Desarrollo de los problemas de la
VI ONEM OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
Nivel 1 ICEM 2009
INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA VI ONEM 2009 PRIMERA FASE – NIVEL 1
SOLUCIONARIO Elaborado por un equipo de profesores de Matemática José Corimanya Escobedo (Responsable Nivel 1) Juan Mamani Cayani Roberto Choquehuayta Guillén José Choque Rivera Críticas y sugerencias: educamatperu@gmail.com Página Web: www.educamatperu.org Gentiles aportaciones de: o Israel Díaz o Jonathan Farfán
2
EDUCAMAT PERÚ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA (ONEM 2009) Primera Fase – Nivel 1
SOLUCIONARIO
26 de Junio de 2009
01. Pepito tiene 13 años y Juanita tiene 9 años. ¿Dentro de cuantos años la suma de sus edades será el doble de la suma actual? A) 11
B) 12
C) 15
D) 22
E) 23
RESOLUCIÓN: Nos apoyamos con un cuadro: Edad Actual
Edad dentro de n años
Pepito
13
13 n
Juanita
9
9n
P J 22
P ' J ' 44 13 n 9 n 44 n 11
Suma de edades
Clave: A_
02. Un turista llega al Cusco y decide cambiar sus euros. Si por cada 4 euros le dan 5 dólares, ¿Cuántos dólares recibirá el turista al cambiar 62 euros? A) 77 dólares
B) 77,5 dólares
C) 75 dólares
D) 75,7 dólares
E) 49,6 dólares
RESOLUCIÓN:
Regla de tres:
Despejamos “x”:
4 euros 5 dólares 62 euros x 4 x 5(62) x 77,5 dólares
Clave: B_
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
EDUCAMAT PERÚ
3
03. Calcular el valor de (2009 1)(2008 2)(2007 3) . . . (1 2009) A) 1
B) 2009
C) 20092
D) 2008
E) 0
RESOLUCIÓN:
Efectuando las sustracciones resulta: E (2008)(2006)(2004)(2)(
)( 2)( 2008)
0
Factor cero
De modo que: E 0 Clave: E_
04. Carlos vende cubos mágicos por mayor. Los vende en cajas que contienen exactamente 12 cubos. Si dispone de 500 cajas vacías y N cubos ¿En cuál de los siguientes casos le falta cubos para tener un número exacto de cajas llenas de cubos? A) N=1524
B) N=5124
C) N=5412
D) N=1452
E) N=2514
RESOLUCIÓN:
El asunto se resume a ver cual de ellos no es múltiplo de 12 0
0
0
0
0
0
0
0
A) N=1524 se ve que 1+5+2+4 = 3 y ….24 = 4 B) N=5124 se ve que 5+1+2+4 = 3 y ….24 = 4 C) N=5412 se ve que 5+4+1+2 = 3 y ….12 = 4 D) N=1452 se ve que 1+4+5+2 = 3 y ….52 = 4 0
E) N=2514 se ve que 2+5+1+4 = 3 y ….14
0
0
4 2514 12
Clave: E_ 05. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 5 gramos cuesta S/.1000, ¿Cuánto cuesta un diamante de 2 gramos? A) S/.320
B) S/.400
C) S/.200
D) S/.240
E) S/.160
RESOLUCIÓN:
Si el precio (C) es proporcional al cuadrado de su peso (p): C k p2 k
Un diamante de 5 gr cuesta S/. 1000: k
C p2
1000 40 52 El costo de un diamante de 2 gr: C k p2 40 22 160
Clave: E_ ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
4
EDUCAMAT PERÚ
06. Mi calculadora tiene dos botones especiales. Cuando presionó el botón A, el número que está en la pantalla se duplica, y cuando presionó el botón B, el número que está en la pantalla disminuye en 2. En una ocasión, en mi calculadora digité mi número favorito; presioné tres veces seguidas el botón A, y luego tres veces seguidas el botón B, y la pantalla mostró el número 50. ¿Cuál es mi número favorito? A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
RESOLUCIÓN:
Sea “N” el número favorito, se sabe que: o Al presionar A, el número en pantalla 2
o Al presionar B, el número en pantalla 2 Luego, A se presiona 3 veces seguidas y B tres veces seguidas también:
De donde:
N 2 2 2 2 2 2 50 8N 6 50 N 7
Clave: D_ 07. A un congreso internacional de matemática asistieron 520 personas. Se sabe que 310 personas son sudamericanas y que la cantidad de peruanos es la mitad de los que no son sudamericanos. ¿Cuántos peruanos asistieron al congreso? A) 100
B) 105
C) 115
D) 111
E) 91
RESOLUCIÓN:
Total de personas: 520 Si 310 son sudamericanos, entonces (520 310) 210 no son sudamericanos No sudamericanos 210 Por condición: peruanos 105 2 2
Clave: B_
08. Por fin de temporada, una tienda de ropa tiene la siguiente oferta: “Llévate dos polos y el más barato te sale gratis” Andrea escogió cuatro polos de precios S/.24, S/.22, S/.30 y S/.35. ¿Cuánto dinero necesita como mínimo para que se pueda llevar los 4 polos? A) 57
B) 59
C) 65
D) 46
E) 52
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
EDUCAMAT PERÚ
5
RESOLUCIÓN:
Dinero mínimo para llevar 4 polos = ? Dato: Precio de los polos: S/.24, S/.22, S/.30 y S/.35 Luego: Para que gaste el mínimo dinero será necesario elegir las siguientes parejas 35 y 30; 24 y 22
Y así pagar: S/.35 + S/.24= S/.59
Clave: B_
09. ¿Cuál es el menor número natural N por el cual hay que multiplicar a 27 para obtener un número cuya suma de sus dígitos sea 27? Da como respuesta el producto de los dígitos de N. A) 21
B) 0
C) 81
D) 36
E) 63
RESOLUCIÓN:
El menor número cuya suma de sus dígitos es 27, es el 999. Si multiplicamos N por 27 nos debe dar 999: 27N 999 999 N 27 N 37 Calculamos el producto de los dígitos de N: 3 7 21 Clave: A_
10. Los números del 1 al 9 deben escribirse en las casillas del siguiente tablero
de tal modo que dos números consecutivos no estén en casillas vecinas. ¿Qué número es x? Aclaración. Dos casillas son vecinas si tienen un lado o un vértice común. A) 8
B) 7
C) 6
D) 9
E) 5
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
6
EDUCAMAT PERÚ RESOLUCIÓN:
Completamos el tablero secuencialmente con las condiciones dadas, aclarando que no existe otra posibilidad para la ubicación de cada número:
o En este punto, para la ubicación del número 7 existen dos posibilidades, encima del 5 o debajo del 5; pero si lo ubicamos debajo del 5, el 8 y el 9 quedarían siendo vecinos, por lo tanto debe estar encima del 5.
El valor de “x” es 8. Clave: A_
11. Un periódico cuesta S/.0.90 y puede ser comprado junto a un suplemento opcional que cuesta S/ .1.50. Al final del día, se han vendido 333 ejemplares del periódico y se ha recaudado en total S/ 539.70. ¿Cuántos ejemplares del suplemento se han vendido? A) 160
B) 173
C) 152
D) 174
E) 200
RESOLUCIÓN:
De los datos: o Periódico = S/.0.90 o Suplemento = S/.1.50 o Se vendió = 333 periódicos o Total dinero recaudado = S/.539.70 o # Suplementos vendidos = ? Calculamos el dinero recaudado al vender los 333 periódicos: 333(0.90) S / .299.70
Luego el dinero obtenido por los suplementos se obtiene por diferencia: 539.70 299.70 S / .240
Ahora calculamos cuántos ejemplares del suplemento se han vendido: 240 160 1.50 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Clave: A_
EDUCAMAT PERÚ
7
12. Tengo un recipiente de 20 litros de capacidad máxima con cierta cantidad de agua y quiero determinar cuántos litros de agua hay en el recipiente, usando dos jarrones. El primer jarrón es de 4 litros y si saco agua usándolo varias veces, me quedarían 2.7 litros en el recipiente; el segundo jarrón es de 2.5 litros y si saco agua usándolo varias veces, me quedarían 1.2 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros de agua hay en el recipiente? A) 13.7
B) 14.7
C) 16.7
D) 16.2
E) 18.7
RESOLUCIÓN:
Disponemos de:
o En el primer caso: a 4 x 2.7 con x 5 o En el segundo caso: a 2.5 y 1.2 con y 8
Igualando:
4 x 2.7 2.5 y 1.2 2.5 y 4 x 1.5
2 2.5 y 4x 1.5 2 5 y 8x 3 Ecuación diofántica, en la que es fácil calcular el valor de “x” e “y”: 5 y 8 x 3
7
4
Por lo tanto: x 4 , y 7 ; y la cantidad de litros que hay en el recipiente es: a 4(4) 2.7 a 18.7
Clave: E_ 13. Se debe colocar losetas a un patio de 4,21m por 5,33m. Las losetas escogidas sólo se venden en cajas a 70 nuevos soles cada una para cubrir 2 metros cuadrados y en cajas a 100 nuevos soles cada una para cubrir 3 metros cuadrados. ¿Cuál es la menor cantidad de nuevos soles que se puede gastar para comprar las losetas necesarias para colocarlas en el patio? A) 750
