MANUAL DO PROFESSOR
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Git asimus ut provit imi, consenitis autatus et occulla udiaeceat faceatus dolo modia int que estrum eosantum nuscips aperiorem apiciist ut faccaborem quodiam eribus excea nonsecu llupta nempers pedistotati ullaborat aliqui di ad ent alitat velendias adit que vel iuntist, nieniaerit ut utes qui ratectet porem. Us quidel im ut asint optas sit, sus nimolor saeptatet facius, cumquatesto quis estius id mos arum fuga. Et peruptas as arundem. Fere venissitate porro dit voluptas dipsand ellorepta.
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4 GIOVANNI JR.
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TEREZA MARANGONI ELENICE OGASSAWARA
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Cada livro contém tópicos que contam com imagens, exemplos e construções, facilitando o estudo e a compreensão da Geometria. As técnicas apresentadas são utilizadas em desenho técnico, desenho industrial e arquitetura, tornando a coleção um ótimo incentivo para o despertar da criatividade e o desenvolvimento do raciocínio lógico.
ISBN 978-85-96-00201-1
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788596 002011
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A coleção Desenho Geométrico, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos de forma intuitiva por meio de linguagem direta e acessível.
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SÃO PAULO, 2016
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Coleção Desenho Geométrico Copyright © José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara, 2016. Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira Estagiário Vinícius de Oliveira Santos Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de arte Daniela Máximo Projeto gráfico Bruno Attili Capa Alexandre Santana de Paula Supervisor de arte Vinicius Fernandes Diagramação Estúdio Arte4 Tratamento de imagens Eziquiel Racheti Coordenadora de ilustrações Márcia Berne Assistentes de arte Dayane Santiago, Gislene Aparecida Benedito, Talita T. Tardone Ilustrações e cartografia Costta Editoração Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Supervisora de preparação e revisão Izabel Cristina Rodrigues Preparação Iraci Miyuki Kishi Revisão Aline Araújo, Desirée Araújo, Jussara R. Gomes, Solange Guerra Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Expedito Arantes Supervisora de licenciamento de textos Elaine Bueno Iconografia Priscila Pavane Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Desenho geométrico volume 2 / José Ruy Giovanni... [et al.]. -- São Paulo : FTD, 2016. Outros autores: José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara ISBN 978-85-96-00201-1 (aluno) ISBN 978-85-96-00202-8 (professor) 1. Desenho geométrico (Ensino fundamental) 2. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni, José Ruy. II. Giovanni Junior, José Ruy. III. Fernandes, Tereza Marangoni. IV. Ogassawara, Elenice Lumico. 15-11405 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Desenho geométrico : Matemática : Ensino fundamental
372.7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática. No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições. As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.
Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: central.atendimento@ftd.com.br
Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375
APRESENTAÇÃO
Este é o segundo volume da coleção Desenho Geométrico. Como incentivo ao estudo da Geometria, procuramos expor de modo bem intuitivo a teoria essencial em que se baseia o Desenho Geométrico. Lembramos que o importante nesta área é o despertar para a criatividade e o desenvolvimento do raciocínio. Aos poucos, você dominará várias técnicas das construções geométricas elementares, utilizadas no desenho técnico, no desenho industrial e em qualquer planta ou projeto de arquitetura. Esperamos que este livro seja um bom auxiliar nas atividades que você vai desenvolver em Desenho Geométrico no decorrer do ano letivo. Os autores
Sumário Tópico 1 – A reta e suas partes: construções fundamentais ................................. 6 Retas concorrentes e retas paralelas ................................................................................. 6 Ponto médio e mediatriz .................................................................................................... 7 Construções ........................................................................................................................ 7 1. Traçar uma perpendicular a uma reta dada que passe por um ponto A dado ................ 7 2. Traçar uma semirreta perpendicular à semirreta dada, num ponto extremo da semirreta, sem prolongá-la ..................................................... 10 3. Traçar um segmento de medida dada, perpendicular a um segmento dado, por uma de suas extremidades, usando o prolongamento .......................................... 11 4. Traçar uma paralela a uma reta dada passando por um ponto dado fora dela ............. 12 5. Traçar uma reta s paralela a uma reta r dada, conhecendo-se a distância entre elas .......... 15 6. Traçar a mediatriz de um segmento dado ................................................................... 16 7. Dividir um segmento dado em duas partes congruentes ............................................ 17 8. Dividir um segmento dado em quatro partes congruentes.......................................... 17 9. Dividir um segmento dado em n partes congruentes .................................................. 18
Tópico 2 – Ângulos: construções fundamentais ..................................................... 21 Definição ............................................................................................................................ 21 Medida de um ângulo e ângulos congruentes............................................................... 22 Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ................................................................. 23 Bissetriz de um ângulo ...................................................................................................... 23 Ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) .............................................................................. 24 Construções ...................................................................................................................... 24 1. Construir um ângulo congruente a um ângulo dado usando o compasso ................... 24 2. Traçar a bissetriz de um ângulo dado .......................................................................... 25 3. Dividir um ângulo dado em quatro partes congruentes............................................... 26 4. Construir um ângulo reto usando o prolongamento .................................................... 27 5. Construir um ângulo reto sem usar o prolongamento ................................................. 28 6. Construir um ângulo de 45 ......................................................................................... 28 7. Construir um ângulo de 22 30 ................................................................................... 29 8. Construir um ângulo de 60 ......................................................................................... 29 9. Construir um ângulo de 30 ......................................................................................... 30 10. Construir um ângulo cuja medida seja igual à soma das medidas de dois ângulos dados ....................................................... 30 11. Construir um ângulo oposto pelo vértice (o.p.v.) a um ângulo dado ............................ 31
Tópico 3 – Triângulos: construções elementares.................................................... 32 Definição e elementos ...................................................................................................... 32 Classificação dos triângulos quanto aos lados ............................................................... 34 Classificação dos triângulos quanto aos ângulos ........................................................... 35
Considerações sobre os triângulos................................................................................... 36 Propriedades....................................................................................................................... 37 Construções....................................................................................................................... 38 1. Construir um triângulo, dadas as medidas dos três lados............................................. 38 2. Construir um triângulo, dadas as medidas de dois lados e do ângulo formado por esses lados............................................................................. 39 3. Construir um triângulo, dadas as medidas de um lado e dos ângulos adjacentes a esse lado............................................................................. 40 4. Construir um triângulo equilátero, dada a medida do lado.......................................... 41 5. Construir um triângulo retângulo, dadas as medidas dos catetos................................. 42 6. Construir um triângulo retângulo, dadas as medidas da hipotenusa e de um dos seus catetos......................................... 44
Tópico 4 – Quadriláteros: construções elementares.............................................. 45 Definição e elementos....................................................................................................... 45 Paralelogramos................................................................................................................... 46 Construções....................................................................................................................... 48 1. Construir um quadrado, dada a medida do lado.......................................................... 48 2. Construir um retângulo, dadas as suas dimensões....................................................... 49 3. Construir um paralelogramo conhecendo as medidas de dois lados consecutivos e do ângulo formado por esses lados..................................... 50 4. Construir um losango conhecendo as medidas do lado e de um de seus ângulos................................................................................................ 52
Tópico 5 – Circunferência: construções elementares............................................. 53 Definição e elementos....................................................................................................... 53 Posições relativas entre uma reta e uma circunferência................................................. 55 Posições relativas entre duas circunferências.................................................................. 56 Construções....................................................................................................................... 58 1. 2. 3. 4.
Traçar uma circunferência que passa por três pontos não alinhados................................58 Determinar o centro de uma circunferência dada......................................................... 59 Traçar a reta tangente à circunferência por um ponto dado na circunferência................. 60 Traçar as tangentes a uma circunferência por um ponto A dado exterior à circunferência...................................................................................... 61 5. Traçar uma circunferência de raio conhecido que seja tangente a uma reta dada no ponto A .................................................................................................................. 62 6. Traçar uma circunferência tangente a duas retas paralelas dadas................................. 63 7. Traçar duas circunferências de raio conhecido tangentes interna e externamente a uma circunferência dada num ponto dessa circunferência.................. 64
TÓPICO
1
A RETA E SUAS PARTES: CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS
Retas concorrentes e retas paralelas
P
©2015 Google/Images Landsat
Quando duas retas (r e s) se cruzam em um ponto são chamadas retas concorrentes. Na figura abaixo, as retas r e s cruzam-se no ponto P.
r
s
Marcação de área de conflito, no cruzamento das avenidas Ipiranga e Rio Branco, São Paulo. Os segmentos em destaque lembram retas concorrentes.
Duas retas concorrentes, r e s, são perpendiculares quando formam quatro ângulos congruentes (todos são ângulos retos). Indica-se assim: r s. s P
r
sinal que indica ângulo reto ©2015 Google/Images Landsat
Quando duas retas, r e s, de um mesmo plano não têm pontos comuns, são chamadas retas paralelas. Indica-se assim: r // s.
r s
6
Marcação de área de conflito, no cruzamento das avenidas Ipiranga e Rio Branco, São Paulo. Os segmentos em destaque lembram retas paralelas.
Ponto médio e mediatriz Um ponto M é denominado ponto médio do segmento AB se M divide AB em dois segmentos, AM e MB, tais que: AM MB. Lê-se: congruente. A
M
II
Traçando pelo ponto médio M uma reta perpendicular ao segmento AB, essa reta recebe o nome de mediatriz do segmento AB. Observe que cada ponto da reta mediatriz está a uma mesma distância das extremidades do segmento AB.
II
B mediatriz I
A
II I
III
I
M
II
B
I III
Construções 1 Traçar uma perpendicular a uma reta dada que passe por um ● ponto A dado
1o caso
O ponto A pertence à reta r dada A
r
1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura qualquer, traçamos arcos que cortam a reta r nos pontos B1 e B2. A B1
B2
r
2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B1 e uma abertura maior que a
metade da medida do segmento B1B2, traçamos dois arcos.
A B1
B2
r
7
3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B2 e a mesma abertura anterior, traçamos arcos que cortam os anteriores nos pontos C1 e C2. C1
A B1
B2
r
C2
4o passo: Traçamos a reta s, que passa pelos pontos C1, A e C2. s C1
A B1
B2
r
C2
s é a reta perpendicular procurada: s r.
2o caso
O ponto A não pertence à reta r dada A
r
1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta a reta r nos pontos B1 e B2. A
B1
8
B2
r
2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B1 e uma abertura maior que a
metade da medida do segmento B1B2 , traçamos um arco. A
B1
B2
r
3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B2 e a mesma abertura anterior, traçamos outro arco que corta o anterior no ponto C. A
B1
B2
r
C
4o passo: Traçamos a reta s, que passa pelos pontos A e C. s A
B1
B2
r
C
s é a reta perpendicular procurada: s r.
9
2 Traçar uma semirreta perpendicular à semirreta dada, num ponto ● extremo da semirreta, sem prolongá-la , traçar a semirreta perpendicular a OA , no ponto O, sem Dada a semirreta OA prolongá-la.
O
A
1o passo: Com a ponta-seca do compasso
2o passo: Com a ponta-seca do compasso
no ponto O e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta a semirreta dada no ponto B.
no ponto B e uma abertura igual à medida do segmento OB, traçamos um arco que corta o anterior no ponto C.
C
O
B
A
O
B
A
3o passo: Com a ponta-seca do compasso
4o passo: Com a ponta-seca do com-
no ponto C e a mesma abertura anterior, traçamos um arco que corta o primeiro arco no ponto D.
passo no ponto D e uma abertura qualquer, traçamos um arco. Depois, com a ponta-seca do compasso no ponto C e a mesma abertura anterior, traçamos outro arco, obtendo o ponto A1. A1
D
C
D O
B
C
A
O
B
A
é a semirreta perpendicular procuOA 1 OA . rada: OA 1
10
3 Traçar um segmento de medida dada, perpendicular a um segmento ● dado, por uma de suas extremidades, usando o prolongamento Dado o segmento AB, traçar um segmento de 3 cm perpendicular a eles, pela extremidade A. A
B
1o passo: Prolongamos o segmento AB
2o passo: Traçamos a perpendicular à reta
para a esquerda (veja a figura abaixo).
que passa por AB no ponto A.
A
A1
B
A
A2
B
3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura igual a 3 cm, traçamos um arco que corta a perpendicular no ponto C.
3 cm
C
A1
A
A2
B
AC é o segmento procurado: AC AB.
11
4 Traçar uma paralela a uma reta dada passando por um ponto dado ● fora dela Dado um ponto A, traçar a reta s paralela à reta r dada passando pelo ponto A. A
r
1o processo 1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e abertura suficiente, traçamos um arco que corta a reta r dada no ponto B.
A
B
r
2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B e a mesma abertura anterior, traçamos um arco que corta a reta r no ponto C.
A
C
12
B
r
3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B e abertura igual à medida de AC, traçamos um arco e obtemos o ponto D.
D
A
C
r
B
4o passo: Traçamos a reta s, que passa pelos pontos A e D.
A
s
D
C
B
r
s é a reta paralela procurada: s // r.
