PROBLEMAS CON ÁREAS DE CUADRILÁTEROS Los cuadriláteros son polígonos de cuatro lados y pueden tener distintas formas pero todos ellos tienen cuatro vértices y dos diagonales y la suma de sus ángulos internos siempre da el resultado de 360º ÁREA DEL RECTÁNGULO: El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura. A=b*h H B
ÁREA DEL CUADRADO: El área de un cuadrado es igual al cuadrado o el producto de su lado.
A=l*l
l l
PROBLEMAS: 1) Las dimensiones del patio del centro educativo “Isolina clotet de fernandini” son 30m de largo por 20m de ancho y 50cm.¿cuantas mayólicas cuadradas serán necesarias para cubrir el patio? 2) Medir el largo y el ancho de la loza deportiva “Isolina clotet de fernandini” con el flecsometro. ¿Hallar el área de la loza deportiva y en cuantas partes iguales se dividirá? 3) Medir el largo y ancho de la columna del salón del 4°”B” ¿hallar el área de la columna? 4) Medir el largo y ancho del salón y de las mayólicas del 4°”B” ¿Cuál es el área del salón?, ¿Cuántas mayólicas cuadradas serán necesarias para cubrir el salón? 5) ¿Cuál es el área de la ventana del salón del 4°”B”? Al medir el largo y ancho de la ventana, y del vidrio. ¿Cuántos vidrios cuadrados entran en la ventana? 6) ¿Cual es el área de la pizarra del salón del 4°”B”? al medir el largo y ancho de la pizarra y el área de cada letra que escriben en la pizarra es de 4cm. ¿hallar cuantas letras se escritas caben en la pizarra?
5(2).4 Se supone que has recortado la tira de papel que tiene 10 cm., de largo y 5 cm., de ancho. Si ahora quieres tener en tus manos una tira de papel de 8 cm., de largo por 10 cm., de ancho. ¿Es necesario que dibujes 80 cuadrados de 1 cm., de lado? Respuesta: No, basta que dibuje una línea de 8 cm., de largo y otra de 10 cm., de ancho. 15(2).5 Tu última tira de papel de 8 cm., de largo por 10 cm., de ancho ¿coincide con la figura que tienes a continuación? Respuesta:
CÁLCULO DEL ÁREA DE UN RECTÁNGULO Cuando hagas un problema o un ejercicio, siempre que te sea posible, debes escribir la respuesta la parte numérica acompañada por el tipo de unidades, por ejemplo: 8 Km, 12 Ha, 4 m2., 12 cm., etc En la última figura tienes un rectángulo de 8 cm., de largo y 10 de ancho ¿cuántos centímetros que sean cuadrados tienes? Según lo que venimos estudiando, serían:
Recuerda que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes; cm tiene por exponente 1, luego:
lo mismo que:
15(2).6 En la figura siguiente ¿cuántos centímetros cuadrados tienes?
Respuesta: Comprobación:
El número de centímetros cuadrados, si los cuentas verás que hay 70. 15(2).7 Con una regla graduada, dibuja un rectángulo que tenga 90 milímetros de largo y 50 milímetros de ancho. Recorta y comprueba con la respuesta. ¿Cuántos milímetros cuadrados tiene el rectángulo que tienes en tus manos? Respuesta:
15(2).8 ¿Cuántos
y la figura es:
tiene un rectángulo que tiene 4 dm., de ancho y 3 dm., de largo?
Respuesta: ÁREA Y SUPERFICIE Son palabras que las usamos indistintamente, vienen a ser lo mismo. Hay quienes dicen que el área es la expresión numérica que se obtiene tras medir una superficie, otros dicen otras cosas parecidas, nosotros vamos a utilizarlas indistintamente. Todos los trozos de papel que has recortado son superficies de tamaños diferentes. Ves que para obtener el área exacta de una superficie necesitamos conocer dosmedidas:
largo y ancho (o alto imagínate una pared que tiene 3 metros de largo y 5 metros de alto). 15(2).9 ¿Cuál es el área de una plaza rectangular de 90 metros de larga por 80 metros de ancha? Respuesta: Se llama rectángulo áureo al que el cociente entre el valor del lado mayor entre el menor nos da el número de oro o cociente áureo. En este momento posiblemente digas, con toda razón: “no me he enterado de nada”. Después de hacer los doce pasos siguientes te habrás enterado de la mitad. Vas a hacer lo siguiente: 1) Toma un papel, un bolígrafo, una regla y un compás. 2) Dibuja un cuadrado que tenga 2 cm. de lado:
3) Halla el punto medio de la base (en la figura, el punto rojo):
Cada mitad de la base vale 1 cm. 4) Toma la regla y une el punto medio anterior con el vértice superior derecho
5) Toma el compás y haciendo centro en el punto medio de la base (punto rojo figura del apartado 3) y con radio igual a la longitud de la recta que acabas de trazar dibuja una circunferencia:
6) Prolonga la línea de la base hasta cortarse con la circunferencia y borra parte de la circunferencia para que te quede:
7) Calculamos la longitud del radio de la circunferencia, es decir, de r:
El triángulo de color rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos valen 1 cm. y 2 cm. siendo r el valor de la hipotenusa. Haciendo uso del teorema de Pitágoras escribimos:
8) La línea de color amarillo de la siguiente figura valdrá:
Por tratarse del radio (hipotenusa del dibujo anterior). 9) ¿Cuánto vale la línea
de figura siguiente?
La línea de color rojo mide 10) Traza una perpendicular de 2 cm. a la línea
en el punto B:
La base completa en color rojo ahora mide 11) Unimos el vértice superior derecho del cuadrado con la perpendicular al punto B, de la base y escribes las medidas del nuevo rectángulo:
12) Recuerda que llamamos razón al cociente indicado de dos números. Si divides el valor del lado mayor
entre el valor del lado menor (2), es decir:
a este cociente indicado o razón llamamos razón áurea, y el valor que se obtienes de este cociente llamamos número de oro o número áureo que se representa por la letra griega
(se lee FI) y vale:
Dirás que hasta has entendido, pero todo esto ¿para qué? ¿para qué sirve saber esto? Los griegos, varios siglos antes de Cristo decían que este rectángulo era armonioso que tenía una extraordinaria belleza, de tal modo que utilizaban estas proporciones a sus más famosos monumentos (Partenón, si encuentras una fotografía toma las medidas de su anchura y altura y te encontrarás con el número de oro). También los egipcios hicieron uso de la razón áurea (pirámide de Keops). Varios siglos después, uno de las mentes más grandes que han existido en la humanidad, Leonardo da Vinci que vivió entre los años 1452 y 1519 profundizó en los estudios y aplicaciones (cuerpo humano-perfección de su anatomía, Mona Lisa, etc.) de
y fue él quien dio los nombres de razón áurea, número de oro, etc.
Ejercicio: Tu tarjeta del D.N.I ¿tiene forma de un rectángulo de oro o rectángulo áureo?.Comprueba. Para los griegos el rectángulo áureo era un rectángulo además de bello por sus proporciones, era misterioso. Existen muchos trabajos, estudios sobre algunas figuras
geométricas basadas en este rectángulo, que si te gusta investigar encontrarás cosas muy interesantes. Merece la pena. Espiral áurea: Disponemos de un rectángulo áureo tal como lo tienes en la figura siguiente:
Determinamos el cuadrado mayor (amarillo) y trazamos un arco de circunferencia con centro en el vértice superior derecho e inicio en el ángulo superior izquierdo y final del arco en el vértice inferior derecho de dicho cuadrado. El resto de la figura, es decir, todo el dibujo que nos queda prescindiendo del cuadrado amarillo, es otro rectángulo áureo del que calculamos el cuadrado, en color verde y dibujamos un arco de circunferencia con centro en el ángulo superior izquierdo de dicho cuadrado verde, inicio en el vértice inferior izquierdo y final en el vértice superior derecho del citado cuadrado de color verde. Si a la figura completa le quitas los cuadrados de color amarillo y verde te queda otro rectángulo áureo del que determinas su cuadrado y repites las acciones anteriores. Al final, obtenemos la espiral áurea la que dentro del arte, arquitectura, escultura, etc., tiene aplicaciones dada su armonía y belleza. También en la naturaleza encontramos espirales áureas en las conchas de algunos moluscos. Es interesante observar la belleza de líneas que esconde un rectángulo áureo. Veremos al tratar el icosaedro lo útil de los rectángulos áureos. Nos basamos en lo estudiado en el caso del rectángulo. El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales, lo que quiere decir que la largura y la anchura son iguales:
Para calcular el área del cuadrado tengo multiplicar el largo por el ancho, pero como valen lo mismo, multiplico por sí misma una de las medidas:
Comprobación: Si cuentas los centímetros cuadrados verás que son 25:
15(2).10 ¿Cuál es el área de una pared cuyas medidas son 2 metros de longitud por 2 metros de altura? Respuesta: CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO
Nos vamos a fijar en el rectángulo para saber como se calcula el área del triángulo. En la figura siguiente tenemos un rectángulo que tiene 10 cm. de largo por 8 de ancho. No pierdas de vista a la diagonal:
15(2).11 Dibuja en un papel un rectángulo con las medidas de la figura anterior y traza la diagonal. Recorta la figura y no la estropees que la vas a necesitar. Observa la figura siguiente:
Hemos cogido las tijeras y hemos cortado por la diagonal y nos han quedado dos triángulos iguales. Haz tu lo mismo, corta por la diagonal y tendrás en tus manos dos triángulos que tienen 10 cm., de largo por 8 centímetros de alto o de anchura máxima. Es mejor que hablemos de altura. Antes de cortar por la diagonal, ¿cuál era el área del rectángulo?
Exactamente: Como el rectángulo ha quedado dividido en dos partes iguales, cada una de ellas valdrá:
Cada una de las dos partes es un triángulo cuya superficie vale Para obtener esta cantidad, hemos multiplicado la base por la altura del rectángulo y luego hemos dividido por dos ya que los dos triángulos juntos valen el área del rectángulo. Fíjate bien en los dos recortes que has obtenido al cortar el rectángulo por la diagonal. Tienes dos superficies triangulares que al juntarlas por la diagonal forman el rectángulo.
15(2).12 En la figura anterior tienes un dibujo que representa la fachada de una casa a la que hay que pintarla. Su figura geométrica la componen un triángulo y un rectángulo cuyas medidas las tienes indicadas. Calcula el precio que cuesta pintarla si tenemos que pagar 1,65 € el
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Curso gratis de Áreas Geométricas - Cálculo del Área del Rombo, Romboide Recordarás que el cuadrado y el rombo se parecen en que los dos son paralelogramos, es decir, sus lados son paralelos dos a dos, los lados miden lo mismo, pero así como en el cuadrado los 4 ángulos son iguales, en el rombo, son iguales dos a dos y las diagonales en el cuadrado son iguales, en el rombo son diferentes. Comprueba lo que acabas de leer en la siguiente figura:
Recuerda que las diagonales del rombo una es mayor que la otra:
Si te fijas bien, dentro del rombo se nos han formado dos triรกngulos iguales como lo tienes dibujados en la siguiente figura:
La base del triรกngulo amarillo mide el valor de la diagonal mayor y la altura o anchura mรกxima vale la mitad de la diagonal menor.
Vemos que el área del rombo se calcula multiplicando las dos diagonales y a ese resultado lo dividimos por 2. También podemos deducir el área del rombo del modo siguiente: Si te fijas, en la siguientes figura, tenemos dos triángulos que forman el rombo. Los dos triángulos son iguales. La altura de cada uno equivale a la mitad de la diagonal mayor y la base, común para ambos triángulos, es igual a la diagonal menor.
15(2).13 Calcula el área que ocupa la parte pintada de rojo en la figura siguiente:
Respuesta: Solución Vamos a resolverlo de dos maneras: a) Calculamos el área del rectángulo:
Calculamos el área del rombo: La diferencia entre las áreas del rectángulo y el rombo nos dará el área coloreada de rojo: b) Si observas la siguiente figura verás que cada zona pintada de rojo es un triángulo cuyas medidas las tienes indicadas en la misma:
Tienes 4 triángulos de 4,25 cm., de base por 2 cm., de altura, es decir, cada uno tiene una superficie de:
Como son 4 triángulos, la superficie en rojo vale: 15(2).14 El área de un rombo vale y la diagonal mayor vale el doble de la diagonal menor. Calcula el valor de las dos diagonales. Respuesta: 10 m. la mayor y 5 m. la menor. Solución: Si el valor de la diagonal menor es: d El valor de la diagonal mayor será: 2d Dedujimos que el área del rombo es igual a:
CÁLCULO DEL ÁREA DEL ROMBOIDE.
Recordarás que un romboide es un paralelogramo que tiene sus lados paralelos dos a dos, lo mismo que sus ángulos. Sus diagonales no son perpendiculares ni son iguales. En la figura siguiente tienes un romboide con sus medidas de líneas y ángulos para que compruebes lo que acabamos de decir:
Para deducir el área del romboide fíjate en la figura siguiente: Tienes un romboide de 6 cm. de largo de base y 2,5 cm., de alto o ancho.
Si ahora trazamos dos perpendiculares desde los extremos de la línea superior hasta la base:
Vemos que se nos forman dos triángulos rectángulos iguales que los pintamos de rojo:
Si eliminamos el primero de los triángulos y le añadimos el segundo al romboide, su área sigue siendo la misma:
Pero ahora, se ha transformado en un rectángulo cuya área será el largo por el ancho o alto. Compruebo que el área de un romboide y rectángulo son iguales. En este caso: 15(2).15 Toma papel, regla, lapicero y tijeras. Dibuja un romboide que tenga 10 cm., de largo y una anchura de 4 cm. Desde los extremos del lado superior traza las alturas (rectas perpendiculares a la base). Recorta los triángulos que se te han formado (de color verde en la figura siguiente) y comprueba que los dos triángulos son iguales y que lo que te queda después de recortar es un rectángulo que tiene 10 cm., de largo y 4 cm., de ancho.
Respuesta: