METHODECONCEPT / REDACTIE
Boom voortgezet onderwijs
AUTEURS
Benjamin del Canho
Maartje Elsinga
Jacqueline Kooiman
Gijs Langenkamp
Chantal Neijenhuis
Willem Schaap
Renee Springer
Sibren Stienstra
Roosmarij Vanhommerig
Vera de Visser
KERN WISKUNDE
GYMNASIUM / VWO+ LEERJAAR 2
BOOM VOORTGEZET ONDERWIJS
Inhoud
1 Getallen
academie
Hoe werkt geheimschrift? 8
1.1 Veelvouden, delers en priemgetallen 12
1.2
Machten 16
1.3 Wortels 20
1.4 Wortels herleiden 24
1.5 Het decimale getallenstelsel 26
Toetsvoorbereiding 32
2 Ruimtemeetkunde
academie
Platonische lichamen 36
2.1 Ruimtefiguren 40
2.2 Inhoud ruimtefiguren 44
2.3 Punten, lijnen en vlakken in de ruimte 48
2.4 Aanzichten en projecties 52
2.5 Uitslagen en oppervlakte 56
Toetsvoorbereiding 60
3 Verbanden
academie
Vliegen vogels efficiënter dan vliegtuigen? 64
3.1 Lineaire verbanden 68
3.2 Kwadratische verbanden 72
3.3 Kwadratische vormen 76
3.4 Hyperbolische verbanden 80
3.5 Wortelverbanden 84
Toetsvoorbereiding 88
4 Kansrekening
academie
Waarom beginnen veel getallen met het cijfer 1? 92
4.1 Verzamelingen 96
4.2 Tellen: roosterdiagram en boomdiagram 100
4.3 Tellen: wegendiagram en venndiagram 104
4.4 Kansen 108
4.5 Kansen berekenen 112
Toetsvoorbereiding 116
5 De stelling van Pythagoras
academie
Pythagoras en bijzondere getallen 120
5.1 De stelling van Pythagoras 124
5.2 Toepassingen in het platte vlak 128
5.3 Toepassingen in de ruimte 132
5.4 De omgekeerde stelling van Pythagoras 136
5.5 Bijzondere rechthoekige driehoeken 140
Toetsvoorbereiding 144
6 Vergelijkingen en ongelijkheden
academie
Hoeveel afstand moet je tot je voorligger houden? 148
6.1 Lineaire vergelijkingen 152
6.2 Lineaire ongelijkheden 156
6.3 Kwadratische vergelijkingen 160
6.4 Ontbinden in factoren 164
6.5 De abc-formule 168
Toetsvoorbereiding 172
7 Meetkundig redeneren
academie
De gulden snede 176
7.1
Gelijkvormigheid 180
7.2 Oppervlakte en inhoud van vergrotingen 184
7.3 Gelijkvormige driehoeken 188
7.4 Congruentie 192
7.5 Bissectrice en middelloodlijn 196
Toetsvoorbereiding 200
8 Algebra
academie
Hoeveel vrouwelijke wiskundigen ken jij? 204
8.1
Machten 208
8.2 Wortels 212
8.3 Haakjes wegwerken 216
8.4 Kwadraat afsplitsen 220
8.5 Gebroken vormen 224
Toetsvoorbereiding 228
Wiskundig redeneren
W1 Proberen 232
W2 Vergelijkingen opstellen 234
W3 In bekende vormen verdelen 236
Naslag 238
Register van begrippen 244
1 Getallen
In dit hoofdstuk leer je verschillende eigenschappen van getallen kennen. Ook leer je wat machten met negatieve exponenten zijn en wat wortels zijn en hoe je ermee kunt rekenen. Je maakt nader kennis met het decimale getallenstelsel en leert de namen van grote en kleine getallen. Tot slot kom je te weten hoe geheimschrift werkt, wat bomen met fractals te maken hebben, wat het verschil is tussen rationale en irrationale getallen en hoe computers rekenen.
ACADEMIE
Hoe werkt geheimschrift? 8
1.1 Veelvouden, delers en priemgetallen 12
1.2 Machten 16
1.3 Wortels 20
1.4 Wortels herleiden 24
1.5 Het decimale getallenstelsel 28
Toetsvoorbereiding 32
ACADEMIE
DOEL Je leert hoe je berichten kunt versleutelen en ontcijferen met behulp van het caesarcijfer en andere geheimschriften.
Hoe werkt geheimschrift?
Cryptografie Als je een bericht naar iemand wilt sturen en niet wilt dat iemand anders het kan lezen, kun je het bericht onleesbaar voor anderen maken door het in geheimschrift te zetten. Dit heet het versleutelen of coderen van het bericht. De ontvanger moet dan wel weten hoe het geheimschrift ontcijferd of gedecodeerd kan worden. Vaak heeft hij hiervoor een sleutel nodig, die aangeeft op welke manier de tekst is veranderd in geheimschrift. De tak van de wiskunde die zich bezighoudt met geheimschriften heet cryptografie. Dit woord is afgeleid van de Griekse woorden ‘kruptós’ (verborgen) en ‘gráphein’ (schrijven).
Het caesarcijfer Geheimschriften bestaan al heel lang. Een van de oudste en bekendste versleutelingstechnieken is het caesarcijfer. Hierbij wordt elke letter van een bericht vervangen door een andere letter die een vast aantal plaatsen verderop in het alfabet staat. Als je alle letters bijvoorbeeld drie plaatsen in het alfabet verschuift, wordt elke A een D, elke B een E, enzovoort. Letters aan het eind van het alfabet verschuiven weer naar voren. Zo wordt elke X een A, elke Y een B en elke Z een C.
In de illustratie onder aan deze bladzijde zie je hoe dat werkt. Het caesarcijfer is genoemd naar Julius Caesar (100 v.Chr.–44 v.Chr.), die met zijn veldheren had afgesproken dat in berichten elke letter drie plaatsen in het alfabet opgeschoven werd. Een bericht werd zo onleesbaar voor iemand die het onverhoopt zou onderscheppen. Het caesarcijfer is echter eenvoudig te ontcijferen, ook als je niet weet hoeveel plaatsen de letters verschoven zijn. Schrijf hiervoor (een deel van) de gecodeerde boodschap op en verschuif de letters eerst één plaats, dan twee plaatsen en ga net zolang door tot de tekst leesbaar is. Omdat het alfabet 26 letters heeft en er dus maar 25 verschuivingen mogelijk zijn, kun je met bovenstaande methode een tekst die versleuteld is met het caesarcijfer altijd wel ontcijferen. Daarom gebruikte Caesar voor belangrijke berichten ook wel ingewikkelder codeermethoden. Maar omdat de meeste mensen destijds nauwelijks konden lezen, was het caesarcijfer meestal voldoende veilig. Bovendien was deze manier van versleutelen nog niet bekend en wist men dus ook niet hoe je het gecodeerde bericht eenvoudig kon ontcijferen.
Caesarcijfer waarbij alle letters drie plaatsen naar rechts zijn opgeschoven in het alfabet. Om de versleutelde tekst zlvnxqgh te ontcijferen, moeten alle letters drie plaatsen naar links worden verschoven.
Met behulp van twee draaischijven kun je gemakkelijk een bericht met het caesarcijfer versleutelen. Ook kun je een versleuteld bericht er weer makkelijk mee ontcijferen.
andere geheimschriften Er zijn verschillende varianten van het caesarcijfer waarbij het geheimschrift lastiger te ontcijferen is. Zo kun je ook de letters van het alfabet door elkaar husselen en de letter A vervangen door de letter die na husselen op plaats 1 staat, de letter B door de letter die dan op plaats 2 staat, enzovoort. Nog ingewikkelder wordt het als je ook de spatie meeneemt alsof het de 27e letter van het alfabet is.
Frequentieanalyse Zonder hulpmiddelen kan het even duren voordat je erachter bent wat de sleutel is van een tekst die gecodeerd is met het caesarcijfer. En met andere geheimschriften is dat vaak nog lastiger. Je moet dan gebruikmaken van andere technieken om ze te ontcijferen. Je kunt bijvoorbeeld het feit gebruiken dat in het Nederlands de letter E het meest voorkomt. De letter die in een versleuteld bericht het vaakst voorkomt, zal dus vermoedelijk de letter E zijn. Tellen hoe vaak bepaalde letters voorkomen en de uitkomst analyseren heet frequentieanalyse
Moderne cryptografie Het caesarcijfer en varianten daarvan zijn tegenwoordig niet meer veilig om berichten mee te versleutelen. Met behulp van frequentieanalyse is een voldoende lang bericht ook zonder sleutel altijd te ontcijferen. Als de verschillende mogelijkheden op een computer worden doorgerekend, kan dit bovendien betrekkelijk snel. Daarom zijn er andere coderingen bedacht, waarbij wiskunde een belangrijke rol speelt. Er zijn echter nog geen praktisch bruikbare coderingen bekend waarbij het onmogelijk is om het bericht te ontcijferen zonder in bezit te zijn van de sleutel. Toch zijn er wel veilige coderingen, bijvoorbeeld coderingen waarbij zelfs de snelste computer miljoenen tot miljarden jaren nodig heeft om berichten zonder sleutel te ontcijferen. Computers worden wel steeds sneller. Als wetenschappers erin slagen een goed werkende kwantumcomputer te ontwikkelen, kunnen daarmee ook moderne coderingen zonder veel moeite worden gekraakt. Door dit soort ontwikkelingen blijft de cryptografie altijd in beweging, omdat er voortdurend gezocht moet worden naar betere coderingen.
OPDRACHTEN
Tekstvragen
1 a Wat is het caesarcijfer? R b Leg uit op hoeveel verschillende manieren je een bericht kunt versleutelen met het caesarcijfer. T1
2 a Versleutel het woord kern met het caesarcijfer waarbij alle letters vier plaatsen in het alfabet worden opgeschoven. T1
b Het volgende bericht is versleuteld met het caesarcijfer. Ga na wat de oorspronkelijke tekst is. T1 ydo dn uzzm bzczdh
c Versleutel zelf een bericht met het caesarcijfer en laat een klasgenoot het ontcijferen. T1
3 Kunnen onderstaande teksten versleutelingen zijn van dezelfde tekst, maar dan met een andere verschuiving? Leg je antwoorden uit. T2
a mors en zbef b kz en ma
Verdiepingsvragen
4 Lees de tekst Modulair rekenen op de rechterbladzijde. Neem over en vul in. T2
a 13 = (mod 5)
b 93 = (mod 7)
c 25 + 40 = (mod 7)
d 33 × 20 = … (mod 11)
5 Het caesarcijfer wordt ook wel de caesarrotatie genoemd (een rotatie is een draaiing).
Op bladzijde 9 zie je twee draaischijven waarmee je berichten met het caesarcijfer kunt versleutelen of decoderen. I
a Leg in eigen woorden uit hoe en waarom dit werkt.
b Een caesarcijfer waarbij alle letters drie plaatsen verschoven worden, wordt kortweg Rot3 genoemd.
Met welke modulus heb je te maken bij Rot3? En bij Rot5? Leg je antwoorden uit.
c Leg uit wat het caesarcijfer met modulair rekenen te maken heeft.
B e GRIPP en geheimschrift cryptografie versleutelen caesarcijfer coderen frequentieanalyse ontcijferen modulair rekenen decoderen modulus sleutel
Modulair rekenen
Op een klok met een wijzerplaat gaan de wijzers langs de getallen 1 tot en met 12. Als het 12 uur is geweest, begint de nummering van de uren opnieuw. Drie uur later dan 11 uur wijzen de wijzers niet 14, maar 2 uur aan. Dit is een voorbeeld van modulair rekenen. Vanaf een bepaalde grens, die de modulus heet, begin je weer bij 0 te rekenen. Bij de klok is de modulus 12. Je zegt dan dat je modulo 12 rekent.
Een voorbeeld is rekenen modulo 7. Je hebt dan alleen de getallen 0, 1, 2, 3, 4, 5 en 6 tot je beschikking. Zo geldt 7 = 0 (mod 7), 8 = 1 (mod 7), 9 = 2 (mod 7), enz. En 6 + 4 = 3 (mod 7).
Je kunt een modulaire berekening snel uit voeren door te delen door de modulus. De rest die je overhoudt, is de uitkomst. Er geldt dus 100 = 4 (mod 6), want 100 : 6 = 16 rest 4.
Onderzoeksopdracht
6 Een variant op het caesarcijfer is het vigenèrecijfer. Lange tijd dacht men dat deze versleuteling niet te kraken was. Zoek uit wat voor geheimschrift dit is en waarom het toch te kraken is.
Verwerk je resultaten in een presentatie, nieuwsartikel, video, poster of quiz. Gebruik voor je onderzoek ten minste drie verschillende bronnen. I
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat het caesarcijfer is.
T1 Ik kan teksten versleutelen en ontcijferen met het caesarcijfer.
T2 Ik kan modulair rekenen.
I Ik kan zelf de eigenschappen van een geheimschrift onderzoeken en uitleggen hoe het werkt.
Veelvouden, delers en priemgetallen
DOEL Je leert wat het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler zijn. Ook leer je wat priemgetallen zijn en hoe je een getal in priemfactoren kunt ontbinden.
Kleinste gemeenschappelijke veelvoud Als je een getal met een geheel getal vermenigvuldigt, heet het resultaat een veelvoud van dat getal. Zo zijn −20, 0, 10 en 25 allemaal veelvouden van 5, maar −17 en 8 niet. Het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee positieve gehele getallen is het kleinste positieve getal dat een veelvoud is van beide getallen. Zo is 18 het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 6 en 9. Je noteert dit als kgv(6, 9) = 18. Je kunt het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van twee getallen vinden door van beide getallen de veelvouden op te schrijven en na te gaan wanneer deze voor het eerst overeenkomen.
Grootste gemeenschappelijke deler Als je een geheel getal a deelt door een geheel getal b en de uitkomst weer een geheel getal is, is a deelbaar door b. Het getal b heet dan een deler van a. Zo is 2 een deler van 8, want 8 : 2 = 4. Een geheel getal is even als 2 een deler is van dat getal, anders is het oneven. De grootste gemeenschappelijke deler van twee positieve gehele getallen is het grootste getal dat een deler is van beide getallen. Zo is 5 de grootste gemeenschappelijke deler van 10 en 35. Je noteert dit als ggd(10, 35) = 5. Je kunt de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen vinden door van beide getallen alle delers op te schrijven en dan na te gaan wat de grootste deler is die overeenkomt.
Voorbeelden
1 Bereken kgv(15, 25).
Veelvouden van 15 zijn: 15, 30, 45, 60, 75, …
Veelvouden van 25 zijn: 25, 50, 75, 100, …
Het kleinste getal dat een veelvoud is van zowel 15 als 25 is 75. Dus kgv(15, 25) = 75.
De gehele getallen zijn: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Getallen groter dan 0 zijn positief.
2 Bereken ggd(18, 30).
De delers van 18 zijn: 1, 2, 3, 6, 9 en 18.
De delers van 30 zijn: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 en 30. Het grootste getal dat een deler is van zowel 18 als 30 is 6. Dus ggd(18, 30) = 6.
