Simposioyeducacion matematica2014 2 by FONDO EDITORIAL UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

ACTA

D E MAT E M ÁT O I S O ICA P M S Ó N M AT E M A I SI C A C TIC U D AS Y E lumen 1 No.2 2014. ISSN 2346-372 Vo

Simposio de Matemáticas y Educación Matemática Volumen 1, No. 2 - MEM2014 ISSN 2346-3724

Comité Editorial:

Mauro García Pupo- Director Mary Falk de Losada Osvaldo Jesús Rojas Velázquez Raúl Menéndez Grace Vesga Bravo Gerardo Chacón –Editor Jefe

EQUIPO ARBITRAL Cristina Camos. Universidad Abierta Interamericana, Argentina. Orestes Coloma Rodríguez. Universidad de Holguín, Cuba Miguel Cruz Ramírez. Universidad de Holguín, Cuba. Carlos Diprisco. Universidad de los Andes, Colombia. Miguel Escalona Reyes. Universidad de Holguín, Cuba. Mario Estrada Doallo. Universidad de Ciencias Pedagógicas de Holguín, Cuba. Uwe Gellert. Freie Universität Berlin, Alemania. María Angélica Henríquez. Universidad de los Andes, Venezuela. Pedro Monterrey. Universidad del Rosario, Colombia. Juan E. Nápoles Valdés. Universidad Nacional del Nordeste, Argentina. Cristina Ochoviet. Instituto de Perfeccionamiento y Estudios Superiores, Uruguay. Marcel Pochulu. Universidad Nacional de Villa María, Argentina. Mabel Rodríguez. Universidad Nacional de General Sarmiento, Argentina. María Isabel Romero. Escuela Colombiana de Ingeniería Idania Urrutia. Universidad de la Habana, Cuba.

TABLA DE CONTENIDO PRESENTACIÓN

LA MODELIZACIÓN MATEMÁTICA CON FUNCIONES EXPONENCIALES MEDIANTE RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN EN LA CARRERA DE QUÍMICO BIÓLOGO DE LA UNIVERSIDAD DE SONORA Isabel Dorado Auz, José Luis Díaz Gómez. NOTAS HISTÓRICAS SOBRE EL CÁLCULO DEL NÚMERO  Miguel Cruz Ramírez, José María Sigarreta Almira, Osvaldo Jesús Rojas Velázquez. COMPETENCIAS EN TIC PARA DOCENTES PARA EL DISEÑO DE CONTENIDOS EDUCATIVOS EN FORMATO DIGITAL Martha Leticia García Rodríguez, Alma Alicia Benítez Pérez, Alicia López Betancour.

EL APRENDIZAJE DE LOS CONCEPTOS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EN ESTUDIANTES CON LIMITACIÓN AUDITIVA Sandra Lucía Romero Pulido, Liliana Patricia Ospina Marulanda. EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA COMO MEDIADORA EN LA ENSEÑANZA DE LA FACTORIZACIÓN Y LOS PRODUCTOS NOTABLES Graciela Wagner O., Alba Marina Giraldo V., Efraín Alberto Hoyos S., Heiller Gutiérrez Z. EN BUSCA DE GENERAR CAMBIOS DE ACTITUD HACIA LAS MATEMÁTICAS DESDE LA IMPLEMENTACIÓN DE UN AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAJE ENFOCADO HACIA EL RAZONAMIENTO ESPACIAL EN LOS ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO. Luz Libia Pinzón, Alejandro Pinzón.

ANEXOS 3

PRESENTACIÓN

El IV Simposio de Matemáticas y Educación Matemática y el III Congreso Internacional de Matemáticas asistidas por Computador, MEM 2014, organizado por la Universidad Antonio Nariño los días 13, 14 y 15 de Febrero de 2014 convocó a numerosos y destacados docentes e investigadores provenientes de diversas latitudes. Tres días de intensa actividad permitieron compartir valiosas experiencias, estudios y resultados que dan cuenta de la expansión de la Educación Matemática como disciplina científica. En un primer volumen de las Actas de MEN 2014 se presentan resúmenes de conferencias, cursos y comunicaciones presentadas en el evento. El objetivo del número dos, es recoger en extenso, por previa solicitud de los autores y correspondiente arbitraje, las contribuciones presentadas. La publicación, que esperamos se realice periódicamente en futuras ediciones del evento, incluye contribuciones sobre temas de investigación y divulgación en las áreas de Matemática y Educación Matemática que fueron presentadas en MEM 2014 y que por su particular calidad, a juicio de un Equipo Arbitral integrado por investigadores de reconocido prestigio internacional, se consideren adecuadas para contribuir a la memoria y divulgación del mismo y estarán disponibles gratuitamente en formato electrónico en el portal de Revistas de la Universidad Antonio Nariño bajo la política de procurar un mayor intercambio de conocimiento y divulgación. Queremos agradecer a los participantes y ponentes del MEM 2014 que sometieron sus aportes a revisión y arbitraje y a los evaluadores que contribuyeron a mantener el nivel, tanto del evento, como de esta publicación.

auz3@correom.uson.mx; ** Departamento de Matemáticas, Universidad de Sonora. (México) jdiaz@gauss.mat.uson.mx RESUMEN Este trabajo trata sobre la introducción de la función exponencial en el primer curso de Cálculo de la carrera de Químico Biólogo Clínico en la Universidad de Sonora, como herramienta matemática para desarrollar un proceso de modelización en la enseñanza de un tópico de esta asignatura. Se usó un dispositivo didáctico llamado Recorrido de estudio e investigación como la organización didáctica “ideal” para integrar la modelización matemática en el curso de Cálculo. Se plantea lo útil que puede ser la modelización y se precisa la importancia de contar con la Teoría Antropológica de lo Didáctico como el marco teórico de referencia. Palabras claves: Modelización, funciones, químico biólogo, TAD, REI.

ABSTRACT This paper deals with the introduction of the exponential function in the first course of calculus at the bachelor in Chemical Biologist of the Universidad de Sonora, as a mathematical tool to develop a modeling process in the teaching of a topic of this course. A teaching device called “Recorrido de Estudio e Investigación” was used as the "ideal" didactic organization to integrate mathematical modeling in the calculus course. Finally, It is stated how useful modeling can be and the importance to count with the Anthropological Theory of Didactics as a theoretical reference framework. Keywords: Modelling, functions, chemist-biologist, TAD, REI.

RESUMO Este artigo trata da introdução da função exponencial no cálculo Carreira primeiro ano Clinical Chemist biólogo da Universidade de Sonora, como uma ferramenta matemática para desenvolver um processo de modelagem no ensino de um tópico do curso. Um dispositivo de ensino chamado Posto de estudo e pesquisa como o "ideal" para integrar a modelagem matemática no curso de cálculo foi usado organização didático. Como ele pode ser útil 5

modelagem e importância da Teoria Antropológica do Didático como referencial teórico é necessário surge.

Palavras chave: modelagem, funções, bioquímico, TAD, Rei.

OBJETIVO GENERAL Diseñar e implementar, a través de los Recorridos de Estudio e Investigación (REI), una propuesta didáctica que propicie la utilización de modelos matemáticos en situaciones prácticas del área de Químico Biológicas, como vía para contribuir al desarrollo de las habilidades de los estudiantes en la solución de problemas en la vida fuera del aula.

INTRODUCCIÓN El trabajo que se realizó bajo este marco teórico se sitúa en un primer curso de Cálculo Diferencial de la Carrera de Químico Biológicas (QB). El problema que planteamos se puede formular de la siguiente manera: ¿Cómo diseñar procesos didácticos capaces de situar las cuestiones problemáticas del área de Químico Biólogo en el punto de partida del estudio, haciendo que estas cuestiones sean las generadoras de los contenidos matemáticos que se enseñan y, en consecuencia, permitan articularlos y mostrar su funcionalidad? El programa actual del primer curso de cálculo se puede dividir en cuatro temas: Números Reales, Funciones, Límites y Derivadas y Aplicaciones de la Derivada ¿Cuáles serían en cada ámbito las cuestiones generadoras más apropiadas para motivar la construcción de los diferentes contenidos matemáticos y cuáles son las organizaciones didácticas más adecuadas en cada caso? Dado que este es un trabajo de tesis de maestría tomamos una sección del tema de funciones: el de las funciones exponenciales. Las razones que nos conducen a ello es que el objetivo principal del curso de cálculo, tal como consta en el programa vigente, es “El alumno será capaz de emplear las funciones para modelar fenómenos de Química, Biología, Física y otros relacionados con su carrera…”. Pero no basta con saber adaptar y utilizar con precisión los modelos conocidos. Los alumnos deberán ser capaces de analizar una situación problemática en términos de dependencia entre magnitudes variables, destacando la información pertinente para elaborar un modelo matemático de dicha situación. Deberán, también, saber utilizar los modelos matemáticos propuestos y sintetizar los resultados obtenidos con estos modelos para generar nuevos conocimientos y cuestiones sobre las situaciones problemáticas consideradas. Un camino para lograr esto son los Recorridos de Estudio de Investigación.

ANTECEDENTES Se puede decir que desde los años setenta del siglo anterior se intentó modificar los procesos de enseñanza y aprendizaje retomando la resolución de problemas como herramienta y motivo para enseñar y entender mejor las matemáticas. Esto se hizo por dos vías: la resolución de problemas, donde se ponía atención al uso de estrategias heurísticas para resolver problemas matemáticos puros y la modelización matemática y sus aplicaciones, para resolver un tipo particular de problemas generados en situaciones del mundo real (Voskoglou y Phil, 2011).

MODELIZACIÓN MATEMÁTICA García (2011) nos dice que los procesos de modelización matemática han ocupado, durante los últimos años, un papel central en la investigación en educación matemática desde una faceta dual: como herramienta didáctica para la enseñanza de las matemáticas y como objeto de enseñanza-aprendizaje. La Teoría Antropológica de lo Didáctico describe los “procesos de modelización” como procesos de reconstrucción y articulación de praxeologías de complejidad creciente (puntuales→locales→regionales), los cuales deben comenzar a generarse a partir del cuestionamiento sobre las razones de ser de las organizaciones matemáticas que se desean reconstruir y articular (García, 2011). Además, Esta línea de trabajo es claramente convergente con el tipo de actividades y competencias matemáticas que evalúa la OCDE mediante las dos ediciones del informe PISA (OECD, 2006) y que designa con el término de “matematización” (Fonseca et al, 2009). La modelización proporciona al alumno una mejor aprehensión de los conceptos matemáticos y los capacita para leer, interpretar, formular y resolver situaciones problema, así como despertar el sentido crítico y creativo (Hein y Beimbengutt, 2006).

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA MODELIZACIÓN Lo y Kratky (2011) indican que los estudiantes frecuentemente tienen dificultades para determinar si una situación de la vida real se modela mejor con una relación funcional lineal o una exponencial. El motivo de esta dificultad, afirman, es la carencia de un conocimiento profundo acerca de la tasa de cambio, la cual es constante en una función lineal, mientras que en la función exponencial, f(x) = abx, la tasa incrementa cuando b˃1 y decrece cuando b<1, para permanecer constante cuando b=1. Para evitar confusiones, Confrey y Smith (1994) nos sugieren recurrir a las unidades aditivas y multiplicativas para establecer una diferencia más tajante. Además, para el estudio de la función exponencial se requerirá que otros significados sean retomados o generados: razón de cambio, covariación y crecimiento (Vargas, 2011), con lo cual el estudiante podrá valorar el enorme potencial de la función exponencial como modelo matemático. La modelización, como una herramienta potente para el estudio escolar de las matemáticas, puede ser sumamente útil en el proceso de aprendizaje del cálculo si se acompaña de una 7

renovación general de los instrumentos del trabajo matemático a partir de las nuevas tecnologías de la información. De hecho, Yves Chevallard y colaboradores han propuesto un nuevo dispositivo didáctico, llamado Recorrido de Estudio e Investigación (REI), dentro de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, donde se pone en operación la modelización matemática con un fin claramente pedagógico (Fonseca, 2011).

LOS RECORRIDOS DE ESTUDIO E INVESTIGACIÓN El Recorrido de Estudio e Investigación, sitúa la actividad matemática en el conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales. Se admite, en efecto, que toda actividad humana regularmente realizada puede describirse con un modelo único, que se resume en esta teoría con la palabra de praxeología (Chevallard, 1999). En las praxeologías es posible distinguir dos componentes principales, interrelacionados: la praxis o parte práctica, los tipos de tarea y las técnicas utilizadas; y el logos o razonamiento humano, la tecnología, discurso racional que justifica la pertinencia de la tarea concreta, y la teoría, que justifica la producción de la tecnología (Chevallard, et al., 2007). El proceso de construcción de la actividad matemática, es un proceso de ingeniería didáctica y viene articulado alrededor de los momentos didácticos: Inicial de equipamiento praxeológico, donde se habla de la mínima infraestructura praxeológica necesaria para comenzar a estudiar la nueva organización matemática; Primer encuentro, donde el alumno se encuentra con un primer tipo de tareas; Exploratorio, posibilidad de explorar una técnica potencialmente útil para resolver las tareas; Trabajo de la técnica, debe provocar un desarrollo progresivo de la técnica; Tecnológico-teórico, necesidad de crear un marco tecnológico teórico que permita construir, justificar, interpretar y relacionar todas las técnicas; Institucional, debe precisarse lo que es “exactamente” la organización matemática elaborada; Momento de las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), uso de las tecnologías de información y comunicación para simplificar, completar y extender el proceso de estudio; Evaluación, es preciso evaluar la calidad de los componentes de la organización matemática construida, analizando no sólo las responsabilidades del profesor y los alumnos en el REI, sino también la actividad matemática desarrollada.

EL TRABAJO EXPERIMENTAL El trabajo consistió en la implementación de un recorrido de estudio e investigación que tomó como base un problema de la vida real, el crecimiento bacteriano, propio del área de Químico Biológicas, como vía para contribuir al desarrollo de las habilidades de los estudiantes en la solución de problemas en la vida fuera del aula. Se tuvo como apoyo la Teoría Antropológica de lo Didáctico y se desarrolló con alumnos del curso Introducción al Cálculo Diferencial e

Integral de la Carrera de Químico-Biólogo, que ofrece el Departamento de Ciencias QuímicoBiológicas de la Universidad de Sonora.

Diseño del Recorrido de Estudio e Investigación Objetivos: 1. Utilizar la función exponencial para modelizar fenómenos de la vida real. 2. Interpretar situaciones problemáticas vinculadas a la función exponencial 3. Desarrollar estrategias para interpretar la realidad a través de la matemática Se trabajó con alumnos del primer semestre de la Carrera de Químico-Biólogo Clínico que cursan la materia de Introducción al Cálculo Diferencial e Integral. Inicialmente se formaron 8 equipos de trabajo, con al menos tres integrantes cada uno, que participaron en seis sesiones de una hora cada una; las últimas tres sesiones se hicieron con el trabajo voluntario de tres estudiantes. Se hizo uso de herramientas tecnológicas, entre las que están el software GeoGebra y Excel. La actividad fue independiente al curso normal de matemáticas y se realizó como actividad extracurricular. Momento Inicial de equipamiento praxeológico Los alumnos deben tener claro el concepto de función, dado que forma parte del programa que se ha desarrollado, hasta ese momento, en el curso de Introducción al Cálculo Diferencial e Integral. Deben ser capaces de elaborar tablas de datos, dado que es una de las tareas que frecuentemente realizan durante su formación en la Educación Media Superior. En caso de no ser así, el profesor inducirá esta actividad. También deben saber linearizar la función exponencial. Se necesita, por otro lado, hacer una presentación informativa de la cuestión generatriz para iniciar el Recorrido de Estudio e Investigación. Presentación de la cuestión generatriz La Escherichia coli, bacteria descrita por primera vez en 1885 por Theodore Von Escherich, forma parte de los microorganismos que colonizan el intestino, por lo que se define como un comensal que integra la biota intestinal de diferentes mamíferos, incluido el hombre. Ésta y otras bacterias que colonizan el intestino, son necesarias para el funcionamiento correcto del proceso digestivo, además de participar en la producción de las vitaminas B y K no sintetizadas por el organismo (Eslava et al, 2013). Sin embargo, varios clones de E. coli son responsables de una diversidad de enfermedades, incluyendo infección del tracto urinario, sepsis/meningitis y diarreas. Por ello, es importante conocer cómo se reproduce esta bacteria y qué factores favorecen o entorpecen dicha reproducción. Además, esta bacteria es importante porque es uno de los principales microorganismos modelo de la biología (Iguchi et al, 2009). Como parte del tratamiento a cualquier tipo de enfermedad, han surgido una diversidad de medicamentos que brindan diferentes resultados y que en el transcurso del tiempo permanecen los que han mostrado una mayor efectividad. Ante este escenario, cabe preguntar lo siguiente: 9

