MANUAL DO PROFESSOR
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Git asimus ut provit imi, consenitis autatus et occulla udiaeceat faceatus dolo modia int que estrum eosantum nuscips aperiorem apiciist ut faccaborem quodiam eribus excea nonsecu llupta nempers pedistotati ullaborat aliqui di ad ent alitat velendias adit que vel iuntist, nieniaerit ut utes qui ratectet porem. Us quidel im ut asint optas sit, sus nimolor saeptatet facius, cumquatesto quis estius id mos arum fuga. Et peruptas as arundem. Fere venissitate porro dit voluptas dipsand ellorepta.
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DESENHO
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TEREZA MARANGONI ELENICE OGASSAWARA
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As técnicas apresentadas são utilizadas em desenho técnico, desenho industrial e arquitetura, tornando a coleção um ótimo incentivo para o despertar da criatividade e o desenvolvimento do raciocínio lógico.
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Cada livro contém tópicos que contam com imagens, exemplos e construções, facilitando o estudo e a compreensão da Geometria.
ISBN 978-85-96-00199-1
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A coleção Desenho Geométrico, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos de forma intuitiva por meio de linguagem direta e acessível.
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SÃO PAULO, 2016
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Coleção Desenho Geométrico Copyright © José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara, 2016. Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Estagiário Vinícius de Oliveira Santos Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Bruno Attili Capa Alexandre Santana de Paula Supervisor de arte Vinicius Fernandes Diagramação Estúdio Arte4 Tratamento de imagens Eziquiel Racheti Coordenadora de ilustrações Márcia Berne Assistentes de arte Dayane Santiago, Gislene Aparecida Benedito, Talita T. Tardone Ilustrações e cartografia Costta Editoração Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Supervisora de preparação e revisão Izabel Cristina Rodrigues Preparação Iraci Miyuki Kishi Revisão Jussara Rodrigues Gomes, Solange Guerra Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Expedito Arantes Supervisora de licenciamento de textos Elaine Bueno Iconografia Rosa André Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Desenho geométrico, volume 1/ José Ruy Giovanni... [et al.]. -- São Paulo : FTD, 2016. Outros autores: José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara ISBN 978-85-96-00199-1 (aluno) ISBN 978-85-96-00200-4 (professor) 1. Desenho geométrico (Ensino fundamental) 2. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni, José Ruy. II. Giovanni Junior, José Ruy. III. Fernandes, Tereza Marangoni. IV. Ogassawara, Elenice Lumico. 15-11404 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Desenho geométrico : Matemática : Ensino fundamental
372.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: central.atendimento@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
APRESENTAÇÃO
Este é o primeiro volume da coleção Desenho Geométrico. Como incentivo ao estudo da Geometria, procuramos expor de modo bem intuitivo a teoria essencial em que se baseia o Desenho Geométrico. Lembramos que o importante nesta área é o despertar para a criatividade e o desenvolvimento do raciocínio. Aos poucos, você dominará várias técnicas das construções geométricas elementares, utilizadas no desenho técnico, no desenho industrial e em qualquer planta ou projeto de arquitetura. Esperamos que este livro seja um bom auxiliar nas atividades que você vai desenvolver em Desenho Geométrico no decorrer do ano letivo. Os autores
Sumário Tópico 1 – Introdução...................................................................................................... 6 Instrumentos de desenho ................................................................................................... 6 Traçado de linhas ................................................................................................................. 9 Demarcação de ângulos ................................................................................................... 10 Letras e algarismos ............................................................................................................ 11 Tópico 2 – Introdução à Geometria ........................................................................... 12 Ponto, reta e plano ............................................................................................................ 12 Representação ................................................................................................................... 13 Figura geométrica plana e figura geométrica não plana .............................................. 15 Tópico 3 – Estudo da reta e de suas partes ............................................................ 17 A reta .................................................................................................................................. 17 Tópico 4 – Polígonos ..................................................................................................... 24 Linhas poligonais ............................................................................................................... 24 Regiões convexas e não convexas ................................................................................... 26 O que são polígonos......................................................................................................... 27 Lados e vértices de um polígono ..................................................................................... 27 Nome dos polígonos ........................................................................................................ 28 Tópico 5 – Medidas de comprimento .......................................................................29 Determinação do metro.................................................................................................... 29 As unidades para medir comprimentos .......................................................................... 30 Usando a régua para medir um segmento ..................................................................... 30 Perímetro ............................................................................................................................ 31 Tópico 6 – Ângulos......................................................................................................... 32 Medida de um ângulo....................................................................................................... 33 Construção de um ângulo com o uso do transferidor ................................................... 