Priemgetallen Een geheel getal groter dan 1 met precies twee positieve delers, namelijk 1 en zichzelf, heet een priemgetal. De eerste vijf priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7 en 11. Elk geheel getal groter dan 1 dat geen priemgetal is, heeft meer dan twee delers en heet daarom een samengesteld getal. Zo is 24 een samengesteld getal met delers 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 en 24. Je kunt elk samengesteld getal schrijven als een product van priemgetallen. Zo kun je 15 schrijven als 3 5, het product van de priemgetallen 3 en 5. Dit heet ontbinden in priemfactoren, waarbij 3 en 5 de priemfactoren zijn. Je kunt een priemontbinding vinden door systematisch te zoeken naar steeds grotere priemgetallen waar je door kunt delen. Hiernaast zie je hoe dit werkt voor het getal 60.
Als b een deler is van a , dan is – b dat ook. Meestal wordt alleen gekeken naar positieve delers. In dit hoofdstuk is dat ook zo. 60 2 × 30 2 × 15 3 × 5
60 = 2 2 3 5 = 22 3 5
OPDRACHTEN — OEFENEN
Kleinste gemeenschappelijke veelvoud
7 a Welke van de volgende getallen zijn veelvouden van 7? T1
20 / 35 / 91 / 107 / 140
b Welke van de volgende getallen zijn veelvouden van 1 4? T2
1 2 / 5 16 / 7 8 / 1 3 4 / 10
8 Bepaal het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van de volgende paren getallen. T1
a 9 en 24
b 12 en 14
c 35 en 245
Grootste gemeenschappelijke deler
9 a Van welke van de volgende getallen is 3 een deler? Let op: er kunnen meerdere antwoorden goed zijn. T1
25 / 99 / –32 / –111
b Geef alle delers van 54. T1
c Welk positieve gehele getal onder de 16 heeft de meeste delers? T2
d Leg uit of 0 even of oneven is. T1
10 Geef aan welke van de volgende beweringen onjuist zijn. Geef bij die beweringen een tegenvoorbeeld. T2
A De som van twee oneven getallen is altijd even.
B Als je een even getal door 2 deelt, is de uitkomst altijd even.
C Als 2 en 3 delers van een getal zijn, is 6 dat ook.
D Als 2 en 4 delers van een getal zijn, is 8 dat ook.
11 Bepaal de grootste gemeenschappelijke deler van de volgende paren getallen. T1
a 15 en 35
b 30 en 42
c 100 en 325
12 a Geef de afmetingen van alle rechthoeken waarvan de oppervlakte 120 is en de lengte van de zijden gehele getallen zijn. T2
b Is het aantal delers van 120 even of oneven? Leg je antwoord uit. T2
c Noem drie getallen met een oneven aantal delers. I
Priemgetallen
13 a Wat is een priemgetal? R
b Wat is het kleinste priemgetal? R
c Hoeveel priemgetallen zijn even? T2
d Hoeveel priemgetallen zijn een veelvoud van 4? T2
14 Welke van de volgende getallen zijn priemgetallen? Let op: er kunnen meerdere antwoorden goed zijn. T1
11 / 27 / 31 / 57 / 85
15 Geef de priemfactorontbinding van de volgende getallen. T1
a 18 c 100
b 45 d 256
OPDRACHTEN – ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
16 Een volmaakt getal is een getal dat gelijk is aan de som van zijn echte delers (dat zijn alle delers behalve het getal zelf). Het kleinste volmaakte getal is 6.
a Laat zien dat 6 een volmaakt getal is. T1
b Het eerstvolgende volmaakte getal ligt tussen 20 en 30. Welk getal is dit? T2
17 a Geef de priemfactorontbindingen van 36 en 60. T1
b Gebruik je antwoord op opdracht a om kgv(36, 60) en ggd(36, 60) te bepalen. T2
c Bepaal op dezelfde manier kgv(50, 140) en ggd(50, 140). T2
d Leg in eigen woorden uit hoe je met behulp van de priemfactorontbindingen van twee getallen hun kleinste gemeenschappelijke veelvoud en grootste gemeenschappelijke deler kunt bepalen. I
18 Je kunt ook het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler van drie of meer getallen bepalen. Bereken. T2
a kgv(6, 8, 10)
b kgv(10, 100, 1000)
c ggd(24, 48, 54)
d ggd(10, 100, 1000)
19 Leg uit wat je kunt zeggen over het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler van twee verschillende priemgetallen. I
Onderzoeken
20 Lees de tekst Breuken op de rechterbladzijde.
a Leg in eigen woorden uit hoe je bij het vereenvoudigen van breuken de grootste gemeenschappelijke deler kunt gebruiken. T2
b Vereenvoudig 45 81, 63 126 en 245 1000. T1
21 a Leg in je eigen woorden uit hoe je bij het gelijknamig maken van breuken het kleinste gemeenschappelijke veelvoud kunt gebruiken. T2
b Bereken 5 33 + 11 45, 1 24 7 60 en 7 250 + 9 700. T1
B e GRIPP en veelvoud kleinste gemeenschappelijke veelvoud deelbaar deler even oneven grootste gemeenschappelijke deler priemgetal samengesteld getal ontbinden in priemfactoren priemfactor
Breuken
De grootste gemeenschappelijke deler en het kleinste gemeenschappelijke veelvoud komen ook van pas bij het rekenen met breuken.
Je vereenvoudigt de breuk 8 20 zo ver mogelijk door de teller en de noemer allebei door 4 te delen: 8 20 = 8 : 4 20 : 4 = 2 5. Het getal 4 is de grootste gemeenschappelijke deler van 8 en 20, daarom kun je niet verder vereenvoudigen. Dit werkt altijd zo.
Om een breuk zo ver mogelijk te vereenvoudigen, deel je de teller en de noemer door hun grootste gemeenschappelijke deler.
Om de breuken 2 15 en 7 25 gelijknamig te maken, kun je de teller en de noemer van 2 15 met 25 vermenigvuldigen en de teller en de noemer van 7 25 met 15.
Je krijgt dan 2 15 = 2 25 15 25 = 50 375 en 7 25 = 7 15 25 15 = 105 375. Beide breuken kun je vereenvoudigen. Je krijgt dan 50 375 = 10 75 en 105 375 = 21 75. Je kunt ook direct naar een gemeenschappelijke noemer van 75 toe werken.
Je vermenigvuldigt de teller en de noemer van 2 15 daarvoor met 5 en de teller en de noemer van 7 25 met 3. Je krijgt dan 2 15 = 2 5 15 5 = 10 75 en 7 25 = 7 3 25 3 = 21 75
Dit is de kleinste noemer waarbij de breuken gelijknamig zijn, omdat 75 het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 15 en 25 is. Dit werkt altijd zo, mits beide breuken zo ver mogelijk vereenvoudigd zijn. Om de breuken gelijknamig te maken, moet je ervoor zorgen dat de noemers van beide breuken gelijk worden aan hun kleinste gemeenschappelijke veelvoud.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat veelvouden en delers zijn en ken het verschil tussen even en oneven. Ook weet ik wat priemgetallen zijn.
T1 Ik kan het kleinste gemeenschappelijke veelvoud en de grootste gemeenschappelijke deler van twee getallen vinden. Ook kan ik een getal in priemfactoren ontbinden.
T2 Ik kan redeneren over eenvoudige eigenschappen van getallen.
I Ik kan redeneren over ingewikkelde eigenschappen van getallen.
R e K enen
R1 Bereken. I
Machten
DOEL Je leert hoe je met machten kunt rekenen.
