MINISTERIO DE EDUCACION
SOCIEDAD MATEMATICA PERUANA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Tercera fase – Nivel 3
05 de Noviembre de 2004
La prueba tiene una duración máxima de 2 horas. No está permitido el uso de calculadoras, ni consultar notas o libros. Ingresa tus respuestas en la computadora tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de recepción de las respuestas.
1. Un vendedor de refrescos tiene seis recipientes con capacidades de 15, 16, 18, 19, 20 y 31 litros respectivamente. Uno de dichos recipientes se llena totalmente solo con jugo de naranja y cada uno de los otros cinco se llena totalmente solo con chicha morada o con limonada. De esta manera el vendedor tiene el doble de chicha morada que de limonada. ¿Cuál es el volumen, en litros, del recipiente que contiene jugo de naranja? 2. Dos hojas rectangulares de papel, de 3 cm 7 cm cada una, son colocadas una sobre la otra como se muestra en la figura. Si el área de la región sombreada es S cm2, calcula el valor de 210S.
3. Halla el mínimo valor que puede tener M, si: M sen x cos x
4. Calcula:
sen 3º sen 6º sen 9º sen 2004º cos 3º cos 6º cos 9º cos 2004º ... ... sen 668º cos1º cos 2º cos 3º cos 668º sen1º sen 2º sen 3º 5. Encuentra el mayor entero positivo n tal que la suma de los cubos de sus dígitos es mayor que n. 6. Si los ángulos y son complementarios tales que:
tg tg tg2 tg2 tg3 tg3 70 Halla tg2 tg2
7. Sea ABC un triángulo acutángulo y k su circunferencia inscrita. Se trazan tres rectas distintas, cada una paralela a uno de los lados del triángulo y tangente a k (ninguna de estas rectas contiene a alguno de los lados de ABC). Cada una de estas rectas forma, con dos de los lados de ABC, un pequeño triángulo dentro del triángulo ABC. Si los inradios de las circunferencias inscritas a estos tres pequeños triángulos miden 2, 3 y 4, halla el radio de k. OLIMPÍADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA - Tercera Fase – Nivel 3
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8. Sea ABC un triángulo isósceles tal que AB = AC y A 20º . Si M es el pie de la altura trazada desde C y N es el punto de AC tal que
BC , 2 ¿Cuánto mide, en grados sexagesimales, el AMN . CN
9. Sea A 1, 2, 3, 4, ..., 13 y f una función de A en A. Los valores de f ( f ( x)) se dan en la siguiente tabla: t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
f ( f (t ))
10
9
12
8
13
3
4
1
5
11
6
2
7
Halla f (7) . 10. En un tablero de 8 x 8 casillas, cada casilla se pinta de blanco o de rojo, de tal modo que cada casilla blanca tenga más casillas vecinas rojas que blancas y que cada casilla roja tenga más casillas vecinas blancas que rojas (dos casillas son vecinas si tienen un lado en común)
¿De cuántas maneras se puede efectuar el pintado del tablero?
GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN
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