Giovanni | Giovanni Jr. | Castrucci
A conquista da Matemática
A coleção A conquista da Matemática, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos por meio de linguagem direta e acessível. Cada livro contém unidades compostas por capítulos que, por sua vez, contam com seções e atividades variadas, facilitando o desenvolvimento do aluno na compreensão da Matemática.
ISBN 978-85-96-00045-1
9
788596 000451
11519082
7
A conquista da
Matemática Giovanni Giovanni Jr. Castrucci
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A conquista da
Matemática José Ruy Giovanni
Professor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1960.
José Ruy Giovanni Júnior
Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP). Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.
Benedicto Castrucci
(Falecido em 2 de janeiro de 1995) Bacharel e licenciado em Ciências Matemáticas pela Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática da Pontifícia Universidade Católica (PUC-SP) e da Universidade de São Paulo (USP). Foi professor de Matemática em escolas públicas e particulares de Ensino Fundamental e Ensino Médio.
São Paulo, 2015
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Copyright © Benedicto Castrucci, José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Assistente editorial Bruna Flores Assessoria Cristiane Boneto, Eliane Cabariti Casagrande Lourenço, Verilda Speridião Kluth Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Pereira Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Casa Paulistana Capa Casa Paulistana Fotos de capa Yulia Grigoryeva/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/ Glow Images, Blend Images/Shutterstock/Glow Images, se media/Shutterstock/Glow Images, ra2studio/Shutterstock/Glow Images, Robert Kneschke/Shutterstock/ Glow Images, Borko Ciric/Shutterstock/Glow Images Editor de arte Fabiano dos Santos Mariano Diagramação Nadir Fernandes Racheti, Estúdio Anexo Tratamento de imagens Ana Isabela Pithan Maraschin, Eziquiel Racheti Ilustrações e cartografia Alex Argozino, Alex Silva, Allmaps, Estúdio MW, Marcos Guilherme, Paulo Manzi, Sonia Vaz Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Preparação Dilma D. Ratto, Iraci Miyuki Kishi, Renato A. Colombo Jr. Revisão L íder: Izabel Cristina Rodrigues. Revisores: Alessandra Maria R. da Silva, Giseli A. Gobbo, Juliana Rochetto, Jussara R. Gomes, Pedro Fandi, Solange G. Guerra Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Danielle de Alcântara Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Giovanni, José Ruy A conquista da matemática, 7o ano / José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Júnior, Benedicto Castrucci. — São Paulo : FTD, 2015. ISBN 978-85-96-00045-1 (aluno) ISBN 978-85-96-00046-8 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni Júnior, José Ruy. II. Castrucci, Benedicto, 1909-1995. III. Título. 15-06523 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
Apresentação Para que serve a Matemática? Por que aprender todo esse conteúdo de Matemática na escola? Com certeza essas são perguntas que um dia passaram ou vão passar por sua cabeça. A Matemática está presente em nossas vidas, desde uma simples contagem até os modernos e complexos computadores. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender o movimento da inflação e dos juros, a medir os índices de pobreza e riqueza de um país, a entender e cuidar do meio ambiente... sem falar nas formas e medidas, com suas aplicações na Arquitetura, na Arte e na agricultura. Mas, apesar de estar presente em tantos momentos importantes de sua vida, pode parecer, a princípio, que alguns temas da Matemática não têm aplicação imediata. Isso pode gerar em você certo desapontamento. Na verdade, a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes. Como em todas as áreas de estudo, para entender e fazer Matemática é necessário dedicação e estudo. Nesta coleção, apresentamos a você as linhas mestras desse processo com uma linguagem simples, mas sem fugir ao rigor que a Matemática exige. Vivemos hoje em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Ficar à parte do conhecimento matemático é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo. Não é o que você quer. Então, vamos entender e fazer Matemática!
Conheça o seu livro 6
UNIDADE
2
enviados carregam a informação precisa do horário e da posição do satélite.
esses dados, 4 oCom receptor GPS
Alex Silva
determina a localização da pessoa. Esse cálculo recebe o nome de triateração tridimensional.
Estudo dos ângulos Você sabe como o GPS (Global Positioning System ou Sistema de Posicionamento Global) funciona? Veja o infográfico ao lado e entenda como ele localiza uma pessoa na superfície da Terra. Perceba que a informação que vemos no celular (ou em equipamentos de GPS no carro) é um guia de ruas representado por meio de um programa de computador que traduz a informação recebida pelo sistema GPS para localizar a pessoa nesse guia. Nesse caso, não vemos as verdadeiras informações enviadas pelo GPS.
O receptor GPS recebe o sinal e, com 3 essa informação, calcula a distância
N 41° 21’ 330”
Comparando as medidas acima com os ângulos trabalhados por você até agora, é possível notar alguma diferença entre eles? Você se lembra do que são submúltiplos? Conhece algum submúltiplo de alguma medida? O que seria um submúltiplo de um grau?
Quando você recebe ou faz uma ligação, ou uma mensagem, ou navega na internet, o celular se conecta à estação rádio-base mais próxima.
Linha do Equador
80º 60º
O 8° 44’ 883”
Responda às questões no caderno.
Alguns sistemas permitem localizar qualquer telefone celular, mesmo que ele não tenha o receptor GPS. Mesmo sem fazer nenhuma ligação, seu celular está sempre enviando sinais para as estações rádio-base.
Um GPS de navegação (usado em trilhas, aviões e navios) recebe coordenadas de altitude, latitude e longitude. A primeira coordenada é dada em metros; as duas últimas da seguinte maneira:
Essas duas medidas são determinadas a partir de linhas imaginárias: meridianos e paralelos.
entre o receptor e cada um dos satélites.
É composto de 24 satélites que enviam sinais para a superfície.
A
40º 20º 0º 20º
20º
Longitude 60º 40º
80º 100º
E o celular com GPS?
40º
Quando uma pessoa usa um celular com GPS, além da identificação da estação rádio-base à qual o celular está conectado, o GPS também envia as coordenadas geográficas.
60º
Meridiano de Greenwich
Fonte: <https://infograficotrend.wordpress.com/ 2011/03/27/como-o-gps-descobre-nossa-localizacao/>. Acesso em: 28 maio 2015.
170
171
cia Tratando a informação
2 1 2 2 2 2 3 2 2 2 4 2 2 4 2 5 2 2 2 2 6 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 3 1 2 2 2 32 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3 4 3 3 9 64 3 5 3 3 3 3 6 3 3 3 27 3 3 3 3 3 81 3 3 3 243 3 3 729
Estúdio MW
31 3 9 32 3 3 3 27 33 3 3 3 3 81 34 3 3 243 3 3 3 35 3 3 3 729 3 3 3 36 3 3
1. Usando os resultados
obtidos por Thiago, faça
ou a) Usando o símbolo 5 22 23 e 2 b) Usando o símbolo 2 25 : 23 e 2
as atividades a seguir no
, compare:
caderno.
34 32 e 3
6
ou , compare:
35 : 32 e 3
3
de: c) Encontre o resultado 3 2 (22) (23)
34
ou , compare: d) Usando o símbolo 2 4 2 6 (32) e 3 (23) e 2
3 6 (22) e 2
ora Explorando a calculad
simples, 35, usando uma calculadora uma potência, por exemplo, Para calcular o valor de podemos fazer assim:
3
3
3
243.
3
Visor.
Ou assim:
3
243. Visor.
15
Explorando As atividades apresentadas valorizam a construção e a experimentação de suas próprias hipóteses com base nos seus conhecimentos prévios.
Exercícios
7 b) ( 4) · 8
e) ( 6,4) ( 3,5)
1 8 c) · f ) ( 3,1) ( 0,9) 2 9 2. Quanto é: a) o dobro de 0,625? b) o triplo de 0,96? c) o quádruplo de 1,8? d) o quíntuplo de 0,065? 3. Determine o valor do número decimal A, quando: a) A ( 5) ( 1,8) ( 7) ( 1,2) b) A 5 ( 2,24) 3 ( 3,25) 4. Um mergulhador atingiu uma profundidade de 6,25 m. Um segundo mergulhador atingiu o dobro dessa profundidade. Use um número racional relativo para indicar a profundidade atingida pelo segundo mergulhador.
Exercícios Os exercícios apresentados visam à prática do conteúdo aprendido por meio de atividades variadas, escritas e orais. Após retomar os principais conteúdos que foram trabalhados, você avança um pouco mais, fazendo atividades mais desafiadoras.
6. A cada quilômetro rodado, um carro consome 0,18 L de combustível. Quantos litros esse carro vai consumir se percorrer 82,5 km? Eduardo Knapp/Folhapress
Responda às questões no caderno. 1. Preste atenção nos sinais dos fatores e calcule os produtos: 2 2 d) ( 0,6) ( 1,25) a) · 7 3
Avenida com muitos veículos.
7. Calcule o valor das expressões numéricas: 1 5 4 · 2 · 4 4 9 b) 7 5 ( 1,5)
a)
2 3 1 1 c) · · 3 10 2 3 d) ( 0,28) ( 1,5) ( 0,7) ( 0,72)
Image 100/Getty Images
e) 0,625 ( 0,84) ( 0,6) 8. Efetue as seguintes divisões:
Mergulhador no fundo do mar.
5. Calcule o valor dos produtos.
9 6 a) 11 11
5 45 d) 16 8
3 9 b) 8 16
8 e) ( 4) 9
5 20 c) 27 3
18 f ) ( 6) 7
9. Descubra o erro em algumas resoluções e corrija-as.
3 1 a) ( 2) · · 4 7
4 6 a) 1 6 4
7 3 5 · · b) 10 7 9 c) ( 2,5) ( 0,64) ( 1,6) d) ( 5,5) ( 1,1) ( 0,66) e) ( 1,45) ( 1,4) ( 0,8) f ) ( 0,9) ( 0,9) ( 0,9) ( 0,9)
b) ( 0,12) ( 0,08) ( 0,7) 0,8 c) ( 1,4) ( 0,2) 0,28 8 8 d) 4 (0,5) 2,4
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Instituto Nacional de Pesquisas Relógio de sol, na sede do dos Campos, SP. Espaciais (INPE), em São José possui o plano do mostrador O relógio de sol equatorial celeste, e seu ponteiro é das horas paralelo ao equador Foto de 2010. perpendicular ao mostrador.
Geraldo Gomes/Opção
TO. Relógio de sol em Palmas, do Brasil, com O maior relógio de sol horizontal e um ponteiro de um mostrador de 60 metros Foto de 2005. 20 metros de comprimento.
Jane Godoy/CB/D.A Press
18 horas?
INPE
12 horas?
Brasil
Brasil real
em 4 horários saia para um local ensolarado observe o que e simples: em um dia claro, 1. Faça uma experiência e às 18 horas, por exemplo, ao meio-dia, às 15 horas diferentes, às 9 horas, de sua sombra. ocorre com o “tamanho” ao Sol e o “tamaquando você fica exposto que sua sombra se desloca Você poderá observar a hora do dia. abóbada nho” dela varia conforme movimento do Sol pela aparente no plana. nesse mesmo princípio: O relógio de sol baseia-se projetada sobre uma superfície to da sombra de um corpo celeste e no deslocamen devidamente orientada uma haste (gnômon), a luz solar incide sobre em um mostrador Em um relógio de sol, e projeta uma sombra lugar e aos pontos cardeais, em relação à latitude do do dia. correspondentes às horas números com graduado em 24 horas, um a Terra gira 360 graus do movimento de rotação, : 24 5 15). Sabendo que, em função a cada uma hora (360 o Sol “se deslocar” 15 graus observador na Terra vê horizontal, vertical ou equatorial. O relógio de sol pode ser caderno: no questões Pesquise e responda às de sol em sua cidade? a) Existe algum relógio JaAstronomia do Rio de b) No Brasil, o Clube de de 200 relógios de sol. neiro já catalogou mais onde foram construídos Pesquise alguns locais relógios de sol. vê o Sol “se deslocar” Terra na observador c) Um quantos graus em: horas? 8 5 horas? 2 horas?
DF. Relógio de sol em Brasília, do Brasil, com O maior relógio de sol vertical Niemeyer e do 6 metros de altura, é de Oscar de 2005. físico Marcomede Nunes. Foto
199
Brasil real Esta seção apresenta diversas situações que possibilitam ainda mais a conexão da Matemática com diversas áreas do conhecimento. É uma ótima oportunidade para pensar sobre questões que podem auxiliá-lo a refletir sobre valores e atitudes que contribuem para sua formação como cidadão.
O uso da média
EM MÉDIA, EU DURMO 9 HORAS POR DIA.
A MINHA MÉDIA EM INGLÊS, NESTE BIMESTRE, FOI 7,5.
Tratando a informação Esta seção trabalha de forma organizada com propostas de tratamento e organização de dados, probabilidade e Estatística.
A RENDA MÉDIA DA MINHA FAMÍLIA É R$ 3 500,00.
Ilustrações: Estúdio MW
21 2 4 22 2 2 2 8 23 2 2 2 2 16 24 2 2 32 2 2 2 25 2 2 2 64 2 2 2 26 2 2
1. Durante 5 dias consecutivos, faça o seguinte levantamento, anotando os dados obtidos em uma tabela em folha avulsa: Quanto tempo por dia você assiste à tevê? Quanto tempo por dia você pratica alguma atividade física (brincadeiras do tipo pega-pega, queimada, jogar futebol, andar de bicicleta e outras)? Quantas horas você dorme por dia? Quantas horas você estuda em casa por dia? a) Qual o tempo médio que você dedica a cada uma dessas atividades? b) Reproduza as informações encontradas no item anterior em um único gráfico de barras e compare o tempo gasto em cada atividade. c) Troque o seu gráfico com o de um colega e analise as informações organizadas por ele. Nesses 5 dias, quanto tempo seu colega dedicou para as atividades físicas? Ficou mais tempo estudando ou se dedicando as atividades físicas? 2. O gráfico ao lado mostra a quantidade de bebês que nasceram na Maternidade da Cidade, na primeira semana do mês de junho de 2015. Responda no caderno.
Número de nascimentos na primeira semana do mês de junho de 2015 Editoria de arte
calculou:
A Estatística utiliza várias medidas para saber as características de um grupo de dados observados em determinado estudo. Algumas dessas medidas são as de tendência central, das quais a média aritmética é a mais conhecida e utilizada no cotidiano:
Número de crianças 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0
a) Quantas crianças nasceram na Maternidade da Cidade nessa semana? b) Em qual dia da semana nasceram mais crianças? Quantas foram? c) Na quarta-feira nasceram quantas crianças? d) Qual é a média do número de crianças nascidas nessa semana?
18 12 10
9
8
6
ira ira ira ira ira do ingo Dias da ba -fe a-fe a-fe a-fe a-fe Sá Dom nd Terç uarta uint Sext semana gu Q Q Se Fonte: Maternidade da Cidade.
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Educação financeira afeta Educação financeira jovens comportamento dos
Diário do Grande ABC Publicado em 09 de maio
de 2011
Educação Fi“Avaliação de Impacto do Projeto Banco Mundial durante o workshop financeira nas escolas Pesquisa divulgada hoje pelo revela que o ensino de educação realizado no Rio de Janeiro, to dos jovens brasileiros. nanceira nas Escolas em 2010”, sobre a economia e o comportamen afeta positivamente o conhecimento escodo Ensino Médio de 900 [...] ouviu quase 27 mil estudantes da que estudo financeira um de de educação As conclusões vieram fase do programa piloto participantes da primeira a é uma das princilas públicas do Brasil, todos uma iniciativa da qual a BM&FBovesp de Educação Financeira) — Enef (Estratégia Nacional e Tocantins, Distrito Federal pais patrocinadoras. Paulo, Rio de Janeiro, Ceará, e seus pais resescolas dos estados de São do ano passado, os jovens A pesquisa, que envolveu agosto em primeira, Na de conhecimento em duas fases. Minas Gerais, foi realizada a fim de mensurar a percepção com cerca de 150 perguntas dos entrevistados costumam ponderam a um questionário por exemplo, que 63,1% dinheiro. Ficou constatado, lanches (37,1%), alimentação e atitudes em relação ao seguido por: lazer (45,7%), roupas, nede 61% compra a apenas que com direcionar seus recursos o levantamento informou Ainda na esfera do consumo, semelhantes antes (23,4%) e transporte (18,8%). pesquisam modelos ou marcas e 35% dos estudantes não costumam guardar dinheiro gociam a forma de pagamento, avaliados: somente 15,7% poupança também foram de comprar. Os hábitos de -dos-jovens.aspx>. para projetos futuros. inanceira-afeta-comportamento m.br/News/5884739/educacao-f
Fonte: <www.dgabc.co
Acesso em: 13 mar. 2015.
sobre porcentagens, nos seus conhecimentos da notícia e com base De acordo com os trechos caderno. responda às questões no obtemos um número a cada categoria de gasto, percentuais referentes 1. Adicionando as taxas isso acontece? maior que 100%. Por que seu dinheiro em rouque investem parte de futuros, o que você percentual de estudantes dinheiro para projetos 2. Comparando a taxa que costumam guardar pas com a de estudantes pode concluir? a forma de mente não negociam s, quantos aproximada pesquisado estudantes mil 3. Dos 27 pagamento? s antes de modelos ou marcas semelhante estudantes não pesquisam 4. Aproximadamente, quantos comprar? ? pagamento a forma de de pesquisar preços e negociar 5. Qual é a importância
285
4
Educação financeira Com o objetivo de desenvolver reflexões sobre atitudes como hábitos conscientes de consumo, a seção trata tópicos como controle de gastos, economia etc.
Equações equivalentes
A primeira referência a equações de que se tem notícia consta no papiro de Rhind, um dos documentos egípcios mais antigos que tratam da Matemática. Os egípcios não utilizavam a notação algébrica atual, e os métodos de solução de uma equação eram complexos e cansativos.
Saiba que... Autoria desconhecida. c.1650 a.C. Museu Britânico, Londres. Foto: British Museum/NYT/Latinstock
Veja as potências que Thiago
3
2 Os sinais de rádio
voltas em torno da Terra por dia e qualquer ponto do planeta é coberto por, pelo menos, 4 satélites 24 horas por dia.
Sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global. Desenvolvido e controlado pelo governo dos Estados Unidos.
Propriedades da potên
Explorando
3
1 Cada satélite dá duas
GPS
Latitude
Aberturas de Unidade As páginas de abertura introduzem o trabalho que será desenvolvido em cada Unidade. Nelas, você é convidado a observar os elementos da imagem e relacioná-los com seus conhecimentos sobre o tema ou a contextos que serão articulados pelas questões.
O papiro é um dos mais antigos antecessores do papel, feito com base na planta de mesmo nome. Há notícias de que os egípcios desenvolveram a técnica do papiro em cerca de 2200 a.C.
Fragmento do papiro de Rhind.
Os gregos resolviam equações usando a Geometria. Na obra Os elementos, de Euclides de Alexandria, encontramos soluções geométricas de equações. Foram os árabes que, cultivando a matemática dos gregos, promoveram um acentuado progresso na resolução de equações. No estudo dos árabes, destaca-se o trabalho de al-Khowarizmi (século IX), que resolveu e discutiu equações de vários tipos. Atualmente as equações são usadas, entre outras coisas, para determinar o lucro de uma empresa, para calcular a taxa de uma aplicação financeira, para fazer a previsão do tempo etc. Saiba que... Euclides de Alexandria viveu por volta de 300 a.C. e participou da Escola de Alexandria. Escreveu vários tratados sobre ótica, astronomia, música e mecânica. Euclides é mais conhecido por ter sistematizado o conhecimento em Geometria de sua época, que ficou registrado em sua obra Os elementos, que exerceu grande influência no desenvolvimento e no ensino da Matemática por mais de 1 500 anos.
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Euclides, manuseando um compasso, no detalhe do afresco Escola de Atenas.
Rafael Sanzio.1509. Afresco 1000 cm 1200 cm. Stanza della Segnatura. Museus do Vaticano, Itália
Saiba que... Traz informações complementares de maneira acessível.
Photodisc/Getty Images
Para quem quer mais
Disquete
densidade demogrĂĄfica
de dupla camada). o armazenaque veio revolucionar Contudo, o dispositivo chamado de meo pen drive, tambĂŠm mento de arquivos foi dispositivo, poos diferenciais do novo mĂłria USB Flash. Dentre inicialde armazenamento, que dem-se destacar: a capacidade e hĂĄ modelos com capacidade mente era de 8 MB (atualment e de manuseio , transporte facilidade de maior de 256 GB), a cuidado, pode e a durabilidade (se bem transferĂŞncia de dados durar atĂŠ dez anos). r/
Para quem quer mais Nesta seção você encontra informaçþes complementares relacionadas ao conteúdo estudado.
CD-ROM Garo
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Glow
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Pen Drive pågina Todos os dispositivos desta não estão apresentados em si. proporção de tamanho entre
<www.bibliotecavirtual.sp.gov.b p>. Informaçþes obtidas em: especial/201101-retrospectiva.ph Acesso em: 12 mar. 2015.
?
a capacis usada para especificar byte de quantidade de informaçþe O byte Ê uma unidade e discos, entre outros. Um res, tamanhos de arquivos dade de memórias de computado equivale a 8 bits. byte: Veja alguns múltiplos do ou 103 bytes; amente igual a 1 000 bytes 6 1 quilobyte (KB) Ê aproximad bytes ou 10 bytes; amente igual a 1 000 000 9 1 megabyte (MB) Ê aproximad 000 bytes ou 10 bytes. amente igual a 1 000 000 1 gigabyte (GB) Ê aproximad
123 MB. gravar dados que ocupava 700 MB foi usado para de base 10. 1. Um CD-ROM com capacidade e bit, utilizando potĂŞncias valores em quilobyte, byte Escreva, no caderno, esses
nĂşmero de habitantes ĂĄrea da regiĂŁo ocupada
Considere a seguinte situação: 1 O estado do Tocantins, situado na região Norte e criado em 5 de outubro de 1988, ocupa uma årea de 277 621 km2. De acordo com o Censo 2010, Tocantins tinha uma população de 1 383 445 habitantes. Qual era, então, a densidade demogråfica aproximada desse estado nesse ano?
Hemera
que os disquetes. es de surgiu o DVD com capacidad Depois do CD-ROM (DVD uma camada) a 8,5 gigabytes 4,7 gigabytes (DVD de
VocĂŞ sabe o que ĂŠ o byte
Densidade demogråfica O cålculo da densidade demogråfica tambÊm Ê uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa o número de habitantes por quilômetro quadrado de uma região. Assim, densidade demogråfica Ê a razão entre o número de habitantes e a årea da região ocupada, ou seja:
Tocantins: localização Sonia Vaz
Do disquete ao pen drive
usĂĄvamos core inĂcio dos anos 2000, No fim dos anos 1990 de compupara armazenar arquivos riqueiramente os disquetes aqueles disquea todos os lugares. Eram tadores e transportĂĄ-los de plĂĄstico e revestidos por uma capinha tes de 3,5 polegadas, capacidade de MB. AlĂŠm da pequena com capacidade de 1,44 alguns inhavia , dispositivos removĂveis armazenamento desses como a desmagnetização, uso, seu ao s os convenientes relacionado de os arquivos neles armazenad a quebra e a grande facilidade o CD-ROM loDevido a essas limitaçþes, serem â&#x20AC;&#x153;corrompidosâ&#x20AC;?. vezes mais dados 500 quase do go entrou em cena, armazenan
50°O
MARANHĂ&#x192;O
PARĂ
PIAUĂ?
Palmas
10°S
TOCANTINS MATO GROSSO BAHIA 0
Fonte: IBGE. Atlas geogrĂĄfico escolar. 6. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2012. p. 90.
160
GOIĂ S
De acordo com os dados apresentados, temos: 1383 445 hab. ď&#x20AC;ť 4,9 hab. / km2 277 621km2
densidade demogrĂĄfica =
Logo, a densidade demogrĂĄfica do estado de Tocantins era de 4,9 hab./km2, aproximadamente. Descubra mais Sinopse do Censo DemogrĂĄfico 2010 A cada 10 anos, o IBGE faz o Censo DemogrĂĄfico ou Recenseamento DemogrĂĄfico, que ĂŠ uma pesquisa realizada para reunir informaçþes sobre a população brasileira. Essas informaçþes sĂŁo importantes para que o governo possa criar polĂticas pĂşblicas mais eficientes para atender Ă s necessidades da sociedade. O primeiro Censo brasileiro ocorreu no ano de 1872, mas a ideia de recensear a população para, por meio de uma pesquisa, obter informaçþes sobre a sociedade nĂŁo ĂŠ nova, ao contrĂĄrio, os romanos jĂĄ faziam censos sĂŠculos antes de Cristo. O prĂłximo Censo DemogrĂĄfico no Brasil serĂĄ no ano 2020, quando se atualizarĂŁo todos os dados sobre a população brasileira. O Ăşltimo Censo DemogrĂĄfico realizado pelo IBGE foi em 2010 e suas informaçþes compiladas jĂĄ estĂŁo disponĂveis em: <http://ftd.li/o5bmij>. Acesso em: 11 mar. 2015. Mais informaçþes sobre a densidade demogrĂĄfica brasileira, de acordo com o Censo DemogrĂĄfico 2010, estĂŁo disponĂveis em: <http://ftd.li/jmakgg>. Acesso em: 11 mar. 2015.
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232
Descubra mais Apresenta indicaçþes de livros e sites que propiciam o enriquecimento e aprofundam o conteúdo em questão.
Desenho GeomĂŠtrico
Desenho GeomÊtrico A seção trabalha algumas construçþes, demonstraçþes e propriedades de figuras geomÊtricas.
1. Com uma abertura qualquer do compasso e com a ponta seca dele no ponto A, trace dois arcos que cruzem com a reta r, um Ă esquerda do ponto A (ponto 1) e um Ă direita do ponto A (ponto 2), mantendo a mesma abertura para os dois pontos.
2. Com uma abertura qualquer do compasso (que deve ser maior que a metade do segmento de reta delimitado pelos pontos 1 e 2) e com a ponta seca dele no ponto 1, trace um novo arco acima ou abaixo do ponto A. Repita o procedimento, para o ponto 2, usando a mesma abertura do compasso, de modo que os dois novos arcos se cruzem e formem o ponto 3.
3. Com uma rĂŠgua, trace uma reta que passe pelos pontos A e 3. Essa reta serĂĄ perpendicular Ă reta r.
3
3 r
r 1
A
2
1
r 1
2
A
2
A
Construindo um quadrado com rĂŠgua e compasso
1. Sobre uma reta r qualquer, marque o segmento AB, cuja medida ĂŠ a.
2. Por A e por B, trace perpendiculares ao segmento AB.
Ilustraçþes: Editoria de arte. Compasso: Alex Argozino
Conhecendo apenas a medida do lado, ĂŠ possĂvel construir um quadrado usando rĂŠgua e compasso. Observe o procedimento. a Esta ĂŠ a medida do lado do quadrado:
u Retomando o que aprende
ente cheio de 7. Um tanque estå completamlitros de ågua, 68 ågua. Deixando escoar com a terça parte de o tanque fica ainda Qual Ê a capacidade sua capacidade total. b) 6
a) 7
A
a
B
A
1
a
5
B
x 4
ĂŠ â&#x20AC;&#x153;mĂĄgicoâ&#x20AC;?, pois a soma 9. O quadrado abaixo de cada coluna e de dos termos de cada linha, valor. Nessas concada diagonal tem o mesmo
4
2 2 diçþes, x y vale:
a dos nĂşmeros expressos
3y 5
2y
x 2
e) 10
d) 8
to metros de comprimen 6. Uma tĂĄbua com 5,85 A primeira delas foi dividida em trĂŞs partes. to, enquanto a setem 1,80 m de comprimen comprimento da tergunda tem o dobro do
213
2 x 5
2x
2(x 6)
2x
x
Qual ĂŠ o nĂşmero x? c) 7 b) 6 a) 5
e) 10 jogos.
c) 20 jogos. d) 18 jogos.
a) 30 jogos. b) 24 jogos.
0,4) 2(1 0,4x) x 4(0,1x ĂŠ igual a: e) 3,6
O valor de x, nessa equação, c) 1,8 a) 18 d) 1,8 b) 18
r 2
naturais:
equação:
5. A mĂŠdia aritmĂŠtica seguir ĂŠ 12,5.
d) 106 litros. e) 108 litros.
uma equipe venceu 8. Em um torneio de futebol, 1 dos empatou 3 3 dos jogos que disputou, 5 2. Essas informaçþes jogos e perdeu apenas venceu: nos mostram que a equipe
ĂŠ 116. O produto A soma desses trĂŞs nĂşmeros desses trĂŞs nĂşmeros ĂŠ: e) 51 186 c) 50 156 a) 50 176 d) 51 176 b) 50 166 no quadro de giz esta 4. O professor escreveu
6
r
3x 5 2x 9 8 ĂŠ, 3 2
tambÊm, raiz da equação: d) 3x 15 a) 3x 15 e) 3x 9 b) 3x 27 c) 3x 9 3. São dados três números x 2x
desse tanque? a) 100 litros. b) 102 litros. c) 104 litros.
e) 3
d) 4
c) 5
2. A raiz da equação
(x 4) 3
o comprimento da ceira. Qual ĂŠ, em metros, segunda parte da tĂĄbua? e) 4,05 m c) 2,80 m a) 1,35 m d) 3,20 m b) 2,70 m
no caderno. Responda Ă s questĂľes de estacionamento. 1. AnĂsio pagou R$ 21,00 ? dele ficou estacionado Quantas horas o carro
Ilustraçþes: Estúdio MW
Construindo uma reta perpendicular com rĂŠgua e compasso Conhecendo apenas um ponto qualquer pertencente a uma reta (ponto A, por exemplo), ĂŠ possĂvel traçar uma reta perpendicular Ă primeira, passando pelo ponto, usando rĂŠgua e compasso. Observe o procedimento:
a) 1
c) 5
b) 1
y
Retomando o que aprendeu Esta seção visa sistematizar os temas trabalhados por meio de atividades que integram os conteúdos estudados na Unidade.
8 d) 9
e) 13
154
10. Simplifique a expressĂŁo
3 10 . 21 20
destas divisþes exatas: 11. Calcule os resultados e) ( 0,66) ( 1,1) a) ( 4) ( 0,5) f) ( 60,8) ( 4) b) ( 2,1) ( 2,8) g) ( 2,88) ( 0,48) c) ( 7,31) ( 1,7) h) ( 9) ( 2,5) d) ( 0,54) ( 0,36) núo número ( 15) pelo 12. Quando dividimos o número x. Calcule: obtemos ( 12,5), mero b) a metade de x a) o triplo de x a produção industrial 13.Em setembro de 2010, queda de 2,7% em de uma região teve uma A queda no mês de relação ao mês de agosto. foi exatamenoutubro em relação a setembro Qual foi, em %, te a metade desse número. essa queda? 14. Calcule o valor da expressão forma: 2 ( 0,8) ( 0,5), na b) fracionåria. a) decimal; A. 15. Calcule o valor do número 9 ( 1,8) A ( 0,4) ( 0,02)
expressĂľes numĂŠricas: 16. Determine o valor das  5  4  8 ¡ a)  ďŁ 5  ( 2) ďŁ 4  ďŁ 5 ( 0,18) ( 1,2) b) ( 1,44) ( 2,4)  1  8 c)  ( 4) 6 ďŁ 4  ďŁ 5 ( 0,25) ( 0,5) d) ( 5,6) ( 2,8) 1  3  4   3     2 e)  ( 2) ďŁ 3  ďŁ 8  ďŁ 4  ďŁ 2  ďŁ 3 sua compra semanal. 17. Bernadete estĂĄ fazendo compra hĂĄ um iogurte Entre os diversos itens de . Observando de frutas que ela toma diariamente de validade, e datas embalagens as preços, os opçþes: ela encontrou as seguintes Embalagem
P (6 unidades) M (8 unidades) G (10 unidades)
Preço da embalagem
Validade
R$ 5,94
13/fev.
R$ 8,80
15/fev.
R$ 10,50
16/fev.
esteja comprando no Supondo que Bernadete jå tenha tomado seu dia 3 de fevereiro, e que qual opção de embalaiogurte diårio, calcule isso, considere que ela gem Ê a melhor. Para atÊ a próxima compra precisarå de 7 iogurtes ser consumidos dene que os alimentos devem tro do prazo de validade.
Desafios Responda do que sobra ele paga da casa. Com a metade 3 salårio para pagar a prestação 1. Marcos gasta 7 do Qual o salårio de Marcos? ainda fica com R$ 276,00. a prestação do carro e papelaria. das fotocópias em uma 2. (Saresp) Veja os preços Cópia duas Eu tinha R$ 10,00 e pedi simples uma de cópias coloridas R$ 0,15 foto. Com o dinheiro Colorida restante, quantas cópias simples R$ 3,60 poderei pagar? a) 1,8 b) 6 c) 8 d) 18
EstĂşdio MW
Ă s questĂľes no caderno.
Desafios Esta seção apresenta situaçþes desafiadoras que podem ser resolvidas individualmente ou em grupo e que demandam diversas estratĂŠgias de resolução, como lĂłgica, raciocĂnio e cĂĄlculo mental, em busca de uma solução.
94
b) negativo em 83 reais. c) positivo em 120 reais. d) negativo em 150 reais.
15. SĂŁo dados os nĂşmeros inteiros: x ( 3)3 (22)3 e y ( 2)3 ( 3)2 ( 5)0 ( 2)4. O produto x y ĂŠ igual a: a) 74 b) 74 c) 37 d) 37
12. Dada a expressĂŁo a3 3 a2 x2, quando a 10 e x 2, o valor numĂŠrico da expressĂŁo ĂŠ: a) 150 c) 100 b) 100 d) 200
16. (UFJF-MG) Qual o valor da expressĂŁo: {( 2)2 [( 2)2 3 ( 3)
13. Considere a expressĂŁo: ( 10)3 9 ( 10)2 ( 2)2 O nĂşmero que representa a metade do valor dessa expressĂŁo ĂŠ: a) 200 b) 100 c) 100 d) 1 100
17. Quando a 9, b 2 e c 10, o valor numĂŠrico da expressĂŁo a3 (b c)3 ĂŠ: a) 217 c) 1 241 e) 729 b) 217 d) 1 241
14. SĂŁo dados os nĂşmeros inteiros:
18. (Fuvest-SP) O menor nĂşmero inteiro positivo que devemos adicionar a 987 para que a soma seja o quadrado de um nĂşmero inteiro positivo ĂŠ: a) 37 b) 36 c) 35 d) 34 e) 23
A ( 2)3 ( 8) : ( 2) e B ( 2) ( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2).
O valor de A B ĂŠ: a) 6 b) 6 c) 2
d) 4
49 ]:
: [ 256 : ( 4)]} : ( 3)?
e) 4
Um novo olhar Nesta Unidade, estudamos o conjunto dos números inteiros. Esse assunto, a partir de agora, serå abordado e utilizado em quase todos os conceitos matemåticos a serem estudados. Os tópicos abordados nesta Unidade foram: números negativos e suas aplicaçþes como, por exemplo, medição e registro climåtico de temperaturas, saldo bancårio etc.; estrutura e propriedades dos conjuntos dos números inteiros; operaçþes com números inteiros, incluindo a potenciação e a raiz quadrada. Considerando a importância do conjunto dos números inteiros, sugerimos a você que faça um fichamento dos assuntos abordados nesta Unidade. Esse fichamento poderå conter exemplos das propriedades estudadas e de cada operação, bem como lembretes que você utilizarå em seus estudos. Vamos retomar o que estudamos e refletir sobre as aprendizagens que tivemos nesta Unidade. Responda no caderno: Que conjunto numÊrico estå contido no conjunto dos números inteiros? Como podemos utilizar o conceito de módulo na comparação de números inteiros? Quando uma raiz quadrada tem resultado negativo? 79
Projeto
Um novo olhar Ă&#x2030; o momento de vocĂŞ refletir sobre os conhecimentos que adquiriu ao longo da Unidade e analisar sua produção e participação nas propostas de trabalho, ampliando seu comprometimento com sua aprendizagem.
Investigando revestimentos
Geometria por todo lado
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John Kasawa/Shutterstock/Glow Images
Photodisc/Getty Images
LluĂs Real/Age Fotostock/Easypix
Nesta etapa de seus estudos, vocĂŞ observou mais detalhadamente ângulos, linhas e algumas formas geomĂŠtricas. Ă&#x20AC; medida que aprende novos conteĂşdos, vocĂŞ vai tendo uma nova visĂŁo do espaço ao seu redor e começa a reconhecer alguns dos conceitos estudados em vĂĄrios ambientes. VocĂŞ pode, por exemplo, reconhecer a forma geomĂŠtrica das faces dos revestimentos que observa no dia a dia, como as pedras de um assoalho, os azulejos de uma cozinha, as pastilhas de uma parede, o forro do teto ou o lambri (revestimento decorativo que cobre a parede atĂŠ certa altura).
Projeto Para ser desenvolvido em grupo, o projeto ĂŠ interdisciplinar e convida a colocar em prĂĄtica o que vocĂŞ aprendeu ao longo do ano.
RESPOSTAS
1. a) 8 b) 16 c) 32 d) 64; Resposta pessoal. ExercĂcios p. 14
2 b) 34 3 10
5. 10 6. 243 7. a) 252 b) 756
g) 225
8. a) 4 9. 4 10. a) 400 b) 8 000
h) 1100 d) (1,2)4 2 2. a) 2 3 2 3 2 3 2 3 b) 0,8 3 0,8 3 0,8 1 1 1 1 Ă&#x2014; Ă&#x2014; Ă&#x2014; c) 4 4 4 4 10 3 10 d) 10 3 10 3 10 3 10 3 e) 2,8 3 2,8 f ) 0,7 3 0,7 3 0,7 3. a) 52 4. a) 125 b) 100 000 c) 128 d) 81
b) 23 g) 3,24 h) 0,064 8 i) 27 j) 6,25
ExercĂcios p. 19 1. a) 98 b) 206
Explorando p. 21 D: 25 1. a) A: 36; B: 24; C: 64; b) A: 36; C: 64; D: 25
b) 25%
11
d) 830 3
e) (0,7)
294
f ) (2,5)20 g) (1,9)2  1 h)   ďŁ2 5  2 i)   ďŁ5
c) 102
b) 0,064
Brasil real p. 20 1. a) De Norte a Sul. 3 3 103 m. b) 4 395 3 10 m e 4 319 c) Resposta em aberto.
1 16 l) 1
12. 3
287
c) 3
Desafio p. 19 4 1. a) 4² ou 2 . b) 3² c) 2² d) 3²
Explorando p. 15 4 5 3 32 = 36 1. a) 22 3 2 = 2 ; 3 3 3 2 5 2 3 b) 25 ; 2 = 2 ; 3 ; 3 = 3 3 c) (8)2 = 64; (4) =2 64; 81 3 2 = 26 4 2 2 6 ) d) (23) 5 2 ; (3 ) = 3 ; (2 18 Para quem quer mais p. 8 106 bytes; 1. 7 3 10 bytes; 123 3 103 quilobytes; 7 3 105 quilobytes; 123 3 6 bits. 8 56 3 10 bits; 984 3 10
Este projeto vai ajudar você a conhecer mais sobre mosaicos e irå guiå-lo na construção de um. Primeiro, você e seu grupo fazem uma pesquisa de campo, para observar os diferentes tipos de revestimentos e os locais onde são usados. Em seguida, leem um texto para ampliar os conhecimentos sobre o assunto. Depois, utilizando os conhecimentos adquiridos, vocês criam um mosaico para piso, parede ou teto. No fim, a turma pode organizar uma exposição na escola.
4
c) (1,6)6 3 (2,4) 5 5  1  1 d)   Ă&#x2014; ďŁŹďŁ 3  ďŁ2
4 9 106; miria â&#x2020;&#x201D; 10 ; 11. Giga â&#x2020;&#x201D; 10 ; mega â&#x2020;&#x201D; 2 1 3 deca â&#x2020;&#x201D; 10 . quilo â&#x2020;&#x201D; 10 ; hecto â&#x2020;&#x201D; 10 ;
k)
e) 121 f) 1 5. 169 6. 512 cubinhos. 7. Sim. 8. 0,125 9. 0,99 10. a) 0,25 11. a) a , b b) a = b
4
4. a) (0,6) 3 (1,1) 4
e) 910 f ) (1,1)20
1. a) 63 b) (0,5)5 2  3  c)   ďŁ 10 
13. 6 e 10. 14. Alternativa b. 15. O valor de B ĂŠ 625. 16. Alternativa e. 17. Alternativa c.
f ) 221 g) 225 h) 28 i) 220
2. a) 220 b) 22 c) 218 d) 26 e) 226 2 3. x5 5 y
Unidade 1 PotĂŞncias e raĂzes Explorando p. 12
ExercĂcios p. 24 1. a) Sim; sim. b) NĂŁo; nĂŁo. e) NĂŁo ĂŠ. 2. a) Ă&#x2030;. f) Ă&#x2030;. b) NĂŁo ĂŠ. g) NĂŁo ĂŠ. c) Ă&#x2030;. h) Ă&#x2030;. d) Ă&#x2030;. 3. Sim. represente 4. Qualquer algarismo que um nĂşmero Ămpar. 5 d) 5. a) 7 7 e) 0,8 b) 9 1 f ) 0,6 c) 4 c) 0,5 6. a) 0,03 d) 0,09 b) 0,04 7 7. 10 11 9. 1 120 8. 13 d) 16 10. a) 22 e) 42 b) 27 f ) 48 c) 26 11. Alternativa d. 12. 7 nĂşmeros.
18. a) 2,2 b) 2,7 c) 2,6 19. Alternativa a. 20. Alternativa d. Desafio p. 25 1. a) 200
d) 1,6 e) 0,42 f ) 4,8
b) 841
p. 26 Tratando a informação BĂĄsica em 2013; B: 1. a) A: matrĂculas na Educação e na EJA em matrĂculas na Educação Infantil na EJA entre 2003 2012 e 2013; C: matrĂculas e 2013. grĂĄfico de barras e b) A: grĂĄfico de setores; B:
C: grĂĄfico de linhas. Especial e c) Ensino Fundamental; Educação Educação profissional. aumentou na d) O nĂşmero de matrĂculas na EJA. Educação Infantil e diminuiu foi crescendo atĂŠ e) Diminuiu de 2003 a 2004, 2007. 2006 e diminuiu a partir de p. 27 Retomando o que aprendeu Alternativa e. 5. c. 1. Alternativa 6. Alternativa d. 2. Alternativa b. 7. Alternativa c. 3. Alternativa a. 4. Alternativa d. Unidade 2 inteiros O conjunto dos nĂşmeros Explorando p. 30
e CearĂĄ. 1. a) Corinthians, Internacional b) Figueirense, Bahia e AmĂŠrica-MG. indicados com o c) Os saldos positivos foram o sinal 2. sinal 1, e os negativos, com d) 212 ExercĂcios p. 34 1. a) 125 b) 215 c) 22 500 d) 210
e) 11 600 f ) 14 g) 25 h) 2600
2. 16 962 m 3. 2484 4. a) O zero. 16, 17, b) 11, 12, 13, 14, 15, 18, 19, 110 c) 21, 22, 23, 24 d) Resposta pessoal. 5. 2400 m; negativos. 6. a) 115 400 m b) 2609 m c) 21 700 m
Respostas No final do livro estĂŁo todas as respostas das atividades propostas.
Sumário 1
POTÊNCIAS E RAÍZES ...............................................................10
1. Potência de um número racional ........................................................... 12 Descobrindo a potência de um número racional ...................................................... 12 2. Propriedades da potência............................................. 15 Explorando a calculadora ............................................... 15
Brasil real ....................................................................... 44 5. Adição de números inteiros.......................................... 45 Adição de três ou mais números inteiros ........................ 49 Propriedades da adição ................................................. 50 Notação simplificada de uma adição de números inteiros.......................................................................... 51 6. Subtração de números inteiros..................................... 54 Ampliando o conjunto N ............................................... 55
Conhecendo as propriedades da potenciação................. 16
Brasil real ....................................................................... 57
Potências de base dez ................................................... 17
7. Adição algébrica .......................................................... 59
Brasil real ....................................................................... 20
8. Multiplicação de números inteiros .......................................................... 63 Multiplicando com números inteiros .............................. 63 Propriedades da multiplicação ....................................... 65 Expressões numéricas .................................................... 67
3. Números quadrados perfeitos ...................................... 21 O quadrado perfeito.................................................... 21 Como reconhecer se um número é quadrado perfeito .... 22 Raiz quadrada exata de um número racional ................. 22 Tratando a informação Gráficos de linhas, de barras e de setores .......... 26 Retomando o que aprendeu ................................... 27
2
9. Divisão de números inteiros ......................................... 70 Expressões numéricas .................................................... 70 10. Potenciação de números inteiros .......................................................... 72 Propriedades da potenciação em Z ............................... 73 Expressões numéricas .................................................... 73 11. Raiz quadrada exata de números inteiros ..................................................... 75 Expressões numéricas .................................................... 76
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS ............................................................28
1. A ideia de números inteiros ......................................... 30 Entendendo os números negativos ............................... 31
Tratando a informação Tabela de dupla entrada: leitura e interpretação ........... 77 Retomando o que aprendeu ................................... 78
2. O conjunto dos números inteiros .......................................................... 35 A reta numérica .......................................................... 35 3. Módulo de um número inteiro ..................................... 38 Números inteiros opostos ou simétricos ........................ 39 4. Comparação de números inteiros .......................................................... 40
3
O CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS .........................................................80
1. O conjunto dos números racionais ........................................................ 82 Módulo ou valor absoluto de um número racional .......... 83
2. A reta numérica............................................................ 85 Brasil real........................................................................ 87 3. Adição algébrica de números racionais.................................................... 88 Brasil real........................................................................ 90 4. Mais operações com números racionais................................................. 91 Multiplicação de números racionais................................ 91 Divisão de números racionais.......................................... 92 Potenciação de números racionais.................................. 95 Expoente inteiro negativo............................................... 96 Raiz quadrada exata de números racionais...................... 98
4. Equações equivalentes................................................ 120 Como reconhecer se duas ou mais equações são equivalentes................................................................. 121 Como escrever uma equação equivalente a uma equação dada: os princípios de equivalência.......... 121 5. Equações do 1o grau com uma incógnita..................................................... 126 Resolvendo equações do 1o grau com uma incógnita.............................................................. 126 Resolvendo mais equações do 1o grau.......................... 130 6. A linguagem das equações na resolução de problemas.............................................................. 135
5. Média aritmética e média aritmética ponderada.................................................. 101
Brasil real...................................................................... 141
Tratando a informação Analisando gráficos com
7. Aplicação das equações:
números negativos............... 104 Educação financeira................................................... 106 Retomando o que aprendeu .................................. 107
as fórmulas matemáticas............................................ 142 8. Equação do 1o grau com duas incógnitas................................................... 144 Solução de uma equação do 1o grau com duas incógnitas..................................................... 144 9. Sistemas de duas equações do
4
EQUAÇÕES........................................................108
1. Igualdade.................................................................... 110 Propriedades da igualdade........................................... 111 Princípios de equivalência............................................. 111 2. Equações..................................................................... 113 Conhecendo as equações............................................. 113
1o grau com duas incógnitas....................................... 147 Formando um sistema de equações com duas incógnitas.................................................................... 147 Como determinar a solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas..................................................... 148 Brasil real...................................................................... 152
Brasil real...................................................................... 116 3. Conjunto universo e solução de uma equação...................................................................... 117 Como verificar se um número dado é raiz de uma equação............................................................... 119
Tratando a informação Analisando tabelas e gráficos............................. 153 Retomando o que aprendeu .................................. 154
5
INEQUAÇÕES.....................................................156
1. Desigualdade.............................................................. 158 Propriedades das desigualdades................................... 158 Princípios de equivalência............................................. 158 2. Inequação................................................................... 162 3. Inequação do 1o grau com uma incógnita..................................................... 165 Brasil real...................................................................... 167 Retomando o que aprendeu .................................. 168
4. Bissetriz de um ângulo................................................ 185 5. Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso.......................................................... 189 Retas perpendiculares.................................................. 190 Tratando a informação O uso da média................... 192 6. Ângulos complementares e ângulos suplementares............................................ 194 Ângulos complementares............................................. 194 Ângulos suplementares................................................ 195 7. Ângulos opostos pelo vértice................................. 197 Uma propriedade importante dos ângulos o.p.v. ........................................................ 197 Brasil real...................................................................... 199 Retomando o que aprendeu ................................. 200
6
ESTUDO DOS ÂNGULOS..................................................170
1. O ângulo..................................................................... 172 O ângulo e seus elementos........................................... 173 Medida de um ângulo.................................................. 174 Ângulos congruentes.................................................... 176 Ângulo raso, ângulo nulo e ângulo de uma volta.......................................... 177 2. Operações com medidas de ângulos........................... 180 Transformando unidades ............................................. 180 Simplificando os resultados.......................................... 181 Adição com medidas de ângulos................................... 181 Subtração com medidas de ângulos.............................. 182 Multiplicação de um número natural por medidas de ângulos................................................................... 182 Divisão de medidas de ângulos por um número natural não nulo.............................................. 182 3. Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes.................................................. 184
7
ESTUDO DOS TRIÂNGULOS E DOS QUADRILÁTEROS...............................................202
1. Triângulos................................................................... 204 O triângulo e seus elementos........................................ 204 Classificação dos triângulos quanto aos lados............... 204 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos........... 205 Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um triângulo.............................................. 208 2. Quadriláteros.............................................................. 210 Os quadriláteros e seus elementos................................ 210 Paralelogramos............................................................. 210 Trapézios...................................................................... 211 Uma relação entre as medidas dos ângulos internos de um quadrilátero...................... 211 Brasil real...................................................................... 215 Tratando a informação O uso da moda.................... 216 Retomando o que aprendeu .................................. 217
8
RAZÕES E PROPORÇÕES....................................................218
1. Razão.......................................................................... 220 2. Algumas razões especiais........................................... 225 Velocidade média......................................................... 225 Escala.......................................................................... 226 Brasil real...................................................................... 228 Educação financeira................................................... 230 Densidade de um corpo................................................ 231 Densidade demográfica................................................ 232 As razões escritas na forma percentual.......................................................... 234 Representando uma razão na forma percentual.................................... 234 Quantos por cento?...................................................... 235 3. Proporção.................................................................... 237 Entendendo a proporção.............................................. 237 Propriedade fundamental das proporções............................................................. 240
Números inversamente proporcionais........................... 259 Grandezas diretamente proporcionais........................... 262 Grandezas inversamente proporcionais......................... 263 2. Regra de três............................................................... 266 Regra de três simples................................................... 266 Brasil real...................................................................... 269 Regra de três composta................................................ 270 Tratando a informação Interpretando os significados das informações......................... 273 Retomando o que aprendeu .................................. 274
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PORCENTAGEM E PROBABILIDADE..........................................276
1. Porcentagem............................................................... 278 Resolvendo problemas com porcentagem..................... 278 Tratando a informação Possibilidades...................... 281
Brasil real...................................................................... 245
2. Probabilidade.............................................................. 282
Outras propriedades das proporções............................................................. 246
Brasil real...................................................................... 284
Tratando a informação Gráfico de setores................ 250 Retomando o que aprendeu .................................. 252
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GRANDEZAS PROPORCIONAIS...............................................254
1. Números e grandezas direta e inversamente proporcionais.............................................................. 256 Números diretamente proporcionais............................. 257
Educação financeira................................................... 285 Retomando o que aprendeu .................................. 286
Projeto: Investigando revestimentos........................... 287 Respostas......................................................................... 294 Lista de siglas.................................................................. 303 Bibliografia...................................................................... 304
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Segundo a lenda, Sissa, um sábio indiano, inventou o jogo de xadrez para curar o tédio do rei.
Potências e raízes Lendas são narrativas, ligadas à tradição oral, que contam fatos históricos combinados a outros de origem fantástica. Ao lado, apresentamos resumidamente uma lenda de como o jogo de xadrez teria sido inventado.
Marcos Guilherme
UNIDADE
Sissa pediu 1 grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda, 4 pela terceira, 8 pela quarta e assim sucessivamente, até chegar a 64a casa.
Leia a lenda ao lado e responda no caderno às questões a seguir: Sissa faz um pedido que se mostra impossível de ser atendido. Qual foi esse pedido? Quantos grãos Sissa deveria receber? Que estratégias você utilizou para responder ao desafio apresentado na questão anterior? Uma das lendas diz que os matemáticos do rei levaram um grande tempo para calcular a quantidade de grãos que deveria ser paga a Sissa. Hoje existem ferramentas tecnológicas, além da calculadora, que ajudam a realizar esses cálculos com mais facilidade. Você conhece alguma dessas ferramentas tecnológicas?
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Mas, feitos os cálculos, verificou-se que se juntassem todo o trigo do mundo ainda não seria possível coletar a quantia que Sissa pediu como recompensa.
Tendo gostado do jogo, o rei prometeu uma recompensa: daria qualquer coisa que Sissa pedisse.
O rei ficou espantado perante um pedido que lhe pareceu tão humilde e cedeu imediatamente à aparente insignificância deste pedido.
Indicando por Q a soma dos grãos, temos: Q 1 2 4 8 16 ... ou: Q 20 21 22 23 ... 263
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1
Potência de um número racional
Explorando Pegue algumas folhas de papel sulfite e siga as orientações: 1. Dobre uma das folhas ao meio, sucessivamente, por 3 vezes, como mostram as ilustrações. 1a dobra
Ilustrações: Estúdio MW
3a dobra
2a dobra
A seguir, desdobre a folha. Depois responda às questões no caderno. a) Em quantas partes iguais a folha ficou dividida? b) Dobre outra folha de papel sulfite ao meio, sucessivamente, por 4 vezes. Desdobre-a e responda: Em quantas partes a folha ficou dividida? c) Agora dobre ao meio por 5 vezes sucessivas outra folha de papel sulfite. Desdobre a folha e verifique em quantas partes ela ficou dividida. d) Observe os resultados obtidos nos itens anteriores. Você é capaz de dizer em quantas partes uma folha de papel sulfite vai ficar dividida se for dobrada, sucessivamente, por 6 vezes? Explique como você chegou a essas respostas.
Descobrindo a potência de um número racional Ilustrações: Marcos Guilherme
Agora, observe uma folha de papel e as dobras nela feitas.
0 dobra 1 parte 20 5 1
2 dobras 4 partes 2 2 523254 12
1 dobra
3 dobras 8 partes 3 2 52323258
2 partes 21 5 2
4 dobras 16 partes 4 2 5 2 3 2 3 2 3 2 5 16
5 dobras 32 partes 5 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 32 64 partes 6 dobras 6 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 64 128 partes 7 dobras 27 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 128 256 partes 8 dobras 8 2 5 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 5 256 Dado um número racional a e um número natural n, com a 0, a expressão an chama-se potência e representa uma multiplicação de n fatores iguais ao número a. an 5 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 ... 3 a n fatores Essa operação é chamada potenciação. Assim, pela definição:
2
1 = 1 × 1 = 1 3 3 3 9
10 5 10 3 10 3 10 5 1000 3
3 fatores
2 fatores
(0,5)4 5 0,5 3 0,5 3 0,5 3 0,5 5 0,0625
4 fatores
Em uma potenciação, temos os seguintes termos: expoente
25 5 32 potência (resultado da operação) base
Lê-se: dois elevado à quinta é igual a 32. Observações: Dado um número racional a, define-se a1 5 a. 1
• 6 5 6 1
1 1 • 5 9 9
• (1,7)1 5 1,7
Dado um número racional a, com a 0, define-se a0 5 1. • 5 5 1 0
2 • 3
0
5 1
• (2,4)0 5 1 13
Exercícios Responda às questões no caderno. 1. Observe as multiplicações abaixo e escreva cada uma na forma de potência.
5. Considerando o como unidade de medida de superfície, use a potenciação para calcular a área da figura a seguir.
a) 6 3 6 3 6 b) 0,5 3 0,5 3 0,5 3 0,5 3 0,5 c)
3 3 × 10 10
d) 1,2 3 1,2 3 1,2 3 1,2 e) 9 × 9 × 9 × ... × 9 10 fatores
f) 1,1 × 1,1 × 1,1 × ... × 1,1 20 fatores
g) 2 × 2 × 2 × ... × 2
6. Com cubinhos iguais a este , Lucca compôs o cubo abaixo. Use a potenciação para descobrir quantos cubinhos ele usou.
25 fatores
h) 1 × 1 × 1 × ... × 1
2. Escreva na forma de multiplicação as potências a seguir. d) 106 a) 25 b) (0,8)3 1 c) 4
4
e) (2,8)2 f) (0,7)3
3. Cada figura abaixo sugere uma potência. Escreva a potência sugerida. b) a)
Quadrado.
14
8. Considerando que 50% 5 0,5, qual é o número decimal que representa o cubo de 50%?
10. Escreva a expressão (0,5)2 na forma: a) decimal. b) percentual (%).
4. Calcule as potências a seguir. 2 3
3
a) 53
e) 112
i)
b) 105
f) 200
j) (2,5)2
c) 27
g) (1,8)2
1 k) 2
d) 3
h) (0,4)
l) (3,7)
3
7. Verifique se a expressão (10 1 7)2 é diferente da expressão 102 1 72.
9. Sabe-se que o número decimal A representa o dobro de 1,1 e o número decimal B representa o quadrado de 1,1. Qual é o valor de A 2 B?
Cubo.
4
Ilustrações: Editoria de arte
100 fatores
4
0
11. Compare os números a e b usando o sinal 5, ou . a) a 5 23 3 22 e b 5 26 b) a 5 32 3 52 e b 5 (3 3 5)2 12. Sabendo que 10x 5 100 e 100 5 y, calcule o valor de x 1 y.