Machten Als je een getal een aantal malen met zichzelf vermenigvuldigt, kun je die berekening korter schrijven als macht, bijvoorbeeld 34
De exponent 4 geeft aan hoe vaak het grondtal 3 als factor wordt gebruikt: 34 = 3 3 3 3. Als je de machten 33 , 32 en 31 uitschrijft en op een rijtje zet, zie je dat ze steeds drie keer zo klein worden: 33 = 27, 32 = 9 en 31 = 3
Deze regelmaat kun je voortzetten voor exponenten die kleiner zijn dan 1. Je krijgt dan 30 = 1; 3−1 = 1 3; 3−2 = 1 9, enzovoort. De breuk 1 3 is gelijk aan 1 31 en 1 9 is gelijk aan 1 32. Hieruit kun je afleiden dat 3 n = 1 3n. Op een soortgelijke wijze kun je vinden dat voor elk grondtal a ongelijk aan 0 en machten met exponenten kleiner dan 1 geldt: a 0 = 1 en a n = 1 a n .
Let op het verschil tussen –24 en (–2)4. –24 is gelijk aan het tegengestelde van 24 en dat is –16. (–2)4 is gelijk aan –2 × –2 × –2 × –2 en dat is 16.
Voorbeelden:
(–2)–4
(
Machten vermenigvuldigen Als je twee machten met hetzelfde grondtal met elkaar vermenigvuldigt, mag je de exponenten bij elkaar optellen. Zo is 32 · 34 gelijk aan 32 + 4 = 36. Door de machten uit te schrijven, zie je waarom dit zo is: 32 · 34 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 36 2 + 4 drieën
Deze regel geldt ook voor negatieve exponenten (zie opdracht 29).
Machten delen Als je een macht door een macht met hetzelfde grondtal deelt, mag je de exponenten van elkaar aftrekken. Zo is 35 32 gelijk aan 35 2 = 33. Door de machten uit te schrijven, zie je waarom dit zo is: 5 – 2 drieën
35 32 = 3 3 3 3 3 3 3 = 33
Deze regel geldt ook voor negatieve exponenten (zie opdracht 32).
Voorbeelden:
OPDRACHTEN — OEFENEN
Machten
22 Bereken zonder rekenmachine. T1
a 54 f (−7)3 − 32
b 0,13 g 100 − 54
c (1 3 4)2 h 9 · 25 − 64 23
d (−1)40 i 100 52 − (52 42)
e ( 2 5)5 j 62 + (−6)2
23 Bereken zonder rekenmachine. T1
a 2−2 e 70
b 5−3 f 3−4
c ( 10)−5 g (1 3)−2
d ( 10)−6 h (1 1 2)−4
24 Neem over en vul in. T2
a 0,25 = −2 e 0,04 = 5
b 0,001 = −3 f 1024 = (1 4)
c 1 25 = −2 g 1 9 = 9
d 1 10 = −1 h 1 8 = 2
25 Bereken. T1
a (–3)2 e –25
b –32 f (–2)5
c –33 g –26
d (–3)3 h (–2)6
26 Leg uit waarom 05 wel bestaat, maar 0−5 niet. I
Machten vermenigvuldigen
27 Neem over en vul in. R Bij het met elkaar vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal, mag je de exponenten .
28 Schrijf als één macht. T1
a 59 ⋅ 512 d 0,715 0,7−5
b 9−8 9−4 e 112 11−2
c 4 42 f (3 4)6 (3 4)12
29 Toon aan dat 3−2 · 36 = 3−2 + 6 = 34 . Tip: maak gebruik van 3−2 = 1 32 en schrijf de machten vervolgens uit. T2
Machten delen
30 Neem over en vul in. R Als je een macht door een macht met deelt, mag je de van elkaar aftrekken.
31 Schrijf als één macht. T1 a 59 512 d 3−1 34
b 9−3 94 e (0,9)2 (0,9)−2
c (1 2 7)15 (1 2 7)−5 f 10 10−1
32 Toon aan dat 34 3−1 = 34 + 1 = 35 T2
Tip: als je deelt door een breuk, vermenigvuldig je met het omgekeerde van de breuk.
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
33 a Hoeveel lagen papier heb je als je een vel papier drie keer dubbelvouwt? T2
b Laat zien dat je na tien keer vouwen ongeveer 1000 lagen papier hebt. T2
c Een vel papier met een dikte van 0,1 mm is zo vaak dubbelgevouwen dat het 1,28 cm dik is. Hoe vaak is het dubbelgevouwen? T2
d De gemiddelde afstand van de aarde tot de maan is ongeveer 385 000 km. Hoe vaak zou je een vel papier met een dikte van 0,1 mm moeten dubbelvouwen om deze afstand te overbruggen? I
34 Je kunt een term met één van de drie factoren
34 · 35 , 34 35 en (34)5 vermenigvuldigen.
Geef aan bij welke factoren de volgende berekeningen horen. Leg je antwoorden uit. T2
A vier keer met 3 vermenigvuldigen en daarna vijf keer door 3 delen
B vijf keer vier keer met 3 vermenigvuldigen
C vier keer met 3 vermenigvuldigen en daarna vijf keer met 3 vermenigvuldigen
35 a Schrijf (83)4 als een macht van 8. I
b Schrijf (42)3 als een macht van 4. I
c Welke regel geldt er, denk je, voor het berekenen van machten van machten? I
Onderzoeken
36 Lees de tekst Boomfractals op de rechterbladzijde. De eerste keer dat je het voorschrift toepast, vertakt de stam van de boomfractal op de rechterbladzijde zich in zes kleinere takken. Stel dat je het voorschrift in totaal zeven keer achter elkaar toepast. Bereken hoeveel takken de boom dan in totaal heeft. T2
37 Je gaat nu zelf een fractal van een boom tekenen. De stam van deze boom vertakt zich in drie takken die 3 4 keer zo lang zijn. Elke tak vertakt zich in drie takken die opnieuw 3 4 keer zo lang zijn. Hieronder zie je de eerste twee stappen. I
a Welk voorschrift hoort bij deze fractal?
b Pas het voorschrift vier keer toe.
c Hoe lang zijn de kleinste takken als je het voorschrift acht keer toepast? En als je dat twintig keer doet? Rond je antwoord af op drie decimalen.
d Bedenk drie manieren waarop je het voorschrift kunt aanpassen om een ander soort boomfractal te krijgen.
Boomfractals
Een fractal is een figuur waarbij een kleiner gedeelte er hetzelfde uitziet als het geheel.
Zo’n figuur kun je tekenen met behulp van een voorschrift dat je op steeds kleinere schaal achter elkaar toepast.
Bij de fractal die je hiernaast ziet, is eerst de stam van de boom getekend. De stam vertakt zich in zes takken die half zo lang en minder dik zijn. Elke tak vertakt zich in zes takken die opnieuw half zo lang en minder dik zijn. Als je dit voorschrift verschillende malen achter elkaar toepast, ontstaat er een boom.
Door het voorschrift te wijzigen, kun je verschillende soorten ‘boomfractals’ maken.
R e K enen
R2 Een gemiddelde boom levert 300 kg papier op. Eén vel A4papier weegt 5 gram.
I Hoeveel vellen papier levert één gemiddelde boom?
II In een pak papier zitten 500 vellen. Hoeveel pakken papier kun je van één boom maken?
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik ken de regel voor het met elkaar vermenigvuldigen van machten met hetzelfde grondtal. Ook ken ik de regel voor het delen van een macht door een macht met hetzelfde grondtal.
T1 Ik kan machten met een negatieve exponent berekenen. Ook kan ik machten vermenigvuldigen met machten met hetzelfde grondtal of delen door machten met hetzelfde grondtal.
T2 Ik kan het grondtal of de exponent bepalen in berekeningen met machten.
I Ik kan rekenregels afleiden die gelden bij het rekenen met machten.
B e GRIPP en macht exponent grondtal fractal
Wortels
DOEL Je leert wat wortels zijn.
Wortels Als je de lengte van een zijde van een vierkant met een oppervlakte van 25 wilt bepalen, zoek je een getal waarvan het kwadraat 25 is. Dit getal heet de wortel van 25 en noteer je als √25 Er geldt dus (√25 )2 = √25 √25 = 25. Er zijn twee getallen waarvan het kwadraat 25 is, namelijk –5 en 5. Maar omdat een lengte niet negatief kan zijn, valt –5 af. De lengte van een zijde van het vierkant is dus √25 = 5 Het berekenen van de wortel van een getal heet worteltrekken. Zo is √36 = 6, want 6 6 = 36. Er is afgesproken dat een wortel altijd groter dan of gelijk aan 0 is. Daarom is –6 geen wortel van 36, ook al is 6 6 = 36.
De wortel van een negatief getal bestaat niet, want een kwadraat is nooit negatief. √ 25 bestaat dus niet. Maar pas op: √25 bestaat wel. √25 is het tegengestelde van √25 en dus gelijk aan 5.
Voorbeelden
1 √16 = 4, want 42 = 4 · 4 = 16
2 √0,01 = 0,1, want (0,1)2 = 0,1 · 0,1 = 0,01
3 (√7 )2 = √7 · √7 = 7
6 √ 49 bestaat niet
Volgorde van berekenen Je moet berekeningen in de juiste volgorde uitvoeren. De juiste rekenvolgorde is:
1 eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat; 2 dan machtsverheffen en worteltrekken; 3 dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts; 4 dan optellen en aftrekken van links naar rechts.
Onder het wortelteken worden haakjes weggelaten. √16 7 betekent hetzelfde als √(16 7) en dit is gelijk aan √9 = 3
Ook wordt het vermenigvuldigingsteken voor wortels weggelaten: 2 √9 betekent hetzelfde als 2 √9 en dit is gelijk aan 2 3 = 6.
Wortels benaderen Hierboven heb je gezien dat √25 = 5 en √1 4 = 1 2
Veel wortels komen niet zo mooi op een geheel getal of een breuk uit.
Dat geldt bijvoorbeeld voor √10 , want er bestaat geen geheel getal of breuk waarvan het kwadraat 10 is. √10 is groter dan √9 en kleiner dan √16 , dus ligt √10 ergens tussen 3 en 4 in. Je noteert dit als 3 < √10 < 4. Met je rekenmachine kun je een nauwkeurige benadering vinden: √10 = 3,1622... ≈ 3,16 √10 is dus ongeveer gelijk aan 3,16.
Laat wortels die je niet als geheel getal of breuk kunt schrijven altijd in je antwoord staan, tenzij om een benadering wordt gevraagd. Zo heeft een vierkant met een oppervlakte van 10 cm2 zijden met een lengte van √10 cm. Afgerond op drie decimalen is dit 3,162 cm.
OPDRACHTEN — OEFENEN
Wortels
38 Teken een getallenlijn van 0 tot 10. Geef met pijltjes aan waar de getallen √4 , √9 en √1 4 liggen. T1
39 Neem over en vul in: T1
a √4 = 2, omdat ... 2 = ...
b √100 = ..., omdat ... 2 = ...
c √ = 13, omdat ... 2 = ...
40 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √49 d √0,04
b √144 e (√3,5 )2
c √4 9 f √5,52
Volgorde van berekenen
43 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √32 + 42 d 11 16 + √25 16
b √400 10 e (√3 )2 √5 √5
c 4 √16 + 9 f 2 1 2 + 2 √25 16
Wortels benaderen
44 Teken een getallenlijn van 0 tot 5. Geef met pijltjes aan waar de getallen √2 , √3 en √5 ongeveer liggen. T1
45 Geef aan tussen welke twee gehele getallen de volgende wortels liggen. Gebruik geen rekenmachine. T1
a √38 c √240
b √95 d √1000
41 Welke van de volgende uitdrukkingen is/zijn waar? Leg je antwoorden uit. T2
I √ 16 = − 4
II √16 = − 4
III √11 √11 = 11
IV √20 √20 = 400
42 a Wat is de lengte van de zijden van een vierkant met een oppervlakte van 169 cm2? T1
b Wat is de oppervlakte van een vierkant waarvan de zijden een lengte hebben van √11 dm? T2
c Een wortel wordt ook wel vierkantswortel genoemd. Waarom is dit zo, denk je? T2 ...
46 a Bereken met behulp van inlijsten de oppervlakte van het vierkant hieronder. T2 b Bereken de omtrek van het vierkant. Rond je antwoord af op drie decimalen. T2
OPDRACHTEN
— ONTDEKKEN &
ONDERZOEKEN
Ontdekken
47 Bereken als dat kan. Leg anders uit waarom dit niet kan. Gebruik geen rekenmachine. T2
a √( 10)2 d √102
b √ 102 e (√10 )2
c (√ 10 )2 f ( √10 )2
48 Gebruik geen rekenmachine.
a Toon aan dat 2 < √5 < 2,5. T2
b Toon aan dat 2 1 5 < √5 < 2 1 4. T2
c Rond √21 af op een geheel getal. I
49 a Geef de formules voor de omtrek en de oppervlakte van een cirkel. Gebruik indien nodig de naslag (zie bladzijde 243). R
b Bereken de straal en de omtrek van een cirkel met een oppervlakte van 10π. Rond je antwoorden af op twee decimalen. T2
50 Hieronder zie je een lijnstuk waarvan de eindpunten roosterpunten zijn. I
Onderzoeken
51 Lees de tekst Rationale en irrationale getallen op de rechterbladzijde. Leg uit of de volgende getallen rationaal of irrationaal zijn. T2
a 10 e √9 16 25
b √10 f √3 1 16
c 0 g √1000
d 3 1 3 h √169
52 Bereken zonder rekenmachine. T2
a √0,25
b √2 1 4
c √0,0001
d √6 19 25
B e GRIPP en wortel worteltrekken rekenvolgorde rationaal getal irrationaal getal
a Tussen welke twee gehele getallen ligt de lengte van dit lijnstuk?
b Bepaal zonder meten de lengte van dit lijnstuk. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Tip: kijk nog eens naar opdracht 46.
Rationale en irrationale getallen
Sommige wortels hebben een mooie uitkomst.
Zo is √16 gelijk aan 4 en √9 4 gelijk aan 3 2 = 1 1 2
Getallen die als geheel getal of breuk te schrijven zijn, heten rationale getallen. Andere voorbeelden van rationale getallen zijn 10, 1 3 7, √36 en √25 16 .
Ook getallen als 0,25; 0,8333… en √18 8 zijn rationaal, want 0,25 = 1 4; 0,8333… = 5 6 en √18 8 = √9 4 = 3 2 = 1 1 2.
Veel wortels zijn niet rationaal. Zo kun je √3 niet als geheel getal of breuk schrijven. Zulke getallen heten irrationale getallen. Andere voorbeelden van irrationale getallen zijn 1 2 √2 , √5 + √7 en 1 + √2 .
Maar ook π, 1 2 π en π 2 zijn irrationaal. Als je wilt weten of een wortel rationaal is, moet je kijken of je deze als geheel getal of breuk kunt schrijven. Dit is alleen het geval als onder het wortelteken een kwadraat staat of een getal dat je kunt schrijven als een breuk waarvan zowel de noemer als de teller een kwadraat is. Bij wortels als √25 en √100 kun je snel zien dat er een kwadraat onder het wortelteken staat. En bij wortels als √4 9 en √81 36 kun je ook goed zien dat de teller en noemer van de breuk beide een kwadraat zijn. Maar er zijn ook getallen waarbij dit niet zo snel duidelijk is. Zo geldt √3
En √2,25 = √2 1 4 = √9 4 = √3 2 3 2 = 3 2 = 1,5 Om te bepalen of dit soort wortels rationaal zijn, schrijf je ze als breuk en vereenvoudig je die zo ver mogelijk. Vervolgens bekijk je of de teller en de noemer beide een kwadraat zijn.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat wortels zijn en in welke volgorde ik een berekening moet uitvoeren.
T1 Ik kan de wortel van een getal berekenen of benaderen. Ook kan ik berekeningen met wortels in de juiste volgorde uitvoeren.
T2 Ik kan uitleggen wat een wortel met een vierkant te maken heeft.
I Ik kan wortels met breuken benaderen en ik kan de lengte berekenen van een lijnstuk waarvan de eindpunten roosterpunten zijn.
R e K enen
R3 100 gram rauwe wortels bevat slechts 0,82 gram koolhydraten en 0,1 gram vet. Eén portie is ongeveer 130 gram.
I Hoeveel gram koolhydraten bevat één portie rauwe wortels?
II Hoeveel gram vet bevat één portie rauwe wortels?
De gemiddelde Nederlandse man heeft een dagelijkse vetbehoefte van ongeveer 100 gram. Voor de gemiddelde Nederlandse vrouw is dit ongeveer 80 gram.
III In hoeveel kg wortels zit 100 gram vet?
Wortels herleiden
DOEL Je leert hoe je met wortels kunt rekenen.
Wortels optellen en aftrekken Wortels kun je net als andere getallen bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken. Zo is √2 + √2 gelijk aan 2 √2 = 2 √2 . En 7 √2 2 √2 = 5 √2 . Met je rekenmachine vind je 2 √2 ≈ 2,83 en 5 √2 ≈ 7,07. Je mag termen als √2 , 2 √2 en 3 √2 bij elkaar optellen en van elkaar aftrekken omdat onder het wortelteken hetzelfde getal staat. Dit zijn gelijksoortige wortelvormen 1, √2 en 4 √3 zijn niet gelijksoortig. Je kunt 1 en √2 daarom wel bij elkaar optellen, maar niet verder herleiden dan 1 + √2 . Net zo kun je √2 wel van 4 √3 aftrekken, maar niet verder herleiden dan 4 √3 √2 . Met je rekenmachine kun je uitrekenen hoe groot de resulterende getallen ongeveer zijn: 1 + √2 ≈ 2,41 en 4 √3
5,51.
Voorbeelden
1 3 √2 + 5 √2 =
Wortels vermenigvuldigen en delen Wortels kun je net als andere getallen met elkaar vermenigvuldigen. Je vermenigvuldigt dan de getallen die onder het wortelteken staan met elkaar. Zo is √3 · √7 = √3 · 7 = √21 . Delen werkt op dezelfde manier. Je deelt de getallen die onder het wortelteken staan door elkaar. Zo is
45
3 =
45
= √15
In opdracht 63 toon je aan waarom je op deze manier kunt vermenigvuldigen en delen.
Voorbeelden
1 √
Wortels vereenvoudigen Sommige wortels kun je vereenvoudigen. Doe dit altijd zo ver mogelijk.
Als het getal onder het wortelteken een kwadraat als deler heeft, kun je het kwadraat voor het wortelteken brengen. Je gebruikt daarvoor de regel voor het vermenigvuldigen van wortels.
Zo is √8 = √4 2 = √4 √2 = 2 √2
Als het getal onder het wortelteken een breuk is, kun je de breuk met een vermenigvuldiging voor het wortelteken brengen. Zo
Je mag vermenigvuldigen met 2 2 omdat 2 2 = 1
OPDRACHTEN — OEFENEN
Wortels optellen en aftrekken
53 Herleid indien mogelijk. Gebruik geen rekenmachine. T1
a 10 √2 + 2 √2 c 3 √7 + 5 √7
b 3 √5 + 5 √3 d 5 √11 6 √11
54 Herleid zonder rekenmachine. T1
a 5 √2 + 6 √3 12 √2
55 Bereken de omtrek van de volgende figuur. T2
57 Bereken zonder rekenmachine. T2
a (√3 √2 )2 c (2 √3 )2
b √11 (√5 )2 d (√7 )4
58 Gebruik bij deze opdracht indien nodig de naslag (zie bladzijde 243).
a Bereken de oppervlakte van de figuur in opdracht 55. T2
b Een rechthoek heeft een lengte van 2 √7 en een oppervlakte van 14. Bereken de breedte van de rechthoek. T2
c Een driehoek heeft een basis van 15 en een hoogte van 4 √3 . Bereken de oppervlakte van de driehoek. T2
Wortels vereenvoudigen
59 Vereenvoudig de volgende wortels. Gebruik geen rekenmachine. T1
a √40 c √72 e √2 3
b √50 d √1 5 f √8 9
60 Herleid zonder rekenmachine. T2
a 4 √8 + 3 √2 b
Wortels vermenigvuldigen en delen
56 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √5 √6 d √22 √11
b √28 √1 7 e
61 Bereken de omtrek en de oppervlakte van parallellogram ABCD. Gebruik indien nodig de naslag (zie bladzijde 243). T2 D C A B 7 10 6
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
62 Herleid zonder rekenmachine. Gebruik indien nodig de naslag (zie bladzijde 242). T2
a √2 (3 + √2 )
b (√3 1)(2 √5 1 2 √6 )
c (2 √3 √6 )2
63 a Laat zien dat (√3 √7 )2 = 21 door het kwadraat uit te schrijven. T2
b Leg uit dat dit betekent dat
√3 · √7 = √21 . T2
c Toon op soortgelijke wijze aan dat
√7
√11 = √ 7 11 . T2
64 a Ontbind 98 in priemfactoren. T1
b Gebruik de priemfactorontbinding om √98 te vereenvoudigen. I
c De priemfactorontbinding van 113 400 is:
23 · 34 · 52 · 7
Vereenvoudig √113 400 I
R e K enen
R4 Het leerlingenstatuut van een school bestaat uit acht hoofdstukken van elk vier bladzijden. Het leerlingenstatuut wordt dubbelzijdig geprint. Er zitten 1226 leerlingen op deze school.
I Hoeveel vellen papier zijn er nodig om aan alle twaalf leden van de leerlingenraad een leerlingenstatuut te kunnen geven?
II Hoeveel vellen papier zijn er nodig om aan alle leerlingen een leerlingenstatuut te geven?
Onderzoeken
65 Lees de tekst Het wortelteken op de rechterbladzijde. Neem de omkaderde alinea over en vertaal deze samen met een klasgenoot zo goed mogelijk in het Nederlands. T2
66 Hieronder vind je een fragment uit Die Coß waarin Rudolff enkele optellingen bespreekt. Op de eerste regel staat ‘√8 zu √18 facit √50 ’. Dit betekent hetzelfde als √8 + √18 = √50 . Maak de volgende opdrachten zonder rekenmachine. T2
a Toon aan dat deze berekening klopt.
b Toon aan dat de volgende drie berekeningen ook kloppen.
c Laat zien dat Rudolff een fout heeft gemaakt in de onderste berekening.
B e GRIPP en wortelvorm gelijksoortige wortelvormen
Het wortelteken
Het idee van een wortel was al in de oudheid bekend, maar Arabische wiskundigen hebben in de middeleeuwen de wortel pas zijn naam gegeven. Het kwadraat van een getal werd door hen ‘ma l’ genoemd, dat hoofdsom betekent. Het bijbehorende getal noemden zij ‘jid r’, dat wortel van een plant betekent. De Arabieren gaven hiermee aan dat volgens hen de hoofdsom als het ware afkomstig is uit zijn wortel. Zij gebruikten het woord wortel overigens niet alleen voor het omgekeerde van een kwadraat, maar ook voor de oplossingen van een vergelijking. Dit laatste is nog steeds het geval in Engelstalige landen, waar de oplossingen van een vergelijking ook wel ‘the roots of the equation’ worden genoemd. Het Engelse woord ‘root’ betekent wortel.
Ook Nederlandse wiskundigen gebruiken soms het woord wortel om een oplossing van een vergelijking mee aan te duiden. De Duitse wiskundige Christoff Rudolff (1499−1545) was de eerste die het wortelteken √ gebruikte. Hiernaast zie je een fragment uit zijn boek Die Coß (1525), waarin hij het wortelteken introduceert. Waarom hij voor dit teken heeft gekozen, is niet helemaal duidelijk. Het is mogelijk dat Rudolff het heeft afgeleid van de letter r, de beginletter van het Latijnse woord ‘radix’, dat wortel betekent. Maar er zijn ook aanwijzingen dat het afkomstig is van een punt met een staart eraan. Rudolff gebruikte nog niet het horizontale streepje dat een wortel tegenwoordig heeft (√i ). Deze toevoeging is afkomstig van de Franse filosoof en wiskundige René Descartes (1596−1650). Rudolff heeft niet alleen het wortelteken geïntroduceerd, maar gebruikte ook als eerste de definitie x 0 = 1
Fragment uit een herdruk van ‘Die Coß’ (1525) door christoff rudolff .
Hier zie je de eerst bekende keer dat het wortelteken werd gebruikt.
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wanneer je wortels bij elkaar mag optellen of van elkaar mag aftrekken.
T1 Ik kan wortels optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en vereenvoudigen.
T2 Ik kan de omtrek en de oppervlakte berekenen van vlakke figuren waarvan de afmetingen wortels zijn.
I Ik kan priemfactorontbinding gebruiken om wortels van gehele getallen te vereenvoudigen.
Het decimale getallenstelsel
DOEL Je leert hoe het decimale getallenstelsel werkt en hoe je getallen in de wetenschappelijke notatie opschrijft. 1.5
Het decimale getallenstelsel Het decimale getallenstelsel bestaat uit de tien cijfers 0 tot en met 9. De plaats waar een cijfer in een decimaal getal staat, bepaalt de waarde van dat cijfer. Zo staat in het getal 7125,4 de 7 voor 7 duizendtallen, de 1 voor 1 honderdtal, de 2 voor 2 tientallen, de 5 voor 5 eenheden en de 4 voor 4 tienden. Van links naar rechts neemt de waarde van een cijfer dus steeds met een factor tien af. Je kunt decimale getallen daarom als een som van machten van 10 schrijven: 7125,4 = 7 103 + 1 102 + 2 101 + 5 100 + 4 10−1
Machten van 10 Sommige machten van 10 komen vaak voor en hebben daarom een naam gekregen. Hieronder zie je er een aantal. Als je het getal als macht van 10 schrijft, zie je aan de exponent hoeveel nullen het getal heeft.
duizend = 103 = 1000 één duizendste = 1 103 = 10−3 = 0,001
miljoen = 106 = 1 000 000 één miljoenste = 1 106 = 10−6 = 0,000 001
miljard = 109 = 1 000 000 000 één miljardste = 1 109 = 10−9 = 0,000 000 001
biljoen = 1012 = 1 000 000 000 000 één biljoenste = 1 1012 = 10−12 = 0,000 000 000 001
Wetenschappelijke notatie Een groot getal als 12 500 000 000 is door de vele cijfers lastig om te lezen of mee te rekenen. Daarom wordt zo’n getal vaak geschreven als een vermenigvuldiging van een getal tussen 1 en 10 met een macht van 10. Je krijgt dan 1,25 × 1010
Dit heet de wetenschappelijke notatie
Heel kleine getallen worden ook vaak in de wetenschappelijke notatie geschreven. De exponent van de macht van 10 is dan negatief. Bijvoorbeeld 0,000 003 = 3 1 1 000 000 = 3 10−6
Voorbeelden
1 9800 = 9,8 1000 = 9,8 103
2 3 000 000 = 3 1 000 000 = 3 106
3 0,7 = 7 1 10 = 7 × 10−1
4 0,000 065 = 6,5 1 100 000 = 6,5 10−5 5 7 × 104 = 7 10 000 = 70 000
getal tussen 1 en 10 a 10n
In plaats van de vermenig vuldigingspunt wordt ook vaak het ×symbool gebruikt.
027 64
OPDRACHTEN — OEFENEN
Het decimale getallenstelsel
67 Gegeven is het getal 6391,75. T1
a Hoeveel duizendtallen heeft dit getal?
b Wat is de betekenis van het cijfer 5 in dit getal?
68 Schrijf de volgende getallen als som van machten van 10. T1
a 4205 b 3,562
69 Welke decimaal getal is gelijk aan
3 · 102 + 1 · 100 + 6 · 10−3? T1
Machten van 10
70 Schrijf de volgende getallen als macht van 10. R
a 1 miljoen d 1 duizendste
b 1 miljard e 1 miljoenste
c 1 biljoen f 1 miljardste
71 Geef aan welke bewering juist is.
Iemand van 31 jaar is ongeveer: T2
A 1 miljoen seconden oud
B 1 miljard seconden oud
C 1 biljoen seconden oud
72 Op 1 januari 2017 telden de Verenigde Staten
326 625 791 inwoners. T2
a Waarom heeft het niet veel zin om dit aantal zo nauwkeurig weer te geven?
b Rond dit aantal af op miljoenen nauwkeurig.
Wetenschappelijke notatie
73 Noem twee voordelen van de wetenschappelijke notatie. R
74 Schrijf in de wetenschappelijke notatie. T1
a 305 c 0,000 123
b 553 897 d 0,000 005 5
75 Schrijf als decimaal getal. T1
a 3 · 105 c 6 · 10−4
b 9,28 · 107 d 5,3 · 10−8
76 Schrijf de volgende getallen in de wetenschappelijke notatie. T2
a Er zijn wereldwijd ongeveer 7 701 000 000 mensen.
b De diameter van een menselijke cel is ongeveer 0,000 015 meter.
c De Melkweg bevat ongeveer 200 miljard sterren.
77 Schrijf het antwoord in de wetenschappelijke notatie. Rond het getal dat voor de macht van 10 staat af op drie decimalen. T2
a 7700 × 2800
b 2230
c 3 (0,69)45
d 0,000 24 × 0,000 333
OPDRACHTEN — ONTDEKKEN & ONDERZOEKEN
Ontdekken
78 De griep wordt veroorzaakt door het influenzavirus. Virussen zijn zo klein dat ze alleen onder een speciale microscoop zichtbaar zijn. Onderstaande afbeelding van het influenzavirus is met behulp van zo’n microscoop gemaakt en dus sterk vergroot. In werkelijkheid is de diameter van het influenzavirus ongeveer 80 miljoenste van een millimeter. Hoeveel keer is de afbeelding vergroot?
Rond je antwoord af op miljoenen nauwkeurig. T2
79 Schrijf in de wetenschappelijke notatie. T2
a 5 100 000
b ( 3 1000)2
c 8 miljard gedeeld door 2 miljoen
d een miljoenste deel van 350
e 3 104 × 5 106
f 8 105 0,5 10−2
80 De totale hoeveelheid water op aarde is ongeveer 1,4 triljard L water. Een triljard is gelijk aan 1021. Van deze hoeveelheid bestaat 2,59% uit zoet water. Hoeveel miljoen km3 water is dat? Gebruik indien nodig de naslag achter in het boek. I
81 Een googol is een getal dat bestaat uit een 1 met 100 nullen.
a Schrijf een googol als macht van 10. T1
b Schrijf een googol als macht van 100. T2
c Hoeveel nullen bevat een googol in het kwadraat? I
d Bereken 1 googol 2000 . Schrijf je antwoord in de wetenschappelijke notatie. I
Onderzoeken
82 Lees de tekst Binaire getallen op de rechterbladzijde. Schrijf de volgende getallen als decimale getallen. T1
a 1000 c 1011
b 1001 d 1010010
83 a Schrijf de getallen 8 tot en met 16 onder elkaar als binaire getallen. T1
b Schrijf de getallen 32, 64 en 128 als binaire getallen. T2
c Schrijf de getallen 31, 63 en 127 als binaire getallen. T2
84 Welke byte heeft de grootste waarde? Geef de waarde van deze byte ook als decimaal getal. I
B e GRIPP en decimaal getallenstelsel decimaal getal wetenschappelijke notatie binair getal bit byte
Binaire getallen
Computers rekenen niet met decimale getallen. Een computer kan namelijk alleen met de cijfers 0 en 1 overweg. Dit komt doordat een computer op basis van elektriciteit werkt die ‘uit’ of ‘aan’ kan staan. Deze twee toestanden komen overeen met de cijfers 0 (elektriciteit uit) en 1 (elektriciteit aan). Maar een computer zou vrij nutteloos zijn als hij niet op de een of andere manier met grotere getallen zou kunnen rekenen. Een computer doet dit door nullen en enen in een bepaalde volgorde achter elkaar te zetten:
0 = 0 4 = 100
1 = 1 5 = 101
2 = 10 6 = 110
3 = 11 7 = 111
Omdat er maar twee cijfers beschikbaar zijn om getallen mee te maken, heten dit binaire getallen:
binair betekent ‘tweedelig’. Het vormen van grotere getallen door meerdere nullen en enen achter elkaar te zetten gaat volgens hetzelfde principe als bij decimale getallen. Net als in een decimaal getal bepaalt in een binair getal de plaats van elk cijfer zijn waarde. Ook hier neemt de waarde van rechts naar links steeds toe.
In decimale getallen vertienvoudigt de waarde; in binaire getallen verdubbelt de waarde.
Zo staat in het binaire getal 110 van rechts naar links de 0 voor 0 eenheden, de 1 in het midden voor 1 tweetal en de 1 links voor 1 viertal:
110 0 + 2 + 4 = 6.
Elke plek voor een 0 of 1 in het computergeheugen heet een bit. Deze bits staan niet lukraak achter elkaar, maar zijn georganiseerd in groepjes van 8 bits achter elkaar die bytes heten.
Zo representeert de byte 00000101 het decimale getal 5.
R e K enen
R5 Een zwembad heeft een lengte van 25 m en een breedte van 10 m. Het water in het zwembad is 2,5 m diep.
I Hoeveel liter water bevat het zwembad?
II Kijk nog eens naar opdracht 80. Hoeveel biljoen zwembaden met bovenstaande afmetingen zou je kunnen vullen met al het water op aarde?
Heb je het leerdoel bereikt?
R Ik weet wat het decimale getallenstelsel is en ik ken de voordelen van de wetenschappelijke notatie. Ook ken ik de naam van enkele machten van 10.
T1 Ik kan getallen als som van machten van 10 schrijven en ik kan decimale getallen omschrijven naar de wetenschappelijke notatie en omgekeerd.
T2 Ik kan rekenen met grote of kleine getallen die een rol spelen bij praktische toepassingen.
I Ik kan ingewikkelde berekeningen met grote getallen uitvoeren.
Toetsvoorbereiding
Kijk aan het eind van elke paragraaf of je de begrippen kent en het leerdoel hebt bereikt. Zo niet, lees dan de uitleg nog eens goed door of bekijk de uitlegvideo’s. Maak daarna de volgende opdrachten.
academie
85 a Leg uit wat het caesarcijfer is. R
b Ontcijfer het volgende bericht dat versleuteld is met het caesarcijfer. T1 tu juuhbydw yi wumehfud
§ 1.1
86 a Welk getal heeft de meeste delers: 17 of 33? T1
b Geef alle oneven delers van 30. T2
c Hoeveel delers heeft een priemgetal? R
d Geef alle priemgetallen tussen 10 en 20. T1
e Geef de priemfactorontbinding van 54. T1
f Leg uit of het kwadraat van een geheel getal een priemgetal kan zijn. T2
87 a Bereken kgv(15, 36). T1 b Bereken ggd(24, 80). T1
§ 1.3
90 Bereken zonder rekenmachine. T1
a √81 d √5 √5 √5 + (√5 )2
b √0,01 e √132 122 6
c √ 4 49 f 3 14 + √ 9 49
91 Hieronder zie je twee vierkanten. Het kleine vierkant is verkregen door de middens van de zijden van het grote vierkant met elkaar te verbinden. De lengte van de zijden van het grote vierkant is 10 cm. Bereken de lengte in cm van de zijden van het kleine vierkant. Rond af op twee decimalen. T2 ? 10 cm
§ 1.2
88 Bereken zonder rekenmachine. T1
a 73 d (0,1)−4
b 2−2 e 35 2 ( 4)2
c ( 3 2 3)2 f 100 52 + 16 2−3
89 Neem over en vul in. T2
a 53 52 5 = 510 c 2–4 2 = 32
b 124 12 1213 = 128 d 0,5−6 0,5 = 0,25
§ 1.4
92 Herleid zonder rekenmachine.
a √11 + 3 √3 + 6 √11 2 √3 T1
b (√5 + 10)( √5 √10 ) T2
c (3 √2 + √8 )2 T2
93 Bereken zonder rekenmachine. T2
94 Bereken de omtrek en de oppervlakte van ruit ABCD. Gebruik indien nodig de naslag (zie bladzijde 243). T2
95 Ga zonder rekenmachine na welk getal groter is. I
a 3 √ 5 of 5 √ 2 c √ 5 + √ 7 of √12
b 2 √1 5 of 3 √ 1 10 d √ 2 + √ 3 of 2 √ 3
§ 1.5
96 Schrijf in de wetenschappelijke notatie. T1
a 2 000 000 c 0,000 48
b 34 000 d 0,000 000 219
97 Schrijf als decimaal getal. T1
a 6 104 c 2,7 10−3
b 4,93 108 d 1,12 10−7
Hoofdstuk 1
98 Vul in: <, > of = T2
a 100 000 95 c √24 2√ 5
b 1 63 4–3 d 7,2 1011 8 biljoen
99 De snelheid van het licht (in vacuüm) is ongeveer 3 108 m/s. T2
a Hoeveel km/h is dit? Gebruik de wetenschappelijke notatie.
b Hoeveel seconden doet licht erover om 25 meter af te leggen? Gebruik de wetenschappelijke notatie. Rond het voorste getal af op een geheel getal.
c De gemiddelde afstand van de aarde tot de zon is ongeveer 150 miljoen km. Hoelang doet het licht van de zon erover om de aarde te bereiken? Rond je antwoord af op minuten nauwkeurig.
100 In een machine zitten twee tandwielen die in elkaar grijpen. Het kleine tandwiel heeft twaalf tanden en het grote twintig. Beide tandwielen zijn beschadigd en er treedt een hapering op als de grijsgekleurde tand van het grote tandwiel tussen de oranjegekleurde tanden van het kleine tandwiel komt. I
a Hoe vaak draait het grote tandwiel rond tussen twee haperingen?
b Leg uit of de beschadigde tand van het grote tandwiel in aanraking komt met alle tanden van het kleine tandwiel.