Desarrollo de los problemas de la
VI ONEM OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
Nivel 3 ICEM 2009
INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA VI ONEM 2009 PRIMERA FASE – NIVEL 3
SOLUCIONARIO Elaborado por un equipo de profesores de Matemática José Corimanya Escobedo Juan Mamani Cayani Roberto Choquehuayta Guillén José Choque Rivera (Responsable Nivel 3) Críticas y sugerencias: educamatperu@gmail.com Página Web: www.educamatperu.org
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EDUCAMAT PERÚ OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA (ONEM 2009) Primera Fase – Nivel 3
26 de Junio de 2009
SOLUCIONARIO 01. Halla el valor numérico de sen2 45º cos60º csc30º .
A) 2
B)
5 2
C) 3
D)
7 2
E) 2 3
RESOLUCIÓN:
Reemplazamos valores para los ángulos notables: 2
1 1 1 1 sen 45º cos60º csc30º = 2 2 = 2 2 2 = 3 2 2
Clave: C_ 02. Halla el área de la región sombreada sabiendo que AO 3 , CO 2 , EO 1 y mCD mEF 60º mAB
A) 2
B)
7 3
C) 3
D)
7 2
E)
14 3
RESOLUCIÓN:
Usando la fórmula para el área de un sector circular: ÁreaSC
ÁreaRS
r 2 360º
(3)2 60º (2)2 60º (1)2 60º 2 2 1 7 3 2 1 360º 360º 360º 6 3
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Clave: B_
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03. Si tan 0,8 , halla el valor de
A)
5 6
B)
5 3
5sen 3cos . sen 2cos C)
5 6
D)
5 3
E) – 2
RESOLUCIÓN:
5sen 3cos dividimos numerador y denominador entre cos : sen 2cos 5sen 3cos 5sen 3 cos cos cos cos o sen 2cos sen 2 cos cos cos cos se n tan quedando así: Usamos la identidad cos 5tan 3 o tan 2 Reemplazamos el valor de tan 0,8 : 5tan 3 5(0,8) 3 1 1 5 1,2 6 tan 2 0,8 2 6 5
En la expresión:
Clave: A_
04. Simplifica
mn mn np n p pm pm
3
A) 1
. 3
.
B) 3
3
. D) 31
C) 3
E)
mnp
3
RESOLUCIÓN:
Transformamos y efectuamos operaciones: mn mn np n p pm pm
3
3
. 3
.
3
p( mn)m( n p )n( pm) mnp
mn n p pm 3 mn .3 np .3 pm
3
3
mn n p pm mn np pm
mp np mn mp np mn mnp
30 1 Clave: A_
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05. La suma de dos ángulos es 200 grados centesimales y la diferencia de sus suplementos es igual a 80 grados sexagesimales. Halla la medida del mayor de ellos en radianes.
A)
9
B)
5 18
C)
13 18
D)
7 9
E)
65 81
RESOLUCIÓN:
Sean “” y “” los dos ángulos mencionados, por dato del problema: 200 g 180º
Eso significa que los ángulos son suplementarios y por lo tanto uno es el suplemento del otro. Entonces por el otro dato del problema: 80º Resolvamos el sistema: 180º 80º 2 260º 130º
rad 13 rad Convertimos a radianes: 130º 180º 18
Clave: C_ 06. El producto de tres enteros positivos distintos es 72. ¿Cuál es la menor suma posible de dichos números?
