralelo a AC, pois M̂ 2 Â (ângulos correspondentes). Pelo teorema de Tales, temos:

M

II

Das igualdades I e II , concluímos que: AB AC BC = = MN MP NP

B9N

C

P

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

BC AB = NP MN

Ou seja, os lados do *ABC são proporcionais aos lados correspondentes do *MNP.

EDITORIA DE ARTE

Atividades Nessas atividades, os alunos deverão identificar triângulos semelhantes e aplicar as propriedades de semelhança na resolução de problemas. Na atividade 1, orientar os alunos a justificar as respostas usando a definição de semelhança de triângulos. Para complementar o trabalho, sugerir a atividade seguinte. Desenhar um triângulo ABC qualquer. Determinar o ponto médio de cada um dos lados do triângulo e unir esses pontos dois a dois, obtendo assim quatro triângulos menores. Veja a seguir um exemplo de como deve ficar a imagem.

Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos lados do outro, em relação aos ângulos correspondentes. Dizemos que esses lados são os lados homólogos do par de triângulos semelhantes.

C

ATIVIDADES F

D

b)

Responda às questões no caderno. 1. Em cada item, você encontra um par de triângulos. Responda, de acordo com as indicações feitas, se os pares de triângulos são ou não semelhantes.

E

Recortar esses quatro triângulos. Sobrepor as peças recortadas e solicitar que façam comentários e observações a respeito dos ângulos e dos lados. Depois, propor aos alunos que dividam os triângulos menores novamente nos pontos médios dos lados, formando ao todo 16 triângulos, e comparem com o triângulo maior, ABC.

Resoluções a partir da p. 289 A

C

B

E

Sim.

a)

D

c)

P A

45°

S 110°

C

T 40°

B

30°

Não.

P C

Q

110°

R M

30°

D

Sim.

Resolução de atividade

Espera-se que os alunos concluam que todos os 16 triângulos são congruentes entre si e semelhantes ao triângulo ABC inicial.

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2. Quais as condições que lhe permitem afirmar que os triângulos abaixo são semelhantes? B̂ 2 C 2 D = 50° E = 90° e D

50°

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

4. Observando a figura, notamos que *ABC é semelhante a *AED ( Â é comum e Ĉ 2 D̂). Qual é o valor de x em função de a e b? x = ab

E

Desafio Sugerir aos alunos que se organizem em duplas para facilitar a troca de ideias, conhecimento e estratégias para a resolução desse desafio. Pedir a eles que reproduzam no caderno a figura e listem as informações importantes. Incentivar a troca de ideias nas diferentes estratégias de resolução de problemas. Pedir a eles que registrem em detalhes como pensaram para chegar à solução do desafio. Depois, corrigir coletivamente a atividade pedindo às duplas que mostrem como pensaram. Socializar os diferentes procedimentos procurando sanar as dúvidas dos alunos.

C

A

x 50°

B

C

F

D

3. As indicações feitas nos triângulos abaixo nos permitem afirmar que *ABC é semelhante ao *MNP. Qual é a relação de igualdade que podemos escrever entre as medidas x, y e z? x = y h x 2 = y ? z C P z x

B

y

x

x

A

M

z

a

A

1

E

b

B

5. Calcule a altura h de um prédio que lança uma sombra de 19,2 m no mesmo instante em que uma árvore de 8,4 m lança uma sombra de 5,6 m. 28,8 m

N

DESAFIO

Resolução do Desafio

A partir da imagem, utilizando a semelhança de triângulos, temos:

6. (FGV) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas de anos após sua morte. Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar em relação a um ponto na praia. Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco. Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e a altura do penhasco (d), ele calculou a distância x em relação ao barco.

h c

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

d

x

h d+h = c x 1,8 298,2 + 1,8 = 0,75 x 1,8 300 = 0,75 x 1,8x = 0,75 ? 300 1,8x = 225 225 x= 18 x = 125 Portanto, a distância do navio à praia é de 125 m.

Descreva com suas palavras um método para calcular a distância x. Em seguida, determine a distância do navio à praia com estes dados: h = 1,80 m; c = 0,75 m; d = 298,20 m. 125 m 167

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Teorema fundamental da semelhança de triângulos Toda reta paralela a um lado de um triângulo – e que encontra os outros dois lados em pontos distintos – determina com esses lados um triângulo semelhante ao primeiro.

Considerando o *ABC abaixo, traçamos uma reta r, paralela ao lado BC e que encontra o lado AB no ponto D e o lado AC no ponto E. A

A D

B

C

E

B

r

C

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Teorema fundamental da semelhança de triângulos Demonstrar o teorema na lousa. Ele é fundamental na resolução de diversos problemas envolvendo triângulos. Se achar conveniente, apresentar o vídeo com um exemplo de problema resolvido por meio de semelhança de triângulos, disponível em <http:// livro.pro/oqxshg>. Acesso em 17 nov. 2018.

Como r ⁄ BC, temos: • B̂ 2 D̂ (ângulos correspondentes) • Ĉ 2 Ê (ângulos correspondentes) • Â 2 Â (ângulo comum) Portanto, *ABC / *ADE. Separando os triângulos ABC e ADE, temos: A A

D B

E

C

Como os triângulos são semelhantes, seus lados homólogos são proporcionais, ou seja: AB = AD

AC AE

=

BC DE

Aplicando a propriedade fundamental da semelhança de triângulos e sabendo que MP // AB, vamos calcular as medidas x e y indicadas na figura abaixo. A 6 B

4

x

M

4 P

6 y

C

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Separando os triângulos, temos:

Atividades Nesse bloco, os alunos vão aplicar o teorema fundamental da semelhança de triângulos em situações variadas. Pedir a eles que reproduzam as figuras no caderno e escrevam a relação encontrada que justifique a utilização do teorema. Ao final, corrigir coletivamente as atividades procurando sanar as dúvidas dos alunos.

A M

x+6

6

6

4 B

C

4+y

P

C

y

Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos: 4+y AB AC BC 6 x +6 = = h = = MP MC PC 4 6 y x +6 6 = 6 4 4(x + 6) = 6 ? 6 4x + 24 = 36 4x = 12 x=3

4+y 6 = y 4 6y = 4(4 + y) 6y = 16 + 4y 2y = 16 y=8

Portanto, x = 3 e y = 8.

ATIVIDADES

Resoluções a partir da p. 289

Responda às questões no caderno.

1. Sabendo que MN ⁄ RQ, determine as medidas x e y indicadas na figura. x = 21,6 e y = 26,4. R x

36

E

y A

Q

2. Na figura, temos DE ⁄ BC. Nessas condições, determine as medidas x (AB) e y (AD). x = 30 e y = 40. E

20 D

12

15 N 18

A área do trapézio é dada por AD ⋅ (AB + DE) S= 2 B

15

4. Observe a figura a seguir. Sabendo que AC e BD são perpendiculares a OB, qual x é o valor da razão ? Dê a resposta na y forma de número decimal. 3,2 C

C

15 A

27 D 10 B

x y

3. Observe o triângulo retângulo ABC. Sabendo que DE é paralelo a AB, calcule a área do trapézio ABED. 96

O

y

18

17

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

P

SAIBA QUE

8

M 18

C

D x

A 13,6 B B

5. Sabendo que x MN ⁄ BC, qual 7,5 M é o valor de 4 y 60° 60° x + y? C N 6 x+3 9

A

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Sabendo que essa pessoa tem 1,80 m de altura e projeta uma sombra de 2,70 m de comprimento no solo, qual é a altura do poste?

12,3 m

4m 1,5 m

EDITORIA DE ARTE

x

Utilizando o teorema fundamental da semelhança, podemos escrever: 1,5 12,3 = 4 12,3 + x 1,5 ? (12,3 + x) = 12,3 ? 4 18,45 + 1,5x = 49,2 1,5x = 49,2 _ 18,45 1,5x = 30,75 x = 20,5 Logo, a pessoa deve caminhar 20,5 metros para chegar ao ponto mais alto da rampa.

b) 6 m

e) 8 m

c) 4,50 m

Alternativa b.

O

7. Para determinar a largura L de um lago, Paulo desenhou o esquema abaixo, em que AB ⁄ CD. Que medida ele encontrou para a largura L do lago? 250 m D B L

100 m A

C

rio

d) 6,4 m

a) 4,80 m

Resolução do Desafio

8. Um observador, situado em um ponto O da margem de um rio, precisava determinar, sem atravessar o rio, sua distância até o ponto P, localizado na outra margem. Para isso, marcou com estacas outros pontos do lado da margem em que se encontrava, de tal forma que P, O e B ficaram alinhados entre si e P, A e C também. Sabendo que OA é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = = 40 m e OB = 30 m, qual é a distância, em metro, do observador em O até o ponto P? 50 m P

200 m

DESAFIO

P 80 m

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

6. Uma pessoa está a 6,30 m da base de um poste, conforme nos mostra a figura.

Desafio Na atividade 10, ler com os alunos o enunciado e a proposta para a resolução. Pedir a eles que façam o desenho que representa essa situação. Se achar conveniente, sugerir que formem duplas para que possam trocar ideias e estratégias e, em seguida, escrevam um texto contando a trajetória percorrida por eles até a resolução do desafio.

B

A

C

9. (Mack-SP) No triângulo ABC da figura, o lado BC mede 4,5 e o lado do quadrado DEFG mede 3.

A

F

E

A altura do triângulo ABC, em relação ao lado BC, mede: B G DC a) 7,5. c) 8,5. e) 9,5. b) 8,0. d) 9,0. Alternativa d.

