Vontade saber mat 8 by Editora FTD

Joamir Souza Patricia Moreno Pataro

Componente curricular Matemรกtica Anos finais do Ensino Fundamental

Matemรกtica Componente curricular Matemรกtica

ISBN 978-85-20-00237-7

788520 002377

Matemรกtica

8ยบ ano

Componente curricular Matemática Anos finais do Ensino Fundamental

Joamir Roberto de Souza Licenciado em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atua como professor de Matemática da rede pública de ensino. Autor de livros didáticos para os anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

Patricia Rosana Moreno Pataro Professora graduada em Matemática pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Especialista em Estatística pela Universidade Estadual de Londrina (UEL-PR). Atuou como professora de Matemática em escolas da rede particular de ensino.

Matemática

8º ano

3a edição São Paulo 2015

Copyright © Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro, 2015 Diretor editorial Lauri Cericato Gerente editorial Silvana Rossi Júlio Editor Roberto Henrique Lopes da Silva Editores assistentes Thaís Bueno de Moura, Carlos Eduardo Bayer Simões Esteves e Janaína Bezerra Pereira Assessoria Tatiana Ferrari D’Addio Gerente de produção editorial Mariana Milani Coordenadora de produção Marcia Berne Coordenadora de arte Daniela Di Creddo Máximo Coordenadora de preparação e revisão Lilian Semenichin Revisão Izabel Cristina Rodrigues (líder); Revisores: Iara R. S. Mletchol, Juliana Rochetto Costa, Marcella de A. Silva e Pedro Fandi Supervisora de iconografia Célia Maria Rosa de Oliveira Iconografia Erika Nascimento e Priscila Massei Diretor de operações e produção gráfica Reginaldo Soares Damasceno Produção editorial Scriba Projetos Editoriais Edição Lucília F. Lemos dos Santos Assistência editorial Marcela de Marques B. Cardoso e Sheila Caroline Molina Projeto gráfico Marcela Pialarissi, Laís Garbelini e Dayane Barbieri Capa Marcela Pialarissi Imagem de capa Fotomontagem de José Vitor E. C. formada pelas imagens Superstock/Glow Images (fundo) e José Vitor Elorza/ASC Images (perfil) Edição de ilustrações Ingridhi Borges e Eduardo Carriça dos Santos Diagramação Fernanda Miyabe Lantmann e Amanda Alves Tratamento de imagens José Vitor Elorza Costa Ilustrações Bruno Cerkuenik, Camila Ferreira, E. Cavalcante, Editora de Arte, Estudio Meraki, Guilherme Casagrandi, Ingridhi Borges, Paula Diazzi, Rafaela H. Pereira, Renan Fonseca, Rogério Casagrande, Ronaldo Lucena, Sergio Lima, Waldomiro Neto Cartografia E. Cavalcante e Renan Fonseca Assistência de produção Daiana Melo, Paulo Ricardo M. Krzyzanowski e Tamires Azevedo Autorização de recursos Erick L. Almeida Pesquisa iconográfica Tulio Sanches Editoração eletrônica Luiz Roberto L. Correa (Beto)

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Souza, Joamir Roberto de Vontade de saber matemática, 8o ano / Joamir Roberto de Souza, Patricia Rosana Moreno Pataro. – 3. ed. – São Paulo : FTD, 2015. Bibliografia ISBN 978-85-20-00237-7 (aluno) ISBN 978-85-20-00238-4 (professor) 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Pataro, Patricia Rosana Moreno. II. Título.

15-03729 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7

Em respeito ao meio ambiente, as folhas deste livro foram produzidas com fibras obtidas de árvores de florestas plantadas, com origem certificada.

Reprodução proibida: Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados à Editora ftd S.A. Rua Rui Barbosa, 156 – Bela Vista – São Paulo-SP CEP 01326-010 – Tel. (11) 3598-6000 Caixa Postal 65149 – CEP da Caixa Postal 01390-970 www.ftd.com.br E-mail: ensino.fundamental2@ftd.com.br

Impresso no Parque Gráfico da Editora FTD S.A. CNPJ 61.186.490/0016-33 Avenida Antonio Bardella, 300 Guarulhos-SP – CEP 07220-020 Tel. (11) 3545-8600 e Fax (11) 2412-5375

Apresentação Provavelmente, você já viu os códigos de barras das embalagens de produtos, utilizou uma balança, observou um gráfico na televisão ou utilizou um computador. Esses são apenas alguns exemplos de situações nas quais a Matemática está presente. Ela está relacionada a diversas áreas do conhecimento e é uma ferramenta indispensável em nosso dia a dia. Compreender a Matemática e suas ideias nos auxilia a entender o mundo à nossa volta e nos tornar cidadãos e cidadãs mais críticos e participantes na sociedade.

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Este livro foi elaborado de uma maneira que você possa aplicar a Matemática de forma prazerosa, tanto em seu cotidiano como em outras disciplinas do currículo escolar. Para isso, procuramos abordar situações interessantes e atuais, nas quais você poderá usar a criatividade, explorar o raciocínio matemático, conversar com os colegas sobre procedimentos, levantar hipóteses e tomar decisões. Contudo, a sua dedicação é fundamental! É importante que você faça sugestões, dê opiniões, expresse suas dúvidas e empenhe-se na resolução de situações desafiadoras, mostrando-se participativo em sala de aula. Enfim, esperamos que você, aluno ou aluna, desenvolva as suas habilidades matemáticas e, com as orientações do professor, utilize este livro com entusiasmo e dedicação. Os autores

Conheça

Abertura de capítulo

o seu

livro

Nesse momento, você entrará em contato com os assuntos que serão estudados no capítulo a partir de diferentes recursos que despertarão a sua curiosidade. Você também terá a oportunidade de mostrar o que já sabe e de trocar ideias com seus colegas sobre diversos temas.

Atividades

Na internet

Anote no caderno

29. Quantos centímetros de raio tem uma circunferência cuja maior corda possível mede 15 cm?

39. Alegre: L&PM, 1995. p. : as melhores tiras. Porto Ziraldo. O Menino maluquinho

Ilustrações: Acervo da editora

b ) A figura representa uma espiral ou vários círculos com um centro em comum?

5,1 cm

31. Os doces produzidos por uma pequena fá brica são embalados em latas e acondicio nados em caixas de madeira como mostra a imagem. Qual deverá ser a área da base interna da caixa, no mínimo? 8 cm

Acervo da editora

Doce da

Fazenda

32. Na circunferência estão traçadas alguma s cordas.

D E

250

O F

A O

Acervo da editora

Ilustrações: Editora de Arte

Acervo da editora

Refletindo sobre o capítulo

uma pesquisa. Caso não o conheça, realize gens estão brincando? a ) Com qual jogo os persona u nessa tirinha? b) O que você entende no? Justifique. cartesia plano no ponto e 3, 1) indicam um mesmo 5. As coordenadas (1, 3) ( que possuem abscomum entre os pontos no, qual a característica 6. Em um plano cartesia cissa igual a zero? pontos em comum entre dois há que o no, em um plano cartesia 7. Quando representados ao eixo x? ao eixo y? E em relação simétricos em relação um plano cartesiano. foram representadas em tabela da ções 8. As informa de Altura de uma planta acordo com o tempo Altura (cm)

Tempo (dias)

4. Observe a tirinha.

b) 3,2 cm O1

28. Classifique os segmen tos de reta traçados na circunferência de centro O em corda, raio ou diâmetro.

? os abordados neste capítulo 1. Quais foram os conteúd para indicar localização? ns em utilizar códigos 2. Quais são as vantage coordenaem que são utilizadas no capítulo, cite outras tadas apresen s 3. Além das situaçõe ão. das para facilitar a localizaç

30. Em cada item, calcule a medida do diâmetro da circunferência maior. a)

c ) Fixe os olhos no ponto central e depois aproxime e afaste os olhos da figura. O que é possível notar de interessante?

lo Refletindo sobre o capítu

a ) Quais segmentos de reta são raios da circunferência? E diâmetr os? b ) Os triângulos AOB e BOC são isósceles? Por quê?

c ) Podemos afirmar que ΔAOB ≡ ΔBOC? Justifique.

Ao final do capítulo, você encontrará questões que retomam o conteúdo, a fim de refletir sobre o conteúdo estudado, identificando as principais ideias compreendidas e também aquelas que precisam ser revistas.

9 12 15

6 9 9 Fonte: Laboratório.

Altura (cm) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Acervo da editora

Atividades

27. Veja algumas imagens envolvendo formas circulares e responda às questões. a ) Quantos círculos brancos é possível obser var? E quantos círculos pretos?

Este ícone apresenta sugestões de sites para você obter mais informações sobre o assunto estudado.

Ziraldo

Nessa seção, você encontrará atividades diversificadas, que buscam desenvolver as ideias e os conceitos estudados.

9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 5 6 7 8

Tempo (dias)

o eixo das ordenadas? eixo das abscissas? E no. a ) O que representa o ções no plano cartesia em representar as informa b) Cite uma vantagem s relae escreva algumas questõe os neste capítulo, elabore estudad os elaboraram e discuconteúd dos 9. A partir as questões que vocês e a um colega, troquem Junte-s eles. a s cionada tam as resoluções.

Revisão Essa seção apresenta atividades que tratam de conceitos desenvolvidos em todo o capítulo, com o objetivo de revisar o conteúdo estudado.

b ) Qual será o preço de venda desse perfume se o custo da embalag em for R$ 3,02 e o custo de produção for R$ 8,96? 92. Identifique o coeficie nte e a parte literal de cada monômio. a ) − 4x 2 c ) __ 3 __ b ) b5 d ) √6y3z2 93. Escreva um monôm io que: a ) tenha coeficiente 3 e grau 6. b ) tenha coeficiente menor que − 5 e parte literal igual a m2p3. __ c ) seja semelhante ao monômio √15 b3a. d ) tenha grau 3.

III) 2x + 5

2x I ) ___ 5 II ) x + 5

IV) 2 ⋅ (x + 5)

89. Escreva uma express ão algébrica, de acordo com a fala de cada pessoa. a)

O triplo de um número somado com 7.

94. Os monômios indicado s representam o comprimento de cada pedaço de fita. 5,5x

A diferença entre o cubo de um número e sua metade.

4,5x

Determine o monômio que representa o comprimento total de cada composição.

95. Calcule o monômio correspondente a cada letra em destaque no quadrado mágico.

90. Determine o valor numérico de: a ) 5 ⋅ (2x − 3), para x = 4.

116

b ) x3 − x2, para x = − 3. 2x c ) ___ + 7 1, para x = 14. d ) 2, 8x2 + 8x, para x = − 6.

Ilustrações: Acervo da editora

Ilustrações: Waldomiro Neto

b) A soma de 5 e um número.

10a − 3a − 4a

− 2a

Lembre-se de que um quadrado é chamado mágico quando a soma dos elementos em cada linha, coluna ou diagonal é igual a uma constante , que chamamos constante mágica.

