Escuela de Talentos
1
TEMA 4: FACTORIZACION I 1.
convenientemente tratando de que aparezca
Factor Algebraico
algún factor común.
Sean F y P dos polinomios de grados positivos.
Ejemplo:
Decimos que F es factor algebraico de P si y
sólo si P es divisible por F, es decir P F es
4
2
x (4x
2
+ 5); donde sus factores 2
primos son: “x” y “4x + 5”
Factor Primo Sean F y P dos polinomios de grados positivos.
Decimos que F es un factor primo de P si y
Factorizar: 2
2
2
3
a x – ax – 2a y + 2axy + x – 2xy
sólo si F es polinomio irreductible y factor
Veamos que no existe factor común
algebraico de P.
alguno
a
simple
vista,
entonces
tendremos que agrupar apropiadamente:
FACTORIZACIÓN
2
2
2
3
2
2
2. 2 3
4
2
5
6
2
(x – 2y) (a – ax + x )
potencias de sus factores primos). Ejemplo:
2
a (x – 2y) – ax(x - 2y) + x (x – 2y)
multiplicación indicada de sus factores primos (o
criterio del aspa simple
P(x, y) = 2x y (x - 5) (x – x + 1) (y - 2)
Se utiliza para factorizar a polinomios de la
tiene 5 factores primos:
siguiente forma general:
4 lineales
: x ; y ; (x - 5) ; (y - 2) 2
1 cuadrático : (x – x + 1)
Ax
2n
Existen diversos
criterios
para factorizar
n m
Ax
2n
2m
+ Bx y + Cy o
Criterios para factorizar
m, n N n
+ Bx + C
polinomios, entre ellos tenemos:
1.
2
a x – 2a y – ax + 2axy + x – 2x y
Es la transformación de un polinomio en la
2
un factor común.
exacta.
2.
2
Factorizar: 4x + 5x notamos que x es
FACTOR COMÚN – AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS Se buscan factores comunes que pueden ser monomios o polinomios. En caso de no haber algún
factor
común,
se
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agrupará
2
Ejemplo: 2
x
+
5x
+
Ejemplo:
6
x
3
3x
x
2
2x
(+)
3
2
Factorizar: x + x – x – 1 2
2
x (x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x - 1) (x + 1)(x + 1)(x - 1) 3
2
2
x + x – x – 1 (x + 1) (x - 1)
5x (x + 3) (x + 2)
PROCEDIMIENTO
4
2
Factorizar: x + 2x + 9 Hacemos por conveniencia que:
En los extremos del aspa se colocan los factores que multiplicados en sentido vertical deben reproducir los términos encerrados en los círculos punteados. Además la suma de los productos en aspa debe reproducir el término central; si es así los factores serán tomados en forma horizontal.
2
2
2
2x = 6x – 4x entonces: 4
2
x + 6x + 9 – 4x 2
(x
+ 3)
2
2
2
– 4x
(x
2
+ 3)
2
– (2x)
2
diferencia de cuadrados. 2
2
(x + 2x + 3) (x – 2x + 3) Ejemplo: 2
x
-
8x
+
15
x
-5
x
-3 2
x – 8x + 15 = (x - 5)(x - 3)
3.
criterio de las identidades En este caso utilizaremos las equivalencias algebraicas en sentido inverso al de los productos notables.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
Factorizar: 4
2 3
3 2
4
A(m, n) = mn – 5m n + 4m n – 20m n;
a) x + y
b) x – y
d) x + 2y
e) x
c) x – 2y
5
dar el número de factores primos:
3.
2.
a) 2
b) 3
d) 5
e) 6
c) 4
L(a, b, c, x) = a(x - 1) – b(1 - x) + cx – c; dar un factor primo:
Factorizar: 5 5
Factorizar:
6 4
7 3
F(x, y) = x y – 2x y + x y ; indicar un factor primo:
4.
a) x + 1
b) a + b – c
d) x – 2
e) a – b + 2c
c) a + b + c
Factorizar: 3 2
3 2
3 2
5
R(a, b, c) = a b + b c – a b – b ;
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3
dar un factor primo: 2
a) b + c
b) a + b
d) 2b + c
e) a – b + c
2
c) a – ab + b
a) 1
b) -2
d) 6
e) -4
c) 5
11. Factorizar: 5.
P(a, b, c) = (a + b + c) (a – b + c) – (a + b)(a - b);
Factorizar: 2
2
2
2
2
2
K(x, y) = (9x – 4y )x + 25y (4y – 9x ); indicando el número de factores primos:
6.
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2
b) c
d) 2a + b
e) a + c
Factorizar: M(x) = x – b + 2ax + a
c) 2a - c
2
2
2
2
3
P(a, b, c) = a(a + bc) + c(a + b ) – b ; e indique un factor:
a) x + a
d) x + b
b) x + a – b
e) x + a – 2b
c) x – a + b Factorizar: 2
M(a, b) = a + 2a + ab + b + 1; dar un factor primo:
8.
a) a
12. Factorizar:
2
Dar un factor primo:
7.
dar un factor primo.
2
2
a) a + b + c
b) a + b
d) a – b + c
e) a + bc
2
c) b + c
2
2
13. Factorizar: 4
2
P(x) = (x + 1) – 5(x + 1) + 4; indicando un factor primo:
a) a + 2
b) a + 1
d) a + b – 1
e) 2a + 1
c) a - 1
a) x + 3
b) x + 5
d) x + 10
e) x + 8
c) x + 7
Factorizar: 14
P(x) = x
2
– x – 6x – 9;
14. Factorizar: 4
2
P(a) = 35a – 61a + 25;
indicando la suma de factores primos:
indicando el número de factores primos: 7
7
a) 2x – 6
b) 2x
7
d) x + x
9.
c) 2x + 6
e) 2x + 7
Factorizar: 2
2
P(x, y) = 6x – 31xy – 30y ; indique la suma de coeficientes de uno de los
a) 1
b) 2
d) 4
e) 8
15. Factorizar y dar como respuesta el número de factores de: 32
P(x) = x
factores primos: a) 7
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
c) 3
a) 4
b) 6
d) 8
e) 11
-1 c) 10
10. Factorizar: 4
2
M(x) = (x - 1) + (x - 1) – 6; dar la suma de coeficientes de un factor primo:
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4
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
7.
Factorizar: 3
1.
2
2
3
M(x, y) = x – 2x y + xy – 2y ;
Factorizar: 7 7
dar un factor primo:
13
M(a, b) = 64a b – ab ; dar un factor primo:
a) a
b) b 2
d) 4a + 2ab – b
2.
2
2
c) 2a - 3b
e) a + b
3
8.
d) 2x + y
e) x – 2y
c) x + 2y
2
Factorizar: 4
2 2
4
indicando el número de factores primos:
Factorizar: 5
4 2
3 3
indicar un factor primo: a) x + y
b) x – y
c) x – 2y
d) x + 2y
e) x – 3y
Factorizar: 2
dar el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
Factorizar: m+a
M(x,y,z) = x
m b
a n
n b
p a
p b
+x y +x y +y y +z x +z y
a) x + y
m
n
m
n
m
n
a
b
b) x - y
d) x + y - z
p
a
c) x + y
b
e) x - y
10. Factorizar: 6
2
M(x) = x – x – 8x – 16; dar el número de factores primos.
Factorizar: 2
9.
a) 1
dar un factor primo:
M(x, y) = 12(x - y) + 7(x - y) – 12;
4.
2
b) x + y
P(x, y) = 25x – 109x y + 36y ;
P(x, y) = x y + 2x y + x y ;
3.
2
a) x + y
2
2
2
M(x, y) = ab(x – y ) + xy(a – b ); dar un término de un factor primo.
a) 6
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
11. Factorizar: a) ay
b) –ax 2
d) b
5.
c) -by
e) a + b
F(a, b) = a
6
– 64b
6
2
indicando el número de
factores primos.
6.
R(m) = 3
2m+2
–3
m+1
– 30;
dar el número de factores primos. a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
12. Factorizar:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
2
P(a,b,c) = (a + b)(a + b + c + 4) – 2c + 5c + 3; dar la suma de coeficientes de un factor primo.
Factorizar: 2
2
M(x, y) = (3x + y) – (3y - x) ; dar el número de factores primos:
a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
c) 3
13. Factorizar: P(x, y) e indicar un factor primo: a) 1
b) 2
d) 4
e) 5
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c) 3
4
2 2
4
P(x,y) = 10x + 7x y – 12y
5
2
a) 2x + y 2
2
d) 5x + 3y
2
b) 2x + 3y 2
2
2
2
2
c) 5x – 2y
2
e) 2x – y
14. Hallar el término independiente de uno de los factores que: (x + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38 a) 2
b) -5
d) 5
e) 1
15. ¿Cuántos
factores
c) 3
cuadráticos
tiene
el
siguiente binomio? 8
P(x) = x - 1 a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
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c) 2
6