Guia de Transição by EE. Bartolomeu de Gusmão Pe

Sumário 1. Introdução .............................................................................................................................................. 7 2. A área de Matemática ........................................................................................................................ 7 3. O currículo de Matemática .............................................................................................................. 8 3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática .................................................................. 8 3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. ......................................... 10 3.3 – Organização dos conteúdos básicos. ............................................................................. 11 3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Fundamental ....... 12 3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, segundo a BNCC.................................................................................................................................................. 15 4- Organização das grades curriculares. ....................................................................................... 17 4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)........................ 19 4.1.1 Sistema de Numeração Decimal..................................................................... 20 4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural ........................................... 23 4.1.3 Operações com Números Naturais ............................................................... 27 4.1.4 Formas Geométricas ........................................................................................... 28 4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 31 4.2.1 Múltiplos e Divisores........................................................................................... 31 4.2.2 As grandezas direta e inversamente proporcionais ................................ 33 4.2.3 Transformações geométricas ........................................................................... 39 4.2.4 Medidas ................................................................................................................... 41 4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 43 4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação ...... 43 4.3.2 Porcentagens ......................................................................................................... 46 4.3.3 Construções geométricas .................................................................................. 49 4.3.4 Princípio multiplicativo da contagem e soma de probabilidades ...... 55 4.3.5 Elementos de pesquisa amostral .................................................................... 58 4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre)......................... 60 4.4.1 Dos naturais aos reais......................................................................................... 61 4.4.3 Ideia de variação e funções .............................................................................. 67 5

4.4.4 Construção e análise de gráficos .................................................................... 70 5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre .................................... 72 6- Ensino Médio .................................................................................................................................... 76 6.2 Concepções da Matemática no Ensino Médio nos documentos oficiais .............. 76 6.3 Competências Específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio – BNCC – Ensino Médio.................................................................................................................. 78 7. Grades curriculares – Ensino Médio .......................................................................................... 80 7.1 Currículo Oficial / BNCC – 1ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ....................... 81 7.1.1 – Aprofundamento dos estudos sobre as funções do 1º e 2º graus. 82 7.1.2 Geometria espacial métrica .............................................................................. 86 7.1.3 Equações simultâneas ou sistemas de equações ..................................... 88 7.1.4 Representação gráfica de funções polinomiais de grau 1 .................... 91 7.2 Currículo Oficial / BNCC – 2ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ....................... 94 7.2.1 Semelhança de triângulos e relações métricas. ........................................ 95 7.2.2 Utilização de linguagem de programação para a potencialização do aprendizado ................................................................................................................................. 100 7.2.3 Projeções e vistas ortogonais ........................................................................ 105 7.2.4 Ladrilhamento de planos................................................................................. 111 7.2 Currículo Oficial / BNCC – 3ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre ..................... 112 7.3.1 Potências e ordens de grandezas ................................................................ 112 7.3.2 Isometrias no plano cartesiano ..................................................................... 114 7.3.3 Revisitando o conceito de razão .................................................................. 115 7.3.4 Revisitando a construção de tabelas e gráficos na estatística ........... 118 7.3.5 Utilização de tabelas para a representação de uma função polinomial de grau 1 ....................................................................................................................................... 119 9 Referências Bibliográficas ............................................................................................................. 123 10 Créditos ........................................................................................................................................... 124

1. Introdução Este documento tem como objetivo revisitar o Currículo Oficial do Estado de São Paulo, referente a área de Matemática e suas tecnologias, destacando nos tópicos iniciais, seus pontos a fim de proporcionar uma possível reflexão sobre a área e o respectivo componente curricular. Em seguida, apresenta um panorama referente as habilidades constantes no Currículo Oficial, de cada segmento. Nos Anos Finais do Ensino Fundamental e sua interligação com as habilidades do Currículo Paulista, seguidas de algumas orientações curriculares. No Ensino Médio, a articulação com a BNCC – Base Nacional Comum Curricular.

2. A área de Matemática A opção pela constituição de uma área do conhecimento específica para a Matemática como uma área específica do conhecimento neste Currículo está baseada em três razões principais:

A primeira leva em consideração que ela apresenta um universo próprio, muito rico de ideias e objetos específicos, como os números e as operações, as formas geométricas e as relações entre eles. Tais ideias e objetos são fundamentais para a expressão pessoal, a compreensão dos fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos.

Outra razão é que a Matemática compõe com a língua materna um par fundamental, mas complementar. Naturalmente, existem diferenças fundamentais entre os significados de precisão na Língua e na Matemática e os alunos devem ser conduzidos a apreciar a beleza presente tanto na exatidão dos cálculos quanto no rigor expressivo do texto poético.

Finalmente, uma terceira razão é que a matemática propicia a compreensão, utilização e criação das tecnologias digitais de informação e comunicação. Lembra-se, entretanto, que a apresentação da Matemática como uma área específica não busca

uma amplificação de suas supostas peculiaridades, nem como um tema particularmente relevante, mas sim busca-se criar as condições para uma exploração mais adequada das possibilidades de a Matemática servir às outras áreas, na tarefa de transformação da informação em conhecimento em todas as suas formas de manifestação.

3. O currículo de Matemática 3.1 – Fundamentos para o ensino da Matemática O Currículo do Estado de São Paulo aponta como objetivo principal mapear o vasto conhecimento acumulado pela humanidade em áreas e disciplinas, articulandoas de tal modo que não haja uma delimitação rígida de fronteiras entre as disciplinas. Defende, ainda que em cada componente curricular, os conteúdos devem ser organizados de modo a possibilitar que os alunos adentrem ao complexo universo do conhecimento, em busca do desenvolvimento das competências básicas, as quais se constituirão eixos norteadores educacionais. E, como todos os adultos lidam com números, medidas, formas, operações; leem e interpretam textos e gráficos, vivenciam relações de ordem e de equivalência; argumentam e tiram conclusões a partir de informações, é consenso que a Matemática possibilita o desenvolvimento de competências que os indivíduos necessitam em suas ações. Ações estas referidas à contextos práticos. Mas, tão importante quanto referir o que se aprende a contextos práticos é ter a capacidade de abstrair, a realidade factual, imaginar contextos ficcionais, situações inventadas que proponham soluções novas para problemas efetivamente existentes. Limitar-se aos fatos, ao que já está feito, pode conduzir ao mero fatalismo. Sem tal abertura para o mundo da imaginação, do que ainda não existe enquanto contexto, estaríamos condenados a apenas reproduzir o que já existe, consolidando um conservadorismo, no sentido mais pobre da expressão. Ainda que o desenvolvimento de tal capacidade de abstração esteja presente nos conteúdos de todas as disciplinas, ela encontra-se especialmente associada aos objetos e aos conteúdos de Matemática. 8

Além disso a Matemática e a língua materna têm sido as disciplinas básicas na construção dos currículos escolares, em todas as épocas e culturas, havendo um razoável consenso ao fato de que sem o desenvolvimento adequado de tal eixo linguístico/lógico matemático a formação pessoal não se completa.

Enfim, o Currículo do Estado de São Paulo, em articulação com a BNCC ao longo da escolarização básica, vislumbra articular as ações educacionais em três eixos de tal modo que possibilite o desenvolvimento de: 

o eixo expressão/compreensão: a capacidade de expressão do eu, por meio das

diversas linguagens, e a capacidade de compreensão do outro, do não eu, do que me complementa, o que inclui desde a leitura de um texto, de uma tabela, de um gráfico, até a compreensão de fenômenos históricos, sociais, econômicos, naturais etc.; 

o eixo argumentação/decisão: a capacidade de argumentação, de análise e de

articulação das informações e relações disponíveis, tendo em vista a viabilização da comunicação, da ação comum, a construção de consensos e a capacidade de elaboração de sínteses de leituras e de argumentações, tendo em vista a tomada de decisões, a proposição e a realização de ações efetivas; 

o eixo contextualização/abstração: a capacidade de contextualização dos con-

teúdos estudados na escola, de enraizamento na realidade imediata, nos universos de significações, sobretudo no mundo do trabalho, e a capacidade de abstração, de imaginação, de consideração de novas perspectivas, de virtualidades, de potencialidades para se conceber o que ainda não existe. No primeiro eixo, ao lado da língua materna, a Matemática compõe um par complementar como meio de expressão e de compreensão da realidade. No eixo argumentação/decisão, o papel da Matemática, também fica evidente, como instrumento para o desenvolvimento do raciocínio lógico e na obtenção de condições necessárias para análise racional. 9

No que se refere ao terceiro eixo de competências, a Matemática é uma instância bastante adequada, ou mesmo privilegiada, para se aprender a lidar com os elementos do par conceito/abstrato. Mesmo sendo considerados especialmente abstratos, os objetos matemáticos são os exemplos mais facilmente imagináveis para se compreender a permanente articulação entre as abstrações e a realidade concreta. Tais eixos podem abrir horizontes e perspectivas de transformação da realidade, contribuindo para a imaginação de relações e situações que transcendem os contextos já existentes. 3.2 – A Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. O Currículo defende que a Matemática assim como a língua materna, com a qual interage continuamente precisam articular-se permanentemente com todas as formas de expressão, especialmente com as que são associadas às tecnologias informáticas. Além disso, nos lembra que os conteúdos devam ser considerados um meio para o desenvolvimento de competências citadas anteriormente: expressão/compreensão; argumentação/decisão e contextualização/abstração e que entre estes conteúdos encontram-se as ideias fundamentais a serem exploradas, pois elas constituem a razão do estudo das disciplinas. A proporcionalidade, por exemplo, é considerada uma ideia fundamental na Matemática, assim como as ideias de equivalência, ordem e aproximação, uma vez que estão presentes nos mais diversos conteúdos ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental: no estudo das frações, na semelhança de triângulos, nas funções do 1º grau, nas equações, nos estudos de área e volume, na construção dos algoritmos, na realização de cálculo do dia a dia e assim por diante.

3.3 – Organização dos conteúdos básicos. Os conteúdos disciplinares de Matemática, nos Anos Finais do Ensino Fundamental, encontram-se distribuídos em três grandes blocos temáticos: NÚMEROS,

GE-

OMETRIA e RELAÇÕES. O trabalho com o bloco de conteúdo denominado Números tem por objetivo principal um enriquecimento do escopo da linguagem numérica, inicialmente restrita a situações e problemas envolvendo a contagem e a medida. As sucessivas ampliações dos campos numéricos por meio de situações significativas que problematizem essa necessidade constituem o caminho natural para tal aprofundamento. Neste bloco, estão contemplados o estudo das representações algébricas, bem como das operações correspondentes, ou seja, a iniciação à Álgebra que se dá a partir do 7º ano do Ensino Fundamental, incluindo a generalização de padrões geométricos e numéricos e o estudo das equações, potencializando o simbolismo algébrico na constituição de uma linguagem cada vez mais rica e abrangente. Em Geometria, nos Anos Finais do Ensino Fundamental, a preocupação inicial é o reconhecimento, a representação e a classificação das formas planas e espaciais, preferencialmente trabalhadas em contextos concretos com os estudantes do 6º e 7º anos e a ênfase na construção de raciocínio lógico dedutivo nos trabalhos dos 8º e 9º anos do Ensino Fundamental. Um aspecto importante a ser destacado na apresentação da Geometria, tanto nos Anos Finais do Ensino Fundamental, é o fato de que o conhecimento geométrico apresenta quatro faces, que se relacionam permanentemente na caracterização do espaço: a percepção, a concepção, a construção e a representação. Não são fases, que se sucedem linear e periodicamente, mas faces, que se tocam mutuamente, contribuindo para uma compreensão mais rica da natureza do espaço em que vivemos.

Quanto às Relações, o ponto de partida natural é o estudo das medidas; medir é comparar uma grandeza com um padrão e expressar o resultado da comparação por meio de um número. O estudo das medidas e das relações entre elas, ou seja, das relações métricas, parece especialmente adequado para favorecer a aproximação entre as diversas disciplinas, ou seja, a interdisciplinaridade, e mesmo a consideração de questões mais amplas do que as de natureza disciplinar, que ingressam no terreno da transdisciplinaridade. Uma vez que a ideia de número nasce tanto da contagem quanto da medida e que o estudo da Geometria certamente envolve relações métricas, as interconexões entre os três blocos temáticos: Números, Geometria, Relações, ocorrem quase que naturalmente. 3.4 – As unidades temáticas da BNCC dos anos finais do Ensino Fundamental Diferentemente da proposta apresentada no Currículo de Matemática da Rede Estadual de Ensino, a Base Nacional, propõe cinco unidades temáticas, correlacionadas que orientam a formulação de habilidades a ser desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental. Cada uma delas pode receber ênfase diferente a depender do ano de escolarização, a saber, Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas e Probabilidade e Estatística. Na unidade temática Números, cuja finalidade é desenvolver o pensamento numérico, somos lembrados, também que: ... No processo da construção da noção de número os alunos precisam desenvolver entre outras, as ideias de aproximação proporcionalidade, equivalência e ordem, noções fundamentais da Matemática. (MEC, 2017, p. 266)

Os autores, entendem que para a construção da noção de número, é importante que sejam propostas situações significativas com sucessivas ampliações dos campos numéricos, nas quais devam ser enfatizados os registros, a correta utilização de uma 12

proposta de ensino, seus significados e as respetivas operações nos campos numéricos. Algumas características essenciais para o desenvolvimento desta unidade temática, ainda são destacadas, como a “interdisciplinaridade interna” com outros temas: ... Cabe ainda destacar que o desenvolvimento do pensamento numérico não se completa, evidentemente, apenas com objetos de estudos na unidade Números. Esse pensamento é ampliado e aprofundado quando se discutem situações que envolvem conteúdo das demais unidades temáticas: Álgebra, Geometria, Grandezas e medidas e Probabilidade e estatística. (MEC, 2017, p. 267)

Na unidade temática Álgebra, os autores propõem a iniciação do raciocínio algébrico nos anos iniciais do Ensino Fundamental, com as ideias de regularidade, generalização de padrões e propriedades da igualdade, salientando que nesta fase não se propõe o uso de letras. Para os Anos Finais, os estudos deste tema devem retomar, aprofundar e ampliar o que foi trabalhado nos anos iniciais, de tal modo que ao final do Ensino Fundamental, os estudantes devam compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sequência algébrica e estabelecer as conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. Lembrando que: As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos. (MEC, 2017, p. 269)

Um fator em que se pode atrelar algum aspecto computacional no tema Álgebra, seria a importância dos algoritmos que podem ser utilizados nas aulas de Matemática. Salienta-se que um algoritmo é uma sequência finita de procedimentos que permite resolver um determinado problema, decompondo um procedimento complexo em partes mais simples, relacionando-as e ordenando-as, e pode ser representado graficamente por um fluxograma, enfim os autores destacam que: 13

... A linguagem algorítmica tem pontos em comum com a linguagem algébrica, sobretudo em relação ao conceito de variável. Outra habilidade relativa à Álgebra que mantém estreita relação com o pensamento computacional é a identificação de padrões para se estabelecer generalizações, propriedades e algoritmos. (MEC, 2017, p. 269)

O ensino de Geometria nos anos finais, também como em outros temas consolida e amplia as aprendizagens da etapa anterior de estudos, as expectativas referentes aos anos finais, enfatizam o desenvolvimento do conhecimento geométrico relativos à Geometria plana, nas quais os estudantes, aprofundam os procedimentos relativos às transformações, ampliações/reduções de figuras planas, e que saibam aplicar esses e outros conhecimentos para realizar demonstrações simples. Assim, conforme a opinião dos autores: Assim a Geometria não pode ficar reduzida a mera aplicação de fórmulas de cálculo de área e de volume nem a aplicações numéricas imediatas de teoremas sobre relações de proporcionalidade em situações relativas a feixes de retas paralelas cortadas por retas secantes ou do teorema de Pitágoras. (MEC, 2017, p. 270)