ENEM e OBMEP

Anote no caderno

uma mostra o resultado de 47. (OBMEP) A figura o de eletrodomésticos pesquisa sobre a aquisiçã 000 pessoas. Com base da qual participaram 1 afirmar que o número nesses dados, pode-se mésos dois eletrodo de pessoas que possuem ticos é, no mínimo: e ) 800 c ) 650 a ) 500 d ) 700 b ) 550

Não 20%

Não 15% Sim 80%

Sim 85%

Possui geladeira?

Possui televisão?

vaga de emprego em disputando uma única tos K, L, M, N e P estão informática. A tabela apre48. (ENEM-MEC) Os candida matemática, direito e provas de português, uma empresa e fizeram pelos cinco candidatos. senta as notas obtidas Informática Direito Matemática Português Candidatos 33

35 24

a mediana das notas será aquele para o qual o candidato aprovado Segundo o edital de seleção, disciplinas for a maior. obtidas por ele nas quatro será: e) P O candidato aprovado N ) d c) M b) L a) K por recomendações cidade e decidiu se mudar, cial Suburbano. mora no Centro de uma cial Urbano ou Residen 49. (ENEM-MEC) Rafael Residen ial, Comerc da região, que regiões: Rural, turas das “ilhas de calor” médicas, para uma das médica foi com as tempera no gráfico: A principal recomendação turas são apresentadas s a 31 °C. Tais tempera deveriam ser inferiore PERFIL DA ILHA DE CALOR

°F 92 91 90 89 88 87 86 85

URBANA

°C

33 32 31 30

Rural

Comercial

CENTRO

Residencial Urbano

Residencial Suburbano Fonte: EPA

lidade de ele escolher

para morar, a probabi uma das outras regiões é: Escolhendo, aleatoriamente, a às recomendações médicas 3 uma região que seja adequad 2 __ d) __ 1 __ c) 5 1 b) 5 a ) __ 4 5

Ser consciente Nessa seção, você estudará assuntos relacionados a temas como educação fiscal, sustentabilidade e ética. Nela, além de texto, imagens e algumas questões, é apresentada uma história em quadrinhos que aborda alguma situação do dia a dia da família do personagem João.

Acervo da editora

91. O valor de venda de certo perfume é obtido pela soma do custo c da embalagem e o triplo do custo p de produçã o. a ) Escreva uma express ão algébrica que represente o valor de venda desse perfume.

capítulo 9

Anote no caderno

88. Associe cada frase a uma expressão algébrica. Para isso, escreva a letra e o símbolo romano correspondente s. a) A soma do dobro de um número e 5. b) O dobro de um número dividido por 5. c) A soma de um número e 5. d) O dobro da soma de um número e 5.

Apresenta problemas selecionados das edições da OBMEP ou do ENEM, que podem ser resolvidos com base no que foi estudado no capítulo.

Acervo da editora

Revisão

ENEM e OBMEP

3 e) __ 4

207

Anote no caderno

35. Escreva os número s em ordem decrescente.

______

3 d ) √5 832

_______

3 e ) √19 683

3 f ) √27 000

___

33. Desafio Determine a medida da aresta do cubo sabendo que o volume do paralelepípedo é igual ao do cubo.

a ) √35 __

b ) √18

2 2 = 4. Porém, por exemplo, é 2, pois A raiz quadrada de 4, é outro de um número natural nem sempre a raiz quadrada não é quadrada de 5, por exemplo, número natural. A raiz que não há um número natural 5 um número natural, pois 5. Assim, dizemos que a igual seja elevado ao quadrado perfeito. não é um número quadrado

Ilustrações: Acervo da editora

__ √7 ___

d ) √40 37. Calcule a medida aproximada do lado do quadrado.

Cálculo mental 24 cm

12 ___ √70

36. Sem utilizar calculad ora, determine cada raiz com aproximação de duas casas decimais.

_______

______

c ) √6 561

√270

Área: 430 cm2

Atividades 21. Calcule. __ a ) √4 b)

Arredonde a medida do lado do quadrado ao centésimo mais próximo.

a ) 2 cm

b ) 3 cm c ) 4 cm d ) 5 cm e ) 6 cm Volume: 100 cm3

Cálculo mental 39. Observe como Miguel calculou mentalmente os dois número s inteiros mais pró__ ximos de √10. Determine mentalmente os dois números inteiros mais próximos de: __

___ √24

d ) − √40

___

f ) − √150

____

√

de x em cada item. 24. Determine o valor __ __ d ) √x = 4, 3 a ) √x = 1 __ __ e ) √x = 0, 7 b ) √x = 5 __ __ √x = 3, 1 ) f 2 √ c ) x = 6,

_____

e ) √0, 36 ___

4 √___ 25

acima são quadrados

cálculos, que 40 não é 25. Mostre, por meio de perfeito. um número quadrado ____

s calcular √1, 96. 26. Veja como podemo

Atividades que exploram procedimentos para o uso da calculadora. ℓ

A = 16 m

calcule a medida De maneira semelhante, área é: do lado do quadrado cuja 2 c ) 100 cm 2 a ) 49 cm 2 ) 196 cm d 2 m c b ) 81 é: do quadrado cuja área 23. Calcule o perímetro 2 2 b ) 39, 69 cm a ) 12, 25 cm

Calculadora

calcule. de maneira semelhante, ____ Agora, _____ 16 c ) √0, 24 _____ a ) √3, ____ d ) √6, 25 b ) √4, 41

______

o uma calculadora. s calcular √72, 25 utilizand 27. Observe como podemo

___

e ) √62

Waldomiro Neto

a ) √5

b ) √18

Como 32 = 9 e 42___= 16, então 3 < √10 < 4. Logo, 3 e 4 são os números inteiros mais ___ próximos de √10.