Cuestión Generatriz Ante una infección bacteriana por E. coli ¿qué medicamento hipotético dará mejores resultados?: un medicamento A con un factor de efectividad del 75% y que se suministra cada tres horas; un medicamento B con un factor de efectividad del 90% y que se suministra cada 6 horas; o un medicamento C con efectividad de 99.5% y que se suministra cada 24 horas. La respuesta a esta cuestión generatriz va a dar lugar a un proyecto, y se va a convertir en el hilo conductor de todo el proceso de estudio. Se plantea un enunciado abierto rompiendo el contrato didáctico habitual, en el que el profesor siempre da todos los datos necesarios para que el alumno resuelva el problema. Momento del primer encuentro La construcción de la Organización Matemática para introducir la función exponencial en el curso de Introducción al Cálculo Diferencial e Integral de la carrera de Químico-Biólogo Clínico inició a partir de la siguiente tarea concreta: Actividad 1. En un laboratorio se estudia el crecimiento de una población de bacterias E. coli y se ha comprobado que a una temperatura de 37 0C, las bacterias se duplican cada 20 minutos. En cierto momento, se cuentan 64 bacterias, ¿cuántas bacterias había dos horas antes? y ¿cuántas bacterias habrá dos horas después? Se concretó la cuestión generatriz delimitando el sistema por estudiar y se introdujeron las primeras restricciones, se planteó un primer nivel de complejidad. Se espera que el alumno sea capaz de utilizar la técnica de lápiz y papel, mediante operaciones aritméticas, para alcanzar el resultado deseado (se solicitó el uso de un bolígrafo en lugar de lápiz para evitar el borrado, permitiendo con ello un mejor registro de las actividades). Por una simple actividad recursiva, el alumno podría irse hacia adelante o hacia atrás en el tiempo, duplicando y partiendo por la mitad el número inicial de bacterias, respectivamente, para obtener el resultado esperado. Momento exploratorio de la técnica Se le sugiere al alumno que utilice hojas de cálculo para lograr efectividad en el trabajo e inducir el salto a la actividad 2, se pretende que el alumno tome conciencia de que la técnica anterior es muy rudimentaria y con un costo enorme de tiempo. Se busca, también, que intenten establecer relaciones funcionales entre las variables, tomando la covariación como concepto alternativo de función, para tratar de identificar el patrón que siguen los datos. Así, es posible que surja el modelo matemático que da solución inmediata a cualquier tiempo dado antes o después del punto de partida del crecimiento bacteriano. Actividad 2. ¿Existe algún modelo matemático que permite predecir el crecimiento poblacional de la E. coli, si en el tiempo t=0 se tiene una sola bacteria? Se espera que la relación lineal sea la primera relación funcional a la que muchos estudiantes recurran para obtener el modelo matemático. Esto es, si grafican los datos de la 10

tabla, buscarían trazar una recta, para unir los puntos generados, en el plano cartesiano. El primer reto consiste en diferenciar la tasa de cambio constante de la función lineal respecto a una tasa de cambio variable en la función exponencial (en este caso incrementa, debido a que el valor de la base es mayor que uno, al transcurrir el tiempo). Para obtener el modelo matemático, es necesario inducir al estudiante para que encuentre la unidad multiplicativa. Si tomamos los intervalos de 20 minutos como tiempo 0,1,2,3,….n, el modelo matemático que tendrán que obtener es f(x) = 2x, sin una verdadera aplicación práctica, ya que el tiempo en minutos se representa en forma posicional. En su lugar, de no ser iniciativa de los estudiantes, se podrá sugerir cambiar el tiempo a horas para obtener la expresión algebraica f(x) = 8x, que representa el número de bacterias, en cualquier tiempo dado en horas. En ambos casos, emerge así, el concepto del factor de crecimiento involucrado. Momento del trabajo de la técnica Una vez obtenido el modelo matemático, el alumno debe también identificar las restricciones del sistema y establecer cuál es el dominio y rango de la función. Además, el alumno debe distinguir las debilidades y fortalezas de la técnica y reconstruir el modelo, actividad 3, para nuevas situaciones relacionadas con el crecimiento bacteriano, para ello tendría que identificar los elementos que forman parte del sistema, elegir las variables que lo determinan y la expresión algebraica del modelo. La siguiente actividad representa una primera evaluación del conocimiento adquirido. Actividad 3. Suponga que inicia un cultivo de bacterias E. coli el lunes a mediodía. Cuando el cultivo es analizado el martes a las 10:00 A.M. hay 1,200 microorganismos. Para el viernes a las 13:45 Hrs hay 3,600 bacterias. Si se asume que el cultivo crece exponencialmente: 1. Encontrar una función P(t) para el número de bacterias presentes t horas después del lunes a mediodía. 2. ¿Cuántos microorganismos había inicialmente (el lunes a mediodía)? 3. ¿Cuál es la constante de crecimiento y qué significa este número? 4. ¿Cuántos microorganismos había a mediodía del miércoles? 5. ¿Cuándo se obtendrán 5 mil bacterias? Se pretende que el alumno utilice el modelo algebraico de la función exponencial, generando los valores de los parámetros del mismo a partir de los datos aportados por la actividad. Así, se revierte el tipo de tareas para consolidar el conocimiento de la técnica utilizada. Para consolidar el conocimiento adquirido, se introduce una pequeña variante. Actividad 4. ¿Si la E. coli se triplica cada 32 minutos, cuál es el modelo matemático que me indica el número de E. coli después de un tiempo dado, cuando se inicia con una sola bacteria; y cuando se inicia con 2,000 bacterias? En esta actividad se modifica el uso de números enteros como base, para f(t) = ab t, y se hace uso del software GeoGebra para hacer nuevas exploraciones y enriquecer el Recorrido 11

de Estudio e investigación, mediante el uso de deslizadores para resaltar el impacto de la variación de los diferentes parámetros utilizados en el modelo algebraico obtenido y se clarifica el significado de los mismos.

Aplicaciones de los conocimientos adquiridos Durante este proceso, el alumno puede hacer uso de los conocimientos adquiridos y establecer con mayor rapidez el modelo algebraico que nos proporciona la solución a la pregunta inicial. Actividad 5. Para una población inicial de 2,000 bacterias, la cual incrementa en una proporción de 40%/h, se suministra un antibiótico A cada tres horas que tiene una efectividad del 75%, ¿cuánto tiempo tomará disminuir la población por debajo de 50 microorganismos, para asegurar que la infección está controlada? ¿Cómo controlar la misma población inicial con un antibiótico B, cuya efectividad es del 90% y se suministra cada 6 h; o bien, un antibiótico C, con efectividad del 95%, que se suministra cada 24 h? Con esta actividad se consolida el concepto de factor de crecimiento asociándolo directamente al modelo algebraico utilizado, la función exponencial. Quedando de manifiesto que el factor de crecimiento no necesariamente se representa con números enteros. Además, se concreta la respuesta a la cuestión generatriz inicial y se afianzan todos los conceptos involucrados con la inserción de la función exponencial como modelo matemático para dar solución a un problema de la vida real.

PRIMERA PUESTA EN ESCENA Durante los meses de Octubre y Noviembre de 2013, se hizo la primera puesta en escena del Recorrido de Estudio e Investigación y a continuación se presentan los resultados preliminares obtenidos. Los primeros resultados indican que el REI fue exitoso en términos generales. Se alcanzaron los principales objetivos, pero se presentaron algunas inconsistencias durante el desarrollo del recorrido. Previo a la primera actividad, cuando se presentó la cuestión generatriz, varios estudiantes intentaron responderla con diferentes visiones acerca del problema planteado: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Se resuelve con una función matemática. Por lógica, el medicamento con mayor efectividad (99.5%). Por un sistema de funciones. Por Tabulación. Con una regla de tres. Con experimentación. La respuesta es el medicamento A, ya que se suministra cada tres horas. Se sugiere tomar en cuenta los efectos colaterales del medicamento.  El profesor resalta la importancia de no meter ruido, aunque valora la importancia de la participación, para facilitar el proceso. 12

9. Un estudiante se atrevió a decir que siempre la respuesta es el valor del medio. En resumen, las respuestas inmediatas no requirieron un análisis profundo de la cuestión generatriz. Por eso, al pedirles que justificaran sus respuestas, inició un rico debate entre los integrantes del grupo, lo cual llevó a considerar varios aspectos, entre los que están: a) ¿Había datos suficientes para determinar cuál de los medicamentos es el más indicado? b) ¿Qué factores hay que tomar en cuenta para contrarrestar el crecimiento microbiano? c) ¿Bajo qué condiciones se llevaría a cabo el experimento? Este primer debate, ocasionó que se pidiera a los estudiantes que hicieran una investigación acerca de los factores involucrados en el crecimiento microbiano y qué es lo que determina la dosis y temporalidad del suministro de los medicamentos. Se solicitó un reporte por escrito que se retomaría en la siguiente sesión. Se estableció, además, la dinámica a seguir, informando que durante las siguientes 5 sesiones participaría todo el grupo y a partir de la sexta se trabajaría con voluntarios. Para la primera actividad, se formaron ocho equipos, con al menos tres integrantes cada uno, y se trabajó con la técnica de lápiz y papel. Tal como se esperaba, en términos generales, los estudiantes lograron el éxito duplicando el número inicial de bacterias cada 20 minutos para obtener el número de bacterias dos horas después y luego dividieron el número inicial de bacterias entre dos cada 20 minutos hacia atrás para obtener el número de bacterias dos horas antes. Aunque algunos equipos intentaron generar relaciones funcionales, la función lineal no fue utilizada, lo cual puede ser un reflejo del conocimiento adquirido previamente sobre funciones en el desarrollo del curso de Cálculo. Seis equipos elaboraron una tabla de valores y, sorprendentemente, sólo un equipo hizo la gráfica correspondiente en el plano cartesiano. Otro equipo empezó la actividad considerando el número de 64 bacterias en el tiempo cero (Fig. 1), pero tuvieron problemas cuando intentaron obtener el número de bacterias dos horas antes; ellos asumieron que el fenómeno se modelaba con la expresión y = x2, por lo que consideraron conveniente obtener la raíz cuadrada de 64 para obtener el valor solicitado, esto es, ellos determinaron que había 8 bacterias dos horas antes.

Fig. 1 Evidencia de la actividad del equipo No. 2. Fuente: Autor

El equipo número 4 asumió que había seis duplicaciones en dos horas, por lo que decidieron dividir 64 entre 26 para obtener la solución para dos horas antes y luego multiplicaron 64 por 26 para obtener la solución para dos horas después. Por otro lado, no obstante no se le solicitó a ningún equipo que aportaran la expresión algebraica que modelaba el fenómeno, tres equipos lo hicieron, pero solo uno aportó la expresión algebraica correcta, y = 8x, cuando se considera el tiempo en horas, pero su nivel de argumentación fue muy débil cuando se les solicitó que explicaran como habían obtenido esa expresión algebraica. El profesor tuvo que explicar la emergencia de las unidades multiplicativas (Confrey y Smith, 2011) respecto al número de bacterias y las unidades aditivas respeto a los valores de tiempo (Fig.2), obteniendo así la expresión algebraica que modelaba el fenómeno, y = 8x, cuando se transformaba el tiempo en horas; o bien, y = 2 x, si se toma la variable tiempo en función de su posición, 0,1,2,3,…, aunque no es evidente una aplicación práctica de esta última expresión algebraica.

Figura 2. Unidades aditivas y multiplicativas. Fuente: Autor Como puede observarse, los alumnos utilizaron diversas técnicas para intentar solucionar la actividad planteada, y el profesor solo tuvo que dirigir el proceso acorde al Recorrido de Estudio e Investigación diseñado. Previo a la segunda actividad y durante la misma, fue posible optimizar el proceso al dar entrada al uso de Excel, por lo que se solicitó a cada uno de los equipos aportaran la gráfica correspondiente y obtuvieran, del software, la expresión algebraica esperada, y = е2.079x, en este caso x representa el tiempo en horas. Con el uso del Excel, se confrontó este modelo algebraico con el que brinda el software f(x)= е 2.079x, dando lugar para introducir el tema de las funciones logarítmicas y su relación inversa con las funciones exponenciales, mediante una aplicación práctica de las leyes de los logaritmos para hacer las transformaciones correspondientes y trabajar con funciones inversas. Se establece así, el momento 14

tecnológico teórico y se procede a institucionalizar las características de la función exponencial, dando lugar a la expresión general: f(x) = A0еkx. La tercera actividad fue la que más problemas presentó, debido a que el uso de la técnica inversa no es frecuente en nuestro sistema de enseñanza, esto a pesar de que los estudiantes estaban familiarizados con las expresiones algebraicas obtenidas en el tema de funciones que previamente habían tomado con el profesor del curso. Fue necesario, entonces, que el instructor diera un mayor apoyo en esta actividad, primero linearizar la relación funcional, mediante el uso de los logaritmos, para obtener el valor de la pendiente k, dados los dos valores aportados en la actividad y después, promover la obtención del valor de la población inicial A0. Para la cuarta actividad, una estudiante encontró la unidad multiplicativa dividiendo 60 entre 32, cuyo cociente representa el valor del exponente al que se ha de elevar posteriormente la unidad multiplicativa, número de triplicaciones en este caso, para obtener la base de la función, y = 7.8452t, y en Excel, y = е2.0599t, cuando se inicia con una bacteria. Una expresión similar se obtiene cuando el número inicial de bacterias es de 2000. Al hacer uso del software GeoGebra para hacer nuevas exploraciones, se enriqueció el conocimiento adquirido al resaltar, por parte del instructor, el impacto de la variación de los diferentes parámetros utilizados en el modelo algebraico obtenido y clarificar el significado de los mismos. Para la última actividad, ellos pudieron probar que el medicamento A es el más efectivo en contra de la infección. Corroboraron que el uso de la modelización matemática les puede ser muy útil para resolver problemas propios del área de estudio en la que están inmersos.

CONCLUSIONES Nuestra primera conclusión se refiere a la capacidad de los REI para crear conexiones entre las diferentes piezas de conocimiento, es decir, el desarrollo de lo que se considera tradicionalmente como el "conocimiento metacognitivo". Podemos decir que el recorrido implementado ha permitido: dar funcionalidad a algunos contenidos del tema Funciones, tales como la construcción de la expresión algebraica de una función exponencial; el uso de las gráficas para visualizar la información; y establecer una relación entre las distintas representaciones del concepto de función. Coincidimos con Barquero y col. (2006) quienes enfatizan la importancia de los momentos exploratorios y tecnológicos, durante el recorrido de estudio e investigación. Por lo mismo, coincidimos también, en que la promoción de estos momentos permite a los estudiantes crear hipótesis y reformular preguntas, tanto a nivel individual como cuando trabajan en equipo. Esto constituye, sin duda, una fase importante de la modelización matemática.

BIBLIOGRAFÍA 15

Chevallard, Y., Bosch, M. y Gascón, J. 1997. Estudiar matemáticas: El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Anexo D. Editorial Horsori. Barcelona, España. Chevallard, Y. 1999. El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol.19, 2:221-266. Traducción de Ricardo Barroso Campos (Universidad de Sevilla). Confrey, J. and Smith, E. 1994. Exponential functions, rates of change, and the multiplicative units. Educational Studies in Mathematiccs 26. 135-164. Kluver Academic Publisher. Netherlands. Eslava, C.C.A., Navarro, O.A., Hernández, C.U., y Salazar, J.E.P. 2013. Escherichia coli microorganismo divergente con actitud dual en su relación de convivencia con sus hospederos. Recuperado: Septiembre 17 de 2013 de www.facmed.unam.mx/deptos/salud/ourprofs/ecoli_divergente.htm Fonseca, B . C. 2011. Una herramienta para el estudio funcional de las matemáticas: Los Recorridos de Estudio e Investigación (REI). Educación Matemática, vol. 23, núm. 1, Agosto-abril, 2011, pp. 97-121. Fonseca, C.; Casas, J.M.; Bosch, M.; Gascón, J. (2009). Diseño de un recorrido de estudio e investigación en los problemas de modelización. En González, M. J.; González, M. T.; Murillo, J. (Eds.). Investigación en Educación Matemática. Comunicaciones de los Grupos de Investigación. XIII Simposio de la SEIEM. Santander. Freudenthal, H. 1981. Problemas mayores de la educación matemática. Conferencia dada en la Sesión Plenaria del ICME 4 en Berkeley. Educational Studies in Mathematics 12:133-150. Versión en español de López Yañez, A. García, G.F.J. 2011. Análisis de praxeologías didácticas en la gestión de procesos de modelización matemática en la escuela infantil. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, vol. 14, núm. 1, marzo. pp. 41-70. CLAME. Iguchi A., Thomson N.R., Ogura Y., Saunders D., Ooka T., Henderson I.R., Harris D., Asadulghani M., Kurokawa K., Dean P., Kenny B., Quail M.A., Thurston S., Dougan G., Hayashi T., Parkhill J., Frankel G. 2009. Complete genome sequence and comparative genome analysis of enteropathogenic Escherichia coli O127:H6 strain E2348/69. J. Bacteriol. 191:347-354. Hein, N. y Biembengut, M. S. 2006. Modelaje Matemático como Método de Investigación en Clases de Matemática. V Festival Internacional de Matemática. Lo, J.J. and Kratky, J.L. 2012. Looking for connections between linear and exponential functions. Mathematics Teacher. Vol. 106, No. 4. November. Marco Normativo. 2012. Lineamientos Generales para un Modelo Curricular de la Universidad de Sonora. 17 de Diciembre de 2012. Disponible en la Red: http://www.uson.mx/institucional/marconormativo/reglamentosacademicos/lineamientos_model o_curricular.htm. Vargas, H.J. 2011. Descomposición genética de la función exponencial: mecanismos de construcción. XIII CIAEM-IACME, Recife, Brasil. Voskoglou, M.G. and Phil, M. 2011. Mathematical modelling in classroom: the importance of validation of the constructed model. Proceedings of the 11th International Conference, 352-357, Rhodes University, Grahamstown, South Africa.

NOTAS HISTÓRICAS SOBRE EL CÁLCULO DEL NÚMERO 

Miguel Cruz Ramírez*, José María Sigarreta Almira**, Osvaldo Jesús Rojas Velázquez*** * Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor Titular de la Universidad de Holguín Oscar Lucero Moya, Cuba, mcruzr@facinf.uho.edu.cu ** Doctor en Ciencias Matemática, Profesor Titular de la Universidad Autónoma de Guerrero, México, gjosemariasigarretaalmira@hotmail.com *** Doctor en Ciencias Pedagógicas, Profesor de la Universidad Antonio Nariño, Colombia, orojasv2301@gmail.com

RESUMEN En el presente artículo se presenta una serie de sucesos históricos asociados al cálculo del número pi. De forma general, se perciben cuatro etapas relacionadas con el cálculo geométrico y cuasi-empírico, luego el cálculo apoyado del método de Arquímedes, seguidamente la aplicación de resultados del cálculo infinitesimal y, finalmente, el apoyo de recursos computacionales. Una vez distinguidas estas etapas es posible tomarlas en consideración durante los cursos de historia de las matemáticas, afines a la formación de matemáticos y también de profesores de esta ciencia. Palabras clave: Número Pi, círculo, cálculo aproximado, historia de las matemáticas. ABSTRACT In this paper we present a sequence of historical events, associated with the computation of the well-known number Pi. Upon the whole, we perceive four stages related with the geometrical and cuasi-empirical computation, the calculation backed up for one method due to Archimedes, straightaway the application of some results of infinitesimal calculus, and at last, the support of computational resources. Taking these stages into consideration, it is possible to reconstruct the courses of mathematics history, similar to the training of mathematician and mathematics’ professors. Keywords: number Pi, circle, approximate calculation, mathematics history. RESUMO No presente artigo apresenta uma série de feitos históricos associados ao cálculo do número Pi. De forma general, percebem-se quatro etapas relacionadas com o cálculo geométrico e cuasi-empírico, também o cálculo apoiado do método do Arquímedes, seguidamente a aplicação de resultados do cálculo infinitesimal e, finalmente, o apoio de recursos 17

computacionais. Uma vez distinguidas estas etapas é possível tomar em consideração durante os cursos de história das matemáticas, afins à formação de matemáticos e também de professores desta ciência. Palavras chave: número Pi, círculo, cálculo aproximado, história das matemáticas.

INTRODUCCIÓN El número  es la razón existente entre el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro; o lo que es lo mismo, entre el área de cualquier círculo y el cuadrado del radio correspondiente. Esta segunda definición aparece implícitamente en los «Elementos» (Libro XII, Proposición 2), donde Euclides demuestra en el siglo III a.C. el siguiente teorema: “Οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς τὰ ἀπὸ τῶν διαμέτρων τετράγωνα” (los círculos son entre sí como los cuadrados de sus radios), aunque no intentó calcular la constante correspondiente que no era otra que . Desde el descubrimiento de esta constante hasta la demostración de su naturaleza trascendente, median dos milenios de esfuerzos por conseguir cálculos cada vez más precisos. Más allá de esto, gracias a herramientas analíticas y estadísticas se erige hoy el cálculo computacional combinado con algoritmos más eficientes y tecnologías de punta. Las ideas primigenias que atrajeron el interés por el cálculo del número , provenían de dos cuestiones aparentemente elementales: 1. Problema de la rectificación de la circunferencia: dado el radio de una circunferencia, construir un segmento de longitud unitaria. 2. Problema de la cuadratura del círculo: dado el radio de un círculo, construir un cuadrado equivalente al círculo. El segundo de estos problemas es el más conocido y su celebridad se remonta a casi cuatro milenios de intentos infructuosos por resolverlo mediante regla y compás. Muchas generaciones de matemáticos debieron pasar hasta que el misterio vino a ser aclarado con la demostración de que  es un número trascendente. Antes de arribar a este resultado, debieron transcurrir ciertos etapas históricas relacionados con el cálculo aproximado, los cuales serán analizados en el presente trabajo.

