MINISTERIO DE EDUCACION SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera Fase – Nivel 1 05 de noviembr e de 2004
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1. Hace 5 años Juana tenía un sexto de la edad que tenía su madre. Dentro de 15 años ella tendrá la mitad de la edad que tendrá su madre. ¿Cuál es la edad actual de Juana? Solución Sea x la edad actual de Juana. Luego, la edad actual de su madre es:
6( x - 5 ) + 5 = 6 x - 25 Luego, se cumplirá la ecuación:
x + 15 =
1 ( ( 6 x - 25) + 15 ) 2
Al resolver la ecuación de primer grado se obtiene:
x = 10 2. Si A , B y C son enteros positivos tales que:
24 = A + 5
1
B +
1 C + 1
¿Cuál es el valor de A + 2 B + 3 C ? Solución Tenemos:
24 4 = 4 + 5 5 24 1 = 4 + 5 5 4 24 1 = 4 + 1 5 1 + 4 24 1 = 4 + 1 5 1 + 3 + 1 De donde A = 4, B = 1 , C = 3 . Luego, A + 2 B + 3 C = 15 . 3. La construcción de una carretera está asignada a cuadrillas de obreros, cada una de las cuales está formada por la misma cantidad de obreros y la misma capacidad de trabajo. Tres cuadrillas de obreros pavimentan 20 km de carretera en 10 días. ¿Cuántas cuadrillas adicionales se requieren para pavimentar los siguientes 50 km de carretera en 15 días?
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Solución Sea x la cantidad de cuadrillas adicionales que se requiere. Al plantear la regla de tres compuesta se tiene:
æ
öæ ö è 20 km øè 15 días ø x + 3 = 5 x = 2
(x + 3 ) = (3 cuad )çç 50 km ÷÷çç 10 días ÷÷
4. Se desea construir un cubo de 5 cm de arista usando un número mínimo de cubos de 1, 2, 3 ó 4 cm de arista. ¿Cuántos de tales cubos tienen arista de longitud 2? Solución El volumen del cubo original es 5 3 = 125 y este volumen será igual a la suma de los volúmenes de los cubos pequeños. No puede haber dos cubos pequeños cuya suma de aristas sea mayor que 5, pues no podrían ser ambos parte del cubo de arista 5. Por lo tanto a lo más existe un cubo pequeño de arista 4 y a lo más existe un cubo pequeño de arista 3. La tabla siguiente muestra la cantidad mínima de cubos a utilizar si hay un cubo pequeño de arista 4, si hay un cubo pequeño de arista 3 y si todos los cubos pequeños son de aristas 1 y 2. Cubos pequeños de arista 4 1 0 0
Cubos pequeños de arista 3 0 1 0
Cubos pequeños de arista 2 0 7 8
Cubos pequeños de arista 1 61 42 61
Total de cubos pequeños 62 50 69
En el segundo caso se tiene la menor cantidad de cubos pequeños, y en este caso hay 7 cubos de arista 2.
5. Se construye un triángulo escribiendo números enteros en una cuadricula como el que se muestra a continuación, pero con los números desde el 1 hasta el 11 en la primera fila. Observa que cada número en el triángulo, excepto los de la primera fila, es igual a la suma de los dos números ubicados arriba de él (en la fila anterior). ¿Qué número se encontrará en el vértice inferior del triángulo? 1
2 3
3 5
8
4 7
12 20
5 9
16 28
48
Solución Es fácil justificar que, como la primera fila es una progresión aritmética, en cada fila se formará una progresión aritmética. Luego, como cada elemento, a partir de la segunda fila, se obtiene de sumar dos elementos de la fila anterior, la suma de los extremos en una fila será el doble de la suma de los extremos de la fila anterior. Así, la suma de los extremos de la fila 10 será 2 9 veces la suma de los elementos de la primera fila, es decir,
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29 ´ (1 + 11) = 6144 . Pero en la fila 10 solo hay dos números, por lo tanto el número escrito en la fila 11 será 6144.
6. En una pizarra se escriben todos los enteros positivos desde 1 hasta N : 1, 2, 3, 4, ..., N , donde N es un entero positivo de tres cifras. Si exactamente la mitad de estos números tienen al menos un dígito 1, halla el mayor valor posible de N . Solución Desde 1 hasta 99 hay 19 números que tienen al menos un 1. Desde 1 hasta 199 hay 19 + 100 = 119 números que tienen al menos un 1. Luego, N ³ 2 ´ 119 = 238 . Desde 1 hasta 238 hay 119 + 13 = 132 números que tienen al menos un 1. Luego N ³ 2 ´ 132 = 264 . Desde 1 hasta 264 hay 132 + 3 = 135 números que tienen al menos un 1. Luego N ³ 2 ´ 135 = 270 . Desde 1 hasta 270 hay 135 números que tienen al menos un 1, donde 135 es la mitad de 270. Pero como 271 también tiene un 1 se cumple que desde 1 hasta 272 hay 136 números que tienen al menos un 1. Entre los números mayores que 272 más de la mitad de los números no tienen unos, por lo que el máximo valor posible de N es 272.
7. Si a = 1 + 5 , calcula:
S = (4 - a )
(
2+a
)( a )( 3
6
)
3a + 4
Solución Reemplazando el valor de a en cada término del producto tenemos:
(
)
4 - a = 3 - 5
2 + a = 3 + 5 =
(
6 + 2 5 2
=
(1 + 5 ) 2
)
3
a = 3 1 + 5
6
3a + 4 = 6 7 + 3 5 =
6
14 + 6 5 = 6 2
3
14 + 2 45 3 3 + 5 3 6 + 2 5 = 6 = 6 3 2 2 2 6 2
( )
2
3
=
(1 + 5 ) 2
Reemplazando en S :
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(
2
3
(1 + 5 )
(1 + 5 ) 2 (1 + 5 ) 1 + 5 S = (3 - 5 ) ( ) 2 ( 3 - 5 )( 6 + 2 5 ) S=
S = 3- 5
)
(1 + 5 )
3
2
2 S = 3 - 5 3 + 5 = 4
(
)(
)
8. Después que María escribe 5 números en la pizarra, Juan realiza el siguiente proceso: Elige tres números p , q , r de los cinco escritos en la pizarra y reemplaza uno de los dos números no elegidos por p + q - r . Halla el número mínimo de veces que Juan realiza dicho proceso para obtener, en la pizarra, cinco números iguales, a partir de los cinco números escritos por María, cualesquiera que éstos sean. Solución Después de la primera operación no siempre será posible que haya dos números iguales. Por ejemplo, si los números escritos por María son {1,10,100,1000,10000 } se puede verificar que luego de un proceso Juan no tendrá dos números iguales. Luego del segundo proceso, a lo más habrá dos números iguales, pues cada proceso solo cambia un número en la pizarra. También se puede verificar que luego del tercer proceso no siempre pueden aparecer tres números iguales. Además, luego del cuarto proceso a lo más existirán tres números iguales; luego del quinto proceso, a lo más existirán cuatro números iguales y, finalmente, luego del sexto proceso a lo más existirán cinco números iguales. Verificaremos que siempre es posible obtener cinco números iguales luego de a lo más seis procesos. Para ello consideremos los números escritos por María:
{a ; b; c; d ; e } con a ³ b ³ c ³ d ³ e . Luego del primer proceso podemos obtener:
{a ; b; c; d ; m } con m = a + b - c . Luego del segundo proceso podemos obtener:
{a ; b; c; m; m } En el tercer y cuarto proceso reemplazamos b y c por a + m - m de la siguiente manera: {a ; b; c; m; m } à {a ; b; a ; m; m } à {a ; a ; a ; m; m } En el quinto y sexto proceso reemplazamos m por a + a - a de la siguiente manera: {a ; a ; a ; m; m } à {a ; a ; a ; a ; m } à {a ; a ; a ; a ; a }
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9. Encuentra la mayor cantidad de grupos que se pueden formar con los enteros 1, 2,3,..., 20 de tal manera que el producto de los números de cada grupo sea un cuadrado perfecto. Considera que un grupo puede contener un solo número y en este caso se considera que el “producto” es el mismo número. Cada número debe estar a lo más en un grupo y no es necesario utilizar todos los números al formar los grupos. Solución Sea M = {1, 2 , 3 ,..., 20 } . Es evidente que los números 11, 13, 17 y 19 no pueden pertenecer a ninguno de los grupos, pues son múltiplos de un factor primo que no aparece en ninguno de los otros elementos de M. De los 16 números que quedan solamente el 1, 4, 9 y 16 pueden formar grupos estando solos, pues son cuadrados perfectos. Con los otros 12 elementos de M se puede formar a lo más seis grupos (en caso que cada uno de ellos tenga dos elementos). Pero como el 5, 10, 15 y 20 son los únicos múltiplos de 5, si pertenecieran a grupos de 2 deberían formar los cuatro dos grupos de 2 (para que su producto sea múltiplo de 25). Eso no es posible, pues 5 × 10 × 15 × 20 no es cuadrado perfecto. Por esta razón los otros 12 elementos de M deben formar a lo más cinco grupos, para tener un total de 9 grupos. Por ejemplo, tenemos la siguiente división en grupos:
{1 }, {4 }, {9 }, {16 }, {3 , 12 }, {5 , 20 }, {8 , 18 }, {2 , 7 , 14 }, {6 , 10 , 15 } 10. Encuentra el menor entero positivo n tal que 3 2001 es un divisor de :
( n + 1)( n + 2 )( n + 3) ... ( 3n - 1)( 3n ) Solución Sea:
a n = (n + 1)(n + 2 )(n + 3 )... (3 n - 1 )(3 n ) Verificaremos que la mayor potencia de 3 que divide a a n es 3 n , es decir, que se cumple que:
a n = 3 n b n donde b n no es múltiplo de 3. En primer lugar lo verificamos para n = 1 , donde a 1 = (2 )(3 ) = 6 y la máxima potencia de 3 que divide a a 1 es 3 1 . Si la propiedad se cumple para cierto entero positivo n arbitrario, es decir, a n = 3 n b n , veremos que también debe cumplirse para n + 1 , pues:
a n +1 = (n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n + 2 )(3 n + 3 ) a n +1 = ((n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n - 1 )(3 n ))(3 n + 1 )(3 n + 2 )(3 n + 3 ) a n +1 = 3 ((n + 1 )(n + 2 )(n + 3 )(n + 4 )... (3 n - 1 )(3 n ))(3 n + 1 )(3 n + 2 ) a n +1 = 3 (a n )(3 n + 1 )(3 n + 2 ) a n +1 = 3 (3 n b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 ) OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA Tercera Fase – Nivel 1
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a n +1 = 3 n +1 (b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 ) donde b n no es múltiplo de 3. Pero tampoco 3n + 1 ni 3n + 2 son múltiplos de 3. Luego, si hacemos b n + 1 = (b n )(3 n + 1 )(3 n + 2 ) , tenemos: a n +1 = 3 n +1 b n +1 donde b n +1 no es múltiplo de 3. Regresando al problema, el menor entero n que cumple la condición pedida es justamente 2001, pues a 2001 = 3 2001 b 2001 .
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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