1 __ 9

Calculadora

Renan Fonseca

34. Entre quais número s está o resultado de: ____ ____ a ) √440? b ) √780? • 20 e 21 • 27,7 e 27,8 • 21 e 22 • 27,8 e 27,9 • 22 e 23 • 27,9 e 28

fez para calcular a me22. Veja como Luciana o. dida do lado do quadrad

38. Qual das medidas a seguir está mais próxima (por sobra ou falta) do comprimento da aresta do cubo abaixo?

Acervo da editora

9 cm

____

c ) √289

___ √36

Quais dos radicandos perfeitos?

Atividades que apresentam procedimentos de cálculo mental. 27 cm

Anote no caderno

os o número 72,25: I Inicialmente, registram

a tecla II Em seguida, digitamos ______

√72, 25. e obtemos o valor de Ilustrações: Rogério Casagrande

______

b ) √2 401

Acervo da editora

______

a ) √1 024

___ √16 ____ √135 ____

Camila Ferreira

____ √364

Acervo da editora

Atividades

31. Por meio de tentativ as, resolva. ____ ______ a ) √529 3 c ) √1 728 ______ _______ b ) √3 025 3 d ) √10 648 32. Calcule decompondo os radicandos em fatores primos.

46 ______

5. Portanto,√72, 25 = 8, os itens. calculadora, resolva _________ Agora, utilizando uma ______ c ) √1 056, 25 ________ a ) √88, 36 _______ d ) √19, 0969 b ) √349, 69

________

e ) √2 410, 81 _ ________ f ) √4 395, 69

26. Determine o valor de cada uma das letras em destaque no quadro.

Nessa seção, você realizará atividades que relacionam a Matemática a outras disciplinas escolares, áreas do conhecimento ou situações do dia a dia.

Par ordenado

Abscissa

(3, 8)

Ordenada

(C, 2)

(E, F)

(− 1, − 1)

−4

−7

Desafio (0, G)

28. Associe cada ponto indicado no plano cartesiano ao par ordenad o que o representa. Para isso, escreva a letra e o símbolo romano correspondentes.

27. Construa um plano cartesiano e indique os pontos correspondente s aos pares ordenados determinados na atividade anterior.

I ) (2, 2) II ) (1, 0) III ) (− 2, 1)

2 1

−2 −1 0 −1 C F −2

D 1

2 x A

Acervo da editora

Contexto

Atividades que possuem caráter desafiador, nas quais ENEM e OBMEP você é estimulado a desenvolver suas próprias estratégias para a resolução.

IV ) (− 1, − 1) V ) (− 2, − 1) VI ) (2, − 2)

Anote no caderno

29. (OBMEP) A figura mostra três polígonos desenhados em uma folha desses polígonos foi assinala quadriculada. Para cada do, no plano cartesiano um abaixo, o ponto cujas coorden tal e vertical são, respecti vamente, seu perímetro adas horizone sua área. Área

Ilustrações: Acervo da editora

Qual é a correspondênci a correta entre os polígonos e os pontos? a ) I–C, II–B, III–A b ) I–B, II–A, III–C

c ) I–A, II–C, III–B d ) I–A, II–B, III–C e ) I–C, II–A, III–B

III 0

Perímetro

30. Desafio

Acervo da editora

(ENEM-MEC) José e Antônio viajarão em seus carros de Serra Branca. Com com as respectivas famílias a intenção de seguir viagem para a cidade juntos, combinam um inicial da rodovia, onde encontro no marco chegarão, de modo indepen dente, entre meio-dia tretanto, como não querem e 1 hora da tarde. Enficar muito tempo esperan meiro que chegar ao marco do um pelo outro, combina inicial esperará pelo outro, m que o priseguirá viagem sozinho no máximo, meia hora; . após esse tempo, Chamando de x o horário de chegada de José e Chegada de Antônio de y o horário de chegada de Antônio, e representando os pares (x, y) em um sistema P de eixos cartesianos, a Q região 1 OPQR indicada corresp onde ao conjunto de (13h) todas as possibilidades para o par (x, y): Na região indicada, o conjunt o de pontos que represe nta o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial exatamente no mesmo horário” corresponde: a ) à diagonal OQ c ) ao lado PQ Chegada de José O e ) ao lado OR R b ) à diagonal PR d ) ao lado QR 0 1 (12h)

(13h)

Resolvendo problemas Essa seção apresenta um problema selecionado de uma das edições do ENEM. Nela, você é convidado a seguir as etapas sugeridas para a resolução.

capítulo 4

Acessando tecnologias Essa seção apresenta exemplos e atividades que complementam o que foi estudado nos capítulos, utilizando, para isso, alguns programas de computador: planilha eletrônica e Geogebra.

Este ícone indica que as cores utilizadas não correspondem às reais.

Este ícone indica que os elementos apresentados não estão proporcionais entre si.

Ampliando seus conhecimentos Nessa seção são apresentadas sugestões de livros e sites para que você conheça mais o que foi estudado nos capítulos.

entos

Ampliando seus conhecim

ey. Trad. ângulos, de Marion Smooth

• Atividades e jogos com igação Paulo: Scipione. (Invest Sérgio Quadros. São Matemática).

Editora Scipione

Livros

Editora FTD

tratam de temas es de livros e sites que Veja algumas sugestõ . s estudados neste volume relacionados aos assunto

• Os olímpicos, de Egidio Tramba

Maria Luiza Newlands.

iolli Neto. São Paulo: FTD. contador de histórias (O e outras histórias da Matem ática).

São Paulo: Nílson José Machado.

• Lógica? É lógico!, de Matemática).

• Atividades e jogos com formas

Scipione. (Vivendo a

Editora Atual

Portal Editora

, de Marion Smoothey. Trad. Antonio Carlos Brolezz i. São Paulo: Scipione. (Investigação Matemática).

São Paulo: e raízes, de Oscar Guelli. da Matemática). Ática. (Contando a história

• História de potências

de Oscar Guelli. São Paulo: Ática. (Contando a história da Matemática).

(Pra que serve Matem ática?).

Barrella e ões, de Elaine Spisso Editora. (Orgs.). São Paulo: Portal Laura Maria Runau Martins

e outros. São Paulo: Atual.

• O aprendiz, de Egidio Trambaiolli

Neto. São Paulo: FTD. contador de histórias (O e outras histórias da Matem ática).

Paulo: Ática. Luzia Faraco Ramos. São ática). (A descoberta da Matem

• Uma raiz diferente, de

• Atividades e jogos com círculos

, de Marion Smoothey. Trad. Sérgio Quadros. São Paulo: Scipione. (Investigação Matemática).

Editora FTD

Editora Ática

Neto. São Paulo: nadas, de Ernesto Rosa Matemática). Ática. (A descoberta da

• Equação: o idioma da álgebra,

• Proporções, de Luiz Márcio Imenes

• A matemática nas profiss

• Em busca das coorde

São Paulo: Atual. (Pra

de Carlos Alberto Marcon dos Santos e Nelson Gentil. des São Paulo: Ática. (A descob da Matemática). erta

Trad. a Terra, de Kathryn Lasky.

Paulo: FTD. (O Trambaiolli Neto. São ática). e outras histórias da Matem contador de histórias

que serve Matemática?) .

• Como encontrar a medida certa,

• O bibliotecário que mediu ndra. Rio de Janeiro: Salama

• A profecia, de Egidio

• Álgebra, de José Jakubovic e outros.

Paulo: FTD. s, de Hélio Gordon. São , invenções e profissões). (História-ciência, técnica

• A história dos número

Paulo: Ática. s, de Oscar Guelli. São

• Dinheiro público: o que é, de onde

vem, para onde vai, de Edson Gabriel Garcia. São Paulo: FTD. (Conve rsas sobre cidadania).

• Uma proporção ecológica, de Luzia

• A invenção dos número Matemática).

Faraco Ramos. São Paulo: Ática. (A descoberta da Matemática).

(Contando a história da

• Os peregrinos, de Egidio Tramba

iolli Neto. São Paulo: FTD. contador de histórias (O e outras histórias da Matem ática).

291 292

capítulo

sumário

Ângulos ........................................12 Os ângulos ................................................................................................................ 14 Bissetriz de um ângulo ............................................................................... 20 Ângulos opostos pelo vértice ............................................................... 22 Ângulos formados por um feixe de retas e uma transversal ........................................................................................................... 24 Revisão ........................................................................................................................ 29

capítulo

ENEM e OBMEP ..................................................................................................31

Potências e raízes ......................32 Relembrando potências .............................................................................. 34 Potência de base 10 ........................................................................................ 38 Raiz quadrada ........................................................................................................ 41 Raiz cúbica ............................................................................................................... 43 Raiz exata de um número ........................................................................44 Raiz quadrada aproximada de um número............................ 45 Revisão ........................................................................................................................48 Resolvendo problemas ...............................................................................50

capítulo

ENEM e OBMEP ................................................................................................. 51

Conjuntos numéricos.................52 Conjuntos................................................................................................................... 54 Conjunto dos números naturais (ℕ) e dos números inteiros (ℤ) .......................................................................................................... 58 Conjunto dos números racionais (ℚ)............................................. 61 Conjunto dos números irracionais ( ) ..........................................64 Conjunto dos números reais (ℝ) ....................................................... 67 Revisão ........................................................................................................................ 70 Resolvendo problemas ............................................................................... 72 ENEM e OBMEP ................................................................................................ 73

capítulo

Plano cartesiano ........................ 74 Localização ............................................................................................................... 76 Estudando o plano cartesiano ............................................................ 80 Revisão ........................................................................................................................ 85

capítulo

Polinômios, produtos notáveis e fatoração ................. 88

capítulo

ENEM e OBMEP ................................................................................................ 87

Expressões algébricas ..................................................................................90 Monômios.................................................................................................................. 92 Adição e subtração com monômios .............................................. 93 Multiplicação e divisão com monômios ..................................... 95 Potenciação com monômios.................................................................. 97 Polinômios ................................................................................................................98 Adição e subtração com polinômios ............................................ 101 Multiplicação com polinômios ............................................................103 Divisão de polinômio por monômio ........................................... 105 Produtos notáveis .......................................................................................... 106 Fatoração de polinômios .......................................................................... 110 Ser consciente .................................................................................................... 114 Revisão ....................................................................................................................... 116 ENEM e OBMEP ............................................................................................... 119