34 1. Construir um ângulo de 45 com o uso do transferidor................................................ 34 2. Construir um ângulo de 130 com o uso do transferidor .............................................. 34 Ângulos congruentes ........................................................................................................ 35 Ângulos consecutivos ....................................................................................................... 35 Ângulos adjacentes ........................................................................................................... 36 Retas perpendiculares....................................................................................................... 37 Ângulo reto ........................................................................................................................ 38 Ângulo agudo .................................................................................................................... 39 Ângulo obtuso ................................................................................................................... 39 Ângulos complementares ................................................................................................. 40
1. Construção do complemento de um ângulo................................................................ 40
Ângulos suplementares..................................................................................................... 41 1. Construção do suplemento de um ângulo................................................................... 41
Tópico 7 – Triângulos......................................................................................................43 Classificação dos triângulos quanto aos lados................................................................ 44 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos............................................................ 45 Tópico 8 – Quadriláteros...............................................................................................46 Paralelogramos................................................................................................................... 47 Trapézio............................................................................................................................... 48 Tópico 9 – Circunferência.............................................................................................. 49 Traçando circunferências................................................................................................... 50 Elementos da circunferência............................................................................................. 51 Tópico 10 – Traçado de perpendiculares e paralelas............................................. 53 Traçar perpendiculares....................................................................................................... 53 1. Traçar perpendiculares usando régua e esquadro........................................................ 53 2. Traçar perpendiculares com o par de esquadros.......................................................... 54 Traçar paralelas................................................................................................................... 55 1. Traçar paralelas com o uso de régua e esquadro.......................................................... 55 2. Traçar paralelas com o par de esquadros..................................................................... 56 3. Traçar paralelas conhecendo a distância entre as retas................................................. 57 Tópico 11 – Construções elementares........................................................................58 Construção de segmentos................................................................................................. 58 1. Construir um segmento que tenha a mesma medida de outro segmento.................... 58 2. Construir um segmento de medida igual à soma das medidas de dois segmentos dados.... 59 3. Construir um segmento de medida igual à diferença entre as medidas de dois segmentos dados................................................................................................. 60
Determinar o ponto médio de um segmento................................................................. 61 1. Determinar o ponto médio de um segmento AB dado................................................. 61 Dividir segmentos............................................................................................................... 62 1. Dividir um segmento em dois segmentos congruentes................................................ 62 2. Dividir um segmento em quatro segmentos congruentes............................................ 62 Construir ângulos............................................................................................................... 63 1. Construir um ângulo de medida igual à medida de um ângulo dado........................... 63 2. Construir um ângulo de medida igual à soma das medidas de dois ângulos dados............. 64 3. Construir um ângulo de medida igual à diferença das medidas de dois ângulos dados ..................................................................................................... 64
TÓPICO
1
INTRODUÇÃO
Instrumentos de desenho Em desenho geométrico é indispensável a utilização de material considerado básico para desenvolver hábitos de rigor e precisão. Apresentamos, a seguir, os principais instrumentos de desenho.
Lápis Três tipos de lápis são mais usados em desenho e, dependendo do trabalho que vamos desempenhar, há um tipo mais adequado. São eles: Fotos: Sergio Dotta Jr/The Next
■ Para fazer esboços, sombrear figuras ou dar destaques especiais para traços do desenho, devemos usar o lápis no 1 ou B, que é macio. ■ Para traçados em geral, devemos usar o lápis no 2 ou HB, com grafite de dureza média. ■ Para desenhos geométricos e técnicos, devemos usar o lápis no 3 ou H, que tem grafite com um grau maior de dureza.
Depois de apontar o lápis, você deve afiá-lo com uma pequena lixa, sem se esquecer de limpá-lo com algodão, um pedaço de tecido ou papel.
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Borracha Deve ser macia e de tamanho médio, de preferência de cor branca ou azul.
Régua É um instrumento muito comum, usado para medir e traçar segmentos de retas. É preferível escolher uma régua de plástico transparente, graduada em milímetros e centímetros.
Comece a medir partindo do zero (0) da graduação.
Compasso A ponta-seca e a de grafite devem estar sempre no mesmo nível. É necessário lixar a grafite do compasso obliquamente, deixando a parte lixada para fora, conforme mostra a foto. Fotos: Sergio Dotta Jr/The Next
É um instrumento usado para traçar circunferências e arcos de circunferência, além de transportar medidas.
7
Transferidor É o instrumento usado para construir, medir e transportar ângulos. É formado por três partes: limbo, linha de fé e centro do transferidor.
limbo
limbo
•
• linha de fé
centro
centro
linha de fé
Transferidor de 180 .
Transferidor de 360 . 360
Par de esquadros
o
30
45 60
o
Esquadro escaleno
o
45
Esquadro isósceles
8
o
Fotos: Sergio Dotta Jr/The Next
São muitas as utilidades de um par de esquadros, destacando-se o traçado de linhas paralelas e perpendiculares e a demarcação de ângulos.
Traรงado de linhas Paralelas
ou:
Perpendiculares 2o passo: Fotos: Sergio Dotta Jr/The Next
1o passo:
9
Demarcação de ângulos É possível, com o auxílio dos esquadros, fazer a marcação de alguns ângulos, como veremos a seguir. ■ Ângulos de 30 e de 150
30
o
150
r
■ Ângulos de 45 e de 135
45
o o
135
r
■ Ângulos de 75 e de 105
105
o
o
o
60 r
10
45
o
75
o
■ Ângulos de 60 e de 120
60o
120o
Letras e algarismos As letras e os algarismos do tipo bastão são os mais simples e podem ser traçados à mão livre. Basta seguir a direção e o sentido das flechas que acompanham os respectivos modelos. Seu uso é recomendado nas aulas de desenho.
11
TÓPICO
2
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA
Ponto, reta e plano Observando ao nosso redor, certas ideias formam-se em nossa mente de modo intuitivo. Por exemplo: Sonia Vaz
Brasil: político 50º O
Equador
0°
Manaus
Salvador
BRASÍLIA DF
OCEANO ATLÂNTICO
■■ ■A representação de uma cidade no mapa nos dá a ideia de ponto.
OCEANO PACÍFICO de Trópico
io Capricórn
São Paulo
Porto Alegre
0
605
■■ ■Os trilhos de um trem nos dão a ideia de retas.
12
Chloe7992/Shutterstock.com
Fonte de pesquisa: IBGE. Atlas geográfico escolar. 2025-MAT-1-C02-M001 Rio de Janeiro, 2012.
■■ ■Uma folha de papel nos dá a ideia de plano.
A Geometria elementar baseia-se no estudo desses três entes geométricos intuitivos: ponto, reta e plano.
Representação O ponto, a reta e o plano são designados por símbolos e graficamente assim representados:
A • Ponto A.
r
β Reta r.
Plano β.
Geralmente indicamos: ■■ ■os pontos usando letras maiúsculas do nosso alfabeto. ■■ ■as retas usando letras minúsculas do nosso alfabeto. ■■ ■o s planos usando letras minúsculas do alfabeto grego: a (alfa), (beta), (gama), e assim por diante.
13
Consideramos que: ■■ o plano é um conjunto de infinitos pontos.
α
■■ a reta é um conjunto de infinitos pontos alinhados.
r
Na figura a seguir, temos: r
■■ o ponto A, que pertence à reta r. A
■■ o ponto B, que não pertence à reta r.
B
Indicamos assim: A r e B r.
Na figura:
■■ o ponto P pertence ao plano a.
P
■■ a reta r está contida no plano a.
Indicamos assim: P a e r ⊂ a.
14
r α
Figura geométrica plana e figura geométrica não plana
Podemos desenhar um retângulo nessa folha. Esse retângulo é uma figura geométrica plana, pois tem todos os seus pontos no mesmo plano: a folha de papel.
Fotos: Sergio Dotta Jr/The Next
A foto ao lado mostra-nos uma carteira com uma folha de papel branco cobrindo quase toda a superfície do tampo. A folha de papel, sem considerar suas dimensões, nos dá a ideia de plano.
A figura geométrica que tem todos os seus pontos no mesmo plano é denominada figura geométrica plana.
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Sergio Dotta Jr/The Next
Agora, na foto ao lado há um dado sobre o tampo da mesa. O dado tem a forma de uma figura geométrica não plana, pois nem todos os seus pontos estão situados no mesmo plano, que é o tampo da mesa.
■■ ■Uma maquete nos dá a ideia de uma figura geométrica não plana.
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Sergio Dotta Jr/The Next
■■ ■Este cartaz nos dá a ideia de uma figura geométrica plana.
Prefeitura Municipal de Guapé ©2015 | Departamento de Comunicação
A figura geométrica que não tem todos os seus pontos no mesmo plano é denominada figura geométrica não plana.