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La idea de número es la culminación de una larga labor de abstracción del pensamiento. En el transcurso de la historia, los hombres han inventado, para representar números, series de símbolos numéricos (cifras) y han puesto en práctica sutiles soportes materiales (ábacos, dispositivos de cálculo, quipu). En el siglo V de nuestra era, la genialidad matemática india propone una numeración llamada «de posición». Provista de un cero, ésta utiliza solamente diez cifras –0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9– capaces de representar todos los números del mundo. Este sistema prodigioso elimina la distancia entre escritura y cálculo. Tras un largo tiempo de reticencia, Occidente adopta a partir del siglo XV la numeración india, propagada por matemáticos árabes. La naciente imprenta contribuye entonces a imponer y difundir el uso de las cifras «indoárabes».
DENIS GUEDJ
Relativos, racionales, reales, imaginarios, complejos e incluso transcendentes y surrealistas: el imperio de los números extiende su dominio a medida que aumentan las necesidades del cálculo y el progreso de la teoría. Denis Guedj nos invita a presenciar la fabulosa génesis de una de las invenciones más bellas de la humanidad: los números. ISBN 978-84-8076-928-0
Preservamos el medio ambiente El papel de las páginas de este libro está manufacturado con materia prima procedente de bosques responsables.
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SCIENCES DESCUBRIR LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA
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El imperio de los números DENIS GUEDJ
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El imperio de los números
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Denis Guedij fue escritor y matemático, profesor de historia de las ciencias en la Universidad de París VIII. Es autor de una extensa bibliografía. Falleció el 24 de abril de 2010.
Título original: L’empire des nombres Equipo editorial de la edición en francés: Pierre Marchand, Elisabeth de Farcy, Anne Lemaire, Alain Gouessant, Isabelle de Latour, Géraldine Blanc, Maude Fisher-Osostowicz, Vincent Lever, Madeleine Giai-Levra. Traducción: Ramón Martínez Castellote Revisión especializada de la edición en lengua española: Dr. Alfonso Rodríguez Arias
I.S.B.N.: 978-84-8076-928-0 Depósito legal: B-6.397-2011 Impreso en Tallers Gràfics Soler, Esplugues de Llobregat (Barcelona) Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sea por medios mecánicos o electrónicos, sin la debida autorización por escrito del editor. WWW.BLUME.NET
Ingeniero Industrial
Coordinación de la edición en lengua española: Cristina Rodríguez Fischer Primera edición en lengua española 2011 © 2011 Naturart, S. A. Editado por BLUME Av. Mare de Déu de Lorda, 20 08034 Barcelona Tel. 93 205 40 00 Fax 93 205 14 41 e-mail: info@blume.net © 1996 Gallimard, París (Francia)
Este libro se ha impreso sobre papel manufacturado con materia prima procedente de bosques sostenibles. En la producción de nuestros libros procuramos, con el máximo empeño, cumplir con los requisitos medioambientales que promueven la conservación y el uso sostenible de los bosques, en especial de los bosques primarios. Asimismo, en nuestra preocupación por el planeta, intentamos emplear al máximo materiales reciclados, y solicitamos a nuestros proveedores que usen materiales de manufactura cuya fabricación esté libre de cloro elemental (ECF) o de metales pesados, entre otros.
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CONTENIDO Presentación Las potencias de diez. 12 Capítulo 1 EXPRESAR LA CANTIDAD 24 Capítulo 2 DE LOS NÚMEROS A LAS CIFRAS 44 Capítulo 3 EL SINTEMA INDIO DE POSICIÓN 60 Capítulo 4 LOS ENTEROS NATURALES 78 Capítulo 5 EL IMPERIO SE EXTIENDE 104 Capítulo 6 EL CERO Y LOS INFINITOS 122 Capítulo 7 LA DEFINICION IMPOSIBLE 129 Testimonios y documentos
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A los números complejos, los matemáticos agradecidos Consideremos las ecuaciones de la forma siguiente: a0 + a1z + a2z2 + a3z3... +anzn = 0, que se dan en llamar «polinomiales». Aquéllas cuyos coeficientes a0, a1, ... an son racionales «producen» un conjunto de números: el conjunto de los números complejos soluciones de una de estas ecuaciones. Éstos — se denominan «números algebraicos». √ 2 es 2 algebraico (solución de x – 2 = 0). Igual lo son los números complejos no reales, como, por ejemplo, i (solución de x2 + 1 = 0). Los números complejos que no son solución de ninguna ecuación del tipo precedente se denominan «transcendentes». Los matemáticos muestran un gran reconocimiento por los números complejos, ya que les deben uno de los más bellos teoremas de las matemáticas como es el teorema fundamental del álgebra: toda ecuación polinomial de grado n admite exactamente n raíces complejas. Admite tantas raíces como el grado de la ecuación; no se puede hallar un resultado más simple y reconfortante en lo que concierne al número de raíces. El teorema afirma, por ejemplo, que toda ecuación de segundo grado no solamente tiene soluciones, sino que tiene siempre dos soluciones. Otros números nacieron a partir de los complejos El imperio de los números no está dispuesto a terminar aquí. Desde 1843, William Rowan Hamilton, que acababa de definir los números complejos, creó unos números hipercomplejos, los cuaterniones. Estos nuevos números, generalización de los complejos, se definen mediante cuatro reales, mientras que los complejos se definen mediante sólo dos.
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Más tarde fue el turno de Kurt Hensel, quien en 1902 creó los números p-ádicos, que permiten completar los racionales de una manera distinta de la empleada para definir los reales. Los números p-ádicos se utilizaron para demostrar el teorema de Fermat. El autor de pi Otra «razón» entre magnitudes ha planteado difíciles problemas a los matemáticos. Desde la más temprana Antigüedad, los calculistas se dieron cuenta de que todos los círculos tenían algo en común: su diámetro y su circunferencia mantenían la misma razón. ¿Se puede representar esta relación mediante un número (racional)? Dicho de otro modo, ¿se puede conocer con exactitud esta razón entre las dos longitudes, o bien debemos contentarnos con dar aproximaciones? Y, en ese caso, ¿se pueden conseguir aproximaciones cada vez mejores? Fue en el transcurso del siglo XVII cuando esta razón se convirtió en un número; fue entonces cuando se le denominó «el número π», de periphereia, nombre que los griegos daban a la circunferencia de un círculo. Para los judíos del Antiguo Testamento, 2.000 años antes de la era cristiana, la circunferencia es el triple del diámetro. Uno de los textos matemáticos más antiguos, el Papiro de Rhind (1.700 años antes de nuestra era), escenifica
Abajo, la fórmula con a ≠ 0: 2 x = – b ± √b – 4ac 2a que da las dos soluciones en números reales (cuando éstas existen) de la ecuación de segundo grado: ax2 + bx + c = 0. Los matemáticos no han cesado de buscar fórmulas similares para las ecuaciones de grados superiores, con el fin de calcular sus raíces con la ayuda de las operaciones tradicionales del álgebra. Dos matemáticos muy jóvenes, el noruego Niels Abel, en 1826, y el francés Evariste Galois (superior izquierda), en 1832, demostraron, cada uno por su lado, que para los grados superiores o iguales a 5, no se podía encontrar tales fórmulas. Con ello despejaron definitivamente una cuestión que ocupaba los espíritus desde hacía varios siglos.
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al escriba Ahmes que confronta la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado. El valor propuesto, hecha la conversión, es (16/9)2: 3,16049... En el año 120 de nuestra era, el matemático chino Chang Hing consiguió llegar a la razón 142/45 (3,15555...). Arquímedes, en el siglo III a. C., había ofrecido no un valor sino una sucesión de encuadramientos. Este procedimiento le había permitido «arrinconar» la razón entre dos fracciones. «En todo círculo –escribe–, el perímetro sobrepasa el triple del diámetro en menos de un séptimo, pero en más de diez setentaiunavos». Lo que quiere decir que la razón investigada c está comprendida entre 3 + 10/71
Plutarco describió tres muertes de Arquímedes durante la toma de Siracusa por las tropas de Marcelo. He aquí una de ellas, pintada por Thomas Degeorge.
c/d = π d
y 3 + 1/7. Ahora bien, 3 + 1/7 es la famosa 22/7, fracción bien conocida en la escuela antes de las calculadoras. En la India, hacia el año 500, el matemático Aryabhatta propuso 62.832/20.000 (3,1416). Un milenio más tarde, tuvo lugar el descubrimiento de bellas fórmulas que permitían expresar el número. John Wallis, al jugar con la duplicación de los pares y los impares, propuso una extraña fracción: π = 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 ×... 2 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 × 9 ×...
Algunos de los primeros decimales de π (derecha). Observe –si tiene la paciencia suficiente– que no hay ni rastro de periodicidad en su desarrollo.
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Leibniz, por su parte, utilizó sólo los impares en una alternancia de sumas y restas: π = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – ... 4
π
Últimamente, el japonés Shigeru Kondo, con la ayuda de un ordenador ¡ha determinado un método con el que calcular 2.699.999.990.000 decimales de π!
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La idea de número es la culminación de una larga labor de abstracción del pensamiento. En el transcurso de la historia, los hombres han inventado, para representar números, series de símbolos numéricos (cifras) y han puesto en práctica sutiles soportes materiales (ábacos, dispositivos de cálculo, quipu). En el siglo V de nuestra era, la genialidad matemática india propone una numeración llamada «de posición». Provista de un cero, ésta utiliza solamente diez cifras –0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9– capaces de representar todos los números del mundo. Este sistema prodigioso elimina la distancia entre escritura y cálculo. Tras un largo tiempo de reticencia, Occidente adopta a partir del siglo XV la numeración india, propagada por matemáticos árabes. La naciente imprenta contribuye entonces a imponer y difundir el uso de las cifras «indoárabes».
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Relativos, racionales, reales, imaginarios, complejos e incluso transcendentes y surrealistas: el imperio de los números extiende su dominio a medida que aumentan las necesidades del cálculo y el progreso de la teoría. Denis Guedj nos invita a presenciar la fabulosa génesis de una de las invenciones más bellas de la humanidad: los números. ISBN 978-84-8076-928-0
Preservamos el medio ambiente El papel de las páginas de este libro está manufacturado con materia prima procedente de bosques responsables.
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El imperio de los números DENIS GUEDJ
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