E finalmente, o mais importante, o ensino da Geometria deverá proporcionar o desenvolvimento do raciocínio hipotético dedutivo. No que se refere ao eixo Grandezas e Medidas, o documento enfatiza que o reconhecimento das grandezas associadas às figuras geométricas auxilie os estudantes a resolver problemas envolvendo essas grandezas com o uso de unidades de medida padronizadas mais usuais. Além disso espera-se o estabelecimento de relações entre tais grandezas com as grandezas não geométricas, como; densidade, velocidade, energia, potência, entre outras e finalmente desenvolver a formulação de expressões de cálculo de áreas de figuras planas e volume de poliedros, especialmente os prismas. Por último, temos o tema Probabilidade e estatística, a expectativa é que os alunos saibam planejar e construir relatórios de pesquisas estatísticas descritivas, incluindo medidas de tendência central e construção de tabelas e diversos tipos de gráfico. Encerrando este tópico, cabe ressaltar que a escolha destas unidades temáticas, não é uma regra a ser seguida para o desenho dos currículos, pois esta divisão serve tão somente para facilitar a compreensão dos conjuntos de habilidades e de como elas 14

se inter-relacionam no componente curricular propriamente dito e com outras áreas de conhecimento, considerando a dualidade ferramenta-objeto, da aplicação da Matemática. Desta forma, a Equipe Curricular de Matemática, entende que os eixos temáticos: Números, Geometria e Relações, correspondem e inserem perfeitamente as cinco unidades temáticas destacadas anteriormente, cuja tipologia e nomenclatura será adotada neste guia de transição. 3.5 – Competências específicas de Matemática para o Ensino Fundamental, segundo a BNCC. A BNCC, entende que o desenvolvimento dos processos matemáticos, potencializam o desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemático (raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o desenvolvimento do pensamento computacional e assim, garantir o desenvolvimento de competências específicas, destacadas a seguir, conforme registro no documento oficial. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive no mundo do trabalho. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais de modo a investigar, organizar, representar e

comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avalia-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. Paralelamente, no Currículo Oficial, são indicadas as competências gerais em todas as áreas, especificamente no ensino da Matemática, as ideias centrais permeiam em todos os tópicos, e estas ideias sugerem centros de interesse como: equivalência, proporcionalidade, medida, aproximação, problematização, otimização, entre outras, nas quais buscam construir uma ponte que conduza dos conteúdos às competências pessoais: 

capacidade de expressão, que pode ser avaliada por meio da produção de re-

gistros de relatórios, de trabalhos orais e/ou escritos.



capacidade de compreensão, de elaboração de resumos, de sínteses, de mapas,

da explicação de algoritmos etc.; 

capacidade de argumentação, de construção de análises; justificativas de pro-

cedimentos, demonstrações etc.; 

capacidade propositiva, de ir além dos diagnósticos e intervir na realidade de

modo responsável e solidário; 

capacidade de contextualizar, de estabelecer relações entre os conceitos e teo-

rias estudados e as situações que lhes dão vida e consistência; 

capacidade de abstrair, de imaginar situações fictícias, de projetar situações

ainda não existentes.

4- Organização das grades curriculares. Tendo em mente as ponderações anteriores, apresentamos uma grade curricular para a transição do material de apoio do Currículo do Estado de São Paulo, contendo os temas, a descrição das habilidades do Currículo Oficial de Matemática e sua respectiva relação com o Currículo Paulista, além de algumas orientações pedagógicas, para os quatro anos finais do Ensino Fundamental. A lista dos conteúdos curriculares e habilidades, em Matemática, não é rígida e inflexível. O que se pretende é a articulação entre os temas (álgebra, geometria, grandezas e medidas, números e probabilidade e estatística), tendo em vista os princípios que fundamentam o Currículo Oficial: a busca de uma formação voltada para as competências pessoais, a abordagem dos conteúdos que valorize a cultura e o mundo do trabalho, a caracterização da escola como uma organização viva, que busca o ensino, mas que também aprende com as circunstâncias. Enfim, ao fixar os conteúdos disciplinares/objetos de conhecimento, é preciso ter em mente que a expectativa de todo o ensino é que a aprendizagem efetivamente ocorra. As disciplinas curriculares não são um fim em si mesmas, o que se espera dos

conteúdos é que eles realmente possam ser mobilizados, tendo em vista o desenvolvimento de competências pessoais, tais como a capacidade de expressão, de compreensão, de argumentação etc. Desta forma, os quadros apresentados destacam as habilidades a serem desenvolvidas pelos estudantes em cada unidade tem. Tais habilidades traduzem, de modo operacional, as ações que os alunos devem ser capazes de realizar, ao final de um determinado estágio de aprendizagem, após serem apresentados aos conteúdos curriculares listados.

4.1. Grade Curricular do 6º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) Tabela 1 - Números - 6º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Números 

Números naturais.

o Características do Sistema de Numeração Decimal, bases e valor posicional.

Habilidades

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números (EF06MA02) Reconhecer o sistema de nume Sistema de ração decimal como numeração fruto de um processo decimal: ca- histórico, percebendo semelhanças e diferenracterísticas, leitura, ças com outros sisteescrita e mas de numeração, de modo a sistematizar comparação de nú- suas principais caractemeros na- rísticas (base, valor poturais e de sicional e função do zero), utilizando, inclunúmeros sive, a composição e racionais representa- decomposição de núdos na meros naturais e númeforma deci- ros racionais em sua representação decimal. mal.

4.1.1 Sistema de Numeração Decimal O desenvolvimento desta habilidade deve ser tratado inicialmente por meio de uma retomada de conceitos que foram ou não adquiridos na etapa anterior de estudos, prevalecendo assim o caráter diagnóstico da habilidade em questão. Para uma sondagem inicial sugere-se a diagnose1 da capacidade cognitiva do estudante em se realizar agrupamentos, desta forma sugerimos a utilização das atividades denominadas: “Contando de diferentes maneiras” da Situação de Aprendizagem 1, vol. 1, 6º Ano, p. 10 a 13, ed. 2014-2017, e finalizando o tópico com a atividade: “Aprendendo com a experimentação” p. 13 a 15, deste mesmo volume. Lembrando que neste momento não será necessária a revisita dos procedimentos relativos ao quadro de valor-posição, pois, esta atividade trata de uma sondagem dos conhecimentos básicos dos alunos. Para aprofundamento dos saberes relativos a este tema disponibilizamos o link do artigo: “Sentido de número na infância: uma interconexão dinâmica entre conceitos e procedimentos” – Barbosa H. H. J. (2007), disponível em: http://www.scielo.br/pdf/paideia/v17n37/a03v17n37.pdf, acesso em 04/05/2018. Considerações sobre a avaliação Ao final do trabalho com a habilidade descrita, espera-se que os alunos tenham ampliado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal que servirá de base para a continuidade de seus estudos em cada unidade temática. Desta forma, elencamos os conceitos essenciais descritos para a habilidade mencionada: 

Compreender o funcionamento dos processos de contagem em diferentes ba-

ses, com ênfase na base dez;

Descrição ou identificação da razão do problema numa certa circunstância.



Saber decompor um número natural nas unidades das diversas ordens, de

acordo com o seu valor posicional. Orientação para recuperação Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas pela maioria dos estudantes, o professor poderá utilizar uma das aulas, para sistematizar novamente os tópicos relativos à habilidade, utilizando, por exemplo, a atividade denominada: Aprendendo com a experimentação, descrita na atividade 1 do Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo (2014), 6º ano, Vol. 1, p. 13 e 14. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo +2 bem como as Aventuras do Currículo +3 e as atividades Currículo +4, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ (Acesso em 06/12/2018) Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 06/12/2018)

Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 4 Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 2 3

Tabela 2 - Números - 6º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Números e Conhecer as caracoperações. terísticas e propriedades dos números naturais: signifi Números cado dos números naturais. primos, de múltiplos e divisores.  Múltiplo e divisores, Números Primos.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números (EF06MA04A) Reconhecer um fluxograma a partir da  Fluxograma sua estrutura e de seus elepara deter- mentos. minar a pa- (EF06MA04B) Ler e interridade de pretar um fluxograma, recoum número nhecendo seus benefícios para a compreensão de um natural. dado contexto.  Múltiplos e (EF06MA04C) Construir aldivisores de goritmo em linguagem naum número tural e representá-lo por flunatural. xograma que indique a resolução de um problema  Números primos e simples (por exemplo, se um compostos. número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor, múltiplos e divisores.

4.1.2 Múltiplos e Divisores de um Número Natural Números Naturais e suas características A associação mais imediata dos números naturais é com a ideia de contagem, ou seja, um número natural serve para representar determinada quantidade, um conceito que está implicitamente ligado ao princípio de cardinalidade e além disso, os números naturais são utilizados para ordenar e identificar elementos de um conjunto. No estudo dos números naturais é importante o conhecimento de seus principais subconjuntos: números pares, ímpares, primos, múltiplos e divisores. Existem diferentes maneiras de se explorar os conteúdos indicados, destacamos aqui a possibilidade para explorar a ideia de múltiplo através da observação/identificação de padrões em sequências numéricas. Partindo do pressuposto de que os alunos já conhecem as sequências dos números naturais (0, 1, 2, 3, ...), dos números pares (0, 2, 4,...) e dos números ímpares (1, 3, 5,...), eles podem ser apresentados a sequências numéricas diferentes, em que tenham de descobrir o padrão de formação. Por exemplo, as sequências aditivas específicas, que se iniciem a partir do número 0, tal como (0, 6, 12, 18, 24, 30, ...), que nada mais são do que a sequência dos múltiplos de um número natural. Da sequência dos múltiplos de um número natural, podemos ampliar para outros tópicos/conceitos fundamentais incluindo múltiplos comuns de dois números naturais, que implica também na obtenção do menor (mínimo) múltiplo comum. Um conceito que está estritamente ligado à ideia de múltiplo é o divisor de um determinado número, ou seja, se um número a é múltiplo de um número b, então b é divisor de a, sendo b≠0. Desta noção básica, surge a questão da divisibilidade de um número por outro e, consequentemente, na comparação entre os divisores de dois números surge a questão de se estabelecer o maior (máximo) divisor comum entre eles. 23

Por último, os critérios de divisibilidade permitem a iniciação dos estudos referentes à formação do conceito de número primo e de um processo em que irá subsidiar os assuntos posteriores, a decomposição de um número qualquer em fatores primos. As atividades referentes a este assunto podem ser inicializadas destacando a exploração da identificação de sequências numéricas, com o intuito de se identificar o seu padrão de formação, por meio de sequências aditivas e multiplicativas. Por exemplo, a partir de uma sequência de cinco números, estabelecer outros números desta sequência (vide atividade 1 Situação de Aprendizagem 2: “Explorando os Números Naturais”, vol. 1, 6º Ano, p. 25 e 26, ed. 2014-2017). Da mesma forma, podemos iniciar o estudo da sequência dos múltiplos e dos múltiplos comuns, utilizando as atividades 4, 5 e 6 do caderno citado anteriormente, p. 27 e 28, assim como sugerimos os exercícios 7 e 8, p. 30 e 31, para as atividades de divisores. Considerações sobre a avaliação No decorrer dos trabalhos referentes à habilidade descrita, a expectativa é a de que os alunos tenham ampliado seu conhecimento com relação aos principais conteúdos relacionados aos números naturais: múltiplos e divisores de um número natural, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, divisibilidade, números primos e decomposição em fatores. Alguns desses conteúdos possivelmente foram desenvolvidos nos anos iniciais do Ensino Fundamental, já no 6º ano tais conhecimentos serão aprofundados e consolidados, de forma a viabilizar a posterior ampliação do campo numérico com a introdução das operações com números fracionários. A avaliação da aprendizagem deve ser realizada de forma contínua pelo professor, por meio de situações-problema ou atividades nas quais verifique os conceitos fundamentais a seguir: 

Reconhecer regularidades em sequências numéricas aditivas e multiplicativas;



Resolver situações-problema envolvendo os conceitos de múltiplo e divisor co-

mum. 24

Orientação para Recuperação Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas pelos estudantes, o professor poderá utilizar algumas aulas para retomar os conteúdos estudados, ou no início de cada aula revisitar alguns conceitos desta habilidade, procurando mostrar as articulações entre eles. Neste caso, referenciar que as ideias de múltiplos e divisores estão diretamente ligadas, pois um número somente é divisível por outro se o primeiro for múltiplo do segundo. Outra possibilidade é destacar que a decomposição de um número em fatores envolve dois conceitos estudados: os números primos e a potenciação. Após esta retomada, é possível propor aos alunos que refaçam algumas atividades já realizadas ou a proposição de outras atividades, por exemplo, o jogo “Brincando com Divisores e Múltiplos” (disponível em: http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica/extensao/lab-mat/jogos-no-ensino-dematematica/6-ao-9-ano/). Nesse percurso, pode-se observar o movimento da aprendizagem dos alunos com relação às expectativas de aprendizagem já definidas. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo +5 bem como as Aventuras do Currículo +6 e as atividades Currículo +7, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ (Acesso em 06/12/2018) Atividades Currículo ++: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 06/12/2018)

Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ 7 Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ 5 6

Tabela 3 - Números - 6º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Números operações.

Habilidades

e Saber realizar operações com números natu Números na- rais de modo significativo turais. (adição, subtração, multiplicao Operações bá- ção, divisão, posicas (+, –, ∙, ÷) tenciação). o Introdução às potências.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números (EF06MA03) Solucionar e propor problemas que en Operações volvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproxi(adição, subtração, mados) com números natumultiplica- rais, por meio de estratégias ção, divi- pessoais, com compreensão são e po- dos processos neles envolvitenciação). dos com e sem uso de calculadora. (EF06MA12) Fazer estimati Aproxima- vas de quantidades e aproção de nú- ximar números para múltimeros plos da potência de 10 mais para múlti- próxima. plos de (EF06MA14) Reconhecer potências que a relação de igualdade de 10. matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção  Álgebra para determinar valores desconhecidos na resolução  Proprieda- de problemas. des da igualdade

4.1.3 Operações com Números Naturais Para que o aluno realize operações com números naturais de modo significativo é necessário enfatizar o trabalho com situações-problema, que envolvam as estruturas aditivas e/ou multiplicativas e possam ser resolvidos por meio de diferentes estratégias, ao invés de utilizar regras para a resolução ou possíveis algoritmos operacionais. Considerações sobre avaliação Quanto aos conceitos estabelecidos para a habilidade, esperamos que os alunos tenham ampliado o seu conhecimento do sistema de numeração decimal e também sobre as quatro operações aritméticas básicas, nas quais podemos destacar os seguintes conceitos essenciais: 

Resolver situações-problema envolvendo as quatro operações básicas e as re-

lações de igualdade; 

Desenvolver procedimentos de cálculo mental (exato ou aproximado).

Considerações sobre recuperação Com relação às operações básicas, deve-se retomar com os alunos o significado das quatro operações por meio de situações-problema. Compreender a ideia associada a cada operação é de fundamental importância para a resolução de problemas, relativos ao campo aditivo e/ou multiplicativo, que propiciam condições para que os alunos ampliem seus conhecimentos. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as Aventuras do Currículo +, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo 06/12/2018)

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/

(acesso

Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculomais/ (acesso em 06/12/2018) Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (acesso em 06/12/2018) Tabela 4 - Geometria - 6º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Geometria Formas geométricas.



o Formas planas.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Geometria. (EF06MA16) Associar pa Plano carte- res ordenados de números siano: asso- a pontos do plano cartesiciação dos ano do 1º quadrante, em sivértices de tuações como a localização um polí- dos vértices de um polígono a pa- gono. res ordenados.

o Formas espaciais.

4.1.4 Formas Geométricas No 6º ano do Ensino Fundamental, no estudo de Geometria, é necessário que os alunos reorganizem, aprofundem e ampliem os conhecimentos relativos ao espaço, anteriormente desenvolvidos, para resolver problemas mais complexos de localização ou de forma. Segundo os PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais), o processo de ensino de Matemática deve visar o desenvolvimento do pensamento geométrico, por meio de situações de aprendizagem que levem o aluno a: 

Resolver situações-problema de localização e deslocamento de pontos no es-

paço, reconhecendo as noções de direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de 28

perpendicularismo, elementos fundamentais para a constituição de sistema de coordenadas cartesianas; Considerações sobre a avaliação Especificamente com relação aos temas geométricos explorados, espera-se que, ao final das atividades, os alunos estejam aptos a: 

Identificar visualmente, em figuras planas, paralelismo, perpendicularismo, se-

melhança, congruência e simetria; 

Saber utilizar de forma apropriada o vocabulário geométrico mais preciso;



Saber agrupar figuras de acordo com determinado critério estabelecido;



Identificar elementos de um sólido geométrico (arestas, vértices, faces);



Representar um sólido por meio das vistas e planificações;



Identificar a forma de um sólido pela sua planificação;



Classificar sólidos de acordo com critérios estabelecidos.