A) 16
B) 15
C) 14
D) 13
E) 12
RESOLUCIÓN:
Descomponemos 72 en sus factores primos: 72 2 2 2 3 3 23 32 Agrupamos convenientemente para conseguir que tres de sus factores tengan la menor suma posible: 72 (2 2) (2 3) 3 4 6 3
Dicha suma sería: 4 6 3 13 Clave: D_
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88º y mCB 110º . Halla el valor de x. 07. En el gráfico se tiene que AB BD , mAE
A) 55º B) 44º RESOLUCIÓN:
C) 35º
D) 33º
E) 27º
De los datos del problema AB = BD entonces el ABD es isósceles y la mADB mBAD x Además la mABC mBAD mADB x x 2x 2mBAE 2x , y Luego por tener ángulos inscritos en la circunferencia: mBE 2mABC 2(2x ) 4 x mAC
La suma de las medidas de los arcos que componen la circunferencia es igual a 360º
4 x 110º 2x 88º 360º 6 x 162º x 27º
Clave: E_ 08. María y Vanesa compran 13 caramelos y se los reparten entre ellas. Vanesa le reclama a María diciendo: “Tú tienes más del doble de lo que yo tengo, por favor dame tu tercera parte” y María le responde diciendo: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener más caramelos que yo”. ¿Cuántos caramelos tiene María?
A) 6
B) 9
C) 4
D) 2
E) 12
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EDUCAMAT PERÚ RESOLUCIÓN: Sean:
x: Número de caramelos de María y: Número de caramelos de Vanesa
Si compran 13 caramelos entonces: x y 13 y 13 x
Vanesa le dice a María: “Tú tienes más del doble de lo que yo tengo”, entonces: x 2y o Reemplazando “y” x 2(13 x ) x 26 2x 3x 26 x 8,6
María responde: “Pero si te doy mi tercera parte vas a tener más caramelos que yo”, entonces: x x x y 3 3 x x x y 3 3 x y 3 x 3y o Reemplazando “y” x 3(13 x ) x 39 3x 4 x 39 x 9,75 De ambas expresiones x 8,6 ; x 9,75 ; es claro que: x 9 Clave: B_
09. Determina cuántos cm mide el radio de la rueda A si cuando ésta gira 120º, la rueda B gira 2 radianes y además O1O2 80cm .
A) 20 cm
B) 30 cm
C) 40 cm
D) 50 cm
E) 60 cm
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RESOLUCIÓN:
Por estar conectadas ambas ruedas deben barrer la misma longitud de arco: LA LB
Aplicaremos la fórmula para la longitud de un arco “L”: L .R siendo “” el ángulo de giro en radianes y “R” el radio. A .R A B .RB
rad 2 Para la rueda “A” el giro es de 120º que equivale a 120º rad . 180º 3 2 3 R A 2 RB RA RB 3 Luego ya que el segmento O1O2 80 entonces: R A RB 80 reemplazamos RB R R A A 80 3 4.R A 240 R A 60
Clave: E_ 10. En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, se cumple que
valor de
A)
tan A tanB . cot A
26 25
B) 25
C) 26
D)
13 9
senA senB 3 . Calcula el senA senB 2
E)
13 4
RESOLUCIÓN:
1er Método:
Sean los lados del triángulo: AB c , BC a , AC b
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Reemplazamos las razones trigonométricas en la condición dada: ab a b 3 ab 3 c c c 3 ab 2 a b 2 a b 2 c c c 2(a b) 3(a b) 2a 2b 3a 3b a 5b
Ahora trabajamos en la expresión pedida, reemplazando el valor de “a”: a b 5b b 1 26 5 tan A tanB b a b 5b 5 5 26 1 b 1 cot A b 5 a 5 5b 2do Método: 90º , se puede expresar todo en función del A , usando co-razones Al ser A B trigonométricas: senA senB 3 senA cos A 3 senA 5 o senA senB 2 senA cos A 2 cos A senA Usando la identidad tan A , obtenemos que: tan A 5 cos A Trabajamos en la expresión pedida: tan A tanB tan A cot A tan A cot A o cot A cot A cot A cot A 1 Usando la identidad cot A y reemplazando el valor de tan A : tan A tan A o 1 (tan A)2 1 (5)2 1 26 1 tan A Clave: C_
11. Una niña observa la cabeza de su padre con un ángulo de elevación de º y sus pies con un ángulo de depresión de 30º. Si la distancia del ojo de la niña a la cabeza de su padre es 1,5 3 metros y tan , halla la altura del padre, en metros. 4
A) 0,8 0,6 3
B) 0,9 0,4 3
C) 0,9 0,6 3
D) 1,2 0,4 3
E) 1,2 0,6 3
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RESOLUCIÓN:
En el gráfico mostrado, según los datos:
Se observa que: h m n
Además en el triángulo A por dato: tan
3 4 3 entonces: sen y cos 4 5 5 En el mismo triángulo calculamos “m” y “p”: 3 m 1,5sen 1,5 0,9 5 4 p 1,5cos 1,5 1,2 5
Ahora en el triángulo B calculamos “n”: 3 n p.tan30º 1,2 0,4 3 3 Finalmente se obtiene el valor de “h”: h m n 0,9 0,4 3 Clave: B_
12. Se requiere programar una dieta con dos alimentos S y T. Cada unidad del alimento S contiene 100 calorías y 15 gramos de proteínas. La unidad del alimento T contiene 200 calorías y 10 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 1000 calorías y 90 gramos de proteínas. Si el precio de cada unidad del alimento S es 400 soles y de cada unidad del alimento T es de 300 soles, ¿cuántas unidades de cada alimento debe contener la dieta para minimizar el costo?
A) 10 de S
B) 9 de T
C) 3 de S y 4 de T
D) 4 de S y 3 de T
E) 3 de S y 3 de T
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RESOLUCIÓN:
Sea: o “x” la cantidad de unidades de S que debe contener la dieta. o “y” la cantidad de unidades de T que debe contener la dieta.
El costo: C (400x 300 y ) Como se requiere como mínimo 1000 cal, entonces: 100x 200 y 1000 x 2 y 10
Como se requiere como mínimo 90 gr de proteínas, entonces: 15x 10 y 90 3x 2 y 18
Graficamos:
Los puntos que debemos analizar para minimizar el costo son: 0;9 , 4;3 y 10;0 o Con el punto 0;9 el costo es: C 400(0) 300(9) 2700 o Con el punto 4;3 el costo es: C 400(4) 300(3) 2500 o Con el punto 10;0 el costo es: C 400(10) 300(0) 4000
Por lo tanto el costo mínimo es S/. 2500 con 4 unidades de S y 3 unidades de T.
Clave: D_
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13. En el siguiente arreglo, por cada dos puntos se traza una recta. ¿Cuántas rectas distintas se pueden trazar?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 25
E) 27
RESOLUCIÓN:
1er Método
Cada par de puntos origina una recta, el número total de rectas se obtendría de las combinaciones de los 10 puntos tomados de 2 en 2:
C
10 2
10! 10 9 8! 45 2! 8! 2 1 8!
Además hay rectas que se forman con pares de puntos distintos: 4! 4 3 2! 4 o Los lados del triángulo se forman con C 2 6 , hay que 2! 2! 2 1 2! descontar por tanto 3 6 1 15 rectas repetidas. o Las rectas que unen el punto central con puntos diferentes de los vértices, se forman con 3 pares distintos, se descuenta 33 1 6 rectas.
Por lo tanto quedan: 45 15 6 24 rectas.
2do Método
Otra forma de realizar el conteo es considerar las rectas que contienen a 4 puntos:
3 rectas ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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Luego las que contienen a 3 puntos:
3 rectas Luego las que contienen a dos puntos estando uno de ellos en una esquina:
9 rectas Luego las que contienen a dos puntos sin estar en las esquinas:
9 rectas
Finalmente sumamos estas cantidades: 3 3 9 9 24 rectas Clave: C_
14. Sea ABC un triángulo y D la proyección del punto B sobre la bisectriz del ángulo ACB . Si el área del triángulo ABC es 12, determina el área del triángulo ADC.
C B) 12cos 2
A) 12
C C) 12sen 2
C D) 12tan 2
RESOLUCIÓN:
Realizamos un gráfico según los datos del problema:
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E) 6
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Prolongaremos el segmento BD hasta llegar a la base en el punto E y nos damos cuenta que los triángulos BDC y EDC son congruentes:
Además se conoce por propiedad que en cualquier triángulo una mediana lo divide en dos triángulos equivalentes es decir de la misma área:
Aplicando dicha propiedad en nuestro gráfico:
Y ahora por dato del problema: Área ABC 12
2S1 2S2 12 S1 S 2 6
Finalmente como nos piden el área del triángulo ADC: Área ADC S1 S2 Área ADC 6
Clave: E_ 15. ¿Cuál es el menor número de 6 dígitos distintos que es múltiplo de 8? Da como respuesta la suma de los dígitos de dicho número.
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
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RESOLUCIÓN:
Representemos el número como: abcdef siendo sus dígitos todos diferentes.
Para las tres primeras cifras abc ; el menor número de tres dígitos diferentes es el 102
Las otras tres cifras def deben formar un múltiplo de ocho, es decir: def 8 . o A la cifra “d” le toca el valor de 3. o Para las otras dos cifras vamos buscando múltiplos de 8: 344 es múltiplo de 8 pero el 4 se repite, 352 es el siguiente múltiplo de 8 pero ya usamos el 2, 360 es el siguiente pero ya usamos el cero, 368 cumple con los requisitos. El número pedido es 102368 y la suma de sus dígitos es 20.
o
Clave: B_ 16. La siguiente suma tiene 101 filas, ¿cuál es el dígito central del resultado?
A) 0
B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
RESOLUCIÓN: La suma se puede expresar: S 2 22 222 2222 ..... 222222...222 101cifras
Factorizando
2 : 9
2 S 9 99 999 ..... 99999...999 9 101cifras Expresando como potencias de 10: 2 S 10 1 102 1 103 1 ..... 10101 1 9 2 2 3 101 10 10 ..... 10 101 S 10 9 101tér min os
Se observa que: 2 101 S 111111...110 9 101unos ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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Luego: 2 S 1111.....111009 9 99unos
Entonces:
99veces 2222.....222018 S 9 Al dividir entre 9 el resultado tendrá 101 cifras, ocupando la cifra central el lugar 51 99veces 99cifras 2cifras 2222.....222018 02 S 246913580246913580.....0 9 9cifras
Se observa que al dividir entre 9 hay un periodo de 9 cifras excepto las dos últimas cifras.
Finalmente ubicamos la cifra central tomando en cuenta que la cifra de lugar 45 es cero: 45 46 47 48 49 50 51
S .......0246913580........
Por lo tanto la cifra central de la suma es 3.
Clave: C_
17. En cada vértice de un rectángulo de lados 3 y 4 se dibuja un cuadrante de radio 1, como muestra la figura. Luego se elige un punto de cada cuadrante de tal modo que se forme un rectángulo ABCD con AB 2BC y lados paralelos a los del rectángulo mayor. Halla el área del rectángulo ABCD.
A)
72 25
B)
98 25
C)
128 49
D)
162 49
E)
49 8
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RESOLUCIÓN:
Por dato del problema AB 2BC 2x y el área del rectángulo pedido sería 2x 2
Por ser una figura simétrica, la podemos cortar con una recta vertical por el centro.
Unimos el vértice del rectángulo mayor con el vértice del cuadrado dicho segmento por ser radio tendrá una longitud igual a 1, desde el vértice dejamos caer una perpendicular a la base formando un triángulo rectángulo.
Podemos observar que: RS PQ por lo tanto: x 2sen 3 Además: PS QR entonces: x cos 2 En cada ecuación despejamos sen y cos : 3 x sen ^ cos 2 x 2 Usamos la conocida identidad pitagórica: sen2 cos2 1 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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Reemplazamos los valores obtenidos para sen y cos , y despejamos “x”: 2
3 x 2 2 2 x 1 9 6x x 2 4 4x x 2 1 4 9 6x x2 x2 4x 3 4 9 6 x x 2 4 x 2 16 x 12
5x 2 22x 21 0 5x 7 x 3 0 x
7 5
x 3
7 5 2 El área del rectángulo pedido era: ÁreaABCD 2x , reemplazando el valor de “x” Como “x” es menor que 3 nos quedamos con el valor
2
7 98 ÁreaABCD 2 25 5
Clave: B_ 18. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen6 x cos8 x 1 en el intervalo 0,4 ?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
RESOLUCIÓN:
Vamos a expresar la ecuación solo en función de cos x :
sen2x cos8 x 1 3 1 cos2 x cos8 x 1 3
1 3cos2 x 3cos4 x cos6 x cos8 x 1 cos8 x cos6 x 3cos4 x 3cos2 x 0
cos2 x cos6 x cos4 x 3cos2 x 3 0
Por lo tanto: cos x 0 ; esto ocurre cuando x (2n 1) , con n , y los valores de “x” 2 3 5 7 que pertenecerían al intervalo señalado son ; ; ; 2 2 2 2
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Ahora trabajamos con el otro factor: cos6 x cos4 x 3cos2 x 3 0
cos4 x cos2 x 1 3 cos2 x 1 0
cos2 x 1cos4 x 3 0 cos x 1 cos x 1 cos4 x 3 0
De aquí: cos x 1 cos x 1 y esto ocurre para múltiplos de : entonces tendremos nuevos valores para “x” que son: 0; ;2;3;4
De la otra ecuación: cos4 x 3 0 no tiene soluciones ya que cos4 x 3 siempre
será mayor o igual a tres.
5 7 3 Finalmente el número de soluciones es 9: 0; ; ; ;2; ;3; ;4 2 2 2 2 Clave: A_
19. La suma de todos los divisores positivos de N es igual a 2801. ¿Cuántos números N cumplen con esta condición?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
RESOLUCIÓN:
Consideremos la siguiente propiedad: Para cualquier número positivo N expresado como el producto de números primos N a b c ... La suma de sus divisores se obtiene multiplicando las sumatorias de las potencias de los respectivos números primos, así:
divisores N 1 a a2 ... a 1 b b2 ... b 1 c c2 ... c ... Nos dan como dato que: divisores N 2801
Pero 2801 es un número primo (esto lo afirmamos luego de dividir 2801 con cada primo menor que 2801 52,9 y obteniendo siempre un residuo mayor que cero) Así que sólo tenemos que buscar un número primo cuya suma de sus primeras potencias nos de 2801. Nos damos cuenta que: 1 7 72 73 74 2801 Por lo tanto sólo existe un número N cuya suma de sus divisores es 2801 dicho número es: N 74 2401 . Clave: B_ ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
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20. Sean a, b, c números enteros (no necesariamente positivos) tales que a , a b , a b c son números distintos del conjunto 1, 2, 3, . . ., 9 , halla el mayor valor de
9a 5b 3c 5a b 3c y da como respuesta la suma de sus dígitos. A) 14
B) 11
C) 21
D) 23
E) 24
RESOLUCIÓN:
Haremos el siguiente cambio de variables: x a y ab z abc
Entonces:
ax b yx cz y
Reemplazamos estos valores en la expresión:
9a 5b 3c 5a b 3c 9 x 5 y x 3 z y 5 x y x 3 z y
Así nos queda: 4 x 3z 2 y 4 x 3z 2 y
Que también se puede expresar como: 4 x 3z 2 y
Ahora es fácil determinar que valores del conjunto 1, 2, 3, . . ., 9 maximizan dicha
2
2 expresión: 4 x 3 z 2 y 8 9 1
2
2
Luego reemplazando estos valores: 2 2 4 x 3z 2 2 y 2 4 9 3 8 21 3596 máximo
Como nos piden como respuesta la suma de las cifras: 3 5 9 6 23 Clave: D_
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CLAVE DE RESPUESTAS Nro Clave
Nro Clave
1.
C
11.
B
2.
B
12.
D
3.
A
13.
C
4.
A
14.
E
5.
C
15.
B
6.
D
16.
C
7.
E
17.
B
8.
B
18.
A
9.
E
19.
B
10.
C
20.
D
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