B) 770
C) 800
D) 840
E) 850
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
8
EDUCAMAT PERÚ RESOLUCIÓN:
El área total a cubrir es: 4,21 5,33 22,4393m2 100 o Usando cajas de S/.100 el m2 sale a: 33,3 soles 3 70 o Usando cajas de S/. 70 el m2 sale a: 35 soles 2 Luego el número óptimo de cajas a utilizar es de la forma: ( y cajas de 100 soles x cajas de 70 soles ) con x 0, 1, 2 Ya que tres cajas de 70 soles suponen un gasto de 210 soles para cubrir 6m2 ; esto mismo puede hacerse con dos cajas de 100 soles, de forma más barata. En nuestro caso, teniendo en cuenta que: 3 y 2x 22,4393 Las opciones son: o x 0, y 8 con gasto de 800 soles o x 1, y 7 con gasto de 770 soles (* Costo óptimo) o x 2, y 7 con gasto de 840 soles Clave: B_
14. ¿Cuántos elementos del conjunto 10,11,12, ,98,99 cumplen que la suma de sus dígitos es un número par? A) 40
B) 42
C) 45
D) 46
E) 50
RESOLUCIÓN:
Todos los elementos del conjunto son de la forma: ab , con a 0 , para que la suma de dígitos sea par, ambos dígitos deben ser pares o ambos impares: o Si “a” es par: a 2,4,6,8 entonces b 0,2,4,6,8 4 5 20 Números o Si “a” es impar: a 1,3,5,7,9 entonces b 1,3,5,7,9 5 5 25 Números Por lo tanto hay 20 25 45 números. Clave: C_
15. Un comerciante compró una cantidad de juguetes a n soles cada uno. Si el comerciante logró vender P juguetes menos de los que compró, vendiéndolos a m soles cada uno, y obtuvo una ganancia de 6m soles, ¿Cuántos juguetes compró? A)
m( P 6) mn
B)
P 6 nm
C)
n( P 6) mn
D)
m( P 6) nm
E)
6( P n) nm
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
EDUCAMAT PERÚ
9
RESOLUCIÓN:
De los datos: o Sea “x” la cantidad de juguetes comprados o Se gastó: x .n soles o Vendió x P juguetes a m soles cada uno con lo cual ingresó: ( x P ).m soles. o La Ganancia es el Precio de Venta menos el Precio de Compra: ( x P ).m xn 6m o Despejando: xm Pm xn 6m x(m n) Pm 6m m( P 6) x mn Clave: A_
16. El número total de alumnos de las secciones A y B del cuarto grado es 104. Cada alumno tiene exactamente un amigo en el cuarto grado; decimos que un alumno es tímido si su amigo pertenece a la misma sección y decimos que es sociable si su amigo está en la otra sección. Si 60 alumnos son sociables y hay 20 alumnos tímidos en la sección A, ¿Cuántos alumnos hay en la sección B? A) 44
B) 54
C) 50
D) 52
E) 60
RESOLUCIÓN:
Sean: o o o o
aT : Tímidos de la sección A aS : Sociables de la sección A bT : Tímidos de la sección B bS : Sociables de la sección B
Es claro que por la definición de sociable, y teniendo en cuenta la propiedad reflexiva de la amistad: aS bS
Ahora por los datos del enunciado: o aT aS bT bS 104 o aS bS 60 as bS 30 o aT 20
Entonces:
20 30 bT bS 104 bT bS 54
Por lo tanto hay 54 alumnos en la sección B. Clave: B_ ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
10
EDUCAMAT PERÚ
17. ¿Cuántos números capicúas de 5 dígitos no son múltiplos de 5? Aclaración: Un número capicúa es aquel que leído de izquierda a derecha es el mismo que leído de derecha a izquierda, por ejemplo, 1221 y 34043 son capicúas. A) 720 B) 900 RESOLUCIÓN:
C) 729
D) 576
E) 800
Sea abcba los números capicúas de 5 dígitos Debido a que no debe ser múltiplo de 5 entonces: a 0 a 5 o “a” puede asumir 8 valores: 1,2,3,4,6,7,8,9 o “b” y “c” pueden asumir 10 valores: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Usando el principio de multiplicación, existen 8 10 10 800 números con las condiciones pedidas. Clave: E_
18. En la siguiente suma, cada letra representa un dígito mayor que cero:
ONEM PERU 3793 ; Además, letras distintas representan dígitos distintos. Halla
O2 N 2 E 2 M 2 P 2 E 2 R2 U 2 A) 140
B) 145
C) 149
D) 100
E) 107
RESOLUCIÓN:
De la suma:
ONEM PERU 3793
o Dado que O P 3 , y como O P , entonces O 1 y P 2 o viceversa, en cualquiera de los dos casos: O2 P 2 5 . (Con esto los dígitos 1 y 2 ya no pueden ser usados). o Como O P 3 , entonces N E 7 , luego N 3 y E 4 o viceversa. (Tampoco los dígitos 3 y 4 pueden usarse en otras letras). o Se observa también que M U 13 necesariamente ya que no puede ser ni 3 ni 23. o Por lo tanto E R 8 , pero E sólo puede ser 3 o 4, si fuera 4 entonces R también sería 4, como no pueden ser iguales, necesariamente E 3 , esto significa que
R 5 y N 4 . (Ahora el dígito 5 no podrá usarse en otra letra). o Como ya dijimos M U 13 , sólo queda que: M 6 y U 7 o viceversa , en cualquiera de los dos casos: M 2 U 2 85 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
EDUCAMAT PERÚ
11
Finalmente: O2 N 2 E 2 M 2 P 2 E 2 R 2 U 2 ? 2
2 2 2 2 2 2 O P2 E U M R N 149 E 5
9
85
9
25
16
Explicación del Entrenador Olímpico Israel Díaz: ONEM PERU 3793 Dado que O P 3 , y como O y P deben ser distintos, entonces O 1 P 2 o
viceversa, luego en cualquiera de los dos casos: O2 P 2 5 . Como O P 3 entonces el valor de N E 7 y como N, E son distintos entre sí y distintos de 1 y 2 entonces N E 3 4 7 , luego N E 7 y N 3 E 4 o viceversa. Como N E 7 entonces el valor de E R 10 y ahora analizando M y U que son distintos entre sí y distintos de 1, 2, 3, 4 tenemos que M U 5 6 11 pero como M U termina en 3 y es menor que 20 entonces M U 13 y con ello E R 8 . Ahora tenemos que E R 8 y como E es distinto de R entonces E no puede ser igual a 4, pero recordemos que E solo podía ser 3 y 4, luego E 3 y R 5 . Finalmente como M U 13 y como M y U son distintos de 1, 2, 3, 4, 5 entonces M y U toman valores de 6 y 7 o viceversa, luego en cualquiera de los dos casos: M 2 U 2 85 . Ahora tenemos que: (O , P ) es una permutación de (1,2), N 4 , E 3 , R 5 y ( M ,U ) es una permutación de (6,7) . Y con ello el valor de O2 N 2 E 2 M 2 P 2 E 2 R2 U 2 149 Clave: C_
19. En una caja, tengo pañuelos rojos, blancos, azules y verdes; 7 pañuelos de cada color. ¿Cuántos pañuelos debo sacar como mínimo, sin ver, para estar seguro de tener al menos 3 pañuelos rojos, 2 pañuelos blancos y 1 pañuelo azul?
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 21
RESOLUCIÓN:
Para tener la seguridad de sacar los pañuelos que nos piden, tengo que ponerme en el peor de los casos por lo tanto debo sacar: o 7 verdes o 7 azules o 7 blancos o 3 rojos Luego sumamos estas cantidades: 7 7 7 3 24 pañuelos Clave: C_
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
12
EDUCAMAT PERÚ
20. Un tablero de ajedrez de 8x8 (como se muestra en la figura) es dividido en N rectángulos que no se superponen, de acuerdo a las siguientes condiciones: Cada rectángulo está formado solo por cuadraditos del tablero. Cada rectángulo tiene la misma cantidad de cuadraditos blancos que de negros. No hay dos rectángulos que estén formados por la misma cantidad de cuadraditos.
Halla el mayor valor posible de N. A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 5
RESOLUCIÓN:
La idea es usar los rectángulos lo más pequeños posibles (para que N fuese lo más grande posible), tenemos: 2 4 6 2N 64 N( N 1) 64 De donde podemos deducir que N 7 Ahora podemos buscar descomposiciones con 7 rectángulos que cumplan las condiciones dadas, hay varias, aquí dos ejemplos:
Por lo tanto el valor máximo de N es 7.
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Clave: B_
EDUCAMAT PERÚ
13
CLAVE DE RESPUESTAS
Nro Clave
Nro Clave
1.
A
11.
A
2.
B
12.
E
3.
E
13.
B
4.
E
14.
C
5.
E
15.
A
6.
D
16.
B
7.
B
17.
E
8.
B
18.
C
9.
A
19.
C
10.
A
20.
B
ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA