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TEMA 11: ANGULOS DIEDROS – TRIEDROS Y POLIEDROS ÁNGULOS DIEDROS Es la figura geométrica formada por la unión de sus semiplanos que tienen una recta en común a la cual se le denomina arista del ángulo diedro.
Arista
Ángulo Diedro AB ó
P
de este punto al plano. De esto se concluye que la
Q
ortogonales de todos sus puntos sobredicho plano.
P
Ángulo Diedro
y
: Medida del ángulo Diedro
planos
son
Sea PP'
perpendiculares,
cuando
Q
P’ es la proyección del
punto
determinan diedros que miden 90º.
P sobre el plano Q
Q
:
Medida
del
ángulo diedro.
P
Observación.-
m
P’
Q
PLANOS PERPENDICULARES Dos
L
P - AB - Q
x
sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada
sobre un plano es la reunión de las proyecciones
Notación:
cara
Por definición la proyección ortogonal de un punto
proyección ortogonal de cualquier figura geométrica
A cara
PROYECCIÓN ORTOGONAL SOBRE UN PLANO
Si
= 90º
P
Q
Dos diedros adyacentes son
suplementarios.
Además M es la proyección ortogonal de
L
sobre el plano Q.
¡Ángulos poliedros son figuras formadas por tres ó más regiones angulares que tienen el mismo vértice!
ÁNGULO TRIEDRO Es aquel ángulo poliedro de tres caras.
A
Q
P
C
α
+ = 180º
O
b c a
β B
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Notación.-
B
Ángulo triedro O – ABC
C
Triedro O – ABC
Medidas de las caras : a, b, c
Medidas de los diedros : , ,
O
Observación.A.
A
Triedro Rectángulo.- Es aquel que tiene una cara que mide 90º.
C.
Triedro Tri-rectángulo.- Es aquel que tiene sus tres caras que miden 90º entonces sus tres diedros miden 90º.
B C
B
O
C A
B.
Triedro Bi-Rectángulo.- Es aquel que tiene dos caras que miden 90º. A los cuales se oponen diedros que miden 90º.
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O A
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1. Indicar verdadero ó falso. I. II.
Dos planos son perpendiculares cuando determinan diedros que mide 90º. El lugar Geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. III. Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios. a) VFF b) VVF c) VVV d) FFV e) FVF
2. Indicar verdadero ó falso
I. En todo triedro la suma de las medidas de las caras es mayor de 0º y menor de 360º. II. Un triedro Bi-rectángulo es aquel que tiene dos caras que miden 45º. III. Un ángulo triedro es aquel ángulo poliedro de tres caras. a) FFF b) VVV c) VFV d) VVF e) FFV
3. En un rectángulo ABCD: AB = 2 y BC = 4. Se dobla el rectángulo por los puntos medios de BC y AD formándose un ángulo diedro de 60º. Hallar la distancia entre los vértices A y C en la posición final. a)
b) 3 3
2
c)
3
d) 2 2
e)
6
4. Dado el triedro tri-rectángulo O-ABC sobre sus aristas se toman longitudes OA = OB = OC = 10. Calcular el área de la región triangular ABC. a) 25 6
b) 75 6
c) 50
d) 50 6
e) 25 3
5. Dado un triedro tri-rectángulo O-ABC cuyas aristas OA, OB, OC miden 4 2 . Calcular el área de la región triangular ABC. a) 16
b) 16 3
c) 18
d) 18 2
e) 17 3
6. Se tiene un triángulo isósceles AOB; AO = OB = 2a, se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo, tal que OM = a 6 se une “M” con “A” y “B”. Hallar el diedro AB . Si: m ∡ AOB = 90º. a) 30º b) 60º c) 37º d) 53º
7.
e) 45º
Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB ( O 90º ) AO = OB = 2m por “O”. Se levanta la perpendicular OM al plano del triángulo tal que OM= 2 , se une M con A y B. Hallar la medida del diedro AB .
a) 30º
b) 37º
c) 45º
d) 53º
e) 60º
8. En la figura AB = 15, BC = 20, AC = 25; BP es perpendicular al plano del triángulo ABC. Calcular el ángulo diedro que forman los planos de los triángulos ABC y APC. Además BP = 12. a) 37º
P
b) 15º c) 60º
C
d) 30º e) 45º
B A
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9. En el gráfico “BF” perpendicular al plano del cuadrado ABCD. Si : AB = BF = a y M es punto medio de CD . Calcular el área del triángulo FDM. a) b)
a2 2
a
2
F 2
2
d) e)
C
B
c) a2 2
a2 2 4 38a 4
M
2
A
D
10. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 6cm , del lado AB se toma el punto “P” y exterior al plano del cuadrado se toma “Q” de modo que PQ sea perpendicular al plano. Calcular el ángulo diedro que forman los planos del triángulo CDP y el cuadrado ABCD sabiendo que PQ = 3cm. a) 53º b) 53/2 c) 37º d) 37º/2 e) 30º
11. Se tiene una plano “P” y un segmento AB exterior. Calcular la medida del ángulo que forman AB y el plano “P” sabiendo que A y B distan del plano 13cm y 7cm respectivamente además la proyección de AB sobre el plano mide 12cm. a) 45º b) 30º c) 22º33’ d) 15º e) 18º
12. Los planos “P” , “Q” forman un ángulo diedro 37º, AB = 12cm, AB es perpendicular; L es la intersección de los planos “P” y “Q” . calcular la distancia de “B” a la recta L.
P
A
B
Q
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 1.
Indicar verdadero o falso. I. En todo ángulo triedro la suma de las medidas de los ángulos diedros es mayor de 180º y menor de 540º. II. Un triedro tri-rectángulo es aquel que tiene sus tres caras que miden 90º. III. Un triedro rectángulo es aquel que tiene una cara que mide 90º. a) VFV b) FFV c) VVF d) VVV e) FFF
2. En la figura mostrada los rectángulos ABCD y ADFG se encuentran en planos que forman un diedro de 120º. Hallar BF, si: CD = AG = 2m y FG = 6m.
a) 4
B
C
A
D
b) 3 c) 4 3 d) 3 3 e) 2 6
G
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F
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3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles AOB en el cual AO = OB =
6 m por el punto O se levanta la
perpendicular OM al plano del triángulo. Hallar OM si el diedro AB formado mide 60º. a) 1m b) 2m c) 3m d) 3,5m e) 3,8m
4. Se tiene un plano Q y un segmento AB = 12m en el espacio. Hallar la medida del ángulo formado por AB con el plano, si las proyectantes de A y B miden 13m y 7m respectivamente. a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
5. En el triángulo rectángulo ABC los catetos AB y BC miden 15 y 20m. Por B se levanta la perpendicular BP 12 3m al plano del triángulo, luego se une P con A y C. Calcular la medida del diedro AC . a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
6. Un plano P tiene una inclinación de 60º sobre el plano. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar otro plano paralelo que corta a P1 tal que sus intersecciones distan 42cm?. a) 21cm
b) 31,5cm
c) 21 2
d) 21 2
e) 21 2
7. Se traza PQ perpendicular a un plano “Q” esta en el plano haciendo centro en Q. Se traza una circunferencia de radio 24cm, por un punto B de esta se traza la tangente BC de 30 m. Hallar: “PC”. Si: PQ = 32. a) 40 b) 30 c) 50 d) 60 e) 20
8. Un triángulo al ser proyectado sobre un plano determina un triángulo cuya área es la mitad del área del primero. El diedro que forman los planos de los dos triángulos mide: a) 15º b) 45º c) 30º d) 50º e) 75º
9.
El plano P que contiene un trapecio isósceles, cuyas bases miden 6m y 112m y su altura 6m, forma el plano H que pasa por la mediana del trapecio , un ángulo de 60º. Hallar el área de la proyección del trapecio sobre el plano H. a) 27 3
b) 27
c) 54
d) 36
e) 28
10. Se tiene un punto A y un plano P, en el plano P se encuentra una circunferencia de su diámetro. Si la distancia más corta de “A” a la circunferencia es de 5u. Calcular la distancia más larga de “A” es la circunferencia sabiendo que A dista de plano 3u. a) 3 15u
b) 2 15u
c) 2 17u
d) 36
e) 28
11. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, los lados miden AB = 6 y BC = 8. Por el vértice B se traza BF perpendicular al plano ABC, tal que BF = 4,8. Hallar la medida del ángulo diedro que forman los planos ABC y AFC. a) 15º b) 30º c) 45º d) 75º e) 90º
12. Deducir el valor de verdad de las afirmaciones siguientes :
I. El lugar geométrico de los puntos equidistantes de las caras de un diedro es el plano bisector del diedro. II. La magnitud del ángulo de un diedro depende de la posición del vértice. III. La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo. IV. Dos planos que se cortan forman diedros adyacentes suplementarios. a) VFVV b) VVVV c) FFVV d) FVVV e) FFFV
13. La suma de todos los ángulos diedros de un tetraedro cualquiera está comprendido entre : a) b) c) d) e)
4 rectos y 12 rectos 4 rectos y 24 rectos 6 rectos y 16 rectos 8 rectos y 24 rectos 2 rectos y 6 rectos
14. Una hoja rectangular ABCD con AB = 3 m, BC = 4 m es doblada por su diagonal AC hasta que se forme un ángulo diedro en AC de medida igual a 60º. La distancia en metros de B a la cara ACD es : 4 4 3 2 6 3 3 3 3 3 a) b) c) d) e) 5 3 5 3 5
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15. Sea = ángulo diedro inferior (ABC, BCD). Entonces, tan es igual a : a)
B
2
b) 2
2
c) 3
2
d) 4
2
C
e)
D A
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