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OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA 2004 Segunda fase Soluciones – Primer nivel Setiembr e de 2004
1. A una fiesta asistieron 153 personas. En un momento determinado 17 damas y 22 caballeros no bailaban y el resto bailaba en parejas formadas por una dama y un caballero. ¿Cuántas damas asistieron a la fiesta? Solución Las personas que bailan son 153 - 17 - 22 = 114 . De ellas, la mitad son mujeres. Luego, a la fiesta asistieron 17 + 57 = 74 damas.
2. Cada día del mes de agosto, un alumno comió de postre, durante su almuerzo, una naranja, una manzana o ambas frutas. Si comió naranja 25 días y manzana 18 días, ¿cuántos días comió ambas frutas? Solución Para comer una fruta cada día se necesitarían 25 + 18 = 43 días. Pero como agosto tiene solo 31 días, debe haber 43 – 31 = 12 días en los cuales el alumno comió ambas frutas.
3. El producto de las tres cifras de un número es 126 y la suma de sus dos últimas cifras es 11. ¿Cuál es la cifra de las centenas de dicho número? Solución Los únicos divisores de 126 que son menores que 10 son 1, 2, 3, 7 y 9. Como la suma de dos de estos divisores es 11, necesariamente se trata del 2 y el 9. Entonces, el dígito de las centenas es:
126 =7 2´9 4. En una división, sin considerar decimales, el divisor es 15, el cociente es 10 unidades mayor que el divisor y el residuo es 5. Calcula en cuánto aumenta el cociente si aumentamos 20 unidades al dividendo y luego lo duplicamos, y este nuevo dividendo lo dividimos entre el mismo divisor. Solución En la primera división el cociente es 15 + 10 = 25 y el dividendo resulta 15 ´ 25 + 5 = 380. En la segunda división el dividendo es igual a 2 ´ (380 + 20) = 800. Al realizar la división tenemos: 800 15 5 53
Por lo tanto, el cociente aumenta de 25 a 53, es decir, aumenta en 28.
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5. Sean C y D dos dígitos tales que se cumple la siguiente igualdad :
Halla el número CD .
Solución Si transformamos el decimal periódico puro en fracción tenemos:
3C D = 99 11 3C = 9 D Pero el único número de dos dígitos que comience con 3 y sea múltiplo de 9 es el 36. Entonces, C = 6 y D = 4 .
6. Una caja cúbica sin tapa de 4 cm ´ 4 cm ´ 4 cm contiene 64 pequeños cubos que llenan la caja exactamente. ¿Cuántos de estos pequeños cubos tocan alguna cara lateral o el fondo de la caja? Solución Podemos considerar que los cubitos están distribuidos en cuatro niveles dentro de la caja, con 4´4 = 16 cubitos en cada nivel. Los 16 cubitos del nivel 1 (los de la base) tocan el fondo de la caja. En los niveles 2, 3 y 4, los cuatro cubitos del centro no tocan el fondo ni alguna cara del cubo; los otros doce cubitos (sombreados en la figura) si tocan alguna de las caras laterales.
Luego, se tienen 16 + 12 + 12 + 12 = 52 cubitos que tocan el fondo de la caja o alguna de sus caras laterales.
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7. Un agricultor cosecha cierto número de plantas de lechuga y solicita a cuatro de sus trabajadores que las cuenten. · · · ·
El primero las agrupó de once en once, pero le faltó una. El segundo las agrupó de trece en trece y le sobraron doce. El tercero las agrupó de siete en siete, pero le faltó una. El cuarto las agrupó de doce en doce y no le faltaron ni sobraron.
¿Cuántas plantas de lechuga tiene exactamente el agricultor, sabiendo que son menos de 8000? Solución Debido al conteo del segundo trabajador, la cantidad de lechugas es un múltiplo de 13 más 12. Pero como 12 = 13 1, esta cantidad también es un múltiplo de 13 menos 1.
De acuerdo al conteo del primer y tercer trabajador, la cantidad de lechugas es múltiplo de once menos 1 y múltiplo de 7 menos 1. Dado que 13, 11 y 7 son primos relativos dos a dos, la cantidad de lechugas es múltiplo de 7 ´ 11´ 13 menos 1, es decir, múltiplo de 1001 menos 1. Los múltiplos de 1001 menos 1 que son menores que 8000 son 1000, 2001, 3002, 4003, 5004, 6005 y 7006. Pero gracias al conteo del cuarto trabajador sabemos que la cantidad de lechugas es un múltiplo de 12. De estos números encontrados solo 5004 es múltiplo de 12, por lo que esta debe ser la cantidad de lechugas cosechadas. 8. Un estudiante leyó un número telefónico de 7 dígitos escrito en la forma siguiente: abc defg y pensó que se trataba de una resta, la efectuó y obtuvo 95. Sabiendo que todos los dígitos del número telefonico son distintos, halla el menor valor posible del número abc . Solución Como abc - defg = -95 , entonces:
abc + 95 = defg Para que un número de tres dígitos más un número de dos dígitos sea igual a un número de cuatro dígitos, tiene que cumplirse que a = 9 , d = 1 y e = 0 . Al analizar la suma, en las decenas se cumple una de las siguientes opciones:
1 + b + 9 = 10 + f b + 9 = 10 + f dependiendo de si se lleva 1 o no al momento de realizar la suma de las unidades c + 5 . La primera opción no puede ser aceptada pues b y f deben ser distintos. Luego, necesariamente b = f + 1 y además no se puede llevar una unidad en la suma c + 5 . Esto último solo es posible si c es igual a 2 ó 3, para evitar repetir dígitos. Como se pide el menor valor de abc , donde b y f son dígitos consecutivos, tomamos como valores de b y f a los dígitos 4 y 3, respectivamente, pues los tres dígitos menores serán ocupados por d , e y c . De esta manera se tiene:
abc = 942 defg = 1037
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9. Sean p y q números primos distintos (1 < p <100; 1 < q <100) tales que los siguientes cinco números: p + 6, p + 10, q + 4, q + 10 y p + q + 1 son todos numeros primos. Calcula el mayor valor que puede tomar p + q. Solución Como p+6 y p+10 son ambos números primos, necesariamente p debe ser un múltiplo de 3 más 1, pues de lo contrario p+6 ó p+10 sería un múltiplo de 3, lo cual no es admisible.
En forma similar, como q+4 es un número primo, q no puede ser un múltiplo de 3 más 2. Así mismo, como p+q+1 es un número primo y p es un múltiplo de 3 más 1, entonces q no puede ser un múltiplo de 3 más 1. Dado que q no puede ser un múltiplo de 3 más 1 ni un múltiplo de 3 más 2, q debe ser un múltiplo de 3. Pero el único número primo múltiplo de 3 es el mismo 3, es decir, q=3 Se pide el mayor valor posible de p + q. Se puede ver que si tomamos como valor de p el mayor primo menor que 100, es decir p = 97, se cumple que los valores de p+6, p+10, q+4, q+10 y p+q+1 son 103, 107, 7, 13 y 101, es decir, todos números primos. Finalmente, el mayor valor de p + q es 97 + 3 = 100. 10. Se tiene doce números enteros positivos y distintos que satisfacen la siguiente condición: Si calculas todas las diferencias positivas posibles, tomando los números de dos en dos, se forma un conjunto de 20 enteros positivos consecutivos. Calcula la diferencia entre el mayor y el menor valor de los doce numeros. Solución Supongamos que la menor diferencia entre dos de los doce números enteros sea m. Luego, la diferencia entre el primero (el menor) y el segundo menor número es al menos m, la diferencia entre el segundo menor y el tercero menor es al menos m, ... , la diferencia entre el décimo primer y décimo segundo número también es al menos m. Por esta razón la diferencia entre el primer número y el décimo segundo número es al menos 11m. Entonces la distancia entre la mayor diferencia y la menor diferencia es al menos 11m – m = 10m. Pero si son 20 números consecutivos, la diferencia entre el mayor y el menor de ellos es 19. Luego:
19 ³ 10m Con lo que obligatoriamente m = 1. Esto significa que los 20 números consecutivos deben ser 1, 2, 3, ..., 20, es decir, la diferencia entre el mayor y el menor de los doce números debe ser 20.
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RESPUESTAS
Segunda fase – Nivel 1 Pregunta
Respuestas y soluciones Respuesta Pregunta
Respuesta
1
74
6
52
2
12
7
5004
3
7
8
942
4
28
9
100
5
64
10
20
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