Orientações para a recuperação O estudo do espaço e das formas deve privilegiar a observação e a compreensão de relações e a utilização das noções geométricas para resolver problemas, em detrimento da simples memorização de fatos de um vocabulário específico, isso não significa, contudo que não deva ter preocupação em levar os alunos a fazer uso de um vocabulário mais preciso. O professor poderá diversificar a abordagem dos temas por meio de novos exercícios ou de novas situações-problema, ancorado na utilização de livros didáticos, ou materiais que já foram produzidos anteriormente. Além disso, poderá utilizar também materiais manipulativos referentes ao tratamento dos conceitos geométricos. É possível também utilizar malhas como suporte para as representações das formas tridimensionais. O trabalho com a manipulação de sólidos ou formas tridimensionais já construídas, em que os alunos identificam os elementos e a relação entre estes, 29

ou seja, as arestas, os vértices e as faces, também é uma estratégia possível para a recuperação das aprendizagens. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ (Acesso em 06/12/2018) Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ (Acesso em 06/12/2018) Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (Acesso em 06/12/2018)

4.2 Grade Curricular do 7º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) Tabela 5 - Números - 7º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Números 

Números Naturais

o Múltiplos e divisores

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números (EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com  Múltiplos e números naturais, envoldivisores. vendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

4.2.1 Múltiplos e Divisores Apesar desta temática ser apresentada no 6º ano do Ensino Fundamental, aqui no 7º ano, a revisita, supõe um aprofundamento, lembrando-se que a construção de múltiplo de um número natural e de múltiplo comum refere-se à observação de regularidades em sequências numéricas, seguidas principalmente de situações-problema que retratem a utilização deste conceito, e não apenas a relevância em processos operatórios e o estabelecimento de certos algoritmos. Considerações sobre a avaliação No decorrer dos trabalhos referentes à habilidade descrita, a expectativa é a de que os alunos tenham ampliado seu conhecimento com relação aos principais conteúdos relacionados aos números naturais: múltiplos e divisores de um número natural, mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum, divisibilidade, números primos e

decomposição em fatores. Alguns desses conteúdos possivelmente foram desenvolvidos nos anos iniciais do Ensino Fundamental, já no 7º ano tais conhecimentos serão aprofundados e consolidados, de forma a viabilizar a posterior ampliação do campo numérico com a introdução das operações dos números fracionários. Desta forma a avaliação de aprendizagem desses conteúdos deve ser realizada de forma contínua pelo professor, por meio de situações-problema ou atividades nas quais verifiquem os conceitos fundamentais descritos a seguir: 

Reconhecer regularidades em sequências numéricas aditivas e multiplicativas;



Resolver situações-problema envolvendo o conceito de múltiplo comum.

Orientação para recuperação Caso as expectativas mínimas de aprendizagem não tenham sido plenamente atingidas pela maioria dos estudantes, o professor poderá utilizar algumas aulas para sistematizar os conteúdos estudados, ou no início de cada aula revisitar alguns conceitos desta habilidade, procurando mostrar as articulações entre eles, neste caso, referenciar que as ideias de múltiplos e divisor estão diretamente ligadas, pois um número somente é divisível por outro se o primeiro for múltiplo do segundo. Outra possibilidade é destacar que a decomposição de um número em fatores envolve dois conceitos estudados: os números primos e a potenciação. Após esta sistematização, é possível propor aos alunos que refaçam algumas atividades já realizadas ou a proposição de outra atividade, um jogo por exemplo. Nesse percurso, pode-se observar o movimento de aprendizagem dos alunos com relação às expectativas de aprendizagem já definidas. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links:

Plataforma

Currículo

http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/

(acesso

07/11/2018) Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ (acesso em 07/11/2018) Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ (acesso em 07/11/2018)

Tabela 6 - Álgebra - 7º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Relações 

Proporcionalidade.

o Variações de grandezas direta ou inversamente proporcionais.

Habilidades  Saber reconhecer situações que envolvem proporcionalidade em diferentes contextos, compreendendo a ideia de grandezas direta e inversamente proporcionais.  Saber resolver problemas variados, envolvendo grandeza direta e inversamente proporcionais.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Álgebra (EF07MA17) Resolver e elaborar situações-pro Problemas blema que envolvam vaenvolvendo riação de proporcionaligrandezas dade direta e de propordiretacionalidade inversa entre mente pro- duas grandezas, utiliporcionais zando sentença algée grandezas brica para expressar a reinversalação entre elas. mente proporcionais.

4.2.2 As grandezas direta e inversamente proporcionais O objetivo principal no desenvolvimento das habilidades indicadas, é a ampliação das noções de variação direta e inversamente proporcionais entre grandezas, aprimorando a capacidade de resolver problemas e fazer previsões em situações que envolvam proporcionalidade. 33

Para tal desenvolvimento, torna-se necessário a verificar se o aluno já reconhece a existência de uma proporcionalidade em uma certa situação-problema, cuja noção já vem sendo desenvolvida em etapas anteriores, como no estudo das frações equivalentes ou dos múltiplos de um número natural. Entendemos que a noção de proporcionalidade envolve também a capacidade de identificar as situações em que ela não está presente. A ideia da existência de um fator constante que relaciona duas grandezas, chamada de razão de proporcionalidade, é dada como o número que expressa a relação de proporcionalidade entre duas grandezas. Consideramos importante destacar as formas de representação de uma razão, desde a forma fracionária até a porcentagem e também os tipos comuns como a escala, usada em mapas, a velocidade de um objeto, a densidade, o PIB per capita etc. A probabilidade é apresentada como uma razão específica que expressa a relação entre o número de possibilidades de ocorrência de um evento particular e o número total de possibilidades de um espaço amostral determinado. Podemos utilizar ainda a escrita algébrica para a resolução de situações-problema que envolvam a proporcionalidade entre duas grandezas. Sabe-se que é comum o uso do recurso de “regra de três” para a resolução de problemas de proporcionalidade. Contudo, este recurso deve ser o último tópico a ser desenvolvido, por dois motivos: 1) Com o uso de tabelas, o encaminhamento para discussão dos significados fique bem estabelecido; 2) falta o recurso de equações para resolver problemas de proporcionalidade por regra de três. Por fim, é importante que o professor considere não apenas a aquisição do conceito matemático estudado, no caso a proporcionalidade, mas todas as dimensões envolvidas na resolução dessas atividades como a competência leitora, que é fundamental para a interpretação dos enunciados das situações problemas. Ou ainda, a capacidade de expressão, seja na língua materna, seja na matemática usada para dar as respostas dos problemas. Além disso, deve-se valorizar também a capacidade de argumentação, envolvida na escolha de determinado caminho na resolução de um problema. 34

Considerações sobre a avaliação Ao final do processo espera-se que os alunos saibam verificar as situações que envolvam algum tipo de proporcionalidade direta e inversa e também quantificar a variação das grandezas, verificando a existência ou não da proporcionalidade, sejam elas diretas ou inversamente proporcionais. Do mesmo modo, espera-se que eles consigam distinguir as situações em que as grandezas variam entre e finalmente saibam resolver problemas envolvendo duas ou mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. A avaliação da aprendizagem estará relacionada a análise dos registros dos alunos concernentes à organização da resolução e a capacidade de identificar as informações pertinentes, os processos operatórios, obedecendo principalmente os princípios de proporcionalidade. Por fim, é importante, também que o professor considere não apenas a aquisição do conceito matemático estudado, no caso a proporcionalidade, mas todas as dimensões envolvidas na resolução dessas atividades, como a competência leitora, que é fundamental para a interpretação dos enunciados das situações-problema. Ou, ainda, a capacidade de expressão, seja na língua materna, seja na matemática usada para os registros das estratégias utilizadas para a resolução, e finalmente, valorizar também a capacidade de argumentação, envolvida na escolha de determinado caminho na resolução de um problema. Orientação para a recuperação Para o processo de recuperação das aprendizagens, destaca-se a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pelos alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior, ou está ligada à especificidade de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser proveitosa, consistindo em uma boa estratégia de recuperação.

Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

Tabela 7 - Geometria - 7º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Geometria 

Simetria

o translação, rotação e reflexão.

Habilidades  Compreender e identificar simetria axial e de rotação nas figuras geométricas e nos objetos do dia a dia

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Geometria (EF07MA19) Localizar no plano cartesiano  Transforpontos (coordenadas) mações ge- que representam os vérométricas tices de um polígono e de polígo- realizar transformações nos no desses polígonos, decorplano carte- rentes da multiplicação siano: mul- das coordenadas de seus tiplicação vértices por um número das coorde- inteiro. nadas por (EF07MA20) Reconheum número cer e representar, no inteiro e plano cartesiano, o siméobtenção trico de figuras em relade simétri- ção aos eixos e à origem. cos em re- (EF07MA21) Reconhelação aos cer e construir figuras eixos e à obtidas por simetrias de origem. translação, rotação e re Simetrias flexão, usando instrude transla- mentos de desenho ou ção, rota- softwares de geometria ção e refle- dinâmica e vincular esse xão. estudo a representação planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

4.2.3 Transformações geométricas Seja na natureza ou nos objetos e construções criados pelo homem, nosso mundo é repleto de simetria. A palavra simetria é usada na linguagem coloquial em dois sentidos. Um deles indica algo em boas proporções, equilibrado e harmonioso, muitas vezes associado a ideia de beleza. O segundo é aquele que aproxima simetria da ideia de equilíbrio, ou seja, da ideia de que há elementos idênticos dos dois lados de um referencial por exemplo, à esquerda e à direita de uma linha reta. Neste sentido, a ideia de reflexão desempenha papel importante porque a ela associamos o “espelhamento” perfeito e sem distorção. Há diversas possibilidades de tratar o assunto, tanto o estudo de ângulos e simetrias explorando objetos do dia a dia, como em figuras, malhas geométricas e explorando softwares de geometria dinâmica. Sugerimos por exemplo, a Situação de Aprendizagem 6, disponibilizada no material de apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Vol. 1, 7º ano, pg. 58 a 66 e também indicamos um artigo que trata de um dos expoentes das artes gráficas, Maurits Cornelis Escher, na qual frequentemente utilizou a simetria para compor seus trabalhos: http://www.ipv.pt/millenium/Millenium42/4.pdf, acesso em 12/11/2018. Considerações sobre a avaliação Com os conteúdos referentes à habilidade, espera-se que o aluno familiarize com a simetria axial e rotacional, bem como as principais transformações do plano (reflexão, rotação e translação). Vale lembrar que as transformações do plano serão aprofundadas posteriormente, o objetivo neste momento da aprendizagem é estabelecer o primeiro contato com a percepção visual de simetrias e movimentos no plano. Sugerimos, se possível, a apresentação de uma vasta diversidade de situações em que o aluno possa identificar simetrias, favorecendo a ampliação de repertório para a análise, interpretação e apreciação de figuras e imagens. 39

Orientação para a Recuperação Com relação à recuperação das aprendizagens referente os conteúdos de transformações no plano, o professor pode diversificar o refinamento da observação em diferentes objetos, obras de arte, construções arquitetônicas, mosaicos etc. Além desse aspecto relacionado à estética, o conhecimento de simetria também constitui uma valiosa ferramenta para a investigação de algumas propriedades geométricas. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

Tabela 8 - Grandezas e medidas - 7º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Números / Relações o Medidas.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Grandezas (EF07MA29) Resolver e e medidas elaborar situações-problema que envolvam me Problemas didas de grandezas inserienvoldos em contextos oriunvendo dos de situações cotidiamedições. nas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

4.2.4 Medidas Quando se realiza uma medição, necessariamente realizamos uma comparação entre duas grandezas de mesma natureza, obtendo-se como resultado um valor numérico. Assim, podemos medir o comprimento, a massa; o volume de um objeto comparando-o com outros. Neste sentido, a estimativa é uma parte importante do conhecimento matemático e é desejável que o aluno saiba observar objetos e estimar suas dimensões e outras grandezas como massa, volume, área etc. Como o resultado de uma medida pode ser expresso de diferentes maneiras, devemos ser capazes de realizar mudanças de unidades de modo a apresentá-lo da forma mais adequada. Considerações sobre a avaliação Ao final do desenvolvimento deste tema, espera-se que os alunos tenham compreendido as principais características do sistema métrico decimal e das unidades de medida do Sistema Internacional para comprimento, massa e volume.

As expectativas mínimas de aprendizagem em relação a esses conteúdos são as seguintes: 

Compreender a necessidade da adoção de unidades padronizadas para estabe-

lecer medidas precisas e mais universais; 

Conhecer os múltiplos e submúltiplos do metro, do grama e do litro;



Saber fazer estimativas sobre as dimensões de um objeto pela escolha de uma

unidade adequada (quilômetro, metro, centímetro etc.); 

Efetuar transformações de unidades para expressar uma medida adequada-

mente. Orientação para a Recuperação Quanto à recuperação das aprendizagens, recomenda-se trabalhar com situações-problema envolvendo unidades de medidas conhecidas. Os livros didáticos costumam trazer atividades com o cálculo de medidas de comprimento, massa e volume de objetos do cotidiano. Além disso, o professor pode solicitar atividades de pesquisa na qual os alunos procurem descobrir as unidades de medidas de massa ou volume encontrados em embalagens de alimentos e bebidas, existentes em seu cotidiano. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo + : http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

4.3 Grade Curricular do 8º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) Tabela 9 - Números - 8º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Números o Potenciação e radiciação 

Princípio multiplicativo da contagem.



Propriedades para expoentes inteiros. Propriedades para expoentes fracionários.



Habilidades

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números. (EF08MA03) Resolver e elaborar situações-pro O princípio blema de contagem cuja multiplica- resolução envolve a aplitivo da con- cação do princípio multitagem. plicativo. (EF08MA02) Resolver e  Potenciaelaborar situações-proção e radi- blema usando a relação ciação. entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

4.3.1 Princípio Multiplicativo da Contagem e Potenciação/Radiciação Da mesma forma que, dentre as várias maneiras de se pensar a multiplicação como a soma de parcelas repetidas, podemos entender este raciocínio para a potenciação como o produto de fatores repetidos, na qual podemos em alguns casos específicos reportar ao Princípio Fundamental da Contagem, ou simplesmente Princípio 43

Multiplicativo, que é definido da seguinte maneira: “Se eventos A1, A2, A3 ... An puderem ocorrer respectivamente, a1, a2, a3 ... e se A1, A2, A3 ... An, forem todos eventos independentes entre si, então a quantidade de maneiras distintas em que os n eventos ocorrem simultaneamente, isto é, ao mesmo tempo, é dada pelo produto: a1 ∙ a2 ∙ a3 ∙ ⋯ ∙an Um caso prototípico desta aplicação pode ser apresentado da seguinte maneira: “SEJA UM RETÂNGULO DIVIDIDO EM QUATRO COLUNAS, QUE DEVEM SER COLORIDAS DISTINTAMENTE POR TRÊS CORES, SENDO QUE, CADA COLUNA DEVE SER COLORIDA COM UMA DAS TRÊS CORES, MAS AS CORES NÃO PODEM SER ADJACENTES UMA DAS OUTRAS OU SEJA, DE QUANTAS MANEIRAS DIFERENTES É POSSÍVEL PINTAR ESTE RETÂNGULO?

Ao estabelecer os procedimentos constata-se que o cálculo poderá ser estabelecido da seguinte maneira: 3 ∙ 23 = 24 No que diz respeito ao estudo das potências, no 6º ano, os alunos foram apresentados ao assunto por meio das potências de base inteira e expoente natural. No 8º ano, a ideia de potência deverá ser ampliada pelo uso de expoentes naturais e pela discussão das principais propriedades operatórias das potências. Sem perder a generalidade do assunto, a radiciação pode ser entendida como a operação inversa da potenciação. Considerações sobre a avaliação O objetivo específico da apresentação deste tópico refere-se à exclusividade da apresentação do Princípio Multiplicativo da Contagem e sua ligação com o conceito de potência de um número, neste sentido é importante que o trabalho referente a este assunto seja avaliado com base em problemas contextualizados. Tais problemas podem ser tanto os utilizados em sala de aula e criados pelos alunos.

Orientação para a recuperação De modo geral, a avaliação de aprendizagem dever ser um processo contínuo, realizado durante toda a etapa de aprendizagem do aluno, sendo assim o professor deve estar atento para eventuais dificuldades que são comuns no trato com os alunos. Essa observação é fundamental para que se fundamente e aplique atividades de recuperação nas quais ajudem o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na realização das atividades. Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pelos alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior ou se está ligada à especificidade de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante proveitosa, consistindo em uma boa estratégia de recuperação das aprendizagens. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

Tabela 10 - Números - 8º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Números o Porcentagem.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números. (EF08MA04) Resolver e elaborar situações-pro Porcentablema, envolvendo cálgens culo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais.

4.3.2 Porcentagens Um dos significados de uma fração se refere à razão entre duas grandezas, na qual se dá o sentido de medida, pois, a ideia fundamental relativa às frações é a de comparação entre duas grandezas, que pode ser interpretada como a de dividirmos uma unidade em partes iguais (unidades), e verificarmos quantas partes caberão naquele que se quer medir. O significado de fração como medida pode favorecer o entendimento do conceito de razão, utilizados em vários contextos, como: probabilidade de um evento, porcentagens, escalas, etc. Consequentemente, esta ideia vale para o conceito de porcentagem, pois, podemos pensar no significado de fração como razão, podendo iniciar o conceito de porcentagem, com a relação existente entre uma dada quantidade ao denominador 100, e como quociente quando estabelecemos um valor a esta medida. Outro, fator a ser considerado é a correspondência da porcentagem a um dado operador multiplicativo, por exemplo 3% de 20.

Considerações sobre a avaliação Salientamos que para a avaliação da aprendizagem deste tópico, o professor procure diagnosticar o conhecimento não apenas do conceito de porcentagem, mas que o aluno seja capaz de compreender o conceito de razão na Matemática, sabendo aplicá-lo e reconhecê-lo em diferentes situações. Sendo assim, as expectativas de aprendizagem para tal conceito são: 

saber calcular a razão entre duas grandezas de mesma natureza ou de naturezas

distintas; 

conhecer, interpretar e operar os principais tipos de razão: a escala em mapas e

plantas, a porcentagem como relação parte/todo, a velocidade, a probabilidade etc. Orientação para Recuperação De modo geral, a avaliação de aprendizagem dever ser um processo contínuo, realizado durante toda a etapa de aprendizagem do aluno, sendo assim o professor deve estar atento para eventuais dificuldades que são comuns no trato com os alunos. Essa observação é fundamental para que se fundamente e aplique atividades de recuperação nas quais ajudem o aluno a acompanhar melhor o curso e obter sucesso na realização das atividades. Destaca-se também a correta identificação da natureza da dificuldade apresentada pelos alunos: se está relacionada a alguma defasagem anterior ou se está ligada à especificidade de um determinado conceito ou procedimento operatório. A discussão de uma atividade exemplar, que articule os diferentes conceitos, pode ser bastante proveitosa, consistindo em uma boa estratégia de recuperação das aprendizagens. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: 47

Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ Tabela 11 - Geometria - 8º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Geometria o Ângulos.

Habilidades

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Geometria (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos  Construções geo- de desenho ou softwares de geometria dinâmica, métricas: mediatriz, bissetriz, ânguângulos de 90º, los de 90º, 60º, 45º e 30º 60º, 45º e e polígonos regulares. 30º e polígonos re(EF08MA16) Descrever, gulares. por escrito e por meio de um fluxograma, um algo Mediatriz ritmo para a construção e bissetriz de um hexágono regular como lu- de qualquer área, a partir gares geo- da medida do ângulo cenmétricos e tral e da utilização de esproblequadros e compassos. mas. (EF08MA17) Aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas.

4.3.3 Construções geométricas Formalmente chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas com mesma origem. Existem muitas maneiras distintas de representar um ângulo, e a introdução ao seu estudo não deve se preocupar, no primeiro momento, essencialmente com a formalização matemática de seu conceito, mas sim com a construção do seu significado. A ideia de ângulo associada a um giro pode ser o ponto de partida para o 1

trabalho, por exemplo, 2 giro,

1 4

de giro,

3 4

de giro etc.

Ressaltamos que a apresentação do transferidor como instrumento para medir e construir ângulos deve ser feita de forma cuidadosa, especialmente pelo fato de que o aluno costuma enfrentar dificuldades para utilizá-lo de maneira apropriada. Parte das dificuldades dos alunos está relacionada ao fato de que a unidade grau é bem pequena, ou seja, ela não pode ser manipulada fisicamente. Com relação ao uso de instrumentos geométricos, o estudo de ângulos oferece, além do transferidor, uma rica oportunidade para o manuseio de esquadros e compasso. As construções dos ângulos de medidas 30º, 45º, 60º e 90º, podem ser feitas também com o compasso, a régua e os esquadros. Outras construções como 15º, 22º, 30º, 75, 105º, 120º, 135º etc., podem ser feitas com o uso simultâneo de dois esquadros, e algumas delas também com o uso de compasso e régua por meio da construção da bissetriz. Nos casos em que a construção pode ser feita com diferentes instrumentos geométricos, é importante que o aluno perceba que o uso do compasso é preferível ao dos demais instrumentos, pois, na maior parte dos casos, o compasso usado corretamente, permite melhor precisão do desenho. Atrelado a utilização dos instrumentos geométricos seria importante também a transposição destes procedimentos para um ambiente de geometria dinâmica, com o pressuposto de que o aluno valide todas as construções no concreto em um ambiente computacional. Algoritmo para construção de um hexágono regular 49

1º Passo: Trace um segmento de reta.

Figura 1 - Passo 1

2º Passo: Obter o ponto médio do segmento AD

Figura 2 - Passo 2

3º Passo: Com a ponta do compasso em O, traçar a circunferência com diâmetro ̅̅̅̅ AD e raio ̅̅̅̅̅ OD.

Figura 3 - Passo 3

4º Passo: Com a ponta seca do compasso em O, traçar a circunferência com diâmetro ̅̅̅̅ AD e raio ̅̅̅̅ OA.

Figura 4 - Passo 4

5º Passo: Marcar os pontos de interseção das circunferências e nomeie por B e F;

Figura 5 - Passo 5

6Âş Passo: Com a ponta seca do compasso em O, traĂ§ar a circunferĂŞncia com diĂ˘metro Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; AD e raio đ?&#x2018;&#x201A;đ??ˇ.

Figura 6 - Passo 6

7Âş Passo: Marcar os pontos de interseĂ§ĂŁo das circunferĂŞncias e nomeie por C e E;

Figura 7 - Passo 7

8º Passo: Trace o polígono formado pelos pontos: A, B, C, D, E e F.

Figura 8 - Passo 8

Ângulos:

Figura 9 - Hexágono

Considerações sobre a avaliação A habilidade em referência tem como foco central aos procedimentos referentes à construção de ângulos, neste sentido é importante que o professor esteja atento à utilização de transferidores e compassos, especialmente ao uso correto do transferidor, já que os alunos costumam cometer erros no ajuste do centro do transferidor com o 53

vértice do ângulo, e na leitura correta das indicações marcadas nesse instrumento. Sugere-se que a avaliação de aprendizagem dessa etapa que o professor proponha atividades de construção e medidas de ângulos, utilizando diversos instrumentos, bem como, o transferidor, o compasso, a régua e também a utilização de recursos de geometria dinâmica, caso a Unidade Escolar disponha de um ambiente propício na utilização desse recurso. Orientação para a Recuperação Neste caso, a recuperação da aprendizagem estará ligada à retomada da construção considerando o entendimento de uma etapa anterior, por exemplo, a construção de um ângulo de 15º, e assim procurar estabelecer as etapas que permitem a

construção do ângulo de 75º, desta forma haverá uma ligação entre os algoritmos/fluxogramas, estabelecidos pelo professor. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

Tabela 12 - Probabilidade e estatística - 8º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo

Habilidades

 Números/ Relações o Raciocínios combinatório aditivos e multiplicativos. o Probabilidades em eventos distintos.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Probabilidade e es- (EF08MA22) Calcular a tatística. probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utili Princípio multiplica- zando o princípio multitivo da plicativo, e reconhecer contagem. que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amos Soma das tral é igual a 1. probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral.

4.3.4 Princípio multiplicativo da contagem e soma de probabilidades Entendemos que ao inserir o conceito de probabilidade na análise combinatória, que pressupõe o tratamento dos problemas que envolvem a contagem de casos em situações de agrupamentos de determinados números de elementos, como calcular por exemplo, quantos grupos diferentes A infinidade de problemas envolvendo agrupamentos se contrapõe aos pouquíssimos recursos algébricos e aritméticos necessários para sua resolução. De fato 100%, desses casos são resolvidos por intermédio de uma ou mais operações elementares entre números naturais: adição, subtração, multiplicação e divisão. Elas exigem a mobilização de estratégias de raciocínio sempre envolvendo uma das ideias principais 55

da operação de multiplicação, a saber, o raciocínio combinatório, implícito no raciocínio multiplicativo. Considerações sobre a avaliação Como relatado anteriormente o conceito definido para este tópico refere-se a ao desenvolvimento das características do campo multiplicativo, desta forma a avaliação dos conhecimentos relativos a este assunto devem remeter primeiramente aos esquemas mentais ao referido campo numérico, e posteriormente verificar se há problemas na questão da operacionalização neste mesmo campo. Orientações para a recuperação De maneira geral, quando se trata de recuperação de conceitos não formalizados, a variedade de situações e atividades de que o professor dispõe é muito importante, inclusive as situações que necessitam de justificativas para determinada ação. Neste sentido considera-se também que o professor selecione atividades de livros didáticos, inclusive o adotado pela Unidade Escolar, e materiais de apoio da SEE/SP , pois a recuperação da aprendizagem é um processo contínuo, e não pontual. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

Tabela 13 - Probabilidade e estatística - 8º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Números/ Relações o Elementos de amostragem

Habilidades

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Probabili(EF08MA26) Selecionar dade e es- razões, de diferentes natatística. turezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pes Pesquisa quisas amostrais e não censitária ou amos- censitárias, e reconhecer que a seleção da amostral. tra pode ser feita de diferentes maneiras  Planeja(amostra casual simples, mento e sistemática e estratifiexecução cada). de pesquisa (EF08MA27) Planejar e amostral. executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

4.3.5 Elementos de pesquisa amostral Para o desenvolvimento da habilidade descrita, vale ressaltar a importância do questionário de pesquisa. Um questionário mal elaborado é capaz de comprometer definitivamente uma pesquisa de estatística e, portanto, investir certo tempo na reflexão sobre o assunto contribui para ampliação de horizontes do estudante com relação ao alcance e às formulações próprias dessa área de conhecimento. Um fator relevante também é a elaboração do relatório de pesquisa, pois é neste instrumento que os alunos aplicam os conceitos referentes à estatística descritiva, bem como a mobilização constante da competência leitora e escritora, um dos pilares do conhecimento de modo geral, e da competência matemática, em particular. Consideramos como pressupostos básicos para a aprendizagem dos conteúdos referentes a este tema: 

a organização de registros em tabelas e gráficos;



o uso dos dados para produção de texto consistente e coerente (nos relatórios

do trabalho proposto os alunos terão que argumentar sobre os resultados obtidos na pesquisa); 

o cálculo da média, moda e mediana de um conjunto de dados;



saber escolher a melhor medida representativa da centralidade de um conjunto

de dados, bem como compreender as vantagens e os limites de cada uma das medidas. Considerações sobre a avaliação A avaliação neste caso, deverá ser informal, ou seja, uma etapa importante da aprendizagem escolar é aquela cujo objetivo é colocar o indivíduo diante de uma avaliação crítica sobre a própria produção e participação no trabalho coletivo. Nesse aspecto, o professor deverá sempre incentivar o espírito de cooperação entre os integrantes (caso a pesquisa seja realizada em grupos) e a avaliação crítica da produção, o 58

que pode ser estimulado por meio da autoavaliação, na qual o estudante atribui uma nota para si e justifica essa atribuição. Orientação para a Recuperação Caso o desenvolvimento de alguns dos conteúdos descritos no decorrer das aulas a respeito do assunto em referência, é primordial que no decorrer dos trabalhos o professor identifique a dificuldade e em cada grupo, discuta com os alunos o respectivo conteúdo, para que assim, o trabalho de pesquisa possa prosseguir normalmente. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/

4.4 Grade Curricular do 9º ano do Ensino Fundamental (1º Bimestre) Tabela 14 - Números - 9º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo o Números o Conjuntos numéricos; o Números irracionais; o Números Reais; o Potenciação e radiciação em ℝ; o Notação científica.

Habilidades  Compreender a necessidade das sucessivas ampliações dos conjuntos numéricos, culminando com os números irracionais.  Saber representar os números reais na reta numerada.  Incorporar a ideia básica de que os números irracionais somente podem ser utilizados em contextos práticos por meio de suas aproximações racionais, sabendo calcular a aproximação racional de um número irracional.  Saber realizar de modo significativo as operações de radiciação e de potenciação com números reais.  Compreender o significado e saber utilizar a notação científica na representação de números muito grandes ou muito pequenos.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Números (EF09MA01) Reconhecer que uma vez fixada  Necessiuma unidade de compridade dos mento, existem segmennúmeros tos de reta cujo comprireais para mento não é expresso medir qual- por número racional quer seg- (como as medidas de dimento de agonais de um polígono reta. e alturas de um triân Números ir- gulo, quando se toma a racionais medida de cada lado reconheci- como unidade.) mento e lo- (EF09MA02) Reconhecalização cer um número irracional de alguns como um número real na reta nu- cuja representação decimérica. mal é infinita e não pe Potências riódica, e estimar a locacom expo- lização de alguns deles entes nega- na reta numérica. tivos e fra- (EF09MA03) Efetuar cálcionários. culos com números re Números ais, inclusive potências reais: nota- com expoentes fracionáção cientí- rios. fica e pro- (EF09MA04) Resolver e blemas. elaborar situações-problema com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

4.4.1 Dos naturais aos reais ✓ Os conjuntos numéricos Ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental os alunos tiveram contato com diferentes conjuntos de números: naturais, frações, decimais, negativos, etc. O 9º ano é o momento ideal para se fazer uma síntese desses números, retomando seus significados e organizando uma classificação. Antes de classificar os conjuntos numéricos sugerimos que se trabalhe a noção de conjunto e seus elementos. A ênfase maior deve ser dada à resolução de situações-problema e à representação por diagramas, e menos à linguagem simbólica, que será possivelmente desenvolvida ao longo do Ensino Médio. Nesse sentido, o estudo dos conjuntos passou a ser menos centrado na linguagem formal e mais voltado para o desenvolvimento do pensamento lógico e a resolução de situações-problema. Os números constituem um dos eixos centrais da Matemática. Aparentemente, a ideia de número pode parecer simples e natural. Se pensarmos em termos de contagem de objetos, os números chamados naturais são suficientes para expressar resultados e efetuar determinadas operações. Contudo, ao longo da história, as transformações socioculturais da humanidade criaram diferentes necessidades de representação, implicando a criação de outras formas de representação numérica; frações, decimais, números negativos, irracionais e imaginários. Cada tipo de número criado pelo homem ampliou não só a capacidade de representação, mas também as possibilidades de solução para diferentes problemas. Ao longo do Ensino Fundamental, os alunos tiveram contato com muitas formas de representação numérica. Com os números naturais, puderam representar quantidades inteiras, registrar contagens, ordenar objetos e conjuntos, realizar operações. Os números racionais aparecem em seguida, primeiro na forma de fração e, depois, como 61

número decimal. As frações surgem para representar quantidades não inteiras, o resultado de medidas, a relação entre a parte e o todo de determinado objeto ou conjunto. Os números negativos são estudados no 7º ano, contradizendo a ideia de que os números só podem representar quantidades ou medidas. Finalmente, no 9º ano surgem os números irracionais que representam as medidas de segmentos incomensuráveis, uma vez que elas não podem ser representadas na forma de uma fração entre dois inteiros. ✓ Conjuntos numéricos e operações dos naturais aos racionais. No conjunto dos números naturais sempre podemos realizar as duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação, ou seja, quaisquer que sejam a e b pertencentes ao conjunto dos naturais, o resultado de a + b e de a ∙ b será também um natural. Dizemos então que o conjunto dos naturais é fechado para a adição e a multiplicação. Contudo, o mesmo não ocorre em relação às operações inversas. No domínio dos naturais, nem sempre é possível realizar a subtração ou a divisão entre dois números. Por exemplo, o resultado 2 – 5 ou 5 ÷ 2 não é um número natural. A subtração a – b só pode ser realizada no conjunto dos números naturais se a for maior ou igual a b. A introdução dos números negativos permitiu a ampliação do campo numérico para incluir a operação de subtração sem restrições. No conjunto dos números inteiros, além da adição e multiplicação, qualquer subtração realizada resulta em um número inteiro. Contudo, no domínio dos inteiros, a divisão b ÷ a só pode resultar em um número inteiro se a for um fator de b. Assim de forma semelhante ao que aconteceu com a subtração, a criação dos números fracionários, na forma

b a

(a e b inteiros, com a≠0), removeu os obstáculos para

a operação de divisão, com exceção da divisão por zero. 62

Esse domĂnio ampliado gerou o conjunto dos nĂşmeros racionais, que ĂŠ fechado para adiĂ§ĂŁo, multiplicaĂ§ĂŁo, subtraĂ§ĂŁo e divisĂŁo. Assim, a ampliaĂ§ĂŁo do campo numĂŠrico dos naturais para os racionais possibilitou a criaĂ§ĂŁo de um conjunto cujos resultados das quatro operaĂ§Ăľes aritmĂŠticas bĂĄsicas podem ser obtidos sem restriĂ§Ăľes. â&#x153;&#x201C; Dos racionais aos irracionais. Como vimos, os nĂşmeros racionais permitem expressar o resultado de um processo de medida. Quando for possĂvel expressar a medida de um segmento com base em outro por meio de uma fraĂ§ĂŁo ou nĂşmero inteiro, dizemos que os segmentos sĂŁo comensurĂĄveis. Em termos prĂĄticos, os nĂşmeros racionais podem expressar a medida de quaisquer segmentos comensurĂĄveis. Em termos teĂłricos, contudo, a questĂŁo deve ser ampliada. Nem toda medida pode ser expressa na forma de uma razĂŁo entre nĂşmeros inteiros. A descoberta da existĂŞncia dos segmentos incomensurĂĄveis foi um dos fatos mais surpreendentes da histĂłria da MatemĂĄtica. Um dos exemplos mais conhecidos de incomensurabilidade ĂŠ a medida da diagonal do quadrado em relaĂ§ĂŁo ao lado, que foi atribuĂda aos pitagĂłricos, na GrĂŠcia Antiga8. A existĂŞncia de segmentos incomensurĂĄveis implicou a criaĂ§ĂŁo de um conjunto complementar aos nĂşmeros racionais e que foi denominado irracionais. Entre os nĂş5

meros irracionais, encontram-se as raĂzes nĂŁo exatas, como â&#x2C6;&#x161;3, â&#x2C6;&#x161;5, â&#x2C6;&#x161;12, â&#x2C6;&#x161;5

etc., e

nĂşmeros como Pi (ď °) ou Fi (đ?&#x153;&#x2122;), chamados transcendentais ou transcendentes. De modo geral, todos os irracionais possuem uma representaĂ§ĂŁo decimal infinita e nĂŁo periĂłdica.

No Material de Apoio ao CurrĂculo, Caderno do Professor, 9Âş ano, Vol. 2, pg. 25, consta um detalhamento da situaĂ§ĂŁo apresentada. 8

A reunião do conjunto dos números racionais com o conjunto dos irracionais deu origem ao conjunto dos números reais. Os números reais possuem uma propriedade importante, que será amplamente utilizada no prosseguimento dos estudos. Para cada número real, é possível associar um único ponto de uma reta numérica. Assim, a reta real constitui um modelo para representação de todos os números reais, sejam eles racionais ou irracionais. Finalmente, é importante discutir com os alunos que, diferentemente do conjunto dos racionais, os irracionais não são fechados em relação às operações de adição e multiplicação. Por exemplo, embora √3 + √5 seja irracional, o resultado de √3+(–√3) é zero, que é racional. Do mesmo modo, √3 ∙ √3 = √9 = 3, que também é racional. O conjunto dos irracionais também não é fechado para subtração e para divisão. Oportunizar momentos em que o aluno possa elaborar situações de própria autoria ou adaptações referentes ao tema. Considerações sobre a avaliação Ao final do desenvolvimento das habilidades descritas no quadro, espera-se que os alunos conheçam as principais características associadas aos conjuntos numéricos, desde os números naturais até os reais e que saibam usar diagramas para representar situações-problema envolvendo relações entre as partes e o todo de um conjunto. Em relação aos conjuntos numéricos, destacamos dois aspectos importantes. O primeiro é a ampliação dos conjuntos numéricos dos naturais aos racionais com base nas quatro operações básicas. E o segundo é a passagem dos racionais para os irracionais, compondo o conjunto dos números reais. Estes dois aspectos devem ser bem trabalhados, pois constituirão uma base para o prosseguimento dos estudos no Ensino Médio, principalmente no que se refere às funções.

Orientação para a Recuperação Caso alguns alunos demonstrem dificuldade para compreender o significado dos conjuntos numéricos, recomendamos que se retome um pouco da história dos números, mostrando como esse tipo de representação evoluiu ao longo da história em função das necessidades do homem: o surgimento dos números naturais como uma forma de representar a contagem de objetos ou ordenação; a necessidade de medida provocando o surgimento dos números fracionários (racionais); o desenvolvimento do comércio e das finanças, que demandou a utilização de números negativos para registrar dívidas entre outros. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ Propor situações desafiadoras que extrapolem o conjunto numérico. Exemplo dos naturais propor: 5-7. Também situações problema do cotidiano. Exemplo extrato bancário, saldo de gol de campeonato de futebol, entre outros.

Tabela 15 - Álgebra - 9º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Conteúdo  Números Relações

Habilidades /

o Noções básicas sobre função o A ideia de variação

 Compreender a noção de função como relação de interdependência entre grandezas.  Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções de 1º grau.  Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função de 2º grau.

Currículo Paulista Tema/objeto de conheciHabilidades mento  Álgebra (EF09MA06) Compreender as funções como  Funções: relações de dependênrepresenta- cia unívoca entre duas ções numé- variáveis e suas reprerica, algé- sentações numérica, albrica e grá- gébrica e gráfica e utilifica. zar esse conceito para analisar situações que  Razões en- envolvam relações funtre grande- cionais entre duas varizas de es- áveis. pécies dife- (EF09MA07) Resolver rentes. situações-problema que envolvam a razão  Grandezas entre duas grandezas diretade espécies diferentes, mente pro- como velocidade e porcionais e densidade demográgrandezas fica. inversa(EF09MA08) Resolver mente pro- e elaborar situaçõesporcionais. problema que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

4.4.3 Ideia de variação e funções Inicialmente, o professor pode diferenciar “x” na equação como incógnita e “x” na função como variável. Iniciando os trabalhos referentes aos conceitos básicos de função, é importante a apresentação de situações envolvendo a variação de duas grandezas em que seja necessária a identificação dessa variação em relação à proporcionalidade, ou seja, pretende-se explorar o significado das expressões ”x e y são diretamente proporcionais” “x e y são inversamente proporcionais” e “x e y não são proporcionais”, incluindo, quando for o caso, a tradução desses significados em linguagem algébrica: y = k x, sendo k constante (y é diretamente proporcional a x); e xy = k, sendo k constante (y é inversamente proporcional a x). Às vezes, duas grandezas x e y variam de tal modo que a proporcionalidade direta não ocorre entre y e x, mas quando y varia a partir de certo valor h e x. Nesses casos, temos: y–h x

= k ou y – h = k x, ou seja, y = k x + h (k e h constantes).

Portanto: y – h é diretamente proporcional a x. A continuidade desse trabalho ocorre por meio da exploração de situações-problema envolvendo a variação de grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais sobretudo por meio de suas representações gráficas. Com relação às funções polinomiais de 2º grau y = ax2 + b x + c, exploram a proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, que serão aprofundadas no Ensino Médio. Para a complementação do estudo sugere-se a leitura e construção de gráfico cartesiano que representa a variação de duas grandezas, de modo que uma seja, por exemplo, diretamente proporcional ao quadrado da outra.

Por fim, tão importante como o conceito de função, é importante retomar o conceito de razão, neste caso, este importante fundamento matemático será abordado sobre o ponto de vista das razões de grandezas distintas, como velocidade, escalas e entre outros. Oportunizar momentos em que o aluno possa elaborar situações de própria autoria ou adaptações referentes ao tema. Considerações sobre a avaliação Ao final do desenvolvimento deste conceito matemático é fundamental que os alunos reconheçam situações contextualizadas que podem ser modeladas por meio de uma expressão que relacione duas grandezas e que analisem se essa relação é direta, inversamente proporcional ou nem direta nem inversamente proporcional. A familiarização com o conceito de função está associada, particularmente, às observações das variações e das relações de interdependência na expressão algébrica ou na construção de tabelas. Podemos observar que não foram enfatizadas a linguagem formal para o tratamento de funções. Vale lembrar que uma abordagem mais sistematizada sobre funções será aprofundada no Ensino Médio. Orientação para a Recuperação Caso haja um desempenho insatisfatório nas atividades referentes ao conteúdo apresentado, sugerimos que sejam exploradas outras situações. Sugerimos a utilização do livro didático adotado, como referência. Muitas vezes, a representação gráfica tende a ilustrar melhor os conceitos trabalhados, permitindo ao aluno melhor compreensão dos conceitos. Portanto, cabe ao professor apresentar a análise gráfica concomitantemente ou escolher as estratégias que já vem adotando, quando tratar do tema. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ 68

Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ Tabela 16 - Probabilidade e estatística - 9º ano

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Números / Relações 

Estatística descritiva.

o Gráficos estatísticos: interpretação de dados estatísticos.

Currículo Paulista Tema/objeto de Habilidades conhecimento  Probabilidade e (EF09MA22) Esestatística. colher e construir o gráfico mais  Análise de gráfi- adequado (colucos divulgados nas, setores, lipela mídia: ele- nhas), com ou mentos que po- sem uso de planidem induzir a er- lhas eletrônicas, ros de leitura ou para apresentar de interpretação. um determinado conjunto de da Leitura, interpre- dos, destacando tação e represen- aspectos como as tação de dados medidas de tende pesquisa ex- dência central. pressos em tabe- (EF09MA21) las de dupla en- Analisar e identifitrada, gráficos de car, em gráficos coluna simples e divulgados pela agrupadas, gráfi- mídia, os elemencos de barras e tos que podem de setores e grá- induzir, às vezes ficos pictóricos. propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros. 69

4.4.4 Construção e análise de gráficos Partindo-se do pressuposto de que não é suficiente apenas o aluno aprimorar a competência da construção de gráficos e tabelas, seja qual for a tipologia a ser adotada, mas também que ele desenvolva o senso crítico de poder analisar os resultados indicados por meio de tais representações. Neste sentido, a análise e posterior detecção de irregularidades é uma tarefa importante, na leitura de dados estatísticos, que podem ser encaminhadas pelo professor, apresentando instrumentos estatísticos (gráficos, tabelas, relatórios, etc.). Dessa forma, diante de uma questão proposta, seja no âmbito da sociedade ou da natureza, inicia-se o trabalho de pesquisa mediante o levantamento de dados e registro das situações percebidas concretamente de forma sistemática, que podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa. Sugerimos pesquisas por meio das mídias, objetos digitais como também jornais, revistas, entre outros. Considerações sobre a avaliação Os conteúdos que se podem desenvolver por intermédio das habilidades descritas, compõe um conjunto de elementos de estatística descritiva que, de certa forma, têm sido abordados desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Os tópicos e as atividades propostas, constituem, um aprofundamento importante e necessário. No entanto, é preciso deixar claro que, se os conteúdos são praticamente os mesmos, assim como as habilidades e competências requeridas, a profundidade dos temas abordados exige saltos consideráveis na análise e interpretação, quando comparados aos temas abordados nas etapas anteriores. Por esse motivo, alguns alunos poderão sentir mais dificuldade do que outros na resolução das atividades propostas. O professor poderá utilizar gráficos pré-selecionados para compor a avaliação do processo. Recomenda-se, nesse caso, que os alunos possam, em algum momento

de avaliação, expressar suas opiniões em relação aos temas de reconhecida importância, assim potencializam o raciocínio crítico. Orientação para a Recuperação Para aqueles alunos que ainda sentirem dificuldades na interpretação e na construção de gráficos, sugerimos que o professor os estimule a se confrontar com outras situações, não se trata aqui, de repetir temas já abordados, e sim, buscar novas situações que, embora constituídas pelos mesmos conceitos, explorem contextos diferentes daqueles em que se basearam as atividades anteriores. Nesse sentido, propomos ao professor que indique a seus alunos a pesquisa de novos gráficos, cujos significados das variáveis eles conheçam. Ainda com relação às atividades de recuperação das aprendizagens, o professor poderá utilizar os objetos digitais de aprendizagem constantes na Plataforma Currículo + bem como as aventuras do currículo mais, relativos ao conteúdo proposto nesta seção, seguem os links: Plataforma Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/ Aventuras do Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/aventuras-curriculo-mais/ Atividades Currículo +: http://curriculomais.educacao.sp.gov.br/atividade/ Sugerimos o uso de malhas quadriculadas para a construção de gráficos.

5 Resumo das habilidades a serem desenvolvidas no 1º bimestre Tabela 17 - 6º ano - 1º Bimestre

Tema Números

Álgebra

Geometria

6º ano do Ensino Fundamental Habilidade (EF06MA02) Reconhecer o sistema de numeração decimal como fruto de um processo histórico, percebendo semelhanças e diferenças com outros sistemas de numeração, de modo a sistematizar suas principais características (base, valor posicional e função do zero), utilizando, inclusive, a composição e decomposição de números naturais e números racionais em sua representação decimal. (EF06MA03) Solucionar e propor problemas que envolvam cálculos (mentais ou escritos, exatos ou aproximados) com números naturais, por meio de estratégias pessoais, com compreensão dos processos neles envolvidos com e sem uso de calculadora. (EF06MA04A) Reconhecer um fluxograma a partir da sua estrutura e de seus elementos. (EF06MA04B) Ler e interpretar um fluxograma, reconhecendo seus benefícios para a compreensão de um dado contexto. (EF06MA04C) Construir algoritmo em linguagem natural e representálo por fluxograma que indique a resolução de um problema simples (por exemplo, se um número natural qualquer é par). (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos, estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (EF06MA06) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam as ideias de múltiplo e de divisor, reconhecendo os números primos, múltiplos e divisores. (EF06MA14) Reconhecer que a relação de igualdade matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir os seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas. (EF06MA16) Associar, representar pares ordenados de números a pontos do plano cartesiano do 1º quadrante, em situações como a localização dos vértices de um polígono.

Tabela 18 - 7º ano - 1º Bimestre

Tema Números

Álgebra

Geometria

Grandezas e medidas

7º ano do Ensino Fundamental Habilidade (EF07MA01) Resolver e elaborar situações-problema com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos. (EF07MA17) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas. (EF07MA19) Localizar no plano cartesiano pontos (coordenadas) que representam os vértices de um polígono e realizar transformações desses polígonos, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. (EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem. (EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros. (EF07MA29) Resolver e elaborar situações-problema que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

Tabela 19 - 8º ano 1º bimestre

Tema Números

Geometria

Probabilidade e estatística

8º ano do Ensino Fundamental Habilidade (EF08MA02) Resolver e elaborar situações-problema usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário. (EF08MA03) Resolver e elaborar situações-problema de contagem cuja resolução envolve a aplicação do princípio multiplicativo. (EF08MA04) Resolver e elaborar situações-problema, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecnologias digitais. (EF08MA15) Construir, utilizando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica, mediatriz, bissetriz, ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares. (EF08MA16) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um hexágono regular de qualquer área, a partir da medida do ângulo central e da utilização de esquadros e compasso. (EF08MA17) Conhecer e aplicar os conceitos de mediatriz e bissetriz como lugares geométricos na resolução de problemas. (EF08MA22) Calcular a probabilidade de eventos, com base na construção do espaço amostral, utilizando o princípio multiplicativo, e reconhecer que a soma das probabilidades de todos os elementos do espaço amostral é igual a 1. (EF08MA26) Selecionar razões, de diferentes naturezas (física, ética ou econômica), que justificam a realização de pesquisas amostrais e não censitárias, e reconhecer que a seleção da amostra pode ser feita de diferentes maneiras (amostra casual simples, sistemática e estratificada). (EF08MA27) Planejar e executar pesquisa amostral, selecionando uma técnica de amostragem adequada, e escrever relatório que contenha os gráficos apropriados para representar os conjuntos de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central, a amplitude e as conclusões.

Tabela 20 - 9º ano - 1º Bimestre

Tema Números

Álgebra

Probabilidade e estatística

9º ano do Ensino Fundamental Habilidade (EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade). (EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica. (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários. (EF09MA04) Resolver e elaborar situações-problema com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações. (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis. (EF09MA07) Resolver situações-problema que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica. (EF09MA07) Resolver situações-problema que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica. (EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros. (EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

6- Ensino Médio 6.1 Introdução A inserção dos apontamentos relativos grade curricular do Ensino Médio neste documento, com a respectiva equivalência das habilidades do Currículo Oficial, as competências específicas da área de Matemática, da BNCC, nortearão as atividades sugeridas para serem desenvolvidas neste bimestre.

6.2 Concepções da Matemática no Ensino Médio nos documentos oficiais Primeiramente relataremos, sobre os principais apontamentos no Currículo do Estado de São Paulo, cujo pressuposto básico remete à representação dos dados disponíveis e um tratamento adequado para das informações disponíveis de acordo com o mapeamento do que é relevante para a construção do conhecimento, em determinada ocasião. Então, nos três temas (Números, Geometria e Relações), entende-se que para o Ensino Médio exista uma ampliação e aprofundamento dos conceitos e conteúdos da Matemática, considerando sempre a exploração das ideias fundamentais de cada tema/conteúdo, estabelecendo caminhos que interliguem os conteúdos às competências gerais de cada tema. No caso da Matemática, proporcionalidade, equivalência, ordem, aproximação, problematização, otimização, entre outras, são exemplos de tais ideias fundamentais, a serem exploradas nos diversos conteúdos estudados. A BNCC da área de Matemática, para o Ensino Médio, propõe também a ampliação e o aprofundamento das aprendizagens essenciais desenvolvidas nos anos finais do Ensino Fundamental, e que para o estágio seguinte, possibilite ao estudante construir uma visão mais integrada da Matemática, ainda na perspectiva de sua ampliação à realidade. Enfatizando as considerações acima propostas, os autores destacam as principais ações para a etapa do ensino médio, da seguinte forma: 76

Tais considerações colocam a área de Matemática e suas tecnologias diante da responsabilidade de aproveitar todo o potencial já constituído por esses estudantes, para promover ações que estimulem e provoquem seus processos de reflexão e de abstração, que deem sustentação a modos de pensar criativos, analíticos, indutivos, dedutivos e sistêmicos e que favoreçam a tomada de decisões orientadas pela ética e o bem comum. (BRASIL, 2018, p. 518)

No texto ainda se encontra uma descrição minuciosa sobre as habilidades relativas aos processos de investigação, de construções de modelos e de resoluções de problemas, desta forma, os estudantes mobilizam seus próprios modos de raciocinar, representar, argumentar, comunicar e, com base em discussões e validações conjuntas, aprender conceitos e desenvolver representações e procedimentos cada vez mais sofisticados9. O documento apresenta também uma justificativa referenciando a interligação das cinco unidades temáticas apresentadas nos anos iniciais e finais do Ensino Fundamental com as ideias fundamentais para o desenvolvimento do pensamento matemático, compostos em pares, da seguinte maneira: variação e constância; certeza e incerteza; movimento e posição; relações e inter-relações.10 No tocante às habilidades específicas para o Ensino Médio, os autores referenciam o letramento matemático11, como potencializador das habilidades propostas para o Ensino Médio e a oferta de ferramentas para compreender a realidade e propor as ações de intervenção para o Ensino Médio.

Nota: Não detalharemos as habilidades mencionadas, caso o leitor queira obter informações procure em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/06/BNCC_EnsinoMedio_embaixa_site_110518.pdf , pg. 519 10 Nota: Não detalharemos as ideias fundamentais mencionadas, caso o leitor queira obter informações veja no mesmo documento acima, nas páginas 520 e 521. 9

Na BNCC, o letramento matemático está assim definido: competências e habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos, procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. O letramento deve também assegurar que todos estudantes reconheçam que os conhecimentos matemáticos são fundamentais para compreender e atuar no mundo e para que também percebam o caráter de jogo intelectual da Matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e que pode também ser prazeroso (fruição). 11

E finalmente, considerando os pressupostos apresentados e levando em conta as competências gerais da Educação Básica e juntamente com as da área para o Ensino Fundamental, o documento apresenta as competências específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio, conforme descrição a seguir: 6.3 Competências Específicas de Matemática e suas Tecnologias para o Ensino Médio – BNCC – Ensino Médio Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, ou ainda questões econômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a consolidar uma formação científica geral. Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros recorrendo a conceitos, procedimentos e linguagens próprios da Matemática. Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente. Compreender e utilizar com flexibilidade a fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático. Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando recursos e estratégias como observação de 78

padrões, experimentações e tecnologias digitais, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas.

7. Grades curriculares – Ensino Médio O material proposto, tem como objetivo, a apresentação de tabelas com intuito de mostrar uma possível equivalência das habilidades descritas no Currículo Oficial da área de Matemática e das habilidades que compõe cada uma das competências descritas na BNCC do Ensino Médio, observando que estas habilidades podem estar articuladas com habilidades de diferentes anos/série do Currículo Oficial. Porém, antes de iniciarmos o estudo, cabe algumas considerações a respeito da nomenclatura utilizada na BNCC, do código alfanumérico que identifica a habilidade. Desta forma, apresentamos a seguir a ilustração contida no documento oficial.

Figura 10 - Código alfanumérico - Habilidades BNCC - Ensino Médio

Sabendo-se disto, seguiremos com a apresentação das tabelas, referentes ao 1º bimestre do ano letivo de maneira análoga do conteúdo apresentado nos anos finais do Ensino Fundamental.

7.1 Currículo Oficial / BNCC – 1ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre Tabela 21 - Álgebra

Currículo Oficial – SEE-SP BNCC Tema/ Habilidades Competência Específica Conteúdo  Relações  Saber reconhecer 1. Utilizar estratégias, conceitos e prorelações de proporciocedimentos matemáticos para internalidade direta, inversa, pretar situações em diversos contex Funções direta com o quadrado, tos, sejam atividades cotidianas, seentre outras, represenjam fatos das Ciências da Natureza e o Relação tando-as por meio de Humanas, ou ainda questões econôentre funções. micas ou tecnológicas, divulgados duas por diferentes meios, de modo a con Compreender a grandesolidar uma formação científica geral. construção do gráfico zas; de funções de 1º grau, sabendo caracterizar o o Proporcicrescimento, o decrescionalidamento e a taxa de variades: dição. reta, in Compreender a versa, diconstrução do gráfico reta com de funções de 2º grau o quacomo expressões de drado. proporcionalidade entre uma grandeza e o quao Função drado de outra, sade 1º bendo caracterizar os grau. intervalos de crescimento e decrescimento, os sinais da função e os o Função valores extremos (ponde 2º tos de máximo ou de grau. mínimo). o Qualidade das funções

 Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º e de 2º graus, explorando especialmente problemas de máximos e mínimos 81

 Compreender o significado da taxa de variação unitária (variação de f(x) por unidade a mais de x), utilizandoa para caracterizar o crescimento, o decrescimento e a concavidade de gráficos

7.1.1 – Aprofundamento dos estudos sobre as funções do 1º e 2º graus. As três primeiras habilidades apresentadas na segunda coluna da esquerda para a direita, retomam a noção de função, que traduz uma relação de interdependência entre duas grandezas, explorando-se especialmente as funções de 1º grau e de 2º grau, bem como suas aplicações em diferentes contextos. Tais assuntos já foram apresentados aos alunos em algum momento dos anos iniciais do Ensino Fundamental. No 7º ano, por exemplo, foram exploradas situações envolvendo a proporcionalidade direta k

e inversa entre grandezas, e que conduzem a relações do tipo y = kx, ou, então, y= x , de tal forma que k é uma constante não nula. No 9º ano, foram estudadas as funções y=ax + b e y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, além da representação destas em gráficos. Para o desenvolvimento da habilidade descrita na coluna da competência específica 1, no Ensino Médio, a apresentação será mais sistematizada, de tal forma que, mesmo que o professor estiver tratando desse assunto pela primeira vez, o aluno provavelmente não terá grandes dificuldades em acompanhar as atividades propostas. Podemos afirmar que as funções são capazes de traduzir matematicamente todos os processos que envolvem relações de proporcionalidade direta (gráficos lineares), ou relações em que uma grandeza é proporcional ao quadrado de outra (gráficos com a forma de uma parábola). Muitos exercícios envolvendo situações concretas em que a consideração das grandezas envolvidas conduz a uma função de 1º grau ou de 82

2º grau serão contemplados, com especial destaque para problemas de otimização, ou seja, problemas que envolvem a obtenção do máximo ou do mínimo de uma função, em determinado contexto. De um modo geral, o estudo das funções contribui para o desenvolvimento de importantes competências básicas, como: 

o recurso à linguagem das funções para representar interdependências conduz

a um aumento na capacidade de expressão, favorecendo a construção de um discurso mais eficaz para enfrentar problemas em diferentes contextos; 

a capacidade de compreensão de uma variada gama de fenômenos é ampliada,

uma vez que muitas situações de interdependência estão naturalmente associadas a modelagens que conduzem a explicações dos referidos fenômenos; 

o reconhecimento das funções envolvidas em um fenômeno possibilita a siste-

matização de propostas de intervenção consciente sobre a realidade representada. A última habilidade, possibilita apresentar de modo mais sistematizado as características das funções já estudadas em séries anteriores, ampliando-se as possibilidades de construção de gráficos e da compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. Com isso a possibilidades de construção de gráficos e da compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. Com isso, a possibilidade de utilização de funções para a compreensão das formas básicas de crescimento ou decrescimento. Com isso, a possibilidade de utilização de funções para compreensão de fenômenos da realidade será ampliada, e os alunos poderão analisar com mais nitidez a riqueza da linguagem das funções. No Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Caderno do Professor, os conteúdos referentes às habilidades descritas, podem ser encontradas nas seguintes situações de aprendizagem: Situação de Aprendizagem 5 – Funções como relações de interdependência: Múltiplos exemplos, Vol. 1 – 1ª série do Ensino Médio, pg. 55 a 64.

Situação de Aprendizagem 6 – Funções polinomiais de 1º grau: Significado, gráficos, crescimento, decrescimento e taxas, Vol. 1 – 1ª série do Ensino Médio, pg. 65 a 74. Situação de Aprendizagem 7: Funções Polinomiais de 2º grau: significado, gráficos, intersecções com os eixos, vértices e sinais. Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 74 a 96. Situação de Aprendizagem 8: Problemas envolvendo funções de 2º grau em múltiplos contextos, problemas de máximos e mínimos. Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 96 a 103. Situação de Aprendizagem 2: A reta, a inclinação constante e a proporcionalidade. Vol. 1, 3ª série do Ensino Médio, pg. 22 a 32 e Situação de Aprendizagem 3: máximos e mínimos. Vol. 1, 3ª série do Ensino Médio, pg. 33 a 42. Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas considerações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas.

Tabela 22 - Geometria

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Geome Saber identificar tria propriedades características, calcular relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e o Transforvolumes) de sólidos mações como o prisma e o cilinno plano. dro, utilizando-as em diferentes contextos. (2ª série E.M.)

BNCC Competência Específica

2- Articular conhecimentos matemáticos ao propor e/ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas de urgência social, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, recorrendo a conceitos, procedimentos e  Saber identificar linguagens próprios da Matemática. propriedades características, calcular relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) de sólidos como a pirâmide e o cone, utilizando-as em diferentes contextos. (2ª série E.M.)  Saber identificar propriedades características, calcular relações métricas fundamentais (comprimentos, áreas e volumes) da esfera e de suas partes, utilizandoas em diferentes contextos. (2ª série E.M.)

7.1.2 Geometria espacial métrica Os conteúdos apresentados, tanto nas habilidades do Currículo Oficial, como na Competências Especifica 2, mencionam a Geometria métrica espacial, que poderá ser apresentada de forma crescente, combinando vários conceitos matemáticos, sendo, em alguns casos, apresentados projetos e propostas interdisciplinares. Nela, algumas das formas mais comuns presentes na natureza e na produção humana são estudadas. Para isso, é necessário que sejam relembradas as propriedades fundamentais das figuras planas, afinal, são elas que compõem as bases, as faces e as seções das figuras espaciais. Sabe-se que uma das dificuldades que os alunos enfrentam no estudo da geometria espacial é a representação e a interpretação de figuras tridimensionais desenhadas no plano; assim a proposição de atividades de manipulação e exploração dos sólidos geométricos seria muito oportuna nesse momento. Convém ressaltar que, algumas relações métricas são construídas em meio à solução de problemas exemplares, ou seja, aqueles que são comuns em todo material didático-pedagógico, desta forma o professor pode combinar esses exercícios com aqueles que já fazem parte de sua experiência no ensino deste tema. Todas as habilidades referenciadas na segunda coluna estão contidas em Situações de Aprendizagens do Volume 2 da 2ª série do Ensino Médio, conforme segue: Situação de Aprendizagem 5: Prismas: Uma forma de ocupar o Espaço; pg. 61 a 71. Situação de Aprendizagem 6: Cilindros: Uma mudança de base; pg. 72 a 82. Situação de Aprendizagem 7: O movimento de ascensão: Pirâmides e Prismas; pg. 83 a 95. Situação de Aprendizagem 8: Esfera conhecendo a forma do Mundo; pg. 95 a 109. Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas considerações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. Para complementar este assunto apresentamos duas vídeos aulas contidas na plataforma M3 – Matemática Multimídia: 86

Criador e Criatura, disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1078 (acesso em 06/11/2018) Matemática das esferas: disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1272 (acesso em 06/11/2018)

Tabela 23 - Álgebra

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Saber resolver sis Relações temas lineares de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e da substituição,  Gráficos sabendo escolher de de funforma criteriosa o camições do nho mais adequado em 1º grau. cada situação. (8º ano) 

Sistemas de equações.

BNCC Competência Específica

3- Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argu Compreender e mentação consistente. usar o plano cartesiano para a representação de pares ordenados, bem como para a representação das soluções de um sistema de equações lineares. (8º ano)  Saber resolver e discutir sistemas de equações lineares pelo método de escalonamento de matrizes. (2ª série E.M.)  Reconhecer situações-problema que envolvam sistemas de equações lineares (até a 4ª ordem), sabendo equacioná-los e resolvêlos. (8º ano)

7.1.3 Equações simultâneas ou sistemas de equações

Uma das características principais descrita na competência específica é a utilização de procedimentos matemáticos aliados aos conceitos para a resolução de sistemas lineares. Desta forma, resgatamos os procedimentos, estabelecidos no 8º ano, para a resolução de um sistema de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e substituição, . Também é conveniente abordar a resolução gráfica de um sistema de equações no plano cartesiano. Para ampliar os estudos referentes aos sistemas lineares, apresentamos os conceitos de matrizes e determinantes que serão utilizados na abordagem dos métodos do escalonamento de matrizes e da regra de Cramer. Os assuntos acima citados podem ser encontrados no Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem: Situação de Aprendizagem 3: Sistemas de Equações Lineares, Vol. 2, 8º ano, p. 45 a 61. Situação de Aprendizagem 4: Equações com soluções inteiras e suas aplicações, Vol. 2, 8º ano, p. 61 a 70. Situação de Aprendizagem 7: Sistemas lineares em situações-problema, Vol. 1, 2ª Série do Ensino Médio, p. 78 a 84. Situação de Aprendizagem 8: Resolução de sistemas lineares: Escalonamento x Cramer, Vol. 1, 2ª série do Ensino Médio, p. 85 a 105. Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas considerações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. Além das situações de aprendizagem, sugerimos alguns recursos audiovisuais, da plataforma Matemática Multimídia: ✓ A mancha: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1133 (acesso em 27/11/2018) 89

✓ Gasolina

álcool:

http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1101

(acesso

27/11/2018) ✓ O guardador de águas: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1112 (acesso em 27/11/2018) Que a força esteja com você: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1166 (acesso em 27/11/2018)

Tabela 24 - Álgebra

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Compreender a  Relações. construção do gráfico de funções de 1º grau, sabendo caracterizar o  Função crescimento, o decresde 1º cimento e a taxa de grau. variação.

BNCC Competência Específica 4- Compreender e utilizar, com flexibilidade e fluidez, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas, de modo a favorecer a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.

7.1.4 Representação gráfica de funções polinomiais de grau 1 Podemos constatar que para nós professores é muito natural associar uma função do tipo y = ax + b a uma reta contida no plano cartesiano, porém muitos alunos, não conseguem associar estes dois registros de representações, pois esses, são desenvolvidos de forma isolada e independente, dando a ideia de que são conteúdos totalmente distintos, portanto, pode-se concluir que existe aqui uma mudança dessas de representações, ou seja, da algébrica para a geométrica. A mudança de registros de representações foi objeto de estudo de Raymond Duval. Em seus estudos, Duval apresenta análises acerca da articulação entre a representação algébrica da equação da reta (y=ax+b) e sua representação geométrica. O autor destaca que a razão para profundas dificuldades em ler e interpretar as representações gráficas parece estar associada à falta de conhecimento da correspondência entre a escrita algébrica e sua ligação com a representação geométrica. Desta forma, na representação algébrica das funções polinomiais de grau 1, é necessário que o aluno compreenda as seguintes características fundamentais: 91



quando y é diretamente proporcional a x e ambos os valores, de x e y, começam

a ser medidos a partir do valor inicial zero, então y = ax, sendo a uma constante não nula; 

quando há a proporcionalidade direta entre a variação de y medida a partir de

certo valor inicial b e os valores de x, então y – b = ax, ou seja, y = ax + b; 

de modo geral, em qualquer situação em que as variações de duas grandezas

interdependentes são diretamente proporcionais, chegamos a uma expressão do tipo f(x) = ax + b, ou seja, a uma função do 1º grau; 

sendo f(x) = ax + b, então o coeficiente a sempre representa a variação no valor

da função por unidade a mais de x, ou, em outras palavras, a taxa de variação de f(x) em relação a x. Estas características estarão relacionadas na representação geométrica da função e estarão relacionadas diretamente ao valor do coeficiente a, na qual estabelecerá o ângulo de inclinação da reta (coeficiente angular), conforme mostra a figura a seguir:

Figura 11 - Função do 1º grau

O tópico acima apresentado, pode ser encontrado no Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, na respectiva Situação de Aprendizagem, conforme segue: Situação de Aprendizagem 6 – Funções Polinomiais de 1º grau: Significado, gráficos, crescimento e decrescimento, Vol. 1, 1ª série do Ensino Médio, pg. 65 a 74. Além da referência citada acima, o professor poderá recorrer a outros materiais que abordem o assunto tratado. Na busca da aquisição da competência específica trazida pela BNCC, o professor deverá privilegiar a inserção de situações que favoreçam a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.

7.2 Currículo Oficial / BNCC – 2ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre

Tabela 25 - Geometria

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Reconhecer e aplicar  Geoo teorema de Tales como metria uma forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, na solução de pro Teorema blemas em diferentes conde Tales. textos. (8º ano) 

O conceito de semelhança.



Semelhança de triângulos.



Relações métricas.

 Saber reconhecer a semelhança entre figuras planas, a partir da igualdade das medidas dos ângulos e da proporcionalidade entre as medidas lineares correspondentes. (9º ano)

BNCC Competência Específica 3- Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos, em seus campos – Aritmética, Álgebra, Grandezas e Medidas, Geometria, Probabilidade e Estatística, para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.

 Saber identificar triângulos semelhantes e resolver situações-problema envolvendo semelhança de triângulos. (9º ano)  Compreender e saber aplicar as relações métricas dos triângulos retângulos, particularmente o teorema de Pitágoras, na resolução de problemas em diferentes contextos. (9º ano)

7.2.1 Semelhança de triângulos e relações métricas. Em Geometria, o conceito referente a semelhança de triângulos, é considerado como ideia central, pois, muitas das demonstrações e cálculos, partem deste conceito. Convém ressaltar que os conceitos de semelhança e congruência não são sinônimos no trato da Geometria, pois semelhança remete a seguinte definição: “Duas figuras planas são consideradas semelhantes quando uma delas pode ser obtida a partir da ampliação ou de uma redução da outra” Ou Matematicamente podemos dizer que duas figuras F e F’ são semelhantes quando guardam entre elas uma proporção. Isto é, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de F e os pontos de F’, tal que: XY ZW = =r X'Y' Z'W' onde X, Y, Z e W, são pontos de F e X’, Y’, Z’ e W’, pontos de F’, conforme mostra a figura:

Figura 12 - "Figuras semelhantes"

Com relação a congruência, especificamente entre dois triângulos, define-se que eles são congruentes quando os lados e ângulos do primeiro triângulo estão em 95

correspondência com os lados e ângulos do segundo triângulo de tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim como os ângulos. Portanto, para se determinar a congruência de triângulos, é necessário analisar os três lados e os três ângulos de cada triângulo e comparar suas medidas. Desta forma é suficiente que se conheçam apenas três elementos, numa certa ordem para termos a congruência assegurada. É que dizem os critérios: LAL, ALA, LLL. Sabendo-se disto, que o estudo de semelhança entre triângulos, solicita outros conceitos fundamentais, um deles é o teorema de Tales, que por sua vez, está ligado a uma das ideias fundamentais da Matemática, a proporcionalidade. Desta forma o teorema de Tales é definido da seguinte maneira: “Se um feixe de retas paralelas, indicado pelas retas a, b e c, é interceptado por duas transversais, d e e, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre as transversais são proporcionais”

Figura 13 - Retas cortadas por transversais

AB DE = BC EF No caso da semelhança entre duas figuras, como foi discutido anteriormente, implica em retomar a ideia de escala e, por consequência, a ideia de razão entre duas 96

medidas de mesma natureza. Poderemos também estabelecer, entre figuras semelhantes, relações de proporcionalidade que exijam a realização de operações algébricas e a mobilização de estratégias de raciocínio. Desta forma, ao pensarmos na razão 1:3, sabemos que cada medida do contorno da figura ampliada é três vezes maior do que a medida correspondente na figura original. Essa ideia de razão de semelhança, não é o bastante para compreender a representação de figuras em escala. Então a análise das diversas situações de semelhança exige pensar não apenas na medida do contorno das figuras, mas também em suas medidas angulares, como no tratamento com semelhança de triângulos que é o nosso próximo assunto. Já sabemos que o triângulo é considerado como uma estrutura rígida, essa característica está diretamente relacionada ao fato de que a semelhança entre dois triângulos exige apenas a congruência dos ângulos correspondentes. Afinal, se as formas triangulares não se articulam, ou seja, são rígidas, não é possível alterar a medida de seus ângulos internos sem, por consequência, alterar a medida de, pelo menos, um de seus lados. Caso as medidas dos três lados sejam ampliadas ou reduzidas proporcionalmente, então as medidas angulares serão preservadas. O triângulo é, portanto, o único tipo de polígono para o qual a semelhança é definida apenas a partir de uma condição: ângulos correspondentes congruentes. A proporcionalidade entre as medidas dos lados passa a ser, nesse caso, consequência, e não exigência, como ocorre para os demais polígonos. Sobre às relações métricas, especificamente no triângulo retângulo, assunto que já vem sendo abortado e desenvolvido deste o 9º ano, neste estudo foram trabalhadas duas vertentes: a semelhança de triângulos e a decomposição de figuras. O importante nesse caso, é que no processo de construção conceitual, o aluno percorra um caminho que parta da observação de regularidades e, após algumas etapas e aplicações generalize propriedades a partir do raciocínio indutivo que mobiliza nesse trajeto. 97

Todos os tópicos acima apresentados, podem ser encontrados no Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem, conforme segue: Situação de Aprendizagem 6: Teorema de Tales: Proporcionalidade na Geometria, Vol. 2, 8º ano do Ensino Fundamental, pg. 85 a 97. Situação de Aprendizagem 7: O teorema de Pitágoras: Padrões numéricos e geométricos, Vol. 2, 8º ano do Ensino Fundamental, pg. 98 a 115. Situação de Aprendizagem 1: Semelhança entre figuras planas, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fundamental, pg. 11 a 20. Situação de Aprendizagem 2: Triângulos: Um caso especial de semelhança, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fundamental, pg. 20 a 28. Situação de Aprendizagem 3: Relações Métricas nos triângulos retângulos – Teorema de Pitágoras, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fundamental, pg. 29 a 39. Situação de Aprendizagem 4: Razões trigonométricas dos ângulos agudos, Vol. 2, 9º ano do Ensino Fundamental, pg. 39 a 50. Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas considerações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas. Além das situações de aprendizagens, apresentadas, sugerimos outros materiais com recursos audiovisuais, contidos na plataforma Matemática Multimídia, a seguir: ✓ Engenharia de Grego, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1010, acesso em 29/11/2018. ✓ Entrando pelo túnel, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1096, acesso em 29/11/2018. ✓ Montanhas geométricas (experimento), disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1021, acesso em 29/11/2018. 98

✓ Montanhas geométricas (vídeos), disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1384, acesso em 29/11/2018. ✓ Um caminho para o curral, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1384, acesso em 29/11/2018.

Tabela 26 - Utilização de recursos computacionais

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo

7.2.2 Utilização de linguagem de programação para a potencialização do aprendizado Voltando para a habilidade descrita, cabe aqui algumas considerações a respeito do que seja uma provável caracterização da palavra algoritmo. Subentende-se que algoritmo12 seja um conjunto de operações predefinidas a seguir de forma sistemática para a resolução de um determinado tipo de problema se pensarmos nas formas de cálculo da Matemática, a palavra algoritmo pode ser tratada como o conjunto ordenado e finito de passos para efetuar um cálculo e na informática ela é considerada como o conjunto de operações, sequenciais, lógicas e não ambíguas, que aplicadas a um conjunto de dados, permitem encontrar a solução para um problema num número finito de passos. Atualmente, o advento e o progresso da tecnologia, permitiram aos jovens possuírem o conhecimento do funcionamento dos vários recursos tecnológicos, móveis ou fixos, isto implica que eles próprios elaborem certos aplicativos. Neste sentido, essa construção tem sua base nas lógicas de programação. Isto pode parecer novidade para

Fonte: Dicionário Infopédia da Língua Portuguesa, disponível em https://www.infopedia.pt/dicionarios/lingua-portuguesa, acesso em 30/11/2018 12

100

muitos, mas a programação se transformou em uma parte básica na formação de muitos jovens, não pela sua relevância lógica, porém pela própria necessidade da funcionalidade ou não de determinado aplicativo. Pode-se dizer que registrar por meio de códigos e designar funções lógicas, a programação é um aprendizado benéfico por outras áreas da formação do jovem. Como a Matemática, os conceitos de lógica e raciocínio são a base da programação de computadores. Escrever um código é se atentar a uma linguagem lógica e criar a partir de padrões que essa linguagem oferece. Desta forma, a programação está ligada ao pensamento matemático, talvez um pouco diferente do que é visto no cotidiano do aluno em sala de aula, a única relação, talvez esteja ligada pelo raciocínio e a capacidade de visualizar problemas de maneira lógica e padronizada. Um exemplo que pode ser perfeitamente utilizado em ambiente escolar é a linguagem de programação denominada “Logo”, na qual se comanda um cursor, normalmente representado por uma tartaruga, com o propósito de ensinar ao cursor novos procedimentos além dos que são próprios de tal linguagem, afim de criar desenhos ou programas. Como citado anteriormente a “tartaruga” na qual representa o cursor gráfico é programada por meio de quatro comandos básicos: 

PARAFRENTE (PF)



PARATRÁS (PT)



PARADIREITA (PD)



PARAESQUERDA (PE) Ao utilizar esses comandos é necessário especificar o número de passos ou a

medida do grau do giro. A maior parte dos comandos da linguagem Logo possui uma forma abreviada, como indicamos anteriormente. A tartaruga é definida por uma posição em relação a um sistema de coordenadas cartesianas (x , y) cujo ponto (0,0) representa o centro da tela gráfica e por uma orientação em relação a um eixo imaginário cujo ponto inicial é 0. 101

Os comandos PF e PT alteram a posição da tartaruga e os comandos PD e PE a sua orientação (ângulo). Os comandos PF, PT, PD, PE necessitam de parâmetros, nas quais orientam sua posição na tela, por exemplo (PF 90, PE 45), cujo comando pode ser entendido pela “tartaruga” como: ande para a frente 90 unidades e vire para a esquerda com um ân-

gulo de 45º. A sequência a seguir ilustra a construção de um triângulo equilátero, utilizando o software “SuperLogo”, na qual tem como base a linguagem Logo:

Figura 14 - Utilização do ambiente SuperLogo

Figura 15 - Utilização do ambiente SuperLogo

Comando: ul – ativa o traçado do dese- Comando: pd 90 – Solicita que a “tartanho

ruga” gire 90º à direita.

102

Figura 16 - Utilização do ambiente SuperLogo

Figura 17 - Utilização do ambiente SuperLogo

Comando: pf 200 – Solicita que a “tarta- Comando: pe 120 – Solicita que a “tartaruga” caminhe 200 unidades para frente. ruga” gire 120º à esquerda.

Figura 18 - Utilização do ambiente SuperLogo

Figura 19 - Utilização do ambiente SuperLogo

Comando: pf 200 – Solicita que a “tarta- Comando: pe 120 – Solicita que a “tartaruga” caminhe 200 unidades para frente. ruga” gire 120º à esquerda.

103

Figura 20 - Utilização do ambiente SuperLogo

Figura 21 - Utilização do ambiente SuperLogo

Comando: pf 200 – Solicita que a “tarta- Comando: repita– Solicita que a “tartaruga” caminhe 200 unidades para frente. ruga” repita 3 vezes pf 200 e pe 120

Apresentamos também outras possibilidades de utilização de linguagens de programação, neste caso, apresentando outra abordagem, neste caso utilizando a linguagem de programação VBA (Visual Basic Aplication), que atua como uma linguagem de programação à serviço do usuário, permitindo a criação de macros e a automação de diversos processos nas planilhas e tabelas desenvolvidas no Excel, os links a seguir exemplificam a utilização desta linguagem de programação. https://www.techtudo.com.br/dicas-e-tutoriais/noticia/2016/03/o-que-e-e-comousar-vba-no-excel.html, acesso em 01/12/2018. http://www.macoratti.net/vb_eq2g.htm, acesso em 01/12/2018.

104

Tabela 27 - Geometria

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo

7.2.3 Projeções e vistas ortogonais Para o desenvolvimento da habilidade descrita, é importante resgatar a ideia de projeção ortogonal, que é

definida como a extremidade (P’) do segmento de reta

perpendicular ao plano cuja outra extremidade seja o ponto P, ou seja:

Figura 22 - Projeção ortogonal

105

Ou seja, projeção ortogonal é uma representação num hiperplano de k dimensões de um objeto que tem n dimensões, considerando k < n. O estudo das projeções ortogonais compreende as projeções em malhas isométricas e as vistas ortogonais, nas quais detalharemos a seguir: Projeção isométrica: é uma maneira específica de representar uma imagem tridimensional. O uso do papel reticulado simplifica o aprendizado, como apresentaremos a seguir:

106

Prisma

Figura 23 - Prisma de base retangular

Medidas

Figura 24 - Projeção isométrica - Medidas

Face frontal

Figura 25 - Projeção isométrica - Face frontal

107

Face Lateral

Face superior

Figura 26 - Projeção isométrica - Face lateral

Figura 27 - Projeção isométrica - Face superior

Vistas ortográficas Diedro é definido como o espaço entre dois semiplanos não contidos num mesmo plano com origem numa aresta comum, as figuras a seguir mostram a disposição dos diedros:

Figura 28 - Diedros

Para ilustrar uma projeção ortogonal no 1º diedro, segue a figura da projeção ortogonal de um dado poliedro.

108

Figura 29 - Projeções ortogonais no 1º diedro

Para aprofundar os conhecimentos a respeito deste assunto sugerimos os materiais indicados nos links a seguir: https://www.maxwell.vrac.puc-rio.br/27420/27420.PDF (acesso em 20/12/2018) http://www.simulacao.eesc.usp.br/dtm/curso1/aula_02.pdf (acesso em 20/12/2018) Na busca da aquisição da competência específica trazida pela BNCC, o professor deverá privilegiar a inserção de situações que favoreçam a construção e o desenvolvimento do raciocínio matemático.

109

Tabela 28 - Geometria

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Geome Saber calcular a tria. soma das medidas dos ângulos internos  Soma dos de um triângulo e esângulos tender tal cálculo internos. para polígonos de n lados

BNCC Competência Específica 5- Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando recursos e estratégias como observação de padrões, experimentações e tecnologias digitais, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas.

110

7.2.4 Ladrilhamento de planos Com base nos conceitos e habilidades desenvolvidas ao longo do Ensino Fundamental Anos Finais, podemos expandir esses conceitos com a utilização de ladrilhamento para deduzir as relações entre ângulos de um polígono, por meio da investigação e validação de conjecturas. Inicialmente, discute-se a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono e, em seguida, por meio de construções de mosaicos com polígonos, são exploradas algumas relações geométricas entre ângulos. Nessa atividade, também é exercitada a habilidade de observação e generalização de regularidades e padrões, bem como as expressões numéricas de modo contextualizado. Todos os tópicos acima apresentados podem ser encontrados no Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, nas respectivas Situações de Aprendizagem, conforme segue: Situação de Aprendizagem 7 – Polígonos e Ladrilhamento do Plano, Vol.1, 7º ano do Ensino Fundamental, pg. 66 a 72. Para o aprofundamento nos conceitos relativos a este assunto, sugerimos a leitura do artigo denominado “Ladrilhamentos” de Elvia Mureb Sallum, disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/wp-content/uploads/2015/10/monografia2.pdf (acesso em 21/12/2018).

111

7.2 Currículo Oficial / BNCC – 3ª Série do Ensino Médio – 1º Bimestre

Tabela 29 - Números

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Números  Compreender a utilidade do uso da linguagem das potências para o Potencirepresentar números ação muito grandes e muito  Propriepequenos. (8º ano) dades para ex Compreender o poentes significado e saber utiliinteiros. zar a notação científica na representação de núo Ordem meros muito grandes ou de granmuitos pequenos. (9º dezas. ano)  Notação científica

BNCC Competência Específica 1- Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, ou ainda questões econômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a consolidar uma formação científica geral.

7.3.1 Potências e ordens de grandezas Geralmente a habilidade descrita na Competência específica da BNCC, é desenvolvida durante os anos finais do Ensino Fundamental, cujo desenvolvimento teórico está inserido no estudo das potências, particularmente, no registro de números muito grandes ou pequenos em situações práticas. Vale a pena observar que, apesar da praticidade relacionada ao uso de potências para a representação de números muito grandes, quando temos a possibilidade de nos referir a um número dessa natureza por palavras, a compreensão do significado concreto da ordem de grandeza será favorecida. Por exemplo, dizer que o número de 112

habitantes estimado da Terra em 2017 foi de 7,53 ∙109 pessoas é muito menos esclarecedor do que falar em 7 bilhões e 530 milhões de pessoas (7.530.000.000). Desta forma, as atividades que estabelecem a correspondência entre o uso de potências e as palavras da nossa língua que as representam devem sempre ser incentivados. Para complementar o conteúdo acima, existem duas situações de aprendizagens, do Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, que desenvolvem toda esta contextualização, a saber: Situação de Aprendizagem 3: Do googol ao angstron, um caminho para as potências, Vol. 1, 8º ano, pg. 27 a 35. Situação de Aprendizagem 4: As potências e a memória do computador, Vol. 1, 8º ano, pg. 35 a 43. Para o aprofundamento os conteúdos acima estabelecidos, podemos citar o estudo da notação científica e o conceito de ordens de grandezas, sugerimos também a Situação de Aprendizagem 4: Potências, Notação Científica e Ordem de Grandeza, Vol. 1, 9º ano, pg. 50 a 58. Lembrando que ao final de cada situação de aprendizagem constam algumas considerações sobre a avaliação dos conhecimentos bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências e habilidades enunciadas.

113

7.3.2 Isometrias no plano cartesiano Mesmo que não exista uma habilidade específica no Currículo oficial, podemos destacar que existe uma Situação de Aprendizagem, na qual faz referência ao assunto de transformações geométricas, que poderá ser encontrado na Situação de Aprendizagem 2, Vol.2, 8º ano, pg. 24 a 43. No desenvolvimento teórico das aulas, se caso a Unidade Escolar dispor de uma sala com computadores, sugerimos a utilização de softwares de geometria dinâmica, que facilitará o trabalho do professor ao demonstrar as transformações geométricas no plano cartesiano. A título de ilustrar os conteúdos acima descritos, indicamos os links nos quais desenvolvem o assunto proposto, o primeiro apresenta uma aula sobre isometrias e simetrias, o segundo link, apresenta as isometrias utilizando um software de geometria dinâmica, conforme segue: http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-atividades-isometrias/

(Acesso

06/11/2018) http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=43137 (Acesso em 06/11/2018) Outro material que poderá subsidiar o professor nessas aulas seria a vídeo aula: Oferenda musical de Bach, contida na plataforma: Matemática Multimídia/Unicamp, cujo vídeo pode ser acessado pelo link: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1143 (Acesso em 06/11/2018), na página, está disponível uma ficha na qual apresenta todos os subsídios teóricos e metodológicos sobre a vídeo aula.

114

Tabela 30 - Álgebra

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Reconhecer e sa Conceito ber utilizar o conceito de razão. de razão em diversos contextos (proporcionalidade, escala, velocidade, porcentagem etc.), bem como na construção de gráficos de setores. (7º ano)

7.3.3 Revisitando o conceito de razão O conceito de razão não pode ser tratado de forma isolada, sem antes abordar os fundamentos relativos ao ensino da proporcionalidade e também de suas habilidades coligadas. Passaremos então a tratar diretamente do conceito de razão de forma mais ampla a partir de situações-problema que envolvam diferentes tipos de razão, como a porcentagem, a escala em mapas e desenhos, a velocidade ou rapidez, a densidade. Incluímos ainda a probabilidade como uma razão, que expressa a chance de ocorrência de um evento em determinado espaço amostral, como no lançamento de moedas, dados, entre outros. Um aspecto importante seria a consideração que a própria palavra “razão” assume no senso comum, ou seja, do entendimento que os alunos têm dessa palavra, para depois introduzir o conceito específico que ela assume na Matemática.

115

PorĂŠm, a razĂŁo pode nĂŁo estar diretamente ligada a uma situaĂ§ĂŁo de proporcionalidade. Ela pode simplesmente representar a relaĂ§ĂŁo entre duas grandezas em determinado momento ou circunstĂ˘ncia. Por exemplo, o nĂşmero de gols por partida de um jogador em um determinado campeonato ou a relaĂ§ĂŁo entre o nĂşmero de meninos e meninas em uma classe. Portanto, a razĂŁo ĂŠ uma forma de comparaĂ§ĂŁo entre os valores de duas grandezas de mesma natureza ou de naturezas diferentes. Por Ăşltimo cabe destacar que na Geometria a noĂ§ĂŁo de proporcionalidade e o conceito de razĂŁo ĂŠ o que mais se destacam, visto a utilizaĂ§ĂŁo da razĂŁo de proporcionalidade, nas ampliaĂ§Ăľes e reduĂ§Ăľes de figuras, na relaĂ§ĂŁo existente entre retas paralelas cortadas por transversais (Teorema de Tales), na determinaĂ§ĂŁo entre as partes de uma figura geomĂŠtrica, como a razĂŁo entre a diagonal e o lado do quadrado ou a razĂŁo entre o comprimento da circunferĂŞncia e seu diĂ˘metro (đ?&#x153;&#x2039;) uma das caracterĂsticas do campo numĂŠrico dos nĂşmeros irracionais. Todos os tĂłpicos acima apresentados, podem ser encontrados no Material de Apoio ao CurrĂculo Oficial do Estado de SĂŁo Paulo, nas respectivas SituaĂ§Ăľes de Aprendizagem, conforme segue: SituaĂ§ĂŁo de Aprendizagem 1: A noĂ§ĂŁo de proporcionalidade, Vol. 2, 7Âş ano do Ensino Fundamental, pg. 12 a 22. SituaĂ§ĂŁo de Aprendizagem 2: RazĂŁo e proporĂ§ĂŁo, Vol. 2, 7Âş ano do Ensino Fundamental, pg. 22 a 36. SituaĂ§ĂŁo de Aprendizagem 3: RazĂľes na Geometria, Vol. 3, 7Âş ano do Ensino Fundamental, pg. 36 a 49. Lembrando que ao final de cada situaĂ§ĂŁo de aprendizagem constam algumas consideraĂ§Ăľes sobre a avaliaĂ§ĂŁo dos conhecimentos bem como o conteĂşdo considerado indispensĂĄvel ao desenvolvimento das competĂŞncias e habilidades enunciadas. AlĂŠm das situaĂ§Ăľes de aprendizagens, apresentadas, sugerimos outros materiais com recursos audiovisuais, contidos na plataforma MatemĂĄtica MultimĂdia, a seguir: 116

✓ Gasolina adulterada, disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1314, acesso em 30/11/2018. ✓ Quantos peixes há no lago? Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1373, acesso em 30/11/2018. ✓ O método de Monte Carlo, Disponível em http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1371, acesso em 30/11/2018.

117

Tabela 31 - Probabilidade e Estatística

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Núme Saber construir e ros/Relainterpretar tabelas e ções. gráficos de frequências a partir de dados obtidos em pesquisas por  Estatística amostras estatísticas.  Gráficos

7.3.4 Revisitando a construção de tabelas e gráficos na estatística A construção de gráficos e tabelas insere-se no contexto que envolve a busca de conhecimento e o esclarecimento acerca de certa questão da realidade que se tem interesse em compreender. Dessa maneira, diante de uma questão proposta, seja no âmbito da sociedade ou da natureza, damos início a um trabalho de pesquisa mediante o levantamento de dado e registro das situações percebidas concretamente de forma sistemática, que podem ser de natureza qualitativa ou quantitativa. A construção de tabelas envolve um planejamento longo na qual devem estar previstas as condições da amostragem a ser realizada, suas variáveis, as categorias a serem inseridas e sua posterior contagem de dados e finalmente a organização destes para a correta confecção do gráfico. Para a construção dos gráficos é necessário verificar qual seria o gráfico ideal para a apresentação dos dados presentes na tabela, com o uso quase que corriqueiro, da facilidade das planilhas eletrônicas, a tarefa de construção de gráficos, ficou bem facilitada, porém a construção geométrica sem a utilização de recursos eletrônicos também é altamente positiva, ficando de acordo com as possibilidades da Unidade Escolar, ou da disponibilidade do aluno em utilizar tais recursos eletrônicos.

118

O tópico acima apresentado, pode ser encontrado no Material de Apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, na respectiva Situação de Aprendizagem, conforme segue: Situação de Aprendizagem 4 – A apresentação de dados estatísticos: Gráficos e tabelas, Vol. 2, 3ª série do Ensino Médio, pg. 51 a 63. Além da referência citada acima, o professor poderá recorrer a outros materiais que abordem o assunto tratado. Tabela 32 - Competência específica 5 - Álgebra

Currículo Oficial – SEE-SP Tema/ Habilidades Conteúdo  Relações. 

Tabelas e gráficos.

7.3.5 Utilização de tabelas para a representação de uma função polinomial de grau 1 Existem várias abordagens para a representação algébrica de uma função polinomial do 1º grau, uma delas remete a interpretação gráfica, na qual se verifica a razão de proporcionalidade (a) e o ponto em que a reta intercepta o eixo das ordenadas, incluindo o caso em que a reta passa pela origem, associando a expressão: f(x) = ax + b, como mostra a figura a seguir:

119

Figura 30 - Representação gráfica: Função do 1º grau

f(x) – b = const. = a = tgα = inclinação da reta x Porém existe uma abordagem, na qual realizamos um percurso que consiste em interpretar uma dada situação-problema. Transcrevemos os dados em uma tabela de dupla entrada e encontramos a representação algébrica que representa todos os dados contidos na tabela, conforme mostram as duas situações-problema, a seguir: A tabela a seguir mostra a relação entre o volume (V) em litros de gasolina e o preço (P) em Reais, a serem pagos no abastecimento de um automóvel.

Tabela 33 - Valor pago por volume de gasolina consumido

Relação entre valor pago por volume de gasolina consumido Valor Volume (V) 0 10 15 20 25 30 Preço (P) 0 45,00 67,50 90,00 112,50 135,00 A partir da relação existente entre os valores da tabela, podemos constatar que:  A grandeza V é diretamente proporcional a P, pois na medida em que o volume consumido aumenta o preço P, também aumenta. 

Os valores iniciais partem de zero, portanto trata-se de uma função afim.



A constante de proporcionalidade é 4,5. 120

 Quanto maior o valor do coeficiente de proporcionalidade, maior a inclinação da reta. A partir destas considerações, constata-se que a representação algébrica dos dados apresentados na tabela será: f(V)= 4,5V ou P = 4,5V. E sua representação gráfica será:

Figura 31 - Representação gráfica de f(V)

121

Um restaurante confeccionou a tabela a seguir que indica o valor a ser pago (D) por um cliente, de tal forma que a despesa é composta pelo consumo (C) mais 10% sobre esse valor, e ainda uma taxa fixa de 10,00 a título de couvert artístico. Tabela 34 - Valor das despesas de consumo em alimentação

Valor (R$) Consumo (C) 10,00 20,00 30,00 40,00 Serviço (S) 1,00 2,00 3,00 4,00 Taxa (T) 10,00 10,00 10,00 10,00 Despesa 21,00 32,00 43,00 54,00 A partir das informações da tabela, constata-se que a representação algébrica da função polinomial será dada por: f(C) = 1,1C+10 ou D = 1,1C + 10

Figura 32 - Representação gráfica de f(C)

122

9 Referências Bibliográficas BRASIL., Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular, Brasília, DF, 2017. ________,Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Base Nacional Comum Curricular. Brasília, DF , 2018. ________,Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: MEC/SEF, 1997 SÃO PAULO, Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas Tecnologias: SEE/SP, 2012 _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 6º ano, SEE/SP, 2014. _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 7º ano, SEE/SP, 2014 _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 8º ano, SEE/SP, 2014 _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Fundamental, 9º ano, SEE/SP, 2014 _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Médio, 1ª série, SEE/SP, 2014 _____________, Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Médio, 2ª série, SEE/SP, 2014 _____________,Secretaria da Educação. Material de Apoio ao Currículo do Estado de São Paulo, Matemática, Ensino Médio, 3ª série, SEE/SP, 2014

123

10 Créditos Coordenadoria de Gestão da Educação Básica Coordenador: Caetano Pansani Siqueira

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gestão da Educação Básica DEGEB Diretor: Herbert Gomes da Silva

Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Médio e Educação Profissional CEFAF Diretora: Ana Joaquina Simões Sallares de Mattos Carvalho

Equipe Curricular de Matemática – CEFAF Ilana Brawerman, João dos Santos Vitalino, Maria Adriana Pagan, Otávio Yoshio Yamanaka, Vanderley Aparecido Cornatione

Leitura crítica e revisão de conteúdo. Delizabeth Evanir Malavazzi, Edson dos Santos Pereira, Eliã Gimenez Costa, Erika Aparecida Navarro Rodrigues, Fernanda Machado Pinheiro, Inês Chiarelli Dias, Leandro Geronazzo, Lilian Ferolla de Abreu, Lilian Silva de Carvalho, Luciane Ramos Américo, Lúcio Mauro Carnaúba, Malcon Pulvirenti Marques, Marcelo Balduíno, Maria Dênes Tavares da Silva, Osvaldo Joaquim dos Santos, Rodrigo Soares de Sá, Simoni Renata e Silva Perez, Sueli Aparecida Gobbo Araújo, Willian Casari de Souza

Revisão do material Idê Moraes dos Santos

124