10. Junte-se a um colega e resolvam o desafio a seguir.

(Unicamp-SP) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto, em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 m sobre a rampa, está a 1,5 m de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. 20,5 m Para a resolução deste desafio, sugiro que vocês...

a) representem a situação por meio de um esquema e indiquem as medidas; b) observem os triângulos semelhantes do desenho; c) escrevam uma proporção que lhes permita calcular a medida procurada; d) resolvam a equação correspondente; e) analisem a solução obtida.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

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P O R T O D A P A RT E

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Resoluções a partir da p. 289

Por toda parte Aproveitar o texto da seção a respeito da medição da altura das pirâmides feita por matemáticos da Antiguidade para promover um debate a respeito de como os conceitos vistos na Unidade surgiram e se desenvolveram ao longo da história da Matemática. Para isso, orientar os alunos a realizarem pesquisas em sites confiáveis e livros selecionados. Conhecer o desenvolvimento da Matemática ao longo da história auxilia os alunos a compreenderem o próprio processo de aprendizagem do conteúdo exposto.

O Cálculo para as alturas das pirâmides

EDITORIA DE ARTE

Vimos no início da unidade sobre o fato de Tales ter sido desafiado a medir a altura da pirâmide de Quéops e que o teria feito com o auxílio de um bastão. Mas como será que ele o fez? Há duas versões conhecidas para essa história. De acordo com Hicrônimos, um discípulo de Aristóteles, Tales aproveitou o momento do dia em que a medida do comprimento da nossa sombra é igual à medida da nossa altura para medir o comprimento da sombra da pirâmide e, assim, determinar sua altura. A segunda versão, de Plutarco, diz que Tales fincou uma vara vertical no extremo da sombra projetada pela pirâmide, formando no solo dois triângulos semelhantes, conforme podemos ver na imagem.

A

D E

B

C

Por meio desse método ele pôde determinar a altura da pirâmide ao saber que: AB DC DC ? BC , logo AB = = . BC CE CE Depois, basta medir o comprimento das duas sombras e da altura da vara para se determinar a altura da pirâmide.

Responda à questão no caderno.

1. A pirâmide de Quéops (também conhecida como a grande pirâmide) é a mais alta das pirâmides do Egito. Logo após a sua construção, ela tinha a altura equivalente a um prédio de 50 andares. Por isso, conhecer a altura da pirâmide não era uma tarefa fácil. Vimos no texto que, de acordo com a segunda versão da história, Tales utilizou conceitos geométricos para descobrir a altura da pirâmide de Quéops. Suponha que, em determinado momento do dia, a sombra de uma pessoa, com 1,80 m, era de 5,40 m e, neste mesmo momento, a sombra da pirâmide de Quéops era de 438 m. Com esses dados, calcule a altura da pirâmide. 146 m.

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Retomando o que aprendeu Embora as questões sejam de múltipla escolha, pedir aos alunos que justifiquem seus procedimentos na resolução de cada uma delas. Se achar conveniente, dispor os alunos em grupos para que um explique aos demais. As atividades 1 a 5, assim como as atividades 8 e 9, envolvem o conceito de segmentos proporcionais e aplicações do teorema de Tales.

RETOMANDO O QUE APRENDEU Responda às questões no caderno.

1. (Saresp) Um prédio projeta uma sombra de 40 m ao mesmo tempo em que um poste de 2 m projeta uma sombra de 5 m. Então, a altura do prédio é de: a) 10 m.

Resoluções a partir da p. 289

5. Considerando a figura abaixo, determine a medida x indicada. A

Alternativa e. x

12

c) 14 m.

b) 12 m.

d) 16 m. Alternativa d. 2. Caio tem um carrinho de brinquedo que é uma miniatura do carro de seu pai. A razão entre o comprimento do carro do pai e o comprimento do carro de 14 Caio é . Se o carro de Caio tem 0,9 m 3 de comprimento, qual é o comprimento do carro do pai de Caio? Alternativa b. a) 4 m

c) 4,5 m

b) 4,2 m

d) 4,8 m

e) 3,6 m

3. Para determinar a altura de uma árvore, utilizou-se o esquema a seguir.

4m 30 m

Nessas condições, qual é a altura da árvore? Alternativa c. c) 37,5 m

b) 36 cm

d) 38,5 m

d) 3,6 m

a) 9,5

b) 10

c) 8,8

C

3

D

14

d) 8,6

e) 8,5

6. Vamos considerar que, na figura a seguir, a medida do lado AB seja 20 cm, a medida do lado BC seja 5 cm, e o quadrilátero BCMP represente A um losango, cujo lado mede x cm. P

M

B

a) 12

c) 20

b) 16

d) 18

C

e) 24 Alternativa b.

7. Para medir a largura x de um lago, foi utilizado o esquema abaixo. E

e) 40 m

4. A porta de entrada e a fachada de uma casa são figuras retangulares semelhantes, e a razão de semelhança da altura 5 . Se da casa para a altura da porta é 2 a altura da casa é 6,0 m, qual é a altura da porta? Alternativa a. a) 2,4 m c) 3,2 m e) 1,8 m b) 2,8 m

B

Nessas condições, qual é o perímetro do losango, em centímetro?

5m

a) 35 m

E