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1
TEMA 10: GEOMETRÍA DEL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
DETERMINACIÓN DE UN PLANO Un plano P queda determinado en uno de los
NOCIONES BÁSICAS.-
4 casos.
Representación gráfica de un punto
1.
determinan un plano.
Notación.- Punto A
A
Teorema.- Tres puntos no colineales
Representación gráfica de una recta
L
B
Notación.-
Recta
P
L
B
Si: A, B, C son puntos no colineales.
Notación.-
A
AB
C
A
Recta
AB
ó
A, B y C determina el plano P
PLANO Se denomina superficie plana o plano a una superficie tal que la recta que une a dos puntos
2.
Teorema.- Una recta y un punto que no pertenece a ella determinan un plano.
cualesquiera tiene todos sus otros puntos en la misma
superficie
todo
plano
se
supone
L
A
de
extensión ilimitada, la mayor parte de los objetos planos que observamos son porciones de plano de
P
forma rectangular por esta razón y ante la imposibilidad de representar los planos indefinidos adoptaremos la representación convencional por regiones paralelográmicas que es el aspecto que tiene aproximadamente los rectángulos vistos en perspectiva desde cierta distancia.
Si : A L
Ay L
3. Teorema.- Dos rectas secantes determinan un plano.
B A P Notación.- Plano P:
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determina al plano P
L1
P
L
L2
P P
Si: L L 1
2
= {P} L y L 1
2
determinan el plano P.
2
4. Teorema.- Dos rectas paralelas determinan un plano.
L1
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO 1.
L2
Una recta esta contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta
P
Si:
L // L 1
Recta Contenida en un Plano
pertenecen al plano.
2
L // L 1
2
B
determinan el plano P.
P
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
A
Observación.-
A. PLANOS PARALELOS
Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano dicha recta está contenida en dicho
Dos planos son paralelos o paralelos entre si
plano
cuando no tienen un punto en común es decir no se intersectan.
Si: A
Si :
P
P
Q =
P//
2.
Q
P y B
P
L
P
Recta Secante al Plano Una recta se denomina secante a un plano si sólo tiene un punto en común con el plano, al cual se le denomina punto de intersección o
= Vació ó Nulo
Q
traza de la recta sobre el plano.
B. PLANOS SECANTES
L
Son dos planos que tienen una recta en común denominado arista o traza de un plano sobre el
M
otro.
P
L
Punto M: Pie de la recta secante
Q Si:
ARIST P A Si:
P P y
Q =
P = {M}
L y
P :
Secante
L
Q son secantes
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L
3.
Recta Paralela a un Plano Una recta y un plano son paralelas si no tienen ningún punto en común.
3
Teorema.-
L
Si una recta es perpendicular a dos rectas, entonces dicha recta es perpendicular al plano
P
que determinan las rectas dadas.
Si:
P =
L
L
//
P
¡Dos rectas son no coplanares si no son paralelos ni secantes!
Observación.Rectas alabeadas o cruzadas.- son rectas no
O
P
Si:
L
L
1
y
L
L
2
coplanares.
P
L
Teorema de las Tres Perpendiculares P Si: L1
y L2 no son coplanares.
L
1
y L
2
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P
son alabeadas o cruzadas
Si:
L
m
P y
1
L
3
L
2
m ( m
P)
∴ = 90º
4
5. ¿Cuántos planos como mínimo forman 6 rectas
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
paralelas?
1. Indicar verdadero o falso. I.
Una recta y un punto que no pertenece a ella determina un plano.
II.
Dos rectas secantes no forman un plano.
III. Dos rectas paralelas determinan un plano. a) VFV
b) VVV
d) FFF
e) VFF
c) FVF
2. Indica verdadero o falso. I.
Tres puntos cualquiera determinan un Una recta y un punto determinan una plano.
III. Dos puntos no colineales forman un plano. a) VVV
b) VFF
d) FVV
e) VFV
c) FFF
3. Indicar verdadero o falso. I.
La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo.
II.
Una recta esta contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano.
III. Todo plano tienen porciones limitadas a) VFV
b) FFV
d) VVV
e) VVF
b) 10
d) 20
e) 25
c) 15
6. ¿Cuántos planos como máximo forman 15 rectas paralelas? a) 35
b) 55
d) 105
e) 120
c) 85
7. Con 10 puntos no colineales; ¿Cuántos planos
plano. II.
a) 5
c) VFF
como máximo se pueden determinar? a) 100
b) 110
d) 130
e) 140
c) 120
8. Con 14 puntos no colineales. ¿Cuántos planos como máximo se pueden determinar? a) 364
b) 286
d) 484
e) 268
c) 324
9. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicadas en planos perpendiculares y cuyos centros son P y Q respectivamente. Calcular la distancia PQ si
AB = 4.
a) 2
b) 2 2
d) 3 2
e) 5 2
c)
2
10. Calcular la proyección de AB , sobre el plano “P”; si “A” pertenece al plano “P”. AB = 50 y BH = 48.
4. Calcular el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.
B
a) 7 b) 14 c) 16
a) 4
b) 6
d) 10
e) 15
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c) 8
d) 18 e) 24
P
A
H
5
11. Calcular la proyección de AC sobre el plano “Q”, si “B” pertenece al plano “Q” , si “B” pertenece al plano “Q” , AN = 4 , MC = 6 y AC = 26.
a) 24 d) 50
b) 24 c) 13 d) 26 e) 10
N
M
c) 49
e) 59
A
a) 12
b) 25
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1. Indicar verdadero o falso I.
Dos planos son paralelos entre si no tienen punto en común.
P
II.
Una recta esta contenida en un plano cuando al menos un punto de dicha recta
C
pertenece al plano.
12. En la figura A’B’ = 12 la diferencia de las
III. Una recta es paralela a un plano si no tiene un punto en común.
distancias de B y A al plano P es 5. Hallar AB . a) 10
A
b) 11
B
b) VFV
d) VVV
e) FVV
c) VFF
2. Indicar verdadero o falso.
c) 12
I.
d) 13 e) 15
a) VVF
P
A’
Una recta es secante a un plano si solo se tiene un punto en común.
B’ II.
13. Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de 8m situado en el plano y un punto “P” que
Dos rectas no coplanares son rectas llamadas alabeadas.
III. Rectas paralelas son rectas coplanares que tienen un punto en común.
dista 12m del plano. Hallar la distancia de AB al pie de la distancia mencionada, si AP = BP =
a) VVF
b) VFF
13m.
d) FFV
e) VVV
a) 2
b) 3
d) 5
e) 5,2
c) 4
3. Con 8 puntos no colineales cuantos planos como máximo se pueden determinar.
14. La recta L de intersección de 2 planos X e Y
a) 50
b) 55
perpendiculares entre si es paralelo a una
d) 60
e) 62
recta R del plano X y a una recta S del plano Y la distancia entre R y L es 8m y entre L y S es 15m. Calcular la distancia entre R y S. a) 10m
b) 12m
d) 17m
e) 19m
c) 15m
15. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7m, se levanta por C la perpendicular CE. Si EB mide 25m. Calcular: CE + ED .
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c) FVV
c) 56
4. Con 12 puntos no colineales cuantos planos como máximo se pueden determinar. a) 200
b) 210
d) 240
e) 250
c) 220
5. Con 32 puntos no colineales cuantos planos como máximo se pueden determinar. a) 4000
b) 4300
c) 4960
6
d) 4980
e) 4990
b) 15
6. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF ubicados
c) 20
en planos perpendiculares y cuyos centros son
d) 25
P y Q respectivamente. Calcular la distancia PQ; si: AB = 6. a) 5
b) 3 2
d) 5 2
e) 6 2
c) 3 3
=4, si del punto D se levanta una perpendicular
DE . Calcular EC sabiendo que AE = 13. b) 2 10
10
d) 4 10
c) 3 10
e) 5 10
B
a) 3
b) 16 c) 18 2 d) 18 6
12. Del gráfico, el ABC es perpendicular al plano del cuadrado ACDE. Calcular BD; AB = 2.
a) 2
b) 4 d) 4,5
son perpendiculares Si: MN = 18 2 .
e) 36 3
8. De la figura, calcular la proyección AB al plano Q Si : Sen = 3 5
c) 5
11. Calcular BN, si los cuadrados ABCD y ADNM a) 18
7. Se tiene un rectángulo ABCD donde AD = 5, CD
a)
e) 28
A
Q
B
b) 2 2
e) 3,5
C
D
c) 3 3
9. De la figura calcular : x a) a
d)
x
b) a 2
E
A
e) 4
a
c) 2a 2
3
13. Del gráfico, el plano ABC es perpendicular al plano del cuadrado ABED.
a
Calcular: EC, ED = 2 2 .
d) a 3 e) 2a 3
a
a) 2
C B
E
b) 4 c) 6
10. Al caer un libro del 4to año de secundaria
D
A
d) 2 2
quedo en la siguiente posición. Calcular la e) 4 2
distancia AB . a) 10cm
A
B 20c
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60
20c
7
14. En la figura PQ es perpendicular al plano “A”,
e) 16 2
“Q” es centro de la circunferencia de radio 6, y “B” es punto de tangencia, si BC = 10 y PQ = 8.
P
Calcular PC.
15. Se tiene un cuadrado ABCD luego se levanta una perpendicular por el vértice “A” al plano del cuadrado. Hasta el punto “P”. Calcular “PO”.
a) 6 b) 8
Si: AB = 4 2
C A
B
Q
y AP = 4, (O = centro del
cuadrado).
c) 10 d) 10 2
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a) 4
b) 4 2
d) 5
e) N.A.
c) 8
8