MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera fase – Nivel 1
05 de Noviembre de 2004
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas. No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros. Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las respuestas.
1. Hace 5 años Juana tenía un sexto de la edad que tenía su madre. Dentro de 15 años ella tendrá la mitad de la edad que tendrá su madre. ¿Cuál es la edad actual de Juana? 2. Si A, B y C son enteros positivos tales que:
24 1 A 1 5 B C 1 ¿Cuál es el valor de A + 2B + 3C?
3. La construcción de una carretera está asignada a cuadrillas de obreros, cada una de las cuales está formada por la misma cantidad de obreros y la misma capacidad de trabajo. Tres cuadrillas de obreros pavimentan 20 km de carretera en 10 días. ¿Cuántas cuadrillas adicionales se requieren para pavimentar los siguientes 50 km de carretera en 15 días?
4. Se desea construir un cubo de 5 cm de arista usando un número mínimo de cubos de 1, 2, 3 ó 4 cm de arista. ¿Cuántos de tales cubos tienen arista de longitud 2?
5. Se construye un triángulo escribiendo números enteros en una cuadricula como el que se muestra a continuación, pero con los números desde el 1 hasta el 11 en la primera fila. Observa que cada número en el triángulo, excepto los de la primera fila, es igual a la suma de los dos números ubicados arriba de él (en la fila anterior). ¿Qué número se encontrará en el vértice inferior del triángulo? 1
2 3
3 5
8
4 7
12 20
5 9
16 28
48 6. En una pizarra se escriben todos los enteros positivos desde 1 hasta N: 1, 2, 3, 4, …, N, Donde N es un entero positivo de tres cifras. Si exactamente la mitad de estos números tienen al menos un dígito 1, halla el mayor valor posible de N. OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 1
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7. Si a 1 5 , calcula:
S 4 a
2a
a 3
6
3a 4
8. Después que María escribe 5 números en la pizarra, Juan realiza el siguiente proceso: Elige tres números p, q, r de los cinco escritos en la pizarra y reemplaza uno de los dos números no elegidos por p + q – r. Halla el número mínimo de veces que Juan realiza dicho proceso para obtener, en la pizarra, cinco números iguales, a partir de los cinco números escritos por María, cualesquiera que éstos sean.
9. Encuentra la mayor cantidad de grupos que se pueden formar con los enteros 1, 2,3,..., 20 de tal manera que el producto de los números de cada grupo sea un cuadrado perfecto. Considera que un grupo puede contener un solo número y en este caso se considera que el “producto” es el mismo número. Cada número debe estar a lo más en un grupo y no es necesario utilizar todos los números al formar los grupos. 10. Encuentra el menor entero positivo n tal que 32001 es un divisor de:
n 1 n 2 n 3 ... 3n 1 3n
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