Geometrico 3

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Git asimus ut provit imi, consenitis autatus et occulla udiaeceat faceatus dolo modia int que estrum eosantum nuscips aperiorem apiciist ut faccaborem quodiam eribus excea nonsecu llupta nempers pedistotati ullaborat aliqui di ad ent alitat velendias adit que vel iuntist, nieniaerit ut utes qui ratectet porem. Us quidel im ut asint optas sit, sus nimolor saeptatet facius, cumquatesto quis estius id mos arum fuga. Et peruptas as arundem. Fere venissitate porro dit voluptas dipsand ellorepta.

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Cada livro contém tópicos que contam com imagens, exemplos e construções, facilitando o estudo e a compreensão da Geometria.

As técnicas apresentadas são utilizadas em desenho técnico, desenho industrial e arquitetura, tornando a coleção um ótimo incentivo para o despertar da criatividade e o desenvolvimento do raciocínio lógico.

ISBN 978-85-96-00203-5

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A coleção Desenho Geométrico, constituída de quatro volumes, aborda os conteúdos de forma intuitiva por meio de linguagem direta e acessível.

11519990

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GIOVANNI GIOVANNI JR. TEREZA MARANGONI ELENICE OGASSAWARA

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SÃO PAULO, 2016

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Coleção Desenho Geométrico Copyright © José Ruy Giovanni, José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara, 2016.

Diretor editorial Lauri Cericato

Gerente editorial Silvana Rossi Júlio

Editor Roberto Henrique Lopes da Silva

Editores assistentes Thais Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaína Bezerra Pereira

Estagiário Vinícius de Oliveira Santos

Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio

Gerente de produção editorial Mariana Milani

Coordenadora de arte Daniela Máximo

Projeto gráfico Bruno Attili

Capa Alexandre Santana de Paula

Supervisor de arte Vinicius Fernandes

Diagramação Estúdio Arte4

Tratamento de imagens Eziquiel Racheti

Coordenadora de ilustrações Márcia Berne

Assistentes de arte Talita T. Tardone, Gislene Aparecida Benedito, Dayane Santiago

Ilustrações e cartografia Costta Editoração

Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin

Supervisora de preparação e revisão Izabel Cristina Rodrigues

Preparação Iraci Miyuki Kishi

Revisão Desirée Araújo, Jussara R. Gomes, Solange Guerra

Coordenador de iconografia e licenciamento de textos Expedito Arantes

Supervisora de licenciamento de textos Elaine Bueno

Iconografia Rosa André

Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Desenho geométrico, volume 3 / José Ruy Giovanni... [et al.]. – São Paulo : FTD, 2016.

Outros autores: José Ruy Giovanni Jr., Tereza Marangoni Fernandes, Elenice Lumico Ogassawara ISBN 978-85-96-00203-5 (aluno) ISBN 978-85-96-00204-2 (professor) 1. Desenho geométrico (Ensino fundamental) 2. Matemática (Ensino fundamental) I. Giovanni, José Ruy. II. Giovanni Junior, José Ruy. III. Fernandes, Tereza Marangoni.

IV. Ogassawara, Elenice Lumico.

15-11406 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Desenho geométrico : Matemática : Ensino fundamental

372.7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 Envidamos nossos melhores esforços para localizar e indicar adequadamente os créditos dos textos e imagens presentes nesta obra didática.

No entanto, colocamo-nos à disposição para avaliação de eventuais irregularidades ou omissões de crédito e consequente correção nas próximas edições.

As imagens e os textos constantes nesta obra que, eventualmente, reproduzam algum tipo de material de publicidade ou propaganda, ou a ele façam alusão, são aplicados para fins didáticos e não representam recomendação ou incentivo ao consumo.

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados à FTD EDUCAÇÃO Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: central.atendimento@ftd.com.br

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

APRESENTAÇÃO

Este é o terceiro volume da coleção Desenho Geométrico.

Como incentivo ao estudo da Geometria, procuramos expor de modo bem intuitivo a teoria essencial em que se baseia o Desenho Geométrico.

Lembramos que o importante nesta área é o despertar para a criatividade e o desenvolvimento do raciocínio.

Aos poucos, você dominará várias técnicas das construções geométricas elementares utilizadas no desenho técnico, no desenho industrial e em qualquer planta ou projeto de arquitetura.

Esperamos que este livro seja um bom auxiliar nas atividades que você vai desenvolver em Desenho Geométrico no decorrer do ano letivo.

Os autores

Sumário Tópico 1 – Construções fundamentais ............................................................................................................ 6 Traçado de perpendiculares ................................................................................................................................ 6 1. Traçar uma perpendicular por um ponto de uma reta dada................................................................. 6 2. Traçar uma perpendicular por um ponto não pertencente a uma reta dada ...................................... 7 3. Traçar uma reta que seja perpendicular a um segmento dado e que passe pela extremidade desse segmento ......................................................................................................... 8 4. Traçar a mediatriz de um segmento dado .............................................................................................. 9 Divisão de um segmento em n partes congruentes .......................................................................................10 1. Dividir um segmento dado em duas partes congruentes ....................................................................10 2. Dividir um segmento dado em quatro partes congruentes..................................................................11 3. Dividir um segmento dado em n partes congruentes .........................................................................12 Traçado de paralelas ..........................................................................................................................................13 1. Traçar uma reta paralela por um ponto não pertencente a uma reta dada ......................................13 2. Traçar uma reta s paralela a uma reta r dada sabendo a distância entre ambas ....................................16 Traçado da bissetriz de um ângulo ...................................................................................................................17 1. Traçar a bissetriz de um ângulo dado quando o vértice é um ponto acessível (vértice conhecido) .............................................................................................17 2. Traçar a bissetriz de um ângulo dado quando o vértice é um ponto inacessível (vértice desconhecido)....................................................................................19 Tópico 2 – Triângulos ...................................................................................................................... 21 Elementos do triângulo .....................................................................................................................................21 Cevianas ..............................................................................................................................................................22 Pontos notáveis nos triângulos..........................................................................................................................23 Construção de triângulos ..................................................................................................................................25 1. Construir um triângulo ABC conhecidas as medidas dos três lados .................................................25 2. Construir um triângulo ABC conhecidas as medidas de dois lados e do ângulo formado por esses lados ..................................................................................................27 3. Construir um triângulo ABC conhecidas as medidas de um lado e dos ângulos adjacentes a esse lado ......................................................................................................28 Construção de cevianas .....................................................................................................................................29 1. Dado um triângulo ABC, traçar a altura relativa a um dos lados........................................................29 2. Dado um triângulo ABC, traçar a mediana relativa a um dos lados ..................................................29 3. Traçar a bissetriz interna relativa a um dos ângulos de um triângulo ................................................30 Determinação de pontos notáveis no triângulo ..............................................................................................30 1. Determinar o ortocentro de um triângulo ............................................................................................30 2. Determinar o baricentro de um triângulo .............................................................................................31 3. Determinar o incentro de um triângulo ................................................................................................31 Construções de triângulos usando cevianas ....................................................................................................32 1. Construir um triângulo isósceles, dadas as medidas da base e da altura .........................................32 2. Construir um triângulo, dadas as medidas de um lado, de um ângulo adjacente e da altura relativa a esse lado...............................................................................................................32 3. Construir um triângulo, dadas as medidas de dois de seus lados e da altura relativa a um deles ...............................................................................................................33 4. Construir um triângulo equilátero, dada a medida da sua altura .......................................................34 5. Construir um triângulo isósceles, dadas as medidas da sua altura e de um ângulo da base ............................................................................................................................35 6. Construir um triângulo, dadas as medidas de dois lados e da mediana relativa a um desses lados ................................................................................................36 Congruência de triângulos ................................................................................................................................37 Tópico 3 – Quadriláteros ................................................................................................................ 39 Paralelogramos ...................................................................................................................................................39 1. Construir um paralelogramo, dadas as medidas de dois lados consecutivos e do ângulo formado por esses lados............................................................................40 2. Construir um paralelogramo, dadas as medidas de um lado, de uma diagonal e de um dos ângulos formados pelos lados...........................................................41 Retângulo ............................................................................................................................................................42 1. Construir um retângulo, conhecidas as suas dimensões.....................................................................42 2. Construir um retângulo, dadas as medidas de um lado e da diagonal .............................................43

Losango................................................................................................................................................................44 1. Construir um losango, dadas as medidas do lado e de um dos ângulos...........................................44 2. Construir um losango, dadas as medidas de duas diagonais.............................................................45 Quadrado.............................................................................................................................................................46 1. Construir um quadrado, dada a medida do lado.................................................................................46 2. Construir um quadrado, dada a medida de sua diagonal...................................................................47 Trapézios..............................................................................................................................................................49 1. Construir um trapézio, dadas as medidas das bases, de um dos lados não paralelos e de um dos ângulos formados pela base maior e pelo lado não paralelo.......................................50 2. Construir um trapézio, dadas as medidas das bases e dos lados não paralelos.....................................51 3. Construir um trapézio, dadas as medidas das bases, da altura e de um dos ângulos......................52 4. Construir um trapézio isósceles, dadas as medidas das bases e da sua altura..................................53 5. Construir um trapézio retângulo, dadas as medidas da base maior, da altura e do lado não perpendicular às bases...................................................................................54 Tópico 4 – Polígonos regulares........................................................................................................ 55 Ângulos de um polígono regular ......................................................................................................................57 1. Construir um pentágono regular aplicando a medida do ângulo interno e sabendo a medida do lado.....................................................................................................................................58 Tópico 5 – Circunferência inscrita em polígono e circunferência circunscrita a polígono................. 59 Circunferência inscrita em um polígono............................................................................................................60 1. Traçar uma circunferência inscrita em um triângulo dado...................................................................60 2. Traçar a circunferência inscrita em um quadrado dado.......................................................................61 Circunferência circunscrita a um polígono........................................................................................................61 1. Traçar a circunferência circunscrita a um triângulo dado.....................................................................62 2. Traçar a circunferência circunscrita a um quadrado dado....................................................................62 Tópico 6 – Traçado de circunferência tangente............................................................................... 63 Reta tangente a uma circunferência..................................................................................................................64 1. Traçar uma circunferência de raio dado que seja tangente a uma reta dada em um ponto A da reta.................................................................................................64 2. Traçar uma circunferência que seja tangente a uma reta dada no ponto A e passe por um ponto B não pertencente a essa reta..........................................................................65 3. Traçar uma circunferência tangente aos lados de um ângulo dado...................................................65 Circunferências tangentes..................................................................................................................................66 1. Traçar uma circunferência de raio dado que seja tangente externamente a outra circunferência dada no ponto A.......................................................67 2. Traçar uma circunferência tangente a uma circunferência dada no ponto A que passe por um ponto B dado, exterior............................................................................................67 Tópico 7 – Relação entre arcos e ângulos em uma circunferência.................................................... 68 Ângulo central.....................................................................................................................................................69 Ângulo inscrito.....................................................................................................................................................69 Ângulo de segmento..........................................................................................................................................70 1. Dividir um ângulo dado em três partes congruentes...........................................................................70 2. Dividir um ângulo dado em n partes congruentes, em que n é uma potência de 2 (n 5 2, 4, 8, 16, ...).................................................................................................71 3. Dividir um ângulo dado em n partes congruentes, em que n é um número que não é potência de 2.........................................................................................................................72 Arco capaz de um ângulo dado.........................................................................................................................73 1. Construir o arco capaz de um ângulo dado conhecendo a medida do segmento...........................74 2. Determinar os pontos da reta s que “veem” o segmento AB sob um ângulo a, conhecendo-se a reta s e o segmento AB.....................................................................74 3. Construir um triângulo retângulo, dadas as medidas da hipotenusa e da altura relativa à hipotenusa................................................................................................................75 Tópico 8 – Simetria.......................................................................................................................... 76 Simetria central ou simetria em relação a um ponto.......................................................................................76 Simetria axial ou simetria em relação a uma reta.............................................................................................78 1. Construir o simétrico de um quadrado em relação ao ponto dado...................................................79 2. Construir o simétrico de um quadrilátero em relação a um eixo........................................................80 3. Construir o simétrico de um pentágono em relação a um eixo..........................................................80

TÓPICO

1

CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Traçado de perpendiculares 1 Traçar uma perpendicular por um ponto de uma reta dada ● Traçar uma perpendicular à reta r por um ponto A da reta.

A

r

1 o passo: Com a ponta-seca do compasso

2o passo: Com a ponta-seca do compas-

no ponto A e uma abertura qualquer, traçamos arcos que cortam a reta r em A1 e A2.

so em A1 e uma abertura conveniente, traçamos um arco.

A A1

A2

r A A1

A2

r

3o passo: Com a ponta-seca do compasso

4o passo: A reta s, determinada pelos

em A2 e a mesma abertura, traçamos outro arco, que corta o anterior no ponto B.

pontos A e B, é a reta procurada, pois dois pontos determinam uma reta.

B B A A1

A A1

A2

A2

r

s

6

r

2 Traçar uma perpendicular por um ponto não pertencente a uma ● reta dada Traçar uma perpendicular à reta r por um ponto A não pertencente à reta.

A

r

1 o passo: Com a ponta-seca do compasso

2o passo: Com a ponta-seca do compasso

no ponto A e uma abertura conveniente, traçamos um arco que corta a reta r em A1 e A2.

em A2 e uma abertura qualquer, traçamos um arco.

A A

A1

A2

r

A1

r

A2

3o passo: Com a ponta-seca do compasso

4o passo: A reta s, determinada pelos

em A1 e a mesma abertura, traçamos outro arco, que corta o anterior no ponto B.

pontos A e B, é a perpendicular procurada.

A

A

A1

A2

r

A1

r

A2

B

B s

sr

7

3 Traçar uma reta que seja perpendicular a um segmento dado e que ● passe pela extremidade desse segmento

Traçar uma perpendicular ao segmento AB dado por uma de suas extremidades.

AI

I

B

1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta o segmento no ponto C.

I

I

C

A

B

2o passo: Com a ponta-seca do compasso

3o passo: Com a ponta-seca do compasso

no ponto C e uma abertura igual à medida do segmento AC, marcamos no arco o ponto D; em seguida, com a ponta-seca do compasso em D e a mesma abertura, marcamos o ponto E.

no ponto D e uma abertura qualquer, traçamos um arco.

D

E

I

C

A

D

E

I

I

B

C

A

I

B

4o passo: Com a ponta-seca do compasso

5o passo: A reta s, que passa pelos pon-

no ponto E e a mesma abertura, traçamos outro arco, que corta o anterior no ponto F.

tos A e F, é a perpendicular procurada.

F

F D

E D

E

A I

A

C

C

I

B

I

B s

s  AB e passa pela extremidade A.

8

4 Traçar a mediatriz de um segmento dado ● Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo ponto médio desse segmento.

A

B

1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura maior que a metade da medida AB, traçamos dois arcos.

A

B

C

2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto B e a mesma abertura, traçamos arcos que cortam os anteriores nos pontos C e D.

A

B

D

C

3o passo: A reta s, determinada pelos pontos C e D, é a mediatriz procurada. O ponto M, intersecção de s com AB, é o ponto médio do segmento AB.

A

B

M

D s

9

Divisão de um segmento em n partes congruentes 1 Dividir um segmento dado em duas partes congruentes ● Dividir o segmento AB em duas partes congruentes.

A

B

1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura maior que a metade da medida do segmento AB, traçamos dois arcos.

A

B

2o passo: Com a ponta-seca do compasso

3o passo: A reta s, que passa pelos pontos

no ponto B e a mesma abertura anterior, traçamos arcos que cortam os anteriores nos pontos C1 e C2.

C1 e C2, é a mediatriz do segmento AB dado e M é o ponto médio do segmento AB, ou seja, a mediatriz divide o segmento em duas partes congruentes. s

C1

A

B

C2

10

C1

A

M

C2

B

2 Dividir um segmento dado em quatro partes congruentes ● Dividir o segmento AB em quatro partes congruentes.

A

B

1o passo: Traçamos a mediatriz de AB e dividimos o segmento dado em duas partes congruentes, AM e MB.

M

A

B

2o passo: Traçamos a mediatriz dos segmentos AM e MB, obtendo M1 e M2, que

são os pontos médios de AM e MB, respectivamente. AM1, M1M, MM2 e M2B são os segmentos procurados.

A

M1

M

M2

B

AM1  M1M  MM2  M2B

11

3 Dividir um segmento dado em n partes congruentes ● Dividir o segmento AB em três partes congruentes.

B

A

1o passo: Traçamos uma semirreta qual-

 e usan2o passo: Sobre a semirreta AC

. quer AC

do o compasso, marcamos os segmentos consecutivos e congruentes: AA1  A1A2  A2A3.

A

B

A

B A1 A2 A3 C

C

3o passo: Unimos o ponto A3 ao ponto B.

A

B A1

traçamos por A2 e A1 as paralelas ao segmento BA3. O segmento dado AB fica dividido em três partes congruentes.

A

II

II

B

II

A1 A2

A2 A3

A3 C

12

4o passo: Usando o par de esquadros,

C

Traçado de paralelas 1 Traçar uma reta paralela por um ponto não pertencente a uma ● reta dada Traçar a reta s que seja paralela à reta r e passe pelo ponto A. A

r

Para resolver esse problema, podemos utilizar dois processos.

1o processo 1o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A e uma abertura conveniente, traçamos um arco que corta a reta r dada no ponto P. A

r

P

2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto P e a mesma abertura, traçamos outro arco, que corta a reta r dada no ponto Q.

A

Q

P

r

13

3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto P e uma abertura igual Ă medida do segmento AQ, marcamos B no primeiro arco.

B

A

Q

r

P

4o passo: A reta s, determinada pelos pontos A e B, ĂŠ a reta procurada.

B

A

Q

P

s

r

2o processo 1o passo: Tomamos sobre a reta r um ponto O qualquer.

A

O

14

r

2o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto O e uma abertura igual à medida do segmento OA, traçamos um arco que corta a reta r dada em A1 e A2.

A

A2

O

A1

r

3o passo: Com a ponta-seca do compasso no ponto A2 e uma abertura igual à medida do segmento AA1, marcamos B no arco traçado.

A

B

A2

O

A1

r

4o passo: A reta s, determinada pelos pontos A e B, é a reta procurada.

B

A

A1

O

s

A2

r

15

2 Traçar uma reta s paralela a uma reta r dada sabendo a distância entre ● ambas Dada a reta r, traçar uma reta s, paralela a r, a uma distância d. d

r

1o passo: Marcamos um ponto A qualquer

2o passo: Traçamos, do ponto A, a per-

na reta r.

pendicular à reta r dada.

A

r

A

3o passo: Com a ponta-seca do compasso

4o passo: Traçamos, do ponto B, a per-

no ponto A e uma abertura igual à distância d dada, traçamos um arco que corta a perpendicular no ponto B.

B e determinamos a pendicular à reta A reta s. s é a reta paralela procurada: s // r.

B

B

r

s

d A

16

r

A

r

Traçado da bissetriz de um ângulo 1 Traçar a bissetriz de um ângulo dado quando o vértice é um ponto ● acessível (vértice conhecido) Traçar a bissetriz do ângulo dado.

B

O

A

1o passo: Com a ponta-seca do compasso no vértice O e uma abertura qualquer, traçamos um arco que corta os lados do ângulo em A1 e A2.

B A2

O

A1

A

17

2o passo: Com a ponta-seca do compasso em A1 e uma abertura conveniente, traçamos um arco.

B A2

O

A

A1

3o passo: Com a ponta-seca do compasso em A2 e a mesma abertura, traçamos um arco que corta o anterior no ponto C.

B A2

O

C A

A1

C  é a bissetriz procurada.

4o passo: A semirreta O

bissetriz

B A2

O

18

C A1

A

2 Traçar a bissetriz de um ângulo dado quando o vértice é um ponto ● inacessível (vértice desconhecido) Traçar a bissetriz do ângulo formado pelas retas r e s da figura abaixo.

r

s

1o passo: Traçamos uma reta t qualquer, que corta r no ponto A e s no ponto B. t

r A

s

B

2o passo: Traçamos as bissetrizes dos ângulos Â1, Â2, Bˆ1 e Bˆ2. t

r A ˆ A 1

ˆ A 2

ˆ B 2

Bˆ1 B

s

19

3o passo: As bissetrizes dos ângulos Â1 e Bˆ 1 encontram-se no ponto C, e as bissetrizes dos ângulos Â2 e Bˆ 2, encontram-se no ponto D.

t

r A ˆ A 1

ˆ A 2 D

C ˆ B 2

Bˆ1

s

B

D , que passa pelos pontos C e D, é a bissetriz procurada.

4o passo: A reta C

t

r A ˆ A 1

bissetriz

ˆ A 2 D

C

ˆ B 2

ˆ B 1 B

20

s