METODOLOGÍA Existe en la literatura una amplia diversidad de ensayos históricos relacionados con el número π (v. gr. Baravalle, 1952; Trier, 1989; Beckmann, 2007), en la mayoría de los cuales se profundiza o bien en el estudio cronológico de importantes hallazgos relacionados con este número, o bien en el desarrollo del conocimiento de este número en el marco de una cultura concreta. Desde el punto de vista metodológico, en el presente trabajo se aplica el método histórico-lógico, en el sentido de que además de percibir un suceso histórico 18

temporal y espacialmente, es importante aprehender cada situación concreta, condicionada por el desarrollo de las matemáticas y por intereses marcados sobre problemas matemáticos específicos. Por tal motivo, la demarcación de etapas no responde a fechas ni culturas concretas, sino a niveles de desarrollo acerca de los métodos del cálculo aproximado. Ello explica que una misma etapa puede darse en momentos diferentes en culturas diferentes. RESULTADOS La letra  es la inicial de la palabra griega  (perifereia) que significa periferia o circunferencia. El uso de la letra  se supone que fue iniciativa del inglés Oughtred en 1647, quien más tarde sería imitado por su compatriota William Jones, en 1706. Sin embargo, no es hasta 1748 en que “” alcanza la mayor universalidad al ser utilizada por Euler en su obra «Introductio in analysin infinitorum», si bien se sabe que anteriormente utilizaba la letra “p”. Impresionante ha sido la historia del cálculo de valores aproximados para la tal vez más célebre de las constantes. A continuación se describen cuatro importantes momentos de este esfuerzo por aprehender las cifras de .

1. La etapa del cálculo geométrico y cuasi-empírico Desde el punto de vista numérico, esta constante se identifica originalmente en mediciones babilonias de los años 2200 a.C. Para estos tiempos se calculaba el área del círculo utilizando la fórmula A = c2/12, donde c representa la longitud de la circunferencia, de lo cual se infiere la burda aproximación =3. Según el papiro de Rhind (2000-1700 a.C.), manuscrito del escriba Ahmés, los egipcios también asumían el valor  = 3, aunque implícitamente. En ocasiones hacían uso de la siguiente regla para la cuadratura del círculo: “Quítese de un diámetro la novena parte, y con el resto por lado constrúyase un cuadrado que será equivalente al círculo”. Esto es: 2

d 64  A  d    d 2, 9 81 

donde d representa la longitud del diámetro. De aquí se infiere  = 256/81  3,16, para un error inferior a 1/50. No obstante, debe subrayarse que no existe evidencia de que los egipcios hayan identificado de forma explícita al número , de manera que la estimación posible se hace a partir de deducciones sobre hallazgos geométricos por ellos conocidos. A H P

B C R Q

D F

Según el historiador de la ciencia Otto Neugebauer (1969), un argumento elemental que sirve de base heurística para la regla anterior. Partiendo de la circunferencia de diámetro d (ver Figura 1), se circunscribe el octágono regular ABCDEFGH e intuitivamente se observa que el área de dicho octágono constituye una aproximación al área del círculo.

E T 19

El área del octágono se calcula fácilmente sustrayendo, del área del cuadrado de lado d, el cuádruplo del área de un triángulo rectángulo isósceles de lado d/3. Esto es: 2

1d  7 63 2 A  d2  4    d2  d . 2 3 9 81

Figura 1. Argumento geométrico de Neugebaver sobre la regla egipcia para la cuadratura del círculo. Fuente: Autor

Al sustituir en este resultado el numerador 63 por 64 se encuentra, precisamente, el área del cuadrado cuyo lado es los 8/9 partes del diámetro y que aparece en la antigua regla egipcia.

A partir de inferencias deductivas, puede decirse que los caldeos y los hebreos antiguos también asumían el valor  = 3 en sus mediciones. Por ejemplo, en la Biblia esto aparece implícitamente durante la descripción de la construcción del templo de Salomón en (1 Re, 7:23) y (2 Cr, 4:2), cerca del año 950 a.C. En este último texto dice: “También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde a otro, enteramente redondo (…) y un cordón de treinta codos lo ceñía alrededor”. Nótese que la estimación  = 3 resulta de la división directa de la longitud del perímetro entre la del diámetro (vid. Gupta, 1988). De forma similar, en los libros «Śulba Sūtras» (fechados aproximadamente entre los siglos VIII a.C. y II d.C.), los matemáticos de la antigua India desarrollaron métodos para construir círculos con aproximadamente la misma área que un cuadrado, lo que conllevó a muchas aproximaciones diferentes del número . Indistintamente aparecen en estos libros dos constantes diferentes: 3,2 para la relación entre el perímetro y el diámetro, y 3,088 para la relación entre el área del círculo y el área del cuadrado de lado igual a la longitud del radio. Como puede apreciarse, la diferencia tiene su origen en que dicho conocimiento corresponde a una etapa de cálculo geométrico y cuasi-empírico de manera que, incluso la menor exactitud, corresponde a una mayor dificultad para el manejo práctico de las áreas que para el cálculo de longitudes (vid. Rajagopal y Vedamurti, 1952).

2. La etapa de cálculo mediante el método arquimedeano En la antigua Grecia, las primeras evidencias del problema de la cuadratura del círculo se remontan al siglo V a.C. pues, según testimonio de Plutarco en su ensayo «Περί φυγής» (Sobre el Destierro), dicho problema ocupó a Anaxágoras de Clazomene ( 428 a.C.) mientras estaba en prisión. Paralelemente, alrededor del año 420 a.C., Ippía de Elide ideó la curva trascendente “cuadratriz”, usada luego por Dinostrato un siglo después para rectificar la circunferencia. Sin embargo, el primer éxito notable en la estimación de  lo obtiene Arquímedes de Siracusa alrededor del año 250 a.C. En su libro «Meditación del Círculo» escribió: “El perímetro de todo círculo es igual al diámetro triplicado con exceso, que es menor que la séptima parte del diámetro pero mayor que diez septuagésimo primero”. Con ello consigue una aproximación exacta hasta las decenas: 3,1408 =

223 10 1 22 = 3+ < π < 3+ = = 3,1429 71 71 7 7 20

Por estos mismos tiempos, entre los siglos II y I a.C., Herón de Alejandría calcula para  el valor de 3,142 con aproximación similar a la de Arquímedes. Se conoce que poco tiempo 2 377 después, en el siglo II d.C., Ptolomeo utiliza la aproximación 3 + 608 + ( 30 60 ) = 120 ≈3,1417 , probablemente asociada a sus trabajos sobre el sistema sexagesimal y en conexión con el método de Arquímedes. El método empleado por Arquímedes fue el mismo que había utilizado Antífone durante los tiempos de Sócrates, aplicado a los polígonos regulares inscritos y circunscritos. Antífone afirmaba que si se inscribe en un círculo un cuadrado y luego, doblando sucesivamente el número de lados se construyen los polígonos regulares inscritos de 8, 16, 32, ... lados (potencias de 2), se llega a un polígono que por la pequeñez de sus lados se aproxima al círculo. Para ello debió valerse del método de exhaución de Eudoxo, así como de la conocida fórmula de duplicación: a2 n  2 R 2  2 R R 2 

an2 , 4

donde an es el lado del n-ágono regular y R es el radio. Es natural que, para facilitar los cálculos, debe tomarse R = 1. A propósito, el método empleado por Arquímedes para la extracción de las raíces cuadradas no se conoce, ya que en sus trabajos sólo ofrece el resultado final. En esa época no se conocían las fracciones decimales, así que el método seguido por él aparenta ser el más natural. Por ser más simple, Arquímedes utilizó la cota inferior que produce 22/7, aunque la cota superior es más próxima. Varios siglos después la fracción 22/7 fue de uso corriente incluso llegando al contexto escolar contemporáneo, pero a lo largo de 16 siglos la historia apenas registró perfeccionamientos discretos de método de Arquímedes que dan una mejor aproximación de . También en el Oriente Antiguo los matemáticos utilizaron en sus cálculos muchas aproximaciones del número. En China, por ejemplo, en el primer libro de la obra «Chiu Chang Suan Shu» (Nueve Capítulos sobre las Artes Matemáticas,  250 a.C.) aparece   3 para las mediciones de campos, pero ya en el cuarto libro para cálculos más rigurosos toman   27/8. Entre los siglos I y V los científicos chinos encontraron muchas valores cercanos al valor exacto de . Así, en el año 75 Lin Sing encontró   3.1547; en el 125 Chisan Hen tomó π ≈ 10 ; en el 250 Wang Fu encontró   142/45  3,16; en el siglo III Liu Hui empezó a inscribir en un círculo un polígono de 192 lados y continuó hasta poder inscribir otro de 3072, así logró calcular   3,14159; mientras que en el año 450 Zu Chong Zhi (420-500 d.C.) ya conocía la fracción 355/113 que sería redescubierta un milenio después por Antonius (cf. Jami, 1988; Volkov, 1994).

Por su parte, los hindúes también obtuvieron algunas aproximaciones del número  (vid. Rajagopal y Vedamurti, 1952), entre ellas 3, 27/8, 243/80, 3 16 , etcétera. Por ejemplo, en la obra «Siddhanta Paulicha», escrita en el siglo IV, aparece el valor 3927/1250  3.1416. En Paliputra (ciudad del Alto Ganges) Aryabhata expresó a  de la siguiente manera en el año 21

476: “Sumad 4 a 100, multiplicadlo por 8 y sumad luego 62000. Esto es aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20000.” De modo que   62832/20000 = 3,1416. A mediados del siglo VII, estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula π como 10 , similar a Chisan Hen, medio milenio atrás. Mucho más tarde Nilakantha Somatsuvan encontró   104348/33215, aproximación exacta hasta la novena cifra. Ya este último matemático especulaba sobre el hecho de que  es inconmensurable. De acuerdo a varios autores, entre los matemáticos de estos tiempos el resultado más notable corresponde al persa Ghiyath al-Kashi, en el año 1424. Determinando el lado del 3·228-ágono regular él pudo calcular 17 cifras exactas del número , empleando la base numérica sexagesimal. También en los albores del siglo IX, Al-Khuwarizmi (Muhammad abn Musa al) en su «Hisab al yabr ua al muqabala» (Álgebra), señala que el hombre práctico usa 22/7 como valor de π, el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. Con la introducción de las cifras indoarábicas en los cálculos de la Europa del siglo XII, en su «Practica Geometriae», Fibonacci consigue mejorar la acotación de Arquímedes con la aproximación 3,1410 <  < 3,1427 y toma   3,141818. En el año 1585, el holandés Adrian Antonius redescubre para  el valor aproximado 355/113  3,1415929, con seis cifras decimales exactas. El resultado vio la luz solamente después de la muerte de Antonius, al ser publicado por su hijo Adrian Metzys en 1623, razón por la cual la fracción 355/113 se conoce como “número de Metzys”. Metzys comenta que su padre encontró ese valor hallando la media aritmética de los numeradores y denominadores de las fracciones 377/120 (ya conocida desde Herón) y 333/106, valores aproximados de  encontrados con el método de Arquímedes. En relación a esto, Beskin (1987) señala que, probablemente, el método utilizado por Antonius fue el de fracciones continuas, pues las primeras aproximaciones de  mediante fracciones congruentes son: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 102595/32657, …, aunque desestima cualquier posibilidad de que Arquímedes también lo hiciera. El método de las fracciones continuas revela el secreto matemático, pero no el histórico. Sin embargo, la posibilidad de emplear el método de fracciones continuas anuncia el preámbulo de una nueva etapa en el cálculo del número π, que se corresponde con el desarrollo del concepto de convergencia. También con el empleo del método arquimedeano, F. Viète consigue nueve cifras decimales exactas, para lo cual requirió de polígonos de 6·216 lados. De forma similar, en 1597 Adriano Romano obtiene 15 cifras decimales exactas con polígonos de 2 30 lados. Poco después, en 1609 y empleando un polígono de 2 62 lados, el alemán Ludolf van Ceulen calcula  con una aproximación de 34 cifras exactas que a solicitud suya fueron esculpidas sobre su tumba a manera de epitafio (perdida para la historia), en honor a ello los alemanes llaman a  “número ludofiano” (die Ludophsche Zahl).

3. La etapa del cálculo analítico 22

En el año 1593, Viète encontró nueve cifras decimales exactas de  tras considerar un 3·217ágono regular. Este matemático italiano no solo fue el primero en expresar su resultado en notación decimal, sino que encontró la primera expresión analítica del número π: 2 

1 11 1 2 2 2 2

1  1 1  1 1 , 2 2 2 2 2

lo cual marca un salto cualitativo en la historia del cálculo. No obstante a ello, algunos historiadores señalan que los orígenes del cálculo mediante expresiones infinitas convergentes tuvieron lugar en Kerala (India) en el siglo XV. Una vez desarrollado el Cálculo Infinitesimal por Newton y Leibniz, las estimaciones de  comenzaron a alcanzar una exactitud nunca antes vista. Por ejemplo, Leibniz y J. Gregory demostraron la igualdad:  1 1  1  1  4 3 5 7

La velocidad de convergencia de esta serie la convierte en poco práctica para el cálculo aproximado. Por ejemplo, si se desea calcular  con un error inferior a 0,001 es necesario efectuar la suma de los primeros 2000 términos. De forma similar, en 1655 J. Wallis obtuvo otra identidad que conduce al cálculo del número :   2  4  4  6  6  8  8  4 3  3  5  5  7  7  9 

Asimismo, tres años después, William Brouncker encontró la siguiente expresión en fracción continua: π = 4

1 12 1+ 32 2+ 52 2+ 72 2+ 2 +

y en 1717 Abraham Sharp calculó 72 decimales utilizando la siguiente serie de convergencia rápida: 

6  1 1 1  1  1  2  3   ; 3  3 3 3 5 3 7 

La lista de identidades es realmente larga (vid. Roy, 1990); dos de las más célebres son las siguientes: 1 1 1 π2 = 1 + 2 + 2 + 2 +  (Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1734); y 6 2 3 4

1 2 2 ∞ (4k )! (1103 + 26390k ) (Descubierta por Ramanujan en 1914, de convergencia = ∑ (k!) 4 396 4k π 9801 k = 0

exponencial). De manera sorprendente, en la fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x), al sustituir x =  se obtiene ei + 1 = 0, lo cual relaciona el número  con e, base de los logaritmos neperianos y también con otros números como 1, 0 e i, cuyo surgimiento marca momentos importantes en la historia de las matemáticas. También durante la etapa del cálculo analítico, en 1824, el alemán J. Dase obtuvo el valor de  con 200 cifras decimales. En 1850 Richter da 500 y en 1873 el inglés William Shanks encontró 707. Este último se valió de una fórmula deducida por Machin en 1706:  1 1 ,  4arctg  arctg 4 5 239

de donde resulta la siguiente expresión, a partir del desarrollo en series de Taylor 

 16  41 42 4  1 1   1       1     . 1 2 1 2 5  3  100 5  100 239 3  57121 5  57121   

Como un hecho notable, conviene señalar que basta efectuar la suma parcial 16  41 42 43  4 ,   1    1 2 5  3  100 5  100 7  1003  239

para obtener   3,14159. En el desarrollo de Leibniz y Gregory sería necesario utilizar los primeros 200000 términos, por tener menor velocidad de convergencia. Partiendo de los resultados de Shanks, De Morgan observó una rareza estadística, pues encontró que en los últimos 707 dígitos había una sospechosa carencia de sietes. Menciona esto en su «Budget of Paradoxes» de 1872 y la curiosidad permaneció hasta que, en 1945, D. F. Ferguson descubrió que Shanks había cometido un error en la posición 528, de modo que la cadena de dígitos subsiguientes era incorrecta. En la Tabla 1 se ilustran algunos de los cálculos más precisos realizados por matemáticos de diferentes culturas y momentos históricos, desde los tiempos de Arquímedes hasta el siglo XVII. Algunos cálculos precisos del número  en diferentes momentos históricos. Matemático

Año

Cultura

Precisión (cifras decimales)

Arquímedes

 250 a.C.

Griega

Ptolomeo

 150 a.C.

Greco-egipcia

Zu Chongzhi

 450

China

Aryabhata

 476

India

Al-Khuwarizmi

 800

Persa

Al-Kashi

1424

Persa

Viète

1593

Europea

Van Ceulen

1600

Europea

Tabla N.1. Según el historiador ruso K. Ribnikov (1991), “el móvil de semejantes cálculos no respondía al reclamo de exigencias prácticas sino al parecer, primero, a la tendencia vanidosa de mostrar su maestría en el cálculo y segundo, al esfuerzo ingenuo de «agarrar por los cuernos» el problema de la naturaleza aritmética de ”. Ciertamente, el problema de la irracionalidad y luego de la trascendencia de esta constante, cobra un grado todavía más agudo en especulaciones acerca de la distribución de las cifras en la expansión decimal. Con respecto a la naturaleza más intrínseca de , en 1761 J. H. Lambert demuestra su irracionalidad; aunque realmente lo que demostró es que si x ≠ 0 es un número racional, entonces tan(x) es irracional, y como tan(π/4) = 1, se concluye que π/4 no puede ser racional ya que en dicho caso 1 debería ser un irracional. También en relación al tema de la irracionalidad, en 1794 A. M. Legendre probó un resultado algo más fuerte: 2 también es irracional. Sólo en 1882 el alemán C. L. F. von Lindemann logra demostrar la trascendencia, es decir,  no es cero de ningún polinomio con coeficientes racionales. A partir del año 1946 comenzaron a aparecer muchas investigaciones acerca de la distribución de los dígitos de , y también surgieron problemas afines que aún no alcanzan a ser resueltos como determinar la naturaleza aritmética de +e, /e y ln() (vid. Bailey, 1988). A propósito, la historia recuerda que L. E. J. Brouwer, matemático holandés fundador del intuicionismo, solía “demostrar” la inconsistencia de los razonamientos basados en la abstracción del infinito actual mediante un ejemplo, relativo al desarrollo decimal del número . Él afirmaba que era imposible decidir si en dicho desarrollo aparecían diez novenas seguidas. Incluso todavía es un problema abierto el denominado “problema de Brouwer”: ¿existe alguna posición donde exista una sucesión de mil ceros consecutivos? Otro móvil para estudiar la expansión decimal de  consiste en analizar si realmente se trata de un número “normal”. Conforme a la definición de Borel, son normales en base 10 aquellos números donde cada uno de los diez dígitos tiene la misma probabilidad de aparición en la expansión decimal. A la par de tales problemáticas, sucesivamente se ha desarrollado el cálculo computacional cada vez más exacto del número , dando apertura a la etapa más reciente en el orden cronológico.

4. La etapa del cálculo computacional El empleo de las computadoras constituye un salto cualitativamente superior en el cálculo aproximado de . Ya más arriba se señaló la temprana corrección del cálculo de Shanks, para lo cual Ferguson se valió de la fórmula de W. Morris:  1 1 1 .  3  arctg  arctg  arctg 4 4 20 1985

Incluso dos años después L. B. Smith y J. W. Wrench (utilizando la fórmula de Machin) y el propio Ferguson prolongaron el cálculo de  hasta 808 decimales. Ya en 1949 se habían podido calcular 2000 posiciones de π. En esta y todas las siguientes expansiones por ordenador, la frecuencia de aparición de la cifra “7” no difiere significativamente de lo esperado, y efectivamente la secuencia de dígitos ha pasado hasta ahora todas las pruebas estadísticas de aleatoriedad, dejando de lado la aparente curiosidad estadística observada por De Morgan. También en el umbral de la era de la informática, G. W. Reitwiesner calculó en 1949 un total de 2037 cifras decimales utilizando un ordenador electrónico conocido como ENIAC, trabajando durante 70 horas. Con este resultado se confirmaron los anteriores. Ocho años más tarde F. Genuys y G. E. Felton llegaron a calcular de manera independiente más de 10000 cifras exactas de . Poco después los norteamericanos D. Shanks y J. Wrench, el 29 de julio de 1961, consiguieron calcular 100265 cifras decimales exactas. El cálculo demoró 8 horas y 43 minutos en una IBM 7090, sin considerar los 42 minutos que demoró el ordenador utilizado en convertir el resultado de binario a decimal. La fórmula utilizada fue: 1 1 1 ,   24  arctg  8  arctg  4  arctg 8 57 239

obtenida por C. Stormer en 1896. Al comparar el valor obtenido, con otro conseguido utilizando la identidad de Gauss:   48  arctg

1 1 1  32  arctg  20  arctg , 18 57 239

pudo experimentarse un resultado idéntico. En los años subsiguientes, conforme se desarrollaban las tecnologías de hardware, los cálculos se hacían cada vez más precisos y en menos tiempo. Algunos ejemplos ilustrativos se relacionan a continuación. De conjunto, puede observarse que la precisión del cálculo revela un desarrollo de carácter exponencial. En efecto: 1. David y Gregory Chudnovsky de la Universidad de Columbia impusieron un record tras calcular la cantidad de 1011196692 cifras, para ello se valieron de una computadora CRAY-2 y de una IBM 3090. El resultado no solo coincidió en ambos ordenadores, sino que, curiosamente, desde el lugar 762 hasta el 767 descubrieron nada menos que seis “9” consecutivos, vaticinando la posibilidad de un temprano contraejemplo a las 26

especulaciones de Brouwer. Actualmente el grupo de estas seis novenas seguidas del número  se denomina “punto de Feynman”. La denominación debe su origen a que en cierta ocasión el físico estadounidense Richard Feynman comentó lo siguiente: “Me gustaría memorizar todos los decimales de  hasta esa posición para terminar diciendo: …9, 9, 9, 9, 9, 9 y así sucesivamente”. 2. En diciembre de 2002 Yasumasa Kanada de la Universidad de Tokio calculó 1241100000000 dígitos en 602 horas, mediante un superordenador de 64 nodos Hitachi SR8000 con una memoria de un terabyte, capaz de llevar a cabo dos billones de operaciones por segundo. Ya estos resultados hacen uso de modificaciones de la fórmula de Machin, como la obtenida por K. Takano en 1982. 3. El 20 de mayo de 2013, Ed Karrels, de la Universidad de Santa Clara computó 26 cifras en base-16 (sistema hexadecimal), comenzando por la posición de un cuatrillón. Su resultado es: 8353CB3F7F0C9ACCFA9AA215F2. Para llevar a cabo semejante cálculo, programó un algoritmo sobre el sistema CUDA y se valió de un ordenador con cuatro gráficas NVIDIA GTX 690, otro con dos GTX 680 y 24 equipos más pertenecientes al centro de diseño de su alma máter. El proceso requirió de 35 días en completarse, sumados a 26 días más para comprobar que el resultado era correcto Por medios de algoritmos recientes, Karrels mejora sus cálculos sin comenzar por el principio de la expansión decimal, pues se apoya en la fórmula de Fabrice Bellard: 

1 26

(1) n  25 1 28 26 22 22 1   ,        10n   4 n  1 4 n  3 10 n  1 10 n  3 10 n  5 10 n  7 10 n  9 n0   

2

la cual es una variación de otra expresión similar descubierta por Bailey, Borwein y Plouffe en 1995 que hace posible calcular en el sistema hexadecimal unos pocos dígitos de π sin hallar todos los dígitos previos (algoritmo BBP). El record de Karrels no se hizo sentir en los medios por coincidir con la aparición del Galaxy S4, y es que de forma general el mejoramiento de las marcas establecidas sirve más para ponderar el desarrollo computacional que el atractivo matemático de explorar intrínsecamente las cifras de . Sirva de ejemplo el hecho de que un físico necesitaría únicamente 50 decimales de π para describir con precisión la curvatura del universo observable con la precisión de un protón. Gracias a los ordenadores, el número de cifras conocidas es un duro reto para la memoria humana. A propósito, si bien el primer campeón en recordar cifras decimales de  fue el japonés Hiroyoki Gotu, quien con solo 21 años llegó a memorizar 42195 dígitos, la proeza actual corresponde a su compatriota Akira Haraguchi, cuando el 3 de octubre de 2006 recitó 100000 dígitos de memoria, para lo que necesitó 16 horas y media. Para memorizar usó su técnica de rimar los números con palabras japonesas. No obstante, la marca reconocida en el «Guinnes Book of Records» es la del chino Lu Chao con 67890 dígitos en 24 horas y 4 minutos, con un error en el dígito 67891 donde dijo “0” en lugar de “5”. 27

La etapa del cálculo computacional no solo representa un estadio de desarrollo tecnológico, sino que también requiere del desarrollo de métodos matemáticos para el cálculo aproximado, así como el desarrollo de algoritmos eficientes. Incluso actualmente se emplean métodos provenientes de la teoría de probabilidades y estadística matemática, tal vez como inspiración renovada sobre las observaciones del matemático inglés Augustus De Morgan. Como ejemplo elemental, a partir de un experimento del naturalista francés Georges Louis Leclerc, Conde de Buffon, publicado en su «Essai d’Arithmétique Morale» en 1777, se pueden lograr valores aproximados de esta constante. La idea consiste en lanzar una aguja de longitud l repetidamente sobre una superficie plana en la que se han trazado rectas paralelas equidistantes, distanciadas entre sí en t unidades (t > l), y contabilizar los tiros y las veces en que la aguja corta o toca una de las paralelas. Si la aguja se lanza n veces y en x ocasiones cae cruzando una línea, entonces se puede aproximar π usando el método de Monte Carlo, lanzándola gran cantidad de veces hasta obtener π  2nl/xt. Aunque matemáticamente se trata de un razonamiento impecable, desde el punto de vista práctico el método no resulta viable. Por ejemplo, para superar la aproximación de Arquímedes se requerirían millones de lanzamientos. Además, el número de lanzamientos crece exponencialmente con el número de dígitos deseados, sin contar además que cualquier error en las mediciones incide significativamente. Como hecho notorio, en muchos libros suele rememorarse un experimento realizado en 1901 por el italiano M. Lazzarini, quien usando una varilla de longitud igual a 5/6 del ancho de las bandas (en cuyo caso la probabilidad teórica de corte es 5/3), obtuvo en 3408 lances la aproximación 355/113. ¡Nada menos que el número de Metzys Al respecto B. V. Gnedenko (1976), en su «The Theory of Probability» demuestra que la probabilidad de producir este resultado en semejante experimento es menor que 1/30, lo cual suscita serias dudas sobre su autenticidad.

CONCLUSIONES Esta ha sido una breve incursión en el largo camino del cálculo aproximado del número . Lo más significativo de este recorrido por la historia lo constituye la presencia visible de cuatro etapas fundamentales, aspecto que puede ser tomado en consideración durante los cursos de Historia de las Matemáticas, tanto en la formación de matemáticos como de profesores de esta ciencia. Quedan pendientes muchos aspectos interesantes que por motivo de espacio no es posible exponer en este trabajo, como el cálculo sobre otros sistemas numéricos (en binario  = 11,00100100001111110110… y en hexadecimal  = 3,243F6A8885A308D31319…), el estudio de construcciones geométricas que proporcionen valores de mayor exactitud (como los métodos de Kochanski y Mascheroni utilizando solo regla y compás), las relaciones con problemas de probabilidad (vid. Gridgeman, 1960), entre otros muchos. Todo ello es solo una muestra de la riqueza de ideas que giran en torno al cálculo del número . Esta constante constituye una proeza de la humanidad y su historia es un asunto de interés indeleble para las nuevas generaciones de matemáticos. 28

REFERENCIAS Bailey, D. H. (1988). Numerical results on the transcendence of constants involving π, e and Euler’s Constant. Math. Comput., Vol. 50, pp. 275-281. Baravalle, H. von (1952). The number . Mathematics Teacher, Vol. XLV, No. 5, pp. 479-487. Beckmann, P. (2007). Historia de Pi. Fondo Cultura Económica, México. Beskin, N. (1987). Fracciones maravillosas. Mir, Moscú. Gnedenko, B. V. (1976). The Theory of Probability. Mir, Moscú. Gridgeman, N. T. (1960). Geometric probability and the number π. Scripta Mathematika, Vol. 25, No. 3, pp. 183-195. Gupta, R. C. (1988). On the values of π from the Bible. Ganita Bharati, Vol. 10, No. 1-4, pp. 51-58. Jami, C. (1988). Une histoire chinoise du ‘nombre π’. Archive for History of Exact Sciences, Vol. 38, No. 1, pp. 39-50. Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity. Dover Publications, New York. Rajagopal, C. T.; Vedamurti, T. V. (1952). A Hindu approximation to pi. Scripta Mathematika, Vol. 18, pp. 25-30. Ribnikov, K. (1991). Historia de las Matemáticas. Mir, Moscú Roy, R. (1990). The discovery of the series formula for π by Leibniz, Gregory and Nilakantha. Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5, pp. 291-306. Trier, P. E. (1989). Pi revisited. Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, Vol. 25, No. 3-4, pp. 74-77. Volkov, A. (1994). Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi. Historia Scientiarum, Vol. 4, No. 2, pp. 139-157.

COMPETENCIAS EN TIC HACÍA DOCENTES PARA EL DISEÑO DE CONTENIDOS EDUCATIVOS EN FORMATO DIGITAL Martha Leticia García Rodríguez*, Alma Alicia Benítez Pérez**, Alicia López Betancourt*** *ESIME Zacatenco, CECyT 11, Instituto Politécnico Nacional, UJED, México. martha.garcia@gmail.com ** ESIME Zacatenco, CECyT 11, Instituto Politécnico Nacional, UJED, México. abenitez@ipn.mx *** ESIME Zacatenco, CECyT 11, Instituto Politécnico Nacional, UJED, México. abetalopez@gmail.com

RESUMEN En este documento se analizan las competencias docentes que un grupo de profesores ponen en práctica para el diseño de materiales educativos en formato digital, del tema de funciones vectoriales de variable real. Se asume la necesidad de reflexionar en el papel de las TIC como una vía innovadora que integrada con el currículo puede contribuir para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje. El trabajo de los profesores incluyó cuatro etapas: i) diseño; ii) producción de materiales; iii) aplicación del diseño y iv) evaluación. Los resultados hacen evidentes las competencias que se requieren en cada etapa para alcanzar los objetivos propuestos. Palabras clave: interactivos.

Competencias

docentes,

aprendizaje,

representaciones,

ejercicios

ABSTRACT This document analyses the teaching abilities that a group of teachers use for the designing of didactic material in digital format about vector functions of a real variable. It is needed to think about the role of the ICTs that integrated with the curricula can contribute in the improvement of the teaching-learning processes. The teachers’ work consisted of four stages: i) design; ii) producing materials; iii) design application and iv) assessment. The results show the abilities required in each stage to achieve the objectives. Keywords: Teaching abilities, learning, representations, interactive exercises.

RESUMO Este documento o ensino de habilidades para um grupo de professores para implementar o projeto de materiais didáticos em formato digital, a questão das funções vetoriais de uma 30

variável real são analisados. A necessidade de refletir sobre o papel das TIC como uma abordagem inovadora ao currículo integrado pode contribuir para melhorar os processos de ensino e aprendizagem é assumida. O trabalho dos professores incluiu quatro fases: i) concepção; ii) produção de materiais; iii) aplicação do design e iv) avaliação. Os resultados são evidentes as habilidades necessárias em cada fase para atingir os objectivos. Palavras chave: Habilidades de ensino, de aprendizagem, apresentações, exercícios interativos.

INTRODUCCIÓN La primera década del presente siglo se ha caracterizado por la gran cantidad de información que fluye a nuestro alrededor, Marqués (2000) señala que las sociedades actuales pueden ser consideradas como sistemas complejos en los que la información disponible a través de las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC), fluye a un ritmo que no es equiparable al ritmo de pensamiento y de comprensión de la naturaleza humana. La omnipresencia de los mass media y de las TIC ha permeado todos los ámbitos de la vida personal, actualmente la computadora e Internet se consideran herramientas imprescindibles en la mayoría de las actividades que se realizan. El surgimiento de Internet es considerado un parte aguas en el estilo de vida de las sociedades, debido a que brinda una nueva forma de acceder a la información y nuevas formas de trabajo, como labores de traducción a distancia, de programación de aplicaciones, de diseño de sitios web, de diseño gráfico, etc. En el sector educativo las TIC han generado la expectativa de que la información obtenida mediante ellas puede ser una fuente para la construcción de conocimiento, pero para que esto se lleve a cabo, los actores involucrados se tienen que preparar para el desafío. En este contexto Internet se ha convertido en una vía más de comunicación síncrona y asíncrona entre el profesor y el alumno, lo que ha motivado el desarrollo de diferentes investigaciones como la que se llevó a cabo en Argentina; que tuvo como objetivo fortalecer la educación a distancia en el espacio iberoamericano del conocimiento. Durante el proyecto se documentaron diferentes experiencias realizadas en Iberoamérica, como la efectuada en el Salvador para implementar un modelo flexible y propio de educación universitaria a distancia. Resultado de esta acción fue la identificación como una necesidad prioritaria la formación de cuadros de docentes para la elaboración de material didáctico adaptado para esta modalidad (Asociación Iberoamericana de Educación Superior y a Distancia, 2012). Rivera, Zamora y Soria (2010) también reportan los resultados de una investigación en la que se refieren a la necesidad de formar al profesorado para interactuar eficientemente con la tecnología digital. Para ellos la formación tiene que incluir el desarrollo y manejo de los contenidos en formato digital y la inclusión de enlaces web, que permitan a los estudiantes contar con una gran cantidad de información. En concomitancia con lo anterior la UNESCO ha establecido normas sobre competencias en TIC para docentes, en ellas se proponen directrices para la formación del profesorado, pues se reconoce que los docentes requieren 31

estar preparados para ofrecer a los estudiantes oportunidades de aprendizaje con el apoyo de las nuevas tecnologías. Lo anterior significa que deben saber primero cómo deben utilizar la tecnología y segundo, cómo esta puede contribuir para el aprendizaje de los estudiantes (UNESCO, 2008; García, 2014). Las ideas anteriores dieron origen a una investigación realizada en el Instituto Politécnico Nacional (IPN) con registro 20120702, una pregunta central de la investigación fue analizar ¿Qué competencias docentes se ponen en juego para diseñar, desarrollar e implementar contenidos educativos en formato digital para apoyar los cursos de matemáticas?

ELEMENTOS TEÓRICOS En el informe de la UNESCO (2008) que lleva como nombre Educación en y para la sociedad de la información se estipula que las TIC son motores del crecimiento de un país, e instrumentos para desarrollar las capacidades y la autonomía de las personas. En el informe se establecen tres enfoques que vinculan las políticas educativas con el desarrollo económico. Las normas sobre competencias en TIC para docentes, establecidas en el informe de la UNESCO (2008, p. 26), abarcan estos tres enfoques de cambio educativo: a) Enfoque de nociones básicas de tecnología. La formación de los docentes en este enfoque toma en cuenta la adquisición de nociones básicas de tecnología digital y la utilización de las TIC para la formación profesional. Establece también que los docentes tienen que poseer las competencias y conocimientos tecnológicos de los recursos web que son necesarios para utilizar la tecnología con fines educativos, y adquirir los conocimientos complementarios sobre las disciplinas y la pedagogía que contribuyan a su propio perfeccionamiento profesional. b) Enfoque de profundización del conocimiento. En este enfoque la formación profesional de los docentes se orienta a la utilización de las TIC para guiar a los estudiantes a través de problemas complejos, y para efectuar la gestión de entornos de aprendizaje dinámicos. Los docentes tienen que poseer las competencias y los conocimientos necesarios para crear proyectos complejos y vigilar su gestión, para colaborar con otros docentes y para utilizar redes con el fin de acceder a la información, comunicarse con sus colegas y con expertos externos para enriquecer su propia formación profesional. c) Enfoque de creación de conocimiento. En este enfoque los docentes se consideran educandos expertos y productores de conocimientos, permanentemente dedicados a la experimentación e innovación pedagógicas, para producir nuevos conocimientos sobre las prácticas de enseñanza y aprendizaje. Los docentes deben tener la capacidad necesaria y mostrar la inclinación adecuada para experimentar, aprender continuamente y utilizar las TIC para crear comunidades profesionales del conocimiento. Las competencias docentes en TIC también se ponen en práctica en la modalidad de educación a distancia. En esta modalidad la intervención del docente no es directa, incorpora los recursos tecnológicos que permitan la comunicación con el estudiante. El docente habrá 32

de motivar y potenciar el aprendizaje autónomo poniendo en juego sus competencias docentes en TIC. En esta labor intervienen equipos de expertos con distintas funciones: en los contenidos de la disciplina; en la producción de los materiales; para guiar el aprendizaje y tutores para motivar el aprendizaje y resolver dudas; de las anteriores, las funciones que desempeñe el docente dependerán del tamaño y recursos de la institución y del número de alumnos (García 1994).

METODOLOGÍA La metodología utilizada en la investigación que aquí se reporta es de tipo cualitativo, y consistió en analizar el trabajo realizado por un grupo de tres profesores que imparten clases en una carrera de ingeniería del IPN y que elaboraron contenidos en formato digital como apoyo para un curso de Cálculo Vectorial. El trabajo de los profesores se llevó a cabo en cuatro etapas: i) diseño de las actividades; ii) producción de materiales; iii) aplicación del diseño y iv) evaluación. Los instrumentos utilizados para la recolección de datos fueron: reportes escritos, grabaciones en audio y reportes elaborados por el profesor-investigador. Los materiales que se incluyen en este documento se relacionan con el tema funciones vectoriales de variable real. Los conceptos implícitos en las actividades son: dominio de una función vectorial de variable real, representación gráfica de una función vectorial y ecuaciones paramétricas de una curva en el plano o en el espacio. Etapa de diseño de las actividades Para orientar el trabajo de los estudiantes al estudio de las funciones vectoriales los profesores utilizaron diferentes representaciones: verbal, algebraica y gráfica, lo que de acuerdo con Parnafes y DiSsesa (2004) contribuye para que los estudiantes tengan acceso a información específica de cada representación, lo que favorece su reflexión del contenido matemático subyacente, en este caso de dominio y parametrización de una función vectorial. También se reflexionó en la conveniencia de utilizar software libre que fuera compatible con la plataforma institucional (MOODLE), por lo que los ejercicios interactivos fueron elaborados con el software Hot Potatoes que crea páginas HTML que se pueden visualizar y utilizar desde cualquier navegador. Etapa de producción de los materiales En la Tabla 1 se presentan las características de dos de las actividades que fueron diseñadas, se incluye un enunciado en cada actividad, tres gráficas y una ecuación que representa cada gráfica.

Instrucciones

Representación gráfica

Un balón de futbol americano describe una trayectoria que es posible representar mediante una ecuación. De las siguientes opciones selecciona la que consideres más adecuada.

Ecuación

Observaciones

Incluida con la Esta actividad tuvo gráfica como objetivo conectar los conocimientos previos de los estudiantes, de geometría analítica, con la representación gráfica y simbólica que modela la situación. Una vez que los estudiantes identificaran que la y  k  4 p( x  h) 2 es opción correcta, es posible proponer como una parametrización: xt y  4 p(t  h) 2  k

Relaciona la función vectorial con su representación gráfica y con el dominio que corresponda en cada caso.

r (t )  cos t i  sent j  t k

Esta actividad tuvo como objetivo que los estudiantes relacionaran que si la función vectorial tiene tres componentes, la curva se encuentra en el espacio. La punta de flecha en cada gráfica indica el sentido de recorrido. El dominio de la función está relacionado con el sentido de recorrido.

Tabla N. 1. Fuente: Elaboración propia

Etapa de aplicación del diseño y evaluación de las actividades Como se mencionó los materiales fueron implementados en la plataforma MOODLE y 28 estudiantes se inscribieron al curso. En la etapa de evaluación, los profesores dieron seguimiento al trabajo de cada estudiante haciendo uso de las herramientas que brinda la plataforma. Fue posible analizar el trabajo de los estudiantes en cada actividad, se identificaron el número de intentos realizados, el tiempo por actividad, y la puntuación obtenida como se observa en la Figura 1.

Figura 1. Evaluación del estudiante A. Fuente: Autor

Otro recurso utilizado y que es proporcionado por MOODLE es un tabla generada en Excel con las calificaciones de cada estudiante en las actividades (Figura 2).

Figura 2. Calificaciones de los 28 estudiantes en las actividades diseñadas. Fuente: Autor

RESULTADOS Y DISCUSIÓN Durante la etapa de diseño e implementación de los materiales, se identificó que los profesores que intervinieron en esta investigación pusieron en práctica ocho competencias docentes en TIC de todas las establecidas en el informe de la UNESCO (2008). Las 35

competencias identificadas se presentan en la Tabla 2 y se agrupan en tres bloques, un bloque para cada enfoque establecido en el informe UNESCO (2008): tres competencias corresponden al enfoque de nociones básicas de tecnología; tres al de profundización del conocimiento y dos al de creación del conocimiento.

Competencias

Competencia 1

Competencia 2

Competencia 3

Competencia 4

Definición de la Indicador Competencia Enfoque de nociones básicas de tecnología Describe la finalidad Los profesores examinaron diferentes y las funciones software para graficar y seleccionaron el básicas de un que fuera más amigable, incluyera en la software para crear gráfica la información que fuera una gráfica de apoyo. necesaria en cada actividad y tuviera licencia institucional. Utiliza un software Los profesores examinaron la finalidad y para el registro, las ventajas de utilizar los recursos de control de asistencia MOODLE, la forma de utilizar un sistema y registro de notas de este tipo, orientaron a los obtenidas por los participantes para que introdujeran sus estudiantes. datos para generar su registro y sus notas durante el desarrollo de las actividades, como se mostró en las Figuras 1y 2. Utiliza las tecnologías Los profesores examinaron la finalidad y de comunicación y las ventajas que brindan las tecnologías colaboración para de comunicación y colaboración, como el transmisión de textos sistema de gestión de cursos MOODLE, y colaboración para lograr que los participantes lo basada en el uso de utilicen para crear comunidades de Internet. aprendizaje en línea. Enfoque de profundización del conocimiento Define los conceptos Los profesores analizaron la forma de y procesos que son relacionar los conocimientos previos de claves para el los estudiantes, con el tema de funciones desarrollo de los vectoriales. contenidos. Describe Utilizan lo expresado por Parnafes y la función y finalidad DiSsesa (2004), la relación de la de las actividades, el representación gráfica de la función apoyo de la vectorial con la representación simbólica visualización, y la de la misma, favorece la reflexión de los 36

Competencia 5

Competencia 6

Competencia 7

Competencia 8

manera en que estos elementos contribuyen al entendimiento de los conceptos. Elabora material en línea que contribuya a una profundización y comprensión de los conceptos matemáticos, así como a su aplicación a la solución de problemas. Recurre a un marco o instrumentos que ayudan a elaborar materiales en línea.

estudiantes y con esto, la comprensión del concepto de función vectorial.

Los profesores diseñaron actividades como las que se muestran en la Tabla 1 en el software interactivo Hot Potatoes, para apoyar el aprendizaje de los estudiantes del tema de funciones vectoriales de variable real.

Los profesores realizaron una planeación de las etapas para el diseño y desarrollo de las actividades: i) diseño de las actividades; ii) producción de materiales; iii) aplicación del diseño y iv) evaluación. Enfoque de creación de conocimientos Desempeña un papel El director del proyecto recibió dirigente para apoyar preparación en el manejo de un sistema las innovaciones en de gestión con MOODLE, designó roles su escuela y al a los demás profesores y promovió el aprendizaje intercambio de planes de acción y de permanente entre sus integración en el que los participantes, colegas. evaluaron los progresos realizados y encontraron solución a los problemas. Utiliza recursos de Los profesores participantes en el las TIC para proyecto establecieron comunicación participar en mediante un software que permite comunidades de comunicaciones de texto, voz y vídeo profesionales con el sobre Internet (VoIP). Almacenaron e propósito de intercambiaron información en examinar y un servicio de alojamiento de aprovechar las archivos multiplataforma en la nube. prácticas didácticas Utilizaron el sistema de gestión más idóneas. MOODLE adoptado por su institución de adscripción.

Tabla N. 2. Fuente: Elaboración propia 37

En relación con las competencias uno, dos y tres, los profesores que participaron en la investigación ya contaban con experiencia en el manejo de software de graficación. El profesor responsable del proyecto recibió preparación para manejar el sistema de gestión de cursos MOODLE y orientó la preparación de los demás participantes en el proyecto para utilizar MOODLE. En relación con las competencias cuatro, cinco y seis, es importante reconocer que los profesores contaban con experiencia en la impartición del curso de cálculo vectorial y en otros cursos que forman los antecedentes académicos de los estudiantes. Sin duda el conocer los contenidos de un programa es un requisito indispensable para los profesores que participan en el diseño de materiales en formato digital. Este elemento se reflejó en la relación de las actividades diseñadas con las experiencias previas de los estudiantes. En relación con las competencias siete y ocho los profesores participantes buscaron entres diferentes recursos TIC, aquellos que facilitaran su comunicación, el almacenar y compartir información y la elaboración de material interactivo que permitiera a los estudiantes su autoevaluación.

CONCLUSIONES En el diseño de los materiales los profesores pusieron en juegos 8 competencias los elementos que se consideran centrales son: La reflexión que los profesores llevaron a cabo sobre la enseñanza y los procesos de construcción del conocimiento matemático, que los llevó a adoptar una teoría del aprendizaje, en este caso el uso de diferentes representaciones en las actividades diseñadas. La necesidad de contar con nuevos conocimientos y experiencias que puedan ser traducidos en estrategias de enseñanza y de aprendizaje, como las actividades interactivas diseñadas y su implementación en la plataforma MOODLE. El intercambio de conocimientos entre los docentes coadyuva a la conformación y mejoramiento de su comunidad académica, la discusión del tema de funciones vectoriales entre los profesores, fue el punto de partida para el diseño de los contenidos educativos. El diseño e implementación de los materiales promueve que los profesores se mantengan actualizados en el uso de las TIC, en la búsqueda de software y de nuevos ambientes de aprendizaje mediados por las TIC.

REFERENCIAS

Asociación Iberoamericana de Educación Superior y a Distancia. (2012). Buenas prácticas en educación a distancia. Experiencias significativas en Iberoamérica. Recuperado en 13 de enero de 2013 de: http://portal.uned.es/pls/portal/docs/PAGE/AIESAD/LIBRO_BUENAS%20_PR%C3%81CTICA S_EN%20_EDUCACI%C3%93N_A_%20DISTANCIA_REDUCIDO.PDF García, M. (2014). El papel de las tecnologías informáticas en el desarrollo de competencias matemáticas. [En prensa] Parnafes, O. & DiSessa, A. (2004). Relations between patterns of reasoning and computational representations, International Journal of Computers for the Mathematics Learning: 9, 251-280. García, L. (1994). Educación a distancia hoy. Universidad Nacional de Educación a distancia, España. Instituto Canario de Evaluación y Calidad Educativa. (2004). Competencias básicas en las tecnologías de la información y la comunicación (TIC). Evaluación e Investigación Educativa Editores, España. Marquès, P. (2000). La cultura de la sociedad de la información. Aportaciones de las TIC. Recuperado el 21 de mayo de 2011 de: http://peremarques.pangea.org/si.htm Hot Potatoes Versión 6. Recuperado el 10 de octubre de 2010 de http://hotpot.uvic.ca/ Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura, Normas sobre competencias en TIC para docentes. (2008). Normas UNESCO sobre Competencias en TIC para Docentes. Recuperado el 11 de noviembre de 2011 de: http://www.portaleducativo.hn/pdf/Normas_UNESCO_sobre_Competencias_en _TIC_para_Docentes.pdf Rivera, E., Zamora, R. & Soria, M. (2010). Sistema de Educación a Distancia. Revista Iberoamericana de Tecnología en Educación y Educación en Tecnología, Recuperado el 17 de julio de 2012 de: http://teyet-revista.info.unlp.edu.ar/numero-5.htm

EL APRENDIZAJE DE LOS CONCEPTOS DE ADICIÓN, SUSTRACCIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS EN ESTUDIANTES CON LIMITACIÓN AUDITIVA

Sandra Lucía Romero Pulido*, Liliana Patricia Ospina Marulanda** *Licenciada en matemáticas y computación, Especialista en Gerencia Educativa. Estudiante de Maestría en ciencias de la Educación. Universidad del Quindío, Colombia. sandra33816@hotmail.com ** Licenciada en Matemáticas y computación, Magister en Educación Docente Universidad del Quindío, Colombia. lpospina@uniquindio.edu.co , maestriaeneducacion@uniquindio.edu.co RESUMEN Este trabajo es una investigación en curso que tiene como objetivo facilitar la comprensión de los conceptos de adición, sustracción y multiplicación de polinomios en estudiantes con limitación auditiva de la Institución Educativa CASD Hermógenes Maza de la ciudad de Armenia, por medio de la implementación de secuencias didácticas en las que se busca privilegiar el uso de recursos manipulativos y de las diferentes formas de representación de los conceptos (visual-geométrica, lingüística-verbal y simbólica); para ello se utiliza la metodología de ingeniería didáctica, analizando el nivel de comprensión alcanzado por los estudiantes en la construcción de los conceptos y el papel que juegan las representaciones y los elementos del álgebra geométrica como facilitadores y mediadores del aprendizaje en los estudiantes. Palabras clave: Limitación auditiva, necesidades educativas especiales, representaciones, situaciones didácticas.

ABSTRACT The objective of this ongoing research is to facilitate the understanding of the concepts of addition, substation and multiplication of polynomials in deaf students from CASD Hermógenes Maza School in Armenia City. It is being carried out by the implementation of didactic sequences privileging the use of manipulative resources and different forms of concept's representation (visual-geometrical, verbal-linguistic and symbolic.) Therefore, it is necessary to implement the didactic engineering methodology in order to analyze the level of understanding achieved by students in the construction of concepts and the role of representations and elements of geometric-algebra as facilitators and mediators of deaf students learning. 40

Keywords: hearing impairment, special needs, representations, didactic situations. RESUMO Este trabalho é uma pesquisa em movimento e o seu objetivo é facilitar a compreensão dos conceitos de adição, subtração, e multiplicação de polinômios em estudantes com limitação auditiva da Instituição Educativa CASD Hermógenes Maza em Armenia, implementando sequências didáticas que privilegiem o uso de recursos manipulativos e das distintas formas de representação dos conceitos (visual-geométrico, linguístico-verbal e simbólico). Portanto utiliza-se a metodologia da engenharia didática analisando o nível de compreensão obtido pelos estudantes na construção dos conceitos e a importância das representações e os elementos da álgebra-geométrica como facilitadora e intermediária da aprendizagem nos estudantes surdos. Palavras chave: limitação aditiva, necessidades educativas especiais, representações, situações didáticas.

INTRODUCCIÓN Las políticas estatales del Ministerio de Educación Nacional han definido lineamientos para la atención educativa a poblaciones vulnerables1, aquellas que por sus diferencias socioculturales, económicas y/o biológicas han permanecido fuera del sistema educativo, con el propósito de establecer estrategias que permitan ofrecerles la oportunidad de vincularse a un servicio educativo de calidad. De igual forma los planteamientos modernos en educación hacen énfasis en la importancia de reflexionar acerca de la diversidad, la integración de los grupos minoritarios y el respeto por las diferencias. A pesar de las políticas de inclusión del MEN a través del plan sectorial de educación (2002-2006), del decreto 366 de 2009, por medio del cual se reglamenta el servicio de apoyo pedagógico para la atención de estudiantes con discapacidad y con capacidad o talentos excepcionales en el marco de la educación inclusiva, cabe reflexionar que no se trata únicamente de abrir las aulas regulares a dichas poblaciones, hay otros aspectos que cuestionar, por ejemplo: ¿Cómo son los aprendizajes de los estudiantes con discapacidad que se incluyen en las aulas?, ¿Cuáles son los índices de deserción escolar de dichas poblaciones? ¿Cuáles son las adaptaciones curriculares que se han abordado en las instituciones comunes?, ¿Cuáles son los niveles de desempeño académico de los estudiantes con discapacidad?, ¿Cuáles son las estrategias didácticas apropiadas para los procesos de enseñanza-aprendizaje? Esta realidad exige del maestro una mirada de apertura frente a la diversidad de los estudiantes que llegan a las aulas, entre ellos los de NNE (necesidades educativas especiales). Específicamente en el contexto colombiano 1

Documento del Ministerio de Educación Nacional. Bogotá, Colombia. Julio de 2005.

www.mineducacion.gov.co

investigaciones recientes muestran la poca existencia de proyectos donde se involucren las necesidades de aprendizaje de los estudiantes sordos, así como la falta de medición del impacto que ha tenido la inclusión de éstos en las aulas de nuestras Instituciones. Guilombo y Hernández (2011).

En el ámbito educativo el fracaso de los estudiantes sordos es generalizado en gran parte del mundo y reconocido por las comunidades educativas, los grupos minoritarios como la población sorda muestran niveles bajos de aprendizaje debido a influencia que tienen las condiciones lingüísticas del contexto pedagógico. Larrubia y González (2006) encuentran que los problemas y situaciones donde el lenguaje implicado no juega un papel preponderante y que están complementadas con gráficas y /o descripciones no verbales favorecen la comprensión del alumnado sordo, de igual forma en investigaciones internacionales encuentran que los niños sordos no llegan a alcanzar niveles de lectura competentes, debido a las dificultades de tipo lingüístico situación que no es ajena a los estudiantes sordos que ingresan a la Institución Educativa CASD.

Durante los últimos 50 años, el aprendizaje del álgebra en oyentes ha sido objeto de múltiples investigaciones. Según Palarea (1999) el aprendizaje de ésta genera en los estudiantes dificultades de diferente naturaleza que tienen que ver con la complejidad misma de los objetos del álgebra; en el caso de los estudiantes sordos, el problema se hace mayor, las representaciones simbólicas propias del lenguaje algebraico sumadas a las de la lengua castellana implican un doble obstáculo. Para el alumnado sordo el puente de comunicación didáctica en el aula es mediado en su mayor parte por la lengua castellana, y si a esto se suma la simbología propia del álgebra, el proceso termina convirtiéndose en una recopilación más de símbolos, en muchos casos ausentes de significado y por lo tanto de comprensión. La enseñanza del álgebra en la mayoría de los casos se ha caracterizado por ser un proceso donde se involucran variables y símbolos causando poca comprensión y desmotivación en los estudiantes, en el caso de los estudiantes sordos, la asimilación de los nuevos conceptos propios del álgebra no está siendo significativa, los símbolos que representan los conceptos algebraicos, deben pasar primero a su lengua de señas para que sean asimilados, pero en el camino, terminan siendo simplemente algunas señas más que se introducen a su léxico; para que estas nuevas señas tomen su significado como conceptos, es necesario diseñar y aplicar secuencias didácticas donde el uso de diversas formas de representación (lingüística-verbal, visual-geométrica, simbólica) ayuden a que éstos nuevos conceptos adquieran significados profundos; Para León, Calderón y Orjuela (2009) uno de los retos para la didáctica de las matemáticas orientadas a poblaciones sordas se la existencia mínimo de tres sistemas semióticos de representación y articulación de los mismos en la práctica matemática; la ausencia de los instrumentos estructurados

matemáticamente incide en la poca presencia de procesos de representaciones numéricas y de reglas para su uso en la comunicación.

exploración

La necesidad de promover la creatividad en las prácticas pedagógicas reconociendo las condiciones y circunstancias de vida de cada estudiante, la identificación de las necesidades de la inclusión en los procesos educativos y sociales, son parte del papel del docente, por esto sus propuestas pedagógicas para la atención a la diversidad juegan un papel significativo en la educación; la presente propuesta de investigación aporta elementos didácticos, epistemológicos y sociales que son fundamentales para continuar o iniciar procesos de investigación en educación con la población sorda, con lo que se espera que haya mayor motivación hacia el aprendizaje , disminuir la deserción escolar, y lograr procesos educativos de calidad que se evidencien en más oportunidades sociales, políticas y laborales.

METODOLOGÍA El marco conceptual de la presente investigación es la teoría de situaciones didácticas de Brosseau (1986), teoría que se sustenta en una concepción constructivista del aprendizaje, al interior de ésta se consideraron los siguientes elementos propios de la teoría: situaciones de acción, formulación, validación e institucionalización, así como situaciones a-didácticas, variables didácticas, devolución, transposición didáctica y el contrato didáctico; además el marco se complementa con elementos teóricos como: características del pensamiento variacional, el aprendizaje del álgebra, errores y obstáculos en el aprendizaje, y las matemáticas y su aprendizaje en personas con deficiencia auditiva.

En el marco de teoría de situaciones didácticas propuesto por Brosseau, el conocimiento matemático incluye no sólo conceptos, sino también esquemas de representación simbólica, no sólo procesos de desarrollo, sino, también validaciones de nuevas ideas matemáticas, de acuerdo a lo anterior, se definen los diferentes tipos de situaciones didácticas (acción, formulación, validación, e institucionalización), D’amore (2006). En esta investigación se realizó el diseño y análisis de secuencias didácticas para la enseñanza y aprendizaje de los conceptos de adición, sustracción y multiplicación de polinomios en estudiantes sordos, en donde se especifican los momentos de acción, formulación y validación; teniendo en cuenta además que Márquez (2011, Pg.: 52) propone la teoría de situaciones como elemento didáctico que favorece y potencializa los procesos de enseñanza en los estudiantes sordos.

El enfoque metodológico es la ingeniería didáctica que consiste en un diseño experimental basado en la planeación, análisis, concepción y ejecución de secuencias didácticas; y se enfoca en un estudio de caso aplicado a dos estudiantes sordos de la Institución CASD de Armenia. En el transcurso de la investigación se han llevado a cabo las fases I, II y III de la ingeniería, descritas por Artigue (1995, pg.: 38-48):

Fase 1: Análisis preliminar En esta fase se indaga sobre las características asociadas a las dimensiones epistemológicas (propias del saber), cognitiva (de las capacidades diferentes de los estudiantes) y didáctica (el funcionamiento de los sistemas de enseñanza en cuanto al concepto); logrando así un reconocimiento de los actores principales al interior del sistema didáctico: saber-alumno-profesor. Fase 2: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería Para Artigue (1995, p: 45), este análisis comprende una parte descriptiva y una predictiva (generación de posibles hipótesis) y se centra en las características de una situación adidáctica que se ha querido diseñar y que se llevará a los alumnos, en este trabajo ya se realizaron los análisis a priori de la sesiones y de las situaciones a-didácticas y didácticas y el análisis a priori de la dimensión cognitiva. En el análisis a priori de las etapas, se pretende estimar aspectos que pueden intervenir en la aplicación de la situación, para lo cual se analizaron los siguientes aspectos: propósitos, vocabulario de señas involucrado (aquí se ha visto la necesidad de crear algunas señas que no existen en el diccionario pedagógico de LSC), metodología, recursos y materiales, acciones esperadas por los estudiantes, dificultades, obstáculos y errores. Fase 3: De experimentación En esta fase se lleva a cabo toda la experimentación de las secuencias a-didácticas y didácticas: explicación de los objetivos de la investigación a estudiantes, establecimiento del contrato didáctico, se aplican los instrumentos de investigación (test para el análisis preliminar y situaciones didácticas de acción, formulación, y validación,), se recogen los datos (observaciones, producciones de los estudiantes, cuestionarios, entrevistas, videograbaciones), se registra la información obtenida, y se realizarán las conclusiones necesarias. Fase 4: De análisis a posteriori y evaluación Después de la experimentación, las observaciones que se hagan de la aplicación de las secuencias didácticas y de las producciones de los estudiantes, cuestionarios, entrevistas, videograbaciones, entre otros, y se realizan las conclusiones necesarias partiendo de la confrontación entre los análisis a priori y a posteriori. 44

RESULTADOS Esta investigación se encuentra en la fase III, se describen a continuación algunos de los aspectos más importantes de cada fase: Fase I 



Análisis de la dimensión histórico-epistemológica de la evolución de los conceptos del álgebra: La historia y la evolución de los conceptos ha mostrado que los procesos de transición de un lenguaje natural a una representación simbólica necesitaron de tiempo, una primera ruptura epistemológica se refleja en el lento proceso de la transición de la aritmética al álgebra, hecho que permite predecir de alguna manera los obstáculos que se pueden dar en el aprendizaje actual del álgebra, ya que el afán de cumplir los currículos, hace que este proceso de transición no se tome el tiempo necesario; además se observa que el uso de formas de representación (verbal, gráfica y simbólica) constituyen un paso obligado, por lo que se considera que debe ser incluido en el trabajo con expresiones algebraicas en la escuela. Análisis de la dimensión cognitiva: ¿cómo aprenden las matemáticas los estudiantes sordos? , ¿Cómo éstos adquieren los conceptos? , ¿Cuáles son las deficiencias u obstáculos que se pueden presentar al adquirirlos?, estas y entre otras cuestiones hacen parte de la reflexión que se hace en esta parte del análisis preliminar; para García y Ávila (1996) en el caso de los deficientes auditivos el área lógico matemática al encontrarse profundamente interrelacionada e interactuar con otras áreas del conocimiento, debe verse afectada por la influencia del lenguaje (que a su vez es fundamental en la adquisición de los conceptos), de esta forma las actividades donde la influencia de la segunda lengua (L. Castellana) es menor y se potencian los recursos de tipo visual (representaciones gráficas), pueden contribuir a mejorar la comprensión de los conceptos y la construcción de sus significados.

En una situación a-didáctica realizada en el análisis preliminar, los estudiantes sordos realizaron operaciones algebraicas propuestas desde distintas formas de representación, se puede evidenciar que hubo más facilidad para la comprensión de los conceptos cuando se usan recursos de tipo visual:

Figura 1: Operaciones Algebraicas. Fuente: Autor 

Análisis de la dimensión didáctica: se han evaluado algunas herramientas importantes dentro del sistema de enseñanza, primero desde el punto de vista de los maestros sobre la enseñanza de los conceptos con estudiantes sordos y oyentes y segundo desde los modelos de enseñanza que implícitamente proponen los textos escolares más utilizados en el país en los últimos 10 años.

Los análisis anteriores, han permitido formular algunas categorías en cuanto al contenido y habilidades algebraicas y a la importancia de relacionar los conceptos desde las formas de representación visual-geométrica (FRVG), verbal-lingüística (FRVL) y simbólica (FRS), que permitirán analizar y valorar el nivel de comprensión de los conceptos: Categoría I: Identifica los polinomios y hace relaciones entre las diferentes formas de representarlos: visual-geométrica, simbólica y verbal-lingüística. Categoría II: Reconoce e identifica los polinomios y los relaciona con objetos geométricos y como número generalizado en contextos de área y perímetro. Categoría III: Aplica las propiedades de las operaciones en contextos aditivos y multiplicativos con polinomios algebraicos. Categoría IV: Realiza operaciones aditivas y multiplicativas entre polinomios relacionando las diferentes formas de representación: FRVG, FRVL y FRS. Categoría V: Utiliza su lengua materna (LSC) para justificar la relación que existe entre los conceptos desde sus diferentes formas de representación. Categoría VI: Resuelve problemas de aplicación con polinomios algebraicos que involucran los conceptos de área y perímetro. Fase II 

Análisis a priori: En el análisis a priori se aplicaron situaciones a-didácticas con el propósito de establecer el nivel de comprensión de los estudiantes de acuerdo a las VI categorías de análisis que surgieron de los análisis preliminares, los resultados obtenidos han permitido determinar que presentan inestabilidad en conceptos previos como área y perímetro; adición; sustracción, y multiplicación de números enteros. Los errores más frecuentes que cometen los estudiantes sordos en las operaciones iniciales del álgebra son de características similares a los que cometen los oyentes, clasificados en trabajos de autores como Palarea y socas (1994), sin embargo, se observa que la condición sorda limita la compresión de enunciados verbales y escritos, lo que impide la realización de algunas tareas, esto debido a la influencia 46

que tienen los procesos comunicativos y el dominio de la lengua en el aprendizaje de las matemáticas, lo que hace pensar en el diseño de secuencias de enseñanza donde se creen vínculos de lenguaje entre los objetos matemáticos, su simbología formal, su representación visual, en LSC y en lengua escrita.

Fase III 

Experimentación: En la experimentación se puso en marcha la aplicación de las situaciones didácticas de acción, formulación y validación que permitieron conocer las concepciones y obstáculos que éstos presentan y algunas alternativas de solución; identificar los procesos cognitivos que pueden utilizar los estudiantes ante la solución de situaciones problema y el papel que juegan los recursos didácticos implementados en cada secuencia, para esto se realizaron videograbaciones y entrevistas mediadas por un intérprete idóneo de LSC. En cuanto a la construcción del significado de los conceptos, se logró que los estudiantes identificaran los polinomios, los relacionaran con diferentes formas de representación: visual-geométrica, simbólica y verballingüística y realizaran operaciones aditivas y multiplicativas entre polinomios; además se realizó el análisis de los argumentos utilizados en LSC para justificar la relación que existe entre los conceptos desde sus diferentes formas de representación.

Figura 2: Situación didáctica de formulación. Fuente: Autor

CONCLUSIONES 47

El diseño de una ingeniería didáctica para el aprendizaje de los conceptos de adición, sustracción y multiplicación de polinomios teniendo en cuenta las características del alumnado sordo, constituye un aporte importante para la enseñanza y el aprendizaje en dicha población; ya que ha permitido evaluar el nivel de comprensión alcanzado en algunos conceptos básicos del álgebra por medio se situaciones de acción, donde se implementaron recursos de tipo concreto: manipulativos y visuales; formulación que posibilitaron observar la relación que establecen entre las representaciones de los objetos matemáticos (lingüísticaverbal, simbólica y visual-geométrica) y de validación, éstas últimas permitieron realizar una confrontación entre los análisis a priori y a posteriori. Algunas conclusiones parciales obtenidas de la investigación se describen en los siguientes tópicos:



La dificultad en la comprensión de enunciados y en la justificación de procesos y procedimientos

La traducción lingüística de los Enunciados, al igual que la construcción de argumentos y justificaciones, están altamente influenciadas por las construcciones de tipo lingüístico, por lo que se observa que la LSC (lengua de señas Colombiana), no cuenta con una estructura tal que posibilite la traducción idónea de un enunciado al igual que la construcción formal de un argumento o justificación, para Larrubia y González (2006), la sordera influye en el aprendizaje de las matemáticas, pero que dicha influencia se puede dar a causa del lenguaje que esta condición utiliza, pues la mayoría de errores cometidos por los estudiantes sordos se remiten a tareas con problemas que requerían de la traducción lingüística hacia las operaciones, al igual que ocurre con los oyentes. 

Influencia de las representaciones de tipo visual

Las implicaciones de tipo didáctico que sugieren algunos autores como Avila, P; García, M; (1996). Larrubia, J; González, J. (2006), Márquez, Héctor A. (2011) y Soto et-tal (2009) para el trabajo con estudiantes con discapacidad auditiva son entre las más importantes :potenciar actividades en las que las representaciones visuales puedan ser imprescindibles, explicar el conocimiento matemático de muchos términos dentro de contextos enfatizando en lo real y lo abstracto, interrelacionar las diferentes ramas privilegiando aquellas temáticas que puedan soportarse dentro de los contenidos geométricos, insistir en la utilización de recursos didácticos y materiales de apoyo que permitan la comprensión de las explicaciones elaboradas en clase; en cuanto al álgebra, es el paso fundamental hacia la consolidación del lenguaje matemático que permite acudir a la instancia formal, las diferentes significaciones de las letras son de difícil construcción para todas las personas, aún más para los estudiantes sordos, quienes está acostumbrados a asociar las palabras con significados traídos de un mundo real, tangible y concreto. Los investigadores encuentran en la caja de polinomios una herramienta didáctica alternativa para atacar la dificultad en la comprensión del álgebra por las múltiples ventajas de la herramienta y el papel que juega como mediador de conocimiento, como sistema de representación, entre otros, el uso de la herramienta caja 48

de polinomios facilitó la comprensión de los procesos aditivos, se podría deducir que utilizar modelos geométricos y físicos ayuda en la construcción de significados en estas etapas iniciales del álgebra ya que estos elementos didácticos posibilitan ir más allá de la simple memorización de reglas y algoritmos. En los estudiantes sordos es relevante potenciar la experiencia visual como base para el desarrollo del lenguaje y la construcción de conocimiento, Márquez (2012; Pg.:34). 

El uso de diversas formas de representación

Se ha encontrado que algunas formas de representación pueden facilitar la adquisición de los conceptos por parte de los estudiantes sordos, entre ellas las representaciones visuales geométricas mediante el uso de material manipulativo y gráfico, lo que permite comprender de mejor manera la representación lingüística y simbólica del concepto, de acuerdo a lo anterior, las representaciones gráficas podrían ofrecer posibilidades de construcción del significado de los conceptos en los estudiantes; para el grupo Azarquiel (1993), son evidentes las ventajas de este tipo de ejercicio de representación gráfica frente a los de tipo simbólico en los que los símbolos no tienen contexto, no representan nada, y las operaciones se realizan según reglas arbitrarias, sin un modelo físico o intuitivo que les brinde sentido. 

Las matemáticas escolares y la enseñanza tradicional

En la mayoría de los textos analizados en el análisis de la dimensión didáctica se pudo observar un desarrollo metodológico de los conceptos de forma tradicional, donde se presentan los temas desde su expresión lingüística, ejemplos, ejercicios y situaciones problema; lo anterior es de gran relevancia, ya que si los maestros preparan sus clases a partir de estos textos y las desarrollan siguiendo esta metodología, se puede llegar a la simple transmisión de información de manera algorítmica y mecánica, la cual los estudiantes tratan de interiorizar y repetir al pie de la letra en los talleres y evaluaciones; sin embargo, para lograr la construcción de verdaderos conocimientos matemáticos con comprensión y aplicabilidad, se requiere de procesos didácticos que busquen más que la enseñanza, el aprendizaje de los conceptos por parte de los estudiantes, esto se puede lograr a través de situaciones didácticas que ofrezcan la posibilidad de que el docente trabaje de manera secuencial el desarrollo del concepto de tal forma que los estudiantes busquen, generen y modifiquen estrategias de solución para construir con sentido y profundidad un conocimiento.

BIBLIOGRAFÍA Alonso, F et-al (1993). Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid, España: Grupo Azarquiel. Editorial Síntesis S.A.

Artigue, M; Douady, R; Moreno, L; Gómez, P. (1995). Ingeniería Didáctica en Educación Matemática. Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Bogotá: Grupo Editorial Iberoamericana. Recuperado en http://funes.uniandes.edu.co/676/1/Artigueetal195.pdf Avila, P; Garcia, M; (1996). La adquisición de los conceptos lógico-matemáticos en el niño sordo. Fundación: Dialnet. ISSN 0212.3096. Recuperado en http://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=2345498. D`Amore, B. (2006). Didáctica de la matemática. Bogotá: Editorial Magisterio. Hernández, J; Muñoz, M; Palarea, M; Ruano, R; et-al (2008). Materiales manipulativos para la enseñanza y el aprendizaje del álgebra en la educación obligatoria. Universidad de la Laguna, España. Recuperado en http://es.scribd.com/doc/128579058/Investigacion-Cientifica-en-El-Peru Larrubia, J; González, J. (2006). Aprendizaje matemático en alumnado sordo integrado en aulas ordinarias de E.S.O y bachillerato. Departamento de didáctica de las matemáticas en la Universidad de Málaga, España. Recuperado en http://www.gonzalezmari.es/atenci_n_diversidad_sordos_oyentes_aula_de_matem_ticas.pdf León, Calderón y Orjuela (2009). La relación lenguaje-matemáticas en la didáctica de los sistemas de numeración: aplicaciones en población sorda. 10 Encuentro Colombiano de Matemática Educativa ECME. Pasto, Colombia. Márquez, Héctor A. (2011). Orientaciones para el diseño de situaciones didácticas en matemáticas a estudiantes sordos. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional-INSOR. Ministerio de Educación Nacional .Lineamientos de política para la atención educativa a poblaciones vulnerables, 2005. Bogotá. Ministerio de Educación Nacional. Decreto N. 366 de 9 de febrero de 2009. Ministerio de Educación Nacional. Orientaciones pedagógicas para la atención educativa a estudiantes con limitación auditiva, (2006). Bogotá. Palarea, María M. (1999). La adquisición del lenguaje algebraico: reflexiones de una investigación. Didáctica de las Matemáticas. Recuperado de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/40/Articulo01.pdf Palarea, M; Socas, M. (1994). Algunos obstáculos cognitivos en el aprendizaje del lenguaje algebraico. Universidad de la Laguna, España. Recuperado en http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/091-098.pdf Soto, Fernando, Naranjo, Claudia y Lozano, Javier A. (2009) “Aprendizaje del álgebra en grupos con discapacidad auditiva utilizando la caja de polinomios”. Sigma. IX. Pg. 38-60. Departamento de matemáticas de la Universidad de Nariño, Pasto. 50

EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA COMO MEDIADORA EN LA ENSEÑANZA DE LA FACTORIZACIÓN Y LOS PRODUCTOS NOTABLES Graciela Wagner O.*. Alba Marina Giraldo V.** Efraín Alberto Hoyos S.*** Heiller Gutiérrez Z.**** *Universidad del Quindío, Colombia gwagner@uniquindio.edu.co ** Universidad del Quindío, Colombia almgiraldo@uniquindio.edu.co *** Universidad del Quindío, Colombia eahoyos@uniquindio.edu.co **** Universidad del Quindío, Colombia hgutierrez@uniquindio.edu.co RESUMEN En esta investigación se orientaron los temas de productos notables y la factorización utilizando la estrategia ya conocida como es la geometrización del álgebra, a través de ayudas didácticas de fácil acceso, como son las figuras geométricas. Además, se implementó el software “geometría de polinomios” como estrategia de enseñanzaaprendizaje de los productos notables y de la factorización de polinomios de segundo grado. Esta estrategia brinda una alternativa didáctica diferente e innovadora que propicia en los estudiantes la consecución de un aprendizaje significativo de estos temas, dejando a un lado la enseñanza tradicional e incorporando dos elementos facilitadores como son la manipulación de material concreto y la utilización de un software, diseñado para el desarrollo de este proyecto. Palabras clave: Productos, Factorización, Geometrización, didáctica, Software. ABSTRACT In this research, we pointed out Notable Products and Factorization using a strategy called the Geometrization of Algebra through easy-access didactic aids such as geometric figures. Also, implemented software called: “Geometry of Polynomials” as a teaching and learning strategy of Notable Products and Factorization of second degree polynomials. Such strategy gives a didactic and innovative alternative that help students to gain a significant learning of these subjects, leaving behind a traditional way of learning and incorporating two facilitation 51

elements like manipulation of concrete materials and the use of a software specially designed for this project. Keywords: Factorization, Geometrization, Didactics, Software. RESUMO Este tópicos de pesquisa e produtos notáveis são orientados fatoração usando estratégia e é conhecida como a geometrização da álgebra através de ajudas ao fácil acesso de ensino, tais como figuras geométricas. Além disso, o software "geometria de polinômios" como estratégia de ensino e aprendizagem dos produtos notáveis e fatoração de polinômios quadráticos implementadas. Esta estratégia é uma alternativa educacional diferente e inovadora que promove nos alunos que atingiram a aprendizagem significativa desses problemas, deixando de lado o ensino tradicional dois facilitadores e incorporando elementos como concreto manuseio de materiais e uso de software, projetado para o desenvolvimento deste projeto. Palavras chave: Produtos, Fatoração, Geometrização Software didático.

INTRODUCCIÓN Este estudio de investigación se desarrolla en el campo del pensamiento matemático, en concreto en el desarrollo del pensamiento algebraico, y centra su atención en la comprensión de los conceptos de factorización y productos notables de estudiantes del curso de álgebra del Programa de Licenciatura en Matemáticas y en el espacio académico de cálculo I, del Programa de Ingeniería de Sistemas de la Universidad del Quindío, utilizando el álgebra geométrica como mediadora en el aprendizaje de estos conceptos matemáticos. El objetivo de este estudio es el de determinar el nivel de aprendizaje que alcanzan los estudiantes del Programa de Licenciatura en Matemáticas, en la búsqueda de la comprensión de los conceptos de Factorización y Productos Notables, mediante la implementación de estrategias didácticas de enseñanza y de aprendizaje, utilizando la técnica de la Geometrización del Álgebra como un medio para alcanzar un aprendizaje significativo del tema propuesto. Para el estudio y análisis de esta investigación se han utilizado como referentes teóricos los conceptos propios de la aritmética, la geometría y el álgebra, para lo cual se utilizaron varios instrumentos y estrategias didácticas como cuestionarios, manipulación de material concreto y el software “Geometría de Polinomios”, para la comprensión de los conceptos matemáticos de factorización y productos notables. A partir de la discusión y del análisis de los resultados, se concluye que los estudiantes muestran mayor interés por el aprendizaje, cuando el docente investigador, además de conocer el tema a profundidad, utiliza estrategias de enseñanza que le permiten hacer análisis a priori y a posteriori de los avances y dificultades de los estudiantes antes, durante y después del aprendizaje de cualquier concepto matemático. 52

METODOLOGÍA Esta investigación realizada en la Universidad del Quindío, fue cuantitativa de tipo experimental. Se definió el grupo experimental y el grupo control; tomando como grupo control 30 estudiantes del espacio académico cálculo diferencial del Programa de Ingeniería de Sistemas y como grupo experimental 30 estudiantes del espacio académico de álgebra del Programa de Licenciatura en Matemáticas. Se aplicó al grupo control y al grupo experimental el pre-test para conocer los conceptos previos que tenían los estudiantes acerca del tema. Posteriormente, se establecieron las condiciones de homogeneidad en los grupos objeto de investigación. Se desarrolló en el grupo control, el tema de las operaciones básicas, siguiendo el modelo tradicional y se implementó en el grupo experimental la estrategia didáctica: “geometrización del álgebra”, usando el material concreto “Álgebra Geométrica” y el software “Geometría de Polinomios”; La estrategia se aplicó en tres fases: En la primera fase se hizo el reconocimiento y la manipulación de material didáctico, para identificar geométricamente el concepto de área de cuadrados y rectángulos, lo mismo que la suma de de éstas áreas y su relación con los Productos Notables y la Factorización de polinomios. Las actividades propuestas se realizaron a través de una guía con información de las características de la estrategia. A continuación mostramos un ejemplo: Resolver geométricamente el producto notable (a+1)2 = (a+1) (a+1) Esta multiplicación representa el área de un cuadrado de base a+1 y de altura a+1; Como la primera letra de ambos factores es la letra “a” usamos el cuadrado de lado “a” (el mayor).

Figura N.1. Fuente: Elaboración propia

La base es a, pero le debemos agregar 1.

La base es a+1

Figura N.2. Fuente: Elaboración propia

La altura es a, pero debemos agregar 1 cuadrado.

Completamos la figura para formar el

Este último cuadrado está constituido por las áreas a 2 + 2a + 1, que es la respuesta al ejercicio propuesto. En la segunda fase se hizo el reconocimiento y la aplicación del software “Geometría de Polinomios”, el cual es un software educativo que permite por medio de fichas, teniendo en cuenta su área y perímetro convertir las expresiones algebraicas en problemas geométricos interesantes, dinámicos y didácticos que llevan a un mejoramiento en la metodología del aprendizaje de las matemáticas. El entorno del software es el siguiente:

Figura N.3. Entorno del Software. Fuente: Autor

En la tercera fase se hizo el análisis estadístico de los resultados obtenidos.

RESULTADOS Y DISCUSIÓN A continuación se presentan los estadísticos utilizados en las pruebas:

MEDIA ARITMÉTICA

PRE-TEST

POS-TEST

GRUPO CONTROL

2,42

2,91

GRUPO EXPERIMENTAL

2,71

3,39

MEDIANA

PRE-TEST

POS-TEST

GRUPO CONTROL

2,3

3,1

GRUPO EXPERIMENTAL

2,9

3,6

RESULTADOS PRUEBA t-STUDENT PARA COMPARAR LAS MEDIAS

PRE-TEST EXPERIMENTAL-PRE-TEST CONTROL

0.1827

POS-TEST EXPERIMENTAL-POS-TEST CONTROL

0,0472

NO SIGNIFICATIVO SIGNIFICATIVO

Tabla N.1. Fuente: Elaboración propia

Tabla N.2. Fuente: Elaboración propia

Tabla N.3. Fuente: Elaboración propia

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LOS PRE-TEST

EXPERIM ENTAL

Gráfica N. 1. Fuente: Elaboración propia

CONTROL

En el diagrama de cajas se observa la homogeneidad de los resultados. El 50% de los estudiantes del grupo control obtuvo notas por debajo del 2,3 y 50% de los estudiantes del grupo experimental obtuvo notas por debajo de 2,9.

COMPARACIÓN PROMEDIOS PRE-TEST

Gráfica N. 2. Fuente: Elaboración propia 4,0

2,71

2,42

2,0 0,0 EXPERIMENTAL

CONTROL

En la prueba t-student realizada para comparar los resultados del pre-test del grupo experimental y del grupo control se observa, que a un nivel de confianza del 95%, no existe diferencia significativa entre los promedios de los grupos, es decir, los grupos son homogéneos. Lo anterior muestra que tanto el grupo control como el grupo experimental obtuvieron resultados muy similares, lo que indica que se encuentran a un mismo nivel de conocimiento frente a la comprensión de la factorización y los productos notables.

COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS DE LOS POS-TEST

EXPERIM ENTAL

Gráfica N. 3. Fuente: Elaboración propia

CONTROL

En el diagrama de cajas se observa la heterogeneidad de los resultados del pos-test en el grupo control y en el grupo experimental. El 50% de los estudiantes del grupo control obtuvo notas por debajo del 3.1 y 50% de los estudiantes del grupo experimental obtuvo notas por debajo del 3.6.

COMPARACIÓN PROMEDIOS DEL POS-TEST

5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0

3,39

EXPERIMENTAL

2,91

Gráfica N. 4. Fuente: Elaboración propia

CONTROL

En la prueba t-student realizada para comparar los resultados del pos-test del grupo experimental y del grupo control se observa que a un nivel de confianza del 95%, existe diferencia significativa entre los promedios de los grupos.

DISCUSIÓN Para el desarrollo de esta investigación se tuvo en cuenta la estrategia didáctica la Geometrización del Álgebra, en la que son necesarios algunos conocimientos previos, tales 57

como: el área y el perímetro de cuadrados y rectángulos, término algebraico, expresión algebraica, operaciones con expresiones algebraicas. La implementación de la estrategia didáctica se desarrolló a través de ayudas didácticas de fácil acceso, como el material didáctico “Algebra Geométrica”, con el cual se busca que el estudiante visualice el concepto de la factorización mediante la manipulación de material concreto, con el fin de que realice, reconozca y describa patrones, realice analogías para que empiece a construir los conceptos En la estrategia los estudiantes debían construir áreas de figuras rectangulares, de manera pudieran pensar y razonar en cómo dividirlas de tal forma que al adjuntarlas siempre formarán un rectángulo o un cuadrado. Esto permitió el desarrollo de cierta creatividad para resolver los ejercicios. Finalmente se trabajó con el software “Geometría de Polinomios” como estrategia de enseñanza-aprendizaje de los productos notables y de la factorización de polinomios de segundo grado. El uso de estrategias didácticas sirvió para propiciar en los estudiantes mayor interés por el aprendizaje de la factorización y los productos notables; además, se observó un cambio en su forma de razonar, analizar y utilizar el concepto de la factorización y los productos notables en el contexto, obteniendo un aprendizaje más significativo y no mecánico o repetitivo. Con los estudiantes del grupo control se trabajó el concepto de factorización y los productos notables utilizando la estrategia didáctica tradicional. Por ello, en el grupo control, se orientaron los temas de la factorización y los productos notables siguiendo los siguientes pasos: 1. 2. 3. 4. 5.

Definición de productos notables. Explicación de algunos ejemplos. Se dieron a conocer las fórmulas de productos notables y casos de factorización. Desarrollo de ejercicios en clase. Además se realizaron actividades extra clase como: ejercicios y talleres, con el fin de que los estudiantes profundizaran el concepto.

Como se observó en el análisis estadístico, los estudiantes del grupo control tuvieron avances con respecto a su desempeño el cual se evidencia en los resultados del pre-test y pos-test, pero no en la misma medida que en el grupo experimental. Los resultados alcanzados durante la aplicación de la estrategia didáctica del Algebra Geométrica como mediadora en la enseñanza de la factorización y los productos notables en los estudiantes del grupo experimental, son significativos puesto que los estudiantes mostraron un gran avance en la apropiación de los conceptos. 58

CONCLUSIONES Mediante el uso del material concreto “Álgebra Geométrica” y del software interactivo: “Geometría de Polinomios”, se incrementó el interés en los estudiantes y la disposición para el aprendizaje, pues a partir del análisis y de los resultados, se evidenció que los estudiantes lograron un mayor nivel de comprensión, de acuerdo a la forma como se enfrentaba a las diferentes actividades propuestas. Con el uso de estrategias didácticas se facilitó la apropiación de conceptos matemáticos y el desarrollo de habilidades intelectuales superiores (explorar, conjeturar, razonar, reflexionar y comunicar matemáticamente). Además, la manipulación de objetos concretos, lo mismo que el uso de la tecnología, permitieron desarrollar en los estudiantes un pensamiento matemático más efectivo y un mayor nivel de apropiación de los conceptos en los estudiantes del grupo experimental, lo cual se comprobó al comparar los resultados del pre-test y pos-test aplicados en ambos grupos. Dado que en la actualidad, la tecnología juega un papel tan importante en todos los niveles, es necesario utilizar recursos tecnológicos como ayuda didáctica para fomentar el interés y la apropiación del conocimiento; por lo que se sugiere a los docentes de matemáticas utilizar las estrategias desarrolladas en el presente trabajo para dejar atrás el modelo tradicional y a través de éste desarrollar sus habilidades y gusto por las matemáticas.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Ausubel, N. (1983). Psicología educativa: Un punto de vista cognoscitivo. 2° ed. México: Trillas. Ausubel, D. (1986). Psicología Educativa. Un enfoque cognoscitivo. Segunda Edición. México: Trillas Camargo, L., et al. (2003). Alfa 9 con estándares. Bogotá: Norma. Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Traducción de Myriam Vega. Colombia: Peter Lang. Godino, J., et al. (2004). Didáctica de las matemáticas para docentes. Proyecto Edumat- Docentes. Universidad de Granada. Godino J. (2003). Razonamiento algebraico y su didáctica para maestros. Universidad de Granada. Murillo, P. (2000). ¿Qué es el aprendizaje significativo y cuál es su importancia en el aprendizaje de la matemática? http://www.utp.ac.pa./articulos/aprendizaje significativo.htm.

EN BUSCA DE GENERAR CAMBIOS DE ACTITUD HACIA LAS MATEMÁTICAS DESDE LA IMPLEMENTACIÓN DE UN AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAJE ENFOCADO HACIA EL RAZONAMIENTO ESPACIAL EN LOS ESTUDIANTES DE GRADO DÉCIMO Luz Libia Pinzón *, Alejandro Pinzón ** *libiapinzon@gmail.com **alejo_pinzon@hotmail.com RESUMEN La falta de herramientas que posibilitan la apropiación de conceptos en geometría, así como la necesidad de fortalecer el razonamiento espacial, brindan un promisorio campo para que las nuevas herramientas virtuales de aprendizaje sean un recurso que favorezca la didáctica surgida en torno a la enseñanza/aprendizaje de la matemática. El presente artículo muestra una breve descripción de la metodología utilizada para la implementación de un ambiente virtual de aprendizaje enfocado en el razonamiento espacial y el cual se trabajó desde la plataforma MOODLE, al igual que el análisis de los resultados obtenidos en la aplicación del mismo, dentro de un marco teórico que fundamentan el contenido del ambiente virtual propuesto, con lo cual se pretendía observar los posibles cambios de actitud hacia las matemáticas en estudiantes de grado décimo luego de su aplicación. Palabras clave: Ambientes virtuales de aprendizaje, geometría, razonamiento espacial, MOODLE

ABSTRACT The lack of tools that enable the appropriation of concepts in geometry, and the need of strengthening spatial reasoning, offer a promising field for new virtual learning tools to become a resource that supports the didactic emerged around the teaching / learning of mathematics. This article presents a brief description of the methodology used for the implementation of a virtual learning environment. Also this work focused on spatial reasoning and used MOODLE as main platform. Besides, this article shows the analysis of the results of this application, based on theory related to the virtual environment proposed here. With this it was intended to observe the possible change of attitude towards mathematics in the students from fifth grade after the appliance. Keywords: Virtual Learning Environments, geometry, spatial reasoning, MOODLE

RESUMO

A falta de ferramentas que permitem a apropriação de conceitos de geometria, bem como a necessidade de reforçar o raciocínio espacial, fornecer um campo promissor para novas ferramentas virtuais de aprendizagem são um recurso que promove o ensino surgiu em torno do ensino / aprendizagem da matemática. Este artigo apresenta uma breve descrição da metodologia utilizada para implementar um ambiente virtual de aprendizagem focado no raciocínio espacial e que é trabalhado a partir da plataforma MOODLE, como a análise dos resultados de sua aplicação, dentro de um quadro teórico subjacente ao conteúdo proposto para o ambiente virtual, que se destina a observar quaisquer mudanças de atitudes em relação à matemática em décimo niveladoras após a aplicação.

Palavras chave: Ambientes Virtuais de Aprendizagem, geometria, raciocínio espacial, MOODLE

INTRODUCCIÓN Con la mediación que posibilita la tecnología en el ámbito educativo es posible acceder a nuevos escenarios y posibilidades generadas por un medio electrónico y representacional, que permitan crear condiciones para que el individuo se apropie de nuevos conocimientos, de nuevas experiencias y se enfrente a situaciones; en estas condiciones, es necesario emplear las herramientas tecnológicas para permitir que los estudiantes construyan conocimiento a través de un proceso gradual, con acciones comunicativas que evidencien un intercambio de ideas y un fortalecimiento de su capacidad argumentativa y crítica. A nivel nacional, en los Lineamientos Curriculares del área de matemáticas elaborados por el Ministerio de Educación (MEN, 1998) se enfatiza, en la necesidad de encaminar la enseñanza de la geometría hacia el desarrollo de la percepción las representaciones bi y tri dimensionales de las figuras y el estudio de sus relaciones y sus propiedades bajo el efecto producido por las diferentes transformaciones sobre ellas, se propone además un estudio sistemático de patrones de regularidad que conducen a establecer conjeturas y generalizaciones, dando origen así a diversas formas argumentativas. Teniendo en cuenta que, las actitudes hacia un campo de estudio en particular, juegan un papel importante en el acercamiento o rechazo del mismo, es importante que los maestros en el caso de las matemáticas experimenten diferentes facetas o tendencias, que posibiliten cambios de actitud favorables de parte de los estudiantes hacia el estudio de la misma; de igual manera entre más dimensiones y conexiones de la geometría con las matemáticas y su entorno conozca el docente, se podrá entonces diseñar ambientes de aprendizaje ricos en actividades geométricas, que permitan guiar con éxito a los estudiantes en el proceso de aprendizaje de la geometría, logrando que ellos mismos establezcan bases sólidas, que lleven a la profundización de dicho campo en sus posteriores años escolares y quizás ampliar su panorama dentro de su cotidianidad.

Constantemente se olvida que el conocimiento geométrico provee de recursos lógicos al estudiante, permitiéndole hacer justificaciones y validaciones con un rigor matemático mayor, desconociéndose así habilidades visuales y argumentativas que pueden llevar a un aprendizaje significativo, habilidades que rara vez son potencializadas en el aula de clase, negándosele al estudiante la posibilidad de desarrollar su capacidad espacial y con lo cual se afianzara el rechazo al verla plana y sin sentido.

EVOLUCIÓN DE LAS ACTITUDES HACIA LAS MATEMÁTICAS Desde la década de los setenta se han consolidado numerosos esfuerzos a la investigación sobre las actitudes hacia las ciencias en aspectos como: el efecto de la educación sobre las actitudes, las relaciones causa/efecto de dichas actitudes y diversas variables, la incidencia de las ciencias en los estudiantes y sobre la sociedad y las actitudes de los estudiantes sobre temas específicos; más adelante se propone como una alternativa de solución la piscología social como lo sostienen Shrigley & Koballa, (1992), disciplina pionera en la investigación teórica y empírica sobre las actitudes. Frente al término de actitud, Rosenbeg y Hovland (1960) formulan su modelo tripartito, dado que, ante un objeto actitudinal, la persona presenta tres tipos de respuestas diferentes:   

Respuestas Cognitivas: Creencias y pensamientos acerca del objeto. Respuestas Evaluativas: Sentimientos asociados al objeto (repulsión, atracción, placer, etc.) Respuestas Conductuales: Pacheco (2002) sostiene que es el comportamiento que incluye intenciones de actuar de forma determinada ante un objeto.

En la década de los ochenta se plantean diferentes aspectos que intervinieron en la investigación de dichas actitudes como fueron: la falta de unos marcos teóricos que fundamentaran y contextualizaran la investigación por Haladyna & Shaughnessy (1982), la selección adecuada de las múltiples variables estudiadas en los diferentes contextos, el análisis de los experimentos realizados que no contaron con instrumentos acordes al contexto de Ormerod & Duckworth (1975) y a las diversas situaciones planteadas y la multiplicidad de pruebas y resultados que se pueden encontrar con base a algunas revisiones, evidenciando resultados contradictorios como lo menciona Schibeci (1984), lo cual dificultó un proceso rápido y estructurado sobre el estudio de dichas actitudes. Desde el punto de vista de un marco teórico, se tomaría la psicología social como referencia en la investigación sobre las actitudes y desde el punto de vista metodológico la definición de los constructos utilizados y su relación con los instrumentos diseñados para la medición de dichas actitudes, tomaría mayor relevancia en el diseño y construcción de los mismos. Cannon & Simpson (1985), estudian variables como la motivación y rendimiento académico, demostrando que el rendimiento puede subir en tanto las actitudes decrecen. 62

Retomando, las actitudes hacia la ciencia serían las disposiciones, tendencias o inclinaciones a responder a todos los elementos implicados en el aprendizaje de la ciencia según Gardner (1975) , reconociendo tres componentes que son: los intereses por los contenidos de la ciencia, las actitudes hacia los científicos y su trabajo y las actitudes hacia los logros obtenidos por la ciencia observado en su responsabilidad social (energía, armas, etc.), donde las actitudes científicas serian el conjunto de rasgos emanados del método científico a las actividades de investigación científica como: racionalidad, curiosidad, disposición al trabajo, pensamiento crítico, respeto por la naturaleza, entre otras. Se acotan algunas actitudes relacionadas con la enseñanza/aprendizaje de las ciencias y la tecnología: •

Elementos escolares de la ciencia y tecnología

•

Productos de aprendizaje de la ciencia y tecnología

•

La imagen social de la ciencia y tecnología

•

Las características de los científicos

•

Actitudes relacionadas con la naturaleza del conocimiento científico

El interés por trabajar con las actitudes hacia las ciencias generan la necesidad de crear instrumentos válidos con los cuales se pueda tener información veraz acerca de las inclinaciones de los estudiantes y de los docentes hacia determinadas situaciones que implican un acercamiento favorable o no por el estudio de las ciencias. En el caso particular de las matemáticas, se han diseñado, adaptado e implementado, diferentes instrumentos que permiten medir las actitudes de los estudiantes hacia este campo de conocimiento, uno de estos instrumentos es el utilizado en la presente investigación para medir las actitudes hacia las matemáticas, que se toma de una publicación de un artículo de Inmaculada Alemany Arrebola publicado en el 2012, allí se reporta que fue aplicado con estudiantes de matemáticas de la ESO, en un centro de clase media baja. Dicho instrumento consiste en un cuestionario de tipo Likert, con siete componentes: Componente conductual, componente afectivo, autoconcepto negativo, autoconcepto positivo, componente cognitivo, desmotivación hacia el estudio de las Matemáticas y expectativas de logro. Además de este instrumento, las pruebas PISA enfocadas a la evaluación de la alfabetización científica presenta un cambio desde el 2006, donde la innovación más significativa ha sido, la inclusión de cuestiones relacionadas con las actitudes, desde un componente actitudinal hacia la ciencia y la tecnología, tanto en el cuestionario general como en las preguntas específicas a ciencia y tecnología (OECD, 2006). El estudio de las actitudes hacia las ciencias, en particular hacia las matemáticas, debe fortalecer la didáctica de la misma e incluso de la geometría, buscando reconocer los factores que influyen en el estudiante y en el docente a fin de contribuir a un proceso exitoso 63

de enseñanza aprendizaje heterogéneo, que vislumbre los intereses, necesidades y creencias, de los actores involucrados en dicho proceso, a fin de generar una alfabetización científica y tecnológica significativa.

MOODLE PARA EL DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE AMBIENTES VIRTUALES DE APRENDIZAJE

La plataforma MOODLE, es un sistema para la creación y gestión de cursos accesibles desde internet cuya base es el constructivismo social, la cual permite además mezclar la enseñanza presencial y virtual, propiciando en el docente y en el estudiante un cambio de pensamiento en torno al proceso educativo en un antes, durante y un después de clase. Dicha plataforma permite que tanto estudiante como profesor se relacionen de forma directa a través de encuestas, tareas y foros, fomentando así una evaluación continua (González Pareja, Calderón Montero, & Hidalgo Sánchez, 2004). La implementación de la plataforma MOODLE, en los procesos de enseñanza aprendizaje, permite anular el sistema tradicional generando prácticas activas, basadas en el logro de competencias, debido a la facilidad de subir contenidos educativos, a la facilidad de comunicación con y entre los estudiantes, además de facilitar o gestionar tareas como lo manifiesta Ros Martínez (2008), lográndose una elaboración y distribución del conocimiento eficaz que conlleva a un sistema educativo hacia la alfabetización digital. Su uso permite la conexión de objetos de aprendizaje donde se podrá generar diferentes espacios y escenarios que posibiliten la apropiación del conocimiento en el cual el docente proporciona la información y construye este mismo de una manera activa, donde el docente asume el rol de diseñador didáctico como lo sostiene Mayer (1999), creando un entorno en el que el estudiante interactúe significativamente con el material académico, estimulando en el joven procesos tales como el de selección, organización e integración de información, de manera que el enfoque didáctico y teórico de aprendizaje que se le puede dar a un objeto virtual, es aquel donde el estudiante pueda construir su propio conocimiento en el cual, el individuo extrae el significado de su experiencia y de su bagaje intelectual y social. Junto a lo anterior, MOODLE promueve la organización y gestión de comunidades e instituciones donde cada participante puede convertirse en profesor y estudiante, evidenciando una vez más que la enseñanza tradicional basada en la transmisión de conocimientos queda al margen y donde la evaluación tendrá un carácter tanto informativo como formativo desde un feedback o retroalimentación será inmediata. La plataforma es de utilidad para los estudiantes ya que garantiza en ellos un proceso automatizado y personalizado que respeta las necesidades e interese propios como lo afirma Cebrerios (2011), desde su ritmo individual , sus perspectivas y su estilo de aprendizaje, fomentándose así, un aprendizaje autónomo, un aprendizaje cooperativo y desarrollando habilidades como la creatividad . 64

PROBLEMAS DETRÁS DE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA Una Proyección a los estudiantes de grado décimo de la Institución Educativa Distrital Antonio García Nossa La historia de la geometría nos muestra su evolución desde una dinámica que involucra procesos de visualización, encadenados al pensamiento espacial, procesos de justificación, relacionados con el pensamiento deductivo y aplicaciones instrumentales con el objeto de resolver problemas de la vida cotidiana, las ciencias o la misma matemática, con el fin de modelar el mundo para interpretarlo, tal como lo menciona Castiblanco & Armella (2004) , ampliar los horizontes conceptuales con teorías construidas axiomáticamente e interrelacionar campos diversos de conocimiento buscando en ellos una estructura común, entre otras cosas. Teniendo en cuenta a Mammana y Villani (1998), quienes han identificado las siguientes dimensiones, donde la geometría puede verse como: - Una ciencia del espacio y la forma. - Un método para representar visualmente conceptos y procesos de otras áreas de las matemáticas. - Un punto de encuentro entre la matemática abstracta y la matemática como recurso de modelación. - Una vía para desarrollar pensamiento y comprensión, y, en un nivel avanzado, como una teoría formal. - Un ejemplo paradigmático para enseñar razonamiento deductivo. - Una herramienta en diversos campos de aplicación, tanto en forma tradicional, como de manera innovativa mediante el uso de recursos computacionales. Entonces, la geometría debería contribuir a representar visualmente conceptos y procesos de la matemática, además de desarrollar en los educandos capacidades analíticas y espaciales, situación que difícilmente se evidencia en las prácticas pedagógicas, ya que para algunos docentes el establecer conexiones con la matemática, es una tarea ardua, además de aquellos que ajenos al manejo de tal ciencia, dan poca relevancia a la misma, desconociéndose la evolución del razonamiento geométrico de los estudiantes tal como lo plantea Van Hiele (1957), quien explica dicha evolución dividiéndolo en cinco niveles consecutivos: La visualización, el análisis, la deducción informal, la deducción formal y el rigor, los cuales se repiten con cada aprendizaje nuevo, proceso que se ignora al momento de realizar actividades enfocadas al desarrollo de la habilidad espacial. El modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele según Vargas &Gamboa (2013), indica la manera de 65

apoyar a los estudiantes a mejorar la calidad de su razonamiento, pues proporciona pautas para organizar el currículo educativo y así ayudar al estudiante a pasar de un nivel a otro. La visualización espacial, la utilización de simetría, el cálculo de áreas y perímetros las proyecciones, son algunas de los conocimientos necesarios para el ser humano y que le competen propiamente a la Geometría. Sin embargo, el manejo competente de las capacidades para aprender o utilizar estos conceptos en la vida cotidiana, aún presentan serias deficiencias que usualmente se obvian. El aprendizaje de la geometría constituye una de las mayores dificultades para los estudiantes en todos los niveles. Así lo considera Alfaro (2003), quien apunta que dentro de los temas considerados en la evaluación de las pruebas nacionales de matemáticas, los más difíciles para los estudiantes son los relacionados con la geometría y el álgebra. Por otro lado, Barrantes (2003), señala que los profesores consideran que el tema de geometría es uno de los temas más difíciles en el nivel de noveno año y bachillerato, problemática que se ve reflejada en los resultados. Desde el quehacer pedagógico como docentes en la enseñanza de las matemáticas se observan diferentes escenarios, donde interactúan situaciones que no favorecen las múltiples habilidades de los estudiantes como son: la capacidad de asombro, la observación, la experimentación, la creatividad, la posibilidad de resolución de problemas que deben ser propositivos y extrapolados a la cotidianidad escolar, donde dichas situaciones al ser limitadas en el aula, inciden en la deficiencia de habilidades como: el reconocimiento, el análisis, la clasificación, la deducción, como se plantea en el modelo de niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele para la enseñanza de la geometría, dificultándose así que el acercamiento de los conocimientos específicos en geometría sea apropiado, siendo estos rechazados o poco favorables por diversas categorías problematizadoras del proceso enseñanza aprendizaje, generando en los estudiantes actitudes especificas al campo de estudio, como un reflejo de una escuela donde los contenidos carecen de relevancia para ellos, sumado al temor del cambio por parte del docente, lo cual muestra un rechazo hacia las actividades propuestas en el aula; siendo el razonamiento lógico/espacial poco fortalecido en los estudiantes de básica secundaria y media, debido a que la enseñanza actual de la geometría radica en el uso de ejercicios de lápiz y papel que no permiten que la visualización espacial sea acorde a los elementos geométricos, convirtiéndose en algo abstracto y sin sentido, por lo cual se hace urgente dar un nuevo enfoque a la enseñanza de la geometría convirtiéndola en protagonista, en los procesos de enseñanza aprendizaje de las matemáticas.

METODOLOGÍA Atendiendo a las dificultades antes mencionadas se decidió construir un Ambiente Virtual de Aprendizaje que involucrará la geometría, enfocado en el razonamiento espacial, específicamente en los tres primeros niveles propuestos por Van Hiele, como son la visualización, el análisis y la deducción informal, que además comprendía en su parte inicial 66

y final, el instrumento para evaluar las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas, diseñado por Alemany, (anexo1) a través del siguiente enlace: http://www.isp.fuac.edu.co/survey/index.php/493864/lang-es-MX en la plataforma LimeSurvey. El Ambiente Virtual de aprendizaje fue aplicado a los 33 estudiantes del grado décimo, de la IED ANTONIO GARCIA, institución que cuenta con una sala de informática dotada con veinte computadores, usados para el proceso de la media fortalecida; así mismo, cuenta con un servicio de internet que favorece la aplicación del ambiente virtual de aprendizaje, dichos estudiantes tienen intensidad horaria semanal de 6 horas, destinándose 2 sesiones para la implementación del Ambiente Virtual de Aprendizaje titulado “ENCAJATE EN 3D” , bajo la estructura de mundo bidimensional, mundo tridimensional y sólidos. CONCLUSIONES Los resultados obtenidos tanto en la primera como en la segunda encuesta son los siguientes: COMPONENTE

PRETEST

POSTEST

COMPONENTE CONDUCTUAL

3,27

3,42

COMPONENTE AFECTIVO

2,71

2,90

AUTOCONCEPTO NEGATIVO

3,02

3,16

AUTOCONCEPTO POSITIVO

2,48

2,60

COMPONENTE COGNITIVO

3,93

3,83

DESMOTIVACIÓN HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

2,70 2,42

ESPECTATIVAS DE LOGRO

3,18

3,26

Tabla N. 1. Fuente: Elaboración propia

Según los promedios establecidos en cada componente se evidencia que: El componente conductual obtuvo un aumento en la segunda prueba, esto indica que algunas condiciones de los estudiantes con respecto a las matemáticas y a sus estrategias 67

de aprendizaje usadas durante las sesiones de clase donde se implementó el Ambiente virtual, pudieron favorecer dicho incremento, esto puede ser explicado por el uso de las diferentes herramientas y recursos empleados en el ambiente virtual, dado que este buscaba abarcar diferentes estilos de aprendizaje; además que el desarrollo de cada una de las actividades propuestas en el AVA, permitieron que el estudiante comprobara lo aprendido puesto que estas se desarrollaron con una retroalimentación fuertemente estructurada. El componente afectivo muestra también un incremento en comparación con la primera muestra, donde ítems como “las matemáticas son divertidas y entretenidas para mi” marcan una notable diferencia, esto se explica con el uso de las mismas herramientas que buscaron que las matemáticas desde la visión de la geometría y el razonamiento espacial fueran más agradables, con sentido y con problemas contextualizados generando un acercamiento de los jóvenes con la asignatura. No obstante ítems como “soy feliz el día que no tenemos matemáticas por qué no me interesan, ni me atraen”, se mantienen; es decir, aunque estas aun no les atraen favorablemente si han encontrado que pueden ser divertidas. En el análisis del autoconcepto negativo se observa un incremento donde las reacciones emocionales hacia las matemáticas aun no son favorables, sin embargo cabe anotar que ítems como “Me distraigo con facilidad cuando estudio en casa matemáticas” bajaron entre la primera y la segunda muestra lo que es indicio que el ambiente virtual puede favorecer al estudiante en su proceso de aprendizaje bajando los efectos que pueden generar algunos distractores tanto en el aula como en los procesos de aprendizaje del estudiante. Para el componente autoconcepto positivo, el ítem que más incremento presentó fue “Siempre hago en primer lugar la tarea de matemáticas porque me gustan”, el cual muestra que el proceso que se desarrolló durante la implementación del AVA, ayudó a cerrar la brecha entre las matemáticas y el estudiante, mostrando que esta asignatura puede tener mayor relevancia, indicando además que el joven confía más en su capacidad para el desarrollo de las actividades planteadas y que esta confianza fue evolucionando a lo largo de las sesiones programadas. Con respecto al componente cognitivo, aunque el postest bajó un punto con respecto a la prueba inicial, se observa según los otros ítems que el estudiante ve la asignatura de otra manera, sus creencias con respecto a las matemáticas se han modificado y se indica como en el caso del ítem “Las matemáticas me resultan útiles para entender las demás áreas” , que hubo un aumento significativo de dos puntos, es decir que ya hace relaciones de esta con otras áreas del conocimiento , haciendo que su aprendizaje sea más significativo. En el componente, desmotivación hacia el estudio de las matemáticas y el componente expectativas de logro, se observa que van en aumento, es ahí donde se plantea que estas podrían cambiar a través del uso de los ambientes virtuales de aprendizaje donde dicha desmotivación puede ser modificada pero haciendo claridad que es un proceso largo y dispendioso ya que el estudiante viene con estas inclinaciones poco favorables hacia las matemáticas desde sus primeros años escolares, donde continuamente se ve enfrentado a 68

estas, a la obligación por el estudio de esta materia y más aún, el fracaso representado en las reprobaciones del curso de esta asignatura.

BIBLIOGRAFIA Alemany Arrebola, I., & Lara, A. (4 de 11 de 2010). Las actitudes hacia las matemáticas en el alumnado de la ESO: un isntrumento para su medición. Publicaciones(40), 49-71. Alfaro. (2003). Rendimiento por temas en las pruebas nacionales de matemáticas en Tercer ciclo y Bachillerato. (U. Nacional, Ed.) UNICIENCIA, 20(1).Barrantes. (2003). Pruebas nacionales de matemáticas: resultados y opiniones. (U. Nacional, Ed.) UNICIENCIA, 1(20). Cannon, R., & Simpson, R. (1985). Relationships among Attitude, Motivation, and Achievement of Ability Grouped, Seventh-Grade, Life Science Students. Science Education, 69(2), 121-138. Castiblanco, A. C., & Armella, L. (Abril de 2004). Pensamiento Geometrico y Tecnologias Computacionales. Bogotá, Colombia: Enlace Editores Ltda. Cebrerios Alvarez, E. (2011). La plataforma Moodle y la evaluación de aprendizajes. Universidad de Coruña. Gardner, L. (1975). Attitudes to science: A review. Studies in Science Education, 2, 1-41. Gonzalez Pareja, A., Calderon Montero, S., & Hidalgo Sánchez, R. (2004). Utilización de la plataforma Moodle en la enseñanza. XII Jornadas de ASEPUMA, 10 . Haladyna, T., & Shaughnessy, J. (1982). Attitudes towards science: Aquantitative synthesis. Science Education, 21(6), 559-607. Mammana, C., & Villani, V. (1998). Perspectives on the Teaching of Geometry foe the 21 century. kluwer Academic Publishers. Mayer , R. E. (1999). Designing instruction for constructivist learning. En C. M. Reigeluth (Ed.), Instructional-Design Theories and Models, Volume II: A New Paradigm of Instructional Theory (págs. 141-159). Nueva Jersey: Lawrence Erlbaum. MEN. (1998). Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas. Áreas obligatorias y fundamentales. OECD, & PISA. (04 de Diciembre de 2007). Informe PISA 2006. Recuperado el Noviembre de 2013, de http://www.mec.es/multimedia/00005713.pdf Ormerod, M., & Duckworth , D. (1975). Pupil's attitudes to science: a review of research. Windsor: NFER Publishing Co. Pacheco, F. (2002). Actitudes. Eúphoros(5), 173-186. Ros Martinez, I. (2008). Moodel, la plataforma para la enseñanza y organización escolar. e- revista de didáctica 2, 12. Rosenberg, M. (1960). A Structural Study of Attitudes Dynamics. Public Opinion Quarterly, 24, 319340. Schibeci, R. (1984). Attitudes to science: An update. Studies in Science Education, 11, 26-59. 69

Shrigley, R., & Koballa, J. (1992). A decade of attitude research based on Hovland's learning model. Science Education, 76(1), 17-42. Van Hiele, P. (1957). El problema de la comprensión en conexión con la comprensión de los escolares en el aprendizaje de la geometría. Tesis Doctoral, Universidad Real de Utrecht. Vargas, G., & Gamboa, R. (Enero de 2013). El modelo de Van Hiele y la enseñanza de la geometría. Uniciencia, 27(1), 74-94.

ANEXOS Anexo 1. Instrumento sobre Actitudes hacia las Matemáticas (Alemany, 2010).

COMPONENTE   COMPONENTE CONDUCTUAL

   

Estrategias de aprendizaje que el estudiante dice emplear, tanto en  clase como en  casa      COMPONENTE AFECTIVO Reacciones emocionales hacia las matemáticas y su aprendizaje

    

  AUTOCONCEPTO  NEGATIVO 

ÍTEM QUE LO COMPONEN Tomo algunas anotaciones en clase, aunque el profesor no me lo exija. Durante las explicaciones de clase mantengo la atención sin que me distraigan otros asuntos. Tomo bien las anotaciones o apuntes que me piden en clase. Repaso completo y organizo mis apuntes de matemáticas. Me preocupo mucho por seguir las indicaciones del profesor. Reviso mis apuntes y los comparo con compañeros para comprobar que estén completos. Preparo con tiempo suficiente los exámenes de matemáticas. Repaso con cuidado cada pregunta del examen antes de entregarlo. Al final de mi tiempo de estudio compruebo lo que he aprendido. En los exámenes de matemáticas procuro presentar con limpieza y orden los ejercicios. Las matemáticas las estudio a diario aunque no tenga tarea de casa o exámenes. Ante un fracaso en matemáticas no me desanimo, me esfuerzo y estudio más. Guardaré mis cuadernos de matemáticas porque probablemente me sirvan. Soy feliz el día que no tenemos matemáticas, porque no me interesan ni me atraen. Ojalá nunca hubieran inventado las matemáticas. En la clase de matemáticas me entran ganas de salir corriendo. Me aburro bastante en las clases de matemáticas. Prefiero estudiar cualquier otra materia antes de estudiar matemáticas. Las matemáticas son divertidas y entretenidas para mí. Me gusta participar en clase de matemáticas. Cuando tengo que hacer la tarea de matemáticas mi mente se pone en blanco y soy incapaz de pensar con creatividad. Generalmente tengo dificultades para resolver los ejercicios de 70

Creencias negativas sobre su capacidad para las matemáticas AUTOCONCEPTO POSITIVO Reconocimiento tanto, tanto de los otros como propio, sobre su capacidad para las matemáticas COMPONENTE COGNITIVO Creencias sobre las matemáticas y la importancia de esta materia DESMOTIVACIÓN HACIA EL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS

EXPECTATIVAS DE LOGRO

   

matemáticas. Me cuesta mucho concentrarme en estudiar matemáticas. En matemáticas me conformó con aprobar. Me distraigo con facilidad cuando estudio en casa matemáticas.

 

Soy un buen estudiante en matemáticas y me siento valorado y admirado por mis compañeros. Para mis profesores soy un buen estudiante de matemáticas. Siempre hago en primer lugar la tarea de matemáticas porque me gustan.

  

Las matemáticas son valiosas y necesarias. Las matemáticas sirven para aprender a pensar. Las matemáticas me resultan útiles para entender las demás áreas.



Necesito que me obliguen en casa para ponerme a estudiar matemáticas. No estudio matemáticas porque son difíciles y por mucho que estudie, no apruebo.

  

Confío en mi cuando tengo que resolver un problema de matemáticas. Cuando leo los ejercicios del examen de matemáticas, si la primera impresión es que no se hacerlo, me desanimo en seguida.