Polígonos .................................. 120 Os polígonos ........................................................................................................ 122 Diagonal de um polígono........................................................................ 124 Soma das medidas dos ângulos internos e dos ângulos externos de um polígono ........................... 127 Revisão ...................................................................................................................... 132 ENEM e OBMEP .............................................................................................. 133

capítulo

Equações, sistemas de equações e inequações ...... 134 Equações do 1º grau com uma incógnita ...............................136 Equações do 1º grau com duas incógnitas ........................... 139 Sistema de duas equações do 1º grau com duas incógnitas ...............................................................................142 Resolução de sistemas de duas equações pelos métodos da substituição e da adição ................................... 147 Inequações do 1º grau com uma incógnita........................... 152 Revisão ...................................................................................................................... 157 Resolvendo problemas ............................................................................ 160

capítulo

ENEM e OBMEP ............................................................................................... 161

Regra de três ............................ 162 Regra de três simples................................................................................ 164 Regra de três composta ...........................................................................170 Ser consciente ................................................................................................... 174 Revisão ...................................................................................................................... 176 Resolvendo problemas ............................................................................. 178

capítulo

ENEM e OBMEP .............................................................................................. 179

Tratamento da informação ..... 180 Gráficos e tabelas ...........................................................................................182 Construção de gráficos............................................................................. 190 Média aritmética ..............................................................................................195 Mediana e moda ...............................................................................................195 Probabilidade ...................................................................................................... 199 Revisão .................................................................................................................... 203 ENEM e OBMEP ............................................................................................ 207

capítulo

Triângulos ................................ 208 Os triângulos .......................................................................................................210 Ângulos em um triângulo ......................................................................216 Congruência de figuras ........................................................................... 220 Casos de congruência de triângulos ..........................................222 Pontos notáveis de um triângulo ................................................. 225 Revisão .....................................................................................................................233

capítulo

Quadriláteros e formas circulares ................. 236

capítulo

ENEM e OBMEP ............................................................................................ 235

Os quadriláteros ............................................................................................. 238 Paralelogramos ................................................................................................ 239 Trapézio .................................................................................................................. 245 Circunferência e círculo .......................................................................... 249 Posições relativas ........................................................................................... 251 Revisão .....................................................................................................................257 ENEM e OBMEP ............................................................................................ 259

Medidas de superfície ............ 260 Área de polígonos ........................................................................................ 262 Ser consciente ..................................................................................................272 Revisão ..................................................................................................................... 274 Resolvendo problemas ............................................................................275 ENEM e OBMEP .............................................................................................276

Acessando tecnologias................... 278 Ampliando seus conhecimentos ....................................................291 Respostas ............................................................................................................. 295 Bibliografia.......................................................................................................... 320

capítulo Ricardo Silva/Folhapress

Ângulos

Looping de uma montanha-russa em parque temático brasileiro em 2005.

Montanha-russa Algumas montanhas-russas destacam-se pela extensão de seu percurso. A Steel Dragon 2000, no Japão, por exemplo, possui um percurso de 2 479 m. Em outras, a atração principal é a velocidade, como a Formula Rossa, situada nos Emirados Árabes Unidos, que chega a 240 km/h. E, para aqueles que não têm medo de altura, a Kingda Ka, nos Estados Unidos, é a opção ideal com inacreditáveis 139 m, o que corresponde a um prédio com mais de 35 andares. Porém, independente da extensão, velocidade ou altura, um elemento costuma ser essencial nas montanhas-russas: o looping. O friozinho na barriga nesse giro talvez seja o principal atrativo desse brinquedo, tornando-o quase inevitável no passeio aos parques.

Montanha-russa Veja mais informações sobre montanha-russa no site: <http://eba.im/2fge7n> (acesso em: 18 abr. 2015)

A Você já andou alguma vez em uma mon-

tanha-russa? Onde? B Em sua opinião, qual característica tor-

na uma montanha-russa mais atraente: extensão, velocidade ou altura? C

Quantos graus gira um carrinho ao realizar um looping?

Os ângulos

Ângulos destacados no movimento da ginasta.

Photodisc/Getty Images

Corel Stock Photo

erashov/Shutterstock/ Glow Images

A ideia de ângulo pode ser associada a várias situações do cotidiano, como, por exemplo, as que envolvem inclinação em relação a um eixo ou um giro em torno de um ponto fixo.

Ângulo destacado entre os ponteiros do relógio.

Ângulo destacado na abertura da escada.

• Podemos representar um ângulo da seguinte maneira: Camila Ferreira

ângulo

lados

vértice

⟶ ⟶ As semirretas OA e OB de mesma origem são os lados do ângulo e o ponto O é o vértice. Podemos indicar esse ângulo por ˆB ou Bˆ AO OA.

1°

Imagine um círculo dividido em 360 partes iguais. Um grau (1°) corresponde a cada uma das partes obtidas. Se considerarmos uma volta completa, teremos um ângulo de 360°. Na imagem ao lado está representado 1°. Um instrumento muito utilizado para medir ângulos é o transferidor. Transferidor de 360° Transferidor de 180° linha de fé linha de fé centro do transferidor centro do transferidor

Ilustrações: Renan Fonseca

Acervo da Editora

Da mesma maneira que podemos medir a capacidade de um recipiente em litros ou o tempo em minutos, também medimos ângulos. Para isso, podemos utilizar o grau (°) como unidade de medida.

capítulo 1

Note que nos transferidores há duas graduações, uma no sentido horário e outra no sentido anti-horário. Para medir um ângulo utilizando um transferidor, posicionamos seu centro no vértice desse ângulo e a linha de fé sobre um dos lados do ângulo. Veja alguns exemplos.

ˆB) = 60° med(AO A

Ilustrações: Renan Fonseca

med(Cˆ OD) = 215°

med(Eˆ OF) = 215°

Quando dois ângulos têm medidas iguais, dizemos que eles são congruentes. Nos OD e Eˆ OF são congruentes e indicamos essa congruência exemplos acima, os ângulos Cˆ ˆD ≡ Eˆ OF. por CO De acordo com as medidas, os ângulos podem ser classificados em reto, agudo, raso ou obtuso. Reto

Agudo D

Podemos indicar o ângulo reto pelo símbolo .

ˆ) = 90° med(B

ˆ) < 90° med(E

Ângulo cuja medida é 90°, correspondente a um giro de um quarto de volta.

Ângulo cuja medida é menor que 90°.

Raso

Obtuso J

med(ˆ L) = 180°

Ângulo cuja medida é 180°, correspondente à meia-volta.

90° < med(ˆ Q) < 180° Ângulo cuja medida é maior que 90° e menor que 180°.

Ilustrações: Camila Ferreira

Atividades

Anote no caderno

1. A imagem representa um transferidor com alguns ângulos indicados.

3. Estime a medida dos ângulos. Em seguida, utilizando um transferidor, meça-os e classifique-os em reto, agudo, raso ou obtuso.

Renan Fonseca

Determine a medida do ângulo: ˆB ˆH a ) AO c ) GO e ) Bˆ OF ˆE ˆD b ) AO OH d ) Fˆ f ) GO

2. Leia as informações e responda às questões.

Joe McDonald/Shutterstock/Glow Images

Existem dezenas de espécies de corujas distribuídas pelo mundo. A mais comum no Brasil é a coruja-buraqueira, que recebe esse nome por viver em buracos cavados no solo. Quando necessário, essa coruja pode girar o pescoço em um ângulo de até 270°, aumentando seu campo visual.

Ser vivo adulto Coruja-buraqueira: 23 cm de comprimento.

b ) Cite vantagens que a coruja-buraqueira tem com seu campo de visão privilegiado. c ) Junte-se a um colega e estime o ângulo máximo em que você consegue girar o pescoço. Depois, faça um experimento tentando girar o pescoço dessa maneira.

Ilustrações: Camila Ferreira

a ) Desenhe no caderno um ângulo para representar o giro que a coruja-buraqueira consegue fazer com o pescoço.

Camila Ferreira

capítulo 1

4. Leia o que o professor de Felipe escreveu na lousa.

De acordo com essas informações, determine as medidas dos ângulos complementar e suplementar de cada ângulo a seguir. c)

48°

42°

e) Ilustrações: Camila Ferreira

63°

79°

OB mede 32° 42’. Qual a medida do 5. A quinta parte do suplementar do ângulo Aˆ complementar desse ângulo.

Lembre-se de que 1° = 60’.

6. Leia as informações e responda à questão. OB mede 62°. • O complemento do ângulo Aˆ

ˆC é o triplo da medida do ângulo AO ˆB. • A medida do ângulo BO ˆD e BO ˆC são congruentes. • Os ângulos AO OD é congruente ao ângulo Cˆ OE. • O ângulo suplementar de Aˆ Qual a medida do ângulo Cˆ OE?

ˆB ˆ 7. Observe os ângulos complementares AO   e BO C   . C

5x + 3°

Camila Ferreira

8x − 4°

ˆB ˆ C)   = 90°, podemos Como esses ângulos são complementares, ou seja, m ed(AO   )   + med(BO determinar o valor de x escrevendo e resolvendo uma equação. ˆB med(AO   )

ˆC med BO  

( ) ⏞ ⏞  3°      +    8x  −  4°      =  90°   5x  +

13x  =  91°

5x  +  8x  +  3°  −  4°  =  90°

___ 91°    13x    =   ___ 13 13

13x  −  1°  =  90°

13x  −  1°  +  1°  =  90°  +  1 °

x  =  7°

ˆ B e BO ˆ Utilizando o valor obtido para x, podemos calcular as medidas de AO  C. O B)   = 5x + 3° ••med(Aˆ

ˆC   )   = 8x − 4° ••med(BO

ˆ B)   = 5 ⋅ 7°  + 3°  = 38° med(AO

ˆ C)   = 8 ⋅ 7°  − 4°  = 52° med(BO

Agora, calcule as medidas dos ângulos indicados nas imagens.

5x + 10°

2x x G

c )

4x − 10° O

8. Formas triangulares são amplamente utilizadas em construções e estruturas que necessitam de rigidez. Essa grande utilização deve-se ao fato de o triângulo ser um polígono rígido, ou seja, que não se deforma. escora No esquema ao lado estão indicadas algumas informações acerca da estrutura de sustentação de um telhado.

2x + 5°

x − 5° H

escora

8x + 2° 9x + 3°

Calcule o valor de x e determine, em relação à horizontal, o ângulo de inclinação da escora utilizada nessa estrutura. 9. Desafio A medida do suplementar de um ângulo é igual ao triplo da medida de seu complementar. Qual é a medida desse ângulo?

Ilustrações: Camila Ferreira

b )

Acervo da editora

a )

capítulo 1

Contexto 10. O velódromo é um circuito fechado de formato oval e inclinação variada em toda a sua extensão, revestido de madeira ou cimento. É utilizado em provas de ciclismo de pista, que são disputadas em bicicletas sem freios e que não permitem troca de marcha. Sua extensão varia de 180 a 500 m, sendo mais comuns as pistas de 250 m ou de 330 m. No velódromo são realizadas corridas individuais e em equipes, em dez diferentes tipos de provas. Corridas de curta distância testam habilidade, enquanto as de longa distância avaliam a resistência dos atletas. As dimensões oficiais e os graus de inclinação de um velódromo são regulamentados pelas normas da UCI (União Ciclística Internacional). Observe os pontos de maior e de menor inclinação de certa pista oficial construída para uma competição.

Estudio Meraki

Andrew Yates/AFP/Getty Images

Vista geral do velódromo Manchester, na Inglaterra, durante a competição feminina nas oitavas de final do Campeonato Mundial de Ciclismo, em março de 2008.

Inclinação mínima

Inclinação máxima

a) Em sua opinião, por que a pista de um velódromo possui trechos com inclinações? b) Com um transferidor, meça as inclinações máxima e mínima do velódromo apresentado acima. c) Qual é o complementar do ângulo de inclinação máxima do velódromo apresentado? E o do ângulo de inclinação mínima? d) Pesquise e escreva o nome de outras competições esportivas, além do ciclismo de pista, que utilizam pistas com inclinação variada.

Bissetriz de um ângulo

Rafaela H. Pereira

O ângulo abaixo mede 84° e foi dividido em duas partes de medidas iguais.

84°

A marca da dobra dividiu o ângulo ao meio, sendo cada parte obtida com 42° 84° : 2 = 42°). Nesse caso, a marca da dobra corresponde à bissetriz do ângulo de 84°. ( Q

Camila Ferreira

⟶ Na figura, a semirreta OA divide o ângulo OQ em duas partes de medidas iguais. Pˆ Essa semirreta é chamada bissetriz do OQ. ângulo Pˆ

Construção da bissetriz de um ângulo Utilizando régua e compasso, vamos traçar a bissetriz de um ângulo. ˆB qualquer. Em seguida, com a ponta seca do • Inicialmente, traçamos um ângulo AO compasso em O e abertura qualquer, traçamos um arco marcando os pontos C e D. B

D O

• Com a ponta seca do compasso em C e abertura maior que a metade da distância

entre C e D, traçamos um arco. Com a mesma abertura e ponta seca em D, traçamos outro arco cruzando o arco feito anteriormente, determinando assim o ponto E.

D O

D A

O C

OB. • Em seguida, traçamos a semirreta OE, que corresponde à bissetriz de Aˆ Ilustrações: Camila Ferreira

⟶

11. Utilizando régua, transferidor e compasso, construa cada ângulo cuja medida está indicada e trace a bissetriz. c ) 140°

5° a ) 4 b ) 6 0°

ˆB   em cada item sa1 4. Calcule a medida de AO bendo que a semirreta em azul é bissetriz do ângulo. c )

a ) B

d ) 100°

12. Viviane dobrou uma folha de papel quadrada da seguinte maneira.

capítulo 1

Anote no caderno

B 63° 30’

22°

b )

d )

Ilustrações: Camila Ferreira

Atividades

35° 20’ 31° 30’ O

Depois, ela desdobrou a folha e traçou semirretas sobre os vincos formados.

Lembre-se de que 1°  =  60’e 1’  =  60”.

a ) Entre as imagens a seguir, qual representa a folha de papel utilizada por Viviane?

I ) II ) A

A O

A C 8x + 5°

x + 2° 5 6x − 4° C

11x − 16° O

H B

ˆ ˆ Ee a semirre 13. Na figura a seguir, EO F    ≡ DO ⟶ O D. ta  OC é bissetriz do ângulo Bˆ

16. Desafio No pentágono, os segmentos AF, CF e DF são, respectivamente, bissetrizes dos ânˆE gulos Eˆ B A   , Bˆ C D   e C D   . Quais as medidas ˆ ˆ ˆ dos ângulos BC D   , CFD   e DE A   ? B

136° Camila Ferreira

B 39°

32° A

Qual a medida do ângulo: ˆ c ) B ˆ a ) DO E  ? O C ? ˆD   ? O b ) BO d ) Bˆ  F ?

8°

x + 8°

2x − 27°

−

4z − 14° E

1° D

Acervo da editora

b ) Qual semirreta corresponde à bissetriz do ângulo: ˆ ˆ ˆC   ? E   ?  G? ••AO ••CO ••EO

Ilustrações: Camila Ferreira

Ilustrações: Rafaela H. Pereira

15. Em cada item, determine o valor de x e cal II ) I )  Be Aˆ cule as medidas de Aˆ O O  C sabendo ⟶ ˆ que  OC é a bissetriz de AOB   . C B C B D

Ângulos opostos pelo vértice Na figura abaixo estão representadas as retas concorrentes r e s e os quatro ângulos formados por elas. r

ˆ   x

ˆ   b

ˆ a

ˆc

Duas retas concorrentes formam dois pares de ângulos chamados opostos pelo vértice (o.p.v.). ˆ ˆ  e b .  Vamos verificar a relação existente entre dois ângulos o.p.v., nesse caso, a ˆ ˆ   e x   são suplementares, assim: med(a ˆ ) + med(x ˆ ) = 180° (I) ••Os ângulos a ˆ a

ˆ  x

ˆ ˆ   e x   também são suplementares, assim: med(b )   + med(x ˆ)   = 180° (II) ••Os ângulos ˆb r

ˆ  x ˆ  b

••De I e II temos a seguinte igualdade:

ˆ med(a ˆ)    +  med     ˆ)     =  med(b )    +  med     ˆ)      (x (x 

180°



180°

ˆ )    nos dois membros da igualdade temos: Subtraindo med(x

ˆ ˆ ˆ ˆ med(ˆ )    +  med(x a )    −  med(x )    =  med(ˆ )    +  med(x b )    −  med(x )    ˆ med(ˆ )    =  med(b a ) 

Portanto, dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, isto é, são congruentes. Tales de Mileto, que viveu por volta de 600 a.C., foi o primeiro matemático a demonstrar que dois ângulos o.p.v. têm medidas iguais. Antes de Tales, esse fato era verificado de maneira prática, com a sobreposição dos ângulos. Quando os lados de um ângulo forem obtidos pelo prolongamento dos lados de outro ângulo, dizemos que eles são opostos pelo vértice. Aˆ OB   e Cˆ O D   ˆD AO   e Bˆ O C  

Ilustrações: Camila Ferreira

Na imagem, há dois pares de ângulos opostos pelo vértice: