A Conquista Matemática - 6º Ano

José Ruy Giovanni Júnior

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Matemática

MANUAL DO PROFESSOR

ENSINO FUNDAMENTAL ANOS FINAIS COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).

Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino

Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

Direção editorial adjunta Luiz Tonolli

Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva

Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Alessandra Maria Rodrigues da Silva, Aline Tiemi Matsumura, Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Letícia Mancini Martins, Tatiana Ferrari D’ Addio

Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges

Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

Imagem de capa Dirk Wiersma/Science Photo Library/Fotoarena

Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

Coordenação de imagens e textos Elaine Bueno Koga

Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira

Emerson de Lima, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)

Ilustrações Alex Argozino, Artur Fujita, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida, Daniel Bogni, Daniel Wu, Dayane Raven, Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado, MW Editora e Ilustrações, Wandson Rocha, Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 6o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática. ISBN 978-85-96-03437-1 (aluno)

ISBN 978-85-96-03438-8 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114532 CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Cibele Maria Dias - Bibliotecária - CRB-8/9427

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD CNPJ 61.186.490/0016-33

Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

APRESENTAÇÃO

O intuito desta obra é oferecer aos estudantes e professores um material que norteie o trabalho com as ideias matemáticas, levando em consideração as especificidades da faixa etária a que a obra se destina.

Esperamos que este contato com os conceitos matemáticos contribua para que se estabeleça uma relação significativa entre os estudantes e o conhecimento da Matemática, pautada pela curiosidade e pela reflexão.

Ao longo dos volumes desta obra, pretendemos ainda estabelecer um elo entre a Educação Matemática e a formação do sujeito autônomo e consciente de seu papel, tendo em vista que paradigmas em Educação apontam para a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e participar ativamente na sociedade ao seu redor.

Para descortinar o contexto permeado por múltiplas linguagens e tecnologias em que se inserem, assumindo-se como cidadãos autônomos e conscientes das relações sociais que vivenciam diariamente, nossos estudantes precisam se apropriar dos conhecimentos sócio-historicamente construídos, valendo-se de estratégias e habilidades requeridas pelo mundo contemporâneo. E, no intuito de auxiliar você, professor, a capitanear essa jornada pelo processo de ensino e aprendizagem nos anos finais do Ensino Fundamental, foram elaboradas estas Orientações. Aqui, você encontrará diversas bases e sugestões para o seu trabalho diário junto aos estudantes.

Esperamos que tudo isso possa contribuir para a dinâmica dos atos de aprender e de ensinar, levando a aprendizagens significativas e agradáveis na área da Matemática no Ensino Fundamental.

Aventure-se nessa jornada você também!

O autor

CONHEÇA O MANUAL DO PROFESSOR

Estas Orientações buscam elucidar os caminhos percorridos na elaboração desta obra desde a idealização dela até a efetivação das propostas apresentadas em cada Volume.

Acredita-se ser de grande relevância conhecer os pressupostos teóricos que embasam a obra para, a partir deles, perceber a estrutura e os elementos que a compõem. Além da apresentação desses norteadores, buscou-se promover reflexões acerca do ensino e da aprendizagem de Matemática e as possíveis ações e estratégias que podem ser utilizadas na prática pelo professor. Vale mencionar que muitas explorações aqui apresentadas consistem em sugestões e, portanto, podem ser adaptadas sempre que necessário.

Neste manual, procurou-se utilizar uma linguagem clara e objetiva que permita uma fácil visualização das articulações idealizadas, bem como estratégias de aplicação dos conceitos aqui trabalhados.

Este material está organizado em três partes:

• Na primeira parte, denominada Orientações gerais, são apresentadas reflexões acerca do ensino e da aprendizagem da Matemática e de possíveis instrumentos e ferramentas que podem favorecer a construção do conhecimento matemático nos Anos Finais do Ensino Fundamental e, como mencionado anteriormente, muitas dessas abordagens nortearam a elaboração desta obra.

• Na segunda parte, denominada Orientações específicas do Volume, disposta em formato de U, o professor encontrará o detalhamento das situações e atividades propostas no Livro do estudante, acompanhada de sugestões que possam tornar o processo de ensino e aprendizagem mais rico e proveitoso.

• Na terceira parte, temos a seção de Resoluções comentadas de todas as atividades do Volume e a seção Avaliações oficiais em foco, com uma proposta de avaliação, com questões baseadas em avaliações oficiais de larga escala.

Esperamos que todos esses recursos possam contribuir com o trabalho do professor, dentro e fora da sala de aula, e com o alcance de um objetivo educacional ainda maior: a formação de um estudante crítico, capaz de analisar, interpretar e atuar no mundo de maneira consciente, cooperativa e autônoma.

LUCIOLA ZVARICK/PULSAR IMAGENS

Escola indígena da etnia Waurá da aldeia Piyulaga, em Gaúcha do Norte (MT). Fotografia de 2019. V

Orientações gerais

Considerações sobre o ensino de Matemática

Neste tópico, são apresentados fundamentos teóricos e aplicações de temas relevantes para o ensino de Matemática, como inferência, argumentação, pensamento computacional e resolução de problemas.

A BNCC e o ensino de Matemática

Nesta seção, são apresentadas reflexões e abordagens sobre a Base Nacional Comum Curricular, um dos documentos norteadores desta obra.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica. XXXIX

Uma visão interdisciplinar e os Temas Contemporâneos Transversais

Aqui, são discutidos os Temas Contemporâneos Transversais e algumas sugestões de aplicação de tais temas de modo interdisciplinar nas aulas de Matemática.

O papel do professor

Neste tópico, são apresentadas importantes reflexões sobre o papel fundamental do professor e a prática educativa em Matemática.

Perfis de aprendizagem

Trata-se, aqui, de temas relacionados aos diferentes perfis de aprendizagem apresentados nos diversos contextos escolares brasileiros, e são discutidos modos de lidar com tais diferenças nas aulas de Matemática.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […] BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

Avaliação

São abordados neste tópico os diversos tipos de avaliação e a importância desse recurso para o processo de ensino e aprendizagem.

Indicações para apoio ao trabalho do professor

Aqui, encontram-se indicações de materiais relevantes para consulta e aprimoramento do professor.

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CONHEÇA O LIVRO DO ESTUDANTE

Nesta seção, além dos elementos que compõem o material do estudante, são apresentados os conteúdos de cada Volume. No Livro do estudante, cada Volume desta obra divide-se em nove Unidades e cada Unidade em capítulos.

Aberturas de Unidade

Nesta obra, as aberturas de Unidades têm um papel fundamental: elas propiciam o momento de entrada no grande tema que será tratado. Em cada Volume, a Unidade é introduzida por uma abertura que traz:

• uma imagem (ilustração, fotografia ou infográfico) relacionada com temas que serão estudados ao longo da Unidade e cujo objetivo é instigar os estudantes a uma discussão inicial;

• algumas questões para contextualizar os estudantes no assunto da Unidade e mobilizar conhecimentos anteriores.

Capítulos

UNIDADE COMPRIMENTO E ÁREA 8

DOTTA2 MILOS VUCICEVIC/ SHUTTERSTOCK.COM

Resposta pessoal. Uma possível estratégia que os estudantes poderiam pensar é colocar o papel sobre cada face da caixa e demarcar a quantidade necessária para cada lado. A quantidade total de material é a soma da quantidade de papel utilizada em cada um dessas partes demarcadas.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

Para reduzir o impacto da grande produção de lixo, criou--se o conceito dos cinco Rs: reduzir (o consumo), repensar (o consumo), reutilizar (os produtos), reciclar (os produtos) e recusar (não consumir produtos de empresas que não respeitam o meio ambiente). Os cinco Rs visam conscientizar as pessoas de seus hábitos, levando-as a refletir sobre suas necessidades reais de consumo.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

seria necessário?

• Você consegue imaginar outras situações em que medir seja uma ação importante e necessária? Quais?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Você conhecia os cinco Rs? Saber qual é a diferença entre reciclar e reutilizar?

Resposta pessoal. Reciclar é fazer um produto com a matéria-prima de outro produto, por exemplo, reciclar latas para fazer uma panela. Reutilizar é dar um novo uso para um produto usado e que seria descartado.

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Nos Volumes desta obra, as Unidades são compostas de uma quantidade variável de capítulos, de acordo com a demanda de cada tema.

Em cada capítulo, os estudantes contarão com diferentes explorações e recursos, como textos, imagens e atividades. Ao longo de cada capítulo, podem ser encontrados seções e boxes que buscam favorecer compreensões, aprofundamentos, reflexões e articulações.

Atividades

Nesta seção, os estudantes encontrarão atividades diversificadas que foram organizadas de acordo com os conteúdos apresentados em cada tópico, de modo a facilitar a realização e a conferência. Eventualmente, são apresentadas atividades denominadas Desafio, que apresentam maior nível de dificuldade, permitindo a mobilização de mais habilidades e competências.

POR TODA PARTE

Por toda parte

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL

No Brasil, desde 2001, todos os alimentos e bebidas comercializados devem, por lei, trazer as informações nutricionais em seus respectivos rótulos. Essa medida busca orientar os consumidores a adotar alimentos mais saudáveis em sua dieta, fazendo escolhas mais conscientes quando vão ao supermercado.

1. Leia a situação e os rótulos a seguir. Compare os dados e depois, no caderno, responda às questões.

Carla foi ao supermercado comprar alguns produtos para preparar um lanche. Enquanto observava as embalagens e lia os rótulos de dois pães, um tradicional e outro integral, uma senhora se aproximou de Carla e lhe disse que ambos os pães eram igualmente saudáveis.

Fonte: Fábrica de pães. INFORMAÇÃO NUTRICIONAL Porção de 50 g (2 fatias) Quantidade por porção %VD(*) Valor Energético 126 kcal 527 kJ 6% Carboidratos 25 g 8% Proteínas 4,5 g 6% Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans 0,9 g 0,9 g 0 g 2% 2% – Fibra alimentar 1,0 g 4% Sódio 182 mg 8% (*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta 000 kcal ou 8400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas. PÃO DE FORMA TRADICIONAL Fonte: Fábrica de pães. INFORMAÇÃO NUTRICIONAL Porção de 50 g (2 fatias) Quantidade por porção %VD(*) Valor Energético 98 kcal 414 kJ 4% Carboidratos 12 g 4% Proteínas 4,5 g 6% Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans 0,5 g 0,5 g 0 g 1% 1% – Fibra alimentar 1,2 g 5% Sódio 150 mg 6% (*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 000 kcal ou 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas. PÃO DE FORMA INTEGRAL 1 a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discordem da senhora, pois o pão integral apresenta menores quantidades de calorias e dos demais elementos nocivos à saúde quando consumidos em excesso. ENIO DEPAZ/ISTOCKPHOTO/GETTY IMAGES a) Após comparar os dois rótulos de informação nutricional, você concorda com a opinião da senhora que abordou Camila no supermercado? Por quê? b) Você e seus familiares têm o hábito de conferir de quais ingredientes um produto é feito, bem como suas informações nutricionais? Consideram isso importante? Justifique sua resposta.Resposta pessoal. 271 D2_AV3-MAT-F2-2103-V6-U9-256-275-LA-G24.indd 01/09/22 14:43

É uma seção que apresenta textos, imagens e atividades que proporcionam ao estudante maior contextualização dos assuntos explorados na Unidade. Esta seção busca estabelecer um diálogo entre tópicos de Matemática e de outras áreas do conhecimento, além de oportunizar a ampliação de repertório cultural e perceber a Matemática em variadas situações do cotidiano. Os temas e atividades desta seção possibilitam, ainda, articulações entre os Temas Contemporâneos Transversais e as competências gerais e específicas apresentadas na BNCC.

VIII

Material necessário:

• Embalagem vazia • Régua • Tesoura com pontas arredondadas • Papel para revestir • Cola escolar

Existem várias maneiras de reutilizar materiais em vez de comprar um novo produto. Observe uma maneira de reaproveitar uma embalagem. FOTOGRAFIAS: DOTTA2 MILOS VUCICEVIC/ SHUTTERSTOCK.COM 1 Repita o primeiro passo para todos os lados da caixa, inclusive para a tampa, se houver.

4 BRKART/SHUTTERSTOCK.COM

Posicione o papel sobre um dos lados da caixa e recorte-o 2 3 Passe cola em cada lado da caixa, posicione o papel referente a esse lado e cole o papel.

Repita o terceiro passo para todos os lados da caixa, inclusive para a tampa, se houver.

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QUERER É UMA COISA, PRECISAR É OUTRA Leia o trecho a seguir.

[...] [...] O querer diz respeito a uma intenção, a uma aspiração. O querer é algo que nos move, mas não é uma necessidade.

[...]

[...] Quem quer pode esperar, pode trocar o objeto do querer para que se torne mais acessível e pode [...] perceber que terá de abdicar desse querer. [...] Quem precisa pode esperar por pouco tempo, não pode trocar o objeto da necessidade e tampouco pode abdicar dele. [...] Mas todos precisam saber [...] que querer não é precisar. E querer, muitas vezes, também não é poder. SAYÃO, Rosely. Querer é uma coisa, precisar é outra. Folha de S.Paulo São Paulo, 14 fev. 2012. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br/fsp/equilibrio/25683-querer-e-uma-coisa-precisar-e-outra.shtml.

Que tal ajudar nas compras da família e ao mesmo tempo aprender, na prática, o assunto apresentado no texto anterior? Converse com seus familiares e descubra como são feitas as compras no supermercado. • Ajude a fazer a lista de compras.

• Estime o valor da compra dos produtos listados para, depois, verificar como foi sua estimativa. Anote o valor pago em cada produto para que, a cada compra, sua previsão de gastos seja mais próxima do gasto real.

• O que você aprendeu com essas atividades? Escreva um texto para explicar.

Fazer uma lista de compras ajuda na tarefa de comprar apenas o necessário.

Respostas pessoais. Exemplos de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

PROSTOCK-STUDIO/SHUTTERSTOCK.COM

Acesso em: 2 ago. 2022.

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Educação financeira

A produção de lixo é um dos grandes problemas que a humanidade vem enfrentando.

[...] Precisar diz respeito a uma necessidade, a uma carência que exige satisfação. Por exemplo: temos fome e sede, por isso precisamos de líquido e de alimento para a satisfação dessas necessidades.

Seções e boxes

QUADROS DE CONTEÚDOS

Cada um dos quatro volumes da obra é organizado em nove Unidades. O tema principal de cada Unidade está relacionado a uma ou mais Unidades temáticas da BNCC e seguem, em geral, uma ordem de progressão de conteúdos, de acordo com as etapas de aprendizagens previstas para cada um dos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Entretanto, o professor tem autonomia para apresentar as Unidades na ordem que julgar mais conveniente para a realidade da turma e de acordo com as ações de planejamento de suas aulas. Por exemplo, se houver mais de uma Unidade consecutiva que trate sobre determinado tema de Números, o professor pode intercalar essas Unidades com uma Unidade, localizada adiante, relacionada a Geometria e, posteriormente, retomar o estudo de Números.

Analogamente, com relação aos conteúdos abordados em cada Unidade, o professor pode seguir a ordem sugerida ou, eventualmente, realizar a sequência de conteúdos que melhor lhe convier. Por exemplo, antes de começar a abordagem teórica proposta em determinada Unidade, o professor pode propor a leitura do texto e o debate sobre o tema de uma seção que traga uma contextualização para aquele conceito matemático a ser trabalhado. Depois da apresentação formal dos conceitos, pode-se propor aos estudantes que retomem a conversa sobre a seção estudada no início da Unidade e que realizem as atividades, analisem as respostas, validem hipóteses etc.

Portanto, o professor tem autonomia em relação aos conteúdos apresentados na coleção, podendo dispor deles, articulá-los e complementá-los de modo a potencializar a construção de conhecimentos e tornar a aprendizagem cada vez mais efetiva.

A fim de auxiliar o professor no planejamento de aulas com apoio didático desta obra, disponibilizamos quadros com a organização trimestral e bimestral de conteúdos da obra por ano, indicando a Unidade, os principais conteúdos abordados nela, além de habilidades, competências e Temas Contemporâneos Transversais da BNCC. 6o ano

Habilidades:

• Sistemas de numeração

• Sistema de Numeração Decimal

• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos de colunas

• O conjunto dos números naturais

• Tipos de calculadora

• Operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Tabelas de dupla entrada e gráficos de barras duplas

• Aproximação e estimativa

• Expressões numéricas

• Uso da calculadora para a resolução de expressões numéricas

• Ponto, reta e plano

• Semirreta e segmento

• de reta

• Figuras geométricas

• Sólidos geométricos

• Estimativas e projeções

EF06MA01

EF06MA02

EF02MA32

Competências gerais: 1, 7 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 5 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Ambiental

Habilidades:

EF06MA03

EF06MA04

EF06MA12

EF06MA14

EF06MA31

EF02MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Direitos da Criança e do Adolescente e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF06MA17

EF06MA28

EF06MA31

Competências gerais: 1, 2, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 6, 7 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

1. Sistemas de numeração

2. Cálculos com números naturais

Bimestre

3. Figuras geométricas

4. Múltiplos e divisores

• Critérios de divisibilidade

• Uso da calculadora para encontrar o resto de uma divisão

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Leitura e interpretação de gráficos pictóricos

• Números primos

• Uso de planilha eletrônica na divisibilidade

Habilidades:

EF06MA04

EF06MA05

EF06MA06

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Educação para o Trânsito

5. A forma fracionária dos números racionais

• Fração (comparação, equivalência, simplificação)

• Problemas envolvendo frações

• Adição e subtração de frações

• Forma mista

• Multiplicação com frações

• Fração e porcentagem

• Probabilidade

6. A forma decimal dos números racionais

• Número racional na forma decimal (transformações e comparação)

• Operações com números racionais na forma decimal (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação)

• Cálculo de porcentagens

• Probabilidade

• Ângulo

• Transferidor

• Uso de software para construir e medir ângulos

• Uso da planilha do LibreOffice Calc para construir gráficos

• Construção de retas paralelas e perpendiculares

Habilidades:

EF06MA07

EF06MA09

EF06MA10

EF06MA13

EF06MA15

EF06MA30

Competências gerais: 4 e 9

Competências específicas: 1, 5 e 6

Habilidades:

EF06MA01

EF06MA08

EF06MA11

EF06MA13

EF06MA30

Competências gerais: 7 e 9

Competências específicas: 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF06MA16

EF06MA18

EF06MA19

EF06MA20

EF06MA21

EF06MA22

EF06MA23

EF06MA25

EF06MA26

7. Ângulos e polígonos

• Polígonos (definição, identificação e nomenclatura)

• Polígonos regulares

• Triângulos (elementos e classificação)

• Quadriláteros (elementos e classificação)

• Plano cartesiano

• Construção de polígonos no plano cartesiano

• Construção e ampliação/redução de polígonos com uso de um software

EF06MA27

EF06MA28

EF06MA31

EF06MA32

EF06MA33

Competências gerais: 1, 2, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Trânsito, Saúde e Educação Ambiental

2 º Trimestre

º Bimestre

3 º Bimestre

3 º Trimestre

8.

• Unidades de medida de comprimento

• Transformação das unidades de medida de comprimento

• Perímetro de um polígono

• Unidades de medida de superfície

• Transformação das unidades de medida de superfície

• Medidas agrárias

• Área de figuras geométricas planas (retângulo, quadrado e triângulo retângulo)

• Gráfico de segmentos

• Medidas de massa

• Transformação das unidades de medida de massa

• Balança de dois pratos

• Medidas de tempo e de temperatura

• Medidas de volume

Habilidades:

EF06MA24

EF06MA28

EF06MA29

EF06MA31

EF06MA32

Competências gerais: 4, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para o Consumo e Educação Ambiental

9.

• Transformação das unidades de volume

• Volume do bloco retangular e do cubo

• Medidas de capacidade

• Transformação das unidades de capacidade

• Pesquisa e fluxograma

7o ano

• Números naturais

• Operações com números naturais

Habilidades:

EF06MA23

EF06MA24

EF06MA33

EF06MA34

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas: 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação Alimentar e Nutricional

1. Números naturais e operações

• Divisores e múltiplos de um número natural

• Números primos

• mmc e mdc

• Gráficos de colunas triplas e de barras triplas

• Os números inteiros

• Os números negativos

• Módulo de um número inteiro

• Comparação de números inteiros

• Operações com números inteiros (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e raiz quadrada exata)

• Expressões numéricas

Habilidades:

EF07MA01

EF07MA05

EF07MA07

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 4, 6, 7 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras e Vida Familiar e Social

Habilidades

EF07MA03

EF07MA04

EF07MA05

EF07MA06

Competências gerais: 1, 2, 3, 6, 7, 8 e 9

Competências específicas: 1, 2, 3 e 7

Tema Contemporâneo Transversal: Educação em Direitos Humanos

3 º Trimestre 4 º Bimestre

Comprimento e área

Grandezas e medidas

2. O conjunto dos números inteiros

ORGANIZAÇÃO

• Simetria

• Construções feitas com uso das ferramentas de simetria do GeoGebra

• Ampliação

• Transformações no plano cartesiano

Habilidades:

EF07MA06

EF07MA19

EF07MA20

EF07MA21

Competências gerais: 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação Ambiental

Habilidades:

EF07MA05

• Os números racionais

• Módulo de um número racional

• Comparação de números racionais

• Operações com números racionais nas formas decimal e de fração

• Raiz quadrada exata de números racionais

• Média aritmética

• Média aritmética ponderada

• Análise de tabelas e gráficos com números racionais negativos

EF07MA06

EF07MA07

EF07MA08

EF07MA09

EF07MA10

EF07MA11

EF07MA12

EF07MA35

Competências gerais: 2, 4 e 7

Competências específicas: 2, 3 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF07MA05

EF07MA06

EF07MA13

• Sequências

• Expressões algébricas

• Igualdade

• Equações (conjunto universo e solução; equivalência)

EF07MA14

EF07MA15

EF07MA16

EF07MA18

e equações

• Equações do 1o grau com uma incógnita

• Equações na resolução de problemas

• Gráficos de linhas (ou de segmentos)

EF07MA36

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Saúde e Vida Familiar e Social

1 º Trimestre

2 º Bimestre

3. Simetria e transformações geométricas

2 º Trimestre

4. O conjunto dos números racionais

5. Linguagem algébrica

• Ângulos

• Retas paralelas cortadas por uma transversal

• Investigação de propriedades de ângulos usando o GeoGebra

• Triângulos (construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos)

• Ângulos de polígonos regulares

• Circunferência

• Construções geométricas (circunferência, triângulo e polígono regular)

• Interpretação de gráfico de setores

Habilidades:

EF07MA22

EF07MA23

EF07MA24

EF07MA25

EF07MA26

EF07MA27

EF07MA28

EF07MA33

EF07MA36

EF07MA37

Competências gerais: 1, 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de Envelhecimento, Respeito e Valorização do Idoso e Saúde

Habilidades:

EF07MA09

EF07MA17

EF07MA29

EF07MA37

• Razão

• Proporção

• Regra de três

• Construção de gráfico de setores

Competências gerais: 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas: 1, 2, 4, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Trânsito, Educação Alimentar e Nutricional, Saúde, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

• Porcentagem

• Porcentagem com o uso da calculadora

• Probabilidade

• Experimento aleatório

• Média

• Amplitude

• Pesquisa estatística censitária e amostral

• Construção de gráficos usando o LibreOffice

Habilidades:

EF07MA02

EF07MA34

EF07MA35

EF07MA36

Competências gerais: 2, 5 e 7

Competências específicas: 3, 5 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Financeira

Habilidades:

EF07MA29

• Áreas de figuras geométricas planas

• Equivalência entre áreas

• Volume

EF07MA30

EF07MA31

EF07MA32

Competências gerais: 3 e 5

Competências específicas: 2 e 6

Tema Contemporâneo Transversal: Educação Fiscal

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Figuras geométricas planas

3 º Trimestre

7. Grandezas proporcionais

4 º Bimestre

8. Porcentagem, probabilidade e Estatística

9. Área e volume

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

• Operações com números racionais

• Dízima periódica

• Números reais

• Porcentagem e juro simples

• Cálculo de porcentagem usando planilha eletrônica

• Potência com expoente inteiro

• Propriedades da potenciação

• Números quadrados perfeitos

• Raiz quadrada (exata e aproximada) de um número racional não negativo e raízes enésimas

• Potência com expoente fracionário

• Leitura e interpretação de tabelas com intervalos de classes

• Ângulos

• Triângulos

• Altura, mediana e bissetriz de um triângulo

• Congruência de triângulos

• Propriedades dos triângulos

• Construção da bissetriz de um ângulo e da mediatriz de um segmento de reta

• Construção de ângulos notáveis com o GeoGebra

Habilidades:

EF08MA04

EF08MA05

EF08MA23

Competências gerais: 2, 6 e 7

Competência específica: 5

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação Ambiental e Educação para o Consumo

Habilidades:

EF08MA01

EF08MA02

EF08MA24

Competências gerais: 5, 8, 9 e10

Competências específicas: 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Vida Familiar e Social

Habilidades:

EF08MA15

EF08MA17

Competências gerais: 3, 5 e 9

Competências específicas: 1, 2 e 5

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Habilidades:

EF08MA06

EF08MA10

EF08MA11

EF08MA13

• Expressões algébricas

• Valor numérico de uma expressão algébrica

• Monômio (grau, semelhança e operações)

• Polinômios (grau e operações)

EF08MA23

Competências gerais: 1, 3, 6 e 9

Competências específicas: 2, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, Educação em Direitos Humanos, Educação para o Consumo e Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

5. Equações

• Equações do 1o grau com uma e com duas incógnitas

• Equação fracionária com uma incógnita

• Equações literais do 1o grau com uma incógnita

• Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

• Equação do 2o grau

• Uso do Ofi Calc para resolver equações do tipo ax2 + c = 0

Habilidades:

EF08MA07

EF08MA08

EF08MA09

Competências gerais: 1, 2, 5 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Ambiental, Educação Financeira e Educação para o Consumo

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais e porcentagem

2. Potências e raízes

2 º Bimestre

3. Ângulos e triângulos

2 º Trimestre

4. Expressões e cálculo algébrico

ORGANIZAÇÃO

• Polígonos e seus elementos

• Soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono convexo

• Ângulos de um polígono regular

• Construção do triângulo equilátero e do hexágono regular

• Propriedades dos quadriláteros

• Interpretação de gráficos de setores

• Transformações no plano

• Uso do GeoGebra para fazer composições envolvendo simetrias

• Contagem

• Probabilidade

• População e amostra

• Variáveis

• Média

• Moda

• Mediana

• Amplitude

• Realização de pesquisa estatística

• Construção de gráficos usando o LibreOffice Calc

• Área de figuras planas

• Volume do cubo, do bloco retangular e do cilindro

• Unidades de medida de capacidade

• Equivalência entre decímetro cúbico e litro e entre metro cúbico e litro

• Análise de gráficos

• Grandezas proporcionais e não proporcionais

Habilidades

EF08MA14

EF08MA15

EF08MA16

EF08MA18

EF08MA23

EF08MA24

Competências gerais: 5, 7 e 9

Competências específicas: 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Trabalho

9.

• Velocidade média, escala, densidade de um corpo e densidade demográfica

• Grandezas diretamente proporcionais

• Grandezas inversamente proporcionais

• Regra de três simples e composta

Habilidades:

EF08MA03

EF08MA22

EF08MA23

EF08MA25

EF08MA26

EF08MA27

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde e Educação para o Trânsito

Habilidades:

EF08MA19

EF08MA20

EF08MA21

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação Ambiental

Habilidades:

EF08MA12

EF08MA13

EF08MA23

Competências gerais: 1, 4 e 9

Competências específicas: 3, 5 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Diversidade Cultural, Trabalho, Ciência e Tecnologia, Educação Ambiental e Educação para o Trânsito

2 º Trimestre

3 º Bimestre

6. Polígonos e transformações no plano

3 º Trimestre

7. Contagem, probabilidade e Estatística

4 º Bimestre

8. Área, volume e capacidade

Estudo de grandezas

ORGANIZAÇÃO UNIDADES PRINCIPAIS CONTEÚDOS BNCC NA UNIDADE

Habilidades:

EF09MA01

EF09MA02

• A Geometria e a descoberta do número irracional

• Os números reais

• Potências

• Notação científica

• Radicais

EF09MA03

EF09MA04

EF09MA07

EF09MA18

Competências gerais: 1 e 7

Competências específicas: 1, 2, 3, 5 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Educação Financeira, Educação para o Consumo e Ciência e Tecnologia

Habilidade:

EF06MA09

Competências gerais: 3, 4, 7, 8 e 9

• Produtos

• Fatoração de polinômios

Competências específicas: 2, 3, 4 e 6

Temas Contemporâneos Transversais: Saúde, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Equações do 2o grau com uma incógnita

• Resolução de equações do 2o grau com uma incógnita

• Soma e produto das raízes de uma equação do 2o grau com uma incógnita

• Equações biquadradas

• Importância da representação correta dos gráficos

• Ângulos determinados por retas transversais

• Circunferência e ângulos

• Uso do GeoGebra para verificação da relação entre ângulo inscrito e ângulo central de uma circunferência

• Segmentos proporcionais

• Feixe de retas paralelas

• Figuras semelhantes

• Triângulos semelhantes

Habilidades:

EF09MA03

EF09MA09

EF09MA21

Competências gerais: 1, 2 e 9

Competências específicas: 1, 2, 4 e 5

Tema Contemporâneo Transversal: Educação para o Consumo

Habilidades:

EF09MA10

EF09MA11

Competências gerais: 2, 3, 4 e 5

Competências específicas: 2 e 5

Habilidades:

EF09MA07

EF09MA08

EF09MA10

EF09MA12

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 2, 4 e 5

1 º Trimestre

1 º Bimestre

1. Números reais, potências e radicais

2. Produtos notáveis e fatoração

notáveis

2 º Bimestre

3. Equações do 2o grau

2 º Trimestre

4. Relações entre ângulos

5. Proporção e semelhança

6.

• Porcentagem

• Juro simples e juro composto

• Uso do LibreOffice para cálculo de juros e montantes

• Probabilidade

• Análise de gráficos

• Elaboração de pesquisa estatística

• Uso do LibreOffice para construir tabelas e gráficos estatísticos

• O teorema de Pitágoras

• Relações métricas no triângulo retângulo

• Comprimento de arco de circunferência

• Relações métricas na circunferência

• Polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Relações métricas nos polígonos regulares inscritos em uma circunferência

• Área de um polígono regular

• Área do círculo e de um setor circular

• Representações no plano cartesiano

• Figuras espaciais

• Projeções e vistas ortogonais

• Volume de prismas e de cilindros

• Uso do GeoGebra para representação de polígonos regulares

• Leitura e construção de gráficos de setores

Habilidades

EF09MA05

EF09MA20

EF09MA21

EF09MA22

EF09MA23

Competências gerais: 1, 2, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 4 ,5, 7 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso, Educação Financeira e Educação Ambiental

Habilidades:

EF09MA13

EF09MA14

Competências gerais: 1, 2 e 7

Competências específicas: 1, 2, 4 e 8

Tema Contemporâneo Transversal: Diversidade Cultural

9. Funções

• Função afim

• Função quadrática

• Uso do GeoGebra para construção dos gráficos de funções afins e funções quadráticas

Habilidades:

EF09MA15

EF09MA16

EF09MA17

EF09MA19

EF09MA22

Competências gerais: 1, 2, 3, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 5, 6 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Ciência e Tecnologia e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Habilidades:

EF09MA06

EF09MA08

Competências gerais: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 10

Competências específicas: 2, 3, 4 e 8

Temas Contemporâneos Transversais: Trabalho, Educação Financeira, Educação para o Consumo e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

2 º Trimestre

3 º Bimestre

Porcentagem, probabilidade e Estatística

3 º Trimestre

7. Relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência

4 º Bimestre

8. Figuras planas, figuras espaciais e vistas

ORIENTAÇÕES GERAIS

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE MATEMÁTICA

A Matemática não reside apenas no trabalho com os números e as operações; ela vai além. Devemos considerar toda a amplitude que essa área de conhecimento pode oferecer à formação do indivíduo.

Considerando a relevância do ensino de Matemática na esfera escolar, é importante ter em mente que:

O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 265. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, durante o estudo da Matemática, há uma série de habilidades que podem ser desenvolvidas visando capacitar os estudantes a mobilizar as aprendizagens e a solucionar problemas do cotidiano.

O aprendizado durante esse processo certamente servirá aos estudantes de exercício para o desempenho de seu papel como cidadãos em interação com o mundo que os cerca; afinal, não queremos formar pessoas que apenas saibam, mas que, com seus conhecimentos, possam estabelecer relações com o mundo ao seu redor e fazer intervenções e modificações em seu ambiente de maneira consciente, responsável e eficiente.

Podemos dizer que compreender Matemática é uma tarefa ampla e repleta de variáveis. Quando estamos diante da aprendizagem de um novo conceito, precisamos formular nossas hipóteses, planejar a maneira de resolver determinado problema, confrontar nossas respostas ou hipóteses com as dos outros, antecipar e validar resoluções. Portanto, entre as várias habilidades que são adquiridas ao desenvolver os conhecimentos matemáticos, podemos destacar o raciocínio lógico-dedutivo, que tem papel primordial na formação do sujeito. Todo esse percurso faz acontecer uma aprendizagem mais significativa e abrangente.

A possibilidade de analisar vários modos de resolver determinados problemas e de confrontar e validar hipóteses também propicia uma aprendizagem que extrapola o ensino de Matemática, culminando na formação de um indivíduo mais atuante na sociedade, que se relaciona com grupos e que enfrenta situações-problema buscando soluções, e não se inibindo diante de questões complexas.

Além do raciocínio lógico, merece destaque o trabalho que envolve processos mentais básicos como as noções de correspondência, comparação, classificação, sequenciação, seriação, inclusão e conservação. Esses processos mentais podem ser desenvolvidos com base nas atividades da exploração matemática e contribuem para que os estudantes se tornem capazes de solucionar situações do cotidiano utilizando os conceitos, as diferentes maneiras de proceder e a antecipação de resultados.

Temos assistido, no desenvolvimento de pesquisas em Educação Matemática, a uma forte conexão entre tendências que contextualizam os objetos matemáticos – como modelagem, resolução de problemas, interdisciplinaridade, metodologias ativas e uso de tecnologias digitais – e as justificativas educacionais que sustentam essa conexão, a tal ponto que se torna difícil efetuar, por exemplo, a modelagem matemática aplicada ao ensino de Matemática sem tangenciar outra tendência, e a modelagem matemática torna-se fator de geração de problemas que vão sendo gerenciados por uma ou outra tendência. (MALHEIROS, 2012).

A seguir, apresentaremos algumas ideias acerca dessas tendências e de outros conceitos relentes em relação ao ensino de Matemática.

Letramento matemático

A perspectiva de que todos podem aprender Matemática tem sido um pressuposto dos estudos realizados por educadores matemáticos na busca pelo melhor preparo dos estudantes para viverem e atuarem de modo crítico, solidário e participativo na sociedade contemporânea, visto que é incontestável a presença, cada vez mais significativa, da Matemática no dia a dia. Esse pressuposto também está presente nos documentos oficiais que normatizam a educação brasileira. Entretanto, esse tipo de afirmação gera uma questão importante a ser respondida pelos professores dessa área: O que significa saber Matemática nessa perspectiva?

Ao apresentar a área de Matemática e suas Tecnologias, a BNCC destaca que:

O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como as competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso (fruição).

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

Essa definição de letramento matemático vem acompanhada da seguinte referência:

Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos. Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos. Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 266 (nota de rodapé). Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 10 jul. 2022.

A referência ao Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) ocorre por ter sido essa avaliação, que se realiza em âmbito mundial, a cada três anos a partir do ano 2000, que colocou em evidência esse modo de expressar o conhecimento matemático que se espera que jovens de 15 anos apresentem, tendo em vista sua inserção social, cultural e no mundo do trabalho.

Desse modo, ensinar e aprender Matemática não se trata mais de o professor apenas apresentar procedimentos de cálculo, de como resolver equações ou questões de geometria, de como fazer o gráfico de uma função, entre outros, para que os estudantes repitam e repitam ao resolver longas listas de exercícios para apenas decorar o procedimento a ser realizado.

A construção do letramento matemático dos estudantes exige outra postura, tanto do professor como dos estudantes, diante das situações a serem vivenciadas na sala de aula ou fora dela. Para o professor, trata-se de assumir que há necessidade de criar um ambiente de aprendizagem que possibilite aos estudantes sentirem-se à vontade e com tempo para pensar, colocar questões, explorar suas ideias e exprimi-las.

Nesse ambiente, deve ser possível para o professor compreender como os estudantes estão pensando, favorecendo a formulação de questões ou pedidos de explicações para poder acompanhar a utilização das representações matemáticas

e verificar como se expressam sobre elas e, ainda, conferir os recursos que usam para construir sua argumentação. Para os estudantes, trata-se da tomada de consciência de que aprender Matemática significa raciocinar, representar, comunicar-se e argumentar matematicamente e que essas são ações que devem ser realizadas cotidianamente para que se tornem cidadãos críticos, conscientes e capazes de tomadas de decisão bem fundamentadas. Assim, é necessário que ambos, professor e estudante, reconheçam características que podem ser observadas para a avaliação de que o letramento matemático está sendo desenvolvido, apresentadas a seguir.

• Raciocinar: envolve processos de pensamento logicamente encadeados, que exploram e vinculam elementos a partir dos quais é possível realizar inferências, verificar uma dada justificativa, ou fornecer uma justificativa sobre uma afirmação ou sobre soluções alcançadas. É importante considerar ainda que raciocinar matematicamente inclui processos intuitivos, a formulação de novas ideias e a obtenção e validação de conclusões. Segundo D’Ambrosio (2005, p. 30): “As ideias matemáticas, particularmente comparar, classificar, quantificar, medir, explicar, generalizar, inferir e, de algum modo, avaliar, são formas de pensar, presentes em toda a espécie humana.”.

• Representar: utilização de diferentes registros (gráficos, tabelas, diagramas, figuras, equações, fórmulas, materiais concretos) para expressar objetos matemáticos, identificando a possibilidade de transitar de um para o outro de acordo com a necessidade.

• Comunicar: se expressa em ações de leitura, decodificação, interpretações de afirmações, descrição e modelagem matemática de um problema que inicialmente esteja em outra linguagem e quando os estudantes são levados a apresentar a solução ou explicação de determinada situação desafiadora.

• Argumentar matematicamente: processo que se dá pela utilização de conceitos, ideias e entes matemáticos na busca de exercer uma comunicação eficaz e eficiente na aula de Matemática e que deve se aproximar da existente na comunidade matemática. Segundo Grácio (1992), a argumentação envolve simultaneamente a “capacidade de dialogar, de pensar, de optar e de se comprometer” (p. 67). O diálogo promove uma atitude de abertura nas relações com o outro, no momento da comunicação e na disposição para ouvir. O pensar remete a uma atitude crítica e de atenção. A opção traz o comprometimento aliado a uma tomada de decisão para assumir determinada posição em relação a um tema dado.

É possível perceber que os elementos que caracterizam o letramento matemático se entrelaçam e se complementam para uma aprendizagem mais significativa, contribuindo para a construção de uma imagem da Matemática que ultrapassa a do senso e do sentimento comuns de que é uma área de difícil compreensão para muitos, colaborando para o entendimento de que todos podem aprender Matemática.

No trabalho com as propostas desse livro, são várias as oportunidades de o professor acompanhar o desenvolvimento do letramento matemático dos estudantes.

É importante propor discussões sobre as respostas dadas às questões para que os estudantes expressem como pensaram para responder e que relações estabeleceram com as soluções apresentadas anteriormente. Essas relações vão evidenciar como lidaram com a representação usada na resolução dos problemas e como realizaram a leitura, decodificação e interpretação do exposto. Ao apresentarem sua conclusão sobre a questão e defenderem essa tomada de decisão, estão utilizando as capacidades de comunicação e argumentação.

Inferência

A concepção de inferência é amplamente tratada na área de Linguagens por sua importância para os estudos relacionados com a compreensão de textos. No entanto, essa compreensão também é fundamental para os textos matemáticos, apresentados em seus diferentes registros (numérico, algébrico, geométrico, estatístico). Vamos, então, partir de uma concepção geral de inferência para chegar a aspectos mais específicos do raciocínio inferencial em Matemática.

Segundo Santos (2008), há diferentes concepções de inferência por parte de vários autores, mas todas trazem duas características básicas: o acréscimo de informação ao texto e a conexão de partes do texto com o objetivo de preencher lacunas de sentido. A partir dessas características e de suas considerações, essa autora define inferência como “o resultado de uma estratégia cognitiva cujo produto final é a obtenção de uma informação que não está totalmente explícita no texto.” (SANTOS, 2008, p. 65). Portanto, fazer uma inferência significa identificar a presença de informação suplementar não totalmente explicitada no texto.

A inferência está presente no letramento matemático como uma ação inerente ao raciocinar, sendo essencial na tomada de decisão em situações-problema. É ela também que dá suporte ao exercício de criar justificativas lógicas e coerentes na construção de uma argumentação, ou seja, é o uso de informações existentes, de modo explícito ou não, para chegar a novas conclusões.

A realização de inferências em Matemática pode ter um caráter lógico ou pode estar vinculada a processos intuitivos que levam à caracterização de quatro tipos de inferência: indução, dedução, abdução e raciocínio por analogia.

A inferência indutiva está associada a processos de observação a partir do qual são desenvolvidas conjecturas, chegando a um processo de generalização, que indicam uma propriedade, um conceito ou uma ideia de determinado objeto matemático, mas que devem necessariamente ser testadas. É um movimento de análise que se desenvolve do particular para o geral. Esse tipo de inferência é bastante incentivado pelas atividades dos livros desta coleção em propostas para o desenvolvimento do pensamento algébrico, nas quais os estudantes são chamados, por exemplo, a analisar sequências numéricas ou geométricas para escreverem ou obterem um termo qualquer dessa sequência ou uma sentença algébrica que represente todos os seus elementos.

A inferência dedutiva diferencia-se da indutiva por usar a lógica como ferramenta argumentativa, e não a experiência e a observação, desenvolvida do geral para o particular, com uma conclusão necessária e com um papel de validação de conhecimento. As características centrais dessa inferência são a relação necessária entre as premissas e a conclusão e a validade universal da conclusão, desde que a cadeia de deduções esteja isenta de erros. Essa inferência é a mais característica da Matemática; assim, toda vez que o livro tratar da demonstração de alguma propriedade, fórmula ou teorema está sendo desenvolvido esse modo de pensar, e é essencial que o professor chame a atenção dos estudantes sobre essa estruturação formal de encadear asserções de forma lógica e justificar esse encadeamento presente nas demonstrações dedutivas.

A inferência abdutiva é um processo de procura por princípios, explicações ou hipóteses a partir da observação de algo intrigante. Ao contrário da dedução, que parte das hipóteses para verificar que as conclusões são verdadeiras, a abdução parte de uma suposta verdade para encontrar algumas hipóteses das quais ela possa ser deduzida. A criação de hipóteses favoráveis nos leva a investigar a situação e, assim, podemos descobrir fatos novos. O esquema geral da abdução consiste na identificação de uma evidência (um fato ou conjunto de fatos), na apresentação de hipóteses alternativas para explicar tal evidência, seguida de uma avaliação da pertinência e adequação dessas explicações. A hipótese que for considerada a que fornece melhor explicação é tomada como provavelmente verdadeira e assumida como a conclusão da inferência. A procura de explicações a respeito de observações feitas é um processo muito rico na construção do conhecimento e proporciona aos estudantes uma aprendizagem significativa. Esse tipo de inferência é de grande importância para a construção de um pensamento crítico, apoiado em fatos, tendo em vista uma explicação e uma conclusão plausíveis.

O raciocínio por analogia, de acordo com Polya (1954), está estreitamente relacionado com a indução, pois também está ligado à observação e determinação de uma semelhança, mas de nível mais conceitual. Por exemplo, quando pensamos na semelhança entre as propriedades da adição e da multiplicação podemos tomá-las como dois sistemas análogos, ou, ainda, quando fazemos alguma modificação em uma figura geométrica para reconhecer nela uma figura conhecida, estamos buscando situações que possam ser tratadas como análogas.

A identificação dessas diferentes maneiras de agir diante de situações matemáticas põe em relevo que processos intuitivos são válidos em Matemática e são geradores de novas ideias e podem ser utilizados para a obtenção e validação de conclusões.

Argumentação

A formação integral que se pretende para os estudantes, proposta pela BNCC, traz como pressuposto o desenvolvimento de competências e, entre elas, “[...] saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções [...].” (BNCC, 2018, p. 14) Para que esse desenvolvimento ocorra é necessário que se promova ao longo das aulas a constituição do pensamento crítico dos estudantes.

O pensamento crítico possibilita considerar situações, informações ou atitudes de maneira analítica e racional. Isso envolve entender as origens, as motivações, a coerência, os objetivos e a validade de argumentos para a construção de posicionamentos. Diariamente, precisamos recorrer a esse tipo de pensamento para avaliar se devemos nos convencer da verdade de uma afirmação ou de que o argumento que nos é apresentado é consistente. Também é esse tipo de pensamento que nos permite formular bons argumentos para comunicar e defender nossa posição diante de determinada situação. Em essência, pensar criticamente é saber avaliar e formular uma argumentação. Mas o que é argumentação? Como promover esse desenvolvimento nas aulas?

A teoria da argumentação, em seus primórdios entre os filósofos gregos, estava ligada ao estudo da retórica e da poética, entendidas como a arte de falar bem e escrever belos discursos. Entretanto, com Aristóteles, considerado o pai da teoria da argumentação, amplia-se essa visão. Para ele, ciência, sabedoria, arte, dialética e retórica são formas de racionalidade, dotadas de diferentes graus de exatidão, de rigor ou de precisão, mas todas igualmente caracterizadas pelo argumentar.

Atualmente, defende-se a ideia de que a prática argumentativa está presente em todos os campos da esfera humana e que a argumentação é imprescindível à construção do conhecimento.

Para Japiassú e Marcondes (2001), a argumentação é um

Modo de apresentar e de dispor os argumentos, vale dizer, os raciocínios destinados a provar ou a refutar determinada proposição, um ponto de vista ou uma tese qualquer. Seu objetivo é o de convencer ou persuadir, mostrando que todos os argumentos utilizados tendem para uma única conclusão.

ARGUMENTAÇÃO. In: JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de Filosofia. 3. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. p. 17. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filosofia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para Carnielli e Epstein (2011), um argumento deve ser expresso em uma linguagem clara e direta, por meio de frases chamadas declarativas, de modo que possam ser classificadas em verdadeiras ou falsas e a argumentação é uma

[…] coleção de afirmações, uma das quais se chama “conclusão” e cuja verdade procura-se estabelecer; as outras afirmações chamam-se “premissas”, e estas afirmações pretendem conduzir à conclusão (ou apoiá-la, ou persuadir-nos da sua verdade).

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011. p. 8.

O lugar que a argumentação ocupa hoje na escola explicita sua importância para a estruturação e formação do indivíduo, pois ela reflete a liberdade de reflexão e de ação com objetivo democrático, o que leva a pensá-la não apenas do ângulo intelectual mas também do social e do ético.

Ao considerarmos que um dos pilares da construção da Matemática como ciência está em seu processo argumentativo, o qual se consolida nas demonstrações de propriedades e teoremas que, dessa maneira, se tornam verdades a serem utilizadas em diferentes situações, tanto reais como internas à própria área, não se pode deixar de desenvolver nos estudantes a capacidade argumentativa. Ela é tão significativa para essa área que é um dos elementos constitutivos do letramento matemático.

A partir das contribuições da Filosofia e da Educação Matemática, podemos nos aprofundar na valorização do pensamento voltado à explicação e justificação das ações executadas, tendo em vista a construção de significados para conceitos, propriedades e procedimentos matemáticos. A recente valorização de atividades de argumentação nas aulas de Matemática também tem a intenção de encontrar caminhos facilitadores para a aprendizagem de demonstrações. As demonstrações têm um grande poder explicativo na Matemática, e, a princípio, os estudantes podem não reconhecer essa característica e podem também não encontrar sentido nos raciocínios demonstrativos. Para que as demonstrações exerçam seu papel como modo último de justificação matemática, é preciso que os estudantes estejam familiarizados

com padrões de argumentação matemática. As propostas para essa realização apoiam-se na criação e na manutenção de ambientes de aprendizagem que apoiem o fazer Matemática e o falar sobre esse fazer, procurando justificar suas ações.

Na exploração dos livros da coleção, há várias oportunidades para o fazer e o falar sobre Matemática, favorecendo o desenvolvimento da argumentação. Nas aberturas das Unidades, sempre há desafios e novas descobertas a serem feitas; na seção Pense e responda, os estudantes são chamados a usar estratégias próprias e investigativas para as soluções; no boxe Fórum, os estudantes podem expressar entendimentos e exercitar a capacidade argumentativa ao defender ideias nos debates propostos; na seção Retomando o que aprendeu, há a oportunidade de solicitar a eles que expliquem as estratégias de resolução das questões.

No entanto, é preciso lembrar-se de que essas argumentações surgem durante as interações da aula, quando, no decorrer da ação, o professor provoca a turma a justificar estratégias, o uso de determinados procedimentos, que expliquem aos colegas como estão pensando e porque pensaram desse modo. Nessas conversas, é interessante que sejam usados pelo professor termos como argumento, conjectura, plausibilidade da conjectura, inferência, contraexemplo, justificativa e prova matemática para que os estudantes se familiarizem com tais termos e passem a reconhecê-los como parte do conhecimento matemático em construção.

Outro aspecto importante a ser considerado é o da contribuição dos processos argumentativos na elaboração de inferências apoiadas nas relações lógicas que podem ser estabelecidas entre os argumentos, explorando o uso da estrutura condicional “se..., então...”. O pensamento computacional também pode ser acionado, estabelecendo um paralelo no modo de pensar sobre a organização encadeada dos argumentos para se chegar à conclusão e às etapas a serem construídas e seu encadeamento lógico para a solução computacional de uma situação.

O fundamental a se considerar é que “[…] compreender as bases da argumentação correta e do pensamento límpido nos possibilita aproximar da verdade e da justiça, e compreendemos que só quem é realmente incapaz de argumentar bem pode acreditar que maus argumentos produziriam bons resultados.” (CARNIELLI; EPSTEIN, 2011, p. XIV).

Pensamento computacional

Os desafios a serem enfrentados pela humanidade no século XXI têm sido foco de muitas discussões por diferentes órgãos políticos, sociais e educacionais desde o final do século passado e se mantêm até hoje. A capacidade de comunicação e de estabelecer relacionamentos que exige pensar no uso das tecnologias para superar desigualdades e para construir ambientes públicos de direito; as alterações profundas no mundo do trabalho que exigem o domínio de ferramentas digitais e de programas básicos de computação para a maioria dos trabalhadores, as questões éticas e sociais envolvidas no desenvolvimento e uso da inteligência artificial (IA) são apenas alguns exemplos desses desafios. Um dos pontos-chave dessas discussões é a função essencial da educação pela relevância do desenvolvimento da capacidade de agir e pensar de modo criativo e crítico, apoiado pelo conhecimento das diferentes áreas e dos fundamentos da computação aplicados em cada uma dessas áreas. Esses são elementos balizadores para a construção das competências e habilidades dos estudantes tendo em vista a participação deles como cidadãos críticos, conscientes e protagonistas no desenvolvimento da sociedade.

A Unesco, em seu relatório sobre a Educação para a Cidadania Global – preparando alunos para os desafios do século XXI, destaca que:

Em um mundo globalizado, a educação vem enfatizando a importância de equipar indivíduos desde cedo e por toda a vida, com conhecimentos, habilidades, atitudes e comportamentos de que necessitam para serem cidadãos informados, engajados e com empatia. Com essa interconectividade cada vez maior, por exemplo, por meio de TIC e […] redes sociais, as oportunidades para respostas de colaboração, cooperação, aprendizagem compartilhada e coletivas têm aumentado.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global – preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015, p. 11. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf.multi. Acesso em: 16 jul. 2022.

O pensamento computacional não se refere apenas à computação. Ele parte da mente humana e da capacidade de realizar conexões e resolver problemas de maneira eficiente.

A presença da tecnologia no cotidiano pode ser notada não só para a comunicação, uma vez que

[…] praticamente todos os serviços essenciais da nossa sociedade – dos utensílios do lar às atividades laborais, na saúde, na agricultura, nos automóveis e na crescente automação que vem trazendo enormes desafios sociais e econômicos. Majoritariamente, a informação que a humanidade possui e utiliza contemporaneamente está armazenada digitalmente. O mundo é cada vez mais dependente de tecnologias digitais.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 8. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

Essas considerações iniciais colocam em relevo a necessidade de a educação escolar incorporar em sua prática discussões e propostas variadas em que se apresentem elementos da Ciência da Computação, tendo em vista o desenvolvimento do Pensamento computacional que

[…] refere-se à habilidade de compreender, analisar, definir, modelar, resolver, comparar e automatizar problemas e suas soluções de forma metódica e sistemática, através do desenvolvimento da capacidade de criar e adaptar algoritmos, aplicando fundamentos da computação para alavancar e aprimorar a aprendizagem e o pensamento criativo e crítico nas diversas áreas do conhecimento.

BRASIL. Ministério da Educação. Conselho Nacional de Educação. Normas sobre Computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: CNE, 2021. p. 10. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_docman&view=download&alias=182481 -texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-educacao-basica&category_slug=abril-2021 -pdf&Itemid=30192. Acesso em: 16 jul. 2022.

No Brasil, a Base Nacional Comum Curricular (BNCC), em seus pressupostos quanto à educação integral dos estudantes, que “se refere à construção intencional de processos educativos que promovam aprendizagens sintonizadas com as necessidades, as possibilidades e os interesses dos estudantes e, também, com os desafios da sociedade contemporânea” (BNCC, p. 14), expressa a preocupação com uma formação escolar que conecte os jovens a essa realidade mundial e os engaje nela. Para isso, é importante evidenciar a importância de os professores do Ensino Fundamental tratarem do desenvolvimento de competências e habilidades dos estudantes que permitirão a eles não se intimidarem diante das novas tecnologias e do uso de recursos computacionais nos ambientes de estudo e, futuramente, de trabalho. No entanto, uma questão se interpõe a esse fato: Como isso pode ser feito se a maioria dos docentes não têm formação específica em computação?

Uma resposta pode ser encontrada quando comparamos as competências e habilidades descritas para Matemática e os elementos básicos do Letramento Matemático com as habilidades fundamentais da era da computação – “pensamento crítico, resolução de problemas, criatividade, ética/responsabilidade, colaboração” (Brasil, 2021, p. 8) e o conceito de pensamento computacional, propostos no documento Normas sobre Computação na Educação Básica (CNE). Dessa comparação, é possível concluirmos que o desenvolvimento do pensamento computacional pode ser feito com o letramento matemático, uma vez que, para ambos, raciocinar, representar, comunicar e argumentar são indispensáveis. Essa possibilidade de abordagem do pensamento computacional e o do letramento matemático aparece de modo explícito na seção Tecnologias, presente em diversos momentos nos livros desta coleção. Essa seção propicia discussões sobre os softwares utilizados e seus recursos, além da apresentação de noções de programação, totalmente pertinentes e de interesse tanto do ponto de vista dos resultados matemáticos a serem obtidos e de seu significado, como do ponto de vista do pensamento computacional identificando a adaptação de algoritmos de uso matemático utilizados em um software ou aplicativo. Há, ainda, outra possibilidade para esse trabalho conjunto – a resolução de problemas.

A resolução de problemas é um dos momentos mais propícios para abordar as relações entre o pensamento matemático e o pensamento computacional, sendo que este tem muito a contribuir para o desenvolvimento daquele. No entanto, cabe ao professor promover discussões com os estudantes, nas quais sejam apresentadas algumas etapas utilizadas em processos computacionais para a resolução de problemas que também são interessantes de serem aplicadas em situações rotineiras de aula.

O Centro de Inovação para a Educação Brasileira (CIEB), em seu documento Currículo de Referência em Tecnologia e Computação (CIEB, 2019), destaca que a resolução de problemas computacionais apresenta as etapas a seguir.

• Decomposição: realiza-se a análise de um problema com o intuito de identificar partes que podem ser separadas, para tornar mais simples a solução de cada uma delas, e de que modo podem ser reconstruídas para a descoberta de uma solução para um problema mais complexo.

• Reconhecimento de padrões: tem um viés um pouco diferente do utilizado na Álgebra, pois está voltado para a identificação de características comuns entre as soluções das partes em que o problema foi decomposto que permita a utilização do mesmo processo ou o reconhecimento de similaridades com outros problemas resolvidos.

• Algoritmo: trata-se de uma sequência de passos, ou seja, conjunto de instruções precisas, ordenadas e necessárias para solucionar um problema, como em Matemática.

• Abstração: refere-se à generalização de padrões e sua classificação, destacando as informações necessárias e organizando-as em estruturas que possam auxiliar na resolução de novos problemas, também se aproximando do movimento de generalização usado em Matemática.

Essa abordagem do pensamento computacional possibilita aos estudantes criarem uma estrutura e um processo de sistematização para analisar uma situação-problema, mobilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas, que nos permitem afirmar que o pensamento computacional pode ser visto como um suporte analítico para o pensamento matemático com o estabelecimento de maneiras de como um problema pode ser abordado na busca da solução.

Comunicação nas aulas de Matemática

Na escola, todos os dias os estudantes convivem com os colegas, professores e demais componentes da comunidade escolar, e esse processo de interação é de grande importância. Não podemos deixar de mencionar a relevância da comunicação, incluindo as aulas de Matemática.

Os estudantes precisam ser estimulados a se expressar de diferentes modos, por exemplo, falar, ouvir, registrar por escrito, atuar por meio de manifestações artísticas, entre outras, de tal maneira que possam compartilhar vivências, conhecimentos, dúvidas ou hipóteses, conjecturas etc.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Falar sobre o que está pensando, os caminhos percorridos, os sentimentos despertados durante as aulas e as estratégias utilizadas em cada situação pode auxiliar não apenas o próprio estudante a reelaborar e organizar seu raciocínio e processo de aprendizagem como também favorecer os demais colegas a validar hipóteses ou a compreender por que pensam de modo diferente ou utilizam estratégias distintas.

Nesse processo de socialização, os estudantes são estimulados a desenvolver diferentes habilidades e competências, incluindo as socioemocionais, ao se relacionar com um ou mais colegas de maneira respeitosa e responsável.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Vale destacar, ainda, a importância do desenvolvimento da leitura e da análise de textos matemáticos.

Nas aulas de Matemática, é fundamental que os estudantes sejam incentivados a se familiarizar com o vocabulário, a linguagem e as construções próprias dessa ciência. Além de conhecer termos e símbolos, é importante que consigam articulá-los e analisar criticamente um texto matemático, por exemplo, avaliar a razoabilidade de um resultado, validar ou refutar hipóteses na investigação de situações-problema ou para interpretar uma notícia com dados estatísticos.

Nesse sentido, o desenvolvimento de habilidades, como o raciocínio inferencial e argumentativo e o pensamento computacional, torna-se ferramenta indispensável para uma comunicação eficiente nas aulas de Matemática. À medida que os estudantes desenvolvem a capacidade de elaborar hipóteses, conjecturar, defender ideias e organizar etapas de pensamento, tornam-se aptos a comunicar resultados e entendimentos a respeito dos mais diversos temas, incluindo aqueles de caráter matemático, científico e do cotidiano de modo geral.

Modelagem

Modelagem matemática, em linhas gerais, pode ser entendida como a criação de um modelo, com base em um conjunto de modificações e/ou adaptações de uma estrutura matemática já existente, para solucionar uma dada situação-problema.

Para melhor compreender o significado da modelagem no contexto do ensino e da aprendizagem da Matemática, será preciso recuperar esse conceito no contexto da aplicabilidade da Matemática, aquela exercida por profissionais das mais diversas áreas do conhecimento humano.

Segundo Bean (2001), ao falarmos das raízes da aplicabilidade da Matemática, temos em mente situações-problema complexas e não bem definidas encontradas nas indústrias, no setor da saúde e no meio ambiente, entre outras áreas. Para encaminhamento de uma solução ou de uma melhor compreensão do que ocorre e precisa ser solucionado, será necessário que o profissional responsável crie ou pelo menos modifique modelos matemáticos já existentes, definindo parâmetros, características e relações entre eles.

[…] As características e relações, extraídas de hipóteses e aproximações simplificadoras, são traduzidas em termos matemáticos (o modelo), nos quais a matemática reflete a situação do problema. Durante e depois da criação do modelo, o profissional verifica a coerência da matemática e a validade do modelo no contexto do problema original. […]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 51, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Ainda de acordo com esse autor, uma transferência do método da modelagem vem sendo implantada na Matemática desenvolvida nas escolas a fim de dar respostas às dimensões socioculturais da educação e ao baixo desenvolvimento dos estudantes em Matemática.

Essa transferência de método se dá com apoio na resolução de problemas aplicados, os quais tratam de questões de relevância que motivem os estudantes a buscar soluções.

Esse autor estudou dissertações e teses de Educação Matemática e afirma que delas surgem duas abordagens: a modelagem como uma metodologia de problematização e a modelagem como aprendizagem baseada em problemas. As duas pretendem enfocar situações de interesse dos estudantes. A primeira problematiza uma situação dada, não bem definida, e é intitulada modelagem; e a segunda, chamada modelação, trabalha uma situação dada já em forma de situação-problema relacionada ao conteúdo a ser ministrado.

Bean (2001) salienta ainda que a modelagem difere da resolução de problemas quando a situação não for bem definida, tal qual proposto por Polya, que será abordado posteriormente nestas Orientações. Para Bean (2001),

A essência da modelagem matemática consiste em um processo no qual as características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o modelo). As hipóteses e as aproximações significam que o modelo criado por esse processo é sempre aberto a críticas e ao aperfeiçoamento.

[…]

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 53, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/emr/article/view/1689/1182. Acesso em: 7 jul. 2022.

Sem dúvida, uma vez que o modelo esteja formatado, há de se querer chegar a um resultado, solucionando-o. Daí a aproximação e o afastamento das metodologias – resolução de problemas, modelagem ou modelação – como propostas de ensino da Matemática.

A resolução de problemas, na maioria dos casos, não envolve hipóteses e aproximações simplificadoras na criação de modelos. O problema dado já é bem definido. E, talvez, por causa das diferenças citadas é que a resolução de problemas se torna uma metodologia que costuma ser mais indicada para o Ensino Fundamental de Matemática do que a modelagem matemática e a modelação matemática, que têm sua maior projeção no Ensino Superior.

Resolução de problemas

Muito já se pesquisou desde a apresentação das quatro etapas para se chegar à solução de um problema descritas por Polya, em seu livro intitulado How to Solve It, cuja primeira edição data de 1945. A tendência da Educação Matemática por resolução de problemas avança hoje para além das fronteiras de um método de resolução e passa a ser desenvolvida como uma perspectiva metodológica para o ensino de Matemática.

Onuchic (1999) traz uma retrospectiva do desenvolvimento dessa tendência, evidenciando o trabalho realizado por Schroeder e Lester (1989), que aponta para diferentes modos de abordá-la. De acordo com essa perspectiva, pode-se adotar uma atitude educativa que corresponda a ensinar resolução de problemas. Nessa abordagem, os modelos de

resoluções constituem o foco da atividade. Pode-se, por outro lado, ensinar a resolver problemas; o foco, nesse caso, é concentrar-se no ensino de Matemática e no que dela pode ser aplicado na solução de problemas rotineiros ou não; e, por último, pode-se assumir uma conduta de ensinar Matemática por meio da resolução de problemas, na qual

[...] os problemas são importantes não somente como um propósito de se aprender matemática, mas também, como um primeiro passo para se fazer isso. O ensino-aprendizagem de um tópico matemático começa com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e são desenvolvidas técnicas matemáticas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. [...], deste modo, pode ser visto como um movimento do concreto (um problema do mundo real que serve como exemplo do conceito ou da técnica operatória) para o abstrato (uma representação simbólica de uma classe de problemas e técnicas para operar símbolos).

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 207.

Para Onuchic, essa abordagem é a mais coerente com as indicações apresentadas nos PCN, e estende-se aqui essa coerência à BNCC, pela qual se espera que os estudantes “desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das situações” (BNCC, 2018, p. 265). Onuchic afirma ainda que nessa abordagem “o aluno tanto aprende Matemática resolvendo problemas como aprende Matemática para resolver problemas” (1999, p. 210-211).

Segundo Onuchic e Allevato (2009), durante a aplicação da metodologia surgem sempre oportunidades para avaliar a compreensão dos estudantes dos conceitos que envolvem o problema proposto, possibilitando ao professor perceber o crescimento do conhecimento matemático deles, o que faz a aplicação do método ser um momento de ensino-aprendizagem-avaliação.

Onuchic (1999) alerta para a importância da ação e formação do professor ao aplicar essa metodologia.

[...] vale ressaltar que o sucesso da operacionalização proposta depende, em grande parte, dos professores que irão implementá-la nas salas de aula e de como serão formados esses profissionais nessa perspectiva de trabalho.

ONUCHIC, Lourdes de la Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em educação matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. p. 212.

Embora não haja uma maneira rígida de ensinar por meio da resolução de problemas, passaremos a descrever sucintamente um roteiro metodológico que poderá ser desenvolvido com base em situações-problema propostas em cada volume da obra.

Estudante resolvendo um problema na lousa.

O roteiro apresentado por Onuchic e Allevato (2011) pode ser dividido nas seguintes etapas.

Preparação do problema: nesta primeira etapa, vale ressaltar que o conteúdo matemático necessário para a resolução do problema não foi trabalhado anteriormente com os estudantes. A ideia é que eles mobilizem os conhecimentos que possuem para, a partir disso, construir novos conhecimentos necessários para a resolução.

Leitura do problema: é a etapa em que se promove uma leitura individual do problema, seguida de uma leitura em conjunto, a fim de propiciar esclarecimento de eventuais dúvidas.

Plenária: para esta etapa, são convidados todos os estudantes para discutirem as diferentes resoluções registradas na lousa pelos colegas, defenderem seus pontos de vista e esclarecerem as dúvidas. Nesse processo, o professor se coloca como guia e mediador das discussões, incentivando a participação ativa e efetiva de todos os estudantes.

Resolução do problema: com base no entendimento do problema, sem dúvidas quanto ao enunciado, os estudantes, em grupos, em um trabalho cooperativo e colaborativo, buscam resolver o problema.

Busca do consenso: depois de sanadas as dúvidas e analisadas as resoluções e soluções obtidas para o problema, o professor tenta, com toda a turma, chegar a um consenso sobre o resultado correto.

Observar e incentivar: nesta etapa, o professor se torna um mediador e, portanto, não tem mais o papel de transmissor do conhecimento.

Formalização do conteúdo: nesse momento, denominado formalização, o professor registra na lousa uma apresentação formal – organizada e estruturada em linguagem matemática –, padronizando os conceitos, os princípios e os procedimentos construídos por meio da resolução do problema.

Registro das resoluções na lousa: representantes dos grupos são convidados a registrar e socializar, na lousa, suas resoluções, independentemente de estarem certas ou erradas.

Metodologias ativas

São os estudantes que aprendem. Essa afirmação, tão comentada em debates sobre educação, traz consigo uma concepção do processo de ensino e aprendizagem que, apesar de não ser nova, ainda se apresenta como um desafio às escolas: cada estudante é único e deve ser o motivo, o autor e o protagonista de seu processo de aprendizagem.

Se o principal objetivo da educação é fazer que os estudantes construam conhecimento, que se apropriem de aprendizagens consideradas essenciais e, mais importante, que se tornem competentes em aprender – para que possam fazer isso mesmo quando não estiverem mais no ambiente escolar – a escola é, portanto, para eles e feita deles e por eles. Nesse caso, podemos dizer que são os autores e atores principais.

Os estudantes são os a(u)tores principais do processo porque é deles que devem vir as demandas, o interesse, a curiosidade – uma educação que não considere as especificidades de cada indivíduo/grupo, que não abarque as diferentes formas de ser, os desejos e os projetos desses sujeitos, provavelmente não mobilizará o envolvimento e a dedicação de jovens e crianças que, consequentemente, deixarão de protagonizar essa história.

E, por fim, os estudantes são protagonistas de sua aprendizagem porque pouco se aprende sem interesse e motivação (que é intrínseca), sem inspiração, sem a prática e sem a experimentação. É preciso levantar hipóteses, testá-las, experimentar, errar, explorar, enfim, construir o caminho da própria aprendizagem.

Nessa perspectiva, o modelo de aula que vigora desde tempos remotos – em que o professor “ensina” transmitindo seus conhecimentos e os estudantes os recebem – já não parece mais coerente às necessidades de nossos jovens e crianças, não parece contribuir de forma efetiva com a aprendizagem. É preciso que eles construam o próprio conhecimento – e essa construção relaciona-se ao acesso à informação e sua transformação em algo que faça sentido, em comunhão com seus conhecimentos prévios, emoções e maturidade cognitiva de processamento.

De acordo com o texto “O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências”, publicado no site oficial da Base Nacional Comum Curricular, a construção do conhecimento possibilita aos estudantes construir também competências como:

• saber buscar e investigar informações com criticidade (critérios de seleção e priorização) a fim de atingir determinado objetivo, a partir da formulação de perguntas ou de desafios dados pelos educadores;

• compreender a informação, analisando-a em diferentes níveis de complexidade, contextualizando-a e associando-a a outros conhecimentos;

• interagir, negociar e comunicar-se com o grupo, em diferentes contextos e momentos;

• conviver e agir com inteligência emocional, identificando e desenvolvendo atitudes positivas para a aprendizagem colaborativa;

• ter autogestão afetiva, reconhecendo atitudes interpessoais facilitadoras e dificultadoras para a qualidade da aprendizagem, lidando com o erro e as frustrações, e sendo flexível;

• tomar decisão individualmente e em grupo, avaliando os pontos positivos e negativos envolvidos;

• desenvolver a capacidade de liderança;

• resolver problemas, executando um projeto ou uma ação e propondo soluções.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/implementacao/praticas/ caderno-de-praticas/aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-colaborativas-e -a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJtZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9s b2dpYXMgYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

Mas que metodologias podem ser utilizadas para que os estudantes, de fato, possam construir o conhecimento? Certamente, não há apenas uma maneira e nem sempre todos os estudantes carecem de uma mesma estratégia ou formatação, mas se faz necessário o uso de metodologias que incentivem o protagonismo, que convidem os estudantes à ação, à atuação, ao fazer – e que, fazendo, aprendam, ou seja, as chamadas metodologias ativas.

De acordo com Bacich e Moran (2018):

As metodologias ativas constituem alternativas pedagógicas que colocam o foco do processo de ensino e de aprendizagem no aprendiz, envolvendo-o na aprendizagem por descoberta, investigação ou resolução de problemas. [...]

[...]

As metodologias voltadas para a aprendizagem consistem em uma série de técnicas, procedimentos e processos utilizados pelos professores durante as aulas, a fim de auxiliar a aprendizagem dos alunos. O fato de elas serem ativas está relacionado com a realização de práticas pedagógicas para envolver os alunos, engajá-los em atividades práticas nas quais eles sejam protagonistas da sua aprendizagem. Assim, as metodologias ativas procuram criar situações de aprendizagem nas quais os aprendizes possam fazer coisas, pensar e conceituar o que fazem e construir conhecimentos sobre os conteúdos envolvidos nas atividades que realizam, bem como desenvolver a capacidade crítica, refletir sobre as práticas realizadas, fornecer e receber feedback, aprender a interagir com colegas e professor, além de explorar atitudes e valores pessoais.

É importante ressaltar que as metodologias ativas não se resumem a um conjunto de estratégias com nomes específicos – trata-se principalmente de uma concepção de educação, de um olhar para o processo educativo. Existem inúmeras maneiras de promover a ação dos estudantes, mas é fundamental perceber quais delas são mais adequadas a cada grupo (ou estudante) em cada momento. Em geral, elas não se limitam ao ambiente escolar ou ao momento da aula, ampliando as possibilidades de exploração e envolvimento.

A seguir, são apresentadas algumas estratégias que podem favorecer a aprendizagem ativa e significativa, as quais poderão ser exploradas durante o uso desta coleção.

• Sala de aula invertida: o princípio dessa estratégia é que os estudantes tenham contato com os conceitos e a teoria em um ambiente externo à sala de aula, por exemplo em casa, antes da aula – o que pode ser feito com um vídeo curto, um texto, uma coleta de informações. Desse modo, o tempo didático na escola poderá ser utilizado para a promoção de atividades em grupo, explorações, investigações e debates. De acordo com Bacich e Moran (2018):

[…] os professores podem iniciar com o básico sobre a inversão da sala de aula e, à medida que vão adquirindo experiência, passar a usar a aprendizagem baseada em projetos ou em investigação. Com isso, vão se reinventando, criando cada vez mais estratégias centradas nos estudantes ou na aprendizagem, em vez das aulas expositivas que costumavam ministrar.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 84.

• Rotação por estações: nessa estratégia, o professor organiza diferentes atividades relacionadas a um mesmo assunto, de modo a explorar habilidades distintas e complementares. Cada grupo trabalhará com uma atividade durante um período e, findado o tempo, passará para a próxima proposta. Durante o tempo de aula, todos os grupos devem ter contato com todas as propostas.

• Aprendizagem baseada na investigação: nessa proposta, a aprendizagem é iniciada com perguntas, problemas ou cenários relacionados à realidade, que deverão ser discutidos para identificação de uma solução. Importante ressaltar que, muitas vezes, não existe apenas uma solução possível, e a experimentação pode ser uma maneira interessante de validar as possibilidades.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018. p. 80-81.

• Aprendizagem em equipe: os estudantes são convidados a trabalhar, durante algum período, em um grupo composto de quatro ou mais membros. As decisões e atividades são realizadas pela equipe, de forma conjunta, o que favorece a interação entre os pares e o desenvolvimento de competências socioemocionais. No fim do período, podem-se trocar as equipes, de modo que cada estudante aprenda a valorizar diferentes perfis e habilidades.

• Jogos: tanto jogar quanto criar jogos são atividades que podem favorecer a aprendizagem ativa. Quando os estudantes jogam, envolvem-se em um contexto que traz significado ao conhecimento e pode mobilizar diferentes habilidades. Desse modo, é importante que o professor crie oportunidades para trabalhar jogos nas aulas e propor análises de estratégias e resultados com base em conhecimentos mobilizados pelos estudantes. Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão a Matemática contextualizada, voltada para a resolução de problemas muitas vezes em abordagem interdisciplinar, favorecendo a exploração das metodologias ativas. De modo geral, todas as seções da obra, com destaque para as seções Pense e responda e Fórum, podem proporcionar um envolvimento ativo dos estudantes, na investigação por soluções, mobilização de conhecimentos e construção de argumentos baseados nos objetos do conhecimento matemático.

Tecnologias digitais: potencialidades no ensino e na aprendizagem

É inegável a presença das Tecnologias Digitais (TD) na vida privada, no mundo do trabalho e no desenvolvimento do conhecimento gerado na época atual. A intenção nesta obra é promover algumas reflexões acerca das possíveis relações existentes entre as TD e o trabalho desenvolvido na escola, pensando nos principais motivos que podem levar ao fortalecimento dessas relações.

Borba, Scucuglia e Gadanidis (2014), no livro Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática, analisam as pesquisas desenvolvidas no Brasil, nos últimos 30 anos, que tratam da presença das tecnologias digitais na Educação Matemática.

[...] Essa tecnologia assumiu nomes distintos que simbolizaram diferentes épocas: Logo, informática, educação matemática on-line, tecnologias da informação, tecnologias da informação e comunicação, internet etc. Os diversificados termos utilizados enfatizaram diferentes aspectos desta tecnologia que, como o título sugere, está em movimento.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2014. p. 16.

As diferentes maneiras – de como a sala de aula de Matemática tem se transformado com o evento das tecnologias – foram classificadas pelos autores em quatro fases. Passaremos a expor um breve resumo de cada uma das fases por eles descritas. Para uma compreensão mais profunda sobre cada uma das fases e suas fundamentações, recomendamos a leitura do livro.

A primeira fase, nos anos 1980, já discutia o uso de calculadoras simples ou científicas e de computadores. Tecnologia de Informática (TI) era o termo utilizado para se referir a computadores e softwares. No entanto, o uso do software LOGO é que, principalmente, caracterizou essa fase fundamentada no construcionismo, que considerava o potencial da programação do LOGO ao enfatizar relações entre linguagem de programação e pensamento matemático. Havia nessa fase a preocupação com a implantação de laboratórios de informática nas escolas e a formação de professores, pois o papel atribuído às tecnologias era o de catalisador para as mudanças pedagógicas.

A segunda fase teve início em 1990. Nela, existiam muitas perspectivas de como os estudantes, professores e pesquisadores viam o papel dos computadores na vida pessoal e profissional deles. Muitos nem chegaram a usar os computadores, “outros ainda, por perceberem as transformações cognitivas, sociais e culturais que ocorriam com o uso de TI, buscavam explorar possibilidades didático-pedagógicas. Diversos softwares educativos foram então produzidos por empresas, governo e pesquisadores” (BORBA; SCUCUGLIA; GADANIDIS, 2014, p. 22). Nessa fase, os autores destacam o uso de softwares para o ensino de funções (como o Winplot, o Fun e o Graphmathica) e para o de geometria dinâmica (como o Cabri Géomètre e o Geometricks). Esses softwares abrem várias possibilidades didático-pedagógicas apoiadas nas ideias de manipulação, combinação, visualização e construção de objetos matemáticos, tudo minuciosamente descrito pelos autores.

A terceira fase tem início em 1999, com o advento da internet. Em educação, a internet começa a ser utilizada como fonte de informação e como meio de comunicação. Surgem os cursos a distância para formação continuada de professores via e-mails, chats e fóruns. O termo agora utilizado é Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC). Em termos de pesquisa, muitas são as questões investigadas, por exemplo: Qual é a natureza do pensamento matemático em cursos on-line? Como a Matemática é transformada em ambientes on-line? Em termos de oportunidades didático-pedagógicas, os pesquisadores colocam em evidência que a interação em ambientes virtuais de aprendizagem oferece nuances cognitivas diversificadas ao investir em multiplicidades de nós e conexões, incentivando a coautoria dos estudantes na atividade proposta.

Atualmente, estamos vivendo a quarta fase, cujo surgimento deu-se em 2014 com a banda larga. Compõem essa fase instrumentos como computador, laptops, tablets, telefones celulares e internet rápida. O termo utilizado para enunciá-la é Tecnologia Digital (TD).

É interessante notar que as fases não se esgotam, muitas das perguntas formuladas em seu início ainda permanecem sendo investigadas e novas questões surgem com o avanço das tecnologias e sua inserção na sociedade.

O que até agora apresentamos nos dá a dimensão da força e da rapidez com que as tecnologias vão sendo implantadas na nossa vida e de como o uso delas nas escolas não pode mais ser retardado. O uso das tecnologias tem um papel preponderante na formação do cidadão ao empreendermos uma visão ampla de educação.

[...] O acesso à informática deve ser visto como um direito e, portanto, nas escolas públicas e particulares o estudante deve poder usufruir de uma educação que no momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar inserido em atividades essenciais, tais como aprender a ler, escrever, compreender textos, entender gráficos, contar, desenvolver noções espaciais etc. E, neste sentido, a informática na escola passa a ser parte da resposta a questões ligadas à cidadania.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática Belo Horizonte: Autêntica, 2010. p. 16-17.

Nessa mesma perspectiva sobre o uso das TD em sala de aula, Ponte (2000) afirma que as próprias TIC (na época ainda não iniciada a nova fase) são ferramentas de trabalho pedagógico que podem ser usadas livremente e de maneira criativa por professores e estudantes na realização de diversificadas atividades. Essa ferramenta pode vir a ser articulada ao trabalho por projetos embasados nas diretrizes da interdisciplinaridade, possibilitando um claro protagonismo do estudante na aprendizagem.

No patamar em que os pesquisadores estão colocando as mudanças educacionais que deverão ocorrer em consequência dos problemas contemporâneos, a prática do professor está cada vez mais articulada com o entorno escolar, o que faz dele também um protagonista da construção escolar como um todo.

A importância das tecnologias digitais se intensificou com a pandemia de covid-19, decretada em 2020. Como uma das consequências do isolamento social para conter a doença, aulas presenciais foram suspensas. Com isso, foi necessário reprojetar a rotina escolar no ambiente digital.

Dadas as dificuldades de acesso a recursos digitais ou, ainda, a complexidade inerente ao ensino a distância na Educação Básica, foi necessário grande esforço por parte de professores e estudantes a fim de prosseguir com a vida escolar.

Estudante assistindo a uma aula on-line

Os professores precisaram desenvolver técnicas de aula a distância, bem como modelos de acompanhamento e avaliação digitais. Essa nova realidade ressaltou a necessidade de uma formação integral do professor, incluindo a familiarização com ferramentas de ensino digitais.

Práticas de pesquisa e método científico

A construção do conhecimento é permanente e se dá desde o nascimento de cada indivíduo. É por meio da interação com o meio e com as pessoas, observando as relações sociais, culturais e naturais ao redor, e tirando conclusões sobre elas, que aprendemos. Por esse motivo, de acordo com Pereira (2018, p. 13), “o conhecimento pode ser classificado em popular (senso comum), teológico, mítico, filosófico e científico, com base na forma como é representado”.

O que diferencia o conhecimento científico dos demais tipos é o método, a maneira de conhecer. De acordo com Pereira (2018, p. 18), o conhecimento científico “é necessariamente construído em relação a algo real, por meio da experimentação, é sistemático, aproximadamente exato e verificável”. Destaca-se, contudo, que o conhecimento científico é falível, ou seja, não é absoluto e pode ser contestado e ampliado.

O conhecimento científico é construído por meio da pesquisa científica, que, por sua vez, é um modo de construção do conhecimento. Nela, o pesquisador, a partir de um problema que precisa resolver, algo que quer descobrir, manipula métodos e técnicas para buscar resultados que atendam às suas indagações. De maneira geral, a pesquisa científica tem a seguinte organização:

• identificação do problema;

• enunciação do problema;

• levantamento de hipóteses;

• definição do método ou de estratégias;

• tentativa de solução;

• testagem/comprovação da solução;

• comunicação dos resultados.

Em relação aos métodos científicos, podemos dizer, de acordo com Dias e Fernandes (2000, p. 6), que se trata de “um conjunto de procedimentos adotados com o propósito de atingir o conhecimento”. Ou seja, o método científico consiste nas regras básicas que se devem executar em uma pesquisa para a construção de conhecimento científico. De acordo com Demo (2001, p. 3) “o conhecimento está menos ligado a conteúdos, do que a procedimentos metodológicos de superação dos conteúdos”. O autor amplia a discussão destacando que essa perspectiva leva “à valorização sem precedentes do saber pensar e do aprender a aprender”. Nesse ponto, podemos perceber a imbricada relação entre a pesquisa científica e a educação escolar. De acordo com a BNCC (Brasil, 2018, p. 14):

No novo cenário mundial, reconhecer-se em seu contexto histórico e cultural, comunicar-se, ser criativo, analítico-crítico, participativo, aberto ao novo, colaborativo, resiliente, produtivo e responsável requer muito mais do que o acúmulo de informações. Requer o desenvolvimento de competências para aprender a aprender, saber lidar com a informação cada vez mais disponível, atuar com discernimento e responsabilidade nos contextos das culturas digitais, aplicar conhecimentos para resolver problemas, ter autonomia para tomar decisões, ser proativo para identificar os dados de uma situação e buscar soluções, conviver e aprender com as diferenças e as diversidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Desse modo, podemos considerar a pesquisa como uma importante estratégia pedagógica para a construção do conhecimento, em que os estudantes são convidados a identificar e resolver problemas reais, por meio da investigação, construindo – eles mesmos em interação com os demais – sua aprendizagem.

A pesquisa, portanto, pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento autônomo e crítico, culminando, inclusive, na capacidade de interpretar informações com clareza, analisá-las e verificar sua veracidade – habilidade tão fundamental em uma época em que há um fluxo incontável de informações disponíveis, muitas delas falsas. De acordo com Demo (2001, p. 10):

[...] Os conteúdos se consomem no tempo, enquanto a habilidade de saber pensar necessita manter-se viva, mais que nunca. Se não sabe pesquisar, não sabe questionar. Não sabendo questionar, não sabe ultrapassar os impasses inevitáveis que toda profissão encontra em sua prática. Assim, o mais importante hoje na pesquisa não é o manejo de instrumentos metodológicos, mas o manejo dos desafios inovadores e por vezes surpreendentes da vida. Saber pensar é ótimo para o mercado, mas é ainda mais essencial para a vida. [...]

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 10. Disponível em: http://funab.se.df.gov.br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-Professor-Conhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor e os estudantes encontrarão noções introdutórias de práticas de pesquisa relacionadas à Matemática, inclusive, em abordagem interdisciplinar e que envolve a história da Matemática e a Etnomatemática, valorizando a construção do conhecimento como um traço cultural e fruto do trabalho de muitos membros, em muitas sociedades. Contextos atuais são apresentados para contribuir com a visão crítica da realidade e com o desenvolvimento de argumentação baseada em conceitos matemáticos.

Cidadania e cultura de paz

Na atualidade, as expressões de violência parecem estar em toda parte. Na voz do âncora do jornal relatando os novos números e desdobramentos de uma guerra, nas mídias sociais em que se escancara a vida pessoal de famosos e anônimos, nas músicas que exploram os abismos provocados pela desigualdade de gênero, no relato de um colega na sala dos professores que não sabe mais como lidar com as dificuldades da vida. E se essa avalanche nos atinge, com flechas vindas de todas as direções, também o faz com os jovens, cujas estruturas, muitas vezes, não são suficientes para lidar com tudo isso.

Em oposição a toda essa violência, faz-se necessária – cada vez mais – a construção e promoção de uma cultura de paz, que, de acordo com D’Ambrósio (2010, p. 48), se estabelece em quatro dimensões: individual, social, ambiental e militar.

A paz individual, relativa ao gerenciamento de emoções e sentimentos de cada indivíduo e que lhe permite ser “dono” de suas ações, em consonância consigo e com as próprias escolhas. Poderíamos dizer que tem estreita relação com as competências e habilidades socioemocionais.

A paz social, que resulta do olhar atento e cuidadoso para o outro, da empatia e do respeito, do reconhecimento e da legitimação da diversidade humana, contribui para a construção de uma convivência harmoniosa e pautada pelos princípios éticos e democráticos.

A paz ambiental, por sua vez, refere-se à impossibilidade de vivermos em conflito com o ambiente, com a natureza; resulta da compreensão de que a manutenção da vida depende de um ambiente sadio e sustentável.

E, por fim, a paz militar, que é violada desde a Antiguidade e ainda hoje, pondo em risco a vida humana. A ausência dela é a materialização da violência, do desrespeito, do descumprimento dos direitos humanos, da falta de empatia e de coerência.

O professor D’Ambrósio (idem) afirma:

[…] Se não contemplarmos a questão da paz na sua multidimensionalidade, estaremos nos iludindo, e este é um ponto fundamental.

Sem paz não haverá sobrevivência. Educar para a paz é educar para a sobrevivência da civilização deste planeta, da humanidade, da espécie – mas a sobrevivência de todos com dignidade. Este é um ponto crucial: a dignidade de o indivíduo ser o que ele é, de poder aderir a um sistema de conhecimentos, de conhecer suas raízes, suas relações históricas, emocionais, sua religião, sua espiritualidade. Um indivíduo é diferente do outro, não há como negar que nós todos somos diferentes. Preservar essa diferença é algo fundamental para que a gente possa falar em uma sobrevivência com dignidade.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz: da reflexão à ação. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. p. 48. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

A escola, como instância socializadora – em complementaridade com familiares, grupos de convívio e a mídia de massa –, possui papel fundamental para a construção da promoção da cultura de paz. É um espaço privilegiado de desenvolvimento e convivência. É preciso ter, na paz, o percurso e o destino da educação.

Para que isso seja possível, a não violência deve permear todos os processos e ambientes educacionais e envolver os diferentes profissionais que atuam de modo direto ou indireto com os estudantes, além dos familiares e a comunidade do entorno e, claro, os próprios estudantes. A escola deve ser, efetivamente, um espaço de diálogo e civismo, promovendo uma educação compartilhada para a convivência e cidadania.

A Unesco definiu, no texto Cultura de paz no Brasil publicado em seu site, as contribuições da educação para a construção da paz. São elas:

• aprender sobre as nossas responsabilidades e obrigações, bem como os nossos direitos;

• aprender a viver juntos, respeitando as nossas diferenças e similaridades;

• desenvolver o aprendizado com base na cooperação, no diálogo e na compreensão intercultural;

• ajudar as crianças a encontrar soluções não violentas para resolverem seus conflitos, experimentarem conflitos utilizando maneiras construtivas de mediação e estratégias de resolução;

• promover valores e atitudes de não violência - autonomia, responsabilidade, cooperação, criatividade e solidariedade;

• capacitar estudantes a construírem juntos, com seus colegas, os seus próprios ideais de paz.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldoffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

Todavia, é muito importante não confundir paz com falta de opinião, conflito com confronto. A convivência pressupõe a existência de valores e opiniões diferentes, diversidade de saberes e vivências particulares, interpretadas das mais variadas maneiras, e todos esses elementos podem ser geradores de conflitos, das mais diversas ordens. Contudo, é pela cultura de paz que esses conflitos serão gerenciados com base em princípios democráticos, éticos, solidários e sustentáveis, promovendo o conhecimento – e não o confronto, que conduz à violência.

D’Ambrósio (2010, p. 49) afirma: “trata-se de educar para a paz e a sobrevivência, baseadas na convivência entre diferentes. Esse é o nosso grande desafio.” Para tanto, é preciso promover situações de fala e de escuta, escuta “desarmada”, momentos de debate e de socialização de ideias e sentimentos. Tais proposições poderão favorecer não apenas o autoconhecimento como também a empatia, tão necessários para que os estudantes compreendam que o pluralismo é positivo e necessário. A violência vem da incompreensão, que vem do desconhecimento – assim, conhecer e reconhecer tais pontos é fundamental à cultura de paz.

Como pudemos observar, é imprescindível investir em estratégias pedagógicas que possibilitem e incentivem a identificação e o gerenciamento de sentimentos e emoções, pois as diferentes dimensões da paz se interrelacionam, e tais movimentos favorecem o desenvolvimento de habilidades relativas à autogestão, saúde mental e amabilidade. É preciso auxiliar os estudantes a refletir sobre situações contrárias à paz, como o bullying, e a combater essa e outras formas de preconceitos e discriminação, tal como preconiza a competência geral 9 da BNCC (2018, p. 10):

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesta coleção, o professor os estudantes encontrarão propostas que buscam incentivar e promover a fala e a escuta (atenta), o debate, a argumentação e o reconhecimento de diferentes maneiras de pensar e agir. Tais propostas, portanto, objetivam o desenvolvimento de competências necessárias à convivência harmoniosa e à cultura de paz.

A cultura de paz pode ser exercitada nas atividades em grupo, em que os estudantes podem perceber como o diálogo e a mediação de conflitos favorecem a convivência harmoniosa.

A BNCC E O ENSINO DE MATEMÁTICA

Para que possamos iniciar nossas abordagens e reflexões acerca da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) e suas indicações, principalmente na área da Matemática, julgamos interessante realizar uma breve apresentação dos movimentos que precedem a homologação desse documento.

Não podemos desprezar as dimensões do país, seja em territorialidade, seja em diversidade, nem ignorar a desigualdade social ainda presente em inúmeras pesquisas e dados estatísticos. Um dos principais desafios, na área da educação, é propiciar oportunidades iguais para todos os estudantes, sem perder a particularidade e a singularidade de cada região ou grupo.

Desde 1988, a Constituição Federal determinava o direito à educação e apresentava os conteúdos mínimos a serem desenvolvidos em todo o território nacional. Nesse mesmo documento, podemos encontrar indicações da necessidade de resguardar os valores culturais e artísticos, nacionais e regionais.

Quase dez anos depois, no ano de 1996, a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) estabelece as competências e diretrizes para a Educação Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio, que deveriam nortear os currículos e seus conteúdos mínimos, de modo a assegurar formação básica comum, salientando que os conteúdos deveriam ser complementados com a parte diversificada que garantiria as características locais e regionais.

No Plano Nacional de Educação (PNE) de 2014, essa necessidade é reafirmada, ou seja, em parceria, a União, os estados, o Distrito Federal e os municípios deveriam criar uma Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que garantisse a todos os estudantes do território nacional as aprendizagens essenciais, preservando-se as identidades étnicas, culturais e linguísticas. Para isso, cada Secretaria de Educação teria autonomia para pensar e planejar as ações de suas unidades escolares a partir das necessidades locais.

Desse modo, a BNCC, homologada em dezembro de 2017, apresenta um conjunto de aprendizagens essenciais a que têm direito todos os estudantes da Educação Básica. Traz uma perspectiva de igualdade, diversidade e equidade para a constituição da ação escolar a partir de uma proposta comum de direitos e objetivos de aprendizagem para os estudantes da Educação Infantil ao Ensino Médio de todo o país. Indica o que deve ser ensinado e desenvolvido, isto é, os conhecimentos e as competências essenciais que devem ser garantidos a todos os estudantes brasileiros em sua vida escolar.

Com o foco no desenvolvimento de competências e no compromisso com a educação integral, o documento apresenta uma abordagem bastante clara no que diz respeito ao desenvolvimento integral dos estudantes (cognitivo e emocional) e a importância da experimentação, articulação e aplicabilidade dos conhecimentos e ao acesso e à utilização consciente da informação e da tecnologia.

As competências

O documento apresenta como competência a capacidade de mobilizar conhecimentos, habilidades, atitudes e valores para que se possam resolver os desafios do cotidiano, dentro e fora dos espaços escolares.

Na BNCC, competência é definida como a mobilização de conhecimentos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho.

Ao definir essas competências, a BNCC reconhece que a “educação deve afirmar valores e estimular ações que contribuam para a transformação da sociedade, tornando-a mais humana, socialmente justa e, também, voltada para a preservação da natureza” [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 8. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

São apresentadas dez competências gerais que se inter-relacionam e devem permear os conteúdos apresentados ao longo de todo o percurso escolar da Educação Básica.

Vale destacar que tais competências resumem as capacidades e os conhecimentos essenciais ao desenvolvimento de atitudes e valores fundamentais no mundo contemporâneo, como a empatia, a cooperação, a valorização da Ciência e da diversidade, o pensamento crítico e o preparo para o mundo do trabalho. O desenvolvimento desses valores e atitudes objetivam a formação integral dos estudantes como cidadãos críticos e criativos.

As competências gerais, apresentadas a seguir, desdobram-se em competências específicas e habilidades voltadas a cada componente curricular. Entretanto, é importante considerar que tais competências existem por si e podem ser abordadas como tais a qualquer tempo da vida escolar, de modo que estejam presentes frequentemente nas mais variadas atividades e abordagens. Desse modo, pode-se assegurar uma maior apropriação dos conhecimentos, atitudes e valores que essas dez competências preconizam, bem como a aplicação destas nas questões do cotidiano.

As competências gerais da BNCC são:

Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social e cultural para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 9-10. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Conforme já mencionado, no desenvolvimento de competências é importante uma indicação clara do que os estudantes devem saber (conhecimentos, procedimentos e atitudes) e do que devem saber fazer (mobilização desses conhecimentos, procedimentos e atitudes) diante de cada situação.

Na BNCC, as aprendizagens relativas ao Ensino Fundamental estão distribuídas em cinco áreas do conhecimento (Linguagens, Matemática, Ciências da Natureza, Ciências Humanas e Ensino Religioso), por sua vez, divididas em componentes curriculares. Existem áreas que abrigam mais de um componente curricular, por exemplo, Linguagens, que abrange Língua Portuguesa, Arte, Educação Física e Língua Inglesa.

Os conhecimentos referentes a cada área do conhecimento, como mencionado, estão estruturados em competências gerais, das quais derivam as competências específicas de cada área e/ou componente curricular.

Cada área do conhecimento estabelece competências específicas de área, cujo desenvolvimento deve ser promovido ao longo dos nove anos. Essas competências explicitam como as dez competências gerais se expressam nessas áreas.

[...]

As competências específicas possibilitam a articulação horizontal entre as áreas, perpassando todos os componentes curriculares, e também a articulação vertical, ou seja, a progressão entre o Ensino Fundamental – Anos Iniciais e o Ensino Fundamental – Anos Finais e a continuidade das experiências dos alunos, considerando suas especificidades.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Em Matemática, cumpre destacar que as competências específicas vão ao encontro dos objetivos do letramento matemático e sua importância de tornar significativa a aprendizagem de conhecimentos matemáticos para que estes possam ser utilizados pelos estudantes em questões de estudo e práticas presentes na vida dos estudantes. Observe, a seguir, as competências específicas da área de Matemática na BNCC.

Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 267. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

As habilidades

A fim de assegurar que o desenvolvimento das competências específicas de cada área do conhecimento, a BNCC apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a objetos de conhecimento, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas.

Para garantir o desenvolvimento das competências específicas, cada componente curricular apresenta um conjunto de habilidades. Essas habilidades estão relacionadas a diferentes objetos de conhecimento – aqui entendidos como conteúdos, conceitos e processos –, que, por sua vez, são organizados em unidades temáticas. Respeitando as muitas possibilidades de organização do conhecimento escolar, as unidades temáticas definem um arranjo dos objetos de conhecimento ao longo do Ensino Fundamental adequado às especificidades dos diferentes componentes curriculares. Cada unidade temática contempla uma gama maior ou menor de objetos de conhecimento, assim como cada objeto de conhecimento se relaciona a um número variável de habilidades [...].

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 28-29. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 17 jul. 2022.

Cada habilidade pode ser dividida em partes, que abrangem diferentes ações e procedimentos. Compreender cada uma dessas partes e definir os instrumentos adequados de aplicação delas são importantes para garantir a efetiva apropriação das habilidades. Por exemplo, nas habilidades que preveem a resolução e a elaboração de problemas, é necessário dedicar momentos e atividades específicos para cada uma dessas ações a fim de favorecer a aquisição completa dessas habilidades.

Quanto à relação entre as habilidades e as competências, cumpre destacar que uma competência compreende um conjunto de saberes e habilidades. Assim, o fato de os estudantes desenvolverem certa habilidade, ou parte dela, não garante que eles tenham construído a aprendizagem completa de determinada competência. Em Matemática, os estudantes podem, por exemplo, dominar o uso de ferramentas de planilhas eletrônicas, mas isso não significa que eles tenham desenvolvido todos os conhecimentos, atitudes e valores envolvidos na competência geral 5 da BNCC.

No texto da BNCC, a definição de competência aparece como “a mobilização de conceitos (conceitos e procedimentos), habilidades (práticas, cognitivas e socioemocionais), atitudes e valores para resolver demandas complexas da vida cotidiana, do pleno exercício da cidadania e do mundo do trabalho”. É, portanto, a capacidade de mobilizar recursos, conhecimentos ou vivências para resolver questões da vida real, como pensamento crítico e empatia.

Já as habilidades indicam o que aprendemos a fazer e são sempre associadas a verbos de ação, como identificar, classificar, descrever e planejar. No contexto escolar, ler e interpretar um texto, apresentar um trabalho para os colegas e realizar operações matemáticas são exemplos de habilidades que os estudantes desenvolvem ao longo da evolução escolar.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral. [S. l.], 19 fev. 2020, p. 3. Disponível em: https://educacaointegral.org.br/ reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-competencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

Desse modo, conclui-se que as competências são mais amplas do que as habilidades e que ambas, competências e habilidades, devem ser desenvolvidas de modo articulado por meio dos recursos de aprendizagem presentes em cada componente curricular, os quais devem estar relacionados entre si para garantir a formação integral dos estudantes.

Na abertura de Unidade das Orientações específicas de cada volume, são listadas as competências gerais e específicas, as habilidades e os Temas Contemporâneos Transversais (TCTs) relacionados aos assuntos de cada Unidade. Além disso, ao longo das orientações, são destacados exemplos da coleção que favorecem o desenvolvimento de competências, habilidades e TCTs com o objetivo de facilitar a identificação desses itens pelo professor e auxiliá-lo a tornar ainda mais efetiva a aquisição dos conhecimentos, atitudes e valores previstos pela BNCC.

Quadros de habilidades da BNCC

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais

Divisão euclidiana

Fluxograma para determinar a paridade de um número natural

Múltiplos e divisores de um número natural

Números primos e compostos

(EF06MA01) Comparar, ordenar, ler e escrever números naturais e números racionais cuja representação decimal é finita, fazendo uso da reta numérica.

(EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal, como o que prevaleceu no mundo ocidental, e destacar semelhanças e diferenças com outros sistemas, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal.

(EF06MA03) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias variadas, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora.

(EF06MA04) Construir algoritmo em linguagem natural e representá-lo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par).

(EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000.

(EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor.

Números

Frações: significados (parte/ todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações

(EF06MA07) Compreender, comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros e resultado de divisão, identificando frações equivalentes.

(EF06MA08) Reconhecer que os números racionais positivos podem ser expressos nas formas fracionária e decimal, estabelecer relações entre essas representações, passando de uma representação para outra, e relacioná-los a pontos na reta numérica.

(EF06MA09) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo da fração de uma quantidade e cujo resultado seja um número natural, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA10) Resolver e elaborar problemas que envolvam adição ou subtração com números racionais positivos na representação fracionária.

Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais

Aproximação de números para múltiplos de potências de 10

Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três”

(EF06MA11) Resolver e elaborar problemas com números racionais positivos na representação decimal, envolvendo as quatro operações fundamentais e a potenciação, por meio de estratégias diversas, utilizando estimativas e arredondamentos para verificar a razoabilidade de respostas, com e sem uso de calculadora.

(EF06MA12) Fazer estimativas de quantidades e aproximar números para múltiplos da potência de 10 mais próxima.

(EF06MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da “regra de três”, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Propriedades da igualdade

HABILIDADES

(EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas.

Álgebra

Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo

Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados

Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas)

(EF06MA15) Resolver e elaborar problemas que envolvam a partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, envolvendo relações aditivas e multiplicativas, bem como a razão entre as partes e entre uma das partes e o todo.

(EF06MA16) Associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

(EF06MA17) Quantificar e estabelecer relações entre o número de vértices, faces e arestas de prismas e pirâmides, em função do seu polígono da base, para resolver problemas e desenvolver a percepção espacial.

Geometria

Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados

(EF06MA18) Reconhecer, nomear e comparar polígonos, considerando lados, vértices e ângulos, e classificá-los em regulares e não regulares, tanto em suas representações no plano como em faces de poliedros.

(EF06MA19) Identificar características dos triângulos e classificá-los em relação às medidas dos lados e dos ângulos.

(EF06MA20) Identificar características dos quadriláteros, classificá-los em relação a lados e a ângulos e reconhecer a inclusão e a intersecção de classes entre eles.

Construção de figuras semelhantes: ampliação e redução de figuras planas em malhas quadriculadas

(EF06MA21) Construir figuras planas semelhantes em situações de ampliação e de redução, com o uso de malhas quadriculadas, plano cartesiano ou tecnologias digitais.

Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares

(EF06MA22) Utilizar instrumentos, como réguas e esquadros, ou softwares para representações de retas paralelas e perpendiculares e construção de quadriláteros, entre outros.

(EF06MA23) Construir algoritmo para resolver situações passo a passo (como na construção de dobraduras ou na indicação de deslocamento de um objeto no plano segundo pontos de referência e distâncias fornecidas etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume

(EF06MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas comprimento, massa, tempo, temperatura, área (triângulos e retângulos), capacidade e volume (sólidos formados por blocos retangulares), sem uso de fórmulas, inseridos, sempre que possível, em contextos oriundos de situações reais e/ou relacionadas às outras áreas do conhecimento.

(EF06MA25) Reconhecer a abertura do ângulo como grandeza associada às figuras geométricas.

Grandezas e medidas

Ângulos: noção, usos e medida

(EF06MA26) Resolver problemas que envolvam a noção de ângulo em diferentes contextos e em situações reais, como ângulo de visão.

(EF06MA27) Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Plantas baixas e vistas aéreas

Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado

Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista)

(EF06MA28) Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas simples de residências e vistas aéreas.

(EF06MA29) Analisar e descrever mudanças que ocorrem no perímetro e na área de um quadrado ao se ampliarem ou reduzirem, igualmente, as medidas de seus lados, para compreender que o perímetro é proporcional à medida do lado, o que não ocorre com a área.

(EF06MA30) Calcular a probabilidade de um evento aleatório, expressando-a por número racional (forma fracionária, decimal e percentual) e comparar esse número com a probabilidade obtida por meio de experimentos sucessivos.

Probabilidade e estatística

Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas

Coleta de dados, organização e registro

Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações

Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas

(EF06MA31) Identificar as variáveis e suas frequências e os elementos constitutivos (título, eixos, legendas, fontes e datas) em diferentes tipos de gráfico.

(EF06MA32) Interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em diferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.

(EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de gráficos e texto.

(EF06MA34) Interpretar e desenvolver fluxogramas simples, identificando as relações entre os objetos representados (por exemplo, posição de cidades considerando as estradas que as unem, hierarquia dos funcionários de uma empresa etc.).

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Múltiplos e divisores de um número natural

HABILIDADES

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração.

(EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

(EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos.

Números

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador

(EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos.

(EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas.

(EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador.

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica.

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operaçõe.

(EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias.

(EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Álgebra Linguagem algébrica: variável e incógnita

(EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

(EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica

HABILIDADES

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

Álgebra

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Equações polinomiais do 1o grau

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem

Simetrias de translação, rotação e reflexão

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

(EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax + b = c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

Geometria

A circunferência como lugar geométrico

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes.

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

(EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos

(EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas.

(EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero

(EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

(EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Problemas envolvendo medições

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais

HABILIDADES

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

(EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

Grandezas e medidas

Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas como triângulos e quadriláteros

Medida do comprimento da circunferência

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados

(EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

(EF07MA33) Estabelecer o número p como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Probabilidade e estatística

Pesquisa amostral e pesquisa censitária Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Notação científica

Potenciação e radiciação

(EF08MA01) Efetuar cálculos com potências de expoentes inteiros e aplicar esse conhecimento na representação de números em notação científica.

(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

Números

O princípio multiplicativo da contagem

Porcentagens

Dízimas periódicas: fração geratriz

Valor numérico de expressões algébricas

Associação de uma equação linear de 1o grau a uma reta no plano cartesiano

Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano

Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 = b

(EF08MA03) Resolver e elaborar problemas de contagem cuja resolução envolva a aplicação do princípio multiplicativo.

(EF08MA04) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

(EF08MA05) Reconhecer e utilizar procedimentos para a obtenção de uma fração geratriz para uma dízima periódica.

(EF08MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam cálculo do valor numérico de expressões algébricas, utilizando as propriedades das operações.

(EF08MA07) Associar uma equação linear de 1o grau com duas incógnitas a uma reta no plano cartesiano.

(EF08MA08) Resolver e elaborar problemas relacionados ao seu contexto próximo, que possam ser representados por sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas e interpretá-los, utilizando, inclusive, o plano cartesiano como recurso.

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2o grau do tipo ax2 = b.

Álgebra

Sequências recursivas e não recursivas

(EF08MA10) Identificar a regularidade de uma sequência numérica ou figural não recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números ou as figuras seguintes.

(EF08MA11) Identificar a regularidade de uma sequência numérica recursiva e construir um algoritmo por meio de um fluxograma que permita indicar os números seguintes.

Geometria

Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais

Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros

(EF08MA12) Identificar a natureza da variação de duas grandezas, diretamente, inversamente proporcionais ou não proporcionais, expressando a relação existente por meio de sentença algébrica e representá-la no plano cartesiano.

(EF08MA13) Resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.

(EF08MA14) Demonstrar propriedades de quadriláteros por meio da identificação da congruência de triângulos.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares

(EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares.

(EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso.

Geometria

Grandezas e medidas

Mediatriz e bissetriz como lugares geométricos: construção e problemas

Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação

Área de figuras planas Área do círculo e comprimento de sua circunferência

(EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

(EF08MA18) Reconhecer e construir figuras obtidas por composições de transformações geométricas (translação, reflexão e rotação), com o uso de instrumentos de desenho ou de softwares de geometria dinâmica.

(EF08MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de área de figuras geométricas, utilizando expressões de cálculo de área (quadriláteros, triângulos e círculos), em situações como determinar medida de terrenos.

Volume de bloco retangular Medidas de capacidade

Princípio multiplicativo da contagem Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral

Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados

Organização dos dados de uma variável contínua em classes

(EF08MA20) Reconhecer a relação entre um litro e um decímetro cúbico e a relação entre litro e metro cúbico, para resolver problemas de cálculo de capacidade de recipientes.

(EF08MA21) Resolver e elaborar problemas que envolvam o cálculo do volume de recipiente cujo formato é o de um bloco retangular.

(EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1.

(EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.

Probabilidade e estatística

Medidas de tendência central e de dispersão

(EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que resumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.

(EF08MA25) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística (média, moda e mediana) com a compreensão de seus significados e relacioná-los com a dispersão de dados, indicada pela amplitude.

Pesquisas censitária ou amostral Planejamento e execução de pesquisa amostral

(EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada).

(EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS HABILIDADES

Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta

Números irracionais: reconhecimento e localização de alguns na reta numérica

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Números

Potências com expoentes negativos e fracionários

Números reais: notação científica e problemas

Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos

Funções: representações numérica, algébrica e gráfica

Razão entre grandezas de espécies diferentes

(EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

(EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

(EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

(EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Álgebra

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais

Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis

Resolução de equações polinomiais do 2o grau por meio de fatorações

Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2o grau.

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Geometria

Relações entre arcos e ângulos na circunferência de um círculo

Semelhança de triângulos

(EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

(EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

UNIDADES TEMÁTICAS CONTEÚDOS

Relações métricas no triângulo retângulo

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração

Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais

HABILIDADES

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Geometria

Polígonos regulares

(EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares

Distância entre pontos no plano cartesiano

Vistas ortogonais de figuras espaciais

Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas

(EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

(EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Grandezas e medidas

Unidades de medida utilizadas na informática

Volume de prismas e cilindros

Análise de probabilidade de eventos aleatórios: eventos dependentes e independentes

Análise de gráficos divulgados pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

(EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Probabilidade e estatística

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

UMA VISÃO INTERDISCIPLINAR E OS TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Um dos desafios mais urgentes do ensino de Matemática é fazer que ela interaja com outras áreas do conhecimento e contribua para a formação integral dos estudantes, indo além do conteúdo programático. Estabelecer conexões entre a Matemática e as demais áreas do conhecimento pode ampliar as oportunidades de compreender e utilizar conceitos, tanto da Matemática quanto das demais áreas. Nesse sentido, a interdisciplinaridade (relação entre os componentes curriculares) surge como um dos recursos para tornar a aprendizagem Matemática ainda mais significativa, uma vez que o ensino interdisciplinar prevê a mobilização de aplicações de cada componente de modo integrado para a análise e resolução de uma situação-problema, como destaca-se na BNCC:

[...] a interdisciplinaridade implica um diálogo entre os campos dos saberes, em que cada componente acolhe as contribuições dos outros, ou seja, há uma interação entre eles. [...]

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Faz-se necessário trazer para a Matemática situações contextualizadas que proporcionem ampliação de abordagem, estabelecendo conexões com conteúdos de outras áreas do conhecimento, relevantes para a constituição dos saberes dos estudantes, além de aprofundar as relações da escola com as experiências cotidianas de cada um deles. Aqui, cabe citar a relevância do trabalho transdisciplinar, que prevê o ensino integrado dos conhecimentos de diferentes áreas, como destaca-se na BNCC:

A abordagem transdisciplinar contribui para que o conhecimento construído extrapole o conteúdo escolar, uma vez que favorece a flexibilização das barreiras que possam existir entre as diversas áreas do conhecimento, possibilitando a abertura para a articulação entre elas. Essa abordagem contribui para reduzir a fragmentação do conhecimento ao mesmo tempo em que busca compreender os múltiplos e complexos elementos da realidade que afetam a vida em sociedade.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 18-19. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Para que a prática docente seja organizada, de modo que possibilite a formação de cidadãos críticos, é preciso entender a contextualização como um acontecimento ou uma situação pertencente a um encadeamento de elementos relacionados a recursos disponíveis em cada área de conhecimento.

Para isso, é importante que o professor perceba como manter um diálogo entre as diferentes áreas, trazendo o cotidiano dos estudantes para a aula e aproximando-o do conhecimento científico, desenvolvendo, assim, um ensino capaz de fazer que os estudantes aprendam a relacioná-las a diferentes aplicações do conhecimento matemático. As experiências vivenciadas pelos estudantes e pela escola podem ser utilizadas para dar vida e significado ao conhecimento. Desse modo, é possível abordar questões como problemas ambientais, culturais, políticos etc. que não estejam obrigatoriamente ligados aos estudantes, mas que possam estar relacionados a seus familiares ou a sua comunidade, por exemplo.

Portanto, fazer conexões interdisciplinares entre Matemática, Língua Portuguesa, Arte, Ciências, História, Geografia, Educação Física, Língua Inglesa etc. e transdisciplinar, utilizando-se também os Temas Contemporâneos Transversais, poderá contribuir para que a Matemática e todo o conhecimento envolvido ganhem maior sentido e significado para os estudantes.

É importante ressaltar a importância das explorações que favoreçam a leitura e as reflexões, inclusive nas aulas de Matemática, sobre os conhecimentos construídos em cada momento do processo de aprendizagem.

O uso da escrita como ferramenta que influencia a aprendizagem matemática [...] e outras formas de registrar processos de pensamento estão sendo cada vez mais utilizadas como um veículo importante na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. [...] a utilização da escrita, seja nas aulas de matemática, nos processos de formação docente ou na investigação, deve ser vista como um projetos que transforma continuamente a cognição e o aprendizado de quem a produz.

POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. p. 11-12.

Os Temas Contemporâneos Transversais visam promover a difusão de valores Fundamentais ao interesse social e a formação integral dos estudantes. De acordo com a BNCC, temos que:

[...] os Temas Contemporâneos Transversais têm a condição de explicitar a ligação entre os diferentes componentes curriculares de forma integrada, bem como de fazer sua conexão com situações vivenciadas pelos estudantes em suas realidades, contribuindo para trazer contexto e contemporaneidade aos objetos do conhecimento descritos na BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 5. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao /contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Nesta obra, há seções e atividades que podem favorecer o trabalho com os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC e outros que se articulam com eles. Assim, muitos dos conteúdos trabalhados ao longo de cada volume não se encerram em si mesmos, já que podem ser complementados e contemplados com um dos temas contemporâneos como pano de fundo relacionados às competências e habilidades da BNCC.

Para isso, tornam-se de fundamental importância o planejamento e os estudos prévios por parte do professor para se apropriar das relações entre os temas abordados e o conteúdo matemático que será desenvolvido em cada momento e como potencializar essas relações para tornar a aprendizagem ainda mais significativa.

Os Temas Contemporâneos Transversais descritos na BNCC são:

Meio Ambiente

• Educação Ambiental

• Educação para o Consumo

Saúde

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

TEMAS CONTEMPORÂNEOS TRANSVERSAIS

Multiculturalismo

• Diversidade Cultural

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

Cidadania e Civismo

• Vida Familiar e Social

• Educação para o Trânsito

• Educação em Direitos Humanos

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Processo de envelhecimento, respeito e valorização do Idoso

Ciência e Tecnologia

• Ciência e Tecnologia

Economia

• Trabalho

• Educação Financeira

• Educação Fiscal

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. p. 13. Disponível em: http:// basenacionalcomum.mec.gov.br/images/ implementacao/contextualizacao_ temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

O PAPEL DO PROFESSOR

Certamente, cada professor tem como objetivo principal a aprendizagem de seus estudantes. Para que esse objetivo seja alcançado, é preciso ter clareza sobre o que os estudantes já sabem e como eles aprendem.

Se o professor é um dos grandes responsáveis pela apresentação de um novo conteúdo, de uma nova estratégia, ou ainda difusor de um termo específico desconhecido pela turma, faz-se necessário que ele saiba não só o que vai ensinar, mas também para quem está ensinando.

Nesse sentido, é imprescindível sondar o conhecimento prévio dos estudantes sobre os assuntos que serão formalmente trabalhados na escola, bem como considerar o desenvolvimento das habilidades e a realidade em que vivem e estudam.

Quanto mais o professor ajudar os estudantes a atribuir significados aos conteúdos estudados, mais eles poderão compreender a Matemática e se interessar por ela. Daí a importância de relacionar a Matemática com o cotidiano.

É importante salientar que a Matemática é utilizada, concebida ou tratada de diferentes maneiras nas diversas profissões e ocupações. Por exemplo: o carpinteiro utiliza a Matemática ao medir comprimentos e ângulos para resolver problemas do seu trabalho; o médico a utiliza no diagnóstico, que, na maioria das vezes, é dado por meio da probabilidade estimada com base em sintomas e resultados de exames; o matemático a utiliza como produção de conhecimento científico, entre outros.

Podemos dizer que existem muitas Matemáticas que procuram descrever e produzir uma “leitura de mundo”. A Matemática escolar é uma delas e caracteriza-se pelas maneiras de compreender e resolver as situações-problema, as questões e as atividades por meio da quantificação, da medição, da estimativa, da representação no espaço, do reconhecimento de formas e propriedades, da observação e da manipulação de regularidades e padrões.

O papel do professor é possibilitar o acesso a essas diferentes maneiras de se fazer Matemática e dar suporte para que os estudantes consigam adquirir habilidades e conhecimentos a fim de (res)significar a Matemática experimentada em suas práticas sociais, bem como reconhecer a beleza da Matemática em si.

Além de mediar a aquisição do conhecimento, é importante que o professor trabalhe a cooperação em sala de aula, abrindo espaço para a troca de ideias entre os estudantes, incentivando a valorização e o respeito às diferenças e promovendo a solidariedade e a cooperação no dia a dia escolar.

As pesquisas atuais sobre o ensino da Matemática defendem que é preciso colocar os estudantes no contexto de produção de pensamento e de conhecimento matemático. Desse modo, o foco não é mais os estudantes, o professor ou o conteúdo, mas, sim, a articulação desses três elementos.

Uma vez que as respostas dos estudantes às situações-problema apresentadas desafiam os professores a pensar matematicamente para propor novas questões, cria-se uma parceria nos processos de ensino e aprendizagem. Da mesma maneira, os estudantes são chamados a elaborar novos questionamentos diante do que é proposto/exposto pelo professor. Assim, o conhecimento matemático escolar é redefinido constantemente.

Passos e Romanatto (2010) apontam outros aspectos relevantes para que o professor atinja o objetivo de que seus estudantes aprendam Matemática. Segundo os autores, é necessário que os professores tenham:

[...] o domínio dos conhecimentos atuais sobre a natureza da Matemática, articulado com as ciências da educação, pode resultar em caminhos férteis para que essa área de conhecimento seja apreendida pelos nossos estudantes de forma efetiva e com significado.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A Matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010. p. 20.

Professor orienta estudantes indígenas da etnia xerente durante aula na Escola Indígena Sakruiwê, na Aldeia Funil, em Tocantínia (TO). Fotografia de 2022.

Os conhecimentos matemáticos podem ser encarados como recursos que favorecem a cidadania, dada a ampla gama de aplicações desses conhecimentos nas mais variadas situações da sociedade atual. Para apresentar a Matemática como área a serviço do conhecimento científico e de relevância prática no cotidiano, é necessário que o professor tenha clareza a respeito das relações da Matemática com outras áreas de conhecimento. Para isso, é importante que o professor de Matemática tenha uma formação integral e continuada, apropriando-se das relações e aplicações de conceitos matemáticos em outras áreas do conhecimento e da contribuição da Matemática para construção da cidadania, como destacam Soares e Sheide (2004):

Outra questão crucial é a percepção que o professor tem sobre o conhecimento matemático e as interações que é capaz de estabelecer com esse conhecimento. A sua utilização como ferramenta para a construção da cidadania vai depender da sua capacidade em tratá-lo como um conhecimento articulado aos outros campos do saber e historicamente situado.

SOARES, Marlene Aparecida; SCHEIDE, Tereza de Jesus Ferreira. Professor de Matemática: um educador a serviço da construção da cidadania. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 8., 2004, Recife. Anais […]. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 2004. p. 2. Disponível em: http://www.sbem.com.br/files/viii/pdf/07/CC07289049853.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Desse modo, o professor de Matemática, longe de ser um mero transmissor de conhecimentos imutáveis, é um sujeito do conhecimento que compartilha com estudantes conhecimentos esses que devem estar em constante aprimoramento e transformação para serem úteis nas práticas sociais dos estudantes.

Portanto, neste processo de parceria e inter-relação existente entre estudantes e professores, é muito importante que ambos tenham clareza dos objetivos que se quer alcançar, as habilidades a serem desenvolvidas, os processos individuais e coletivos e possíveis caminhos a serem percorridos.

PERFIS DE APRENDIZAGEM

A Base Nacional Comum Curricular trouxe ao centro do debate sobre o processo educativo a necessidade de pensarmos em educação integral. Isso significa considerar cada estudante como indivíduo pleno e complexo, em suas diversas dimensões. Ninguém abandona gostos, características, sonhos, valores e emoções antes de entrar na escola – ao contrário, a sala de aula é composta de diversidade. Na BNCC (2018, p. 14), destaca-se:

[…] Reconhece, assim, que a Educação Básica deve visar à formação e ao desenvolvimento humano global, o que implica compreender a complexidade e a não linearidade desse desenvolvimento, rompendo com visões reducionistas que privilegiam ou a dimensão intelectual (cognitiva) ou a dimensão afetiva. Significa, ainda, assumir uma visão plural, singular e integral da criança, do adolescente, do jovem e do adulto – considerando-os como sujeitos de aprendizagem – e promover uma educação voltada ao seu acolhimento, reconhecimento e desenvolvimento pleno, nas suas singularidades e diversidades. […]

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. p. 14. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf. Acesso em: 28 jul. 2022.

Essa visão implica reconhecer que ao professor cabe considerar cada estudante em sua singularidade, identificando necessidades, diferentes interesses e modos de aprender. Cada um de nós tem um perfil de aprendizagem. Isso não significa que aprendamos apenas por um canal de aprendizagem, mas, muitas vezes, existem canais mais propícios do que outros e, portanto, reconhecê-los e incentivar o uso deles é muito importante. Existem indivíduos que compreendem melhor a partir de estímulos visuais e, portanto, é interessante recorrer ao uso de gráficos, tabelas, listas e mapas mentais. Há pessoas que compreendem melhor utilizando a leitura (silenciosa) e escrita (listas, textos on-line, artigos, dicionários); LVI

outras pessoas são mais auditivas e, nesse caso, participar de conversas, fazer leituras em voz alta, praticar a escuta de podcasts, assistir a palestras e até ouvir músicas podem ser um caminho promissor; temos, também, aqueles mais cinestésicos e, nesse caso, pode ser importante explorar atividades concretas, como simulações, demonstrações, dinâmicas e métodos lúdicos, como a gamificação. É importante salientar que existem ainda pessoas com certa facilidade para se adaptar aos estímulos, os indivíduos chamados multimodais.

Para César Coll (2003, p. 2), é preciso identificar os diversos fatores que se relacionam com a aprendizagem – de natureza cognitiva, emocional, afetiva, social. O autor afirma que:

A qualidade de um sistema educativo está estreitamente relacionada – sobretudo nos níveis correspondentes à educação básica – à sua capacidade de satisfazer as necessidades educativas e de formação de todos os alunos, ou seja, à sua capacidade de diversificar e de ajustar a ação educativa às características individuais e à ampla gama de capacidades, interesses e motivações demonstrados por alunos e alunas diante da aprendizagem escolar. (2003, p. 2)

COLL, Cesar. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1, p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

Há que se considerar as culturas juvenis em sua multiplicidade, a neurodiversidade, os diferentes perfis de aprendizagem. Uma escola que atenda a todos precisa ser inclusiva – não apenas pensando em “minorias”, mas reconhecendo que a diversidade é inerente à humanidade, logo, onde há pessoas, há diversidade. Dessa forma, não há espaço para preconceitos ou discriminações de quaisquer ordens.

Além disso, a escola precisa ser reconhecida pelos estudantes como um espaço de paz para que se sintam seguros e confiantes na construção de seu projeto de vida. Desse modo, é fundamental promover situações que desenvolvam a empatia e a cooperação entre eles e toda a comunidade escolar.

Para que isso aconteça, é preciso buscar novas formas de “fazer educação”, promovendo o protagonismo dos estudantes no processo. As metodologias ativas parecem propícias a essa tarefa, pois favorecem o trabalho coletivo, a reflexão, a convivência e respeitam os diferentes tempos e interesses, bem como a diversidade de formas de aprender.

Sugerimos também a alternância entre agrupamentos e trabalho individual, considerando os objetivos de aula (ou sequência de aulas) e as metodologias empregadas. Em duplas, pequenos grupos, grupos grandes ou até com o grupo-classe. Nos agrupamentos, os estudantes desenvolvem-se a partir da relação com os outros, e, no trabalho individual, o professor pode personalizar o processo, enfocando em habilidades específicas necessárias ao desenvolvimento de cada estudante. Em turmas grandes, o agrupamento pode ser, especialmente, uma estratégia muito útil para contemplar a diversidade e favorecer a aprendizagem de todos.

O professor pode também explorar as tecnologias digitais em suas propostas pedagógicas, com base nas preferências e nos estilos de aprendizagem, valorizando as potencialidades e a integração entre os estudantes. Para além da inclusão das estratégias digitais, convidar os estudantes ao protagonismo, abrindo as portas da escola às culturas juvenis.

Dizemos no plural, culturas juvenis, porque é impossível unificá-las, uma vez que dependem de inúmeros aspectos, como interesses, territorialidades, influências, fatores socioeconômicos. Elas podem ser consideradas como a confluência de modos de vida, práticas sociais, interesses, gostos e saberes específicos que levam às escolhas, linguagens e atuações de cada grupo de jovens, formando identidades. Para desenvolver essas culturas e ampliar a identificação dos estudantes com o processo de aprendizagem, é importante abrir espaço para trocas e aprendizagem coletiva, como promover festivais, saraus poéticos e musicais.

Nesta coleção, são apresentadas propostas diversificadas, que permitem variadas maneiras de exploração e organização do trabalho, favorecendo a organização do trabalho pedagógico e do seu planejamento para atender grupos grandes ou pequenos em suas particularidades.

Grupo de jovens posando para uma fotografia.

AVALIAÇÃO

Em todo trabalho no qual a aprendizagem escolar esteja envolvida, o processo de avaliação estará presente – seja na sala de aula, nas atividades extraclasse, seja nas conquistas pessoais dos estudantes, como o ingresso nas universidades.

A princípio, o processo avaliativo era tido apenas como um procedimento de medida (que definia se os estudantes tinham ou não condições de progredir nos estudos). Atualmente, é quase consenso a compreensão de que a avaliação escolar não deve apenas verificar se os estudantes atingiram os objetivos definidos pelo currículo, com a finalidade rasa de atribuir-lhes uma nota ou um conceito. Desse modo, as avaliações passaram por um processo de ressignificação em que assumiram o papel de um potente instrumento que permite visualizar o progresso de cada estudante e sinalizar possíveis pontos de atenção.

Os resultados avaliativos não só apresentam implicações no processo individual dos estudantes como também produzem dados para a análise do trabalho desenvolvido pelos profissionais da escola, incluindo o professor. Assim, para que haja um ensino de qualidade, devem-se estabelecer relações entre os resultados e as ações da escola, principalmente no que se refere à vinculação do professor com os estudantes. Por isso, é essencial compreender como esses estudantes lidam com o conhecimento, quais são suas habilidades, as dificuldades que apresentam e as necessidades individuais para, junto deles, traçar uma rota de superação dos desafios e avanço nas conquistas.

Nesse contexto, podem ser destacados três tipos principais de avaliação: diagnóstica, formativa de processo ou de resultado. A avaliação diagnóstica, a ser realizada no início do processo de ensino e aprendizagem de determinado conteúdo, é fundamental para esse processo. O professor e os estudantes precisam identificar os conhecimentos já adquiridos para, com base nessa percepção, decidir quais atividades e ações podem ser potencialmente mais interessantes e quais desafios merecem ser ampliados. A clareza dos objetivos a serem alcançados é de fundamental importância, pois, sabendo o ponto a que se quer chegar, é mais fácil perceber se, de fato, chegou-se a esse “lugar”; portanto, é importante compartilhar com os estudantes os objetivos de determinada atividade ou grupo de atividades e o que se pretende avaliar.

No tipo de avaliação formativa de processo, o professor deve lançar mão de diferentes instrumentos avaliativos que sinalizem o desenvolvimento dos estudantes ao longo do processo educativo. Nesse caso, os resultados são parciais e os registros podem nortear a tomada de decisões e o caminho de aprendizagem a ser proposto pelo professor. Desempenho em seminários, participação em debates e capacidade de comunicar e compartilhar estratégias de resolução são indícios do desenvolvimento dos estudantes durante o processo de construção de conhecimentos e podem ser utilizados como meios avaliativos.

A avaliação de resultado ou somativa é aquela realizada ao fim de determinado estudo ou período de estudo para indicar os resultados de desempenho dos estudantes em relação a uma meta de aprendizagem. A prova tradicional é um dos instrumentos mais comuns desse tipo de avaliação, cujo resultado é um índice importante da evolução do nível de aprendizagem dos estudantes, mas não deve ser o único, tampouco analisado isoladamente, sem considerar os resultados dos demais tipos de avaliação realizados.

As questões da seção Avaliações oficiais em foco, baseadas em avaliações oficiais de larga escala (Saeb, Saresp, Pisa, Enem, OBMEP, entre outras), podem ser utilizadas e aplicadas como instrumento avaliativo de um dos tipos de avaliação descritos, de acordo com o planejamento do professor e a realidade de cada turma.

Avaliar o processo

Uma possibilidade é observar a estratégia que os estudantes utilizam para resolver as situações-problema; isso consiste em um recurso valioso para o professor compreender o desenvolvimento deles. Muitas vezes, o modo como produzem algo demonstra o que não compreenderam e possibilita ao professor intervir adequadamente, agindo de maneira eficaz para atender às necessidades reais dos estudantes. Pedir a eles que socializem com os colegas os raciocínios e as estratégias é mais uma maneira de identificar os caminhos e possíveis dificuldades de cada um.

Como já comentamos, é importante incentivar os diferentes registros de representação. Muitas vezes, os estudantes são capazes de compartilhar as estratégias utilizadas oralmente, mas não as representa numericamente. Por isso, é interessante pedir-lhes que registrem o mesmo processo de maneiras distintas para que possam, além de explorar os diferentes registros de representação, conhecer o processo que, para eles, é mais simples ou desafiador.

Autoavaliação

Os estudantes precisam se conscientizar da responsabilidade deles por seu processo de aprendizagem e, para isso, é preciso que percebam a função e a importância dos diferentes instrumentos de avaliação e, mais do que isso, utilizem-nos como molas propulsoras para novas conquistas. Além de identificar e observar o número que indica sua nota, os

estudantes precisam ser motivados a identificar, nos acertos, as conquistas realizadas e, nos erros, possíveis desvios de rota ou rotas inadequadas para aquela situação. Portanto o espaço/tempo para os estudantes se autoavaliarem deve ser fornecido pelo professor.

Nesse processo de autoavaliação, os estudantes podem ser convidados a responder a alguns questionamentos que lhes permitam identificar o uso dos dados corretos, o porquê da escolha de determinada estratégia, o nível de tensão causada em cada resolução e possível interferência no processo de resolução, o que poderia ser melhorado, entre outros.

Nesta obra, os estudantes encontrarão a seção Um novo olhar, que possibilita a retomada dos conhecimentos explorados para que possam perceber, por exemplo, as habilidades desenvolvidas e as que precisam ser recapituladas e, por meio dessas percepções, após a elaboração da autoavaliação, preparar um plano de ações e estudos.

Durante esse processo de mensuração e investigação, é possível utilizar diferentes instrumentos, como: rodas de conversa ou entrevistas; fichas que serão preenchidas pelos próprios estudantes e pelo professor; trabalhos em dupla ou grupos; provas individuais com e sem consulta aos registros pessoais; elaboração e correção de atividades em duplas – um estudante corrige a atividade do outro colega; apresentação dos equívocos cometidos; elaboração de textos e seminários etc. É importante que os estudantes também tomem ciência de como poderão melhorar para avançar, sabendo do que já são capazes de realizar sozinhos, assumindo seu papel atuante.

A avaliação não começa nem termina na sala de aula, ela envolve planejamento e desenvolvimento do processo de ensino, dinamizando oportunidades de ação e reflexão, num acompanhamento permanente do professor, propiciando ao aluno, em seu processo de aprendizagem, reflexões acerca do mundo; formando seres críticos e participativos na construção das verdades formuladas e reformuladas.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan. O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. p. 131.

Ao refletir sobre seus avanços, dificuldades e expectativas, os estudantes podem perceber estratégias de aprendizagem que precisam ser modificadas.

Quanto aos familiares, se estiverem cientes das expectativas do professor em relação aos estudantes, poderão cooperar no estabelecimento dessas estratégias.

A avaliação não pode ser considerada um momento isolado no processo de ensino e aprendizagem nem se resumir a uma prova. Como mencionado, é importante que o professor utilize instrumentos avaliativos diversificados e que sejam desenvolvidos ao longo do ano letivo. O registro periódico dessas observações o ajudará a acompanhar o desenvolvimento dos estudantes.

A avaliação assim considerada é contínua e formativa: faz parte do processo de ensino e aprendizagem e tem por objetivo contribuir para a formação dos estudantes.

Diante disso, é interessante destacar um trecho sobre a avaliação em Matemática, descrito nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN):

Mudanças na definição de objetivos para o ensino fundamental, na maneira de conceber a aprendizagem, na interpretação e na abordagem dos conteúdos matemáticos implicam repensar sobre as finalidades da avaliação, sobre o que e como se avalia, num trabalho que inclui uma variedade de situações de aprendizagem, como a resolução de problemas, o trabalho com jogos, o uso de recursos tecnológicos, entre outros.

Alguns professores têm procurado elaborar instrumentos de avaliação para registrar observações sobre os alunos. Um exemplo são as fichas para o mapeamento do desenvolvimento de atitudes, [...]

Os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam eles provas, trabalhos, postura em sala, constituem indícios de competências e como tal devem ser considerados. [...]

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. p. 41. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf. Acesso em: 3 ago. 2022.

INDICAÇÕES PARA APOIO AO TRABALHO DO PROFESSOR

DOCUMENTOS OFICIAIS

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/file.

BRASIL. Senado Federal. Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília, DF: Senado Federal, Coordenação de Edições Técnicas, 2017.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192.

BRASIL. Ministério da Educação. Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa: apresentação. Brasília, DF: SEB, 2014. Disponível em: http://pacto.mec.gov.br/materiais -listagem/item/66-apresentacao.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Plano Nacional de Educação para o decênio 2014/2024. Brasília, DF: MEC, 2020. Disponível em: https://pne.mec.gov.br/.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Básica. Ensino Fundamental de Nove Anos: orientações para a inclusão da criança de seis anos de idade. 2. ed. Brasília, DF: SEB, 2007. Disponível em: http://portal. mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/Ensfund/ensifund9anobase final.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf.

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares

Nacionais: matemática. Brasília, DF: MEC/SEF, 1997. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf.

Acessos em: 27 jul. 2022.

SITES E PUBLICAÇÕES

A COR DA CULTURA. Disponível em: https://www.cenpec. org.br/tematicas/a-cor-da-cultura-modos-de-brincar.

A EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA TEMAS & DEBATES. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/index.php/td.

BOLETIM GEPEM (Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática). Disponível em: http://costalima.ufrrj.br/index. php/gepem/index.

CADERNOS DO CAEM. Disponíveis em: https://www.ime. usp.br/caem/publicacoes.php.

CADERNOS – SÉRIE IDEIAS DA FUNDAÇÃO PARA O DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO – FDE. Disponíveis em: https://www.fde.sp.gov.br/PagePublic/Interna. aspx?codigoMenu=253&AspxAutoDetectCookieSupport=1. EDUMATEC. Disponível em: http://www.edumatec.mat.ufrgs.br/.

FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (USP)/DEPARTAMENTO DE METODOLOGIA DO ENSINO E EDUCAÇÃO COMPARADA. Disponível em: http://www4. fe.usp.br/feusp/departamentos/edm.

INSTITUTO ALFA E BETO: Ensino da matemática. Disponível em: https://www.alfaebeto.org.br/2019/06/06/ instituto-alfa-e-beto-pensa-sobre-ensino-da-matematica/.

INSTITUTO PAULO FREIRE: Acervo. Disponível em: http:// acervo.paulofreire.org:8080/xmlui/.

LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA: Faculdade de Educação da USP. Disponível em: http://www2.fe.usp.br/~labmat/principal.html.

LABORATÓRIO DE PESQUISA MULTIMEIOS. Disponível em: http://www.multimeios.ufc.br/.

MATEMÁTICA EM TODA PARTE – TV ESCOLA – MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (MEC). Disponível em: https://www.youtube. com/results?search_query=tv+escola+matem%C3%A1ti ca+em+toda+parte.

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Disponível em: https://www. gov.br/mec/pt-br.

NOVA ESCOLA. Disponível em: https://novaescola.org.br/.

PENSAR A EDUCAÇÃO EM REVISTA. Disponível em: https:// pensaraeducacaoemrevista.com.br/.

PORTAL EDUCAÇÃO EM DIREITOS HUMANOS: Educação matemática como formação necessária à cidadania. Disponível em: http://www.dhnet.org.br/dados/livros/edh/br/rs/cidadan/ cap14.htm.

REDE DO SABER. Disponível em: https://deitapecerica.educa cao.sp.gov.br/rede-do-saber/.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA – RPM. Disponível em: https://www.rpm.org.br/.

REVISTA PARANAENSE DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Disponível em: https://periodicos.unespar.edu.br/index.php/rpem.

SOCIEDADE BRASILEIRA DE EDUCAÇÃO EM MATEMÁTICA –SBEM. Disponível em: http://www.sbembrasil.org.br/sbembrasil/. Acessos em: 27 jul. 2022.

ENTIDADES DE APOIO À EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

Centro de Aperfeiçoamento do Ensino de Matemática – CAEM

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo – IME/USP

Rua do Matão, 1010 – Bloco B – sala 167

Cidade Universitária – São Paulo – SP – CEP 05508-090

Fone e fax: (0XX11) 3091-6160

Site: https://www.ime.usp.br/caem/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação – FNDE

Ministério da Educação – SBS – Quadra 2 – Bloco F

Brasília – DF – CEP 70070-929

Tel.: 0800-616161

Site: https://www.fnde.gov.br/index.php. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática – LEM

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp – IMECC

Rua Sérgio Buarque de Holanda, 651 – CEP 13083-859

Fone: (0XX19) 3521-6090

Site: https://www.ime.unicamp.br/lem. Acesso em: 27 jul. 2022.

Laboratório de Ensino de Matemática e Estatística – LEMA

Universidade Federal da Bahia – UFBA – Instituto de Matemática

Avenida Adhemar de Barros, s/n – Salvador – BA – CEP 40170-110

Fone: (0XX71) 3263-6265

Site: http://www.dmat.ufba.br/extensao/lema. Acesso em: 27 jul. 2022.

Núcleo da Informática Aplicada à Educação – NIED

Universidade Estadual de Campinas – Unicamp

Cidade Universitária Zeferino Vaz

Bloco V da Reitoria – piso 2 – Campinas – SP – CEP 13083-970

Tel.: (0XX19) 3788-7136

E -mail: nied@unicamp.br

Site: https://www.nied.unicamp.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Projeto Fundão – Matemática

Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ)

Instituto de Matemática

Centro de Tecnologia – Bloco C – sala 108

Cidade Universitária

Caixa Postal 68530 – CEP 21941-972

Rio de Janeiro – RJ

Fone e fax: (0XX21) 2562-7511

Site: http://www.matematica.projetofundao.ufrj.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

Sociedade Brasileira de Matemática – SBM

Estrada Dona Castorina, 110 – sala 109

Jardim Botânico

CEP 22460-320 – Rio de Janeiro – RJ – CEP 22460-320

Fone: (0XX21) 2529-5073

Site: https://sbm.org.br/. Acesso em: 27 jul. 2022.

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Estudante resolvendo um problema na lousa.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTUNES, Celso. Jogos para a estimulação das múltiplas inteligências. Petrópolis: Vozes, 2014.

Nesse livro, o autor traz reflexões sobre a importância do jogo no processo de aprendizagem.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BEAN, Dale. O que é modelagem matemática? Educação

Matemática em Revista, São Paulo, ano 8, n. 9, p. 49-57, 2001. Disponível em: http://sbemrevista.kinghost.net/revista/ index.php/emr/article/view/1689/1182. Aceso em: 27 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor diferencia a modelagem matemática de outras aplicações no contexto do ensino de Matemática.

BNCC: você sabe a diferença entre competências e habilidades? Centro de referências em educação integral [S l.], 19 ago. 2020. Disponível em: https://educacaointegral. org.br/reportagens/bncc-voce-sabe-diferenca-entre-compe tencias-e-habilidades/. Acesso em: 17 jul. 2022.

O texto trata sobre as diferenças entre o ensino e a aprendizagem de competências e habilidades no contexto da BNCC.

BOAVIDA, Ana Maria Roque. A argumentação em Matemática: investigando o trabalho de duas professoras em contexto de colaboração. Dissertação (Doutorado em Educação) – Faculdade de Ciências, Universidade de Lisboa, Portugal, 2005. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/bits tream/10451/3140/1/ulsd048032_td_Ana_Boavida.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

A autora descreve e analisa experiências voltadas para o desenvolvimento de estudantes em atividades que envolvem argumentação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. Informática e educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.

Os autores apresentam o resultado de um trabalho sobre a importância do uso da informática na educação matemática.

BORBA, Marcelo de Carvalho; SILVA, Ricardo Scucuglia Rodrigues da; GADANIDIS, George. Fases das tecnologias digitais em educação matemática: sala de aula e internet em movimento. Belo Horizonte: Autêntica, 2014.

Discute-se, nesse livro, a influência das tecnologias digitais no ensino de Matemática nas últimas décadas.

BOUCINHA, Rafael Marimon. Aprendizagem do pensamento computacional e desenvolvimento do raciocínio Tese (Doutorado) – Centro Interdisciplinar de Novas Tecnologias na Educação, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2017. Disponível em: https://lume.ufrgs.br/ bitstream/handle/10183/172300/001058885.pdf?sequen ce=1&isAllowed=y. Acesso em: 9 jul. 2022.

O autor investiga a relação entre a construção do pensamento computacional e o desenvolvimento do raciocínio dos estudantes.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular: educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 8 jul. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. O uso de metodologias ativas colaborativas e a formação de competências Caderno de Práticas da Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF: MEC, [2019?]. Disponível em: http://basenacionalco mum.mec.gov.br/implementacao/praticas/caderno-de-praticas/ aprofundamentos/202-o-uso-de-metodologias-ativas-cola borativas-a-formacao-de-competencias-2?highlight=WyJt ZXRvZG9sb2dpYXMiLCJhdGl2YXMiLCJtZXRvZG9sb2dpYXM gYXRpdmFzIl0. Acesso em: 14 jul. 2022.

O caderno explora a relevância das metodologias ativas colaborativas para a aprendizagem, abordando conceitos como a Zona de Desenvolvimento Proximal de Vygotsky.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental – Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular. BRASIL. Ministério da Educação. Temas Contemporâneos Transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/implementa cao/contextualizacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

CARNIELLI, Walter Alexandre; EPSTEIN, Richard L. Pensamento crítico: o poder da lógica e da argumentação. 3. ed. São Paulo: Rideel, 2011.

Os autores apresentam técnicas de como construir bons argumentos e a influência dessa competência no desenvolvimento do pensamento crítico.

CENTRO DE INOVAÇÃO PARA A EDUCAÇÃO BRASILEIRA

(CIEB). Currículo de referência em tecnologia e computação: da Educação infantil ao Ensino Fundamental. São Paulo, 2018. Disponível em: https://curriculo.cieb.net. br/assets/docs/Curriculo_de_Referencia_em_Tecnologia_e_ Computacao.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

Esse documento propõe uma reflexão sobre os usos das TDICs e apresenta eixos, conceitos e habilidades alinhados à BNCC com o objetivo de favorecer o desenvolvimento de competências de exploração e de uso das tecnologias nas escolas.

COLL, César; MARTÍN, Elena (org.). Aprender conteúdos e desenvolver capacidades. Tradução: Cláudia Schilling. Porto Alegre: Artmed, 2004.

O livro aborda o processo de tomada de decisões que determina o planejamento do currículo, a partir das capacidades e dos conteúdos a serem desenvolvidos.

COLL, César. Atenção à diversidade e qualidade do ensino. Revista Educação Especial, [S. l.], v. 1, n. 1. p. 7-17, 2012. Disponível em: https://periodicos.ufsm.br/educacaoespecial/ article/view/5001. Acesso em: 30 abr. 2022.

O autor compartilha suas reflexões sobre as implicações de uma concepção inclusiva na educação, que considera a diversidade como inerente à condição humana e ao processo de ensino e aprendizagem.

COLL, César. Psicologia e currículo: uma aproximação psicopedagógica à elaboração do currículo escolar. São Paulo: Ática, 2003.

Nesse livro, são apresentadas considerações sobre propostas curriculares que contribuam para o planejamento do ensino, bem como a ação efetiva do processo educativo.

CUCCIOLI, Eliana. Superando desafios ao avaliar a aprendizagem matemática. In: LOPES, Celi Espasandin; MUNIZ, Maria Inês Sparrapan (org.). O processo de avaliação nas aulas de matemática. Campinas: Mercado das Letras, 2010. Esse livro trata sobre a importância de tornar os estudantes partícipes das práticas avaliativas.

D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Cultura de paz e pedagogia da sobrevivência. In: Cultura de paz: da reflexão à ação; balanço da Década Internacional da Promoção da Cultura de Paz e Não Violência em Benefício das Crianças do Mundo. Brasília, DF: Unesco; São Paulo: Associação Palas Athena, 2010. Disponível em: https://unesdoc.unesco.org/ark:/48223/ pf0000189919?locale=en. Acesso em: 8 jul. 2022.

Convidado para a palestra magna da série de debates, Ubiratan D’Ambrósio apresenta reflexões acerca da cultura de paz, apresentando-a como necessária à sobrevivência humana.

D’AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática: elo entre as tradições e a modernidade. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

O autor apresenta reflexões acerca da Etnomatemática, conceito do qual é um dos fundadores, e propicia uma análise da influência cultural da Matemática.

DEMO, Pedro. Professor/Conhecimento. Brasília, DF: UnB, 2001. p. 1-12. Disponível em: http://funab.se.df.gov. br/wp-content/uploads/2018/11/Demo-2001.-ProfessorConhecimento.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nesse artigo, o autor discorre sobre a necessidade da pesquisa científica para a formação humana, destacando ainda as características necessárias ao professor nessa perspectiva.

DIAS, Cláudia; FERNANDES, Denise. Pesquisa e método científicos. Brasília, DF: UFPR, 2000. Disponível em: https:// docs.ufpr.br/~niveam/micro%20da%20sala/aulas/tecnicas_ de_pesquisa/pesquisacientifica.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

Nessa publicação, as autoras apresentam diferentes definições de ciência, pesquisa e método científicos, buscando traçar um paralelo entre o conhecimento científico e o popular.

FREIRE, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 53. ed. São Paulo: Paz e Terra, 2016.

O autor apresenta considerações acerca da formação de professores e de aprimoramento da prática educativa capaz de proporcionar uma aprendizagem eficiente para tornar os estudantes autônomos, críticos e atuantes.

GALVÃO, Eliane Cruz de Santana; ISOTANI, Seiji; TODA, Armando. Pensamento computacional como forma de avançar na aprendizagem de Matemática: um compartilhamento entre o pensamento computacional e a matemática.

In: PÓS-GRADUAÇÃO EM COMPUTAÇÃO APLICADA

À

EDUCAÇÃO, 1., 2020, São Paulo. Anais […]. São Paulo: CAE/ICMC/USP, 2020. Disponível em: https://especializa cao.icmc.usp.br/documentos/tcc/eliane_galvao.pdf. Acesso em: 9 jul. 2022.

Os autores abordam o uso do pensamento computacional como estratégia para resolução de problemas matemáticos.

GRÁCIO, Rui Alexandre Lalanda Martins. Nova retórica e tradição filosófica. Caderno de Filosofias: Argumentação, Retórica, Racionalidades, [S. l.], v. 5, p. 55-69, 1992. Disponível em: https://www.ruigracio.com/pessoal/pdf/NovaRetorica. pdf. Acesso em: 5 jul. 2022.

O artigo traz considerações a respeito da teoria da argumentação do ponto de vista filosófico.

HOFFMANN, Jussara Maria Lerch. Avaliação mediadora: uma prática em construção da pré-escola à universidade. 33. ed. Porto Alegre: Mediação, 2014.

A autora apresenta práticas avaliativas desenvolvidas em vários segmentos de ensino, da Educação Infantil ao Ensino Superior. JAPIASSÚ, Hilton; MARCONDES, Danilo. Dicionário básico de filosofia. 3. ed. rev. e amp. Rio de Janeiro: Zahar, 2001. Disponível em: http://raycydio.yolasite.com/resources/dicionario_de_filoso fia_japiassu.pdf. Acesso em: 13 jul. 2022.

Esse dicionário apresenta o significado de termos e conceitos filosóficos, auxiliando na compreensão desses conceitos.

KOVALSKI, Larissa. O pensamento analógico na matemática e suas implicações na modelagem matemática para o ensino. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e em Matemática) – Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2016. Disponível em: https://acervodigital.ufpr.br/bitstream/han dle/1884/56193/R%20-%20D%20-%20LARISSA%20KOVALSKI. pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 jul. 2022.

O desenvolvimento do raciocínio matemático por meio da indução, abdução e analogia e as potencialidades desse tipo de pensamento na modelagem matemática.

MACEDO, Lino de. Ensaios construtivistas. São Paulo: Casa do Psicólogo, 1994.

O livro reúne textos baseados na experiência do autor acerca da teoria construtivista aplicada à Psicologia e à Educação.

MALHEIROS, Bruno Taranto. Didática geral. São Paulo: LTC, 2012.

O autor trata dos conceitos básicos da Didática, destacando a diferença entre Educação, Pedagogia e Didática, e mostra métodos práticos e técnicas de aprendizagem.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani (org.). Pesquisa em Educação

Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp, 1999. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/~ nedir/disciplinas-Pagina/Lourdes_Onuchic_Resol_Problemas .pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

A autora apresenta reflexões acerca do ensino de Matemática por meio de resoluções de problemas.

ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Suely Gomes. Pesquisa em resolução de problemas: caminhos, avanços e novas perspectivas. Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, v. 25, n. 41, p. 73-98, dez. 2011. As autoras apresentam os resultados de uma pesquisa sobre a importância e a influência da resolução de problemas na construção de conhecimentos em Matemática.

ORGANIZAÇÃO DAS NAÇÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Cultura de paz no Brasil. Brasília, DF: Unesco, [201-]. Disponível em: https://pt.unesco.org/fieldo ffice/brasilia/expertise/culture-peace. Acesso em: 8 jul. 2022.

A Organização das Nações Unidas para a Educação, a Ciência e a Cultura (Unesco) apresenta orientações para a promoção da cultura de paz na educação.

ORGANIZAÇÃO DAS NACÕES UNIDAS PARA A EDUCAÇÃO, A CIÊNCIA E A CULTURA. Educação para a cidadania global: preparando alunos para os desafios do século XXI. Brasília, DF: Unesco, 2015. Disponível em: https://unesdoc. unesco.org/ark:/48223/pf0000234311/PDF/234311por.pdf. multi. Acesso em: 9 jul. 2022.

O livro trata da importância de uma educação efetiva para a resolução de questões globais e da formação de cidadãos preparados para os desafios do século XXI.

PASSOS, Cármen Lúcia Brancaglion; ROMANATTO, Mauro Carlos. A matemática na formação de professores dos anos iniciais: aspectos teóricos e metodológicos. São Carlos: Editora da UFSCar, 2010.

Esse livro traz uma concepção histórica de alguns assuntos em Matemática com o objetivo de contextualizar situações e facilitar a prática docente.

PEREIRA, Adriana Soares et al Metodologia da pesquisa científica. Santa Maria: UFSM/NTE, 2018. Disponível em: https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/358/2019/02/ Metodologia-da-Pesquisa-Cientifica_final.pdf. Acesso em: 8 jul. 2022.

O livro apresenta as principais etapas da pesquisa científica, discorrendo também sobre seus métodos e caracterizando-a como forma de construção do saber.

MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Promover o raciocínio matemático dos alunos: uma investigação baseada em design Bolema, Rio Claro, v. 32, n. 62, p. 781-801, dez. 2018. Disponível em: https://www.scielo.br/j/bolema /a/JbLWRnZGLJmBYCNYRm4P76J/?format=pdf&lang=pt. Acesso em: 5 jul. 2022.

Nesse artigo, os autores abordam como alguns princípios de design podem favorecer a construção de conhecimentos matemáticos e otimizar a ação do professor.

PERRENOUD, Philippe. Dez novas competências para ensinar. Porto Alegre: Artmed, 2000.

O autor trata da importância do desenvolvimento de um conjunto de competências emergentes que contribuem para a luta contra o fracasso escolar e desenvolvem a cidadania.

POLYA, George. Mathematics and plausible reasoning: Induction and analogy in mathematics. New Jersey: Princeton University Press, 1954a. v. I. Disponível em: https://www.isinj.com/ mt-usamo/Mathematics%20and%20Plausible%20Reasoning%20 I%20-%20Polya%20G.pdf. Acesso em: 27 jul. 2022.

Esse livro trata de aspectos do raciocínio matemático por analogia relacionado ao pensamento inferencial.

PONTE, João Pedro. Tecnologias de informação e comunicação na formação de professores: que desafios? Revista Iberoamericana de Educação, Lisboa, n. 24, p. 63-90, 2000. Disponível em: https://repositorio.ul.pt/handle/10451/3993. Acesso em: 3 ago. 2022.

Nesse artigo, o autor analisa os impactos e as contribuições das tecnologias da informação e comunicação (TIC) na prática docente. POWELL, Arthur; BAIRRAL, Marcelo. A escrita e o pensamento matemático: interações e potencialidades. Campinas: Papirus, 2006. (Perspectivas em educação matemática).

Nesse livro, discute-se como diferentes atividades de escrita podem auxiliar o desenvolvimento da aprendizagem matemática. SANTOS, Márcia Regina Mendes. O estudo das inferências na compreensão do texto escrito. Dissertação (Mestrado em Linguística) – Faculdade de Letras da Universidade de Lisboa, Lisboa, Portugal, 2008. Disponível em: https://repos itorio.ul.pt/bitstream/10451/378/1/19638_ulfl062026_tm.pdf. Acesso em: 7 jul. 2022.

Nesse trabalho, a autora aborda o pensamento inferencial envolvido na leitura e compreensão de textos escritos e como o desenvolvimento desse pensamento pode auxiliar na comunicação de ideia em diversas áreas do conhecimento.

SCHROEDER, Thomas Leonard; LESTER JUNIOR, Frank Klein. Developing understanding in mathematics via problem solving. In: TRAFTON, Paul R.; SCHULTE, Albert P. (ed.). New directions for elementary school mathematics

Reston: NCTM, 1989.

Esse artigo traz reflexões acerca da relevância do método de resolução de problemas na compreensão matemática de estudantes da Educação Básica.

VYGOTSKY, Lev Semionovitch (org.). A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos psicológicos superiores. Tradução: José Cipolla Neto, Luís Silveira Menna Barreto, Solange Castro Afeche. São Paulo: Martins Fontes, 2007.

Esse livro reúne alguns dos ensaios mais importantes de Vygotski, organizados e editados por estudiosos da obra desse pensador.

Matemática

COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA

JOSÉ RUY GIOVANNI JÚNIOR

Licenciado em Matemática pela Universidade de São Paulo (USP).

Professor e assessor de Matemática em escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio desde 1985.

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Copyright © José Ruy Giovanni Júnior, 2022.

Direção-geral Ricardo Tavares de Oliveira

Direção de Conteúdo e Negócios Cayube Galas

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Gerência editorial Roberto Henrique Lopes da Silva Edição João Paulo Bortoluci (coord.)

Bianca Cristina Fratelli, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves, Janaina Bezerra Pereira, Juliana Montagner, Tatiana Ferrari D’ Addio Preparação e Revisão Maria Clara Paes (coord.)

Yara Affonso

Gerência de produção e arte Ricardo Borges

Design Andréa Dellamagna (coord.)

Sergio Cândido

Projeto de capa Sergio Cândido

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Arte e Produção Isabel Cristina Corandin Marques (coord.)

Debora Joia, Eduardo Benetorio, Gabriel Basaglia, Kleber Bellomo Cavalcante, Rodrigo Bastos Marchini

Diagramação Wym Design

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Licenciamento de textos Amandha Baptista

Iconografia Karine Ribeiro de Oliveira

Emerson de Lima, Leticia dos Santos Domingos (trat. imagens)

Ilustrações Alex Argozino, Artur Fujita, Bentinho, Dani Mota, Daniel Almeida, Daniel Bogni, Daniel Wu, Dayane Raven, Lucas Farauj, Manzi, Marcos Guilherme, Marcos Machado, MW Editora e Ilustrações, Wandson Rocha, Allmaps, Renato Bassani, Sonia Vaz

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Giovanni Júnior, José Ruy

A conquista matemática : 6o ano : ensino fundamental : anos finais / José Ruy Giovanni Júnior. – 1. ed. – São Paulo : FTD, 2022.

Componente curricular: Matemática.

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ISBN 978-85-96-03438-8 (professor)

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 22-114532

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Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

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Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

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Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

APRESENTAÇÃO

Por que estudar Matemática? Quais são as aplicações da Matemática no cotidiano? Essas são dúvidas muito comuns, que você também

pode ter. A Matemática está presente em diversas situações do dia a dia, seja em uma contagem, em uma brincadeira, seja nos mais modernos estudos para auxiliar no desenvolvimento de novas tecnologias. Ela ajuda a decidir se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, a entender as variações da inflação e dos juros, a medir os índices sociais de um país, a compreender e organizar informações, a preservar o meio ambiente, entre outros usos, incluindo as aplicações de figuras geométricas e medidas na arquitetura, na arte e na agricultura.

É importante considerar que a aplicação da Matemática no cotidiano ocorre como resultado do desenvolvimento e do aprofundamento de conceitos nela presentes. Como em todas as áreas do conhecimento, para compreender e aplicar Matemática, são necessários estudo e dedicação.

Nesta coleção, apresentamos a você as bases desse processo de aquisição de conhecimento, com uma linguagem de fácil compreensão, porém com o rigor que a Matemática exige.

Hoje, vivemos em um mundo em constante e rápida transformação, e a Matemática pode nos ajudar a entender essas transformações. Adquirir conhecimento matemático significa estar integrado às mudanças do mundo. Então, vamos entender e fazer Matemática! O autor

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SEU LIVRO

ABERTURA DE UNIDADE

UNIDADE

9

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Todos sabem da importância de economizar água, mas também que é necessário manter a higiene. E agora? O que fazer? Deixar sujo ou gastar água para limpar?

• O que você faria para resolver esse problema? Resposta pessoal.

Resposta pessoal. Uma descarga sem defeito pode gastar de 6 a 14 litros por acionamento, dependendo do modelo.

Uma opção são os sistemas de captação de água da chuva (cisternas). Como sabemos, a água da chuva não é própria para o consumo humano, mas é adequada para lavagem de quintais, calçadas, e até para uso em banheiros (descarga).

• Você consegue estimar quantos litros de água são utilizados em cada descarga?

Normalmente, para essas finalidades, usamos uma água que é própria para o consumo (água vinda dos sistemas de abastecimento, poços artesianos etc.). A utilização da água da chuva pode, inclusive, ajudar a diminuir os gastos domésticos.

Na imagem, temos a representação do esquema de funcionamento de uma cisterna que possui caixa-d’água com capacidade de 1 000 litros e um volume de 1 m3. Para se ter uma ideia, uma chuva forte de duas horas seria suficiente para encher uma caixa-d’água com essa capacidade.

• Pesquise o consumo de água em algumas atividades cotidianas e estabeleça relações entre a quantidade de água de chuva armazenada pela cisterna e onde ela poderia ser utilizada. Vale a pena armazenar água da chuva? Por quê? Resposta pessoal.

ATIVIDADES

SAIBA

do disco E e ainda sobra.

1 8 , 1 4 • Quanto menor é a parte, maior é o denominador da fração unitária que a representa. Por exemplo: 1 8 , 1 6 , 1 4 , 1 3 , 1 2 Comparando frações de mesmo numerador, a menor delas é a que apresenta o maior denominador.

6 , , , 2 4 2 3 2 Comparando frações de mesmo denominador, a menor é aquela que apresenta o menor numerador.

Por exemplo:

5 , , , ,

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2 5 3 5 4 5 5 5

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. Para resolver as atividades a seguir, considere usar os discos dados na página 139 1. Tio Antônio adora brincar com seus sobrinhos com charadas. Certa vez, ele deu uma barra de chocolate a cada sobrinho, todas iguais, e perguntou:

1. Antônio adora brincar com sobrinhos com charadas. vez, ele uma barra de chocolate a cada sobrinho, todas iguais, e perguntou:

ATIVIDADES ILUSTRAÇÕES:WANDSONROCHA

Comi uma barra de chocolate inteira! E eu comi a metade da metade da metade da barra.

a) Responda às perguntas de tio Antônio.

b) Quem comeu mais: Ivo ou Carlos?

c) Escreva as frações que representam a quantidade que Sara e Lara comeram.

d) Agora, responda:

• Uma metade é igual a quantos sextos? E a quantos décimos? 3; 5

• Uma terça parte é igual a quantos sextos? E a quantos nonos? 2; 3

2. Você pode afirmar que 2 3 4 6 de uma mesma figura representam a mesma região dessa figura? Sim.

quanto 1

5 dos funcionários usa ônibus. Entre os dois tipos de transporte, qual é o mais

No decorrer das Unidades, são apresentadas diferentes atividades. Com elas, você poderá desenvolver estratégias para resolver e elaborar problemas e compartilhá-las com os colegas.

Traz informações complementares importantes, que você pode consultar de maneira prática ao longo dos capítulos.

4 01/09/22 15:14 4

Com um estilo diferenciado, as páginas de abertura trazem imagens, textos e questões sobre conceitos que serão estudados em cada Unidade.

TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Nesta seção, você vai observar como a organização e a análise de dados facilitam o entendimento de informações, além de conhecer conceitos de probabilidade e estatística.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

BIOMAS BRASILEIROS Pedro fez uma pesquisa sobre os biomas brasileiros para um trabalho escolar. Biomas são grandes extensões territoriais com carac- terísticas similares de vegetação e das espécies de animais que ali habitam, o que é defi- nido, em parte, pelas condições físicas próprias das regiões (clima e forma- ção das rochas, por exemplo). No Brasil, existem seis grandes biomas terrestres: Amazônia, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e Pantanal. Observe, no info- gráfico a seguir, as informações que Pedro coletou.

Mamíferos Anfíbios Aves Peixes Répteis

BIOMAS brasileiros. WWF Brasil. Brasília, [20--]. Disponível em: https://www.wwf.org.br/ natureza_brasileira/questoes_ambientais/biomas/. Acesso em: 30 jun. 2022. O Brasil é o país com maior número de espécies da fauna e da flora no mundo. Para conhecer mais nossos biomas e sua diversidade, visite o sitedo WWF Brasil.

Elaborado com base em: BIOMAS brasileiros. IBGE Educa Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/ territorio/18307-biomas-brasileiros.html. INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. 2017: o ano da agricultura. Retratos – Revista do IBGE, Rio de Janeiro, n. 6, dez. 2017. Disponível em: https:// agenciadenoticias.ibge.gov.br/media/com_mediaibge/ arquivos/3ee63778c4cfdcbbe4684937273d15e2.pdf.

Acessos em: 18 ago. 2022.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

ESCASSEZ DE MOEDAS DIFICULTA O TROCO NO COMÉRCIO

Redução na cunhagem pelo Banco Central e a cultura de encher o cofrinho interferem na circulação de moedas

de

AmazôniaVegetação densa com árvores altas e próximas entre si.

Espécies animais no bioma 60%

cm

Tucano-de-bico-preto. Fotografia de 2019.

CerradoVegetação formada por arbustos e por árvores de cascas grossas galhos retorcidos.

FABIO COLOMBINI

RITA BARRETO/FOTOARENA

48 cm

SAIBA QUE

Na flora brasileira, mais de 46 mil espécies já foram catalogadas.

A título de curiosidade, trata-se de uma quantidade tão grande que, caso inserida no gráfico “Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros”, ocuparia um espaço mais de dez vezes maior do que aquele ocupado pelos peixes.

com base nas informações disponibi- lizadas, faça o que se pede no caderno.

Quais foram os tipos de comunicação que Pedro utilizou no infográfico para passar as informações?

Texto, gráfico de setores e fotografia.

2. Forme um grupo com mais 4 colegas, esco- lham um bioma e redijam um texto sobre ele. Utilizem, para isso, as informações presentes no infográfico e em outras fontes de pesquisa, se julgar em necessário

Resposta pessoal.

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

215

14:19

01/09/22

Por redação (A Hora)

Publicado em 12/12/2019

[...]Segundo o Banco Central, o país tem mais de 30 bilhões de moedas no mercado. Pelos

R$ 31. O BC mantém uma campanha nacional para incentivar a circulação de moedas.

Além de facilitar o troco, a recirculação reduz o gasto. Cada moeda custa em média

R$ 0,25. Neste ano, foram postas em circulação mais de 430 milhões [de] moedas.

Entesouramento O BC informa que procura emitir moedas em quantidade suficiente para atender às necessidades de troco no país. No entanto, após serem usadas, algumas moedas saem prematuramente de circulação, esquecidas em gavetas, potes, carros ou mesmo perdidas.

A mais produzida foi a de R$ 0,05, com 137,2 milhões de unidades.

Esta retirada de circulação prematura, chamada de entesouramento, ocorre em todo o mundo. No Brasil, pela estimativa do Banco Central, afeta 35% do total de moedas produzidas, o que eleva o gasto público, provoca o desperdício e impacta sobre a natureza, pois se trata de metal.

FALEIRO, Filipe. Escassez de moedas dificulta o troco no comércio. A Hora Lageado, 12 dez. 2019. Disponível em:

Acesso em: 7 jun. 2022.

1. Joana notou que sua mãe, Ana, costumava deixar sobre a mesa algumas moedas que recebia durante o dia e pediu à mãe que lhe desse diariamente essas moedas. Observe o que aconteceu em uma semana e, depois, responda às questões no caderno.

Conceitos de educação financeira são apresentados para desenvolver reflexões sobre temas relevantes, como consumo consciente, planejamento financeiro, economia etc.

• De segunda a sexta, Ana toma um café que custa R$ 4,90. Ela paga com uma cédula de R$ 5,00 e guarda o troco. No almoço, vai a um restaurante de preço fixo, R$ 19,80, paga com uma cédula de R$ 20,00 e guarda o troco.

• No sábado, Ana foi à feira. Do troco recebido, sobraram uma moeda de

• No supermercado, fez uma compra de R$ 148,35, utilizou três cédulas de

R$ 1,00, duas de R$ 0,25 e três de R$ 0,10.

R$ 50,00 para realizar o pagamento e recebeu o troco em moedas.

a) Qual foi a quantia que Joana recebeu da mãe nessa semana?

R$ 4,95 R$ 84,15

b) Se Joana receber essa mesma quantia semanalmente durante 17 semanas, tomando cuidado para, sempre que possível, realizar a troca de moedas por cédulas a fim de contribuir com a circulação delas, quantos reais ela terá no fim desse período?

TECNOLOGIAS

Nesta seção, você é convidado a utilizar diferentes recursos digitais para resolver e elaborar problemas. São apresentadas, ainda, noções relacionadas à lógica de programação.

TECNOLOGIAS

CALCULADORAS

No dia a dia, é comum a realização de operações matemáticas básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Já pensou como seria se precisássemos fazer todas as contas de cabeça ou em rascunhos no papel? Atualmente, a calculadora é um recurso muito utilizado, disponível em computadores, celulares, relógios e em muitos outros dispositivos. A primeira versão foi construída pelo matemático francês Blaise Pascal (1623-1662) e teve poucas unidades produzi- das por ser muito cara. Cerca de 30 anos depois, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criou outro modelo, no qual as quatro operações eram realizadas mais rapidamente, em comparação com o de Pascal. O modelo de Leibniz, com algumas melhorias, foi substituído somente com a criação da calculadora eletrônica. Observe alguns modelos de calculadoras eletrô- nicas disponíveis.

Calculadora básica (ou simples): não possui muitas funcionalidades, apenas as mais básicas. Por isso, é mais usada no dia a dia, incluindo na rotina Geralmente,escolar.executa as operações básicas, raiz quadrada e porcentagem.

YORKPUBLICLIBRARY/SCIENCESOURCE/FOTOARENA

Fotografia da Máquina de Pascal, também conhecida como Pascalina, criada entre 1642-1644. Com ela era possível calcular rapidamente adições e subtrações. O cálculo de multiplicações e divisões também era possível, mas em processo mais lento.

Dois modelos de calculadora científica a comum e a gráfica. A comum possui funções automáticas e realiza cálculos mais complexos. Já a gráfica, além de ter as mesmas funções que a comum, constrói gráficos. Essas calculadoras são muito utilizadas nas áreas de Arquitetura e Engenharia.

Calculadora financeira possui funções automáticas, o que reduz os passos na solução de cálculos possibilitandofinanceiros, que sejam executados mais rapidamente. É muito utilizada nas áreas de negócios que administraçãoenvolvem e finanças.

SAIBA QUE Utilize uma calculadora para realizar as atividades a seguir, registrando as respostas no caderno.

como o Brasil, adotam a vírgula. Mas a maioria das calculadoras usa o ponto como separador decimal.

1. Qual é o maior número natural com algarismos distintos que você consegue registrar no visor de sua calculadora? E o menor, usando o máximo de algarismos possível?

2. Registre em sua calculadora um número ímpar de três algarismos. Compare com os números registrados por dois colegas e descubra qual deles é o maior.

3. Registre na calculadora o número 348 735. Que operação é possível efetuar para obter no visor o número 48 735? Subtrair 300 000.

4. Agora, registre o número 74 563 na calculadora. Que operação é possível efetuar para obter no visor o número:

a) 74 564? Adicionar 1. b) 74 573? Adicionar 10. c) 74 663? Adicionar 100. d) 14 563? Subtrair 60 000.

5. Suponha que a tecla 2 de sua calculadora esteja quebrada. Como você faria para aparecer o número 22 no visor?

6. Suponha que a tecla número 8 esteja quebrada. Descubra uma sequência de teclas que você poderia apertar para obter o resultado de: a) 3 8. b) 15 18. c) 188 2.

7. Com base na atividade anterior, elabore um problema para ser resolvido com uma calculadora “quebrada”. Informe os valores necessários para o cálculo e a tecla que não pode ser usada.

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cálculosdainstituição,cadabrasileirotemcercade120moedas,oquerepresentapoucomais

Cunhagem: ação

GLOSSÁRIO RANGIZZZ/SHUTTERSTOCK.COM

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POR TODA PARTE

Esta seção apresenta situações e contextos que evidenciam a conexão da Matemática com o cotidiano e com diversas áreas do conhecimento.

PENSE E RESPONDA

Apresenta atividades diversificadas que ajudam a desenvolver o raciocínio investigativo. Aqui, você poderá mobilizar seus conhecimentos prévios e aplicá-los nas investigações.

FÓRUM

Traz reflexões e questões para debate, em que você e os colegas poderão compartilhar e discutir ideias sobre temas atuais e de importância social.

reta e, em seguida, usando a ferramenta Reta Paralela, traçou duas retas paralelas à primeira. Depois, traçou uma nova reta, de modo que ela cortasse as três retas paralelas criadas. Finalmente, com a ferramenta Ângulo ele mediu um dos ângulos formados entre cada uma das retas paralelas e a reta que as intersecta. Depois, moveu esta última reta e viu

o que acontecia com os ângulos. Observe como ficou parte da tela de Pedro em dois momentos.

POR TODA PARTE

DISTRIBUIÇÃO DA POPULAÇÃO RESIDENTE

EM ÁREAS INDÍGENAS NO BRASIL EM 2020 O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) promoveu em 2020 um estudo

de estatística experimental para promover ações de enfrentamento à pandemia da covid-19.

e quilombolas e mostrou que no Brasil havia, em 2020, 1108970 pessoas residindo em áreas indígenas. No entanto, o IBGE recomendou, naquela ocasião, que os dados fossem utilizados

Esse estudo buscou verificar o dimensionamento de população residente em áreas indígenas

com cautela pelo fato de estarem em fase de teste e avaliação. A tabela a seguir apresenta a distribuição da população residente em áreas indígenas por

região brasileira. Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFA E ESTATÍSTICA. Dimensionamento emergencial de

coronavírus 2020: Tabela 1. IBGE Rio de Janeiro, 2020. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/ populacao/31876-dimensionamento-emergencial-de-populacao-residente-em-areas-indigenas-e-quilombolas-para -acoes-de-enfrentamento-a-pandemia-provocada-pelo-coronavirus.html? &t resultados. Acesso em: 10 ago. 2022.

população residente em áreas indígenas e quilombolas para ações de enfrentamento à pandemia provocada pelo

Dimensionamento da população residente em áreas indígenas – 2020 Região População Norte 560377 Nordeste 234725 Sudeste 29809 Sul 59895 Centro-Oeste

Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Dimensionamento emergencial de população residente em áreas indígenas e quilombolas

Responda às questões no caderno.

1. De acordo com o estudo, em qual região se encontrava a maior população residente em áreas indígenas no Brasil em 2020? Região Norte.

acordo com estudo feito pelo IBGE? 1 108970 pessoas.

2. Qual era o total de pessoas residindo em áreas indígenas no Brasil, em 2020, de

3. Em 2020, qual era a diferença numérica entre a soma da população indígena resi-

dente nas regiões Nordeste, Sul, Sudeste e Centro-Oeste e a população indígena residente na região Norte? Escreva esse valor por extenso. Onze mil, setecentos e oitenta e quatro.

GLOSSÁRIO

Traz o significado de algumas palavras que podem ser desconhecidas, o que auxilia na compreensão dos textos.

a) Que tipos de reta Pedro construiu? b) O que podemos notar observando os ângulos que Pedro mediu?

As retas s e tsão retas paralelas; as retas u s e u te u são retas concorrentes.

iguais em cada uma das posições da reta u

Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intersecta têm medidas

207

O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) garante por lei os direitos e busca assegurar a proteção integral de crianças e adolescentes. Ele trata, por exemplo, do direito à vida e à saúde, à liberdade, ao respeito e à dignidade. Além de conhecer o ECA e ter a clareza sobre quais são os direitos garantidos nesse documento, é importante perceber até onde nossa liberdade individual pode comprometer a liberdade de outras pessoas. Ou seja, devemos pensar em nossos deveres como filho(a), irmão(ã), amigo(a), estudante, vizinho(a), cidadão(ã) etc. Leia os trechos ao lado retirados da história em quadrinhos do cartunista Mauricio de Sousa. Depois, converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir. 1. Você já tinha ouvido falar sobre o ECA?

Resposta pessoal.

As transformações dos símbolos indo-arábicos Os símbolos utilizados no Sistema de Numeração Indo-arábico, ou Sistema de Numeração Decimal são chamados símbolos indo-arábicos ou algarismos Os símbolos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação antes de adquirirem, no século XVI, a aparência que conservam até hoje. Observe a seguir essa evolução ao longo do tempo.

O zero: uma invenção importante Acredita-se que os primeiros povos a desenvolver a noção de

zero foram os babilônios, que habitaram a região da Mesopotâmia, atual Iraque, por volta de 2500 a.C. Na América Central, os maias também compreendiam a noção

GLOSSÁRIO

Algarismo: símbolo utilizado para representar os números no Sistema de Numeração Decimal.Essapalavratemorigemno al-nomedomatemáticopersa Khwarizmi.

ANDREY_KUZMIN/SHUTTERSTOCK.COM

de zero e usavam várias maneiras para representar a noção de vazio. Os indianos conheciam a noção de vazio e empregavam a palavra sunya para representar essa noção. Os árabes chamavam o zero de

ILUSTRAÇÕEEDITORIADE ARTE

Indo-arábico pelos árabes, o zero ficou conhecido como zephirum depois zéfiro zefro e, finalmente, zero. Dos indianos aos árabes, a

shfr Já na Europa, com a disseminação do Sistema de Numeração

forma do zero mudou de um ponto para um círculo. Na Europa, uma disputa entre abacistas (defensores do ábaco) e algoristas (defensores do Sistema de Numeração Indo-arábico) ofereceu forte resistência ao uso tanto do zero como do sistema de numeração. Elaborado com base em: EVES, Howard. Introdução à história da matemática

Essas são duas das representações que os maias usavam para o zero.

Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 41.

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Resposta pessoal.

2. Pensando sobre direitos e deveres, é fundamental destacar respeito entre todas as pessoas. Em quais situações do dia a dia você identifica o respeito nos comportamentos das pessoas? 3. Será que todas as crianças e adolescentes da escola e de seu bairro conhecem o ECA? Em grupo, elaborem uma campanha, um material de divulgação ou uma atividade para divulgar os direitos e deveres da criança e do adolescente.

Resposta pessoal.

Revista Turma da Monica em – O Estatuto da Criança e do Adolescente, Mauricio de Sousa. Instituto Mauricio de Sousa.

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ROYALTY FREE/PULSAR IMAGENS

ROYALTY FREE/PULSAR IMAGENS

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BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 7 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 4, 5 e 7

Habilidades:

Números

• EF06MA01

• EF06MA02

Probabilidade e estatística

• EF06MA32

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação Ambiental

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em 2 capítulos; apresentando alguns sistemas de numeração, com o objetivo de compreender o processo histórico da construção do Sistema de Numeração Decimal, além de compreender suas características.

No primeiro capítulo, os estudantes também conhecerão um pouco da história a respeito de como o ser humano aprendeu a contar. Para isso, estudarão os Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico e um sistema usado até hoje: o Romano. Além disso, reconhecerá que o sistema de numeração que prevaleceu foi o Sistema de Numeração Decimal. No segundo capítulo, são apresentados os símbolos indo-arábicos, os algarismos, as características do Sistema de Numeração Decimal, os números naturais, a reta numérica, valor posicional e leitura e escrita dos números naturais. Esses temas favorecem a apropriação das habilidades EF06MA01 e EF06MA02.

OBJETIVOS

• Compreender o processo histórico da construção do Sistema de Numeração Decimal.

• Compreender as características dos Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico, Romano e Indo-arábico.

UNIDADE

1 SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

No dia a dia, lidamos o tempo todo com os números. Dificilmente, você passará um dia sem utilizá-los. Para isso, empregamos atualmente símbolos do Sistema de Numeração Indo-arábico. Mas os números fazem parte do cotidiano das pessoas há milênios, e nem todos os sistemas de numeração são como o que usamos no dia a dia. Compare algumas representações numéricas em três diferentes sistemas de numeração: o guarani, o egípcio e o chinês.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Sistema de Numeração Guarani

Observe como os números de 1 a 20 são representados com símbolos do Sistema de Numeração Guarani.

Para os números maiores do que 30, há outros símbolos e novos padrões. Observe, por exemplo, como os números 34 e 44 são representados.

• Representar e ler números escritos nos Sistemas de Numeração Egípcio e Romano.

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• Interpretar dados em tabelas simples e gráficos de colunas.

• Ler e escrever números naturais, considerando o valor posicional dos algarismos, incluindo o zero.

• Refletir a respeito da necessidade de proteção ambiental da Amazônia.

• Compreender as funções e os registros numéricos na calculadora.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Justificam-se os objetivos desta Unidade dado que se explora o trabalho com diferentes sistemas numéricos, promovendo a compreensão do processo histórico da construção do Sistema de Numeração Decimal. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da competência geral 1 e das habilidades EF06MA01 e EF06MA02.

Indígenas da etnia Guarani Mbya na Aldeia Mata Verde Bonita. Maricá (RJ), 2021.

BEST-BACKGROUNDS/SHUTTERSTOCK.COM

BENTINHO

CHICO FERREIRA/ PULSAR IMAGENS

O número 145 pode ser representado da seguinte maneira.

Exemplos de respostas: É possível identificar a noção de agrupamentos e o princípio aditivo nas representações feitas com símbolos dos três sistemas; no Sistema de Numeração Chinês verifica-se também o princípio

Agora, responda às questões no caderno.

• Você já conhecia algo sobre esses sistemas de numeração? Conhece algum outro? Qual?

Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes se lembrem do Sistema de Numeração Indo-arábico (decimal) ou, ainda, do Sistema de Numeração Romano.

• Comparando as representações com símbolos dos sistemas de numeração apresentados, você identifica alguma regra ou padrão? Você percebe se esses sistemas têm algo parecido?

multiplicativo. Por exemplo: para representar 30, os chineses escrevem lado a lado o símbolo do 3 e o do 10, que resultará em 3 10 = 30.

Elaborado com base em: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 31 e 34. SILVA, Sérgio Florentino da. Sistema de numeração dos guarani: caminhos para a prática pedagógica. Dissertação (Mestrado em Educação Científica e Tecnológica) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2011. p. 108-116. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/96063/PECT0139 -D.pdf?sequence=1&isAllowed=y. Acesso em: 27 jul. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Abertura de Unidade

Para iniciar o trabalho desta Unidade, é interessante motivar os estudantes a observar atentamente as imagens apresentadas e levantar hipóteses sobre o tema que será abordado.

Uma sugestão é explorar as perguntas da abertura em duplas ou coletivamente para que os estudantes possam socializar suas observações. Dessa maneira, será possível coletar dados sobre os conhecimentos prévios deles. Espera-se que os estudantes compreendam que existiram várias civilizações que construíram seu próprio sistema de numeração, que os números têm importância fundamental para a sustentação da sociedade e que percebam que cada sistema de numeração tem características próprias. É importante que os estudantes reconheçam as semelhanças e diferenças entre os sistemas.

Os exemplos de sistemas de numeração citados na abertura desta Unidade permitem a observação de certa regularidade ou padrão. A segunda questão busca incentivar os estudantes a identificar cada um desses padrões.

Para finalizar, conversar com os estudantes sobre a importância de se conhecer o padrão utilizado, as consequências da inexistência de um padrão e ainda as diferentes situações em que os números são utilizados.

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A seção Tratamento da informação aborda o tema Educação Ambiental por meio da apresentação de dados estatísticos (tabelas e gráficos), relacionando a emissão de dióxido de carbono com mudanças climáticas e o desmatamento na Amazônia Legal, colaborando com o desenvolvimento da habilidade EF06MA32, das competências gerais 7 e 10 e das competências específicas 2, 4 e 7.

A seção Por toda parte retoma o tema Educação Ambiental a partir da discussão sobre a importância dos rios da bacia Amazônica e colabora com o desenvolvimento das competências gerais 7 e 10 e as competências específicas 2, 5 e 7.

01/09/22 21:01

É interessante incentivar os estudantes a socializar as respostas com os colegas, chamando-os para identificar cada imagem/ informação com a função do número utilizada.

A seção Tecnologias apresenta a história do desenvolvimento da calculadora e propõe uma análise de suas ferramentas, o que auxilia no desenvolvimento da competência geral 1 e das competências específicas 1 e 5.

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Templo de Karnak. Luxor (Egito), 2021.

STOCKBYM/ALAMY/ FOTOARENA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Uma história muito antiga

Pedir aos estudantes que imaginem um mundo no qual os números não existam como os conhecemos hoje. Propor que descrevam situações em que é necessário utilizar números para diferentes finalidades, mas eles devem fazer isso sem utilizar os símbolos com que estamos acostumados. Observar o envolvimento dos estudantes, motivando-os a compartilhar o entendimento com os colegas.

Em seguida, solicitar que observem apenas a imagem apresentada nesta página e falem sobre o que trata. É possível que alguns estudantes relacionem a imagem com as primeiras ações do homem para registrar e controlar quantidades. É importante ajudá-los a identificar uma relação entre a quantidade contada e o registro da contagem. Comentar, ainda, que existem poucas fontes de estudo sobre a história dos números. Portanto, não seria possível indicar um ponto de partida para um local ou uma civilização responsável pelo surgimento dos registros numéricos. Assim, as informações que temos atualmente são reflexo de muitos anos de pesquisa. Essa reflexão auxilia no desenvolvimento da habilidade EF06MA02, bem como da competência geral 1 e da competência específica 1.

Pense e responda

O objetivo desse boxe é incentivar os estudantes a refletir sobre os números e as diversas maneiras em que os utilizamos. Provavelmente, eles já têm um conhecimento prévio sobre o tema e utilizam os números no cotidiano para contar, ordenar, codificar e medir. Em seguida, selecionar alguns exemplos e discutir com

UMA HISTÓRIA MUITO ANTIGA CAPÍTULO1

Utilizamos números em diversas situações do dia a dia e, muitas vezes, nem percebemos isso... Em casa, no trabalho, em atividades de lazer, no supermercado, na feira, na escola, entre outras ocasiões, é possível identificar o uso de números. Além disso, eles são empregados com diferentes funções: para indicar o resultado de uma contagem, para ordenar, para registrar medidas e como códigos.

PENSE E RESPONDA

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Escreva, no caderno, uma lista com pelo menos 10 situações do cotidiano em que você utiliza números.

2. Compare essa lista com a de um colega e conversem para identificar se os números, em cada uma das situações que vocês listaram, indicam resultado de uma contagem, ordem, medida ou código.

Mas nem sempre foi assim... Leia a seguir um texto para conhecer um pouco mais sobre a história dos números.

Em uma história dos números, é difícil escolher um ponto de partida. Por onde começar? Em que época? Em que local? Em que civilização específica? Não é difícil imaginar que as sociedades muito antigas tenham tido noção de quantidade. Normalmente, associa-se a história dos números à necessidade de contagem, relacionada a problemas de subsistência, e o exemplo mais frequente é o de pastores de ovelhas que teriam sentido a necessidade de controlar o rebanho por meio de associação de cada animal a uma pedra. Em seguida, em vez de pedras, teria se tornado mais prático associar marcas escritas na argila, e essas marcas estariam na origem dos números. [...]

ROQUE, Tatiana. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. Rio de Janeiro: Zahar, 2012. p. 35.

Inscrições,

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a turma sobre a função dos números para cada um dos exemplos: contagem, medida, código e ordem. Mostrar que um mesmo número pode ser utilizado para diferentes funções, por exemplo, 3 anos, 3o lugar, 3 metros e apartamento número 3. Organizá-los em duplas para a realização das questões propostas e, quando necessário, fazer intervenções.

em escrita cuneiforme, feitas em tablete de argila por antiga civilização. Peça do Museu das Civilizações da Anatólia, em Ancara (Turquia).

SISTEMAS DE NUMERAÇÃO

Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras que nos permite escrever e ler qualquer número de determinado conjunto.

Na história da humanidade, podemos verificar a existência de muitos sistemas de numeração, criados por vários povos: babilônios, egípcios, chineses, maias, romanos, hindus, entre outros.

Observe, neste mapa, a localização de algumas dessas civilizações e o período em que alcançaram maior desenvolvimento.

O Sistema de Numeração Egípcio

Os egípcios criaram um dos primeiros sistemas de numeração de que se tem notícia. Observe a seguir os símbolos que eles utilizavam para representar quantidades.

Fonte: ATLAS histórico: geral e Brasil. São Paulo: Scipione, 2011. p. 32-34, 38, 43, 47, 52.

Um Dez Cem Mil Dez mil Cem mil Um milhão

Haste vertical Osso de calcanhar Corda enrolada

Flor de lótus

Dedo indicador

Ave, peixe ou girino

Homem ajoelhado com braços erguidos

Fonte: EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 31. Com esses símbolos, era possível escrever números utilizando as seguintes regras.

• Cada símbolo podia ser repetido no máximo nove vezes.

• A cada dez símbolos repetidos, fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior.

• Adicionavam-se os valores dos símbolos utilizados para identificar o número representado. Observe alguns exemplos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sistemas de numeração

Após a leitura do texto apresentado no Livro do estudante, é interessante fazer questionamentos, como: “O que pode ter acontecido para chegar ao sistema de numeração utilizado atualmente? Será que ele sempre foi assim?”. Esses questionamentos favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA02, da competência geral 1 e da competência específica 1.

Depois, pode-se analisar o mapa que apresenta a localização de algumas antigas civilizações e perguntar o que os estudantes sabem sobre esses povos. Esse estudo pode ser realizado em parceria com o professor de História.

Em seguida, explorar com eles as regras do Sistema de Numeração Egípcio nos exemplos dos números apresentados na página. Reforçar que, nesse sistema de numeração, a ordem dos símbolos não modifica o número escrito:

40 + 9

2 000 + 20 100 + 20 + 7

• A posição dos símbolos não altera o número escrito. Por exemplo, o número 231 pode ser escrito, entre outras maneiras, conforme indicado a seguir.

40 + 9 ou

40 + 9

Verificar se os estudantes percebem a ausência de um símbolo para representar o zero no Sistema de Numeração Egípcio.

Vídeo

A HISTÓRIA do número 1: como tudo começou. 2012. Vídeo (59min16s). Publicado pelo canal Rede Catarinense. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ZWZKJb06CTU.

Acesso em: 18 ago. 2022.

Caso tenha disponibilidade, assistir com os estudantes ao vídeo sobre a história do número 1, que também narra a história de alguns dos principais sistemas de numeração.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Após a apresentação dos símbolos usados nos Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico e Romano, discutir com os estudantes as principais características de cada um: qual é a base, se existe valor posicional e se há símbolo para representar o zero. Esses questionamentos favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA02, da competência geral 1 e da competência específica 1. Comentar com eles que o sistema que usamos para realizar a contagem das horas também é feito em agrupamentos de 60, como no Sistema de Numeração Babilônico.

O Sistema de Numeração Babilônico

Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmia, foram encontrados blocos de argila como o da fotografia da página 14, com inscrições com o formato de cunhas, de modo que essa escrita recebeu o nome cuneiforme

Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades.

Cravo Asna

O “cravo” podia ser utilizado até nove vezes, representando os números de 1 a 9.

Observe como era a escrita de alguns números.

O número 10 era representado pelo símbolo “asna”.

Um Três Cinco Seis Nove Dez

O Sistema de Numeração Babilônico não possuía um símbolo para representar o zero. Nesse sistema, era usado um espaço entre os símbolos para diferenciar o tipo de agrupamento, e o símbolo usado para representar o 1 era o mesmo do 60. A contagem era feita em agrupamentos de 10 e, também, de 60. Observe algumas representações.

O Sistema de Numeração Romano

O sistema de numeração que os romanos criaram era baseado em sete símbolos.

Apesar de hoje usarmos as letras do alfabeto latino para esses símbolos, a sua forma inicial não teve origem nesse alfabeto.

O cinco, por exemplo, indicava os 5 dedos da mão e era representado assim:

Com o tempo, o símbolo foi simplificado:

Observe a seguir as mudanças que ocorreram com o símbolo que indicava o 1 000.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Após a exploração dos sistemas de numeração, pedir aos estudantes que escolham três números. Depois, dividir a turma em três grupos e fazer na lousa um quadro com espaço suficiente para os estudantes escreverem os números escolhidos pela turma nos quatro sistemas de numeração (Decimal, Egípcio, Babilônico e Romano), de modo que cada registro deve ser feito por

um membro do grupo. Após o preenchimento, disponibilizar um momento para que os estudantes comparem as respostas e discutam possíveis diferenças entre os registros. Esse momento deve trazer, principalmente, a questão sobre o sistema de numeração ser ou não posicional, uma vez que os sistemas que não possuem essa característica podem ter um mesmo número escrito de mais de uma maneira.

As regras do Sistema de Numeração Romano

O Sistema de Numeração Romano apresenta as seguintes regras.

• Os símbolos I, X, C e M podem ser repetidos, no máximo, três vezes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Comentar com os estudantes que o Sistema de Numeração

• Um símbolo colocado à esquerda de outro símbolo de maior valor indica uma subtração dos respectivos valores.

10 1 = 9

Lembre-se:

• l só pode ser subtraído de V e de X

• X só pode ser subtraído de L e de C

• C só pode ser subtraído de D e de M

• Os símbolos V, L e D não podem ser subtraídos de nenhum outro.

• Para representar os números no Sistema de Numeração Romano, basta colocar os símbolos lado a lado e adicionar seus valores.

VI 5 + 1 = 6

XI 10 + 1 = 11

CCLIV 200 + 50 + 4 = 254

MDCCCXXIII 1 000 + 800 + 20 + 3 = 1 823

• Um símbolo com um traço acima dele representa milhares; com dois traços, representa milhões.

V 5 000

VIDCCXX 6 720

XX 20 000 000

XLVVII 45 000 007

No Sistema de Numeração Romano não há um símbolo para representar o zero.

Fotografia de medalha entregue aos ganhadores do Prêmio Nobel. Nela estão indicados, em símbolos romanos, os anos de nascimento (1833) e de óbito (1896) de Alfred Nobel, idealizador do prêmio.

Romano tem base 10. Para evidenciar esse fato, destacar algumas similaridades entre os registros numéricos nesse sistema e no Sistema de Numeração Decimal; por exemplo, X, XI, XII, ..., XIX, o símbolo que representa uma dezena é mantido e o símbolo que representa as unidades varia, como ocorre com os números 10, 11, 12, ..., 19.

É importante ressaltar que a posição entre os símbolos interfere no número escrito, mas sem conferir um valor posicional a cada símbolo, ao contrário do Sistema de Numeração Decimal. Verificar se os estudantes compreendem o princípio subtrativo, propondo-lhes que escrevam alguns números utilizando símbolos romanos e que expliquem a formação de cada registro numérico.

NIELS

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Com as atividades propostas, pode-se solicitar aos estudantes que comparem os Sistemas de Numeração Egípcio, Babilônico e Romano e consolidar o conhecimento sobre as características, semelhanças e diferenças entre os sistemas, estabelecendo conexões com o Sistema de Numeração Decimal. Incentivá-los a ter uma postura ativa para elaborar e resolver as questões propostas. Esses questionamentos favorecem o desenvolvimento da habilidade

EF06MA02, da competência geral 1 e da competência específica 1.

Para a resolução do desafio 6, sugerir aos estudantes que utilizem palitos como ferramenta auxiliar. Propor a eles que esta atividade seja realizada de maneira lúdica e em duplas, permitindo aos estudantes a troca de saberes.

Outros desafios poderão ser apresentados para despertar a criatividade e o senso investigativo dos estudantes; outra possibilidade de ampliar a atividade é solicitar-lhes que criem outras igualdades com os palitos disponíveis.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Leia o texto a seguir.

Talvez o mais antigo tipo de sistema de numeração a se desenvolver tenha sido aquele chamado sistema de agrupamentos simples. [...] Os hieróglifos egípcios, cujo emprego remonta a cerca do ano 3400 a.C. e usados principalmente para fazer inscrições em pedras, fornecem um exemplo de sistema de agrupamentos simples. EVES, Howard. Introdução à história da matemática Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 30.

Considere estes números, escritos em símbolos egípcios.

3. Represente com símbolos do Sistema de Numeração Romano.

a) 22 b) 8 320 c) 420

4. Escreva por extenso cada um dos números.

Trezentos e trinta e três.

Em símbolos atuais, esses números podem ser escritos assim:

• = 2 236

• = 1 122

Reescreva esses números usando símbolos atuais.

2. Relacione a quantidade representada pelos símbolos egípcios com a quantidade correspondente representada pelos símbolos babilônicos.

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a) MMC

Dois mil e cem.

b) XXXCC c) CCCXXXIII d) CLXXX

Trinta milhões e duzentos.

5. Você já viu algum relógio como este? Em alguns relógios, o número 4 é representado assim: IIII. Essa era a maneira utilizada antes de se adotar a representação IV para registrar o número quatro. Agora, responda.

Cento e oitenta. 12h3min

a) Que horas o relógio está marcando?

b) Quanto valem I, II, III, IV e V?

c) Qual é o símbolo romano usado para representar o 10?

DESAFIO

6. Adriana utilizou palitos para compor cinco igualdades falsas. Trocando, em cada uma delas, a posição de um só palito, elas se tornam verdadeiras em símbolos de numeração romana. A primeira já está feita. Encontre a solução para as demais. Depois, elabore um desafio para um colega resolver e, ao final, corrijam as questões elaboradas. a) b)

XXII VIIICCCXX CDXX

2

E O NOSSO SISTEMA DE NUMERAÇÃO?

A HISTÓRIA CONTINUA...

O sistema de numeração que utilizamos atualmente nasceu em uma região conhecida como vale do rio Indo, onde hoje se localiza o território do Paquistão. Leia o texto a seguir para conhecer um pouco mais sobre esse sistema de numeração.

Fonte: MILLARD, Anne. Atlas das civilizações antigas. Lisboa: Civilização, 1994. p. 16.

O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus, que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental. Os mais antigos exemplos de nossos atuais símbolos numéricos encontram-se em algumas colunas de pedra erigidas na Índia, por volta do ano 250 a.C. [...]. Essas primeiras amostras não contêm nenhum zero e não utilizam a notação posicional. Contudo, a ideia de valor posicional e um zero devem ter sido introduzidos na Índia algum tempo antes do ano 800 d.C., pois o matemático persa al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro de 825 d.C. Como e quando os novos símbolos numerais entraram na Europa são questões ainda não decididas. [...] Esses símbolos se encontram num manuscrito espanhol do século X, sendo possível que tenham sido introduzidos na Espanha pelos árabes que invadiram a península ibérica no ano 711 d.C. [...]. Mas foi uma tradução latina do tratado de al-Khowârizmî, feita no século XII, seguida de alguns trabalhos europeus sobre o assunto, o que fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004. p. 40.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

E o nosso sistema de numeração?

O texto explora um pouco da história do Sistema de Numeração Indo-arábico, o desenvolvimento dos símbolos (os algarismos) e algumas características, auxiliando na apropriação da habilidade EF06MA02. Destacar que, no Sistema de Numeração Indo-arábico, existe um símbolo que representa a ausência de quantidade: o zero (0), ele possui apenas 10 símbolos (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0), utilizados na escrita de qualquer número. Além disso, esse sistema de numeração é posicional; isso quer dizer que a posição de cada algarismo indica seu valor numérico.

Sugerir aos estudantes que façam a leitura em duplas e montem cartazes com as principais ideias do texto. Em seguida, eles podem expor seus cartazes e apresentá-los para os colegas; desse modo, poderão socializar as diferentes interpretações e os entendimentos sobre o texto.

É interessante lembrar que a exploração de mapas e a localização geográfica são importantes recursos e, sempre que possível, devem ser utilizados para apresentar aos estudantes as relações entre o conhecimento matemático, o histórico e o geográfico. Explorar com eles os elementos que constituem um mapa: rosa dos ventos, título, legenda, escala, fonte etc.

Utilizar os mapas e os demais elementos gráficos presentes ao longo da obra para destacar que o desenvolvimento da Matemática e do conhecimento científico não foi centralizado em um único local e/ou período, mas ocorreu em diversas partes do mundo e em diferentes épocas, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1.

A antiga civilização hindu: território (cerca de 2500 a.C.)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O Sistema de Numeração Indo-arábico representou um avanço importante, contribuindo para o desenvolvimento da humanidade tal qual a conhecemos hoje. Ele faz parte do nosso cotidiano e é impossível imaginar o nosso mundo atual sem ele.

O Sistema de Numeração Indo-arábico substituiu o Sistema de Numeração Romano, por exemplo, em razão das vantagens que oferece para a representação dos números e suas operações. Uma delas é que o Sistema de Numeração Indo-arábico utiliza apenas 10 símbolos para representar qualquer número e é posicional. O Sistema de Numeração Indo-arábico simplifica a escrita de números, permitindo a realização de operações matemáticas de maneira mais fácil e ágil. Por exemplo, para escrever o número oito mil, oitocentos e oitenta e oito no Sistema de Numeração Indo-arábico utilizamos a representação 8 888, enquanto no Sistema de Numeração Romano utiliza-se VIII DCCCL XXXVIII

Se achar conveniente, também é possível propor uma pesquisa para ampliar os conhecimentos acerca do assunto desta página. Propor um debate sobre os diferentes significados do zero, problematizando sua importância no Sistema de Numeração Indoarábico e os inconvenientes que existiriam se não o usássemos, favorecendo assim a apropriação da competência geral 1 e competência específica 1.

Nesse momento, espera-se que que os estudantes percebam que existiram vários sistemas de numeração ao longo da história e que o Sistema de Numeração Indo-arábico foi o que prevaleceu no mundo ocidental, consolidando assim o desenvolvimento da habilidade EF06MA02.

As transformações dos símbolos indo-arábicos

Os símbolos utilizados no Sistema de Numeração Indo-arábico, ou Sistema de Numeração Decimal, são chamados símbolos indo-arábicos ou algarismos

Os símbolos indo-arábicos sofreram várias transformações na sua representação antes de adquirirem, no século XVI, a aparência que conservam até hoje. Observe a seguir essa evolução ao longo do tempo.

GLOSSÁRIO

Século XII

Século XIII

Século XIV

Século XV

Por volta de 1542

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

O zero: uma invenção importante

Acredita-se que os primeiros povos a desenvolver a noção de zero foram os babilônios, que habitaram a região da Mesopotâmia, atual Iraque, por volta de 2500 a.C.

Na América Central, os maias também compreendiam a noção de zero e usavam várias maneiras para representar a noção de vazio.

Os indianos conheciam a noção de vazio e empregavam a palavra sunya para representar essa noção. Os árabes chamavam o zero de shfr. Já na Europa, com a disseminação do Sistema de Numeração Indo-arábico pelos árabes, o zero ficou conhecido como zephirum, depois zéfiro, zefro e, finalmente, zero. Dos indianos aos árabes, a forma do zero mudou de um ponto para um círculo.

Na Europa, uma disputa entre abacistas (defensores do ábaco) e algoristas (defensores do Sistema de Numeração Indo-arábico) ofereceu forte resistência ao uso tanto do zero como do sistema de numeração.

ANDREY_KUZMIN/SHUTTERSTOCK.COM 20

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA

31/08/22 10:08 AMPLIANDO

HISTÓRIA da Matemática – origem dos sistemas de numeração: Sistema de Numeração Babilônico e Egípcio. 2021. Vídeo (10min3s). Publicado pelo canal Univesp. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?

v=gbwDHqoufeA. Acesso em: 19 ago. 2022.

Aula do curso de bacharelado em Matemática da Univesp sobre a origem dos sistemas de numeração.

Características do nosso sistema de numeração

Acompanhe a seguir as características do Sistema de Numeração Indo-arábico, ou Sistema de Numeração Decimal, que contribuíram para que esse sistema prevalecesse no mundo ocidental.

• Com apenas estes dez símbolos, pode-se escrever qualquer número natural, por maior que seja.

Esses símbolos são os algarismos indo-arábicos.

• O sistema decimal é de base 10, uma vez que os agrupamentos são feitos de dez em dez.

• O sistema decimal é posicional, porque, dependendo da posição que ocupa no número, o mesmo símbolo pode representar valores diferentes.

Por exemplo: na escrita do número 323, temos o algarismo 3 com valor posicional trezentos (300) e valor posicional três (3).

3 2 3

300 3

• O sistema indo-arábico utiliza o zero para indicar uma “casa vazia” nos agrupamentos de dez do número considerado.

Exemplos: 205, 100, 1 023.

• O sistema decimal é multiplicativo, porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro.

Exemplo:

777 = 700 + 70 + 7 = 7 x 100 + 7 x 10 + 7 x 1

7 x 1 7 x 10 7 x 100

A SEQUÊNCIA DOS NÚMEROS NATURAIS

Iniciando pelo zero e acrescentando sempre uma unidade ao número anterior, teremos a sequência dos números naturais 0,

7, 8, 9, 10, 11, 12, ...

Os números naturais constituem um conjunto numérico denominado conjunto dos números naturais, que indicamos por n

n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Quando se exclui o zero do conjunto n , temos o conjunto dos números naturais não nulos, indicado por n*.

n* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}

Essa sequência numérica é utilizada no cotidiano para fazer contagens, por exemplo, dos dias do mês ou da quantidade de estudantes em uma sala de aula.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Incentivar os estudantes a perceber que as línguas e outras manifestações têm regras para que a comunicação se realize. Na Língua Portuguesa, um conjunto de letras combinadas forma palavras; na música, notas musicais combinadas e organizadas ritmicamente originam melodias etc. O mesmo processo ocorre com a Matemática; dessa maneira, aproveitar a oportunidade para apresentar e exemplificar as características do Sistema de Numeração Decimal aos estudantes para que o percebam como uma linguagem com regras que garantem a comunicação dela.

Uma vez que os estudantes percebam que o Sistema de Numeração Decimal possui regras e características que o fizeram prevalecer sobre os outros sistemas apresentados, é chegado o momento de eles verificarem, de fato, quais são essas regras e características.

Uma estratégia possível é fazer a comparação das características do Sistema de Numeração Decimal com outros sistemas, ressaltando as diferenças e semelhanças. Com base nessa discussão, organizar, com a turma, um quadro para que os estudantes sistematizem as regras estudadas de todos os sistemas de numeração que foram apresentados.

A sequência dos números naturais

Explorar com os estudantes a sequência dos números naturais apresentada. O conjunto dos números naturais foi amplamente estudado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, no entanto, é importante reforçar representação e sistematização desse conjunto numérico.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sugere-se representar na lousa, com o auxílio dos estudantes, uma reta numérica seguindo os passos descritos no Livro do estudante. Nesse momento, a ideia não é construir uma definição de reta numérica; o objetivo aqui deve ser voltado para que os estudantes compreendam os passos para a construção de uma reta numérica. Sabendo como construí-la, eles poderão usá-la para realizar comparações, ordenar e escrever números, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA02.

Nesse momento, é possível explicar que a reta é uma noção matemática e que uma reta numérica não tem começo nem fim, ou seja, ela é infinita.

Pense e responda

Para responder aos questionamentos feitos nessa seção, é interessante conduzir uma discussão sobre as características da reta numérica, valorizando as contribuições dos estudantes e complementando-as sempre que necessário. Se achar oportuno, construir várias retas numéricas na lousa, todas apenas com números naturais; isso pode ajudá-los a perceber que na reta numérica os números estão sempre em ordem crescente. Assim, poderão ampliar a lista de características reta numérica.

A reta numérica

A sequência dos números naturais pode ser representada em uma reta numérica. Essa representação possibilita comparar e ordenar números.

Leia a seguir o passo a passo para construir uma reta numérica no caderno.

1o) Utilizando uma régua, trace uma linha reta horizontal em uma folha de papel em branco, de modo que essa linha ocupe quase a largura da folha. Em seguida, marque um ponto próximo à extremidade esquerda da linha e associe o número zero a esse ponto (a numeração terá início nesse ponto, que é chamado origem da reta).

2o) Marque outro ponto à direita do zero para representar o número 1. Meça com a régua a distância entre o zero e o 1. Essa distância será considerada a unidade

3o) Em seguida, partindo do ponto que representa o número 1 e utilizando a mesma medida que você obteve no passo anterior, determine o ponto que representa o número 2 na reta.

4o) Repita o passo anterior para determinar os pontos que representam os números 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ..., até o número que couber na linha que você desenhou.

5o) Por fim, desenhe uma ponta de seta após o último número de sua linha, indicando que a sequência dos números naturais é infinita.

1 3 2 4 0

Com isso, temos uma reta numérica com os primeiros números naturais representados.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam alguns padrões, como o fato de a sequência dos números naturais estar representada em ordem crescente, da esquerda para a direita, que a distância entre os números é sempre a mesma, além de a reta representar infinitos números.

1. Quantos números naturais podemos representar na reta numérica?

2. Observe a reta numérica e liste suas principais características. Podemos representar infinitos números naturais.

Comparar e ordenar números naturais

Ao comparar dois números naturais distintos, utilizamos os símbolos . (maior do que) e , (menor do que). Podemos usar a reta numérica para fazer a comparação. Para isso, precisamos nos lembrar de que os números na reta numérica estão em ordem crescente e de que todo número à direita de outro número sempre será maior. Por exemplo: o número 4 está localizado à direita do número 3 e à esquerda do número 5. Então, vamos comparar os números 3, 4 e 5 utilizando a reta numérica. 1 3 2 4 5 6 7 0

Podemos afirmar que:

4 . 3 Lê-se: quatro é maior do que três.

4 , 5 Lê-se: quatro é menor do que cinco. Em ordem crescente, podemos afirmar que 3 , 4 , 5.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Considere o grupo dos dedos de uma das mãos e o grupo das vogais do nosso alfabeto.

5. Espera-se que os estudantes concluam que todo número natural tem sucessor e que, com exceção do zero, todo número natural tem antecessor.

4. Para obter o antecessor de um número natural, subtraímos 1 desse número. Por exemplo, para determinar o antecessor de 39, subtraímos 1 desse número e obtemos 38. 35 37 36

1 38 39 40 41 42

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades desta página exploram regularidades e características dos números naturais, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA02.

São iguais.

a) O que podemos dizer sobre a quantidade de elementos dos dois grupos?

b) Qual é o nome e o símbolo que associamos à quantidade de elementos dos dois grupos? Cinco; 5.

38 é o antecessor de 39. Escreva o antecessor de cada um dos números naturais a seguir.

a) 888 887

b) 100 99 c) 1 0 d) 12 000 11 999

5. Será que todo número natural tem sucessor e antecessor? Converse com um colega sobre isso.

35 37 36

+1 38 39

2. Para obter o sucessor de um número natural, adicionamos 1 a esse número. Por exemplo, para determinar o sucessor de 37, adicionamos 1 a esse número e obtemos 38. 38 é o sucessor de 37.

Escreva o sucessor de cada número natural a seguir.

a) 301 b) 0 c) 99 999 d) 19 899

100 000 19 900

3. Quantos algarismos são usados para escrever cada um dos seguintes números naturais?

a) 362 3 b) 30 000 5 c) 10 567 901 8 d) 4 1

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6. Dois ou mais números que se seguem na sequência dos números naturais são denominados consecutivos. Por exemplo, os números 20, 21 e 22 são números naturais consecutivos. Na sequência dos números naturais, qual é o primeiro número consecutivo de:

a) 1000? 1001

b) 20 009? 20 010

Depois das atividades 2, 4, 5 e 6, pode-se fazer um fichamento com os conceitos de antecessor, sucessor e números naturais consecutivos para identificar possíveis dúvidas relacionadas a esses conceitos. Chamar a atenção para o conceito que define as noções de sucessor, antecessor e consecutivos e sua relação numérica, tal como: o antecessor do número 10 é o 9, porque o 9 antecede o 10 em uma unidade, ou seja, o antecessor de um número é sempre uma unidade menor do que o número.

c) 4 001? 4 002

d) 6 005? 6 006

7. Observe a sequência dos números naturais pares: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... Nessa sequência, que número par vem logo depois de:

a) 638? b) 1326? c) 19 554?

8. Observe a sequência dos números naturais ímpares: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... Nessa sequência, que número ímpar vem logo depois de:

a) 1003? b) 9 009? c) 20 221?

Na atividade 6, incentivar os estudantes a fazer as discussões com os colegas e fundamentar suas ideias com exemplos. Se alguma dúvida persistir, é possível desenvolver mais atividades para trabalhar os conceitos desenvolvidos.

Após as atividades 7 e 8, é interessante explorar outras sequências de números naturais, por exemplo:

• 0, 3, 6, 9, 12, 15, ... (de 3 em 3).

• 0, 5, 10, 15, 20, 25, ... (de 5 em 5).

Explorando as regularidades de sequências como essas, é possível facilitar aprendizados de outros conceitos, como múltiplos de um número natural. Nessa exploração, os estudantes devem perceber que o conjunto dos números naturais também formam uma sequência: 0, 1, 2, 3, 4, ... (de 1 em 1).

SINSEEHO/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

As discussões e atividades dessa seção abordam tabelas e gráficos de barras no contexto do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF06MA32, das competências específicas 2, 4 e 7 e da competência geral 10 uma vez que propicia análises e interpretações de dados de maneira crítica e que incentivam a produção de argumentos a favor da sustentabilidade.

Recomenda-se realizar a leitura do texto inicial com os estudantes. Lembrá-los que uma das características das mudanças climáticas é o aquecimento global e que um fator que contribui significativamente para que isso ocorra é a emissão de gases poluentes, como o CO2

Ao explorar o gráfico e a tabela Emissão de CO2 por categoria – Brasil 2020, explicitar a relação entre essas duas representações, mostrando que os dados apresentados são os mesmos, mas que o gráfico permite uma visualização mais rápida dos resultados, facilitando comparações entre as informações.

LEITURA E INTERPRETAÇÃO DE TABELA E GRÁFICO DE COLUNAS

A emissão de gás carbônico (CO2) e mudanças climáticas

Ao longo dos anos, temos observado que as mudanças climáticas vêm causando impactos e modificando as condições de vida na Terra. Desde 1995, anualmente, é realizada a Conferência das Partes (COP), que envolve países-membros da Organização das Nações Unidas (ONU), cujo objetivo é debater soluções e realizar acordos ambientais para reduzir a interferência da humanidade nas mudanças climáticas. Uma das metas estabelecidas na COP é a redução da emissão de gás carbônico (CO2), um dos gases de efeito estufa, que contribui para o aquecimento global. A tabela mostra a quantidade de CO2 emitida pelo Brasil em 2020, por categoria de produção desse gás.

Emissão

de

CO2 por categoria* – Brasil 2020

Categoria CO2 (milhões de toneladas)

* Valores aproximados. Considera a influência dos gases na alteração do balanço energético da Terra (GWT).

Fonte: EMISSÕES totais. Sistema de Estimativa de Emissões de Gases de Efeito Estufa. [S l.], c2020. Disponível em: https://plataforma.seeg.eco.br/total_emission#. Acesso em: 27 jul. 2022.

Responda às questões no caderno.

1. Com base nessa tabela, responda.

a) Quantos milhões de toneladas de CO2, aproximadamente, foram emitidos por processos industriais no Brasil em 2020?

b) Quais das categorias apresentadas tiveram emissão de mais de 500 milhões de toneladas de CO2 em 2020?

Aproximadamente 100 milhões de toneladas. Agropecuária e Mudança de Uso da Terra e Florestas.

Os dados apresentados na tabela podem também ser representados em um gráfico de colunas. Isso possibilita destacar visualmente esses dados e fazer comparações e análises com base nas alturas das colunas, com o auxílio dos valores indicados no eixo vertical.

Observe o gráfico de colunas que pode ser construído de acordo com a tabela anterior.

CO2

Emissão

de CO2 por categoria* – Brasil 2020

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O tema abordado no gráfico inicial, bem como na atividade 3, contribuem para o desenvolvimento da competência geral 1. uma vez que explicitam como os dados coletados historicamente produzem conhecimentos importantes para a construção de uma sociedade e um mundo melhor.

*Valores aproximados. Considera a influência dos gases na alteração do balanço energético da Terra (GWT).

Fonte: EMISSÕES totais. Sistema de Estimativa de Emissões de Gases de Efeito Estufa. [S l.], c2020. Disponível em: https://plataforma.seeg.eco.br/total_emission#. Acesso em: 25 jul. 2022.

2. Em seu entendimento, a leitura do gráfico favorece a interpretação dos dados, em relação à representação apresentada na tabela? Você identifica a correspondência entre os elementos dessas duas representações (título, fonte, categorias etc.)?

3. O gráfico a seguir mostra a área desmatada na região da Amazônia Legal, formada pelos estados da região Norte, acrescido de Mato Grosso e parte do estado do Maranhão, entre 2015 a 2021. Observe o gráfico e responda às questões.

Fonte: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da Floresta Amazônica brasileira. São José dos Campos: INPE, 2021. Disponível em: http:// terrabrasilis.dpi.inpe. br/app/dashboard/ deforestation/biomes/ legal_amazon/increments. Acesso em: 25 jul. 2022.

a) O que informa o eixo horizontal do gráfico? E o eixo vertical? Ano; área desmatada em km².

b) No período considerado, em que ano ocorreu o menor desmatamento na Amazônia Legal?

c) No ano em que houve maior desmatamento na Amazônia Legal, qual foi a área desmatada?

11 957 km²

d) Em 2021, quantos quilômetros quadrados da Amazônia Legal foram desmatados a mais do que a área desmatada em 2015? 11 957 km² 6 118 km² = 5 839 km²

4. Em grupo, pesquisem sobre a emissão de gases de efeito estufa no Brasil. Utilizem tabelas e gráficos para representar os dados obtidos. Pesquisa dos estudantes.

2.Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes verifiquem, por exemplo, que o aspecto visual pode facilitar a identificação, de maneira mais imediata, da categoria que menos emitiu CO2 em 2020 no Brasil, a categoria que emitiu mais toneladas desse gás, entre outras conclusões.

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Link

Na atividade 3, acompanhar as resoluções dos estudantes e verificar se há dúvidas e/ou equívocos na leitura e interpretação das informações do gráfico. No item e, incentivar os estudantes a escreverem com as próprias palavras, ainda que seja um texto pequeno. Uma maneira de auxiliá-los nessa escrita é solicitar-lhes que escrevam pensando em comunicar as informações do gráfico para alguém que não esteja vendo o gráfico. Depois de escrito o texto, ele pode ser trocado entre os estudantes de modo que os escritores passem a ser leitores críticos da elaboração do colega. O item e contribui para o desenvolvimento parcial da competência geral 7

2015

01/09/22 11:16 AMPLIANDO

EMISSÕES totais. SEEG. [S. l.], c 2022. Disponível em: https://plataforma.seeg.eco.br/total_emission. Acesso em: 19 ago. 2022.

É possível pesquisar os dados específicos do município em que você vive: a plataforma do SEEG Brasil permite buscar informações específicas da produção de gases de cada município.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No desenvolvimento da teoria, o quadro de ordens tem como função propiciar aos estudantes a compreensão do sistema de numeração decimal (SND) dando significado aos algarismos, facilitando a leitura e a compreensão das operações, auxiliando, assim, no desenvolvimento da habilidade EF06MA02.

Sugere-se investigar o conhecimento prévio dos estudantes e, se achar conveniente, utilizar o material dourado nessa fase. Este material pode ser usado como recurso para a aprendizagem do valor posicional dos algarismos. O entendimento da representação e da leitura dos números e das operações depende da compreensão do Sistema de Numeração Decimal em sua notação posicional e da relação dos números e sua representação.

Pense e responda

Os questionamentos iniciais visam sondar os conhecimentos dos estudantes sobre o assunto abordado. É importante incentivar a troca de ideias entre eles e o registro das descobertas e dúvidas. Assim, poderão revisar seus conhecimentos e sanar possíveis dúvidas.

Na questão 1, o valor posicional no conjunto dos números naturais pode ser ressaltado nessa atividade, com foco no valor posicional dos algarismos cinco e de sete como unidade e como dezena. Outras questões podem ser exploradas, por exemplo: “Qual é o maior número e o menor número que podem ser escritos com esses algarismos apenas trocando suas posições?”. Essa pergunta pode ser refeita colocando alguns algarismos em posições fixas.

Valor posicional dos algarismos

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Escrevi 14 675, troquei de lugar os algarismos 7 e 5 e obtive 14 657

a) O número que escrevi primeiro é maior ou menor do que o número que obtive? Maior.

b) Antes dessa troca, quanto valia o 5 no primeiro número? E o 7? 5; 70

c) Depois da troca, quanto passou a valer o 5? E o 7? 50; 7

2. Agora, considere este outro número: 7 056

a) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 100 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? Trocar o 6 com o 0; 7 650.

b) Que troca eu devo fazer para o 6 aumentar seu valor em 10 vezes? Que número eu obtenho nesse caso? Trocar o 6 com o 5; 7 065.

Você percebeu que o valor do algarismo depende da posição que ele ocupa no número?

• No número 26, o valor do algarismo 2 é 2 x 10, ou seja, 20 unidades, porque ele ocupa a posição ou a ordem das dezenas

• No número 263, o valor do algarismo 2 é 2 x 100, ou seja, 200 unidades, porque ele ocupa a posição ou a ordem das centenas

Vamos considerar agora o número 8 594

8 5 9 4

1a ordem: 4 unidades

2a ordem: 9 dezenas = 9 x 10 ou 90 unidades

3a ordem: 5 centenas = 5 x 100 ou 500 unidades

4 a ordem: 8 unidades de milhar = 8 x 1 000 ou 8 000 unidades

Escrevemos o número 8 594 por extenso e o lemos assim: oito mil, quinhentos e noventa e quatro

Observe o quadro de ordens até a 10a ordem.

ordem 2a ordem 1a ordem Unidades de bilhão Centenas de milhão Dezenas de milhão Unidades de milhão Centenas de milhar Dezenas de milhar Unidades de milhar Centenas de unidade simples

Dezenas de unidade simples Unidades simples

Vamos, agora, considerar o número natural 97 025, registrá-lo no quadro de ordens e escrever como se lê esse número.

noventa e sete mil e vinte e cinco

Leitura e escrita de um número natural

No Sistema de Numeração Decimal, os números são lidos ou escritos mais facilmente quando separamos os algarismos em grupos de três, começando pela direita. Isso porque cada três ordens forma uma classe. Considere os números a seguir.

6 283 104 640 5 000 254

Cada grupo de três algarismos constitui uma classe, e cada classe tem um nome, como podemos verificar no quadro a seguir.

Classe dos bilhões (4a classe) Classe dos milhões (3a classe) Classe dos milhares (2a classe)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Classe das unidades simples (1a classe)

O quadro de ordens nos ajuda a ler, escrever, compor e decompor números. Assim:

Lemos ou escrevemos por extenso: seis bilhões, duzentos e oitenta e três milhões, cento e quatro mil, seiscentos e quarenta.

5 000 254 200 + 50 + 4

5 000 000

Lemos ou escrevemos por extenso: cinco milhões, duzentos e cinquenta e quatro. Agora, pense no número: sessenta mil, trezentos e vinte e oito No quadro de ordens, podemos representar esse número usando algarismos.

Pode-se fazer uso do material dourado para desenvolver o trabalho com as turmas, dado que este material permite aos estudantes compreender de maneira mais concreta e direta as relações numéricas, tornando o aprendizado mais natural e, consequentemente, agradável. É interessante ajudar os estudantes a observar a relação entre o nome do número e a sua escrita por extenso. Esse modo de escrita revela uma das características do Sistema de Numeração Decimal, que é aditivo e multiplicativo, propiciando assim o desenvolvimento da habilidade EF06MA01. Uma sugestão para encaminhar uma discussão é convidar os estudantes para que expliquem como organizam os números a partir da sua escrita por extenso, pois podem fazer referência à classe e às ordens numéricas. Nesse momento, o objetivo do uso do quadro de ordens é propiciar aos estudantes a compreensão da relação entre a escrita numérica e a leitura dos números.

Temos o número 60 328

Observar como os estudantes evoluíram e, por meio de um diálogo com a turma, verificar se ainda têm dúvidas; se necessário, fazer retomadas para que todos se sintam seguros para dar continuidade ao conteúdo. Escrever alguns números na lousa, por exemplo, 34 670; 1 678 904; 456 000 346; 23 456 912 386 e perguntar a eles como se leem. Não havendo dúvidas, pode-se planejar melhor os próximos passos. Ressaltar que, para a leitura numérica, o número é agrupado em classes: unidades, milhares, milhões, bilhões etc.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo destas atividades é retomar os temas estudados até esse momento e avaliar o progresso dos estudantes, com foco na leitura, escrita, comparação e ordenação de números naturais, colaborando assim com o desenvolvimento da habilidade EF06MA01. Por isso, sugere-se que sejam realizadas individualmente. É importante tentar levantar as dúvidas que surgirem para fazer retomadas.

Para a resolução do desafio 6, aproveitar o item e para incentivar os estudantes a compartilhar o raciocínio que utilizaram para responder à questão.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva todos os possíveis números formados por estes três algarismos, sem repeti-los. 257, 275, 527, 572, 725 e 752.

5 2 7

a) Qual é o maior número formado? 752

b) Qual é o menor número formado? 257

2. A medida da altura de um prédio, em geral, é expressa em metro, o tempo pode ser expresso em hora, minuto e segundo, e o consumo de energia elétrica, em quilowatt-hora (kWh). O consumo médio de energia elétrica residencial no Brasil, em janeiro de 2020, de acordo com a Empresa de Pesquisa Energética, foi de aproximadamente 165 kWh.

a) Como se escreve esse número por extenso? Cento e sessenta e cinco.

b) Consulte a conta de luz deste mês de sua casa e verifique o consumo. Escreva o resultado por extenso. Resposta pessoal.

c) Em seu entendimento, há alguma conduta que você e os moradores da sua casa poderiam adotar para reduzir o consumo de energia elétrica? Cite exemplos. Resposta pessoal.

3. (OBM) Perguntado, Arnaldo diz que um bilhão é o mesmo que um milhão de milhões. Professor Piraldo o corrigiu e disse que 1 bilhão é o mesmo que mil milhões. Qual é a diferença entre essas duas respostas?

a) 1 000 d) 999 000 000

b) 999 000 e) 999 000 000 000

c) 1 000 000

Alternativa e.

6 b) Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83.

4. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + 40 + 3; oito milhões, quinhentos e quarenta e três.

4. Decomponha o número 8 000 543 e o escreva por extenso.

5. Pesquise modelos e preços de três carros. Escreva no caderno esses preços usando algarismos e por extenso.

Resposta pessoal.

DESAFIO

6. Sobre uma faixa longa de papel foram escritos todos os números naturais de 1 a 1 500. Essa faixa foi enrolada sobre um cilindro, resultando colunas de números, como mostra a figura, de modo que a diferença entre qualquer número e seu vizinho de coluna seja de oito unidades, como 18 e 26, por exemplo.

Faça o que se pede a seguir.

a) Na coluna dos números 3, 11, 19, ..., qual será o número mais próximo de 100, menor do que ele? 99

b) Escreva três números dessa coluna que estejam, no cilindro, acima de 59 e três números que estejam abaixo de 59.

c) Em qual das três colunas que aparecem na figura ficou o número 113?

d) Na coluna que vemos mais à direita, ficou o número 219. Quais os outros dois números poderemos ver nessa mesma linha na figura? 217 e 218.

e) Em cada volta completa da fita, na figura, podemos ver apenas três números. Quantos números estão em cada volta da fita? Explique como você chegou a essa conclusão.

8;

WANDSON ROCHA

6 c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ...

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: calculando a subtração: 9 1 = 8.

POR TODA PARTE

BACIA AMAZÔNICA

O Rio Amazonas nasce nos Andes Peruanos a 5 597 metros acima do nível do mar e corre 6 992 quilômetros até sua desembocadura no Oceano Atlântico. A Bacia Hidrográfica Amazônica é constituída pela mais extensa rede hidrográfica do planeta, ocupando uma área total da ordem de 6 110 000 km², que corresponde a 44% da área terrestre da América do Sul. [...]

A bacia hidrográfica, assim como a região amazônica, é compartilhada entre 8 países – Bolívia, Brasil, Colômbia, Equador, Guiana, Peru, Suriname e Venezuela. [...] BRASIL. Agência Nacional de Águas. Projeto Amazonas: ação regional na área de recursos hídricos. Brasília, DF: ANA, 2017. p. 7. Disponível em: https://arquivos.ana.gov.br/institucional/sge/CEDOC/Catalogo/2017/ PROJETOAMAZONASAcaoRegionalNaAreaDeRecursosHidricosLivro.pdf. Acesso em: 26 jul. 2022. Grifos nossos.

1. Registre no caderno os números que aparecem em destaque no texto, colocando-os no quadro de ordens e decompondo-os. Em seguida, escreva por extenso esses números. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. A Região Hidrográfica

Amazônica corresponde à parte da Bacia Amazônica que está em território brasileiro. Ela representa cerca de 45% do território nacional, abrangendo sete estados: Acre, Amazonas, Rondônia, Roraima, Amapá, Pará e Mato Grosso. É uma região com extensa rede de rios que são fundamentais no cotidiano e na economia desses estados.

Com base no texto e no mapa, elabore no caderno um pequeno texto resumindo as informações apresentadas

Resposta pessoal.

Região Hidrográfica Amazônica

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

A seção aborda o Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental por meio do estudo e da reflexão acerca dos rios da bacia Amazônica. Nessa seção, é interessante conversar com os estudantes sobre a preservação dos rios. Pode-se ainda sugerir a eles que façam uma pesquisa sobre a importância dos rios nos estados e município onde eles são fundamentais para a sobrevivência de muitas pessoas e como a economia desses lugares está diretamente ligada a esses rios, desenvolvendo assim a competência geral 7 e as competências específicas 2 e 7.

Na atividade 1 dessa seção, existe a oportunidade para desenvolver um trabalho usando a representação escrita e oral dos números. Verificar também a possibilidade de pedir aos estudantes que construam um quadro de ordens e escrevam a decomposição dos números citados no texto.

Fonte: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Atlas geográfico escolar. 8. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 2018. p. 105. Disponível em: https://biblioteca.ibge.gov.br/visualizacao/livros/liv101627.pdf. Acesso em: 26 jul. 2022.

3. Em grupo, façam uma pesquisa sobre uma função importante que os rios tenham para os estados da Região Hidrográfica Amazônica. Utilizem dados numéricos para validar a importância da função escolhida. Pesquisa do estudante.

Na atividade 3, incentivar os estudantes a buscar dados importantes sobre o tema em fontes diversas, como livros de Geografia, atlas, almanaques, publicações oficiais, tanto na biblioteca quanto na internet. Aproveitar o momento para propor a atividade em conjunto com o professor de Geografia. É interessante promover uma discussão entre os estudantes para que reflitam e argumentem sobre o tema pesquisado, desenvolvendo assim a competência geral 10 e as competências específicas 2, 5 e 7.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

A calculadora é um importante recurso didático que em determinadas situações pode ser utilizado para facilitar a aprendizagem de Matemática. Compreender o contexto histórico da criação desse recurso auxilia no desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1.

A introdução da calculadora facilita os cálculos, possibilitando aos estudantes que tenham tempo para raciocinar, relacionar ideias, investigar, descobrir regularidades e resolver problemas, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 5. No entanto, é importante destacar que o uso da calculadora não restringe nem elimina a importância e a necessidade de fazer registros; ao contrário, os registros podem ser usados para analisar e refletir os passos utilizados em uma resolução ou elaboração de um problema, sendo, portanto, uma importante ferramenta para identificar pontos que devem ser retomados.

Para realizar uma atividade com o uso de calculadora, é necessário estabelecer algumas regras para a turma e, antes de iniciar o trabalho, certificar-se de que todos conhecem as teclas da calculadora e têm familiaridade suficiente com o instrumento para realizar a atividade que será proposta. Para isso, podem ser feitas perguntas do tipo:

• Quais são as teclas que indicam as operações?

• Quais são as teclas de memória e como utilizá-las?

Caso não haja calculadora para todos os estudantes, pode-se pedir a eles que trabalhem em duplas e compartilhem as calculadoras disponíveis. Outra possibilidade é utilizar a sala de informática, assim terão acesso à calculadora presente no sistema operacional dos computadores.

TECNOLOGIAS

CALCULADORAS

No dia a dia, é comum a realização de operações matemáticas básicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Já pensou como seria se precisássemos fazer todas as contas de cabeça ou em rascunhos no papel?

Atualmente, a calculadora é um recurso muito utilizado, disponível em computadores, celulares, relógios e em muitos outros dispositivos. A primeira versão foi construída pelo matemático francês Blaise Pascal (1623-1662) e teve poucas unidades produzidas por ser muito cara.

Cerca de 30 anos depois, o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) criou outro modelo, no qual as quatro operações eram realizadas mais rapidamente, em comparação com o de Pascal. O modelo de Leibniz, com algumas melhorias, foi substituído somente com a criação da calculadora eletrônica.

Observe alguns modelos de calculadoras eletrônicas disponíveis.

NEWYORKPUBLICLIBRARY/SCIENCESOURCE/FOTOARENA

Fotografia da Máquina de Pascal, também conhecida como Pascalina, criada entre 1642-1644. Com ela era possível calcular rapidamente adições e subtrações. O cálculo de multiplicações e divisões também era possível, mas em processo mais lento.

Calculadora básica (ou simples): não possui muitas funcionalidades, apenas as mais básicas. Por isso, é mais usada no dia a dia, incluindo na rotina escolar. Geralmente, executa as operações básicas, raiz quadrada e porcentagem.

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. Você tem uma calculadora? Ela possui teclas diferentes das descritas no livro? Quais?

Respostas pessoais. É possível que os estudantes já tenham visto calculadoras comuns. Contudo, existem outros tipos, como as

Dois modelos de calculadora científica: a comum e a gráfica. A comum possui funções automáticas e realiza cálculos mais complexos. Já a gráfica, além de ter as mesmas funções que a comum, constrói gráficos. Essas calculadoras são muito utilizadas nas áreas de Arquitetura e Engenharia.

Calculadora financeira: possui funções automáticas, o que reduz os passos na solução de cálculos financeiros, possibilitando que sejam executados mais rapidamente. É muito utilizada nas áreas de negócios que envolvem administração e finanças.

calculadoras científicas, gráficas, contábeis, de celular, de computador, entre outras. No momento disponibilizado para realizar a investigação das teclas, é possível surgirem divergências entre os conhecimentos prévios dos estudantes quanto às teclas e suas respectivas funções; por exem-

plo, no teclado do computador as teclas de multiplicação e divisão costumam ser representadas por um asterisco (*) e uma barra inclinada (/), respectivamente, enquanto em calculadoras de celular ou nas comuns, as teclas para as mesmas funções costumam ser x e ÷, respectivamente.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na maioria das calculadoras simples, você encontra as seguintes teclas.

Ativa

SAIBA QUE

Alguns países adotam o ponto como separador decimal. Já outros, como o Brasil, adotam a vírgula. Mas a maioria das calculadoras usa o ponto como separador decimal.

Utilize uma calculadora para realizar as atividades a seguir, registrando as respostas no caderno.

1. Qual é o maior número natural com algarismos distintos que você consegue registrar no visor de sua calculadora? E o menor, usando o máximo de algarismos possível?

2. Registre em sua calculadora um número ímpar de três algarismos. Compare com os números registrados por dois colegas e descubra qual deles é o maior.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 131, 163 e 107. O maior é 163.

3. Registre na calculadora o número 348 735. Que operação é possível efetuar para obter no visor o número 48 735? Subtrair 300 000.

4. Agora, registre o número 74 563 na calculadora. Que operação é possível efetuar para obter no visor o número:

a) 74 564? Adicionar 1.

b) 74 573? Adicionar 10.

c) 74 663? Adicionar 100.

d) 14 563? Subtrair 60 000.

5. Suponha que a tecla 2 de sua calculadora esteja quebrada. Como você faria para aparecer o número 22 no visor?

Resposta pessoal. Exemplos de resposta: 35 13 = 22 ou 11 + 11 = 22.

6. Suponha que a tecla número 8 esteja quebrada. Descubra uma sequência de teclas que você poderia apertar para obter o resultado de:

a) 3 ? 8.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 3 x 4 x 2 =

b) 15 18.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 20 2 x 15 =

c) 188 : 2.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 200 12 : 2 =

7. Com base na atividade anterior, elabore um problema para ser resolvido com uma calculadora “quebrada”. Informe os valores necessários para o cálculo e a tecla que não pode ser usada. Resposta pessoal.

1. Respostas pessoais. Caso seja uma calculadora comum de 8 dígitos, o maior número natural com algarismos distintos será 98 765 432. O menor número natural com algarismos distintos, usando o máximo de algarismos, é 12 345 678.

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2. Quantos dígitos “cabem” no visor da sua calculadora?

Resposta pessoal. Podem surgir diversas respostas, uma vez que as calculadoras possuem diferentes espaços para os algarismos e outros símbolos.

3. Faça as seguintes multiplicações na calculadora:

a) 12 345 679 9

b) 12 345 679

? 18

c) 12 345 679 ? 27

d) 12 345 679 36

e) 12 345 679 ? 45

Respostas:

4. Observe os resultados obtidos nas multiplicações da atividade anterior e escreva as próximas quatro multiplicações dessa sequência.

Nas atividades propostas, orientar os estudantes a explorar inicialmente as calculadoras disponíveis e testar algumas operações. Comentar que, nas calculadoras básicas, o cálculo é feito na ordem em que as teclas são apertadas, enquanto nas calculadoras científicas, financeiras e de celulares o cálculo pode ser feito automaticamente na ordem matemática correta. Essa exploração favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA01.

Na atividade 3, podem surgir diversas respostas, uma vez que as calculadoras possuem diferentes espaços para os algarismos e os símbolos.

Nas atividades 5 e 6, explorar as possibilidades de efetuar cálculo mental. Estimular os estudantes a trocar informações sobre as soluções e propor-lhes que façam as correções em conjunto.

Respostas: 12 345 679 ? 54; 12 345 679 ? 63; 12 345 679 ? 72; 12 345 679 ? 81.

Incentivar os estudantes a perceber os padrões da sequência de multiplicações. Por exemplo, que o 2o fator é a “sequência da tabela de multiplicação (tabuada) do número nove”, ou seja, adicionamos nove a cada termo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades é propiciar aos estudantes que conheçam e tirem as dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade: sistemas de numeração egípcio, babilônico, romano e indo-arábico; construção e leitura de tabelas simples e o uso de calculadora, favorecendo a apropriação das habilidades EF06MA01 e EF06MA02.

É importante que os estudantes realizem essas atividades individualmente e anotem os temas que precisam ser retomados. Uma sugestão para desenvolver essa etapa de trabalho é organizar a turma em grupos para que haja troca de informações e experiências. É interessante acompanhar a resolução das atividades e, quando necessário, fazer intervenções e questionamentos, inclusive quando os procedimentos estão sendo realizados corretamente, assim os estudantes acostumam-se com a ideia de compartilhar o raciocínio utilizado em cada caso.

Na atividade 8, reforçar o trabalho com decomposição, leitura e escrita dos números por extenso. Valorizar o uso social da escrita por extenso dos números, apresentando como são utilizados no cotidiano.

O objetivo da atividade 9 é aprofundar o trabalho com reta numérica. Uma estratégia para encaminhar a atividade é sugerir aos estudantes que iniciem desenhando no caderno a reta numérica e completem os números que estão faltando na sequência numérica. Em seguida, eles poderão substituir os símbolos pelos números correspondentes e, por fim, fazer a comparação entre os números de cada item da atividade.

Outra estratégia possível é que os estudantes pensem na

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

1. Represente de três formas diferentes a quantidade de frutas da fotografia a seguir.

Sete; 7; . Existem outras possibilidades.

2. Escreva a data de seu nascimento usando algarismos egípcios, babilônicos e romanos. Resposta pessoal.

3. Considere os três números representados em símbolos egípcios, babilônicos e romanos, respectivamente. Escreva-os em ordem crescente.

8. Escreva por extenso os dois números obtidos no item c da atividade anterior

9. Na reta numérica a seguir, três números estão representados por símbolos. Compare esses números usando os símbolos . (maior do que), , (menor do que) ou = (igual a).

,

,

10. (OBM) João escreveu numa folha de papel todos os números com menos de 4 dígitos usando apenas os algarismos 1 e 2 e depois somou todos eles. O valor obtido foi:

32

• MMMCCCXXX

4. Quantos algarismos são necessários para registrar cada número a seguir? Quais são eles?

a) 7 504

b) 1 000

4

1 e 0.

a) 1 algarismo.

b) 2 algarismos.

c) 5 555 555

d) 174 100

5. Escreva três números consecutivos, todos formados por:

c) 3 algarismos.

d) 4 algarismos.

7 algarismos; 5. 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0. Respostas pessoais.

6. Decomponha o número 36 344 052 e escreva-o por extenso.

7. Escreva o antecessor e o sucessor destes números.

a)

ordenação crescente dos números naturais na reta numérica e que todo número natural à direita de outro número natural sempre será maior do que o número dado e que todo número natural à esquerda de outro número natural sempre será menor do que o número dado.

a) 2 314

b) 3 000 c) 1 401 d) 2 316 e) 1 716

11. Os números são utilizados para indicar o resultado de contagens, medidas, ordem ou código. Identifique a função dos números em cada situação.

a) Quantos quilogramas tem o meu cachorro. Medida.

b) Senha bancária. Código.

c) Quantidade de estudantes do 6o ano.

d) Colocação de pilotos em provas de Fórmula 1. Ordem.

12. Imagine que a tecla 0 de sua calculadora esteja quebrada. Como você faria para registrar no visor o número:

a) 0 8 8 = ou 64 64 =

b) 20 45 25 = ou 15 + 5 =

c) 90 111 21 = ou 2 x 45 =

e

01/09/22 11:26

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

quarenta e quatro mil e cinquenta e dois.

Filhotes de ararinhas-azuis nascem em Curaçá, na Bahia, após 20 anos de extinção

Três filhotes de ararinhas-azuis nasceram em Curaçá, na Bahia, em região de Caatinga, 20 anos após espécie ser declarada extinta no país. Eles são fruto de um casal que veio entre 52 exemplares repatriados da Alemanha no ano passado.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ararinha-azul.

O primeiro filhote de ararinha-azul nasceu em 13 de abril, os irmãos nasceram em 6 e 9 de junho. De acordo com o Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (ICMBio), a ararinha-azul é considerada extinta no Brasil desde os anos 2000. De lá para cá, são registradas cerca de 160 ararinhas em cativeiros privados. De acordo com a analista ambiental [...] Camile Lugarini, as ararinhas-azuis devem ser reintroduzidas na natureza. A previsão é que isso aconteça [...] em Curaçá – BA. O município está localizado a 594 quilômetros de Salvador, no extremo norte da Bahia.

COMUNICAÇÃO CRBIO08. Filhotes de ararinhas-azuis nascem em Curaçá, na Bahia, após 20 anos de extinção. CRBio 08. Salvador,22 jul. 2021. Disponível em: https://crbio08.gov.br/noticias/biologia-em-pauta/filhotes-de-ararinhas-azuis -nascem-em-curaca-na-bahia-apos-20-anos-de-extincao/#:~:text=%E2%80%9CO%20acordo%20foi%20 estabelecido%20entre,ser%20reintroduzida%E2%80%9D%2C%20explicou%20Lugarini. Acesso em: 31 jul. 2022.

• Identifique a função de cada número no texto anterior. 20, 13, 6, 9, 2000 e 594: medida; Três, 52 e 160: contagem; Primeiro: ordem.

UM NOVO OLHAR

Nesta Unidade, estudamos um pouco mais sobre a história da Matemática e as características de diferentes sistemas de numeração, explorando de modo mais detalhado as características do Sistema de Numeração Indo-arábico, ou Sistema de Numeração Decimal. Retomamos o estudo dos números naturais, bem como o uso de tabelas e gráficos de colunas para organizar e analisar informações. Além disso, utilizamos a calculadora para realizar operações.

Você pode fazer, em grupo, um resumo dos principais temas desenvolvidos para retomar as aprendizagens da Unidade e esclarecer eventuais dúvidas.

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Na abertura desta Unidade, você foi convidado a pensar sobre as características de diferentes sistemas de numeração (guarani, egípcio e chinês). Depois do estudo desta Unidade, você identifica tais características com mais facilidade e percebe por que o Sistema de Numeração Indo-arábico prevaleceu no mundo ocidental?

• Você consegue identificar, no dia a dia, as diferentes funções dos números (contar, ordenar, medir e codificar)? Procure listar exemplos.

• Em seu entendimento, o uso de tabelas e de gráficos de colunas facilita a organização, a análise e a compreensão de dados e de informações?

• Você reconhece que a calculadora é um instrumento relevante para a realização de operações matemáticas e que seu uso facilita os cálculos que seriam trabalhosos se feitos apenas com lápis e papel ou mentalmente?

Se achar conveniente, na atividade 13, propor aos estudantes que façam uma pesquisa sobre a função dos números presentes em textos de jornais e revistas. Sugerir a produção de um cartaz com quatro colunas, uma para cada função do número, e pedir aos estudantes que os colem, classificando os números encontrados nas suas respectivas funções, reforçando assim o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA02.

Um novo olhar

O primeiro questionamento feito refere-se às diferentes representações numéricas e aos sistemas de numeração. Em seguida, trata-se mais especificamente das regularidades e dos padrões utilizados em cada sistema. Essa é uma importante abordagem, que tem como objetivo despertar o interesse pela investigação matemática.

No segundo questionamento, espera-se que os estudantes consigam citar exemplos de como os números podem ser utilizados no cotidiano, por exemplo, a distância de casa até a escola, o número de um telefone, a quantidade de estudantes da turma, a classificação dos atletas em uma competição, entre outros.

Na terceira questão, retoma-se a importância de tabelas e gráficos na organização e compreensão de dados, como discutido na seção Tratamento da informação desta Unidade.

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Por fim, propõe-se uma reflexão sobre uso da calculadora como instrumento de aprendizagem em Matemática.

13. Leia a notícia a seguir.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 4, 7, 9 e 10

Competências específicas:

• 3, 4 e 6

Habilidades:

Números

• EF06MA03

• EF06MA04

Álgebra

• EF06MA14

• EF06MA12

Probabilidade e estatística

• EF06MA31

• EF06MA32

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Direitos da Criança e do Adolescente

• Educação para o Consumo

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em seis capítulos que abordam cálculos com números naturais. Os primeiros quatro capítulos tratam das operações fundamentais da Matemática. O conjunto desse trabalho favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03 e da competência específica 3 da área de Matemática.

No quinto capítulo, os estudantes exploram a operação de potenciação, merecendo destaque o tópico Aproximação e estimativa que propicia abordagens de aspectos relacionados às habilidades EF06MA04 e EF06MA12, bem como da competência específica 6 da área de Matemática.

No sexto capítulo, as expressões numéricas são abordadas e permitem o desenvolvimento da habilidade EF06MA14.

Na seção Educação Financeira, é proposta uma reflexão sobre o ato de consumir, quando é necessidade e quando é desejo, com base no Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo. No boxe Fórum, o Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) é debatido, promovendo a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Direitos da Criança e do Adolescente

CÁLCULOS COM NÚMEROS NATURAIS

No dia a dia, utilizamos os números nas mais variadas situações: ao fazer uma compra, para indicar o endereço da nossa casa, informar o nosso número de telefone, para expressar a nossa idade e muito mais! Muitas vezes, fazemos operações matemáticas envolvendo os números naturais para resolver problemas, como descobrir o tempo que demoramos para completar um trajeto, ou analisar dados sobre os Jogos Olímpicos.

Nos jogos realizados em Tóquio, os números foram muito importantes, como vemos a seguir. Esse evento estava previsto para o ano de 2020, mas por conta da pandemia de covid-19, só pode ser realizado em 2021.

Os Jogos Olímpicos 2020, realizados em 2021, devido à pandemia da covid-19, ocorreram em Tóquio (Japão) e foram marcados pelas arquibancadas vazias. Japão, 2021.

Nas seções Por toda parte e Tratamento da informação, o trabalho com dados estatísticos recebe mais ênfase e favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32.

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De maneira diluída ao longo da Unidade, propostas de trabalho em dupla e em grupos, além de atividades que promovem a comunicação de ideias, realização de pesquisa, argumentar, favorecem o desenvolvimento das competências gerais 4, 7, 9 e 10.

OBJETIVOS

• Identificar, de acordo com o problema, qual das quatro operações com números naturais é mais adequada para resolvê-lo.

• Reconhecer relações de igualdade que se mantêm ao serem adicionados, subtraídos, multiplicados ou divididos os dois membros por um mesmo número, compreendendo a propriedade de equivalência entre igualdades.

• Ler gráficos e tabelas, inferindo conclusões de acordo com os dados representados neles.

Resolução desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Algumas curiosidades sobre o Time Brasil no Japão

A distância do Brasil para o Japão é de 17 369 km e o fuso horário é de 12 horas.

Nessa edição dos Jogos, o Time Brasil era formado por 177 atletas novatos (primeira participação nos Jogos Olímpicos) e 125 atletas veteranos. Esses atletas tinham 8 bases disponíveis no Japão: Chuo, Saitama, Sagamihara, Miyagase, Hamamatsu, Tsurigasaki, Enoshima e Ota.

A logística do Comitê Olímpico Brasileiro (COB) contou com:

• 20 contêineres;

• 20 toneladas de material;

• mais de 2 mil itens.

A área médica, formada por 16 profissionais, realizou 14 mil testes de antígeno nas bases do Time Brasil no Japão, para testagem rápida da delegação.

Além disso, foram utilizados:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Para iniciar a Unidade, recomenda-se que os estudantes pesquisem sobre a história dos Jogos Olímpicos, a finalidade desses jogos e sua periodicidade. É interessante destacar por que a edição dos Jogos Olímpicos de Tóquio foi diferente das demais edições, por exemplo, em virtude da pandemia de covid-19. Comentar sobre a importância de enfatizar a participação mais igualitária das mulheres nesse evento.

12,5 mil aventais

sapatilhas TNT 250

testes antígeno 40 mil

6 mil peças de uniforme

Para essa pesquisa, orientar sobre noções práticas, como consultar diferentes fontes de informação, fazendo uma curadoria das que são confiáveis. Ressaltar a importância do uso ético dessas fontes citando todas e não fazendo cópias de trechos sem que o referido crédito seja atribuído ao real autor.

Elaborado com base em: INFOGRÁFICO Time Brasil Tóquio 2020. Comitê Olímpico Brasil.[S. l.], c2022. Disponível em: https://www.cob.org.br/pt/toquio-2020/ infografico-brasil-toquio-2020. Acesso em: 31 jul. 2022.

Com base nas imagens, responda no caderno.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Adicionando o número de atletas novatos e o número de atletas veteranos, ou seja 177 + 125 = 302.

• Você assistiu aos jogos olímpicos de 2020? Você percebeu, por meio das imagens transmitidas, os cuidados em relação à pandemia da covid-19? Resposta pessoal.

• Com os dados disponíveis, como podemos descobrir o total de atletas brasileiros que participaram dessa edição dos jogos?

• Descreva outras situações do cotidiano em que os números naturais e as operações fundamentais são utilizados.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Sugere-se que os estudantes explorem as perguntas da Abertura de Unidade individualmente e, em seguida, solicitar a eles que socializem as ideias com o restante do grupo. Desse modo, eles poderão argumentar, discutir diferentes pontos observados e hipóteses levantadas, o que auxilia no desenvolvimento da competência geral 7.

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JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

A habilidade de identificar maneiras distintas de fazer cálculos envolvendo operar com números naturais é utilizada diariamente em muitas situações, justificando o primeiro objetivo desta Unidade.

Essa habilidade de calcular favorece a compreensão de relações de igualdade que apresentem sentido de equivalência, ideia que

também pode ser empregada na solução de problemas em que é necessário transformar uma igualdade em outra equivalente, fundamentando a importância do segundo objetivo desta Unidade.

Além disso, tornar os estudantes leitores de gráficos e tabelas que produzam análises e conclusões coerentes contribui para o desenvolvimento do senso crítico deles, indicando a importância do terceiro objetivo desta Unidade.

Conversar com os estudantes sobre a importância dos Jogos Olímpicos e, também, dos Paralímpicos, sobre os impactos causados por esses eventos, tanto no meio ambiente como no aspecto financeiro, cultural e social, nos lugares em que são sediados, e, ainda, sobre a importância das operações matemáticas em diferentes situações do cotidiano.

BENTINHO

ROIBU/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Adição

As operações constituem um objeto de conhecimento que necessita de retomadas e ampliações para que os estudantes avancem na realização de cálculos mais complexos. É importante que os estudantes possam realizar, também, essas operações com o uso da calculadora e desenvolver estratégias de cálculo mental.

Este primeiro capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, com mais ênfase nas situações que envolvem as ideias da adição.

Ler com os estudantes a situação 1 e explicar o processo de decomposição e o algoritmo usual. É interessante explorar a ideia de juntar dessa operação. Nessa ideia da adição, é formado um total juntando as quantidades que há em dois (ou mais) grupos de elementos, que podem ou não ser da mesma natureza.

Explorar com os estudantes a fotografia apresentada nessa página e debater sobre as culturas juvenis como modo de os jovens se expressarem na sociedade. O skate é um tipo de cultura juvenil. Para saber mais sobre esse assunto, leia o artigo a seguir.

BRANDÃO, Leonardo. Da cidade transfigurada à cidade transformada: culturas juvenis e a prática do skate (1970/1980). História e cultura, Franca, v. 1, n. 2, p. 7-20, 2012. Dossiê Urbanidades. Disponível em: https://ojs.franca. unesp.br/index.php/historiaecul tura/article/view/734. Acesso em: 21 ago. 2022.

Acompanhe as situações a seguir.

1 Nos Jogos Olímpicos de 2020, a equipe de atletas brasileiros era composta de 162 atletas homens e 140 atletas mulheres. Quantos atletas compunham a equipe brasileira nessa edição dos Jogos Olímpicos?

Para resolver essa situação, devemos adicionar 162 e 140. Representamos essa situação da seguinte maneira: 162 + 140 Para resolver o problema, podemos usar os seguintes processos:

1o processo: decomposição – decompomos os números e adicionamos, inicialmente, as centenas inteiras, as dezenas inteiras e as unidades; por fim, adicionamos os resultados obtidos. 162

Rayssa Leal, 13 anos, foi a atleta olímpica mais nova dos atletas brasileiros nos Jogos Olímpicos de Tóquio.

2o processo: algoritmo usual – adicionamos as unidades, depois as dezenas e por fim, as centenas, fazendo os reagrupamentos necessários. Nesse caso, por exemplo, trocamos 10 dezenas por 1 centena.

C D U

1 6 2 parcela + 1 4 0 parcela

3 0 4 soma ou total (resultado da operação)

Nos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020 participaram 302 atletas na equipe brasileira.

Perceba que, nessa situação, utilizamos a adição com a ideia de juntar quantidades.

Elaborado com base em: INFOGRÁFICO Time Brasil Tóquio 2020. Comitê Olímpico Brasil. [S. l.], c2022. Disponível em: https://www.cob.org.br/pt/toquio-2020/infografico-brasil-toquio-2020. Acesso em: 31 jul. 2022.

Fotografia de 2021.

A.RICARDO/SHUTTERSTOCK.COM

2 O preço de um televisor é 1 350 reais para pagamento à vista. A compra pode, ainda, ser feita a prazo, em 12 prestações iguais, mas, nesse caso, o preço sofre um acréscimo de 675 reais. Qual é o preço desse televisor quando comprado a prazo? Para resolver essa situação, devemos calcular 1 350 + 675

1o processo: decomposição

1 350 + 675 = 1 000 + 300 + 50 + 600 + 70 + 5

1 350 + 675 = 1 000 + 300 + 600 + 50 + 70 + 5

1 350 + 675 = 1 000 + 900 + 120 + 5

1 350 + 675 = 1 000 + 1 020 + 5

1 350 + 675 = 2 020 + 5

1 350 + 675 = 2 025

2o processo: algoritmo usual

1 3 5 0 parcela + 6 7 5 parcela

2 0 2 5 soma ou total (resultado da operação)

O preço do televisor é 2 025 reais, quando comprado a prazo.

Já neste caso, a adição foi utilizada com a ideia de acrescentar uma dada quantidade à outra.

PROPRIEDADES DA ADIÇÃO

1 Observe as duas situações a seguir e reflita sobre elas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Esta página traz uma situação que trabalha a ideia de acrescentar uma quantidade à outra. Nessa ideia da adição, acontece de uma quantidade inicial ser modificada ao ser acrescentada uma quantidade a essa inicial. Sugere-se solicitar aos estudantes que leiam o problema proposto e expliquem com as palavras deles o processo de decomposição numérica e do algoritmo usual. Essa pode ser uma oportunidade para elaborar, com os estudantes, uma síntese comparativa entre essas duas ideias da adição. É interessante deixar essa síntese comparativa exposta na sala de aula para futuras consultas.

Propriedades da adição

Se achar conveniente, registrar as propriedades da adição em um quadro que também pode ficar afixado em local de fácil visualização para posterior consulta dos estudantes. Nesse quadro, cada propriedade da adição pode ser incorporada conforme for estudada, deixando espaço, também, para escrever as propriedades da multiplicação e da divisão posteriormente.

40 + 24 é igual a 64. 24 + 40 é igual a 64.

37 26/08/22 20:03

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A seguir seguem sugestões de conteúdos que podem constar no quadro.

Propriedade comutativa

A ordem das parcelas não altera a soma.

a + b = b + a

Exemplo:

7 + 4 = 4 + 7

Propriedade associativa

Em uma adição de várias parcelas, estas podem ser associadas de modos diferentes.

(a + b) + c = a + (b + c)

Exemplo:

(7 + 4) + 5 = 4 + (5 + 7)

Existência do elemento neutro

O zero é o elemento neutro da adição, ou seja, qualquer número adicionado a zero resulta no próprio número.

a + 0 = 0 + a = a

Exemplo:

7 + 0 = 0 + 7 = 7

Enfatizar que as propriedades da adição são: propriedade comutativa, propriedade associativa e propriedade do elemento neutro.

Elas são importantes ferramentas de cálculo usadas para facilitar a realização das operações matemáticas.

É importante que os estudantes compreendam essas propriedades e consigam aplicá-las na resolução de problemas. Solicitar a eles que escrevam algumas expressões numéricas que envolvam adições em que a ordem das parcelas possa ser trocada e associada.

Incentivar as discussões entre eles, valorizando a participação na aula e a cooperação com os colegas.

Como o fato apresentado na cena anterior sempre ocorrerá na adição de dois números naturais quaisquer, podemos dizer que:

Em uma adição de dois números naturais, a ordem das parcelas não altera a soma. Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da adição. Então, se a e b são números naturais quaisquer, temos: a + b = b + a

2 Dados os números naturais 16, 20 e 35, vamos determinar a soma desses valores. Para isso, associaremos os números de dois modos diferentes:

Os resultados obtidos nos dois modos são iguais ou diferentes?

Como esse fato se repete quando adicionamos três ou mais números naturais quaisquer, podemos dizer que:

Em uma adição de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar as parcelas de modos diferentes. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da adição. Então, se a, b e c são números naturais quaisquer, temos: (a + b) + c = a + (b + c)

Voltando à situação 2, temos: (16 + 20) + 35 = 16 + (20 + 35).

3 Dados os números naturais 27 e 0, vamos determinar a soma desses números de duas maneiras, trocando a ordem das parcelas:

27 + 0 = 27

0 + 27 = 27

Em grupo, conversem sobre as questões a seguir.

• Na soma de dois números, o número zero influi no resultado da adição quando ele é uma das parcelas?

• O resultado da adição será sempre a outra parcela?

Como esse fato sempre ocorrerá quando um dos números envolvidos na soma for o zero, podemos dizer que:

Em uma adição de um número natural com zero, a soma é sempre igual a esse número natural. Nessas condições, o número zero é chamado elemento neutro da adição. Então, se a é um número natural qualquer, temos: a + 0 = 0 + a = a

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. O governo organiza, periodicamente, campanhas de vacinação contra a paralisia infantil. Em uma dessas campanhas, em determinado município, foram vacinadas 11 296 crianças do centro urbano e 1 649 crianças da área rural. Quantas crianças foram vacinadas nesse município? Depois de fazer o cálculo necessário, escreva um texto explicando, passo a passo, como você fez para chegar ao resultado.

Aplicação da vacina contra a paralisia infantil na Unidade Básica de Saúde Boracea, no bairro Barra Funda, São Paulo (SP), 2020.

SAIBA QUE

A poliomielite, popularmente conhecida como paralisia infantil, é uma doença que, em sua forma mais grave, causa a atrofia dos músculos atingidos. O médico Albert Sabin dedicou muitos anos de sua vida ao estudo da poliomielite. Em 1959, ele conseguiu chegar a uma vacina eficiente contra o vírus causador da doença: a vacina da “gotinha”.

2. (Saresp-SP) A tabela mostra a distribuição dos alunos dos 3 turnos de uma escola, de acordo com o sexo.

1o turno 2o turno 3o turno

Meninas 135 120 105

Meninos 120 115 125

É correto afirmar que:

a) todos os turnos têm o mesmo número de alunos.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

b) a escola tem um total de 360 alunos. c) o número de meninas é maior que o de meninos.

d) o 3o turno tem 230 alunos.

Esse bloco de atividades tem o objetivo de explorar a adição, as ideias associadas a essa operação (juntar e acrescentar) e as propriedades da adição.

3. Identifique a propriedade da adição de números naturais que foi aplicada em cada uma das sentenças matemáticas a seguir.

a) 75 + 105 = 105 + 75 Comutativa.

b) 250 + 0 = 0 + 250 Elemento neutro.

c) 90 + (130 + 100) = (90 + 130) + 100

Alternativa d. Associativa.

4. Considere a adição 0 + y = 59. Qual valor você deve colocar no lugar da letra y para que a igualdade seja verdadeira? Qual propriedade da adição você usou para chegar a esse valor?

59. Elemento neutro.

5. O professor de Matemática pediu a dois estudantes que calculassem a soma dos números 2 107 e 5 096. Calcule o resultado obtido por eles.

• Caio fez 2 107 + 5 096.

• Theo fez 5 096 + 2 107.

a) Você pode afirmar que 2 107 + 5 096 = = 5 096 + 2 107? Sim.

b) A afirmação “A ordem das parcelas não altera a soma” é verdadeira ou falsa?

DESAFIO

Verdadeira. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Elabore três adições com 4 ou 5 parcelas cada e troque as suas adições com as de um colega. Calcule mentalmente as adições criadas por ele e escreva um texto explicando o raciocínio aplicado por você para realizar os cálculos. Se necessário, lembre-se de usar o nome das propriedades da adição. Depois, verifique se o colega acertou os valores das adições criadas por você e se o raciocínio descrito por ele está correto.

Na atividade 1, ampliar o contexto conversando com os estudantes sobre a importância da vacinação. Realizar, se possível, um trabalho em parceria com o professor de Ciências.

As atividades 3, 4 e 5 exploram as propriedades da adição estudadas.

Solicitar aos estudantes que identifiquem a propriedade utilizada em cada atividade.

Observar como procedem e, sempre que necessário, fazer intervenções a fim de reforçar as características de cada propriedade em cada caso.

1. 12 945 crianças. Resposta pessoal. Exemplo de resposta da seção Resoluções comentadas deste Manual.

ALEXANDRE TOKITAKA/PULSAR IMAGENS

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Subtração

Este segundo capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, com mais ênfase nas situações que envolvem as ideias da subtração.

Para tanto, são apresentadas situações com alguns dados reais brasileiros.

Refletir com os estudantes sobre a importância da leitura e da interpretação dos enunciados dos problemas.

Caso julgar necessário para o melhor entendimento dos processos envolvidos na resolução das subtrações, utilizar materiais manipulativos, como o material dourado ou o ábaco.

Explorar a ideia de tirar associada à subtração. Nessa ideia da subtração, acontece de uma quantidade inicial ser modificada ao ser retirada uma quantidade da quantidade inicial.

Propor aos estudantes que elaborem um problema utilizando essa ideia.

Pode-se confeccionar um livro de problemas elaborados pelos estudantes. Essa atividade pode ser realizada em parceria com o professor de Língua Portuguesa.

Incentivar os estudantes a fazer comparações entre os procedimentos adotados e os problemas elaborados.

Incentivá-los a fazer registros das próprias falas: à medida que explicitam o raciocínio que eles próprios tiveram, podem validar e compreender as estratégias escolhidas.

Acompanhe as seguintes situações.

1 Uma fábrica produziu 985 peças. Houve um problema em uma das máquinas e 162 peças estavam com defeito. Quantas peças foram produzidas sem defeito?

Linha de produção em fábrica localizada no município de Londrina (PR), 2017.

Para resolver esse problema, devemos calcular o resultado de 985 162. Para calcular uma subtração, podemos utilizar o algoritmo usual, subtraindo inicialmente as unidades, em seguida, as dezenas, e assim por diante, fazendo as trocas necessárias.

C D U 9 8 5 minuendo 1 6 2 subtraendo 8 2 3 diferença (resultado da operação)

Foram produzidas 823 peças sem defeito. Nesta primeira situação, utilizamos a subtração com a ideia de tirar uma quantidade de outra quantidade.

A subtração também pode ser resolvida decompondo-se o número e armando o cálculo de modo análogo ao algoritmo usual. Observe como fica para essa situação:

900 + 80 + 5 minuendo

100 + 60 + 2 subtraendo

800 + 20 + 3 diferença (resultado da operação)

823

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupos na exploração da ferramenta digital no notebook

É necessário conexão com a internet. Acessar o app, disponível em: https://apps.mathlearningcenter.org/ number-pieces/. Acesso em: 21 ago. 2022.

Clicar na opção do navegador para habilitar a tradução para o português e utilizar com os estudantes a versão on-line do material dourado planificado para explorar as situações apresentadas, nesta Unidade, nas páginas do Livro do estudante.

SERGIO RANALLI/PULSAR IMAGENS

2 Nas eleições de 2018 foram eleitos, no Brasil, 513 parlamentares para a composição da Câmara dos Deputados Federais, que é a instituição responsável pela elaboração das leis. Desses parlamentares, 77 eram mulheres e 436 eram homens. Quantos homens foram eleitos a mais do que mulheres?

Elaborado com base em: BRASIL. Câmara dos Deputados. Deputados eleitos: 2018. Brasília, DF: CD, [2018?]. Disponível em: https://www.camara.leg.br/internet/agencia/infograficos-html5/composicaocamara2019/index. html#text6. Acesso em: 31 jul. 2022.

Para resolver esse problema, podemos fazer 436 77

C D U

4 3 6 minuendo 7 7 subtraendo

3 5 9 diferença (resultado da operação)

Em 2018, foram eleitos 359 deputados federais homens a mais do que mulheres.

Neste caso, a subtração foi utilizada para comparar duas quantidades a fim de saber quanto uma delas tem a mais que a outra.

3 A produção mensal de uma olaria é de 5 000 tijolos. Nesse mês, a olaria produziu 3 925 tijolos. Quantos tijolos ainda faltam para completar a produção mensal?

Para resolver esse problema, devemos fazer 5 000 3 925

UM C D U

5 0 0 0 minuendo

3 9 2 5 subtraendo

1 0 7 5 diferença (resultado da operação)

Esplanada dos ministérios e Congresso Nacional. Brasília (DF), 2021.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ler a situação 2 com a turma e ressaltar a ideia de comparar associada à subtração. Nesse caso, o número que indica a quantidade de mulheres é comparado com o número que indica a quantidade de homens.

Depois de constatar que a quantidade de homens é maior do que a quantidade de mulheres, busca-se determinar quantos deputados há a mais que deputadas. Ressaltar que a indicação de “a mais” envolve uma ideia de comparação.

Produção de tijolos artesanais. Ouro Fino (MG), 2016.

Faltam 1 075 tijolos para completar a produção mensal. Nesta situação, usamos a subtração por termos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra, ou seja, estamos usando a ideia de completar

DESCUBRA MAIS

IMENES, Luiz Marcio Pereira; LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Álgebra. São Paulo: Atual, 2004. (Pra que serve a Matemática?).

Você verá, nesse volume, as aplicações práticas da Álgebra por meio de situações curiosas e divertidas. Também há no livro brincadeiras, como programas de desenho no computador, além de curiosidades sobre Einstein e vocabulário matemático.

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Na situação 3, uma sugestão de problema complementar que pode ser apresentado aos estudantes envolvendo a ideia de completar da subtração, é: Clara está colecionando figurinhas. Ela possui 117 figurinhas. Para completar o álbum devem ser coladas 682 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para Clara completar esse álbum? É oportuno explicar que a ideia de completar ou de “quanto falta para” está relacionada a uma adição. Isso pode ser observado em situações do cotidiano. Por exemplo, quando calculamos o troco, é comum usarmos uma adição para efetuá-lo. Assim, em uma compra de 3,80 reais, em que pagamos com uma cédula de 5 reais, o caixa nos retorna 10 centavos e diz “3,90 reais”, retorna mais 10 centavos e diz “4 reais”, por fim, entrega mais 1 real e diz 5 reais, utilizando a ideia de completar para verificar o troco ao entregá-lo a nós.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco têm como objetivo explorar a subtração e as ideias associadas a essa operação na resolução de problemas.

Na atividade 3, se achar oportuno, orientar a utilizar uma planilha eletrônica para facilitar o cálculo da sequência numérica e, assim, determinar a ordem na qual o número 222 está nessa sequência. É interessante conversar com os estudantes sobre algumas vantagens ao utilizar uma planilha eletrônica; por exemplo, os textos e as imagens podem ser alterados de maneira mais ágil, pois algumas tarefas repetitivas podem ser executadas rapidamente no computador. Contudo, esses benefícios não podem ser considerados motivos para que as atividades feitas utilizando lápis e papel sejam substituídas ou deixadas de lado; o computador, nesse caso, deve ser considerado uma importante ferramenta que pode ser usada para ampliar o sentido das aprendizagens.

Na atividade 4, enfatizar a importância da leitura e interpretação correta de dados organizados em tabelas e que esse recurso é bastante utilizado nos meios de comunicação.

No item e da atividade 4, uma possível questão que pode ser elaborada pelos estudantes é a seguinte:

Quantos quilômetros quadrados o Brasil tem a menos que a China? (1 086 614 km2)

ATIVIDADES

2. 8 745 reais. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

4. e) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Em 2022, 1 692 estudantes participaram de uma gincana cultural. Em 2023, a quantidade de participantes nessa gincana foi 2 010. Em qual desses anos houve uma quantidade maior de participantes? Quantos participantes a mais?

Em 2023; 318 participantes a mais.

2. Um automóvel custa, à vista, 27 545 reais e, a prazo, 36 290 reais. A diferença entre esses valores equivale ao juro que se paga pelo financiamento. Se uma pessoa comprar esse automóvel a prazo, que quantia pagará de juro? Escreva um texto explicando, passo a passo, o cálculo que deve ser feito para encontrar essa quantia.

3. Dada a sequência 282, 276, 270, ..., qual é a posição ocupada pelo número 222 nessa sequência?

11a posição.

4. Esta tabela mostra os cinco países mais extensos do mundo em 2022.

Cinco países mais extensos – 2022

País Extensão territorial (em km2) Brasil 8 510 346 Canadá 9 984 670 China 9 596 960

Estados Unidos 9 833 517

Rússia 17 098 242

Fonte: IBGE PAÍSES. Rio de Janeiro, [2022]. Site Disponível em: https://paises.ibge.gov.br/#/mapa. Acesso em: 31 jul. 2022.

a) Qual é o país com maior extensão territorial? Rússia.

5a posição.

b) Qual é a posição ocupada pelo Brasil?

c) O Canadá e os Estados Unidos fazem parte do mesmo continente: a América do Norte. Quantos quilômetros quadrados

o Canadá tem a mais que os Estados Unidos?

151 153 km2

d) Qual é a diferença entre a extensão territorial da Rússia e a do Brasil?

e) A partir da tabela e das questões anteriores, elabore uma questão com o termo “a mais” ou “a menos” e entregue para um colega resolver. Em seguida, verifique se a resolução feita por ele está correta.

5. Na casa de Isabel, a leitura do hidrômetro, feita no dia 20 de março, indicava 2 431 metros cúbicos. Uma nova leitura, feita um mês depois, indicou 2 447 metros cúbicos. Quantos metros cúbicos de água Isabel e seus familiares consumiram nesse período?

Hidrômetro é um aparelho que marca o consumo de água, em metro cúbico.

6. Uma empresa projetou as receitas mensais para o 1o trimestre do ano de 2023 do seguinte modo: em cada mês, a receita deverá ser 45 000 reais superior à do mês anterior. Essa previsão deu certo e, em março, a receita foi 1 365 000 reais. Qual foi a receita da empresa no mês de janeiro?

7. (Unicamp-SP) Minha calculadora tem lugar para 8 algarismos. Eu digitei nela o maior número possível, do qual subtraí o número de habitantes do estado de São Paulo, obtendo, como resultado, 63 033 472. Qual era a população do estado de São Paulo nesse ano?

1 275 000 reais. 36 966 527 habitantes.

8 587 896 km2

16 m3

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RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA SUBTRAÇÃO

Observe.

9 5 = 4 e diferença subtraendo minuendo

5 + 4 = 9 mesmo valor do minuendo mesmo valor da diferença mesmo valor do subtraendo

Em Matemática, dizemos que as sentenças 9 5 = 4 e 5 + 4 = 9 são equivalentes. 9 5 = 4 k 5 + 4 = 9 significa equivale a

Observe a relação fundamental da subtração: minuendo subtraendo = diferença k subtraendo + diferença = minuendo

Ou seja, a subtração é a operação inversa da adição.

+15 15

ALGUMAS TECLAS DA CALCULADORA

Desliga.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Relação fundamental da subtração

Neste tópico, o foco é o conceito de operação inversa (a subtração como operação inversa da adição) ideia já trabalhada nos anos iniciais do Ensino Fundamental, bem como a exploração de algumas propriedades da adição e da subtração.

É interessante trabalhar com exemplos em que o termo desconhecido na subtração é o subtraendo. Por exemplo, dada a subtração 45 ? = 23, aplicando a operação inversa, tem-se: 23 + ? = 45. Com base nessa adição, pode-se calcular a parcela desconhecida, isto é: 45 23 = 22.

Algumas teclas da calculadora

Multiplicação.

Subtração. Calculadora.

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Divisão.

Igual.

É importante que os estudantes utilizem a calculadora como ferramenta para calcular, mas é interessante que eles percebam que ela também pode ser utilizada para verificar se os cálculos realizados estão corretos. Permitir que eles utilizem diferentes estratégias e recursos variados de cálculo possibilita que reflitam sobre as estratégias utilizadas e aprofundem os conhecimentos.

Saber utilizar corretamente as teclas de uma calculadora simples viabiliza o uso eficiente dessa ferramenta. É possível, neste momento, trabalhar com exemplos variados de como realizar operações simples utilizando diferentes estratégias para resolvê-las, com e sem o uso da calculadora. Esse processo pode ajudar os estudantes a se sentirem mais confiantes, tanto no uso da calculadora quanto no desenvolvimento do raciocínio, ao buscarem resolver e elaborar problemas.

Apaga o cálculo.

Apaga o último número digitado. Adição.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes utilizarão, principalmente, as ideias trabalhadas sobre a operação subtração e a adição como operação inversa da subtração.

Pedir aos estudantes que realizem as atividades em duplas. Incentivar a troca de ideias e informações, o que colabora para o desenvolvimento da competência geral 9.

Observar a execução das atividades feitas pelos estudantes para levantar possíveis dúvidas ou dificuldades apresentadas. Depois, retomar esses pontos.

É interessante ficar atento quando os estudantes estiverem resolvendo situações em que é necessário encontrar o minuendo de uma subtração. É possível que eles efetuem uma subtração entre subtraendo e a diferença, levando, assim, a um erro.

Na atividade 2, perguntar se algum estudantes já ouviu falar em superavit e explorar o significado da palavra. Como sugestão para mais informações, acesse o link : https://www12. senado.leg.br/noticias/enten da-o-assunto/superavit. Acesso em: 19 ago. 2018.

As atividades 5 e 6 apresentam situações que sugerem a utilização da calculadora, após a realização do cálculo mental. Aproveitar para trabalhar a estimativa dos resultados com os estudantes. Ao realizar as atividades, os estudantes poderão perceber que, ao acionar a tecla com o sinal de igual, eles efetuarão novamente a operação. Caso nenhum estudante possua calculadora, é possível juntá-los em grupos e providenciar ao menos uma para cada grupo, na tentativa de garantir que todos tenham acesso à calculadora para realizar os cálculos. Outra sugestão, se for possível, é utilizar

Responda às questões no caderno.

1. Qual é o número de 4 algarismos escondido em cada item?

5. Essa atividade necessita de uso de calculadora. Porém, antes de teclar = conforme cada item do exercício pede, calcule mentalmente os resultados para, com a calculadora, conferir se acertou. Anote o resultado de cada cálculo mental para a sua conferência.

a) 0 0 2 0 2 = = = =

b) 0 3 3 = = = =

c) 0 7 1 5 = = = =

2. Sabe-se que a balança comercial de um país apresenta superavit quando o volume das exportações é maior que o volume das importações. Sabe-se que, em determinado ano, um país teve um superavit comercial de 25 bilhões de dólares. Se, nesse ano, o volume das importações atingiu 97 bilhões de dólares, qual foi o volume, em bilhões de dólares, das exportações desse país?

3. Encontre os números que faltam.

a) ? 6 429 = 6 991 13 420

b) 15 000 ? = 7 995 7 005

4. Noêmia, a bibliotecária da escola, organizou uma tabela com os movimentos de retirada e devolução dos 40 livros indicados para leitura.

d) 0 0 1 1 = = = = 0

6. Quantas vezes, no máximo, você pode acionar a tecla = para que o resultado seja maior que zero? Anote.

a) 5 8 8 =

b) 9 7 4 =

7. Uma academia de ginástica oferece três opções de atividades físicas aos seus alunos. Considerando que cada pessoa pode fazer uma única opção, os alunos estão assim organizados: Quantidade de alunos por atividade

Atividade Quantidade de pessoas matriculadas

Alongamento 319 Musculação 426

25

12

10

7 8 Fonte: Biblioteca da escola. Dos livros indicados, quantos estavam na biblioteca no início da sexta-feira?

Fonte: Academia de ginástica.

a) Quantas pessoas estão matriculadas nessa academia?

1 310 pessoas matriculadas.

b) Em qual modalidade há mais inscritos?

c) Nessa modalidade, quantas pessoas há a mais do que na modalidade de menor matrícula? 246

7. b) Hidroginástica.

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a calculadora do celular ou do computador, caso tenham acesso à sala de informática.

Na atividade 7, retomar as ideias associadas à subtração, reforçando que, quando perguntamos quanto uma quantidade tem a mais do que outra, estamos usando a ideia de comparar duas quantidades.

Se achar oportuno, pedir às duplas que elaborem problemas utilizando as ideias de retirar, comparar e completar da subtração.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

QUERER É UMA COISA, PRECISAR É OUTRA

Leia o trecho a seguir.

[...]

Precisar diz respeito a uma necessidade, a uma carência que exige satisfação. Por exemplo: temos fome e sede, por isso precisamos de líquido e de alimento para a satisfação dessas necessidades.

[...]

[...] O querer diz respeito a uma intenção, a uma aspiração. O querer é algo que nos move, mas não é uma necessidade. [...]

[...]

Quem quer pode esperar, pode trocar o objeto do querer para que se torne mais acessível e pode [...] perceber que terá de abdicar desse querer.

[...] Quem precisa pode esperar por pouco tempo, não pode trocar o objeto da necessidade e tampouco pode abdicar dele.

[...]

Mas todos precisam saber [...] que querer não é precisar. E querer, muitas vezes, também não é poder.

SAYÃO, Rosely. Querer é uma coisa, precisar é outra. Folha de S.Paulo, São Paulo, 14 fev. 2012. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br/fsp/equilibrio/25683-querer-e-uma-coisa-precisar-e-outra.shtml.

Acesso em: 2 ago. 2022.

Que tal ajudar nas compras da família e ao mesmo tempo aprender, na prática, o assunto apresentado no texto anterior? Converse com seus familiares e descubra como são feitas as compras no supermercado.

• Ajude a fazer a lista de compras.

• Estime o valor da compra dos produtos listados para, depois, verificar como foi sua estimativa. Anote o valor pago em cada produto para que, a cada compra, sua previsão de gastos seja mais próxima do gasto real.

• O que você aprendeu com essas atividades? Escreva um texto para explicar.

Fazer uma lista de compras ajuda na tarefa de comprar apenas o necessário.

Respostas pessoais. Exemplos de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira

Diferenciar necessidade e desejo é uma ideia importante e, nessa seção, busca-se explorar essas ideias por meio da leitura proposta e dos itens de atividade que propõe a elaboração de uma lista de compras, operações com números naturais e estimativas.

Pedir aos estudantes que leiam o texto “Querer é uma coisa, precisar é outra”. Depois, pedir que, com base no texto, eles expliquem com as próprias palavras o que é querer e o que é precisar, citando exemplos. Instigá-los a refletir sobre o assunto, o que colabora para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo Perguntar a eles se, quando estão comprando algo, costumam pensar se realmente precisam daquilo e se o valor está adequado ao orçamento da família. Por fim, perguntar a eles se concordam com a afirmação da autora: “[...] E querer, muitas vezes, também não é poder”. Incentivar os estudantes a expressar o entendimento deles e a respeitar o dos colegas, o que contribui para o desenvolvimento da competência geral 7. Os estudantes podem fazer as atividades em casa e, depois, discutir o questionamento em sala. Vários temas podem ser tratados: o fato de diferentes pessoas e famílias terem desejos e necessidades diferentes; a importância da lista para evitar gastos por impulso; a possibilidade de renunciar a produtos desejados momentaneamente e de poupar o dinheiro para realizar sonhos a longo prazo; a importância de manter os gastos dentro do que é possível no orçamento da família; a importância de analisar bem as ofertas para não comprar produtos e quantidades inadequadas às necessidades

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nessa seção, são apresentados aos estudantes tabelas de dupla entrada e gráficos de barras duplas. Nesse momento, eles terão a oportunidade de organizar e analisar os dados em tabelas e gráficos. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32.

Iniciar uma discussão com os estudantes sobre o papel da mulher na sociedade para estimulá-los a pensar sobre a questão da representatividade feminina na política.

Perguntar, por exemplo, se eles sabem se nas eleições as mães, tias, avós e bisavós deles costumam ou costumavam votar. É interessante conduzir uma discussão fazendo perguntas aos estudantes, a fim de refletirem se no Brasil as mulheres sempre tiveram direito ao voto. Assim, pode-se verificar o conhecimento prévio dos estudantes sobre o tema que será discutido.

Propor aos estudantes que, em duplas, leiam o texto do livro sobre a participação da mulher na vida política no Brasil e em seguida respondam às questões no caderno.

Para responder à primeira questão, sugere-se aos estudantes que acessem o link a seguir sobre as regras eleitorais brasileiras, disponível em: https://www12.senado.leg.br/ noticias/materias/2022/08/12/ novas-regras-eleitorais-visam

-a-menos-fragmentacao-e-mais

-diversidade (acesso em: 19 ago. 2022). Incentivá-los a refletir sobre a estrutura da sociedade, em especial sobre a participação da mulher nas mais diversas esferas da sociedade.

TABELA DE DUPLA ENTRADA E GRÁFICO DE BARRAS DUPLAS

A participação da mulher na vida política do Brasil começou a ser discutida em 1827, no Senado. Esse assunto foi debatido ao longo de décadas até que, em 1932, o Código Eleitoral considerou eleitor “o cidadão maior de 21 anos, sem distinção de sexo (...)”, dando às mulheres o direito de votar e de serem votadas. Esse direito é chamado de sufrágio Finalmente, a Constituição de 1946, com o sufrágio feminino completamente estabelecido, afirmava que “São eleitores os brasileiros maiores de dezoito anos que se alistarem na forma da lei.”.

Elaborado com base em: BRASIL. Tribunal Superior Eleitoral. Voto da mulher. Brasília, DF: TSE, [20--]. Disponível em: http://www.tse.jus.br/eleitor/glossario/termos/voto-da-mulher. Acesso em: 2 ago. 2022. No entanto, o direito de votar e de serem votadas não é o suficiente para garantir um parlamento que reflita a estrutura da sociedade e, consequentemente, a presença de mulheres em cargos de alto escalão do governo, como assessores especiais, secretários e ministros. Vamos ver um exemplo disso observando as tabelas a seguir.

Representatividade feminina na política – 2021

Representatividade masculina na política – 2021

Fonte: MONTHLY ranking of women in national parliaments. IPU Parline. Genebra, c2022. Disponível em: https://data.ipu.org/women-ranking?month=4&year=2021. Acesso em: 2 ago. 2022.

1. Faça uma pesquisa sobre as regras eleitorais brasileiras atuais. Quem tem direito a votar? E quem tem direito a ser votado?

Tem direito a votar todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo.

Essas reflexões podem ser ampliadas com a parceria dos professores de História e Geografia.

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Depois que eles responderem à primeira questão, proporcionar um momento para que possam trocar ideias sobre as informações encontradas, sobre como responderam à questão proposta no Livro do estudante e para que exponham o entendimento deles acerca do tema discutido.

Observe que, para exprimir os dados anteriores, foram necessárias duas tabelas, que podem ser reunidas em uma única tabela. Observe a seguir como fica essa nova tabela. Representatividade na política, por sexo – 2021

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: MONTHLY ranking of women in national parliaments. IPU Parline. Genebra, c2022. Disponível em: https://data.ipu.org/women-ranking?month=4&year=2021. Acesso em: 2 ago. 2022.

Tabelas como essa são chamadas de tabelas de dupla entrada. Esse tipo de tabela, assim como uma tabela simples, pode ter seus dados representados em um gráfico, como indicado a seguir.

Representatividade na política, por sexo – 2021

Representatividade na política, por sexo – 2021

Antes de iniciar a pesquisa para responder à segunda questão, orientar os estudantes a buscar os dados em sites confiáveis. Por exemplo, a pesquisa sobre a quantidade de vereadores deve ser realizada em sites oficiais da Prefeitura ou da Câmara dos Vereadores, se houver. Outra questão importante é que a informação pode não estar consolidada conforme pedido na atividade.

Se isso ocorrer, os estudantes devem colher as informações uma a uma e consolidá-las.

Outro ponto importante é verificar se as informações são as mais atuais possíveis. Pedir aos estudantes que verifiquem no site a data em que foram publicadas.

Para responder à segunda questão, organizar a turma em grupos de três ou quatro estudantes.

Gráficos como esse são chamados de gráficos de colunas duplas. Observe que cada cor das barras é referente aos dados de uma das colunas da tabela (homens e mulheres). Essa distinção é apresentada pela legenda do gráfico.

2. Agora é sua vez! Junte-se em grupo, e pesquisem, em seu município e em mais três municípios vizinhos, a proporção entre homens e mulheres ocupando o cargo de vereador em cada município. Em seguida, organizem os dados pesquisados em uma tabela de dupla entrada e em um gráfico de barras duplas. Não se esqueçam de indicar o título do gráfico, a(s) fonte(s) e outras informações pertinentes. Resposta pessoal.

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Eles podem utilizar papel quadriculado para a construção das tabelas e gráficos ou, se achar conveniente, aproveitar o momento para utilizar uma planilha eletrônica.

Recomenda-se aproveitar esse momento para uma discussão do que pode ser feito para melhorar a representatividade da mulher nos municípios pesquisados. A proposta dessa segunda atividade favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA32 e da competência geral 10.

Fonte: MONTHLY ranking of women in national parliaments. IPU Parline. Genebra, c2022. Disponível em: https://data.ipu.org/women-ranking?month=4&year=2021. Acesso em: 23 jun. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Multiplicação

Este terceiro capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, com mais ênfase nas situações que envolvem as ideias da multiplicação.

Ao retomar e aprofundar as ideias associadas à multiplicação, os estudantes poderão identificá-la como uma adição de parcelas iguais e utilizar os fatos básicos da multiplicação por meio da organização retangular no raciocínio combinatório e na proporcionalidade. Nesta fase de escolaridade, é importante identificar e respeitar as possíveis dificuldades que os estudantes possam ter no processo de aprendizagem para que eles não associem a multiplicação apenas com a memorização da tabuada e o algoritmo.

Iniciar verificando o conhecimento prévio dos estudantes. Para isso, apresentar palitos organizados em 5 grupos, cada grupo com 8 palitos, e pedir aos estudantes que registrem o resultado no caderno.

É interessante que socializem as estratégias utilizadas. É possível que os estudantes procedam de duas maneiras distintas: fazendo a adição de parcelas iguais (8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40) ou a multiplicação (5 ? 8) = 40.

Explorar a ideia de contagem de parcelas iguais. Pedir aos estudantes que utilizem diferentes maneiras de agrupar 24 palitos em parcelas iguais e representá-las com as operações adição e multiplicação. Observe algumas possibilidades:

1 + 1 + 1 + + 1 = 24 ? 1

2 + 2 + + 2 = 12 ? 2

3 + 3 + 3 + + 3 = 8 3

E assim por diante.

Acompanhe as situações apresentadas e como elas são associadas à multiplicação.

1 Leandro trabalha em uma quitanda e organizou algumas laranjas em grupos com 4 elementos, formando, ao todo, seis grupos. Quantas laranjas Leandro organizou dessa maneira?

Para saber quantas laranjas Leandro organizou, podemos fazer:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 Essa situação também pode ser resolvida por meio de uma multiplicação. Observe.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 6 x 4 = 24

6 vezes

São 24 laranjas. Nesse caso, utilizamos a multiplicação para adicionar parcelas iguais

produto (resultado da multiplicação) fator fator

Podemos utilizar os sinais x ou para escrever uma sentença correspondente à multiplicação. Por exemplo:

• podemos escrever 3 x 3 x 3 = 27, ou 3 3 3 = 27;

• podemos escrever 6 x 7 = 42, ou 6 ? 7 = 42.

2 Observe como o professor de Educação Física organizou seus estudantes para uma demonstração de ginástica. Quantos estudantes vão participar da demonstração?

Como são 6 linhas de 9 estudantes, calculamos o total de estudantes efetuando a multiplicação de 6 por 9.

6 ? 9 = 54

Ou, como são 9 colunas de 6 estudantes, calculamos o total de estudantes efetuando a multiplicação de 9 por 6: 9 ? 6 = 54

Portanto, participarão da demonstração de ginástica 54 estudantes. Nesta situação, utilizamos a multiplicação para contar elementos em uma organização retangular

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SAIBA QUE

3 Pedro vai escolher 1 bola de sorvete com um tipo de cobertura, mas tem diversas opções. De quantas maneiras diferentes Pedro poderá montar o sorvete dele?

Para facilitar a resolução desse problema, vamos organizar os dados em um quadro:

Sabor

Cobertura

Caramelo

Chocolate Morango

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Coco Abacaxi Flocos Creme

Pelo quadro, temos: 3 + 3 + 3 + 3 = 12

12 maneiras diferentes de montar o sorvete.

Como são 4 tipos de sorvete e 3 tipos de cobertura, calculamos a quantidade de maneiras diferentes de montar o sorvete efetuando o produto de 4 por 3. 4 x 3 = 12 tipos de sorvete tipos de cobertura

Maneiras diferentes de montar o sorvete.

Pedro poderá montar seu sorvete de 12 maneiras diferentes.

Aqui utilizamos a multiplicação para saber quantas combinações podemos fazer.

4 Ao fazer refresco de uva, utilizam-se 4 copos de água para cada copo de suco concentrado. Quantos copos de água são necessários para preparar esse refresco usando 2 copos de suco concentrado? E usando 3 copos?

1 copo de suco 1 4 = 4 (copos de água)

2 copos de suco 2 4 = 8 (copos de água)

3 copos de suco 3 4 = 12 (copos de água)

Para essa situação, a multiplicação é aplicada com a ideia de proporcionalidade

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Na barraca de frutas de Leandro, todos os domingos Cláudio compra meia dúzia de maçãs e Berta compra uma dúzia. O próximo domingo é dia de eleições para escolher o presidente da República e os deputados federais e estaduais. Como não vai haver feira, Cláudio e Berta resolveram levar 2 vezes a quantidade de maçãs que costumam comprar.

a) Quantas maçãs levou cada um? Cláudio: 12 maçãs; Berta: 24 maçãs.

b) Se resolvessem levar 5 vezes a quantidade de maçãs de costume, quantas maçãs cada um levaria? Cláudio: 30 maçãs; Berta: 60 maçãs.

Na situação 3, a quantidade de opções e, consequentemente, de combinações é, por uma questão didática, pequena. Isso permite criar um quadro com todas as informações e, com base nele, fazer a contagem das combinações. Esse trabalho pode levar os estudantes a questionar o motivo de se utilizar a multiplicação, pois a construção de um quadro se mostra tão eficaz quanto o cálculo. Para isso, apresentar situações em que a montagem de um quadro é inviável. Por exemplo: ao se arrumar para determinado evento, uma pessoa separou 5 camisetas, 3 calças, 3 pares de meias e 2 pares de tênis. De quantas maneiras ela poderá se arrumar, com as seguintes peças: 1 camiseta, 1 calça, 1 par de meias e 1 par de tênis?

Explicar que, nesse caso, para calcular a quantidade de opções possíveis, multiplicam-se as quantidades de cada item.

5 ? 3 ? 3 ? 2 = 90

Ou seja, há 90 combinações possíveis.

Auxiliar os estudantes a perceberem que fazer um quadro com todas essas possibilidades é um processo extenso, e o cálculo da multiplicação é fácil e rápido.

Para a ideia de proporcionalidade utilizada na multiplicação, é importante ressaltar que as variáveis aumentam proporcionalmente. Para isso, ler com os estudantes a situação 4 e fazer na lousa um esquema como o apresentado a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O algoritmo da multiplicação

Após ler com os estudantes as duas situações apresentadas na página do Livro do estudante, incentivá-los a resolver outra, sem envolver a ideia de organização retangular. Esse processo é importante para o desenvolvimento nos estudantes da habilidade de cálculo mental e favorece o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática.

• Calcular o produto de 110 ? 12.

Decompondo o primeiro fator: 110 = 100 + 10 + 0.

Decompondo o segundo fator:

12 = 10 + 2

Então, temos que: 100 10 0 10 2 ++ x+

2 x 0 = 0

2 x 10 = 20

2 x 100 = 200

0 + 20 + 200 = 220

10 x 0 = 0

10 x 10 = 100

10 x 100 = 1 000

0 + 100 + 1 000 = 1 100

Por fim, basta adicionar:

1 100 + 220 = 1 320

Depois de explorar o processo da decomposição e do algoritmo usual, sugere-se aqui explorar métodos alternativos para realizar a multiplicação.

Para isso, pode-se recorrer à História da Matemática. Assim, os estudantes podem perceber as diferenças e semelhanças entre os métodos apresentados. A utilização da História da Matemática permite a eles que percebam que as ideias e os conceitos matemáticos foram desenvolvidos ao longo do tempo de acordo com a necessidade de cada período.

O ALGORITMO DA MULTIPLICAÇÃO

Para efetuar uma multiplicação, podemos utilizar dois processos: da decomposição e do algoritmo usual Acompanhe as situações a seguir.

1 No anfiteatro de uma escola há 6 fileiras com 24 poltronas em cada fileira. Quantas poltronas há nesse anfiteatro?

Para resolver esse problema, podemos calcular 6 ? 24 Observe um esquema utilizando a disposição retangular:

Usando o algoritmo, temos:

No anfiteatro há 144 poltronas.

2 Uma máquina produz 26 peças por hora. Quantas peças são produzidas em 12 horas por essa máquina?

Para resolver essa situação, podemos fazer 12 ? 26 Usando o algoritmo:

São produzidas 312 peças.

Para facilitar a compreensão e a consolidação dos conceitos explorados na multiplicação, pedir aos estudantes que elaborem um cartaz com as ideias da multiplicação usadas na resolução de problemas: adicionar parcelas iguais, organização retangular, combinações e proporcionalidade. Expor o material em um lugar que permita a consulta a qualquer momento.

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Em seguida, sugerir a cada estudante que elabore e registre no caderno um problema que possa ser resolvido utilizando uma multiplicação. Depois, os estudantes podem trocar os problemas elaborados com os colegas para identificar a ideia da multiplicação utilizada e, em seguida, resolvê-los registrando as estratégias utilizadas na resolução.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Para fazer uma jarra de suco de laranja são necessárias cerca de 6 laranjas. Uma lanchonete vende, em média, 50 jarras de suco de laranja por dia. Quantas laranjas, no mínimo, o dono da lanchonete deve ter diariamente para atender a freguesia?

A área desse campo é obtida multiplicando o comprimento pela largura.

• Qual é a área de um sítio que corresponde a 15 vezes a área desse campo?

162 000 metros quadrados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes têm a oportunidade de aplicar as ideias da multiplicação na resolução de problemas.

Na atividade 1, desenvolve-se a ideia da proporcionalidade; segue uma sugestão para a resolução do problema:

2. A parede lateral de uma piscina foi revestida com 13 fileiras de 43 azulejos em cada fileira. Quantos azulejos foram usados para revestir essa parede?

300 laranjas. 559 azulejos.

3. Um município tem 27 560 domicílios. Supondo que cada domicílio tenha, em média, 4 moradores, qual é a população aproximada desse município?

Aproximadamente, 110 240 habitantes.

4. Helena não consegue decidir o que vai vestir. Ela está em dúvida entre 2 saias (preta ou cinza) e 3 blusas (branca, amarela ou vermelha). De quantas maneiras distintas ela pode combinar essas peças para se vestir? Para responder, faça um quadro ou um esquema.

6 maneiras distintas.

5. Uma linha de trem metropolitano liga duas estações, Ambrosina e Bons Tempos. Essa linha funciona 16 horas por dia, e a cada hora saem 6 trens da estação Ambrosina.

a) Quantos trens partem de Ambrosina por dia?

96 trens.

b) Se cada trem que parte de Ambrosina pode, no máximo, levar 125 passageiros por viagem, qual é a quantidade máxima de passageiros que essa linha transporta, por dia, de Ambrosina para Bons Tempos?

12 000 passageiros.

6. Um campo de futebol tem a forma retangular e mede 120 m por 90 m.

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7. Um programa de computador, cada vez que é executado, dobra a quantidade de linhas verticais e a quantidade de linhas horizontais que formam uma imagem digital. Uma imagem tinha, no início, 64 linhas verticais e 32 linhas horizontais. Se o programa foi executado 4 vezes, quantas linhas verticais e quantas linhas horizontais passou a ter essa imagem?

8. Observe como Camilo calculou 34 12. 34 ? 12

34 (10 + 2)

(34 10) + (34 2)

340 + 68

300 + 40 + 60 + 8

300 + 100 + 8 = 408 Agora, calcule do mesmo jeito que Camilo. Em cada item, faça um esquema representando a estratégia usada.

a) 24 35 840

b) 35 24 840

c) 45 ? 92 4 140

d) 92 45 4 140

9. Elabore um problema envolvendo a multiplicação de números naturais e troque com um colega para que um resolva o problema elaborado pelo outro. Em seguida, verifiquem se as soluções estão corretas.

26/08/22 20:03

• 6 laranjas, que equivalem a 1 jarra de suco de laranja;

• 12 laranjas, que equivalem a 2 jarras de suco de laranja;

• 18 laranjas, que equivalem a 3 jarras de suco de laranja.

É possível que algum estudante resolva desenhar as jarras de suco. Esperar que ele comece e, depois de algum tempo, questionar sobre essa maneira de resolver o problema, ajudando-o a perceber que esse processo será moroso. É interessante que os estudantes percebam que um registro escrito como o apresentado a seguir é viável.

Para 1 jarra de suco de laranja, são usadas 6 laranjas.

Para 2 jarras de suco de laranja, são usadas 12 laranjas. Para 3 jarras de suco de laranja, são usadas 18 laranjas.

A atividade 9 envolve a elaboração de problema. Espera-se que os estudantes não tenham dificuldade em elaborar um problema envolvendo o tema proposto. Porém, caso apresentem, sugerir que consultem as situações apresentadas nas páginas anteriores do Livro do estudante para que possam se inspirar.

1 024 linhas verticais e 512 linhas horizontais. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da multiplicação

Registrar as propriedades da multiplicação no mesmo quadro sugerido nas Orientações didáticas da página 37 desta Unidade para as propriedades da adição. Dessa maneira, os estudantes podem consultá-lo, sempre que necessário.

A seguir seguem sugestões de conteúdos que podem constar no quadro.

Propriedade comutativa

Em uma multiplicação, a ordem dos fatores não altera o produto.

Exemplo:

1 ? 2 ? 3 ? 4 = 24

2 3 4 1 = 24

3 ? 4 ? 1 ? 2 = 24

4 ? 2 ? 3 ? 1 = 24

Propriedade associativa

Ao multiplicar três ou mais fatores, pode-se associá-los de maneiras diferentes.

Exemplo:

(3 ? 5) ? 7 = 15 ? 7 = 105

3 (5 7) = 3 35 = 105

5 (3 7) = 5 21 = 105

Propriedade do elemento neutro

O número 1 é o elemento neutro da multiplicação, pois o produto de qualquer número por 1 é sempre igual a esse número.

Exemplos:

1 ? 2 = 2

10 1 = 10

132 ? 1 = 132

1 ? 12 345 = 12 345

PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO

1 Multiplicando um número natural qualquer por 0, obtemos o próprio número 0 como resultado.

5 ? 0 = 0 equivale à adição de cinco parcelas iguais a 0 20 0 = 0 equivale à adição de vinte parcelas iguais a 0

2 Consideremos os números naturais 14 e 25 e vamos determinar o seu produto: 14 ? 25 = 350 e 25 ? 14 = 350 Podemos notar que: 14 ? 25 = 25 ? 14. Como esse fato sempre se repete quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, temos que:

Em uma multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto. Essa propriedade é chamada propriedade comutativa da multiplicação

3 Vamos considerar, agora, os números naturais 5, 18 e 23 e determinar o seu produto associando os números de modos diferentes: Dessa maneira, temos: (5 18) 23 = 5 (18 23) Esse fato sempre se repete na multiplicação de três números naturais quaisquer. Verifique usando três outros números quaisquer.

Em uma multiplicação de três números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de modos diferentes. Essa propriedade é chamada propriedade associativa da multiplicação

4 Consideremos as multiplicações a seguir e vamos determinar o seu produto, independentemente da ordem dos fatores.

1 ? 25 = 25 e 25 ? 1 = 25

Observe que, quando o número 1 é um dos fatores, ele não influi no resultado da multiplicação.

Em uma multiplicação de um número natural qualquer por 1, o produto é sempre igual a esse número natural. Nessas condições, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

5 Observe como calculamos o produto 4 ? (17 + 32)

4 ? (17 + 32) =

= (17 + 32) + (17 + 32) + (17 + 32) + (17 + 32) = pela definição de multiplicação

= 17 + 32 + 17 + 32 + 17 + 32 + 17 + 32 = eliminamos os parênteses

= 17 + 17 + 17 + 17 + 32 + 32 + 32 + 32 = pela propriedade comutativa da adição

4 vezes 4 vezes

= (4 17) + (4 32)

Observe que:

4 ? (17 + 32) = (4 ? 17) + (4 ? 32)

Experimente calcular o produto de um número por uma adição usando números diferentes.

Para multiplicar um número natural por uma adição de duas parcelas, multiplicamos o número pelas parcelas e, a seguir, adicionamos os resultados obtidos.

4 (17 + 32) = (4 17) + (4 32)

Essa propriedade é chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Essa propriedade pode ser estendida para a multiplicação de um número por uma diferença indicada.

7 ? (20 11) = (7 ? 20) (7 ? 11)

Responda às questões no caderno.

1. Sabe-se que a e b são dois números naturais tais que a ? b = 237. Qual é o valor da expressão b a?

2. Considere a igualdade 37 ? n = 63 ? 37. Qual é o valor que se deve colocar no lugar de n para que a igualdade seja verdadeira? 63

3. Calcule de duas maneiras diferentes o valor de 81 ? 35 ? 60.

4. Escreva duas maneiras diferentes para obter o valor de:

5.

Multiplicar um número natural por uma adição significa multiplicar cada uma das parcelas dessa adição por esse número natural e, depois, adicionar os produtos de cada multiplicação.

Exemplo:

6 ? (12 + 5 + 6 + 11) =

= (6 ? 12) + (6 ? 5) + (6 ? 6) +

+ (6 11) =

= 72 + 30 + 36 + 66 = 204

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes têm a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as propriedades da multiplicação. Essas propriedades vão auxiliá-los nos cálculos numéricos e algébricos contribuindo para o desenvolvimento da habilidade de cálculo mental. Nesse momento, orientar os estudantes a consultar o quadro com o resumo das propriedades. É importante acompanhar a realização das atividades. Caso haja alguma dúvida ou dificuldade, retomar os conteúdos estudados. As atividades 1 e 2 favorecem o desenvolvimento do raciocínio lógico.

Já as atividades 3 e 4 exploram cálculos diretos envolvendo os conteúdos estudados neste capítulo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Divisão

Este quarto capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, com mais ênfase nas situações que envolvem as ideias da divisão.

Neste momento, quando a última das operações fundamentais será estudada, espera-se que os estudantes estejam cientes de que há mais de uma ideia associada a cada uma das operações.

Permitir, nesse momento, a leitura individual das duas ideias apresentadas e pedir aos estudantes que debatam suas conclusões. Pedir a eles que elaborem exemplos que podem servir para expor suas deduções e justificar seus raciocínios.

É importante, também, retomar com os estudantes os termos da divisão (dividendo, divisor, resto e quociente), pois essas nomenclaturas serão utilizadas no estudo da relação fundamental da divisão.

Acompanhe as situações apresentadas a seguir.

1 Uma escola costuma compor as turmas com a mesma quantidade de estudantes. Essa escola tem 243 estudantes matriculados em 9 turmas do 6o ano. Quantos estudantes há em cada turma? Para resolver esse problema, podemos calcular o resultado de 243 : 9

AMPLIANDO

Como o resto da divisão é igual a 0, a divisão é exata. Então, em cada turma há 27 estudantes.

2 Uma editora enviou 183 livros para a biblioteca de uma escola. Eles foram colocados em 12 caixas, de modo que todas as caixas tivessem a mesma quantidade de livros. Quantos livros foram colocados em cada caixa? Para resolver esse problema, devemos calcular o resultado de 183 : 12

Como o resto é igual a 3, a divisão não é exata. Portanto, em cada caixa serão colocados 15 livros e sobrarão 3, que, provavelmente, serão encaminhados em um pacote à parte.

Nas duas situações trabalhamos com a ideia de dividir uma quantidade em partes iguais

Atividade complementar

Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupos na exploração da ferramenta digital no notebook

É necessário conexão com a internet. Acessar o app Avançando com o resto, que foi produzido pela Universidade Virtual do Estado de São Paulo (Univesp), disponível em: https://apps.univesp.br/avancando-com -o-resto/. Acesso em: 21 ago. 2022.

Propor aos estudantes que realizem esse jogo que tem como objetivo auxiliá-los a desenvolver cálculos mentais envolvendo as operações de multiplicação e divisão.

Crianças na escola. Porto Seguro (BA), 2014.

Adolescentes consultando livros na biblioteca. Sumaré (SP), 2014.

3 Uma equipe de voleibol é composta de 12 jogadores, sendo 6 titulares e 6 reservas.

O professor de Educação Física de um colégio dispõe de 192 estudantes para organizar um torneio de voleibol. Quantas equipes, com titulares e reservas, ele vai conseguir formar?

Queremos saber quantos grupos de 12 cabem em 192, ou seja, podemos calcular o resultado de 192 : 12

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pedir aos estudantes que leiam a situação e observem o algoritmo apresentado.

C D U 1 9 2 1 2 7 2 1 6 0 D U

dividendo divisor quociente resto

Ele vai conseguir formar 16 equipes.

Usamos essa outra ideia da divisão quando queremos saber quantos grupos serão formados, ou seja, quando precisamos saber quantas vezes uma quantidade cabe em outra quantidade usamos a ideia de medida

PENSE E RESPONDA

Você já viu estas barrinhas, conhecidas como barrinhas Cuisenaire?

cor branca

cor vermelha

3. Não; sobra um pedaço de 2 quadradinhos roxos.

cor verde-clara

cor roxa

cor amarela

cor verde-escura

cor preta

cor marrom

cor azul

cor alaranjada

Responda às questões no caderno.

1. Quantas vezes a barrinha vermelha cabe na barrinha marrom? 4 vezes.

2. De quantas barrinhas verde-claras eu preciso para completar duas azuis? 6

3. Três barrinhas roxas cabem exatamente em uma barrinha alaranjada? Por quê?

4. Quatro barrinhas vermelhas cabem exatamente em uma barrinha azul? Por quê?

Não; fica faltando um pedaço de 1 quadradinho para completar a barrinha azul.

Para ampliar, comentar divisões em que o quociente tem zero intercalando as ordens numéricas, por exemplo, 1 122 : 11 = 102. Utilizar o material dourado para auxiliar os estudantes na compreensão das trocas realizadas em uma divisão como essa.

Pense e responda

As questões desse boxe têm como objetivo levar os estudantes a associar a divisão de números naturais à ideia “quantas vezes cabe” e trabalhar com problemas que envolvem a divisão. Se possível, levar para a aula as barras Cuisenaire e permitir aos estudantes que realizem diferentes explorações.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco exploram a resolução e elaboração de problemas, envolvendo a operação de divisão.

Depois de os estudantes resolverem a atividade 4, é interessante explorar a mesma situação-problema com outros dados em que a divisão não seja exata.

Perguntar aos estudantes quantas viagens serão necessárias para levar 370 pessoas, por exemplo. É provável, que alguns estudantes respondam que são necessárias 8 viagens. Nesse caso, perguntar a eles o que significa o resto 10 nessa divisão. É esperado que os estudantes percebam que sobraram 10 pessoas, portanto é necessário fazer 9 viagens para possibilitar o transporte de todos os passageiros.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em uma festa junina, a barraca de Antônio oferece 5 pontos ao participante cada vez que ele acerta o alvo. Caio adorou a brincadeira e conseguiu 75 pontos.

Quantas vezes Caio acertou o alvo?

15 vezes.

2. Lia se desfez de sua coleção e entregou 184 miniaturas de brinquedos para distribuir igualmente entre mim e minhas 3 irmãs. Quantas miniaturas cada uma de nós vai receber?

6. Um elevador pode carregar, no máximo, 560 quilogramas. Na fila para entrar nesse elevador, há um grupo de pessoas que “pesam”, juntas, 6 160 quilogramas. Quantas viagens, no mínimo, esse elevador deve fazer para transportar, com segurança, todas essas pessoas?

11 viagens.

7. Gláucia fez compras na loja Compra Feliz e gastou 476 reais.

3. Em um restaurante, a despesa de um grupo de 8 pessoas foi 344 reais. Sabendo que todos darão a mesma quantia para pagar a conta, determine o valor que cada um pagará.

4. Um ônibus leva apenas passageiros sentados e tem capacidade para transportar 45 passageiros. Quantas viagens serão necessárias para levar 270 pessoas?

46 miniaturas. 43 reais. 6 viagens.

5. Mara bolou um desafio para os colegas de turma. Resolva o desafio você também. 338

Em cada ficha está escrito o mesmo número.

Quantos cupons Gláucia ganhou e quantos reais ela precisa gastar para receber um novo cupom?

8. (OBM) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela?

a) 11 b) 20 c) 21 d) 31 e) 41

Se a soma dos números escritos nas fichas é 1 352, qual é o número escrito em cada ficha?

9. El abore um problema envolvendo divisão com números naturais, cujo quociente também seja um número natural, e troque com um colega para que um resolva o problema elaborado pelo outro. Em seguida, verifiquem se as soluções estão corretas e expliquem, um ao outro, o passo a passo que utilizaram.

9 cupons; 24 reais. Alternativa a. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Compra feliz! A cada 50 reais gastos receba um cupom para osorteio!grande

RELAÇÃO FUNDAMENTAL DA DIVISÃO

Considere as divisões indicadas a seguir.

a) 48 : 3 48 3 18 16 0

b) 50 : 3 50 3 20 16 2

Observe que: 48 = 3 ? 16 + 0

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

O objetivo das atividades desse bloco é propiciar aos estudantes relacionar a divisão e a multiplicação por meio da relação fundamental da divisão: dividendo = divisor quociente + + resto

Observe que: 50 = 3 16 + 2

divisor dividendo

dividendo = divisor ? quociente + resto

Essa igualdade é chamada relação fundamental da divisão Considere, agora, a seguinte questão:

• Em uma divisão não exata, o divisor é 7, o quociente é 13, e o resto é 5. Determinar o dividendo. Chamando o dividendo de n, teremos:

n 7 5 13

O dividendo procurado é 96.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

n = 7 ? 13 + 5

n = 91 + 5

n = 96

1. Observe as divisões e determine o valor do número natural n em cada uma delas.

Assegurar que todos os estudantes compreendam essa relação. Orientar os estudantes a analisar as situações apresentadas na atividade 1. É esperado, no item a, que os estudantes percebam que, se o número 7 for multiplicado por 9 e ao resultado adicionarmos 2, será obtido o número n: 7 ? 9 + 2 = n

Portanto:

n = 65

Para responder à atividade 4, os estudantes mobilizam conhecimentos referentes aos termos da divisão.

2. Em uma divisão exata, o divisor é 45 e o quociente é 17. Qual é o dividendo? 765

3. Uma escola recebeu uma caixa com certa quantidade de laranjas para a merenda das crianças. Essa quantidade foi repartida igualmente entre as 6 salas da escola; cada sala recebeu 35 laranjas, e ainda restaram 5 laranjas na caixa. Quantas laranjas havia inicialmente na caixa? 215 laranjas.

4. Qual é o dividendo em uma divisão em que o divisor é 12, o quociente é 9 e o resto é o maior possível? 119

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da divisão

Além das propriedades apresentadas, é interessante explicar que propriedades válidas para a multiplicação não são válidas para a divisão.

Essa compreensão é importante para eles, pois, uma vez notada uma relação entre a divisão e a multiplicação (a primeira como a operação inversa da segunda), os estudantes podem supor, erroneamente, que as mesmas propriedades podem ser aplicadas.

Dessa maneira:

• Propriedade associativa

Na divisão, essa propriedade não é satisfeita, pois:

(a : b) : c é diferente de a : (b : c), com b e c diferentes de 0 e a, b e c diferentes de 1.

Exemplo: (15 : 5) : 3 = 1 e 15 : (5 : 3) = 9; 1 5 9

• Propriedade comutativa

Na divisão, essa propriedade não é satisfeita, pois:

a : b é diferente de b : a, com a e b diferentes de 0 e a e b diferentes de 1.

Exemplo: 15 : 3 = 5 é diferente de 3 : 5, cujo quociente é decimal.

Registrar as propriedades da divisão no mesmo quadro sugerido nas Orientações didáticas da página 37 desta Unidade para as propriedades da adição e na página 52 para as propriedades da multiplicação. Dessa maneira, os estudantes podem consultá-lo, sempre que necessário.

PROPRIEDADES DA DIVISÃO

1 Nem sempre é possível a divisão de um número natural por outro número natural.

5 0

Não existe número que multiplicado por 0 dê 5. Logo, não existe divisão por zero

2 Nem sempre a divisão de um número natural não nulo por outro número natural não nulo resulta em um número natural. Em casos como esse dizemos que a divisão não é exata.

5 2 1 2 No conjunto dos números naturais, não existe um número que multiplicado por 2 dê 5.

3 Quando o dividendo é 0 e o divisor é um número natural diferente de 0, o quociente é 0.

0 5 0 0 Qual é o número que multiplicado por 5 dá zero? É o próprio zero.

4 Quando o dividendo e o divisor são números naturais iguais e não nulos, o quociente é 1.

Responda às questões no caderno.

1. Não é possível efetuar, no conjunto dos números naturais (N), uma das divisões a seguir. Qual é essa divisão?

8 : 0

3. Em uma divisão exata, o dividendo é 32 e o divisor é 8. Se eu multiplicar o dividendo por 5, por qual número natural deverei multiplicar o divisor para que o quociente seja o mesmo da divisão anterior e a divisão continue exata? 5

4. Escreva três exemplos de divisão de um número natural não nulo por outro número natural não nulo cujo quociente não é um número natural.

5. Em uma divisão exata, o dividendo é 120 e o divisor é 20. Se o divisor for dividido por 4, por qual número natural se deve dividir o dividendo para que o quociente da divisão seja o mesmo da divisão anterior e a divisão continue exata? 4

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4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Qual destas divisões tem 0 como resultado?

POTENCIAÇÃO

PENSE E RESPONDA b) 25 b) 729

Responda às questões no caderno.

1. Quantos quadradinhos há em cada figura? Use a multiplicação para calcular. a) 9

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Potenciação

Este quinto capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA03, com mais ênfase nas situações que envolvem as ideias da potenciação.

A potenciação está presente em situações de cálculo numérico, algébrico e geométrico. É fundamental saber interpretá-la nessas várias situações.

2. Use a multiplicação para calcular quantos cubinhos há em cada figura. a) 125

Verificar se algum estudante comete o equívoco de, ao resolver uma potenciação, multiplicar o número indicado na base pelo número indicado no expoente. Se isso ocorrer, retomar com eles a explicação de uma potência ser o resultado na operação de potenciação para indicar uma multiplicação de fatores iguais.

Pense e responda

Com apoio visual de figuras, nesse boxe é introduzida a ideia da potenciação: produto de fatores iguais.

3. Observe as multiplicações que você fez nos exercícios anteriores. O que você pode notar em relação aos fatores de cada multiplicação? Todos os fatores são iguais.

Considere as situações a seguir.

1 Como representar matematicamente a quantidade de casas de um tabuleiro de xadrez?

São 8 linhas e 8 colunas de casas. Para representar a quantidade total de casas, fazemos:

8 ? 8

2 fatores

Essa associação com a Geometria pode justificar os termos “quadrado” e “cubo” para os expoentes 2 e 3.

Ressaltar para os estudantes essas associações para que compreendam o significado desses termos.

Podem ser desenvolvidas atividades que envolvam o uso de materiais manipulativos, desenhos ou esquemas para que essas ideias sejam assimiladas pelos estudantes de maneira mais significativa.

Caso haja necessidade, providenciar papel quadriculado e cubinhos que podem ser do material dourado, por exemplo, para possibilitar que os estudantes realizem a atividade manipulando esses materiais.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

BZBZ/SHUTTERSTOCK.COM Tabuleiro de xadrez.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É interessante explorar a operação potenciação por meio de situações como a apresentada nessa página do Livro do estudante. Por exemplo:

• Em um estacionamento há 4 automóveis; em cada automóvel há 4 rodas e em cada roda há 4 parafusos. Qual é o total de parafusos desses 4 automóveis?

• Um fazendeiro armazena as laranjas na fazenda dele em caixas com formato cúbico. Em cada caixa, podem ser colocadas 5 laranjas no comprimento, 5 laranjas na largura e 5 laranjas na altura. Quantas laranjas podem ser armazenadas em 5 caixas dessas?

Observar as estratégias dos estudantes para resolver esses problemas. É possível que alguns estudantes optem por fazer desenhos ou esquemas e outros optem por manipular materiais para auxiliá-los no cálculo. Depois, associar essas atividades com a representação de uma potenciação.

Em Matemática, existe outra maneira de representar multiplicações em que todos os fatores são iguais. Por exemplo, na situação vista anteriormente, o cálculo 8 ? 8 também pode ser indicado assim: 82

Então: 8 8 = 82

2 O prédio onde Jacira mora tem 4 andares. Em cada andar há 4 apartamentos. Para cada apartamento há 4 vagas na garagem. Como posso representar a quantidade de vagas na garagem desse prédio? A representação da quantidade de vagas pode ser feita assim:

4 ? 4 ? 4

3 fatores

Ou, de outra maneira: 43

Então: 4 4 4 = 43

Os números representados por 82 e 43 são chamados potências

Por exemplo, para saber quantas casas há no tabuleiro de xadrez, calculamos: expoente

82 = 8 ? 8 = 64

base 2 fatores potência (resultado da operação)

• O 82 é a indicação de uma nova operação, chamada potenciação

• O 8, que se repete como fator, é chamado base

• O 2, que indica a quantidade de vezes que o mesmo fator se repete, é chamado expoente

• O 64, resultado da operação, é chamado potência expoente

4 3 = 4 ? 4 ? 4 = 64

3 fatores base potência (resultado da operação)

• O 43 indica a operação de potenciação

• O 4, fator que se repete, é a base

• O 3, que indica a quantidade de vezes que o fator se repete, é chamado expoente

• O 64, resultado da operação, é chamado potência

IMAGEM

O QUADRADO DE UM NÚMERO

Quando, em uma potência, o expoente é igual a 2, dizemos que a base está “elevada ao quadrado”.

Considere a representação geométrica de alguns números elevados ao quadrado.

12 = 1 ? 1 = 1

12 Lemos: um elevado ao quadrado, ou o quadrado de um, ou um elevado à 2a potência.

22 = 2 2 = 4

22 Lemos: dois elevado ao quadrado, ou o quadrado de dois, ou dois elevado à 2a potência.

32 = 3 3 = 9

32 Lemos: três elevado ao quadrado, ou o quadrado de três, ou três elevado à 2a potência.

O CUBO DE UM NÚMERO

Quando, em uma potência, o expoente é igual a 3, dizemos que a base está “elevada ao cubo”. Considere a representação geométrica de alguns números elevados ao cubo.

13 = 1 1 1 = 1

13 Lemos: um elevado ao cubo, ou o cubo de um, ou um elevado à 3a potência.

23 = 2 2 2 = 8

23 Lemos: dois elevado ao cubo, ou o cubo de dois, ou dois elevado à 3a potência.

33 = 3 3 3 = 27

33

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O quadrado de um número

Para ampliar o conteúdo dessa página, providenciar folhas de papel reciclado e distribuir para a turma, organizando-os em duplas.

Pedir a um dos estudantes de cada dupla que dobre uma folha ao meio e ao outro que preencha um quadro com o número de partes obtidas após desdobrar a folha e o vinco a dividir em partes menores. Orientá-los a repetir esse procedimento pelo menos cinco vezes. A seguir, ver exemplo de quadro preenchido.

Lemos: três elevado ao cubo, ou o cubo de três, ou três elevado à 3a potência.

Quando o expoente é maior do que 3, não temos como representar geometricamente a potência. Assim, a leitura fica como nos exemplos a seguir.

• 24 dois elevado à 4 a potência ou a 4 a potência de dois

• 105 dez elevado à 5a potência ou a 5a potência de dez

Depois, pedir aos estudantes que respondam qual é a relação entre o número que indica a quantidade de dobras feitas na folha e o número que indica a quantidade de partes obtidas. Questionar como representar os números indicados no quadro utilizando uma potenciação e pedir que indiquem a base, o expoente e a potência.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observações

É interessante pedir aos estudantes que façam observações sobre a operação de potenciação.

Solicitar a eles que façam um quadro com algumas sequências, por exemplo:

15 = 25 = 35 = 45 =

14 = 24 = 34 = 44 =

13 = 23 = 33 = 43 =

12 = 22 = 32 = 42 =

11 = 21 = 31 = 41 =

10 = 20 = 30 = 40 =

Pedir aos estudantes que calculem as potências do quadro.

Em seguida, solicitar que destaquem, no quadro, as potências cujo expoente é 1.

Perguntar a eles o que podem afirmar. Espera-se que percebam a relação entre a base e o resultado da operação: todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Fazer o mesmo para as potências cujo expoente é 0 (zero). Espera-se que percebam a relação entre a base e o resultado da operação: todo número natural, diferente de zero, elevado a 0 (zero) é igual a 1.

Essas e outras explorações que levem os estudantes à percepção de regularidades favorecem que eles assimilem as propriedades da potenciação.

OBSERVAÇÕES

• Todo número natural elevado a 1 é igual a ele mesmo. 11 = 1 21 = 2

• Todo número natural, diferente de zero, elevado a zero é igual a 1.

• Toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.

As potências de base 10 são úteis para escrever ou calcular números muito grandes. Assim, o raio da Terra, de aproximadamente 6 4 00 0 00 metros, pode ser indicado por 64 105 metros porque:

6 400 000 = 64 100 000 = 64 105

USANDO A CALCULADORA

Observe como calcular potências usando uma calculadora! Para calcular 34 podemos teclar:

3 x 3 x 3 x 3 = 81

Em algumas calculadoras também é possível calcular 34 assim:

3 x = = =

Isto é, a operação “multiplicar por 3” é fixada teclando-se:

3 x

Depois, basta apertar mais 3 vezes a tecla = para obter o valor de 34

Calculadora. Algumas calculadoras têm teclas para calcular o quadrado de um número: x2

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Registre a expressão “um produto de quatro números iguais a cinco” das duas maneiras diferentes que você aprendeu. Quais são essas maneiras?

2. Escreva, de outra maneira, a expressão a seguir, usando apenas os números

20 e 9. 209 20 ? 20 ? 20 ? ... ? 20

9 fatores

3. Calcule.

a) 25 32

b) 37 2 187

c) 110 1

9. Calcule usando uma calculadora.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

d) 150 1

e) 0100 0 f) 106

4. Usando o símbolo . ou ,, compare as potências.

a) 52 e 25 52 , 25

b) 74 e 103 74 . 103

c) 43 e 29 43 , 29

d) 110 e 101 110 , 101

5. Se o valor de uma potência de base 10 é 100 000, qual é o expoente dessa potência? 5

6. Represente geometricamente:

a) 52 b) 82 c) 102 d) 112

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

7. Você pode afirmar que as expressões a seguir representam a mesma quantidade? Justifique.

132 e 122 + 52 Sim; 169 = 144 + 25.

8. Primeiro calcule. Depois, escreva os resultados por extenso.

a) 4 107

b) 9 105 c) 106 d) 2 103

8. a) Quarenta milhões. b) Novecentos mil. c) Um milhão. d) Dois mil.

a) 272

b) 113 c) 68 d) 134 e) 205 f) 510

10. Se você elevar o número 6 a um expoente n, encontrará 216. Qual é o valor do expoente n? 3

11. Sabe-se que a velocidade da luz no vácuo é de aproximadamente 3 ? 10 8  metros por segundo, e 1 000 metros equivalem a 1 quilômetro. Quantos quilômetros a luz percorre em um segundo?

12. Utilizando a calculadora, calcule:

O objetivo das atividades desse bloco é oportunizar que os estudantes apliquem os conteúdos estudados sobre potenciação.

Organizar a turma em duplas para realizar as atividades e incentivar a troca de ideias.

Para a atividade 6, é preciso providenciar folhas de papel quadriculado.

Na atividade 11, ressaltar que a potência de base 10 é muito utilizada na escrita para representar grandes distâncias.

a) 56

b) 65 c) 97 d) 79 e) 210 f) 220

13. Observe a sequência.

1 = 12

1 + 3 = 4 = 22 (soma dos dois primeiros números ímpares)

1 + 3 + 5 = 9 = 32 (soma dos três primeiros números ímpares)

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 (soma dos quatro primeiros números ímpares)

Descobriu qual é a regra de formação dessa sequência? Então, sem fazer desenhos, dê o resultado da soma:

a) dos 20 primeiros números ímpares naturais.

b) dos 100 primeiros números ímpares naturais.

14. Elabore uma questão envolvendo potenciação com base e expoente sendo números naturais. Em seguida, entregue-a para um colega resolvê-la.

Na atividade 13, espera-se que os estudantes percebam que a cada nova figura de quadrado, há uma nova linha e uma nova coluna acrescentadas.

A atividade 14 explora a elaboração de questão. Espera-se que os estudantes elaborem questões envolvendo multiplicações sucessivas, como cálculos de áreas e volumes, por exemplo.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aproximação e estimativa

Nesse tópico, são apresentadas diversas abordagens para resolver problemas envolvendo a aproximação de números para facilitar cálculos e para estimar resultados. Além disso, o estudante será convidado a interpretar e a utilizar um fluxograma das etapas de arredondamento de um número. Essas propostas favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA04 e EF06MA12, bem como da competência específica 6 da área de Matemática.

Pense e responda Conversar com os estudantes sobre as aproximações apresentadas na lista. Discutir os motivos que levaram Lucas a arredondar o valor para a dezena inteira anterior ao valor em alguns momentos e em outros a arredondar para a dezena inteira posterior ao valor. Espera-se que a turma perceba que, quando o algarismo das unidades estava entre 0 e 4, Lucas fez o arredondamento para baixo. Já para os valores cujos algarismos das unidades ficavam entre 5 e 9, Lucas fez o arredondamento para cima.

Ao calcular o valor exato da compra, os estudantes vão perceber que o resultado se aproxima do valor estimado.

Pedir aos estudantes que explicitem as vantagens da aproximação de números, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF06MA12 e, também, da capacidade de argumentação

Saiba que

Destacar para os estudantes que a aproximação de um número para o múltiplo da potência de 10 mais próximo também pode ser chamada arredondamento.

APROXIMAÇÃO E ESTIMATIVA

PENSE E RESPONDA

Antes de pagar as compras no supermercado, Lucas fez uma estimativa do valor total a ser pago. Para isso, ele arredondou os valores dos produtos. Observe como ele fez.

Lista de compras

item preço

500 ml de azeite 18 reais + 20

20 litros de água 26 reais + 30

1 kg de muçarela 44 reais + 40

1 kg de uvas 23 reais + 20

3 litros de sabão líquido 35 reais + 40

168 reais. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que a estimativa foi razoável, pois a diferença em relação ao valor exato é pequena.

Responda no caderno. Supondo que Lucas tenha comprado cada um desses itens, qual foi o valor exato pago pela compra? Em seu entendimento, a estimativa feita por Lucas foi razoável?

Utilizar aproximações e estimativas pode facilitar a previsão e a conferência de resultados matemáticos. Além disso, em geral, contribui para a comunicação mais simplificada de uma informação, como exemplificado na seguinte situação.

Na final do campeonato, havia 53 mil pessoas no estádio.

Na maioria das vezes, afirmações como essa indicam um valor aproximado do público no estádio, em vez do valor exato.

SAIBA QUE

Para fazer uma aproximação, identificamos o múltiplo da potência de 10 mais próximo do número considerado. Quando fazemos uma aproximação ou arredondamento, devemos primeiro escolher a ordem do número (unidade, dezena, centena etc.) a ser considerada para obter o múltiplo de uma potência de 10. Verifique, na situação inicial, que Lucas arredondou os preços para a dezena exata mais próxima.

64

64 01/09/22 11:53

Observe a seguir um esquema que pode ser utilizado para obter a aproximação de um número dado.

Início: Escolher a ordem do número a ser considerada (para qual múltiplo de uma potência de 10 ele vai ser arredondado).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Observar o primeiro algarismo à direita do algarismo da ordem escolhida.

Manter o algarismo da ordem escolhida.

Não. Sim.

Substituir por 0 (zero) todos os algarismos à direita da ordem escolhida.

Fim: Aproximação obtida.

Esse esquema é conhecido como fluxograma

Adicionar 1 ao algarismo da ordem escolhida.

Fazer com os estudantes a leitura do fluxograma apresentado nessa página do Livro do estudante. Esse fluxograma sintetiza as etapas relacionadas ao processo de arredondamento de determinado número para a ordem escolhida pelo estudante, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades EF06MA04 e EF06MA12, da competência geral 3 e do pensamento computacional Retomar o conceito de ordem, caso seja necessário.

Propor alguns exemplos na lousa e pedir aos estudantes que, em duplas, aproximem os números para a dezena mais próxima.

Observe alguns exemplos e, com um colega, confiram os arredondamentos, de acordo com o passo a passo indicado no fluxograma anterior.

• Arredondamento para a dezena exata mais próxima.

71 podemos arredondar para 70;

385 podemos arredondar para 390;

4 147 podemos arredondar para 4 150.

• Arredondamento para a unidade de milhar exata mais próxima:

2 808 podemos arredondar para 3 000;

8 165 podemos arredondar para 8 000;

75 607 podemos arredondar para 76 000.

SAIBA QUE

Fluxograma é uma representação gráfica de uma sequência/procedimento lógico, usualmente formado por setas e figuras geométricas. Observe o que cada um dos elementos dessa representação indica.

Indica o início e o fim do fluxograma. Indica a direção do fluxo e conecta duas etapas (elementos) do fluxograma.

Indica uma tarefa a ser realizada.

Indica que uma decisão precisa ser tomada. A direção que o fluxo seguirá depende dessa decisão.

Se julgar pertinente, escrever números da ordem dos milhares e solicitar que façam o arredondamento para a dezena exata mais próxima, ou para a centena exata mais próxima, ou ainda, para a unidade de milhar exata mais próxima etc.

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ARREDONDAMENTO para a dezena mais próxima. Khan Academy. [S. l.], [2017?]. Disponível em: https://pt.khanacademy.org/math/arithmetic-home/ arith-place-value/arith-rounding/v/rounding-to-the -nearest-10. Acesso em: 21 ago. 2022.

Nesse link, está disponível uma videoaula sobre arredondamento de números naturais.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propriedades da igualdade

Neste tópico os estudantes ampliam a compreensão com relação à ideia de igualdade, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF06MA14.

Atividades

As atividades propostas nesse bloco têm como objetivo desenvolver aspectos relacionados às habilidades EF06MA12 e EF06MA14.

Na atividade 1, espera-se que os estudantes percebam como, em caso de números compostos por mais ordens, o arredondamento pode facilitar a estimativa de determinado resultado. Se julgar relevante, sugerir aos estudantes que façam o cálculo exato, usando o algoritmo da subtração e, também, uma calculadora.

Na atividade 2, os estudantes precisam determinar o valor desconhecido na balança de pratos em equilíbrio, aplicando a propriedade da igualdade. Para ampliar o trabalho com essa atividade, sugere-se utilizar o recurso indicado no Ampliando desta página.

PROPRIEDADES DA IGUALDADE

Acompanhe a situação a seguir.

Júlia está poupando dinheiro para comprar um jogo e já tem 35 reais. Hoje ela ganhou 4 reais de sua mãe e guardou esse dinheiro. Podemos escrever a seguinte sentença para representar a quantia que Júlia tem.

35 + 4 = 39

Imagine que amanhã Júlia ganhe 7 reais de seu avô e junte esse valor à quantia que já tinha. Para descobrir a nova quantia de Júlia, podemos calcular:

35 + 4 + 7 = 46 ou 39 + 7 = 46

Observe que esses dois cálculos têm resultados iguais e podemos escrever:

35 + 4 + 7 = 39 + 7

Quando adicionamos um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, ela não se altera. Além disso, uma igualdade também não se altera se subtraímos dos dois membros um mesmo número. Por exemplo:

125 + 23 + 52 = 148 + 52 125 + 23 48 = 148 48

Além disso, quando multiplicamos os dois membros de uma igualdade por um mesmo número, ela não se altera. Do mesmo modo, uma igualdade também não se altera se dividimos os dois membros por um mesmo número. Por exemplo: 2 (12 + 3) = 2 15 (12 + 3) : 5 = 15 : 5

Podemos utilizar essas propriedades para descobrir um valor desconhecido em uma igualdade.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Há dez anos um município tinha 2 993 475 habitantes. Hoje ele tem 4 238 592. Arredonde esses números para a unidade de milhão exata mais próxima e calcule a diferença entre essas quantidades.

2. Observe a balança em equilíbrio. Qual é a massa do cubo? 10 kg

3. Elabore um problema envolvendo cálculos com números naturais e troque com um colega para que um resolva o problema elaborado pelo outro. Vocês podem se inspirar nas situações das atividades anteriores.

1 000 000 ou 1 milhão. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção

AMPLIANDO

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Link

POLYPAD. The Mathematical Playground. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.mathigon.org/polypad. Acesso em: 21 ago. 2022.

Nesse link, nas opções à esquerda na tela, na aba Arquivo, no item Álgebra, na opção Escala de equilíbrio, explorar com os estudantes propriedades da igualdade, atribuindo valores aos símbolos que podem ser colocados e retirados nos pratos da balança desse recurso virtual.

Resoluções comentadas deste Manual.

DISTRIBUIÇÃO DA POPULAÇÃO RESIDENTE EM ÁREAS INDÍGENAS NO BRASIL EM 2020

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) promoveu em 2020 um estudo de estatística experimental para promover ações de enfrentamento à pandemia da covid-19. Esse estudo buscou verificar o dimensionamento de população residente em áreas indígenas e quilombolas e mostrou que no Brasil havia, em 2020, 1 108 970 pessoas residindo em áreas indígenas. No entanto, o IBGE recomendou, naquela ocasião, que os dados fossem utilizados com cautela pelo fato de estarem em fase de teste e avaliação.

A tabela a seguir apresenta a distribuição da população residente em áreas indígenas por região brasileira.

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFA E ESTATÍSTICA. Dimensionamento emergencial de população residente em áreas indígenas e quilombolas para ações de enfrentamento à pandemia provocada pelo coronavírus – 2020: Tabela 1. IBGE. Rio de Janeiro, 2020. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/ populacao/31876-dimensionamento-emergencial-de-populacao-residente-em-areas-indigenas-e-quilombolas-para -acoes-de-enfrentamento-a-pandemia-provocada-pelo-coronavirus.html?=&t=resultados. Acesso em: 10 ago. 2022.

Dimensionamento da população residente em áreas indígenas – 2020

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Por toda parte

O texto da seção traz dados dimensionados das populações indígena e quilombola no Brasil, em 2020.

Há um destaque para o uso cauteloso dessas informações, pelo fato de estarem em fase de teste e avaliação.

As questões propostas referem-se à leitura da tabela que sistematiza os dados, por região do país.

Na questão 1, os estudantes precisam comparar os dados das cinco regiões brasileiras, identificando em qual delas há a maior população indígena. Já a resposta à questão 2 requer que os estudantes interpretem o texto.

Elaborada com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Dimensionamento emergencial de população residente em áreas indígenas e quilombolas para ações de enfrentamento à pandemia provocada pelo coronavírus – 2020: Tabela 1. IBGE. Rio de Janeiro, 2020. Disponível em: https://www.ibge.gov.br/estatisticas/investigacoes -experimentais/estatisticas-experimentais/31876-dimensionamento -emergencial-de-populacao-residente-em-areas-indigenas-e-quilombolas -para-acoes-de-enfrentamento-a-pandemia-provocada-pelo-coronavirus. html?=&t=resultados. Acesso em: 22 ago. 2022.

Responda às questões no caderno.

Indígenas da etnia Kayapó da aldeia Moikarako participam da dança da mandioca. Terra Indígena Kayapó em São Félix do Xingu (PA), 2016.

1. De acordo com o estudo, em qual região se encontrava a maior população residente em áreas indígenas no Brasil em 2020? Região Norte.

2. Qual era o total de pessoas residindo em áreas indígenas no Brasil, em 2020, de acordo com estudo feito pelo IBGE? 1 108 970 pessoas.

3. Em 2020, qual era a diferença numérica entre a soma da população indígena residente nas regiões Nordeste, Sul, Sudeste e Centro-Oeste e a população indígena residente na região Norte? Escreva esse valor por extenso. Onze mil, setecentos e oitenta e quatro.

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26/08/22 20:04 AMPLIANDO

Link

BRASIL. Ministério da Saúde; FUNDAÇÃO OSWALDO CRUZ. Povos indígenas no contexto da covid-19

Rio de Janeiro: Fiocruz; Brasília, DF: MS, 2020. Disponível em: https://www.fiocruzbrasilia.fiocruz.br/wp -content/uploads/2020/05/cartilha_povos_indigenas.pdf. Acesso em: 21 ago. 2022.

Nesse link, encontra-se disponível uma cartilha na qual constam aspectos relacionados ao contexto da saúde mental e psicossocial dos povos indígenas. Caso queira debater essa temática com os estudantes essa é uma fonte interessante de pesquisa.

Por fim, na questão 3, os estudantes adicionam as quantidades referentes às populações das quatro regiões (Nordeste, Sudeste, Centro-Oeste e Sul) e comparam a soma obtida ao total da população da Região Norte.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Expressões numéricas

Este sexto capítulo favorece aspectos relacionados ao desenvolvimento da habilidade EF06MA14.

As expressões numéricas são apresentadas como parte da linguagem matemática que auxilia a expressar raciocínios envolvendo operações matemáticas. Nesse sentido, para os estudantes compreenderem o uso dos sinais que aparecem nas expressões numéricas, é interessante explorar atividades em que a posição desses símbolos seja modificada.

Resolver expressões numéricas é um conhecimento importante e necessário para o desenvolvimento do aprendizado da Matemática. É importante explicar a eles que uma expressão numérica pode representar uma situação-problema e o resultado dessa expressão é a resposta desse problema.

Iniciar fazendo com os estudantes a leitura das situações do Livro do estudante.

É importante ressaltar que, quando a expressão numérica contém apenas adições e subtrações, as operações são realizadas na ordem em que aparecem, da esquerda para a direita.

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Podemos definir uma expressão numérica como a representação numérica de uma dada situação. Acompanhe o exemplo.

1 Tiago recebeu 30 reais de mesada. Gastou 3 reais na compra de um gibi e 5 reais na excursão da escola. Felizmente, ele recebeu os 7 reais que havia emprestado a Edu, pois assim comprou um presente de aniversário para sua mãe no valor de 25 reais. Será que ainda sobrou dinheiro com Tiago?

Vamos expressar essa situação de duas maneiras:

Primeira maneira

• A mesada menos o valor do gibi: 30 3 = 27

• O que sobrou menos o valor da excursão: 27 5 = 22

• O que sobrou mais o que Edu pagou: 22 + 7 = 29

• Esse total menos o presente da mãe: 29 25 = 4 Segunda

mesada excursão presente da mãe

gibi Edu

Assim, ainda sobraram 4 reais para Tiago. Agora, observe a situação a seguir.

2 Fernanda coleciona figurinhas. Ao comprar o álbum, ela recebeu 45 figurinhas de brinde, das quais 6 eram repetidas. No mesmo dia em que comprou o álbum, o pai de Fernanda comprou para ela 20 figurinhas, das quais 3 eram repetidas. Mais tarde, ela trocou 7 figurinhas com seu amigo André. Depois ela colou as figurinhas no álbum, deixando sem colar somente as repetidas. Quantas figurinhas Fernanda colou no álbum?

Vamos representar numericamente a situação acima diretamente na forma de uma expressão numérica:

Assim, verificamos que Fernanda colou 63 figurinhas no álbum.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O USO DOS PARÊNTESES

Podemos utilizar parênteses ao escrever expressões numéricas a fim de organizá-las de outras maneiras. Quando esse for o caso, devemos inicialmente efetuar as operações no interior dos parênteses. Vamos rever a primeira situação da página anterior, agora utilizando os parênteses.

calcular a diferença ganhos gastos

Se considerar interessante, explorar alguns exemplos realizando o cálculo da expressão numérica sem seguir nenhuma regra e, depois, resolvê-la seguindo as regras de ordem de resolução das operações em uma expressão numérica.

(30 + 7) (3 + 5 + 25) = 37 33 = 4

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO E MULTIPLICAÇÃO

Uma escola comprou várias caixas de lápis de cor para serem distribuídas entre cinco turmas. Cada turma recebeu 6 caixas com 6 lápis de cor, 8 caixas com 12 lápis de cor e 1 caixa com 24 lápis de cor.

Para descobrir quantos lápis de cor cada turma recebeu, fazemos os seguintes cálculos:

6 x 6 + 8 ? 12 + 24 = 36 + 96 + 24 = 156

Cada turma recebeu 156 lápis de cor.

Na expressão 6 ? 6 + 8 ? 12 + 24 aparecem multiplicações e adições. Observe que, para calcular o resultado, efetuamos as multiplicações antes das adições.

Nas expressões em que aparecem as operações de multiplicação, de adição e de subtração, efetuamos as operações na seguinte ordem:

• primeiro as multiplicações;

• depois as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita.

Observe como calculamos o valor de algumas expressões numéricas.

1 Determinar o valor da expressão 7 + 9 ? 6.

7 + 9 ? 6 = 7 + 54 = 61

2 Qual é o valor da expressão numérica 3 7 + 9 4 5?

3 7 + 9 4 5 = 21 + 9 20 = 30 20 = 10

6 6 + 8 12 + 24

• Sem o uso da ordem das regras os estudantes realizam as operações conforme elas se apresentam. Por exemplo:

6 6 + 8 12 + 24 = 36 + + 8 ? 12 + 24 = 44 ? 12 + + 24 = 528 + 24 = 552 (resultado incorreto)

• Com o uso da ordem das regras, os estudantes realizam primeiro as multiplicações e, depois, as adições e subtrações, na ordem em que aparecem da esquerda para a direita.

6 6 + 8 12 + 24 = = 36 + 96 + 24 = 156 (resultado correto)

Apresentar aos estudantes a seguinte situação-problema:

• Isabella ganhou 1 cédula de R $ 50,00 da mãe e 5 cédulas de R $ 20,00 do pai. Quanto Isabella ganhou dos pais?

Uma maneira de representar essa situação matematicamente pode ser a expressão:

50 + 5 ? 20 = 150

No contexto dessa situação, a primeira operação a ser realizada deve ser a multiplicação; a adição deve ser realizada em seguida.

Se a adição fosse realizada antes da multiplicação, resultaria em 1 100, que não faz sentido no contexto do enunciado do problema.

Portanto, entender o contexto em que uma expressão está inserida facilita o processo de validação do resultado obtido.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Conversar com os estudantes sobre a particularidade de resolver primeiro a multiplicação, conforme visto anteriormente. Dizer aos estudantes que se trata de uma convenção matemática também aplicada às divisões. Dessa maneira a divisão deve ser resolvida antes da adição e da subtração.

É importante ressaltar aos estudantes que, quando uma expressão numérica contém parênteses, significa que devemos iniciar calculando as operações que constam nos parênteses seguindo a ordem de resolução da ordem das operações.

Uma maneira de tornar o estudo da expressão numérica mais interessante é a utilização de jogos. Problematizar, contextualizar e utilizar atividades lúdicas são estratégias que podem ajudar no processo de ensino e aprendizagem da Matemática.

Dessa maneira, os estudantes conseguem perceber as relações matemáticas envolvidas no jogo de maneira prazerosa.

Se optar por essa abordagem, depois da aplicação do jogo ou da atividade feita, é importante realizar a formalização do conceito abordado.

O uso dos parênteses

Observe as expressões numéricas, todas “montadas” com os mesmos valores, mas algumas com parênteses colocados em lugares diferentes:

• 80 6 7 + 5 =

= 80 42 + 5 =

= 38 + 5 = 43

• 80 (6 7 + 5) =

= 80 (42 + 5) = = 80 47 = 33

• (80 6) (7 + 5) = = 74 ? 12 = = 888

Observe como a colocação dos parênteses influiu no valor de cada um dos exemplos.

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Para calcular o valor de uma expressão numérica em que há adição, subtração, multiplicação e divisão, obedecemos à ordem a seguir:

• primeiro, as divisões e as multiplicações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita;

• depois, as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem, da esquerda para a direita. Observe:

O uso dos parênteses

As operações no interior dos parênteses devem ser resolvidas sempre em primeiro lugar, obedecendo à ordem estabelecida anteriormente.

Acompanhe como a presença dos parênteses em uma expressão na qual aparecem os mesmos números influi no resultado.

RESOLVENDO EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM TODAS AS OPERAÇÕES

Para calcular o valor de uma expressão numérica em que apareçam potenciação, divisão, multiplicação, adição e subtração, efetuamos essas operações na seguinte ordem:

• primeiro as potenciações;

• depois, as divisões e as multiplicações, na ordem em que aparecerem (da esquerda para a direita);

• finalmente, as adições e as subtrações, na ordem em que aparecerem (da esquerda para a direita).

Não podemos esquecer, ainda, que operações no interior dos parênteses devem ser resolvidas antes, obedecendo à ordem estabelecida anteriormente.

Acompanhe os exemplos.

1 24 : 4 + 32 ? 10 = = 16 : 4 + 9 10 =

= 4 + 90 = = 94

UTILIZANDO A CALCULADORA PARA RESOLVER EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Para resolver expressões numéricas com uma calculadora, podemos utilizar o recurso da memória.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Resolvendo expressões numéricas com todas as operações

Orientar os estudantes a observar que a colocação dos parênteses em lugares diferentes de uma expressão pode alterar o resultado. É oportuno propor uma atividade em que eles percebam as regras de aplicação dos sinais de associação.

Essa atividade pode ser realizada em parceria com o professor de Língua Portuguesa, por exemplo, demonstrando como o uso da pontuação em frases muda o sentido do texto.

Para ampliar o conteúdo apresentado no Livro do estudante, apresentar a seguinte situação. Felipe, com uma calculadora, multiplicou 17 por 15. Subtraiu 3 do resultado. Dividiu o que obteve por 6. Adicionou o resultado a 2. Multiplicou o obtido por 4. Obteve como resultado o número 34.

Desafiar os estudantes a escrever uma expressão numérica correspondente a essa sequência de operações.

ou MR chama a memória.

Limpa a última entrada digitada.

Limpa todos os registros.

Calculadora.

Memória aditiva.

É provável que eles escrevam as operações na ordem em que aparecem no texto:

17 ? 15 3 : 6 + 2 ? 4

Perguntar a eles se a multiplicação e a divisão foram realizadas na ordem em que aparecem.

Questionar os estudantes se o uso dos parênteses é suficiente para resolver a questão.

A resposta esperada é:

{[(17 15 3) : 6] + 2} 4 = 176

Utilizando a calculadora para resolver expressões numéricas

Nesse momento, o uso da calculadora se torna um interessante recurso para o trabalho com as expressões numéricas.

KHURUZERO/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes têm a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as regras para a resolução de expressões numéricas.

Antes de iniciá-lo, pedir aos estudantes que confeccionem um cartaz-resumo com a ordem de resolução das operações: adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação.

Depois, solicitar que complementem o cartaz com a ordem de resolução dos sinais de associação: parênteses, colchetes e chaves.

É interessante que elaborem exemplos para ilustrar as regras no cartaz.

Usar esse momento para retomar os conceitos que envolvem as regras estabelecidas para a resolução de expressões numéricas.

Por fim, expor o cartaz em um lugar visível para que os estudantes possam fazer consultas futuras.

Acompanhar o desenvolvimento das resoluções das atividades e, sempre que necessário, fazer intervenções.

Para a atividade 9, é interessante que os estudantes utilizem as teclas de memória da calculadora. Pedir que registrem o passo a passo no caderno.

Ao término do trabalho com esta seção, sugerir aos estudantes que utilizem a calculadora para uma atividade lúdica. Solicitar que digitem uma sequência de algarismos e virem a calculadora de cabeça para baixo. Desse modo é possível formar palavras.

Para isso, cada algarismo pode ser utilizado para corresponder a uma letra do nosso alfabeto. Observe.

0 (zero): Letra O

1: Letra I

3: Letra E

4: Letra h

5: Letra S

7: Letra L

8: Letra B

9: Letra G

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Qual é o valor da expressão numérica 81 7 ? 11? 4

2. Determine a e b sabendo que: a = = 10 + 3 2; b = 10 3 + 2. Em seguida, usando o símbolo = ou 5, compare os números a e b

3. Determine o valor da expressão: 50 (6 8 + 2). 0

4. Dada a expressão numérica a seguir, determine o seu valor. (3 7 + 2 15) (81 4 20) 51

5. Observe a quantidade de pontos que uma equipe marca de acordo com a sua classificação em cada fase de uma gincana.

Pontuação por fase

Posição 1o lugar 2o lugar 3o lugar

Quantidade de pontos 25 15 10

Fonte: Dados fictícios. Nessa gincana a equipe azul chegou 5 vezes em 1o lugar, 8 vezes em 2o lugar e 2 vezes em 3o lugar.

Nessas condições:

a) Escreva uma expressão numérica para representar quantos pontos a equipe marcou nessa gincana.

b) Quantos pontos ela marcou?

6. Um número natural N é expresso por 85 : 5 + 3 15 50. Que número é N ?

7. Calcule o valor das expressões:

8. Se você colocar convenientemente os parênteses, a expressão 20 + 40   30  : 5 terá um valor igual a 22. Escreva essa expressão com os parênteses.

20 + (40 30) : 5

9. Use a calculadora para resolver estas expressões. Registre o resultado.

a) 127 (21 + 15 + 11) 80

b) 15 ? 47 + 12 ? 10 825

c) 25 12 135 : 3 339

10. Calcule o valor das expressões:

a) 72 40 + 18 : 32 10 0 10

b) (62 52) 33 102 197

c) 62 : (23 + 1) (32 5) 16

d) (7 ? 32 1) : (82 2 ? 31) 31

11. Resolva as expressões a seguir e compare os valores obtidos em cada uma.

a) 25 + 42 23 3 24

b) (25 + 42 23) 3 120

c) 25 + (42 23) ? 3 56

12. Determine o quadrado do valor de (34 26 10 0) : (52 23). 64

13. Um número natural N é expresso por 412 312 + 212. Qual é a soma dos algarismos que formam o número N ?

DESAFIO

9 Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

14. Elabore uma situação que pode ser representada na forma de uma expressão numérica. Troque a atividade criada por você com a de um colega e responda à situação elaborada por ele utilizando todos os recursos que julgar necessário (relações, propriedades, calculadora etc.). Em seguida, faça a correção da atividade elaborada por você e observe se as estratégias utilizadas pelo seu colega são válidas.

• 249 000 : 3 ? 8 290 481

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Pedir que resolvam as expressões a seguir e verifiquem a palavra que pode ser formada.

• 15 ? (70 + 55 ? 60)

• (103 ? 350) (75 ? 35) + (103 ? 140) + + (125 ? 21)

• 12 ? 14 420 ÷ 7

• 17 550 + 432 965 + 96 107

• 5 430 8 ? 199

• (114 156) + (126 89) + (135 127) + + (234 ? 77) (379 ? 36)

Respostas: ossos, olhos, boi, lesões, bebê, Gisele e lisos.

Por fim, se achar conveniente, solicitar aos estudantes que criem palavras e expressões como as que foram apresentadas.

11. As três alternativas apresentam representações de números diferentes.

O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA)

O Estatuto da Criança e do Adolescente (ECA) garante por lei os direitos e busca assegurar a proteção integral de crianças e adolescentes. Ele trata, por exemplo, do direito à vida e à saúde, à liberdade, ao respeito e à dignidade.

Além de conhecer o ECA e ter a clareza sobre quais são os direitos garantidos nesse documento, é importante perceber até onde nossa liberdade individual pode comprometer a liberdade de outras pessoas. Ou seja, devemos pensar em nossos deveres como filho(a), irmão(ã), amigo(a), estudante, vizinho(a), cidadão(ã) etc.

Leia os trechos ao lado retirados da história em quadrinhos do cartunista Mauricio de Sousa.

Depois, converse com os colegas e o professor sobre as questões a seguir.

1. Você já tinha ouvido falar sobre o ECA?

Resposta pessoal.

2. Pensando sobre direitos e deveres, é fundamental destacar respeito entre todas as pessoas. Em quais situações do dia a dia você identifica o respeito nos comportamentos das pessoas?

Resposta pessoal.

3. Será que todas as crianças e adolescentes da escola e de seu bairro conhecem o ECA? Em grupo, elaborem uma campanha, um material de divulgação ou uma atividade para divulgar os direitos e deveres da criança e do adolescente.

Resposta pessoal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fórum

É interessante começar incentivando os estudantes a expor o que eles sabem sobre direitos e deveres e, nesse caso, especificamente, perguntar se sabem quais são os direitos e os deveres garantidos às crianças e aos adolescentes, contribuindo para o desenvolvimento da argumentação

Este boxe permite aos estudantes refletirem sobre aspectos relacionados ao Tema Contemporâneo Transversal Direitos da Criança e do Adolescente

Na questão 1, perguntar o que os estudantes sabem sobre o ECA, sobre as personagens da Turma da Mônica e a respeito do escritor e desenhista Mauricio de Sousa. Solicitar que façam uma leitura individual da HQ e, ao término, pedir que destaquem os pontos apresentados no texto (linguagem verbal e não verbal) que julgaram mais relevantes ou interessantes.

Pedir aos estudantes que reflitam individualmente sobre cada questionamento na página e, se possível, abrir espaço para a socialização das reflexões. Relembrar que muitas vezes as pessoas têm opiniões e valores diferentes dos nossos e estes precisam ser ouvidos e respeitados.

Na questão 2, os estudantes são incentivados a pensar em seus direitos e deveres e, em especial, sobre o respeito entre todas as pessoas. Pedir que deem exemplos de situações em que se sentiram respeitados e, caso se sintam confortáveis, situações em que se sentiram desrespeitados.

Na questão 3, incentivá-los a elaborar uma campanha para divulgar o Estatuto da Criança e do Adolescente, com o objetivo de difundir os direitos e deveres das crianças e dos adolescentes.

Revista Turma da Monica em –O Estatuto da Criança e do Adolescente, Mauricio de Sousa. Instituto Mauricio de Sousa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo desta seção é propiciar aos estudantes um momento para fazer retomadas e tirar dúvidas sobre os conteúdos estudados nesta Unidade que são: algoritmos e as ideias associadas às operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, cálculo do valor numérico de expressões numéricas, tabelas, gráficos de barras e o uso da calculadora.

É importante que os estudantes realizem essas atividades individualmente e anotem os temas em que encontrarem dúvida ou dificuldade. Se houver necessidade, fazer uma revisão desses temas.

Em seguida, organizar a turma em grupos para fazer as verificações das respostas e socializar estratégias de resolução.

Pode-se propor a resolução desta seção de uma maneira diferente: em duplas.

Em cada dupla, um estudante resolve uma atividade sem que o outro acompanhe a resolução e o outro estudante valida a resolução do colega. Na atividade seguinte, os estudantes invertem os papéis.

Desse modo, um pode explicar ao outro possíveis dicas que podem sanar dúvidas que algum deles ainda possua relacionadas aos conteúdos estudados.

Como atividade complementar, propor aos estudantes que construam um gráfico de barras para mostrar a classificação no concurso usando os dados da atividade 9. Recordar com os estudantes a importância de escrever o título e nomear os eixos do gráfico. Para isso, pode-se utilizar uma planilha eletrônica. A atividade 11 explora a construção de um fluxograma e favorece o desenvolvimento do pensamento computacional nos estudantes.

Responda às questões no caderno.

1. Gustavo comprou a prazo o material escolar de seu filho. Deu uma entrada de 230 reais e dividiu o restante em duas prestações iguais. Se o material custou 870 reais, o valor de cada prestação, em reais, é:

Alternativa d.

6. Breno resolveu várias operações utilizando uma calculadora e encontrou os resultados a seguir.

Operações Números digitados na calculadora Resultado

1a 838 162 1 000

2a 160 15 2 400

a) 300.

b) 315. c) 318. d) 320. e) 330.

3a 3 600 2 1 800

4a 1 864 17 1 847

A ordem das teclas que ele apertou para chegar a esses resultados foi:

Alternativa b.

2. Isabel foi a uma feira de animais e comprou 8 pintinhos. Cada um custou 2 reais. Isabel tinha 2 notas de 20 reais. Com quanto Isabel ficou?

a) 14 reais.

b) 24 reais.

c) 34 reais.

d) 40 reais.

3. (Saresp-SP) Paulo deseja distribuir 60 bolas de gude de maneira que todos os favorecidos recebam a mesma quantidade, sem sobrar nenhuma bolinha. Para qual dos grupos abaixo ele poderá fazer corretamente a distribuição?

a) Seus 6 primos.

b) Seus 7 sobrinhos.

c) Seus 8 vizinhos.

d) Seus 11 colegas.

4. Qual é o valor da expressão (43 + 42 + + 4) : 7 + 2 (3 + 32 + 33)?

a) 80

b) 90 c) 85 d) 95 e) 100

5. (Saresp-SP) Tenho 1.320 figurinhas. Meu primo tem a metade do que tenho. Minha irmã tem o triplo (ou três vezes) das figurinhas do meu primo. Quantas figurinhas minha irmã tem?

a) 1 900

Alternativa a. Alternativa b. Alternativa d.

b) 1 940 c) 1 930 d) 1 980

a) +x÷_

b) +_÷x c) +÷_x d) +÷x

7. (Saresp-SP) A tabela abaixo indica a quantidade de doces que foi comprada para a festa de aniversário de Glorinha e a quantidade de doces que sobrou no final da festa.

Doces Caixas compradas Doces em cada caixa Doces que sobraram

Beijinho 2 215 325

Brigadeiro 1 400 312

Quantos doces foram consumidos na festa? 193 doces.

8. O quadro a seguir indica a sequência de teclas digitadas em uma calculadora (da esquerda para a direita) e o resultado apresentado no visor após a sequência.

Sequência de teclas Resultado no visor

2 + 3 = 5

2 + 3 == 8

2 + 3 === 11

Se digitarmos 2 + 3 seguido de 10 vezes a digitação da tecla =, qual será o número que vamos obter?

a) 23

b) 26 c) 29 d) 32 e) 35

Alternativa a. Alternativa d.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

9. (OBM) Ana, Bento e Lucas participam de um concurso que constam 20 perguntas com a seguinte regra:

• cada resposta certa ganha 5 pontos;

• cada resposta errada perde 3 pontos;

• cada resposta em branco perde 2 pontos. Acompanhe os resultados na tabela abaixo:

Número de respostas certas

Número de respostas erradas

Número de respostas em branco

Ana 12 4 4

Bento 13 7 0

Lucas 12 3 5

Escrevendo os nomes dos três em ordem decrescente de classificação no concurso, encontramos:

a) Ana, Bento, Lucas

b) Lucas, Bento, Ana

c) Ana, Lucas, Bento

d) Lucas, Ana, Bento

e) Bento, Lucas, Ana

Alternativa e.

10. (OBM) Os alunos de uma escola participaram de uma excursão, para a qual dois ônibus foram contratados. Quando os ônibus chegaram, 57 alunos entraram no primeiro ônibus e apenas 31 no segundo. Quantos alunos devem passar do primeiro para o segundo ônibus para que a mesma quantidade de alunos seja transportada nos dois ônibus?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

a) 8 b) 13 c) 16 d) 26 e) 31

11. Em grupo, construam um fluxograma para reunir o passo a passo para resolver uma expressão numérica que tenha parênteses e as operações fundamentais estudadas nesta Unidade. Vocês podem se inspirar no fluxograma apresentado na página 65. Para conferir, elaborem uma expressão numérica e verifiquem se as etapas descritas por vocês possibilitam a resolução correta dessa expressão. Por fim, compartilhem com a turma como vocês pensaram para construir o fluxograma.

Alternativa b. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, retomamos o estudo das operações matemáticas envolvendo números naturais, e exploramos algumas propriedades dessas operações, por exemplo, a propriedade comutativa da adição e a relação fundamental da subtração. Além disso, iniciamos o estudo da potenciação e resolvemos expressões numéricas. Estudamos como fazer aproximações e arredondamentos com base em uma sequência de procedimentos e relacionamos tabelas de dupla entrada com gráfico de colunas duplas. Nas páginas de abertura, além de conhecer algumas curiosidades sobre o Time Brasil nos Jogos Olímpicos de Tóquio 2020, você foi convidado a pensar em diferentes situações do dia a dia em que utilizamos os números e as operações matemáticas. Agora, vamos refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Respostas pessoais.

• Alguma das situações que você tinha destacado na abertura apareceu ao longo desta Unidade? Qual? Depois desse estudo, você consegue listar outras situações?

• Você consegue identificar as diferenças entre as quatro operações fundamentais e a potenciação? Converse com seus colegas e professor sobre situações em que precisamos adicionar, subtrair, multiplicar, dividir e determinar a potência de um número.

• De acordo com o que você estudou, por que há regras para resolver uma expressão numérica? O resultado altera se não seguirmos essas regras?

Exemplo de resposta: As regras na ordem de resolução de uma expressão numérica são necessárias para obter os resultados corretos, uma vez que há uma hierarquia entre as operações e os sinais.

As questões propostas retomam o assunto abordado no início da Unidade e destacam a importância das operações matemáticas para a resolução de problemas. Além disso, propõem aos estudantes um momento de reflexão acerca da “exatidão” da Matemática que, embora tenha essa fama, permite que os estudantes utilizem diferentes caminhos para alcançar o resultado correto. Incentivar os estudantes a encontrar outras maneiras de solucionar um mesmo problema.

A primeira questão solicita aos estudantes que retomem as situações que tinham listado, no início da Unidade, relacionadas aos números naturais e operações. A ideia é pedir que revisitem esse registro, identificando os temas que tinham previsto e os que de fato apareceram na Unidade.

Na segunda questão, espera-se que os estudantes consigam identificar diferenças entre as operações fundamentais e a potenciação e exemplificar essas diferenças listando situações em que cada uma dessas operações é usada. Se algum estudante sentir dificuldade nessa proposta, pedir que retome os textos do Livro do estudante.

Na terceira questão, espera-se que os estudantes percebam a importância das regras estabelecidas para se resolver uma expressão numérica. Retomar com os estudantes a ordem de resolução das operações e dos sinais de associação nas expressões numéricas recorrendo ao cartaz com esse resumo. Estimular a elaboração de exemplos de expressões numéricas para ilustrar essas regras. As expressões elaboradas podem ser resolvidas em grupo ou sorteadas para que os estudantes possam resolvê-las individualmente.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 9 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 6, 7 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF06MA17

Grandezas e medidas

• EF06MA28

Probabilidade e estatística

• EF06MA31

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação em Direitos Humanos

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos; ela apresenta os conteúdos usando objetos do mundo físico para relacionar aos objetos geométricos, além de atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 1, 2, 9 e 10.

No primeiro capítulo, são apresentadas as ideias intuitivas de ponto, reta e plano. No segundo capítulo, são apresentadas algumas propriedades das retas, posições relativas entre elas, além da definição de semirreta, de segmento de reta e de segmentos congruentes. No terceiro capítulo, são estudadas figuras geométricas planas e não planas. No quarto capítulo, são estudados corpos redondos e poliedros, com destaque para os prismas e as pirâmides.

A Unidade traz seções com contextos de relevância social, como acessibilidade e qualidade de vida relacionada à esperança de vida, colaborando para o desenvolvimento de diversas competências gerais e específicas e para o trabalho com o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos

No antigo Egito, a Geometria já era amplamente utilizada pelos agrimensores na medição de terrenos, enquanto os construtores recorriam a ela para fazer edificações. As famosas pirâmides do Egito são exemplos de construções em que o uso da Geometria foi muito aplicado.

Os egípcios ganharam tanto reconhecimento com a aplicação da Geometria que os gregos buscaram no Egito novas aplicações para ela.

Por volta de 600 a.C., os matemáticos gregos começaram a sistematizar os conhecimentos geométricos que foram adquirindo, fazendo que a Geometria deixasse de ser puramente experimental.

Esse trabalho de organização lógica dos conhecimentos matemáticos foi feito principalmente pelo matemático grego Euclides, por volta de 300 a.C.

Para se ter ideia da importância dessa organização, a Geometria que estudamos atualmente é baseada na de Euclides.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Pirâmides de Gizé, situadas próximas a Cairo, capital do Egito, 2018.

OBJETIVOS

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• Compreender as ideias de ponto, reta e plano.

• Perceber a posição relativa entre retas em um plano.

• Medir segmentos e compreender quando dois segmentos são congruentes.

• Desenvolver noções espaciais.

• Reconhecer características de corpos redondos, poliedros, prismas e pirâmides.

• Estabelecer relações entre o número de vértices, de faces e de arestas de prismas e de pirâmides.

• Analisar gráficos estatísticos com dados de estimativas e projeções.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade os estudantes vão adquirir conhecimentos que serão ferramentas

Observe a fotografia das Pirâmides de Gizé e responda no caderno.

• O que você sabe sobre a figura geométrica pirâmide?

• Cite algumas características das pirâmides da fotografia.

• Será que todas as pirâmides possuem as mesmas características das pirâmides da fotografia? Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Antes de fazer a leitura da abertura, é interessante incentivar os estudantes a observar atentamente a imagem apresentada e a levantar hipóteses sobre o que ela representa, onde fica, algumas características da construção, qual era a função das pirâmides no Egito antigo e quais conteúdos poderão ser tratados nesta Unidade. É provável que os estudantes tragam consigo algum conhecimento de anos anteriores sobre as pirâmides.

Nesse momento, é interessante apresentar à turma algumas pirâmides, para que eles possam observar informalmente algumas características semelhantes entre elas. A sistematização dessas características ocorrerá mais adiante nesta Unidade.

importantes para o desenvolvimento da Geometria ao longo de todo o Ensino Fundamental.

Entender, por exemplo, o que são segmentos, ou como medir um segmento comparando-o com uma unidade de medida, contribuirá para definir posteriormente polígono e outros conceitos geométricos e para estabelecer noções de Grandezas e medidas.

Já estabelecer relações entre o número de vértices, de faces e de arestas de prismas e de pirâmides contribuirá para o desenvolvimento da habilidade EF06MA17. Gráficos com informações estatísticas estão presentes na mídia e em diversos materiais com os quais os estudantes podem se deparar; saber analisar e interpretar dados em gráficos é de extrema importância para que eles lidem com essas informações de forma crítica e reflexiva.

29/08/22 11:41

Se achar conveniente, pedir aos estudantes que façam uma pesquisa sobre a vida e obra de Euclides, conhecido como o pai da Geometria. É importante que os estudantes percebam a importância dos conhecimentos geométricos no decorrer da história da humanidade, assim como de todo o conhecimento matemático, fruto da construção humana, que está em processo evolutivo. Isso permite a eles, compreender a origem de algumas ideias que deram forma à cultura e ao conhecimento matemático. Esse estudo favorece o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 da área de Matemática. Assim, os estudantes adquirem conhecimento suficiente para relacionar a Matemática, e a Geometria, a outras atividades humanas, favorecendo, também, o desenvolvimento da competência específica 2.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ponto, reta e plano

Antes de iniciar a leitura do texto, explorar coletivamente a ideia que os estudantes têm sobre ponto, reta e plano. Assim, pode-se perceber o conhecimento prévio que eles possuem para direcionar as discussões e o modo como será conduzida a abordagem do conteúdo. É importante os estudantes compreenderem que esses elementos são ideias intuitivas que passam pela nossa percepção imediata quando observamos o mundo, e que não existe uma definição precisa para eles. Podemos associá-los a um conjunto de estrelas, a grãos de areia, aos fios de uma cerca de arame, aos fios de um poste, à superfície do tampo de uma mesa etc.

É interessante utilizar objetos e desenhos como recursos para auxiliá-los nesse processo de construção de noções geométricas; nesse sentido, incentivá-los a desenhar e fazer associações às ideias que estão sendo trabalhadas. Outra importante ferramenta é o registro escrito: os estudantes podem, por exemplo, construir um dicionário de Geometria; à medida que aprenderem um novo termo, eles podem acrescentá-lo no dicionário que estão criando.

Ao fim da Unidade, eles próprios podem fazer uma retomada e verificar se devem fazer algum ajuste; desse modo estarão revendo seus registros e fazendo uma autoavaliação.

PONTO, RETA E PLANO

Você já teve uma ideia intuitiva?

Mas... O que é uma ideia intuitiva?

Ter uma ideia intuitiva é ter uma percepção imediata de algo. Ao observarmos o mundo, certas ideias se formam em nossa mente de modo intuitivo e nos ajudam a compreender a realidade.

Em Geometria, algumas ideias são intuitivas. São elas o ponto, a reta e o plano.

A corda do berimbau bem esticada dá a ideia de reta.

A superfície do campo de futebol dá a ideia de plano.

Essas ideias intuitivas são chamadas de noções primitivas e são aceitas sem definição na Geometria.

O ponto não possui dimensões, e sua indicação é feita por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

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Ponto A Ponto B

Cada estrela dá a ideia de ponto.

A reta é imaginada sem espessura e ilimitada nos dois sentidos, não tem começo nem fim, assim, é impossível desenhar uma reta no papel. Por esse motivo, representamos apenas “uma parte” da reta e a indicamos com letras minúsculas do nosso alfabeto.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades propostas têm como objetivo identificar ponto, reta e plano como ideias intuitivas e fazer que os estudantes os reconheçam.

O plano é imaginado sem fronteiras, ilimitado em todas as direções. Assim como no caso da reta, é impossível desenhar um plano no papel. Por isso, representamos apenas “uma parte” do plano e a indicamos com letras minúsculas do alfabeto grego: a (alfa), b (beta), y (gama), ...

r s a b

As ideias de ponto, de reta e de plano são modelos criados pelo ser humano e usados para compreender melhor certos aspectos do mundo.

ATIVIDADES

3.a) “Cabeça” de alfinete; um pingo de tinta em uma folha de papel.

b) Encontro de duas paredes; corda esticada.

c) Superfície de uma parede; superfície de uma lousa; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa.

Responda às questões no caderno.

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Observando a sala de aula, você reconhece algo que dê a ideia de:

a) ponto?

b) reta?

c) plano?

2. Para cada item, pense em três exemplos que deem as ideias de ponto, de reta e de plano:

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

a) na natureza.

b) na sua casa.

3. Entre os elementos descritos nas fichas, escreva quais nos dão a ideia de:

a) ponto; b) reta; c) plano.

Para iniciar o trabalho que ajudará os estudantes a desenvolverem a percepção geométrica e espacial, pedir a eles que escolham objetos, dentre os materiais na sala de aula, que lembrem figuras geométricas planas e espaciais. Se possível, permitir aos estudantes que façam explorações concretas, manipulando objetos.

Se achar oportuno, aproveitar o momento para desenvolver um trabalho interdisciplinar com o professor de Arte, explorando o uso do ponto, da reta e do plano. Uma sugestão interessante é o uso do pontilhismo, por exemplo.

superfície de uma lousa encontro de duas paredes

superfície de uma piscina superfície do tampo de uma mesa

superfície de uma parede “cabeça” de alfinete corda esticada um pingo de tinta em uma folha de papel

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Posições relativas de duas retas em um plano

Neste capítulo, serão abordadas as posições relativas de duas retas em um plano. É importante destacar que tanto as figuras planas quanto as espaciais são formadas pelo encontro de retas e planos que pertencem ao espaço. Vamos assumir que a reta é uma sucessão de infinitos pontos. Sendo assim, duas retas podem ter um ponto em comum, quando se cruzam; nenhum ponto em comum, quando nunca se cruzam; ou ainda, elas podem ter todos os pontos em comum, quando estão sobrepostas.

Antes de explorar o texto do Livro do estudante, pedir a eles que desenhem um ponto no caderno e com uma régua tracem uma reta passando por esse ponto. Perguntar a eles se é possível traçar outra reta passando pelo mesmo ponto. Em seguida pedir que tracem uma terceira reta e assim por diante. Perguntar a eles quantas retas é possível traçar passando por um mesmo ponto. Explicar que é possível traçar infinitas retas. Depois pedir aos estudantes que desenhem dois pontos, A e B, no caderno. Em seguida pedir a eles que tracem uma reta passando pelos pontos A e B. Em seguida, pedir-lhes que tracem outra reta passando pelos mesmos pontos A e B. Nesse momento, é esperado que os estudantes percebam que não é possível traçar mais de uma reta passando por dois pontos. Para explorar as ideias sobre as posições relativas de duas retas, começar perguntando se os estudantes sabem o que são retas paralelas. Isso permite conhecer as ideias que os estudantes

Observe as figuras seguintes. Temos que:

• Por um ponto P qualquer passam infinitas retas.

• Por dois pontos distintos, A e B, passa uma, e só uma, reta. Podemos usar esses pontos para nomeá-la: AB

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM

O esquema de ruas a seguir é parte da planta de um município, e as ruas representadas nos dão a ideia de retas.

A Rua 7 de Setembro e a Avenida República representam ruas que nunca se cruzam. Dizemos que essas ruas são paralelas. O mesmo ocorre com a Rua 7 de Setembro e a Avenida Independência. A Avenida da Liberdade cruza a Rua 7 de Setembro. Dizemos que essas ruas são concorrentes. O mesmo ocorre com a Avenida da Liberdade e a Avenida Independência.

Acompanhe, agora, os modelos matemáticos apresentados a seguir.

Retas paralelas

As retas r e s, contidas em a , não possuem ponto comum. A distância entre as retas é sempre a mesma. As retas r e s são denominadas retas paralelas. Indicamos: r // s. 80

a s r

possuem sobre retas paralelas e, a partir disso, ampliar o conhecimento deles. Pedir a eles que observem o ambiente da sala de aula e identifiquem objetos que nos dão a ideia de retas paralelas.

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Caso haja alguma dificuldade para encontrar esses objetos, sugerir que observem as

linhas do caderno, por exemplo. Perguntar se, ao continuarmos a traçar essas linhas infinitamente, elas irão se cruzar em algum momento. É provável que eles percebam que essas linhas nunca irão se cruzar. Buscar com os estudantes outros exemplos.

Retas concorrentes

As retas r e t, contidas em a , possuem um único ponto comum, que é o ponto A

As retas r e t são denominadas retas concorrentes ou secantes. Indicamos: r x t.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades têm como objetivo levar os estudantes a:

• verificar, de modo intuitivo, quantas retas passam por um ponto e que uma única reta passa por dois pontos distintos.

• identificar as posições horizontal, vertical e inclinada de uma reta em relação ao plano horizontal.

Observação: Lembrando que a reta é imaginada sem começo nem fim, a figura a seguir representa retas concorrentes ou secantes

Retas coincidentes

Duas retas a e b podem coincidir, ou seja, podem estar ocupando a mesma posição no plano. Nesse caso, dizemos que a e b são retas coincidentes. Elas têm todos os pontos em comum.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. São dados dois pontos distintos, P e Q.Escreva quantas retas podem passar pelo ponto P e também pelo ponto Q

a

• identificar retas concorrentes ou secantes e retas paralelas. Na atividade 2 é interessante fazer o esboço para ilustrar a situação, para que o estudante visualize a posição da reta imaginada.

4. O bserve a figura a s eguir e dê a posição relativa das retas:

a) a e b

b) a e c

c) a e d

2. Q uando levanta voo, um avião faz uma trajetória que dá a ideia de reta. Em relação ao solo, essa reta é horizontal, vertical ou inclinada?

3. Considerando um ponto M do plano, quantas retas podem passar por esse ponto?

Uma única reta. Inclinada. Infinitas retas.

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Para as retas concorrentes, utilizar os mesmos passos que foram utilizados nas retas paralelas. Primeiro, levantar as informações que fazem parte do conhecimento prévio dos estudantes; é interessante pedir a eles que identifiquem a ideia de retas concorrentes em objetos ou desenhos que fazem parte do cotidiano deles. Se achar oportuno, levar para a sala de aula algum mapa que mostre as ruas de uma cidade ou de um bairro e pedir aos estudantes

d) c e d

e) b e c

Concorrentes. Concorrentes. Concorrentes. Paralelas. Concorrentes. ab

c d

29/08/22 11:42 que identifiquem as ruas paralelas e as ruas concorrentes.

Depois de esse tema ser explorado de maneira intuitiva, é importante formalizá-lo utilizando a linguagem Matemática para a representação das posições relativas de duas retas. Pedir aos estudantes que confeccionem um cartaz-resumo sobre esse tema utilizando a simbologia necessária. Em seguida, fixá-lo em local visível para consultas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

SEMIRRETA

A figura 1 mostra a reta r, que passa pelos pontos A e B. Por ser uma reta, não tem início nem fim.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Semirreta

Consideremos, agora, o ponto A e a parte da reta r que, partindo de A, passa por B Nesse caso, traçamos a semirreta que tem origem no ponto A e passa pelo ponto B, como mostra a figura 2. Indicamos: AB

Observemos novamente a figura 1 e consideremos o ponto B e a parte da reta que, partindo de B, passa por A

Nesse caso, traçamos a semirreta que tem origem no ponto B e passa pelo ponto A, como mostra a figura 3. Indicamos: BA

A

é uma parte da

SEGMENTO DE RETA

Observe a representação de um campo de futebol. Cada uma das linhas laterais, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, sugere a ideia de reta.

É comum confundir o conceito de retas, semirretas e segmentos de reta. Por esse motivo, é importante estar atento a se os estudantes compreendem as diferenças entre cada um. Começar recordando com os estudantes a ideia intuitiva de reta, ressaltando que ela não tem começo nem fim. Sugerir que simulem uma reta com um barbante, depois solicitar que o dobrem ao meio e o cortem; explicar a eles que, assim, foi obtida a representação de duas semirretas. Ressaltar que o ponto do corte é chamado de origem das duas semirretas e que esse ponto é comum a elas.

A seguir, pedir aos estudantes que façam a leitura do texto do livro para se familiarizarem com a linguagem simbólica utilizada.

Segmento de reta

Se considerarmos os pontos A e B, que são extremidades da linha lateral em evidência no desenho, e os pontos dessa linha situados entre A e B, a figura geométrica obtida representará uma parte da reta. Essa parte da reta, que colocamos em evidência na figura, denomina-se segmento de reta

Para introduzir o conceito de segmento de reta, solicitar aos estudantes que simulem uma reta utilizando um barbante. A seguir, pedir que cortem esse barbante em dois pontos. Dizer aos estudantes que consideramos esse pedaço obtido como sendo a representação de um segmento de reta. Ressaltar que os dois cortes efetuados representam os pontos de começo e fim do segmento. Pedir a eles que leiam o texto do livro sobre segmento de reta, para que possam se familiarizar com os termos e reconhecer os símbolos usados.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

semirreta

reta; ela tem origem e não tem fim em apenas um sentido.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aproveitar o momento para definir com os estudantes o que são segmentos consecutivos e colineares.

Por fim, pedir aos estudantes que façam um cartaz-resumo com exemplos de semirreta, segmento de reta, segmentos consecutivos e segmentos colineares, utilizando a linguagem matemática, para, depois, fixá-lo em um local visível para consultas.

Apresentar o compasso como um instrumento que pode ser utilizado para transportar medidas de segmentos de reta. Providenciar compassos para os estudantes verificarem quantas vezes o segmento MN, chamado de unidade a cabe no segmento AB Fazer o mesmo para o segmento PQ , chamado de unidade b, e RS , chamado de unidade c. É importante que os estudantes percebam que o número de vezes que uma unidade cabe em um segmento depende do seu “tamanho” e que 3 vezes a unidade a é igual a 5 vezes a unidade b, que também é igual a 15 vezes a unidade c. Então, 3 a = 5 b = 15 c.

Observe.

Segmento de reta.

• Os pontos A e B são as extremidades do segmento.

• A reta r é a reta suporte do segmento.

Para nomear um segmento de reta, indicamos as letras das extremidades desse segmento com um traço em cima. No exemplo, temos: AB (segmento cujas extremidades são os pontos A e B).

Segmentos consecutivos e segmentos colineares

Observe a figura.

• Dois segmentos que têm uma extremidade comum são denominados segmentos consecutivos

São exemplos de segmentos consecutivos: AB e BC ; BC e BD ; AB e BE

• Dois segmentos que estão em uma mesma reta suporte são denominados segmentos colineares

São exemplos de segmentos colineares: BC e CD ; BC e BD ; BC e DE São exemplos de segmentos consecutivos e colineares: BD e DE ; CD e BD

Medida de um segmento e segmentos congruentes

Medir uma reta ou uma semirreta é impossível, já que elas têm pelo menos uma parte sem fim. Mas o segmento de reta pode ser medido em seu comprimento. Acompanhe como isso pode ser feito considerando os segmentos a seguir.

RS

Se usarmos um compasso, verificamos que:

• o segmento MN cabe 3 vezes no segmento AB ;

• o segmento PQ cabe 5 vezes no segmento AB ;

• o segmento RS cabe 15 vezes no segmento AB

Pessoa realizando medição com compasso.

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Se chamarmos a medida do comprimento MN de a, a de PQ de b e a de RS de c, e compararmos o segmento AB com os segmentos MN, PQ e RS, obteremos de cada comparação a medida do comprimento do segmento AB nas unidades de medida a, b e c, respectivamente.

• Quando a unidade de medida é a, que é a medida do segmento MN , a medida do segmento AB é 3 a.

Indicamos: med( AB ) = 3 a ou AB = 3 a.

• Quando a unidade de medida é b, que é a medida do segmento PQ , a medida do segmento AB é 5 b.

Indicamos: med( AB ) = 5 b ou AB = 5 b.

• Quando a unidade de medida é c, que é a medida do segmento RS, a medida do segmento AB é 15 c.

Indicamos: med( AB ) = 15 c ou AB = 15 c.

Afinal, qual das medidas obtidas (3 a, 5 b ou 15 c) é correta?

Na verdade, as três medidas são corretas, pois cada uma delas foi obtida com base em uma unidade de medida diferente.

A medida do comprimento de um segmento é obtida quando comparamos o segmento considerado com outro segmento, tomando seu comprimento como unidade de medida.

Vamos, agora, medir os segmentos CD e EF usando u como unidade.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Além do compasso, outros materiais podem ser utilizados para realizar atividades de medição de segmentos, como barbantes, canudos e régua, por exemplo. Os estudantes terão a oportunidade de explorar as ideias de unidade de medida e da operação divisão. Recordar que uma das ideias da divisão é saber quantas vezes uma unidade cabe em outra e que medir é comparar unidades. Depois, refletir com os estudantes que uma reta não pode ser medida por ser infinita, mas que os segmentos de reta, por terem começo e fim, podem ser medidos. Utilizar como exemplo de segmento de reta o encontro entre uma parede da sala de aula e o piso e perguntar aos estudantes quantos palmos cabem nessa dimensão. Ajudá-los a perceber que a resposta irá depender do tamanho do palmo.

Os segmentos CD e EF têm a mesma medida.

Quando dois segmentos têm a mesma medida, tomada na mesma unidade de medida, dizemos que são segmentos congruentes

Como med( CD ) = 4 u e med( EF ) = 4 u, então CD e EF são segmentos congruentes.

Atividades

Depois de resolverem a atividade 1, seria interessante solicitar a eles que simulem a montagem de algumas figuras, formadas por semirretas utilizando pedaços de barbante. Se perceber que existem dúvidas em relação aos conceitos abordados, fazer retomadas estratégicas, para ajudá-los a compreender.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em quais figuras você não encontra segmentos de reta? Nas figuras 3, 6 e 7.

Agora, identifique um segmento que seja:

a) consecutivo com CD

c) consecutivo com BD

4. Observe a figura.

2. Analise a imagem a seguir.

C

N

BC , BD ou AC AB ou AC . AB, CD ou BC B A

a) Quantas e quais são as semirretas com origem no ponto P que estão representadas na figura?

Cinco: PA , PB , PC , PD e PF 7 segmentos: BP , AP , FP , CP , DP , CF e DB B

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE C D

b) Sabendo que os pontos C, P e F estão alinhados, e os pontos D, P e B também, quantos e quais segmentos de reta podemos identificar?

b) Escreva um segmento que esteja contido em BC

AB e MN BN, BC ou CN .

c) E screva dois segmentos que tenham como extremidade comum o ponto A

AB e AM ou AC e AB

α A B s N D r

M C

Verifique se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas.

a) AB e BC são consecutivos e colineares

b) MC e CN são colineares e não consecutivos

c) BC e CN são consecutivos e não colineares.

d) AB e CD são colineares e não consecutivos.

Verdadeira. Falsa. Verdadeira. Verdadeira. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Crie outras afirmações, verdadeiras e falsas, sobre os elementos da figura da atividade 5 e dê para um colega classificar. 86

AMPLIANDO

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Atividade complementar

86 29/08/22 11:42

Propor aos estudantes as seguintes atividades e solicitar que justifiquem suas respostas com imagens.

1. Traçar duas semirretas de mesma origem, mas que não estejam em uma mesma reta.

2. Traçar duas semirretas de origens diferentes que estejam em uma mesma reta. Essas duas semirretas têm pontos comuns? Isso sempre ocorrerá?

Resolução das atividades

1. Possível desenho: Pode-se observar que as duas semirretas têm origem no ponto P , mas estão contidas em retas suportes concorrentes em P e, portanto, em retas distintas.

P EDITORIA DE ARTE

7. Considere como unidade de medida o segmento u e use um compasso para determinar a medida de cada um dos segmentos a seguir.

a)

b)

c)

8. Considerando como unidade u e observando a figura, calcule.

a) med( AB )

b) med( BC )

Usando um compasso, determine em quais dessas figuras todos os segmentos são congruentes?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ainda nesse bloco de atividades, procurar explorar os conceitos de semirreta e segmento de reta em situações práticas, como no gráfico de linhas da atividade 10. Levar outros gráficos para a sala de aula para discussão. Essa atividade pode ser explorada para além dos segmentos de retas, tomando o cuidado de especificar que se trata de dados fictícios.

c

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2. Possível desenho:

med( BE )

e

f)

Vendas

e) Produto A Produto B

d) med( AC ) 60 Jan./Fev Mar./Abr Maio/Jun. Jul./Ago. Set./Out. Nov./Dez. Meses V endas (em mil unidades) 50 40 30 20 10

9. Observe, a seguir, as figuras geométricas planas formadas por segmentos de reta.

a b d f h g

Perguntar aos estudantes qual foi o mês de maior venda para ambos os produtos, o mês de menor venda, em que meses as vendas foram iguais e que tipo de mercadoria poderia estar nesse gráfico.

Essas perguntas servirão de diagnóstico para entender o conhecimento que os estudantes têm sobre o tema tratamento de informação e análise de gráficos, contribuindo de alguma forma para o desenvolvimento da habilidade EF06MA31, que será tratada em outros momentos deste livro.

11. Represente:

10 segmentos.

Quantos segmentos foram traçados para construir o gráfico, considerando os pontos destacados como extremidades desses segmentos?

a) dois segmentos consecutivos e congruentes.

b) dois segmentos colineares, em que um tenha como medida o triplo da medida do outro.

c) o segmento AB tal que med ( AB ) = = 4 cm, consecutivo e colinear com o segmento BC tal que med( BC ) seja o dobro da med( AB )

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual. 87

sim, essas duas semirretas têm pontos comuns, um deles é o ponto C. Na verdade, todos os pontos da semirreta de origem B passando por C são também pontos da semirreta de origem A passando por C

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A D E B C

A semirreta de origem A e que passa por C e a semirreta de origem D e que passa por E são duas semirretas de origens diferentes (A e D) e estão contidas na mesma reta, a que passa pelos pontos A e B, mas, nesse caso, essas duas semirretas não têm pontos comuns.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Figuras geométricas

É importante que os estudantes percebam que os objetos podem lembrar figuras geométricas planas ou não planas. A intenção aqui é fazer uma retomada dos conhecimentos prévios dos estudantes para, em seguida, aprofundar o estudo com as classificações dos sólidos geométricos em poliedros e corpos redondos e a classificação de alguns poliedros em prismas e pirâmides.

Pedir aos estudantes que leiam o texto e observem as figuras, percebendo que algumas delas pertencem à natureza e outras são objetos criados pelo ser humano.

Se achar oportuno, pedir aos estudantes que escolham objetos não planos, os contornem em uma folha de papel e digam se a figura desenhada é plana ou não plana.

FIGURAS GEOMÉTRICAS CAPÍTULO3

Contornando a face de um dado apoiado em uma folha de papel, observamos que todos os pontos da figura traçada estão no plano representado pela folha de papel.

As figuras geométricas que estão contidas em um plano, isto é, que têm todos os seus pontos em um mesmo plano, são chamadas de figuras geo métricas planas

Já as figuras geométricas que não estão contidas em um único plano, ou seja, aquelas que não têm todos os seus pontos em um mesmo plano, são chamadas de figuras geométricas não planas

A face de um dado lembra uma figura geométrica plana.

O dado lembra uma figura geométrica não plana, o cubo.

Quando olhamos o mundo à nossa volta, para a natureza e para os objetos construídos pelo ser humano, podemos perceber que ele é repleto de objetos que lembram figuras geométricas. Observe alguns exemplos.

Uma laranja lembra uma esfera.

Embalagens possuem formas que lembram figuras geométricas não planas.

Nos favos de mel, é possível perceber formas que lembram hexágonos.

Prédios, como o Museu de Arte de São Paulo (Masp), apresentam formas que lembram figuras geométricas não planas. Fotografia de 2017.

Bandeiras, como a do Brasil, apresentam formas que lembram figuras geométricas planas.

Nessas imagens existem elementos que lembram figuras geométricas planas e elementos que lembram figuras geométricas não planas. Algumas figuras geométricas não planas podem ser chamadas de sólidos geométricos

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ATIVIDADES

3.a) Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro.

b) Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água.

Responda às questões no caderno.

1. Pense no mundo à sua volta e liste objetos da natureza ou construídos pelo ser humano que lembram figuras geométricas.

2. Classifique as figuras geométricas da atividade anterior em planas ou não planas.

3. Entre os elementos descritos nas fichas a seguir, escreva quais nos dão a ideia de:

a) uma figura geométrica plana;

b) uma figura geométrica não plana.

folha de papel

garrafa de água

tela de um quadro

lata de extrato de tomate dado superfície do tampo de uma mesa

tubo de cola bastão

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

IMAGENS

FORA

5. São figuras planas ou não planas?

ILUSTRAÇÕES: DANIEL WU

Na atividade 1, incentivar os estudantes a observar o ambiente da sala de aula e o mundo à sua volta, identificando objetos e relacionando-os às figuras geométricas que esses objetos lembram. Estimulá-los a utilizar a nomenclatura das figuras planas e não planas corretamente. É possível que os estudantes apontem para uma caixa e digam que lembra um retângulo. É importante que eles entendam que apenas a face da caixa lembra um retângulo. O mesmo pode acontecer com um objeto esférico, ao qual os estudantes se refiram como algo que lembra um círculo. Na atividade 5, os estudantes devem perceber que todos os pontos do desenho da planta da casa pertencem a um único plano e que na maquete dessa mesma casa existem vários planos, como a parede lateral e os telhados. Se achar oportuno, pedir aos estudantes que esbocem a planta da sala de aula. Assim, eles terão a representação planificada de um ambiente tridimensional que conhecem. Desse modo, os estudantes conseguem estabelecer uma relação clara entre um objeto plano e um não plano. Se julgar oportuno, pedir aos estudantes que elaborem questões de interpretação da planta baixa, contribuindo para desenvolver a habilidade EF06MA28.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Sólidos geométricos

Nesse tema é importante que os estudantes compreendam que sólidos geométricos são figuras geométricas tridimensionais maciças e que, dependendo das características que possuem, os sólidos geométricos são classificados em poliedros ou corpos redondos.

Se possível, pedir aos estudantes que levem embalagens variadas para a sala de aula. Combinar com eles que o tampo da mesa (ou o piso da sala) representará o plano. Depois, distribuir as embalagens sobre a mesa (ou sobre o chão) e pedir que verifiquem quais objetos representam figuras não planas. Nesse caso, espera-se que digam que todas as embalagens são modelos de figuras não planas.

Depois, pedir aos estudantes que formem grupos e distribuir algumas embalagens desmontadas para cada grupo. Pedir a um representante de cada grupo que vá para a frente da sala com uma embalagem escolhida pelo grupo. O representante terá de mostrar as partes de sua embalagem que lembram uma figura plana. É interessante que o estudante deslize a mão por essas partes e mostre que é possível apoiá-las sobre a mesa e que cada uma fica totalmente encostada no tampo da mesa.

Discutir com os estudantes o que ocorreria se o objeto escolhido fosse uma bola. Perguntar a eles: “Qual seria a parte plana da bola?”. Espera-se que eles percebam que a bola lembra uma esfera e, portanto, não tem partes planas.

Além desse trabalho, a manipulação dos objetos sólidos é

SÓLIDOS GEOMÉTRICOS CAPÍTULO4

Os sólidos geométricos são figuras espaciais não planas que, de acordo com suas características, podem ser classificadas em poliedros e corpos redondos

Os corpos redondos têm como principal característica a superfície arredondada. Observe alguns exemplos de corpos redondos e de objetos cuja forma lembra corpos redondos.

Esfera.

Já os poliedros (poli = muitos; edros = faces) têm como principal caracte rística ter faces planas.

Observe alguns exemplos de poliedros e de objetos cuja forma lembra poliedros.

Considere o poliedro a seguir. Esse é um bloco retangular.

A parte destacada em verde é uma face do poliedro. O encontro de faces determina uma aresta e o encontro de arestas determina um vértice

Esse fato se repete para todos os poliedros, então podemos dizer que todos os poliedros possuem faces, arestas e vértices.

Alguns poliedros podem, ainda, ser classificados em prismas ou pirâmides, de acordo com suas características, conforme veremos a seguir.

importante para que os estudantes percebam as características específicas dos corpos redondos e dos poliedros. Se for possível, disponibilizar para os estudantes um jogo de sólidos geométricos de madeira para que eles possam manipulá-los e visualizá-los de vários ângulos.

Cubo. Pirâmide.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. Dodecaedro.

Cilindro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

PRISMAS E PIRÂMIDES

Prismas

Os prismas são poliedros que possuem faces laterais retangulares e duas bases idênticas e paralelas entre si.

Pirâmides

As pirâmides possuem apenas uma base. Suas faces laterais são triangulares e todas as arestas determinadas pelas faces laterais possuem um vértice em comum.

Prismas e pirâmides

É possível que durante a exploração deste conteúdo, alguns estudantes utilizem termos como canto, bico, dobra etc. Ressaltar a importância da utilização da nomenclatura formal para estes elementos: aresta, faces e vértices. Se possível, providenciar objetos com a forma de prismas e pirâmides ou modelos desses sólidos montados em papel rígido. Organizar a turma em grupos e pedir aos estudantes que manipulem esses objetos e observem as características semelhantes e diferentes entre eles. Em seguida, pedir aos estudantes que classifiquem esses objetos em dois grupos. Geralmente os estudantes usam o critério das faces retangulares e triangulares. Aproveitar esse momento para nomear os grupos: prismas para os objetos com faces retangulares; pirâmides para os objetos com faces triangulares.

Outra característica dos poliedros relaciona-se às suas bases. Orientar os estudantes a observar para cada grupo de poliedro as características e a quantidade de bases. Os estudantes devem perceber que no grupo das pirâmides existe apenas uma base e no grupo dos prismas existem duas bases paralelas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Observe alguns exemplos de prismas.

Observe alguns exemplos de pirâmides.

vértice em comum

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nomenclatura

Comentar com os estudantes que um prisma quadrangular também é conhecido como bloco retangular ou paralelepípedo.

É importante explicar aos estudantes que o cubo é um caso particular de bloco retangular em que todas as arestas têm o mesmo comprimento e todas as faces são quadradas.

Planificação

A exploração das planificações de alguns poliedros é uma importante atividade que possibilita aos estudantes fazerem relações entre o objeto tridimensional e a sua planificação, reconhecendo propriedades e elementos desses objetos, como o formato das faces laterais e das bases. Essas planificações também ajudarão na contagem do número de faces para o Pense e responda da página 93

É interessante associar o estudo da Geometria com objetos do cotidiano para dar significado e facilitar a compreensão dos estudantes. Para isso, solicitar que observem algumas embalagens que lembram poliedros. Em seguida, pedir que desenhem suas faces como se as embalagens estivessem desmontadas. Desse modo, os estudantes são incentivados a desenvolver habilidades como a intuição, a percepção e a representação de figuras geométricas. É preciso validar as hipóteses dos estudantes. Para isso, propor que eles desmontem as embalagens para observar e comparar com os seus registros validando-os ou não.

Nomenclatura

A nomenclatura de prismas e pirâmides é feita de acordo com o polígono da base. Observe o quadro com exemplos de nomenclatura de alguns poliedros.

Número de lados da base Poliedro

3 lados 4 lados 5 lados 6 lados

Prisma Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Pirâmide Pirâmide triangular Pirâmide quadrangular Pirâmide pentagonal Pirâmide hexagonal

Planificação

Os poliedros podem ter sua superfície planificada. Observe alguns exemplos de planificação de superfícies de prismas e pirâmides.

poliedro A (prisma triangular)

poliedro B (prisma quadrangular)

planificação

planificação

poliedro C (prisma pentagonal) poliedro D (prisma hexagonal)

Descubra mais

planificação

planificação

Os programas e aplicativos de Geometria dinâmica favorecem situações de investigação sobre as figuras geométricas. O simulador indicado pode ser acessado diretamente pelo link, tanto por computadores como por celulares, sem a necessidade de instalação. É possível visualizar e analisar diversos grupos poliedros a fim de observar suas regularidades e comparar as figuras entre si.

Poliedro E (pirâmide triangular) Plani cação

Poliedro E (pirâmide triangular) Plani cação

poliedro E (pirâmide planificação

poliedro F (pirâmide quadrangular)

planificação

poliedro G (pirâmide pentagonal)

planificação

Poliedro H (pirâmide hexagonal) Plani cação

Poliedro H (pirâmide hexagonal) Plani cação poliedro H (pirâmide hexagonal) planificação

Além do auxílio no Pense e responda da página 93, o simulador pode ser usado de diversos modos e em diversos momentos do estudo da Unidade.

Caso a escola tenha um laboratório de informática, organizá-los em duplas ou trios. Se não for possível trabalhar desse modo, conduzir a exploração coletivamente.

Permitir que observem livremente diversos tipos de prismas (regulares e retos) e propor

PENSE E RESPONDA

2. Espera-se que os estudantes percebam que: F + V = A + 2; e que essa regularidade vale para todos os poliedros.

Responda às questões no caderno.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Observe os poliedros da página anterior e suas superfícies planificadas e monte um quadro que contenha as informações a seguir, acrescentando uma linha para cada um dos demais poliedros. Destaque com uma cor os prismas e com outra cor as pirâmides. Número de lados da base do poliedro (L)

Número de faces laterais do poliedro (f)

Número de faces do poliedro (F)

Número de arestas do poliedro (A)

Número de vértices do poliedro (V)

Poliedro A

2. Acrescente duas colunas ao quadro da atividade 1. Na primeira dessas colunas, adicione onúmero de vértices (V) e o número de faces (F) de cada poliedro; na segunda dessas colunas, adicione 2 ao número de arestas (A) de cada poliedro. Você percebe alguma regularidade? Essa regularidade vale para todos os poliedros do quadro?

3. Agora, considere as informações referentes apenas aos prismas e analise que relação podemos observar entre:

a) o número de faces laterais (f) e o número de lados da base do prisma (L)

b) o número de faces do prisma (F) e o número de lados da base (L)

c) o número de arestas do prisma (A) e o número de lados da base (L)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Com o objetivo de desenvolver o trabalho com a habilidade EF06MA17, essa seção explora a relação de Euler e outras relações entre o número de vértices, o de faces e o de arestas de prismas e pirâmides.

f = L

F = L + 2

A = 3 L

d) o número de vértices do prisma (V) e o número de lados da base (L).

V = 2 ? L

e) Pesquise na internet a representação de outros prismas e verifique se as relações observadas continuam válidas.

Sim, continuam válidas. Espera-se que os estudantes percebam que as relações valem para qualquer prisma.

4. Agora, considere as informações referentes apenas às pirâmides e analise que relação podemos observar entre:

a) o número de faces laterais (f) e o número de lados da base da pirâmide (L)

b) o número de faces da pirâmide (F) e o número de lados da base (L).

c) o número de arestas da pirâmide (A) e o número de lados da base (L)

d) o número de vértices da pirâmide (V) e o número de lados da base (L)

e) o número de vértices da pirâmide (V) e o número de faces (F)

V = F

Nessa seção, os estudantes vão montar um quadro e analisar os dados para chegar à determinada conclusão, percebendo regularidades, fazendo inferências, conjecturas, modelagem e exercitando a capacidade investigativa

f = L

F = L + 1

A = 2 L

V = L + 1

f) Pesquise na internet a representação de outras pirâmides e verifique se as relações observadas continuam válidas.

Sim, continuam válidas. Espera-se que os estudantes percebam que as relações valem para qualquer pirâmide.

5. Pesquise quem foi Leonhard Euler (1707-1783) e que relação importante ele estabeleceu entre o número de faces, de vértices e de arestas de certos poliedros.

A relação de Euler foi a mesma que você percebeu em alguma das atividades?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

DESCUBRA MAIS

BORTOLOSSI, Humberto José; ADJI, Victor Ibrahim Santos El. Uma pletora de poliedros. Universidade Federal Fluminense (UFF). Niterói, [20--?]. Disponível em: http://www.cdme.im-uff.mat.br/html5/pdp/pdp -html/pdp-br.html. Acesso em: 22 jul. 2022.

Que tal investigar mais características dos poliedros com auxílio de um simulador?

O projeto Uma pletora de poliedros, da Universidade Federal Fluminense, desenvolveu um simulador para visualizar as figuras espaciais. Após escolher a figura, é possível manipulá-la e contar a quantidade de vértices, arestas e faces, bem como observar os polígonos das faces dos poliedros.

que escrevam as características desse grupo de figuras. Fazer o mesmo para as pirâmides regulares e retas. Depois, conduzir uma roda de conversa sobre essas observações.

Em seguida, selecionar duplas de figuras para serem comparadas. Por exemplo:

• pirâmide regular de base triangular e pirâmide regular de base quadrangular;

• prisma regular de base triangular e prisma regular de base quadrangular;

No item e da atividade 3 e no item f da atividade 4, seria interessante, caso seja possível, que os estudantes usem o simulador indicado no Descubra mais desta página. Assim, poderão observar diversos sólidos de diversas perspectivas. A opção de transparência desse simulador permite que os estudantes visualizem melhor todos os elementos dos sólidos.

Na atividade 5, comentar que a relação de Euler, que foi percebida na atividade 2, é válida para todo poliedro convexo, não somente para prismas e pirâmides. Se achar necessário, explicar a eles o que é um poliedro convexo de maneira intuitiva. Novamente, pode-se usar o simulador para que os estudantes percebam a relação para outros poliedros (não só prismas e pirâmides).

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• prisma regular de base pentagonal e pirâmide regular de base pentagonal;

• prisma reto de base hexagonal e pirâmide reta de base hexagonal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Pedir aos estudantes que realizem as atividades em grupo para facilitar a troca de conhecimento e de ideias. Circular pela classe acompanhando o andamento das atividades e fazer as intervenções quando necessário.

As atividades 1 e 2 mostram aplicações da Matemática em outras áreas do conhecimento, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 3.

As atividades 3, 4, 5 e 6 dão continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF06MA17.

Para a atividade 7, são propostas duas resoluções:

Construindo a representação do cubo: Se os estudantes reproduzirem essa planificação e construírem a representação do cubo, conseguirão verificar que a representação do cubo do item f é a representação que corresponde a essa planificação.

Sem construir a representação do cubo: Nesse caso, os estudantes devem imaginar como ficaria o cubo montado e que face estaria em cada posição em relação às outras. Por exemplo, na figura do item a, caso estivéssemos com a face roxa para frente e a verde na face superior, a face lateral da esquerda seria a vermelha e não a amarela. Fazendo essa análise para cada item, concluirão que a planificação dada representa a figura do item f

Uma proposta de resolução da atividade 8 é propor aos estudantes a construção das planificações em uma cartolina. Incentivá-los a desenhar as planificações de modo que seja possível recortá-las e, depois, montá-las. A manipulação do material possibilitará melhor compreensão dos conceitos envolvidos.

ATIVIDADES

1. a) Cilindro: corpo redondo.

b) Esfera: corpo redondo.

c) Pirâmide: poliedro.

d) Prisma hexagonal: poliedro.

Responda às questões no caderno.

1. Observe os objetos a seguir e escreva o nome do sólido geométrico que cada um deles lembra. Em seguida, classifique-os em poliedro ou corpo redondo. a) d)

e) Cubo: poliedro.

f) Cone: corpo redondo.

3. Se um prisma possui 6 arestas na sua base, como ele é chamado? Quantos vértices ele possui?

Prisma hexagonal; 12 vértices.

4. Observe as pirâmides e responda às questões.

Pedaço de queijo.

a) Quantas faces, vértices e arestas têm essas pirâmides?

b) Qual é a forma de suas faces laterais? E de suas bases?

5. Se uma pirâmide tiver 10 vértices, quantas arestas e faces ela terá?

10 faces e 18 arestas.

6. Qual é a quantidade de vértices de um poliedro que possui 20 faces e 30 arestas? Pesquise o nome desse poliedro.

Suporte de anéis.

2. Observe a imagem a seguir, que mostra uma rampa de acesso para pessoas que utilizam cadeira de rodas ou com mobilidade reduzida.

7. Verifique qual dos seis cubos corresponde à planificação dada.

12 vértices; icosaedro. Alternativa f.

a) c) e)

b) d) f)

Essa rampa lembra que sólido geométrico? Um prisma triangular.

Os estudantes poderão identificar nas representações de cubos (e de outros poliedros) os vértices, as arestas e as faces, além de utilizá-las para desenhar as representações de figuras geométricas planas. Existem alguns softwares, como o Poly (que é gratuito), que permitem a visualização da planificação da superfícies de sólidos geométricos.

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Vela.

b) e) Bolinha de gude.

c) f)

4. a) Pirâmide I: 8 faces, 8 vértices e 14 arestas. Pirâmide II: 9 faces, 9 vértices e 16 arestas. b) Pirâmide I: Triângulos; polígono de 7 lados. Pirâmide II: Triângulos; polígono de 8 lados.

Quebra-cabeças tridimensional.

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Pirâmide I. Pirâmide II.

DESAFIO

8. Observe a planificação de uma caixa com a forma de cubo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fórum

Esse Fórum aborda o Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos e favorece o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10 e específica 7 da área de Matemática.

Há mais de uma planificação de cubo. Descubra quais das figuras a seguir representam uma superfície cúbica planificada.

É importante que os estudantes compreendam que os direitos da pessoa com deficiência ou com mobilidade reduzida devem ser assegurados em qualquer condição ou situação.

É interessante ouvir os relatos deles em relação ao assunto, se conhecem alguém com alguma deficiência física ou com mobilidade reduzida ou se já presenciaram alguma situação de desrespeito envolvendo essas pessoas e como se sentiram diante da situação, exercitando a empatia e o respeito

FÓRUM

Acessibilidade

Respostas pessoais. Ver orientações neste Manual

De acordo com as normas de acessibilidade previstas pela ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas), os estabelecimentos comerciais devem seguir algumas exigências para garantir que funcionários e clientes com deficiência ou com mobilidade reduzida tenham acesso adequado ao estabelecimento. Isso significa que devem ter estrutura e sinalização que facilitem a locomoção, como rampas de acesso, vagas de estacionamento reservadas, sanitários acessíveis, entre outras coisas.

Os locais de espetáculos, conferências, aulas e outros de natureza similar devem ainda dispor de espaços reservados para pessoas que utilizam cadeira de rodas.

Fonte dos dados: ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 9050: acessibilidade a edificações, mobiliário, espaços e equipamentos urbanos. Rio de Janeiro: ABNT, 2004.

Converse com alguns colegas sobre as questões a seguir.

• Os lugares que vocês costumam frequentar têm indicação de espaços reservados para pessoas com deficiência ou com mobilidade reduzida?

• Qual é a importância de garantir a acessibilidade a todas as pessoas?

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Atividade complementar

Preciso construir um suporte com a forma de cubo usando 15 cm de arame para cada aresta. De quantos centímetros vou precisar?

Resolução da atividade

Temos que:

número de arestas do cubo = 4 3 = 12 12 ? 15 cm = 180 cm

Portanto, serão necessários 180 cm de arame.

Conversar com eles que, apesar de existirem as leis para garantir condições mínimas de acesso para pessoas com deficiência, em alguns casos o que impede a inclusão na sociedade, apesar da eliminação das barreiras físicas, é o preconceito. Entretanto, contra o preconceito também há leis específicas que devem ser aplicadas em casos de discriminação.

a)

b) c)

d) e) f)

g) h)

Alternativas: a, b, d, f, h.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nessa seção, os estudantes terão a oportunidade de explorar gráficos de colunas triplas e gráficos de linhas, interpretando seus dados e favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA31. Incentivar os estudantes a perceber que o tipo de gráfico utilizado depende da informação que se quer transmitir. Um tipo de gráfico pode ser mais adequado do que outro. Por exemplo, caso se queira observar a quantidade de votos que diferentes candidatos obtiveram em determinado momento, um gráfico de barras (ou de colunas) será mais adequado do que um gráfico de linhas. Mas, se o objetivo é apresentar a quantidade de votos recebidos em diversos momentos num intervalo de tempo, o gráfico de linhas pode ser mais adequado. O tema abordado, a “esperança de vida”, pode ser trabalhado de maneira interdisciplinar com o professor de Geografia. Se achar conveniente, promover um debate na classe para aprofundar o tema e levar os estudantes a refletirem melhor sobre os aspectos sociais e econômicos que contribuem para o aumento da esperança de vida.

Perguntar aos estudantes se já ouviram falar no termo tábua de mortalidade. Se considerar conveniente, sugerir uma pesquisa sobre o assunto. Comentar com eles a utilidade da tábua de mortalidade para o setor público e o privado, para fins de cálculo da probabilidade de vida e de morte em uma população. Isso é utilizado em planos de previdência e seguros de vida. Para mais informações, acessar o link: https:// www.ibge.gov.br/estatisticas/sociais/ populacao/9126-tabuas-completas -de-mortalidade.html?t=o-que-e (acesso em: 19 ago. 2022).

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

ESTIMATIVAS E PROJEÇÕES

“Expectativa de vida” ou “esperança de vida” indica quantos anos, em média, uma pessoa esperaria viver. Para se chegar a esse cálculo, levam-se em conta os nascimentos, as mortes, o acesso à saúde, à educação, à cultura e ao lazer, além das taxas de violência, poluição e situação econômica. A expectativa de vida varia de região para região, dependendo das condições de vida da população de determinado local. Observe o gráfico de colunas a seguir.

Expectativa de vida ao nascer (em anos)

Elaborado com base em: THE WORLD BANK. Data for Sub-Saharan Africa, East Asia & Pacific, Latin America & Caribbean, Europe & Central Asia, World, Brazil. The World Bank. [S l.], c2022. Disponível em: https://data.worldbank.org/?locations ZG-Z4-ZJ-Z7-1W-BR.

Responda às questões no caderno.

1. Para cada região há uma coluna azul, uma vermelha e outra verde. O que indica cada uma dessas colunas?

Expectativa de vida ao nascer no ano 2000, 2010 e 2020, respectivamente.

2. Segundo os dados apresentados no gráfico, onde foram registrados o maior e o menor índice de expectativa de vida?

Maior: Europa e Ásia Central; menor: África Subsaariana.

3. O que aconteceu com a expectativa de vida das regiões apresentadas no gráfico, no período de 2000 a 2020?

Aumentou em todas as regiões.

A Estatística é a parte da Matemática que realiza coleta, análise, interpretação e apresentação de dados com o intuito de fazer projeções e estimativas. Estas são realizadas por técnicos dos órgãos oficiais e instituições e são importantes para elaborar as propostas, os investimentos e a organização de empresas ou até mesmo de um país.

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o principal provedor de dados e informações do Brasil, incluindo estimativas populacionais.

Todo esse estudo contribui para o desenvolvimento da competência específica 3 da área de Matemática e do Tema Contemporâneo Transversal Educação em Direitos Humanos

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Para responder à atividade 1, espera-se que os estudantes associem a cor de cada coluna com a legenda do gráfico.

Para a atividade 3 espera-se que os estudantes percebam que a expectativa de vida aumentou no período de 2000 a 2020.

Acesso em: 24 jul. 2022.

América Latina e Caribe Europa e Ásia Central Leste da Ásia e Pací co Mundo Brasil

Uma das pesquisas realizadas pelo IBGE é sobre a expectativa de vida do brasileiro. O gráfico a seguir mostra as estimativas e projeções da esperança de vida ao nascer do brasileiro, de 2000 a 2060.

Estimativas e projeções da esperança de vida ao nascer do brasileiro (2000-2060)

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Tabela 7362 – Esperança de vida ao nascer e Taxa de mortalidade infantil, por sexo. Projeção da população. IBGE. Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: https://sidra.ibge.gov.br/Tabela/7362. Acesso em: 24 jul. 2022.

4. Qual era a expectativa de vida ao nascer do brasileiro em 2000?

69,8 anos.

5. Qual é a projeção para a expectativa de vida para quem nascer em 2040? E em 2060?

6. Em que ano você nasceu? Qual é o ano mais próximo a esse que você pode encontrar no gráfico? Qual era a expectativa de vida para quem nasceu nesse ano?

79,8 anos; 81,0 anos. Respostas pessoais.

Assim como acontece com as diferentes regiões do mundo, a expectativa de vida também varia dentro do território brasileiro, por exemplo, para o ano de 2030 o IBGE projeta que a expectativa de vida no estado de Santa Catarina será de aproximadamente 82,3 anos (a maior do país), enquanto no Rio de Janeiro será de aproximadamente 79,4 anos.

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Tabela 7362 – Esperança de vida ao nascer e Taxa de mortalidade infantil, por sexo. Projeção da população. IBGE. Rio de Janeiro, 2018. Disponível em: https://sidra.ibge.gov.br/Tabela/7362. Acesso em: 24 jul. 2022.

7. Junte-se a alguns colegas, e façam o que se pede.

a) Pesquisem qual é a expectativa de vida projetada pelo IBGE para o ano de 2040 no estado em que vocês moram.

b) Além do estado, outros fatores alteram a expectativa de vida de determinado grupo. Façam uma pesquisa por outros desses fatores e o motivo de esses fatores modificarem esse dado da expectativa de vida.

7. b) Resposta pessoal. Alguns exemplos: sexo, formação acadêmica, bairro, renda familiar, entre outros. O motivo depende do fator pesquisado.

7.a) Resposta pessoal. Uma fonte de pesquisa confiável é a fornecida para as informações desta página, disponível em https://sidra.ibge.gov.br/Tabela/7362 (acesso em: 13 ago. 2022), em que é possível consultar a projeção para as Unidades da Federação para qualquer ano entre 2000 e 2060.

Ler o texto dessa página coletivamente. Perguntar aos estudantes qual é o objetivo da realização de pesquisas. Ressaltar a importância de se fazerem projeções e estimativas utilizando dados estatísticos. Antes de responderem às questões desta página no caderno, fazer a leitura minuciosa do gráfico, questionando os estudantes sobre qual é o título, a fonte e o tipo de gráfico utilizado. Além disso, perguntar o que está sendo representado no eixo horizontal e no eixo vertical. Certificar-se de que todos compreenderam o significado de projeção nesse contexto.

A atividade 7 incentiva a prática de pesquisa, a argumentação escrita, a inferência, e a cooperação na realização da atividade. Além disso, favorece o desenvolvimento de diversas competências, como as competências específicas 2, 6 e 8 da área de Matemática e as competências gerais 2 e 9.

Depois que os estudantes responderem às questões propostas, promover um debate sobre qual é a utilidade desse gráfico e a quem poderia interessar o resultado.

Para finalizar, pode-se pedir aos estudantes que busquem, em jornais, em revistas ou na internet, gráficos de linhas como o que aparece nessa seção e trabalhem com a leitura e a interpretação das informações neles contidas. Solicitar que elaborem questões sobre os gráficos, destacando a natureza dos dados, para que os colegas respondam. Depois, pedir que produzam um texto apresentando uma síntese do tema abordado em um dos gráficos escolhidos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades é propiciar aos estudantes que retomem e tirem suas dúvidas sobre os conteúdos estudados na Unidade.

É importante que os estudantes realizem essas atividades individualmente e anotem os temas em que encontraram maior dificuldade. Aproveitar essa informação para orientá-los a fazer uma revisão desses temas.

Em seguida, organizar a turma em grupos para que haja troca de informações e experiências e façam as correções necessárias das atividades. Circular pela classe para acompanhar as atividades e, quando necessário, fazer intervenções. Caso seja preciso, anotar as principais dúvidas e, ao final, retomar esses pontos de modo que todos possam participar das discussões.

Nas atividades 1, 5 e 7, sugere-se que os estudantes utilizem objetos que lembrem os sólidos geométricos para auxiliá-los na resolução.

Para a atividade 2, caso os estudantes tenham produzido um cartaz-resumo com exemplos de retas, semirretas e segmentos de reta, eles podem consultá-lo. Caso contrário, ajudá-los em possíveis dúvidas e questionamentos.

Após a realização da atividade 6, pode-se realizar um experimento usando um recipiente com tinta e um modelo de cubo montado em cartolina para verificar como ficará a planificação do cubo após submerso. Assim a atividade ficará mais rica e os estudantes podem comprovar sua resposta de maneira empírica.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

a) III; b) I; c) II; d) V; e) IV.

1. A ssocie os objetos aos sólidos geométricos que eles lembram.

a) b) c) d) e)

I) II) III) IV) V)

2. Observe a reta e responda.

C B A

a) Quais semirretas de origem no ponto B podemos obter?

BA e BC

b) Q uantos segmentos de reta estão definidos pelos pontos A, B e C ? Quais são eles ?

4. O prisma pentagonal pode ser representado por qual das figuras a seguir?

a)

b)

d) e)

c)

5. Observe o bloco retangular e a planificação de sua superfície. As faces visíveis estão numeradas de 1 a 3. Quais são as faces opostas às faces visíveis quando o bloco retangular está montado?

A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; e a face oposta a 3 é a face C.

3 segmentos: AB , BC e AC 99 faces laterais.

3. Qual é o número de faces laterais de uma pirâmide que possui 100 vértices?

6. (Enem/MEC) Uma empresa necessita colorir parte de suas embalagens, com formato de caixas cúbicas, para que possa colocar produtos diferentes em caixas distintas pela cor, utilizando para isso um recipiente com tinta, conforme Figura 1. Nesse recipiente, mergulhou-se um cubo branco, tal como se ilustra na Figura 2 . Desta forma, a parte do cubo que ficou submersa adquiriu a cor da tinta.

b) c) d) e)

Qual é a planificação desse cubo após submerso? a) Alternativa c.

UM NOVO OLHAR

7. Desenhe a planificação da superfície de cada figura geométrica a seguir. a) b)

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões, estabelecer relações, possibilidades para generalizações e desenvolvimento da percepção espacial.

É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa forma, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada um dos conteúdos estudados na Unidade.

Nesta Unidade, estudamos os sólidos geométricos, poliedros, corpos redondos, prismas e pirâmides, planificações e as noções intuitivas que movem a Geometria. Também estudamos os segmentos de reta, que podem ser medidos, e as retas e semirretas, que não podem. Além disso, percebemos que, através de diversos dados coletados, com conhecimentos de Estatística, é possível fazer projeções de situações relevantes para a sociedade, como a esperança de vida ao nascer, e que essas projeções permitem auxiliar na tomada de decisões e do Estado. Agora, vamos refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Você sabe quais são as três ideias intuitivas da Geometria e por que são assim denominadas?

As ideias intuitivas são: o ponto, a reta e o plano, que não podem ser comprovadas matematicamente e são aceitas sem definição.

• Você estudou que os prismas e as pirâmides têm algumas características diferentes. Escreva duas diferenças entre os prismas e as pirâmides.

• Que relação pode ser estabelecida entre o número de faces, de vértices e de arestas dos poliedros que você estudou?

O número de faces (F) mais o número de vértices (V) é igual ao número de arestas (A) mais 2. Ou seja: F + V = A + 2.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os prismas possuem os lados em forma de retângulos e duas bases paralelas; as pirâmides possuem as faces na forma triangular e apenas uma base.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

FOTOGRAFIAS: ENEM, 2015

Figura 1

Figura 2

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10

Competências específicas:

• 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8

Habilidades: Números

• EF06MA04

• EF06MA05

• EF06MA06

Probabilidade e estatística

• EF06MA31

• EF06MA32

E DIVISORES 4

• EF06MA33

• EF06MA34

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Diversidade Cultural

• Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras

• Educação para o Trânsito

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos e apresenta temas que contribuem para a formação integral dos estudantes, favorecendo o desenvolvimento de diversas competências gerais e específicas da área de Matemática.

No primeiro capítulo, são trabalhadas as noções de divisibilidade. No segundo capítulo, são trabalhados os critérios de divisibilidade por meio de algoritmos e do desenvolvimento do pensamento computacional. No terceiro capítulo, são estudados os múltiplos e divisores de um número natural. No quarto capítulo, são abordados os números primos e a decomposição de um número composto em fatores primos.

A Unidade apresenta informações sobre contextos de relevância social e cultural, como diversidade cultural, Jogos Paralímpicos, educação para o trânsito e uso de tecnologias.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Em diversos jogos, brincadeiras e atividades, é necessário dividir um grande grupo em grupos menores e com quantidades iguais de componentes. Acompanhe uma dessas situações.

Três professores querem levar ao cinema seus 69 estudantes, sendo dois cadeirantes, para que façam um trabalho sobre um filme. Eles foram divididos em grupos de três integrantes e ficou definido que os estudantes do mesmo grupo deveriam se sentar na mesma fileira.

Três cinemas enviaram por e-mail as informações sobre suas salas, como é possível observar na imagem, e lembraram aos professores que, por motivo de segurança, os três professores também deveriam se sentar.

Resposta pessoal. Os estudantes podem citar critérios como proximidade da escola, acessibilidade (localização dos lugares reservados para cadeirantes, sinalização, presença de corrimão e rampas de acesso), conforto das poltronas, espaço entre as fileiras, diferença de altura entre uma fileira e outra, qualidade do som e imagem, entre outros.

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OBJETIVOS

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• Compreender as noções de múltiplo e divisor.

• Estabelecer critérios de divisibilidade.

• Classificar números em primos ou compostos.

• Decompor um número em fatores primos.

• Ler e interpretar gráficos pictóricos.

• Usar planilhas eletrônicas para auxiliar na divisibilidade.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, o estudo de conceitos relacionados aos múltiplos e divisores é uma ferramenta importante na resolução de problemas, como o da abertura e outros envolvendo divisibilidade. Esses temas têm o objetivo de preparar os estudantes para o estudo de outros conteúdos e favorecer o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06.

SOMMTHINK/ SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Se achar conveniente, permitir aos estudantes que trabalhem em duplas para resolver o problema, para que possam trocar ideias e pensar em possíveis soluções. Depois, é interessante propor uma roda de conversa para que os estudantes socializem as estratégias, favorecendo a argumentação oral. A resolução desse problema contribui para o desenvolvimento das competências específicas 3 e 5.

Na terceira questão, incentivar os estudantes a falar e expor suas ideias. Como esse tema possivelmente é de interesse dos jovens, favorece a temática das culturas juvenis. É interessante fazer uma lista na lousa com os critérios levantados. Caso nenhum estudante cite a acessibilidade (localização dos lugares reservados para cadeirantes, sinalização, presença de corrimão e rampas de acesso, entre outros), reforçar a importância de pensar no assunto para o caso do problema de abertura, já que há dois cadeirantes no grupo.

Com base nessas informações e na imagem, responda às questões no caderno.

• Qual sala de cinema os professores deverão escolher para atender às suas exigências? Por quê? Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Que estratégias você utilizou para resolver esse problema? O que pôde perceber?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Caso mais de um cinema atenda aos critérios necessários, que outro critério você consideraria importante adotar para determinar em qual cinema ir?

• Você já passou por alguma situação na qual era necessário se organizar em grupos? Qual?

Respostas pessoais. Os estudantes podem citar, por exemplo, situações em que participaram de alguma brincadeira em equipes, trabalhos escolares, grupos de visitação em um passeio etc.

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Já a análise de gráficos com informações estatísticas são de extrema importância para a formação cidadã do estudante, por isso a importância do estudo de diversos tipos de gráficos. Nesta Unidade, são abordados os gráficos pictóricos, com temas apresentados pela mídia e com atividade de prática de pesquisa e construção de gráfico, para favorecer o desenvolvimento das habilidades EF06MA31, EF06MA32 e EF06MA33.

Em relação ao uso de planilhas eletrônicas, são inegáveis as transformações pelas quais a humanidade passa, exigindo cada vez mais indivíduos capazes de utilizar recursos tecnológicos, e essa ferramenta precisa estar presente também no ambiente escolar, o que justifica o uso das planilhas nesta Unidade.

Aproveitar a oportunidade para conversar com a turma sobre acessibilidade e a importância dos assentos exclusivos para pessoas com deficiência ou com mobilidade reduzida, como idosos e gestantes. Esses assentos são disponibilizados em diferentes ambientes e devem ser reservados para esse público. Além disso, comentar com os estudantes sobre o desrespeito de outras pessoas quando sentam ou estacionam em lugares reservados. Perguntar a eles se já presenciaram uma cena como essa e o que acham desse tipo de atitude.

Reforçar aspectos como empatia, cooperação e inclusão, o que contribui para o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Os estudantes terão oportunidade de verificar, por meio do cálculo mental, se um número natural é ou não divisível por outro.

Caso tenham dificuldade de realizar o cálculo mentalmente, eles podem representar os números 36 e 23 preenchendo um quadriculado com as quantidades que esses números representam e verificar quantas vezes o número de cada item cabe no número considerado. Por exemplo, no item a da atividade 1, em que é perguntado “Quantas vezes o 2 cabe em 36?”, delimitar 36 unidades no quadriculado e preencher grupos de 2 em 2, até completar 36, utilizando diferentes cores para pintar os grupos. Ou então, pode-se sugerir aos estudantes que façam outros tipos de representação, como a ilustrada após o Pense e responda, por exemplo.

Aproveitar para pedir-lhes que verifiquem um número que não seja divisor de 36. Assim, os estudantes poderão refletir sobre o significado de “caber” nesse contexto e relacioná-lo à divisão exata.

NOÇÕES DE DIVISIBILIDADE CAPÍTULO1

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Considere o número 36.

a) Quantas vezes o 2 cabe em 36? 18

b) E o 3, quantas vezes cabe em 36? 12

c) Quantas vezes o 4 cabe em 36? 9

d) E o 6, quantas vezes cabe em 36? 6

e) Quantas vezes o 12 cabe em 36? 3

f) E o 18, quantas vezes cabe em 36? 2

g) E o 36, quantas vezes cabe em 36? 1

h) E o 1, cabe quantas vezes em 36? 36

2. Considere, agora, o número 23.

a) Quantas vezes o 1 cabe nesse número? 23

b) E quantas vezes o 23 cabe nesse número? 1

c) Que outros números cabem um número exato de vezes em 23? Nenhum.

Os números que cabem um número exato de vezes em outro são chamados divisores desse número. Observe que:

2 forma 1 par. O 2 cabe exatamente uma vez em 2.

3 forma 1 par, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 3.

5 forma 2 pares, e sobra 1. O 2 não cabe um número exato de vezes em 5.

4 forma 2 pares. O 2 cabe exatamente duas vezes em 4.

Podemos dizer que os números 2, 4 e 6 são divisíveis por 2, pois, ao se formarem grupos de 2, não há sobras.

6 forma 3 pares. O 2 cabe exatamente três vezes em 6.

Eu sei que 5 cabe duas vezes em 10.

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Como o resto é 0, a divisão é exata. Então, dizemos que 60 é divisível por 5 ou 5 é  divisor de 60.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Como o resto é diferente de 0 (no caso, o resto é 1), a divisão não é exata. Logo, 61 não é divisível por 5, ou seja, 5 não é divisor de 61.

De modo geral:

Um número natural a é divisível por um número natural b quando a divisão de a por b é exata. Nesse caso, dizemos também que b é divisor de a

Agora, vamos acompanhar a situação a seguir.

Um professor de Educação Física convocou 80 estudantes para uma demonstração de ginástica. Ele pretende distribuir esses estudantes em grupos com a mesma quantidade de integrantes que tenham, no mínimo, 6 e, no máximo, 10 estudantes, sem que sobrem estudantes fora dos grupos. Quais são as maneiras possíveis de formar esses grupos?

Para resolver esse problema, dividimos 80 por 6, por 7, por 8, por 9 e por 10, e consideramos apenas as divisões exatas.

Propor aos estudantes a leitura e a discussão coletiva do texto apresentado na página. A proposta é incentivá-los a se expressar; momentos como esses precisam ser valorizados e cada vez mais incentivados nas aulas de Matemática. Essa comunicação possibilita aos estudantes que se expressem, organizem o pensamento e explorem novas possibilidades, favorecendo o esclarecimento de dúvidas e oportunizando a reflexão sobre o conteúdo abordado. Além disso, tanto os conhecimentos matemáticos adquiridos na escola como as vivências pessoais vêm à tona e devem ser valorizados e, à medida que achar conveniente, é necessário fazer pausas e formalizá-los. É interessante que eles se manifestem falando, escrevendo ou por meio de representações/ esquemas, assim eles se apropriam do conhecimento e desenvolvem a linguagem matemática.

Observando as divisões, você é capaz de dizer quantos grupos e com quantos estudantes o professor poderá formar sem que sobrem estudantes fora dos grupos?

Acompanhe: como 80 é divisível por 8 e por 10, o professor poderá formar 8 grupos de 10 estudantes ou 10 grupos de 8 estudantes.

Após a discussão, pedir aos estudantes que definam com suas próprias palavras e deem exemplos do que são números divisores e números divisíveis por outro. Anotar na lousa as definições e os exemplos dados pelos estudantes, validando as conclusões obtidas. É importante que eles concluam que a relação entre números divisíveis e divisores só ocorre na divisão exata. Por fim, pedir-lhes que façam um resumo dessas anotações em um cartaz e fixá-lo em lugar visível para que depois possam fazer consultas.

Esta página e as seguintes do capítulo favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06.

Considere as divisões a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Encontrando o resto com a calculadora

Se possível, providenciar calculadoras para os estudantes e solicitar-lhes que verifiquem os passos indicados no texto para calcular o resto de 61 : 5. Depois, propor a eles que, ainda usando a calculadora, encontrem o resto da divisão de 61 por 12, registrem no caderno os passos para chegar ao resultado dessa divisão e comparem o resto obtido na divisão anterior.

Fórum

Na primeira questão, incentivar os estudantes a conversar sobre suas preferências culturais (se gostam de ler, de ir ao cinema, de ir a shows) e a trocar ideias sobre essas preferências, respeitando a opinião e gostos dos colegas e valorizando aspectos como empatia e respeito Essa atividade contribui para o desenvolvimento das competências gerais 8 e 10.

Na segunda questão, orientar os estudantes a valorizar a cultura brasileira e as diferentes tradições de cada região do país. Caso tenham dificuldade na pesquisa, orientá-lo a começar pela região onde moram e depois pesquisar outras regiões. Eles podem procurar sobre festas típicas que ocorrem ao longo do ano em algumas regiões, tradições religiosas e culturais, culinárias locais, entre outros. As fotografias tornarão a pesquisa e exposição dos dados mais ricas. Se possível, exponha os painéis em um local da escola a que outros estudantes tenham acesso.

Esta seção favorece a competência leitora, a prática de pesquisa, as culturas juvenis, e as diferenças culturais entre diferentes povos, abordando os Temas Contemporâneos

ENCONTRANDO O RESTO COM A CALCULADORA

Usando a calculadora para efetuar as divisões 60 : 5 e 61 : 5, observamos que, no caso da divisão exata, o quociente 12 aparece no visor. Na outra divisão, aparece um número com vírgula próximo de 12.

Da relação fundamental da divisão: dividendo = divisor x quociente + resto

Concluímos que: resto = dividendo divisor x quociente

Assim, na divisão 61 : 5 temos: 61 5 11 12 1

resto = 61 – 5 ? 12 = 1

Usando uma calculadora:

O número 12, que é o quociente natural, aparece no visor à esquerda do ponto, e o resto 1 não aparece.

• Para obter o quociente: 12.2

6 1 : 5 =

• Para obter o resto:

Atividades culturais

Uma nova pesquisa divulgada nesta terça-feira, 24 [de julho de 2018], mostra que a leitura é a atividade cultural preferida de brasileiros em 12 capitais, seguida de ir ao cinema, shows de música, festas populares e feiras de artesanato. [...]

A pesquisa Cultura nas Capitais, da JLeiva Cultura e Esporte e do Datafolha, entrevistou 10 mil pessoas nas 12 capitais mais populosas do Brasil [...]

O estudo aponta que 64% dos entrevistados afirmaram ter ido ao cinema nos últimos 12 meses. [...]

Outro dado que chama a atenção é que 72% da população afirma frequentar apenas atividades gratuitas, ou mais gratuitas do que pagas. [...]

PESQUISA explora os hábitos culturais do brasileiro em 12 capitais. O Estado de S. Paulo, São Paulo, 24 jul. 2018. Disponível em: https://cultura.estadao.com.br/noticias/geral,pesquisa-explora -os-habitos-culturais-do-brasileiro-em-12-capitais,70002412955. Acesso em: 29 jul. 2022.

Junte-se a alguns colega para responder às questões.

Respostas pessoais. Verificar orientações neste Manual.

• Qual é a sua atividade cultural preferida? Converse com os colegas a respeito.

• A diversidade cultural no Brasil é representada por suas inúmeras tradições, crenças, manifestações artísticas e religiosas, festas populares, variedade culinária, entre outros. Pesquisem informações sobre a diversidade cultural no Brasil, destacando tradições de todas as regiões. Organizem painéis com fotografias e textos para apresentar a pesquisa.

Transversais Diversidade Cultural e Educação para valorização do multiculturalismo nas matrizes históricas e culturais Brasileiras, além de contribuir para desenvolver as competências gerais 1, 3, 4, 6 e 9 e as competências específicas 2, 7 e 8 da área de Matemática.

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7. 6 grupos de 10 equipes; 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes.

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Obtenha o resto das divisões:

Assim, qual é o maior número, menor do que 300, divisível por 11? 297

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

a) 42 : 5

b) 43 : 5 c) 44 : 5 d) 45 : 5 e) 46 : 5 f) 47 : 5

2. Copie o quadro e complete-o usando uma calculadora.

Dividendo Divisor Quociente Resto

1 036 32 32 12

3. Usando uma calculadora, calcule o resto da divisão de 56 373 por 236.

4. Entre as afirmações seguintes, quantas são verdadeiras?

a) Todos os números naturais diferentes de zero são divisíveis por 1.

b) Qualquer número natural diferente de zero é sempre divisível por 1 e por ele mesmo.

c) 55 é divisível por 1, 5, 11 e por ele mesmo.

5. O número 518 é divisível por 37. Qual é o próximo número natural divisível por 37?

6. Sabe-se que o maior número possível divisível por 11 e menor do que 300 é dado por 300 r, em que r representa o resto da divisão de 300 por 11.

DESAFIO

7. Um campeonato nacional de futebol será disputado por 60 equipes. A entidade organizadora pretende formar grupos que tenham o mesmo número de equipes com, no mínimo, 10 e, no máximo, 15 equipes em cada grupo. Quais são as maneiras possíveis de formar esses grupos?

8. Inspirando-se na atividade 7, elabore um problema que possa ser resolvido usando-se a noção de divisibilidade. Troque de problema com um colega para que ele resolva o seu e você resolva o problema criado por ele.

9. A idade de Sílvio é um número natural, entre 40 e 50, que é divisível por 6 e por 7 ao mesmo tempo. Qual é a idade de Sílvio? 42 anos.

10. Responda às questões a seguir.

a) Qual é o menor número natural que se deve subtrair de 719 para se obter um número divisível por 23? 6

b) Qual é o menor número natural que se deve adicionar a 706 para se obter um número divisível por 13? 9

11. Convide um colega, e resolvam o desafio para descobrir quantos exercícios de Matemática João resolveu hoje.

Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Pedir a eles que leiam as atividades com bastante atenção. Acompanhar as resoluções fazendo as intervenções necessárias.

Para a atividade 6, estimular a leitura cuidadosa e a organização dos dados no caderno. Os estudantes devem perceber que, para determinar qual é o maior número possível divisível por 11 e menor do que 300, eles primeiro precisam encontrar o resto da divisão de 300 por 11 e, depois, subtrair esse resto de 300. Se achar necessário, realizar a resolução dessa atividade na lousa para que todos os estudantes possam esclarecer as dúvidas.

Na atividade 11, explorar com os estudantes o significado de “contando de”. Ajudá-los a compreender que João está tratando do fato de o número de exercícios ser divisível ou não por outro número. Caso não haja sobra, o número é divisível, caso contrário, não é.

• Sabendo que o total de exercícios ultrapassa 50, mas não chega a 100, quantos exercícios João resolveu? 91

WANDSON ROCHA

Três.

Contando de 2 em 2, sobra 1.

Contando de 3 em 3, sobra 1.

Contando de 5 em 5, sobra 1.

Contando de 7 em 7, não sobra nenhum.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Critérios de divisibilidade

Este capítulo favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA05.

Os critérios de divisibilidade não estão organizados em ordem crescente dos divisores (2, 3, 4, 5 e assim por diante), mas sim em uma sequência que favoreça a percepção de que o critério de divisibilidade por um número pode estar atrelado a outros critérios de divisibilidade. Por exemplo, o critério de divisibilidade por 6 está ligado aos critérios de divisibilidade por 2 e por 3, então a sequência apresentada no livro é a divisibilidade por 2, 3 e 6. Antes de apresentar os critérios de divisibilidade de cada número, fazer atividades de investigação para que os estudantes percebam as regularidades. Por exemplo, para o critério de divisibilidade por 2, apresentar um quadro com diversos números e pedir aos estudantes que identifiquem todos os números que são divisíveis por 2; depois, pedir para verificarem o último algarismo desses números e identificarem o que todos eles têm em comum. Esse mesmo procedimento pode ser feito, por exemplo, para o 5, o 10, o 100 e o 1 000. Fazer investigações para todos os critérios de divisibilidade, direcionando as orientações para o que é necessário que os estudantes notem nos divisores. Essa investigação favorece a compreensão dos estudantes, além de exercitar a investigação, a inferência e a generalização

Após cada investigação, formalizar o critério de divisibilidade em questão.

Sem usar a calculadora, efetue as divisões. 69 534 é divisível por 3?

E 106 518, é divisível por 4?

Verificar a divisibilidade de um número natural por outro número natural usando o algoritmo da divisão pode ser trabalhoso e demorado. Vamos conhecer uma maneira mais prática de fazer essas verificações? Os critérios de divisibilidade são condições que nos permitem saber se um número é ou não é divisível por outro sem a necessidade de efetuarmos toda a divisão. Vamos, a seguir, conhecer alguns desses critérios.

DIVISIBILIDADE POR 2

Observe o quadro.

Pelas informações do quadro, percebe-se que, dos números listados, os números pares, quando divididos por 2, têm resto zero; logo, são divisíveis por 2: 10, 12, 14, 16 e 18.

Assim:

Um número será divisível por 2 quando for par, isto é, se terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.

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69 534 dividido por 3

106 518 dividido por 4

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

Então:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• 7 206 é divisível por 2, pois termina em 6, ou seja, é par.

• 5 483 não é divisível por 2, pois não é par.

Observe como podemos representar o critério de divisibilidade por 2 por meio de um fluxograma.

Início: (escolha um número)

O número não é divisível por 2.

DIVISIBILIDADE POR 3

O número termina em 0, 2, 4, 6 ou 8?

Não. Sim.

Vamos verificar se 62 124 é divisível por 3.

Fazendo a divisão: 62 124 3 02 1 20 708 62 124 é divisível por 3. 024 0

O número é divisível por 2.

Todos os critérios de divisibilidade podem ser estabelecidos por meio de um passo a passo, ou seja, de um algoritmo, o que favorece o pensamento computacional dos estudantes. Esses algoritmos, em alguns momentos, são expressos por meio de um fluxograma, como foi o caso do critério de divisibilidade por 2, desenvolvendo a competência específica 6 da área de Matemática e as habilidades EF06MA04 e EF06MA34.

Vamos conhecer outra forma de verificar se 62 124 é divisível por 3. Primeiro, adicionamos os algarismos de 62 124 e, em seguida, dividimos a soma por 3.

6 + 2 + 1 + 2 + 4 = 15 15 3 0

Observe que as duas divisões são exatas. Esse fato se repete sempre que a divisão de um número natural por 3 for exata. Então, dizemos que:

Um número será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3.

Assim:

• 7 092 é divisível por 3, pois 7 + 0 + 9 + 2 = 18, e 18 é divisível por 3.

• 6 413 não é divisível por 3, pois 6 + 4 + 1 + 3 = 14, e 14 não é divisível por 3.

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Nesse caso, explorar o fluxograma que apresenta o critério de divisibilidade e, utilizando uma linguagem que facilite a compreensão dos estudantes, elaborar com eles uma sequência de procedimentos necessários para verificar se um número natural é par. Depois, construir um novo fluxograma com essas informações.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se um número natural é divisor de outro número natural de maneira mais rápida do que efetuar a divisão.

Comentar que há critérios de divisibilidade por 7 e explicar que ele não é tão imediato como o dos outros números:

• Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar facilmente a divisão por 7. Exemplo: verificar se o número 17 654 é divisível por 7, usando o critério de divisibilidade.

1 765 Número sem o último algarismo

8 Subtração do dobro de 4 (último algarismo)

1 757 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

175 Número sem o último algarismo

14

DIVISIBILIDADE POR 6

Considere o número natural 3 624. Esse número é divisível por 2, pois termina em 4. E também é divisível por 3, pois 3 + 6 + 2 + 4 = 15, e 15 é divisível por 3. Observe, agora, a divisão:

3 624 6

A divisão é exata: o número 3 624 é divisível por 6. 024 604 0

Esse fato sempre se repete; então, dizemos que:

Um número será divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

DIVISIBILIDADE POR 4

Observe as divisões.

• 1 632 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.

• 4 430 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2, não é divisível por 3.

Todos esses números terminam em 00 e são divisíveis por 4.

Subtração do dobro de 7 (último algarismo)

161 Diferença

Repete-se o processo com este último número.

16 Número sem o último algarismo

2

Subtração do dobro do último algarismo

14 Diferença

A última diferença é 14, que é divisível por 7; logo, o número

17 654 é divisível por 7.

O resto de cada uma dessas divisões é igual a zero.

Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou quando o número formado por seus dois últimos algarismos for divisível por 4.

108

• 500 é divisível por 4, pois termina em 00.

• 1 380 é divisível por 4, pois 80 é divisível por 4.

• 4 526 não é divisível por 4, pois 26 não é divisível por 4.

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Mostrar que esse processo não é tão imediato quanto os outros nos quais basta analisar o último algarismo ou adicionar os algarismos do número, por exemplo. Portanto, efetuar a divisão por 7 é mais rápido e prático do que usar o critério de divisibilidade.

É importante lembrar que os critérios de divisibilidade têm como objetivo tornar o processo de divisão mais prático.

Divisibilidade por 6

Apresentar o critério de divisibilidade por 6 para os estudantes, explorando exemplos. Aproveitar essa oportunidade para incentivá-los a participar de maneira ativa das descobertas desses critérios.

Para isso, pode-se construir um quadro com os estudantes com a sequência dos números de 1 a 100; em seguida, pedir a eles que pintem de amarelo todos os números divisíveis por 2 e de azul todos os números divisíveis por 3.

DIVISIBILIDADE POR 8

Um número será divisível por 8 quando terminar em 000 ou quando o número formado por seus três últimos algarismos for divisível por 8.

DIVISIBILIDADE POR 9

Vamos verificar se 28 314 é

• 3 000 é divisível por 8, pois termina em 000.

• 7 520 é divisível por 8, pois 520 é divisível por 8.

• 34 118 não é divisível por 8, pois 118 não é divisível por 8.

por 9?

O algoritmo da divisão nos mostra que 28 314 é divisível por 9.

Outra forma de verificar isso é adicionar os algarismos do número 28 314 e, em seguida, efetuar a divisão dessa soma por 9.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisibilidade por 8

Para o critério de divisibilidade por 8, observar junto aos estudantes que ele não é tão prático quanto outros critérios de divisibilidade apresentados. Mostrar que, para determinar se um número é ou não divisível por 8, há a necessidade de efetuar a divisão dos três últimos algarismos por 8. Nesse caso, anotar na lousa alguns números de 4 algarismos ou mais e pedir aos estudantes que verifiquem se esses números são divisíveis por 8. Se achar conveniente, pedir a eles que utilizem uma calculadora para agilizar as operações. Depois, pedir que dividam o número formado pelos três últimos algarismos de cada número por 8 para verificar o que acontece.

Divisibilidade por 9

Esse fato se repete sempre que a divisão de um número natural por 9 for exata. Então:

Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 9.

• 6 408 é divisível por 9, pois 6 + 4 + 0 + 8 = = 18, e 18 é divisível por 9.

• 27 319 não é divisível por 9, pois 2 + 7 + 3 + + 1 + 9 = 22, e 22 não é divisível por 9.

Depois, pedir que circulem todos os números divisíveis por 6. Perguntar o que eles perceberam. É interessante perguntar se esses números têm algo em comum. Espera-se que os estudantes percebam que os números circulados já haviam sido coloridos de amarelo ou de azul. Esse processo permite que eles percebam que os números divisíveis por 6 também são divisíveis por 2 e 3. Incentivar os estudantes a verbalizar e escrever as conclusões.

Uma sugestão para trabalhar o critério de divisibilidade por 9 é fornecer aos estudantes um quadro com os números de 1 a 90. Depois, pedir que circulem os números divisíveis por 9, seguindo a sequência da tabela de multiplicação (tabuada) do número 9. Perguntar aos estudantes se conseguiram observar algum padrão entre os números circulados. É provável que eles percebam que a soma dos algarismos desses números sempre é 9; caso não percebam, pedir que façam a soma dos algarismos e observem o padrão. Por fim, pedir que continuem a sequência dos números divisíveis por 9 maiores do que 90 e que observem a soma dos algarismos desses números.

Caso achar conveniente, permitir aos estudantes que utilizem a calculadora para agilizar os cálculos e facilitar o entendimento de padrões, regras e critérios de divisibilidade.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É interessante comentar com os estudantes que o zero dividido por qualquer outro número diferente de zero será sempre zero. Apresentar a eles algumas divisões em que o dividendo é zero, por exemplo, 0 : 4; 0 : 13; 0 : 22; 0 : 59 e 0 : 142. Questioná-los sobre qual é a ideia de dividir 0 por 4, por exemplo. É provável que os estudantes pensem em uma situação em que não temos “nada” para dividir entre 4 pessoas. Nesse caso, as quatro pessoas não teriam nada a receber, e o quociente, consequentemente, é o zero.

Caso desejar, pedir aos estudantes que organizem um quadro com os critérios de divisibilidade estudados antes de começar as atividades. Propor que escrevam esses critérios e acrescentem alguns exemplos, a ideia é deixar essas informações de fácil acesso para todos na sala. Sempre que houver necessidade, esse quadro pode ser atualizado.

DIVISIBILIDADE POR 5

Observando os números naturais divisíveis por 5 (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...), dizemos que:

• 42 020 é divisível por 5, pois termina em 0.

Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.

DIVISIBILIDADE POR 10

• 6 045 é divisível por 5, pois termina em 5.

• 21 237 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Observando os números naturais divisíveis por 10 (0, 10, 20, 30, 40, 50, ...), dizemos que:

Um número natural será divisível por 10 quando terminar em 0.

DIVISIBILIDADE POR 100

• 1 50 0 é divisível por 10.

• 4 203 não é divisível por 10.

Observando os números naturais divisíveis por 100 (0, 100, 200, 300, 400, 500, ...), dizemos que:

Um número natural será divisível por 100 quando terminar em 00.

• 31 700 é divisível por 100.

• 5 430 não é divisível por 100.

• 789 não é divisível por 100.

DIVISIBILIDADE POR 1 000

Observando os números naturais divisíveis por 1 000 (0, 1 000, 2 000, 3 000, 4 000, 5 000, ...), dizemos que:

Um número natural será divisível por 1 000 quando terminar em 000.

• 25 000 é divisível por 1 000.

• 8 300 não é divisível por 1 000.

• 6 341 não é divisível por 1 000.

Responda às questões no caderno.

1. O diâmetro da Terra é 12 756 quilômetros.

12 756 é divisível por:

a) 2? Sim.

b) 3? Sim.

c) 4? Sim.

d) 5? Não.

Atividades

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e) 6? Sim.

f) 8? Não.

g) 9? Não.

h) 10? Não.

Nestas atividades, os estudantes terão a oportunidade de aplicar os critérios de divisibilidade. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Acompanhar a resolução das atividades, incentivando a troca de ideias entre as duplas. Anotar as dúvidas que surgirem e retomá-las para esclarecê-las.

Na atividade 7, caso seja necessário, ajudar os estudantes no processo de elaboração; é

i) 100? Não.

j) 1 000? Não.

importante que eles entendam que, quando se elabora uma questão, ela deve ser clara e objetiva. Nesse momento, espera-se que eles elaborem algo mais simples, pois o objetivo aqui é fazer que eles adquiram confiança acerca do que aprenderam e se comuniquem, expondo suas ideias e os procedimentos com os quais se sentem seguros em utilizar.

As atividades 8 e 9 favorecem o pensamento computacional e o desenvolvimento da

Representação do planeta Terra.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Existem seis números de três algarismos que podem ser escritos com os algarismos 2, 5 e 9, sem repeti-los.

a) Escreva esses números.

b) Quais deles são divisíveis por 2?

259, 295, 529, 592, 925 e 952. 592 e 952.

c) Quais deles são divisíveis por 3?

Nenhum deles.

3. Observe este número. 5 n 0 1 Agora, responda às questões.

a) Se você colocar o algarismo 0 no lugar de n, o número será divisível por 9? Não.

b) Qual é o menor algarismo que você deve colocar no lugar de n para que esse número fique divisível por 9? 3

4. Observe o número a seguir. 4 0 3 0 2 n

a) Colocando 0 no lugar de n, o número será divisível por:

• 3? Sim.

• 4? Sim.

• 5? Sim.

c) Qual é o menor algarismo que se pode atribuir a b para que 70b3 seja divisível por 3? 2

d) Qual é o menor algarismo que se pode atribuir a b para que 70b3 seja divisível por 9? 8

7. Com base nas questões anteriores, elabore uma questão que envolva os critérios de divisibilidade apresentados neste capítulo. Em seguida, troque o problema com um colega, de modo que ele resolva o problema que você elaborou enquanto você resolve o problema elaborado por ele.

8. Observe o fluxograma a seguir, que representa um dos critério de divisibilidade vistos neste capítulo.

Início: (escolha um número)

• 8? Não.

• 9? Sim.

• 10? Sim.

b) Qual é o menor algarismo que deve substituir n para que o número seja divisível por 8? 4

5. Usando apenas o 3 e o 0, escreva oito números de quatro algarismos e entre eles identifique:

a) os que são divisíveis por 4. 3 000 e 3 300.

b) os que são divisíveis por 8. 3 000

c) os que são divisíveis por 1 000. 3 000

6. Considere os números 325d e 70b3

a) Qual é o menor algarismo que se pode atribuir a d para que 325d seja divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3? 2

b) Qual é o menor algarismo que se pode atribuir a d para que 325d seja divisível por 6? 2

A soma dos algarismos do número é divisível por ?

Não.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se achar conveniente, após resolver as atividades, comentar que um mesmo fluxograma pode ser usado para verificar, ao mesmo tempo, se um número é divisível por mais de um número; por exemplo, podemos construir um fluxograma para verificar se um número é divisível por 10 e por 5, simultaneamente. Observe:

Início: Escolha um número.

O último algarismo do número é 0?

O número é divisível por 10 e por 5.

Sim.

O número é divisível por

O número não é divisível por

• Copie o fluxograma substituindo cada por um número que torne esse fluxograma correto. Existe somente uma possibilidade de resposta?

Todos os podem ser substituídos por 3 ou por 9.

DESAFIO

9. Junte-se a um colega, e escolham um critério de divisibilidade, diferente de 2 e diferente do apresentado na atividade 8, e façam um fluxograma para representá-lo.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 111

D2_AV3-MAT-F2-2103-V6-U4-100-129-LA-G24.indd

competência específica 6 da área de Matemática e das habilidades EF06MA04 e EF06MA34.

Na atividade 8, espera-se que os estudantes percebam que há mais de uma resposta possível.

Na atividade 9, após os estudantes fazerem os fluxogramas, compartilhar na lousa as respostas das duplas de modo a apresentar fluxogramas para todos os critérios de divisibilidade estudados na Unidade; caso nenhuma dupla apresente um fluxograma para algum critério específico, construir com os estudantes esse fluxograma na lousa.

O último algarismo do número é 5?

O número é divisível por 5.

O número não é divisível por 10 nem por 5.

Sim.

Sim.

Não. Não.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Divisores e múltiplos de um número natural

Este capítulo favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06.

Pedir aos estudantes que leiam o texto do livro e expliquem com as próprias palavras qual é a relação entre os fatores de um número e seus divisores, utilizando, para isso, os números 30 e 24, exemplos dados no livro. Incentivar a expressão oral dos estudantes, permitindo que estabeleçam conexões entre os conceitos, as opiniões que possuem e o conhecimento que estão adquirindo. Ou seja, nesse momento eles terão espaço para organizar as ideias que possuem e esclarecer possíveis dúvidas. Apresentar outros números, como 15 e 66, e pedir que determinem seus fatores e divisores. Escolher dois estudantes para mostrar e explicar para a turma sua resolução. Valorizar a postura de respeito aos colegas, caso haja algum erro na resolução ou na fala dos estudantes, e incentivá-los a encarar o erro como parte do processo de aprendizagem. Por fim, convidá-los a observar a ocorrência de padrões, por exemplo, o número 1 é divisor de todos os números. Outra ocorrência que provavelmente eles percebam é que o próprio número é divisor dele mesmo.

3 DIVISORES

MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL

PENSE E RESPONDA

E

Responda às questões no caderno.

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Determine todos os possíveis produtos de dois números naturais cujo resultado seja:

a) 22. b) 60. c) 17. d) 24.

2. Escreva os divisores de: a) 22. b) 60. c) 17. d) 24.

Observe as multiplicações a seguir.

1 10 = 10 2 5 = 10

Note que, multiplicando 1 por 10, obtemos 10 e, multiplicando 2 por 5, também obtemos 10.

Chamamos tanto 1 e 10 como 2 e 5 de fatores de 10, ou seja, são números que, quando multiplicados, resultam no produto 10.

Os números 1, 2, 5 e 10 também são divisores de 10. Acompanhe estas outras situações.

1 Quais são os divisores de 30?

1 30 = 30 2 15 = 30

3 ? 10 = 30 5 ? 6 = 30

Os divisores de 30 são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Como todos os fatores de um número são também seus divisores, podemos determinar os divisores naturais de um número por meio de multiplicações.

Então, o conjunto dos divisores de 30 é:

D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

2 Quais são todos os divisores naturais de 24?

1 24 = 24 2 12 = 24

3 8 = 24 4 6 = 24

Então, o conjunto dos divisores de 24 é:

D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Observe que qualquer número natural, com exceção do 0, tem como divisores o número 1 e ele próprio.

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MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL

A palavra “múltiplo” está ligada à operação multiplicação. Assim, quando queremos determinar os múltiplos de um número natural, por exemplo, do 4, multiplicamos o 4 pela sucessão de números naturais:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Múltiplos de um número natural

O conjunto dos múltiplos naturais de 4 é:

M (4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, ...}.

Dessa maneira, obtemos o conjunto dos múltiplos de um número natural. Observe, agora, as divisões a seguir.

Podemos dizer que:

• 42 é divisível por 7.

• 51 é divisível por 3.

• 100 é divisível por 5. Também podemos afirmar que:

• 42 é múltiplo de 7.

• 51 é múltiplo de 3.

• 100 é múltiplo de 5. De modo geral, temos:

Um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero quando a for divisível por b, ou b for divisor de a

Por exemplo:

• 132 é múltiplo de 11, pois 132 é divisível por 11, conforme podemos verificar na divisão.

• 163 não é múltiplo de 11, pois 163 não é divisível por 11, conforme podemos verificar na divisão.

Pedir aos estudantes que leiam esta página e observem os produtos das multiplicações apresentadas. É importante que eles percebam que esses produtos são apresentados como os múltiplos de 4. Aproveitar o momento e solicitar aos estudantes que determinem o conjunto de múltiplos de outros números, como 6 e 10. Depois, convidar alguns estudantes para mostrar aos colegas como chegaram às respostas. Incentivá-los a usar a linguagem matemática registrando suas respostas entre chaves e ressaltar que essa linguagem é uma representação simbólica que comunica ideias. Em seguida, pedir aos estudantes que observem padrões que ocorrem nas sequências dos múltiplos.

É provável que os estudantes percebam que o número zero aparece em todos os conjuntos de múltiplos e que esse conjunto é infinito.

Enfatizar que todo múltiplo de um número é divisível por esse mesmo número.

Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte maneira: Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15; assim, 15 é múltiplo de 3. Diferentemente do conjunto dos divisores de um número natural, que é finito, o conjunto dos múltiplos é infinito, pois a multiplicação de um número pelos números da sequência de números naturais produzirá seus múltiplos e, como sabemos, o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nestas atividades, os estudantes terão a oportunidade de determinar e verificar os divisores de um número natural e, também, se um número é múltiplo de outro. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Acompanhar a resolução das atividades caminhando pela sala e fazendo intervenções quando necessário. Para a atividade 14, certificar-se de que todos os estudantes entenderam o significado de ano bissexto. Pedir que verifiquem se o ano corrente é ou não bissexto e investiguem o ano de nascimento de alguns adultos que conhecem para verificar, também, se foram ou não anos bissextos.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se 6 é um divisor de:

a) 26. b) 48. c) 72. d) 86.

2. Verifique se 92 é múltiplo de:

a) 4. b) 6. c) 8. d) 23.

3. Entre os elementos do conjunto

A = {2, 3, 5, 6, 8, 9, 10}, identifique os que são divisores de:

a) 14. 2

b) 18. 2, 3, 6, 9

c) 25. 5

d) 45. 3, 5, 9

e) 54. 2, 3, 6, 9

f) 70. 2, 5, 10

4. Quais são os divisores de 15 que também são divisores de 25? 1 e 5.

5. Determine os divisores de:

a) 14 que não são divisores de 35. 2 e 14.

b) 35 que não são divisores de 14. 5 e 35.

c) 14 que são, também, divisores de 35.

6. Qual é a idade de Janete? 30 anos.

A minha idade corresponde ao maior divisor par de 60, sem ser o 60.

7. (Saresp-SP) Indique, dentre as opções abaixo, aquela que apresenta todas as afirmações corretas: Alternativa c.

a) 12 é múltiplo de 2, de 3 e de 9.

b) 2, 3 e 7 são divisores de 7.

c) 2, 3 e 6 são divisores de 12.

d) 12 é múltiplo de 24 e de 39.

8. Escreva os seis primeiros múltiplos naturais de 15. 0, 15, 30, 45, 60, 75

9. Qual é o maior múltiplo de 13 menor do que 300? 299

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AMPLIANDO

Atividade complementar Brincadeira do “pim”

A brincadeira consiste em substituir o múltiplo de um número pela palavra “pim”. Pedir aos estudantes que contem números de um em um, substituindo o múltiplo do número escolhido pela palavra “pim”. Um exemplo de resolução da brincadeira está descrito a seguir.

10. Na Olimpíada de Matemática da escola onde estudo, cada grupo apresenta desafios ao grupo adversário. Tente resolvê-los.

a) Qual é o menor número natural que é múltiplo de 2 e maior do que 200? 202

b) O que é, o que é? Um número natural divisível por 2 e 3, maior do que 30 e menor do que 40? 36

c) Você sabe dizer quais números naturais menores do que 8 são múltiplos de 2 e de 4 ao mesmo tempo? 0 e 4.

d) Qual é o maior resto possível em uma divisão por 5? 4

e) Escreva dois números naturais menores do que 500, múltiplos de 2 e de 3, cada um com três algarismos iguais. 222 e 444.

11. Qual é o menor múltiplo de 13 maior do que 100? 104

12 Quantos múltiplos comuns de 3 e de 5 há de 0 a 30? 3

13. Entre os múltiplos comuns de 3 e de 5 que você obteve, qual é o menor deles diferente de zero? 15

14. É fácil saber quando um ano é bissexto (fevereiro com 29 dias). É só verificar se o ano é dado por um número divisível por 4 ou, no caso dos anos terminados em 00, se o número é divisível por 400.

a) Escreva quais dos anos a seguir são bissextos. 2008 e 2020.

b) A década de 1990 (de 1990 a 1999) teve quantos anos bissextos? Dois: 1992 e 1996.

c) Escreva os anos bissextos das últimas duas décadas. O que você observa sobre a ocorrência deles?

14. c) Década de 2000: 2000, 2004 e 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

Múltiplos de 5, de 1 a 50: 1, 2, 3, 4, “pim”, 6, 7, 8, 9, “pim”, 11, 12, 13, 14, “pim”, 16, 17, 18, 19, “pim”, 21, 22, 23, 24, “pim”, 26, 27, 28, 29, “pim”, 31, 32, 33, 34, “pim”, 36, 37, 38, 39, “pim”, 41, 42, 43, 44, “pim”, 46, 47, 48, 49, “pim”. Propor aos estudantes que realizem a contagem dos números oralmente, substituindo os múltiplos de 2, depois de 3, 4 e 5, pela palavra “pim”.

Dessa maneira, eles terão a oportunidade de realizar a substituição de determinado valor por outro código e também de aprender e memorizar a tabuada de multiplicação.

15. Copie a sequência de passos indicada, substituindo cada pela(s) palavra(s) correta(s), de modo que, seguindo esses procedimento, seja possível determinar se um número natural a é múltiplo de um número natural b.

2º-) Divida a por b e verifique o da divisão. resto

3º-) O é zero? resto

4º-) Se sim, a múltiplo de b é

5º-) Se não, a múltiplo de b não é • Agora, seguindo o modelo, construa um fluxograma para representar essa sequência de passos.

Exemplo de resposta

na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1º-) Inicialmente, escolha os números naturais a e b

DESAFIOS

17. (OBM) Sara foi escrevendo nas casas de um tabuleiro 95 por 95 os múltiplos positivos de 4, em ordem crescente, conforme a figura.

O número que Sara escreveu onde se encontra a letra U é: Alternativa c.

16 Elabore um problema que envolva as ideias de múltiplo e divisor de números naturais. Em seguida, troque o problema com um colega, de modo que ele resolva o problema que você elaborou enquanto você resolve o problema elaborado por ele. Por fim, verifique a resolução e corrija-a se necessário. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

a) 35 192

b) 35 196 c) 36 100 d) 36 104 e) 36 108

18. Copie o esquema do diagrama e complete-o com um colega.

Horizontais

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Múltiplo de 2 e de 3, menor do que 10.

3. Três centos mais dois.

4. Múltiplo de 11 e de 2, no qual o algarismo das dezenas é igual ao das centenas e o primeiro algarismo é igual ao último.

9. Ele é múltiplo de todos os números. Verticais

1. Primeiro múltiplo de 5 maior do que 64.

5. Número em que o algarismo das unidades é o dobro do algarismo das centenas.

6. Primeiro múltiplo de 5 maior do que 400.

7. Múltiplo de 11, maior do que 800 e menor do que 900.

8. Considerando os múltiplos de 5, na ordem crescente, ele é o quinto múltiplo.

19. Utilizando os critérios de divisibilidade, verifique se o número obtido em 2 é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 e 10. Justifique sua resposta.

É divisível por 2, 3, 4, 6 e 9. Justificativa na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Na atividade 15 os estudantes terão de completar um algoritmo em linguagem natural e representá-lo por meio de um fluxograma, fazendo uma mudança de registros e desenvolvendo o pensamento computacional, a competência específica 6 da área de Matemática e as habilidades EF06MA04 e EF06MA34. Para iniciar a atividade 18, pedir aos estudantes que leiam a proposta com atenção. Perguntar a eles como se resolve diagrama desse tipo. É provável que alguns estudantes tenham familiaridade com esse tipo de diagrama de palavras e as associem com a atividade proposta no desafio. Ressaltar que, no caso desse desafio, ela é um diagrama de números escritos com algarismos, em que as horizontais se referem às linhas, e as verticais, às colunas do esquema quadriculado. Discutir com os estudantes quais estratégias podem ser usadas para a resolução. Por exemplo, iniciar pelo número da questão do qual o estudante sabe a resposta e utilizá-la para encontrar outros. A atividade pode ser realizada individualmente ou em dupla. Depois, pedir a eles que socializem as respostas e compartilhem quais foram as dificuldades encontradas. Na afirmação 7, caso julgar conveniente, mostrar que há vários múltiplos de 11 maiores do que 800 e menores do que 900, porém é necessário que o número satisfaça os algarismos cruzados com 3 e 4 na horizontal.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

O objetivo desta seção é dar oportunidade aos estudantes para observar, identificar, analisar e interpretar informações expressas em gráficos pictóricos, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32, e das competências específicas 1, 3 e 6 da área de Matemática.

Antes de iniciar a leitura do texto do livro, fazer um levantamento sobre o conhecimento prévio dos estudantes. Perguntar a eles quais são os tipos de gráficos que conhecem e incentivá-los a contar alguns detalhes sobre isso: como conheceram o gráfico mencionado e qual é o assunto abordado nele etc. É esperado que ainda não consigam utilizar a nomenclatura correta para descrever todos os tipos de gráficos que conhecem.

Pedir que tentem localizar em jornais e revistas (físicos ou digitais) gráficos de diferentes tipos para que, em seguida, observem os elementos que os compõem (título, fonte etc.) e as particularidades de cada tipo de gráfico.

Além dessas observações, é importante conversar com os estudantes sobre o objetivo de cada gráfico, ou seja, qual informação eles transmitem e quais recursos foram utilizados para a apresentação dos dados. Essa análise tem como objetivo fazer os estudantes perceberem que, no gráfico pictórico, os desenhos transmitem informações, ou seja, não é uma escolha aleatória; portanto, precisa ser decodificada e interpretada corretamente.

Para finalizar, perguntar a eles se acreditam que o gráfico pictórico facilita a transmissão, leitura e interpretação dos dados e o porquê de sua resposta.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO

DA

GRÁFICO PICTÓRICO: LEITURA E INTERPRETAÇÃO

Um gráfico pictórico ou pictograma apresenta figuras que traduzem a informação de maneira bem sugestiva: as ideias são transmitidas por meio de desenhos. O tamanho e/ou a quantidade desses desenhos no gráfico determinam a frequência dos dados. Observe, a seguir, um exemplo de gráfico pictórico.

População de um município

Responda às questões no caderno.

1. Considerando o gráfico apresentado, quantos habitantes a mais o município tinha em 2000 em relação ao total de 1960?

2. O gráfico a seguir apresenta os dados sobre a venda de refeições de um restaurante durante um ano.

Fonte: Dados fictícios.

a) De acordo com o gráfico, indique quantas refeições cada figura a seguir representa.

b) Observe o gráfico, calcule mentalmente e depois responda às questões.

• Em quais trimestres a venda foi inferior a 3 500 refeições? Só no 1o

• Em quais trimestres a venda foi superior a 3 500 refeições? No 2o, no 3o e no 4 o

• Quantas refeições foram vendidas no 2o trimestre a mais que no 1o trimestre?

• Quantas refeições foram vendidas no 2o trimestre a menos que no 3o trimestre?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

500 refeições. 250 refeições.

c) Quantas refeições foram vendidas em cada trimestre? Faça uma tabela para organizar esses dados.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

d) Escreva um parágrafo resumindo algumas informações apresentadas no pictograma.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

3. Observe as informações fornecidas pelo gráfico pictórico a seguir e descubra quanto representa cada 150 milhões.

Quantidade de pessoas que já viveram no planeta

5 milhões 8000 a.C.

300 milhões 1 d.C.

450 milhões 1200 d.C.

795 milhões 1750 d.C.

1 bilhão e 265 milhões 1850 d.C.

2 bilhões e 516 milhões 1950 d.C.

6 bilhões e 475 milhões 2005 d.C.

Elaborado com base em: IWAKURA, Mariana. Quantas pessoas já viveram no Planeta Terra? Superinteressante, São Paulo, n. 210, p. 28-29, fev. 2005.

SAIBA QUE

O responsável pelos cálculos apresentados nesse gráfico é Carl Haub, pesquisador estadunidense. Ele afirma que esses cálculos não são precisos. Nesse trabalho, o pesquisador usou dados históricos e arqueológicos e estudos da Organização das Nações Unidas (ONU).

4. O estudo de Carl Haub estima que já viveram no planeta Terra cento e seis bilhões, setecentas e dezesseis milhões, trezentas e sessenta e sete mil, seiscentas e sessenta e nove pessoas. Use algarismos para representar esse número. 106 716 367 669

5. Reúna-se a alguns colegas, e realizem uma pesquisa que julguem importante e que possa ter os dados coletados organizados em forma de pictograma. Produzam um pequeno texto explicando o motivo de terem escolhido o assunto pesquisado, uma tabela com os dados coletados e o pictograma montado a partir desses dados. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

Os gráficos são recursos muito utilizados pelos meios de comunicação para apresentar informações sobre os mais variados assuntos. Um gráfico é capaz de comunicar ideias de maneira mais rápida, prática e objetiva do que um texto, por exemplo; além disso, é mais atrativo.

Existem muitos tipos de gráficos. Os mais utilizados são os gráficos de colunas, barras, linhas, pictóricos e os de segmento. Entre esses, o gráfico pictórico tem como característica o uso de figuras ou imagens relacionadas ao assunto tratado; a quantidade ou o “tamanho” desses elementos determinam a frequência dos dados. Esse recurso contribui para a compreensão e interpretação das informações.

Na atividade 3, é interessante comentar com os estudantes qual é a tendência em relação ao número de pessoas que vivem no planeta e quais são as razões que levam ao crescimento populacional.

Na atividade 5, orientar os estudantes a fazer algumas definições sobre a pesquisa, por exemplo: qual será a pergunta que vão querer responder, quem vão entrevistar, quantas respostas vão coletar, quando e como vão coletar esses dados etc. Esta atividade favorece práticas de argumentação escrita, empatia e cooperação, além de colaborar para o desenvolvimento da habilidade EF06MA33, e das competências gerais 4 e 9 e específica 8 da área de Matemática.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Números primos

Este capítulo favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA05 e EF06MA06.

Antes de iniciar o estudo dos números primos, fazer uma breve revisão com os estudantes dos critérios de divisibilidade e dos conceitos de divisores e múltiplos de um número natural. O domínio desses assuntos facilitará tanto a compreensão do conteúdo quanto a resolução das atividades.

Caso ache conveniente, dizer aos estudantes que existem infinitos números primos e que esse fato já foi demonstrado por Euclides. No fim de 2018, foi descoberto um número primo com mais de 24 milhões de dígitos e que se escreve 282 589 933 1.

No entanto, não existe ainda uma função que determine todos os números primos, ou seja, para determinar se um número é primo, é necessário testar os divisores um por um, e a descoberta de novos números primos é feita usando computadores.

Observe os quadros a seguir.

Note que:

• o 1 tem apenas um divisor: o próprio 1;

• todo número natural diferente de zero é divisível por 1 e por ele mesmo;

• há números que são divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos, como: 2, 3, 5 e 7;

• há números que, além do 1 e deles mesmos, possuem outros divisores, como: 4, 6, 8 e 9;

• o zero tem infinitos divisores.

Um número natural que possui apenas dois divisores naturais distintos (o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo

Assim, os números 2, 3, 5 e 7 são exemplos de números primos.

A sucessão dos números primos é infinita, ou seja, existem infinitos números primos. Os números naturais que possuem mais de dois divisores distintos são chamados números compostos. Assim, 4, 6, 8 e 9 são números compostos.

Observações:

• Os números 0 e 1 não são primos nem compostos.

• O único número natural par que é primo é o 2.

COMO RECONHECER NÚMEROS PRIMOS?

Primus é uma palavra latina que significa “primeiro e único”. Ela foi escolhida para denominar o grupo dos números naturais divisíveis apenas por dois números naturais distintos: 1 e ele mesmo.

Vamos aqui usar uma regra que permitirá dizer quando um número natural dado é ou não um número primo. Acompanhe.

• Dividimos o número dado pelos números primos menores do que ele até obter um quociente menor ou igual ao divisor.

• Se nenhuma das divisões efetuadas for exata, o número será primo.

• Se qualquer uma das divisões for exata, o número não será primo.

AMPLIANDO

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Link

GUSMÃO, Gustavo. Por que a descoberta do maior número primo importa? Exame, São Paulo, 20 jan. 2019. Disponível em: https://exame.com/ciencia/ por-que-a-descoberta-do-maior-numero-primo-da

-historia-importa/. Acesso em: 21 ago. 2022. Essa matéria aborda a descoberta do número primo com mais de 24 milhões de dígitos no fim de 2018 e a importância da descoberta de novos números primos.

Acompanhe algumas verificações.

1 O número 173 é um número primo?

Aplicando os critérios de divisibilidade, 173 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões: 173 7

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O número 173 é primo.

2 E o 401 é um número primo?

Aplicando os critérios de divisibilidade, 401 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões:

quociente igual ao divisor quociente menor do que o divisor

Para reconhecer outros números primos, solicitar aos estudantes que leiam o texto e acompanhem as verificações apresentadas no livro. Depois que compreenderem o processo, pedir que anotem um exemplo no cartaz-resumo (caso estejam produzindo um para esta Unidade), mostrando como identificar um número primo por meio de divisões. Esse procedimento é um algoritmo e favorece o pensamento computacional

Nesse momento, se achar oportuno, é interessante que os estudantes façam um fluxograma para apresentar o processo de identificação de números primos e compostos.

Logo, o número 401 é primo.

3 Vamos verificar se 493 é primo.

Aplicando os critérios de divisibilidade, 493 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5. Prosseguindo as divisões:

O número 493 não é primo, pois é divisível por 17, além de ser divisível por 1 e por ele mesmo.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O procedimento explicado para construir o crivo de Eratóstenes é um algoritmo, o que favorece o pensamento computacional dos estudantes e o desenvolvimento da competência específica 6.

Atividades

Sugerir aos estudantes que resolvam as atividades individualmente; assim, eles poderão pôr em prática os conhecimentos adquiridos. Propor que, à medida que tenham alguma dúvida, eles a anotem para depois fazerem uma retomada. Esse exercício de anotar uma dúvida pode ajudar os estudantes a refletir sobre as estratégias que estão utilizando e rever os passos que percorreram na tentativa de resolver a atividade. Incentivar os estudantes a apresentar suas resoluções e dúvidas, ajudando-os a entender que esse processo não está voltado para classificar as respostas como certas ou erradas; o objetivo é estimular a comunicação e, consequentemente, desenvolver o pensamento matemático, valorizando os métodos que eles se sentem mais seguros em utilizar para resolver as questões propostas.

Na resolução da atividade 1, montar com os estudantes os conjuntos dos múltiplos de cada um dos números para só depois eliminá-los da tábua. Uma estratégia que pode ajudar a turma a se envolver na atividade é pedir que se revezem para ir até a lousa montar esses conjuntos. Relembrar os estudantes que o número 1 não é número primo e que o número 2 é o único número natural par primo.

A tábua de números primos montada será útil posteriormente para ajudar os estudantes a resolver outros problemas.

O crivo de Eratóstenes

O grego Eratóstenes (276-194 a.C.) montou a primeira tábua de números primos.

Por exemplo, para encontrar os primos até 1 000, basta começar eliminando o 1. A seguir, elimine os múltiplos de 2, exceto o 2, depois os de 3, exceto o 3, e assim por diante até os múltiplos de 31.

Quando tiver riscado os múltiplos de 31, pode parar: você já encontrou todos os números primos menores do que 1 000.

Observe a tábua de números primos até 50. Nela foram escritos os números de 1 a 50 e seguidos os procedimentos descritos anteriormente.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Monte uma tábua de números primos até 100 seguindo o procedimento descrito anteriormente nesta página (crivo de Eratóstenes).

2. Use a tábua de números primos que você montou na atividade 1 para responder às questões.

a) Quantos são os números primos menores do que 50? 15

b) Uma vila teve casas numeradas de 30 a 50. Quantas foram numeradas com números primos? 5 casas.

c) Em que século estamos? O número que representa esse século é um número primo? Século 21; 21 não é um número primo.

3. Em um torneio de futebol, uma equipe somou 91 pontos no final do campeonato. O número que aparece na informação é um número primo?

1 Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Não.

5. Verifique quais dos números a seguir são primos. 47, 83, 97

4. O valor numérico de cada expressão a seguir é primo?

a) 26 + 3 c) 472 372 232

b) 42 + 52

É interessante pedir aos estudantes que justifiquem as respostas das atividades, explicando por que os números são primos ou não. Por exemplo, a atividade 2, item c, tem como resposta o século 21, e 21 não é primo porque 21 é divisível por 3 e, portanto, é um número composto.

6. Quais dos seguintes números são primos? 131 e 211.

a) 131 b) 253 c) 211 d) 391

7. A figura tem um “segredo”. Descubra esse “segredo” e responda às questões.

33 30 17 21

a) Que número deve ser colocado no retângulo rosa? 195

b) Esse número é primo? Não.

Na atividade 7, é esperado que os estudantes percebam que 63 = 33 + 30, 47 = 30 + 17 e 38 = 17 + 21. Então, o “segredo” é que, para obter o valor de cada retângulo, basta adicionar os valores dos dois retângulos que o sustentam.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

8. Os Jogos Paralímpicos são o maior evento esportivo mundial envolvendo pessoas com deficiência. Observe, na tabela a seguir, alguns dados do Brasil nesses Jogos a partir de 1976.

Brasil em Jogos Paralímpicos

Elaborada com base em: COMITÊ PARALÍMPICO BRASILEIRO. São Paulo, [202-]. Site. Disponível em: https://www.cpb. org.br/competicoes/ jogosparalimpicos/ resultado?Form. NomeAtleta=&Form. Paralimpiadas=36&Form. Modalidades=60#top. Acesso em: 29 jul. 2022.

a) Observe a tabela e classifique o número de medalhas em cada edição dos Jogos em primo, composto ou nem primo nem composto.

Na atividade 8, aproveitar para explorar as informações da tabela e perguntar se os estudantes conhecem os Jogos Paralímpicos. Se achar conveniente, pode-se pedir para que façam uma pesquisa sobre a origem dos Jogos e sobre atletas brasileiros que se destacam na competição.

Na atividade 9, é importante verificar se os estudantes apreenderam, de fato, o significado de termos, como divisor, divisível, número primo etc. No item a, solicitar aos estudantes que expliquem por escrito e oralmente as justificativas das respostas.

b) Entre os números que representam a colocação geral há números primos? Quais?

DESAFIO

Primo: 7, 47 e 43; composto: 28, 27, 21, 22, 33 e 72; nem primo nem composto: 1 e 0. Sim; 31, 37 e 7.

Atletas brasileiras comemorando a medalha de bronze na modalidade vôlei sentado nos Jogos Paralímpicos Tóquio 2020, que ocorreu em 2021 devido à pandemia de covid-19.

9. Em duplas, observem o quadro a seguir e façam o que se pede.

a) Com base nos critérios de divisibilidade, qual é o único número primo presente no quadro? Justifiquem a resposta.

b) Listem os divisores dos números do quadro.

43. Exemplo de justificativa na seção Resoluções comentadas deste Manual. 14: 1, 2, 7 e 14; 38: 1, 2, 19 e 38; 25: 1, 5 e 25; 43: 1 e 43; 22: 1, 2, 11 e 22; 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

c) Elaborem um quadro contendo apenas um número primo entre 50 e 100 e outros cinco números compostos que se enquadrem nos critérios de divisibilidade vistos nesta Unidade. Depois, troquem o quadro com outra dupla e respondam aos itens a e b novamente, considerando agora o novo quadro.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

No item c, é interessante que os estudantes troquem ideias e compartilhem as estratégias utilizadas. Para isso, algumas duplas de estudantes podem escrever na lousa o quadro de números que receberam e como descobriram qual era, entre eles, o número primo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Decomposição em fatores primos

O objetivo nesta página é levar os estudantes a aprender a decompor um número natural composto em um produto de fatores primos. Decompor em fatores primos é transformar o número em um produto no qual os fatores são seus divisores primos.

Pedir aos estudantes que escrevam o número 20 como um produto de dois números naturais diferentes de 1. Solicitar a alguns estudantes que registrem as respostas na lousa: 2 ? 10 e 4 ? 5. Depois, pedir a eles que escrevam o número 20 como um produto de três números naturais diferentes de 1. E, novamente, solicitar que escrevam a resposta na lousa: 2 2 5. Em seguida, pedir que escrevam o número 20 como produto de quatro números naturais diferentes de 1. Deixar que analisem o pedido, façam tentativas e concluam que não existe resposta nesse caso. Fazer o mesmo processo utilizando o número 30.

Perguntar aos estudantes qual é a forma de escrever os números 20 e 30 utilizando apenas números primos. Circular, na lousa, as respostas dadas: 2 ? 2 ? 5 e 2 ? 3 ? 5. Explicar que essas multiplicações são conhecidas como a decomposição em fatores primos de 20 e de 30, respectivamente.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Vamos escrever alguns números naturais compostos como uma multiplicação de fatores primos.

Qualquer que seja a forma de escrever o 30 como uma multiplicação, encontramos os mesmos fatores primos no final.

Isso vale para qualquer número natural composto. Podemos, então, dizer que:

Todo número natural composto pode ser escrito como uma multiplicação em que todos os fatores são números primos. Essa é chamada forma fatorada completa do número.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Para chegar à forma fatorada completa de um número natural, fazemos uma decomposição em fatores primos, que consiste em:

• dividir inicialmente o número dado por seu menor divisor primo;

• dividir o quociente obtido por seu menor divisor primo;

• repetir esse procedimento até obter o quociente 1. Acompanhe os exemplos.

1 Como escrever 110 na sua forma fatorada completa?

110 2 2 é o menor divisor primo de 110. 55 5 5 é o menor divisor primo de 55. 11 11 11 é o menor divisor primo de 11.

Então: 110 = 2 5 11

Todos os fatores são primos.

Assim, 2 ? 5 ? 11 é a forma fatorada completa de 110.

2 Como decompor o número 315 em fatores primos?

315 3 3 é o menor divisor primo de 315. 105 3 3 é o menor divisor primo de 105. 35 5 5 é o menor divisor primo de 35. 7 7 7 é o menor divisor primo de 7.

Então: 315 = 3 ? 3 ? 5 ? 7

Todos os fatores são primos.

DESCUBRA MAIS

SAIBA QUE

Quando há fatores repetidos em uma multiplicação, podemos usar potências para simplificar a escrita. Assim, podemos escrever 3 3 como 32 e, então: 315 = 32 5 7.

TRAMBAIOLLI NETO, Egídio. A revelação. São Paulo: FTD, 1997. (O contador de histórias e outras histórias da Matemática).

Uma cigana descobre, num antigo livro de profecias, que cinco crianças salvariam a humanidade com a ajuda de um grande mestre: Cronos, o Senhor do Tempo. Conseguirão elas utilizar suas habilidades para atingir esse objetivo?

Nesta página, os estudantes terão a oportunidade de decompor um número natural composto em um produto de fatores primos utilizando um procedimento prático. Se o número está escrito na forma de multiplicação, mas os fatores não são primos, não podemos dizer que o número está escrito na forma fatorada completa. Por exemplo: 1 000 = = 10 ? 10 ? 10. Nesse caso, podemos escrever 1 000 = = 2 ? 5 ? 2 ? 5 ? 2 ? 5, que é a forma fatorada completa por ter nos seus fatores apenas números primos.

Explicar que an, sendo a um número primo e n . 1, não é um fator primo. Por exemplo, 32 não é um fator primo; assim, uma maneira de fatorar 315 é 32 5 7; porém, sua forma fatorada completa é 3 ? 3 ? 5 ? 7. O procedimento prático para transformar um número natural composto em fatores primos pode ser um bom exercício para aperfeiçoar o cálculo mental

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nestas atividades, é importante que o estudante entenda a diferença entre uma forma de fatoração e a fatoração completa.

Orientá-los a resolver as atividades em dupla para facilitar a troca de ideias e conhecimentos. Acompanhar a resolução caminhando pela sala e fazendo intervenções, quando necessárias.

Lembrar os estudantes que fatorar um número significa transformá-lo em um produto de fatores (primos ou não), enquanto a fatoração completa é a transformação em um produto de fatores exclusivamente primos.

Dessa maneira, se desejar, pedir aos estudantes a fatoração completa dos números das atividades que apresentam uma forma fatorada, como nas atividades 6, 7, 8 e 9

Na atividade 10, item b, orientar os estudantes a fazer a pesquisa em fontes atualizadas e confiáveis, como o IBGE. Essa atividade favorece a prática de pesquisa e a autonomia dos estudantes. Se julgar conveniente, pedir a eles que estimem a quantidade de estudantes da escola e comparem esse dado com a quantidade de habitantes de Borá e de Serra da Saudade.

Responda às questões no caderno.

1. Escreva na forma de multiplicação de dois fatores primos os seguintes números naturais:

a) 46 b) 85 c) 57 d) 77

2 ? 23 5 ? 17 3 ? 19 7 11

2. Observe a cena.

7. Uma forma de fatorar o número 1 620 é 22 n 5. Qual é o fator que você deve colocar no lugar de n para que a forma fatorada represente o número 1 620?

8. Escreva o número natural das formas fatoradas a seguir.

a) 22 ? 5 ? 112

b) 22 ? 7 ? 13

Esta expressão representa a fatoração completa de um número natural?

A resposta da menina está correta? Se a resposta estiver errada, qual será a resposta correta? Não; 3 2 2 11.

3. Quais das expressões a seguir representam fatoração completa de um número?

c) 33 ? 17

d) 32 ? 7 ? 112

9. Uma forma de fatorar o número 240 é 2x ? 3 ? 5. Quanto vale x? 4

10. Segundo estimativas do IBGE, em 1º- de julho de 2021, o município menos populoso do Brasil era Serra da Saudade, em Minas Gerais, com 771 habitantes, seguido de Borá, no estado de São Paulo, com 839 habitantes.

Elaborado com base em: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Estimativas da população: tabelas: 2021. IBGE. Rio de Janeiro, 2021. Disponível em: https://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/ Estimativas_2021/POP2021_20220711.pdf. Acesso em: 29 jul. 2022.

a) 2 ? 9

b) 3 ? 5 ? 17 c) 2 ? 3 ? 11 d) 7 ? 11

Alternativas b, c e d.

4. Qual é o valor numérico da expressão (152 + 255) : (32 + 1)? Escreva esse valor na sua forma fatorada completa.

5. Decomponha cada número em fatores primos. Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

48

80

99

6. Uma fatoração do número 1 200 é 2a 3b 5c. Qual é o valor de a + b + c?

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Município Serra da Saudade (MG), 2015.

a) Os números destacados no texto são primos ou compostos? Caso algum dos números seja composto, faça a decomposição dele em fatores primos.

771 é composto e 839 é primo; 771 = 3 257.

b) Pesquise o número de habitantes do município em que você mora e classifique esse número em primo ou composto. Se for composto, dê a forma fatorada completa dele. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

EDUCAÇÃO E TRÂNSITO: PARCEIROS INSEPARÁVEIS

A Prefeitura de Piracicaba, no interior do estado de São Paulo, divulgou cartazes criados para uma campanha de conscientização por um trânsito mais seguro. Observe um desses cartazes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Por toda parte

Se achar oportuno, conversar com o professor de Língua Portuguesa para realizarem um trabalho conjunto nesta seção, ampliando o estudo sobre peças publicitárias de campanhas sociais.

Primeiramente, pedir aos estudantes que leiam as informações apresentadas no texto e no cartaz. Incentivá-los a compartilhar os conhecimentos que possuem acerca do assunto e os detalhes que mais lhes chamaram a atenção. Incentivar que exponham suas ideias e a sensação que o cartaz lhes propiciou para responder à atividade 1

Além da linguagem verbal (palavras), os idealizadores utilizam imagens e abordam o assunto por meio de ilustrações que mostram situações de perigo para comunicar os temas da campanha; no caso do cartaz apresentado, um apelo aos motoristas para não usarem o celular enquanto dirigem.

Forme um grupo com mais dois colegas para que conversem e reflitam juntos sobre as questões levantadas a seguir. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

1. Em seu entendimento, o cartaz cumpre o objetivo de sensibilizar e conscientizar motoristas e passageiros do perigo ao utilizar o celular dirigindo?

2. É provável que, ao menos uma vez por dia, nós estejamos na posição de passageiro ou pedestre, seja no transporte coletivo, em algum veículo particular, seja a pé no trajeto de casa até a escola. Portanto, todos nós somos responsáveis pela segurança e educação no trânsito. Para que possamos nos comportar de maneira adequada no trânsito, é importante conhecermos os direitos e os deveres dos motoristas e dos pedestres.

• Pesquisem os direitos e os deveres dos motoristas e pedestres; depois, apresentem as informações obtidas. Pensem em uma maneira criativa para apresentar os dados coletados: vocês podem fazer um vídeo, um podcast, uma apresentação para ser divulgada digitalmente, um cartaz, entre outras opções.

3. Façam uma pesquisa para identificar os maiores problemas de trânsito existentes no município em que vocês vivem e elaborem uma campanha de conscientização que ajude a minimizar esses problemas.

Nesse momento, é possível promover reflexões sobre a importância da educação para o trânsito, inclusive nas escolas.

Na atividade 2, caso a seção seja trabalhada com o professor de Língua Portuguesa, pode-se explicar os elementos que cada um dos tipos de apresentação precisa ter, favorecendo a interdisciplinaridade.

Para finalizar esta seção, na atividade 3 os estudantes são desafiados a identificar os maiores problemas no trânsito registrados no município onde moram e, em seguida, criar uma campanha que favoreça a diminuição desses problemas. Se julgar pertinente, a campanha pode ser divulgada na comunidade.

Todo o trabalho desta seção favorece práticas de argumentação oral e escrita, empatia, cooperação, o pensamento crítico e propositivo, a aplicação de conhecimentos no cotidiano, a competência leitora, a prática de pesquisas e o desenvolvimento de projetos de relevância social; além de trabalhar o Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Trânsito e favorecer as competências gerais 4, 5, 7, 9 e 10 e as específicas 7 e 8 da área de Matemática.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

São inegáve is as grandes transformações pelas quais a sociedade atual passa, exigindo cada vez mais indivíduos capazes de utilizar recursos tecnológicos no seu dia a dia. Por conta disso, a escola tem papel fundamental para a inserção desses indivíduos em um mundo cada vez mais tecnológico.

O computador está presente no cotidiano das pessoas, e a escola deve se apropriar dessa tecnologia para favorecer a formação de indivíduos capazes de exercer a cidadania de forma plena. Além disso, o computador é um facilitador para o trabalho pedagógico, tornando-se um importante recurso, pois com ele o estudante tem a possibilidade de experimentar, testar hipóteses, fazer descobertas e chegar a conclusões. O software escolhido para as aulas de Matemática deve permitir a interação dos estudantes com os conceitos matemáticos e facilitar o desenvolvimento do raciocínio, da reflexão e da criação de soluções.

O uso do computador exige que os estudantes participem da aula ativamente, possibilita que eles façam alterações rápidas e visualizem as mudanças que fazem no arquivo, podendo mudar, a qualquer instante, a formatação do documento. Nesse contexto, a planilha eletrônica é um instrumento relevante que pode ser utilizado em várias situações do dia a dia.

Em sala de aula, a planilha torna-se uma importante ferramenta pedagógica para o processo de ensino-aprendizagem de Matemática, favorecendo a construção de um ambiente propício para a realização de atividades e a construção do conhecimento, além de colaborar para o desenvolvimento da competência geral 5 e da competência específica 6 da área de Matemática.

UTILIZANDO PLANILHA ELETRÔNICA PARA AUXILIAR NA DIVISIBILIDADE

Observe os números a seguir.

Você sabe dizer quais deles são divisíveis por 7 e por 8? O número 1 235 é divisível por quais números?

Algumas planilhas eletrônicas seriam úteis para responder a essas perguntas.

Vamos usar a planilha eletrônica LibreOffice Calc. É possível fazer o download gratuito desse aplicativo no link https://pt-br.libreoffice.org/baixe-ja/libreoffice-novo/ (acesso em: 28 jul. 2022).

A planilha do LibreOffice Calc tem uma função chamada MOD, em que você digita o dividendo e o divisor e, ao clicar em “enter”, a função retornará o resto da divisão.

Mas em que essa função pode ajudar no problema de divisibilidade?

Como já foi estudado, um número é divisível por outro quando a divisão tem resto igual a zero. Acompanhe como verificar a divisão dos valores dados.

Abra o LibreOffice Calc e note que as colunas são identificadas pelas letras do alfabeto e as linhas são numeradas e que cada célula da planilha é associada a uma coluna e a uma linha. Na imagem a seguir, a célula selecionada corresponde à coluna B e à linha 2, e essa célula é indicada por B2.

1 Nas células da primeira linha da planilha, digite: Número, Divisível por 2, Divisível por ... (todos os valores para os quais quer verificar a divisão). Depois, digite os números na primeira coluna. A planilha ficará como na imagem.

2 Agora que os números estão digitados, é o momento de utilizar a função MOD.

• Na célula B2, digite = MOD(

• Clique no primeiro número digitado (123, na célula A2).

• Digite ;2 e aperte a tecla “enter”.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se os estudantes fizerem os cálculos com lápis e papel e, posteriormente, refizerem todo o processo utilizando a planilha, poderão verificar o quanto o uso da tecnologia, nesse caso o uso da planilha eletrônica, pode facilitar e agilizar muitos processos.

Aparecerá o resto da divisão de 123 por 2.

3 Selecione a célula B2, clique na sua extremidade inferior direita, continue pressionando o mouse e arraste a seleção até a última célula dessa coluna.

Aparecerão, nessa coluna, os restos das divisões de cada um dos respectivos números por 2. Assim, será possível concluir que os números 654, 24 680, 342, 1 200, 4 566, 890, 908 e 234 são divisíveis por 2 (o resto da divisão desses números por 2 é zero).

• Agora que já sabe como verificar se um número é divisível por outro utilizando planilhas eletrônicas, complete as colunas para os outros divisores, repetindo o procedimento na respectiva coluna.

• Quais dos números listados são números primos?

Esta atividade pode ser desenvolvida na sala de informática da escola ou como tarefa de casa. Contudo, antes de propor que a façam em casa, certificar-se de que todos têm acesso a um computador com a planilha instalada ou que um adulto poderá auxiliá-los. Caso contrário, providenciar o desenvolvimento da atividade na sala de informática da escola. Pedir a eles que sigam o roteiro (o passo a passo apresentado no Livro do estudante) para que não haja dúvida na hora de usar o computador.

Caso achar necessário, o documento disponível no site a seguir pode auxiliá-lo com o uso do LibreOffice: https:// mppr.mp.br/arquivos/File/ imprensa/2015/libreoffice/ Guia_Iniciante_LibreOffice.pdf (acesso em: 21 ago. 2022).

4 567, 5 387, 6 389.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados nesta Unidade – divisibilidade, critérios de divisibilidade, divisores e múltiplos de um número natural, números primos e decomposição em fatores primos – para conhecer e tirar suas dúvidas.

Para isso, é importante que os estudantes realizem as atividades individualmente para poder identificar as dúvidas que possam ter. Pedir a eles que anotem essas dúvidas e aproveitar as informações para orientá-los a fazer uma revisão sobre os temas.

Em seguida, organizar a turma em grupos para que os estudantes façam as correções das atividades e incentivar a troca de informações entre os estudantes. Circular pela sala para acompanhar a correção e, quando necessário, fazer intervenções.

Responda às questões no caderno.

1. (OBM) Qual dos números a seguir não é múltiplo de 15? Alternativa d.

6. Uma vila tem 50 casas numeradas de 1 a 50. Em quantas casas dessa vila os números são múltiplos de 2 e de 3 ao mesmo tempo? Quais são os números?

b) 315 c) 555 d) 785 e) 915

2. Escreva o conjunto dos divisores de cada número natural.

a) 135

a) 6 D (6) = {1, 2, 3, 6}

b) 9 D (9) = {1, 3, 9}

c) 12 D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

d) 15 D (15) = {1, 3, 5}

• Esses números têm algum divisor comum além do 1? Qual?

Sim; o 3 é um divisor comum.

3. (OBM) Devido a um defeito de impressão, um livro de 600 páginas apresenta em branco todas as páginas cujos números são múltiplos de 3 ou de 4. Quantas páginas estão impressas?

7. (OBM) Preenchemos as casas vazias da tabela a seguir com o produto dos números que estão sombreados na mesma linha e na mesma coluna da casa vazia a ser preenchida. Quantas dessas casas conterão números primos?

d) 14 e) 26

c.

EDITORIA DE ARTE

a) 100

b) 150 c) 250 d) 300 e) 430

4. (PUC-MG) Das 96 maçãs que chegam semanalmente à banca de Dona Maria, algumas são do tipo verde e as outras do tipo fuji. As maçãs verdes vêm embaladas em sacos com 7 unidades e as do tipo fuji, em sacos com 9 unidades. A partir dessas informações, pode-se afirmar que o número de maçãs verdes recebidas por essa banca a cada semana é: Alternativa a.

a) 42

5. (OBM) Dos números a seguir, qual é o único que pode ser escrito como produto de quatro naturais consecutivos?

Alternativa d. RETOMANDO APRENDEU O QUE

a) 712

b) 49 c) 56 d) 63

8. O número 12c5 é divisível por 3 e por 5. Qual é a soma dos possíveis algarismos que c pode assumir? 12

9. Seja o número natural N = 488a9b, em que b é o algarismo das unidades, e a, o algarismo das centenas. Sabe-se que N é divisível por 15, ou seja, é divisível por 5 e por 3 ao mesmo tempo. Qual é o maior valor da expressão a + b?

b) 548 c) 1 026 d) 1 456 e) 1 680

Alternativa d. Alternativa e.

10. (UFRJ) Seu Almeida possuía uma quantidade de azulejos maior do que 150 e menor do que 250. Ele arrumou os azulejos em várias caixas, cada uma contendo 17 azulejos. Sobraram 15 azulejos. Ele, então, resolveu guardar tudo em caixas menores, cada uma contendo 11 azulejos. Dessa vez, sobraram 4 azulejos. Determine quantos azulejos seu Almeida possuía. 202 azulejos.

11. (OBM) Na reta numerada a seguir, os pontos indicados com balõezinhos representam números inteiros maiores do que 93 e menores do que 112. Exatamente três dos números marcados são múltiplos de 4. Qual é o maior dos números indicados?

a) 100

b) 102

c) 104

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

d) 106

e) 108

12. Em duplas, escolham quatro números entre 2 e 150. Troquem os números escolhidos com outra dupla e, para cada um dos números recebidos, façam o que se pede.

• Classifiquem os números em compostos ou primos.

• Indiquem os divisores de cada número.

• Forneçam quatro múltiplos de cada número.

Alternativa e. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, além de explorar noções de divisibilidade (ser divisível ou não), pudemos conhecer alguns critérios de divisibilidade (ser divisível por 2, 3, 4, 5, e assim por diante). Os múltiplos e os números primos também foram contemplados. É importante relembrar alguns conceitos estudados, por exemplo, ser múltiplo de é o mesmo que ser divisível por, e um número primo só possui dois divisores naturais distintos, o número 1 e ele mesmo.

Na abertura da Unidade, tivemos a oportunidade de explorar os múltiplos de 3 (visto que cada grupo era formado por três estudantes) e os números divisíveis por 3 (ao observar a quantidade total de lugares).

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Ao observar um número, você conseguiria dizer se ele é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1 000?

• Percebeu alguma relação entre os múltiplos e a tabuada? Qual?

• Conseguiu perceber alguma relação existente entre os múltiplos e os divisores? Qual?

• Se tivesse de definir um número primo, que definição utilizaria?

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

129

A primeira questão recapitula os conceitos de divisibilidade e permite a retomada desses conceitos. Na segunda pergunta, os estudantes são levados a inferir sobre a relação existente entre os múltiplos e a tabuada; a intenção é fazê-los perceber e relembrar que a palavra múltiplo vem exatamente de multiplicação, portanto os produtos na tabuada representam múltiplos de determinado número natural.

Na terceira questão, tem-se a importante relação existente entre os múltiplos e os divisores; é uma boa oportunidade para que os estudantes reflitam sobre a operação inversa (um número natural a será múltiplo de um número natural b diferente de zero, quando a for divisível por b ou b for divisor de a). Aproveitar para salientar a importância do vocabulário matemático.

27/08/22 17:07

A quarta questão retoma o conceito de número primo. Espera-se que cada estudante seja capaz de reconhecer que os números primos possuem apenas dois divisores: o número 1 e ele mesmo.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 4 e 9

Competências específicas:

• 1, 5 e 6

Habilidades:

Números

• EF06MA07

• EF06MA09

Álgebra

• EF06MA15

• EF06MA10

• EF06MA13

A FORMA FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS RACIONAIS 5 UNIDADE

Probabilidade e estatística

• EF06MA30

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em nove capítulos. Do primeiro ao quarto capítulo, os estudantes retomam ideias cujos estudos se iniciaram nos anos iniciais do Ensino Fundamental. O objetivo desse encaminhamento é que, no quinto capítulo, os estudantes apliquem esses conhecimentos na realização de adições e subtrações envolvendo números expressos na forma de fração. O conjunto desse trabalho favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA07, EF06MA09 e EF06MA10, bem como da competência específica

6 da área de Matemática.

O sexto capítulo trata de números escritos na forma mista e o sétimo de multiplicação com frações. Esses capítulos de maneira vinculada ao trabalho do oitavo (que aborda o reconhecimento da representação de uma porcentagem como representação de fração com denominador 100) propiciam que alguns aspectos relacionados à habilidade EF06MA13 sejam desenvolvidos, além da competência específica

5 da área de Matemática.

Por fim, no nono capítulo, a probabilidade de um evento aleatório expresso por um número na forma fracionária é trabalhada tendo em vista o desenvolvimento da habilidade EF06MA 30.

Mosaico é uma expressão artística em que se criam diferentes imagens por meio da organização de peças recortadas e normalmente coloridas. Alguns desses mosaicos possuem uma decoração geométrica

Observe a seguir as etapas executadas por Juliana para construir um mosaico geométrico. Inicialmente, ela possuía apenas folhas retangulares coloridas e, após a divisão dessas folhas em partes e um bom planejamento, elaborou seu mosaico.

Chamando cada folha colorida da etapa 1 de um inteiro e sabendo que cada folha da etapa 2 foi dividida em várias partes iguais entre si, mas diferentes de uma folha para outra, podemos relacionar cada pedaço de uma folha à folha toda utilizando uma fração. Logo, se considerarmos a folha azul, cada parte equivale a 1 parte de 16 partes ou simplesmente 1 16

130

Na página 154 e na seção Por toda parte que apresenta o problema dos camelos, a competência específica 1 da área de Matemática recebe destaque, além de essa seção favorecer o desenvolvimento da habilidade EF06MA15.

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As propostas de atividades em duplas ou em grupos nas seções ao longo desta Unidade visam a que os estudantes exercitem atitudes relacionadas às competências gerais 4 e 9.

OBJETIVOS

• Identificar frações equivalentes, comparar frações menores e maiores que um inteiro e representar na forma mista frações maiores que um inteiro.

• Adicionar ou subtrair frações identificando na resolução e elaboração de problemas em quais é preciso empregar cada uma.

• Realizar multiplicação com frações.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

mosaico todo?

Sim; não são partes necessariamente iguais, mas são partes.

• Na etapa 2, como podemos representar cada parte das folhas amarela, laranja e verde?

• Siga o exemplo de Juliana e confeccione um mosaico geométrico.

Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

• Associar a representação de uma porcentagem à escrita fracionária e resolver problemas envolvendo dados em porcentagens.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Compreender que um número expresso na forma de fração representa uma quantidade de um todo (discreto ou contínuo), interpretar a leitura de números escritos na forma de

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

O objetivo da proposta desta abertura é que os estudantes relacionem dois conceitos da Matemática (polígonos e frações) a um conceito multidisciplinar (mosaicos). Para iniciar a exploração, pedir aos estudantes que observem as imagens das etapas e leiam atentamente os textos. Em seguida, propor questionamentos, como: Alguém já conhecia a técnica utilizada na construção de mosaicos?

As perguntas propostas no Livro do estudante visam a que você possa realizar uma avaliação diagnóstica dos conhecimentos de frações utilizando a concepção parte-todo que os estudantes já construíram nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Avaliar se os estudantes relacionam as partes ilustradas na etapa 2 com as frações que as representam.

Para ampliar, pode-se, com eles, observar diferentes possibilidades de composição e decomposição das figuras utilizadas no mosaico geométrico. Por exemplo: 2 partes vermelhas equivalem a 1 parte amarela, 1 parte amarela equivale a 4 partes verdes, e assim por diante.

Para finalizar, pedir aos estudantes que criem e construam um mosaico. Se possível, realizar essa atividade em parceria com o professor do componente curricular de Arte.

fração, comparando esses números, entre outros conteúdos, que associados aos objetivos desta Unidade são justificados de serem trabalhados com os estudantes por promover neles o pensamento proporcional. Esse tipo de pensamento é muito utilizado nas situações cotidianas, ao realizar distribuições que sejam equitativas ou que não sejam equitativas, sejam desiguais, no entanto, proporcionais.

DROIDFOTO/SHUTTERSTOCK.COM

de 16 partes ou 1 16 ; peça verde: 1 parte de 32 partes ou 1 32

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A ideia de fração

Este capítulo inicia com uma indicação que remete à História da Matemática para apresentar de modo sucinto o surgimento do uso das frações dada a necessidade que povos antigos sentiram ao resolver problemas práticos de medição.

A análise da História da Matemática oportuniza aos estudantes perceber que a Matemática surgiu das necessidades cotidianas de povos antigos e que, como construção humana, hoje e a todo instante, saberes e fazeres matemáticos são construídos de modo formal e informal no cotidiano.

Para complementar as informações apresentadas no Livro do estudante, sugere-se ler para eles o texto A origem das frações de Elisiane Cardoso de Andrade, Joel de Oliveira Bassani e Mara Cristina Baltazar Sabrini dos Anjos, nas páginas de 26 até 29 do seguinte material: ROCHO, Valdirene da et al (org.). História da matemática: e-book – como surgiram alguns conceitos matemáticos? Sombrio: Instituto Federal Catarinense, 2018. Disponível em: https://editora. ifc.edu.br/wp-content/uploads/ sites/33/2018/11/e-book_historia _da_matematica_ultima_versao. pdf. Acesso em: 19 ago. 2022.

As primeiras notícias do uso das frações vêm do antigo Egito. As terras que margeavam o rio Nilo eram divididas entre os grupos familiares em troca de pagamento de tributos ao Estado.

Como o rio Nilo sofria inundações periódicas, as terras tinham de ser sempre medidas e remarcadas, já que o tributo era pago proporcionalmente à área a ser cultivada.

Os números fracionários surgiram da necessidade de representar uma medida que não tem uma quantidade inteira de unidades, isto é, da necessidade de se repartir a unidade de medida.

Os egípcios conheciam as frações de numerador 1, e este era o modo como eles usavam para representá-las: 1 3 1 6 1 20

Essas medidas fracionárias não são números naturais, são exemplos de números chamados de números racionais

Responda no caderno.

1. Em uma pizzaria, as pizzas são divididas em 8 pedaços iguais. Antônio e sua esposa pediram uma pizza, mas não conseguiram comê-la inteira. Observe a figura.

Pense e responda

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a) Quantos pedaços Antônio e a esposa comeram? 3

b) Quantos pedaços restaram? 5

c) Como você representaria cada pedaço de pizza em relação à pizza toda? 1 8

Resgatar com os estudantes os conhecimentos que possuem acerca de frações, estabelecendo sentido ao significado do numerador e do denominador indicado em uma fração. Se possível, disponibilizar figuras de círculos

de cartolina para que os estudantes possam validar de modo concreto respostas às questões propostas neste boxe. Eles podem dividir as representações dos círculos em pedaços e recortá-los como se fossem a pizza representada na ilustração.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A IDEIA DE FRAÇÃO COMO PARTE DE UM TODO

Vamos representar algumas frações utilizando papel e lápis de cor.

• Recortamos uma tira de papel assim: Dobramos a tira inteira ao meio. Obtemos duas partes iguais. No caso, cada parte obtida representa a metade ou um meio da tira.

A representação numérica é 1 2 (um meio).

• Recortamos outra tira de papel. Dividimos essa tira em três partes iguais. Cada parte da tira representa a terça parte ou um terço da tira.

A representação numérica é 1 3 (um terço).

• Recortamos outra tira de papel. Dobramos ao meio e, a seguir, novamente ao meio. Cada parte obtida representa a quarta parte ou um quarto da tira.

A representação numérica é 1 4 (um quarto).

Vamos colorir de azul três dessas quatro partes. Dessa maneira, podemos dizer que três quartos da tira estão pintados de azul.

A representação numérica é 3 4 (três quartos).

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A ideia de fração como parte de um todo

Uma estratégia de ensino que pode ser utilizada no trabalho com este tópico é o uso das tiras de frações (ou barras de frações). No caso das frações, o trabalho com esse material possibilita a investigação experimental levando os estudantes à construção dos conceitos matemáticos necessários para a compreensão do conteúdo. Essa abordagem contribui para o desenvolvimento da competência geral 4 e da competência específica 6 da área de Matemática.

Os materiais concretos podem contribuir muito para a aprendizagem significativa dos estudantes, mas é preciso estar atento ao modo como serão utilizados; é importante que a escolha do material esteja de acordo com o conteúdo que será abordado, assim cumprirá o seu papel de possibilitar conexões entre os conhecimentos e facilitar a compreensão do conceito que se deseja trabalhar.

Nesse caso, acredita-se que o uso das tiras de frações (ou barras de frações) é uma boa alternativa para abordar o conceito de fração a fim de proporcionar aos estudantes a manipulação do material e a compreensão do conceito abordado. É possível que alguns deles já tenham vivenciado alguma atividade com o uso desse material.

Se isso ocorrer, é interessante perguntar o que mais lhes chama a atenção nesse material e se têm alguma dúvida em relação ao seu uso. Uma alternativa é solicitar a quem já realizou atividades com esse material que ajude os colegas que nunca tiveram essa experiência.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ao explicar como as frações são lidas ou escritas por extenso, pode-se, por exemplo, explorar na lousa outros exemplos de frações e solicitar que eles falem como se lê a fração.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupos na exploração da ferramenta digital no notebook

É necessário conexão com a internet. Acessar o app, disponível em: https://apps.mathlearningcenter .org/math-clock/. Acesso em: 19 ago. 2022.

Clicar na opção do navegador para habilitar a tradução para o português e, no canto inferior esquerdo da tela, clicar no segundo ícone da esquerda para a direita e na opção Relógio com frações. Inicialmente, pode-se explorar a situação apresentada na página do Livro do estudante. Depois, com os estudantes, explorar outras frações de hora.

Você se lembra de que, na pizzaria onde Antônio e a esposa fizeram pedido, as pizzas são divididas em 8 pedaços iguais? Numericamente, cada pedaço pode ser representado por 1 8 (um oitavo). Antônio e a esposa comeram 3 pedaços, ou seja, 3 8 (três oitavos) da pizza, e restaram 5 pedaços, ou seja, 5 8 (cinco oitavos) da pizza Agora, observe os relógios a seguir.

Este relógio marca meio-dia. Este relógio marca meio-dia e quinze.

O numerador e o denominador são os termos de uma fração.

2 numerador

3 denominador

O denominador 3 indica em quantas partes iguais a unidade foi dividida. O numerador 2 indica quantas dessas partes foram consideradas. Observe como são lidas (ou escritas por extenso) algumas frações.

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A IDEIA DE FRAÇÃO COMO RESULTADO DA DIVISÃO DE DOIS NÚMEROS

NATURAIS

1 a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Miguel tem uma barra de chocolate e quer dividi-la igualmente entre seus quatro netos.

a) Como você acha que Miguel deve proceder para dividir sua barra de chocolate entre seus quatro netos?

b) Utilizando uma folha de papel para representar a barra de chocolate, aplique a ideia que você sugeriu no item anterior.

c) Quanto de chocolate cada neto de Miguel receberá após a divisão? 1 4 da barra de chocolate.

Vamos observar uma opção de como Miguel pode dividir o chocolate entre os netos. Note que a ideia aqui é dividir igualmente uma barra de chocolate (um inteiro) entre quatro pessoas. Nesse caso, cada neto receberá uma de quatro partes em que a barra de chocolate será dividida, ou seja, 1 4 da barra de chocolate. Assim, podemos escrever:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A ideia de fração como resultado da divisão de dois números naturais

Neste tópico, os estudantes relacionam a representação de uma fração com a ideia de divisão. Para isso, uma situação que envolve a divisão de uma barra de chocolate em partes iguais é apresentada. Verificar se os estudantes associam a

representação fracionária 1 4 com a ideia de divisão (1 dividido por 4), em que temos um inteiro dividido em 4 partes iguais.

Pense e responda

O objetivo desse boxe é realizar uma sondagem de como os estudantes resolvem com base na ideia de fração o problema proposto.

No item a, sugerir aos estudantes que registrem, no caderno, as respostas por meio de desenhos. Verificar se dividem em partes iguais o desenho que fizerem para representar a barra de chocolate.

Ou seja, usamos a fração como quociente de dois números naturais.

Frações, como 1 4 , podem ser associadas à ideia de resultado de divisão de dois números naturais.

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29/08/22 12:34 AMPLIANDO

Link

POLYPAD. The Mathematical Playground. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.mathigon.org/polypad. Acesso em: 19 ago. 2022.

Nesse link, nas opções à esquerda na tela, na aba Arquivo, no item Frações, estão disponíveis na versão on-line, tiras de frações (ou barras de frações) e os círculo de frações.

Sugere-se utilizar com os estudantes essa ferramenta digital favorecendo as explorações ao longo das páginas desta Unidade.

Para o item b, providenciar folhas de papel reciclado para os estudantes realizarem as dobraduras que representam a divisão indicada na resposta ao item a

WANDSON ROCHA

1 b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades explora a ideia de fração como parte de um todo e favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA07. Ressaltar para os estudantes a necessidade de fazer a divisão do todo em partes iguais.

Na atividade 1, verificar se os estudantes percebem que algumas figuras estão divididas em partes de mesma medida, e outras não estão. Conversar com eles sobre a ideia de repartir em partes iguais.

Para essas atividades, organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias, favorecendo a comunicação.

Nas atividades 3, 5, 7, e 8, pode-se sugerir aos estudantes que façam a representação de cada situação com um desenho, facilitando o entendimento.

Pedir aos estudantes que socializem como pensaram ao responder às atividades desse bloco.

Responda às questões no caderno.

1. Observe as figuras e indique as que estão divididas em partes iguais

Alternativas a, b, d, e, f, h, i.

b) c) d) e)

f ) g) h) i) j)

2. Os triângulos destacados na cor azul representam que fração de cada figura?

em azul e aos trechos assinalados em vermelho em cada segmento. a) 7 8 ; 1 8 b) c) d)

5. Que fração do ano 7 meses representam?

6. Observe quantos ovos Helena comprou para fazer um doce.

Ovos.

Se ela usar 5 desses ovos, que fração da quantidade total de ovos Helena vai usar?

7. Ontem foi dia 17 em um mês de 30 dias. Que fração desse mês já se passou?

8. Para encher uma xícara, são necessárias 8 colheres de farinha. Cada colher de farinha representa que fração da quantidade total de farinha que se pode colocar na xícara?

9. As figuras mostram o marcador de combustível de um carro.

3. Uma semana tem 7 dias. Que fração da semana é representada por: a) 3 dias? b) 6 dias?

4. Cada figura representa um segmento de reta. Escreva as frações que correspondem aos trechos assinalados

Se a figura 1 mostra o tanque cheio, escreva qual das outras figuras representa: a) 1 2 tanque? 3

PROBLEMAS ENVOLVENDO FRAÇÕES

Acompanhe as situações a seguir.

1 Mariana comprou 20 garrafas de suco para sua festa de aniversário. Se forem consumidos 4 5 dessa quantidade, quantas garrafas serão consumidas?

Fazendo um esquema:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Problemas envolvendo frações

Neste capítulo, os estudantes resolvem problemas que envolvem frações. No encaminhamento com o trabalho, é importante considerar que muitas vezes os estudantes cometem equívocos no processo de resolução de um problema por não terem compreendido o enunciado.

Para evitar que isso ocorra, podem-se utilizar algumas estratégias, como orientar os estudantes a fazer a leitura do enunciado com muita atenção e sugerir a eles que grifem cada dado do problema de uma cor, por exemplo.

Serão consumidas 16 garrafas.

2 Mariana está fazendo sanduíches para uma festa. Ela já montou 16 sanduíches, que correspondem a 1 4 da quantidade de sanduíches que ela pretende fazer.

Quantos sanduíches Mariana vai montar para a festa?

Fazendo um esquema: 16 1 4 corresponde a 16. 4 4 correspondem a 4 16 = 64.

Mariana vai montar 64 sanduíches para a festa.

3 Dos amigos que Mariana convidou para a festa, 20 estudam na mesma turma que ela, o que corresponde a 5 6 da quantidade de convidados. Quantas pessoas Mariana convidou para a festa?

5

6 correspondem a 20.

1

6 corresponde a 20 : 5 = 4.

6 6 correspondem a 6 4 = 24. Mariana convidou 24 pessoas.

Recomendar a eles que destaquem a pergunta contornando-a, por exemplo, para identificar a que é preciso encontrar uma solução, indicando uma resposta. Comentar com os estudantes que representar os dados do problema usando esquemas, desenhos, entre outros registros, também auxilia na compreensão do problema.

Por fim, ressaltar que é importante que verifiquem se a resposta obtida está coerente com os dados do problema.

É interessante propor aos estudantes que, em grupos, resolvam as situações apresentadas na página do Livro do estudante sem ver as respostas dadas.

Orientá-los a seguir as etapas descritas acima e incentivá-los a utilizar estratégias próprias. Depois, é interessante que eles socializem as resoluções validando as estratégias que usaram.Para isso, convidar alguns estudantes para mostrar como pensaram, incentivá-los a expressar suas ideias oralmente e, quando necessário, disponibilizar a lousa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Esse bloco de atividades trabalha a resolução de problemas envolvendo frações e favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA09.

Ao longo das atividades, incentivar os estudantes a utilizar a calculadora a exemplo da estratégia apresentada na atividade 2

Na atividade 4, por exemplo, espera-se que os estudantes percebam que o inteiro a ser repartido em 8 partes iguais corresponde ao número que indica a quantidade de estudantes da turma. É interessante pedir que desenhem o inteiro representando o total de estudantes. Desse inteiro, 9 estudantes têm menos de 20 anos, e o restante tem 20 anos ou mais. Fazer perguntas como: “Esses 9 estudantes correspondem a quantas partes do inteiro?”

(Resposta: 3 partes). Assim, os estudantes podem perceber que, se três oitavos correspondem a 9, um oitavo corresponde a 3, pois 9 dividido 3 é igual a 3; assim, oito oitavos correspondem a 24, pois 8 multiplicado por 3 é igual a 24.

Responda às questões no caderno.

1. Em um grupo de 224 pessoas, verificou-se que 1 8 delas nasceu na Região Nordeste do Brasil. Quantas pessoas desse grupo nasceram na Região Nordeste? 28 pessoas.

2. Observe como podemos usar uma calculadora para calcular, por exemplo, 7 15 de 480.

Inicialmente, calculamos 1 15 de 480, dividindo esse valor por 15: 1 32 8 4 = 5 0 ÷ Em seguida, multiplicamos o resultado obtido por 7, obtendo 7 15 : 7 x 224 =

Assim, para calcular a fração de uma quantidade usando uma calculadora, basta dividir essa quantidade pelo denominador da fração e, a seguir, multiplicar o resultado pelo numerador da fração.

Agora, usando uma calculadora, resolva o problema a seguir.

• O orçamento da prefeitura de um município prevê a verba mensal de 4 500 000 reais para a Educação. Desse montante, 4 5 são direcionados para o Ensino Fundamental. Qual é a verba destinada ao Ensino Fundamental? 3 600 000 reais.

3. Uma fábrica produz N brinquedos para certa loja. Na entrega, 75 brinquedos apresentavam algum defeito,

correspondendo a 1 6 dos brinquedos produzidos. Qual é o valor de N ? 450

4. Em uma escola de inglês há uma turma em que 9 estudantes têm menos de 20 anos, o que corresponde a 3 8 da quantidade de estudantes da turma Quantos estudantes há nessa turma?

24 estudantes.

5. No ano passado, um município registrou 1 450 acidentes de trânsito. Em 18 25 acidentes não havia vítimas. Quantos foram os acidentes com vítimas?

406 acidentes.

6. Observe a figura. Quantos representam:

a) 1 2 da figura? 9

b) 2 3 da figura? 12

c) 5 6 a figura? 15

d) 4 9 da figura? 8

7. No Brasil, o início da primavera acontece em 23 de setembro. Esse mês tem 30 dias. Já se passaram 8 10 da quantidade de dias. Quantos dias faltam para setembro terminar? 3 dias.

8. Ao entrar em um shopping, Antônio tinha 300 reais. Fez compras em 3 lojas. Em cada uma delas gastou 2 reais a mais que a quarta parte da quantia que tinha ao entrar na 1a loja. Ao sair da 3a loja, quantos reais ainda restavam para Antônio? 69 reais.

Responda às questões no caderno.

1. Todas as pizzas são de mesmo tamanho e foram repartidas em 5 partes iguais.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

a) Represente com frações as partes que ainda restam em cada pizza

b) Observando as pizzas, ordene as frações da menor para a maior.

2. Em cada figura a seguir, a metade do disco está pintada.

Usando os sinais . (maior do que), , (menor do que) ou = (igual a), compare as frações indicadas.

=

=

=

=

Observe os cinco discos de mesmo tamanho. Cada um deles está dividido em partes iguais.

Providenciar círculos de cartolina, todos idênticos, para que os estudantes os manipulem ao responder às questões propostas nesse boxe, dividindo esses círculos em partes iguais, retirando as partes que já foram comidas da pizza (questão 1) ou comparando as partes dos discos repartidos em partes iguais (questão 2). Incentivar os estudantes a sobrepor as partes de cada disco para fazerem conjecturas e poderem compreender a comparação entre as frações. Nesse momento, é importante conduzir os estudantes para o raciocínio de frações equivalentes, que serão estudadas adiante nesta Unidade. Por exemplo, ao verificar que duas partes de círculo de 1 4 correspondem a uma parte de 1 2 , os estudantes podem perceber que 1 4 , 1 2 e, posteriormente, compreenderão que 2 4 equivalem a 1 2

• São necessárias duas partes do disco C para cobrir exatamente uma parte do disco A

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Link

TANGRAM. The Mathematical Playground. [S l.], c2022. Disponível em: https://pt.mathigon.org/ tangram. Acesso em: 19 ago. 2022.

Nesse link, é possível acessar a versão on-line de um tangram, que pode ser utilizado para elaborar diferentes figuras. Sugerir aos estudantes que comecem montando as imagens mais simples para, depois, montarem as figuras apresentadas no nível avançado.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os jogos promovem a socialização entre os estudantes, além de exercitar a empatia entre eles. Podem ser realizados diversos jogos para ampliar o trabalho com frações, como:

• Dominó das frações, para explorar o conceito de fração, a representação fracionária, a leitura e a escrita delas.

• Papa tudo das frações, em que estão envolvidos conteúdos de comparação de frações e identificação de frações equivalentes, que serão estudadas no capítulo seguinte desta Unidade.

• Passa rápido das frações, para explorar o conceito de frações equivalentes, que serão estudadas no capítulo seguinte desta Unidade.

• Jogo da memória das frações, que aborda as operações de adição e subtração de frações de mesmo denominador, simplificações e representação fracionária, assuntos que serão tratados mais adiante nesta Unidade.

Há outros que também trabalham o raciocínio lógico Sínteses dos objetivos pedagógicos desses jogos e outros podem ser encontradas no seguinte artigo: KRANZ, Bárbara Elisa; OLGIN, Clarissa de Assis. Jogos didáticos no ensino de frações nos anos finais do Ensino Fundamental Faculdades Integradas de Taquara, Taquara, 2019. Disponível em: https://www2.faccat.br/portal /sites/default/files/4%20OF.pdf.

Acesso em: 19 ago. 2022.

• Uma parte do disco D não é suficiente para cobrir uma parte do disco B

1 3 . 1 6

• Quanto maior é a parte, menor é o denominador da fração unitária que a representa. Por exemplo:

1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 6 . 1 8

SAIBA QUE

Fração unitária é toda fração de numerador 1.

• Uma parte do disco C cobre uma parte do disco E e ainda sobra.

1 8 , 1 4

• Quanto menor é a parte, maior é o denominador da fração unitária que a representa. Por exemplo: 1 8 , 1 6 , 1 4 , 1 3 , 1 2

Comparando frações de mesmo numerador, a menor delas é a que apresenta o maior denominador.

Por exemplo:

Comparando frações de mesmo denominador, a menor é aquela que apresenta o menor numerador.

Por exemplo:

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno. Para resolver as atividades a seguir, considere usar os discos dados na página 139

1. Tio Antônio adora brincar com seus sobrinhos com charadas. Certa vez, ele deu uma barra de chocolate a cada sobrinho, todas iguais, e perguntou:

Em um inteiro há quantas metades? E terços? E quartos?

Observe quanto cada sobrinho comeu da barra que ganhou.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

As atividades deste bloco exploram a comparação de frações por meio da análise de seus numeradores e denominadores e encaminham os estudantes, de modo informal, à ideia de frações equivalentes, que será estudada no capítulo seguinte, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF06MA07 e EF06MA09.

Comi uma barra de chocolate inteira! E eu comi a metade da metade da metade da barra.

2 metades; 3 terços; 4 quartos.

Eu comi oito oitavos da barra. Comi a metade da metade da barra de chocolate.

a) Responda às perguntas de tio Antônio.

b) Quem comeu mais: Ivo ou Carlos?

Os dois comeram a mesma quantidade.

c) Escreva as frações que representam a quantidade que Sara e Lara comeram.

d) Agora, responda:

• Uma metade é igual a quantos sextos? E a quantos décimos? 3; 5

• Uma terça parte é igual a quantos sextos? E a quantos nonos? 2; 3

2. Você pode afirmar que 2 3 e 4 6 de uma mesma figura representam a mesma região dessa figura? Sim.

3. Em uma empresa, 1 3 dos funcionários usa o metrô para chegar ao trabalho, enquanto 1 5 dos funcionários usa ônibus. Entre os dois tipos de transporte, qual é o mais usado? O metrô.

4. Verifique se as comparações são verdadeiras (V) ou falsas (F).

Na atividade 2, os estudantes podem desenhar duas figuras idênticas, dividindo-as de modo que possam representar as frações do enunciado. Por exemplo: um círculo dividido em três partes iguais, das quais duas são evidenciadas com cor e outro círculo, idêntico ao primeiro desenhado, dividido em seis partes iguais, das quais quatro são destacadas com cor. Assim, os estudantes poderão citar oralmente e com apoio visual dessas representações como chegaram à conclusão de que 2 3 equivalem a 4 6

Para a atividade 4, por exemplo, os estudantes podem utilizar tiras de frações (ou barras de frações) ou os círculos de frações, já mencionados anteriormente nas orientações didáticas desta Unidade, na versão concreta (física) e indicado no link em que é possível trabalhar com a versão on-line (ver Ampliando, página 135, nesta Unidade).

Sugere-se que, utilizando esses materiais, os estudantes representem as frações indicadas nos itens e as comparem.

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Outra estratégia para dar continuidade ao estudo com comparação e ordenação de frações é solicitar aos estudantes que elaborem problemas e os troquem entre si. Desse modo, eles desenvolvem tanto a habilidade de resolução como a de elaboração.

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Obtendo frações equivalentes

Sugere-se iniciar o trabalho com este capítulo com uma atividade em que os estudantes possam manipular algum material para comparar frações.

Existem muitas possibilidades e entre elas podem-se utilizar as dobraduras.

Providenciar papel reciclado para todos os estudantes e pedir a eles que dobrem a folha, de modo a dividi-la em duas partes iguais.

Em seguida, pedir que dobrem ao meio mais uma vez e outra vez ainda.

Depois, questionar em quantas partes ficou dividida a folha de papel, se essas partes são iguais, que fração da folha de papel cada uma das partes representa, entre outras perguntas que avaliar interessantes.

Organizar a turma em grupos e pedir que, usando as diversas folhas dobradas, pintem em folhas diferentes as representações das seguintes frações 1 2 , 1 4 , 2 8 , 2 4 , 4 8 , 6 8 , 3 4 , 2 2 , 4 4 e 8 8

Por fim, pedir que comparem e indiquem quais frações correspondem à mesma parte do todo e explicar que essas frações são chamadas frações equivalentes.

É oportuno relacionar a Geometria com o conceito de frações equivalentes. Estimular os estudantes a perceber que as frações são equivalentes porque as medidas das áreas coloridas correspondentes nas folhas dobradas são equivalentes.

OBTENDO FRAÇÕES EQUIVALENTES

Nos dois casos que apresentamos a seguir, as frações estão representadas geometricamente, considerando o mesmo inteiro. Observe.

9 12 da figura.

Você notou que as frações 3 4 , 6 8 e 9 12 representam a mesma parte da figura?

Dizemos que essas são frações equivalentes

escrevemos: 3 4  6 8  9 12

Você notou que as frações 3 6 , 2 4 e 1 2 representam a mesma parte da figura?

Dizemos que essas são frações equivalentes e escrevemos: 3 6  2 4  1 2

Duas ou mais frações que representam a mesma porção da unidade são chamadas de frações equivalentes

Pedir que registrem, no caderno, a representação geométrica das frações equivalentes

==

Para complementar e reforçar a ideia de frações equivalentes, solicitar aos estudantes que leiam os dois casos dados na página do Livro do estudante.

UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE

Já estudamos que 3 4 , 6 8 e 9 12 são exemplos de frações equivalentes.

Partindo de 3 4 , temos:

As frações 3 6 , 2 4 e 1 2 também são exemplos de frações equivalentes.

Para chegar a 1 2 , temos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Uma propriedade importante Nos exemplos apresentados no Livro do estudante, o objetivo é mostrar a aplicação da equivalência de frações para escrever duas ou mais frações com o mesmo denominador.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de zero, obtemos sempre uma fração equivalente à fração dada.

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES E FRAÇÕES IRREDUTÍVEIS

Simplificar uma fração significa obter uma fração equivalente à fração dada, escrita com termos menores. Por exemplo:

A seguir, observar uma sugestão de um quebra-cabeça cujo objetivo é explorar os conhecimentos sobre simplificação de frações usando cálculo mental e raciocínio lógico. Organizar a turma em grupos. Para cada grupo, entregar uma reprodução ampliada da imagem apresentada neste boxe.

Podemos dividir sucessivamente o numerador e o denominador da fração por um divisor comum, até obtermos a fração com os menores termos possíveis. Essa fração é chamada de forma simplificada ou forma irredutível da fração dada. Assim, a fração 2 3 é a forma irredutível da fração 48 72

Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número maior do que 1.

Outro caminho que podemos seguir para obter a forma irredutível de uma fração é efetuar uma única divisão pelo maior divisor comum dos termos da fração, no caso do exemplo, pelo número 24. 48 72 2 3

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Em seguida, orientar para que façam a justaposição do lado das peças que representam a mesma fração. Após formar um losango com 18 peças, pedir que colem em uma cartolina e registrem os cálculos que foram efetuados mentalmente, mostrando os pares de frações equivalentes.

São ilustrados, a seguir, moldes das peças desse quebra-cabeça.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Reduzindo duas frações ao mesmo denominador

O objetivo deste tópico é apresentar aos estudantes a equivalência de frações para escrever duas ou mais frações com o mesmo denominador.

Neste momento, esse conhecimento será utilizado para comparar frações.

No entanto, esse procedimento será útil aos estudantes na realização das operações de adição e subtração de frações de denominadores diferentes, as quais serão trabalhadas mais adiante nesta Unidade.

Retomar com os estudantes os conceitos de múltiplo e de divisor que são mobilizados no trabalho com a redução de frações ao mesmo denominador.

Uma maneira de introduzir esse tema sobre redução de frações ao mesmo denominador é explorando a ideia de equivalência para encontrar as frações de mesmo denominador.

É importante ressaltar que nem sempre há necessidade de transformar frações de denominadores diferentes em frações equivalentes para compará-las.

Por exemplo, podemos comparar as frações 1 2 e 1 5 sem a necessidade de transformá-las em frações equivalentes de mesmo denominador.

Nesse caso, como os numeradores são iguais, é provável que os estudantes percebam que a fração maior é 1 2 , pois o inteiro é dividido em uma quantidade menor de partes.

REDUZINDO DUAS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR

1 Observe as frações 1 2 e 1 5 . Elas possuem denominadores diferentes. Será que é possível encontrar frações equivalentes a elas, mas com o mesmo denominador?

Vamos fazer um esquema:

Observe: 144

Transformamos as frações 1 2 e 1 5 em frações equivalentes às frações iniciais com denominadores iguais: 5 10 e 2 10

2 Vamos fazer o mesmo com 3 4 e 5 6 . Acompanhe:

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A comparação também pode ser feita utilizando a representação geométrica, mas, quando os denominadores das frações são números grandes, essa maneira não é prática.

Iniciar perguntando aos estudantes quais são as frações equivalentes a 1 2 e 1 5 que possuem o mesmo denominador. Pedir que anotem e, depois, destaquem as que possuem mesmo denominador. Nesse caso, por exemplo,

respectivamente, 5 10 e 2 10 são frações equivalentes de mesmo denominador. Outro exemplo: 10 20 e 4 20 , respectivamente.

Conversar com os estudantes se é possível encontrar outras possibilidades além dos denominadores 10 e 20. Espera-se que eles percebam que existem infinitas possibilidades e o 10, nesse caso, é o menor denominador possível. De modo análogo, explorar 3

e 5

18 24

Transformamos as frações 3 4 e 5 6 em frações equivalentes às frações iniciais com denominadores iguais: 18 24 e 20 24

Dadas duas frações com denominadores diferentes, podemos obter frações equivalentes às frações iniciais com o mesmo denominador.

Essa operação é chamada de redução das frações a um denominador comum

PENSE E RESPONDA

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que o processo sempre funciona para obter frações de mesmo denominador. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Retomando as situações 1 e 2 , observe que as frações iniciais tiveram seus numeradores e denominadores multiplicados por determinado fator. Agora, responda às questões no caderno.

1. Identifique uma relação entre o numerador e/ou o denominador dessas frações e esses fatores de multiplicação.

Em cada situação, cada fração teve seu numerador e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração.

2. Escolha duas frações quaisquer com denominadores diferentes e aplique a relação obtida na atividade 1 para reduzi-las a um denominador comum. Repita esse processo outras três vezes. Esse processo funcionou todas essas vezes?

3 Observe, agora, as frações que obtivemos na situação anterior: 18 24 e 20 24 . Vamos simplificá-las até obtermos suas frações irredutíveis.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Organizar os estudantes em duplas para que possam refletir juntos sobre as questões propostas nesse boxe.

Na questão 1, orientá-los a observar, novamente, na página anterior, o processo de transformação das frações 1 2 e 1 5 e das frações 3 4 e 5 6 para as frações 5 10 e 2 10 ; 18 24 e 20 24 , respectivamente. Nas duas situações, é possível constatar que o numerador e o denominador da fração inicial foram multiplicados pelo denominador da outra fração inicial: ? ? 15 25 e ? ? 12 52 Na segunda situação, é importante observar que o denominador 24 é o produto de 4 multiplicado por 6, que é igual a 6 multiplicado por 4, e 24 satisfaz a questão proposta. Porém, existe outra possibilidade de denominador comum que também foi utilizado, que é o 12.

Observe que as frações 9 12 e 10 12 são também equivalentes, respectivamente, às frações 3 4 e 5 6 , e possuem o mesmo denominador, ou seja, fizemos uma redução das duas frações a um denominador comum. Nesse caso, esse denominador é o menor denominador comum possível, ou seja, fizemos uma redução das frações ao menor denominador comum Observe que na situação 1, por exemplo, as frações encontradas já são as de menor denominador comum, mesmo sem serem simplificadas, pois a única simplificação possível as transformará nas frações iniciais.

Na questão 2, reforçar a ideia de que podemos obter infinitas frações equivalentes de mesmo denominador, mas apenas uma será de menor denominador comum. Para isso, apresentar aos estudantes alguns pares, trios ou quartetos de frações de denominadores diferentes e pedir que encontrem as frações equivalentes de menor denominador comum. Por exemplo, 2 3 e 1 4 :

Discutir o padrão da sequência das frações equivalentes. No caso acima, por exemplo, é possível verificar que o denominador comum é o 12 e que a sequência será de 12 em 12.

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Atividades

Neste bloco de atividades, os estudantes têm a oportunidade de aplicar conhecimentos sobre simplificação de frações.

Na atividade 4, orientar os estudantes a observar, nas frações, se o numerador e o denominador podem ou não ser simplificados.

Exemplo: em 4 12 o numerador 4 e o denominador 12 podem ser divididos por um número maior do que 1?

Observe:

4 : 2 = 2 e 12 : 2 = 6

2 : 2 = 1 e 6 : 2 = 3

ou simplificando diretamente:

4 : 4 = 1 e 12 : 4 = 3

Portanto, a fração 4 12 não está na sua forma irredutível, pois ainda é possível simplificá-la resultando 1 3 .

Ao término, pedir aos estudantes que demonstrem como fizeram para resolver determinadas questões. Assim, eles revisitam os procedimentos adotados. Isso pode auxiliar a esclarecer dúvidas dos colegas, além de trazer subsídios para que você possa avaliar a compreensão que eles estão desenvolvendo do conteúdo estudado.

Aproveitar esse momento de socialização para ressaltar à turma que uma mesma resposta pode ser obtida utilizando estratégias diferentes como as explicações deles revelam.

Responda às questões no caderno.

1. Verifique se as frações são equivalentes.

a) 2 7 e 6 21 Sim.

b) 5 9 e 15 18 Não.

c) 3 10 e 21 70 Sim.

d) 16 10 e 8 5 Sim.

e) 8 4 e 2 1 Sim.

f) 15 12 e 5 2 Não.

2. Escreva uma fração equivalente a:

a) 5 9 que tenha denominador 27. 15 27

b) 3 11 que tenha denominador 44. 12 44

c) 5 8 que tenha denominador 40. 25 40

3. Escreva uma fração de denominador 20 que seja equivalente a cada uma das frações a seguir.

6. Em um jogo, Ana acertou 15 de 20 tentativas. Escreva, na forma irredutível, a fração que representa as jogadas que Ana acertou.

7. Obtenha a forma irredutível das frações a seguir

a) 105 63 5 3 b) 63 105 3 5

8. Sabendo que uma hora tem 60 minutos, represente com frações e simplifique.

a) 5 minutos em relação a uma hora.

b) 15 minutos em relação a uma hora.

c) 30 minutos em relação a uma hora.

d) 10 minutos em relação a uma hora.

e) 45 minutos em relação a uma hora.

f) 60 minutos em relação a uma hora.

9. As frações 5 9 e a 36 são equivalentes. Qual núme ro deve ser colocado no lugar da letra a? 20

4. Entre as frações a seguir, identifique as que estão em sua forma irredutível.

10. Usando a equivalência de frações, escreva qual número deve ser colocado no lugar de x em cada caso.

5. Observando a figura a seguir, responda.

11. Reduza as frações a seguir ao menor denominador comum.

a) A parte azul representa que fração da figura? 20 25

b) Qual é a forma irredutível dessa fração?

12. Considere as frações 5 6 e 7 8

20 24 e 21 24 fração da quantidade de estudantes da escola?

a) Escreva a fração de denominador 24 equivalente a cada uma delas.

b) Qual dessas duas frações é maior? 7 8

13. Compare as frações de cada item. Nos casos em que as frações têm numeradores e denominadores diferentes, você pode encontrar frações equivalentes às iniciais com o mesmo denominador.

a) 7 12 e 3 5 7 12 3 5 , d) 3 8 e 1 12 3 8 1 12 .

b) 5 4 e 5 6 5 4 5 6 . e) 7 15 e 7 9 7 15 7 9 ,

c) 1 6 e  4 5 1 6 4 5 , f) 5 15 e 2 9 5 15 2 9 .

14. (Saresp-SP) Em uma turma há 10 meninos e 15 meninas. A fração que pode representar a relação entre o número de meninos e o total de estudantes dessa turma é: Alternativa c.

a) 10 15

b) 15 10

c) 10 25 d) 25 10

15. A figura representa uma parede retangular na qual estão pintados círculos amarelos. A parede tem 64 metros quadrados de área, e cada círculo tem 4 metros quadrados de área. A área ocupada pela parte colorida de amarelo expressa que fração da área da parede? Dê a resposta de forma simplificada. 1 4

16. Uma escola tem dois períodos de aulas. Pela manhã, são 10 turmas com 30 estudantes em cada uma, e, à tarde, são 6 turmas com 40 estudantes em cada uma. A quantidade de estudantes do período da tarde representa que

17. Em u ma pesquisa sobre o grau de escolaridade dos funcionários de uma empresa, obtiveram-se os resultados expressos no gráfico a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Fonte: Dados fictícios. Que fração do total de entrevistados representa o total de pessoas que terminaram pelo menos o Ensino Fundamental? 15 16

DESAFIO

18. Copie o esquema, substituindo cada por números naturais, de modo que todas as frações sejam equivalentes. Substitua * pela fração irredutível equivalente às demais.

Na atividade 17, explorar a leitura e a construção de gráficos, sugerindo como atividade extra a confecção de um gráfico, mas com dados reais colhidos na própria comunidade escolar. Para isso, fazer um levantamento das informações interessantes e importantes a serem coletadas para que, após a obtenção dos dados, possam gerar ações efetivas na escola. Por exemplo, um levantamento da quantidade de água que a escola consome em um mês. Depois, solicitar a eles que elaborem sugestões para reduzir o consumo de água, economizando-a. Essa é apenas uma sugestão; é interessante que eles façam um levantamento de informações que sejam relevantes para eles, de acordo com a realidade da escola e dos estudantes. Ao analisar a proposta do desafio 18, é possível que os estudantes percebam que a única fração de que se conhece o numerador e o denominador é a fração 60 90 , podendo assim, a partir dela, determinar a fração irredutível solicitada.

Fazendo a simplificação da fração 60 30 90 30 : : obtêm-se 2 3 , que é o valor de *.

A partir da fração 2 3 , é possível obter todas as outras frações equivalentes. Por exemplo, 2 3 ? 12 = multiplica-se o numerador por 4 porque 12 : 4 = 3, então, 24 34 8 12 ? = Pode -se usar esse procedimento para determinar as outras frações equivalentes.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição e subtração de frações

Neste capítulo, os estudantes efetuam a adição e a subtração de números racionais escritos na forma de frações, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA10. São exploradas as situações em que as frações possuem denominadores iguais e, depois, as situações em que os denominadores são diferentes.

Após ler com os estudantes as situações apresentadas na página do Livro do estudante, propor outros. Primeiro, uma adição de frações em que os denominadores são iguais. Por exemplo, apresentar 1 4 2 4 + e pedir aos estudantes que calculem a soma, a exemplo do apresentado no livro, fazendo a representação geométrica para refletir e chegar ao resultado.

Em seguida, apresentar uma subtração, por exemplo, 4 5 1 5 , e proceder da mesma maneira. Permitir aos estudantes que calculem o resultado dessas operações. Desse modo, é esperado que eles cheguem à conclusão de que, para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm denominadores iguais, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

Para as frações de denominadores diferentes, proceder de maneira semelhante. Apresentar a adição de frações 1 2 2 3 + e pedir aos estudantes que calculem, fazendo a representação geométrica. Incentivá-los a usar o conhecimento que eles adquiriram ao estudar as frações equivalentes.

Vamos considerar as situações a seguir.

1 Fernando tem uma tira retangular de cartolina branca. Ele dividiu essa tira em 9 partes iguais, pintou 5 dessas partes de laranja e 2 dessas partes de lilás. A parte colorida da tira representa que fração da tira inteira?

5 9 2 9

Representando geometricamente, temos: 7 9

A parte colorida representa 7 9 da tira toda.

Em linguagem matemática: 5 9 2 9 7 9 +=

2 Fernando tem outra tira retangular que está dividida em 9 partes iguais. Nessa tira, 5 partes iguais já foram coloridas de verde, e dessa parte colorida ele eliminou 2 partes. Nessas condições, a parte colorida que restou representa que fração da tira inicial?

Representando geometricamente, temos:

5 92 9

Em linguagem matemática: 5 9 2 9 3 9 _=

A parte colorida que restou representa 3 9 da tira inicial.

Pelas situações apresentadas, temos:

5 9 2 9 7 9 +=

5 9 2 9 3 9 _=

Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm o mesmo denominador, adicionamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o denominador.

Assim, é esperado que eles cheguem à conclusão de que, para adicionar ou subtrair frações de denominadores diferentes, primeiro encontramos frações equivalentes às frações dadas que tenham denominadores iguais. Em seguida, efetua-se a adição ou a subtração das frações, conforme o caso.

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Adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador é fácil!

Mas e se as frações tiverem denominadores diferentes?

Ah! Não tem problema. Já aprendemos a encontrar frações equivalentes às frações dadas e que tenham o mesmo denominador. Assim fica fácil!

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Explorar os exemplos envolvendo cálculos com frações em diferentes situações envolvendo adição de frações. Verificar se os estudantes têm alguma dúvida e, caso necessário, fazer as devidas retomadas antes de seguir com estudo.

AMPLIANDO

Observe, agora, mais estas situações.

3 Helena foi à feira com certa quantia. Gastou 1 2 dessa quantia na banca de frutas e 1 3 dessa quantia na banca de verduras. Que fração da quantia inicial Helena gastou nessas duas bancas?

Para resolver esse problema, devemos calcular 1 2 1 3 + Representando geometricamente, temos:

Atividade complementar Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupos na exploração da ferramenta digital no notebook É necessário conexão com a internet. Acessar o app, disponível em: https://apps.mathlearningcenter. org/fractions/. Acesso em: 19 ago. 2022.

Clicar na opção do navegador para habilitar a tradução para o português e, no canto, inferior esquerdo da tela, clicar no segundo ícone da esquerda para a direita e, nessa opção, representar as figuras de acordo com as adições de frações que se pretende realizar. Inicialmente, pode-se explorar a situação 3 apresentada nesta página do Livro do estudante. Depois, com os estudantes, explorar outras, como as situações 4 e 5, na página seguinte.

WANDSON ROCHA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Utilizando as tiras de frações (ou barras de frações) ou os círculos de frações, já mencionados anteriormente nas Orientações didáticas desta Unidade, na versão concreta (física) e indicado no link em que é possível trabalhar com a versão on-line (ver Ampliando, página 135, nesta Unidade), é possível desenvolver o trabalho com as operações de adição e subtração de frações, ampliando as explorações.

Sugerir aos estudantes que, em duplas, representem as frações envolvidas nas situações 4 e 5 desta página utilizando os discos ou as tiras de frações.

Em seguida, solicitar-lhes que elaborem um problemas semelhantes aos dessas situações. Depois, os estudantes podem trocar os problemas entre as duplas, fazer as representações das frações de cada problema e compartilhar as estratégias utilizadas.

4 Uma pesquisa sobre a prática de esportes feita com determinado grupo de rapazes revelou que:

• 2 5 dos rapazes praticava voleibol;

• 1 2 dos rapazes praticavam basquetebol;

• o resto dos rapazes não praticava esportes. Que fração representa os rapazes que praticavam esportes?

Para resolver esse problema, devemos calcular 2 5

Representando geometricamente, temos:

2 +

Portanto, 9 10 dos rapazes do grupo praticavam esportes.

5 Das pessoas que estavam em uma barraca de pastel, 4 5 eram homens. Se 1 2 das pessoas que estavam na barraca usava óculos e apenas homens usavam óculos,

que fração das pessoas que estavam na barraca de pastel representa os homens que não usavam óculos?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Representando geometricamente, temos:

Assim: 8 10 5 10 3 10

Temos que 3 10 é a fração que representa os homens que não usavam óculos.

6 Renata fez uma pesquisa em sua escola sobre o grau de informação dos estudantes a respeito da dengue. O resultado foi dado pelo gráfico representado. Renata esqueceu-se de escrever a fração correspondente aos estudantes com nenhuma informação. Qual é essa fração?

Para resolver esse problema, inicialmente calculamos

7 10 1 4 +

7 10 1 4 14 20 5 20 19 20

Depois, calculamos a fração dos estudantes sem informação, que é dada por 1 19 20

1 19 20 20 20 19 20 1 20 _=_=

Os estudantes sem informação sobre a dengue correspondem a 1 20 do total pesquisado.

Para adicionar ou subtrair números representados por frações que têm denominadores diferentes, primeiro encontramos frações equivalentes às frações dadas que tenham um denominador comum. Em seguida, efetuamos a adição ou a subtração com essas frações.

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Link

COSTA, Ailton Barcelos da; GIL, Maria Stella Coutinho de Alcântara; ELIAS, Nassim Chamel. Ensino de frações para adolescentes com deficiência visual. Ciência & Educação, Bauru, v. 25, n. 4, out./dez. 2019. Disponível em: http://educa.fcc.org.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1516-73132019000401047&lng=en&nrm=i so. Acesso em: 19 ago. 2022. Nesse link, é possível encontrar um artigo que trata do ensino de frações para estudantes com deficiência visual.

As situações apresentadas na página do Livro do estudante dão continuidade ao trabalho de os estudantes efetuarem a adição e a subtração de frações.

Mais uma vez, é interessante que os estudantes representem, com material concreto, as frações envolvidas em cada situação.

Na situação 6, é importante que os estudantes compreendam que a soma das frações que representam cada setor do gráfico é igual a 1. Aqui, é possível retomar os conhecimentos que os estudantes têm a respeito de gráfico de setores e relacionar as medidas de cada setor à comparação entre a fração que representa os setores.

Fonte: Escola de Renata. ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Este bloco trabalha o cálculo direto de adições e subtrações de frações, bem como a resolução de problemas envolvendo adição e subtração de frações. Desse modo, o trabalho com a habilidade EF06MA10 é privilegiado.

Sugere-se disponibilizar material para que a turma construa um cartaz com uma síntese das ideias do que foi estudado nesta Unidade até aqui. Esse cartaz pode ficar exposto na sala para ser consultado quando necessário.

Para finalizar, proponha uma atividade que envolva a elaboração de problemas, solicitando aos estudantes que o problema elaborado apresente como resultado 3 10

Um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos estudantes é:

Ricardo gasta 7 10 do salário dele com despesas de alimentação e contas a pagar. Que fração do salário de Ricardo resta para outras despesas? Resposta: 3 10

Responda às questões no caderno.

1. Calcule as operações e, se possível, simplifique o resultado.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Apresentar outras situações como atividades extras, conforme sugestão a seguir.

Se uma pessoa gasta 1 4 do salário com transporte e 2 5 do salário com alimentação, qual é o

2. Se de 11 20 você subtrair 2 5 , que fração você vai obter? 3 20

3. Para fazer um trabalho escolar, Gustavo usou 3 5 de uma folha de cartolina, enquanto sua irmã usou 1 4 da mesma folha para fazer o trabalho Que fração dessa folha os dois usaram juntos? 17 20

5. No primeiro dia de trabalho, Arnaldo pintou 1 8 de uma parede e, no segundo dia, pintou 3 8 da mesma parede. Avalie se o que ele fala é correto. Nesses dois dias, pintei a metade da parede.

4. Efetue as adições e subtrações, simplificando o resultado quando possível.

6. Para completar um álbum de figurinhas, Fernando contribuiu com 1 5 das figurinhas, e Carlos contribuiu com 2 3 . Com que fração das figurinhas os dois juntos contribuíram? 13 15

7. Ronaldo trabalha em um escritório, e seu serviço é arquivar documentos. Em determinado dia, ele arquivou 1 2 dos documentos no período da manhã e, no período da tarde, arquivou 2 5 .

a) Que fração da quantidade de documentos Ronaldo arquivou nesse dia?

b) Em que período ele arquivou mais documentos? No período da manhã.

valor total gasto, em reais, considerando que o salário dessa pessoa é R $ 1 000,00?

Resolução da atividade

A quarta parte de 1 000, ou seja, 1 4 de 1 000, corresponde a 250, pois:

1 000 : 4 = 250

A quinta parte de 1 000, ou seja, 1 5 de 1 000, corresponde a 200, pois:

1 000 : 5 = 200; então: 2 5 de 1 000 =

= 2 ? 200 = 400

Portanto, o valor total gasto é R $ 650,00, pois: 250 + 400 = 650

ILUSTRAÇÕES: WANDSON ROCHA

8. Entre os participantes de um congresso, verificou-se que 5 8 deles chegaram ao evento utilizando o metrô, 1 6 foi de carro, e o restante usou ônibus.

a) Qual fração dos participantes foi de ônibus para o congresso? 5 24

b) Qual foi o meio de transporte usado por mais participantes para chegar ao evento?

Metrô.

9. Da renda de uma partida de futebol, 1 10 é destinada às despesas gerais, 1 2 cabe ao vencedor, e o restante cabe ao clube perdedor. Que fração da renda cabe ao clube perdedor? 2 5

10. Para ir de casa à escola, Helena percorre 1 2 de quilômetro, e Cristina percorre 1 6 de quilômetro. Que fração de quilômetro Helena percorre a mais do que Cristina? 1 12

11. A rua onde Mariana mora está sendo asfaltada. Na primeira semana, foram asfaltados 3 8 da rua, e na segunda semana, 1 3 da rua.

a) Que fração da rua foi asfaltada es s as duas semanas?

b) Já foi asfaltada mais ou menos da metade da rua? Mais.

c) Que fração da rua ainda falta ser asfaltada?

d) A partir do enunciado desta atividade, elabore duas questões, uma delas cuja resposta seja 1 24 . Entregue suas questões para um colega resolver e resolva as questões elaboradas por ele; em seguida, verifiquem juntos se as resoluções estão corretas.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

12. A produção mensal de uma confecção feminina é formada por 2 7 de blusas, 1 4 de saias e o restante de vestidos. Que fração da produção mensal é destinada aos vestidos? 13 28

13. José separou 2 5 de um terreno para construir um galinheiro, 1 3 para cultivar alface e o resto do terreno para tomate. Em que fração do terreno José cultivará tomate? 4 15

14. Elabore dois problemas com números na forma fracionária que envolvam as operações estudadas até aqui. Troque com um colega e resolva os problemas elaborados por ele, representando-os geometricamente e em linguagem matemática.

DESAFIO

15. Convide um colega para resolverem a seguinte atividade: copiem o quadro a seguir em uma folha avulsa. Para completá-lo, é só encontrar os números que faltam.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 11, item d, uma possível questão a ser elaborada é a seguinte:

Outra rua perto da casa de Mariana está sendo asfaltada. Na primeira semana, foram asfaltados 2 9 dessa rua e, na segunda semana, 1 15 a mais do que na primeira semana. Que fração da rua ainda falta ser asfaltada?

Neste caso, é importante que os estudantes observem que o termo “a mais” sugere na segunda semana foram asfaltados 2 9 1 15 13 45 += da rua. Logo, nas duas primeiras semanas foram asfaltados 2 9 1 15 13 45 += da rua, restando assim _=1 23 45 22 45 da rua a ser asfaltada.

Lembrar os estudantes de que a adição e a subtração são operações inversas.

Orientá-los a iniciar a resolução das adições por aquelas em que falta completar apenas uma fração. Incentivá-los a realizar algumas operações utilizando cálculo mental. Para isso, uma informação relevante é que os estudantes reconheçam que a representação de um inteiro também pode ser dada por uma

fração: 2 2 3 3 4 4 5 5 == == dessa maneira, eles podem deduzir que, tendo 1 4 , para completar 4 4 são necessários 3 4

Usando esse mesmo raciocínio dedutivo, os estudantes podem perceber que, para completar 5 4 , tendo 2 4 , são necessários 3 4 . Comentar com eles que diferentes estratégias são válidas para a resolução do desafio, mas é necessário ficarem atentos ao que estudaram da adição e da subtração com frações.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Esta seção favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA15 e da competência geral 9.

Para iniciar, solicitar aos estudantes que leiam o texto e pedir que expliquem o que entenderam.

Incentivar os estudantes a organizar os dados e a calcular a metade, depois, a terça parte e, por último, a nona parte de 35 camelos.

Com base nas respostas obtidas, comentar com eles que existem situações em que necessitamos realizar divisões que não são em partes iguais (equitativas).

Há situações, como nessa dos camelos, em que é preciso realizar uma divisão que seja em partes desiguais, no entanto, proporcionais.

Os estudantes nesta seção trabalham a resolução de um problema envolvendo a partilha de uma quantidade em partes desiguais com compreensão da ideia de razão entre as partes e delas com o todo.

Para enriquecer o trabalho com esta seção, podem-se trabalhar outras situações apresentadas no livro O homem que calculava, de Malba Tahan.

Se possível, providenciar um livro para cada estudante ou solicitar que façam a leitura e depois compartilhem os livros com os outros colegas, até que todos tenham acesso ao livro.

Depois, é interessante que, em grupos ou duplas, os estudantes se organizem e escolham ao menos mais duas situações de que gostaram no livro e as resolvam.

O PROBLEMA DOS CAMELOS

O livro O homem que calculava, de Malba Tahan (pseudônimo do escritor e professor brasileiro Júlio César de Mello e Souza), foi publicado em diversos países e sempre com muito sucesso. Cada capítulo desse livro traz uma história vivenciada por Beremiz Samir, personagem principal, famoso por resolver problemas que parecem não ter solução.

O capítulo III de O homem que calculava narra uma aventura impressionante. Beremiz e um amigo viajavam rumo a Bagdá em um único camelo, quando encontraram três irmãos discutindo acaloradamente. Curioso, Beremiz quis saber o motivo da discussão. Os irmãos contaram que tinham recebido como herança 35 camelos e que, segundo a vontade do pai, o mais velho deveria receber a metade; o irmão do meio deveria receber a terça parte; e o irmão caçula, a nona parte da herança. Porém, discutiam por não saber como dividir daquela maneira os 35 camelos, já que a metade, a terça e a nona partes de 35 não são exatas.

Vamos ver o que Beremiz propôs.

Os 35 camelos deveriam ser divididos do seguinte modo: 1 2 1 3 1 9 irmão caçula irmão do meio irmão mais velho

Como dividir um único camelo em partes? Após ouvir o problema, Beremiz Samir apresentou uma solução imediata. Ele disse:

“Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!”

TAHAN, Malba. O homem que calculava. 68. ed. Rio de Janeiro: Record, 200. p. 22.

A solução encontrada pelo homem que calculava resolveu o problema dos irmãos.

Ele juntou seu camelo aos 35 dos irmãos, fez a divisão de acordo com o estabelecido pelo pai, e ainda sobraram dois camelos!

1. Tente descobrir como Beremiz calculou e por que na sua divisão sobraram camelos.

Resposta pessoal.

2. Junte-se a um colega e pesquisem quem foi Malba Tahan e como o escritor Júlio César de Mello e Souza criou esse personagem. Escrevam um texto ou façam um áudio para apresentar o resultado da pesquisa de vocês.

AMPLIANDO

Podcast

Mundo Tahan. 2017. Podcast. Disponível em: https://malbatahan.com.br/audiovisuais/audios/. Acesso em: 19 ago. 2022.

Dez episódios que apresentam depoimentos sobre Malba Tahan.

Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

Descasquei os 3 abacaxis e cortei cada um em 3 pedaços iguais.

Comi uma parte de um dos abacaxis! Quanto restou dos abacaxis?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A forma mista

O objetivo deste capítulo é levar os estudantes a identificar, interpretar e utilizar a forma mista de uma fração, reconhecer uma fração imprópria e transformar a forma mista em fração imprópria e vice-versa.

Cada abacaxi representa um inteiro. Vamos representar os 3 abacaxis assim:

3 3 ou 1inteiro 3 3 ou 1inteiro 2 3

São dois inteiros e 2 3 . Há duas maneiras de representar essa quantidade numericamente:

• 3 3 3 3 2 3 8 3 ++= , que é uma fração imprópria (toda fração em que o numerador é maior ou igual ao denominador é chamada de fração imprópria).

• 11 2 3 ++ ou 2 2 3 + ou, simplesmente, 2 2 3 , que é chamada de forma mista da fração

2 3 = dois inteiros e dois terços forma mista

Até o momento foram exploradas as frações menores que um inteiro. A partir de agora, serão exploradas as frações maiores que um inteiro conhecidas como frações impróprias.

Uma vez que os estudantes estão habituados a trabalhar com representações menores que um inteiro, eles podem demonstrar algumas dificuldades ao interpretar as frações impróprias.

Por isso, é importante dar continuidade ao uso de representações geométricas e materiais manipuláveis com o objetivo de apoiar a compreensão deles acerca desse conceito.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É importante que os estudantes compreendam as operações envolvidas ao representar uma fração imprópria na forma mista e o contrário, isto é, como transformar um número racional na forma mista em uma fração imprópria. Detalhar cada passo, observar se os estudantes mobilizam os conhecimentos com facilidade, como o reconhecimento de frações equivalentes, adição de frações com o mesmo denominador etc. Vale ressaltar, ainda, as representações figurais para justificar os passos envolvidos para conferir-lhes maior significado.

AMPLIANDO

Atividades complementares

1. Cristina tinha 2 kg de farinha. Precisava de 1 1 2 kg para fazer pães e de 3 4 kg para fazer uma receita de torta. A farinha era suficiente?

2. De 3 3 4 de real foram retirados 2 1 5 . A quantia que sobra é maior ou menor do que 1 real e meio?

Resolução das atividades

1. Calcula-se o total de farinha que Cristina precisava para verificar se os 2 kg que ela tinha eram suficientes.

Logo, a farinha não era suficiente, pois Cristina precisava de 1 4 kg de farinha a mais do que os 2 kg que tinha.

2. Efetua-se a subtração, transformando cada forma mista em fração imprópria:

=+ =

Todo número racional escrito na forma mista pode se transformar em uma fração imprópria.

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ATIVIDADES

Responda às questões no

caderno.

1. Escreva as frações na forma mista. Depois, use figuras para representá-las.

a) 21 5

b) 17 3

c) 33 10 d) 15 2

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Escreva os números a seguir na forma de fração imprópria.

a) 5 1 4 21 4

b) 10 1 3 31 3

c) 5 2 3 17 3 d) 1 7 10 17 10

3. Quanto falta ao número 13 15 para atingir 1 1 6 ? 3 10

4. Usando uma bicicleta, Carlos percorreu 15 1 2 quilôm etros na primeira hora e 12 1 3 quilômetros na segunda

DESAFIO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

hora. Quantos quilômetros ele percorreu nessas duas horas? Dê a resposta na forma mista. 27 5 6 quilômetros.

5. Determine o valor da expressão numérica 1 4 5  7 10 . 2 1 2

6. Qual fração é maior, 42 5 ou 9 3 4 ? 9 3 4

7. Ao adicionar os números 2 3 4 e 1 2 5 , que valor você encontra como resultado? Entre quais números naturais está o resultado obtido? 4 3 20 ; entre 4 e 5.

8. Em um pacote, há 1 1 2 quilogramas de balas. Em outro pacote, há 2 1 3 quilogramas de balas. Quantos quilogramas de balas serão se juntarmos essas duas quantidades? Dê a resposta na forma mista. Serão 3 5 6 quilogramas de balas.

9. Na imagem a seguir, há 21 copos iguais. Sete desses copos estão cheios de suco, sete têm suco até a metade, e sete estão vazios. De que maneira podemos colocá-los em três bandejas, de modo que cada bandeja tenha a mesma quantidade de copos e a mesma quantidade de suco?

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. LUCAS FARAUJ

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Nesse bloco de atividades, são apresentadas situações envolvendo a forma mista, para que os estudantes apliquem os conhecimentos estudados.

Incentivá-los, se necessário, a rever as situações resolvidas apresentadas nas páginas anteriores do Livro do estudante.

Ao realizar a verificação e correção das respostas, observar os pontos que mais geraram dúvidas nos estudantes, avaliando quais precisam de retomada.

Se possível, levar copos de plástico e água para que os estudantes possam vivenciar a situação apresentada no desafio 9. Caso não seja possível, é interessante que eles desenhem no caderno copos iguais; para diferenciar os copos cheios dos outros, pedir para que pintem com lápis de cor. Incentivar os estudantes a registrar todas as etapas que realizaram para que possam compartilhá-las posteriormente.

Como 11 20 é maior do que 10 20 (que equivale à metade), podemos dizer que a quantia que sobrou é maior do que 1 real e meio.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Por toda parte

Solicitar aos estudantes que realizem a leitura de cada ficha de receita típica atentando às quantidades dos ingredientes.

Pedir a eles que identifiquem os dados apresentados em forma de fração ou de número misto e expliquem o que esses números estão representando nesse contexto.

Perguntar aos estudantes se conhecem outra receita típica em que os ingredientes estejam indicados na forma de fração.

Se desejar ampliar a proposta desta seção, pode-se sugerir a eles que realizem uma entrevista com a merendeira da escola. Outra possibilidade e, em parceria com o professor de Língua Portuguesa, propor a confecção de um livro de receitas.

Para responder às questões 2 e 3, verificar se os estudantes percebem que não podem comparar nem adicionar frações de inteiros diferentes.

RECEITAS TÍPICAS BRASILEIRAS

Influenciada por povos indígenas, negros, colonizadores portugueses e imigrantes, a culinária brasileira é bastante variada.

Observe, nas fichas a seguir, alguns dos ingredientes que fazem parte de receitas típicas de algumas regiões brasileiras. Note que os ingredientes estão representados na forma fracionária.

Bolo de guaraná (Região Norte) 1

xícara de chá de xarope de guaraná 1

xícara de chá de água

1 3 de xícara de chá de água morna

1 2 xícara de chá de açúcar

3 3 4 xícaras de chá de farinha de trigo

3

4 de xícara de chá de manteiga em temperatura ambiente

Bolo de rolo (Pernambuco)

4 1 4 xícaras de chá de farinha de trigo

2 3 4 xícaras de chá de açúcar

2 1 2 xícaras de chá de manteiga com sal

Observando as fichas de cada receita, resolva as seguintes questões no caderno.

1. Que números estão representados por frações menores do que 1 inteiro (frações próprias)?

1 2 , 1 3 , 3 4

2. Em qual das receitas aparece o maior número? Qual é ele? No bolo de rolo; 4 1 4

3. Considerando os ingredientes apresentados das quatro receitas, que quantidade de açúcar é utilizada? E de farinha de trigo? Quando possível, dê a resposta na forma de fração e na forma mista.

4. Você conhece as comidas apresentadas nesta página? Pesquise qual é o prato típico de seu município e escreva todos os ingredientes com as quantidades necessárias para fazê-lo. Compare com o que os colegas fizeram

Açúcar: 3 1 4 xícaras = 13 4 ; farinha de trigo: 32 4 ou 8 xícaras. Respostas pessoais. Verificar orientações neste Manual.

5. Em muitas famílias, existem receitas que são verdadeiros segredos de família, passadas de uma geração a outra. Converse com um adulto que mora com você e descubra se existe alguma receita desse tipo em sua família. Qual é o nome dessa receita?

158

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Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

Cuca de manteiga (Rio Grande do Sul)

de camarão (Bahia)

MARCOS MACHADO

7

MULTIPLICAÇÃO COM FRAÇÕES

Considere as situações a seguir.

1 Para fazer a receita de cuca de manteiga da página anterior, são necessários 3 4 de xícara de manteiga. Jane quer fazer 3 receitas dessa cuca. De quantas xícaras de manteiga ela vai precisar?

Para resolver esse problema, podemos fazer:

Então: 3 3 4 33 4 9 4

Geometricamente, podemos representar essa multiplicação assim:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicação com frações

Neste capítulo, os estudantes exploram situações envolvendo multiplicação de frações.

Sugere-se trabalhar de modo análogo ao trabalho que foi realizado com a adição e a subtração de frações: usando a representação geométrica e, se possível, as tiras de frações (ou barras de frações) e os círculos de frações.

Portanto, Jane vai precisar de 9 4 de xícara de manteiga.

Para multiplicar um número natural por um número na forma de fração, multiplicamos o número natural pelo numerador da fração e conservamos o denominador.

2 Em uma escola, 4 5 dos funcionários são mulheres. Entre as mulheres, 1 3 tem mais de 50 anos.

A quantidade de mulheres com mais de 50 anos representa que fração da quantidade de funcionários dessa escola?

Esse problema pode ser apresentado assim: quanto dá 1 3 de 4 5 ?

Realizar esse calculo é o mesmo que calcular 1 3 4 5 ?

Resolvendo a situação geometricamente, temos:

• A parte em verde representa 4 5 da figura.

• A parte hachurada representa 1 3 da parte em verde, ou seja, 1 3 de 4 5 da figura.

• A parte hachurada representa 4 15 da figura.

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A utilização de representações figurais contribuem para a compreensão do conceito de fração de modo mais integral. É importante que os estudantes adquiram fluência no uso dos algoritmos com frações, mas, antes disso, é fundamental que tenham construído os conceitos de modo significativo para eles, e não maquinalmente com a simples memorização de passos para realizar operações com frações.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Neste bloco de atividades, são propostos problemas que envolvem o cálculo da fração de fração. Espera-se que os estudantes percebam que podem usar a multiplicação de frações nas resoluções desse tipo de problema. Se julgar oportuno, com base no contexto da atividade 4, pedir aos estudantes que registrem o meio de transporte que cada estudante utiliza para chegar à escola e que representem com frações a quantidade de estudantes que utiliza cada meio de transporte. Podem ser propostos outros contextos relacionados à turma, e os estudantes podem elaborar outros problemas e trocar ideias para resolvê-los em conjunto.

Então: 1 3 ? 4 5 = 4 15

Note que: 1 3 4 5 14 35 4 15 ?= ? =

A quantidade de mulheres com mais de 50 anos representa 4 15 da quantidade de funcionários dessa escola.

Para multiplicar números na forma de fração, multiplicam-se os numeradores entre si e multiplicam-se os denominadores entre si.

Acompanhe alguns exemplos de multiplicações com frações. •

Note que, quando temos um mesmo fator no denominador e no numerador da fração, depois de fazer as multiplicações podemos simplificá-la dividindo cada termo por esse fator. Essa simplificação pode ser feita antes de realizar as multiplicações. Observe. •

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Efetue as multiplicações indicadas.

do sexo masculino que têm menos de 18 anos?

15 56

4. Na turma de Mariana, 1 5 dos estudantes chega à escola usando transporte público. Desses, 7 9 usam o metrô. Que fração dos estudantes dessa turma usa o metrô? 7 45

2. Que fração representa

3. Em um show, 3 7 dos espectadores são do sexo masculino. Entre eles, 5 8 têm menos de 18 anos. Que fração dos espectadores corresponde a pessoas

5. Para fazer certa receita de pudim de tapioca, além de tapioca e de outros ingredientes, usam-se 1 2 lata de leite condensado para a massa e 1 4 da lata de leite condensado para a cobertura Quanto de leite condensado será necessário para fazer 6 receitas de pudim de tapioca?

9 2 ou 4 1 2 latas de leite condensado.

AS FRAÇÕES E A

Segundo a 5a edição da pesquisa Retratos da Leitura no Brasil, realizada pelo Instituto Pró-Livro entre outubro de 2019 e janeiro de 2020, 52% dos entrevistados leram, inteiro ou em partes, pelo menos um livro nos 3 meses que antecederam a pesquisa; entre esses leitores, 26% leram por gosto, 17%, por crescimento pessoal, e 14%, por distração.

Fonte dos dados: INSTITUTO PRÓ-LIVRO; ITAÚ CULTURAL. Retratos da leitura no Brasil, São Paulo, 5. ed., 11 set. 2020. Disponível em: https://www.prolivro.org.br/wp-content/uploads/2020/12 /5a_edicao_Retratos_da_Leitura-_IPL_dez2020-compactado.pdf. Acesso em: 4 ago. 2022. Repare que no texto aparecem diversas informações com números seguidos do símbolo %, que se lê por cento e significa por cem

• 52% dos entrevistados leram pelo menos um livro nos 3 meses que antecederam a pesquisa.

52% = 52 100

cinquenta e dois por cento ou cinquenta e dois por cem Então, 52 em cada 100 entrevistados leram pelo menos um livro.

• 26% dos leitores leram por gosto.

26% = 26 100

vinte e seis por cento ou vinte e seis por cem Então, 26 em cada 100 leitores leram por gosto.

• 14% dos leitores leram por distração.

14% = 14 100

catorze por cento ou catorze por cem Então, 14 em cada 100 leitores leram por distração.

FÓRUM

Hábitos de leitura

A leitura é um hábito muito importante para a formação do ser humano. Ler incentiva a criatividade, contribui com a formação de vocabulário, estimula a imaginação, além de diversos outros benefícios. Conversem em grupos sobre as questões a seguir.

Respostas pessoais.

• Você leu algum livro nos últimos 3 meses? Em caso afirmativo, qual é o nome do livro e qual era o assunto desse livro?

• Você gosta de ler? Qual é a sua maior motivação para a leitura?

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As frações e a porcentagem

Neste capítulo, os estudantes exploram representações de porcentagens como representações de frações com denominador 100. A habilidade EF06MA13 é favorecida com mais ênfase no trabalho proposto.

Fazer com os estudantes a leitura do texto da página. Fazer uma abordagem do conteúdo partindo das experiências dos estudantes com relação à temática cujos dados são apresentados.

Fórum

Debater com os estudantes as questões propostas nesse boxe. Aproveitar o momento para incentivar os estudantes a esse hábito e reforçar a importância dele. Propor aos estudantes uma ida à biblioteca da escola para que peguem um livro emprestado para leitura.

Orientar sobre os cuidados que devemos ter ao pegar um livro emprestado, como manuseá-lo com as mãos limpas, não amassar a capa nem as páginas, entre outros.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Desenhar na lousa uma figura de quadrado e dividi-la em 10 linhas e 10 colunas de modo que sejam formados 100 quadradinhos menores idênticos e a figura fique dividida em 100 partes iguais.

Questionar os estudantes:

• Que fração cada quadradinho menor representa do quadrado maior? Resposta: 1 100

• Cada quadradinho menor representa quantos por cento do quadrado maior? Resposta: 1%

• Que fração representa metade da quantidade de quadradinhos que formam o quadrado maior? A quantos por cento corresponde essa fração?

Resposta: 50 100 ou 1 2 ; a 50%. Espera-se que os estudantes percebam que, para determinar 50%, pode-se dividir esse valor por dois.

É interessante fazer perguntas como essas para que os estudantes percebam que:

• para determinar 25%, pode-se dividir por 4;

• para determinar 20%, por 5;

• e, para determinar 10%, por 10.

Agora, acompanhe as representações a seguir.

• 100% do círculo corresponde ao círculo todo:

100% = 100 100 1 =

• 50% do círculo corresponde à metade do círculo:

50% = 50 100 1 2 =

Para encontrar 50% ou 1 2 de um todo, basta dividi-lo por 2.

• 25% do círculo corresponde à quarta parte do círculo:

25% = 25 100 1 4 =

Para encontrar 25% ou 1 4 de um todo, basta dividi-lo por 4.

• 10% do círculo corresponde à décima parte do círculo:

10% = 10 100 1 10 =

Para encontrar 10% ou 1 10 de um todo, basta dividi-lo por 10.

• 1% do círculo corresponde à centésima parte do círculo: 1% = 1 100

Para encontrar 1% ou 1 100 de um todo, basta dividi-lo por 100.

Observe a seguinte situação:

Em um sábado, foram vendidas 500 esfirras em uma lanchonete. Sabe-se que 27% dessa quantidade era de queijo. Nessa lanchonete, quantas esfirras de queijo foram vendidas nesse sábado?

27% de 500 = 27 ? 1% de 500 500 : 100 = 5

27% de 500 = 27 ? 5 = 135

Foram vendidas 135 esfirras de queijo.

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162

ATIVIDADES

8. c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que depende do quanto Bianca está ou não precisando do sapato.

Responda às questões no caderno.

1. Em um jogo de basquete, Ivo acertou a metade dos arremessos que fez. Qual foi a taxa percentual de acerto dele?

d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

escola. Quantos por cento dos estudantes dessa turma vão a pé para a escola?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nesse bloco de atividades, os estudantes resolvem problemas que envolvem porcentagens, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA13.

2. O círculo abaixo está dividido em setores: A, B e C. Que setor representa 50 % do círculo? O setor A.

3. (Saresp-SP) Um terreno foi dividido em quatro partes, de modo que 25% são para a construção da casa, 50% para o pomar, 20 % para a horta e o restante para o jardim. A representação gráfica que corresponde à divisão feita é:

a) jardim pomar casa horta

horta

b) jardim pomar casa

50 % Alternativa d.

c) jardim pomar casa

horta

6. Uma pizza foi dividida em 8 partes iguais. Beto comeu 1 4 , e João comeu 1 2 de pizza. Faça um esquema para representar essa situação e responda:

a) Quantos pedaços Beto comeu? Quantos por cento do todo isso representa? 2; 25%

b) Quantos pedaços João comeu? Que porcentagem do todo isso representa? 4; 50%

c) Quantos por cento da pizza os dois comeram juntos? Q ue fração isso representa?

60 % 75%; 6 8 ou 3 4 .

7. Supondo que uma fila de espera para um transplante de fígado tinha cerca de 6 200 pacientes, dos quais 61% não tiveram condições para receber o transplante, quantos restaram na fila?

Na atividade 3, por exemplo, espera-se que os estudantes concluam:

• 100% = 1 H todo o terreno (círculo inteiro);

• 50% do terreno H 1 2 (metade) do terreno (metade do círculo);

• 25% do terreno H 1 4 (metade da metade) do terreno (metade da metade do círculo);

• 20% do terreno H 1 5 do terreno (uma parte do terreno inteiro dividido em 5 partes iguais ou um quinto do círculo).

d) jardim pomar casa

horta

4. Calcule mentalmente quantas pessoas representam 55 % de 3 000 pessoas. Explique a um colega como você fez esse cálculo e analise se vocês pensaram da mesma maneira

5. Uma pesquisa mostrou que 3 5 dos estudantes de uma turma vão a pé para a

8. Bianca tem 100 reais e quer comprar um vestido. Em uma loja, encontrou um vestido de 65 reais. Viu também sapatos que custavam 45 reais. A vendedora disse que, para pagamento à vista, os sapatos e o vestido, juntos, custariam 100 reais. Considerando que ela gastaria apenas os 65 reais do vestido:

a) Quanto a mais Bianca teria de gastar se optasse pela promoção? 35 reais a mais.

b) Quantos por cento do total essa diferença representa?

2 418 pacientes. 35 100 ou 35%.

c) Vale a pena aproveitar a promoção?

d) A partir do enunciado, elabore uma questão envolvendo a expressão “30 reais a menos” e resolva-a.

Para enriquecer a atividade, pedir aos estudantes que estimem, em cada círculo, quantos por cento representam as partes (pomar, jardim, casa, horta). Como sugestão, fazer a atividade em duplas e, depois, discutir os resultados com a turma, dando atenção especial às justificativas dos estudantes para os resultados. Incentivar a expressão e o registro das estimativas que eles fizerem ao longo de todas as resoluções, assim será possível identificar pontos que merecem maior atenção e possíveis retomadas.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

4 1 650 pessoas. Verificar orientações neste Manual.

Probabilidade

Os objetivos deste capítulo são apresentar a noção de probabilidade, calcular a probabilidade e expressá-la por meio de fração, propiciando desenvolver aspectos da habilidade EF06MA30.

Comentar com os estudantes que uma probabilidade pode ser expressa por meio de porcentagem. Por exemplo, ao lançar uma moeda, qual é a probabilidade de sair cara ou coroa? Dizemos que essa probabilidade é 1 em 2 ou 1 2 , que corresponde a 50%.

PROBABILIDADE

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Márcia vai colocar em um estojo estas fichas

a) Observe as fichas e responda:

• Quantas fichas são ao todo? 10 fichas.

• Em quantas fichas está escrito um número múltiplo de 5? 8 fichas.

• Em quantas fichas há números que não são múltiplos de 5? 2 fichas.

Considere as seguintes situações.

1 Guilherme e Carlos vão disputar no par ou ímpar quem vai escolher o filme a que vão assistir. Guilherme pediu par, e Carlos, ímpar. Qual é a probabilidade de o resultado ser par? Por quê?

Podemos dizer que a probabilidade de o resultado ser par é de 1 em 2, ou seja, 1 2 . Também podemos dizer que a probabilidade de o resultado ser ímpar é 1 2 . Isso significa que a probabilidade de resultado par é igual à probabilidade de resultado ímpar.

2 Vítor colocou em uma caixa 8 bolas de gude coloridas iguais, sendo 5 amarelas e 3 azuis. Se ele pegar uma bola qualquer, qual é a probabilidade de a bola ser amarela?

A probabilidade de a bola ser amarela é de 5 em 8, ou seja, 5 8

Pelas situações apresentadas, é possível determinar a probabilidade de um evento expressando esse valor por meio de uma fração; essa fração é denominada probabilidade de ocorrência do evento.

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ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Em um estojo, há 13 lápis coloridos e 7 lápis pretos.

a) Se você retirar, ao acaso, sem olhar, um lápis desse estojo, a chance maior é de que você pegue um lápis colorido ou um lápis preto? Lápis colorido.

b) Qual é a probabilidade de você retirar: • um lápis colorido? 13 20 • um lápis preto? 7 20

2. Em um cesto, há 12 bolas de vôlei, sendo 2 brancas, 6 amarelas e 4 vermelhas. Desse cesto, ao acaso, sem olhar, uma bola é retirada. Qual é a probabilidade de essa bola retirada ser de cor:

a) Quantas fichas ele tem? 10 fichas.

b) Ele coloca todas as fichas em uma urna. Se quiser retirar uma dessas fichas, ao acaso, sem olhar, a chance maior será sair uma ficha em que está escrito um número ou uma letra? Uma letra.

c) Qual é a probabilidade de sair uma ficha em que está escrita uma letra?

d) Qual é a probabilidade de sair uma ficha em que está escrito um número? 3 10

DESAFIO

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desse bloco exploram o conceito de probabilidade. Se possível, providenciar alguns materiais para que os estudantes possam simular e representar as situações propostas nos enunciados.

De acordo com o enunciado do desafio 5, o professor preencheu 75% da lousa:

== 75% 75 100 3 4

Em seguida, o professor apagou a lousa e preencheu 40% dela.

a) branca?

b) amarela? c) vermelha?

3. Uma urna contém 15 bolas numeradas.

5. (Enem/MEC) Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

Retira-se uma bola, ao acaso, sem olhar, dessa urna e observa-se o número retirado.

a) É mais provável que o número escrito na bola retirada seja um número par ou um número ímpar? Número par.

b) Qual é a probabilidade de o número da bola retirada ser um número par?

c) Qual é a probabilidade de o número da bola retirada ser um número ímpar?

4. Mateus tem fichas nas quais estão escritos letras e números.

75% = 75 100 3 4 = Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela.

Uma representação possível para essa segunda situação é:

Alternativa c.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades apresentadas nesta seção é propiciar aos estudantes uma retomada dos conteúdos estudados na Unidade.

É importante que os estudantes realizem essas atividades individualmente e anotem as atividades em que tiveram mais dificuldade.

Assim, será possível desenvolver um trabalho voltado para a orientação específica dos temas que precisam ser retomados.

Responda às questões no caderno.

1. Em um município, a idade média dos homens é 60 anos. Um garoto de 12 anos já viveu uma fração dessa “idade média”. Qual é essa fração? 1 5

2. (Saresp-SP) Na portaria de um prédio chegaram, certo dia, 65 cartas. Desse total, 1 5 foi entregue no 1o andar. Qual é o número de cartas distribuídas nos outros andares?

5. (Saresp-SP) A figura está dividida em cinco partes iguais. A parte pintada representa:

Alternativa c.

a) 10% b) 12% c) 20% d) 25%

6. (Saresp-SP) Numa caixa com 100 bolas, 45 são vermelhas, 20 são azuis, e as restantes são amarelas. Em relação ao total, a porcentagem de bolas amarelas é:

a) 20 b) 35 c) 48 d) 52

3. Um disco de vinil de 33 1 3 rotações por minuto tocou durante 15 minutos. Quantas rotações ele deu durante esse intervalo de tempo?

Alternativa d. 500 rotações.

a) 55 100 b) 25 100 c) 45 100 d) 35 100

Alternativa d.

7. (Prova Brasil) Um dia tem 24 horas, uma hora tem 60 minutos e 1 minuto tem 60 segundos. A fração da hora que corresponde a 35 minutos é:

a) 7 4 b) 7 12 c) 35 24 d) 60 35

Alternativa b.

8. (Saresp-SP) Dois terços da população de um município correspondem a 36.000 habitantes. Pode-se afirmar que esse município tem:

Alternativa d.

a) 18 000 habitantes.

b) 36 000 habitantes.

c) 48 000 habitantes.

d) 54 000 habitantes.

4. Foram entrevistados 420 candidatos a determinada vaga de emprego. Sabe-se que 5 7 dessa quantidade de candidatos foram rejeitados. Então, foram aceitos:

a) 300 candidatos.

b) 210 candidatos.

c) 380 candidatos.

d) 120 candidatos.

166

D2_AV1-MAT-F2-2103-V6-U5-130-167-LA-G24.indd 166

Alternativa d.

9. (Saresp-SP) Uma plantação foi feita de modo a ocupar 2 5 da terça parte da área de um sítio, como mostra a figura. Em relação à área total do sítio, a fração que representa a área ocupada por essa plantação é:

a) 2 15 b) 2 3 c) 3 2 d) 3 15

Alternativa a.

Disco de vinil, também conhecido como LP.

IMAGEFACTORY/SHUTTERSTOCK.COM

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Obtendo frações equivalentes com o mesmo denominador.

Exemplo de resposta: Determinamos frações equivalentes que tenham o mesmo denominador, adicionamos os numeradores dessas frações equivalentes e conservamos o denominador.

10. Na concessionária de energia elétrica de um município, é esperado que cada funcionário faça 30 leituras de consumo por dia no relógio de medição das residências, dos prédios ou locais comerciais. Em 5 dias trabalhados, a funcionária Laura executou 9 10 do total de leituras esperadas, enquanto outro funcionário, Fernando, executou 5 6

a) Quantas leituras cada um deles executou nesse período?

a) 7 18 c) 1 3 e) 1 2

b) 4 9 d) 5 9

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade permitem aos estudantes realizar diferentes reflexões e sistematizações.

b) Qual deles executou mais leituras nesse período? Quantas leituras a mais?

11. (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

Laura: 135 leituras; Fernando: 125 leituras. Laura; 10 leituras a mais. Alternativa b.

12. João e Guilherme compraram um terreno juntos, de maneira que João pagou 3 5 do valor do terreno, e o restante foi pago por Guilherme. Os dois venderão o terreno e conseguiram um comprador que pagará por todo o terreno o valor de R $ 35.450,00. Cada um receberá, desse valor, uma parte proporcional ao valor pago pelo terreno. Quanto cada um receberá?

João: R $ 21.270,00; Guilherme: R$ 14.180,00.

13. Na atividade anterior, um mesmo valor foi dividido em duas partes desiguais; nesse caso, proporcional ao que cada um pagou. Elabore uma atividade com essa mesma ideia, troque-a com um colega e resolva a atividade criada por ele. Em seguida, corrijam juntos as resoluções.

Nesta Unidade, além de estudarmos conceitos de frações, pudemos explorar operações e aplicações que envolvem frações com denominadores diferentes.

Também foram explorados conceitos que trabalham a fração como razão (porcentagem e probabilidade). É importante perceber que em porcentagem sempre há comparação de um valor com o total 100.

Além desses conceitos, os textos apresentados na Unidade trouxeram informações sobre a história da Matemática.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Você se recorda das representações numéricas utilizadas pelos egípcios? Como os egípcios representariam a fração 1 25 ?

• Que estratégias você utilizaria para comparar frações com denominadores diferentes?

• Descreva qual procedimento você usa para simplificar uma fração.

• Qual é o procedimento utilizado na adição de duas frações com denominadores diferentes?

• Como a fração se relaciona com a porcentagem?

Exemplo de resposta: Os valores percentuais podem ser escritos como uma fração de denominador 100, por exemplo, 25% é o mesmo que 25 100

Exemplo de resposta: Dividimos o numerador e o denominador por um mesmo divisor comum.

É importante que eles respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam reconhecer suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A primeira pergunta retoma os conceitos estudados logo no início da Unidade, que apresenta informações sobre a escrita fracionária dos egípcios; eles escreviam a fração unitária, ou seja, aquela de numerador 1. É interessante pensar em como fariam se houvesse a necessidade de escrever uma fração do tipo 2 5

A terceira pergunta pede a descrição procedimental da simplificação de frações, conhecimento que será bastante utilizado na trajetória escolar nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Além dos questionamentos apresentados, é possível solicitar a elaboração, no caderno, de uma síntese das aprendizagens que obtiveram nesta Unidade.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 7 e 9

Competências específicas:

• 3 e 6

Habilidades:

Números

• EF06MA01

• EF06MA08

• EF06MA11

• EF06MA13

Probabilidade e estatística

• EF06MA30

Tema Contemporâneo

Transversal:

• Educação Financeira

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em cinco capítulos. No primeiro capítulo, os estudantes ampliam ideias acerca dos números racionais com base nas representações desses números na forma decimal por meio da leitura e da escrita desses números e, usando o suporte da reta numérica, fazem comparações e ordenações, estabelecendo relações entre as representações na forma decimal e fracionária. Desse modo, o desenvolvimento das habilidades EF06MA01 e EF06MA08 é favorecido de maneira vinculada à competência específica 3 da área de Matemática.

Do segundo ao quarto capítulo, as operações envolvendo números racionais expressos na forma decimal são exploradas, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA11.

No quinto capítulo, é abordado o cálculo de porcentagens envolvendo números expressos na forma decimal. Esse trabalho permite abordagens da habilidade EF06MA13 e da competência específica 6 da área de Matemática.

Na seção Tratamento da informação, o foco do trabalho relaciona-se à habilidade EF06MA30 e, na seção Educação Financeira, o Tema Contemporâneo Transversal desse mesmo nome é privilegiado nas reflexões, bem como as competências gerais 7 e 9.

OBJETIVOS

D2_AV2-MAT-F2-2103-V6-U6-168-178-LA-G24.indd 168

• Ler, escrever, comparar e ordenar números racionais expressos na forma decimal e representá-los na reta numérica.

• Associar números racionais expressos na forma decimal (com representação decimal finita) a frações.

• Relacionar a representação de uma porcentagem com a escrita decimal correspondente.

• Resolver e elaborar problemas envolvendo operações com números decimais e informações expressas em porcentagens.

• Calcular a probabilidade de um evento e expressá-la na forma de fração, de decimal e de porcentagem.

MANZI; EDITORIA DE ARTE

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

P–roduto Quantidade P–reço por unidade P–reço total

• Arroz 5 Kg R$ 20,99 o pacote R$ 20,89 de 9 Kg

• Macarrão 2 pacotes R$ 2,59 o pacote R$5,18

• Feijão 2 Kg R$ 6,79 o Kg R$13,58

• Leite 5 caixas R$ 4,59 a caixa R$ 22,95

• Sabonete 6 unidades R$ 1,39 a unidade R$ 8,34

• Farinha de trigo 1 Kg R$ 5,49 o Kg R$ 5,49

• Ovo 1 dúzia R$ 10,29 a dúzia R$ 10,29

• Óleo 2 embalagens R$ 10,19 a embalagem R$ 20,38 de 900 ml de 900mL

• Iogurte 3 unidades R$ 2,00 a unidade R$ 6,00

• Detergente 2 unidades R$ 2,09 a unidade R$ 4,18 •

Abertura de Unidade

Responda às questões no caderno.

• Nessa imagem, podemos observar uma lista de compras de mercado. O que está indicado nessa lista?

• Considerando o preço total de cada produto, você saberia calcular o valor total da compra usando uma calculadora? Se sim, realize o cálculo.

• Se todos os itens da lista forem comprados e sabendo que as cédulas no bolso do rapaz podem ser usadas para o pagamento da compra, quais cédulas você entregaria ao caixa para pagar essa compra? Você receberia troco? De quantos reais?

• Sua família costuma elaborar lista de compras? O que você acha desse procedimento?

Resposta pessoal.

Exemplo de resposta: Espera-se que os estudantes percebam que podem entregar ao caixa uma cédula de 100 reais e outra de 50 reais. Nesse caso, receberia de troco R$ 150,00 R$ 149,08 = R$ 0,92.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

A interpretação da leitura e a produção de escritas numéricas de números racionais expressos na forma decimal, o cálculo de operações envolvendo esses números e o cálculo de probabilidades são conhecimentos mobilizados, no cotidiano, desde ações mais simples como a ida ao mercado para fazer

compras até situações mais complexas, no âmbito profissional, por exemplo, como a produção de relatórios com análise de dados de grandes empresas.

Assim, para que os estudantes mobilizem esses conhecimentos compreendendo o sentido em que cada um pode ser empregado de acordo com a situação com a qual se depara para apresentar a resolução, justificam-se os objetivos dos estudos desta Unidade.

Com os estudantes, fazer a leitura de imagem da Abertura de Unidade. Pedir a eles que observem os itens que constam na lista de compras apresentada. Apresentar questionamentos que levem os estudantes a produzir análises críticas, como a importância de se fazer comparação de preços, avaliar promoções de acordo com a real necessidade que se tem (às vezes, o produto com maior quantidade disponível apresenta o preço vantajoso, mas comprar toda essa quantidade não é necessário), maneiras de não desperdiçar e economizar etc. Com base nesta Abertura de Unidade, reflexões relacionadas ao Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira são oportunizadas.

Na segunda questão, incentivar os estudantes a estimar o valor total da compra antes de realizar os cálculos. Essa é uma maneira de mapear os conhecimentos prévios que os estudantes detêm acerca dos conteúdos que serão estudados nesta Unidade.

Na terceira questão, espera-se que os estudantes percebam que as cédulas escolhidas têm um propósito, que é o de facilitar o troco.

Na quarta questão, debater a funcionalidade e a utilidade de elaborar uma lista de compras ao ir a um mercado de modo que não se perca o foco com outros produtos, e essa ida leve a outros gastos desnecessários. Refletir com os estudantes que os números decimais estão presentes em várias situações do cotidiano. Além de situações relacionadas ao sistema monetário, como compra e venda, o uso desses números é empregado para indicar medidas, como massa, altura, comprimento, volume, área, entre outras.

Produto, quantidade, preço por unidade e preço total.

R$ 149,08

LUCAS FARAUJ

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Representação decimal

O objetivo do primeiro capítulo desta Unidade é explorar com os estudantes as associações dos números decimais às frações decimais, trabalhando aspectos das habilidades EF06MA01 e EF06MA08.

Reforçar para os estudantes que um mesmo número pode ser representado de diferentes maneiras, como na forma de fração ou na forma decimal.

Com o apoio da ilustração do material dourado representado, ler coletivamente com os estudantes o texto, identificando cada peça desse material em relação ao cubo grande tomado como 1 inteiro.

Ampliar essa exploração inicial, disponibilizando aos estudantes material dourado e pedindo a eles que representem com essas peças alguns números expressos na forma de fração e na forma decimal.

É importante que os estudantes compreendam os valores fracionários e decimais atribuídos a cada peça desse material, de acordo com o conteúdo desta página do Livro do estudante.

Pense e responda

O objetivo das questões desse boxe é que os estudantes façam associações de frações com denominador múltiplo de 10 à correspondente fração

decimal: = 1 10 0,1 (um décimo);

= 1 100 0, 01 (um centésimo);

= 1 1000 0, 001 (um milésimo).

Essas associações são importantes para que os estudantes compreendam que 1 10 e 0,1 repres entam a me sma parte de um inteiro, e isso também é válido para 1 100 e 0,01; 1 1000 e 0,001.

CAPÍTULO1

REPRESENTAÇÃO DECIMAL

Consideremos que um cubo grande do material dourado representa uma unidade.

1 unidade

Dividindo a unidade em 100 partes iguais, obtemos 100 barras como esta.

PENSE E RESPONDA

Dividindo essa unidade (o cubo grande) em 10 partes iguais, obtemos 10 placas como esta.

Dividindo a unidade em 1 000 partes iguais, obtemos 1 000 cubinhos como este.

Junte-se a um colega, e respondam às questões no caderno.

1. Que fração do cubo grande uma placa representa?

2. Que fração do cubo grande uma barra representa?

A décima parte ou 1 10 A centésima parte ou 1 100 .

3. Que fração do cubo grande um cubinho representa?

3. A milésima parte ou 1 1 000

UNIDADE DECIMAL

Toda fração decimal de numerador 1 é denominada unidade decimal. Assim:

• 1 10 é uma unidade decimal de 1ª- ordem, que é representada por 0,1. 1 10 = 0,1 um décimo

• 1 100 é uma unidade decimal de 2a ordem, que é representada por 0,01. 1 100 = 0,01 um centésimo

Unidade decimal

Sugere-se perguntar aos estudantes o significado das palavras decigrama, centímetro e mililitro para que possam associar os significados dessas palavras às ordens decimais convencionadas.

Por exemplo:

• decigrama: unidade de medida de massa; corresponde a 1 décimo do grama;

• centímetro: unidade de medida de comprimento; corresponde a 1 centésimo do metro;

• mililitro: unidade de medida de capacidade; corresponde a 1 milésimo do litro.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

• 1 1000 é uma unidade decimal de 3ª- ordem, que é representada por 0,001.

1 1000 = 0,001 um milésimo

• 1 10 000 é uma unidade de 4ª- ordem, que é representada por 0,0001.

1 10 000 = 0,0001 um décimo de milésimo

E assim por diante Utilizando o quadro posicional ou de ordens, temos:

Na representação decimal de números racionais, a vírgula separa a parte inteira da parte decimal.

SAIBA QUE

Um número inteiro pode ser escrito na forma decimal. O número 1, por exemplo, pode ser escrito como 1,0; 1,00; 1,000 etc. conforme a necessidade.

NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA DECIMAL

Acompanhe como escrever uma fração decimal na forma decimal.

Explorar a leitura e a escrita de números na forma decimal. Utilizar o quadro de ordens para propiciar a comparação de números na forma decimal. Para isso, sugere-se ampliar os exemplos apresentados na página do Livro do estudante.

Números racionais na forma decimal

Contextos relacionados a recordes em provas disputadas em Olimpíadas, por exemplo, podem ser apresentados aos estudantes para mostrar a presença de números racionais na forma decimal em outras situações, além da que foi abordada na abertura da Unidade, e, assim, explorar a leitura e a escrita desses números. Comentar com os estudantes, por exemplo, que em determinadas provas de atletismo, os centésimos e os milésimos de segundo são essenciais para decidir o vencedor de uma modalidade.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Contextos relacionados a quantidade de compartilhamentos de conteúdos digitais e disseminação de fake news também podem ser apresentados aos estudantes para mostrar a presença de números racionais na forma decimal em situações do cotidiano.

Representando esse número no quadro de ordens, temos:

Existe outra maneira de escrever uma fração decimal na representação decimal. Tomamos apenas o numerador e nele colocamos uma vírgula, de modo que a quantidade de algarismos da parte decimal, contada da direita para a esquerda, seja igual à quantidade de zeros que aparece no denominador.

um zero um algarismo na parte decimal dois zeros

dois algarismos na parte decimal três zeros

três algarismos na parte decimal 172

AMPLIANDO

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Atividade complementar

Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupo na exploração da ferramenta digital no notebook.

É necessário conexão para internet. Acessar o app Os sete erros das fake news, que foi produzido pela Universidade Virtual do Estado de São Paulo (Univesp), disponível em https://apps.univesp.br/os-sete-erros -das-fake-news/ (acesso em: 20 ago. 2022).

Propor aos estudantes que realizem o jogo dos sete erros e reflitam sobre os sete itens indicados para reconhecer fake news

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

DA FORMA DECIMAL PARA A FRACIONÁRIA

Vamos escrever os números a seguir na forma de fração.

fração irredutível equivalente à fração 216 100 fração irredutível equivalente à fração 25 1 000

Existe outra maneira de passar da representação decimal para a representação fracionária. Primeiro, retiramos a vírgula do número. Esse número, sem a vírgula, será o numerador da fração. A seguir, no denominador, escrevemos um múltiplo de 10, na qual a quantidade de zeros é igual à quantidade de algarismos da parte decimal do número dado.

Da forma decimal para a fracionária

Nesta página do Livro do estudante, são apresentadas duas maneiras que podem ser utilizadas para escrever a representação de um número decimal na forma de fração.

Permitir aos estudantes trocar ideias sobre os dois procedimentos apresentados. Para isso, organizar a turma em duplas e pedir que leiam o conteúdo da página no livro.

Depois, escrever na lousa alguns números decimais, por exemplo: 4,6; 1,35 e 2,089.

Perguntar qual das duplas se voluntaria a explicar aos colegas como proceder para escrevê-los na forma de fração utilizando os dois processos descritos no livro, reforçando que as frações devem estar escritas na forma irredutível.

um zero um algarismo depois da vírgula

3,9 = 39 10 0,025 = 25 1000 2,16 = 216 100

dois zeros

dois algarismos depois da vírgula

DESCUBRA MAIS

três zeros

três algarismos depois da vírgula

Se necessário, retomar com eles como obter a fração irredutível, fazendo a simplificação.

Destacar que, por meio da leitura dos números decimais, é possível determinar o denominador da fração procurada. Por exemplo:

• 0,2, dois décimos, correspondem à fração de denominador 10;

RAMOS, Luzia Faraco. Aventura decimal. São Paulo: Ática, 2006. (A descoberta da Matemática).

Paulo vai parar na Terra do Povo Pequeno, onde, com a ajuda de uma amiga do colégio e uma garota misteriosa, precisará derrotar um trapaceiro chamado Ogirep. Nessa aventura, ele precisará usar seus conhecimentos sobre os números na forma decimal para se livrar dos perigos.

D2_AV3-MAT-F2-2103-V6-U6-168-178-LA-G24.indd 173

173

• 3,18, três inteiros e dezoito centésimos, correspondem à fração de denominador 100; e assim por diante.

01/09/22 15:05

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A reta numérica

Até aqui, os estudantes exploraram abordagens que os levaram ao reconhecimento de que os números racionais positivos podem ser expressos na forma fracionária e na forma decimal.

Neste tópico, o objetivo é que os estudantes compreendam que, assim como os números naturais, é possível relacionar os números racionais positivos expressos na forma fracionária e na forma decimal a pontos na reta numérica.

Após a leitura do conteúdo apresentado na página do Livro do estudante, apresentar outros exemplos na lousa. Escrever alguns números na forma decimal e solicitar que eles escrevam, no caderno, esses números na forma fracionária, usando os procedimentos apresentados anteriormente, e os localizem em uma reta numérica. Comparar e ordenar números racionais na forma decimal

Para ampliar o trabalho com este tópico, sugere-se realizar a atividade complementar no boxe a seguir.

Reforçar para os estudantes que, para determinar a localização dos números decimais em uma reta numérica, é preciso interpretar os intervalos que estão representados pelos tracinhos, a fim de indicar o mais próximo possível dos décimos, centésimos ou milésimos do número representado.

A RETA NUMÉRICA

Já sabemos que os números naturais podem ser representados em uma reta numérica. O mesmo ocorre com os números racionais. Acompanhe o exemplo a seguir.

Representar na reta numérica o número racional decimal 0,25.

Se quisermos representar um número decimal em uma reta numérica, uma das possibilidades é determinar sua forma fracionária.

No caso de 0,25, então, teremos 25 100 1 4 =

Sabemos que o número 1 4 está localizado entre os números naturais 0 e 1. Então, vamos dividir o segmento de reta AB, que vai de 0 até 1, em 4 partes iguais e considerar uma dessas partes, a partir do ponto A para a direita.

Comparar e ordenar números racionais na forma decimal

A seguir, estudaremos como comparar e ordenar números decimais em uma reta numérica. Partimos de três decimais quaisquer: 2,25; 2,75 e 3,25.

Se quisermos conhecer o maior desses números, basta olharmos para a parte inteira, o que tiver a maior parte inteira será o maior. Assim, já conseguimos perceber que 3,25 é o maior entre os três números.

Para descobrir qual é o maior entre 2,25 e 2,75, comparamos a parte decimal. O que tiver omaior valor na parte decimal será o maior número. Assim, 2,75 é maior do que 2,25, pois 75 centésimos é maior do que 25 centésimos. Portanto, podemos afirmar que:

.

.

Outra maneira de dizer isso é:

Note que, na reta numérica, quanto maior é o número, mais à direita ele está localizado.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Organizar os estudantes de modo que possam desenvolver uma atividade no laboratório de informática da escola. Caso não seja possível, verificar a possibilidade de, previamente, providenciar um computador portátil para trabalhar com os estudantes esta atividade de modo que eles se revezem em grupo na exploração da ferramenta digital no notebook

É necessário conexão para internet. Acessar o app Number Line, disponível em: https://apps. mathlearningcenter.org/number-line/ (acesso em: 20 ago. 2022).

Clicar na opção do navegador para habilitar a tradução para o português e construir retas numéricas com os estudantes para explorar a situação apresentada na página do Livro do estudante

Responda às questões no caderno.

1. Que número na forma decimal Gustavo deve escrever?

5. Qual é a fração escrita na forma simplificada dos seguintes números?

a) 0,4

b) 0,75

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

c) 1,6 d) 0,45

6. Represente com uma fração e com um decimal o número expresso por:

a) oito décimos.

b) quarenta e dois centésimos.

c) duzentos e vinte e cinco centésimos. d) quatro inteiros e seis centésimos.

7. Escreva uma fração equivalente a 1 2 que tenha denominador 100. Em seguida, escreva a representação decimal dessa fração.

8. Responda.

a) 10 centavos representam que fração de 1 real?

2. Represente as frações na forma decimal.

b) 20 centavos representam que fração de 1 real?

c) 50 centavos representam que fração de 1 real?

d) 25 centavos representam que fração de 1 real?

9. Escreva na forma de fração irredutível os seguintes números.

Este bloco de atividades propõe aos estudantes explorar o reconhecimento de números racionais positivos expressos na forma decimal, representando-os como uma fração decimal e vice-versa, a fim de estabelecer associação entre as representações, além de trabalhar a leitura e escrita desses números, favorecendo o desenvolvimento nos estudantes das habilidades EF06MA01 e EF06MA08.

Na atividade 2, sugerir aos estudantes utilizar a calculadora para verificar as respostas.

Pedir aos estudantes que registrem por meio de esquemas ou desenhos (registros pictóricos), além de registros escritos por extenso (registros em língua materna), o percurso do pensamento que utilizaram na resolução de cada atividade.

3. Esc reva a fração correspondente a cada um dos números na forma decimal a seguir.

10.

por extenso cada um dos seguintes números.

10. a) Oitenta e cinco centésimos. b) Oito milésimos. c) Sete inteiros e três décimos. d) Um inteiro e cento e quarenta e sete milésimos.

Na atividade 11, os estudantes podem utilizar o quadro de ordens no item d para comparar os números e os ordenar, ou podem usar a reta numérica, representando-a no caderno.

Na atividade 14, explorar com os estudantes a leitura e interpretação do gráfico apresentado.

Pode-se sugerir que compartilhem as estratégias de resolução empregadas na atividade por meio de registro feito em um quadro branco, disponível na versão on-line. É necessário conexão para internet. Acessar o app Whiteboard, disponível em: https://apps.mathlearningcenter. org/whiteboard/ (acesso em: 20 ago. 2022).

Clicar na opção do navegador para habilitar a tradução para o português e fazer os registros para apresentar aos colegas da turma.

Esse encaminhamento favorece o desenvolvimento da competência geral 7 e da competência específica 6 da área de Matemática.

11. a) Três reais e vinte e cinco centavos; dezoito reais e setenta e nove centavos; catorze reais e cinquenta centavos; cinco reais e oitenta e

11. Observe o preço de cada produto.

176

13. a) Ana: 1 metro e 25 centímetros; Carlos: 1 metro e 38 centímetros; Alice: 1 metro e 36 centímetros; Paulo: 1 metro e 24 centímetros.

Altura

(em metro) 1,25 1,38 1,36 1,24

a) Escreva como se lê a medida da altura de cada criança do quadro.

b) Quais crianças não poderão brincar na montanha-russa? Por quê?

c) Quantos centímetros a criança mais alta tem a mais do que a altura mínima permitida? Escreva essa medida em metro.

a) Escreva por extenso o preço de cada produto.

b) Qual é o produto mais caro?

c) Qual é o produto mais barato?

d) Escreva os preços dos produtos em ordem decrescente usando o sinal , (menor do que).

12. Indique a representação que mostra a localização, na forma decimal, de x = 49 20 na reta numérica.

d) Quantos centímetros a menos deveria ter a altura permitida para que todas as crianças pudessem brincar na montanha-russa?

6 centímetros a menos.

e) Escreva a altura das crianças em ordem decrescente usando o sinal . (maior do que).

1,38 m . 1,36 m . 1,25 m . 1,24 m

14. Uma estação meteorológica mede a temperatura ambiente, em grau Celsius (°C), cinco vezes ao longo de um dia, em diferentes horários. No gráfico a seguir, estão indicadas as temperaturas registradas em um desses dias.

de 20 °C? 19,5 °C; 18,2 °C e 17,1 °C. 7 2 3 4 5 6 8 9 7,5 7 2 3 4 5 6 8 9 5,5 7 2 3 4 5 6 8 9 2,4 7 2 3 4 5 6 8 9 7,2 7 2 3 4 5 6 8 9 7,5 7 2 3 4 5 6 8 9 5,5 7 2 3 4 5 6 8 9 2,4 7 2 3 4 5 6 8 9 7,2 7 2 3 4 5 6 8 9 7,5 7 2 3 4 5 6 8 9 5,5 7 2 3 4 5 6 8 9 2,4 7 2 3 4 5 6 8 9 7,2 7 2 3 4 5 6 8 9 7,5 7 2 3 4 5 6 8 9 5,5 7 2 3 4 5 6 8 9 2,4 7 2 3 4 5 6 8 9 7,2 EDITORIA DE ARTE EDITORIA DE ARTE

13. A altura mínima permitida para brincar na montanha-russa de um parque de diversões é 1,30 m. Essa medida corresponde a 1 metro e 30 centésimos do metro, ou seja, 1 metro e 30 centímetros. No quadro a seguir estão as medidas de altura de algumas crianças.

Temperaturas

Às 15 h. 18,2 °C

b) Qual foi a temperatura registrada às 19 h?

c) Escreva as temperaturas registradas em ordem crescente.

11. c) O pacote de biscoitos de água e sal.

O arroz.

, 5,86 , 14,50 , 18,79 Alternativa c.

Criança Ana Carlos Alice Paulo

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO. ILUSTRAÇÕES: LUCAS FARAUJ

seis centavos.

8 cm; 0,08 m 14. c) 17,1 °C , 18,2 °C , 19,5 °C , 21,3 °C , 26,4 °C

a) Em que momento do dia foi registrada a maior temperatura?

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Das temperaturas registradas, quais estão abaixo

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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL

Acompanhe a situação seguinte, que envolve a adição e a subtração de números na forma decimal.

Pedro tem um rolo de barbante com 10 metros de comprimento. Desse rolo, ele cortou três pedaços com comprimentos de medidas diferentes: 1,25 metro; 3,14 metros; e 0,82 metro. Quantos metros de barbante ainda restaram no rolo? Inicialmente, vamos adicionar as medidas de comprimento dos três pedaços.

SAIBA QUE

Antes de aplicar o algoritmo para calcular o resultado exato da adição, podemos arredondar os decimais para a unidade exata mais próxima e estimar o resultado, calculando o resultado aproximado da adição. Por exemplo, arredondamos 1,25 para 1,0; 3,14 para 3,0; e 0,82 para 1,0. Adicionando os valores arredondados, obtemos: 1,0 + 3,0 + 1,0 = 5.

Essa estratégia pode ser usada, por exemplo, para conferir cálculos realizados por meio do algoritmo ou usando a calculadora. Caso o valor encontrado seja muito diferente do valor estimado, precisamos rever os cálculos.

Depois, vamos subtrair o número obtido da medida de comprimento inicial do barbante. Se necessário, incluímos zeros à direita do número depois da vírgula.

SAIBA QUE

Podemos realizar este cálculo usando uma calculadora simples, em que a vírgula, normalmente é representado pela tecla . . A ssim, para realizar 10,00 5,21 na calculadora, pressionamos as seguintes teclas 1 0 5 . 2 1 = . No visor aparecerá o resultado 4.79 .

Restaram, no rolo, 4,79 metros de barbante. Para a adição ou subtração de números representados na forma decimal, devemos observar que:

• algarismos que ocupam a mesma ordem devem ficar na mesma coluna, com uma vírgula alinhada à outra;

• adicionamos e subtraímos as unidades de mesma ordem entre si;

• colocamos no resultado a vírgula alinhada com as demais.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Adição e subtração com números na forma decimal

Os conteúdos matemáticos tratados neste capítulo são muito utilizados pelos estudantes nas práticas sociais. Isso porque a adição e a subtração, envolvendo números na forma decimal, são utilizadas diariamente em contextos relacionados ao sistema monetário. Esses conteúdos propiciam abordagens que visam ao desenvolvimento da habilidade EF06MA11.

A proposta da utilização do quadro de ordens é importante para que os estudantes fiquem atentos ao fato de que os centésimos são adicionados a centésimos, os décimos são adicionados a décimos e as unidades a unidade. Ressaltar que as vírgulas dos números ficam alinhadas uma abaixo da outra.

A utilização do soroban como ferramenta para trabalhar as operações envolvendo números na forma decimal é uma boa estratégia para trabalhar a prática dessas operações com estudantes cegos. Para saber mais sobre esse assunto, sugere-se consultar o seguinte material, no qual a partir da página 10 as operações com decimais são apresentadas.

RESENDE, Tânia Regina Martins. Soroban. São Paulo: Fundação Dorina Nowill para Cegos, 2018. Disponível em: https://trocan dosaberes.com.br/wp-content/ uploads/2019/02/Cartilha-Soroban. pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco possibilitam que os estudantes resolvam problemas que envolvem a adição ou subtração de dois ou mais números representados na forma decimal, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA11.

A atividade 1 explora o cálculo direto dessas operações. Os estudantes podem utilizar o quadro de ordens. Espera-se que não apresentem dificuldades, considerando os conhecimentos que vêm sendo construído desde os Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

Nas atividades 3 e 4, a resolução de problemas é abordada. Na atividade 7, os estudantes podem mobilizar conhecimentos relacionados a adição e subtração como operações inversas.

A atividade 8 , além da resolução, propõe no item b a elaboração de um problema. Caso os estudantes tenham dificuldades, explicar que o problema proposto pode ter diferentes abordagens com base nas medidas indicadas na imagem apresentada na atividade. Um exemplo possível de problema a ser elaborado é:

Faça uma estimativa e responda: A largura desse apartamento é maior ou menor que 10 metros? Verifique sua estimativa realizando o cálculo.

Estimativa esperada: menor;

cálculo: 4,50 + 3,80 = 8,30

No desafio 9, lembrar os estudantes de que, em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha é igual à soma dos números de cada coluna e à soma dos números de cada diagonal. Isso quer dizer que, nas adições dos números em cada sentido, as somas obtidas são iguais.

ATIVIDADES

8. a) Comprimento 10,40 m; largura 8,95 m.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Estime o resultado das operações e, em seguida, realize o cálculo para confirmar suas estimativas.

8. Um jornal anuncia a venda de apartamentos cujas dimensões, em metro, estão indicadas na planta a seguir. Sabe-se que, normalmente, a espessura das paredes externas é 0,25 m e a espessura das paredes internas é 0,15 m.

2. Quando adicionamos 0,381 e 0,589, o resultado é um número maior ou menor do que 1? Menor.

3. A medida da altura de uma casa era 4,78 metros. Com a construção do segundo andar, essa medida passou a ser 7,4 metros. Em quantos metros a altura inicial da casa foi aumentada?

4. Mariana tem dois pedaços de fita que medem 2,5 metros e 1,35 metro de comprimento. A medida de comprimento do maior pedaço tem quantos metros a mais do que a medida de comprimento do menor?

5. Um número é o resultado da expressão (51,7 + 8,36) (16,125 + 7,88). Determine esse número.

6. Que número devemos adicionar a 1,899 para obter 3?

7. Determine, mentalmente, as parcelas desconhecidas em cada item.

a) Observando essa planta, determine o comprimento e a largura do apartamento.

b) Elabore um problema a partir dessa planta envolvendo estimativa de cálculos. Depois, entregue-o a um colega para que ele resolva o problema que você elaborou.

DESAFIO

9. Convide um colega para decifrar o quadrado mágico com você. Substituam as letras A , B, C e D por números na forma decimal, de modo que a soma nas filas horizontais, verticais e diagonais seja sempre a mesma. Usem a calculadora para realizar os cálculos.

A = 1,7; B = 1,9; C = 2,0; D = 1,8

1,6 2,1 1,4

1,5 A B

C 1,3 D

Para resolver um quadrado mágico, o primeiro passo é encontrar essa soma que se repete. No quadrado apresentado, a soma obtida adicionando 1,6 a 2,1 a 1,4 (que é igual a 5,1) encaminha a determinar os números que estão sendo representados por C e A (números desconhecidos). Realizando os cálculos, temos para a letra C: 5,1 (1,6 + 1,5) = 2,0; e para a letra

A: 5,1 ( 2,1 + 1,3) = 1,7. Assim, é possível substituir esses números no local em que as

letras C e A estão no quadrado mágico e, de modo análogo, proceder para determinar B e D, fazendo para a letra B: 5,1 (1,5 + 1,7) = 1,9; e para a letra D: 5,1 (2,0 + 1,3) = 1,8.

MULTIPLICAÇÃO COM NÚMEROS NA FORMA

DECIMAL

MULTIPLICANDO UM NÚMERO NATURAL POR UM NÚMERO NA FORMA DECIMAL

Acompanhe as situações.

1 Um caderno custa R$ 5,36. Quanto custam 3 cadernos iguais a esse? Para resolver essa situação, podemos efetuar 3 5,36.

3 5,36 = 3 === 536 100 3536 100 1 608 100 16,08

Logo, 3 cadernos custam R$ 16,08.

2 Cristina percorreu, de bicicleta, 1,9 quilômetro. Para voltar ao ponto de partida, percorreu a mesma distância. Quantos quilômetros ela percorreu nesse trajeto de ida e volta?

Para resolver esse problema, podemos efetuar 2 ? 1,9.

2 1,9 = 2 19 10 219 10 38 10 3, 8 ?=== ?

Cristina percorreu 3,8 quilômetros.

Multiplicando por 10, por 100 e por 1 000

Acompanhe o que acontece ao multiplicarmos 1,235 por 10, por 100 e por 1 000. •

A vírgula é deslocada uma posição para a direita.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicando um número natural por um número na forma decimal

Este capítulo também favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA11, tratando com destaque a operação de multiplicação com números na forma decimal. Neste tópico, apresentar aos estudantes as situações do Livro do estudante, esmiuçando as resoluções propostas.

Questioná-los a respeito de outra operação matemática que poderia ser realizada para resolver as situações apresentadas. Espera-se que eles respondam que a adição poderia ser utilizada (adição das parcelas iguais).

Incentivar os estudantes, sempre que possível, por meio de questionamentos desse tipo, que reflitam, argumentem, comparem estratégias diferentes de resolução e analisem registros.

vírgula é deslocada duas posições para a direita.

vírgula é deslocada três posições para a direita.

A multiplicação de um número decimal por 10, por 100 e por 1 000, depois que eles explorarem o conteúdo do Livro do estudante, pode ser trabalhada com auxílio da calculadora a fim de que eles percebam as regularidades nos produtos obtidos.

Pedir que calculem, usando a calculadora, algumas multiplicações, como: 0,3 ? 10; 0,3 ? 100; 0,3 ? 1 000.

A cada cálculo, anotar o resultado obtido.

Observar com os estudantes as regularidades percebidas nos produtos relacionadas ao deslocamento na posição da vírgula.

Em seguida, propor que calculem mentalmente outras multiplicações, considerando essas regularidades percebidas. Alguns exemplos de multiplicações são: 4,21 ? 10; 4,21 ? 100; 4,21 1 000.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Multiplicando com números na forma decimal

Para a multiplicação com números na forma decimal, sugere-se utilizar o mesmo procedimento indicado para a multiplicação de um número natural por um na forma decimal.

Assim como nas multiplicações de um número decimal por 10, por 100 e por 1 000, os estudantes podem usar a calculadora para verificar os resultados que inicialmente podem ter sido estimados. É importante refletir com os estudantes sobre alguns equívocos que eles podem cometer durante a realização dos cálculos. Por exemplo, quando efetuam uma multiplicação de um número natural por 10, é comum pensarem na regra que diz que “basta acrescentar um zero à direita do número”. Por analogia, ao multiplicar 0,5 por 10 costumam acrescentar um zero à direita de 0,5, e respondem que o resultado é 0,50.

Nesse caso, pode-se orientá-los a usar uma das ideias da multiplicação (adição de parcelas iguais, por exemplo). Pode-se fazer perguntas para que eles reflitam sobre o sentido do que está sendo realizado no cálculo, como na situação descrita a seguir. Se, em determinado jogo você ganhar 0,5 ponto, dez vezes consecutivas, com quantos pontos ficará no total?

MULTIPLICANDO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL

Acompanhe os exemplos a seguir.

1 Um metro de um fio de arame tem 1,6 quilograma. Quantos quilogramas terão 2,3 metros desse fio? Para resolver essa situação, fazemos 2,3 ? 1,6. Observe.

dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal um algarismo na parte decimal

Assim, 2,3 metros desse arame terão 3,68 quilogramas.

2 Qual é o resultado da multiplicação de 1,8 por 0,74?

três algarismos na parte decimal dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal

O resultado dessa multiplicação é 1,332. Para multiplicar um número decimal por outro número decimal, devemos:

• Multiplicar os números como se fossem números naturais.

• Colocar a vírgula no resultado, de modo que a quantidade de casas decimais seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

um algarismo na parte decimal um algarismo na parte decimal

dois algarismos na parte decimal

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

0,74 x 1,8 592 + 74 1,332

1. Escreva o resultado de cada multiplicação a seguir.

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dois algarismos na parte decimal um algarismo na parte decimal

três algarismos na parte decimal

2. No mapa de um município, a distância entre dois pontos é 22,5 centímetros. A distância real é 1 0 00 vezes maior. Qual é, em metro, a distância real entre esses pontos?

3. Faça arredondamentos e estime o resultado das multiplicações. Em seguida, realize o cálculo para confirmar as estimativas.

a) 5 ? 9,5

b) 7 1,25

c) 12 8,3

d) 25 0,64

e) 3 0,989

f) 7,2 ? 4,8

g) 0,9 10,5

h) 7,25 0,6

i) 9,9 5,5

j) 0,96 0,5

4. Elabore um problema que possa ser resolvido por um dos cálculos da atividade anterior. Depois, entregue-o a um colega para que ele resolva o problema que você elaborou. Juntos, façam as correções.

5. Calcule as multiplicações a seguir.

a) 0,7 0,9 3,5

b) 14,2 0,4 2,5

c) 3,21 0,9 1,07

d) 1,7 ? 3 ? 5,29

6. Um número A é expresso por 257 0,006, e um número B é expresso por 3 ? 1,025. Escreva o valor de A + B.

7. Calcule o valor de cada uma das expressões numéricas. Depois, confira oresultado obtido usando uma calculadora.

a) 9,05 2,5 ? 2,5

b) (6 1,07) 3,1

8. O resultado de 0,6 0,08 é: a) 4,8 b) 0,48 c) 0,048

9. U m prédio tem 9 andares. Cada andar tem 3,75 metros de altura. Qual é a altura desse prédio?

10. A m iniatura de uma mesa tem 0,22 metro de comprimento. Na realidade, o comprimento da mesa é igual a 12 vezes a medida da miniatura. Qual é o comprimento real dessa mesa?

11. Com pedaços de arame que medem 41,4 centímetros e 13,8 centímetros, podemos construir o esqueleto de um bloco retangular, como o da figura a seguir. No total, quantos centímetros de arame são necessários para essa construção?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

Neste bloco de atividades, os estudantes mobilizam aspectos relacionados à habilidade EF06MA11 para desenvolver as resoluções.

Durante a realização das atividades, verificar se os estudantes identificam as trocas necessárias e percebem as relações entre as partes inteiras e as partes decimais dos números decimais.

Nas atividades 2 e 3, espera-se que os estudantes realizem estimativas e cálculos mentais considerando as explorações feitas anteriormente com a calculadora, segundo sugestões apresentadas nas orientações didáticas da página 179 desta Unidade.

12. (OBMEP) Sabendo que 987 ? 154 = = 151 9 98 podemos concluir que 9 870 1,54 é igual a:

a) 15,1998

b) 1 519,98

c) 15 199,8

d) 151 998

e) 1 519 980

13. A seguir, há uma série de multiplicações. Primeiro, você vai estimar oproduto de cada uma delas e comparar com as estimativas de um colega. Depois, utilizando uma calculadora, verifiquem quem chegou mais próximo da resposta correta.

a) 100,4 6

b) 29,7 5

c) 49,7 7

d) 7,2 10,15

Estimativa possível: 600; valor exato: 602,4.

Estimativa possível: 150; valor exato: 148,5.

Estimativa possível: 350; valor exato: 347,9.

Estimativa possível: 72; valor exato: 73,08. Há outras possibilidades de estimativas.

A atividade 4 propõe a elaboração de problema que possa ser resolvido por uma das multiplicações apresentadas na atividade 3. Nesse caso, a escolha da multiplicação é pessoal do estudante. Avaliar a coerência entre o problema proposto e a multiplicação escolhida.

A atividade 11 vincula as unidades temáticas Números e Geometria, pois os estudantes, inicialmente, precisam identificar na figura apresentada as arestas de mesma medida para depois realizar as multiplicações e adição adequadas. São 8 arestas com 13,8 cm cada uma (8 13,8 = = 110,4) e 4 arestas com 41,4 cm cada uma (4 ? 41,4 = = 165,6). Adicionando, tem-se: 110,4 cm + 165,6 cm = 276 cm Na atividade 13, verificar como os estudantes procederam para fazer as estimativas. O objetivo é que façam aproximações dos números apresentados para os múltiplos da potência de 10 mais próxima.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Potenciação de números na forma decimal

Nes te tópico, trabalha-se a potenciação de números na forma decimal. É importante abrir espaço para as dúvidas dos estudantes, propício para perguntas e observações quanto ao conteúdo abordado, incentivando a participação da turma. O trabalho com a habilidade EF06MA11 é complementado neste tópico.

Escrever na lousa algumas potências com números decimais e solicitar a eles que estimem o resultado e depois, em algumas situações, utilizem a calculadora para verificar a razoabilidade da estimativa que fizeram.

Atividades

Antes de os estudantes começarem a resolver as atividades propostas neste bloco, retomar com eles alguns fatos importantes sobre a potenciação de números naturais que também são utilizados para os números na forma decimal. Recordar a nomenclatura, o significado e a função do expoente, da base e da potência.

Outro ponto importante para retomar com eles é a propriedade das potências de expoente 1 e de expoente 0.

Em seguida, solicitar que realizem as atividades propostas. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias. Acompanhar a realização das atividades avaliando como os estudantes as realizam e quais estratégias empregam.

Na atividade 8, os estudantes aplicam conhecimentos acerca de porcentagem e do que exploraram nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS NA FORMA DECIMAL

Vamos aplicar a definição de potência que já estudamos para calcular as potências de base decimal e expoente natural.

As propriedades das potências de expoente 1 e expoente zero também são válidas para as potências de base decimal. Observe. •

Responda às questões no caderno.

1. Calcule.

6. Escreva o número que é o resultado da expressão (0,6)² + (0,8)²

7. Compare os números a e b usando apenas o símbolo ..

a = 4 (0,4)² e b = 0,4 4².

2. Calcule o cubo dos números e escreva quanto falta para atingir 1 unidade. Depois, confira suas respostas usando uma calculadora.

8. Escreva 5% na forma decimal. A seguir, determine o quadrado desse número.

9. Calcule os números na forma decimal expressos por:

a) (1,5 0,2)2 (0,3 + 0,1).

3. Determine o número que é o resultado da expressão (0,08)2 102 + 2,6.

4. Calcule a + b, sabendo que:

= (1,2 : 0,5)²

= (1,2 0,5)²

5. Determine:

a soma dos quadrados dos números 1,2 e 0,9.

b) o quadrado da soma dos números 1,2 e

Avaliar como os estudantes estabelecem as associações entre as representações.

A calculadora pode ser utilizada pelos estudantes para verificar e validar os resultados dos cálculos realizados neste bloco de atividades.

b) (0,8 0,15 ? 0,3) ? 5,4 + (0,5)2

10. Calcule o resultado das expressões a seguir a) (0,2)3 + (1,3)2 (0,5)2

+

EDUCAÇÃO FINANCEIRA

ESCASSEZ DE MOEDAS DIFICULTA O TROCO NO COMÉRCIO

Redução na cunhagem pelo Banco Central e a cultura de encher o cofrinho interferem na circulação de moedas

Por redação (A Hora)

Publicado em 12/12/2019

[...]

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Educação financeira

GLOSSÁRIO

Cunhagem: ação ou resultado de cunhar, fabricar moedas.

Segundo o Banco Central, o país tem mais de 30 bilhões de moedas no mercado. Pelos cálculos da instituição, cada brasileiro tem cerca de 120 moedas, o que representa pouco mais de R $ 31. O BC mantém uma campanha nacional para incentivar a circulação de moedas. Além de facilitar o troco, a recirculação reduz o gasto. Cada moeda custa em média R $ 0,25. Neste ano, foram postas em circulação mais de 430 milhões [de] moedas. A mais produzida foi a de R $ 0,05, com 137,2 milhões de unidades.

Entesouramento

O BC informa que procura emitir moedas em quantidade suficiente para atender às necessidades de troco no país. No entanto, após serem usadas, algumas moedas saem prematuramente de circulação, esquecidas em gavetas, potes, carros ou mesmo perdidas. Esta retirada de circulação prematura, chamada de entesouramento, ocorre em todo o mundo. No Brasil, pela estimativa do Banco Central, afeta 35% do total de moedas produzidas, o que eleva o gasto público, provoca o desperdício e impacta sobre a natureza, pois se trata de metal.

FALEIRO, Filipe. Escassez de moedas dificulta o troco no comércio. A Hora, Lageado, 12 dez. 2019. Disponível em: https://grupoahora.net.br/conteudos/2019/12/12/escassez-de-moedas-dificulta-o-troco-no-comercio/. Acesso em: 7 jun. 2022.

1. Joana notou que sua mãe, Ana, costumava deixar sobre a mesa algumas moedas que recebia durante o dia e pediu à mãe que lhe desse diariamente essas moedas. Observe o que aconteceu em uma semana e, depois, responda às questões no caderno.

• De segunda a sexta, Ana toma um café que custa R$ 4,90. Ela paga com uma cédula de R$ 5,00 e guarda o troco. No almoço, vai a um restaurante de preço fixo, R$ 19,80, paga com uma cédula de R$ 20,00 e guarda o troco.

• No sábado, Ana foi à feira. Do troco recebido, sobraram uma moeda de R$ 1,00, duas de R$ 0,25 e três de R$ 0,10.

• No supermercado, fez uma compra de R $ 148,35, utilizou três cédulas de R$ 50,00 para realizar o pagamento e recebeu o troco em moedas.

a) Qual foi a quantia que Joana recebeu da mãe nessa semana?

Conversar com os estudantes sobre a utilização das moedas no dia a dia para facilitar o troco e a importância de que ocorra a circulação delas. Esta seção favorece a abordagem do Tema Contemporâneo Transversal Educação Financeira.

Outra questão interessante para debater com os estudantes, se possível em parceria com o professor do componente curricular de História, é a história do dinheiro no Brasil.

Para encaminhar esse trabalho, podem ser obtidas mais informações no seguinte material: BANCO CENTRAL DO BRASIL. Dinheiro no Brasil. 2. ed. Brasília, DF: BCB, 2004. Disponível em: https://www.bcb.gov.br/content/ acessoinformacao/museudocs/ pub/Cartilha_Dinheiro_no_Brasil. pdf. Acesso em: 20 ago. 2022. Abordar também a atitude de poupar (inclusive moedas no cofre), estabelecendo contrapontos de reflexão de não poupar apenas moedas a fim de evitar o problema da ausência de circulação delas.

É interessante, com base nas questões propostas, refletir com os estudantes sobre a possibilidade de trocar moedas por cédulas quando juntamos muitas, para que continuem circulando.

b) Se Joana receber essa mesma quantia semanalmente durante 17 semanas, tomando cuidado para, sempre que possível, realizar a troca de moedas por cédulas a fim de contribuir com a circulação delas, quantos reais ela terá no fim desse período?

R$ 4,95 R$ 84,15

Se achar conveniente, realizar um projeto coletivo no qual todos se empenhem em arrecadar um valor que será designado para uma ação conjunta, de interesse de todos; assim, precisarão pensar em maneiras de poupar. Esse projeto poderá receber o incentivo e apoio de professores de outros componentes curriculares que também poderão propiciar ações e debates nas aulas.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Dividindo por um número natural, diferente de zero

Neste capítulo, é dada continuidade ao trabalho que favorece o desenvolvimento da habilidade

EF06MA11. Sugere-se explorar com o estudante as etapas apresentadas nesta página e na seguinte do Livro do estudante, pedindo-lhes que façam alguns dos cálculos na lousa em interação com a turma.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Para ampliar o trabalho com divisão por um número natural, diferente de zero, sugere-se que sejam propostas divisões entre dois números naturais (não nulos) com quociente decimal para os estudantes realizarem com apoio do material dourado. Por exemplo:

3 : 2

Orientar os estudantes que representamos 3 unidades por 3 inteiros, ou seja, 3 cubos grandes:

DIVISÃO COM NÚMEROS NA FORMA DECIMAL CAPÍTULO4

DIVIDINDO POR UM NÚMERO NATURAL, DIFERENTE DE ZERO

Acompanhe as situações a seguir.

1 Dona Rute foi às compras. Comprou 7 metros de fita e pediu ao vendedor que cortasse a fita em quatro partes de medidas de comprimento iguais. Com que medida de comprimento ficou cada parte dessa fita?

Para resolver essa situação, efetuamos 7 : 4.

7 unidades divididas por 4 resulta em 1 unidade, e restam 3 unidades.

4

1 , 7

Transformando as 3 unidades em décimos, temos: 3 10 décimos = 30 décimos.

30 décimos divididos por 4 resulta em 7 décimos, e restam 2 décimos.

Coloca-se uma vírgula para separar a 1a ordem inteira e a 1a ordem decimal; no caso, entre os algarismos 1 e 7.

Dividir essa quantidade por 2 significa determinar a metade, ou seja, repartir em duas partes iguais. Ao fazer isso, verificamos que cada grupo fica com 1 inteiro, e sobra 1 inteiro.

Como não é possível distribuir inteiros, é necessário fazer trocas que não mudem a quantidade e possibilitem efetuar a repartição.

Sabemos que 1 inteiro equivale a 10 décimos, ou seja, 1 cubo grande corresponde a 10 placas.

Assim, 3 inteiros correspondem a 2 cubos grandes e 10 placas, ou seja, 2 inteiros e 10 décimos:

Transformando 2 décimos em centésimos, temos: 2 10 centésimos = 20 centésimos.

20 centésimos divididos por 4 resulta em 5 centésimos. O resto é 0.

Cada parte da fita terá 1,75 metro de comprimento, ou seja, 1 metro e 75 centímetros.

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Desse modo, é possível repartir em duas partes iguais, em que cada parte ficará com 1 cubo grande e 5 placas, ou seja, 1 inteiro e 5 décimos.

Resumindo os passos, temos: 3 : 2 = 3 inteiros : 2 = (2 inteiros e 10 décimos) : 2 = 1 inteiro e 5 décimos

Logo: 3 : 2 = 1,5

2 Dona Rute comprou 5 carretéis de linha e pagou R$ 8,25 por eles. Quanto custou cada carretel? Para saber quanto custou cada carretel, devemos fazer a divisão de 8,25 por 5.

8 unidades divididas por 5 resulta em 1 unidade, e restam 3 unidades.

3 unidades = 30 décimos.

30 décimos + 2 décimos = 32 décimos.

32 décimos divididos por 5 resulta em 6 décimos, e restam 2 décimos. Coloca-se a vírgula entre os algarismos 1 e 6.

2 décimos = 20 centésimos.

20 centésimos + 5 centésimos = 25 centésimos.

25 centésimos divididos por 5 resulta em 5 centésimos. O resto é 0.

Dividindo por 10, por 100 e por 1 000

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Com o auxílio de uma calculadora, efetue a divisão do número 7 233 por 10, por 100 e por 1 000, anote os resultados e, em seguida, responda.

CDU e d; DU e dc; U e dcm.

a) Comparando os resultados obtidos, quais ordens inteiras e decimais podem ser observadas em cada um dos resultados?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

A divisão de um número decimal por 10, por 100 e por 1 000 é trabalhada com auxílio da calculadora, neste boxe, a fim de que os estudantes percebam as regularidades nos quocientes obtidos.

SAIBA QUE

Lembre-se de que podemos escrever o número 7 233 como 7 233,0.

Providenciar, previamente, calculadoras para que os estudantes possam explorar a proposta deste boxe. É possível também utilizar a calculadora de um computador portátil de maneira coletiva com toda a turma. Observar com os estudantes as regularidades percebidas nos quocientes relacionadas ao deslocamento na posição da vírgula. Em seguida, ler com eles a sistematização formalizada no Livro do estudante.

b) Comparando o número 7 233 com o resultado das divisões, o que podemos notar?

A cada divisão, a vírgula se deslocou para a esquerda.

2. Escolha um número qualquer, efetue as divisões dele por 10, por 100 e por 1 000 usando uma calculadora. Faça a mesma análise da atividade anterior. Podemos observar algum padrão entre os respectivos resultados das atividades 1 e 2?

Observamos o mesmo deslocamento da vírgula. Resposta pessoal.

3. Agora, escolha um número e, sem efetuar os cálculos, dê o resultado da divisão desse número por por 10, por 100 e por 1 000.

Podemos observar, a partir das atividades acima, que:

• ao dividir um número por 10, a vírgula é deslocada uma posição para a esquerda;

• ao dividir um número por 100, a vírgula é deslocada duas posições para a esquerda;

• ao dividir um número por 1 000, a vírgula é deslocada três posições para a esquerda. Por exemplo:

235,7 : 10 = 23,57

A vírgula é deslocada uma posição para a esquerda.

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Link

235,7 : 100 = 2,357

A vírgula é deslocada duas posições para a esquerda.

CRONOLOGIA da Matemática. Mathigon. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.mathigon.org/timeline. Acesso em: 20 ago. 2022.

Nesse link, está disponível, em uma linha do tempo, a apresentação de nomes de matemáticos que marcaram a história da Matemática com estudos e descobertas. Sugere-se utilizar com os estudantes essa ferramenta digital favorecendo explorações ao longo das aulas, conforme relações que possam ser estabelecidas com os conteúdos.

235,7 : 1000 = 0,2357

A vírgula é deslocada três posições para a esquerda.

185

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Dividindo por um número na forma decimal

Neste tópico, sugere-se encaminhar o trabalho de modo análogo ao que foi sugerido para a multiplicação, com ênfase nos processos de transformação do dividendo e do divisor.

Conversar com os estudantes que há casos em que é necessário multiplicar os termos por 10, por 100 ou por 1 000, como no exemplo apresentado no Livro do estudante. Explicar que os termos são multiplicados pelo número conveniente para cada situação.

Escrever a divisão a seguir na lousa:

0,6 : 0,003

Perguntar aos estudantes se, nesse caso, é conveniente multiplicar os termos por 100. Pedir que justifiquem as respostas e anotar alguns argumentos na lousa. Espera-se que eles percebam que, nesse caso, é conveniente multiplicar os termos 0,6 e 0,003 por 1 000. Ou seja:

0,6 1 000 : 0,003 1 000 600 : 3 = 200

Após a resolução da divisão, retomar os comentários dos estudantes para verificar os argumentos dados por eles e validá-los conforme o procedimento realizado.

DIVIDINDO POR UM NÚMERO NA FORMA DECIMAL

Consideremos as situações a seguir.

1 Para montar um mecanismo, Jorge precisa de 7 metros de fio de cobre cortados em pedaços de 0,14 metro de comprimento. Quantos pedaços Jorge vai obter usando a quantidade total desse fio?

Para resolver essa situação, precisamos calcular o resultado da divisão de 7 por 0,14. Podemos pensar que 7 metros são 700 centímetros e que 0,14 metro são 14 centímetros. Então, em vez de dividirmos 7 por 0,14, podemos dividir 700 por 14; assim, escrevemos: 7 m : 0,14 m = 700 cm : 14 cm.

Jorge vai obter 50 pedaços de fio de 0,14 metro de comprimento. Observe que o que fizemos na situação anterior foi multiplicar os dois termos (dividendo e divisor) por 100 para que o divisor não fosse um número na forma decimal.

Assim, quando o divisor é um número na forma decimal, multiplicamos dividendo e divisor por uma mesma potência de 10 (10, 100, 1 000, ...), escolhida convenientemente de modo a eliminarmos a vírgula do divisor, obtendo um número natural. Acompanhe esse processo no exemplo a seguir.

2 Qual é o resultado da divisão de 1,26 por 0,504?

Dividir 1,26 por 0,504 é o mesmo que dividir 1 260 por 504. Observe.

O resultado da divisão de 1,26 por 0,504 é 2,5.

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A DIVISÃO NÃO EXATA: UM QUOCIENTE APROXIMADO

Acompanhe os exemplos.

1 Calcular o quociente (resultado) da divisão de 34 por 7.

34 7 6 4

Prosseguindo os cálculos:

34 7 60 4,8 4

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A divisão não exata: um quociente aproximado

Explicar aos estudantes que utilizamos um quociente aproximado para divisões não exatas em situações em que não é possível obter uma divisão exata.

A divisão não é exata.

A divisão continua não sendo exata. O número 4,8 representa o quociente aproximado, por falta, até décimos, de 34 por 7.

Prosseguindo, ainda, com a divisão, temos:

34 7 60 4,85 40 5

A divisão não é exata, e o número 4,85 representa o quociente aproximado, por falta, até centésimos, de 34 por 7.

O quociente é aproximadamente igual a 4,85.

2 Dividir 8,35 por 2,3 e obter o quociente com aproximação até centésimos. Para isso, prepara-se, primeiro, a divisão:

Se achar necessário, retomar com a turma situações que envolvem divisões exatas e não exatas, assim é possível identificar os pontos em que os estudantes sentem mais dificuldade e, portanto, precisam ser retomados.

A partir desse diagnóstico, estabelecer estratégias para dar continuidade ao trabalho com o conteúdo abordado.

Também é possível explorar divisões em que os estudantes façam estimativas do quociente, aproximando os números para um múltiplo da potência de 10 mais próxima. Para isso, pode-se solicitar, por exemplo, que eles estimem o resultado da divisão de 424 por 4.

O quociente pedido é 3,63.

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Nesse caso, para fazer uma estimativa do quociente, espera-se que os estudantes façam 400 : 4. Verificar se os estudantes percebem que o quociente da divisão proposta (424 : 4) deve ser maior do que 100, pois um quociente menor do que 100 não é adequado a essa divisão, de acordo com a estimativa feita. Estratégias como essa são interessantes para os estudantes ampliarem o repertório de estratégia de cálculos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco favorecem o desenvolvimento da habilidade EF06MA11. Nos blocos de atividades propostos ao longo desta Unidade, a competência específica 3 da área de Matemática é favorecida, principalmente sob os aspectos de os estudantes aplicarem conhecimentos matemáticos na busca de soluções e, para tanto, sentirem-se seguros e capazes.

Nas atividades 1 e 2, os estudantes podem mobilizar conhecimentos relacionados a multiplicação e divisão como operações inversas.

Em todas as questões é interessante, sempre que possível, incentivar que eles expressem as respostas oralmente e que registrem as estratégias utilizadas na resolução. Enfatizar que não existe um único jeito de resolver as situações apresentadas e que cada um deve fazê-la utilizando o método em que se sente mais seguro.

A atividade 7 trabalha a elaboração de problemas. Um exemplo de problema que pode ser elaborado pelos estudantes é:

Um prédio tem 37 metros de altura. A maquete desse prédio tem a altura 100 vezes menor do que a altura real. Qual é a altura da maquete desse prédio?

(0,37 metro)

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Escreva o resultado das divisões.

a) 37 : 10

b) 5 006 : 1 000

c) 5,7 : 10

d) 106,2 : 100

2. O resultado da divisão de 6,1 por um número é 0,61. Que número é esse?

3. Sabe-se que 124,1 litros de suco de laranja devem ser colocados, igualmente, em 17 barris. Quantos litros de suco serão colocados em cada barril?

4. Roberto gastou R $ 152,00 para pagar a conta de energia elétrica da casa onde mora. Sabendo que 1 quilowatt-hora custa, com impostos, R$ 0,95, qual foi o consumo, em quilowatt-hora, dessa conta?

5. Ao iniciar uma viagem, Valdir abasteceu o tanque de combustível de seu carro, que estava totalmente vazio, e pagou R$ 162,80 pelo abastecimento. Se o litro de combustível custava R $ 2,96, quantos litros de combustível cabem no tanque do carro de Valdir?

6. Efetue as divisões seguintes.

7. Elabore um problema que possa ser resolvido com uma das divisões que você calculou na atividade anterior. Depois, entregue o problema a uma colega para ele resolvê-lo. Juntos, façam as correções.

8. No ano passado, Caio gastou R $ 2.112,00 com passagens do transporte

público. Sabendo que ele usou o transporte durante os 12 meses do ano, 20 dias em cada mês, pagando uma passagem para ir e outra para voltar do trabalho, qual era o valor da tarifa desse transporte no ano passado?

9. Calcule cada divisão proposta.

a) 13 : 5,2

b) 21,4 : 2,14

c) 0,14 : 2,8

d) 5,12 : 0,064

10. Em uma competição automobilística, a distância é medida em milhas. Cada milha vale 1,6 quilômetro, aproximadamente. Quantas milhas há em 512 quilômetros?

11. Um piloto fez um teste em uma pista de circuito oval. Uma volta completa nesse circuito tem 3,5 quilômetros de extensão. Ao completar determinada quantidade de voltas nessa pista, ele observou que percorreu 91 quilômetros. Quantas voltas o piloto deu na pista?

12. Determine o valor de cada expressão numérica a seguir. Depois, confira o resultado usando uma calculadora.

a) 24,8 : 4 + 45,5 : 5

b) (0,05 : 0,005) : 0,5

c) (2 ? 1,1 + 3,83) : 0,9

13. Efetue a divisão de:

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Renata abasteceu o carro com 26 litros de combustível e pagou R $ 171,60. Quanto ela pagou pelo litro do combustível? Ela pagou R$ 6,60 pelo litro do combustível (171,6 : 26 = 6,6). 188

a) 73 por 6, com aproximação até centésimos.

b) 10 por 33, com aproximação até milésimos.

c) 1,3 por 0,6, com aproximação até décimos.

14. Calcule cada quociente, por falta, com aproximação até centésimos. a)

5

OS NÚMEROS NA FORMA DECIMAL E O CÁLCULO DE PORCENTAGENS

Estudamos que toda fração com denominador 100 representa uma porcentagem. Por esse motivo, toda porcentagem tem uma representação na forma decimal.

• Como 42% = 42 100 e 42 100 = 0,42, então 42% = 0,42.

• Como 9% = 9 100 e 9 100 = 0,09, então 9% = 0,09. Acompanhe as situações a seguir.

1 Uma empresa tem 250 funcionários. Desse total, 62% têm mais de 30 anos. Quantos funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos?

Como 62% = 62 100 = 0,62, devemos calcular 0,62 de 250, que é o mesmo que efetuar 0,62 ? 250. 0,62 x 250 3100 + 124 155,00

Como 155,00 é o mesmo que 155 inteiros, então 155 funcionários dessa empresa têm mais de 30 anos.

2 Que número na forma decimal representa 8% de 40%?

Como 8% = 8 100 = 0,08 e 40% = 40 100 = 0,40, devemos calcular 0,08 de 0,40, que é o mesmo que efetuar 0,08 0,40 Utilizando uma calculadora para realizar esse cálculo, obtemos 0,032.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens

Neste capítulo, os estudantes têm a oportunidade de relacionar porcentagens a números racionais representados na forma decimal, além de resolver problemas que envolvem o cálculo de porcentagens, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA13.

Pedir aos estudantes que citem exemplos do dia a dia em que as porcentagens são usadas.

Com base nas situações apresentadas no Livro do estudante, aproveitar para incentivar os estudantes a realizar o cálculo mental quando possível, considerando o que estudaram anteriormente de multiplicações e divisões de número decimais por 10, por 100 e por 1 000.

Também podemos utilizar a tecla % de uma calculadora simples para calcular porcentagens. Por exemplo, para realizar o cálculo da situação 1, devemos pressionar as seguintes teclas: 2 5 0 x 6 2 %

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Este bloco de atividades explora a resolução de problemas que envolvem o cálculo de porcentagens, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA13.

Na atividade 5, o desconto para as mercadorias da loja do sr. Freitas é 35%. É interessante cuidar para que os estudantes não confundam a porcentagem apresentada com o valor do número inteiro. Exemplo: se as calças custam R $ 88,00, pode-se tomar 35% por R$ 35,00. Enfatizar que:

• se o inteiro é R $ 88,00, então 100% de 88,00 equivale a 1 ? 88,00 = 88,00, que é o valor total;

• se 35% é equivalente a 0,35, então 0,35 ? 88,00 = 30,80, que é o valor do desconto.

3.a) 1 703,4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um produto teve desconto de 51% em uma promoção. Se ele custava R$ 3.340,00, qual foi o valor do desconto concedido nessa promoção?

b) 3 000. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um produto sofreu um aumento de 120% ao longo de 10 anos. Se ele custava R$ 2.500,00, qual foi o valor do aumento?

6.b) Sim. Porque 5% de 1,56 m corresponde a aproximadamente 0,08 m.

Responda às questões no caderno.

1. Escreva a representação decimal de cada porcentagem a seguir.

a) 3%

b) 21%

c) 42%

d) 150% e) 55%

2. N o início do ano, um aparelho de som custava R$ 980,00. Este mês, ele sofreu um aumento de 15%. Quanto passou a custar esse aparelho de som?

3. C alcule as porcentagens e elabore um problema envolvendo cada uma delas. Depois, compartilhe os problemas com os colegas e o professor e, se necessário, façam as correções.

a) 51% de 3 340.

b) 120% de 2 500.

4. Um pintor já pintou 85% da superfície de uma parede. A parede toda tem 16,8 metros quadrados de área.

a) Quantos metros quadrados da parede já foram pintados?

b) Quantos metros quadrados ainda restam para pintar?

5. Na loja do sr. Freitas, uma calça custa R$ 88,00. Para atrair mais compradores, ele resolveu aplicar um desconto de 35% sobre o preço de todas as mercadorias da loja. Usando a calculadora, determine:

a) o desconto no preço de uma calça;

b) o valor pago na compra de duas calças.

6. No início do ano, Carolina media 1,56 m de altura. Durante o ano, a altura dela aumentou em 8 cm.

a) Quanto Carolina mediu de altura no final do ano?

b) É correto afirmar que Carolina cresceu cerca de 5% ao longo do ano? Por quê?

7. Fábio vende salgados em uma lanchonete e, devido ao aumento nos custos, ele reajustou os preços dos salgados em 13,34%.

a) Qual será o novo preço de um salgado que custava, antes do aumento, R$ 4,50?

b) Um cliente comprou 4 salgados pagando onovo preço. Quantos reais ele gastou?

c) Considere que o cliente do item anterior tinha apenas uma cédula de R $ 50,00 e algumas moedas para pagar pela compra. Como ele pôde realizar esse pagamento de modo a receber apenas cédulas como troco?

8. Sabendo que 15 vezes 30 000 é igual a 450 0 00, utilize essa informação para determinar os seguintes resultados.

a) 1,5 ? 30 000

b) 450 000 : 300

c) 15% de 30 0 00

d) 0,015 30 000

e) 4,5 30 000

d) 45% ? 30 000

9. I ndique, na forma de fração, na forma decimal e por meio de uma porcentagem a parte da figura que está colorida em cada item.

, 0,75 e 75%.

7.c) O cliente pode entregar a cédula de R$ 50,00 e quatro moedas de R $ 0,10. Desse modo, ele receberá R$ 30,00 de troco, valor que pode ser composto apenas de cédulas.

10 , 0,6 e 60%.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10. Um tanque de combustível está com 80% de sua capacidade abastecido com etanol. Se a capacidade desse tanque é de 50 litros, quantos litros de etanol faltam para enchê-lo completamente?

11. Acompanhe como Marcelo calculou 5% de 45.

10% de 45 corresponde a 0,10 ? 45 = 4,5.

Então, para obter 5% de 45, basta calcular 4,5 : 2 = 2,25.

Utilize a mesma estratégia de Marcelo e calcule:

a) 1% de 45.

b) 13% de 45.

c) 18% de 45.

DESAFIOS

d) 20% de 36

e) 25% de 36

f) 60% de 36.

12. Em julho uma camisa custava 85 reais. Durante o mês de agosto, o preço da camisa sofreu um desconto de 10% e, em setembro, sofreu um aumento de 10%.

a) Determine o valor do desconto e o preço da camisa durante o mês de agosto.

b) Calcule o valor do aumento no preço da camisa de agosto para setembro.

c) Quanto passou a custar a camisa em setembro?

10 litros. 7,2 9 21,6 R$ 7,65 R

$ 84,15

d) A partir dos resultados obtidos nos itens anteriores, explique aos colegas e ao professor por que o preço da camisa em setembro não é igual ao preço dela em julho.

dos estudantes de dois em dois anos. O MEC fixou a média 5,5 para os Anos Finais do Ensino Fundamental, como objetivo a ser alcançado pelo Brasil até 2021. Observe a seguir as notas obtidas de 2013 a 2019.

Nota do Ideb – Anos Finais do Ensino Fundamental (2013 a 2019)

Durante a resolução das atividades deste bloco, incentivar os estudantes a utilizar a calculadora.

Caso apresentem dificuldade ao calcular porcentagens na calculadora, orientá-los. Para isso, pode-se, por exemplo, perguntar a eles como calcular 15% de 250 reais usando a calculadora.

Deixar que explorem as teclas para identificar um procedimento.

Caso a calculadora possua a tecla %, digitar 2, 5 e 0. Em seguida, pressionar a tecla com o sinal de multiplicação. Depois, digitar 1 e 5, e pressionar a tecla %. Aparecerá no visor 37,5.

em: 9 jun. 2022.

a) De 2013 a 2019, quanto subiu a nota Ideb? De quantos por cento foi esse acréscimo? Explique como você obteve esse percentual.

0,7; 16,67% Não.

Caso a calculadora não possua a tecla %, digitar 1 e 5. Em seguida, pressionar a tecla com o sinal de divisão. Depois, digitar 1, 0 e 0, e pressionar a tecla x Por fim, digitar 2, 5 e 0 e, em seguida, a tecla com o sinal de igual. Aparecerá no visor 37,5.

b) Em algum desses anos a nota obtida atinge a meta estipulada para ser alcançada pelo país até 2021?

c) Sem realizar cálculos, apenas observando o gráfico, estime a nota do Ideb de 2015.

d) Calcule a nota do Ideb de 2015 e o percentual de aumento na nota de 2019 em relação à nota de 2017. Explique como você pensou e como realizou os cálculos.

e) A estimativa que você fez no item c se confirmou com a resposta do item d?

f) Todas essas informações sobre o Ideb são públicas. Pesquise o Ideb do estado e do município onde você mora, depois confronte os dados obtidos com a média nacional. Resposta pessoal.

13. c) Espera-se que as estimativas estejam em torno de 4,5 com base na escala do eixo vertical.

Ainda é possível calcular digitando a representação da porcentagem na sua correspondente forma decimal. Nesse caso, digitar 0, o ponto, 1 e 5. Depois, pressionar a tecla com o sinal de multiplicação. Em seguida, digitar 2, 5 e 0. Depois a tecla de igual. Vai aparecer no visor 37,5.

Pedir aos estudantes que calculem também: 15% de 360 reais; 8% de 475 reais; 20% de 1 342 reais.

Na atividade 13, explorar a leitura do gráfico com os estudantes. Nessa atividade, os estudantes mobilizam conhecimentos de duas unidades temáticas descritas na BNCC: Números e Probabilidade e Estatística.

01/09/22 21:08 191

A partir das informações do texto e do gráfico, responda às questões a seguir.

13. d) 4,5; 4,25% e) Resposta pessoal.

Valor do desconto: R$ 8,50; preço da camisa: R$ 76,50.

12 d) Espera-se que os estudantes percebam que o desconto de 10% foi calculado sobre R$ 85,00, já o aumento de 10% foi aplicado em R $ 76,50 resultando em valores diferentes em real.

191

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

O objetivo desta seção é fazer que os estudantes compreendam cálculos de probabilidade em eventos realizados na aula por meio de repetições dos experimentos sugeridos. Esse trabalho favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA30.

Perguntar se já realizaram algum experimento e, caso já tenham passado por essa experiência, solicitar a eles que relatem como foi. Por exemplo, quando jogamos uma moeda para cima, há duas possibilidades ao cair: de a face voltada para cima ser cara ou coroa. Então, a probabilidade de obter cara ou coroa é de 1 para 2. Calculando a probabilidade, temos a razão = 1 2 0, 5 . Multiplicando 0,5 por 100 obtemos o valor em porcentagem, que é 50%.

Nas atividades desta seção os estudantes terão a oportunidade de realizar experimentos em que é possível calcular a probabilidade de um evento acontecer.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

PROBABILIDADE

Acompanhe a seguinte situação.

Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é lançado uma vez. Qual é a probabilidade de esse dado cair com a face 1, 3 ou 5 (os números ímpares) virada para cima?

Já estudamos como calcular essa probabilidade: ela é de 3 em 6, ou seja, 3 6 . Além disso, estudamos que 3 6 = 0,5 = 50%. Mas quando saímos do cálculo para o experimento, será que conseguimos observar essa probabilidade? Vamos fazer o experimento, acompanhando os passos a seguir, e descobrir.

• Junte-se aos colegas, formando, se possível, grupos de cinco integrantes. Cada integrante do grupo deve ter um dado de seis faces.

• Cada integrante do grupo deve fazer 12 lançamentos com seu dado. Caso o grupo tenha cinco integrantes, totalizará 60 lançamentos por grupo.

• O grupo deve anotar quantas vezes cada face caiu virada para cima, considerando os resultados de todos os integrantes.

• Após os lançamentos, o grupo deve organizar as informações obtidas no experimento da maneira que achar mais conveniente (tabela ou gráfico). 192

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Com as informações obtidas, façam o que se pede e responda às questões no caderno.

1. Determine a quantidade de vezes que os dados foram lançados, considerando todos os integrantes do grupo.

2. Indique a quantidade de vezes em que a face virada para cima foi 1, 3 ou 5, considerando, também, todos os lançamentos dos integrantes do grupo.

3. Utilizando uma calculadora, obtenham o resultado da divisão entre o valor encontrado na atividade 2 e o valor encontrado na atividade 1

4. O que se pode dizer quando se compara a probabilidade calculada para o evento “dado de seis faces cair com as faces 1, 3 ou 5 viradas para cima” e o valor obtido no experimento?

Vamos, agora, fazer um novo experimento:

• Junte-se aos colegas, formando grupos de cinco integrantes.

• Façam fichas de papel, quantas o grupo desejar (lembrem-se bem dessa quantidade). É importante que as fichas tenham o mesmo tamanho e sejam feitas do mesmo material.

• Escolham duas cores (A e B) para colorir as fichas, e algumas delas terão a cor A e outras, a cor B. A quantidade de fichas de cada cor será determinada pelo grupo (lembrem-se bem dessa quantidade).

• Calculem a probabilidade de uma ficha da cor A ser sorteada e a probabilidade de uma ficha da cor B ser sorteada (expressem esse valor nas formas fracionária, decimal e percentual).

• Usem um saco ou uma caixa como urna para depositarem as fichas, de modo que não seja possível vê-las dentro da urna.

• Troquem a urna com a de outro grupo.

• Um integrante do grupo sorteia uma ficha da urna que recebeu, anota a cor sorteada e devolve a ficha para a urna, embaralhando-a.

• Repete-se esse passo até que todos os integrantes tenham participado 12 vezes do sorteio.

• Após os sorteios, o grupo deve organizar as informações obtidas no experimento de maneira diferente da que fez no experimento anterior. Com as informações em mãos, façam o que se pede e responda às questões no caderno.

Respostas pessoais.

5. Determine quantos sorteios foram feitos por todo o grupo.

6. Indiquem quantas fichas de cada cor foram sorteadas.

7. Calculem, com o auxílio de uma calculadora, o quociente da divisão entre os valores contados na atividade 6 e o valor contado na atividade 5.

8. Perguntem aos integrantes do grupo dono da urna qual foi a probabilidade que eles calcularam de se retirar uma ficha de cada uma das cores e comparem essas probabilidades com o valor obtido na atividade 7. O que se pode afirmar sobre esses valores?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

No primeiro experimento, organizar a turma em grupos e providenciar um dado para cada grupo. Seguir as orientações apresentadas no Livro do estudante e pedir que organizem os registros dos lançamentos em um quadro. Por exemplo, supondo um grupo com cinco integrantes, e que cada integrante lançou o dado 12 vezes, temos um total de 60 lançamentos. Desses 60 lançamentos, as faces com números pares ficaram viradas para cima 35 vezes, e as faces com números ímpares ficaram viradas para cima 25 vezes. Observe esses dados no quadro a seguir.

Faces Quantidade

Pares 35 Ímpares 25

Nesse caso, para a atividade 3, temos:

Faces pares: 35 60 0, 58 58% ==

Faces ímpares: == 25 60 0, 42 42% =

Na atividade 4, espera-se que os estudantes concluam que as probabilidades obtidas podem ser próximo ao 50% calculado para a probabilidade desse evento no início do texto. Outra maneira de analisar os dados é por meio de um gráfico de barras. Esse gráfico terá duas barras, uma representando os números ímpares sorteados e, a outra barra, os números pares sorteados.

Pedir que construam um gráfico com os resultados obtidos nos experimentos realizados, comparem as barras do gráfico que fizeram e, depois, comparem os gráficos entre si.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Esta seção possibilita aos estudantes a retomada dos estudos realizados nesta Unidade.

Sugere-se que os estudantes realizem as questões propostas individualmente. Orientá-los a consultar o livro para buscar informações quando sentirem necessidade. Pedir a eles que, quando não conseguirem responder a uma questão, registrem as dúvidas, para que possam ser debatidas em aula.

Durante a verificação das respostas, incentivar a participação deles e fazer intervenções quando achar conveniente.

Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual deles que percebam o próprio processo de aprendizagem e as dificuldades.

Muitas vezes o estudante é capaz de executar os algoritmos das operações com destreza, mas não consegue identificar quais operações deve realizar, chegando assim, a um resultado incorreto. Se isso ocorrer, auxiliá-los na interpretação dos enunciados.

Responda às questões no caderno.

1. Qual é o número na forma decimal expresso por 52 3 (4,1 1,8)?

a) 44,1

b) 45,1

c) 45,5 d) 46,1

e) 47,3

2. Lucidélia foi ao mercado com a tia e observou que a compra foi paga com uma nota de R$ 50,00. Os itens comprados foram 2 litros de leite a R$ 6,59 cada, um pacote de farinha de trigo que custou R$ 5,82 e 1 litro de óleo de cozinha a R$ 6,70. Quanto elas receberam de troco nessa compra?

3. Caio vai pagar R$ 1.829,45 na compra de um tablet. Ele dividiu esse valor em prestações iguais de R $ 365,89. Em quantas prestações ele vai pagar essa compra? Cinco prestações.

4. Uma substância muito perigosa para a saúde é o monóxido de carbono que o motor de um carro lança no ar. Sabe-se que um carro com motor a gasolina lança 27,7 gramas de monóxido de carbono a cada quilômetro rodado. Se esse carro rodar 8 quilômetros, quantos gramas de monóxido de carbono ele vai lançar no ar?

5. Qual é o próximo número desta sequência?

6. (Saresp-SP) A temperatura normal de Carlos é de 37 graus. Ele ficou com gripe e observou que estava com 37,8 graus de temperatura. Tomando um analgésico, sua temperatura baixou 0,5 grau, chegando ao valor de:

Alternativa a.

a) 37,3 graus.

b) 37,4 graus.

c) 37,5 graus.

d) 37,6 graus.

7. São dados dois números decimais. O primeiro é expresso por (9 : 2 + + 4 ? 1,25) e o segundo, por (2 ? 1,05 6,4 : 4). Quanto vale o produto desses dois números?

a) 3,75

b) 4,25 c) 4,50 d) 4,75 e) 5,75

8. A expectativa de vida, em anos, em uma região é dada pelo valor da expressão numérica (3,5 416 715) : 10. Qual é a expectativa de vida de uma pessoa dessa região?

Alternativa d. 74,1 anos.

9. Uma estrada começa no município A , vai até o município B , e tem 103,2 quilômetros de medida de comprimento. O município B, por sua vez, está ligado ao município C por uma estrada cuja medida de comprimento é igual a 3 4 da medida de comprimento da estrada que liga A a B. Quantos quilômetros percorrerá, nessas estradas, um ônibus que sai de A , passa por B e chega em C?

a) 170,6

b) 180,6

c) 181,6

d) 179,6

e) 177,4

Alternativa b.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

10. U m levantamento feito em um grupo de 320 pessoas mostrou que 75% delas tinham curso universitário completo. Quantas pessoas desse grupo não tinham curso universitário completo?

Alternativa e.

b) 200 c) 180 d) 120 e) 80

a) 240

11. Uma pipa de vinho enche 63 garrafas de 0,7 litro cada uma. Quantas garrafas de 0,9 litro a pipa pode encher?

a) 49

b) 51 c) 53 d) 55 e) 59

Alternativa a.

12. Em certa hora do dia, a fila única de clientes para usar os caixas eletrônicos de um banco tem 16 pessoas. Em média, a distância entre duas pessoas que estão na fila é de 0,55 metro, e cada pessoa ocupa 0,30 metro na direção da fila. Assinale qual é a medida de comprimento dessa fila nesse momento

a) 12,05 m

b) 12,75 m

c) 13,05 m

UM NOVO OLHAR

Alternativa c.

d) 13,45 m

e) 13,75 m

13. (Saresp-SP) A mãe de Paula, suspeitando de que sua filha estivesse doente, resolveu tomar a sua temperatura. Veja quanto marcou o termômetro. A temperatura de Paula é:

a) 38,2 °C

b) 38,3 °C

c) 38,7 °C

d) 38,8 °C

Alternativa d.

14. Elabore uma atividade utilizando temperatura como tema. Essa atividade deve conter números racionais na forma decimal e, para resolvê-la, deve ser necessário o uso de habilidades e conhecimentos adquiridos ao longo desta Unidade. Utilize tabelas e/ou gráficos para apresentar os dados da atividade. Em seguida, troque sua atividade com a de um colega e resolva-a. Depois, juntos, corrijam as atividades.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, ampliamos nosso conhecimento sobre números, abordando operações e aplicações com os números na forma decimal, suas relações com números na forma de fração, porcentagens e medidas, bem como nas operações monetárias do dia a dia.

Além disso, estudamos outras aplicações desses números, por exemplo, na contagem do dinheiro e no cálculo de porcentagens.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Na atividade 14, comentar com os estudantes que, ao elaborar um problema, deve-se atentar aos termos que serão usados de modo que o enunciado seja claro e objetivo. É interessante que atividades como essa sejam desenvolvidas em aula, assim é possível acompanhar o processo de elaboração e fazer intervenções que auxiliem os estudantes a avançar nesse tipo de produção. Comentar que eles devem elaborar o problema e resolvê-lo. Solicitar que anotem em uma folha avulsa o objetivo do problema e os procedimentos esperados para a resolução. Isso não quer dizer que, se o colega resolvê-lo utilizando outra estratégia, a resposta não estará correta. Validar a coerência das propostas apresentadas pelos estudantes.

Um novo olhar

É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões apresentadas para que, dessa maneira, possam refletir sobre o próprio aprendizado e sanar possíveis dúvidas a respeito dos conteúdos estudados na Unidade.

• Imagine que você precise descrever as regras operatórias para os números decimais apresentadas nesta Unidade para um colega que não acompanhou as aulas. Como você faria?

• Como nosso sistema monetário utiliza os números decimais?

• Por que é importante utilizarmos nossas moedas?

Resposta pessoal. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para facilitar o troco do comércio.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na comparação do centavo com o real. 195 D2_AV1-MAT-F2-2103-V6-U6-189-195-LA-G24.indd

A solicitação da descrição das regras operatórias para números na forma decimal tem o objetivo de retomar com os estudantes os procedimentos utilizados, além de permitir a eles que incluam esses procedimentos no repertório matemático deles.

É importante que, após a escrita, os estudantes retornem às definições apresentadas no livro para confirmar se cometeram algum equívoco.

A última pergunta retoma a temática refletida na seção Educação financeira. Enfatizar que a utilização de moedas no dia a dia pode facilitar o troco e a importância da circulação delas.

MW EDITORA E ILUSTRAÇÕES

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas:

• 1, 2, 4, 5, 6, 7 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF06MA16

• EF06MA18

• EF06MA19

• EF06MA20

UNIDADE

• EF06MA21

• EF06MA22

• EF06MA23

Grandezas e medidas

• EF06MA25

• EF06MA26

ÂNGULOS E POLÍGONOS 7

• EF06MA27

• EF06MA28

Probabilidade e estatística

• EF06MA31

• EF06MA32

• EF06MA33

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação para o Trânsito

• Saúde

• Educação Ambiental

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em seis capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados, atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para a formação geral dos estudantes.

O primeiro capítulo retoma as ideias de giro, abertura e inclinação associadas a ângulos. O segundo capítulo apresenta a definição de ângulo, o conceito de grau e aborda o uso do transferidor, como recurso para medir e construir ângulos, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades EF06MA26 e EF06MA27. No terceiro capítulo, aborda-se a construção de retas paralelas e perpendiculares com o uso de software e com régua e esquadros, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA22. No quarto capítulo, define-se polígono e seus elementos, colaborando para o desenvolvimento da habilidade EF06MA18. No quinto capítulo, aprofunda-se o estudo dos polígonos, com enfoque nos triângulos e quadriláteros, favorecendo o desenvolvimento

Quando usamos um aplicativo de mapas de ruas, por exemplo, podemos entendê-lo como a representação plana da localidade que estamos pesquisando. Já as ruas, nessa representação, podem ser entendidas como retas, e os locais aonde queremos chegar como pontos desse mapa.

As ruas formam diversas intersecções com outras ruas, determinando ângulos. O simples ato de virar à esquerda em uma rua pode ser traduzido como: gire certa quantidade de graus à esquerda.

Agora, responda às questões no caderno.

• O que você sabe sobre ângulos e graus?

Resposta pessoal.

Na imagem da página a seguir, existem três pontos que podemos destacar: o posto de saúde, a escola e a casa de Roberto.

Resposta pessoal.

• Sabendo que Roberto sai de casa, vai para a escola e depois da aula passa no posto de saúde, como você o orientaria a chegar a cada um desses lugares? Utilize os comandos a seguir para traçar o caminho.

• Agora, sem usar as fichas, descreva um caminho para que Roberto possa ir do posto de saúde até a casa dele.

Resposta pessoal.

das habilidades EF06MA19 e EF06MA20.

No sexto e último capítulo, as ideias de ampliação e redução de polígonos são discutidas e é apresentado o plano cartesiano, possibilitando o desenvolvimento das habilidades EF06MA16 e EF06MA21.

OBJETIVOS

• Retomar as ideias de giro, abertura e inclinação, associadas ao conceito de ângulo.

• Compreender a definição de grau e identificar os elementos de um ângulo.

• Realizar medidas de ângulos.

• Construir retas paralelas e perpendiculares.

• Identificar polígonos e seus elementos.

• Classificar triângulos e quadriláteros.

• Ampliar e reduzir figuras geométricas.

• Construir gráficos estatísticos com o apoio de softwares

• Ler e interpretar gráficos de setores.

MANZI

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

Iniciar a Unidade explorando o conhecimento prévio dos estudantes, incentivando-os a expressar suas noções a respeito do conteúdo que será estudado. Esse processo pode contribuir na organização das ideias e no desenvolvimento da capacidade de argumentação. Ao longo deste estudo, é interessante orientá-los a sistematizar e registrar as conclusões ao final de cada ideia ou conceito trabalhado. Esta abertura favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA23 e EF06MA28. Explorar a abertura com os estudantes e desafiá-los a explicar oralmente alguns trajetos que eles percorrem para, por exemplo, ir à escola ou voltar para casa. Nesse momento, é possível observar importantes dados acerca dos conhecimentos do grupo. Outra opção é a atividade de elaboração de um mapa, que pode abranger, além dos aspectos matemáticos, aspectos sociais como as ruas do bairro, as vias de acesso, transporte, entre outros. Incentivá-los a registrar esses percursos e, se for conveniente, propor uma conversa sobre os problemas sociais existentes em seus bairros e na cidade. Tendo em vista que o momento do registro gráfico é importante, incentivá-los a realizar esses registros preferencialmente de forma individual.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Os conceitos de ângulo e de polígono permeiam todo o estudo da Geometria, e entender essas ideias é fundamental para o prosseguimento do estudo da Matemática. Assim como o uso de instrumentos de desenho e softwares para realizar construções geométricas.

A compreensão dos procedimentos de ampliação e redução de figuras colabora para o desenvolvimento de conceitos de transformações geométricas que serão estudados em anos posteriores.

Já o estudo de gráficos de setores e a construção de gráficos com softwares são fundamentais para que o estudante compreenda informações presentes na mídia e em diversas fontes e expresse dados de maneira clara e correta.

VS148/SHUTTERSTOCK.COM

MANZI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Giro, abertura e inclinação

Nesta página, são apresentadas algumas ilustrações que buscam ampliar as ideias de giro, abertura e inclinação que os estudantes possuem utilizando situações que podem fazer parte do cotidiano deles. É interessante que situações do dia a dia sejam usadas como exemplos no processo de construção de um conceito, pois, quanto maior a aproximação entre a vida real e o conhecimento escolar, melhor.

Pense e responda

O objetivo aqui é identificar e relacionar giro, abertura e inclinação em cada uma das situações descritas. Sugere-se que sejam explorados os significados destas três palavras, inclinação, giro e abertura, promovendo um diálogo com a turma. Se for conveniente, anotar as ideias dos estudantes na lousa, enquanto conversam, e deixá-las lá para depois retomar e validá-las ou não.

Se possível, levar para a sala de aula imagens de revistas ou jornais que mostrem, por exemplo, uma pessoa andando de bicicleta ou a pé em uma região bastante íngreme, e uma outra imagem parecida, mas que mostre um lugar menos íngreme. Perguntar a eles qual a subida mais cansativa e por quê. Provavelmente as respostas dadas tenham ligação com a ideia de inclinação. Pode-se nesse momento comentar com eles o ângulo de inclinação ser maior ou menor e citar exemplos como a rampa de acesso para cadeirantes, explicando que, se a rampa não for construída com o ângulo de inclinação adequado, pode dificultar o acesso em vez de ajudar.

GIRO, ABERTURA E INCLINAÇÃO

Aline teve um dia cheio. Observe o que ela fez depois da aula.

Ela estava na praça brincando no gira- gira quando seu pai a chamou para irem à aula de dança.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Lá, ela treinou seus passos durante 1 hora.

Na volta, ainda deu tempo de ela se divertir andando de bicicleta.

1. Copie as frases da coluna da esquerda, completando-as com as palavras da coluna da direita.

a-B; b-A; c-C

a) Em uma volta completa no brinquedo, podemos notar A) ... uma abertura.

b) Nos braços e pernas, podemos notar B) ... um giro.

c) Em uma subida, podemos notar C) ... uma inclinação.

Um

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giro, uma abertura e uma inclinação nos dão ideias de ângulo

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Ângulo

Considere a figura de um plano, dividido em duas regiões por duas semirretas de mesma origem.

Na região azul, dois pontos quaisquer pertencentes a ela sempre determinam um segmento de reta contido nessa região; por isso, a região azul é chamada de região convexa

Observe que na região vermelha é possível representar dois pontos, que são extremidades de um segmento reta que não está totalmente contido na região vermelha; por isso, essa região é chamada de região não convexa

Ângulo é toda região do plano, convexa ou não, determinada por duas semirretas de mesma origem.

No ângulo da figura a seguir, destacamos:

• A notação do ângulo, que é AÔB (lê-se: ângulo AOB).

• O ponto O, origem das semirretas, que é o vértice do ângulo AÔB

• As semirretas OA e OB, que são os lados do ângulo AÔB

É interessante iniciar este conteúdo fazendo uma sondagem dos conhecimentos prévios dos estudantes sobre ângulos, verificando se eles fazem associações ou se relacionam a palavra a situações do seu cotidiano. Perguntar se já ouviram a expressão “gol no ângulo” e o que ela significa. Provavelmente as respostas dadas não terão rigor matemático, mas serão um excelente ponto de partida para a construção desse conceito. Ouvir atentamente os comentários e conduzir uma discussão que os ajude na compreensão desse conceito.

Ler o texto apresentado no Livro do estudante e traçar na lousa uma figura destacando a notação usada para identificar o ângulo, as semirretas e o ponto de origem das semirretas. Comentar com os estudantes que essa ideia pode ser explorada com alguns objetos do dia a dia. Retomar a expressão “gol no ângulo” e perguntar novamente por que essa expressão é usada. Espera-se que eles consigam associar o canto da trave com a ideia de ângulo (região formada por duas semirretas de mesma origem).

Outros objetos, como o leque, podem ser explorados. Mostrar que, quanto maior for a abertura do leque, maior será o ângulo formado por suas hastes. Uma sugestão interessante é usar um relógio analógico para explorar a ideia de giro dos ponteiros e a abertura formada por eles.

Link

ONDE a Matemática está presente no esporte? Mentalidades Matemáticas. Cotia, 11 ago. [20--].

Disponível em: https://mentalidadesmatematicas.org. br/matematica-esporte/. Acesso em: 19 ago. 2022.

No link, são apresentados alguns exemplos de como a Matemática está presente em esportes como o surfe, o atletismo, a natação e futebol.

Depois, sugere-se pedir aos estudantes que, a partir dos objetos explorados, escrevam com suas palavras uma definição para ângulo. Se for conveniente, solicitar que realizem mais uma vez a leitura do conteúdo, para que aprimorem as ideias até aqui trabalhadas. Se necessário, pedir que anotem a definição de ângulo em um cartaz que será construído ao longo das aulas referentes a esse conteúdo.

Medida de um ângulo Aqui, é feita uma breve apresentação do contexto histórico que ajudará os estudantes a compreender e reconhecer o grau como uma unidade de medida padronizada, em que um giro corresponde a uma volta completa dividida em 360 partes. Essa abordagem contribui para o desenvolvimento da competência geral 1 e da competência específica 1 da área de Matemática. Propor uma leitura coletiva do texto apresentado no Livro do estudante. Em seguida, conversar com o grupo sobre a importância de conhecer a história da Matemática. Comentar que, por meio dela, é possível compreender melhor o mundo em que vivemos, e isso inclui a compreensão de conceitos matemáticos. Assim, eles reconhecerão a Matemática como uma ciência que surgiu há muito tempo, recebeu diversas contribuições de diferentes povos e culturas ao longo dos anos e ainda está em constante evolução. Se considerar oportuno, compartilhar com eles o trecho do texto a seguir.

Utilizando a História da Matemática, pode-se verificar que a Matemática é uma construção humana, foi sendo desenvolvida ao longo do tempo e, por assim ser, permite compreender a origem das ideias que deram forma à cultura, como também observar aspectos humanos de seu desenvolvimento, enxergar os homens que criaram essas ideias e as circunstâncias em que se desenvolveram. (GASPERI e PACHECO, 2007).

ROSSETTO, Hallynnee Héllenn Pires. Um resgate histórico: a importância da história da matemática. Monografia (Pós Graduação em Educação: Métodos e Técnicas de Ensino) – Polo UAB do Município de Paranavaí, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Medianeira, 2013. Disponível em: http://riut.utfpr.edu.br/ jspui/bitstream/1/20816/3/MD_ EDUMTE_2014_2_43.pdf. Acesso em: 19 ago. 2022.

MEDIDA DE UM ÂNGULO

Um dos problemas mais antigos registrados na história da civilização é o da divisão da circunferência em partes iguais.

A divisão da circunferência em 360 partes, possivelmente pela necessidade da contagem do tempo, teve sua origem entre os anos 4000 a.C. e 3000 a.C., na região da Mesopotâmia, onde hoje se localiza o Iraque.

SAIBA QUE

Para os babilônios, o Sol girava em torno da Terra em uma órbita circular, levando 360 dias para dar uma volta completa. Dessa maneira, a cada dia, o Sol percorreria o equivalente a 1 360 dessa órbita circular.

Influenciado pela Matemática da Babilônia, Hiparco de Niceia (190 a.C-120 a.C.), considerado pelos gregos o pai da Astronomia, no século II a.C. fez a primeira divisão da circunferência em 360 partes iguais com o objetivo de medir os ângulos.

A cada uma dessas 360 partes em que a circunferência foi dividida, associamos um ângulo cuja medida de abertura chamamos de 1 grau.

A medida de um ângulo é dada pela medida de sua abertura. A unidade-padrão utilizada para essa medição é o grau, representado pelo símbolo °, escrito após o número.

Um grau é uma unidade de medida de um giro que corresponde à volta completa dividida por 360.

Por volta de 700 a.C., os habitantes da Assíria, antiga região do norte da Mesopotâmia (Ásia), construíram carros cujas rodas tinham raios opostos diametralmente, determinando ângulos centrais de mesma medida. Tal fato nos leva a acreditar que os povos que viviam na Mesopotâmia, naquela época, já dominavam um processo de divisão da circunferência em partes iguais.

Desenho em relevo em pedra, no Palácio de Sennacherib, representando o rei supervisionando a extração de pedra de uma mina para ser usada nas esculturas do palácio. Nineveh, Assíria, c. 700 a.C.

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USANDO O TRANSFERIDOR

Para medir a abertura de um ângulo, comparamos sua medida com a medida de um ângulo de abertura de 1° (um grau). Na prática, utilizamos um instrumento de medida chamado de transferidor. O transferidor é graduado, com divisões de 1

em 1

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Usando o transferidor

Propor uma leitura coletiva do texto apresentado no Livro do estudante para que todos possam perceber o ângulo e seus elementos (origem e semirretas) e realizar medições de ângulos utilizando o transferidor, desenvolvendo, assim, as habilidades EF06MA23 e EF06MA27. É importante que eles compreendam essa medição e reconheçam o grau como unidade de medida.

Observe como utilizar o transferidor para medir um ângulo.

1o passo: Posicionamos o transferidor de modo que o centro coincida com o vértice do ângulo.

2o passo: Posicionamos a escala correspondente ao zero no transferidor sobre um dos lados do ângulo.

3o passo: Identificamos na escala do transferidor o número sobre o qual o outro lado do ângulo está posicionado.

Se for conveniente, propor a eles que desenhem um círculo em uma folha de papel, recortem, dobrem ao meio e depois ao meio mais uma vez, repetindo o procedimento. Depois, eles devem usar uma régua e um lápis para destacar as dobras que foram feitas. Solicitar que realizem com o transferidor diversas medições e anotem os ângulos. É interessante aproveitar esse momento para nomear alguns ângulos; por exemplo: ângulo de medida igual a 90° – ângulo reto (um quarto de volta), ângulo de medida igual a 180° – ângulo raso (meia volta), ângulo de medida igual a 360° (giro completo).

Nesse exemplo, a medida de abertura do ângulo AÔB ou, simplesmente, a medida do ângulo AÔB é 55°. Indicamos: med( AÔB) = 55°

Comentar com os estudantes que é possível identificar a medida de ângulos em muitos objetos e em diversas situações presentes no dia a dia; por exemplo, ao sentar-se em uma cadeira e apoiar os pés no chão, os joelhos lembram um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°. Se for conveniente, falar da importância de sentar-se corretamente para estudar e alguns cuidados com a postura ao usar o computador e o celular.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desta página contribuem para o desenvolvimento da habilidade EF06MA26. Na atividade 1, é interessante pedir aos estudantes que construam um relógio para que possam manipular os ponteiros; assim eles terão como vivenciar as situações ilustradas. Orientá-los a realizar no relógio construído os itens da atividade para verificar ângulos formados em cada uma das situações.

Na atividade 2, os estudantes poderão reconhecer o grau como unidade de medida padronizada de um ângulo. Realizar em sala de aula uma atividade similar à apresentada no exercício. Isso ajudará os estudantes a compreenderem os conceitos de lateralidade. Ajudá-los com os comandos “avançar”, “virar à direita” e “virar à esquerda” partindo, por exemplo, da porta da sala até a carteira do estudante. Essa atividade favorece o pensamento computacional dos estudantes e o desenvolvimento da habilidade EF06MA23.

Outra sugestão para desenvolver as ideias de giro associadas a ângulos pode ser solicitar a eles que elaborem comandos que serão dados a um colega e este terá de segui-los. Por exemplo: vire 90° à direita e dê três passos; vire 90° à esquerda e ande 1 passo; e assim por diante. É interessante que todos os estudantes vivenciem as duas situações, ou seja, dar os comandos e seguir os comandos de um colega.

Para a atividade 3, organizar a turma de modo que todos possam usar um transferidor para medir os ângulos pedidos, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA27.

Responda às questões no caderno.

1. Um ângulo de 90 ° é chamado de ângulo reto. Sabendo disso, use um transferidor para medir os ângulos formados pelos ponteiros do relógio, nos diferentes horários indicados nas figuras, e responda ao que se pede.

a) Em que horário os ponteiros formam um ângulo reto?

3 horas.

b) Indique outro horário em que os ponteiros de um relógio formam um ângulo reto

Exemplo de resposta: 9 horas.

c) Dos horários representados, em quais o ângulo indicado entre os ponteiros é maior do que um ângulo reto?

d) Das 2 horas às 3 horas, quantas voltas o ponteiro grande completa?

e) Das 12 horas às 12 horas e 30 minutos, o ponteiro grande gira quantos graus?

2. (Saresp-SP) Imagine que você tem um robô tartaruga e quer fazê-lo andar num corredor sem que ele bata nas paredes. Para fazer isso, você pode acionar 3 comandos: avançar (indicando o número de casas), virar à direita e virar à esquerda . Para que você acione de forma correta o comando, imagine-se dentro do robô.

AMPLIANDO

Link

Seus comandos, para que o robô vá até o final, deverão ser:

Alternativa a.

a) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2.

b) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2.

c) avançar 4, virar 90° à direita, avançar 3, virar 90° à esquerda, avançar 2.

d) avançar 4, virar 90° à esquerda, avançar 3, virar 90° à direita, avançar 2.

3. Toda manhã, Alice caminha ao redor da praça em frente à sua casa. Observe a trajetória de Alice.

Em cada ponto assinalado ela fez um giro. Use um transferidor para medir esses giros. Registre as medidas obtidas.

4. Tomando como exemplo as atividades 2 e 3, represente uma trajetória. Peça a um colega que descubra os comandos e a medida de cada giro para percorrer essa trajetória.

A: 92° ; B: 45° ; C: 130° ; D: 93° Resposta pessoal.

SUPERLOGO. ProjetoLogo. Campinas, 18 jan. 2019. Disponível em: https://projetologo.webs.com/slogo.html. Acesso em: 19 ago. 2022.

Na atividade 2, pode-se explorar o software gratuito SuperLogo. Os estudantes devem escrever pequenos códigos que movimentam uma tartaruga em um plano, deixando seu rastro para observação. Caso seja necessário, pode-se consultar o tutorial de como usá-lo no seguinte link: http://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Logo/ Superlogo.pdf (acesso em: 19 ago. 2022).

Ângulo de visão de televisores

Os televisores grandes e de alta definição estão muito mais acessíveis, mas ter um televisor grande não garante que você vai conseguir ter a melhor experiência que a tecnologia presente nele pode proporcionar. Para isso, a tela precisa ser grande o suficiente para ser envolvente e pequena o suficiente para ser clara e nítida.

Uma empresa que trabalha no desenvolvimento de soluções audiovisuais aconselha que a tela do televisor ocupe 40° do seu campo de visão, como mostrado na ilustração.

Para isso, o tamanho do televisor e a distância recomendados por essa empresa podem ser calculados do seguinte modo: meça a distância da tela até o sofá, transforme essa distância em polegadas (sabemos que uma polegada equivale a 2,54 centímetros), depois multiplique a distância em polegadas por 0,84 e você terá o tamanho da diagonal da tela do seu televisor em polegadas.

Por exemplo, se seu sofá está a 1,8 metro (72 polegadas) do televisor, então o tamanho máximo de TV recomendado é de 60 polegadas.

Além da distância do sofá até o televisor, o ajuste de altura é muito importante. De acordo com a empresa, o ângulo de visão vertical não deve ser maior do que 15° para que os olhos fiquem em uma posição confortável. Observe a imagem.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Fórum

Neste boxe, os estudantes terão a oportunidade de refletir sobre a distância ideal para assistir à televisão; além disso, são convidados a calcular essa distância, levando-se em consideração o tamanho do aparelho, a altura recomendada e o melhor ângulo de visão. O tema abordado contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA26, do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, das competências gerais 7 e 9 e das competências específicas 4, 5 e 8 da área de Matemática. Incentivá-los a falar sobre alguns riscos à saúde quando se assiste à TV de muito perto e por um longo período de tempo.

Solicitar aos estudantes que façam uma leitura coletiva do texto apresentado. Em seguida, promover uma discussão sobre os hábitos deles quando assistem à TV. Comentar que a medida da televisão dada em polegada se refere à diagonal da tela do aparelho.

Responda às questões no caderno.

• De acordo com o texto, para um televisor de 40 polegadas, a que distância mínima, em polegada, o assento deve estar do televisor?

• O excesso de tempo em frente à televisão pode causar vários problemas. Em seu entendimento, esses problemas podem ser o quê? Compartilhe sua opinião com os colegas de turma.

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A aproximadamente 48 polegadas. Resposta pessoal.

Se considerar conveniente, organizar a turma em duplas para responder às questões propostas na seção. Pedir a eles que registrem os cálculos que realizaram para responder à primeira questão e que expliquem como procederam. É interessante também incentivá-los a expressar oralmente as estratégias que utilizaram para calcular a distância.

Por fim, se considerar conveniente, pedir aos estudantes, como tarefa de casa, que verifiquem se a distância entre o sofá e a TV de suas casas está de acordo com as recomendações citadas no texto da seção. Depois de compartilhar as informações, que verifiquem se seria necessário fazer algum ajuste na distância do sofá ou não.

Elaborado com base em: VAL, Marina. Prepare seu home theater como um profissional. Gizmodo Brasil, [s l.], 17 mar. 2012. Disponível em: https://gizmodo.uol. com.br/prepare-seu-home-theater-como-um-profissional/. Acesso em: 14 jun. 2022.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nesta seção, os estudantes são convidados a refletir sobre o uso excessivo de telas e como isso reflete na saúde de crianças e adolescentes. Esta seção contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA33, do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, das competências gerais 5, 7 e 8 e das competências específicas 4, 5, 6, 7 e 8 da área de Matemática.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

ERA DIGITAL E O CUIDADO COM A SAÚDE

Quanto tempo você fica exposto às telas durante o dia? Muitas pesquisas indicam que o uso prolongado ou excessivo de tecnologias, como celulares, computadores, videogames, entre outras, pode causar prejuízos à saúde.

De acordo com a Sociedade Brasileira de Pediatria (SBP), adolescentes com idades entre 11 e 18 anos devem limitar o tempo de telas e jogos de videogame a 2 ou 3 horas por dia e nunca jogar a noite inteira, privando-se do sono. A recomendação para todas as idades é desligar as telas durante as refeições e 1 ou 2 horas antes de dormir.

Fonte dos dados: EISENSTEIN, Evelyn et al Manual de orientação: #menos telas #mais saúde. Rio de Janeiro: SBP, dez. 2019. p. 7. Disponível em: https://www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/_22246c-ManOrient_-__ MenosTelas__MaisSaude.pdf. Acesso em: 29 jun. 2022. O professor fez uma pesquisa para saber quanto tempo os estudantes da turma do 6o ano ficam expostos às telas. Para isso, eles responderam à seguinte pergunta:

Quanto tempo, aproximadamente, você fica exposto às telas por dia (celular, televisão, computador, videogame etc.)?

( ) Menos de 2 h. ( ) De 2 h a 5 h. ( ) Mais de 5 h e menos de 8 h. ( ) Mais de 8 h.

Depois, o professor organizou as respostas obtidas em uma tabela. Para isso, ele usou a planilha eletrônica Calc do software LibreOffice. Acompanhe como ele fez.

SAIBA QUE

O LibreOffice é um conjunto completo de softwares para uso doméstico ou em escritórios. Existem versões em mais de 20 idiomas, inclusive para o português, nos principais sistemas operacionais. Para baixar gratuitamente, acesse https://www.libreoffice.org/download/download/ (acesso em: 30 jun. 2022).

1 Ele abriu o LibreOffice Calc e acessou a planilha eletrônica, em que as colunas são identificadas pelas letras do alfabeto, e as linhas são numeradas, como mostra a imagem.

2 Para preencher a planilha eletrônica com os dados obtidos na pesquisa, ele posicionou o cursor do mouse sobre a célula a ser preenchida e digitou os dados, até obter esta tabela.

Em seguida, ele construiu um gráfico de barras horizontais usando a planilha eletrônica.

3 Para construir o gráfico de barras com os dados da tabela, ele clicou com o botão direito do mouse na célula A2 e, com o botão pressionado, arrastou o cursor até a célula B6, selecionando todos os dados da tabela. Em seguida, pressionou o ícone para abrir o Assistente de gráficos, escolheu

1. Tipo de gráfico, depois selecionou Barra e, em seguida, Finalizar

4 Clicando sobre o gráfico com o botão esquerdo do mouse e, logo em seguida, com o botão direito, ele selecionou a opção Editar e incluiu os títulos. Observe o gráfico que ele obteve.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Ler e propor que construam, coletivamente, a planilha eletrônica correspondente à situação proposta na página 204 do Livro do estudante, seguindo as orientações da etapa 2. A partir dos dados digitados, seguir para as etapas 3 e 4, que tem como objetivo ensinar os estudantes a construírem um gráfico de barras.

Após essa primeira explanação, passar para as questões propostas. A questão 1 refere-se à análise dos dados já apresentados. Já a questão 2 propõe que seja feita uma pesquisa. Recomenda-se que esta seja realizada em um grupo relativamente pequeno, uma vez que todos serão entrevistados (pesquisa censitária). Refletir sobre a organização e a maneira como os dados serão coletados auxilia a perceber o quanto é possível expandir a pesquisa para além da sala de aula.

Fonte: Dados fictícios. Agora, com um colega, explorem os recursos da planilha eletrônica e faça o que se pede no caderno.

1. Quanto tempo a maioria dos estudantes da turma do 6o ano fica exposta às telas durante o dia?

De 2 h a 5 h.

As respostas dependem dos dados obtidos na pesquisa.

2. Realizem uma pesquisa para saber quanto tempo os colegas de turma ficam expostos às telas diariamente. Vocês podem usar a pergunta apresentada anteriormente ou outra que julgarem pertinente. Em seguida, organizem os dados em uma tabela e construam um gráfico usando uma planilha eletrônica, seguindo os passos apresentados.

a) Quanto tempo a maioria dos estudantes da turma fica exposta às telas durante o dia?

b) Esse tempo está dentro do recomendado pela Sociedade Brasileira de Pediatria? Se não, elaborem estratégias para que esse tempo possa ser reduzido.

c) Elaborem um texto que sintetize os dados obtidos na pesquisa, comparando-os com as recomendações médicas. Além disso, indiquem alguns dos problemas de saúde causados pelo excesso de exposição às telas e apresentem sugestões de cuidar melhor da saúde.

Caso o público entrevistado seja de séries diferentes, cabe acrescentar no questionário a indicação da idade. Destacar aos estudantes a importância da neutralidade ao ser um entrevistador. Cabe orientar o entrevistado sobre a importância da honestidade nas respostas para que a pesquisa seja válida, da não obrigatoriedade em participar e do anonimato. Para responder à pesquisa, pode-se orientar o entrevistado a consultar as estatísticas disponíveis em certas redes sociais, sobre o tempo em que se está on-line

Link

EISENSTEIN, Evelyn et al #MENOS TELAS #MAIS SAÚDE . Manual de Orientação Grupo de Trabalho Saúde na Era Digital (2019-2021). Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Pediatria, 2019. Disponível em: https://www.sbp.com.br/fileadmin/user_upload/_22246c-ManOrient_-__MenosTelas__MaisSaude.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

Com o objetivo de preservar a saúde de crianças e adolescentes, o manual apresentado no link orienta a sociedade sobre como lidar com as questões relacionadas ao mundo digital.

FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/LIBREOFFICE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

O trabalho com esta seção colabora com o desenvolvimento das habilidades EF06MA23 e EF06MA27, das competências gerais 2, 7 e 9 e das competências específicas 2 e 5 da área de Matemática; além de desenvolver a habilidade de investigação e o pensamento computacional

Se os estudantes tiverem muitas dúvidas em relação às ferramentas e ao uso do software, além das orientações dadas no Livro do estudante, pode-se sugerir que eles pesquisem vídeos e sites que ensinam a explorar os recursos.

No passo 3, comentar com os estudantes que o software sempre considera a medida do ângulo no sentido anti-horário, e que também é possível deteminar a medida do ângulo com a ferramenta Ângulo clicando em três pontos que determinam o ângulo (um sobre a primeira semirreta, o vértice e o outro sobre a segunda semirreta).

A partir dos passos descritos no Livro do estudante, caso julgue interessante, pode-se pedir que os estudantes construam fluxogramas para representar a construção de um ângulo e sua medida usando o software GeoGebra.

Explicar aos estudantes que é possível construir ângulos de medidas dadas com o GeoGebra. Para isso, é necessário o uso da ferramenta Ângulo com Amplitude Fixa

Caso queira explorar essa ferramenta com os estudantes, pode-se acessar o link https:// help.geogebra.org/topic/ usando-a-ferramenta-ngulo -com-amplitude-fixa- (acesso em: 19 ago. 2022).

ÂNGULOS EM UM SOFTWARE DE GEOMETRIA

Para complementar o estudo realizado neste capítulo, vamos aprender a construir e a medir ângulos utilizando o software de geometria dinâmica GeoGebra

O GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica. Existem versões em diversos idiomas, inclusive em português, nos principais sistemas operacionais. Para baixar, utilize o link https://www.geogebra.org/download?lang=pt (acesso em: 14 jun. 2022) ou use a versão on-line, disponível no link https://www.geogebra.org/classic?lang=pt_PT (acesso em: 14 jun. 2022).

Ao abrir a tela inicial do GeoGebra, aparecem eixos e malhas na Janela de visualização Para ocultá-los, clique com o botão direito do mouse em qualquer ponto da Janela de visualização e selecione Exibir Eixos. Clique novamente com o botão direito do mouse e selecione a opção Exibir Malha e, em seguida, escolha a opção Sem malha

Para construir e medir ângulos, vamos usar as ferramentas Semirreta e Ângulo

Acompanhe os passos a seguir.

Construindo um ângulo

1 Selecione a ferramenta Semirreta e clique em dois pontos diferentes, A e B, da Janela de visualização para construir uma semirreta.

2 Novamente, selecione a ferramenta Semirreta e clique no ponto A, vértice do ângulo que vamos construir, e em outro ponto (C) da Janela de Visualização

Medindo um ângulo

3 Para medir o ângulo BAC formado na região convexa, selecione a ferramenta Ângulo e clique nas semirretas AC e AB, nessa ordem. A medida do ângulo aparecerá na tela.

4 Para medir o ângulo BAC formado na região não convexa, selecione a ferramenta Ângulo e clique nas semirretas AB e AC, nessa ordem. A medida do ângulo aparecerá na tela. Agora, junte-se a um colega, explorem as ferramentas do GeoGebra e resolvam as questões a seguir.

1. Clique sobre um dos lados do ângulo que você construiu e movimente-o, observando o que acontece com as medidas dos ângulos formados na região convexa e na região não convexa. Explique o que você observou.

2. Qual é a soma das medidas dos dois ângulos formados por duas semirretas com mesma origem?

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AMPLIANDO Link

VICHESSI, Beatriz. Sete respostas sobre o software GeoGebra. Nova Escola São Paulo, 1 ago. 2011. Disponível em: https://novaescola.org.br/conteudo/2233/ sete-respostas-sobre-o-software-geogebra. Acesso em: 20 ago. 2022.

Nesse link, é possível encontrar algumas orientações importantes para o trabalho com o software GeoGebra.

3

CONSTRUÇÃO DE RETAS PARALELAS E DE RETAS PERPENDICULARES

RETAS PARALELAS

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

1. Pedro estava utilizando o GeoGebra. Com a ferramenta Reta, ele traçou uma reta e, em seguida, usando a ferramenta Reta Paralela, traçou duas retas paralelas à primeira. Depois, traçou uma nova reta, de modo que ela cortasse as três retas paralelas criadas.

Finalmente, com a ferramenta Ângulo, ele mediu um dos ângulos formados entre cada uma das retas paralelas e a reta que as intersecta. Depois, moveu esta última reta e viu o que acontecia com os ângulos.

Observe como ficou parte da tela de Pedro em dois momentos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Nesta seção, são apresentadas imagens em que aparecem destacados os ângulos formados entre retas paralelas e uma reta transversal/concorrente.

O objetivo da atividade é mostrar aos estudantes que os ângulos formados entre as retas paralelas e uma mesma transversal são sempre congruentes.

Observe os ícones das ferramentas do GeoGebra usadas por Pedro.

No boxe Saiba que são apresentados os ícones das ferramentas usadas para a construção realizada. Se possível, aproveitar a oportunidade e preparar uma atividade similar utilizando o software GeoGebra. Assim, os estudantes terão a possibilidade de explorar os recursos desse software, além de vivenciar e constatar a veracidade da propriedade abordada no texto e desenvolver aspectos da habilidade EF06MA22.

a) Que tipos de reta Pedro construiu?

As retas r, s e t são retas paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes.

b) O que podemos notar observando os ângulos que Pedro mediu?

Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intersecta têm medidas iguais em cada uma das posições da reta u

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Antes de trabalhar o Pense e responda desta página, organizar atividades para que os estudantes possam vivenciar a construção de retas paralelas utilizando a régua e o esquadro. Essas atividades podem auxiliar na compreensão dos conceitos trabalhados nesta seção, desenvolvendo as habilidades EF06MA22 e EF06MA23, as competências gerais 7 e 9 e a competência específica 6 da área de Matemática.

Para isso, providenciar pares de esquadros e permitir aos estudantes que explorem esse material manipulando e identificando o valor dos ângulos que os compõe. Se considerar conveniente, pedir aos estudantes que marquem os valores dos ângulos correspondentes a cada esquadro. Eles podem colar etiquetas para os ângulos 90°, 30°, 60° e 45°, 45°, 90°.

Em seguida, pedir aos estudantes que, seguindo as etapas descritas nesta página, representem retas paralelas utilizando a régua e o esquadro. Incentivá-los a ler com atenção e executar os procedimentos descritos de maneira organizada. É possível, ainda, solicitar que construam um fluxograma a partir das etapas propostas no Livro do estudante, contribuindo para o desenvolvimento do pensamento computacional

Pense e responda

Propor que a resolução das questões seja realizada em duplas, para facilitar a troca de ideias e conhecimento. Depois que todos responderem, abrir uma discussão com a turma sobre as questões. Incentivá-los a justificar as respostas, tanto fazendo o registro como oralmente. Se possível, usar o laboratório de informática e pedir aos estudantes que usem o software GeoGebra para representar as retas que Pedro construiu.

Pedro reproduziu a construção que fez no GeoGebra utilizando régua e esquadro. Acompanhe os passos que ele seguiu para construir três retas paralelas.

1o passo: Posicione uma régua na folha de papel. Em seguida, encoste o esquadro na régua e represente uma reta.

3o passo: Repita o passo anterior e represente a terceira reta.

2o passo: Sem mover a régua, deslize o esquadro sobre ela, sem perder o contato entre eles, e represente outra reta.

4o passo: Afaste a régua e o esquadro e verifique a representação obtida.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Observando a construção de Pedro, você pode afirmar que as retas que ele representou são paralelas? Justifique sua resposta para os colegas e o professor.

2. Caso Pedro colocasse o outro lado do esquadro encostado na régua (observe o exemplo na imagem) e procedesse da mesma maneira, seguindo os passos anteriores, as novas retas representadas seriam paralelas entre si? Por quê? Explique aos colegas e ao professor.

Sim, as novas retas representadas seriam paralelas, pois a inclinação das novas retas

1. Sim. Como a régua não foi movimentada, a inclinação do esquadro não foi modificada; logo, as retas são paralelas, como na construção com o GeoGebra.

seria a mesma, uma vez que a régua que apoia o esquadro é fixa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

RETAS PERPENDICULARES

Já estudamos que duas retas quaisquer contidas em um mesmo plano e que possuem um único ponto em comum são denominadas retas concorrentes

Quando duas retas concorrentes formam entre si quatro ângulos de 90° (ângulos retos), dizemos que as retas são perpendiculares e utilizamos o símbolo À para representar esse perpendicularismo.

Pedro continuou seu estudo com construções geométricas. Ele percebeu que dois lados de seu esquadro formavam um ângulo reto. Então, ele procedeu da seguinte maneira para construir duas retas perpendiculares entre si.

Na figura, r e s formam entre si quatro ângulos retos. Então, r À s (lemos: r é perpendicular a s).

1o passo: Posicione a régua na folha de papel e trace a representação de uma reta.

SAIBA QUE r s

No software GeoGebra, a ferramenta usada para traçar uma reta perpendicular a uma reta dada é: Reta Perpendicular

2o passo: Sem mover a régua, apoie um dos lados do esquadro que compõe o ângulo reto na régua e trace a representação da reta pelo outro lado que compõe o ângulo reto.

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

3o passo: Afaste a régua e o esquadro e verifique a representação obtida.

4 o passo: Com o auxílio da régua, prolongue a representação da reta obtida no 2o passo.

Antes de trabalhar o Pense e responda desta página, organizar atividades para que os estudantes possam vivenciar a construção de retas perpendiculares utilizando a régua e o esquadro. Essas atividades podem auxiliar na compreensão dos conceitos trabalhados nesta seção, desenvolvendo as habilidades EF06MA22 e EF06MA23 e as competências gerais 7 e 9. Pedir aos estudantes que, novamente, sigam as etapas descritas nesta página e representem retas perpendiculares utilizando a régua e o esquadro. Incentivá-los a ler com atenção e executar os procedimentos descritos de maneira organizada. Se julgar oportuno, solicitar que construam um novo fluxograma a partir das etapas propostas no Livro do estudante, contribuindo para o desenvolvimento do pensamento computacional. O boxe Saiba que apresenta a ferramenta utilizada no software GeoGebra para traçar uma reta perpendicular a outra, favorecendo o desenvolvimento de aspectos da habilidade EF06MA22.

Sim. Porque as duas retas se cruzam em um único ponto e elas foram construídas tomando como base os lados do esquadro que formam o ângulo de 90°

1. Observando a construção de Pedro, você pode afirmar que as retas representadas por ele são perpendiculares? Por quê? Explique aos colegas e ao professor.

2. Use um transferidor para confirmar sua resposta anterior.

Espera-se que os estudantes confirmem o ângulo de 90° entre as retas.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Polígonos

Aqui os estudantes serão levados a reconhecer polígonos convexos e nomeá-los de acordo com o número de lados, como forma de desenvolver a habilidade EF06MA18. É interessante propor atividades que proporcionem a eles a oportunidade de compreender o conceito de polígono. Para isso, eles devem desenvolver a habilidade de identificar semelhanças e diferenças entre polígonos pela observação das características de figuras bidimensionais e da identificação de suas propriedades.

Essa habilidade é importante para futuras classificações que os estudantes vão realizar.

Dar atenção especial aos critérios utilizados para essas classificações. O que pode parecer óbvio, muitas vezes não é. É comum alguns estudantes não perceberem que as características dos polígonos permanecem mesmo quando sua posição é alterada. Por exemplo, é importante que eles saibam reconhecer um quadrado independentemente da posição em que ele estiver.

Polígonos convexos

Aproveitar a oportunidade para desenvolver a oralidade dos estudantes. Apresentar diferentes figuras para que eles apontem quais são poligonais e não poligonais ou quais são poligonais convexas e poligonais não convexas, por exemplo. A seguir, são apresentadas algumas figuras que podem ser usadas com essa finalidade. Pedir que expliquem oralmente justificando as escolhas de acordo com as características das figuras.

Observe atentamente estas figuras. Elas estão totalmente contidas em um único plano: o plano representado por esta folha. Por isso, essas figuras são chamadas de linhas planas

As figuras A , B e C são formadas por linhas planas simples, que não apresentam cruzamentos. Dizemos que as figuras D e E são formadas por linhas planas não simples, pois apresentam um ou mais pontos de cruzamento. Também podemos classificar as linhas planas em abertas (figuras A e D) ou fechadas (figuras B, C e E).

Polígono é a reunião de uma linha plana fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com sua região interna.

Observe, agora, algumas figuras geométricas que são polígonos.

POLÍGONOS CONVEXOS

Quando a região interna de um polígono é uma região convexa, ou seja, o segmento de reta que une dois pontos quaisquer pertencentes à região fica inteiramente contido nela, temos um polígono convexo. Quando isso não ocorre, a região é não convexa, e temos um polígono não convexo.

São polígonos convexos. São polígonos não convexos.

A partir de agora, em nosso estudo, serão abordados apenas os polígonos convexos.

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AMPLIANDO

Atividade complementar

Observar atentamente os cartazes a seguir e identificar a figura que não combina com as outras no cartaz A e no cartaz C.

Resolução da atividade

No cartaz A, há um polígono não convexo (c) entre os polígonos convexos; no cartaz C, há um polígono de 6 lados (d) entre os de 4 lados (quadriláteros).

ELEMENTOS DE UM POLÍGONO

Observe os polígonos a seguir.

C A B

• AB, AC e BC são os lados desse polígono.

• Os pontos A, B e C são os vértices desse polígono.

• Esse polígono tem três ângulos internos, todos destacados na figura.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Elementos de um polígono

O objetivo aqui é adquirir vocabulário específico, identificar os elementos de um polígono (lados, vértices e ângulos internos) e nomeá-los de acordo com esses elementos.

• MN, NP , PQ, QR e RM são os lados desse polígono.

• Os pontos M, N, P, Q e R são os vértices desse polígono.

• Esse polígono tem cinco ângulos internos, todos destacados na figura.

Em qualquer polígono, o número de ângulos internos, de lados e de vértices são iguais. Os polígonos são geralmente nomeados de acordo com o número de lados que possuem. Alguns, por sua utilização mais frequente, têm nomes especiais.

Número de lados ou de ângulos Nome do polígono

3 triângulo

4 quadrilátero

5 pentágono

6 hexágono

7 heptágono

Observação:

• Há polígonos que não possuem nomes especiais, como o polígono de 13 lados, o de 19 lados e o de 25 lados, por exemplo.

POLÍGONOS REGULARES

Quando todos os lados do polígono são congruentes, ou seja, têm medidas iguais e todos os ângulos internos também são congruentes, dizemos que o polígono é regular.

Por exemplo, o quadrado é um polígono regular de 4 lados.

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IMENES, Luiz Marcio Pereira; LELLIS, Marcelo Cestari; JAKUBOVIC, José. Geometria. São Paulo: Atual, 2004. (Pra que serve a Matemática?).

Neste volume, exploram-se exemplos da aplicação da

Geometria em outras áreas do conhecimento: na arquitetura, na propaganda, na eletrônica, entre outras. Há, ainda, quebra-cabeças para serem solucionados com a ajuda de materiais de desenho geométrico e raciocínio lógico.

Explorar esses conceitos incentivando a observação de figuras com esses elementos e suas regularidades de maneira que os estudantes possam reconhecê-los e classificá-los.

Iniciar apresentando vários polígonos e perguntar a eles se reconhecem essas figuras e qual o nome delas. Assim, é possível verificar e registrar os conhecimentos que os estudantes possuem/absorveram e se não compreenderam algo; essas informações são importantes para planejar as ações futuras. Quando os estudantes apresentarem alguma dificuldade em reconhecer as figuras, falar o nome delas sem se preocupar em formalizar conceitualmente.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se julgar oportuno, possibilitar que os estudantes vivenciem uma experiência como a apresentada na HQ. Disponibilizar diferentes objetos que lembram prismas, papel sulfite e lápis de cor para que eles possam fazer o contorno dos objetos para depois pintar e recortar a figura obtida.

Em seguida, sugerir a eles que usem uma régua para medir todos os lados do polígono que obtiveram e anotem esses dados. Depois eles devem usar um transferidor para verificar a medida dos ângulos internos da figura. Seria interessante que nem todos os polígonos obtidos por eles sejam polígonos regulares. Assim, eles perceberão que os polígonos podem ser regulares ou não.

Para trabalhar o conceito de polígonos regulares, iniciar apresentando vários polígonos regulares e não regulares. Pedir aos estudantes que observem e classifiquem as figuras. É importante que eles percebam que, quando todos os lados e os ângulos internos de um polígono têm a mesma medida, esse polígono é chamado de polígono regular.

Leia a história a seguir.

Aqui estão dois objetos que lembram prismas. Cada um deve escolher um objeto e me falar o nome do prisma que ele lembra.

Este lembra um prisma pentagonal, pois a base dele lembra um pentágono.

Este também lembra um prisma pentagonal pelo mesmo motivo, a base lembra um pentágono.

Muito bem! Agora, peguem uma folha de papel e um lápis colorido, mas cada um deve usar uma cor diferente.

Agora, eu vou recortar os desenhos de vocês para continuarmos nossa experiência. Vocês vão colocar um desenho sobre o outro e compará-los.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Contornem a base do objeto em uma folha de papel e pintem a parte interna do contorno com o lápis que escolheram.

• As crianças obtiveram pentágonos diferentes. Alguma delas pode ter obtido um pentágono regular? O que seria preciso fazer para confirmar essa hipótese?

Espera-se que os estudantes percebam que o pentágono verde pode ser regular, mas para confirmar esse fato, seria preciso medir os cinco lados dele e seus cinco ângulos internos. Se todos os lados forem congruentes e todos os ângulos internos tiverem a mesma medida, o pentágono é regular.

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Eles são diferentes!

ATIVIDADES

1. A figura do item a, pois é formada por uma linha plana fechada simples, formada apenas por segmentos de reta.

Responda às questões no caderno.

1. Qual das seguintes figuras é um polígono? Justifique sua resposta. a) b)

2. Cada quadradinho representa um quarteirão na planta de um parque florestal. A linha azul indica a cerca e os portões desse parque. Essa planta representa um polígono? Em caso afirmativo, o polígono é convexo ou não convexo?

Sim; polígono não convexo.

3. Observe as duas placas de trânsito a seguir. Elas lembram polígonos.

PARE

7 b) Não, porque obtemos um triângulo que não tem todos os lados congruentes.

5. Observe a placa de trânsito. Desprezando a espessura da placa, você pode afirmar que ela representa um polígono regular?

6. Theo desenhou em uma folha os dois polígonos regulares a seguir. Em cada polígono está indicada a medida do lado, em unidades de comprimento.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

Com as atividades apresentadas, os estudantes poderão identificar os elementos de um polígono e nomeá-lo de acordo com a quantidade de lados ou de ângulos internos. Caso seja necessário, eles podem consultar a tabela com o número de lados e o nome dos polígonos na página 211 do Livro do estudante.

5

3

a) Classifique os polígonos desenhados por Theo quanto ao número de lados.

b) Qual é a medida do contorno de cada polígono que Theo desenhou?

30 unidades; 24 unidades.

7. Observe os sólidos geométricos representados a seguir.

a) Polígono de 6 lados: hexágono; polígono de 3 lados: triângulo.

Na atividade 1, os estudantes são solicitados a reconhecer a figura de um polígono e identificar as diferenças entre polígonos e figuras que não são polígonos. Pedir a eles que expliquem por que a figura b não é um polígono. Uma resposta possível é: porque a figura não é delimitada por uma linha formada apenas por segmentos de reta. Apresentar-lhes outras figuras geométricas para que também as identifiquem.

a) Imagine que vamos carimbar uma das bases de cada um destes sólidos geométricos. Que figuras serão obtidas? Classifique­as quanto ao número de lados.

Octógono. Quadrilátero.

Qual é o nome do polígono representado pela placa: a) A? b) B?

4. Miriam desenhou um polígono cujos vértices são os pontos A , B, C, D, E e F. Quantos lados tem o polígono que Miriam desenhou? Qual é o nome desse polígono?

6 lados; hexágono.

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Link

b) Ao carimbar a face lateral da pirâmide, obtemos um polígono regular? Justifique sua resposta.

c) Que polígono obtemos ao carimbar a face lateral desse prisma? Ele é um polígono regular? Por quê?

c) Obtemos um retângulo. Não, pois o retângulo, embora tenha todos os ângulos congruentes, não tem todos os lados de mesma medida.

01/09/22 14:16 AMPLIANDO

GEOBOARD. The Math Learning Center. [S. l.], c2022. Disponível em: https://apps.mathlearning center.org/geoboard/. Acesso em: 20 ago. 2022. Se possível, proporcionar aos estudantes a oportunidade de utilizar um Geoplano virtual; essa ferramenta pode propiciar a exploração dos conceitos aqui trabalhados.

Nas atividades 3 e 5 trabalha-se com as placas de trânsito. Se possível, disponibilizar o desenho de várias placas de trânsito para que os estudantes reconheçam quais delas lembram polígonos. Aproveitar para discutir o significado dessas placas e os motivos pelos quais elas possuem cores diferentes, contribuindo para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Trânsito

A atividade 4 retoma o conceito de que em um polígono a quantidade de vértices é igual à quantidade de lados e de ângulos internos.

Sim.

Hexágono e octógono.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de desenvolver suas habilidades de leitura e compreensão de informações em gráficos, imagens e texto. O tema tratado sobre os biomas brasileiros pode propiciar um trabalho interdisciplinar com as disciplinas de Ciências e Geografia, desenvolvendo a habilidade EF06MA31, o Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental, as competências gerais 7 e 9 e as competências específicas 5 e 8 da área de Matemática.

Aproveitar a oportunidade para que os estudantes reflitam sobre a importância dos diferentes biomas e como preservá-los. Também é necessário que eles entendam que os biomas existentes no Brasil são ricos e muito importantes para o equilíbrio da natureza.

Solicitar aos estudantes que leiam o infográfico apresentado na dupla de páginas da seção e registrem no caderno a definição de bioma e as regiões do país onde cada um deles está localizado. Organizar a turma em seis grupos, para que cada grupo estude as informações apresentadas sobre um dos biomas. Perguntar a eles se sabem o nome do gráfico em que os dados dos biomas foram apresentados. É provável que eles se refiram a esse gráfico como sendo um gráfico de pizza. Se isso ocorrer, perguntar por que o chamam assim.

Pedir que observem nos gráficos os valores dados em porcentagem, calculem a soma desses valores em cada gráfico e expliquem o que isso significa. Em seguida, sugerir que comparem os biomas usando as porcentagens apresentadas nos gráficos sobre a fauna. Perguntar aos estudantes em qual bioma

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

BIOMAS BRASILEIROS

Pedro fez uma pesquisa sobre os biomas brasileiros para um trabalho escolar. Biomas são grandes extensões territoriais com características similares de vegetação e das espécies de animais que ali habitam, o que é definido, em parte, pelas condições físicas próprias das regiões (clima e formação das rochas, por exemplo).

No Brasil, existem seis grandes biomas terrestres: Amazônia, Cerrado, Mata Atlântica, Caatinga, Pampa e Pantanal. Observe, no infográfico a seguir, as informações que Pedro coletou.

DESCUBRA MAIS

BIOMAS brasileiros. WWF Brasil. Brasília, [20--]. Disponível em: https://www.wwf.org.br/ natureza_brasileira/questoes_ambientais/biomas/. Acesso em: 30 jun. 2022.

O Brasil é o país com maior número de espécies da fauna e da flora no mundo. Para conhecer mais nossos biomas e sua diversidade, visite o site do WWF Brasil.

Elaborado com base em: BIOMAS brasileiros. IBGE Educa. Rio de Janeiro, c2022. Disponível em: https://educa.ibge.gov.br/jovens/conheca-o-brasil/ territorio/18307-biomas-brasileiros.html.

INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. 2017: o ano da agricultura. Retratos – a Revista do IBGE, Rio de Janeiro, n. 6, dez. 2017. Disponível em: https:// agenciadenoticias.ibge.gov.br/media/com_mediaibge/ arquivos/3ee63778c4cfdcbbe4684937273d15e2.pdf. Acessos em: 18 ago. 2022.

Lobo-guará. Fotografia de 2019.

A vegetação é característica de planícies de inundação, além de espécies de floras características de outros biomas brasileiros.

Jacaré-do-pantanal. Corumbá (MS), 2020.

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os peixes, as aves, os mamíferos e os répteis são mais abundantes.

Promover uma discussão e permitir que todos se manifestem, contribuindo para o desenvolvimento da argumentação dos estudantes. Aproveitar para explorar o conhecimento prévio dos estudantes pedindo a eles que relatem o que conhecem de cada bioma, seja por meio de leitura, seja por outros meios, e perguntar se já visitaram algum lugar com um bioma

diferente da região onde moram; se sim, pedir que relatem a experiência destacando as diferenças que encontraram.

É importante que percebam que o Brasil, por ter um território muito extenso, possui uma grande variação climática e, consequentemente, uma grande biodiversidade.

Cerrado Vegetação formada por arbustos e por árvores de cascas grossas e galhos retorcidos.

Amazônia Vegetação densa com árvores altas e próximas entre si.

Tucano-de-bico-preto. Fotografia de 2019.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

BY P-FOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK.COM; EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

É importante que os estudantes observem o gráfico sobre a extensão territorial de cada bioma e concluam que o bioma Amazônia ocupa aproximadamente a metade do território brasileiro, enquanto o bioma Cerrado ocupa cerca de um quarto do total do território nacional.

SAIBA QUE

Na flora brasileira, mais de 46 mil espécies já foram catalogadas. A título de curiosidade, trata-se de uma quantidade tão grande que, caso inserida no gráfico “Espécies animais distribuídas nos biomas brasileiros”, ocuparia um espaço mais de dez vezes maior do que aquele ocupado pelos peixes.

Agora, com base nas informações disponibilizadas, faça o que se pede no caderno.

1. Quais foram os tipos de comunicação que Pedro utilizou no infográfico para passar as informações?

Texto, gráfico de setores e fotografia. Resposta pessoal.

215

01/09/22 14:19

Promover uma discussão entre os estudantes perguntando qual é o bioma mais devastado para que eles reflitam sobre as causas e as consequências dessa devastação. É interessante propor que eles façam uma pesquisa para ampliar o conhecimento sobre esse assunto. Conversar com eles sobre a importância de buscar as informações em fontes confiáveis e incentivá-los a compartilhar suas opiniões sobre a devastação dos biomas e o que pode ser feito para incentivar a preservação do meio ambiente. Espera-se que os estudantes cheguem à conclusão de que existe a necessidade de preservar os recursos naturais e a biodiversidade de cada região. Se considerar oportuno, solicitar que eles pesquisem cada um dos biomas e, em pequenos grupos, elaborem o texto proposto na questão 2. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF06MA32. Providenciar a ida do grupo ao laboratório de informática, caso seja possível, ou disponibilizar fontes de pesquisa confiáveis.

Se possível, providenciar um mapa do Brasil com as divisões das regiões de cada bioma. Solicitar que pesquisem imagens da fauna e da flora e que façam uma colagem dessas imagens nas respectivas regiões.

ROCIOGONZALEZBARS/ SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Triângulos e quadriláteros

Este capítulo favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA19 e EF06MA20. É importante que os estudantes reconheçam os vértices, os lados e os ângulos internos de um triângulo. Além disso, é apresentado o símbolo * usado para identificar um triângulo. De posse desses conhecimentos, os estudantes conseguirão avançar para a classificação dos triângulos em relação aos lados e aos ângulos.

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Sabendo identificar os lados de um triângulo, é possível classificá-lo de acordo com as medidas desses lados. Após a leitura do texto apresentado na página, verificar se eles têm alguma dúvida ou dificuldade em reconhecer os elementos de um triângulo e, se considerar necessário, retomar o assunto.

Depois, pedir que formem grupos com no máximo quatro integrantes; entregar para eles figuras de triângulos equiláteros, isósceles e escalenos recortadas e solicitar que os classifiquem quanto às medidas dos lados e justifiquem as respostas dadas.

Incentivar que as justificativas sejam feitas oralmente e por escrito, e que usem a nomenclatura correta para identificá-los.

TRIÂNGULOS E QUADRILÁTEROS

O TRIÂNGULO E SEUS ELEMENTOS

Conforme estudamos, triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos internos. No triângulo ABC representado, destacamos:

• os vértices: os pontos A, B e C;

• os lados: os segmentos de reta AB, AC e BC;

• os ângulos internos: A, B e C Utilizamos o símbolo * para indicar um triângulo. Assim, o triângulo ABC pode ser representado por * ABC.

Os triângulos podem ser classificados de acordo com as medidas de seus lados e de seus ângulos internos.

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS QUANTO AOS LADOS

Considerando as medidas dos lados de um triângulo, temos a classificação a seguir.

• O triângulo que tem os três lados congruentes, ou seja, com a mesma medida, é chamado de triângulo equilátero

• O triângulo que tem dois lados congruentes é chamado de triângulo isósceles

22 AB AC BC

med AB () = med AC () = med BC ()

2 AB AC med AB () = med AC () 5 med BC ()

• O triângulo que tem os três lados com medidas diferentes é chamado de triângulo escaleno

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

med AB () 5 med AC () 5 med BC ()

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

QUANTO AOS ÂNGULOS

Quando consideramos as medidas dos ângulos internos de um triângulo, temos a seguinte classificação.

• O triângulo com os três ângulos internos agudos (de medidas menores do que 90°) é chamado de triângulo acutângulo

med(A) , 90° med( B) , 90° med(C) , 90°

• O triângulo com um ângulo interno reto (medida igual a 90°) é chamado de triângulo retângulo. Os outros dois ângulos internos são agudos.

med(A) = 90° med( B) , 90° med(C) , 90°

• O triângulo com um ângulo obtuso (a medida é maior do que 90° e menor do que 180°) é chamado de triângulo obtusângulo. Os outros dois ângulos internos são agudos.

90° , med(A) , 180° med( B) , 90° med(C) , 90°

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Aqui pode ser adotado o mesmo procedimento usado para trabalhar a classificação dos triângulos quanto às medidas dos lados. Novamente, eles devem formar grupos. Depois, entregar para eles figuras de triângulos com ângulos internos menores do que 90° (triângulos acutângulos), triângulos com um ângulo interno com medida igual a 90° (triângulos retângulos) e triângulos com um ângulo interno maior do que 90° (triângulos obtusângulos).

É interessante que os estudantes usem um transferidor para verificar a medida dos ângulos internos dos triângulos. Assim, eles terão a oportunidade de, conforme realizam esse procedimento, começar a associar as medidas dos ângulos com a classificação de cada figura, desenvolvendo a habilidade EF06MA25.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Neste bloco de questões, os estudantes poderão classificar triângulos quanto às medidas de seus lados ou de seus ângulos internos. Explorar com eles a ideia de que todo triângulo equilátero é também um triângulo isósceles. Na atividade 5, incentivar os estudantes a construir o triângulo retângulo usando dobradura e, em seguida, registrar o passo a passo na forma escrita e, se julgar relevante, usando um fluxograma. Essa atividade contribui para o desenvolvimento do pensamento computacional dos estudantes e da habilidade EF06MA23.

ATIVIDADES

4. a) O triângulo ABE é isósceles. Porque dois lados desse triângulo são lados do pentágono regular; portanto, têm medidas iguais. E o lado BE não tem a mesma medida que os outros dois lados.

Responda às questões no caderno.

1. Usando uma régua, faça as medições necessárias para classificar os triângulos a seguir quanto às medidas dos lados.

a) C

5. Espera-se que os estudantes expliquem, na linguagem deles, que basta dobrar a folha de papel sulfite pela diagonal. Desse modo, obtêm-se dois triângulos retângulos, um de cada lado da dobra.

Link

AB

A B

b) C

c) C AB

2. Usando um transferidor, faça as medições necessárias e classifique os triângulos a seguir quanto às medidas dos ângulos internos.

a) C

A B

b) CA B

c) C

d) B AC

AMPLIANDO

Escaleno. Equilátero. Isósceles. Acutângulo. Obtusângulo. Retângulo. Retângulo.

3. Observe os três triângulos desenhados na malha a seguir. 12 3

a) Identifique cada triângulo como equilátero, isósceles ou escaleno.

b) Identifique cada triângulo como acutângulo, retângulo ou obtusângulo

4. Considere este pentágono regular com vértices nos pontos A , B, C, D, e E

a) Unindo por um segmento de reta o vértice B ao vértice E, obtém-se o triangulo ABE. Classifique esse triângulo quanto à medida dos lados. Justifique sua resposta.

b) Em quantos triângulos é possível decompor esse pentágono regular traçando apenas segmentos de reta com extremidades em seus vértices, sem sobrepor triângulos?

5. Usando uma folha de papel sulfite, escreva o passo a passo de como você pode obter um triângulo retângulo, fazendo apenas uma dobradura.

A B

6. Represente três triângulos, variando as medidas dos lados. Troque seus triângulos com um colega, peça-lhe que meça o comprimento dos lados e classifique os triângulos quanto às medidas dos lados. Em seguida, o colega deve medir os ângulos internos de cada triângulo e classificá-lo em acutângulo, obtusângulo ou retângulo. Juntos, façam as correções.

CLASSIFIQUE triângulos pelos ângulos. Khan Academy. [S. l.], c2022. Disponível em: https://pt.khanacademy. org/math/basic-geo/basic-geometry-shapes/x7fa91416:classifyingtriangles/e/identifying-triangles-by-angles. Acesso em: 20 ago. 2022.

No link, é possível ter acesso a diversos problemas envolvendo classificação de triângulos de acordo as medidas dos ângulos.

1: isósceles; 2: equilátero; 3: escaleno.

1: acutângulo; 2: acutângulo; 3: retângulo.

4. b) Em três triângulos. Exemplo de construção: B

Resposta pessoal.

OS QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS

Quadrilátero é um polígono de quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos internos. No quadrilátero ABCD da figura seguinte, destacamos:

• os vértices: pontos A, B, C e D;

• os lados: segmentos de reta AB, BC, CD e DA ;

• os ângulos internos: A , B, C e D

O segmento de reta AC, cujas extremidades são dois vértices não consecutivos do polígono, é uma diagonal do quadrilátero ABCD; a outra diagonal desse quadrilátero é o segmento de reta BD

Vamos conhecer as características de alguns quadriláteros.

PARALELOGRAMOS

Paralelogramo é todo quadrilátero que tem os lados opostos paralelos, dois a dois.

Dentre os paralelogramos, destacamos o retângulo, o losango e o quadrado

Retângulo

É um paralelogramo que tem os quatro ângulos retos (os quatro ângulos são congruentes).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo desta página e da próxima é identificar as características dos quadriláteros e classificá-los em relação aos lados e aos ângulos. É importante que os estudantes reconheçam os paralelogramos e os trapézios entre os quadriláteros, e os retângulos, os losangos e os quadrados entre os paralelogramos. Essa abordagem contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA20.

É interessante trabalhar com essas figuras em diferentes perspectivas, pois é possível que alguns estudantes estejam acostumados a utilizar a representação do quadrado sempre na mesma posição, não conseguindo, portanto, notar que, mudando a posição da figura, as propriedades dela se conservam. Ver o exemplo a seguir.

Losango

É um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes

Solicitar a eles que façam uma leitura detalhada do texto apresentado no Livro do estudante e discutam os conceitos apresentados. Permitir que os estudantes se expressem oralmente e troquem experiências entre si. É possível ampliar essa discussão apresentando alguns quadriláteros na lousa e solicitando a eles que classifiquem cada um de acordo com as medidas dos os lados e dos ângulos.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Distribuir uma folha de sulfite com várias imagens de paralelogramos em diferentes posições. Pedir aos estudantes que observem as imagens e pensem em um critério para agrupá-los. Pedir que observem que alguns deles possuem ângulos retos. Caso seja necessário, possibilitar que os estudantes utilizem o transferidor para medir os ângulos internos das figuras. Depois, pedir que pintem de uma cor todos os quadriláteros que possuem quatro ângulos retos. Perguntar que nome se dá a esses paralelogramos. É provável que os estudantes questionem a inclusão do quadrado nesse grupo. Por isso, é importante ficar claro que o critério de possuir quatro ângulos retos inclui os quadrados. Utilizando a mesma folha de sulfite, pedir que pintem todos os paralelogramos que possuem os lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. Caso seja necessário, pedir que meçam os lados. Comentar que eles são chamados de losangos e, novamente, enfatizar que os quadrados estão incluídos nesse critério. Solicitar que registrem essas conclusões.

Promover um diálogo com os estudantes para que eles possam comunicar suas ideias e compartilhar as dúvidas que podem surgir nesse processo. Ao final, é importante fazer o registro do que foi aprendido. É importante que os estudantes percebam que o quadrado possui as mesmas características do losango e do retângulo. Por fim, retomar os critérios de classificação e as definições trabalhadas até aqui. Fazer questionamentos aos estudantes como: Por que o trapézio não é classificado como um paralelogramo?, Quais as características do quadrado que permitem que

Quadrado

É um paralelogramo que tem os quatro lados congruentes e os quatro ângulos retos

Como o quadrado apresenta características comuns aos retângulos e aos losangos, dizemos que o quadrado é um caso particular de retângulo e um caso particular de losango, como mostra o esquema a seguir.

paralelogramos losangos

quadrados

retângulos

TRAPÉZIOS

O trapézio é o quadrilátero que possui apenas dois lados paralelos. Esses dois lados paralelos são as bases do trapézio. No trapézio ABCD da figura a seguir, os lados AB e CD são as bases, pois AB // CD

Os trapézios podem ser classificados de acordo com algumas características comuns.

Os dois lados não paralelos têm medidas diferentes.

Os lados não paralelos são congruentes.

Têm dois ângulos internos retos.

São chamados de trapézios escalenos

São chamados de trapézios isósceles

ele possa ser considerado um caso particular de retângulo, um caso particular de losango? Ouvir as respostas dadas por eles, fazer anotações na lousa e observar os pontos que merecem ser retomados. É importante também valorizar todas as participações, fazendo complementos ou questionamentos que os ajudem a compreender melhor o conteúdo abordado.

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São chamados de trapézios retângulos

4. I. F. Porque existem retângulos que não são quadrados.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

II. V. Os quadrados têm todos os lados de mesma medida, como os losangos.

III. V. Os lados paralelos do trapézio são dois lados opostos.

IV. F. Há paralelogramos que não têm todos os lados congruentes, como os retângulos.

1. As retas a e b são paralelas. Helena desenhou alguns quadriláteros na região entre essas retas.

Figura1.Figura2.Figura3.Figura4.Figura5.

Observe atentamente os desenhos de Helena e responda às perguntas a seguir.

a) Quais dessas figuras são paralelogramos?

b) Dentre os quadriláteros, qual(is) figura(s) é(são):

• um retângulo?

• um quadrado?

c) Quais desses quadriláteros desenhados são trapézios?

d) Dentre os trapézios, qual deles é um trapézio retângulo?

2. (Saresp-SP) Observe o hexágono regular CAMELO. Unindo os vértices C, M, L e C com segmentos de reta, formamos um triângulo. Unindo da mesma forma os vértices A , M, L, O e A , nessa ordem, formamos um quadrilátero. Os polígonos formados são:

Alternativa d.

a) um triângulo retângulo e um quadrado.

b) um triângulo isósceles não equilátero e um quadrado.

c) um triângulo escaleno e um quadrilátero qualquer.

d) um triângulo equilátero e um quadrilátero que é retângulo.

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Link

GOMES, Izilda Baraviera; FRANCO, Valdeni Soliani. Jogos como Recursos Pedagógicos no Ensino da Geometria: Uma Experiência com Alunos do Ensino

Fundamental. In: Os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do professor PDE: Produções Didático-Pedagógicas. Curitiba: Secretaria da Educação do Estado do Paraná, 2013. v. II.

3. Alguns quadriláteros foram representados na malha quadriculada.

Atividades

Para resolver essas atividades, organizar a turma em duplas para facilitar a troca de ideias. Orientálos a consultar as definições no Livro do estudante sempre que necessário.

Se possível, levar os estudantes para ambientes abertos, organizar a turma em grupos com quatro integrantes e pedir-lhes que observem nesses ambientes a maior quantidade possível de objetos que lembrem triângulos e quadriláteros. Em seguida eles devem registrar no caderno o nome do objeto, a figura que ele lembra e classificá-la de acordo com o conteúdo estudado. Por exemplo, se o objeto observado lembrar um triângulo, tentar classificá-lo quanto à medida dos lados ou quanto aos ângulos internos.

Escreva quais deles são:

a) paralelogramos.

b) trapézios.

4. Classifique cada afirmação em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique.

I. Todo retângulo é um quadrado.

II. Todo quadrado é um losango.

III. Os trapézios têm um par de lados opostos paralelos.

IV. Todo paralelogramo é um losango.

01/09/22 14:22

On-line. Disponível em: http://www.diaadiaeducacao. pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_ pde/2013/2013_uem_mat_pdp_izilda_baraviera.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

No link, é possível ter acesso a várias referências de jogos a serem usados nas aulas de geometria.

Na atividade 2, orientar os estudantes a reproduzir o hexágono regular no caderno, caso sintam necessidade de traçar os segmentos de reta indicados na atividade.

Figuras 1, 3 e 4.

Figuras 3 e 4. Figura 3.

Figuras 2 e 5. Figura 2.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Preparar, com antecedência, o material necessário para a realização da atividade proposta no boxe Pense e responda.

Os estudantes deverão copiar a figura apresentada e anotar a quantidade de quadradinhos. No item b, deverão construir uma nova figura dobrando as medidas de cada um dos lados, fazendo, assim, uma ampliação. Já no item c deverão reduzir as dimensões da figura à metade. A atividade proposta contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA21. Ler o texto com os estudantes e pedir que reflitam sobre o fator de ampliação ser sempre maior do que 1 e o de redução, menor do que 1. Pedir que argumentem sobre isso e ouvir as hipóteses levantadas.

CAPÍTULO6 CONSTRUÇÃO E AMPLIAÇÃO DE FIGURAS PLANAS

AMPLIAÇÃO E REDUÇÃO DE FIGURAS

PENSE E RESPONDA

Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Reproduza a figura a seguir em uma malha quadriculada e faça o que se pede.

a) Determine quantos lados de quadradinhos compõem cada lado dessa figura.

b) Na mesma malha, desenhe uma figura com o mesmo formato da figura anterior, mas duplicando a quantidade de lados de quadradinhos que compõem cada lado da figura original.

c) Ainda na mesma malha e mantendo o mesmo formato, desenhe outra figura reduzindo à metade a quantidade de lados de quadradinho que compõem cada lado da figura original.

A figura obtida no item a é uma ampliação da figura original, pois, ao aumentar de tamanho, ela não sofreu deformação, ou seja, o formato da figura original foi mantido. Como a quantidade de lados de quadradinhos foi duplicada da figura original para a figura ampliada, dizemos que, neste caso, o fator de ampliação é 2.

Do mesmo modo, a figura obtida no item b é uma redução da figura original, pois, ao diminuir de tamanho, ela não sofreu deformação, ou seja, seu formato original foi mantido. Como a quantidade de lados de quadradinhos foi reduzida à metade da figura original para a figura reduzida, dizemos que, neste caso, o fator de redução é 0,5.

Para obter a imagem ampliada de uma figura, o fator de multiplicação deve ser um número maior do que 1; já para a redução, esse valor deve ser um número menor do que 1.

Podemos também realizar a ampliação e a redução de figuras geométricas planas, como polígonos, usando malha quadriculada. Dado um polígono representado em uma malha quadriculada, para obter sua imagem ampliada ou reduzida, basta multiplicar pelo fator de ampliação ou de redução a quantidade de lados de quadradinho que compõe cada lado do polígono original.

AMPLIANDO

Vídeo

AMPLIAÇÃO ou redução? 2018. Vídeo (11min59s). Publicado pelo canal Khan Academy Brasil. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=h4Kf1w4

LBVQ&t=2s. Acesso em: 20 ago. 2022.

No link, é possível ter acesso a uma videoaula sobre ampliação e redução de figuras.

Considere o triângulo original representado a seguir e, na mesma malha, faça:

1 uma ampliação de fator 3 do triângulo original. Para isso, vamos triplicar a quantidade de lados de quadradinho que compõe os lados da figura original, obtendo o triângulo ampliado.

2 uma redução de fator 0,25 ou 1 4 do triângulo original. Para isso, vamos dividir a quantidade de lados de quadradinho que compõe os lados do triângulo original por 4, obtendo o triângulo reduzido.

Note que nas duas situações o formato do triângulo foi mantido, não sofrendo deformações.

O PLANO CARTESIANO

Vamos supor que o esquema a seguir represente parte de uma cidade planejada. Três amigos, Ana, Beto e Carlos, combinaram de se encontrar na praça. Ana está dirigindo o carro verde, Beto, o carro laranja, e Carlos está no carro vermelho. Observe.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O plano cartesiano Provavelmente, os estudantes já tiveram a oportunidade de desenvolver as primeiras noções de coordenadas cartesianas utilizando a localização de objetos no plano. Verificar o conhecimento que os estudantes adquiriram nos anos anteriores e valorizar as experiências que tiveram. Se for oportuno, convidar o professor de Geografia para desenvolver um trabalho interdisciplinar, pois o plano cartesiano pode ser explorado para auxiliar na localização em mapas em coordenadas de latitude e longitude. Uma atividade interessante para ampliar o conteúdo do trabalho é propor aos estudantes a representação do esquema do Livro do estudante. Para isso, providenciar folhas, de preferência milimetradas, e distribuir uma a cada estudante. Pedir que utilizem uma régua e orientá-los a representar a posição de cada amigo e como poderiam prosseguir para se encontrar na praça. Caminhar pela sala acompanhando a execução do trabalho de cada estudante.

Tomando como referência a praça e numerando as quadras a partir dessa referência nas direções horizontal e vertical, podemos dizer que:

• Ana, no carro verde, está a 1 quadra à direita e a 1 quadra acima da praça.

• Beto, no carro laranja, está a 3 quadras à direita e a 2 quadras acima da praça.

• Carlos, no carro vermelho, está a 5 quadras à direita e a 0 quadra acima da praça.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Se for conveniente, pedir aos estudantes que façam uma pesquisa sobre o filósofo e matemático René Descartes. Orientá-los a direcionar a pesquisa para conhecer um pouco mais sobre a história de Descartes e como ele desenvolveu a ideia de representar a posição de um ponto no plano.

O objetivo aqui é associar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante e reconhecer o plano cartesiano como um instrumento que pode ser usado para fazer localização, contribuindo para o desenvolvimento da habilidade EF06MA16. É importante que os estudantes saibam nomear os elementos na representação de um plano cartesiano.

Enfatizar que o par ordenado (x, y) significa que o primeiro número do par se encontra no eixo x e o segundo número no eixo y. Perguntar aos estudantes se o ponto correspondente ao par ordenado (3, 2) é o mesmo que (2, 3). Pedir a eles que façam a representação desses dois pontos no plano cartesiano. Espera-se que os estudantes percebam a diferença de localização entre eles.

Se possível, convidar o professor de Geografia para desenvolver um trabalho sobre coordenadas geográficas, que localiza pontos determinados pela latitude e pela longitude (essa localização dos pontos lembra um plano cartesiano). Assim, é possível mostrar aos estudantes que o sistema de coordenadas geográficas permite localizar qualquer ponto na superfície da Terra, combinando os paralelos e os meridianos entre si.

Essas coordenadas geográficas são utilizadas em aparelhos de GPS.

Note que para localizar cada carro no esquema foi preciso informar a posição dele em duas direções – horizontal (número de quadras à direita) e vertical (número de quadras acima) – em relação a um referencial (praça), tomado como origem da contagem das quadras.

Essa situação é um exemplo de como podemos indicar a localização de pontos no plano usando números em certa ordem, que indicam coordenadas em um sistema ordenado e direcionado.

Essa ideia de representação de um ponto no plano por meio de coordenadas foi lançada pelo filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), em um trabalho publicado em 1637. Descartes mostrou que, usando como referência um par de retas que se cruzavam, seria possível construir um sistema no qual números, em certa ordem, poderiam estar associados a pontos no plano.

Desse modo, foi desenvolvido o plano cartesiano ou o sistema de coordenadas cartesianas que consiste em:

• Duas retas perpendiculares: uma horizontal, chamada de eixo x, e outra vertical, chamada de eixo y

• O ponto O de intersecção dos dois eixos recebe o nome de origem do plano

Na representação a seguir, em relação ao ponto O, origem do plano cartesiano, um ponto P está a uma distância horizontal de x unidades e a uma distância vertical de y unidades. Desse modo, podemos indicar a posição do ponto P, usando duas coordenadas, uma no eixo x e outra no eixo  y, nessa ordem, que representamos pelo par ordenado (x, y)

Todo ponto no plano cartesiano está associado a um par ordenado de coordenadas (x, y).

Associando a origem do plano cartesiano ao ponto de coordenadas (0, 0) e numerando os eixos cartesianos em ordem crescente no sentido indicado pelas setas, obtemos a seguinte representação do plano cartesiano.

Representando a situação anterior, dos amigos a caminho da praça, no plano cartesiano, temos:

Portanto, a posição de cada amigo pode ser indicada por um par ordenado:

• A praça está na posição (0, 0).

• Ana está na posição (1, 1).

• Beto está na posição (3, 2).

• Carlos está na posição (5, 0).

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AMPLIANDO Vídeo

AS AVENTURAS do Geodetetive 6: GPS. 2012. Vídeo (9min57s). Publicado pelo canal M3 Matemática Multimídia. Disponível em: https://www.youtube.com/ watch?v=2jEgSZwm-nk. Acesso em: 20 ago. 2022.

Nesse vídeo, é possível ter acesso a uma videoaula sobre o funcionamento do GPS.

CONSTRUINDO POLÍGONOS NO PLANO CARTESIANO

Estudamos na Unidade 3 que o encontro de arestas determina um vértice e que os vértices são pontos. Além disso, nesta Unidade, conhecemos o plano cartesiano e aprendemos como nele representar pontos associados a pares ordenados.

A partir desses dois conhecimentos, podemos, então, usar o plano cartesiano para auxiliar na construção de polígonos por meio do posicionamento de seus vértices no plano cartesiano e extrair informações sobre o polígono a partir das coordenadas dos vértices. Vamos acompanhar como Daniel desenhou um quadrado no plano cartesiano?

1a etapa: Daniel escolheu um ponto qualquer no plano cartesiano para marcar o primeiro vértice.

2a etapa: Como queria um quadrado com medida de lado igual a 4 unidades de comprimento, marcou os outros três vértices que atendessem a esse requisito.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Construindo polígonos no plano cartesiano

Para ampliar o trabalho com a construção de polígonos no plano cartesiano, solicitar, após a leitura do texto apresentado no Livro do estudante, que construam no caderno outros polígonos; fornecer a eles algumas coordenadas e solicitar as construções. As etapas propostas contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF06MA16 e EF06MA23.

Se considerar conveniente, pedir a eles que formem duplas; cada estudante deve fornecer os pares ordenados correspondentes aos vértices de um polígono, para que o colega obtenha esse polígono. Incentivar a troca de ideias entre eles. É importante que eles se comuniquem e façam anotações de suas observações e possíveis dúvidas.

3a etapa: Por fim, traçou as arestas, finalizando a construção.

Alguns jogos que envolvem ideias de localização em um plano podem ser utilizados para desenvolver atividades lúdicas com a turma. Por exemplo, desenvolver com eles um jogo que lembre batalha naval.

Vale lembrar que o uso de jogos nas aulas de Matemática proporciona maior interação entre os estudantes, e pode incentivar a cooperação e participação deles. Para que isso ocorra é necessário planejar o tipo de jogo que será aplicado, estabelecer os objetivos a serem alcançados e o tempo que será dedicado para desenvolvê-lo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Antes de pedir aos estudantes que respondam às questões da seção, sugerir que eles analisem os pares ordenados referentes ao quadrado representado por Daniel na página anterior. É importante que os estudantes percebam que existe um padrão entre os pontos que determinam um segmento de reta horizontal ou vertical. Para isso, pedir que retomem o exemplo dado no Livro do estudante e que observem os pontos que determinam os segmentos horizontais AB e CD Perguntar a eles qual coordenada se mantém nos extremos do segmento AB. Relacionar esse número com a ordenada y Mostrar que isso também acontece no segmento CD e em todos os segmentos horizontais.

Então, para responder à questão 1, basta observar em quais pontos as ordenadas têm o mesmo valor. A e C, por exemplo, têm a ordenada 5.

É relevante observar que o comprimento do segmento é a distância entre os dois pontos que o nomeiam. Esse conceito será utilizado nos demais trabalhos com distância no plano cartesiano que virão nos anos escolares seguintes. A ideia aqui é que os estudantes tenham um primeiro contato com a geometria analítica. Incentivar as trocas de ideias entre os estudantes, permitindo que eles ajudem os colegas que não compreenderam determinada questão.

Vamos observar os pares ordenados dos vértices do quadrado que Daniel desenhou.

• A(3, 2)

• B(7, 2)

• C(7, 6)

• D(3, 6)

Como o quadrado tem lado de medida 4 unidades de comprimento (u.c.), sabemos que: med() AB = med() BC = med() CD = med() DA = 4 u.c.

Com isso, vamos analisar as coordenadas dos vértices que definem os lados do quadrado.

• AB 7 3 = 4

A(3, 2) B(7, 2)

• BC 6 2 = 4

B(7, 2) C(7, 6)

• CD 7 3 = 4

D(3, 6) C(7, 6)

• DA 6 2 = 4

A(3, 2) D(3, 6)

Então, percebemos que, se os pontos estão alinhados na horizontal, ao subtrairmos os valores referentes ao eixo x, obtemos a medida de comprimento do segmento de reta definido por esses pontos.

De modo similar, se os pontos estão alinhados na vertical, ao subtrairmos os valores referentes ao eixo y, obtemos a medida de comprimento do segmento de reta definido por esses pontos.

1. Segmento de reta horizontal: pontos A e C; segmento de reta vertical: pontos B e D. Resposta pessoal; med () AC = 4 u.c.

Responda às questões no caderno.

1. Dados quatro pontos A(4, 5), B(3, 8), C(8, 5) e D(3, 16), quais pontos determinam um segmento de reta horizontal e quais determinam um segmento de reta vertical? Como você faria para calcular a medida de comprimento deles?

2. Indique dois pontos (E e F ) que determinem um segmento de reta vertical com o dobro do comprimento do segmento vertical da atividade anterior.

3. Indique dois pontos (G e H ) que determinem um segmento de reta horizontal com a metade do comprimento do segmento horizontal da atividade 1

e med () BD = 8 u.c.

2. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x, e o comprimento deve ser de 16 u.c.

3. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y, e o comprimento deve ser de 2 u.c.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Localize no plano cartesiano os pontos:

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desta página contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23.

a) A(2, 5).

b) B(3, 6). c) C(4, 0). d) D(1, 1). e) E(0, 3). f) F(6, 3).

2. Use papel milimetrado e construa os segmentos de reta AB e PR, sabendo que:

a) A(5, 2) e B(1, 4). b) P(2, 2) e R(3, 4).

3. Observe as retas r e s que se cruzam no ponto P.

c) Em uma folha de papel quadriculado, represente um plano cartesiano. Em seguida, faça a ampliação do quadrado ABCD com fator de ampliação 2 e indique as coordenadas dos vértices da figura ampliada A’B’C’D’, sabendo que o ponto A’ coincide com o ponto A

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. Observe o triângulo ABC no plano cartesiano a seguir.

Para as atividades 1 e 2 é interessante providenciar papel milimetrado e orientar os estudantes a utilizar uma régua para fazer o traçado do plano cartesiano e dos segmentos de reta. Na atividade 1, ressaltar a ideia de que os pontos B(3, 6) e F(6, 3) estão localizados em lugares diferentes do plano cartesiano.

Agora, responda.

A(2, 1); B(6, 1); C(2, 3)

a) Quais são as coordenadas de cada um dos vértices desse triângulo?

b) Quantas unidades de comprimento tem o segmento de reta AC?

c) Quantas unidades de comprimento tem o segmento de reta AB?

Dê as coordenadas cartesianas do ponto:

a) P b) A c) B d) C

P(4, 2) A(6, 0) B(0, 6) C(2, 0)

4. Observe este plano cartesiano.

A(1, 1);

Agora, responda.

a) Quais são as coordenadas de cada vértice do quadrado ABCD?

b) Quantas unidades de comprimento tem os lados do quadrado?

d) Em uma folha de papel quadriculado, represente um plano cartesiano. Em seguida, desenhe a redução com fator 0,5 do triângulo ABC e indique as coordenadas dos vértices da figura reduzida A’B’C’, sendo A e A’ pontos coincidentes DESAFIO

Na atividade 5, verificar se os estudantes lembram que os vértices do triângulo são pontos e que podem, no plano cartesiano, ser identificados por um par de coordenadas (x, y). Incentivá-los a explicar oralmente como determinaram o comprimento dos segmentos de reta.

Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. Em um sistema cartesiano, os pontos A(12, 7) e C(9, 4) são vértices opostos de um quadrado ABCD. Troque ideias com um colega e faça o que se pede.

a) Descubra as coordenadas dos outros dois vértices, descrevendo passo a passo as etapas para obtê-los.

b) Represente o polígono em uma folha de papel quadriculado.

Depois de realizarem as atividades, pedir aos estudantes que elaborem uma questão que envolva os conceitos estudados sobre plano cartesiano e, após a elaboração, troquem as questões entre si para resolvê-las.

Se considerar conveniente, solicitar aos estudantes uma pesquisa sobre a utilização do plano cartesiano. É importante que eles relacionem os conceitos estudados com outras áreas do conhecimento e com atividades do cotidiano. Vale ressaltar que o estudo do sistema de coordenadas cartesianas é muito importante na Matemática e será utilizado nos anos seguintes. O plano cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções em que os valores relacionados a x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função.

6. a) (9, 7) e (12, 4); resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

6. b) Resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de explorar o software GeoGebra para a construção e ampliação de polígonos, contribuindo para o desenvolvimento das habilidades EF06MA21, EF06MA22 e EF06MA23.

Além de explorar esse recurso em sala de aula, é interessante que os estudantes utilizem outros recursos e instrumentos para fazer as ampliações de polígonos. O mais importante, em qualquer recurso utilizado, são os questionamentos e as reflexões que levam os estudantes à construção de conhecimentos e conceitos associados a esse tema. Muitas vezes as ideias associadas à ampliação, redução e semelhança de figuras, que são conceitos importantes na Matemática, precisam ser ampliadas e aprofundadas para se chegar a uma formalização. O uso dos termos e a sua compreensão são necessários para a comunicação correta. Ao final, é importante sistematizar os conceitos trabalhados.

CONSTRUÇÃO E AMPLIAÇÃO DE POLÍGONOS COM UM SOFTWARE DE GEOMETRIA

Vamos estudar como construir polígonos regulares e não regulares e como ampliá-los e reduzi-los utilizando as seguintes ferramentas do software GeoGebra.

Polígono Polígono Regular Homotetia

Construindo um polígono qualquer

Acompanhe os passos a seguir para a construção de qualquer tipo de polígono.

1 Selecione a ferramenta Polígono e clique, com o botão esquerdo do mouse, na Janela de visualização, para criar os pontos que serão os vértices do polígono a ser construído.

2 Para finalizar, selecione o primeiro ponto para fechar o polígono.

Construindo um polígono regular

Homotetia é o nome de um tipo de transformação (ampliação e redução) no plano de figuras.

Acompanhe os passos a seguir para a construção de um polígono regular.

1 Selecione a ferramenta Polígono Regular e clique, com o botão esquerdo do mouse, na Janela de visualização, para criar dois pontos quaisquer. A distância entre esses dois pontos determinará a medida do lado do polígono.

2 Selecione o número de vértices do polígono regular na janela que abrirá na tela e, em seguida, clique em OK

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FOTOGRAFIAS: REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

Ampliando e reduzindo polígonos

Usando a ferramenta Homotetia, é possível ampliar ou reduzir um polígono previamente desenhado. Para isso, siga os passos a seguir.

1 Construa um polígono qualquer. Em seguida, marque um ponto na tela.

2 Clique na ferramenta Homotetia, depois sobre o polígono e sobre o ponto na tela. Por fim, defina o fator de ampliação (número maior do que 1) ou o fator de redução (número menor do que 1) e selecione OK

No exemplo a seguir, o polígono A’B’C’D’ é uma ampliação (fator 2) do polígono original ABCD, e o polígono A”B”C”D” é uma redução (fator 0,5) do polígono original.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Solicitar que os estudantes ampliem figuras planas sobre uma malha quadriculada. É importante que eles tentem ampliar as figuras utilizando as próprias estratégias. Ao fim, perguntar a eles se todas as imagens são de fato ampliações. É possível que algumas delas não tenham sido ampliadas corretamente. Se isso ocorrer, ajudá-los a fazer os ajustes necessários.

Junte-se a um colega, e explorem a construção de polígonos e a ampliação e redução de figuras usando o GeoGebra. Juntos resolvam as atividades a seguir.

1. Usando as ferramentas apresentadas, construa:

a) um polígono não regular de 4 lados.

b) um polígono regular de 4 lados.

c) um polígono não regular de 3 lados.

d) um polígono regular de 3 lados.

Respostas pessoais.

É importante que eles percebam que as figuras só serão ampliações da imagem usada como referência se a proporção de suas dimensões for mantida. Por exemplo, se o comprimento foi triplicado, a largura também precisa ser triplicada; caso contrário, a imagem ficará distorcida. É interessante que os estudantes percebam que, neste momento, a régua é um instrumento utilizado apenas para traçar segmentos e que o quadriculado é suficiente para calcular essa proporção. Explicar aos estudantes que muitas máquinas copiadoras que fazem ampliações ou reduções geralmente utilizam a homotetia como princípio em seu funcionamento.

2. Escolha um polígono da atividade 1 e, usando a ferramenta Homotetia, faça duas transformações: uma com o valor do fator maior do que 1 e outra com o valor do fator entre 0 e 1, excluindo esses valores.

Respostas pessoais.

3. Com base nas construções da atividade 2, podemos afirmar que a homotetia permite somente a ampliação de figuras?

Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando o fator é maior do que 0 e menor do que 1.

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ATIVIDADE: Proporção em Geometria. Clubes de Matemática da OBMEP. [S. l.], [20--]. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/atividade-propor cao-em-geometria-2/#O6. Acesso em: 20 ago. 2022. Nesse link, é possível acessar textos e vídeos para obter mais informações e ampliar o conhecimento sobre o conteúdo tratado nestas páginas.

REPRODUÇÃO/GEOGEBRA

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo desta seção é dar oportunidade aos estudantes para retomarem o conteúdo estudado e sanar possíveis dúvidas que ainda possam persistir sobre o que foi estudado na Unidade.

É interessante que estas atividades sejam realizadas individualmente pelos estudantes. É importante que eles anotem os temas que encontraram maior dificuldade. Aproveite esta informação para orientá-los a fazer uma revisão desses temas.

Os estudantes devem buscar no Livro do estudante os conceitos nos quais ainda tenham dificuldade e consultar o cartaz que eles elaboraram ao longo da Unidade. Por fim, retomar na lousa as possíveis dúvidas que ficaram.

Se considerar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes que façam um esquema dos conteúdos trabalhados no decorrer da Unidade com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições.

Ao final, incentivá-los a elaborar questões para os colegas resolverem.

As atividades 1, 2 e 3 tratam da classificação de triângulos. Espera-se que os estudantes recordem as características dos triângulos para classificá-los em relação à medida dos lados e dos ângulos.

RETOMANDO APRENDEU O QUE

Responda às questões no caderno.

4. Alguns polígonos foram representados no plano cartesiano a seguir.

1. De acordo com as medidas dos lados, classifique a forma triangular que aparece na fotografia.

Triângulo equilátero.

Triângulo de sinalização que deve ser colocado a certa distância da parte traseira do veículo, caso ele esteja em uma emergência.

2. Nas suas aulas de Geometria e de Desenho, você usa os instrumentos das figuras a seguir. Eles são chamados de esquadros.

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x

a) Classifique esses polígonos quanto ao número de lados.

Esquadro 1. Esquadro 2. Que tipo de triângulo lembra a forma do:

a) esquadro 1?

b) esquadro 2?

3. A figura mostra um hexágono dividido em certo número de triângulos, todos do mesmo tamanho.

a) Quantos triângulos você observa na figura?

b) Que tipo de triângulo é cada um deles?

Triângulo escaleno. Triângulo isósceles. 6 triângulos. Equilátero.

b) Indique as coordenadas dos vértices do polígono que não é um paralelogramo.

c) Indique o polígono cujos vértices têm coordenadas (0, 0), (0, 2), (2, 0) e (2, 2).

Quadriláteros. (5, 5), (5, 7), (8, 5) e (7, 7). Quadrado.

d) Considere que cada lado de quadradinho meça 1 unidade de comprimento. Determine a medida dos lados do retângulo quando ele sofre uma redução de 80% em suas medidas.

O retângulo reduzido terá 0,4 u.c. por 0,8 u.c.

5. Helena está preparando uma atividade para os estudantes e desenhou alguns quadriláteros em papel quadriculado. Observe.

a) Quantos trapézios ela desenhou?

b) Quantas dessas figuras são paralelogramos?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

c) Entre os paralelogramos, há quantos losangos?

d) Entre os paralelogramos, há quantos quadrados?

6. (Saresp-SP) Observe a tabela a seguir e veja como ela foi organizada. O espaço destinado a figuras quadrangulares vermelhas é:

Vermelhas Azuis Verdes

Triangulares (I)

Quadrangulares (II) (III)

Pentagonais (IV)

a) I b) II c) III d) IV

7. (Saresp-SP) Um artista plástico está construindo um painel com ladrilhos decorados. Ele fez um esquema desse painel mostrado na figura e utilizou as formas de:

2 Alternativa b. Alternativa d.

a) quadrados e hexágonos.

b) triângulos e quadrados.

c) triângulos e pentágonos.

d) triângulos e hexágonos.

UM NOVO OLHAR

8. (OBM) Luana colou com fita adesiva 6 triângulos equiláteros nos lados de um hexágono, conforme a figura, obtendo um polígono de 12 lados.

Um novo olhar

Se ela trocar 3 triângulos por 2 quadrados e 1 pentágono regular, todos com lado de mesmo tamanho do lado do hexágono, ela vai obter um polígono com quantos lados?

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir diferentes reflexões e possibilidades para generalizações, além da retomada dos conteúdos apresentados. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada um dos conteúdos estudados na Unidade.

a) 14

b) 16

c) 17

9. Elabore uma atividade que utilize, em seu enunciado, a passagem ou a marcação de horas. Peça no enunciado a associação entre a hora utilizada e o menor ângulo determinado pelos ponteiros de um relógio. Em seguida, troque a atividade com um amigo, resolva a dele e, depois, corrija a sua.

Alternativa b. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

d) 18 e) 25

Na primeira questão, espera-se que os estudantes citem que o instrumento que pode ser utilizado é o transferidor. Explicar que o transferidor é graduado de 1° em 1° e que exige procedimentos próprios para seu uso. Ou seja, para medir um ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem, utiliza-se o transferidor para comparar a sua unidade de medida (grau) com a abertura do ângulo dado.

Nesta Unidade, foram explorados a noção de ângulo e sua medida, os polígonos de maneira geral e também polígonos específicos, como o quadrilátero e o triângulo. Além disso, estudamos também a ampliação e a redução de figuras, o plano cartesiano, a construção de polígonos nele, tanto no papel como com o uso de tecnologias digitais. Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

• Que instrumento de medida podemos utilizar para descobrir a medida de um ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem?

• Como definir um polígono?

Um transferidor.

É a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com sua região interna.

• Que características diferenciam um triângulo de um quadrilátero?

Um possui três lados e três ângulos internos, enquanto o outro possui quatro lados e quatro ângulos internos.

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A segunda questão trata da definição de polígono. Espera-se que os estudantes sejam capazes de se expressar de maneira clara e precisa, descrevendo as características e propriedades do polígono. Pode-se ampliar as definições que se desdobraram a partir da definição de polígono para as definições de polígonos convexos, não convexos e regulares.

No terceiro questionamento, espera-se que os estudantes percebam que a diferença entre um triângulo e um quadrilátero está na quantidade de lados e de ângulos que cada um possui. É importante incentivar os estudantes a usarem expressões menos informais para descreverem as características de polígonos, por exemplo.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 4, 7, 9 e 10

Competências específicas:

• 2, 3 e 6

Habilidades:

Grandezas e medidas

• EF06MA24

• EF06MA28

• EF06MA29

Probabilidade e estatística

• EF06MA31 • EF06MA32

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Educação para o Consumo

• Educação Ambiental

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos e apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados, atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para a formação integral dos estudantes, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3 e 6 da área de Matemática. No primeiro capítulo, são exploradas algumas unidades de medida comprimento e as transformações das unidades de medida de comprimento, o que favorece a apropriação de aspectos da habilidade EF06MA24. No segundo capítulo, aborda-se o cálculo do perímetro de um polígono. No terceiro capítulo, exploram-se as unidades de medida de superfície. No quarto capítulo, aborda-se a área de figuras geométricas planas. Esses temas favorecem o desenvolvimento das habilidades EF06MA24 e EF06MA29.

OBJETIVOS

• Conhecer algumas unidades de medida de comprimento não padronizadas.

• Identificar o metro como unidade padrão de medida de comprimento.

UNIDADE COMPRIMENTO E ÁREA 8

A produção de lixo é um dos grandes problemas que a humanidade vem enfrentando. A necessidade de utilizar matéria-prima para a confecção de novos produtos e a destinação incorreta dos resíduos gerados causam a degradação do meio ambiente.

Resposta pessoal. Uma possível estratégia que os estudantes poderiam pensar é colocar o papel sobre cada face da caixa e demarcar a quantidade necessária para cada lado. A quantidade total de material é a soma da quantidade de papel utilizada em cada um dessas partes demarcadas.

Para reduzir o impacto da grande produção de lixo, criou--se o conceito dos cinco Rs: reduzir (o consumo), repensar (o consumo), reutilizar (os produtos), reciclar (os produtos) e recusar (não consumir produtos de empresas que não respeitam o meio ambiente).

Os cinco Rs visam conscientizar as pessoas de seus hábitos, levando-as a refletir sobre suas necessidades reais de consumo.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Agora, responda às questões a seguir no caderno.

• Suponha que você queira revestir a parte externa de uma caixa com papel. Que estratégias utilizaria para saber quanto de papel seria necessário?

• Você consegue imaginar outras situações em que medir seja uma ação importante e necessária? Quais?

Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

• Você conhecia os cinco Rs? Saber qual é a diferença entre reciclar e reutilizar?

Resposta pessoal. Reciclar é fazer um produto com a matéria-prima de outro produto, por exemplo, reciclar latas para fazer uma panela. Reutilizar é dar um novo uso para um produto usado e que seria descartado.

• Reconhecer e compreender os múltiplos e submúltiplos do metro.

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• Interpretar, descrever e desenhar plantas baixas.

• Reconhecer o centímetro quadrado, o metro quadrado e o quilômetro quadrado como unidades de medida de área.

• Identificar o hectare como unidades de medida agrária.

• Compreender o conceito de área.

• Compreender a proporcionalidade entre a

medida do perímetro e a medida do comprimento do lado do quadrado.

• Interpretar e resolver problemas que envolvem dados de pesquisas sobre contextos ambientais apresentados em gráficos.

JUSTIFICATIVAS

DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade, apresenta-se o estudo das unidades de medida de comprimento, perímetro

DOTTA2 MILOS

VUCICEVIC/ SHUTTERSTOCK.COM

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO.

de um polígono, unidades de medida de superfície e a área de figuras planas. Desse modo, pretende-se favorecer o desenvolvimento da habilidade EF06MA24.

A discussão proposta no boxe Fórum, favorece o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação Ambiental e Educação para o Consumo.

Na seção Tratamento da informação, apresentam-se alguns dados sobre o desmatamento

Material necessário:

• Embalagem vazia

• Régua

• Tesoura com pontas arredondadas

• Papel para revestir

• Cola escolar

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A abertura desta Unidade explora alguns conceitos referentes à ideia de medidas, reaproveitamento de embalagens e redução do consumo.

As questões propostas na abertura podem ser realizadas utilizando-se material concreto; para isso, solicitar aos estudantes que providenciem caixas de papelão de diferentes tamanhos e utilizem, por exemplo, jornal ou outro tipo de papel que seja de fácil acesso para eles, para explorarem diferentes possibilidades de revestir as caixas. É interessante estipular duas regras:

• Caso falte papel, será necessário escrever um texto explicitando a estratégia utilizada e o possível motivo da falta e, por meio dessa justificativa, solicitar mais papel.

• Caso sobre muito papel, será necessário escrever um texto explicando os motivos para o ocorrido e a importância de evitar o desperdício.

na Amazônia Legal, para isso, são utilizados recursos como gráfico de segmentos e um mapa. Além da interpretação dos dados apresentados, a seção contribui para o desenvolvimento das habilidades EF06MA31 e EF06MA32 e das competências gerais 4 e 7 e das competências específicas 3 e 6 da área de Matemática.

A motivação para as duas regras é a mesma, evitar desperdício de papel, o que pode ser discutido em um contexto socioecológico, e destacar a importância do planejamento e de noções espaciais e aritméticas. Desse modo, contribui-se para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação para o Consumo e das competências específicas 2, 3 e 6 da área de Matemática. Para finalizar, é interessante perguntar aos estudantes que estratégias utilizariam para estimar a área. Cabe destacar que, nesse momento, o objetivo não é encontrar dados precisos, e sim estimados. Pretende-se apenas possibilitar aos estudantes uma primeira visualização do que é medir uma superfície.

Existem várias maneiras de reutilizar materiais em vez de comprar um novo produto. Observe uma maneira de reaproveitar uma embalagem.

FOTOGRAFIAS: DOTTA2

MILOS VUCICEVIC/ SHUTTERSTOCK.COM

Posicione o papel sobre um dos lados da caixa e recorte-o do tamanho desse lado da caixa.

Repita o primeiro passo para todos os lados da caixa, inclusive para a tampa, se houver.

Passe cola em cada lado da caixa, posicione o papel referente a esse lado e cole o papel.

Repita o terceiro passo para todos os lados da caixa, inclusive para a tampa, se houver.

BRKART/SHUTTERSTOCK.COM

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Unidades de medida de comprimento

Comentar com os estudantes que estudiosos acreditam que nas civilizações antigas o ato de medir surgiu de maneira intuitiva e que provavelmente estava relacionado à necessidade de controlar quantidades. Explorar com eles a ideia de usar partes do corpo como unidade de medida (medidas antropométricas), como destaca o texto a seguir.

Entretanto, essas maneiras de medir não eram precisas e se diferenciavam de indivíduo para indivíduo, causando confusões e dificuldades na comunicação. A partir do momento que o homem começou a viver em comunidade foi se tornando imprescindível a criação de maneiras de medir que possibilitassem o convívio em sociedade e negociações justas entre todos em qualquer lugar. Começou, assim, a busca nas civilizações por medidas-padrão.

POZEBON, Simone; LOPES, Anemari Roesler Luersen Vieira. Grandezas e medidas: surgimento histórico e contextualização curricular. In: Congresso Internacional de Ensino de Matemática, 6., 2013, Canoas. Anais [...]. Canoas: Ulbra, 2013. Documento digital não paginado. Disponível em: http://www. conferencias.ulbra.br/index.php/ ciem/vi/paper/viewFile/971/908.

Acesso em: 16 ago. 2022. É importante que os estudantes compreendam que medir é comparar grandezas de mesma natureza, portanto, quando as grandezas envolvidas não são de mesma natureza, torna-se inviável fazer uma comparação.

Pense e responda

Após a leitura do questionamento, fazer perguntas aos estudantes como: O que será mensurado?; Qual instrumento foi utilizado para realizar a medição?. Espera-se que os estudantes identifiquem que o objetivo de Marcos, Serginho e Isabela era cada um medir a própria altura e que o instrumento escolhido

UNIDADES DE MEDIDA DE COMPRIMENTO CAPÍTULO1

Houve um tempo em que as pessoas utilizavam partes do corpo como unidade de medida.

Com o desenvolvimento do comércio, da navegação, das construções, da agricultura, entre outras atividades, as medições ficaram mais complexas, o que tornou um tanto confusa a maneira de medir utilizando partes do próprio corpo.

polegada palmo

PENSE E RESPONDA

pé passo

Responda à questão no caderno.

Marcos, Serginho e Isabela resolveram medir suas alturas usando um mesmo pedaço de barbante. Observe quanto cada um contou.

Eu sou o Marcos. Contei 13 pedaços.

Qual deles é o mais baixo? Justifique.

Eu sou o Serginho e contei 16 pedaços.

Eu sou a Isabela e contei 14 pedaços.

Marcos, porque contou o menor valor em pedaços de barbante.

DIFERENTES POVOS, MEDIDAS DIFERENTES

Os egípcios usavam o cúbito (distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio) como unidade de medida comprimento.

A solução que os egípcios encontraram para evitar a confusão causada pela diferença de tamanho entre uma pessoa e outra foi fixar um cúbito padrão, hoje equivalente a 52,4 centímetros, construído em barras de pedra ou madeira.

Fragmentos de cúbito padrão do antigo Egito.

por eles para realizar essa medição foi um pedaço de barbante. É importante que eles percebam que o pedaço de barbante usado foi o mesmo para todos. Perguntar se seria possível responder à pergunta feita na seção se cada um tivesse usado um pedaço de barbante com um comprimento diferente. Pedir que justifiquem suas respostas e fazer anotações na lousa. Se considerar necessário, enfatizar que o instrumento de medição escolhido deve ser o mesmo para realizar todas as medições desejadas.

AMPLIANDO

Atividade complementar

O objetivo desta atividade é trabalhar com medições usando uma unidade não padronizada.

• Medir a largura da carteira utilizando o comprimento de uma borracha ou de um lápis como unidades de medida.

• Medir o comprimento da lousa utilizando a unidade que considerar conveniente.

Outros povos também usavam o cúbito como unidade padrão de medida.

Os sumérios utilizavam um cúbito padrão equivalente a 49,5 centímetros, assim como os assírios, que usavam o cúbito padrão equivalente a 54,9 centímetros.

Os romanos usavam o pé (cerca de 30 centímetros) como unidade de medida para pequenas distâncias e a passada dupla, equivalente a cinco pés, para medir grandes distâncias. Mil passadas duplas constituíam uma nova unidade: a milha (mille passum). Essa unidade ainda hoje é usada com algumas modificações e vale, aproximadamente, 1 609 metros.

A partir de 1878, a Inglaterra passou a usar a jarda imperial e a libra imperial. A jarda, da palavra inglesa yard (vara), equivale a 0,9144 metro, e a milha (mil) corresponde a 1 760 jardas (yd) ou 1 609,3 metros.

Há ainda:

• o pé (ft) = 1 3 yd = 30,48 cm • a polegada (in) = 1 36 yd = 2,54 cm

UMA NOVA UNIDADE DE MEDIDA DE COMPRIMENTO

O fato de existirem diferentes sistemas de medida dificultava a comunicação entre as comunidades científicas e comerciais, e já no século XVII os cientistas apontavam a necessidade de um sistema que substituísse os vários existentes.

Com a Revolução Francesa, no fim do século XVIII, formou-se uma comissão que tinha como objetivo estabelecer uma unidade natural, isto é, que fosse buscada na natureza e pudesse ser facilmente copiada e estabelecida como um padrão de medida.

Havia, ainda, outra exigência a ser cumprida: essa unidade deveria ter múltiplos estabelecidos de acordo com o sistema de numeração decimal.

A comissão encarregada desses estudos escolheu a Terra como referência para definir as unidades de medida de comprimento. Um projeto com essas características foi apresentado e, assim, adotou-se o metro como unidade de base de comprimento, definido na época como a décima milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre.

Adotou-se como padrão para o metro a distância entre duas marcas numa barra de platina, depositada no Museu Internacional de Pesos e Medidas, na França. Uma cópia dessa barra encontra-se no Museu Histórico Nacional, no Rio de Janeiro.

Alguns países, como os Estados Unidos, não adotaram o Sistema Métrico Decimal, mantendo as unidades então utilizadas, como pés, polegadas e milhas.

O Sistema Métrico Decimal foi ampliado, aprimorado e recebeu a designação de Sistema Internacional de Unidades (SI), formalmente adotado pela 11a reunião da Conferência Geral de Pesos e Medidas, em 1960. O SI, utilizado como sistema de unidades universal, define os nomes, os símbolos e as unidades de medida fundamentais (unidades de base) e derivadas dessas, bem como os símbolos dos múltiplos e submúltiplos dessas unidades.

Atualmente, a definição de metro já não é a mesma. Em 1983, e segundo consta no SI, o metro foi definido como o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1 299 792 458 de segundo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Iniciar a leitura do texto com os estudantes e propor uma roda de conversa sobre as unidades utilizadas pelos antigos povos. Comentar sobre as dificuldades que, provavelmente, enfrentavam por não disporem de uma unidade de medida de comprimento padronizada, por exemplo, em transações comerciais entre locais com unidades de medidas diferentes. Comentar que algumas dessas unidades ainda são utilizadas, como a milha e a jarda, adotadas em alguns países da Europa.

Continuar a leitura do texto, pausando, quando necessário, para explicar cada parte e fazer questionamentos aos estudantes.

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• Medir a largura da porta da sala de aula usando o próprio pé como unidade de medida.

• Comparar os resultados das medições propostas com os valores das mesmas medições expressas com as unidades de medida de comprimento padronizadas.

Pedir aos estudantes que utilizem instrumentos como fita métrica, trena ou metro de pedreiro para medir comprimentos. Depois, solicitar a eles que expliquem

os critérios que utilizaram para escolher o instrumento de medida para cada objeto.

Pode-se propor aos estudantes que, em duplas, pesquisem unidades de medida não convencionais, por exemplo, jarda, pé, palmo, braça, vara, passo, passada, légua, polegada etc.

Reforçar a importância do surgimento do metro como unidade de medida padronizada de comprimento baseada no Sistema de Numeração Decimal. Por meio do uso do metro, é possível expressar medidas de comprimento nos mais diversos lugares do mundo, de modo que todos compreendam e possam utilizar as medidas obtidas. Comentar sobre o avanço obtido em termo de padronização e regulação de unidades de medida com o surgimento do Sistema Internacional de Unidades (SI) e que, sempre que houver dúvidas a respeito de unidades de medidas e suas características, estas podem ser solucionadas em consulta ao SI. Para conhecer mais sobre o SI, é possível consultar: SISTEMA Internacional de Unidades: SI. Duque de Caxias: Inmetro: Cicma: Sepin, 2012. 94 p. Disponível em: http:// www.inmetro.gov.br/inovacao/ publicacoes/si_versao_final.pdf (acesso em: 29 ago. 2022).

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O metro linear

O objetivo aqui é reconhecer o metro como unidade de comprimento padrão conhecendo seus múltiplos e submúltiplos. É importante que os estudantes identifiquem as unidades de medida adequadas para expressar o que é relativamente considerado grandes e pequenas distâncias. Antes de iniciar a leitura do texto proposto no Livro do estudante, é interessante pedir aos estudantes que confeccionem uma fita métrica para que eles possam perceber as relações entre as unidades de medida m (metro), dm (decímetro) e cm (centímetro). Com esta atividade os estudantes podem comprovar que um metro equivale a cem centímetros.

Saiba que

Os dois boxes presentes nessa página apresentam o significado de alguns prefixos usados na composição das unidades de medida: alguns derivam do grego e, outros, do latim.

O METRO LINEAR

No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade fundamental de medida de comprimento é o metro cujo símbolo é m. O metro é adequado para expressar, por exemplo, a largura de uma rua, o comprimento de uma sala, a altura de um edifício etc. Além do metro, existem outras unidades de medida de comprimento.

• Para expressar a medida de grandes distâncias, temos o decâmetro, o hectômetro e o quilômetro, que são múltiplos do metro. Na prática, a unidade mais utilizada é o quilômetro.

1 decâmetro (dam) = 10 ? 1 metro = 10 metros

1 hectômetro (hm) = 100 1 metro = 100 metros

1 quilômetro (km) = 1 000 1 metro = 1 000 metros

• Para expressar a medida de pequenas distâncias, temos o decímetro, o centímetro e o milímetro, que são submúltiplos do metro. Na prática, as unidades mais utilizadas são o centímetro e o milímetro.

1 decímetro (dm) = 1 10 do metro = 0,1 metro

1 centímetro (cm) = 1 100 do metro = 0,01 metro

1 milímetro (mm) = 1 1 000 do metro = 0,001 metro

SAIBA QUE

deca: dez, em grego. hecto: cem, em grego. kilo: mil, em grego.

SAIBA QUE

deci: décimo, em latim. centi: centésimo, em latim. mili: milésimo, em latim.

Podemos, então, organizar as unidades padronizadas de medida de comprimento assim: Múltiplos do metro Unidade fundamental Submúltiplos do metro

AMPLIANDO

Atividade complementar Construindo uma fita métrica

Observe alguns instrumentos utilizados para medir comprimentos.

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Distribuir, para cada estudante, 10 tiras de papel de 10 cm cada uma com marcações de 1 cm em 1 cm. Pedir que pintem cada tira de uma cor. Depois, eles devem colar as tiras de 10 cm sobre uma tira de papel de 1 m ou sobre um pedaço de fita adesiva. Em seguida, pedir a eles que escrevam os números na sequência de 0 a 100 para que possam estabelecer o início e o fim da fita.

Modelo de tira de 10 cm.

Fita métrica. Metro de carpinteiro. Trena. Régua graduada.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Transformação das unidades de medida de comprimento

Para chegar ao quintal, Vera andou 5,63 m, e Neusa, 423 cm. Quem percorreu a maior distância?

Para saber quem percorreu a maior distância, é necessário, primeiro, trabalhar com a mesma unidade de medida. No caso, vamos transformar em centímetro a medida dada em metro, a fim de comparar as duas distâncias. Observe.

1 m = 10 dm

1 dm = 10 cm

Como da esquerda para a direita cada unidade de medida equivale a 10 vezes a unidade de medida seguinte, multiplicamos 5,63 por 10 10 (100):

5,63 m = (5,63 100) cm = 563 100 100 cm = 563 cm

Quem percorreu a maior distância foi Vera, pois 563 cm . 423 cm.

Acompanhe outros exemplos.

1 Como transformar 5 m em decâmetro?

Como da direita para a esquerda cada unidade equivale a 1 10 da unidade seguinte, devemos dividir 5 m por 10:

5 m = (5 : 10) dam = (5 0,1) dam = 0,5 dam

Logo, 5 m equivalem a 0,5 dam.

2 Transformar 12 cm em metro.

12 cm = (12 : 100) m = 12 100 m = (12 ? 0,01) m = 0,12 m

3 Transformar 1 250 m em quilômetro.

1 250 m = (1 250 : 1 000) km = (1 250 ? 0,001) km = 1,250 km

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Atividade complementar

Se considerar oportuno, pedir que pesquisem em que situações do cotidiano os instrumentos explorados são utilizados e por quais profissionais. Por exemplo, a trena é bastante utilizada na construção civil e a fita métrica, por costureiros, por exemplo. Caso seja possível, programar uma visita com os estudantes a uma marcenaria. Isso pode facilitar o entendimento de como os instrumentos são utilizados para a realização de medições.

1 m = 100 cm 237

É interessante começar o estudo explorando a planta baixa apresentada. Incentivar os estudantes a descreverem-na e, à medida que eles fazem essa descrição, anotar na lousa os comentários deles, validando-os ou não. Esse processo pode ajudá-los a compreender uma planta baixa, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA28.

Após a leitura do texto, fazer algumas perguntas, como:

• Quantos centímetros tem 1 metro? Quantos centímetros tem 1 decímetro?

• Qual é a fração do metro que corresponde ao decímetro? E ao centímetro?

À medida que responderem, anotar as respostas na lousa. Depois, pedir que façam algumas medições de objetos da sala utilizando uma fita métrica e registrem em uma tabela os valores encontrados nas unidades m, dm e cm. Por fim, pedir que registrem no caderno as relações que fizeram entre m, cm e dm. Para que os estudantes conheçam alguns instrumentos de medida e saibam como manuseá-los, se possível, apresentar outros instrumentos de medida de comprimento, como trena, metro de carpinteiro, régua graduada. Perguntar quem gostaria de mostrar o uso correto de um desses instrumentos. Permitir que todos os estudantes interessados realizem a sua apresentação. Em seguida, separar a turma em grupos e solicitar que façam algumas medições para que eles tenham a oportunidade de manusear os instrumentos.

DANIEL BOGNI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades propostas neste bloco têm como objetivo trabalhar os conteúdos estudados e ajudar os estudantes a reconhecer maneiras de medir comprimentos; reconhecer a importância da escolha de uma unidade de medida adequada; associar a cada medida a unidade utilizada para determiná-la; reconhecer o metro como unidade de comprimento-padrão; conhecer os múltiplos e submúltiplos do metro, bem como outras unidades de medida de comprimento que não pertencem ao Sistema Internacional de Unidades e os valores de cada uma delas em relação ao metro. Desse modo, favorece-se o desenvolvimento da habilidade EF06MA24, no que ser refere à grandeza comprimento.

Pedir aos estudantes que meçam o comprimento da lousa usando duas unidades de medida: em centímetro e em metro. Levar para a sala de aula o metro articulado ou a trena e objetos que possam representar o centímetro, como o cubinho do material dourado (de 1 cm de aresta), e disponibilizar esses objetos aos estudantes, que os utilizarão para realizar a medição.

Organizar a turma em dois grupos. Os estudantes do grupo 1 utilizarão o centímetro para realizar as medições; os do grupo 2 utilizarão o metro articulado. É importante prever que o grupo 1 terá de dispor de mais tempo para realizar a mesma medição que o grupo 2. Talvez, de maneira estratégica, eles possam medir os primeiros 100 cm e usar essa medida para os próximos 100 cm, o que facilitará o trabalho. Essa estratégia poderá ser utilizada, mas eles precisarão ter clareza de que estão utilizando o metro como unidade de medida, pois 100 centímetros é igual a 1 metro. É importante que os estudantes concluam que o cubinho de um centímetro de aresta não é o

Responda às questões no caderno.

1. Considerando o metro, seus múltiplos e submúltiplos, qual é a unidade de medida mais adequada para expressar a medida:

a) do comprimento do Rio Amazonas? km

b) da largura de uma sala de aula? m

c) da altura de uma moeda? mm

d) da largura do batente de uma porta? cm

2. (Saresp-SP) Vovô Pedro mediu a altura da parede da sala. Indique a alternativa que mostra um resultado possível dessa medição:

a) 3 metros.

b) 50 centímetros.

b) Meça seu passo, em centímetro, e calcule o comprimento da sala em centímetro.

c) O comprimento da sala mede quantos metros?

Alternativa a.

c) 86 metros.

d) 99 centímetros.

3. A distância entre dois municípios nos Estados Unidos é 74 milhas. Se uma milha equivale a 1 609 km, aproximadamente, qual é a distância, em quilômetro, entre esses dois municípios?

119 066 km

4. Um cano tem meia

1 2 polegada de diâmetro.

Quantos centímetros esse cano tem de diâmetro? 1,27 cm

5. Em um mapa, cada centímetro corresponde a 10,5 km.

a) Se, nesse mapa, a distância entre dois municípios é 15 cm, qual é a distância real entre esses municípios? 157,5 km

b) Um município que está a 68 250 m do mar estará, nesse mapa, a que distância do mar? 6,5 cm

6. Meça o comprimento de sua sala de aula em passos. Compare o resultado com o dos colegas.

a) As medidas encontradas foram iguais?

Respostas pessoais. Verificar orientações neste Manual. 238

instrumento de medição mais adequado para medir o comprimento da lousa. Nesse caso, a trena ou o metro articulado seriam instrumentos padronizados que facilitariam a medição.

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Na atividade 10, espera-se que os estudantes elaborem um problema envolvendo a unidade de comprimento com a qual se sentirem mais à vontade. Esse tipo de atividade que envolve a elaboração de problemas contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA24.

7. (Saresp-SP) Emanuel instalou 2 armários de 1,60 m de comprimento cada um em uma parede que mede 5 m de comprimento. No espaço livre, pensa colocar uma estante de 1 m de comprimento. Ele conseguirá?

a) Sim e ainda sobra 0,80 m.

b) Não e ainda falta 0,80 m.

c) Sim e ainda sobra 1,40 m.

d) Não e ainda falta 1,40 m.

Alternativa a.

8. (Saresp-SP) Cristina fará alguns lacinhos e para isso precisa recortar uma peça de fita que mede 43,2 m em pedaços de 24 cm. Quantos lacinhos Cristina fará? Alternativa b.

a) 280 b) 180 c) 140 d) 120

9. Leia a história e responda. 320 cm

Tenho 64 metros de tecido e vou dividi-lo em 20 retalhos de mesmo comprimento. Quantos centímetros de comprimento terá cada retalho?

10. Elabore um problema envolvendo a transformação de unidades de medida de comprimento. Entregue seu problema para um colega resolver e resolva o problema elaborado por ele. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Solicitar aos estudantes que compartilhem as estratégias de resolução que utilizaram e corrijam coletivamente os problemas elaborados, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 7 e 9.

PERÍMETRO DE UM POLÍGONO

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno. Olavo trabalha para uma empresa que está loteando uma área. A cada lote vendido, ele cerca o contorno do terreno com um fio de arame.

1. A próxima tarefa de Olavo é cercar um terreno de 35 m de frente por 22 m de fundo (lateral). Como você faria para calcular a metragem de fio de arame de que Olavo vai precisar para cercar todo o terreno? De quantos metros de fio de arame ele precisará?

Resposta pessoal; 114 m.

2. Mais um trabalho para Olavo: um terreno de 40 m de frente por 30 m de fundo foi vendido e será dividido e cercado, como mostra a figura. Calcule quantos metros de fio de arame Olavo vai usar para cercar um dos terrenos triangulares. 120 m

Quando obtemos a soma das medidas dos lados de um polígono, estamos calculando o perímetro desse polígono.

Observe alguns exemplos.

1 Calcular o perímetro do polígono.

Indicando por P o perímetro do polígono

ABCDE, temos:

P = 5 cm + 2,8 cm + 3,1 cm + 2 cm +

+ 1,8 cm = 14,7 cm

P = 14,7 cm

2 Calcular o perímetro do triângulo.

Inicialmente, passamos todas as medidas para uma mesma unidade. Por exemplo, para centímetro.

0,04 m = (0,04 100) cm = 4 cm

32 mm = (32 : 10) cm = 3,2 cm

Então:

P = 5,6 cm + 4 cm + 3,2 cm = 12,8 cm

P = 12,8 cm

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda É interessante relacionar os conceitos envolvidos nessas atividades com o cotidiano dos estudantes. Para isso, conversar com eles incentivando-os a utilizar os conhecimentos que eles têm sobre perímetro.

Depois de comentarem o que sabem, pode-se sugerir que procurem a definição de perímetro em um dicionário, por exemplo. Perguntar a eles se já notaram o termo perímetro em alguma situação do cotidiano.

Pode ser que eles citem, por exemplo, conversas com familiares sobre o espaço onde residem ou onde pretendem residir; noticiários, entre outros.

Se considerar oportuno, depois que os estudantes responderem às questões propostas no Livro do estudante, solicitar a eles que calculem o perímetro de outros polígonos. Verificar se eles têm dúvidas; caso tenham, após identificar o que não compreenderam, utilizar situações-problema do cotidiano a fim de ajudá-los nesse processo.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades deste bloco permitem aos estudantes que utilizem os conhecimentos sobre o conceito de perímetro de um polígono e resolvam problemas que envolvem esse conceito. Uma sugestão de encaminhamento é solicitar aos estudantes que realizem as atividades em duplas. Desse modo, favorece-se a empatia e a troca de ideias e conhecimentos entre eles.

É interessante acompanhar a resolução das atividades evitando fazer muitas intervenções, mas, sempre que considerar conveniente, é interessante interferir, principalmente com questionamentos que poderão auxiliar na compreensão dos estudantes.

Na atividade 5, espera-se que os estudantes analisem a imagem apresentada no Livro do estudante e respondam ao item a. No item b, eles devem calcular o perímetro. Verificar se eles têm alguma dúvida e caso necessário fazer uma retomada do conteúdo ou, ainda, realizar a correção na lousa, para auxiliá-los a compreender como realizar o cálculo.

5. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Determine o perímetro dos polígonos.

8,7 cm

a) 6 cm, 6 cm, 4 cm

b) 9 cm, 4 cm, 9 cm

c) 12 cm, 4 cm, 12 cm

d) 16 cm, 4 cm, 16 cm

13,4 cm

2. Em um retângulo, a medida do comprimento é 10,2 cm. Sabendo que a medida da largura é metade da medida do comprimento, qual é o perímetro desse retângulo? 30,6 cm

3. (Saresp-SP) Sabendo que cada quadrinho mede 1 cm de lado, é correto afirmar que os perímetros das figuras X, Y e Z são, respectivamente:

5. Observe a imagem a seguir, que apresenta a imagem aérea de uma região no município de Vitória da Conquista, na Bahia, com alguns destaques.

a) 15 cm, 10 cm, 21 cm

b) 12 cm, 10 cm, 19 cm

c) 15 cm, 9 cm, 20 cm

d) 20 cm, 18 cm, 32 cm

Alternativa d.

4. (Saresp-SP) Uma folha de papel de seda tem 40 cm de perímetro. Ela tem a forma de um retângulo e um de seus lados tem 4 cm de comprimento. Então, os outros lados medem:

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Atividades complementares

1. Solicitar que observem e reflitam sobre como calcular o perímetro da sequência dos polígonos regulares representados a seguir.

a) Sabendo que a entrada do estádio Edvaldo Flores fica na Avenida Bruno Bacelar, descreva um possível caminho que uma pessoa pode fazer para ir da Praça Agenor Bispo dos Santos até a entrada do estádio.

b) O estádio Edvaldo Flores conta com um dos maiores campos da Bahia, com 100 metros de comprimento por 70 metros de largura. Calcule o perímetro do campo desse estádio. 340 m

FiguraXFiguraYFiguraZ

Imagem aérea de uma região em Vitória da Conquista (BA), 2022.

Praça Agenor Bispo dos Santos

a) O que você achou do formato desse município? Converse com um colega sobre algumas características interessantes que vocês podem notar nessa imagem aérea.

b) No cento de Palmanova fica localizada a Praça Grande cujo formato lembra um hexágono regular. Sabendo que seus lados medem cerca de 68 m, calcule a quantidade aproximada de fio de arame que seria necessária para dar uma volta em torno dessa praça. 408 m

7. Na página 237, observamos a planta baixa de uma residência. Você sabe o que é uma planta baixa?

Planta baixa é uma representação gráfica de uma construção que mostra a disposição dos ambientes e os detalhes técnicos.

Amanda está procurando um apartamento para comprar. Em um anúncio, ela encontrou a planta baixa a seguir.

7. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Observe a planta e responda às questões.

a) Descreva o apartamento representado.

b) Calcule o perímetro do banheiro desse apartamento. 6,2 m

c) Para instalar rodapé em todo o contorno do quarto, quantos metros lineares de rodapé serão necessários? Considere que a porta do quarto tenha 0,9 m de largura e que no vão da porta não será instalado rodapé. 10,5 m de rodapé.

8. Pedro esboçou a planta baixa de seu quarto utilizando papel quadriculado. Observe a representação que ele fez.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nesta seção Atividades, prossegue-se o desenvolvimento da habilidade EF06MA28. Propor a resolução compartilhada entre os estudantes, a fim de desenvolver a troca e a cooperação entre eles, bem como possibilitar-lhes que elaborem, validem ou refutem hipóteses. Esses processos favorecem o desenvolvimento das competências gerais 7 e 10 e da competência específica 2 da área de Matemática.

É provável que os estudantes percebam que, nesses casos, para obter o perímetro dos polígonos apresentados, pode-se adicionar a medida de cada um dos lados ou ainda multiplicar a medida de um dos lados pelo número que indica a quantidade de lados de cada polígono.

a) Considerando a planta que Pedro desenhou, calcule as dimensões do quarto dele. Dê a resposta em metro.

b) Elabore duas questões envolvendo as medidas do quarto de Pedro.

9. Utilizando uma folha de papel quadriculado, esboce a planta baixa de um local que você conhece. Pode ser de sua residência, de seu quarto, da sua sala de aula ou de outro ambiente que você esteja familiarizado. Indique quanto cada quadradinho da malha representa, ou indique as medidas de cada ambiente, em metro, na planta baixa. Em seguida, elabore uma atividade sobre perímetro com base na planta desenhada. Troque de atividade com um colega para que ele resolva a atividade que você elaborou e você resolva a atividade elaborada por ele.

Na atividade 7, verificar se eles compreendem o que é uma planta baixa e como as informações apresentadas utilizando esse recurso podem ser importantes em diversas situações, em especial para arquitetos, engenheiros civis, entre outros profissionais que utilizam esse recurso na rotina de trabalho.

No item a da atividade 7, eles devem descrever uma planta baixa e na atividade 9, eles devem fazer o esboço de uma planta baixa de um local que conheçam. Desse modo, complementa-se o trabalhado com a habilidade EF06MA28.

Imagem aérea de Palmanova (Itália), 2022.

6. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

8. b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

6. Observe, a seguir, a imagem aérea do município de Palmanova, na Itália.

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2. Determine o perímetro do polígono.

Unidades de medida de superfície

Neste tópico, aborda-se o metro quadrado como unidade de medida de uma região quadrangular de 1 m de lado. Depois, serão abordadas outras unidades de medida de superfície. Assim, será possível estabelecer as relações existentes entre as unidades de medida e transformar uma unidade de medida de superfície em outra unidade.

Pense e responda

É importante explorar com os estudantes a ideia de que medir é comparar as dimensões do objeto que se deseja medir com uma unidade de medida padrão. No caso dessa atividade, a unidade de medida escolhida é um triângulo.

Explicar aos estudantes que a área de qualquer figura pode ser considerada uma unidade de medida de referência. Para desenvolver essa ideia, pedir a eles que contem quantos quadrados cabem no interior da figura apresentada nesta seção. Espera-se que eles percebam que a quantidade de quadrados é menor do que a quantidade de triângulos utilizados como unidade de medida. Perguntar a eles por que isso ocorre. É provável que eles percebam que, nesse caso, a área do quadrado é maior do que a área do triângulo, portanto o triângulo cabe uma quantidade de vezes maior na figura. Essa percepção é fundamental para que os estudantes compreendam as transformações de unidades de medida de área.

UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFÍCIE

PENSE

E RESPONDA

Responda no caderno.

O número que você encontrou chama-se medida de superfície da figura ou área da figura, quando tomamos como unidade o

O METRO QUADRADO

Na atividade anterior, tomamos o como unidade de medida para expressar a medida de uma superfície.

No SI, a unidade para expressar a medida de superfície é o metro quadrado cujo símbolo é m2

O metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 m de lado, assim como o centímetro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado.

Transformação das unidades de medida de superfície

Existem, além do metro quadrado, outras unidades de medida de superfície. Para expressar a medida de grandes superfícies há o quilômetro quadrado, o hectômetro quadrado e o decâmetro quadrado. Na prática, para expressar grandes superfícies, o quilômetro quadrado e o hectômetro quadrado são as unidades mais utilizadas.

Para expressar as medidas de pequenas superfícies há o decímetro quadrado, o centímetro quadrado e o milímetro quadrado. Na prática, para expressar pequenas superfícies, a unidade mais utilizada é o centímetro quadrado.

242

Vamos organizar essas informações em um quadro com as unidades de medida de superfície.

Múltiplos do metro quadrado Unidade fundamental Submúltiplos do metro quadrado Quilômetro quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado Metro quadrado Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado

m2 Agora, observe o esquema.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Da esquerda para a direita, cada unidade representa 100 vezes a unidade seguinte.

Da direita para a esquerda, cada unidade representa 1 100 da unidade seguinte. Observe os exemplos.

1 Transformar 5 m2 em decímetro quadrado.

5 m2 = (5 ? 100) dm2 = 500 dm2

2 Transformar 5 m2 em decâmetro quadrado.

5 m2 = (5 : 100) dam2 = (5 0,01) dam2 = 0,05 dam2

3 Transformar 0,3 m2 em centímetro quadrado.

0,3 m2 = (0,3 ? 100 ? 100) cm2 = (0,3 ? 10 000) cm2 = 3 000 cm2

4 Transformar 15 300 mm2 em decímetro quadrado. 15 300 mm2 = (15 300 : 10 000) dm2 = (15 300 0,0001) dm2 =

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Antes de iniciar a leitura sobre a transformação das unidades de medida de superfície, verificar se os estudantes reconhecem e compreendem o símbolo m2 Caso seja necessário, retomar com eles que o metro quadrado corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 m de lado. É interessante que eles consigam compreender que o mesmo vale para os múltiplos e para os submúltiplos do metro. Para o centímetro, por exemplo, o centímetro quadrado (cm2) corresponde à medida de superfície de um quadrado que tem 1 cm de lado e assim sucessivamente. Desse modo, dá-se continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF06MA24.

É importante considerar que as unidades de medida de superfície são utilizadas em diversas áreas do conhecimento. Para que os estudantes possam ter autonomia em leituras de textos que contêm informações sobre unidades de medida, é necessário que eles reconheçam os significados desses conceitos. Para isso, recomenda-se evitar antecipar regras em detrimento da construção das ideias que envolvem as transformações de unidades.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

As medidas agrárias

Neste tópico, é interessante propor uma conversa inicial para verificar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre medidas agrárias. Depois, pode-se seguir o estudo como proposto no Livro do estudante. Desse modo, é possível ampliar os conhecimentos deles quanto às unidades de medida de área padronizados e a reconhecer medidas agrárias. Se possível, comentar com eles que no Brasil há uma unidade de medida agrária chamada de alqueire, mas que a medida do alqueire pode variar de acordo com a região do país. Explicar que essa unidade de medida não é um múltiplo de 10, como o centímetro, o metro, o quilômetro ou o hectare. Se considerar interessante, pode-se propor a eles que pesquisem a medida do alqueire adotada em algumas regiões do país e algumas situações em que essa unidade de medida costuma ser utilizada.

Fórum

A discussão proposta neste boxe, favorece o desenvolvimento dos Temas Contemporâneos Transversais Educação para o Consumo e Educação Ambiental, da competência geral 10 e das competências específicas 3 e 6 da área de Matemática.

Se julgar oportuno, propor ao estudantes fazer uma lista de atitudes que podem ser incentivadas para evitar o desperdício, como: reaproveitar folhas de papel, preservar os materiais e os móveis escolares, trocar copos descartáveis por copos de uso individual e reutilizáveis etc.

É interessante propor uma roda de conversa para os estudantes compartilharem as vivências a repeito dos hábitos de consumo dos locais onde residem. Nesse momento, é possível verificar se

AS MEDIDAS AGRÁRIAS

Quando queremos medir, por exemplo, a extensão de sítios e fazendas, usamos uma unidade agrária chamada de hectare (ha).

O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.

Assim, temos a relação:

1 hectare (ha) = 1 hm2 = 10 000 m2

Vamos acompanhar, a seguir, alguns exemplos de aplicação de unidades agrárias.

1 Quantos hectares (ha) tem uma chácara de 25 000 m2?

Como 1 ha = 10 000 m2, temos: 25 000 m2 = (25 000 : 10 000) ha = 2,5 ha

2 Quantos metros quadrados (m2) tem uma plantação de 47,5 ha?

47,5 ha = (47,5 ? 10 000) m2 = 475 000 m2

Consumo sustentável

Consumo sustentável é um conjunto de práticas adotadas na escolha de um produto ou serviço cujo objetivo é causar pouco ou nenhum impacto sobre os recursos naturais. O consumo sustentável também está relacionado com a escolha consciente de mercadorias, produtos e serviços, ou seja, evitando as compras por impulso, adquire-se apenas o que realmente é necessário.

Junte-se a um colega para responder às questões a seguir.

• Vocês consideram ter hábitos de consumo sustentável? Conversem sobre esse assunto, dando exemplos.

• Citem algumas ações que podem ser adotadas no dia a dia que evitam desperdício.

• Pesquisem dados referentes à reciclagem de lixo no município em que vivem e apresentem o resultado por meio de um gráfico. Respostas pessoais. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

os estudantes conseguem identificar o que são práticas de consumo sustentável e orientá-los caso vivenciem hábitos de consumo que não o sejam.

Acompanhar a pesquisa dos estudantes sobre a reciclagem no município onde vivem e auxiliá-los na obtenção de informações e na construção do gráfico, cujo tipo deve ser adequado aos dados que foram obtidos.

ATIVIDADES

1. Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Para representar 1 m², você pode construir um quadrado de 1 metro de lado utilizando régua, jornal e fita adesiva. Junte-se a um colega, e construam um quadrado de 1 m².

2. (Saresp-SP) Considerando como unidade de medida o , a área destacada da figura corresponde a quantos quadrinhos?

Alternativa c.

a) 10 b) 12 c) 17 d) 22

3. (Saresp-SP) Veja o desenho que alguém fez no papel quadriculado. Qual é a área que o desenho ocupa no papel quadriculado?

a) 26 unidades.

b) 28 unidades.

Alternativa b.

4. Transforme em m2:

a) 21 dm²

b) 1 250 cm²

c) 30 unidades.

d) 32 unidades.

c) 1 km²

d) 0,72 hm²

5. Uma fazenda tem 7 km 2 de área. Dessa área, 60% foram reservados para plantio. O restante foi reservado para pastagem. Determine quantos hectares foram reservados para

a) o plantio. b) pastagem

6. Em uma fazenda de criação de gado, cada hectare deve ser ocupado por 20 bois. Quantos bois poderiam ser criados num terreno de 70 000 m2?

7. Um hectômetro quadrado representa a área de um quadrado que tem quantos metros de lado?

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Atividades complementares

1. Se considerar oportuno, complementar a atividade 1 propondo aos estudantes que calculem a área de uma sala de aula ou de um corredor da escola, utilizando os quadrados construídos. Pedir que façam uma estimativa e, depois, verifiquem os resultados.

4. a) 0,21 m2

b) 0,125 m2

c) 1 000 000 m2

d) 7 200 m2

8. O Brasil é o quinto país do mundo em extensão territorial, com 8 515 767 km2, e uma população de 213 317 639 habitantes, segundo estimativas do IBGE com referência em 1o de julho de 2021.

SAIBA QUE

Densidade demográfica de um país ou região é o quociente entre a quantidade de habitantes e sua área.

a) Para conhecer a densidade demográfica do Brasil, ou seja, a quantidade de habitantes por quilômetro quadrado, vamos fazer uma estimativa. Primeiro, aproximamos os valores para facilitar os cálculos:

• 8 515 767 km2 é aproximadamente igual a 8 500 000 km2

• 213 317 639 habitantes é aproximadamente igual a 213 300 000 habitantes. O próximo passo é encontrar o quociente entre 213 300 000 habitantes e 8 500 000 km2

Aproximadamente 25,09 hab./km2

b) Agora, sem aproximar os valores referentes à área e à quantidade de habitantes, use a calculadora para calcular a densidade demográfica do Brasil.

Aproximadamente 25,05 hab./km2.

c) Compare os valores encontrados nos dois cálculos. De quanto é a diferença?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS Atividades

Nas atividades desse bloco, os estudantes terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos adquiridos sobre as unidades de medida de superfície. Organizar a turma em duplas para facilitar a troca de conhecimento e ideias. Acompanhar a resolução das atividades anotando as dificuldades e dúvidas que possam surgir. Ao final, retomar os conteúdos que considerar necessário.

Na atividade 3, os estudantes poderão utilizar a figura apresentada no Livro do estudante para construir um painel ou um mosaico. Para isso, eles devem ampliar a figura, utilizando papel quadriculado, e revesti-la com papel colorido, seguindo o padrão que criaram para o mosaico.

9. Qual é a extensão territorial (área) e a população de seu município e de seu estado? Pesquise e calcule a quantidade de habitantes por quilômetro quadrado dessas localidades.

10. Elabore um problema envolvendo unidades de medidas de superfície e troque com um colega. Em seguida, verifique se a resolução que ele fez está correta.

22,09 22,05 = 0,04 Resposta pessoal. Verificar orientações neste Manual. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

2. Pode-se pedir aos estudantes que estimem quantas pessoas em pé cabem em 1 m2.

Após a construção da atividade 1, orientá-los a ficar sobre o quadrado que construíram e verifiquem, em média, quantos estudantes cabem em pé nesse quadrado de 1 m2 de área. Esse tipo de abordagem favorece a investigação matemática.

Uma sugestão de encaminhamento é convidar o professor de Arte para que ele participe e auxilie os estudantes na execução dessa atividade. Após a construção do mosaico, fazer perguntas como: Se cada centímetro representasse 1 m², qual área o mosaico ocuparia?

Na atividade 10, espera-se que os estudantes elaborem um problema contextualizado, ainda que simplificado. No entanto, se necessário, auxiliá-los a organizar as ideias, durante o processo de elaboração. O trabalho com essa atividade favorece o desenvolvimento de aspectos da habilidade EF06MA24.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

O objetivo aqui é calcular áreas do retângulo, do quadrado e do triângulo, utilizando os padrões observados em cada caso. Contar as unidades de medida uma a uma para determinar a área de figuras planas pode se tornar uma tarefa trabalhosa. Na seção

Pense e responda, os estudantes serão convidados a refletir sobre essa prática.

Pense e responda

Uma sugestão para trabalhar esta seção é solicitar aos estudantes que reproduzam as figuras em uma folha de papel quadriculado.

Pedir que formem duplas e deixar que cada estudante explique seu raciocínio para o colega. Se houver divergência entre as estratégias usadas por eles, pedir que entrem em acordo sobre qual das maneiras apresentadas é a mais adequada.

Em seguida, cada dupla deve apresentar seu procedimento para a turma. Registrar na lousa as diferentes estratégias que aparecerem e, com a ajuda dos estudantes, validar cada uma delas. Deixar que a turma eleja, entre as estratégias validadas, a que eles considerem mais fácil.

É provável que os estudantes percebam que fazer cálculos para determinar a área dos polígonos pode ser mais prático do que contar as unidades uma a uma.

Reforçar essa ideia, propondo aos estudantes que determinem a área de um retângulo que tem as seguintes dimensões:

• 3 cm de comprimento e 2 cm de largura;

• 6 cm de comprimento e 11 cm de largura;

• 83 cm de comprimento e 54 cm de largura;

• 101 cm de comprimento e 72 cm de largura.

246

ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS CAPÍTULO4

Responda no caderno.

1. Escreva como você explicaria a uma pessoa o modo mais fácil de obter a área (medida de superfície) das figuras a seguir.

a) é a unidade de medida considerada.

4cm 4cm 4cm 4cm 246

Vamos analisar, agora, como calcular a área de algumas figuras geométricas planas. Para isso, utilizaremos estratégias que permitem efetuar esses cálculos com mais facilidade e rapidez.

ÁREA DO RETÂNGULO

Qual é a área de um retângulo que tem 2 cm de altura e 5 cm de base? Desenhando a figura e dividindo a base e a altura em segmentos de 1 cm, obtemos 10 quadrados de 1 cm de lado, ou seja, de 1 cm2 cada um.

Respostas pessoais. Exemplos de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual. 1cm 1 cm altura base ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Assim, a área desse retângulo é 10 cm2 Note que 10 cm2 = 5 cm ? 2 cm.

246 29/08/22 14:10

Agora, vamos determinar a área do retângulo de base 8 cm e altura 3,5 cm. Para calcular a área desse retângulo, fazemos a seguinte multiplicação:

8 cm 3,5 cm = 28 cm2

Então, a área do retângulo é 28 cm2

ÁREA DO QUADRADO

Neste quadrado, a medida do lado é 3 cm. Qual é sua área?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Neste momento, o uso do raciocínio algébrico se faz necessário, pois, por meio dele e pela observação de padrões, é possível obter as generalizações desejadas. No entanto, mais importante do que memorizá-las é compreender as relações entre elas. No texto, as generalizações serão expressas em Língua Portuguesa. Se considerar conveniente, depois de compreendidas, expressá-las em linguagem algébrica.

Dividindo os lados do quadrado em segmentos de 1 cm cada, obtemos 9 quadrados de 1 cm de lado, ou seja, de 1 cm2 de área cada um.

A área do quadrado maior é, então, 9 cm2

Note que 9 cm2 = 3 cm 3 cm.

Número que expressa a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular a área de uma praça quadrada com 20 m de lado.

Para calcular a área da praça, fazemos a seguinte multiplicação:

20 m ? 20 m = 400 m2

A área dessa praça é 400 m2

Analisando o perímetro e a área do quadrado

Acompanhe a situação a seguir.

Mariana utilizou uma malha quadriculada para desenhar um quadrado (quadrado 1) com medida de lado igual a 2 cm. Depois, ela calculou o perímetro e a área desse quadrado.

• Perímetro: 2 cm + 2 cm + + 2 cm + 2 cm = 8 cm

• Área: 2 cm 2 cm = 4 cm2

O cálculo da área do retângulo será a base para o cálculo das áreas do quadrado e do triângulo. Providenciar papel quadriculado e pedir aos estudantes que desenhem retângulos de diferentes medidas e determinem a área de cada um deles. Em seguida, solicitar que identifiquem qual é a relação das medidas de comprimento e largura com a área determinada. É importante que os estudantes percebam o padrão existente e estabeleçam uma regra pela qual se conclui que, para determinar a área de qualquer retângulo, basta multiplicar a medida do comprimento pela medida da largura.

Proceder da mesma maneira para estabelecer a regra que determina a área de qualquer quadrado. Nesse caso, é importante que os estudantes percebam que o quadrado é um caso particular de retângulo. Possibilitar a eles que façam as relações necessárias e concluam que a regra para determinar a área de qualquer quadrado é a mesma utilizada para determinar a área de retângulos.

IMAGEM FORA DE PROPORÇÃO. AS CORES NÃO SÃO REAIS.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aqui, os estudantes terão a oportunidade de refletir sobre o que acontece com a área e com o perímetro de um quadrado quando se altera a medida dos lados, o que favorece o desenvolvimento da habilidade EF06MA29.

É comum imaginar a existência de uma relação direta entre a área e o perímetro do quadrado. Por exemplo, se duplicarmos o perímetro de um quadrado, a área desse quadrado também duplicará, ou se triplicarmos a área de um quadrado, o perímetro desse quadrado também triplicará, ou se dividirmos o valor do perímetro pela metade, a área também se reduzirá, proporcionalmente, pela metade. Essa ideia ocorre, provavelmente, porque, de fato, intuitivamente, sabemos que ocorrerá um aumento na medida da área quando aumentarmos a medida do perímetro. Entretanto, essas transformações não são diretamente proporcionais. Ou seja, quando as medidas dos lados de um quadrado dobram, o perímetro também dobra, mas a área não dobra; aliás, nesse caso, a área quadruplica.

Pense e responda

Providenciar papel quadriculado para realizar as atividades desta seção. Esse material pode facilitar a observação das relações entre as medidas das áreas e dos perímetros. Organizar os estudantes em duplas para que possam trocar ideias sobre as observações feitas. Dar atenção especial às questões 3 e 4, verificando se é preciso realizar intervenções caso os estudantes tenham dúvidas. Incentivar que eles façam registros. Espera-se que os estudantes percebam que as transformações ocorridas entre as áreas e os perímetros não são diretamente proporcionais.

Em seguida, ela desenhou um novo quadrado (quadrado 2), cuja medida dos lados é o dobro da medida dos lados do primeiro quadrado, e calculou o perímetro e a área dele.

• Perímetro: 4 cm + 4 cm + 4 cm + 4 cm = 16 cm

• Área: 4 cm 4 cm = 16 cm2 2 cm Quadrado 1

3. Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou, e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou, e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro foi reduzido pela metade, e a área foi reduzida para um quarto da área inicial. 248

PENSE E RESPONDA

Responda às questões no caderno.

1. Construa um quadrado (quadrado 3), cuja medida de cada lado é o triplo da medida de cada lado do primeiro quadrado construído por Mariana, e calcule o perímetro e a área desse quadrado. Perímetro: 24 cm; área: 36 cm2

2. Construa um quadrado (quadrado 4), cuja medida de cada lado é a metade da medida de cada lado do primeiro quadrado construído por Mariana. Em seguida, calcule o perímetro e a área desse quadrado. Perímetro: 4 cm; área: 1 cm2.

3. Monte um quadro como o representado, com a medida dos lados, o perímetro e a área dos quatro quadrados. Comparando o quadrado 1 com o 2, o que aconteceu com o perímetro e a área do quadrado quando multiplicamos as medidas de seus lados por um mesmo valor (nesse caso, por 2)? Faça a mesma comparação entre os quadrados 1 e 3 e entre os quadrados 1 e 4

Medida dos lados (cm) Perímetro (cm) Área (cm2)

Quadrado 1

Quadrado 2

Quadrado 3

Quadrado 4

4. Quando multiplicamos as medidas dos lados de um quadrado por um mesmo número, o perímetro e a área do novo quadrado se modificam em relação ao quadrado original. O perímetro fica multiplicado pelo mesmo número que multiplicamos os lados? E a área? No caso do perímetro, sim; no caso da área, não. Por exemplo, se multiplicarmos a medida dos lados do quadrado por 5, o perímetro fica multiplicado por 5; no caso da área, essa transformação não é proporcional: a área fica multiplicada por 52

Se preferir, utilizar o geoplano para a construção dos quadrados solicitados nesta seção. Esse material é prático e eficiente para essas atividades. Esse tipo de prática possibilita a investigação por parte dos estudantes, permitindo que exercitem a curiosidade intelectual, elaborem e testem hipóteses e pratiquem a argumentação, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 7.

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ÁREA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

No triângulo retângulo ABC a seguir, o segmento AC tem medida igual a 5 cm, e o segmento AB tem medida igual a 4 cm. Qual é a área desse triângulo?

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Área do triângulo retângulo

Vamos utilizar o triângulo ABC para formar um retângulo ABCD cuja área já sabemos calcular.

O objetivo é calcular a área do triângulo a partir da decomposição da área do retângulo. Esse processo será bastante útil no estudo de áreas de outros polígonos utilizando a composição e a decomposição de figuras. Por isso, é importante detalhar as etapas desse processo. Os estudantes precisam concluir que existe uma relação entre as áreas dos retângulos e dos triângulos que os compõem.

Utilizar papel quadriculado para facilitar a confecção e a observação das relações entre as medidas da área dos retângulos e a dos triângulos. O uso de dobraduras e recortes é interessante, pois os estudantes poderão perceber a composição, a decomposição das figuras geométricas e a equivalência de suas áreas sobrepondo as figuras.

Note, na segunda figura, que os triângulos I e II possuem a mesma área e, juntos, formam um retângulo ABCD.

Então, a área do triângulo dado (ABC) é igual à metade da área do retângulo ABCD, e sabemos que a área do retângulo ABCD é 20 cm2 (4 cm ? 5 cm).

Logo, a área do triângulo ABC é metade desse valor, ou seja: 20 cm2 : 2 = 10 cm2

A área do triângulo ABC é 10 cm2

PENSE E RESPONDA

Sim, mas em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado.

Debata com um colega a seguinte questão: se o triângulo ABC tivesse a medida do segmento AB igual à medida do segmento AC , a mesma estratégia poderia ser utilizada?

Pedir aos estudantes que construam, sobre a malha quadriculada, alguns retângulos de medidas diferentes e depois recortem esses retângulos e façam uma dobradura em uma das diagonais de cada um deles. Em seguida, pedir que recortem sobre o vinco formado por essas dobraduras e sobreponham os dois triângulos obtidos de cada retângulo. Espera-se que os estudantes percebam que a área de cada triângulo corresponde à metade da área de cada retângulo. É importante que os estudantes realizem cálculos ou façam a contagem dos quadradinhos para constatar a veracidade numérica dessa relação.

Pense e responda

Caso seja necessário, permitir que utilizem a malha quadriculada para construir o triângulo ABC e constatar as hipóteses levantadas.

Atividades

Nestas atividades, os estudantes poderão aplicar os conhecimentos adquiridos sobre cálculo da área de retângulos, quadrados e triângulos.

Organizar os estudantes em duplas para facilitar a troca de conhecimentos e ideias. É interessante caminhar pela sala, acompanhando a resolução das atividades, mas sem fazer muitas interferências. Anotar algumas dúvidas observadas e, no fim, fazer uma retomada do conteúdo que julgar necessário. Se for conveniente, pedir a alguns estudantes que mostrem como pensaram para chegar às respostas dadas; é interessante incentivá-los a compartilhar suas estratégias.

Na atividade 1, pedir aos estudantes que desenhem no caderno, com o auxílio de uma régua, as figuras geométricas representadas, respeitando as medidas indicadas em centímetro. Assim, eles terão noção das medidas reais da figura, já que no Livro do estudante as figuras estão representadas em uma escala menor. Discutir a necessidade de ter a figura em medidas reais para calcular a área.

Pedir aos estudantes que levem folhetos de propaganda com plantas de casas ou apartamentos para calcular a área total desses imóveis. Ou, ainda, pedir-lhes que façam um esboço do local onde vivem, ou de uma casa qualquer, com as medidas representadas em centímetro (cada metro correspondendo a 1 cm), para em seguida calcular a área. Depois, eles devem expressar a área obtida em metro quadrado.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Projeto de planta baixa

Propor aos estudantes uma atividade para criar uma planta baixa de uma casa. Fornecer a área do terreno em que essa casa será construída. Por exemplo, determinar que a casa deva ter 120 m2 de área construída.

ATIVIDADES

Responda às questões no caderno.

1. Determine a área de cada figura geométrica.

a) 64 cm2

Sabendo que a caixa tem 17 cm de comprimento, 5 cm de largura e 24 cm de altura, o pedaço de papelão necessário para montar essa embalagem terá uma área de:

Alternativa b.

b)

2. Um piso quadrangular de cerâmica tem 15 cm de lado.

a) Qual é a área desse piso? 225 cm2

b) Quantos pisos são necessários para pavimentar uma sala de 45 m2 de área?

2 000 pisos.

3. Um vitral é composto de 80 peças iguais com formato de triângulos retângulos, com 25 cm de base e 16 cm de altura. Calcule qual é, em metro quadrado, a área desse vitral. 1,6 m2

4. Para o lançamento de um produto, criou-se a seguinte embalagem.

a) 2 040 cm2

b) 1 226 cm2

c) 1 106 cm2

d) 1 056 cm2

5. Observe o quadro com os dados sobre alguns tipos de quadras de tênis.

Dimensões Área de jogo Área de quadra

Usuais 10,97 m x 23,77 m 18,00 m x 36,00 m

Oficiais da CBT e da Copa Davis 10,97 m x 23,77 m 18,29 m x 36,57 m

Recreação 10,97 m x 23,77 m 17,07 m x 34,77 m

Agora, com o auxílio de uma calculadora, responda:

a) Quantos metros quadrados de saibro, aproximadamente, são necessários para cobrir uma quadra de tênis oficial?

Aproximadamente 669 m2 (668,8653 m2).

Organizar os estudantes em duplas para realizar essa atividade e providenciar papel quadriculado ou milimetrado. Pedir a eles que utilizem lápis e régua para fazer os traçados. Incentivar os estudantes a pensar no que é necessário para realizar o projeto de uma casa. Refletir com os estudantes sobre a escala que vão seguir (sugestão: 1 : 100 ou o lado do quadrado de 1 cm corresponde a 100 centímetros ou 1 metro no es-

paço real) e sobre as medidas e os símbolos que vão utilizar para representar as portas e as janelas. Para isso, apresentar algumas plantas baixas, a fim de que os estudantes analisem esses procedimentos e façam as escolhas mais convenientes. Recomendar aos estudantes que, antes de traçar a planta definitiva, façam um esboço com as medidas prováveis de cada cômodo.

A quadra de saibro torna o jogo de tênis um pouco mais lento.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Aproximadamente 261 m2 (260,7569 m2).

b) Quantos metros quadrados de grama sintética, aproximadamente, são necessários para cobrir somente a área de jogo de uma quadra de tênis usual?

c) Quantos metros quadrados de tela galvanizada são necessários para construir um alambrado com 3 m de altura em uma quadra de tênis para recreação?

sobre área e perímetro a ser resolvida por um colega. Depois, resolva a atividade criada por ele, e corrijam, juntos, as resoluções feitas por vocês.

311,04 m2 3 latas.

6. Uma parede tem 8 m de comprimento por 2,75 m de altura. Com uma lata de tinta, é possível pintar 10 m2 de parede. Quantas latas de tinta serão necessárias para pintar toda essa parede?

7. Observe a planta baixa de um apartamento.

9. Quantos metros quadrados de azulejo são necessários para revestir até o teto as quatro paredes de uma cozinha com as dimensões da figura a seguir? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60 m2 de área, e a janela tem uma área de 2 m2 32,60 m2

Na atividade 7, antes de iniciar a resolução dos itens, é interessante deixar que os estudantes interpretem e descrevam a planta baixa apresentada, o que contribui para o desenvolvimento da habilidade EF06MA28. Na atividade 11, acompanhar o processo de elaboração da atividade sugerida. É importante certificar-se de que os estudantes compreenderam que devem usar a planta baixa desenhada anteriormente para trabalhar com unidade de medida de superfície. Desse modo, dá-se continuidade ao trabalho com a habilidade EF06MA24.

10. Quero pintar as quatro paredes e o teto de uma sala com as dimensões da figura a seguir. Sabendo que cada lata de tinta permite pintar 40 m², quantas latas de tinta terei de usar?

Agora, responda.

a) Quantos metros quadrados de carpete são necessários, ao todo, para cobrir o piso da sala, do corredor e dos dois dormitórios? 52,15 m2

b) Quantos metros quadrados de cerâmica são necessários para cobrir o piso do banheiro, da cozinha e da área de serviço?

c) Qual é o preço do apartamento, sabendo que o metro quadrado custa R$ 2.000,00? R$ 164.900,00

8. Com base na planta baixa apresentada na atividade 7, elabore uma atividade

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesse momento, é esperado que apareçam plantas distintas, uma vez que diferentes medidas de lado podem gerar a mesma área. Como a área a ser construída deve ser de 120 m2 (conforme sugerido), pode ser que surjam plantas com o formato retangular de 10 m x 12 m ou 15 m x 8 m, por exemplo.

11. Elabore um problema cuja resolução envolva calcular a área de um dos polígonos vistos nesta Unidade. Depois, passe seu problema para um colega resolver e resolva o problema criado por ele. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual. 251

Em seguida, pedir às duplas que, a partir da planta da casa que criaram, elaborem questões para os colegas resolverem.

Se considerar conveniente, fazer uma exposição com os trabalhos realizados pelos estudantes.

7. b) 30,30 m2

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tratamento da informação

Aqui, o objetivo é que os estudantes consigam ler e analisar gráficos de segmentos e mapas. Além disso, busca-se também refletir sobre o tema desses gráficos, despertando neles o senso crítico sobre o tema abordado. Desse modo, busca-se favorecer o desenvolvimento das habilidades

EF06MA31 e EF06MA32, das competências gerais 4 e 7 e das competências específicas 3 e 6 da área de Matemática.

É importante que os estudantes percebam que cada tipo de gráfico favorece um aspecto que precisamos ressaltar. O gráfico de segmentos favorece a análise de tendências dos dados permitindo fazer projeções para o futuro. Ao analisar a sequência dos segmentos, podemos fazer projeções de alta, queda ou a manutenção de um fenômeno estudado. Outro aspecto importante que deve ser considerado ao ler e analisar um gráfico de segmentos é que, quanto maior a inclinação do segmento, maior é o crescimento, ou a diminuição, do fenômeno no período em questão.

A Estatística é a parte da Matemática que realiza coleta, análise, interpretação e apresentação de dados com o intuito de fazer projeções e estimativas. Estas são realizadas por técnicos dos órgãos oficiais e instituições e são importantes para elaborar as propostas, os investimentos e a organização de empresas e até mesmo de um país. O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) é o principal provedor de dados e informações do Brasil, incluindo estimativas populacionais.

Outro órgão importante é o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe), que tem como um de seus objetivos estratégicos ampliar e consolidar competências em previsão de tempo e clima e

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

GRÁFICO DE SEGMENTOS

A Amazônia Legal é uma área que corresponde a 59% do território brasileiro e engloba parte do estado do Maranhão (MA) os estados: Acre (AC), Amapá (AP), Amazonas (AM), Mato Grosso (MT), Pará (PA), Rondônia (RO), Roraima (RR) e Tocantins (TO), totalizando uma área de cerca de 5 milhões de quilômetros quadrados. Acompanhe, no gráfico a seguir, o desmatamento na região da Amazônia Legal no período de 2011 a 2021.

Desmatamento na Amazônia Legal de 2011 a 2021

Elaborado com base em: BRASIL. Ministério da Ciência, Tecnologia e Inovações. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais. PRODES: Monitoramento do desmatamento da Floresta Amazônica brasileira. São José dos Campos: INPE, 2021. Disponível em: http://www.obt.inpe.br/OBT/assuntos/programas/ amazonia/prodes. Acesso em: 7 ago. 2022.

O mapa a seguir apresenta a área desmatada acumudada no período de 1988 a 2021 em cada um dos estados brasileiros que faz parte da Amazônia Legal.

Amazônia Legal: áreas desmatadas no período de 1988-2021 por estado

Elaborado com base em: TAXAS de desmatamento: Amazônia Legal. Terra Brasillis –PRODES (Desmatamento). São José dos Campos, 3 jun. 2022. Disponível em: http://terrabrasilis.dpi.inpe.br/app/dashboard/deforestation/biomes/legal_amazon/rates.

em mudanças ambientais globais. Se desejar, compartilhar os outros objetivos estratégicos desse órgão. Para isso acessar o link : http:// www.inpe.br/institucional/sobre_inpe/objetivos _estrategicos.php (acesso em: 16 ago. 2022.)

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Saiba que

Ler o texto do boxe que traz a definição de Amazônia Legal. Se julgar pertinente, localizar a região em um mapa do Brasil.

1. b) 946 km2

d) Pará e Mato Grosso.

Responda às questões no caderno.

1. De acordo com o gráfico e o mapa:

a) Entre 2011 e 2021, em que ano o desmatamento na Amazônia Legal foi maior?

b) Quantos km2 a menos de desmatamento ocorreram no ano de 2017 em relação ao ano de 2016?

c) Desde 1988 até 2021, qual foi a área total desmatada na Amazônia Legal?

d) Quais são os dois estados onde a área desmatada foi maior no período considerado?

Além do desmatamento, as queimadas também são um problema ambiental muito sério. As queimadas causam danos ao solo, poluição atmosférica, alteração de ecossistemas, entre outros problemas. Observe o gráfico a seguir.

Focos de queimada detectados – 2021

Focos de queimadas detectados – 2021

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de ler e analisar dois gráficos de segmentos sobre o tema.

Amazônia Legal Brasil

Total: 184 081

Total: 102 210

0 8 000 20 000 36 000 48 000 44 000 28 000 12 000 4 000 56 000 Janeiro Quantidade de focos Mês 52 000 40 000 32 000 24 000 16 000

Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro

Elaborado com base em: AVISO de inclusão dos focos VIIRS. Programa Queimadas – INPE. São José dos Campos, [2022]. Disponível em: https://queimadas.dgi.inpe.br/queimadas/portal-static/estatisticas_estados/. Acesso em: 8 ago. 2022.

2. Observando o gráfico acima:

a) O que esse gráfico apresenta?

2 a) A quantidade de focos de queimada detectados no Brasil todo e na Amazônia Legal no ano de 2021.

b) Mais perto de 24 000; resposta pessoal, verificar se os estudantes estimam algo em torno de 22 000 a 23 000.

b) Note que, diferentemente do gráfico da página anterior, este gráfico não apresenta os valores exatos dos dados em cada ponto. Observe o ponto referente à quantidade de focos de queimada na Amazônia Legal no mês de setembro. Ele está mais perto de 24 000 ou de 20 000? Estime um valor para esse ponto.

c) Assim, como fazemos a leitura dos dados desse gráfico?

Por aproximação e estimativa.

d) Em que mês de 2021 houve mais focos de queimada no Brasil e na Amazônia Legal? Estime a quantidade de focos nesse mês?

Agosto. Exemplo de resposta: Cerca de 52 000 focos no Brasil e cerca de 36 000 focos na Amazônia Legal.

3. Elabore duas questões para cada um dos gráficos desta seção. Passe suas questões para um colega responder e responda às questões criadas por ele.

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Se considerar oportuno, convidar o professor de Geografia para realizar um trabalho em parceria para ampliar e aprofundar o tema abordado. Esse também é um bom momento para os estudantes perceberem a importância (e a presença) da Matemática em outras áreas do conhecimento e reconhecer a Estatística como uma ferramenta utilizada para compreender o mundo em que vivemos. Além disso, é importante promover atividades para dar oportunidade aos estudantes de se posicionarem ante as questões que envolvem o exercício da cidadania.

Incentivar uma leitura compartilhada do texto; é importante verificar se todos os estudantes conhecem o significado das palavras citadas, por exemplo, grilagem etc. Se for necessário, pedir uma pesquisa sobre os termos desconhecidos.

Organizar a turma em duplas ou trios para responderem às questões propostas. Em seguida, pedir aos grupos que mostrem como pensaram para chegar às respostas. Se considerar oportuno, pedir que façam uma pesquisa sobre as consequências do desmatamento na Amazônia Legal e, depois, solicitar que escrevam um texto sobre esse tema, promovendo o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Ambiental.

Por fim, promover um debate entre os estudantes sobre as causas e as consequências do desmatamento na Amazônia Legal. Incentivá-los a pensar nos impactos que os desmatamentos causam na natureza e o que pode ser feito para reduzir esses danos.

253

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

O objetivo das atividades desta seção é propiciar aos estudantes que retomem os conteúdos estudados na Unidade e, caso seja necessário, façam retomadas para sanar as dúvidas que possam surgir.

Se considerar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes que façam um fichamento dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade, com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições.

Os estudantes podem resolver este bloco de questões como uma autoavaliação; por isso, eles devem respondê-las individualmente. É interessante sugerir que realizem estas atividades durante a aula, assim poderão discutir eventuais dúvidas com os colegas.

Enfatizar a necessidade de resolverem os exercícios individualmente, buscando informações de forma autônoma, escolhendo suas fontes para chegar aos resultados. Conversar com os estudantes sobre seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuadas, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado.

Será valioso para o desenvolvimento da autonomia intelectual dos estudantes que percebam seus processos de aprendizagem, suas dificuldades e a importância da busca de informações.

Se ainda persistirem dúvidas, orientá-los a trocar ideias com os colegas e a buscar no livro os conceitos que precisarem lembrar.

Na atividade 5, verificar se os estudantes conseguiram realizar a conversão das medidas corretamente e, caso haja dúvidas, auxiliá-los.

Responda às questões no caderno.

1. (OBM) Imagine uma pilha com cem milhões de folhas de papel sulfite, cada uma com 0,1 milímetro de espessura. Assinale a alternativa mais próxima da altura da pilha.

a) A sua altura.

b) O comprimento do maior animal do mundo, a baleia-azul, que é cerca de 29 metros.

c) A altura do edifício mais alto do mundo, o Petronas Tower, que tem 88 andares.

d) A altura do pico mais alto do mundo, o Monte Everest, que é 8 848 metros.

e) A distância do planeta Terra à Lua, que é muito maior que as alternativas anteriores. Alternativa d.

2. (OBM) Carlos tem 2 010 blocos iguais de 10 cm de largura por 20 cm de comprimento e 1,5 cm de espessura e resolveu empilhá-los, formando uma coluna de 20 cm de largura por 40 cm de comprimento, como na figura. Qual dos valores abaixo, em metros, é o mais próximo da altura dessa coluna?

4. Um gesseiro está colocando uma faixa de gesso em todo o contorno do teto de uma sala. Essa sala tem 3,50 m de largura por 6,30 m de comprimento. Se cada peça de gesso tem 70 cm de comprimento, quantas peças serão usadas para fazer o contorno do teto dessa sala?

a) 28

b) 30 c) 31 d) 32 e) 35

Alternativa a.

5. (FGV-ES) Em nosso país, as áreas de terrenos são medidas com unidades diversas, como, por exemplo, o hectare que corresponde a 10 000 m2; o alqueire paulista, a 24 000 m2; e o alqueire do Norte, a 27 000 m2

Um terreno de 17 alqueires do Norte excede um de 18 alqueires paulistas em:

Alternativa d.

a) 1,8 hectare;

b) 2,2 hectares;

c) 2,5 hectares;

d) 2,7 hectares;

e) 3,1 hectares.

6. Uma fazenda tem 600 ha. Nessa fazenda, 3 4 da área foram reservados para o plantio de laranjas. Qual é a área, em quilômetro quadrado, reservada para a plantação de laranjas?

a) 7

b) 7,5 c) 8 d) 8,5 e) 9

Alternativa b.

3. Na figura, o perímetro do quadrado ABCD é 20 cm. Calcule o perímetro do triângulo equilátero DCE. 15 cm

AMPLIANDO

Atividade complementar

Ao escalar uma trilha, um alpinista percorre

512 m na primeira hora, 256 m na segunda hora, 128 m na terceira hora, e assim sucessivamente. No fim da 5a hora, qual é a distância total percorrida por esse alpinista?

a) 4,5 km2

b) 4,8 km2

c) 5 km2

d) 5,2 km2

e) 5,4 km2

Alternativa a.

7. Para cobrir o piso de uma sala foram usadas placas quadrangulares de 1 2 m de lado.

a) Quantas placas foram necessárias para cobrir 1 m2 de piso? 4 placas.

b) Se o piso todo tem 55 m2 de área, quantas placas foram usadas para cobrir todo o piso da sala? 220 placas.

a) 990 m

b) 992 m

c) 994 m

d) 995 m

Resolução da atividade

e) 996 m

512 + 256 + 128 + 64 + 32 = 992

Alternativa b.

12. b) Não. O perímetro do retângulo cor de rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo azul é 28 u. d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

8. Em uma estrada existe um telefone no quilômetro 28 e outro no quilômetro 640. Devem ser colocados 19 novos telefones entre eles, a uma mesma distância um do outro. Essa distância será de quantos quilômetros? 30,6 km

9. Um triângulo tem como medidas de seus lados três números inteiros e consecutivos, o menor deles medindo 5 cm. Qual é o perímetro desse triângulo?

10. A base de um triângulo retângulo mede 18 cm. A medida da altura é igual a 2 3 da medida da base. Qual é a área desse triângulo? 108 cm2

11. As medidas oficiais de uma quadra de basquete são 20 m por 12 m. O pátio de uma escola tem formato retangular e suas dimensões são 40 m por 32 m. Nesse pátio, foi construída uma quadra de basquete seguindo os padrões oficiais. Qual é a área livre que restou nesse pátio? 1 040 m2

UM NOVO OLHAR

12. Considere u como unidade de medida de comprimento dos retângulos pintados no quadriculado a seguir.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Um novo olhar

a) Dê as medidas dos lados do retângulo:

• cor de rosa; 3 u e 8 u.

• azul. 2 u e 12 u.

b) Verifique se os retângulos têm o mesmo perímetro. Justifique.

c) Considerando u2 como unidade de área, verifique se os retângulos têm a mesma área. Justifique.

Ambos têm área igual a 24 u2

d) Pinte em uma folha de papel quadriculado dois retângulos que tenham a mesma área e os perímetros diferentes.

Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica; área é a medida da superfície de uma figura geométrica.

Nesta Unidade, estudamos unidades de medida de comprimento e de superfície. No cotidiano utilizamos medidas com muita frequência. Por exemplo, ao medir nossa altura, a distância percorrida de casa à escola etc.

Também aprendemos sobre a história das medidas, o estabelecimento do metro como medida padrão de comprimento, outras medidas de comprimento e superfície, além de como calcular o perímetro e a área de algumas figuras planas.

Analisamos gráficos de segmentos aplicados a um contexto ambiental, mostrando a aplicação desse tipo de gráfico na análise de dados que variam ao longo do tempo.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações. É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, assim, possam perceber suas próprias conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A primeira questão propõe uma reflexão sobre algumas unidades de medida que foram utilizadas pelos romanos e que ainda são utilizadas atualmente. É interessante discutir com os estudantes que em alguns países, a milha é comummente utilizada como unidade de comprimento, por exemplo.

• Quais eram as unidades de medida utilizadas pelos romanos? Qual delas ainda é utilizada nos dias de hoje?

Pés e milhas. Ambas ainda são utilizadas, com pequenas alterações.

• Como podemos definir perímetro e área?

• Retome a atividade que realizamos na abertura desta Unidade e descreva como você faria o cálculo da quantidade de papel necessária para revestir a caixa.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

A segunda questão retoma conceitos que foram desenvolvidos nesta Unidade (área e perímetro). Verificar se os estudantes conseguem diferenciar essas definições e, caso seja necessário, retomar o conteúdo, explorando exemplos que os ajudem a identificar que perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica, enquanto área é a medida de uma superfície.

A terceira questão retoma a atividade de abertura. Espera-se que, nesse momento, os estudantes tenham mais recursos para realizar a atividade e, dessa maneira, percebam possíveis avanços.

BNCC NA UNIDADE

Competências gerais:

• 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9

Competências específicas:

• 2, 3, 4, 6 e 8

Habilidades:

Geometria

• EF06MA23

Grandezas e medidas

• EF06MA24

Probabilidade e estatística

• EF06MA33 • EF06MA34

Temas Contemporâneos

Transversais:

• Saúde

• Educação Alimentar e Nutricional

INTRODUÇÃO À UNIDADE

Esta Unidade está organizada em quatro capítulos que contribuem para o desenvolvimento das habilidades EF06MA23, EF06MA24, EF06MA33 e EF06MA34. Apresenta os conteúdos por meio de exemplos contextualizados, atividades diversificadas e seções com temas que contribuem para o desenvolvimento de competências gerais e específicas da área de Matemática e para a formação geral dos estudantes.

O primeiro capítulo aborda as unidades de medida de massa e as transformações dessas unidades. Além disso, explora-se um pouco o funcionamento de uma balança de dois pratos. No segundo capítulo, as unidades de medida de tempo e de temperatura são apresentadas. No terceiro capítulo, aborda-se o conceito de volume e as unidades de medida de volume. No quarto capítulo, exploram-se as unidades de medida de capacidade.

A Unidade é permeada por seções que abordam temas e contextos de relevância social, como a discussão sobre as informações nutricionais presentes nos rótulos dos produtos alimentícios.

GRANDEZAS E MEDIDAS 9

Todos sabem da importância de economizar água, mas também que é necessário manter a higiene. E agora? O que fazer? Deixar sujo ou gastar água para limpar?

• O que você faria para resolver esse problema? Resposta pessoal.

Uma opção são os sistemas de captação de água da chuva (cisternas). Como sabemos, a água da chuva não é própria para o consumo humano, mas é adequada para lavagem de quintais, calçadas, e até para uso em banheiros (descarga).

• Você consegue estimar quantos litros de água são utilizados em cada descarga?

Normalmente, para essas finalidades, usamos uma água que é própria para o consumo (água vinda dos sistemas de abastecimento, poços artesianos etc.). A utilização da água da chuva pode, inclusive, ajudar a diminuir os gastos domésticos.

Na imagem, temos a representação do esquema de funcionamento de uma cisterna que possui caixa-d’água com capacidade de 1 000 litros e um volume de 1 m3. Para se ter uma ideia, uma chuva forte de duas horas seria suficiente para encher uma caixa-d’água com essa capacidade.

• Pesquise o consumo de água em algumas atividades cotidianas e estabeleça relações entre a quantidade de água de chuva armazenada pela cisterna e onde ela poderia ser utilizada. Vale a pena armazenar água da chuva? Por quê? Resposta pessoal.

OBJETIVOS

• Compreender, resolver e elaborar problemas envolvendo unidades de medida de massa.

• Compreender, resolver e elaborar problemas envolvendo unidades de medida de tempo e de temperatura.

• Compreender, resolver e elaborar problemas envolvendo unidades de medida de volume e de capacidade.

• Reconhecer a importância das informações nutricionais em rótulos de embalagens.

• Compreender os procedimentos envolvidos na organização e na realização de uma pesquisa, seguindo etapas previamente estabelecidas.

• Compre ender e desenvolver fluxogramas simples.

MANZI

Resposta pessoal. Uma descarga sem defeito pode gastar de 6 a 14 litros por acionamento, dependendo do modelo.

Resoluções desta Unidade na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Abertura de Unidade

A proposta da abertura tem como objetivo apresentar formas de captação de água que envolvam medidas de capacidade e de volume. Primeiro, perguntar aos estudantes se conhecem o sistema apresentado na imagem, deixar que compartilhem os conhecimentos que possuem sobre o assunto, valorizando a troca de ideias e a argumentação. Esse tema poderá ser explorado em outras áreas do conhecimento, por exemplo, em Ciências, e contribui para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Saúde, da competência geral 7 e da competência específica 2 da área de Matemática, descrita na BNCC.

Na segunda questão, os estudantes são convidados a realizar uma estimativa de litros gastos em atividades cotidianas. A intenção é que os estudantes percebam que algumas atitudes parecem oferecer pouco desperdício, mas, quando se analisa o impacto que podem causar, por exemplo, ao analisar o comportamento de um grupo de pessoas que têm os mesmos hábitos, torna-se um problema de grande proporção. Incentivar os estudantes a realizar cálculos estimados para que possam fundamentar os argumentos sobre a eficiência ou não de utilizar cisternas como uma alternativa para captar água da chuva.

JUSTIFICATIVAS DOS OBJETIVOS

Nesta Unidade são abordados conceitos relacionados a massa, tempo, temperatura, volume e capacidade. Os estudantes devem compreender e organizar as etapas de uma pesquisa utilizando um fluxograma simples. Essas abordagens contribuem

para o desenvolvimento de aspectos das habilidades EF06MA23, EF06MA24, EF06MA33 e EF06MA34.

Na seção Por toda parte, os estudantes têm a oportunidade ler, analisar e interpretar tabelas nutricionais de rótulos de alimentos industrializados. Os rótulos nutricionais são excelentes recursos para desenvolver trabalhos interdisciplinares.

É possível utilizá-los, por exemplo, para explorar informações relevantes relativas à composição química dos alimentos. É importante que os estudantes compreendam como realizar a leitura das informações nutricionais presentes nos rótulos. Desse modo, poderão ficar mais atentos aos hábitos alimentares e fazer escolhas mais saudáveis na hora de consumir alimentos.

MANZI

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Antes de iniciar o boxe, explorar a situação apresentada no Livro do estudante e comentar com eles a maneira que comumente é utilizada no dia a dia para falar da medida da massa de objetos. Depois, explorar a atividade proposta, cujo objetivo é incentivar os estudantes a observar e a reconhecer as unidades-padrão de medidas de massa. Para tanto, realizar uma atividade em que eles manipulem pacotes e objetos com indicação de variadas unidades de medida de massa. Solicitar a eles que registrem também as dúvidas que surgirem durante essa exploração.

Unidades de medida de massa

Ao abordar esse tópico, pode-se fazer uma retomada de como efetuar multiplicações e divisões por 10, 100 e 1 000, pois serão bastante úteis na resolução de problemas ao longo da Unidade.

Leia a situação a seguir.

Mas para que você precisa disso, menino? Mãe, dá para eu esticar a massa de pão e depois medi-la com a fita métrica?

É que a professora pediu para medir a massa de algum produto que a gente tenha em casa.

Mas não é com fita métrica que se mede a massa dos alimentos! A massa de um produto a gente mede com uma balança.

Mas a balança não é para pesar as coisas?

Quando a gente coloca um produto em uma balança, medimos a massa dele. No dia a dia, dizemos que estamos pesando o produto.

Normalmente, as balanças, como a da imagem, fornecem a medida de massa dos produtos em quilograma ou grama. O quilograma e o grama são unidades de medida padronizadas de massa.

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Pesquise, com os colegas, produtos que são comprados por quilograma ou grama. Façam uma tabela como a mostrada e a preencham com o nome dos produtos e a indicação da massa de cada um deles. Resposta pessoal.

UNIDADES DE MEDIDA DE MASSA

Além do quilograma e do grama, há outras unidades de medida padronizadas de massa. Acompanhe no quadro a seguir como elas se relacionam com o grama.

do grama Unidade fundamental Submúltiplos do grama

AMPLIANDO

Atividade complementar

Se um quilograma de carne custa R $ 17,50, quanto devo pagar por 800 gramas dessa carne?

Resolução da atividade

Sabe-se que 1 kg = 1 000 g, ou seja, o grama é a milésima parte do quilograma.

Então: 1 g =0,001 kg

800 g = 800 0,001 kg = 0,8 kg

Como o valor de 1 kg é 17,50 reais, tem-se que 800 gramas custam 0,8 17,50 = 14, ou seja, 14 reais.

WANDSON ROCHA

As unidades mais utilizadas diariamente são o quilograma, o grama e o miligrama. Existe ainda outra unidade de medida de massa, a tonelada (t), que equivale a 1 000 kg e serve para expressar a medida de grandes massas.

Transformação das unidades de medida de massa

Podemos resumir o quadro das unidades de medida de massa da seguinte maneira: da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 10 vezes a unidade seguinte; da direita para a esquerda, cada unidade equivale a 1 10 da unidade seguinte.

Usamos essas relações para realizar as transformações entre as unidades de medida de massa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Transformação das unidades de medida de massa

Após a leitura do texto apresentado no Livro do estudante, perguntar aos estudantes se eles já conheciam todas as unidades de medida de massa apresentadas e quais delas fazem parte do cotidiano deles e em que situações. Incentivar a troca de ideias entre eles e permitir que troquem experiências sobre esse conteúdo.

Acompanhe os exemplos.

1 Uma peça de 3,2 kg tem quantos gramas? kg hg dag

Pelo esquema, notamos que 1 kg equivale a

Assim,

Uma peça de 3,2 kg tem 3 200 gramas.

2 Quantos gramas tem uma ampola de 150 mg?

Pelo esquema, notamos que 1 mg equivale

= (150 ? 0,001) g = 0,15 g.

Uma ampola de 150 mg tem 0,15 g.

3 Quantas toneladas há em 1 750 000 g?

Primeiro, vamos transformar em quilogramas.

Como 1 kg = 1 000 g, então:

Como 1 t = 1 000 kg, temos:

Em 1 750 000 g há 1,75 t.

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Após essa discussão inicial, solicitar a eles que revejam algumas transformações de unidade de medida de massa. Explicar, na lousa, como proceder para realizar essas transformações. Se achar oportuno, solicitar que realizem outras transformações desse tipo.

Por exemplo:

• 5,9 kg equivalem a quantos gramas?

• 12,3 kg equivalem a quantos gramas?

• 2,6 g equivalem a quantos miligramas?

• Quantas toneladas há em 8 626 000 g?

Esperar que respondam no caderno e, durante a resolução, verificar se compreenderam como as transformações devem ser realizadas. Se achar conveniente, solicitar que construam um cartaz com um resumo de como realizar as transformações. Assim, os estudantes terão acesso a esse material sempre que sentirem necessidade.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Estas atividades têm por objetivo proporcionar aos estudantes situações nas quais tenham de transformar unidades de medida de massa. Para facilitar a troca de ideias e conhecimento, organizar os estudantes em duplas para realizar essas atividades. Acompanhar o desenvolvimento das atividades anotando as dúvidas deles para depois fazer as retomadas necessárias. Se possível, após a resolução das atividades, convidar alguns estudantes a compartilhar as estratégias que utilizaram para resolver essas questões.

Na atividade 6, circular pela sala de aula para observar as estratégias de resolução dos estudantes. Uma possibilidade, é calcularem a quantidade de carne, em grama, e, ao final, realizarem a conversão para quilograma.

Na atividade 8, verificar se eles determinaram a quantidade de caixas da pilha e, caso necessário, ajudá-los a perceber que na base há 8 caixas, na segunda camada, 5 caixas e, na última, apenas 1 caixa. Portanto, ao todo, há 14 caixas. Como cada caixa pesa 25 kg, basta realizar uma multiplicação para obter o resultado.

Para ampliar esse estudo, sugere-se que os estudantes sejam convidados a elaborar um problema que envolva unidades de medida de massa. Sugerir que realizem essa atividade individualmente. Atividades de elaboração auxiliam no trabalho de leitura, interpretação e escrita, favorecendo o desenvolvimento de competências, como a competência específica 8 da área de Matemática, e contribuem para a sistematização das ideias e dos conceitos.

ATIVIDADES

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

7.Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Entre as unidades de medida padronizadas, qual você acha mais adequada para expressar a massa:

a) de um pacote de arroz? Quilograma.

b) da carga de um caminhão? Tonelada.

c) de um comprimido? Miligrama.

d) de uma laje de concreto? Tonelada.

e) de uma pessoa? Quilograma.

f) de um ovo de codorna? Grama.

2. Usando o símbolo g ou kg, copie e complete as afirmações com a unidade mais adequada.

a) Uma lata de ervilha tem 500 g

b) Um pacote de açúcar tem 5 kg

c) Um carrinho miniatura tem 235 g

d) Um cacho de uva tem 750 g

e) Um saco de batatas tem 60 kg

f) Uma geladeira tem, aproximadamente, 80 kg

3. Crie duas sentenças como as da atividade anterior e entregue para um colega completá-las. Em seguida, juntos, façam as correções necessárias.

4. Expresse em gramas as seguintes medidas.

a) 2,3 kg 2 300 g

b) 3 4 kg 750 g

c) 950 mg 0,95 g

5. A massa de uma carga mede 83 000 kg. Essa medida corresponde a quantas toneladas? A 83 t.

6. Um sanduíche é feito com 270 g de carne.

a) Quantos quilogramas de carne são necessários para fazer 200 desses sanduíches?

b) Quantos desses sanduíches poderiam ser feitos com 17,55 kg de carne? 65 sanduíches.

6 a) 54 kg

AMPLIANDO

Atividade complementar

7. Elabore um problema usando uma das informações da imagem a seguir.

Pedaço de queijo de 6 kg

R$ 4,50 por 100 gramas

Vendido em pedaços de 750 g

8. (OBM) Num armazém foram empilhadas embalagens cúbicas conforme mostra a figura a seguir. Se cada caixa pesa 25 kg, quanto pesa toda a pilha?

a) 300 kg

b) 325 kg

c) 350 kg

d) 375 kg

e) 400 kg

9. (Saresp-SP) De uma lata com 2 kg de goiabada foram consumidos 250 g no primeiro dia, 200 g no segundo e 450 g no terceiro. A quantidade que sobrou na lata foi: Alternativa b.

a) 900 g

Elabore uma atividade envolvendo unidade de medida de massa. A escolha do tema é livre. Você pode, por exemplo, elaborar um problema envolvendo uma situação real que já vivenciou ou uma situação envolvendo unidades de medida de massa com que tenha mais familiaridade. Depois, troque sua atividade com a de um colega, resolva a atividade dele e, juntos, corrijam as atividades.

(Resposta pessoal)

b) 1 100 g c) 1 550 g

d) 1 650 g

10. Seis embalagens de 0,5 kg correspondem a quantas embalagens de 250 g?

Alternativa c. 12 embalagens.

A BALANÇA DE DOIS PRATOS

O instrumento utilizado para medir massa é a balança. Existem vários modelos de balança, como a balança digital, a balança analógica e a balança de dois pratos, modelo que vamos estudar um pouco sobre o funcionamento.

A ideia desse modelo de balança é fazer com que os dois pratos dela fiquem em equilíbrio.

Em um dos pratos, coloca-se o item que se deseja saber a medida da massa.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS A balança de dois pratos

No outro prato, colocam-se os pesos de metal, de medida de massa conhecida, até que os pratos fiquem em equilíbrio.

Nessa situação, a medida de massa das peras é 1 kg + 1 kg = 2 kg.

ATIVIDADES

3. a) O total de massas de um dos pratos é igual ao total de massas do outro prato:

b) Precisamos inserir uma caixa de 2 kg no outro prato da balança.

Responda às questões no caderno. Observe as ilustrações para responder às questões 1 e 2.

1. Na p rimeira balança, retirando os achocolatados do prato à direita, quantas caixas de gelatina seria necessário inserir nesse prato para manter a balança em equilíbrio? 40 caixas.

2. Quantos potes de fermento da figura 2 “pesam” o mesmo que um objeto de sua escolha? Resposta pessoal.

3. Considere que as massas das caixas na balança a seguir estão em quilogramas.

Uma sugestão de encaminhamento para iniciar o trabalho com esse tópico é perguntar aos estudantes se conhecem esse tipo de balança ou já tiveram a oportunidade de manusear uma. Ouvir as experiências deles e, ao longo da conversa, fazer perguntas como: “O que significa dizer que os pratos da balança estão em equilíbrio?”.

É interessante registrar na lousa as observações e respostas dadas por eles; nesse primeiro momento, a ideia é incentivá-los a falar o que sabem para depois formalizar os conceitos envolvidos.

Atividades

Este bloco de atividades pode ser resolvido em duplas. Observar as estratégias utilizadas pelos estudantes e, se necessário, fazer intervenções que os ajudem nas resoluções. É importante que eles leiam as situações e as compreendam.

a) Explique por que a balança está em equilíbrio.

b) Se adicionarmos uma caixa de 2 kg a um dos pratos, o que precisa ser feito para manter o equilíbrio? Complete o cálculo.

Na atividade 1, é necessário transformar 2 kg em gramas e dividir esse valor pela massa da caixa de gelatina. Na atividade 2, espera-se que os estudantes escolham um objeto de massa conhecida; desse modo, se ambos os objetos fossem colocados na balança, ela ficaria em equilíbrio.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medidas de tempo

Verificar se os estudantes compreendem que o segundo (s) é a unidade-padrão de medida de tempo no Sistema Internacional de Unidade (SI). Se considerar interessante, pode-se propor a eles que realizem uma pesquisa e montem um quadro com as unidades de medida fundamentais abordadas nesta Unidade.

Comentar com eles que a abreviação “seg” não deve ser utilizada para representar o segundo ou se referir a ele. Dessa maneira, para escrever 10 segundos, deve-se escrever 10 s, e não 10 seg.

Descubra mais

As unidades de medida de tempo, assim como ocorre com outras grandezas, são convenções sociais. Isso significa dizer que, em algum momento da história, se decidiu dividir o ano, por exemplo, em 12 meses, o dia em 24 horas, a hora em 60 minutos. O podcast indicado valoriza os conhecimentos historicamente construídos sobre o assunto para entender a realidade e contribui para o desenvolvimento da competência geral 1.

MEDIDAS DE TEMPO E DE TEMPERATURA CAPÍTULO2

MEDIDAS DE TEMPO

A unidade padronizada para medir intervalos de tempo é o segundo, cujo símbolo é s. Porém, no dia a dia utilizamos também os múltiplos do segundo, como o minuto e as horas, considerando as seguintes equivalências.

• 1 minuto equivale a 60 segundos. 1 min = 60 s

• 1 hora equivale a 60 minutos 1 h = 60 min ou ou a 3 600 segundos. 1 h = 3 600 s

Note que os múltiplos do segundo não estão organizados na base decimal. No entanto, os submúltiplos do segundo, como os décimos, centésimos e milésimos de segundo, seguem a base decimal.

Múltiplo do segundo Unidade fundamental Submúltiplos do segundo Hora Minuto Segundo Décimo de segundo Centésimo de segundo Milésimo de segundo h min s ds cs ms

3 600 s 60 s 1 s 0,1 s 0,01 s 0,001 s

Acompanhe alguns exemplos.

1 Meia hora corresponde a 0,5 h ou, ainda, 0,5 ? 60 min = 30 min.

2 3,2 h, em minuto, correspondem a 3 60 min + 0,2 ? 60 min = = 180 min + 12 min = 192 min.

3 2,4 min, em segundo, correspondem a 2 ? 60 s + 0,4 ? 60 s = = 120 s + 24 s = 144 s.

4 4 800 s, em minuto, correspondem a 4 800 : 60 min = 80 min. 80 min, em hora, correspondem a 80 : 60 min = 1,33 h ou, ainda, 1 hora e 20 minutos.

Para encontrar a correspondência entre 4 800 s, em hora, poderíamos calcular diretamente 4 800 s : 3 600 s = 1,33 h.

DESCUBRA MAIS

PODCAST #13: Segundo – 12 falanges entre o nascer e o pôr do Sol [Semana da Metrologia, Dia 4]. Locução de: Marlon J. Martins. [Maceió]: Metrologia, 17 maio 2018. Podcast. Disponível em: https://canalmetrologia.com.br/12-falangens-entre-o-nascer-e-o-por-do-sol/. Acesso em: 11 jul. 2022.

Você já se perguntou por que o dia tem 24 horas, e não 10 h ou 35 h? Por que 1 h foi subdividida em 60 minutos? De onde tiraram esses valores? Ouça esse podcast que pode contribuir para a compreensão dessas definições. 262 D2_AV3-MAT-F2-2103-V6-U9-256-275-LA-G24.indd

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

MEDIDAS DE TEMPERATURA

De modo geral, podemos dizer que há muitas situações no cotidiano em que é possível identificar medidas de temperatura. Por exemplo, quando verificamos a previsão do tempo antes de sair de casa ou preaquecemos o forno para preparar uma receita. O termômetro é um instrumento utilizado para medir temperaturas e há diversos tipos dele. Acompanhe alguns exemplos a seguir.

Termômetro clínico digital. Utilizado para medir a temperatura corporal.

Termômetro digital infravermelho. Pode ser utilizado para medir a temperatura corporal.

Na pandemia de covid-19, os termômetros digitais infravermelhos passaram a ser amplamente utilizados em diversos locais, como escolas, supermercados e aeroportos, para verificar a temperatura das pessoas de maneira rápida, prática e sem contato físico.

Nos termômetros apresentados, todas as temperaturas estão indicadas em °C (lê-se grau Celsius), pois essa é unidade de medida de temperatura utilizada no Brasil e em muitos outros países.

Acompanhe a situação a seguir.

Você já observou como, normalmente, é indicada a previsão do tempo em aplicativos de celular ou mesmo em um telejornal?

É comum que a previsão do tempo seja apresentada indicando a previsão de temperatura máxima e a previsão de temperatura mínima, como na representação a seguir.

Na segunda-feira, por exemplo, a previsão é de que a temperatura mínima seja 24 °C e a temperatura máxima, 32 °C. Portanto, ocorrendo a previsão, a variação entre as temperaturas máxima e mínima será de 32 °C 24°C = 8 °C. Isso significa que, a partir da temperatura mínima, a temperatura aumentará 8 °C até atingir a temperatura máxima.

Essa diferença entre a temperatura mínima e a máxima registradas em um mesmo local, em certo período, é chamada de amplitude térmica.

Termômetro de rua. Utilizado para medir a temperatura ambiente.

Termômetro culinário digital do tipo espeto. Pode ser utilizado para medir a temperatura de alimentos e bebidas.

Medidas de temperatura Como sugestão de encaminhamento, recomenda-se que esse tópico seja iniciado com uma leitura compartilhada do texto apresentado no Livro do estudante. Perguntar a eles quais dos termômetros apresentados eles viram ou tiveram a oportunidade de manusear, no caso dos termômetros de uso caseiro. Explicar que, além da escala Celsius, que é utilizada no Brasil, existem outras escalas que podem ser utilizadas para indicar temperatura, como a escala Fahrenheit e a escala Kelvin, contribuindo para o desenvolvimento da competência específica 3. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade-padrão para expressar medidas de temperatura é a Kelvin, cujo símbolo é K. Explicar para eles que nessa escala, especificamente, a palavra grau não acompanha o símbolo da escala, ou seja, não se fala ou escreve grau Kelvin. Se considerar oportuno, compartilhar com eles o trecho apresentado seguir.

[...] A escala kelvin, também denominada escala absoluta, tem subdivisão de sua escala com o mesmo tamanho da escala Celsius. O primeiro ponto fixo, isto é, o ponto de fusão do gelo, corresponde a 273 K, e o segundo ponto fixo, o ponto de ebulição da água, corresponde a 373 K.

FONSECA, Railene Azevedo da. Paródias: uma sequência didática para termometria e dilatação térmica no Ensino Médio. Dissertação (Mestrado em Ensino de Física) – Universidade Federal do Acre, Rio Branco, 2020. Disponível em: http://www2.ufac.br/mnpef/ menu/dissertacoes/turma-de-2018/ railene-azevedo-da-fonseca.pdf. Acesso em: 21 ago. 2022.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

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DANIEL CYMBALISTA/PULSAR IMAGENS

RESHETNIKOV_ART/SHUTTERSTOCK.COM

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

O objetivo dessas atividades é que os estudantes utilizem os conhecimentos relacionados às unidades de medida de tempo e de temperatura abordados ao longo do capítulo. Desse modo, é favorecido o desenvolvimento da habilidade EF06MA24.

Na atividade 5, orientar os estudantes a calcular o tempo médio gasto pelo cabeleireiro para atender 14 pessoas em 25 minutos.

Na atividade 6, incentivar a elaboração de enunciados de problemas envolvendo unidades de medida de tempo. Em seguida, permitir a troca entre os estudantes, incentivando-os a trabalhar em duplas ou grupos de maneira respeitosa, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 9.

3. 17h45min

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

7 a) Rafael e Caio. Porque a temperatura deles é superior a 36,5 °C e 37 °C, que são temperaturas consideradas normais.

Responda às questões no caderno.

1. Sabendo que um dia tem 24 horas, responda.

a) Quantos minutos tem um dia? 1 440 min

b) Quantos segundos tem um dia? 86 400 s

2. O planeta Terra leva cerca de 23,93444 h para completar uma rotação. Assim, uma rotação da Terra corresponde a, aproximadamente:

a) 23 horas, 4 minutos e 56 segundos.

b) 23 horas, 56 minutos e 4 segundos.

c) 24 horas e 56 minutos.

d) 23 horas, 56 minutos e 40 segundos.

Alternativa b.

3. Um jogo de futebol teve duração de 105 minutos. Determine o horário de término desse jogo se ele começou às 16 h.

7. Considere que 36,5 °C é a temperatura corporal estabelecida como normal. Quando a temperatura chega a 37 °C, dizemos que a pessoa está febril e, quando está acima dessa temperatura, dizemos que a pessoa está com febre. Analise as temperaturas a seguir.

Rafael Caio Flávia

37,8 °C 38,1 °C 36,5 °C

a) De acordo com as temperaturas apresentadas. Quem está com febre? Por quê?

b) Escreva as medidas de temperatura em ordem crescente. 36,5 °C; 37,8 °C; 38,1 °C

c) Quantos graus a medida de temperatura de Rafael, está acima da temperatura considerada normal? 1,3 °C

8. Na tabela a seguir, estão registradas as temperaturas previstas para o dia 12 de julho de 2022 para algumas capitais brasileiras.

Temperaturas previstas para o dia 12 de julho de 2022

Capital

4. A volta mais rápida em um circuito de corrida teve a duração e 1 min 11,983 s. Quantos segundos durou essa volta?

71,983 s

5. Juliano é barbeiro e atende, em média, um cliente em 25 minutos. Certo dia, Juliano estava com pressa e conseguiu atender 14 pessoas em um intervalo de 5 horas e 22 minutos. Quantos minutos ele conseguiu economizar nesses atendimentos? 28 minutos.

6. Elabore um problema envolvendo medidas de tempo e entregue-o para um colega resolvê-lo. Depois, juntos, façam as correções necessárias.

AMPLIANDO

Podcast

PODCAST #33 | A cor tem temperatura. Locução: Marlon J. Martins. [S l.]: Metrologia, 7 dez. 2019. Podcast. Disponível em: https://canalmetrologia.com. br/a-cor-tem-temperatura/. Acesso em: 20 ago. 2022. No podcast, é explorada a relação entre as cores e suas temperaturas.

28

Elaborada com base em: INSTITUTO NACIONAL DE METEOROLOGIA. Brasília, DF, [20--]. Site. Disponível em: https://previsao.inmet.gov.br/. Acesso em: 11 jul. 2022.

Macapá (AP).

a) Para qual capital brasileira está prevista a maior temperatura máxima nesse dia?

b) Para qual capital está prevista a menor variação entre as temperaturas mínimas e máximas? Qual é a amplitude térmica?

c) Em quais capitais as temperaturas mínimas podem ser menores que 20 °C?

8. b) Aracaju (SE). Amplitude de 5 °C.

c) Belo Horizonte (MG), Campo Grande (MS) e Vitória (ES).

MEDINDO O ESPAÇO OCUPADO CAPÍTULO3

VOLUME

PENSE E RESPONDA

Responda no caderno.

Quantos cubinhos há em cada figura?

Volume é a medida do espaço ocupado por um sólido, por um líquido ou por um gás.

Quando tomamos o como unidade de medida para expressar volumes, podemos dizer que o volume:

• da Figura A é 42 ; • da Figura B é 210 ; • da Figura C é 24 Acompanhe.

Como medir o volume deste bloco?

Primeiro, vamos dividi-lo em cubinhos para verificar de quantos cubinhos é formado o bloco.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Pense e responda

Antes de iniciar a leitura da questão proposta, explorar os conhecimentos prévios dos estudantes sobre o conteúdo que será trabalhado. É interessante mobilizar os conhecimentos e experiências que eles possuem aliando-os a materiais manipulativos para estabelecer relações entre o que eles já sabem, os novos termos e os conteúdos que serão tratados.

Explorar a relação existente entre as figuras A e B e entre B e C . Incentivá-los a perceber que a figura A é composta de uma quantidade de cubinhos que corresponde a uma das camadas que compõem a figura B

Observando apenas uma das camadas do bloco, percebemos que são cinco fileiras de 3 :

5 x 3 = 15

Como o bloco todo possui quatro camadas, temos 4 x 15 = 60 Então, podemos dizer que o de volume desse bloco é:

V = (5 x 3 x 4) = 60

quantidade de camadas (altura) quantidade de blocos por fileira (largura) quantidade de fileiras (comprimento)

Constatamos, então, que, para calcular quantos formam o bloco, ou seja, para calcular o volume do bloco usando como unidade de medida, multiplicamos o comprimento do bloco por sua largura e por sua altura.

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Se possível, levar cubinhos para que os estudantes possam manipular e reproduzir os arranjos apresentados na seção. Esse processo de manipular os cubinhos pode ajudá-los a perceber, informalmente, a relação entre as medidas das arestas dos blocos retangulares. É importante que eles vivenciem a atividade e possam construir a noção de volume.

Após a resolução, formalizar o conceito de volume e pedir-lhes que anotem esse conceito no caderno ou em um cartaz que possa ficar exposto na sala de aula, assim eles montam aos poucos um resumo dos conteúdos estudados na Unidade.

Figura A : 42 Figura B: 210 Figura C: 24.

Figura C

Figura B

Figura A ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Unidades de medida de volume

O objetivo aqui é reconhecer o metro cúbico como a unidade de medida fundamental para expressar a medida de volume.

É importante que os estudantes compreendam e consigam estabelecer as relações entre as unidades de medida de volume.

Solicitar que façam uma leitura do texto apresentado no Livro do estudante para que depois possam discutir as unidades de medida de volume. Perguntar se eles conhecem essas unidades de medida e em que situações elas podem ser utilizadas.

Se for conveniente, organizar a turma em duplas ou trios, apresentar os cubinhos do material dourado e desafiar os estudantes a construir blocos retangulares utilizando determinado número de cubinhos, por exemplo, 8, 24, 18, 60, 27 e 36. Relembrar aos estudantes que cada cubinho corresponde à unidade de medida 1 cm3, pois as dimensões dos cubinhos correspondem a 1 cm. Pedir que preencham façam um quadro com o volume, o comprimento, a largura e a altura de cada bloco retangular construído. É interessante os estudantes perceberem que pode haver mais de uma maneira de construir os blocos retangulares.

Para que os estudantes tenham a ideia real do tamanho das principais unidades de medida de volume centímetro cúbico e decímetro cúbico, solicitar que construam dois cubos com dimensões iguais a 1 cm e 1 dm, confeccionados em cartolina ou outro material que achar conveniente. Para isso, é necessário retomar a planificação do cubo. Essa atividade pode ser apresentada como um desafio e realizada em grupos. Por fim, perguntar qual é a relação entre os volumes desses cubos.

No Sistema Internacional de Unidade (SI), a unidade para expressar a medida de volume é o metro cúbico, cujo símbolo é m3. O metro cúbico corresponde ao volume de um cubo com 1 metro de aresta.

Unidades de medida de volume

Além do metro cúbico, existem outras unidades de medida padronizadas para expressar volumes. Observe no quadro essas unidades, dispostas em ordem decrescente, com as respectivas abreviações.

Múltiplos do metro cúbico Unidade fundamental Submúltiplos do metro cúbico

Quilômetro cúbico Hectômetro cúbico Decâmetro cúbico Metro cúbico Decímetro cúbico Centímetro cúbico Milímetro cúbico km³ hm³dam³m³dm³cm³mm³ (1 000 m)³ (100 m)³(10 m)³(1 m)³(0,1 m)³(0,01 m)³(0,001 m)³

1 000 000 000 m³1 000 000 m³1 000 m³ 1 m³0,001 m³0,000001 m³0,000000001 m³

As unidades de medida mais utilizadas para expressar volumes, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico

No quadro, da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 1 0 00 vezes a unidade seguinte; da direita para a esquerda, cada unidade equivale a 1 1 000 da unidade seguinte.

Acompanhe a seguir alguns exemplos de transformação de unidades.

1 Transformar 50 0 00 cm3 em decímetro cúbico.

km3hm3dam3m3dm3cm3mm3

Como da direita para a esquerda cada unidade representa 1 1 000 da unidade anterior, devemos dividir 50 0 00 cm3 por 1 0 00.

50 000 cm3 = (50 000 : 1 0 00) dm3 = (50 000 ? 0,001) dm3 = 50 dm3

2 Quantos centímetros cúbicos há em 1 2 m3?

km3hm3dam3m3dm3cm3mm3

Como da esquerda para a direita cada unidade representa 1 000 vezes a unidade seguinte, multiplicamos 1 2 m3 por 1 0 00 1 000 (1 000 000).

1 2 m3 = 0,5 m3 = (0,5 1 000 000) cm3 = 500 0 00 cm3

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

VOLUME DO BLOCO RETANGULAR E DO CUBO

Algumas ruas são calçadas com pedras. Cada uma dessas pedras lembra um sólido geométrico conhecido como bloco retangular

Suponha que esta imagem represente um bloco retangular de pedra com as dimensões indicadas.

IMAGENS FORA DE PROPORÇÃO.

25 cm (largura)

25 cm (altura)

40 cm (comprimento)

De modo prático, é possível obter o volume de um bloco retangular multiplicando suas três dimensões; no caso desse bloco, multiplicando o comprimento (40 cm), a largura (25 cm) e a altura (25 cm).

V = 40 cm ? 25 cm ? 25 cm = 25 000 cm3

O volume desse bloco é 25 000 cm3 ou 25 m3

Vamos observar, agora, o caso do cubo: ele é um bloco retangular em que o comprimento, a largura e a altura têm medidas iguais. Essas três dimensões do cubo são dadas pelas medidas das arestas, e todas têm a mesma medida.

Acompanhe o cálculo do volume de um cubo cujas arestas medem 4,3 m.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Volume do bloco retangular e do cubo Aqui os estudantes deverão calcular o volume de um bloco retangular e de um cubo multiplicando suas três dimensões: comprimento, largura e altura. Pedir aos estudantes que observem e relacionem as dimensões do bloco retangular com o seu volume. É esperado que eles percebam que existe um padrão para determinar o volume de blocos retangulares. Com isso, espera-se que os estudantes compreendam a fórmula: volume = comprimento x largura x x altura.

arestas

Dados:

• comprimento = 4,3 m

• largura = 4,3 m

• altura = 4,3 m

V = 4,3 m 4,3 m 4,3 m = (4,3)3 m3 = 79,507 m3

O volume desse cubo é 79,507 m3

PRES PANAYOTOV/SHUTTERSTOCK.COM

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

As atividades desta página têm como objetivo propor aos estudantes problemas envolvendo diversas unidades de medida de volume, assim como o cálculo do volume de blocos retangulares e cubos. Desse modo, dá-se continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF06MA24.

Nas atividades 5, 8 e 9, os estudantes podem conferir o resultado da multiplicação efetuada, usando uma calculadora. Se necessário, retomar a estrutura da multiplicação de números decimais.

Responda às questões no caderno.

1. O cubo colorido de verde, na figura a seguir, indica a unidade de medida de volume da caixa. Quantas dessas unidades cabem na caixa? 72 unidades.

7. Qual é o sólido de maior volume: um cubo de aresta 4 m ou um bloco retangular de dimensões 8 m, 4 m e 2 m?

AMPLIANDO

Atividade complementar

2. (Saresp-SP) Considerando um cubinho como unidade de volume, o volume do bloco representado na figura abaixo é:

a) 10

b) 15

c) 25

d) 30 Alternativa d.

3. (Saresp-SP) Na figura abaixo tem-se uma caixa sem tampa que foi preenchida com cubos cujos lados medem 1 cm. Qual é o volume dessa caixa?

a) 60 cm3

b) 50 cm3

c) 40 cm3

d) 30 cm3 Alternativa a.

4. Qual é o volume de um bloco retangular cujas dimensões são 30 m, 18 m e 12 m? 6 480 m3

5. Determine o volume de um cubo de 2,5 m de aresta. 15,625 m3

6. Devo construir uma piscina de 8 m de comprimento por 5 m de largura e 1,5 m de profundidade. Que volume de terra deve ser retirado para essa construção? 60 m3

b)

Considere os arranjos de cubos que formam os sólidos a seguir. Cada cubinho tem aresta de 10 mm. Determine o volume de cada sólido formado em milímetro cúbico, em centímetro cúbico e em decímetro cúbico.

c)

8. Um depósito de material para construção utiliza um caminhão basculante para transportar areia. Quantos metros cúbicos de areia esse caminhão pode carregar, no máximo, sabendo que as dimensões internas da carroceria do caminhão são:

• comprimento = 3,40 m

• largura = 2,10 m

• altura = 0,80 m 5,712 m3

9. As dimensões de um tijolo são 0,20 m de comprimento, 0,10 m de largura e 0,05 m de altura. Qual é o volume de argila usada para fabricar esse tijolo?

Os volumes são iguais: 64 m3 0,001 m3

10. Transforme em metros cúbicos.

a) 8 40 dm3 0,840 m3

b) 14 500 000 mm3 0,0145 m3

c) 1 000 dm3 1 m3

11. Quantos decímetros cúbicos há em:

a) 3,5 m3? b) 1 250 cm3?

3 500 dm3 1,25 dm3

12. Elabore um problema que envolva uma das medidas de volume da atividade anterior. Depois, troque o problema elaborado com um colega para que um resolva o que o outro elaborou. Juntos, façam as correções.

13. O volume máximo que um bujão de gás pode conter é 13,5 dm3 . Tendo sido gastos 2 3 dessa quantidade, quantos decímetros cúbicos de gás ainda restam no bujão? 4,5 dm3

Resolução da atividade

Se cada aresta mede 10 mm, o volume de cada cubinho é: volume (cubinho) = 103 mm3 = 1 000 mm3

Assim, para determinar o volume de cada sólido, basta saber de quantos cubinhos ele é composto.

a) Essa configuração é formada por três camadas: na primeira (a de baixo), há 5 cubinhos; na segunda, 3; e, na terceira (a de cima), 1. Então, ao todo, nessa configuração, há 9 cubinhos.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

MEDIDA DE CAPACIDADE

Quando se considera o espaço interno de um objeto tridimensional, recorremos ao conceito de capacidade, que corresponde ao volume da parte interna do objeto.

Para indicar a capacidade de um recipiente, é comum utilizarmos, como unidade de medida, o litro, cujo símbolo é L, e seus múltiplos e submúltiplos. Acompanhe no quadro a seguir como essas unidades de medida se relacionam.

Múltiplos do litro Unidade fundamental Submúltiplos do litro

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Medida de capacidade

Dentre essas unidades, a mais usada, além do litro, é o mililitro (mL), principalmente para expressar pequenas capacidades.

Transformação das unidades de medida de capacidade

Podemos resumir o quadro das unidades de medida de capacidade da seguinte maneira: da esquerda para a direita, cada unidade equivale a 10 vezes a unidade seguinte; da direita para a esquerda, cada unidade equivale a 1 10 da unidade seguinte.

Observe os exemplos.

1 Expressar 15 L em mililitros.

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volume = 9 ? 1 000 mm3 = 9 000 mm3

Logo, o volume é 9 000 mm3 ou 9 cm3 ou, ainda, 0,009 dm3

b) Esse sólido é formado por duas configurações de cubinhos: uma, a de trás, é uma placa com 25 cubinhos, e a outra, a da frente, é uma pilha com 8 cubinhos. Então, ao todo são 33 cubinhos.

volume = 33 ? 1 000 mm3 = 33 000 mm3

Logo, o volume é 33 000 mm3 ou 33 cm3 ou, ainda, 0,033 dm3.

c) Esse sólido é composto de 21 cubinhos, pois na camada de baixo há 14 cubinhos, na camada do meio, 5 e, na de cima, 2.

volume = 21 ? 1 000 mm3 = 21 000 mm3

Logo, o volume é 21 000 mm3 ou 21 cm3 ou, ainda, 0,021 dm3

Os estudantes serão levados a relacionar a quantidade de líquido existente no interior de um recipiente com a capacidade do recipiente, conhecer e estabelecer as relações existentes entre as diversas unidades de medida de capacidade. Esse estudo favorece o desenvolvimento de aspectos da habilidade EF06MA24. Incentivar os estudantes a levar embalagens, como latas e garrafas, contendo os valores de suas capacidades. Pedir que observem esses valores e verifiquem, no quadro dos múltiplos e submúltiplos, qual é a relação entre o litro e o mililitro. Espera-se que os estudantes percebam que o mililitro é a milésima parte de 1 litro, ou seja, 1 mL = 1 1000 L = = 0,001 L. Solicitar que façam uma lista de produtos medidos em litro e em mililitro, anotando a capacidade de cada um, por exemplo, latas, garrafas, remédios, jarras graduadas etc. Esse procedimento pode contextualizar e favorecer a aprendizagem.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Atividades

Nestas atividades, os estudantes terão a oportunidade de aplicar os conhecimentos sobre as relações existentes entre o litro, seus múltiplos e submúltiplos, além de resolver problemas.

Organizar os estudantes em duplas para realizar essas atividades e acompanhar a resolução, fazendo intervenções sempre que necessário. Incentivar os estudantes a organizar os dados de cada questão e a fazer esboços de desenhos. Essas estratégias podem contribuir para compreender os problemas e determinar os cálculos ou as relações necessárias para se chegar à resposta. É importante que os estudantes se habituem a estimar os resultados e verificar se as respostas fazem sentido.

Solicitar a eles que resolvam os desafios individualmente e que anotem todas as estratégias utilizadas na resolução. Caso não consigam resolver, sugerir que anotem uma justificativa. Orientá-los a escrever, sem muito rigor matemático, esse exercício de justificar tanto a resposta como o fato de não terem conseguido resolver a questão proposta, que pode ser uma excelente ferramenta para estimular a leitura e a escrita nas aulas de Matemática.

2 Expressar 330 mL em litros. hL

3 Expressar 250 mL em litros.

ATIVIDADES

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Responda às questões no caderno.

1. Expresse em litro.

a) 1 200 mL 1,2 L

b) 87 mL 0,087 L

c) 3,5 dL 0,35 L

d) 1 hL 100 L

2. Escolha uma unidade de medida de capacidade da atividade anterior e elabore um problema para um colega resolver. Depois, juntos, façam as correções necessárias.

3. Quantos litros cabem em uma lata de 33 cL? 0,33 L

4. Devem ser distribuídos 10 0 00 L de água em garrafas com capacidade de 250 mL cada uma. Quantas garrafas serão usadas? 40 000 garrafas.

DESAFIOS

5. Para tirar água de um poço, você possui apenas dois baldes: um de 5 litros um de 3 litros. Você precisa ficar, exatamente, com 1 litro de água.

AMPLIANDO

Atividade complementar

Propor aos estudantes uma atividade experimental em que possam verificar que 1 L = 1 dm3. Essa atividade pode ser realizada em duplas.

Cada dupla constrói, com um papel resistente ou outro material que achar conveniente, um recipiente com a forma de cubo com volume interno de 1 dm3. Lembrar aos estudantes que 1 dm3 corresponde ao volume

Como fazer isso?

6. Márcia está preparando um bolo. Ela já mediu quase todos os ingredientes, faltando apenas 300 mL de leite. Márcia não sabe como medir essa quantidade, pois os únicos recipientes de que dispõe são uma jarra de 500 mL e um copo de 200 mL. O que você faria se estivesse no lugar de Márcia?

de um cubo de 10 cm de aresta. É necessário que vedem bem as arestas com fita adesiva.

Providenciar uma garrafa que tenha capacidade de 1 litro. Pode ser garrafa de leite, suco, ou até mesmo uma jarra graduada, contendo areia ou grãos de arroz.

Em seguida, os estudantes devem despejar a areia ou o arroz de um recipiente a outro para verificar experimentalmente que 1 L corresponde a 1 dm3

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

1 a) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes discordem da senhora, pois o pão integral apresenta menores quantidades de calorias e dos demais elementos nocivos à saúde quando consumidos em excesso.

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL

No Brasil, desde 2001, todos os alimentos e bebidas comercializados devem, por lei, trazer as informações nutricionais em seus respectivos rótulos. Essa medida busca orientar os consumidores a adotar alimentos mais saudáveis em sua dieta, fazendo escolhas mais conscientes quando vão ao supermercado.

1. Leia a situação e os rótulos a seguir. Compare os dados e depois, no caderno, responda às questões.

Carla foi ao supermercado comprar alguns produtos para preparar um lanche. Enquanto observava as embalagens e lia os rótulos de dois pães, um tradicional e outro integral, uma senhora se aproximou de Carla e lhe disse que ambos os pães eram igualmente saudáveis.

PÃO DE FORMA TRADICIONAL

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL

Porção de 50 g (2 fatias)

(*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas.

Fonte: Fábrica de pães.

PÃO DE FORMA INTEGRAL

INFORMAÇÃO NUTRICIONAL

Porção de 50 g (2 fatias)

Quantidade por porção %VD(*)

Valor Energético 98 kcal = 414 kJ 4%

Carboidratos 12 g 4%

Proteínas 4,5 g 6%

Gorduras totais Gorduras saturadas Gorduras trans

0,5 g 0,5 g 0 g

1% 1% –

Fibra alimentar 1,2 g 5%

Sódio 150 mg 6%

(*)% Valores Diários de referência com base em uma dieta de 2 000 kcal ou 8 400 kJ. Seus valores diários podem ser maiores ou menores dependendo de suas necessidades energéticas.

Fonte: Fábrica de pães.

a) Após comparar os dois rótulos de informação nutricional, você concorda com a opinião da senhora que abordou Camila no supermercado? Por quê?

b) Você e seus familiares têm o hábito de conferir de quais ingredientes um produto é feito, bem como suas informações nutricionais? Consideram isso importante? Justifique sua resposta. Resposta pessoal. 271

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Link

BRASIL. Ministério da Saúde. Agência Nacional de Vigilância Sanitária. Gerência Geral de Alimentos. Rotulagem nutricional obrigatória. Brasília, DF: Ministério da Saúde, 2005. Disponível em: https://www.gov.br/anvisa/pt-br/centraisdeconteudo/publicacoes/ alimentos/manuais-guias-e-orientacoes/rotulagem-nutricional-obrigatoria-manual-de -orientacao-as-industrias-de-alimentos.pdf. Acesso em: 20 ago. 2022.

No manual, é possível encontrar mais informações sobre rótulos de produtos, contribuindo para a discussão proposta na seção.

01/09/22

Por toda parte Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de ler, analisar e interpretar tabelas nutricionais existentes em rótulos de alimentos industrializados. Os rótulos nutricionais são excelentes recursos para desenvolver trabalhos interdisciplinares. Eles contêm informações importantes relativas à composição química dos alimentos e são o elo de comunicação entre as indústrias e os consumidores. É importante que a população entenda as informações nutricionais presentes nos rótulos para ter maior consciência de seus hábitos alimentares e poder fazer escolhas mais saudáveis do que consome. A discussão dessa atividade contribui para o desenvolvimento do Tema Contemporâneo Transversal Educação Alimentar e Nutricional, das competências gerais 2 e 8 e das competências específicas 2, 3 e 4 da área de Matemática. Fazer um levantamento do conhecimento prévio dos estudantes, perguntando se costumam ler os rótulos das embalagens dos alimentos e se conhecem as informações que eles contêm. Pedir aos estudantes que leiam o modelo de tabela nutricional apresentado no Livro do estudante. Conversar com eles sobre cada item e verificar se todos compreenderam o seu significado. Por exemplo, o Percentual de Valores Diários (%VD) é um número em percentual que indica quanto um produto apresenta de energia e nutrientes em relação a uma dieta de 2 000 quilocalorias. Mas não é necessário ficar somando as quantidades de cada nutriente para saber se atingiu ou não as recomendações diárias. Para isso, basta saber que um alto %VD indica que o produto apresenta alto teor de determinado nutriente. Já os produtos com %VD reduzido indicam o contrário. Para ter uma alimentação mais saudável, é preferível escolher produtos com baixa %VD para gorduras saturadas, gorduras trans e sódio e produtos com alta %VD para as fibras alimentares.

Tratamento da informação

O objetivo desta seção é possibilitar aos estudantes que compreendam que, para realizar uma pesquisa, é necessário o planejamento detalhado das atividades envolvidas nesse trabalho. Aqui, o fluxograma é apresentado como um dos instrumentos que auxiliam na sistematização e na organização das atividades envolvidas em uma pesquisa.

A seção aborda informações importantes para realizar o planejamento de uma pesquisa. Esse estudo favorece o desenvolvimento das habilidades EF06MA23, EF06MA33 e EF06MA34, das competências gerais 4 e 9 e da competência específica 8 da área de Matemática, além de favorecer o pensamento computacional, a empatia e cooperação, o planejamento, a argumentação e as expressões oral e escrita

Iniciar o trabalho com uma discussão em grupo para explorar o conhecimento prévio dos estudantes e verificar se eles entenderam o propósito dessa atividade. Começar uma conversa com eles, fazendo perguntas como: “O que é uma pesquisa?”, “Qual é o propósito de uma pesquisa?”. Deixar que eles se expressem e anotar as respostas dadas na lousa, de modo que facilite a compreensão do que está sendo discutido.

Depois, perguntar se já realizaram alguma pesquisa com coleta de dados anteriormente e pedir que expliquem como procederam. Se sim, abrir espaço para que os estudantes falem sobre suas experiências e ideias; é importante incentivar o diálogo entre eles.

INFORMAÇÃO TRATAMENTO DA

FAZENDO UMA PESQUISA

A realização de uma pesquisa envolve algumas etapas importantes. Quando o objetivo é fazer uma pesquisa em grupo, é fundamental pensar sobre como as tarefas serão divididas entre os integrantes. Todos devem concordar com o tema escolhido e se organizar para realizar a coleta e a organização dos dados.

Observe uma sugestão de como organizar as etapas de uma pesquisa.

Início: escolher o tema da pesquisa.

Definir os objetivos da pesquisa.

Elaborar o problema.

O problema é claro e objetivo?

AMPLIANDO Link

Rever as etapas, redistribuir as tarefas e ajustar o cronograma.

Elaborar um cronograma e distribuir as tarefas.

A pesquisa será concluída no prazo e todos os integrantes possuem tarefas?

É possível adquirir os recursos ou realizar a pesquisa sem eles?

Fim: socializar os resultados da pesquisa.

Elaborar um documento sobre a pesquisa.

VIANA, Lucas Henrique. Plano de aula: interpretando fluxogramas. Nova Escola. São Paulo, [20--]. Disponível em: https://novaescola.org.br/planos-de-aula/fundamental/6ano/ matematica/interpretando-fluxogramas/5129. Acesso em: 20 ago. 2022.

Nesse link, o professor vai encontrar um plano de aulas orientando como trabalhar a interpretação de fluxogramas.

A estratégia apresentada anteriormente foi organizada por meio de um fluxograma, ou seja, as sugestões de etapas para a realização de uma pesquisa foram dispostas utilizando-se uma representação gráfica com os procedimentos que compõem uma sequência de passos a serem realizados, desde o planejamento até a apresentação dos dados obtidos. Ao organizar dados dessa maneira, é possível compreender as etapas de um processo de maneira rápida e eficiente. Além disso, essa disposição nos ajuda a identificar os principais passos de uma sequência, permitindo uma visão ampla do trabalho que será desenvolvido; assim, é possível planejar o papel que cada um dos envolvidos terá para se chegar ao resultado desejado. Responda às questões no caderno.

Respostas pessoais. Exemplo de respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

1. Reúna-se aos colegas, e escolham um tema que seja de interesse comum do grupo e importante para a sociedade a fim de que possam realizar a pesquisa. Após a escolha do tema, elaborem um fluxograma para a pesquisa e, depois, o executem.

2. Socializem o resultado da pesquisa (final do fluxograma) da maneira que julgarem mais oportuna (peça de teatro, música, campanha publicitária, relatório escrito etc.).

3. Depois da apresentação dos dados da pesquisa, elaborem um texto de autoavaliação. O grupo deve revisitar os procedimentos adotados, destacando o que poderia ser melhorado e o que deu certo. É interessante que compartilhem as experiências com a turma.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Propor aos estudantes a realização de uma leitura compartilhada do fluxograma apresentado no Livro do estudante. Verificar por meio de perguntas se todos compreenderam as etapas descritas. É importante que os estudantes percebam que os fluxogramas possuem símbolos próprios para designar as etapas e atividades de decisão. Apresentar na lousa alguns desses símbolos e, se considerar necessário, apresentar outros símbolos que também possam ser usados na construção de um fluxograma.

Indicaadireçãodofluxoe conectaduasetapas(símbolos) dofluxograma.

Indicaoinícioeofimde um fluxo.

Indicaqueumadecisãoprecisa sertomada.Adireçãoqueo fluxoseguirádependedela.

Indicaumatarefaaserrealizada.

Indica a criação de um documento aserlidoporpessoas,comoum relatório.Nesseprocesso,diversas ferramentaspodemserusadas paraaelaboraçãodetextos, ta�elasegráficos.

Organizar os estudantes em grupos e pedir que sigam o roteiro proposto nas questões do Livro do estudante. Antes que escolham o tema, enfatizar que deve ser um tema de interesse deles, deve ser relevante e ter um propósito. Para ajudá-los na escolha, é importante que eles definam o que se deseja saber sobre o tema. Outras questões relevantes que os grupos precisam discutir são: o público-alvo da pesquisa, os instrumentos para a coleta de dados, como a pesquisa pode ser divulgada etc.

Em seguida, pedir aos grupos que elaborem um fluxograma tendo como exemplo o que foi apresentado Livro do estudante. No entanto, é importante que cada grupo crie o próprio fluxograma, atendendo às necessidades específicas do seu modo de trabalho e às características de sua pesquisa. Nesse momento, os estudantes também podem fazer um fluxograma para as atividades de cada membro do grupo, que se conectará ao fluxograma geral. Por fim, se achar conveniente, pedir aos estudantes que socializem os resultados de suas pesquisas na comunidade escolar.

Definir os recursos utilizados para a pesquisa.

Coletar os dados e as informações.

Organizar os dados.

Discutir com o grupo os objetivos da pesquisa e elaborar um problema que os conduza a eles.

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ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Retomando o que aprendeu

Nesta seção, os estudantes terão a oportunidade de retomar e aprofundar os conteúdos vistos nesta Unidade.

Sugerir que realizem individualmente as atividades, como autoavaliação, para que percebam seu processo de aprendizagem. É importante que os estudantes possam observar suas conquistas e dificuldades, criando mecanismos que os ajudem na superação de desafios. Esse processo é importante para desenvolver a autonomia.

Depois, apontar para cada estudante seus acertos e erros, indicando a correção com intervenções pontuais, isto é, dando pistas de quais caminhos eles poderão buscar para encontrar o resultado esperado.

Se achar conveniente, antes de iniciar as atividades, propor aos estudantes que façam um esquema dos conteúdos trabalhados no decorrer desta Unidade com o objetivo de retomar, organizar e sistematizar as ideias e definições. Orientá-los a consultar o Livro do estudante para buscar as informações necessárias.

Por fim, disponibilizar um tempo para os estudantes mostrarem como pensaram para resolver as questões, tirando as dúvidas dos colegas. Se as dúvidas persistirem, retomar o ponto/conteúdo que considerar necessário. Se achar oportuno, incentivá-los a elaborar desafios para os colegas e depois corrigi-los.

Responda às questões no caderno.

1. Um sólido é formado por seis camadas de cubos. Em cada camada, estão oito cubos idênticos. Se cada cubo tiver 10 cm de aresta, qual será o volume desse sólido? 48 000 cm3

6. Um cubo A tem 2 cm de aresta. Um cubo B tem 1 2 cm de aresta. Quantas vezes o cubo B cabe no cubo A? 64 vezes.

2. Um sólido tem 1,2 m3 de volume. Um segundo sólido tem um volume que corresponde a 5 8 do volume do primeiro. Qual é o volume do segundo sólido?

7. (OBMEP) Quantos copos de 130 mililitros é possível encher, até a borda, com dois litros de água? WANDSON

a) 11

b) 12

c) 13 d) 14 e) 15

3. Uma família consome 750 mL de suco de laranja em cada refeição. Em uma semana, considerando-se que a família faça duas refeições diárias, quantos litros de suco seriam consumidos? 10,5 L

4. Um reservatório tem a forma de um bloco retangular, com 5 m de comprimento, 1,20 m de largura e 1,20 m de altura. O reservatório está totalmente cheio de água. Por efeito da evaporação, o nível da água baixou 5 cm. Quantos metros cúbicos de água restaram após a evaporação? 6,9 m3

5. Uma empresa comprou 100 barris, e cada barril continha 120 L de óleo. A quantidade de óleo deverá ser colocada em recipientes que têm 750 mL de capacidade. Quantos recipientes serão necessários?

0,75 m3 16 000 recipientes.

8. Uma torneira goteja sete vezes a cada 20 segundos. Sabendo que 1 hora equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos e, admitindo que as gotas tenham sempre volume igual a 0,2 cm3, qual é o volume, em decímetro cúbico, de água que vaza em uma hora?

9. Verificou-se que, nos últimos anos, a produção anual de certa matéria-prima vem dobrando, regularmente, a cada ano. Em 2007, a produção anual dessa matéria-prima foi 125 quilogramas. Em qual ano a produção anual foi 2 toneladas? 2011

WANDSON ROCHA; EDITORIA DE ARTE

ROCHA

Alternativa e. 0,252 dm3

10. (OBMEP) Cada uma das 5 xícaras da figura está cheia só com café, só com leite ou só com suco. No total, a quantidade de café é o dobro da de suco. Nenhuma das bebidas está em mais de 2 xícaras diferentes. Quais as xícaras que contêm leite?

II

temperatura mínima é 21 °C. Nessas condições, qual é a variação de temperatura prevista para esse município?

12. Uma laje é formada por 20 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1 4 t de massa. Qual é a massa da laje toda? 25 t

13. U ma laje é formada por 28 blocos de concreto. Todos os blocos têm a mesma massa. Sabendo que a laje tem 42 toneladas, quantos quilogramas tem cada bloco? 1 500 kg

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Na atividade 14, é importante acompanhar o processo de elaboração, ajudando os estudantes a estruturar o texto para que os objetivos das questões sejam claros. É importante tranquilizá-los em relação a esse processo de escrita, explicando que as situações elaboradas por eles devem ser simples e podem envolver situações do cotidiano deles.

III IV V

a) Apenas a xícara I.

b) A s xícaras III e IV.

c) A s xícaras II e V.

d) A s xícaras III e V.

e) A s xícaras IV e V.

Alternativa e.

11. A t emperatura máxima prevista para certo município é 35 °C, e a

UM NOVO OLHAR

14. Elabore duas atividades sobre os conteúdos trabalhados nesta Unidade. Utilize, se quiser, gráficos e tabelas para transmitir as informações do enunciado. Incentive o uso de tecnologias para a resolução das atividades, como calculadora e planilha eletrônica. Depois, troque suas atividades com as de um colega, resolva as atividades dele e, juntos, corrijam as atividades.

Resposta pessoal. Exemplo de resposta na seção Resoluções comentadas deste Manual.

Nesta Unidade, continuamos os nossos estudos sobre unidades de medida, agora explorando medidas de massa, de intervalo de tempo e de temperatura: onde são utilizadas e os instrumentos de medição adequados a cada situação.

Além disso, ampliamos nossos conhecimentos sobre o volume que um corpo ocupa no espaço e a capacidade de armazenamento que esse corpo tem em seu interior. Estudamos duas medidas fundamentais, a medida de volume – o metro cúbico (m3) – e a medida de capacidade – o litro (L).

Estudamos, também, os submúltiplos e múltiplos do m3 e do L, bem como as estratégias relacionadas à conversão de medidas.

Vamos, agora, refletir sobre as aprendizagens adquiridas ao longo desta Unidade. Responda no caderno às questões seguintes.

A balança e o termômetro.

• Quais são os instrumentos usados para medir massa e temperatura, respectivamente?

• Qual é a unidade padronizada de medida de tempo? O segundo.

• Qual é a unidade de medida usada para expressar grandes massas? A tonelada.

• Qual é a unidade fundamental de medida de volume? O metro cúbico (m3).

• Houve alguma mudança na sua postura em relação à pergunta feita na abertura da Unidade sobre deixar as coisas sujas ou gastar água? Resposta pessoal.

• Atividade de pesquisa: pesquise em livros, revistas ou na internet a diferença entre peso e massa. A massa é fixa, enquanto o peso varia de acordo com a gravidade.

Um novo olhar

Os questionamentos existentes no encerramento desta Unidade poderão permitir, além da retomada dos conteúdos apresentados, diferentes reflexões e sistematizações.

É importante que os estudantes respondam individualmente a cada uma das questões para que, dessa maneira, possam perceber suas conquistas e possíveis dúvidas sobre cada conteúdo estudado na Unidade.

A terceira questão se refere à unidade de medida muito utilizada para expressar grandes massas, a tonelada. É oportuno o estudante relacionar a tonelada com o quilograma. Seu símbolo é t e corresponde a 1 000 kg.

A quinta questão busca retomar o tema sobre o uso consciente de água. Espera-se que os estudantes tenham consciência em relação ao desperdício de dinheiro e de água tratada para higienizar locais que podem ser limpos utilizando-se outros métodos, ou seja, alternativas que ajudam a reduzir o consumo de água.

Na última questão, os estudantes devem recordar que existe uma distinção entre peso e massa. A diferenciação se torna importante para o uso correto da terminologia específica, inclusive para outras áreas do conhecimento. Incentivá-los a pesquisar e a registrar essas informações no caderno.

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Tecnologias

Esta seção tem por objetivo apresentar noções de lógica de programação por meio do desenvolvimento de um algoritmo simples usando o software Scratch. Espera-se, assim, favorecer o desenvolvimento do conceito de algoritmo, que é um dos pilares do pensamento computacional, e contribuir para o desenvolvimento da habilidade EF06MA23, da competência geral 5 e da competência específica 6 da área de Matemática.

O Scratch é uma linguagem de programação por blocos simplificada, que é voltada para crianças e jovens. Apresenta um ambiente de programação de uso livre e que permite criar programas de modo lúdico e intuitivo. Para conhecer mais sobre essa linguagem, acessar o link a seguir, disponível em: https://scratch.mit.edu/about (acesso em: 23 ago. 2022).

Antes de iniciar o trabalho com o software, ler o exemplo inicial com os estudantes. Verificar se eles compreenderam que o preparo do achocolatado pode ser traduzido em etapas e que a ordem dela é importante.

Pedir-lhes que deem mais exemplos de ações do cotidiano cuja realização envolva etapas, por exemplo, estudar para uma prova, arrumar a mesa para uma refeição, tomar banho etc.

Comentar o significado da palavra algoritmo – sequência de etapas para a realização de uma ação – e a relação dessa definição com as etapas descritas nos exemplos anteriores. Em seguida, citar a importância dos algoritmos em Matemática, por exemplo, na realização das operações fundamentais, para as quais os algoritmos sugerem um modo organizado e sistemático de resolução que facilita os cálculos de modo geral.

INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO UTILIZANDO UM SOFTWARE

Para realizar determinadas ações do cotidiano, podemos organizar uma sequência de etapas para chegar ao resultado esperado. Isso é bastante comum no caso de receitas, por exemplo. Acompanhe como poderíamos descrever as etapas para fazer um achocolatado.

1. Em um copo, coloque uma colher de achocolatado.

2. Acrescente leite até completar o copo.

3. Com uma colher, misture bem até o achocolatado dissolver por completo.

Essa situação descrita é simples. Para situações mais complexas, a organização de um passo a passo torna-se fundamental para a execução correta das ações e, nesse caso, o uso de tecnologias pode ser necessário, facilitando o processo.

Uma sequência de passos para executar determinada ação é chamada de algoritmo. O passo a passo para fazer o achocolatado pode ser considerado um algoritmo. Nesta seção, estudaremos como criar um algoritmo simples utilizando o software Scratch.

O Scratch é uma linguagem gratuita de programação em blocos. Voltada para crianças e jovens, essa linguagem foi desenvolvida para facilitar, de modo prático e intuitivo, a criação de programas. Acesse a página inicial do software, disponível em https://scratch.mit.edu/ (acesso em: 22 ago. 2022) e clique em Criar. A tela inicial do Scratch aparecerá. Acompanhe os principais campos e funcionalidades na Figura 1 a seguir.

Aqui ficam os blocos de instruções disponíveis para a construção do programa, separados em menus. Cada cor de menu indica uma categoria de blocos, de acordo com sua função.

Esta é a janela de visualização. Nela você acompanhará o que acontece durante a execução do código.

Este espaço é a janela principal onde a construção do programa acontecerá. Para construir o código do programa, basta arrastar os blocos da coluna da esquerda para este espaço.

O gato é o ator inicial que realizará as ações de acordo com os comandos do algoritmo. As funcionalidades dessa parte permitem trocar ou acrescentar atores e cenários.

É interessante, ainda, citar a utilização dos algoritmos em programas de computador, os quais configuram uma das ferramentas computacionais mais importantes junto às linguagens de programação.

Figura 1

Vamos usar o Scratch para criar um algoritmo em que o ator diz algo e se movimenta na tela. Para isso, a partir da tela inicial do programa, acompanhe os passos a seguir.

1 Selecione o menu Eventos e arraste o bloco para a janela principal. Esse é um dos modos, e o mais usual, de iniciar a execução do código. Com isso, as instruções encaixadas nesse bloco são executadas até o fim, sem interrupções, quando o ícone for acionado.

2 No menu Aparência, arraste o bloco para a janela principal, encaixando-o no bloco anterior. No primeiro campo digitável desse bloco, escreva Olá! Vamos dar uma volta? e, no segundo campo, complete com 3

3 Em seguida, no menu Movimento, arraste o bloco e encaixe no conjunto construído até então. No campo digitável desse bloco, escreva 100

4 Ainda no menu Movimento, encaixe o bloco no conjunto da janela principal para fazer o ator mudar de direção. No campo digitável, escreva 90. Por fim, repita o passo 3. Ao final, o algoritmo obtido está indicado na Figura 2

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

Antes de iniciar a construção do algoritmo proposto na seção, apresentar aos estudantes os recursos básicos do Scratch e possibilitar a eles que explorem livremente o software Depois, seguir os passos propostos e realizar com os estudantes o algoritmo de movimentação da personagem na tela. Verificar se eles compreendem cada passo e o encadeamento dos passos para que a personagem realize a ação prevista. Fazer alguns testes e simulações com outras ferramentas e valores digitados para que os estudantes observem o efeito da mudança de cada passo na ação final que será realizada.

Depois, vamos executar o algoritmo. Clique em e acompanhe o ator se movimentando pela janela de visualização.

Agora, junte-se a um colega, e façam o que se pede utilizando o Scratch.

1. Crie um algoritmo em que o ator ande 60 passos e diga “É hora de estudar”.

2. Crie um algoritmo em que o ator gire 30° no sentido horário, ande 100 passos e diga “Muito bem!” durante 10 segundos.

3. Crie um algoritmo em que o ator ande em torno de um quadrado que mede 100 passos de comprimento.

Para realizar as atividades propostas na seção, organizar os estudantes em duplas e solicitar a cada dupla que descreva o algoritmo que foi criado, justificando cada passo. Em seguida, solicitar-lhes que troquem ideias entre si e observem se houve diferença entre a resolução das duplas e corrijam eventuais erros. É importante que os estudantes consigam separar as etapas e traduzi-las por meio de comandos e ferramentas que o programa oferece. Por exemplo, na atividade 1, é interessante questionar quais são as tarefa envolvidas na ação (escolha do ator; utilização da ferramenta de movimentação, incluindo valor numérico que se refere à quantidade de passos; o bloco de textos do programa).

Propor aos estudantes que elaborem outros algoritmos e peçam aos colegas que o executem utilizando o Scratch. Em seguida, pedir-lhes que compartilhem as estratégias utilizadas e eliminem as dúvidas que surgirem.

Figura 2 Respostas na seção Resoluções comentadas deste Manual.

UNIDADE 1 Sistemas de numeração

Abertura de Unidade – p. 12

• Respostas pessoais.

• Respostas pessoais.

1. Uma história muito antiga

Pense e responda – p. 14

Respostas pessoais.

Atividades – p. 18

1. a) 351 b) 1 135 c) 1 201

2. a-2; b-1; c-3

3. a) XXII

b) VIIICCCXX c) CDXX

4. a) Dois mil e cem.

b) Trinta milhões e duzentos.

c) Trezentos e trinta e três.

d) Cento e oitenta.

5. a) 12h3min

b) 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente.

c) X

6. a) b)

c)

d)

2. E o nosso sistema de numeração?

Pense e responda – p. 22

1. Podemos representar infinitos números naturais.

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 23

1. a) São iguais.

b) Cinco; 5.

2. a) 302 c) 100 000

b) 1 d) 19 900

3. a) 3 b) 5 c) 8 d) 1

4. a) 887

b) 99 c) 0 d) 11 999

5. Todo número natural tem sucessor e, com exceção do zero, todo número natural tem antecessor.

6. a) 1 001 b) 20 010 c) 4 002 d) 6 006

7. a) 640 b) 1 328 c) 19 556

8. a) 1 005

b) 9 011 c) 20 223

Tratamento da informação – p. 24

1. a) Aproximadamente 100 milhões de toneladas.

b) Agropecuária e Mudança de Uso da Terra e Florestas.

2. Respostas pessoais.

3. a) Ano; área desmatada em km2

b) 2015 c) 11 957 km2

d) 11 957 km2 6 118 km2 = 5 839 km2

e) Resposta pessoal.

4. Pesquisa dos estudantes.

Pense e responda – p. 26

1. a) Maior b) 5; 70 c) 50; 7

2. a) Trocar o 6 com o 0; 7 650.

b) Trocar o 6 com o 5; 7 065.

Atividades – p. 28

1. 257, 275, 527, 572, 725 e 752.

a) 752 b) 257

2. a) Cento e sessenta e cinco.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

3. Alternativa e.

4. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + 40 + 3; oito milhões, quinhentos e quarenta e três.

5. Resposta pessoal.

6. a) 99.

b) Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83.

c) Na coluna que vemos mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ...

d) 217 e 218.

e) 8; resposta pessoal.

Por toda parte – p. 29

1. UM

5 597; cinco mil, quinhentos e noventa e sete.

6 992; seis mil, novecentos e noventa e dois. U

6 110 000; seis milhões, cento e dez mil.

2. Resposta pessoal.

3. Pesquisa do estudante.

Tecnologias – p. 30

1. Respostas pessoais.

2. Resposta pessoal.

3. Subtrair 300 000.

4. a) Adicionar 1. b) Adicionar 10. c) Adicionar 100. d) Subtrair 60 000.

5. Resposta pessoal.

6. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. c) Resposta pessoal.

7. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 32

1. Sete; 7; . Existem outras possibilidades.

2. Resposta pessoal.

3.

M M M C C C X X X

4. a) 4 algarismos; 7, 5, 0 e 4. b) 4 algarismos; 1 e 0. c) 7 algarismos; 5. d) 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0.

5. Respostas pessoais.

6. 36 344 052 = 30 000 000 + 6 000 000 + + 300 000 + 40 000 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezentos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois.

7. a) 567; 569

b) 43 858; 43 860

c) 2 850 391; 2 850 393

d) 999 999 230; 999 999 232

8. Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três.

9. a) , b) . c) , d) = e) ,

10. Alternativa c.

11. a) Medida. b) Código. c) Contagem. d) Ordem.

12. Respostas pessoais.

13. 20, 13, 6, 9, 2000 e 594: medida; Três, 52 e 160: contagem; Primeiro: ordem.

Um novo olhar – p. 33 Respostas pessoais.

UNIDADE 2

Cálculos com números naturais

Abertura de Unidade – p. 34

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

1. Adição

Atividades – p. 39

1. 12 945 crianças. Resposta pessoal.

2. Alternativa d.

3. a) Comutativa.

b) Elemento neutro. c) Associativa.

4. 59. Elemento neutro.

5. a) Sim. b) Verdadeira.

6. Resposta pessoal.

2. Subtração

Atividades – p. 42

1. Em 2023; 318 participantes a mais.

2. 8 745 reais. Resposta pessoal.

3. 11a posição.

4. a) Rússia. b) 5a posição.

c) 151 153 km2

5. 16 m3

6. 1 275 000 reais.

7. 36 966 527 habitantes.

Atividades – p. 44

d) 8 587 896 km2 e) Resposta pessoal.

1. a) 3 806 b) 3 984

2. 122 bilhões de dólares.

3. a) 13 420 b) 7 005

4. 14 livros.

5. a) 120 b) 18 c) 150 d) 60

6. a) 10 b) 19

7. a) 1 310 pessoas matriculadas.

b) Hidroginástica. c) 246

Educação financeira – p. 45

• Respostas pessoais.

Tratamento da informação – p. 46

1. Tem direito a votar todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo.

2. Resposta pessoal.

3. Multiplicação

Pense e responda – p. 49

1. a) Cláudio: 12 maçãs; Berta: 24 maçãs.

b) Cláudio: 30 maçãs; Berta: 60 maçãs.

Atividades – p. 51

1. 300 laranjas.

2. 559 azulejos.

3. Aproximadamente 110 240 habitantes.

4. 6 maneiras distintas.

5. a) 96 trens. b) 12 000 passageiros.

6. 162 000 metros quadrados.

7. 1 024 linhas verticais e 512 linhas horizontais.

8. a) 840 b) 840 c) 4 140 d) 4 140

9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 53

1. 237

3. 2 835 60 = 170 100 ou 81

5. Potenciação

Pense e responda – p. 59

3. Todos os fatores são iguais.

2. 63

2 100 = 170 100

4. a) 25 123 = 3 075 ou (25 72) + (25 51) = 3 075

b) 32 16 = 512 ou (32 64) (32 48) = 512

5. a) 1 b) 0

4. Divisão

Pense e responda – p. 55

1. 4 vezes.

2. 6

3. Não; sobra um pedaço de 2 quadradinhos roxos.

4. Não; fica faltando um pedaço de 1 quadradinho para completar a barrinha azul.

Atividades – p. 56

1. 15 vezes.

2. 46 miniaturas.

3. 43 reais.

4. 6 viagens.

5. 338

6. 11 viagens.

7. 9 cupons; 24 reais.

8. Alternativa a.

9. Resposta pessoal.

Atividades – p. 57

1. a) n = 65 b) n = 181 c) n = 1 610

2. 765

3. 215 laranjas.

4. 119

Atividades – p. 58

1. 8 : 0

2. 0 : 10 3. 5

4. Resposta pessoal. 5. 4

2. 10 kg

1 milhão.

3. Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 67

1. Região Norte.

2. 1 108 970 pessoas.

3. Onze mil, setecentos e oitenta e quatro.

6. Expressões numéricas Atividades – p. 72

9. a) 80 b) 825 c) 339

10. a) 10 b) 197 c) 16 d) 31

11. a) 24 b) 120 c) 56

12. 64

13. 9

14. Resposta pessoal.

Fórum – p. 73

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 74

1. Alternativa d.

2. Alternativa b.

3. Alternativa a.

4. Alternativa b.

5. Alternativa d.

6. Alternativa a.

Um novo olhar – p. 75

• Respostas pessoais.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. Sim.

UNIDADE 3

7. 193 doces.

8. Alternativa d.

9. Alternativa e.

10. Alternativa b.

11. Resposta pessoal.

3. a) BC , BD ou AC

b) AB ou AC c) AB , CD ou BC

4. a) AB e MN

b) BN, BC ou CN

c) AB e AM ou AC e AB

5. a) Verdadeira.

b) Falsa. c) Verdadeira. d) Verdadeira.

6. Resposta pessoal.

7. a) 6 u b) 2 u c) 4 u

8. a) 4 u c) 1 u e) 6 u

b) 2 u d) 6 u f) 10 u

9. Figuras a, d, e, h.

10. 10 segmentos. 11. Respostas pessoais.

3. Figuras geométricas

Atividades – p. 89

1. Resposta pessoal. 2. Resposta pessoal.

3. a) Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro.

b) Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água.

4. Plana.

5. a) Plana. b) Não plana.

Figuras geométricas

Abertura de Unidade – p. 76 Respostas pessoais.

1. Ponto, reta e plano

Atividades – p. 79

1. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

2. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

3. a) “Cabeça” de alfinete; um pingo de tinta em uma folha de papel.

b) Encontro de duas paredes; corda esticada.

c) Superfície de uma parede; superfície de uma lousa; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa.

2. A reta

Atividades – p. 81

1. Uma única reta.

2. Inclinada.

3. Infinitas retas.

4. a) Concorrentes. d) Paralelas.

b) Concorrentes. e) Concorrentes.

c) Concorrentes.

5. a) Vertical. b) Concorrente.

6. a) Cláudio trabalha na Rua Visconde de Inhaúma, e Sueli trabalha na Rua Comandante Marcondes Salgado.

b) Paralelas. c) Não.

d) Resposta pessoal.

7. Resposta pessoal.

Atividades – p. 86

1. Nas figuras 3, 6 e 7.

2. a) Cinco: PA, PB , PC, PD e PF

b) 7 segmentos: BP , AP, FP , CP , DP , CF e DB

4. Sólidos geométricos

Pense e responda – p. 93

1. Resposta pessoal. Poliedros: A, B, C e D. Prismas: E, F, G, H.

2. Resposta pessoal.

3.

4.

Sim, continuam válidas.

2. Maior: Europa e Ásia Central; menor: África Subsaariana.

3. Aumentou em todas as regiões.

4. 69,8 anos.

5. 79,8 anos; 81,0 anos.

6. Respostas pessoais.

7. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. Retomando o que aprendeu – p. 98

1. a) III; b) I; c) II; d) V; e) IV.

2. a) BA e BC b) 3 segmentos: AB BC e AC

3. 99 faces laterais.

4. Alternativa d.

5. A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; e a face oposta a 3 é a face C.

6. Alternativa c.

7. a) b)

f) Sim, continuam válidas.

5. Resposta pessoal.

Atividades – p. 94

1.

a) Cilindro: corpo redondo.

b) Esfera: corpo redondo.

c) Pirâmide: poliedro.

d) Prisma hexagonal: poliedro.

e) Cubo: poliedro.

f) Cone: corpo redondo.

2. Um prisma triangular.

3. Prisma hexagonal; 12 vértices.

4. a) Pirâmide I: 8 faces, 8 vértices e 14 arestas. Pirâmide II: 9 faces, 9 vértices e 16 arestas.

b) Pirâmide I: Triângulos; polígono de 7 lados. Pirâmide II: Triângulos; polígono de 8 lados.

5. 10 faces e 18 arestas.

6. 12 vértices; icosaedro.

7. Alternativa f.

8. Alternativas: a, b, d, f, h.

Fórum – p. 95

Respostas pessoais.

Tratamento da informação – p. 96

1. Expectativa de vida ao nascer no ano 2000, 2010 e 2020, respectivamente.

Um novo olhar – p. 99

• As ideias intuitivas são: o ponto, a reta e o plano, que não podem ser comprovadas matematicamente e são aceitas sem definição.

• Resposta pessoal.

• O número de faces (F) mais o número de vértices (V) é igual ao número de arestas (A) mais 2. Ou seja: F + V = A + 2.

UNIDADE 4

Múltiplos e divisores

Abertura de Unidade – p. 100

• Cinema 1 (caso tenha 5 fileiras com 17 cadeiras cada) ou Cinema 2.

• Respostas pessoais.

• Resposta pessoal.

• Respostas pessoais.

1. Noções de divisibilidade

Pense e responda – p. 102

1. a) 18 vezes.

b) 12 vezes.

c) 9 vezes.

d) 6 vezes.

e) 3 vezes.

f) 2 vezes.

g) 1 vez.

h) 36 vezes.

2. a) 23 vezes. c) Nenhum.

b) 1 vez.

Fórum – p. 104 Respostas pessoais.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

Atividades – p. 105

1. a) 2

b) 3 c) 4 d) 0 e) 1 f) 2

2. Dividendo Divisor Quociente Resto 518 16 32 6 259 8 32 3

1 036 32 32 12

3. 205 4. Três. 5. 555 6. 297

7. 6 grupos de 10 equipes; 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes.

8. Resposta pessoal. 9. 42 anos.

10. a) 6 b) 9

11. 91

2. Critérios de divisibilidade

Atividades – p. 110

1. a) Sim.

b) Sim.

c) Sim.

d) Não. e) Sim. f) Não.

g) Não. h) Não. i) Não.

2. a) 259, 295, 529, 592, 925 e 952.

11. 104 12. 3 13. 15

14. a) 2008 e 2020.

b) Dois: 1992 e 1996.

c) Década de 2000: 2000, 2004 e 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

15. 2o) resto

3o) resto 4o) é 5o) não é

• Resposta pessoal.

16. Resposta pessoal. 17. Alternativa c.

Atividades – p. 124

j) Não.

b) 592 e 952. c) Nenhum deles.

3. a) Não. b) 3

4. a) • Sim. • Sim. • Sim. • Não. • Sim. • Sim.

b) 4

5. 3 000, 3 003, 3 030, 3 300, 3 033, 3 303, 3 330 e 3 333.

19. É divisível por 2, 3, 4, 6 e 9. Tratamento da informação – p. 116

1. 5 milhões de habitantes a mais

2.

a) 500 refeições; 250 refeições; 125 refeições.

b) • Só no 1o trimestre.

• Nos 2o, 3o e 4o trimestres.

• 500 refeições.

• 250 refeições.

1. a) 2 23 b) 5 17 c) 3 19

2. Não; 3 2 2 11.

3. Alternativas b,

7 11

n = 34 8. a) 2 420 c) 459

b) 364 d) 7 623

9. 4

10. a) 771 é composto e 839 é primo; 771 = 3 257.

b) Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 125

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 126

• 4 567, 5 387, 6 389.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 128

1. Alternativa d.

a) 3 000 e 3 300.

b) 3 000 c) 3 000

6. a) 2 b) 2 c) 2 d) 8

7. Resposta pessoal.

8. Todos os podem ser substituídos por 3 ou por 9.

9. Resposta pessoal.

3. Divisores e múltiplos de um número natural Pense e responda – p. 112

1. a) 1 22; 2 11

b) 1 ? 60; 2 30; 3 20; 4 15; 5 12; 6 ? 10

c) 1 17

d) 1 24; 2 12; 3 8; 4 6

2. a) 1, 2, 11 e 22.

b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

c) 1 e 17.

d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Atividades – p. 114

1. a) Não.

b) Sim. c) Sim. d) Não.

2. a) Sim. c) Não.

b) Não. d) Sim.

3. a) 2

b) 2, 3, 6, 9

c) 5

4. 1 e 5.

d) 3, 5, 9 e) 2, 3, 6, 9 f) 2, 5, 10

5. a) 2 e 14. b) 5 e 35. c) 1 e 7. 6. 30 anos. 7. Alternativa c. 8. 0, 15, 30, 45, 60, 75 9. 299 10. a) 202

b) 36

c) 0 e 4.

d) 4 e) 222 e 444.

c) 1o trimestre: 3 125; 2o trimestre: 3 625; 3o trimestre: 3 875; 4o trimestre: 4 750.

Venda de refeições Trimestre

d) Resposta pessoal.

3. 150 milhões.

4. 106 716 367 669

5. Resposta pessoal.

4. Números primos

Atividades – p. 120

1. Resposta pessoal.

2. a) 15

b) 5 casas.

refeições

Fonte: Dados fictícios.

2. a) D (6) = {1, 2, 3, 6}

b) D (9) = {1, 3, 9}

c) D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

d) D (15) = {1, 3, 5}

• Sim; o 3 é um divisor comum.

3. Alternativa d. 4. Alternativa a.

5. Alternativa e.

6. 8 casas; 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48.

7. Alternativa c.

8. 12

9. Alternativa d.

Um novo olhar – p. 129

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

UNIDADE 5

c) Século 21; 21 não é um número primo.

3. Não.

4. a) 67 é primo. b) 41 é primo.

c) 311 é primo.

5. 47, 83, 97 6. 131 e 211.

7. a) 195 b) Não.

8. a) Primo: 7, 47 e 43; Composto: 28, 27, 21, 22, 33 e 72; Nem primo nem composto: 1 e 0.

b) Sim; 31, 37 e 7.

9. a) 43. Resposta pessoal.

b) 14: 1, 2, 7 e 14; 38: 1, 2, 19 e 38; 25: 1, 5 e 25; 43: 1 e 43; 22: 1, 2, 11 e 22; 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

c) Resposta pessoal.

10. 202 azulejos.

11. Alternativa e.

12. Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

A forma fracionária dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 130

• Sim; não são partes necessariamente iguais, mas são partes.

• Peça amarela: 1 parte de 8 partes ou 1 8 ; peça

laranja: 1 parte de 16 partes ou 1 16 ; peça verde:

1 parte de 32 partes ou 1 32

• Resposta pessoal.

1. A ideia de fração

Pense e responda – p. 132

1. a) 3 b) 5

c) 1 8

Pense e responda – p. 135

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. 1 4 da barra de chocolate. Atividades – p. 136

1. Alternativas a, b, d, e, f, h, i.

2. a) 1 4 b)

5. a) 20 25 b)

7. a) 9 10 b) No período da manhã.

2. Problemas envolvendo frações Atividades – p. 138

1. 28 pessoas.

2. 3 600 000 reais.

3. 450

4. 24 estudantes. 5. 406 acidentes.

6. a) 9 quadradinhos. c) 15 quadradinhos.

b) 12 quadradinhos. d) 8 quadradinhos.

7. 3 dias. 8. 69 reais.

3. Comparando frações Pense e responda – p. 140

8. a) 5 60 da hora; 1 12 h.

b) 15 60 da hora; 1 4 h.

c) 30 60 da hora; 1 2 h.

d) 10 60 da hora; 1 6 h.

e) 45 60 da hora; 3 4 h.

f) 60 60 da hora; 1 h.

9. 20

a) x = 18

x = 33

x = 4 d) x = 3 e) x = 48 f)

8. a) 5 24 b) Metrô. 9. 2 5 10.

11. a) 17 24 b) Mais. c) 7 24

Resposta pessoal. 12. 13 28 13. 4 15

Atividades – p. 141

1. a) 2 metades; 3 terços; 4 quartos.

b) Os dois comeram a mesma quantidade.

c) Sara: 1 4 ; Lara: 1 8 d) • 3; 5 • 2; 3

2. Sim. 3. O metrô.

4. a) V b) V c) V d) F e) F f) V g) F h) V

4. Obtendo frações equivalentes

Pense e responda – p. 145

1. Em cada situação, cada fração teve seu numerador e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração.

2. Resposta pessoal.

Atividades – p. 146

1. a) Sim. b) Não. c) Sim. d) Sim. e) Sim. f) Não.

2. a) 15 27 b) 12 44 c) 25 40

3. 1  2  10 20 = ; 5  4  25 20 = ; 3  5  12 20 = ; 9  10 18 20 =

4. 3 7 ; 5 6 ; 1

4. 27 5 6 quilômetros.

5. 2 1 2

6. 9 3 4

7. 4 3 20 ;

8. Serão 3 5 6 quilogramas de balas.

EDITORIA DE ARTE

7 cheios + 7 pela metade H 10 1 2 ; 3 1 2 em cada bandeja.

Por toda parte – p. 158

1. 1 2 , 1 3 , 3 4

2. No bolo de rolo; 4 1 4

3. Açúcar: 3 1 4 xícaras = 13 4 ; farinha de trigo: 32 4 ou 8 xícaras.

4. Respostas pessoais.

5. Respostas pessoais.

7. Multiplicação com frações

Atividades – p. 160

1. a) 3 10 c) 1 4 e) 15 80

b) 100 9 d) 27 28 f) 1 14

2. 1 12 3. 15 56 4. 7 45

5. 9 2 ou 4 1 2 latas de leite condensado.

8. As frações e a porcentagem

Fórum – p. 161

Respostas pessoais.

Atividades – p. 163

1. 50%

2. O setor A.

3. Alternativa d.

4. 1 650 pessoas.

5. 60%

6. a) 2; 25%

b) 4; 50%

c) 75%; 6 8 ou 3 4

7. 2 418 pacientes.

8. a) 35 reais a mais.

b) 35 100 ou 35%.

9. Probabilidade Pense e responda – p. 164

1. a) • 10 fichas.

2. a) 2 12 ou 1 6 c) 4 12 ou 1 3

b) 6 12 ou 1 2

3. a) Número par.

b) 9 15 ou 3 5

c) 6 15 ou 2 5

4. a) 10 fichas. c) 7 10

b) Uma letra. d) 3 10

5. Alternativa c. Retomando o que aprendeu – p. 166

1. 1 5

2. Alternativa d.

3. 500 rotações.

4. Alternativa d.

5. Alternativa c.

6. Alternativa d.

7. Alternativa b.

8. Alternativa d.

9. Alternativa a.

10. a) Laura: 135 leituras; Fernando: 125 leituras.

b) Laura; 10 leituras a mais.

11. Alternativa b.

12. João: R$ 21.270,00; Guilherme: R$ 14.180,00.

13. Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 167

•

2. A centésima parte ou 1 100

3. A milésima parte ou 1 1 000

Atividades – p. 175

1. 4,15

2. a) 5,2

b) 0,52

c) 0,77

3. a) 13 10

b) 13 100

c) 13 1 000

0,077 e) 0,7 f) 0,007

4 002

000 e) 85 1 000

c) Resposta pessoal. d) Resposta pessoal.

• 8 fichas. • 2 fichas.

b) Uma ficha com um número múltiplo de 5. Atividades – p. 165

1. a) Lápis colorido.

b) • 13 20

• 7 20

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Obtendo frações equivalentes com o mesmo denominador.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Dividimos o numerador e o denominador por um mesmo divisor comum.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Determinamos frações equivalentes que tenham o mesmo denominador, adicionamos os numeradores dessas frações equivalentes e conservamos o denominador.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os valores percentuais podem ser escritos como uma fração de denominador 100, por exemplo, 25% é o mesmo que 25 100

UNIDADE

6

A forma decimal dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 168

• Produto, quantidade, preço por unidade e preço total.

• R$ 149,08

• Uma cédula de 100 reais e outra de 50 reais. Nesse caso, receberia de troco

R$ 150,00 R$ 149,08 = R$ 0,92.

• Resposta pessoal.

1. Representação decimal

Pense e responda – p. 170

1. A décima parte ou 1 10

10.

a) Oitenta e cinco centésimos.

b) Oito milésimos.

c) Sete inteiros e três décimos.

d) Um inteiro e cento e quarenta e sete milésimos.

11. a) Três reais e vinte e cinco centavos; dezoito reais e setenta e nove centavos; catorze reais e cinquenta centavos; cinco reais e oitenta e seis centavos.

b) O arroz.

c) O pacote de biscoitos de água e sal.

d) 3,25 , 5,86 , 14,50 , 18,79

12. Alternativa c.

13. a) Ana: 1 metro e 25 centímetros; Carlos: 1 metro e 38 centímetros; Alice: 1 metro e 36 centímetros; e Paulo: 1 metro e 24 centímetros.

b) Ana e Paulo, pois a altura deles é menor do que a altura permitida.

c) 8 cm. 0,08 m

d) 6 centímetros a menos.

e) 1,38 m . 1,36 m . 1,25 m . 1,24 m

14. a) Às 15 h.

b) 18,2 °C

c) 17,1 °C , 18,2 °C , 19,5 °C , 21,3 °C , , 26,4 °C

d) Resposta pessoal.

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2. Adição e subtração com números na forma decimal

Atividades – p. 178

1. Respostas pessoais. a) 24,5 b) 25,4 c) 2,226 d) 6,75 e) 7,029 f) 8,425

2. Menor.

3. 2,62 m 4. 1,15 m 5. 36,055 6. 1,101

7. a) 8,6 b) 19,25 c) 654,73

8. a) Comprimento: 10,40 m; largura: 8,95 m.

b) Resposta pessoal.

9. A = 1,7; B = 1,9; C = 2,0; D = 1,8

3. Multiplicação com números na forma decimal

Atividades – p. 180

1. a) 10,8 b) 57,2 c) 9,2 d) 2,9

2. 225 m

3. Respostas pessoais. a) 47,5 b) 8,75 c) 99,6

d) 16 e) 2,967 f) 34,56

4. Resposta pessoal.

g) 9,45 h) 4,35 i) 54,45

5. a) 2,205 b) 14,2 c) 3,09123 d) 26,979

6. 4,617

7. a) 2,8 b) 15,283

8. Alternativa c.

9. 33,75 metros.

10. 2,64 metros.

11. 276 cm

12. Alternativa c.

j) 0,48

b) A cada divisão, a vírgula se deslocou para a esquerda.

2. Observamos o mesmo deslocamento da vírgula.

3. Resposta pessoal.

Atividades – p. 188

1. a) 3,7 c) 0,57

b) 5,006 d) 1,062

2. 10

3. 7,3 litros.

4. 160 quilowatt-hora. 5. 55 litros.

6. a) 5,3 c) 1,53

b) 1,45 d) 6,6

7. Resposta pessoal. 8. R$ 4,40

9. a) 2,5 c) 0,05

b) 10 d) 80

10. 320 milhas.

11. 26 voltas.

12. a) 15,3

b) 20 c) 6,7

13. a) 12,16

b) 0,303

c) 2,1

14. a) 5,16 b) 6,54

5. Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens

Atividades – p. 190

1. a) 0,03

b) 0,21

c) 0,42

2. R$ 1.127,00

d) A nota de 2015 foi 4,5. O percentual de aumento foi de 4,25%.

e) Resposta pessoal.

f) Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 192 Respostas pessoais.

Retomando o que aprendeu – p. 194

1. Alternativa b.

2. R$ 24,30

3. Cinco prestações.

4. 221,6 g

5. Alternativa a.

6. Alternativa a.

7. Alternativa d.

Um novo olhar – p. 195

• Resposta pessoal.

8. 74,1 anos.

9. Alternativa b.

10. Alternativa e.

11. Alternativa a.

12. Alternativa c.

13. Alternativa d.

14. Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na comparação do centavo com o real.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para facilitar o troco do comércio.

UNIDADE 7

Ângulos e polígonos

Abertura de Unidade – p. 196

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

13. a) Estimativa possível: 600; valor exato: 602,4.

b) Estimativa possível: 150; valor exato: 148,5.

c) Estimativa possível: 350; valor exato: 347,9.

d) Estimativa possível: 72; valor exato: 73,08.

Há outras possibilidades de estimativas.

d) 1,50 e) 0,55

3. a) 1 703,4. Resposta pessoal.

b) 3 000. Resposta pessoal.

4. a) 14,28 m2

b) 2,52 m2

5. a) R$ 30,80

b) R$ 114,40

6. a) 1,64 metro

b) Sim. Porque 5% de 1,56 m corresponde a aproximadamente 0,08 m.

7. a) R$ 5,10 b) R$ 20,40

c) O cliente pode entregar a cédula de R$ 50,00 e quatro moedas de R$ 0,10. Desse modo, ele receberá R$ 30,00 de troco, valor que pode ser composto apenas de cédulas.

8. a) 45 000

b) 1 500 c) 4 500 d) 450 e) 135 000 f) 13 500

9. a) 6 10 , 0,6 e 60%. b) 3 4 , 0,75 e 75%.

10. 10 litros.

11. a) 0,45

b) 5,85

c) 8,1

• Resposta pessoal.

1. Giro, abertura e inclinação

Pense e responda – p. 198

1. a-B; b-A; c-C

2. Ângulo

Atividades – p. 202

1. a) 3 horas.

b) Resposta pessoal.

c) 7 h e 4 h.

2. Alternativa a.

d) 1 volta. e) 180°

3. A: 92°; B: 45°; C: 130°; D: 93°

4. Resposta pessoal.

Fórum – p. 203

• A aproximadamente 48 polegadas.

• Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 204

1. De 2 h a 5 h.

2. As respostas dependem dos dados obtidos na pesquisa.

Tecnologias – p. 206

1.

4. Divisão com números na forma decimal Pense e responda – p. 185

1. a) CDU e d; DU e dc; U e dcm.

d) 7,2 e) 9 f) 21,6

12. a) Valor do desconto: R$ 8,50; preço da camisa: R$ 76,50.

b) R$ 7,65

c) R$ 84,15

d) Resposta pessoal.

13. a) 0,7; 16,67%

b) Não, até agora a maior nota obtida foi 4,9.

c) Resposta pessoal.

1. Quando a medida do ângulo localizado na região convexa aumenta, a medida do ângulo localizado na região não convexa diminui, e vice-versa.

2. 360°

3. Construção de retas paralelas e de retas perpendiculares

Pense e responda – p. 207

1. a) As retas r, s e t são retas paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes.

b) Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intersecta têm medidas iguais em cada uma das posições da reta u

Pense e responda – p. 208

1. Sim. Como a régua não foi movimentada, a inclinação do esquadro não foi modificada; logo, as retas são paralelas, como o que ocorreu na construção com o GeoGebra.

2. Sim, as novas retas representadas seriam paralelas, pois a inclinação das novas retas seria a mesma, uma vez que a régua que apoia o esquadro é fixa.

Pense e responda – p. 209

1. Sim. Porque as duas retas se cruzam em um único ponto e elas foram construídas tomando como base os lados do esquadro que formam o ângulo de 90°.

2. Resposta pessoal.

4. Polígonos

Pense e responda – p. 212 Resposta pessoal.

Atividades – p. 213

1. A figura do item a, pois é formada por uma linha plana fechada simples, formada apenas por segmentos de retas.

2. Sim; polígono não convexo.

3. a) Octógono.

b) Quadrilátero.

4. 6 lados; hexágono.

5. Sim.

6. a) Hexágono e octógono.

b) 30 unidades; 24 unidades.

7. a) Polígono de 6 lados: hexágono, e polígono de 3 lados: triângulo.

b) Não, porque obtemos um triângulo que não tem todos os lados congruentes.

c) Obtemos um retângulo. Não, pois o retângulo, embora tenha todos os ângulos congruentes, não tem todos os lados de mesma medida.

Tratamento da informação – p. 214

1. Texto, gráfico de setores e fotografia.

2. Resposta pessoal.

5. Triângulos e quadriláteros

Atividades – p. 218

1. a) Escaleno.

b) Equilátero. c) Isósceles.

2. a) Acutângulo.

b) Obtusângulo.

c) Retângulo.

d) Retângulo.

3. a) 1: isósceles; 2: equilátero; 3: escaleno.

b) 1: acutângulo; 2: acutângulo; 3: retângulo.

4. a) O triângulo ABE é isósceles. Porque dois lados desse triângulo são lados do pentágono regular; portanto, têm medidas iguais. E o lado BE não tem a mesma medida que os outros dois lados.

b) Em três triângulos.

5. Resposta pessoal.

6. Resposta pessoal.

Atividades – p. 221

1. a) Figuras 1, 3 e 4.

b) • Figuras 3 e 4.

• Figura 3.

c) Figuras 2 e 5.

d) Figura 2.

2. Alternativa d.

3. a) 1 e 3.

b) 2 e 4.

4. I. F. Porque existem retângulos que não são quadrados.

II. V. Os quadrados têm todos os lados de mesma medida, como os losangos.

III. V. Os lados paralelos do trapézio são dois lados opostos.

IV. F. Há paralelogramos que não têm todos os lados congruentes, como os retângulos.

6. Construção e ampliação de figuras planas

222

Atividades

D2_AV2-MAT-F2-2103-V6-PFI-276-288-LA-G24.indd

c) Pense e responda – p. 226

1. Segmento de reta horizontal: pontos A e C; segmento de reta vertical: pontos B e D. Resposta pessoal; med () AC = 4 u.c. e med () BD = 8 u.c.

2. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x, e o comprimento deve ser de 16 u.c.

3. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y, e o comprimento deve ser de 2 u.c.

3. a) P(4, 2) b) A(6, 0) c) B(0, 6) d) C(2, 0)

4. a) A(1, 1); B(1, 4); C(4, 4); D(4, 1)

A’(1, 1), B’(1, 7), C’(7, 7) e D’(7, 1).

5. a) A(2, 1); B(6, 1); C(2, 3)

b) 2 u.c.

c) 4 u.c.

d) A’(2, 1); B’(4, 1); C’(2,

6. a) (9, 7) e (12, 4); resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 228

1. Respostas pessoais. 2. Respostas pessoais.

3. Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando o fator é maior do que 0 e menor do que 1.

Retomando o que aprendeu – p. 230

1. Triângulo equilátero.

2. a) Triângulo escaleno.

b) Triângulo isósceles.

3. a) 6 triângulos. b) Equilátero.

4. a) Quadriláteros.

b) (5, 5), (5, 7), (8, 5) e (7, 7).

c) Quadrado.

d) O retângulo reduzido terá 0,4 u.c. por 0,8 u.c.

5. a) 4 b) 6 c) 3 d) 2

6. Alternativa b.

7. Alternativa d.

8. Alternativa b.

9. Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 231

• Um transferidor.

• É a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com sua região interna.

• Um possui três lados e três ângulos internos, enquanto o outro possui quatro lados e quatro ângulos internos.

UNIDADE 8

Comprimento e área

Abertura de Unidade – p. 232

• Resposta pessoal.

• Respostas pessoais.

• Resposta pessoal.

1. Unidades de medida de comprimento

Pense e responda – p. 234

Marcos, porque contou o menor valor em pedaços de barbante.

Atividades – p. 238

1. a) km b) m c) mm d) cm

2. Alternativa a.

3. 119 066 km

4. 1,27 cm

5. a) 157,5 km b) 6,5 cm

6. Respostas pessoais.

7. Alternativa a.

8. Alternativa b.

9. 320 cm

10. Resposta pessoal.

2. Perímetro de um polígono Pense e responda – p. 239

1. Resposta pessoal; 114 m.

2. 120 m

Atividades – p. 240

1. a) 8,7 cm b) 13,4 cm

2. 30,6 cm

3. Alternativa d.

4. Alternativa d.

5. a) Resposta pessoal. b) 340 m

6. a) Resposta pessoal. b) 408 m

7. a) Resposta pessoal. b) 6,2 m c) 10,5 m de rodapé.

8. a) 3 m x 5 m b) Resposta pessoal.

9. Resposta pessoal.

3. Unidades de medida de superfície

Pense e responda – p. 242

69 triângulos

Fórum – p. 244

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

Atividades – p. 245

1. Resposta pessoal.

2. Alternativa c.

3. Alternativa b.

4. a) 0,21 m2

b) 0,125 m2

5. a) 420 ha b) 280 ha

6. 140 bois.

7. 100 m

8. a) Aproximadamente 25,09 hab./km2

b) Aproximadamente 25,05 hab./km2

c) 22,09 22,05 = 0,04

c) 1 000 000 m2

d) 7 200 m2

9. Resposta pessoal. 10. Resposta pessoal.

4. Área de figuras geométricas planas

Pense e responda – p. 246

1. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

Pense e responda – p. 248

1. Perímetro: 24 cm; área: 36 cm².

2. Perímetro: 4 cm; área: 1 cm².

3.

Medida dos

lados (cm) Perímetro (cm) Área (cm²)

Quadrado 1 2 8 4

Quadrado 2 4 16 16

Quadrado 3 6 24 36

Quadrado 4 1 4 1

Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou, e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou, e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro foi reduzido pela metade, e a área foi reduzida para um quarto da área inicial.

4. No caso do perímetro, sim; no caso da área, não. Por exemplo, se multiplicarmos a medida dos lados do quadrado por 5, o perímetro fica multiplicado por 5; no caso da área, essa transformação não é proporcional: a área fica multiplicada por 52

Pense e responda – p. 249

Sim, mas em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado.

Atividades – p. 250

1. a) 64 cm2 b) 72 cm2

2. a) 225 cm2 b) 2 000 pisos.

3. 1,6 m2

4. Alternativa b.

5. a) Aproximadamente 669 m2 (668,8653 m2).

b) Aproximadamente 261 m2 (260,7569 m2).

c) 311,04 m2

6. 3 latas.

7. a) 52,15 m2 b) 30,30 m2 c) R$ 164.900,00

8. Resposta pessoal.

9. 32,60 m2

10. 4 latas de tinta.

11. Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 252

1. a) Em 2021.

b) 946 km²

c) 470 275 km2

d) Pará e Mato Grosso.

2. a) A quantidade de focos de queimada detectados no Brasil todo e na Amazônia Legal no ano de 2021.

b) Mais perto de 24 000; resposta pessoal.

c) Por aproximação e estimativa.

d) Agosto; resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 254

1. Alternativa d.

2. Alternativa b.

3. 15 cm

4. Alternativa a.

5. Alternativa d.

6. Alternativa a.

7. a) 4 placas. b) 220 placas.

8. 30,6 km

9. 18 cm

10. 108 cm2

11. 1 040 m2

12. a) • 3 u e 8 u.

• 2 u e 12 u.

b) Não. O perímetro do retângulo cor de rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo azul é 28 u.

c) Ambos têm área igual a 24 u2

d) Resposta pessoal.

Um novo olhar – p. 255

• Pés e milhas. Ambas ainda são utilizadas, com pequenas alterações.

• Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica; área é a medida da superfície de uma figura geométrica.

• Resposta pessoal.

UNIDADE 9

Grandezas e medidas

Abertura de Unidade – p. 256

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal.

1. Medidas de massa

Pense e responda – p. 258

Resposta pessoal.

Atividades – p. 260

1. a) Quilograma. b) Tonelada. c) Miligrama. d) Tonelada. e) Quilograma. f) Grama.

2. a) g b) kg c) g d) g e) kg f) kg

3. Resposta pessoal.

4. a) 2 300 g b) 750 g c) 0,95 g

5. A 83 toneladas.

6. a) 54 kg b) 65 sanduíches.

7. Resposta pessoal.

8. Alternativa c.

9. Alternativa b. 10. 12 embalagens.

Atividades – p. 261

1. 40 caixas.

2. Resposta pessoal.

3. a) O total de massas de um dos pratos é igual ao total de massas do outro prato: +++++=+++ (1 12 233)kg(22 44 )kg

12 kg 12 kg

b) Precisamos inserir uma caixa de 2 kg no outro prato da balança. ++++++=++++ (1 12 233 2) kg (2 24 42)kg

14 kg

14 kg

2. Medidas de tempo e de temperatura

Atividades – p. 264

1. a) 1 440 min b) 86 400 s

2. Alternativa b.

D2_AV3-MAT-F2-2103-V6-PFI-276-288-LA-G24.indd

3. 17h45min

4. 71,983 s

5. 28 minutos.

6. Resposta pessoal.

7. a) Rafael e Caio. Porque a temperatura deles é superior a 36,5 °C e 37 °C, que são temperaturas consideradas normais.

b) 36,5 °C; 37,8 °C; 38,1 °C

c) 1,3 °C

8. a) Macapá (AP).

b) Aracaju (SE). Amplitude de 5 °C.

c) Belo Horizonte (MG), Campo Grande (MS) e Vitória (ES).

3. Medindo o espaço ocupado

Pense e responda – p. 265

Figura A: 42; Figura B: 210; Figura C: 24. Atividades – p. 268

1. 72 unidades.

2. Alternativa d.

3. Alternativa a.

7. Os volumes são iguais: 64 m3

8. 5,712 m3

9. 0,001 m3

4. 6 480 m3

5. 15,625 m3

6. 60 m3

10. a) 0,840 m3 b) 0,0145 m3 c) 1 m3

11. a) 3 500 dm3 b) 1,25 dm3

12. Resposta pessoal.

13. 4,5 dm3

4. Medida de capacidade Atividades – p. 270

1. a) 1,2 L b) 0,087 L c) 0,35 L d) 100 L

2. Resposta pessoal.

3. 0,33 L

4. 40 000 garrafas.

5. Resposta pessoal.

6. Resposta pessoal. Por toda parte – p. 271

1. a) Resposta pessoal. b) Resposta pessoal. Tratamento da informação – p. 272 Respostas pessoais. Retomando o que aprendeu – p. 274

1. 48 000 cm3

2. 0,75 m3

3. 10,5 L

4. 6,9 m3

5. 16 000 recipientes.

6. 64 vezes.

7. Alternativa e.

Um novo olhar – p. 275

• A balança e o termômetro.

• O segundo.

• A tonelada.

• O metro cúbico (m3).

• Resposta pessoal.

8. 0,252 dm3

9. 2011

10. Alternativa e.

11. 14 °C

12. 25 t

13. 1 500 kg

14. Resposta pessoal.

• A massa é fixa, enquanto o peso varia de acordo com a gravidade. Tecnologias – p. 276

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

ALMEIDA, Lourdes Werle de; SILVA, Karina Pessôa da; VERTUAN, Rodolfo Eduardo. Modelagem matemática na Educação Básica. São Paulo: Contexto, 2016.

Esse livro destaca como situações do dia a dia podem contribuir para a motivação do estudo da matemática e para a compreensão e aplicação de vários conceitos trabalhados nessa área.

BACICH, Lilian; MORAN, José (org.). Metodologias ativas para uma educação inovadora: uma abordagem téorico-prática. Porto Alegre: Penso, 2018.

Apresenta um conjunto de artigos que abordam estudos e aplicações de metodologias ágeis na educação para o desenvolvimento do protagonismo estudantil de maneira inovadora.

BOYER, Carl Benjamin; MERZBACH, Uta Caecilia. História da matemática. Tradução: Helena Castro. 3. ed. São Paulo: Blucher, 2012.

Esse livro apresenta episódios da construção histórica do conhecimento matemático destacando a solução de problemas, abertos há muito tempo, e o papel dos computadores na pesquisa em matemática.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular : educação é a base. Brasília, DF: MEC, 2018. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento oficial composto de orientações que norteiam a (re)elaboração dos currículos de referência das escolas das redes pública e privada de ensino de todo o Brasil. Traz os conhecimentos essenciais, as competências, as habilidades e as aprendizagens pretendidas para crianças e jovens em cada etapa da Educação Básica.

BRASIL. Ministério da Educação. Diretrizes Curriculares Nacionais para Educação Básica. Brasília, DF: MEC: SEB: DICEI, 2013. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/docman/ julho-2013-pdf/13677-diretrizes-educacao-basica-2013-pdf/ file. Acesso em: 8 jun. 2022.

As Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) são normas obrigatórias para a Educação Básica que orientaram a elaboração da BNCC. Elas são discutidas, concebidas e fixadas pelo Conselho Nacional de Educação (CNE).

BRASIL. Ministério da Educação. Normas sobre computação na Educação Básica: complemento à BNCC. Brasília, DF: MEC, 2021. Disponível em: http://portal.mec.gov.br/ index.php?option=com_docman&view=download&alias= 182481-texto-referencia-normas-sobre-computacao-na-edu cacao-basica&category_slug=abril-2021-pdf&Itemid=30192. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que define normas sobre Computação na Educação Básica, em complemento à BNCC.

BRASIL. Ministério da Educação. Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental –Matemática. Brasília, DF: MEC: SEF, 1998. Disponível em: http:// portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento que apresenta uma seleção de conhecimentos de cada componente, considerados fundamentais para o exercício da cidadania, além de uma proposta de organização curricular. BRASIL. Ministério da Educação. Temas contemporâneos transversais na BNCC: contexto histórico e pressupostos pedagógicos. Brasília, DF: MEC: SEB, 2019. Disponível em: http://basena cionalcomum.mec.gov.br/images/implementacao/contextuali zacao_temas_contemporaneos.pdf. Acesso em: 8 jun. 2022.

Documento explicativo acerca dos Temas Contemporâneos Transversais a serem abordados na Educação Básica.

BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.

Esse material propõe a análise de dados, e apresenta conceitos de probabilidade. Compreende, também, tópicos de inferência estatística.

COSTA, Erick John Fidelis. Pensamento computacional na Educação Básica: uma abordagem para estimular a capacidade de resolução de problemas na matemática. Dissertação (Mestrado em Ciência da Computação) – Centro de Engenharia Elétrica e Informática, Universidade Federal de Campina Grande, Campina Grande, 2017.

Essa dissertação aborda a importância do desenvolvimento de competências relacionadas ao pensamento computacional desde os anos iniciais da educação básica com o objetivo de estimular a capacidade de resolver problemas.

COXFORD, Arthur F.; SHULTE, Albert P. (org.). As ideias da álgebra. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

Conceitos de álgebra são explorados nesse livro por meio de ideias fundamentais que auxiliam a aprendizagem do pensamento algébrico.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática

Tradução: Hygino Hugueros Domingues. Campinas: Editora da Unicamp, 2004.

Esse livro apresenta uma narrativa da história da matemática baseada em resultados obtidos, obras e dados biográficos de estudiosos, e explicita os panoramas culturais de cada época.

IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MURAKAMI, Carlos et al Fundamentos de matemática elementar. 8. ed. São Paulo: Atual, 2019. 11 v. (Fundamentos de matemática elementar).

Os livros desta coleção apresentam conceitos fundamentais de matemática, que servem de introdução a estudos nessa área. IFRAH, Georges. Os números: a história de uma grande invenção. Tradução: Stella Maria de Freitas Senra. 11. ed. Rio de Janeiro: Globo, 2001.

Esse livro apresenta o desenvolvimento histórico do conceito de números e de outros conceitos matemáticos.

KENSKI, Vani Moreira. Educação e tecnologias: o novo ritmo da informação. 8. ed. Campinas: Papirus, 2012.

Nesse livro, busca-se mostrar como os avanços tecnológicos podem contribuir para as situações de ensino e aprendizagem, discutindo, diversas compreensões do termo tecnologias e sua aplicação. LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (org.). Aprendendo e ensinando Geometria. Tradução: Hygino Hugueros Domingues. São Paulo: Atual, 1994.

O livro apresenta um conjunto de artigos que abordam desafios do ensino de Geometria e recursos para o desenvolvimento do pensamento geométrico.

POLYA, George. A arte de resolver problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

Nesse livro, a resolução de problemas é apresentada como ferramenta para o desenvolvimento cognitivo.

ROCHA-FILHO, Romeu Cardozo. Grandezas e unidades de medida: o sistema internacional de unidades. São Paulo: Ática, 1988.

Nesse livro são apresentados conceitos fundamentais de grandezas, de unidades de medida, e o surgimento e a importância do Sistema Internacional de Unidades.

ROSALE, André Rodrigues. Argumentação e prova matemática na Educação Básica. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) – Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo, 2017.

Essa dissertação aborda a importância da argumentação matemática para o desenvolvimento da aprendizagem matemática.

ROSEN, Kenneth H. Matemática discreta e suas aplicações 6. ed. [S l.]: McGraw Hill, 2009.

Esse livro apresenta conceitos de matemática aplicada, entre eles a definição de inferência, fundamental para o desenvolvimento do raciocínio matemático.

RESOLUÇÕES COMENTADAS

Unidade 1 • Sistemas de Numeração

Abertura de Unidade – p. 12

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes se lembrem do Sistema de Numeração Indo-arábico (decimal) ou, ainda, do Sistema de Numeração Romano.

• Respostas pessoais. Exemplos de resposta: É possível identificar a noção de agrupamentos e o princípio aditivo nas representações feitas com símbolos dos três sistemas; no Sistema de Numeração Chinês verifica-se também o princípio multiplicativo. Por exemplo: para representar 30, os chineses escrevem lado a lado o símbolo do 3 e o do 10, que resultará em 3 10 = 30.

1. Uma história muito antiga

Pense e responda – p. 14 Respostas pessoais.

Atividades – p. 18

1. a) 351

b) 1 135

c) 1 201

2. a-2; b-1; c-3

3. a) XXII

b) VIIICCCXX

c) CDXX

4. a) Dois mil e cem.

b) Trinta milhões e duzentos.

c) Trezentos e trinta e três.

d) Cento e oitenta.

5. a) 12h3min

b) 1, 2, 3, 4 e 5, respectivamente.

c) X

6. a)

b)

c)

d)

2. E o nosso sistema de numeração?

Pense e responda – p. 22

1. Podemos representar infinitos números naturais.

2. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam alguns padrões, como o fato de a sequência dos números naturais estar representada em ordem crescente, da esquerda para a direita, que a distância entre os números é sempre a mesma, além de a reta representar infinitos números.

Atividades – p. 23

1. a) São iguais.

b) Cinco; 5.

2. a) 302

b) 1

c) 100 000

d) 19 900

3. a) 3

b) 5

c) 8

d) 1

4. a) 887

b) 99

c) 0

d) 11 999

5. Espera-se que os estudantes concluam que todo número natural tem sucessor e que, com exceção do zero, todo número natural tem antecessor.

6. a) 1 001

b) 20 010

c) 4 002

d) 6 006

7. a) 640

b) 1 328

c) 19 556

8. a) 1 005

b) 9 011

c) 20 223

Tratamento da informação – p. 24

1. a) Aproximadamente 100 milhões de toneladas.

b) Agropecuária e Mudança de Uso da Terra e Florestas.

2. Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes verifiquem, por exemplo, que o aspecto visual pode facilitar a identificação, de maneira mais imediata, da categoria que menos emitiu CO2 em 2020 no Brasil, a categoria que emitiu mais toneladas desse gás, entre outras conclusões.

3. a) Ano; área desmatada em km².

b) 2015.

c) 11 957 km2

d) 11 957 km² 6 118 km² = 5 839 km²

4. Pesquisa dos estudantes.

Pense e responda – p. 26

1. a) 14 675 . 14 657 Maior.

b) 5; 70

c) 50; 7

2. a) Trocar o 6 com o 0; 7 650.

b) Trocar o 6 com o 5; 7 065.

Atividades – p. 28

1. 257, 275, 527, 572, 725 e 752.

a) 752

b) 257

2. a) Cento e sessenta e cinco.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal. Exemplos de resposta: Aproveitar a luz solar ao máximo para iluminar os ambientes, substituir lâmpadas incandescentes por lâmpadas de LED, apagar as luzes quando não tiver ninguém em um cômodo, juntar as roupas para lavar ou passar de uma vez, entre outras condutas.

3. Arnaldo: 1 000 000 1 000 000 = 1 000 000 000 000; Professor Piraldo: 1 000 ? 1 000 000 = 1 000 000 000;

Diferença: 1 000 000 000 000 1 000 000 000 = 999 000 000 000 Alternativa e.

4. 8 000 543 = 8 000 000 + 500 + 40 + 3; oito milhões, quinhentos e quarenta e três.

5. Resposta pessoal. Exemplos de resposta: R$ 50.000,00, cinquenta mil reais; R$ 65.000,00, sessenta e cinco mil reais; R$ 100.000,00, cem mil reais.

Desafio

6. a) Sabendo que a diferença entre eles é 8, vamos adicionar 8 ao último número que aparece na coluna e também ao resultado obtido, e assim sucessivamente até obter um número mais próximo dele.

35 + 8 = 43

43 + 8 = 51

51 + 8 = 59

59 + 8 = 67

67 + 8 = 75

75 + 8 = 83

83 + 8 = 91

91 + 8 = 99

O número é 99.

b) Acima: 51, 43 e 35; abaixo: 67, 75 e 83.

c) Em todas as linhas a diferença entre dois números consecutivos é 1; então, se 99 está na coluna mais à direita, 98 está na do meio, e 97, na mais à esquerda. Se somarmos 8 a cada um, temos: 107, 106 e 105. Continuando, temos: 115, 114 e 113. Então, 113 está na coluna mais à esquerda, em que estão os números 1, 9, 17, ...

d) Sendo 1 a diferença entre dois números consecutivos de uma mesma linha e como 219 aparece na coluna mais à direita, os outros dois números são: 219 1 = 218 e 218 1 = 217.

Os outros dois números que podemos ver nessa mesma linha da figura são 217 e 218.

e) 8; Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Calculando a subtração: 9 1 = 8. Por toda parte – p. 29

1. UM C D U

5 5 9 7

5 597; cinco mil, quinhentos e noventa e sete.

UM C D U

6 9 9 2

6 992; seis mil, novecentos e noventa e dois.

U milhão CM DM UM C D U

6 1 1 0 0 0 0

6 110 000; seis milhões, cento e dez mil.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal. Os estudantes podem usar informações como o fato de que os rios são o principal meio de deslocamento e de comunicação na região Norte e fundamentais para o escoamento da produção local.

Tecnologias – p. 30

1. Respostas pessoais. Caso seja uma calculadora comum de 8 dígitos, o maior número natural com algarismos diferentes será 98 765 432. O menor número natural com algarismos diferentes, usando o máximo de algarismos, é 12 345 678.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 131, 163 e 107. O maior é 163.

3. Subtrair 300 000.

4. a) Adicionar 1.

b) Adicionar 10.

c) Adicionar 100.

d) Subtrair 60 000.

5. Resposta pessoal. Exemplos de respostas: 35 13 = 22 ou 11 + 11 = 22.

6. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 3 x 4 x 2 =

b) Resposta pessoal. Exemplos de resposta: 20 2 x 15 =

c) Resposta pessoal. Exemplos de resposta: 200 12 : 2 =

Se a calculadora utilizada não for a básica, os resultados poderão ser diferentes.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Imagine que a tecla 2 da calculadora está quebrada. Cite exemplos de como poderíamos obter múltiplos de 2 no visor.

Retomando o que aprendeu – p. 32

1. Sete; 7; Existem outras possibilidades.

2. Resposta pessoal.

3.

4. a) 4 algarismos; 7, 5, 0 e 4.

b) 4 algarismos; 1 e 0.

c) 7 algarismos; 5.

d) 6 algarismos; 1, 7, 4 e 0.

5. Respostas pessoais. Exemplos de respostas:

a) 1, 2, 3

b) 11, 12, 13

c) 111, 112, 113

d) 1 000, 1 001, 1 002

6. 36 344 052 = 30 000 000 + 6 000 000 + 300 000 + 40 000 + 4 000 + 50 + 2; trinta e seis milhões, trezentos e quarenta e quatro mil e cinquenta e dois.

7. a) 567; 569

b) 43 858; 43 860

c) 2 850 391; 2 850 393

d) 999 999 230; 999 999 232

8. Dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e um; dois milhões, oitocentos e cinquenta mil, trezentos e noventa e três.

9. Pela reta numérica, observamos que:

♣ = 102 ♥ = 105 ♦ = 107

Assim:

a) 105 , 107

b) 107 . 102

c) 102 , 105

d) 102 = 102

e) 107 , 108

10. Os números escritos por João foram: 1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, 112, 121, 122, 211, 212, 221 e 222.

Então:

1 + 2 + 11 + 12 + 21 + 22 + 111 + 112 + 121 + 122 + 211 + 212 + 221 +

+ 222 = 1 401

Alternativa c.

11. a) Medida.

b) Código.

12. Respostas pessoais. Exemplos de resposta:

a) 8 8 = ou 64 64 =

c) Contagem.

d) Ordem.

c) 111 21 = ou 2 x 45 =

d) 54 + 46 = ou 31 + 69 = 13. 20, 13, 6, 9, 2000 e 594: medida; Três, 52 e 160: contagem; Primeiro: ordem.

b) 45 25 = ou 15 + 5 =

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes tenham compreendido as diferentes características dos sistemas de numeração abordados e por que o Sistema de Numeração Indo-arábico prevaleceu no mundo ocidental.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes consigam identificar as diferentes funções dos números no cotidiano e citem alguns exemplos.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que sim, pois os gráficos de colunas e tabelas são excelentes recursos para organizar e apresentar dados de maneira eficiente.

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes respondam que sim e discutam com os colegas exemplos em que a calculadora é utilizada para obter resultados de maneira rápida.

Unidade 2 • Cálculos com números naturais

Abertura de Unidade – p. 34

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes compartilhem se acompanharam os jogos olímpicos e o que perceberam, ao longo de todo o evento, em relação aos cuidados contra a covid-19.

• Exemplo de resposta: É possível descobrir o total de atletas adicionando a quantidade de atletas novatos e a quantidade de atletas veteranos, ou seja, 177 + 125 = 302.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Contagem de tarefas do dia, compra e venda de mercadorias, divisão de doces entre irmãos, recebimento do salário, pagamento de contas etc.

1. Adição

Atividades – p. 39

1. 11 296 crianças + 1 649 crianças = 12 945 crianças. Espera-se que o estudante escreva o passo a passo de como resolveu a adição.

2. Total de alunos: 135 + 120 + 105 + 120 + 115 + 125 = 720

Número de meninas: 135 + 120 + 105 = 360

Número de meninos: 120 + 115 + 125 = 360

O número de meninas é igual ao de meninos.

Total de alunos do 3o turno: 105 + 125 = 230 Alternativa d.

3. a) Comutativa. b) Elemento neutro. c) Associativa.

4. y = 59

A propriedade usada foi a do elemento neutro.

5. Caio: 2 107 + 5 096 = 7 203

Theo: 5 096 + 2 107 = 7 203 a) Sim. b) Verdadeira.

6. Resposta pessoal. Exemplos de resposta: 15 + 23; 50 + 1; 37 + 87; 13 + 76; 200 + 130.

2. Subtração

Atividades – p. 42

1. Em 2023, houve uma quantidade maior de participantes.

2 010 1 692 = 318

Houve 318 participantes a mais.

2. 36 290 27 545 = 8 745

Pagará de juro 8 745 reais.

Exemplo de resposta: Pode-se subtrair 27 545 de 36 290. Para isso, subtrai-se 0 unidades de 5 e 4 dezenas de 9 dezenas. Das 6 unidades de milhar, retiramos 1, trocando para centenas, ficando com 12 centenas, das quais subtraímos 5 centenas. Das 3 dezenas de milhar, trocamos uma por 10 unidades de milhar, que, juntas às outras 5, resultam em 15, das quais retiramos 7. Por fim, as duas dezenas de milhar são retiradas das 2 que sobraram. Resultado, 8 unidades de milhar, 7 centenas, 4 dezenas e 5 unidades, ou seja, 8 745.

3. 282 276 = 6

276 270 = 6

A diferença entre os números da sequência é 6; então:

270 6 = 264 (4a)

264 6 = 258 (5a)

258 6 = 252 (6a)

252 6 = 246 (7a)

246 6 = 240 (8a)

240 6 = 234 (9a)

234 6 = 228 (10a)

228 6 = 222 (11a)

É a 11a posição.

4. a) Rússia.

b) 5a posição.

c) 9 984 670 9 833 517 = 151 153

O Canadá tem 151 153 km2 a mais.

d) 17 098 242 8 510 346 = 8 587 896

A Rússia tem 8 587 896 km2 a mais do que o Brasil.

e) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Quantos km2 de extensão territorial o Canadá tem a mais do que a China?

5. 2 447 2 431 = 16

Consumiram 16 m3

6. 1 365 000 45 000 = 1 320 000 no mês de fevereiro.

1 320 000 45 000 = 1 275 000 no mês de janeiro.

1 275 000 no mês de janeiro.

7. Maior número possível: 99 999 999 99 999 999 63 033 472 = 36 966 527

A população de São Paulo era de 36 966 527 habitantes.

Atividades – p. 44

1. Usando a relação fundamental da subtração:

a) 9 105 5 299 = 3 806

b) 10 210 6 226 = 3 984

2. 97 + 25 = 122 (usando a relação fundamental da subtração) 122 bilhões de dólares.

3. Usando a relação fundamental da subtração:

a) 6 991 + 6 429 = 13 420

b) 15 000 7 995 = 7 005

4. 40 25 12 + 10 7 + 8 = 15 12 + 10 7 + 8 = 3 + 10 7 + 8 = = 13 7 + 8 = 6 + 8 = 14 14 livros.

5. a) 120 b) 18 c) 150 d) 60

6. a) Como 10 8 = 80, para o resultado ser maior do que 0, esse é o máximo que pode ser subtraído. Logo, 10 vezes.

b) Como 20 4 = 80, o resultado ficaria menor do que 0 se a tecla fosse apertada 20 vezes. Então, 19 vezes.

7. a) 319 + 426 + 565 = 1 310 1 310 pessoas matriculadas.

b) Hidroginástica.

c) 565 319 = 246 246 pessoas a mais.

Educação financeira – p. 45

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes aprendam a respeito da faixa de preços dos produtos no supermercado e a diferença entre querer e precisar, ou seja, avaliar a real necessidade de uma compra para não a realizar por impulso e se endividar.

Tratamento da informação – p. 46

1. Tem direito a votar todo brasileiro com idade a partir de 16 anos. O voto torna-se obrigatório para eleitores entre 18 e 69 anos. Pode ser votado todo brasileiro com filiação partidária e que tenha a idade mínima exigida para o cargo.

2. Resposta pessoal.

3. Multiplicação

Pense e responda – p. 49

1. a) Cláudio: 6 2 = 12; Berta: 12 2 = 24.

Cláudio: 12 maçãs; Berta: 24 maçãs.

b) Cláudio: 6 5 = 30; Berta: 12 5 = 60.

Cláudio: 30 maçãs; Berta: 60 maçãs.

Atividades – p. 51

1. Para fazer uma jarra, são necessárias 6 laranjas. Então, para fazer 50 jarrras são necessárias: 6 50 = 300. São necessárias 300 laranjas.

2. 43 13 = 559; foram usados 559 azulejos.

3. 27 560 4 = 110 240

Aproximadamente, 110 240 habitantes.

4.

Blusa / Saia Preta Cinza

Branca Preta e branca Cinza e branca

Amarela Preta e amarela Cinza e amarela Vermelha Preta e vermelha Cinza e vermelha

Helena tem 6 maneiras distintas.

5. a) 16 6 = 96

Partem de Ambrosina 96 trens por dia.

b) 96 125 = 12 000

A quantidade máxima de passageiros que essa linha transporta é 12 000.

6. Área deste sítio: 120 90 = 10 800 10 800 metros quadrados.

A área do sítio que corresponde 15 vezes a essa área é: 15 10 800 = 162 000 162 000 metros quadrados.

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A professora Eliza vai entregar um kit com 5 balinhas para cada aluno de suas turmas. Sabendo que Eliza possui 4 turmas de 6o ano com 20 alunos em cada turma, quantas balas ela precisará para montar os kits?

Atividades – p. 53

1. Se a b = 237, então b a = 237 pela propriedade comutativa da multiplicação.

2. Se 37 n = 63 37, então n = 63 pela propriedade comutativa da multiplicação.

3.

4. a) 25 (72 + 51) = 25 123 = 3 075 ou (25 72) + (25 51) =

= 1 800 + 1 275 = 3 075

b) 32 (64 48) = 32 16 = 512 ou 32 (64 48) = (32 ? 64) (32 48) =

= 2 048 1 536 = 512

5. a) Se a 27 = 27, então a = 1 (elemento neutro da multiplicação).

b) Se 45 a = 0, então a = 0.

4. Divisão

Pense e responda – p. 55

1. a) 4 vezes.

b) 6.

c) Não; sobra um pedaço de dois quadradinhos roxos.

d) Não; fica faltando um pedaço de um quadradinho para completar a barrinha azul.

Atividades – p. 56

1. 75 : 5 = 15 15 vezes.

2. 184 : 4 = 46 46 miniaturas.

3. 344 : 8 = 43 43 reais.

4. 270 : 45 = 6 6 viagens.

5. 1 352 : 4 = 338

6. 6 160 : 560 = 11 11 viagens.

7.

Quantidade de linhas verticais Quantidade de linhas horizontais

1 024 linhas verticais e 512 linhas horizontais.

8. a) 24 35 = 24 (30 + 5) = (24 30) + (24 5) = 720 + 120 =

= 700 + 20 + 100 + 20 = 700 + 120 + 20 = 840

b) 35 ? 24 = 35 ? (20 + 4) = (35 ? 20) + (35 ? 4) = 700 + 140 =

7. 476 : 50 = 9, resto 26. 50 26 = 24

Gláucia ganhou 9 cupons e precisa gastar 24 reais para receber um novo cupom.

8. 237 : 31 = 7, resto 20. 31 20 = 11

Alternativa a.

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Júlio resolveu distribuir igualmente R$ 200,00 entre seus 4 filhos. Quanto cada filho vai receber?

Atividades – p. 57

1. a) n = 9 7 + 2

n = 63 + 2

n = 65

b)

n = 11 ? 16 + 5

n = 176 + 5

n = 181

c) n = 64 25 + 10

n = 1 600 + 10

n = 1 610

2. n = 45 17

n = 765

O dividendo é 765.

3. n = 6 35 + 5

n = 210 + 5

n = 215

Havia 215 laranjas.

4. O maior resto possível é o antecessor do divisor. Sendo 12 o divisor, o maior resto possível é 11.

Então:

n = 12 ? 9 + 11

n = 108 + 11

n = 119

O dividendo é 119.

Atividades – p. 58

1. 8 : 0 (não existe divisão por zero).

2. 7 : 0 (não existe divisão por zero).

7 : 2 = 3, resto 1.

20 : 10 = 2

9 : 9 = 1

0 : 10 = 0

8 : 8 = 1

A divisão 0 : 10.

3. 32 : 8 = 4

32 ? 5 = 160

160 ? 4 = 40

40

? 8 = 5

Deverei multiplicar por 5.

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 3 : 2; 5 : 3; 15 : 4.

5. 120 : 20 = 6

20 : 4 = 5

? : 5 = 6

? = 30

Então: 120 : 4 = 30.

Deve-se dividir por 4.

5. Potenciação

Pense e responda – p. 59

1. a) 3 ? 3 = 9

b) 5 5 = 25

c) 7 7 = 49

2. a) 5 ? 5 ? 5 = 125

b) 9 9 9 = 729

c) 7 ? 7 ? 7 = 343

3. Todos os fatores são iguais.

Atividades – p. 63

1. 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 54

2. 209 3.

c) 110 = 1

d) 150 = 1

e) 0100 = 0

f) 106 = 10 10 10 10 10 10 = 1 000 000

4. a) 52 = 25 e 25 = 32 52 , 25

b) 74 = 2 381 e 103 = 1 000 74 . 103

c) 43 = 64 e 29 = 512 43 , 29

d) 110 = 1 e 101 = 10 110 , 101

5. 100 000 possui 5 zeros; então, o expoente dessa potência é 5.

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

11

7. 132 = 169 122 + 52 = 144 + 25 = 169

Sim; 169 = 144 + 25.

8. a) 4 107 = 4 10 000 000 = 40 000 000 Quarenta milhões.

b) 9 105 = 9 100 000 = 900 000 Novecentos mil.

c) 106 = 1 000 000 Um milhão.

d) 2 103 = 2 1 000 = 2 000 Dois mil.

9. a) 27 ? 27 = 729

b) 11 11 11 = 1 331

c) 6 6 6 6 6 6 6 6 = 1 679 616

d) 13 13 13 13 = 28 561

e) 20 20 20 20 20 = 3 200 000

f)

11. 3 108 = 3 100 000 000 = 300 000 000

Se 1 000 metros equivalem a 1 quilômetro, temos: 300 000 000 : 1 000 = 300 000

A luz percorre em um segundo 300 000 quilômetros.

12. a) 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 = 15 625

b) 6 6 6 6 6 = 7 776

c)

13. O segredo é calcular o quadrado da quantidade de números ímpares naturais pedidos.

a) A soma dos 20 primeiros números ímpares naturais: 202 = 400

b) A soma dos 100 primeiros números ímpares naturais: 1002 = 10 000

14. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em um jogo de computador, cada participante inicia a primeira fase com 2 pontos. Assim que cada fase é passada, a partir da segunda, a quantidade de pontos é dobrada. Com quantos pontos terminou o jogo um participante que chegou até a fase 9?

Pense e responda – p. 64

• 22 + 18 + 26 + 44 + 23 + 35 = 168 h 168 reais.

Espera-se que os estudantes percebam que a estimativa foi razoável, pois a diferença em relação ao valor exato é pequena.

Atividades – p. 66

1. Mentalmente, podemos aproximar a quantidade inicial para 3 milhões e a quantidade de hoje para 4 milhões. Assim, temos que a diferença é 1 000 000 ou 1 milhão de habitantes.

2. x + 7 = 8 + 3 + 3 + 3 h x + 7 7 = 17 7 h x = 10. 10 kg

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabendo que em uma escola com 9 turmas cada turma tem 38 alunos, quantos alunos aproximadamente tem a escola no total?

Por toda parte – p. 67

1. Região Norte.

2. 1 108 970 pessoas.

3. Nordeste, Sudeste, Sul e Centro-Oeste: 234

+

= = 584 593

584

377 = 11

Onze mil, setecentos e oitenta e quatro.

6. Expressões numéricas

Atividades – p. 72

1. 81 7 11 = 81 77 = 4

2. a = 10 + 3 2 e b = 10 3 + 2

a = 10 + 6 h a = 16

b = 30 + 2 h b = 32

Então: a 5 b

3. 50 (6 8 + 2) = 50 (48 + 2) = 50 50 = 0

4. (3 ? 7 + 2 ? 15) ? (81 4 ? 20) = (21 + 30) ? (81 80) = 51 ? 1 = 51

5. a) 5

? 25 + 8 ? 15 + 2 ? 10 b) 5 25 + 8 15 + 2 10 = 125 + 120 + 20 = 265 265 pontos.

6. N = 85 : 5 + 3 15 50 N = 17 + 45 50

12. (34 26 100) : (52 _ 23) =

= (81 64 1) : (25 _ 23) =

= (17 1) : 2 =

= 16 : 2 = 8

82 = 64

13. N = 412 312 + 212

N = 1 681 961 + 441

N = 720 + 441

N = 1 161

1 + 1 + 6 + 1 = 9

14. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Marcelo possuía 500 reais, pagou 100 reais na farmácia, 200 reais no supermercado e, em seguida, sacou 150 reais no banco. O dinheiro que sobrou Marcelo dividiu em duas partes. Qual foi o valor de cada parte?

Fórum – p. 73

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal.

3. Resposta pessoal.

Retomando o que aprendeu – p. 74

1. 870 230 = 640

640 : 2 = 320

O valor de cada prestação é 320 reais.

Alternativa d.

2. Isabel gastou: 8 2 = 16

Isabel tinha: 2 20 = 40

Isabel ficou com: 40 16 = 24

Alternativa b.

3. 60 : 6 = 10

60 : 7 = 8, resto 4.

60 : 8 = 7, resto 4.

60 : 11 = 5, resto 5.

Alternativa a.

Início: Escolher a expressão numérica com parênteses a ser resolvida.

Há potenciações ou radiciações no trecho entre parênteses?

Resolva as operações de radiciação ou potenciação.

4. (43 + 42 + 4) : 7 + 2 (3 + 32 + 33) =

= (64 + 16 + 4) : 7 + 2 (3 + 9 + 27) =

= (80 + 4) : 7 + 2 (12 + 27) =

= 84 : 7 + 2 39 = 12 + 78 = 90

Alternativa b.

5. Eu tenho 1 320 figurinhas. Meu primo tem a metade do que tenho: 1 320 : 2 = 660

Minha irmã, o triplo do meu primo: 660 3 = 1 980

Alternativa d.

6. 838 + 162 = 1 000

160 x 15 = 2 400

3 600 ÷ 2 = 1 800

1 864 17 = 1 847

A sequência usada foi: + x ÷

Alternativa a.

7. (2 ? 215 325) + (1 ? 400 312) =

= (430 325) + (400 312) =

= 105 + 88 = 193

Foram consumidos 193 doces.

8. Ao digitarmos uma vez a tecla = , adicionamos 3 ao número 2.

Ao digitarmos 10 vezes a tecla = , adicionaremos 10 ? 3 = 30 ao número 2. Então, o número que vamos obter é: 2 + 30 = 32. Alternativa d.

9.

Bento, Lucas e Ana. Alternativa e.

10. Cada ônibus deve transportar: (57 + 31) : 2 = 88 : 2 = 44

Deverão passar para o segundo ônibus: 57 44 = 13

Alternativa b.

Há potenciações ou radiciações?

Resolva as operações de radiciação ou potenciação.

Há multiplicações ou divisões no trecho entre parênteses?

Resolva as operações de multiplicações ou divisões.

Há multiplicações ou divisões?

Resolva as operações de multiplicações ou divisões.

Há adições ou subtrações no trecho entre parênteses?

Resolva as operações de adições ou subtrações.

Há adições ou subtrações?

Resolva as operações de adições ou subtrações.

Eliminar parênteses. Expressão resolvida.

11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

• Respostas pessoais.

• Resposta pessoal. Os estudantes podem comentar, por exemplo, que a potenciação é uma operação realizada a partir de uma das operações fundamentais, a multiplicação.

• Exemplo de resposta: As regras na ordem de resolução de uma expressão numérica são necessárias para obter os resultados corretos, uma vez que há uma hierarquia entre as operações e os sinais.

Unidade 3 • Figuras geométricas

Abertura de Unidade – p. 76

• Respostas pessoais. Os estudantes podem citar características como o fato de ser uma figura tridimensional, ter faces laterais triangulares, ter um vértice distinto da base etc.

• Respostas pessoais. Exemplo de resposta: Possuem faces triangulares, possuem quatro faces laterais etc.

• Respostas pessoais. Espera-se que os alunos compreendam que não.

1.

Ponto,

reta e plano

Atividades – p. 79

1. a) Respostas pessoais. Exemplos de resposta: A quina da parede e da mesa.

b) Respostas pessoais. Exemplos de resposta: Cada parte do contorno do quadro, a linha divisória dos pisos, o rodapé da parede.

c) Respostas pessoais. Exemplos de resposta: O quadro, o chão da sala, o teto etc.

2. a) Respostas pessoais. Exemplo de resposta: Estrela bem distante, tronco de uma árvore, a superfície de um lago.

b) Respostas pessoais. Exemplo de resposta: Marca de um furo na parede, rodapé da parede, parede.

3. a) “Cabeça” de alfinete; um pingo de tinta em uma folha de papel.

b) Encontro de duas paredes; corda esticada.

c) Superfície de uma parede; superfície de uma lousa; superfície de uma piscina; superfície do tampo de uma mesa.

2. A reta

Atividades – p. 81

1. Uma única reta.

2. Inclinada.

3. Infinitas retas.

4. a) Concorrentes. b) Concorrentes. c) Concorrentes. d) Paralelas. e) Concorrentes.

5. a) Vertical.

b) Concorrente.

6. a) Cláudio trabalha na rua Visconde de Inhaúma, e Sueli trabalha na rua Comandante Marcondes Salgado.

b) Paralelas.

c) Não.

d) Resposta pessoal. Exemplo de respostas: 1) Qual a posição relativa entre as ruas Amador Bueno e Campos Salles? 2) Determine três ruas paralelas à rua Florêncio de Abreu.

7. Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes utilizem os conhecimentos sobre posições relativas entre retas para descrever a posição das ruas e para fazer o esquema das ruas próximas à casa do colega.

Atividades – p. 86

1. Nas figuras 3, 6 e 7.

2. a) Cinco: PA , PB, PC, PD e PF b) 7 segmentos: BP, AP, FP , CP, DP , CF e DB

3. a) BC, BD ou

4. a) AB e MN b) BN, BC ou

5. a) Verdadeira. b) Falsa.

c) Verdadeira.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 1) AB e CN são consecutivos. 2) BC e CD são colineares e consecutivos.

7. a) 6 u

c) AB e AM ou AC e AB

Verdadeira.

9. Apenas nas figuras regulares, ou seja, figuras a, d, e, h.

10. Produto A: 5 Produto B: 5 Total: 5 + 5 = 10. 10 segmentos.

11. Respostas pessoais. Exemplo de resposta:

3. Figuras geométricas

Atividades – p. 89

1. Resposta pessoal. Exemplos de resposta: Caixa de leite, cone de trânsito, lata de molho de tomate, bola etc.

2. Resposta pessoal. As classificações dependem das respostas dadas pelos estudantes.

3. a) Folha de papel, superfície do tampo de uma mesa, tela de um quadro.

b) Lata de extrato de tomate, dado, tubo de cola bastão, garrafa de água.

4. Plana.

5. a) Plana.

b) Não plana.

4. Sólidos geométricos

Pense e responda – p. 93

1. Número de lados da base do poliedro (L) Número de faces laterais do poliedro (f) Número de faces do poliedro (F) Número de arestas do poliedro (A) Número de vértices do poliedro (V)

2. Espera-se que os estudantes percebam que: F + V = A + 2; e que essa regularidade vale para todos os poliedros.

3. a) número de faces laterais do prisma = número de lados da base do prisma f =

b) número de faces do prisma = número de lados da base do prisma + 2

F = L + 2

c) número de arestas do prisma = número de lados da base do prisma multiplicado por 3

A = 3 L

d) número de vértices do prisma = o dobro do número de lados da base do prisma

V = 2 L

e) Sim, continuam válidas. Espera-se que os estudantes percebam que as relações valem para qualquer prisma.

4. a) número de faces laterais da pirâmide = número de lados da base da pirâmide

f = L

b) número de faces da pirâmide = número de lados da base da pirâmide + 1

F = L + 1

c) número de arestas da pirâmide = o dobro do número de lados da base da pirâmide

A = 2 L

d) número de vértices da pirâmide = número de lados da base da pirâmide + 1

V = L + 1

e) número de vértices da pirâmide = número de faces da pirâmide

V = F

f) Sim, continuam válidas. Espera-se que os estudantes percebam que as relações valem para qualquer pirâmide.

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Leonhard Euler (1707-1783) foi um importante matemático e cientista suíço, considerado um dos maiores estudiosos da matemática em sua época. Sua relação era de que em qualquer poliedro convexo o número de vértices mais o número de faces é igual ao número de arestas mais dois; essa relação é igual à encontrada na atividade 2.

Atividades – p. 94

1. a) Cilindro: corpo redondo.

b) Esfera: corpo redondo.

c) Pirâmide: poliedro.

d) Prisma hexagonal: poliedro.

e) Cubo: poliedro.

f) Cone: corpo redondo.

2. Um prisma triangular.

3. Prisma hexagonal; 12 vértices.

• número de vértices do prisma = número de lados da base do prisma multiplicado por 2: 6 ? 2 = 12

4. a) Pirâmide I: 8 faces, 8 vértices e 14 arestas. Pirâmide II: 9 faces, 9 vértices e 16 arestas.

b) Pirâmide I: triângulos; polígono de 7 lados.

Pirâmide II: triângulos; polígono de 8 lados.

5. Primeiramente, vamos determinar o número de lados do polígono que forma a base da pirâmide. Para isso, sabemos que:

número de vértices da pirâmide = número de lados da base da pirâmide + 1

Ou seja:

número de lados da base da pirâmide = número de vértices da pirâmide 1

número de lados da base da pirâmide = 10 1

número de lados da base da pirâmide = 9

• Arestas:

número de arestas da pirâmide = 2 número de lados da base da pirâmide

número de arestas da pirâmide = 2 9

número de arestas da pirâmide = 18

• Faces:

número de faces da pirâmide = número de lados da base da pirâmide + 1 número de faces da pirâmide = 9 + 1 número de faces da pirâmide = 10 10 faces e 18 arestas.

6. V + F = A + 2. V + 20 = 30 + 2 h V + 20 = 32 h V = 32 _ 20 h V = 12. 12 vértices; icosaedro.

7. Como a face vermelha é do lado da face amarela e da face roxa, temos: alternativa f.

8. Alternativas: a, b, d, f, h. Fórum – p. 95

• Respostas pessoais. Espera-se que os estudantes reflitam a respeito da acessibilidade e da importância de adequar os espaços físicos a todos os cidadãos para que se cumpra a constituição.

Tratamento da informação – p. 96

1. Expectativa de vida ao nascer no ano 2000, 2010 e 2020, respectivamente.

2. Maior: Europa e Ásia Central; menor: África subsaariana.

3. Aumentou em todas as regiões.

4. 69,8 anos.

5. 79,8 anos; 81,0 anos.

6. Respostas pessoais.

7. a) Resposta pessoal. Uma fonte de pesquisa confiável é: INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA. Tabela 7362 – Esperança de vida ao nascer e Taxa de mortalidade infantil, por sexo. Projeção da população. Rio de Janeiro: IBGE, 2018.Disponível em: https://sidra.ibge.gov.br/Tabela/7362 (acesso em: 20 ago. 2022), em que é possível consultar a projeção para as Unidades da Federação para qualquer ano entre 2000 e 2060.

b) Resposta pessoal. Alguns exemplos: sexo, formação acadêmica, bairro, renda familiar, entre outros. O motivo depende do fator pesquisado.

Retomando o que aprendeu – p. 98

1. a) III; b) I; c) II; d) V; e) IV.

2. a) BA e BC

b) 3 segmentos: AB, BC, AC

3. Primeiramente, vamos determinar o número de lados do polígono que forma a base da pirâmide. Para isso, sabemos que:

número de vértices da pirâmide = número de lados da base da pirâmide + 1

Ou seja:

número de lados da base da pirâmide = número de vértices da pirâmide 1

número de lados da base da pirâmide = 100 1

número de lados da base da pirâmide = 99

Além disso, sabemos que:

número de faces laterais da pirâmide = número de lados da base da pirâmide

número de faces laterais da pirâmide = 99

Logo, a pirâmide tem 99 faces laterais.

4. Alternativa d.

5. A face oposta a 1 é a face B; a face oposta a 2 é a face A; e a face oposta a 3 é a face C.

6. Alternativa c.

7. a)

Um novo olhar – p. 99

• As ideias intuitivas são: o ponto, a reta e o plano, que não podem ser comprovadas matematicamente e são aceitas sem definição.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os prismas possuem os lados em forma de retângulos e duas bases paralelas; as pirâmides possuem as faces na forma triangular e apenas uma base.

• O número de faces (F) mais o número de vértices (V) é igual ao número de arestas (A) mais 2. Ou seja: F + V = A + 2.

Unidade 4 • Múltiplos e divisores

Abertura de Unidade – p. 101

• Cinema 1 (caso tenha 5 fileiras com 17 cadeiras cada) e Cinema 2.

• Respostas pessoais.

Espera-se que os estudantes percebam que podem escolher o Cinema 2, pois há 72 lugares e cada fileira tem um número de lugares que é múltiplo de 3. Outra opção seria a escolha do Cinema 1. A disposição dos lugares nele não foi detalhada, mas, para ter 85 lugares com fileiras com quantidades iguais de lugares, só há duas opções: 5 fileiras com 17 lugares ou 17 fileiras com 5 lugares. O cinema poderá ser utilizado se for formado por 5 fileiras com 17 lugares em cada uma, pois as pessoas poderiam ser distribuídas da seguinte forma: 15 pessoas em quatro fileiras e 12 pessoas em uma fileira. Assim, 15 e 12 são múltiplos de 3 e atendem às exigências dos professores.

Para o Cinema 3, é importante que os estudantes percebam que ele não será uma escolha provável. Os estudantes precisarão fazer cálculos para chegar a essa conclusão. Pela imagem do Cinema 3, pode-se calcular o total de lugares. Se existem 9 fileiras e cada fileira tem 8 lugares, então há 72 lugares no total, número que satisfaz a exigência de lugares. Pela imagem, podemos verificar que há 2 lugares para os cadeirantes, portanto outra exigência satisfeita. Porém a exigência de que os grupos de 3 alunos devem se sentar juntos não é satisfeita, porque não é possível distribuir esses grupos da maneira como estão dispostos os lugares, pois o número de lugares de cada fileira, 8, não é múltiplo de 3.

• Resposta pessoal. Os estudantes podem citar critérios como proximidade da escola, acessibilidade (localização dos lugares reservados para cadeirantes, sinalização, presença de corrimão e rampas de acesso), conforto das poltronas, espaço entre as fileiras, diferença de altura entre uma fileira e outra, qualidade do som e da imagem.

• Respostas pessoais. Os estudantes podem citar, por exemplo, situações em que participaram de alguma brincadeira em equipes, trabalhos escolares, grupos de visitação em um passeio etc.

1. Noção de divisibilidade

Pense e responda – p. 102

1. a) 36 : 2 = 18 18 vezes.

b) 36 : 3 = 12 12 vezes.

c) 36 : 4 = 9 9 vezes.

d) 36 : 6 = 6

6 vezes.

e) 36 : 12 = 3

3 vezes.

f) 36 : 18 = 2

2 vezes.

g) 36 : 36 = 1

1 vez.

Fórum – p. 104

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. A resposta depende da pesquisa realizada pelos estudantes. Atividades – p. 105

1. a) 42 5 2 8

42 : 5 = 8, resto 2

b) 43 5 3 8

43 : 5 = 8, resto 3

c) 44 5 4 8

44 : 5 = 8, resto 4

d) 45 5 0 9

45 : 5 = 9, resto 0

e) 46 5 1 9

46 : 5 = 9, resto 1

f) 47 5 2 9

47 : 5 = 9, resto 2

2. 5 1 8 : 1 6 = 32,375

1 6 x 3 2 =

M 5 1 8 M+ MR 6

Resto 6. 2 5 9 : 8 = 32,375

h) 36 : 1 = 36 36 vezes.

2. a) 23 : 1 = 23 23 vezes.

b) 23 : 23 = 1 1 vez.

c) Nenhum.

4. Três. (Todas as afirmações são verdadeiras.)

5. O próximo número divisível por 37 é:

518 + 37 = 555

6. 300 : 11 = 297, resto 3

r = 3

Então:

300 r = 300 3 = 297

7. De 10 a 15 temos as seguintes possibilidades: 10, 11, 12, 13, 14, 15.

60 : 10 = 6

60 : 11 = 5, resto 5

60 : 12 = 5

60 : 13 = 4, resto 8

60 : 14 = 4, resto 4

60 : 15 = 4

As maneiras possíveis de formar esses grupos são: 6 grupos de 10 equipes, 5 grupos de 12 equipes ou 4 grupos de 15 equipes.

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Escreva as possíveis maneiras de organizar um grupo de estudantes, que estão organizando, com o professor de História, uma vista a um museu. Contando professores e estudantes, são, no total, 40 pessoas que se dividirão em grupos de no máximo 10 pessoas e no mínimo 4.

9. Entre 40 e 50 temos: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, e 49.

42 : 6 = 7

42 : 7 = 6

A idade de Sílvio é 42 anos.

10. a) 719 : 23 = 31, resto 6

O menor número natural que se deve subtrair de 719 é 6.

b) 706 : 13 = 54, resto 4

13 4 = 9

O menor número natural que se deve adicionar a 706 é 9.

Desafio

11. Se, ao contar os exercícios de 2 em 2, sobra 1, temos que a quantidade de exercícios é um número ímpar. Se, ao contar os exercícios de 5 em 5, sobra 1, temos um número cujo algarismo das unidades é 1 ou, como o número é ímpar, o algarismo das unidades é 1. Se, ao contar os exercícios de 7 em 7, não sobra nenhum, então a quantidade de exercícios é um número múltiplo de 7 maior do que 50 e menor do que 100 cujo algarismo das unidades é 1. João resolveu 91 exercícios.

2. Critérios de divisibilidade Atividades – p. 110

1. a) Sim, porque é um número par.

b) Sim. 1 + 2 + 7 + 5 + 6 = 21, 21 é divisível por 3.

c) Sim. Os dois últimos algarismos formam o número 56, que é divisível por 4.

d) Não. O último algarismo não é 0, nem 5.

e) Sim, porque é divisível por 2 e por 3.

f) Não. Os três últimos algarismos formam o número 156, que não é divisível por 8.

g) Não. 1 + 2 + 7 + 5 + 6 = 21, 21 não é divisível por 9.

h) Não. O último algarismo não é 0.

i) Não. Os dois últimos algarismos não são 0.

j) Não. Os três últimos algarismos não são 0.

2. a) 259, 295, 529, 592, 925, 952

b) Um número é divisível por 2 quando for par; então os números pares do item a são: 592 e 952.

c) Sendo todos os números formados pelos algarismos 2, 5 e 9, temos:

2 + 5 + 9 = 16

16 não é divisível por 3; logo nenhum dos números é divisível por 3.

3. a) 5 + 0 + 0 + 1 = 6, não porque 6 não é divisível por 9.

300

b) 5 + n + 0 + 1 = 9

n = 3

4. a) • É divisível por 3:

4 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 = 9

• É divisível por 4:

20 é o número formado pelos dois últimos algarismos e 20 é divisível por 4.

• É divisível por 5:

O último algarismo é zero.

• Não é divisível por 8:

020 é o número formado pelos três últimos algarismos e 020 não é divisível por 8.

• É divisível por 9:

4 + 0 + 3 + 0 + 2 + 0 = 9

• É divisível por 10:

O último algarismo é zero.

b) O número mais próximo de 20 que é divisível por 8 é 24, então n deve ser substituído por 4.

5. 3 000, 3 003, 3 030, 3 300, 3 033, 3 303, 3 330 e 3 333.

a) 3 000 e 3 300.

b) 3 000

c) 3 000

6. a) Para ser divisível por 2, d deve ser: 0, 2, 4, 6 ou 8. Para ser divisível por 3, 3 + 2 + 5 + d deve ser múltiplo de 3, 3 + 2 + 5 + d = = 10 + d = 12, mais próximo múltiplo de 3, então d = 2.

b) Se um número é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3, ele é divisível por 6, então d = 2 (item a).

c) 7 + 0 + b + 3 deve ser múltiplo de 3.

7 + 0 + b + 3 = 10 + b = 12, mais próximo múltiplo de 3, então b = 2.

d) 7 + 0 + b + 3 deve ser múltiplo de 9.

7 + 0 + b + 3 = 10 + b = 18, mais próximo múltiplo de 9, então b = 8.

7. Resposta pessoal. Quantos números de três algarismos divisíveis por 6 podemos formar com os algarismos 4, 7 e 0, sem repeti-los? Não podemos formar números divisíveis por 6 com os algarismos indicados, pois ao adicionar os algarismos (4, 7 e 0), obtemos 11 e 11 não é divisível por 3; logo, nem um número formado será divisível por 6.

8. Todos os podem ser substituídos por 3 ou por 9. Desafio

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Início: Escolher um número.

O número é par?

Sim. Sim.

A soma dos algarismos do número é divisível por 3?

O número não é divisível por 6.

3. Divisores e múltiplos de um número natural

Pense e responda – p. 112

2.

a) 1, 2, 11 e 22.

b) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60.

c) 1 e 17.

d) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Atividades – p. 114

1. Para 6 ser divisor de um número, esse número deve ter 2 e 3 como divisores.

a) 2 é divisor de 26 (número par), mas 3 não é divisor de 26 (2 + 6 = 8). Não.

b) 2 é divisor de 48 (número par) e 3 é divisor de 48 (4 + 8 = 12).

Sim.

c) 2 é divisor de 72 (número par) e 3 é divisor de 72 (7 + 2 = 9).

Sim.

d) 2 é divisor de 86 (número par), mas 3 não é divisor de 86 (8 + 6 = 14). Não.

2. a) 92 : 4 = 23 Sim.

b) 92 : 6 = 15, resto 2. Não.

c) 92 : 8 = 11, resto 4. Não.

d) 92 : 23 = 4 Sim.

3. a) 14 é um número par, então 2 é seu divisor.

b) 2 (18 é número par); 3 (1 + 8 = 9, múltiplo de 3); 6 (múltiplo de 2 e de 3); 9 (1 + 8 = 9, múltiplo de 9).

c) 5 (25 termina em 5).

d) 3 (4 + 5 = 9, múltiplo de 3); 5 (termina em 5); 9 (4 + 5 = 9, múltiplo de 9).

e) 2 (54 é número par); 3 (5 + 4 = 9, múltiplo de 3); 6 (é divisível por 2 e por 9); 9 (5 + 4 = 9, múltiplo de 9).

f) 2 (70 é número par); 5 (termina em 0); 10 (termina em 0).

4. Divisores de 5: {1, 5}; divisores de 15: {1, 3, 5, 15}; divisores de 5 e 15: 1 e 5.

5. Divisores de 14: {1, 2, 7, 14}; divisores de 35: {1, 5, 7, 35}.

a) 2 e 14.

b) 5 e 35.

c) 1 e 7.

6. Divisores de 60: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. 30 anos.

7. 12 é par, então é divisível por 2; 1 + 2 = 3 e 3 é múltiplo de 3; é divisível por 2 e por 3, então é divisível por 6. Alternativa c.

8. 0, 15, 30, 45, 60, 75

9. 300 : 13 = 23, resto 1. 300 1 = 299

10.

a) O primeiro número natural par maior do que 200 é 202.

b) Números naturais divisíveis por 2 entre 30 e 40: 32, 34, 36, 38.

Números naturais divisíveis por 3 entre 30 e 40: 33, 36, 39. 36.

c) Múltiplos naturais de 2 menores que 8: 0, 2, 4, 6.

Múltiplos naturais de 4 menores que 8: 0, 4.

Múltiplos de 2 e 4 ao mesmo tempo: 0 e 4. d) 4

e) Números naturais com três algarismos iguais, menores que 500: 111, 222, 333, 444.

Múltiplos de 2: 222 e 444.

Múltiplos de 3: 111, 222, 333, 444.

Múltiplos de 2 e 3: 222 e 444.

11. 100 : 13 = 7, resto 9.

13 7 = 91

91 + 13 = 104 104.

12. Múltiplos de 3 de 0 a 30: {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}; múltiplos de 5 de 0 a 30: {0, 5, 15, 20, 25, 30}; múltiplos comuns: {0, 15, 30}. São 3.

13. 15

14. a) Os anos a seguir que são divisíveis por 4 são: 2008, 2020 e 3000; mas, para o ano ser bissexto, os múltiplos de 4 terminados em 00 devem ser divisíveis por 400. 3000 não é divisível por 400. Então os anos bissextos são: 2008 e 2020.

b) De 1990 a 1999 os divisíveis por 4 são 1992 e 1996, então a década de 1990 teve 2 anos bissextos.

c) Década de 2000: 2000, 2004 e 2008. Década de 2010: 2012 e 2016. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos.

15. 2o) resto

3o) resto

4o) é

5o) não é

• Exemplo de resposta: Sim. Não.

Início: Escolha os números naturais a e b

Divida a por b e verifique o resto da divisão. O resto é zero?

a é múltiplo de b a não é múltiplo de b

16. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Quais números devem ser colocados no lugar do # para que o número 3#21 seja múltiplo de 9?

Desafios

17. O tabuleiro é formado por 95 ? 95 casas. A letra U está na 9 025a casa. Se os números escritos são múltiplos de 4, nesta casa estará o número 9 025 4 = 36 100 Alternativa c.

18. Horizontais:

1 Múltiplos de 2 menores do que 10: {0, 2, 4, 6, 8}. Múltiplos de 3 menores do que 10: {0, 3, 6, 9}.

3. 300 + 2 = 302

4. 2 552

9. 0

Verticais:

1. Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65...}

5. 132

6. 405

7 Múltiplos de 11 entre 800 e 900: {803, 814, 825, 836, 847, 858, 869, 880, 891}. 825

8 Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20...}. O quinto múltiplo de 5 é 20.

19. 5 148

É divisível por: 2 (par), 3 (5 + 1 + 4 + 8 = 18), 4 (termina em 48), 6 (divisível por 2 e por 3) e 9 (5 + 1 + 4 + 8 = 18).

Tratamento da informação – p. 116

1. 12 000 000 7 000 000 = 5 000 000 5 milhões de habitantes.

2. a) 500 refeições; 250 refeições; 125 refeições.

b) • Apenas no primeiro trimestre.

• No 2o , no 3o e no 4o

• 3 625 3 125 = 500 500 refeições.

• Foram vendidas 250 refeições a menos.

c)

Venda de refeições

Trimestre Quantidade de refeições vendidas

1o 3 125

2o 3 625

3o 3 875

4o 4 750 Fonte: Dados fictícios.

d) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes comentem que houve um aumento progressivo da quantidade de refeições vendidas ao longo dos quatro trimestres.

3. 300 milhões : 2 = 150 milhões.

4. 106 716 367 669

5. Resposta pessoal.

4. Números primos

p. 120

c) Século 21; 21 não é um número primo.

3. Não, pois é divisível por 7.

4. a) 26 + 3 = 64 + 3 = 67 67 é primo.

b) 4² + 52 = 16 + 25 = 41 41 é primo.

c) 472

5. São primos os números: 47, 83, 97.

6. a) 131

Pelos critérios de divisibilidade, 131 não é divisível por

por 3, nem por

Quociente igual ao divisor. 131 é um número primo.

b) 253

c) 211

Pelos critérios de divisibilidade, 211 não é divisível por

Quociente menor que o divisor. 211 é um número primo.

d) 391

Pelos critérios de divisibilidade, 391 não é divisível por 2, nem por 3, nem por 5.

São primos: 131 e 211.

7. Segredo: a soma de dois quadrados é o número do quadrado que está acima.

a)

b) Não, pois 195 é divisível por 5.

8. a) Primo: 7, 47 e 43; composto: 28, 27, 21, 22, 33 e 72; nem primo, nem composto: 0 e 1.

b) Sim: 31, 37 e 7.

Desafio

9. a)

• 14

É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo.

• 38

É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo.

• 25

Tem como último algarismo o número 5, então é divisível por 5; portanto, não é primo.

• 22

É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo.

• 52

É par, então é divisível por 2; portanto, não é primo.

• 43 É primo.

b) • 14: 1, 2, 7 e 14.

• 38: 1, 2, 19 e 38.

• 25: 1, 5 e 25.

• 43: 1 e 43.

• 22: 1, 2, 11 e 22.

• 52: 1, 2, 4, 13, 26 e 52.

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 15, 32, 63, 73 e 90. Atividades – p. 124

1. a) 46 = 2 23

b) 85 = 5 ? 17

c) 57 = 3 ? 19

d) 77 = 7 ? 11

2. Não; 3 ? 2 ? 2 ? 11.

3. Como a letra a tem um número composto (9), as únicas que têm fatorações completas são as alternativas b, c e d. 4. (152 + 255) : (32 + 1) = (225 + 255) : (9 + 1) = 480 : 10 =

Retomando o que aprendeu – p. 128

1. a) 135 15 0 9

b) 315 15 0 21

Alternativa d.

2. a) D (6) = {1, 2, 3, 6}

b) D (9) = {1, 3, 9}

c) 555 15 0 37

d) 785 15 5 52

• Sim; o 3 é um divisor comum.

e) 915 15 0 61

c) D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

d) D (15) = {1, 3, 5}

3. Múltiplos de 3: iniciando da página 1, a cada três páginas do livro uma é em branco (em vermelho): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Assim, a quantidade de páginas que são múltiplas de 3 são: 600 : 3 = 200.

Múltiplas de 4: o mesmo raciocínio pode ser aplicado às páginas múltiplas de 4: 600 : 4 = 150.

No entanto, alguns números são múltiplos de 3 e de 4, então nos cálculos anteriores eles estão sendo contados duas vezes, precisando ser desconsiderados uma vez. Para isso, devemos determinar quantos números atendem esse critério e, para isso, precisamos entender que um número que é múltiplo de 3 e de 4 é múltiplo de 12. Assim, seguindo o mesmo raciocínio anterior temos que 600 : 12 = 50. Por fim, fazemos: 200 + 150 50 = 300.

Alternativa d.

4. Múltiplos de 7 (maçãs verdes): 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, ... Múltiplos de 9 (maçãs vermelhas): 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, ... Observando, vemos que a única opção de dois números cuja soma é 96 é 42 + 54. Ou seja, 42 maçãs verdes.

Alternativa a.

5. Para determinar o que se pede, vamos fazer a fatoração de todos os números:

d)

112 = 9 7 121 = 63 121 = 7 623

9. Fatorando 240, temos: 240 = 24 3 5, n = 4

10. a) 771 é composto e 839 é primo; 771 = 3 257.

b) Resposta pessoal.

Por toda parte – p. 125

1. Resposta pessoal.

2. Resposta pessoal. Os estudantes podem entregar como respostas leis de trânsito e condutas consideradas adequadas para o bom fluxo de trânsito nas áreas urbanas.

3. Resposta pessoal.

Tecnologias – p. 126

4 567, 5 387, 6 389.

6. Ser múltiplo de 2 e 3 ao mesmo tempo é ser múltiplo de 6. Os múltiplos de 6 menores que 50 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 e 48. São 8 casas.

7. Os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13 são primos. Ao serem multiplicados por 1, continuam primos e vão formar a 1a linha e a 1a coluna da tabela, com exceção da primeira casa (1 ? 1 = 1), pois o número 1 não é primo nem composto. As demais linhas e colunas serão preenchidas por seus múltiplos (números compostos). Assim, a quantidade de casas que conterão números primos é 6 + 6 = 12. Alternativa c.

8. Para ser divisível por 5 independe do valor de c. Para ser divisível por 3 deve ter 1 + 2 + c + 5 = 8 + c como um número múltiplo de 3.

8 + c = 9 h c = 1

8 + c = 12 h c = 4

8 + c = 15 h c = 7

1 + 4 + 7 = 12

9. N = 488a9b

Se N é divisível por 5 deve ter o algarismo das unidades igual a 0 ou 5. Como se quer ter a maior soma possível, b = 5.

Se N é divisível por 3 deve ter na soma de seus algarismos um número múltiplo de 3.

4 + 8 + 8 + a + 9 + 5 = 34 + a, divisível por 3. Os possíveis valores para a são:

2, 5 e 8.

Como se quer ter a maior soma possível: a = 8. Logo:

a + c = 8 + 5 = 13

Alternativa d.

10. A quantidade de azulejos é maior do que 150 e menor do que 250. Se ao arrumarmos azulejos em caixas contendo 17 azulejos sobraram 15, temos uma quantidade de azulejos que é um número múltiplo de 17 mais 15 entre 150 e 250. Se arrumarmos em caixas contendo 11 azulejos, sobram 4 e temos uma quantidade de azulejos que é um número múltiplo de 11 mais 4 entre 150 e 250.

Os múltiplos de 17 mais 15 que estão entre 150 e 250 são: 168, 185, 202, 219 e 236.

Os múltiplos de 11 mais 4 que estão entre 150 e 250 são: 158, 169, 180, 191, 202, 213, 224, 235 e 246.

Logo, 202 é a quantidade de azulejos que seu Almeida possui.

11. Primeiramente vemos quais números maiores que 93 e menores que 112 são múltiplos de 4, verificando quais deles são divisíveis por 4. Com isso, vemos que são múltiplos de 4: 96, 100, 104 e 108.

Organizando os números de modo que todos os quatro números estejam indicados em balõezinhos, temos que o maior número indicado é o 108. Alternativa e.

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 3, 4, 5, 6.

Primos: 3 e 5.

Compostos: 4 e 6.

D(3): {1,3}; D(4): {1,2,4}; D(5): {1,5}; D(6): {1,2,3,6}.

M(3): {6,9,12,15}; M(4): {8,12,16,20}; M(5): {10,15,20,25}; M(6): {12,18,24,30,36,42}.

Fatoração: 4 = 2 2; 6 = 2 3.

Um novo olhar – p. 129

• Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes utilizem os critérios de divisibilidade.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A tabuada indica os múltiplos de um número.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Se a é múltiplo de b, b é divisor de a

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Número natural diferente de 1 que é divisível apenas por 1 e ele próprio.

Unidade 5 • A forma fracionária dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 130

• Sim. Não são partes necessariamente iguais, mas são partes.

• Peça amarela: 1 parte de 8 partes ou 1 8 ; peça laranja: 1 parte de 16 partes ou 1 16 ;

peça verde: 1 parte de 32 partes ou 1 32

• Resposta pessoal.

1. A ideia de fração

Pense e responda – p. 132

1. a) 3

b) 5

c) 1 8

Pense e responda – p. 135

1. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Ele pode cortar igualmente em 4 pedaços de mesma medida.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

c) 1 4 da barra de chocolate.

Atividades – p. 136

1. Alternativas a, b, d, e, f, h, i.

EDITORIA DE ARTE

2. Problemas envolvendo frações

Atividades – p. 138

1. 1 8 de 224 h 224 : 8 = 28

28 pessoas.

2. Verba mensal: 4 500 000 reais

1 5 da verba mensal corresponde a 4 500 000 : 5 = 900 000

4 5 da verba correspondem a 900 000 4 = 3 600 000

3 600 000 reais.

3. 1 6 dos brinquedos corresponde a 75

N = 6 6 corresponde a 75 ? 6 = 450

N = 450 brinquedos.

4. Estudantes com menos de 20 anos correspondem a:

3 8 são 9 estudantes.

1 8 corresponde a 9 : 3 = 3

Total de estudantes: 8 8 correspondem a 3 8 = 24 24 estudantes.

5. 25 25 correspondem a 1 450

1 25 corresponde a 1 450 : 25 = 58

18 25 correspondem a 58 ? 18 = 1 044

1 450 _ 1 044 = 406 406 acidentes.

6. a) 1 2 corresponde a 18 : 2 = 9 9 quadradinhos.

b) 1 3 corresponde a 18 : 3 = 6 2 3 correspondem a 6 2 = 12 12 quadradinhos.

c) 1 6 corresponde a 18 : 6 = 3

5 6 correspondem a 3 ? 5 = 15 15 quadradinhos.

d) 1 9 corresponde a 18 : 9 = 2

4 9 correspondem a 2 ? 4 = 8 8 quadradinhos.

7. 1 10 corresponde a 30 : 10 = 3

9 10 correspondem a 3 9 = 27 30 27 = 3

3 dias.

8. 1a loja: 300 reais.

1 4 corresponde a 300 : 4 = 75

1a, 2a e 3a lojas: 75 + 2 = 77 300 (3 77) = 300 231 = 69

Restam 69 reais.

3. Comparando frações

Pense e responda – p. 139

1. a) 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5

b) 1 5 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 5

2. 1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 == ==

Atividades – p. 141

1. a) 2 metades; 3 terços; 4 quartos.

b) 8 8 é igual a uma barra inteira. Os dois comeram a mesma quantidade.

c) Metade da metade corresponde a 1 4 , e metade da metade da metade corresponde a 1 8

Sara: 1 4 ; Lara: 1 8

d) • Uma metade é igual a 3 sextos e é igual a 5 décimos. • Uma terça parte é igual a 2 sextos e é igual a 3 nonos.

2. 2 3 4 6

Sim.

3. Quanto maior é a parte, menor é o denominador da fração unitária que a representa. O transporte usado pela maior quantidade de funcionários é o metrô.

4. a) 1 3 2 6 = então 1 3 1 6 . 1 3 1 6 Verdadeira.

b) 1 3 2 6 = Verdadeira.

c) 1 5 3 5 , Verdadeira.

d) 2 3 1 3 . Falsa.

e) 2 3 3 3 =52 3 3 3 = Falsa.

f) 1 5 2 10 = Verdadeira.

g) 3 5 3 6 =53 5 3 6 = Falsa.

h) 2 3 4 6 = então 2 3 2 6 . Verdadeira.

EDITORIA DE ARTE

4. Obtendo frações equivalentes

Pense e responda – p. 145

1. Em cada situação, cada fração teve seu numerador e denominador multiplicados pelo denominador da outra fração.

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Espera-se que os estudantes percebam que o processo sempre funciona para obter frações de mesmo denominador. Atividades

As que estão na sua forma irredutível

e) 7 15 7 9 ,

f) 5 15 2 9 .

14. Total de estudantes: 10 + 15 = 25

Total de meninos: 10 10 25

Alternativa c.

15. 4 4 = 16

d) 7 15 3 15 1 15

__==

e) 7 20 1 20 7 20 15 20 3 4 ++==

f) 5 18 11 18 13 18 16 18

g) 7

+_=_==

16 16

64 16 1 4 : : =

1 4 da parede.

16. Período da manhã: 10 30 = 300 alunos.

Período da tarde: 6 40 = 240 alunos.

Total de estudantes da escola:

300 + 240 = 540

Vou obter 3 20

3. 3 5 1 4 12 20 5 20 17 20 + =+=

Os dois usaram juntos 17 20

240 60

540 60 4 9 : : =

Representa 240 540 ou 4 9

17. Total de entrevistados:

10 + 20 + 20 + 50 + 20 + 40 = 160

Pelo menos o fundamental:

160 10 = 150

4. a) 3 8 1 6 9 24 4 24 13 24 + =+=

b) 9 10 1 4 18 20 5 20 13 20 =_=

c) 5 9 2 6 10 18 6 18 16 18 8 9 + =+==

d) 11 15 1 2 22 30 15 30 7 30 =_=

150 10

160 10 15 16 : : =

Representa 15 16 do total de entrevistados.

Desafio 18.

e) 1 2 5 6 6 12 10 12 16 12 4 3 += +==

g)

+ =+==

Eles contribuíram com 13 15 das figurinhas.

7. a) 1 2 2 5 5 10 4 10 9 10 + =+=

Nesse dia, Ronaldo arquivou 9 10 dos documentos.

b) No período da manhã.

8. a) 5 8 1 6 15 24 4 24 19 24 + =+= 24 24 19 24 5 24 _=

Foram de ônibus ao congresso 5 24 dos participantes.

b) Metrô.

10 10 6 10 4 10 2 5

Cabe ao clube perdedor 2 5 da renda.

10. 1 4 1 6 3 12 2 12 1 12 =_=

Helena percorre 1 12 de quilômetro a mais do que Cristina.

11. a) 3 8 1 3 9 24 8 24 17 24 + =+=

b) Rua toda: 24 24

Metade da rua: 12 24

Parte da rua asfaltada: 17 24

Como 17 . 12, temos que já foi asfaltada mais da metade da rua.

c) 24 24 17 24 7 24 _=

Falta ser asfaltada 7 24 da rua.

d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Se na segunda semana tivessem sido asfaltados 1 15 a mais do que na primeira semana, quanto faltaria asfaltar na terceira semana de trabalho?

12. 2 7 1 4 8 28 7 28 15 28 + =+= 28 28 15 28 13 28 _=

É destinada aos vestidos 13 28 da produção.

13. 2 5 1 3 6 15 5 15 11 15 + =+= 15 15 11 15 4 15 _=

Cultivará tomates em 4 15 do terreno.

14. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

1) Ana comeu 1 6 de um bolo que sua avó preparou no café da manhã. À tarde, Ana comeu mais 2 5 desse bolo. Qual fração representa a parte do bolo que Ana comeu nesse dia, sabendo que ela apenas o comeu nesses dois momentos?

2) José está preparando um suco. Ele adiciona 3 4 de água na jarra e, após verificar que o suco ficaria muito concentrado, adiciona mais 1 8 . Qual a fração que representa a quantidade de água adicionada por ele na jarra?

Desafio

15. 1a linha: Sendo a adição e a subtração operações inversas, temos: 1 2 1 4 2 4 1 4 1 4

3a linha: Sendo a adição e a subtração operações inversas, temos: 5

5a coluna: 1 2

Há outras sequências possíveis para se obterem os valores procurados.

Por toda parte – p. 154

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: 1 2 1 3 1 9 9 18 6 18 2 18 17 18

Então: 18 18 17 18 1 18

Portanto sobraram 2 camelos de 36.

2. Espera-se que os estudantes realizem uma pesquisa. No link, disponível em https://malbatahan.com.br/ (acesso em: 29 ago. 2022), é possível encontrar algumas informações.

6. A forma mista

– p. 157

2. No bolo de rolo; 4 1 4 3.

c)

d)

7

4. Respostas pessoais.

5. Resposta pessoal.

7. Multiplicação com frações

Atividades – p. 160

1. a) 3 10

b) 100 9 c) 1 4

7 cheios + 7 pela metade H 10 1 2 ; 3 1 2 em cada bandeja. Por

parte – p. 158

8. As frações e a porcentagem

Fórum – p. 161

Respostas pessoais.

Atividades – p. 163

1. 1 2 do todo é:

1 2 100 100 50 100 50% ?= =

2. 50% do círculo equivale à metade do círculo representado pelo setor A.

3. 50% do círculo equivale à metade do círculo e 25%, à sua quarta parte. A representação gráfica em que se tem essas representações é a da alternativa d.

4. 55% de 3 000 = 55 1% de 3 000

55% de 3 000 = 55 ? (3 000 : 100)

55% de 3 000 = 55 30 = 1 650

1 650 pessoas.

5. 3 5 do todo é 3 5 100 100 60 100 60% ?= =

6. Exemplo de esquema: Beto Beto

João João

João João

a) Beto comeu 2 pedaços.

1 4 do todo é:

1 4 100 100 25 100 25% ?= =

A parte que Beto comeu representa 25% do todo.

b) João comeu 4 pedaços.

1 2 do todo é:

Atividades – p. 165

1. a) Lápis colorido (há um número maior de lápis colorido).

b) • A probabilidade de retirar um lápis colorido é de 13 para 20, ou seja, 13 20

• A probabilidade de retirar um lápis preto é de 7 para 20, ou seja, 7 20

2. a) A probabilidade de retirar uma bola branca é de 2 para 12, ou seja, 2 12 ou 1 6

b) A probabilidade de retirar uma bola amarela é de 6 para 12, ou seja, 6 12 ou 1

c) A probabilidade de retirar uma bola vermelha é de 4 para 12, ou seja, 4 12 ou 1

3. a) Número par (há uma quantidade maior de números pares nas bolas numeradas).

b) Há 9 bolas com número par. A probabilidade de retirar um número par ao retirar uma bola é de 9 para 15, ou seja, 9 15 3 5 =

c) Há 6 bolas com número ímpar. A probabilidade de retirar um número ímpar ao retirar uma bola é de 6 para 15, ou seja, 6 15 2 5 =

4. a) 10 fichas.

b) Uma letra (há uma quantidade maior de fichas em que estão escritas as letras).

c) A probabilidade de retirar uma ficha em que está escrita uma letra é de 7 para 10, ou seja, 7 10

1

2 100 100 50 100 50% ?= =

A parte que João comeu representa 50% do todo.

c) 25 100 50 100 75 100 75% +==

O todo é representado por 8 pedaços.

Os dois comeram juntos:

2 + 4 = 6 (6 pedaços).

6 8 3 4 =

7. Pacientes que não tiveram condições de fazer o transplante:

61% de 6 200 = 61 1% de 6 200

1% de 6 200 = 6 200 : 100 = 62

Logo:

61% de 6 200 = 61 62 = 3 782

Pacientes que restam na fila de espera:

6 200 3 782 = 2 418

Restam na fila de espera 2 418 pacientes.

8. a) 100 65 = 35

Gastaria 35 reais a mais.

b) 35 100 ou 35%.

c) Resposta pessoal. Espera-se que os estudantes percebam que depende do quanto Bianca está ou não precisando do sapato.

d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na mesma loja, outra promoção dizia que se fossem levados 2 vestidos, o total da compra sairia 30 reais a menos. O que sairia mais barato: comprar dois vestidos ou um vestido e um sapato?

9. Probabilidade

Pense e responda – p. 164

1. a) • 10 fichas.

• Múltiplos de 5: 15, 20, 35, 50, 40, 25, 30 e 5. 8 fichas.

• Em 2 fichas (13 e 21).

b) Uma ficha com um número múltiplo de 5 (há um número maior de fichas com número múltiplo de 5).

d) A probabilidade de retirar uma ficha em que está escrito um número é de 3 para 10, ou seja, 3 10

Desafio

5. 40% = 40 100 2 5 = Alternativa c.

Retomando o que aprendeu – p. 166

1. 12 60 1 5 =

2. Cartas entregues no 1o andar: 5 5 corresponde a 65 1 5 corresponde a: 65 : 5 = 13

Nos demais andares: 65 13 = 52 Alternativa d.

3. 33 1 3 33 1 3 99 3 1 3 100 3 =+ =+ = 100 3 rotações por minuto.

Em 15 minutos: 100

3 ? 15 = 500 500 rotações.

4. Candidatos entrevistados: 420. Candidatos rejeitados:

7 7 : 420

420 : 7 = 60

5 7 = 60 5 = 300

Candidatos aceitos: 420 300 = 120

Alternativa d.

5. Figura toda: 100% = 100 100

Parte pintada: 1 5 da figura: 1 5 de 100%

1 5 100 100 20 100 20% ?= =

Alternativa c.

6. Bolas amarelas: 100 (45 + 20) = 100 65 = 35

35 100 35% =

Alternativa d.

7. 1 hora = 60 minutos

60 minutos = 60 60

1 minuto = 1 60

35 minutos = 35 60 7 12 =

Alternativa b.

8. 2

3 corresponde a3 6 000

1 3 é: 36 000 : 2 = 18 000

3 3 são: 18 000 3 = 54 000

Alternativa d.

9. 2 5 de 1 3 2 5 1 3 2 15 =? =

Alternativa a.

10. a) 30 leituras por dia, em 5 dias: 30 ? 5 = 150

1

10 corresponde a 150 : 10 = 15

9 10 corresponde a 15 ? 9 = 135

Portanto, Laura executou 135 leituras.

1

6 corresponde a 150 : 6 = 25

5

6 corresponde a 25 5 = 125

Portanto, Fernando executou 125 leituras.

b) Laura; 10 leituras a mais.

11. Há na figura 10 metades de quadrados pintados e 3 quadrados inteiros; então, temos:

10 metades de quadrados = 5 quadrados

5 + 3 = 8

8 18 4 9 =

Alternativa b.

12. 35 450 3 = 106 350

106 350 : 5 = 21 270;

35 450 21 270 = 14 180

João: R$ 21.270,00;

Guilherme: R$ 14.180,00

13. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Em um restaurante, Carlos e Natália dividem a conta de modo que Carlos pagará 2 3 do total e Natália o resto. Sabendo que receberão um desconto de R$ 27,00 nessa conta e que a divisão do desconto será proporcional ao que cada um iria pagar, quanto cada um receberá de desconto?

Um novo olhar – p. 167

•

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Obtendo frações equivalentes com o mesmo denominador.

• Exemplo de resposta: Dividimos o numerador e o denominador por um mesmo divisor comum, caso exista. Na fração que resultar, fazemos o mesmo até que ela fique irredutível.

• Exemplo de resposta: Determinamos frações equivalentes que tenham o mesmo denominador, adicionamos os numeradores dessas frações equivalentes e conservamos o denominador. No final, se necessário, simplificamos o resultado.

• Exemplo de resposta: Os valores percentuais podem ser escritos como uma fração de denominador 100, por exemplo, 25% é o mesmo que 25 100

Unidade 6 • A forma decimal dos números racionais

Abertura de Unidade – p. 169

• Produto, quantidade, preço por unidade e preço total.

• Após adicionar todos os preços totais na calculadora, obtemos: R$ 149,08.

• Exemplo de resposta: Espera-se que os estudantes percebam que podem entregar ao caixa uma cédula de 100 reais e outra de 50 reais. Nesse caso, receberia de troco R$ 150,00 R$ 149,08 = R$ 0,92.

• Resposta pessoal.

1. Representação decimal

Pense e responda – p. 170

1. A décima parte ou 1 10

2. A centésima parte ou 1 100

3. A milésima parte ou 1 1 000

Atividades – p. 175

1. Gustavo deve escrever 4,15.

2. a) 5,2 b) 0,52 c) 0,77

9.

b)

c)

d)

b)

c)

d)

b)

b)

c)

d)

e)

f)

10. a) Oitenta e cinco centésimos.

b) Oito milésimos.

c) Sete inteiros e três décimos.

d) Um inteiro e cento e quarenta e sete milésimos.

11. a) Três reais e vinte e cinco centavos; dezoito reais e setenta e nove centavos; catorze reais e cinquenta centavos; cinco reais e oitenta e seis centavos.

b) O arroz.

c) O pacote de biscoitos de água e sal.

d) 3,25 , 5,86 , 14,50 , 18,79

12. 49 20 = 245 100 = 2,45

Temos, 2,4 , 2,45 , 2,5.

Alternativa c.

13. a) Ana: 1 metro e 25 centímetros; Carlos: 1 metro e 38 centímetros; Alice: 1 metro e 36 centímetros; Paulo: 1 metro e 24 centímetros.

b) Ana e Paulo, pois a altura deles é menor do que a altura permitida.

c) 1,38 1,30 = 0,08 m ou 8 cm.

8 cm; 0,08 m

d) 1,30 1,24 = 0,06 m ou 6 cm.

6 centímetros a menos.

e) 1,38 m . 1,36 m . 1,25 m . 1,24 m

14. a) Às 15 h.

b) 18,2 °C

c) 17,1 °C , 18,2 °C , 19,5 °C , 21,3 °C , 26,4 °C

d) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Das temperaturas registradas, quais estão abaixo de 20 °C? Resposta: 19,5 °C; 18,2 °C e 17,1 °C.

2. Adição e subtração com números na forma decimal

Atividades – p. 178

1. Respostas pessoais.

10,0 _ 1,4 8,6

b) 100,00

_ 80,75 19,25

c) 1 000,00

_ 345,27

654,73

8. a) Comprimento: 0,25 + 1,70 + 0,15 + 3,80 + 0,15 + 4,10 + 0,25 = 10,40

Largura: 0,25 + 3,80 + 0,15 + 4,50 + 0,25 = 8,95

Comprimento: 10,40 m; largura: 8,95 m.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A medida do comprimento total da área fria do apartamento (cozinha e lavanderia) está mais próxima de 6,0 metros ou de 4,0 metros? Realize o cálculo para confirmar sua estimativa. Espera-se que os estudantes respondam que a medida do comprimento total da área fria está mais próxima de 5,0 metros. Arredondando 3,80 m para 4,0 m e 1,70 m para 2,0 m e adicionando esses valores, obtemos 6,0 m. De fato, realizando os cálculos exatos, 1,70 m + 3,80 m = 5,50 m.

Desafio

9. Soma nas linhas horizontais, verticais e diagonais: 1,6 + 2,1 + 1,4 = 5,1

A = 5,1 (2,1 + 1,3)

A = 5,1 3,4

A = 1,7

B = 5,1 (1,5 + A)

B = 5,1 (1,5 + 1,7)

B = 5,1 3,2

B = 1,9

C = 5,1 (1,6 + 1,5)

C = 5,1 3,1

C = 2,0

D = 5,1 (C + 1,3)

D = 5,1 (2,0 + 1,3)

D = 5,1 3,3

D = 1,8

A = 1,7; B = 1,9; C = 2,0; D = 1,8.

3. Multiplicação com números na forma decimal

4. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Com 1 litro de combustível um carro percorre 8,3 quilômetros. Quantos quilômetros esse carro percorre com 12 litros de combustível?

11.

c) Estimativa possível: 350; valor exato: 347,9.

d) Estimativa possível: 72; valor exato: 73,08.

Há outras possibilidades de estimativas.

Educação financeira – p. 183

1. a) De segunda a sexta: 5 ? (5,00 4,90) + 5 ? (20,00 19,80) = 1,50

Sábado: 1,00 + 2 0,25 + 3 0,10 = 1,80

Supermercado: 3 50,00 148,35 = 1,65

Total na semana: 1,50 + 1,80 + 1,65 = 4,95

Joana recebeu na semana R$ 4,95.

b) 17 4,95 = 84,15

Joana terá R$ 84,15.

4. Divisão com números na forma decimal

Pense e responda – p. 185

1. a) 7 233 : 10 = 723,3 Centenas, dezenas, unidades e décimos.

7 233 : 100 = 72,33 Dezenas, unidades, décimos e centésimos.

7 233 : 1 000 = 7,233 Unidades, décimos, centésimos e milésimos. b) A cada divisão, a vírgula se deslocou para a esquerda.

2. Os resultados das divisões dependem do número escolhido. Observamos o mesmo deslocamento da vírgula.

3. Resposta pessoal. Atividades – p. 188

1.

c)

3. 124,1 : 17 = 1 241 : 170 = 7,3

Serão colocados em cada barril 7,3 litros de suco.

4. 152,00 : 0,95 = 15 200 : 95 = 160 O consumo foi de 160 quilowatt-hora.

5. 162,80 : 2,96 = 16 280 : 296 = 55 Cabem no tanque 55 litros de combustível.

6. a) 10,6 : 2 = 106 : 20 = 5,3

b) 7,25 : 5 = 725 : 500 = 1,45

c) 30,6 : 20 = 306 : 200 = 1,53

d) 171,6 : 26 = 1 716 : 260 = 6,6

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Renata abasteceu o carro com 26 litros de combustível e pagou R$ 171,60. Quanto ela pagou pelo litro do combustível? Ela pagou R$ 6,60 pelo litro do combustível (171,6 : 26 = 6,6).

8. Quantidade de passagens: 12 ? 20 ? 2 = 480. Preço de cada passagem: 2 112 : 480 = 4,40.

R$ 4,40

9. a) 13 : 5,2 = 130 : 52 = 2,5

b) 21,4 : 2,14 = 2 140 : 214 = 10

c) 0,14 : 2,8 = 14 : 280 = 0,05

d) 5,12 : 0,064 = 5 120 : 64 = 80

10. 512 : 1,6 = 5 120 : 16 = 320

Há 320 milhas.

11. 91 : 3,5 = 910 : 35 = 26

O piloto deu 26 voltas na pista.

5. Os números na forma decimal e o cálculo de porcentagens

1. a) 3% = 0,03

b) 21% = 0,21

c) 42% = 0,42

d) 150% = 1,50

e) 55% = 0,55

7. a) 1,1334 4,50 = 5,10

O novo preço do salgado será R$ 5,10.

b) 4 5,10 = 20,40

O cliente gastou R$ 20,40.

c) O cliente pode entregar a cédula de R$ 50,00 e quatro moedas de R$ 0,10. Desse modo, ele receberá R$ 30,00 de troco, valor que pode ser composto apenas de cédulas.

8. a) 45 000

b) 1 500

c) 4 500

9. a) 6 10 , 0,6 e 60%.

10. 0,80 50 = 40

50 40 = 10; ou seja, 10 litros.

11. a) 0,10 ? 45 = 4,5 4,5 : 10 = 0,45 0,45

b) 0,01 45 = 0,45 13 ? 0,45 = 5,85 5,85

c) 0,01 45 = 0,45

18 0,45 = 8,1 8,1

d) 0,10 ? 36 = 3,6

2 3,6 = 7,2

7,2

e) 0,10 36 = 3,6

5% : 3,6 : 2 = 1,8

3,6 + 3,6 + 1,8 = 9

9

2.

3. a) 51% = 0,51

0,51 3 340 = 1 703,4

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um produto teve desconto de 51% em uma promoção. Se ele custava R$ 3.340,00, qual foi o valor do desconto concedido nessa promoção?

b) 120% = 1,2

1,2 2 500 = 3 000

Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um produto sofreu um aumento de 120% ao longo de 10 anos. Se ele custava R$ 2.500,00, qual foi o valor do aumento?

4. a) Já pintou:

85% = 0,85

0,85 16,8 = 14,28

Já foram pintados 14,28 m2

b) Falta pintar:

16,8 14,28 = 2,52

Falta pintar 2,52 m2

5. a) 35% de R$ 88,00 = 0,35 88,00 = 30,80

O desconto é de R$ 30,80.

b) 2 ? (88,00 30,80) = 2 ? 57,20 = 114,40

O valor pago é R$ 114,40.

6. a) 8 cm = 0,08 m 1,56 m + 0,08 m = 1,64 m

Carolina mediu no final do ano 1,64 m.

b) 5% de 1,56 = 0,05 1,56 = 0,078

Sim. Porque 5% de 1,56 m corresponde a aproximadamente 0,08 m.

d) 450

e) 135 000

f) 13 500

b) 3 4 , 0,75 e 75%.

f) 0,10 ? 36 = 3,6

6 3,6 = 21,6 21,6

Desafios

12. a) Valor do desconto: 0,10 85 = 8,50 R$ 8,50

Preço da camisa: 85,00 8,50 = 76,50 R$ 76,50

b) 0,10 76,50 = 7,65 R$ 7,65

c) 76,50 + 7,65 = 84,15 R$ 84,15

d) Espera-se que os estudantes percebam que o desconto de 10% foi calculado sobre R$ 85,00; já o aumento de 10% foi aplicado em R$ 76,50, resultando em valores diferentes em real.

13. a) 4,9 4,2 = 0,7 0,7 : 4,2 1 0,1667 16,67%

b) Não, até agora a maior nota obtida foi 4,9.

c) Espera-se que as estimativas estejam em torno de 4,5 com base na escala do eixo vertical.

d) Nota 2015: aumento de 7,14% em relação à 2013: 4,2 ? 1,0714 1 4,5.

Percentual de aumento de 2019 em relação à 2017: 4,9 : 4,7 1 1,0425, ou seja, 0,0425 100 = 4,25%.

Espera-se que os estudantes descrevam o procedimento realizado nas linhas de cima.

e) Resposta pessoal. Espera-se que a estimativa feita no item c tenha se confirmado no item d

f) Resposta pessoal, que depende dos dados pesquisados pelos estudantes.

Tratamento da informação – p. 192

Respostas pessoais.

Retomando o que aprendeu – p. 194

1. 52 3 (4,1 1,8) = 52 3 2,3 = 52 6,9 = 45,1

Alternativa b.

2. 50,00 (2 6,59 + 5,82 + 6,70) = 50,00 25,70 = 24,30

Elas receberam R$ 24,30 de troco.

3. 1 829,45 : 365,89 = 5 Cinco prestações.

4. 8 27,7 = 221,6

Vai lançar no ar 221,6 g de monóxido de carbono.

5. 10 = 40 : 4

2,5 = 10 : 4

? = 2,5 : 4 ? = 0,625

Alternativa a.

6. 37,8 0,5 = 37,3

Alternativa a.

7. 1o número:

(9 : 2 + 4 1,25) = (4,5 + 5,0) = 9,5

2o número: (2 1,05 6,4 : 4) = (2,1 1,6) = 0,5 (1o número) ? (2o número) = 9,5 ? 0,5 = 4,75

Alternativa d.

8. (3,5 416 715) 10 = (1 456 715) : 10 = 741 : 10 = 74,1

A expectativa de vida é de 74,1 anos.

9. De B até

:

10. Tinham curso universitário completo:

75% de 320 75 100 320 =? = 0,75 320 = 240

Não tinham curso universitário completo:

320 240 = 80

Alternativa e.

11. (63 0,7) : 0,9 = 44,1 : 0,9 = 49

Alternativa a.

12. 16 ? 0,30 + 15 ? 0,55 = 4,80 + 8,25 = 13,05

Alternativa c.

13. Alternativa d.

14. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: A tabela a seguir mostra a temperatura em determinado município ao longo de um dia.

Temperatura ao longo do dia

A partir dessas informações, responda:

a) Qual foi a maior temperatura medida nesse dia? E a menor?

Resposta: Maior: 32,7 °C; menor: 21,3 °C.

b) Qual é a diferença entre a maior e a menor temperatura medida nesse dia?

Resposta: 32,7 °C 21,3 °C = 11,4 °C

Um novo olhar – p. 195

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na comparação do centavo com o real.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Para facilitar o troco do comércio.

Unidade 7 • Ângulos e polígonos

Abertura de Unidade – p. 196

• Resposta pessoal. Os estudantes podem relacionar a ideia de ângulos, por exemplo, a aberturas, giros ou inclinações.

• Resposta pessoal. Exemplos de resposta:

Da casa de Roberto para a escola: Caminhe por um quarteirão; Gire 90° à direita; Caminhe por três quarteirões; Gire 90° à esquerda; Caminhe por um quarteirão; Chegou à escola;

Da escola para o posto de saúde: Caminhe por três quarteirões; Gire 90° à esquerda; Caminhe por um quarteirão; Gire 90° à direita; Caminhe por três quarteirões; Gire 90° à esquerda; Chegou ao posto de saúde.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sai do posto à esquerda, vire à direita, caminhe por três quarteirões, vire à esquerda; caminhe por dois quarteirões, vire à direita, caminhe por um quarteirão, vire à esquerda, caminhe por três quarteirões e chegue à casa de Roberto.

1. Giro, abertura e inclinação

Pense e responda – p. 198

1. a-B; b-A; c-C

2. Ângulo Atividades – p. 202 1. a) 3 horas.

A: 92°; B: 45°; C: 130°; D: 93°

4. Resposta pessoal.

Fórum – p. 203

• distância ? 0,84 = 40 h 40 : 0,84 1 48

Ou seja, a aproximadamente 48 polegadas.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O excesso de tempo em frente à televisão pode afetar a qualidade do sono, causar sedentarismo, ansiedade, problemas de visão, entre outros problemas.

Tratamento da informação – p. 205

1. De 2 h a 5 h.

2. As respostas dependem dos dados obtidos na pesquisa.

Tecnologias – p. 206

1. Quando a medida do ângulo localizado na região convexa aumenta, a medida do ângulo localizado na região não convexa diminui e vice-versa.

2. 360°

3. Construção de retas paralelas e de retas perpendiculares

Pense e responda – p. 207

1. a) As retas r, s e t são paralelas; as retas r e u, s e u, t e u são retas concorrentes.

b) Os ângulos formados entre as retas paralelas e a reta que as intersecta têm medidas iguais em cada uma das posições da reta u

Pense e responda – p. 208

1. Sim. Como a régua não foi movimentada, a inclinação do esquadro não foi modificada; logo, as retas são paralelas, como na construção com o GeoGebra.

2. Sim, as novas retas seriam paralelas, pois a inclinação das novas retas seria a mesma, uma vez que a régua que apoia o esquadro é fixa.

Pense e responda – p. 209

1. Sim. Porque as duas retas se cruzam em um único ponto e elas foram construídas tomando como base os lados do esquadro que formam o ângulo de 90°.

2. Espera-se que os estudantes confirmem o ângulo de 90° entre as retas.

4. Polígonos

Pense e responda – p. 212

Espera-se que os estudantes percebam que o pentágono verde pode ser regular, mas para confirmar esse fato, seria preciso medir os cinco lados dele e seus cinco ângulos internos. Se todos os lados forem congruentes e todos os ângulos internos tiverem a mesma medida, o pentágono é regular.

Atividades – p. 213

1. A figura do item a, pois é formada por uma linha plana fechada simples, formada apenas por segmentos de retas.

2. Sim; polígono não convexo.

3. a) Octógono.

b) Quadrilátero.

4. 6 lados; hexágono.

5. Sim.

6. a) Hexágono e octógono.

b) Polígono regular cuja medida do lado é 5 unidades de comprimento:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 30 unidades.

Polígono regular cuja medida do lado é 3 unidades de comprimento:

3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 24 24 unidades.

7. a) Polígono de 6 lados: hexágono; e polígono de 3 lados: triângulo.

b) Não, porque obtemos um triângulo que não tem todos os lados congruentes.

c) Obtemos um retângulo. Não, pois o retângulo, embora tenha todos os ângulos congruentes, não tem todos os lados de mesma medida.

Tratamento da informação – p. 215

1. Texto, gráfico de setores e fotografia.

2. Resposta pessoal.

5. Triângulos e quadriláteros

Atividades – p. 218

1. a) Escaleno.

b) Equilátero.

c) Isósceles.

2. a) Acutângulo.

b) Obtusângulo.

c) Retângulo.

d) Retângulo.

3. a) 1: isósceles; 2: equilátero; 3: escaleno.

b) 1: acutângulo; 2: acutângulo; 3: retângulo.

4. a) O triângulo ABE é isósceles, porque dois lados desse triângulo são lados do pentágono regular; portanto, têm medidas iguais, e o lado BE não tem a mesma medida que os outros dois lados.

b) Em três triângulos. Exemplo de construção:

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE

5. Espera-se que os estudantes expliquem, na linguagem deles, que basta dobrar a folha de papel sulfite pela diagonal. Desse modo, obtêm-se dois triângulos retângulos, um de cada lado da dobra.

Atividades – p. 227

6. Resposta pessoal.

Atividades – p. 221

1 a) Figuras 1, 3 e 4.

b) • Figuras 3 e 4.

• Figura 3.

c) Figuras 2 e 5.

d) Figura 2.

2. O triângulo é formado por diagonais do hexágono, que têm mesma medida, então é equilátero. O quadrilátero formado tem os ângulos internos de 90° e lados opostos paralelos, ou seja, retângulo. Alternativa d.

3. a) 1 e 3.

b) 2 e 4.

4. I. F. Porque existem retângulos que não são quadrados.

II. V. Os quadrados têm todos os lados de mesma medida, como os losangos.

III. V. Os lados paralelos do trapézio formam um par de lados opostos.

IV. F. Há paralelogramos que não têm todos os lados congruentes, como os retângulos.

6. Construção e ampliação de figuras planas

Pense e responda – p. 222

1. a) c) b)

Pense e responda – p. 226

1. Segmento de reta horizontal: pontos A e C; segmento de reta vertical: pontos B e D Resposta pessoal; med AC () = 4 u.c. e med BD () = 8 u.c.

2. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo x, e o comprimento deve ser de 16 u.c.

3. Os pontos variam, mas precisam ter o mesmo valor para o eixo y, e o comprimento deve ser de 2 u.c.

1); B’(1, 7); C’(7, 7); D’(7, 1).

5. a) A(2, 1); B(6, 1); C(2, 3) b)

1); B’(4, 1);

6. a) (9, 7) e (12, 4). Resposta pessoal. Os estudantes podem, por exemplo, contar a medida dos lados no plano cartesiano e, a partir dessa medida, definir os outros pontos. b)

Tecnologias

– p. 229

1. Respostas pessoais.

2. Respostas pessoais. Exemplo de resposta:

3. Não, pois a homotetia também permite a redução de figuras quando o fator é maior do que 0 e menor do que 1.

Retomando o que aprendeu – p. 230

1. Triângulo equilátero.

2. a) Triângulo escaleno.

b) Triângulo isósceles.

3. a) 6 triângulos.

b) Equilátero.

4. a) Quadriláteros.

b) (5, 5), (5, 7), (8, 5) e (7, 7).

c) Quadrado.

d) O retângulo reduzido terá 0,4 u.c. por 0,8 u.c.

5. a) 4 trapézios.

b) 6 paralelogramos.

c) 3 losangos. d) 2 quadrados.

8. Alternativa b.

Losango

9. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um relógio marca 14h. Qual o menor ângulo entre os ponteiros nesta marcação? 10°

Um novo olhar – p. 231

• Um transferidor.

• É a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com sua região interna.

• Um possui três lados e três ângulos internos, enquanto o outro possui quatro lados e quatro ângulos internos.

Unidade 8 • Comprimento e área

Abertura de Unidade – p. 232

• Resposta pessoal. Uma possível estratégia que os estudantes poderiam pensar é colocar o papel sobre cada face da caixa e demarcar a quantidade necessária para cada lado. A quantidade total de material é a soma da quantidade de papel utilizada em cada uma dessas partes demarcadas.

• Respostas pessoais. Exemplo de resposta: A estatura de uma pessoa para o cálculo do Índice de massa corpórea; as dimensões de um móvel para guardar em uma caixa etc.

• Resposta pessoal. Reciclar é fazer um produto com a matéria-prima de outro produto, por exemplo, reciclar latas para fazer uma panela. Reutilizar é dar um novo uso para um produto usado e que seria descartado.

1. Unidades de medida de comprimento

Pense e responda – p. 234

Marcos, porque contou o menor valor em pedaços de barbante.

Atividades – p. 238

1. a) km b) m

c) mm

d) cm

2. Espera-se que os estudantes estimem que a altura de uma parede, em geral, é dada em metro e que está mais próxima de 3 m do que de 86 m, por exemplo. Alternativa a.

3. 1 609 74 = 119 066 km

4. 1 polegada: 25,4 mm = 2,54 cm

1 2 polegada: 2,54 : 2 = 1,27

Tem de diâmetro 1,27 cm.

6. Alternativa b.

7. Alternativa d.

5.

a) 10,5 15 = 157,5

A distância real é de 157,5 km

b) 68 250 m = 68,250 km

68,250 : 10,5 = 6,5

A uma distância de 6,5 cm.

6. a) Resposta pessoal.

b) Resposta pessoal.

c) Resposta pessoal.

7. 5 2 ? 1,6 = 5 3,2 = 1,8

Alternativa a.

8. 43,2 m = 4 320 cm

4 320 : 24 = 180

Alternativa b.

9. 64 m = 6 400 cm

6 400 : 20 = 320

Cada retalho terá 320 cm de comprimento.

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Na cidade onde José mora há uma praça em formato triangular em que todos os lados possuem 22 m de comprimento. Se José der uma volta em torno dessa praça, aproximadamente quantos metros ele percorrerá? (66 m)

2. Perímetro de um polígono

Pense e responda – p. 239

1. Resposta pessoal.

2 35 + 2 22 = 70 + 44 = 114

Precisaria de 114 m de fio.

2. 40 + 30 + 50 = 120 120 m de fio.

Atividades – p. 240

1. a) 3 2,9 = 8,7

O perímetro é 8,7 cm.

b) Transformando todas as medidas em centímetro, temos:

12 mm = 1,2 cm

25 mm = 2,5 cm

0,3 dm = 3,0 cm

3,6 + 1,2 + 3,1 + 2,5 + 3,0 = 13,4

O perímetro é 13,4 cm.

2. Comprimento = 10,2 cm

Largura: metade do comprimento h 10,2 : 2 = 5,1

2 10,2 + 2 5,1 = 30,6

O perímetro é 30,6 cm.

Figura

Y: 18 cm; e Figura Z: 32 cm. Alternativa d.

4. O perímetro é 40 cm e um dos lados mede 4 cm.

40 (4 + 4) = 40 8 = 32

32 : 2 = 16

Os outros lados medem 16 cm, 4 cm e 16 cm. Alternativa d.

5. a) Caminhe pela Rua General Falconiere e vire na terceira rua à direita.

b) 100 + 100 + 70 + 70 = 340

O perímetro do campo desse estádio é 340 m.

6. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Os estudantes podem citar o formato do município com padrões geométricos, que lembra, por exemplo, uma figura geométrica ou uma flor.

b) 68 6 = 408

Seria necessário 408 m de fio.

7. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: O apartamento tem formato retangular; tem um dormitório e um banheiro; não há parede entre a área de serviço e a cozinha; há uma sala de estar e uma cozinha.

b) 1,2 + 1,2 + 1,9 + 1,9 = 6,2

O perímetro do banheiro é 6,2 m.

c) 2,7 + 2,7 + 3 + 3 0,9 = 10,5

Serão necessários 10,5 m de rodapé.

8. a) A medida de uma das dimensões tem a medida de 6 quadradinhos. Logo essa dimensão mede 3 metros. A outra dimensão tem a medida de 10 quadradinhos. Portanto, mede 5 metros. Assim, as dimensões em metro do quarto de Pedro são 3 m x 5 m.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Qual é o perímetro do quarto de Pedro? (16 m); Qual é a largura da janela? (1,5 m)

9. Resposta pessoal.

3. Unidades de medida de superfície

Pense e responda – p. 242

O interior da figura tem 32 quadrados e 5 triângulos; logo, 64 triângulos e 5 triângulos. No interior da figura, cabem 69 triângulos.

Figura Z.

X: 20 cm; Figura

Fórum – p. 244

• Respostas pessoais.

• Os estudantes podem citar, por exemplo, consumo reduzido de produtos não recicláveis e economia de água e energia elétrica, reutilização de embalagens, hábito de fazer uma lista de compras para evitar compras por impulso, entre ouros.

• Resposta pessoal. Os dados dependem da pesquisa realizada pelos estudantes.

Atividades – p. 245

1. Construção do estudante.

2. Na figura, temos 12 quadrados e 10 triângulos que formam 5 quadrados; logo, a área destacada corresponde a 17 unidades. Alternativa c.

3. No desenho, temos 24 quadrados e 8 triângulos que formam 4 quadrados; logo, a área destacada corresponde a 28 unidades. Alternativa b.

4. a) 21 dm2 = 21 : 100 = 0,21 m2

b) 1 250 cm2 = 1 250 : 10 000 = 0,125 m2

c) 1 km2 = 1 1 000 000 = 1 000 000 m2

d) 0,72 hm2 = 0,72 ? 10 000 = 7 200 m2

5. a) 1 km2 = 100 ha

7 km2 = 700 ha

60% de 700 ha = 60 100 700 = 420

A área reservada para o plantio é 420 ha.

b) 700 420 = 280

A área reservada para o gado é 280 ha.

6. 1 hectare = 10 000 m2

70 000 m2 = 7 hectares

Em 1 hectare, temos 20 bois. Então, em 7 hectares, temos:

7 20 = 140

140 bois.

7. 1 hm2 = 10 000 m2

10 000 100 =

Um quadrado de 100 m de lado.

8. a) 213 300 000 : 8 500 000 = 25,09

A densidade demográfica é aproximadamente 25,09 hab./km2

b) 213 317 639 : 8 515 767 1 25,05 hab./km2

c) 25,09 25,05 = 0,04

A diferença é de 0,04.

9. A resposta depende dos dados do município e do estado em que cada estudante vive.

10. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Quantos hectares tem uma fazenda que possui 80 000 m2? (8 hectares)

4. Área de figuras geométricas planas

Pense e responda – p. 246

1. a) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Contar a quantidade de quadradinhos da figura.

b) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Multiplicar as medidas das duas dimensões da figura.

c) Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Obter a área do quadrado multiplicando 4 por 4 e, posteriormente, dividir por 2.

Pense e responda – p. 248

1. Perímetro: 6 cm + 6 cm + 6 cm + 6 cm = 24 cm; área: 6 cm 6 cm = 36 cm²

2. Perímetro: 1 cm + 1 cm + 1 cm + 1 cm = 4 cm; área: 1 cm 1 cm = 1 cm²

3.

Medida dos lados (cm) Perímetro (cm) Área (cm²)

Quadrado 1 2 8 4

Quadrado 2 4 16 16

Quadrado 3 6 24 36

Quadrado 4 1

Do quadrado 1 para o quadrado 2, o perímetro dobrou e a área quadruplicou; do quadrado 1 para o quadrado 3, o perímetro triplicou e a área ficou nove vezes maior; do quadrado 1 para o quadrado 4, o perímetro foi reduzido pela metade, e a área foi reduzida para um quarto da área inicial.

4. No caso do perímetro, sim, a transformação é proporcional. Por exemplo, se multiplicarmos a medida dos lados do quadrado por 5, o perímetro fica multiplicado por 5; no caso da área, essa transformação não é proporcional: a área fica multiplicada por 52

Pense e responda – p. 249

Sim, mas, em vez de formar um retângulo, formaria um quadrado.

Atividades – p. 250

1. a) A = 8 8

A = 64

A área é 64 cm2

2. a) A = 15 ? 15 = 225

A área é 225 cm2

b) 45 m2 = 450 000 cm2

450 000 : 225 = 2 000

São necessários 2 000 pisos.

3. A = 25 16 2

A = 200

200 80 = 16 000

1 cm2 = 0,0001 m2

16 000 cm2 = 1,6 m2

A área do vitral é de 1,6 m2

4. 17 cm 17 cm

A1 = 17 24 = 408

A2 = 24 5 = 120

A3 = 17 5 = 85

Área total:

cm 24 cm

cm

b) A = 6 12

A = 72

A área é 72 cm2

DE ARTE

EDITORIA

2 408 + 2 120 + 2 85 = 816 + 240 + 170 = 1 226

Alternativa b.

5. a) 18,29 36,57 = 668,8653

Aproximadamente 669 m2

b) 10,97 ? 23,77 = 260,7569

Aproximadamente 261 m2

c) 3 ? (2 ? 17,07 + 2 ? 34,77) = 3 ? (34,14 + 69,54) = 3 ? 103,68 = 311,04

6. Área da parede:

8 ? 2,75 = 22

1 lata pinta 10 m2:

22 : 10 = 2,2

Serão necessárias 3 latas de tinta.

7. a) 4,20 4,50 + 1,50 2,50 + 4 4 + 3 4,5 = 18,9 + 3,75 + 16 + 13,5 = 52,15

São necessários 52,15 m2 de carpete.

b) 2,5 3 + 4 4 + 1,7 4 = 7,5 + 16 + 6,8 = 30,30

São necessários 30,30 m2 de cerâmica.

c) (52,15 + 30,30) 2 000,00 = 82,45 2 000,00 = 164 900,00

O preço do apartamento é R$ 164.900,00.

8. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Compare o perímetro e a área do corredor e da área de serviço. Resposta: O perímetro do corredor é 8 m e o da área de serviço é 11,4 m. A área do corredor é 3,75 m2 e a da área de serviço é 6,8 m2. Portanto, a área de serviço tem maior perímetro e maior área do que o corredor. 9.

3. 5 3 = 15

4. Contorno da sala:

2 3,50 + 2 6,30 = 7,0 + 12,6 = 19,6

19,6 m = 1 960 cm

1 960 : 70 = 28

Alternativa a.

5. 17 alqueires do Norte equivalem a 459 000 m2, pois 17 ? 27 000 = 459 000.

18 alqueires paulistas equivalem a 432 000, pois 18 24 000 = 432 000.

Então, temos: 459 000 432 000 = 27 000

27 000 : 10 000 = 2,7

Portanto, um terreno de 17 alqueires do Norte excede um de 18 alqueires paulistas em 2,7 hectares.

Alternativa d.

6. 3 4 600 ? = 450

1 ha = 10 000 m2 = 0,01 km2

450 ha = 450 1 10 = 4,5 Alternativa

7. a)

Terei de usar 4 latas de tinta.

11. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Sabendo que uma lata de tinta permite pintar 40 m2, responda: é possível pintar a parede da porta e da janela com uma lata? Se não, quantos metros quadrados ficarão sem pintar? Resposta: 8 4 (2 1,5) + + 5 4 (1 3 ) = 46. Não. 6 m2

Tratamento da informação – p. 252

1. a) Em 2021.

b) 7 893 km2 6 947 km2 = 946 km2

c) 8 909 + 30 790 + 8 763 + 150 151 +

64 623 = 470 275; 470 275 km2

d) Pará e Mato Grosso.

2.

a) A quantidade de focos de queimada detectados no Brasil todo e na Amazônia Legal no ano de 2021.

b) Mais perto de 24 000. Resposta pessoal. Verificar se os estudantes estimam algo em torno de 22 000 a 23 000. Como é uma estimativa, não há uma resposta exata.

c) Por aproximação e estimativa.

d) Agosto. Exemplo de resposta: Cerca de 52 000 focos no Brasil e cerca de 36 000 focos na Amazônia Legal.

3. Resposta pessoal. Exemplos de resposta:

• Entre 2011e 2012 houve aumento ou redução do desmatamento na Amazônia? Resposta: redução.

• Entre 2011 e 2012, em que ano houve a menor taxa de desmatamento na Amazônia? Resposta: 2012.

• De quanto foi, aproximadamente, o aumento da quantidade de focos de desmatamento da Amazônia entre os meses de julho e agosto?

Resposta: 24 000 focos.

• Em que mês de 2021 foi menor a quantidade de focos de desmatamento no Brasil?

Resposta: Em janeiro.

Retomando o que aprendeu – p. 254

1. 100 000 000 0,1 = 10 000 000 mm = 10 000 m

Alternativa d.

2. (2 010 : 4) 1,5 = 502,5 1,5 = 753,73 cm = 7,5375 m

Alternativa b.

9. Menor lado 5 cm. Perímetro: 5 + 6 + 7 = 18

P = 18 cm

10. Base: 18 cm

Altura: 18 2 3 ? = 12

A = 18 12 2

A = 108

A área é 108 cm2

11. Área do pátio: 40 ? 32 = 1 280

Área da quadra: 20 12 = 240

Área livre:

1 280 240 = 1 040

Restou 1 040 m2

12. a) • Retângulo cor de rosa: 3 u e 8 u.

• Retângulo azul: 2 u e 12 u.

b) Retângulo cor de rosa: 2 3 + 2 8 = 6 + 16 = 22

Retângulo azul: 2 2 + 2 12 = 4 + 24 = 28

Não. O perímetro do retângulo cor de rosa é 22 u, e o perímetro do retângulo azul é 28 u.

c) Retângulo cor de rosa: 3 8 = 24

Retângulo azul: 2 12 = 24

Ambos têm medida de área igual a 24 u2

Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

Um novo olhar – p. 255

• Pés e milhas. Ambas ainda são utilizadas, com pequenas alterações.

• Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica; área é a medida da superfície de uma figura geométrica.

• Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

1a figura: Multiplicaria as medidas dos lados.

2a figura: Multiplicaria 4 por 4.

3a figura: Utilizaria a fórmula e faria (4 4) : 2.

Unidade 9 • Grandezas e medidas

Abertura de Unidade – p. 256

• Resposta pessoal.

• Resposta pessoal. Uma descarga sem defeito pode gastar de 6 a 14 litros por acionamento, dependendo do modelo.

• Resposta pessoal.

1. Medidas de massa

Pense e responda – p. 258

Resposta pessoal. Exemplo de produtos: arroz (2 kg ou 5 kg), macarrão (500 g) etc.

Atividades – p. 260

1. a) Quilograma.

b) Tonelada.

c) Miligrama.

d) Tonelada.

e) Quilograma.

f) Grama.

2. a) g

b) kg

c) g

d) g

e) kg

f) kg

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um saco de feijão tem 1 ___. Um caminhão tem 4 ____. Resposta: Quilograma (kg) e toneladas (t).

4. a) 2,3 kg = (2,3 1 000) g = 2 300 g

b) 3 4 kg = 3 4 ? 1 000 g = 750 g

c) 950 mg = (950 : 1 000) g = 0,95 g

5. 1 t = 1 000 kg

83 000 kg = (83 000 : 1 000) t = 83 t

Essa carga corresponde a 83 toneladas.

6. a) 270 x 200 = 54 000

54 000 g = (54 000 : 1 000) kg = 54 kg

Serão necessários 54 kg.

b) 17,55 kg = (17,55 1 000) g = 17 550 g

1 755 : 270 = 65

Poderiam ser feitos 65 sanduíches.

7. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Um pedaço de queijo de 6 kg foi cortado em pedaços iguais. Cada pedaço tem 750 g. Quantos pedaços de queijo foram obtidos?

Resposta: Foram obtidos 8 pedaços.

8. Na figura, vemos:

1 coluna com 3 caixas, 4 colunas com 2 caixas e 3 colunas com 1 caixa.

(3 + 4 ? 2 + 3 ? 1) ? 25 = 14 ? 25 = 350

Alternativa c.

9. 2 kg = (2 1 000) g = 2 000 g

2 000 (250 + 200 + 450) = 2 000 900 = 1 100

Alternativa b.

10. 0,5 kg = 500 g

6 500 g = 3 000 g

3 000 g : 250 g = 12

12 embalagens

Atividades – p. 261

1. 2 000 : 50 = 40

40 caixas.

2. Resposta pessoal.

3. a) O total de massas de um dos pratos é igual ao total de massas do outro prato: (1 12 233 )kg(22 44 )kg

+ +++ += ++ +

12 kg

12 kg

b) (1 12 233 2) kg (2 24 42 )kg

+ ++ +++ =+ +++

14 kg

14 kg

Precisamos inserir uma caixa de 2 kg no outro prato da balança.

2. Medidas de tempo e de temperatura

Atividades – p. 264

1.

a) 24 60 = 1 440

1 440 min

b) 1 440 ? 60 = 86 400 86 400 s

2. 23,93444 h = 23 h + 0,9344 h

0,93444 h = 0,93444 ? 60 min = 56,0664 min

56,0664 min = 56 min + 0,0664 min

0,0664 min = 0,0664 ? 60 s = 3,984 s, ou seja, aproximadamente 4 s. 23 h, 56 min e 4 s.

Alternativa b.

3. 105 min = 60 min + 45 min = 1h e 45 min.

16h + 1h + 45 min = 17h + 45 min

17h45min

4. 1 min = 60 s 60 s + 11,983 s = 71,983 s

5. 5h22min = 5 60 + 22 = 300 + 22 = 322 min 322 : 14 = 23 25 23 = 2

14 2 = 28

28 minutos.

6. Exemplo de resposta: Na escola em que Janaína estuda, uma aula tem duração de 50 minutos e a duração do intervalo é de 20 minutos. Se o horário da entrada é 7h15 e Janaína tem 6 aulas, qual é o horário da saída? Resposta: 12h35.

7.

a) Rafael e Caio. Porque 37,8 °C . 37 °C e 38,1 °C . 37 °C.

b) 36,5 °C , 37,8 °C , 38,1 °C

c) 37,8 36,5 = 1,3 1,3 °C

8. a) Macapá (AP).

b) 27 22 = 5, ou seja, 5 °C.

Aracaju (SE). Amplitude de 5 °C.

c) Belo Horizonte (MG), Campo Grande (MS) e Vitória (ES).

3. Medindo o espaço

Pense e responda – p. 265

ocupado

Figura A: 7 filas de 6 cubinhos em cada, 7 6 = 42;

Figura B: 5 placas do tipo da figura A, ou seja, 5 42 = 210;

Figura C: 2 pilhas de 4 filas com 3 cubinhos em cada, ou seja, 2 4 3 = 24.

Atividades – p. 268

1. Comprimento: 6 unidades

Largura: 3 unidades

Altura: 4 unidades

Volume: 6 ? 3 ? 4 = 72

Cabem na caixa 72 unidades.

2. Comprimento: 5

Largura: 2

Altura: 3

Volume: 5 2 3 = 30

Alternativa d.

3. Comprimento: 5

Largura: 3

Altura: 4

Volume: 5 ? 3 ? 4 = 60

Alternativa a.

4. V = 30 18 12

V = 6 480

O volume é 6 480 m3

5. V = (2,5)3

V = 2,5 2,5 2,5

V = 15,625 m3

O volume do cubo é 15,625 m3

6. V = 8 5 1,5

V = 60 m3

Devem ser retirados 60 m3 de terra.

7. Vcubo = 43 = 64

Vparalelepípedo = 8 4 2 = 64

Os volumes são iguais: 64 m3

8. V = 3,40 ? 2,10 ? 0,80

V = 5,712 m3

O caminhão pode carregar 5,712 m3

9. V = 0,20 0,10 0,05

V = 0,001 m3

O volume da argila usada é 0,001 m3

10. a) 840 dm3 = (840 : 1 000) m3 = (840 0,001) m3 = 0,840 m3

b) 14 500 000 mm3 = (14 500 000 : 1 000 000 000) m3 = (14 500 000 ? 0,000000001) m3 = 0,0145 m3

c) 1 000 dm3 = 1 000 : 1 000 = 1 m3

11. a) 3,5 m3 = (3,5 1 000) dm3 = 3 500 dm3

b) 1 250 cm3 = (1 250 : 1 000) dm3 = (1 250 0,001) = 1,25 dm3

12. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma escultura foi composta somente de cubos cujo volume mede 250 dm3. Se a escultura tem 2 m3 de volume, quantos cubos foram usados nessa composição? Resposta: Foram usados 8 cubos.

13. Gastou:

2 3 13,5 2 3 135 10 9 ?= ?=

Restam:

13,5 9 = 4,5

Ainda restam 4,5 dm3

4. Medida de capacidade

Atividades – p. 270

1. a) 1 200 mL = (1 200 : 1 000) = 1,2 L

b) 87 mL = (87 : 1 000) = 0,087 L

c) 3,5 dL = (3,5 : 10) = 0,35 L

d) 1 hL = (1 ? 100) = 100 L

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma garrafa de água tem capacidade de 1 200 mL. Quantas garrafas iguais a essa são necessárias para encher completamente de água um recipiente de 6 litros? Resposta: São necessárias 5 garrafas.

3. 33 cL = (33 : 100) L = 0,33 L

4. 10 000 L = (10 000 ? 1 000) mL = 10 000 000 mL

10 000 000 : 250 = 40 000

Serão usadas 40 000 garrafas.

Desafios

5. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma solução é encher de água o balde menor e passar todo o conteúdo para o balde maior. A seguir, encher novamente o balde menor e passar para o maior a parte suficiente para completá-lo. O conteúdo que restar no balde menor será 1 litro de água.

6. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: Uma solução é encher de leite o recipiente de 500 mL e passar parte desse leite para o copo de 200 mL, enchendo-o. O que restar no recipiente de 500 mL serão os 300 mL de leite necessários para a receita.

Por toda parte – p. 271

1. a) Resposta pessoal. Espera-se que os alunos discordem da senhora, pois o pão integral apresenta menores quantidades de calorias e dos demais elementos nocivos à saúde quando consumidos em excesso.

b) Resposta pessoal.

Tratamento da informação – p. 273

Respostas pessoais.

Retomando o que aprendeu – p. 274

1. Vcubo = 103 = 1 000 cm3

Vsólido = 6 8 1 000 = 48 000

O volume desse sólido será 48 000 cm3

2. 5 8 1,2 5 8 12 10 3 4 0,75 ?= ?= =

O volume do segundo sólido é 0,75 m3

3. Consumo diário: 750 ? 2 = 1 500

Consumo semanal: 1 500 7 = 10 500

10 500 mL = (10 500 : 1 000) L = 10,5 L

Em uma semana seriam consumidos 10,5 L.

= 5 ? 1,20 ? 1,20 = 7,2

Após a evaporação:

V = 5 1,20 (1,20 0,05)

V = 5 ? 1,20 ? 1,15

V = 6,9

Após a evaporação restaram 6,9 m3

5. 100 120 = 12 000

12 000 L = (12 000 1 000) mL = 12 000 000 mL

12 000 000 : 750 = 16 000

Serão necessários 16 000 recipientes.

6. VA = 23 = 8 cm3

3

= cm3

VA : VB = 8 : 1 8 = 8 ? 8 = 64

O cubo B cabe 64 vezes no cubo A

7. 2 L = (2 ? 1 000) mL = 2 000 mL

2 000 : 130 1 15

Alternativa e.

8. 1 h = 3 600 s

3 600 : 20 = 180

180 ? 7 = 1 260

1 260 ? 0,2 = 252

252 cm3 = (252 : 1 000) dm3 = 0,252 dm3

O volume de água que vaza em uma hora é 0,252 dm3

9. 125 : 1 000 = 0,125

2007: 0,125 t

2008: 0,125 2 = 0,250

2009: 0,250 2 = 0,500

2010: 0,500 ? 2 = 1,0

2011: 1,0 2 = 2,0 No ano de 2011.

10. Como 950 + 550 = 1 500 e 1 500 = 2 ? 750, uma solução é: café na xícara I, suco na II, café na III, leite na IV e na V.

Nessa solução, temos apenas uma xícara com suco. Será que existe outra solução com suco em duas xícaras? Se sim, teríamos duas possibilidades para a quantidade de suco:

• 475 + 325 = 800 mL (suco nas duas xícaras menores).

Nesse caso, teríamos 1 600 mL de café, o que é impossível obter com 1 ou 2 xícaras dentre as xícaras I, II e III.

• Maior do que 800 mL.

Nesse caso, a quantidade de café seria maior do que 1 600 mL (800 2), o que só pode ocorrer com café nas xícaras I e II, que somam 1 700 mL (950 + 750). Assim, a quantidade de suco seria 850 mL, o que não pode ocorrer com as demais xícaras.

Logo, há suco em apenas uma xícara; sendo assim, a solução anterior é a única possível.

Alternativa e.

11. 35 °C 21 °C = 14 °C

12. 1 1

4 1 1 4 4 4 1 4 5 4 = +=+=

A massa da laje toda é 25 t.

13. 42 t = (42 1 000) kg = 42 000 kg 42 000 : 28 = 1 500

1) Em certo dia, a temperatura máxima de uma cidade foi 32 °C e a mínima 24 °C. Qual foi a variação de temperatura nesse dia? Resposta: 12 °C.

2) Em um supermercado, o preço da garrafa de 1 L de suco é R$ 8,00 e o preço do mesmo suco na embalagem em formato de lata, com 350 mL é R$ 5,00. Qual é a embalagem mais vantajosa para o consumidor? Resposta: garrafa.

Um novo olhar – p. 275

• A balança e o termômetro.

• O segundo.

• A tonelada.

• O metro cúbico (m3).

• Resposta pessoal.

• A massa é fixa, enquanto o peso varia de acordo com a gravidade.

Tecnologias – p. 276

1. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

2. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

3. Resposta pessoal. Exemplo de resposta:

325

AVALIAÇÕES OFICIAIS EM FOCO

QUESTÕES PROPOSTAS

1. (Saresp) No número 1372, foi colocado um zero entre os algarismos 3 e 7. Pode-se afirmar que, no novo número representado, o valor do algarismo 3 ficou:

a) dividido por 10. b) dividido por 1. c) multiplicado por 10. d) multiplicado por 100.

2. (Pisa) Tocadores de MP3

Olívia somou o preço do tocador de MP3, do fone de ouvido e dos alto-falantes com a ajuda de sua calculadora. Ela obteve o resultado de 248.

O resultado obtido por Olívia está errado. Qual dos seguintes erros ela cometeu?

a) Ela somou um dos preços duas vezes.

b) Ela se esqueceu de contar um dos três preços.

c) Ela omitiu o último número de um dos preços.

d) Ela subtraiu um dos preços em vez de somar.

3. (OBMEP) Um marceneiro faz banquinhos iguais aos da figura. Cada banquinho é formado por 9 peças de 4 tipos diferentes.

A tabela abaixo mostra as quantidades que ele tem de cada tipo de peça na sua oficina.

Quantos banquinhos ele conseguirá fazer com as peças que tem?

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

4. (Enem/MEC) Querendo reduzir custos na limpeza da área de estacionamento de um prédio, o síndico resolveu comprar uma lavadora de alta pressão. Sabe-se que, na utilização desse equipamento, o consumo de água é menor, entretanto, existe o gasto com energia elétrica. O síndico coletou os dados de cinco modelos de lavadora com mesmo preço, e cujos consumos de água e de energia são os fornecidos no quadro.

As tarifas de água e de energia elétrica são, respectivamente, R $ 0,0025 por litro de água e R$ 0,30 por quilowatt-hora.

O modelo de lavadora que o síndico deve adquirir para gastar menos com a limpeza do estacionamento é

a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

5. Artur fez um projeto inicial de sua casa e planejou construir uma piscina em formato retangular com 6 m de largura e 8 m de comprimento. No projeto final, Artur manteve a piscina em formato retangular, mas dobrou as dimensões planejadas inicialmente. Após essa modificação, a medida da área da piscina ficou:

a) multiplicada por 8.

b) multiplicada por 4.

c) multiplicada por 2.

d) a mesma.

6. (OBMEP) Em uma competição, as partidas têm duração de 60 minutos, e cada time tem sempre 5 jogadores em campo. Em determinada partida, um time inscreveu 8 atletas e foram feitas várias substituições de modo que cada um deles jogou a mesma quantidade de tempo. Quanto tempo cada um deles jogou nessa partida?

a) 27 minutos e 30 segundos

b) 30 minutos

c) 37 minutos e 30 segundos

d) 40 minutos e) 42 minutos e 30 segundos

7. Rafael realizou uma atividade na escola a partir de uma cartela com os números de 1 a 50.

A atividade solicitou que os números da cartela fossem coloridos da seguinte forma:

• múltiplos de 2 e 3, simultaneamente, de vermelho;

• múltiplos de 2, mas não de 3, de amarelo;

• Múltiplos de 3, mas não de 2, de azul. Após realizar a atividade corretamente, a cartela de Rafael ficou com quantos números sem cor?

a) 8 b) 16 c) 17 d) 25

8. (Enem/MEC) O gráfico mostra o início da trajetória de um robô que parte do ponto A(2; 0), movimentando-se para cima ou para a direita, com velocidade de uma unidade de comprimento por segundo, no plano cartesiano.

O gráfico exemplifica uma trajetória desse robô, durante 6 segundos.

Supondo que esse robô continue essa mesma trajetória, qual será sua coordenada, após 18 segundos de caminhada, contando o tempo a partir do ponto A?

a) (0; 18)

b) (18; 2)

c) (18; 0)

d) (14; 6)

e) (6; 14)

9. (Pisa) Cris acabou de receber sua carteira de habilitação e quer comprar seu primeiro carro. A tabela abaixo mostra os detalhes de quatro carros que ela viu em uma concessionária de veículos local. Modelo:

Cris quer um carro que preencha todas as seguintes condições:

• A quilometragem não deve ser maior do que 120 000 quilômetros.

• O ano de fabricação deve ser de 2000 ou mais recente.

• O preço anunciado não deve ser maior do que 4 500 zeds.

Qual carro preenche as condições de Cris?

c) Corinto

d) Doral

10. (Enem/MEC) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B

Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte.

11.

Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°.

A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de

a) 90° no sentido horário.

b) 135° no sentido horário.

(Pisa) Concentração de medicamentos

c) 180° no sentido anti-horário.

d) 270° no sentido anti-horário.

Pedro precisa tomar 80 mg de um medicamento para controlar a sua pressão arterial. O gráfico a seguir mostra a quantidade inicial do medicamento e a quantidade que permanece ativa no sangue de Pedro após um, dois, três e quatro dias.

Qual é a quantidade de medicamento que permanece ativa ao fim do primeiro dia?

a) 6 mg.

b) 12 mg.

c) 26 mg.

d) 32 mg.

e) 315° no sentido horário.

12. A partir do gráfico apresentado na questão anterior, pode-se observar que, todos os dias, a proporção do medicamento que permanece ativa no sangue de Pedro em relação ao dia anterior é quase a mesma.

Ao fim de cada dia, qual das opções a seguir corresponde à porcentagem aproximada do medicamento do dia anterior que permanece ativa?

a) 20% b) 30% c) 40% d) 80%

13. Um supermercado, para realizar a exposição de suas mercadorias em promoção, utiliza duas estruturas, em forma de bloco retangular com a mesma largura, a mesma altura, mas comprimentos diferentes.

As duas estruturas são encaixadas, uma sobre a outra, formando uma nova estrutura, como na figura a seguir.

Em seguida, cada face dessa nova estrutura deve ser coberta com placas de papelão retangulares, uma em cada face, inclusive na base.

Quantas placas de papelão são necessárias para cobrir toda a nova estrutura?

a) 6. b) 7. c) 8. d) 9.

14. (Saresp) Dentre os mosaicos abaixo, aquele que é formado somente por quadriláteros é:

a)

b)

c) d)

ILUSTRAÇÕES: EDITORIA DE ARTE REPRODUÇÃO/SARESP

15. (OBMEP) Vários quadrados foram dispostos um ao lado do outro, em ordem crescente de tamanho, formando uma figura com 100 cm de base. O lado do maior quadrado mede 20 cm.

Qual é o perímetro (medida do contorno em vermelho) da figura formada por esses quadrados?

a) 220 cm

b) 240 cm

c) 260 cm

d) 300 cm

e) 400 cm

16. (OBMEP) Alberto cortou uma folha quadrada de papel em quadrados menores, sem deixar sobras. Ele cortou quatro quadrados de área igual a 400 cm2 cada um, 9 quadrados de área 100 cm2 cada um e 21 quadradinhos de área 25 cm2 cada um.

Qual era a medida do lado da folha, antes de Alberto cortá-la?

a) 25 cm

b) 30 cm

c) 40 cm

d) 50 cm

e) 55 cm

17. (Enem/MEC) Uma fábrica comercializa chocolates em uma caixa de madeira, como na figura.

A caixa de madeira tem a forma de um paralelepípedo reto-retângulo cujas dimensões externas, em centímetro, estão indicadas na figura. Sabe-se também que a espessura da madeira, em todas as suas faces, é de 0,5 cm.

Qual é o volume de madeira utilizado, em centímetro cúbico, na construção de uma caixa de madeira como a descrita para embalar os chocolates?

a) 654.

b) 666.

c) 673.

d) 681.

e) 693.

REPRODUÇÃO/OLIMPÍADASCARIOCA DE MATEMÁTICA

18.

(Pisa) Bombons COLORIDOS

A mãe de Roberto permite que ele pegue um bombom de um saco. Ele não consegue ver os bombons. O gráfico [...] mostra o número de bombons de cada cor contidas no saco.

REPRODUÇÃO/PISA

Qual é a probabilidade de Roberto pegar um bombom vermelho?

a) 10%

b) 20% c) 25% d) 50%

19. (Saresp) Miriam organizou um sorteio de amigo oculto entre suas amigas. Para isso, escreveu em pedaços de papel o nome de cada uma das 10 pessoas (incluindo seu próprio nome) que participariam desse sorteio e colocou dentro de um saco. Miriam, como organizadora, foi a primeira a retirar um nome de dentro do saco. A probabilidade de Miriam retirar seu próprio nome é:

20. (Enem/MEC) O remo de assento deslizante é um esporte que faz uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho.

A figura mostra uma das posições de uma técnica chamada afastamento.

REPRODUÇÃO/ENEM

Disponível em: www.remobrasil. com. Acesso em: 6 dez. 2017 (adaptado).

Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos B e C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo ângulo BÂC tem medida de 170°

O tipo de triângulo com vértices nos pontos A , B e C no momento em que o remador está nessa posição, é

a) retângulo escaleno.

b) acutângulo escaleno.

c) acutângulo isósceles.

d) obtusângulo escaleno.

e) obtusângulo isósceles.

21. (Saresp) Foi realizada uma pesquisa com 20 carros, para estudar o rendimento do combustível em relação ao peso do carro. Os resultados são mostrados no gráfico a seguir, onde cada ponto representa um carro.

O número de carros que pesam mais que 1 250 kg e também tem um rendimento maior que 9 km/l é:

a) 03.

b) 05.

c) 08.

d) 10.

22. (OBMEP) José dobrou e depois cortou uma folha de papel quadrada conforme mostrado abaixo:

Ao desdobrar a folha, qual foi o resultado?

d) e) REPRODUÇÃO/SARESP 333

ORIENTAÇÕES DIDÁTICAS

A questão 1 aborda as habilidades EF06MA01 e EF06MA02, pois possibilita explorar o valor posicional e a comparação numérica no Sistema de Numeração Decimal.

A questão 2 permite explorar diferentes possibilidades para obter a soma de números naturais, de acordo com a habilidade EF06MA03, favorecendo também a compreensão do Sistema de Numeração Decimal, habilidade EF06MA02, considerando a modificação de valor posicional nos números formados quando se desconsidera o algarismo das unidades.

Na questão 3, os estudantes devem resolver um problema utilizando a divisão entre números naturais e avaliar a resposta a partir dos resultados, explorando a habilidade EF06MA03.

Na questão 4, os estudantes devem realizar operações de adição e multiplicação e avaliar, de acordo com as condições dadas no problema, qual é o modelo mais adequado. Com isso, explora-se, além da habilidade EF06MA11, a escolha de um modelo entre os que estão apresentados, desenvolvendo, assim, o processo de tomada de decisão.

A questão 5 envolve a análise da mudança da medida da área de um retângulo quando modificamos sua dimensão de acordo com a habilidade EF06MA29.

Na questão 6, o enfoque é em operações que envolvem medidas de tempo, favorecendo o desenvolvimento das habilidades EF06MA11 e EF06MA24.

A questão 7 aborda múltiplos e pode ser explorada paralelamente com as regras de divisibilidade de 2, 3 e 6, permitindo o enfoque da habilidade EF06MA05.

A questão 8 apresenta um deslocamento associando pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1o quadrante, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA16.

Na questão 9, os estudantes devem avaliar, a partir de informações numéricas apresentadas em uma tabela, qual opção preenche as condições exigidas para a compra do carro, desenvolvendo a habilidade EF06MA32.

A questão 10 requer o reconhecimento da manutenção da medida do ângulo com a mudança de posição da figura, de acordo com a habilidade EF06MA26.

As questões 11 e 12 são baseadas no gráfico sobre a concentração de medicamentos ao longo do tempo, favorecendo que a habilidade EF06MA32 seja explorada, sendo que a questão 12, por envolver porcentagem, também auxilia no desenvolvimento da habilidade EF06MA30.

A questão 13 favorece que os estudantes explorem a percepção espacial de um sólido formado pela composição de dois blocos retangulares e encontrem a quantidade de faces, de acordo com a habilidade EF06MA17.

Na questão 14, os estudantes precisam diferenciar polígonos de acordo com a quantidade de lados, permitindo que desenvolvam a habilidade EF06MA18.

A questão 15 apresenta um problema que envolve o perímetro, habilidade EF06MA24 cuja estratégia de solução é baseada na composição de segmentos. As questões 16 e 17 estão baseadas na mesma habilidade, por meio de problemas de composição de figuras planas para o cálculo da área e de decomposição de figuras espaciais para o cálculo do volume, respectivamente.

As questões 18 e 19 abordam o cálculo de probabilidade em um evento aleatório expresso por um número racional na forma de porcentagem e fracionária, respectivamente, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF06MA30.

Na questão 20, os estudantes têm a oportunidade de classificar um triângulo em relação às medidas dos lados e em relação à medida dos ângulos, habilidade EF06MA19.

Na questão 21, é possível identificar as grandezas envolvidas, de acordo com a habilidade EF06MA31, e localizar pontos no plano cartesiano comparando as grandezas simultaneamente.

Na questão 22 , a partir de uma folha de papel, realizando dobras e recortes, deve-se identificar como a figura fica ao ser desdobrada, desenvolvendo a habilidade EF06MA23. É interessante explorar a atividade concretamente com os estudantes, fazendo a dobradura e os recortes, para que eles tenham uma visualização do processo.

RESOLUÇÕES

Questão 1

No número 1 372, o algarismo 3 vale 300. No número 13 072, o algarismo 3 vale 3 000, sendo multiplicado por 10.

Alternativa c.

Questão 2

Olívia fez a conta: 155 + 86 + 7 = 248.

Alternativa c.

Questão 3

Com 1 assento pode-se fazer 7 : 1 = 7 bancos.

Com 4 pés pode-se fazer 24 : 4 = 6 bancos.

Com 2 tubos de reforço maior pode-se fazer 19 : 2 = 9 bancos.

Com 2 tubos de reforço menor pode-se fazer 9 : 2 = 4 bancos.

Assim, há peças suficientes para construir 4 bancos.

Alternativa a.

Questão 4

Gastos com o Modelo I: 350 0,0025 + 1,3 0,3 = R$ 1,265

Gastos com o Modelo II: 264 0,0025 + 2 0,3 = R$ 1,26

Gastos com o Modelo III: 320 0,0025 + 1,5 0,3 = R$ 1,25

Gastos com o Modelo IV: 300 ? 0,0025 + 1,7 ? 0,3 = R$ 1,26

Gastos com o Modelo V: 276 0,0025 + 1,8 0,3 = R$1,23

Analisando os gastos, o modelo de lavadora que o síndico deve adquirir para gastar menos com a limpeza do estacionamento é o V.

Alternativa e.

Questão 5

A área inicial da piscina seria de: 6 8 = 48 m2. A área do projeto final ficou:

12 ? 16 = 192 m2. Fazendo 192 48 4 =

Alternativa b.

Questão 6

Dividindo o tempo total pela quantidade de jogadores, temos 60 8 7,5 = min de cada rodada.

Como são 5 jogadores em cada rodada, 5 ? 7,5 = 37,5 = 37 min e 30 segundos. Alternativa c.

Questão 7

Na cartela temos 25 múltiplos de 2, 16 múltiplos de 3 e 8 múltiplos de 6. Com isso, 25 + 16 8 = 33 números foram coloridos e 17 ficaram sem colorir.

Alternativa c.

Questão 8

Pelo padrão observado nos 6 primeiros segundos, em 18 segundos, o robô terá se deslocado 18 6 41 2 ?= unidades de comprimento para a direita e 18 6 26?= unidades de comprimento para cima.

Portanto, a resposta é (2 + 12, 0 + 6) = (14, 6).

Alternativa d.

Questão 9

Para a condição 1, as opções são Argentum, Brisa ou Doral.

Para as condições 1 e 2, as opções são Argentum ou Brisa.

Para as condições 1, 2 e 3, a opção é Brisa. Alternativa b.

Questão 10

A rotação necessária para retornar a tela à posição inicial é de 90° + 45° = 135°, no sentido horário.

Alternativa b.

Questão 11

A observação do gráfico e a análise dos pontos destacados nele permitem perceber que, após um dia da ingestão do medicamento, a quantidade que ainda permanece ativa no sangue é de 32 mg.

Alternativa d.

Questão 12

32 80 0,4 40% ==

Alternativa c.

Questão 13

Cada estrutura inicial possui 6 faces, totalizando 12 faces. Ao formar a nova estrutura, a base inferior da estrutura menor é incorporada à face superior da estrutura maior, e três faces das duas estruturas se fundem. Assim, a nova figura possui 12 1 3 = 8 faces.

Alternativa c.

Questão 14

No item a, temos hexágonos, logo não há apenas quadriláteros. No item b, há quatro triângulos, logo não há apenas quadriláteros. No item d, temos hexágonos, logo não há apenas quadriláteros.

Alternativa c.

Questão 15

Compondo os lados superiores dos quadrados, obtemos 100 cm e, compondo os segmentos vermelhos verticais, que são parte do lado do quadrado, obtemos 20 cm. Assim, o perímetro da figura é 100 cm + 20 cm + 100 cm + 20 cm = 240 cm.

Alternativa b.

Questão 16

A área total da folha pode ser obtida pela soma das áreas dos quadrados cortados: 4 400 + 9 100 + 21 25 = 1 600 + 900 + 525 = 3 025. Como o formato da folha é um quadrado, basta descobrir a raiz quadrada de 3 025, que é 55, pois 55 55 = 3 025.

Alternativa e.

Questão 17

Para calcular o volume de madeira, pode-se considerar a subtração do volume de dois blocos retangulares, o da caixa total e da caixa sem a madeira: 20 20 8 19 19 7 = 673 cm3

Alternativa c.

Questão 18

Total de bombons: 6 + 5 + 3 + 3 + 2 + 4 + 2 + 5 = 30

Total de bombons vermelhos: 6

Probabilidade: 6 30 1 5 20% ==

Alternativa b.

Questão 19

A probabilidade de Miriam retirar o próprio nome de dentro do saco é de 1 em 10, pois há 10 nomes no saco.

Alternativa d.

Questão 20

Com relação aos lados: como os remos têm o mesmo tamanho, o triângulo ABC é isósceles.

Com relação aos ângulos: como o ângulo BÂC é maior do que 90° (e menor que 180°), o triângulo é obtusângulo.

Alternativa e.

Questão 21

Analisando o gráfico, observa-se que há 10 carros cuja massa é maior do que 1 250 kg e, dentre esses, 5 apresentam rendimento de combustível maior do que 9 km/l.

Alternativa b.

Questão 22

Desfazendo a segunda dobra, tem-se:

Em seguida, desfazendo a primeira dobra, tem-se:

Alternativa e.

ISBN 978-85-96-03438-8

9 788596 034388