2o processo 1o passo: Marcamos um ponto O qualquer na reta r dada. A
O
r
13
2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto O e abertura igual à medida de OA, traçamos uma semicircunferência que corta a reta dada nos pontos B e C.
A
B
r
C
O
3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto C e abertura igual à medida de AB, traçamos um arco e obtemos o ponto D.
A D
B
r
C
O
4o passo: Traçamos a reta s, que passa pelos pontos A e D.
A
s
D
B
s é a reta paralela procurada: s // r.
14
O
C
r
5 Traçar uma reta s paralela a uma reta r dada, conhecendo-se a ● distância entre elas Dada a reta r, traçar uma reta s, paralela a r, a uma distância d. d
r
1o passo: Marcamos um ponto qualquer
2o passo: Traçamos, do ponto A, a per-
A na reta r.
pendicular à reta r dada.
A
r
A
r
3o passo: Com a ponta-seca do compasso
4o passo: Traçamos, do ponto B, a per-
no ponto A e abertura igual à distância d dada, traçamos um arco que corta a perpendicular no ponto B.
e determinamos a pendicular à reta AB reta s.
B
B
s
d A
r
A
r
s é a reta paralela procurada: s // r.
15
6 Traçar a mediatriz de um segmento dado ● Dado o segmento AB, traçar a mediatriz desse segmento.
A
B
1o passo: Com a ponta-seca do compas-
2o passo: Com a ponta-seca do compasso
so no ponto A e abertura maior que a metade da medida do segmento AB, traçamos dois arcos.
no ponto B e a mesma abertura anterior, traçamos arcos que cortam os arcos anteriores nos pontos C1 e C2. C1
A
B
A
B
C2
3o passo: A reta s, que passa pelos pontos C1 e C2, é a mediatriz do segmento AB dado.
s C1
A
M
C2
s é a mediatriz do segmento AB. M é o ponto médio do segmento AB.
16
B
7 Dividir um segmento dado em duas partes congruentes ● Dado o segmento AB, dividi-lo em duas partes congruentes. A
B
Traçamos a mediatriz do segmento AB.
C1 M A
B
C2
AM e MB são os segmentos procurados: AM MB. O ponto M, intersecção da mediatriz com o segmento, é o ponto médio de AB.
8 Dividir um segmento dado em quatro partes congruentes ● Dado o segmento AB, dividi-lo em quatro partes congruentes.
A
B
C1
1o passo: Traçamos a mediatriz do segmento AB e obtemos os segmentos AM e MB.
M A
B
C2
17
2o passo: Traçamos as mediatrizes dos segmentos AM e MB e obtemos os pontos P e Q.
D1
II
A
P
II
D2
C1
M
C2
E1
II
II
Q
B
E2
AP, PM, MQ e QB são os segmentos procurados: AP PM MQ QB.
9 Dividir um segmento dado em n partes congruentes ● Dividir o segmento AB dado em três partes congruentes.
A
B
1o processo
1o passo: Traçamos, pelo ponto A, uma semirreta qualquer. A
B
2o passo: Usando o compasso com uma abertura qualquer, marcamos sobre a semirreta traçada a partir do ponto A o ponto C, a partir do ponto C com a mesma abertura usada anteriormente marcamos o ponto D e a partir do ponto D com a mesma abertura usada anteriormente, marcamos o ponto E. Obtemos, então, três segmentos de mesma medida.
18
E D C
A
B
3o passo: Unimos o ponto E ao ponto B e obtemos o segmento BE.
E D C
A
B
4o passo: Usando um par de esquadros, traçamos pelos pontos C e D as paralelas ao segmento BE.
E D C
A
II
II
II
B
Obtemos, então, a divisão do segmento dado AB em três partes congruentes.
2o processo qualquer. 1o passo: Pelo ponto A do segmento AB dado, traçamos uma semirreta AC
A
B
C
19
2o passo: Usando um par de esquadros,
3o passo: Usando o compasso com uma
traçamos, pelo ponto B do segmento AB, . a semirreta BD paralela à semirreta AC
abertura qualquer e fixa, marcamos, a partir do ponto A, três pontos conse e, a partir do cutivos na semirreta AC ponto B, com a mesma abertura usada anteriormente, marcamos três pontos consecutivos na semirreta BD.
D
D
G F E
A
B A
B H I J
C
C
4o passo: Unimos os pares de pontos: A e G, H e F, I e E, J e B.
D G F E
A
II
II
II
B
H I J C
Obtemos, então, a divisão do segmento AB em três partes iguais.
20