Μάθημα :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ημερομηνία :
19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015
ΥΠΟΤΡΟΦΙΕΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2015-2016 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Κάποιες ασκήσεις επιλύονται και με άλλο τρόπο. Κάθε σωστή λύση είναι αποδεκτή.
ΘΕΜΑ 1 α) Λ Είναι 291 άτομα όλα μαζί και μπορούν να παραταχθούν σε τριάδες ακριβώς αφού ο αριθμός 291 διαιρείται με το 3. ∆ιότι ξέρουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 β) Λ Το κλάσμα
είναι ίσο με το 1 δηλαδή είναι ίσο με το 100%
γ) Σ Ξέρουμε ότι ο αριθμός έχει παράγοντα το 22 και ότι ο αριθμός 22 έχει παράγοντα το 11 (διότι 22
2 ∙ 11 . Άρα και ο αρχικός αριθμός έχει παράγοντα το 11
δ) Σ 4
4∙4
16
2
2∙2∙2∙2
16
ε) Λ Για
παράδειγμα:
Ένα
τετράγωνο
με
πλευρά
2
έχει
εμβαδόν 2
4. Αν
διπλασιάσουμε την πλευρά του τετραγώνου (θα γίνει 4) το αντίστοιχο εμβαδόν θα είναι 4
16 δηλαδή θα τετραπλασιαστεί, άρα τα δύο ποσά δεν είναι ανάλογα.
1
ΘΕΜΑ 2
3∙ 4
4∙2
3∙ 4
8
3∙1
3∙4
3
12
11
22: 2
2∙3
6
3 ∙ 2
3 ∙ 2
3
3
8
1
2015 2015
23
5∙
1 2
3 5 ∙ 5 6
1 :2 3
5 2
1 1 ∙ 3 2
5 2
1 6
5 2
5 1 : 6 3
5 2
5 3 ∙ 6 1
5 2
15 6
5 2
5 2
15 30
1 4 : 6 3
1 4 : 6 3
3 3
8
8
7
3 6
1 1 : 6 3
10 2 5 ΘΕΜΑ 3 α) Σωστή απάντηση το Β Εφόσον η ταμίας είπε ότι συμπληρώθηκαν και οι 190 θέσεις, εννοεί ότι το θέατρο γέμισε. Άρα οι θέσεις που έχει το θέατρο συνολικά είναι ακριβώς 190 β) Σωστή απάντηση το Γ Αν η ταμίας έλεγε ότι «με εσάς συμπληρώθηκαν 190 θέσεις», θα γνωρίζαμε σίγουρα ότι το θέατρο έχει 190 θέσεις χωρίς να μπορούμε να ξέρουμε εάν έχει παραπάνω θέσεις ή όχι. Άρα το θέατρο θα είχε τουλάχιστον 190 θέσεις. ΘΕΜΑ 4 Τα πέντε τετράγωνα (όλο το σχήμα) έχουν εμβαδόν 245 τ.εκ. Το ένα τετράγωνο έχει εμβαδόν 245: 5
49 .
.
Η πλευρά του κάθε τετραγώνου είναι 7εκ. διότι 7 Η περίμετρος του σχήματος είναι 12 ∙ 7
84
2
.
49
1
ΘΕΜΑ 5 Ξέρουμε ότι ο ένας από τους αριθμούς που έχει η Ελένη στο μυαλό της είναι το 12. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δυο αριθμών είναι ο αριθμός 36, άρα ο αριθμός που ψάχνουμε είναι διαιρέτης του 36, άρα είναι κάποιος από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4 ,6, 9, 12, 18
36
Επιπλέον ο ΜΚ∆ των δύο αριθμών είναι το 6, άρα ο αριθμός που ψάχνουμε είναι πολλαπλάσιο του 6 άρα είναι κάποιος από τους αριθμούς 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, … Οι κοινοί αριθμοί στις δύο περιπτώσεις είναι οι αριθμοί 6,12, 18
36
Ο αριθμός 6 απορρίπτεται γιατί ΕΚΠ(6,12)=12 και όχι 36 Ο αριθμός 12 απορρίπτεται γιατί ΕΚΠ(12,12)=12 και όχι 36 Ο αριθμός 36 απορρίπτεται γιατί ΜΚ∆(36,12)=12 και όχι 6 Άρα ο αριθμός που έχει στο μυαλό της η Ελένη είναι ο αριθμός 18, πράγματι ΕΚΠ(18,12)=36 και ΜΚ∆(18,12)=6. ΘΕΜΑ 6 Θα χρησιμοποιήσουμε ένα προϊόν με αρχική τιμή 100 ευρώ Κατάστημα Α αρχική τιμή:
100 ευρώ
ποσό έκπτωσης 10%:
∙
∙ 100
τιμή μετά την πρώτη έκπτωση (έκπτωση 10%):
100
ποσό δεύτερης έκπτωσης 5%: τελική τιμή προϊόντος:
90
90 ευρώ
10
∙ 90
10 ευρώ
∙
4,5 ευρώ
4,5
ευρώ
,
Κατάστημα Β αρχική τιμή:
100 ευρώ
ποσό έκπτωσης 15%:
∙
∙ 100
τελική τιμή μετά την έκπτωση:
100
15 ευρώ ευρώ
15
Κατάστημα Γ αρχική τιμή:
100 ευρώ
ποσό έκπτωσης 30%: τιμή μετά την έκπτωση:
100
ποσό αύξησης 15%:
30
∙ 70
τελική τιμή προϊόντος:
70
10,5
Τις μικρότερες τελικές τιμές θα έχει το κατάστημα Γ
3
∙
∙ 100
30 ευρώ
70 ευρώ ∙
10,5 ευρώ ,
ευρώ
ΘΕΜΑ 7 Αρχικά θα βρούμε σε πόσα κιλά τυρί αντιστοιχούν τα 630 λίτρα γάλα. Λίτρα γάλα
28
630
Κιλά τυρί
12
x
Τα ποσά λίτρα γάλα - κιλά τυρί είναι ανάλογα. 28 ∙ x
12 ∙ 630
28 ∙ x x
7560
7560: 28 x
270
Τα 630 λίτρα γάλα αντιστοιχούν σε 270 κιλά τυρί. Στη συνέχεια θα βρούμε σε πόσα κιλά αλατισμένο τυρί αντιστοιχούν τα 270 κιλά τυρί. Τα 25 κιλά τυρί, όταν αλατιστούν χάνουν 5 κιλά, άρα τα 25 κιλά τυρί γίνονται 25
5
20 κιλά αλατισμένο τυρί. Έχουμε λοιπόν
Κιλά τυρί
25
270
Κιλά αλατισμένο τυρί
20
y
Τα ποσά κιλά τυρί – κιλά αλατισμένο τυρί είναι ανάλογα. 25 ∙
20 ∙ 270
25 ∙ y y
5400
5400: 25 y
216
Τα 270 κιλά τυρί αντιστοιχούν σε 216 κιλά αλατισμένο τυρί. Ένα τυροκομείο με 630 λίτρα γάλα βγάλει 216 κιλά αλατισμένο τυρί.
4
ΘΕΜΑ 8 α) 3∙2
3
3∙4
9 ∙
12
14 3
∙
14 3
1:
1∙
3 7 4 ∙ : 5 3 3
5 7 3 ∙ ∙ 3 3 4
21 14 5 ∙ 12 3 3 3 6 ∙1 4 4
9 ∙
3 4 3 4
3 4
3 1 2 ∙ ∙ ∙3 2 2 3 3 1 2 3 ∙ ∙ ∙ 2 2 3 1
3 6 ∙ 2 6
9 7 ∙ 3 4 16 3∙ ∙1 4
3∙ 3∙ 3∙
3∙4∙1
3∙
12 12: 3 4
Άρα
4
β) Το Μ είναι μέσο του ∆Γ άρα
2∙4
8
διότι
ώ
4 16 . . διότι
8 64 . .
ί
16
64
80 . .
5
ώ
γ) Τα ποσά εργάτες και ώρες είναι αντιστρόφως ανάλογα, άρα έχουμε: εργάτες
ώρες
6
5
x
2 6∙5 30
2∙ 2∙ 30: 2 15
Άρα για να ολοκληρωθεί η πλακόστρωση της πλατείας σε 2 ώρες πρέπει να εργασθούν 15 εργάτες της ίδιας δυναμικότητας δ) Για τον καθαρισμό του κομματιού ΜΓΖΕ της πλατείας χρειάζεται 1 καθαριστής να εργαστεί για 1 ώρα. ΑΡΑ σε μια ώρα ο 1 καθαριστής καθαρίζει 16 τ.μ. Τα ποσά καθαριστές και εμβαδόν είναι ανάλογα, άρα έχουμε: καθαριστές
εμβαδόν
1
16
y
64 16 ∙
1 ∙ 64
16 ∙
64 64: 16 4
Για να καθαρίσουν το κομμάτι ΑΒΓ∆ της πλατείας σε μία ώρα πρέπει να εργασθούν 4 καθαριστές ίδιας δυναμικότητας.
6