Nuovi Tr@guardi discipline - Matematica Attiva by ELI Publishing

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ESERCIZI DIGITALI

La Mia

a c i t a Matem Attiva 4 5 NUMERI SPAZIO E FIGURE MISURE Didattica Digitale Integrata

RELAZIONI, DATI E PREVISIONI PROBLEMI

LIBRO DIGITALE

IL GIOCO DELLO SVILUPPO SOSTENIBILE

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La Mia

a c i t a m Mate Attiva 4 5 La statistica esplora le relazioni tra fatti, raccoglie, confronta ed elabora i dati per le indagini.

L’aritmetica studia i numeri.

MATEMATICA

La geometria studia le figure sul piano e nello spazio.

La misura confronta le grandezze.

INDICE 3 NUMERI 4 Le cifre e i numeri 5 Il valore posizionale delle cifre 6 Tabella dei numeri naturali 7 Numeri a confronto 8 Le operazioni 9 L’addizione 10 L’addizione in colonna 11 Le proprietà dell’addizione 12 La sottrazione 13 La sottrazione in colonna 14 La sottrazione con più cambi 15 La proprietà della sottrazione 16 Addizione e sottrazione: operazioni inverse 16 La prova 17 La moltiplicazione 18 Le tabelline 19 La moltiplicazione in colonna 21 Le proprietà della moltiplicazione 23 La divisione 24 La divisione in colonna 28 Le divisioni più complesse 29 La proprietà della divisione 30 Moltiplicazione e divisione: operazioni inverse 30 La prova 31 Le moltiplicazioni per 10, 100, 1000 con i numeri interi 32 Le divisioni per 10, 100, 1000 con i numeri interi 33 Il ruolo dello zero e dell’uno nelle quattro operazioni 34 Multipli e divisori 35 Criteri di divisibilità 36 Numeri primi e numeri composti 37 Scomporre un numero in fattori primi 38 Le potenze 39 Le potenze di 10 39 Le potenze: casi particolari 40 Le espressioni aritmetiche 41 I numeri relativi 42 Le frazioni 43 Frazioni proprie, improprie, apparenti 44 La frazione complementare 45 Frazioni: casi particolari 46 Trasformare le frazioni apparenti e improprie 47 Le frazioni equivalenti 48 Confronto tra frazioni 50 La frazione di un numero 50 Dalla frazione all’intero

51 Frazioni e numeri decimali 52 I numeri decimali 53 Frazioni decimali e numeri decimali 54 Trasformare frazioni non decimali in numeri decimali 55 Confronto tra numeri decimali 56 Addizioni e sottrazioni con i numeri decimali 57 Le moltiplicazioni per 10, 100, 1000 con i numeri decimali 58 Le divisioni per 10, 100, 1000 con i numeri decimali 59 Moltiplicazioni con i numeri decimali 60 Divisioni con i numeri decimali 63 La percentuale 64 Calcolare il valore percentuale di un numero 65 Trasformare una frazione in una percentuale 66 Rappresentare le percentuali 67 Lo sconto e l’aumento 68 L’arrotondamento di un numero 69 Mappa riassuntiva 70 Mappa riassuntiva 71 SPAZIO E FIGURE 72 Linee • Figure piane • Solidi 73 Le linee 74 Retta • Semiretta • Segmento 75 La posizione reciproca delle rette 76 Il piano cartesiano 77 Le isometrie 78 La simmetria 79 La rotazione 80 La traslazione 81 Gli angoli 81 Misurare gli angoli 82 Tipi di angolo 83 I poligoni 84 Le caratteristiche dei poligoni 85 Il perimetro 86 L’area 87 I triangoli 88 La classificazione dei triangoli 89 Perimetro e area dei triangoli 90 I quadrilateri 91 Il quadrato 92 Il rettangolo 93 Il rombo 94 Il parallelogramma (romboide) 95 Il trapezio 96 Perimetro e area del trapezio 97 I poligoni regolari 98 Perimetro e area dei poligoni regolari

99 La circonferenza 100 Il cerchio 101 Misurare la circonferenza 102 L’area del cerchio 103 Perimetro e area delle figure piane 104 I solidi 105 Gli elementi dei solidi 106 Lo sviluppo e l’area dei solidi 107 Il volume dei solidi 108 I poliedri 109 I prismi 110 Il parallelepipedo 111 Il cubo 112 Le piramidi 113 Il cilindro 114 Mappa riassuntiva 115 116 117 118 119 120 121 123 124 125 126 127 128 129

MISURE

Le misure di lunghezza Le misure di peso o massa Peso lordo, peso netto, tara Le misure di capacità Le equivalenze Eseguire le equivalenze Le misure di superficie Il volume Le misure di tempo Il tempo, la velocità, lo spazio Costo unitario e costo totale La compravendita Mappa riassuntiva

130 RELAZIONI,

DATI E PREVISIONI

131 Classificare 132 Classificazioni: il diagramma di Venn 133 Il diagramma di Carroll 133 Il diagramma ad albero 134 La probabilità 135 Il calcolo delle probabilità 136 Gli indici statistici: la frequenza, la moda e l’intervallo di variazione 137 Gli indici statistici: la media e la mediana 138 I grafici 140 Mappa riassuntiva 141 PROBLEMI 142 Gli elementi del problema 143 Il procedimento risolutivo 144 Le tappe per risolvere un problema

NUMERI

N umeri

L’aritmetica è il ramo della matematica che studia i numeri, le loro proprietà, le loro relazioni, le operazioni possibili con essi. razionali interi naturali

I numeri naturali sono quelli usati per contare: 0, 1, 2, 3, 4… Si definiscono così perché si imparano fin da piccoli, con un apprendimento “naturale”. Sono i numeri interi e positivi. I numeri interi (o numeri interi relativi) sono i numeri interi sia negativi sia positivi. | ESEMPIO … – 1 – 2 0 + 1 (1) + 2 (2)…

I numeri razionali sono numeri che si possono esprimere con una frazione. Appartengono a questo gruppo: • i numeri naturali | ESEMPIO (0 1 2…) • i numeri relativi | ESEMPIO (–1 0 +1…) • i numeri decimali finiti o periodici; – | ESEMPIO (1,23 3,45…) • le frazioni. 3 | ESEMPIO –– 4

12 ––– … 100

N umeri

Le cifre e i numeri Le cifre sono simboli usati per rappresentare i numeri. Le cifre sono: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Con queste cifre si possono formare infiniti numeri.

I numeri si scrivono utilizzando una o più cifre. | ESEMPIO 3 23 334

1 290

23 567 …

Il nostro sistema di numerazione è in base 10, perché le quantità si raggruppano sempre per 10. Il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che ha all’interno del numero. | ESEMPIO 111

100 10 1

N umeri

Il valore posizionale delle cifre Il nostro sistema di numerazione è: decimale, poiché le quantità vengono raggruppate per gruppi da 10.

• 10 unità formano 1 decina • 10 decine formano 1 centinaio • 10 centinaia formano 1 migliaio • 10 unità di migliaia formano 1 decina di migliaia •… posizionale, poiché le cifre hanno un valore differente in base al posto che occupano all’interno del numero. 2 c la cifra 2 vale 2 unità 20 c la cifra 2 vale 2 decine, cioè 20 unità 200 c la cifra 2 vale 2 centinaia, cioè 200 unità u da

10 u = 1 da

10 da = 1 h

In un numero la cifra zero ha la funzione di segnaposto. Indica la mancanza di quantità in una posizione (unità, decine, centinaia…). | ESEMPIO

10 h = 1 k

h da u 302

Lo 0 indica che non ci sono decine.

N umeri

Tabella dei numeri naturali

I numeri naturali sono tutti i numeri interi che si possono ottenere partendo da 0 e aggiungendo 1 (0, 1, 2, … 11, … 1 567…). Sono infiniti, perché è sempre possibile aggiungere 1 al numero pensato. Sono raggruppati in classi (delle unità semplici, delle migliaia, dei milioni…), ognuna delle quali è divisa in tre ordini (centinaia, decine, unità). classe dei miliardi (G) hG

daG

classe dei milioni (M) hM

daM

classe delle migliaia (k) hk

dak

classe delle unità semplici

Per leggere un numero naturale occorre: 1) visualizzare i periodi che lo compongono. Ogni periodo è formato da un gruppo di tre cifre. I periodi devono essere divisi da un piccolo spazio. | ESEMPIO 18462794 g 18 462 794

2) Leggere i gruppi. | ESEMPIO

18|462 794

18|462|794

18|462|794|



 mila

milioni

3) Infine leggere il numero. | ESEMPIO

18 462 794



18 milioni 462 mila 794 (nella lettura del numero, “unità semplici” non si legge).



unità semplici

Numeri a confronto

N umeri

Due quantità messe a confronto possono essere: • uguali; • diverse; • una maggiore dell’altra; • una minore dell’altra. Parola

Simbolo

Esempio

uguale

1 h = 10 da 1 centinaio è uguale a 10 decine

diverso

≠

15 ≠ 16

15 è diverso da 16

maggiore

8 > 3

8 è maggiore di 3

minore

3 < 8

3 è minore di 8

I simboli > (maggiore) e < (minore) hanno sempre la punta rivolta verso il numero minore.

Ordine crescente e decrescente L’ordine crescente indica i numeri ordinati dal minore al maggiore. | ESEMPIO 1 • 5 • 10 • 12

L’ordine decrescente indica i numeri ordinati dal maggiore al minore. | ESEMPIO 50 • 34 • 16 • 8

N umeri

Le operazioni Le operazioni sono procedure che partono da due o più numeri e ne ottengono un altro.

Le operazioni aritmetiche sono 4. Operazione

ADDIZIONE

SOTTRAZIONE

MOLTIPLICAZIONE

DIVISIONE

Segno

+ (si legge “più”)

– (si legge “meno”)

x (si legge “per”)

: (si legge “diviso”)

Significato

Che cosa si ottiene

L’addizione è l’operazione che aggiunge, mette insieme, unisce, aumenta.

Nelle addizioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o maggiore a ogni addendo.

La sottrazione è l’operazione che toglie o calcola una differenza.

Nelle sottrazioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o minore al minuendo.

La moltiplicazione è l’operazione che ripete la stessa quantità più volte o calcola le combinazioni possibili tra due gruppi di elementi.

Nelle moltiplicazioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o maggiore a ogni fattore. Solo la moltiplicazione per 0 fa eccezione: il risultato è uguale a 0.

La divisione è l’operazione che distribuisce una quantità in parti uguali o calcola quante volte una quantità è contenuta in un’altra.

Nelle divisioni con i numeri naturali si ottiene un risultato uguale o minore al dividendo. Fanno eccezione le divisioni in cui: • il dividendo è zero (il risultato è 0); • il divisore è zero (l’operazione è impossibile).

L’addizione

N umeri

L’addizione è l’operazione che si fa quando: • si aggiunge una quantità a un’altra quantità; • si uniscono o si mettono insieme più gruppi di elementi. I termini dell’addizione 24 + 15 + 10 = 49 24 + 15 + 10 = 49

addendi

somma

L’addizione è un’operazione sempre possibile. Lo 0 è l’elemento neutro dell’addizione, perché non modifica la somma, cioè non cambia il risultato dell’operazione. | ESEMPIO 5+2=7

5+2+0=7

L’addizione si può eseguire solo tra elementi dello stesso tipo. 3 mele + 4 mele = 7 mele L’addizione si può fare. 3 mele + 4 tavoli = 7 (che cosa?) Non sono né 7 mele né 7 tavoli. L’addizione NON si può fare!

N umeri

L’addizione in colonna

ADDIZIONE SENZA CAMBIO

1) Si incolonnano le cifre degli addendi rispettando il valore posizionale. 2) Si sommano prima le unità e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità. 3) Si sommano le decine e si registra il risultato in fondo alla colonna delle decine e così via.

1 381 + 2 405 = k

ADDIZIONE CON IL CAMBIO Quando, in un’addizione, il risultato della somma di unità o decine o centinaia è maggiore di 9, occorre operare un cambio all’ordine successivo. 1) Si incolonnano le cifre degli addendi rispettando il valore posizionale. 2) Si sommano prima le unità e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità. 3) Se il risultato è maggiore di 10, si scompone in unità e decine e si trasporta la/le decina/e nella colonna delle decine. 4) Si continuano a sommare le cifre delle altre colonne, tenendo conto degli altri eventuali cambi.

157 + 325 = h

12 è maggiore di 9: la decina (1) va nella colonna dell’ordine delle decine mentre le unità (2) rimangono nella colonna delle unità.

N umeri

Le proprietà dell’addizione Proprietà commutativa Cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia. | ESEMPIO

2 + 18 = 20 18 + 2 = 20

Proprietà associativa Sostituendo a due o più addendi la loro somma, il risultato non cambia. | ESEMPIO

99 + 1 + 16 = 116 100 + 16 = 116

Proprietà dissociativa Sostituendo a un addendo due o più addendi la cui somma sia il numero sostituito, il risultato non cambia. | ESEMPIO

1 004 + 16 = 1 020 1 000 + 4 + 16 = 1 020

Le proprietà delle diverse operazioni si utilizzano per eseguire più velocemente e facilmente i calcoli.

N umeri

La sottrazione

La sottrazione è l’operazione che si fa quando: • si toglie una quantità da un’altra quantità; • si confrontano due gruppi di elementi e si trova la differenza. I termini della sottrazione 29 – 13 = 16 29 – 13 = 16

minuendo sottraendo resto o differenza

La sottrazione tra numeri naturali si può eseguire solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. | ESEMPIO 14 – 6 = 8

14 – 14 = 0

il risultato della sottrazione 14 – 16 non è un numero naturale Lo 0 è l’elemento neutro della sottrazione, perché sottraendo 0 a un qualsiasi numero si ottiene sempre il numero dato. | ESEMPIO 18 – 0 = 18

La sottrazione si può eseguire solo tra elementi dello stesso tipo. 10 caramelle – 6 caramelle = 4 caramelle La sottrazione si può fare. 10 caramelle – 6 cioccolatini = 4 (che cosa?) Non sono né 4 caramelle né 4 cioccolatini. La sottrazione NON si può fare.

N umeri

La sottrazione in colonna

SOTTRAZIONE SENZA CAMBIO 1) Si incolonnano le cifre rispettando il valore posizionale.

3 762 – 1 241 =

2) Si sottraggono le unità del sottraendo da quelle del minuendo. 3) Si sottraggono le decine, poi le centinaia e così via.

–

SOTTRAZIONE CON IL CAMBIO Quando, in una sottrazione, la cifra del sottraendo è maggiore della rispettiva cifra del minuendo, occorre operare un cambio dall’ordine precedente. 1) Si incolonnano le cifre rispettando il valore posizionale. 2) Si esegue la sottrazione partendo dalle unità. 3) Se il sottraendo è maggiore del minuendo, si “trasporta” un gruppo dell’ordine precedente e lo si trasforma. Si esegue la nuova sottrazione parziale. 4) Si continuano a sottrarre le cifre delle altre colonne, operando altri eventuali cambi.

553 – 128 = h

u 1

– =

3 – 8 NON si può fare: occorrerà prendere una decina e trasformarla in unità da aggiungere a quelle che già ci sono. Diventa 13 – 8 = 5

N umeri

La sottrazione con più cambi

| ESEMPIO • 7 – 8 NON si può fare. Si prende una decina da 1 (colonne delle decine). • Le decine rimaste sono 0. • Si sottraggono le centinaia. 3 – 6 NON si può fare. Si prende un migliaio da 4 (colonne delle migliaia). • Le migliaia rimaste sono 3. | ESEMPIO • 1 – 4 NON si può fare. Si prende una decina da 5 (colonne delle decine). • Le decine sono rimaste 4. 4 – 9 NON si può fare. Si prende un centinaio da 9 (colonne delle centinaia). • Le centinaia rimaste sono 8. • Le migliaia sono 4.

17 – 8 = 9 0–0=0 13 – 6 = 7

6 3

–

1 4

–

3–0=3

11 – 4 = 7

14 – 9 = 5 4 8–6=2 4–0=4

LA CIFRA DELL’ORDINE PRECEDENTE È ZERO | ESEMPIO • 2 – 3 NON si può fare. Non si può prendere una decina perché non ce ne sono. Allora un centinaio viene 12 – 3 = 9 trasformato in 10 decine. 9 decine rimangono nella colonna delle decine e una va nella colonna delle unità che diventano 12. • Poi si prosegue la sottrazione “normalmente”. 9–5=4 • Le decine adesso sono 9. 5–3=2 • Le centinaia adesso sono 5. 4–2=2 • Le migliaia sono 4.

u 2

–

N umeri

La proprietà della sottrazione Proprietà invariantiva Sommando o sottraendo lo stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, il risultato della sottrazione non cambia. | ESEMPIO 4 678 − 999 = 3 679

4 679 − 1 000 = 3 679 | ESEMPIO 5 885 − 103 = 5 782

−3

5 882 − 100 = 5 782

La proprietà invariantiva permette di trasformare il sottraendo in un numero più facile da sottrarre.

N umeri

Addizione e sottrazione: operazioni inverse L’addizione è l’operazione inversa alla sottrazione. La sottrazione è l’operazione inversa all’addizione.

| ESEMPIO –3 17 +3

17 – 3 = 14 14 + 3 = 17

Se a 17 si toglie 3, si ottiene 14. Se a 14 si aggiunge la quantità tolta prima (3), si ritorna ad avere il numero di partenza (17).

La prova Per fare la prova della sottrazione si esegue la sua operazione inversa: l’addizione. Sottrazione 38 – minuendo 17 = sottraendo 21

Prova 21 + 17 =

ella prova, al risultato della sottrazione N si aggiunge il sottraendo. Se il risultato dell’addizione della prova è uguale al minuendo, la sottrazione è giusta.

38 Per fare la prova dell’addizione si usa la proprietà commutativa.

Addizione Prova 25 + 46 + 46 + 5+ 5 = 25 = 76 76

ella prova si cambia l’ordine N degli addendi. Se il risultato della prova è uguale a quello dell’addizione, l’addizione è giusta.

La moltiplicazione

N umeri

La moltiplicazione è l’operazione che si fa quando: • si ripete la stessa quantità più volte; • si calcolano le combinazioni possibili tra due gruppi di elementi.

I termini della moltiplicazione 13 × 12 = 156 13 × moltiplicando (1° fattore) moltiplicatore (2° fattore) 12 = prodotti parziali 26 130 zero segnaposto prodotto finale 156

La moltiplicazione è una forma abbreviata di una addizione con tutti gli addendi uguali. La moltiplicazione è un’operazione sempre possibile.

Nella moltiplicazione lo 0 è l’elemento assorbente; infatti, moltiplicando qualsiasi numero per 0, si ottiene come prodotto 0. | ESEMPIO 15 × 0 = 0

Nella moltiplicazione l’ 1 è l’elemento neutro. Moltiplicando qualsiasi numero per 1, si ottiene come prodotto il numero stesso. | ESEMPIO 15 × 1 = 15

N umeri

Le tabelline

= 24 = 27

× 10 =

× 10 = 20

× 10 = 30

= 20 = 24

= 20 = 25

= 36 × 10 = 40

× 10 = 50

6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

= = = = = = = = = = =

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10

× 0 × 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10

= = = = = = = = = = =

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

= 28 = 32

= = = = = = = = = = =

0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80

= 30 = 35 = 40 = 45

= = = = = = = = = = =

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90

= = = = = = = = = = =

0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70

N umeri

La moltiplicazione in colonna

MOLTIPLICATORE A UNA CIFRA, SENZA CAMBIO 1) Si incolonnano le cifre del moltiplicando e del moltiplicatore.

23 × 3 = h

2) Si moltiplica il moltiplicando per le unità del moltiplicatore e si registra il risultato in fondo alla colonna delle unità.

3) Si procede nello stesso modo per le decine, le centinaia e così via.

MOLTIPLICATORE A UNA CIFRA, CON IL CAMBIO Quando, in una moltiplicazione, il risultato di un ordine (unità, decine, centinaia…) è maggiore di 9, occorre operare un cambio all’ordine successivo. I n una moltiplicazione ci possono essere più cambi.

125 × 3 = h

2+1

Attenzione! La decina riportata andrà solo sommata e non moltiplicata.

N umeri

MOLTIPLICATORE A PIÙ CIFRE

34 × 25 =

1) Si incolonnano le cifre del moltiplicando e del moltiplicatore. 2) Si moltiplicano le unità del moltiplicando per il moltiplicatore e si scrive il primo prodotto parziale. 3) Nella colonna delle unità si scrive lo zero segnaposto. 4) Si moltiplicano le decine del moltiplicando per il moltiplicatore e si scrive il secondo prodotto parziale.

–

2° prodotto parziale

prodotto

zero segnaposto 26 × 245 = k

5) Si sommano i prodotti parziali e si scrive il prodotto.

1° prodotto parziale

Se il secondo fattore è di 3, 4 o più cifre, si mettono più zeri segnaposto prima di eseguire le moltiplicazioni successive.

prodotti parziali

prodotto

zeri segnaposto Ogni zero segnaposto può essere sostituito da un trattino.

Le proprietà della moltiplicazione

N umeri

Proprietà commutativa Cambiando l’ordine dei fattori il risultato non cambia. | ESEMPIO 8 × 9 = 72

9 × 8 = 72

Proprietà associativa Sostituendo a due o più fattori il loro prodotto, il risultato non cambia. | ESEMPIO 2 × 4 × 8 = 64

8 × 8 = 64

Proprietà dissociativa Sostituendo a un fattore due o più fattori il cui prodotto sia il numero sostituito, il risultato non cambia. | ESEMPIO 5 × 14 = 70

5 × 7 × 2 = 70

N umeri Proprietà distributiva Per moltiplicare un’addizione (o una sottrazione) per un numero: 1) si moltiplica per quel numero ogni termine dell’addizione (o della sottrazione); 2) poi si sommano (o si sottraggono) i risultati parziali. | ESEMPIO

(8 + 7) × 9 (8 × 9) + (7 × 9) = 72 + 63 = 135 | ESEMPIO

(70 – 4) × 5 (70 × 5) – (4 × 5)= 350 – 20 = 330

La proprietà distributiva può essere applicata anche scomponendo un fattore in una addizione o in una sottrazione. | ESEMPIO 25 × 13

25 × (10 + 3) (25 × 10) + (25 × 3) = 250 + 75 = 325 | ESEMPIO 16 × 99

16 × (100 – 1) (16 × 100) – (16 × 1) = 1600 – 16 = 1 584

N umeri

La divisione La divisione è l’operazione che si fa quando: • si distribuisce una quantità in parti uguali; • si raggruppa la quantità in parti ugualmente numerose.

I termini della divisione 73 : 9 = 8 resto 1 divisore dividendo

73 : 9 = 8 1

quoziente

resto

Nella divisione l’1 è l’elemento neutro; infatti, dividendo qualsiasi numero per 1, si ottiene come quoziente il numero stesso. 15 : 1 = 15 È impossibile dividere un numero per 0.

15 : 0 = impossibile

Se il dividendo è 0, il quoziente sarà sempre 0.

0:8=0

La divisione può essere scritta in modi differenti: 43: 5 = 8 resto 3 43 3

5 8

43 : 5 = 8 3

N umeri

La divisione in colonna

DIVISORE A UNA CIFRA, SENZA RESTO 9 6 3 0 6 32 0

• Si prende in considerazione la prima cifra del dividendo e si divide per il divisore. Si mette un “cappellino” sulla cifra considerata per visualizzarla meglio. 9 : 3 = 3

Si scrive la cifra 3 al quoziente.

• Si trova il primo resto parziale. 3 × 3 = 9 Non c’è resto e scrivo 0 sotto il 9. • Si prende in considerazione la cifra successiva (il 6) e si “abbassa” vicino al resto precedente. Si esegue la divisione 6 : 3 = 2. • Si trova il resto. 3 × 2 = 6. Non c’è resto e scrivo 0 sotto il 6.

DIVISORE A UNA CIFRA, CON IL RESTO ALLE UNITÀ 8 9 4 0 9 22 1

PRENDENDO IN CONSIDERAZIONE LE PRIME DUE CIFRE DEL DIVIDENDO 10 5 5 0 5 21 0 • Si prendono in considerazione due cifre, perché la prima cifra (1) è inferiore a quella del divisore (5).

N umeri DIVISORE A UNA CIFRA, CON IL RESTO ALLE DECINE 8 4 6 2 4 14 0 • Il 6 non è contenuto un numero esatto di volte nell’8. 8 : 6 = 1 resto 2. • Il resto (2) va segnato in colonna sotto la cifra 8. • Si abbassa la cifra delle unità (4) e si ottiene 24, che sarà il successivo numero da dividere.

Queste regole devono essere applicate anche nelle divisioni con il dividendo di 3, 4, 5… cifre. 15 4 8 7 1 4

221

08 1 • Si mette il “cappellino” su 15 perché 1 è minore di 7. • 15 : 7 = 2 resto di 1. • La cifra 1 va scritta sotto il 5. Si abbassa la cifra 4. • Si ottiene il numero 14. 14 : 7 = 2 resto 0. • Si abbassa la cifra 8. 8 : 7 = 1 resto di 1. • Il quoziente è 221, resto 1.

N umeri

DIVISORE A DUE O PIÙ CIFRE 1° caso: prendere in considerazione due cifre 88 43 86 2

• Si prendono in considerazione due cifre del dividendo e si mette il “cappellino” su 88 (numero maggiore di 43). • Si dividono le decine del dividendo per quelle del divisore. 8:4=2

• Successivamente si dividono le unità del dividendo per quelle del divisore, domandandosi: il 3 nell’8 ci sta almeno 2 volte? La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (2) al quoziente. • Per trovare il resto si moltiplica il numero scritto al quoziente per il divisore (2 × 43 = 86), si scrive il risultato sotto il numero preso in considerazione e si esegue la sottrazione (88 – 86 = 2). (È possibile non scrivere il risultato della moltiplicazione ed eseguire in colonna la sottrazione. Le due operazioni possono essere eseguite a mente e si dovrà scrivere solo la differenza.) • Il risultato della divisione è 2 con il resto di 2. 2° caso: prendere in considerazione tre cifre 187 62 186 3 1

• Si prendono in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (18) formano un numero inferiore al divisore (63). • Si procede allo stesso modo del primo caso eseguendo la divisione 18 : 6 = 3. • Ci si domanda: il 2 è contenuto almeno 3 volte nel 7? La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (3) al quoziente. • Per trovare il resto si procede come nel caso precedente. • Il risultato della divisione è 3 con il resto di 1.

N umeri 3° caso: all’interno della divisione c’è un resto alle decine 568 63 567 9 1

• Si prendono in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (56) formano un numero inferiore al divisore (63). • Si procede allo stesso modo dei primi due casi, eseguendo la divisione. 56 : 6 = 9, resto 2.

• Il resto delle decine (2) va aggiunto alle unità (8), formando il numero 28. • Ci si domanda: il 3 è contenuto nel 28 almeno 9 volte? La risposta è sì e quindi si può scrivere il risultato (9) al quoziente. • Per trovare il resto si procede come nei casi precedenti. • Il risultato della divisione è 9 con il resto di 1. 4° caso: occorre provare una volta di meno 214 56 168 3 46

• Si procede allo stesso modo dei casi precedenti, eseguendo la divisione 21 : 5 = 4 resto 1. • Il resto delle decine (1) va aggiunto alle unità (4), formando il numero 14. • Poi ci si domanda: il 6 è contenuto nel 14 almeno 4 volte? La risposta è no e quindi NON si può scrivere il risultato al quoziente. • Occorrerà di nuovo effettuare la divisione 21 : 5, provando come quoziente non il 4, ma il numero che lo precede, il 3. Perciò 21 : 5 = 3 resto 6. • Il resto delle decine (6) va aggiunto alle unità (4), formando il numero 64. • Ci si domanda: il 6 è contenuto nel 64 almeno 3 volte? La risposta è sì e quindi si può procedere come nei casi precedenti. • Il risultato della divisione è 3 con il resto di 46. Ci sono alcuni casi in cui non basta provare una volta di meno, ma occorre provare 2, 3… volte in meno.

N umeri

Le divisioni più complesse

Se, mettendo il “cappellino”, non vengono prese in considerazione tutte le cifre del dividendo, la divisione andrà scomposta in varie parti. | ESEMPIO 1456 : 43 =

145 43 129 3

• All’inizio si devono prendere in considerazione tre cifre del dividendo perché le prime due (14) formano un numero inferiore al divisore (43). Si deve eseguire la divisione 145 : 43, seguendo tutte le regole esposte nei casi precedenti.

1456 43 129 33

• La divisione non è terminata: si “abbassa” il 6 e si ottiene la nuova divisione 166 : 43 che andrà anch’essa eseguita tenendo conto delle regole imparate finora.

166 129

• La divisione è terminata. Il risultato è 33 con il resto di 37.

Quando il divisore ha più di due cifre si utilizzano gli stessi procedimenti della divisione con il divisore a due cifre.

N umeri

La proprietà della divisione Proprietà invariantiva Moltiplicando o dividendo per lo stesso numero sia il dividendo sia il divisore, il risultato non cambia. | ESEMPI 60 :

15 =

(60 : 5) : (15 : 5) 12

3=4

(25 × 2) : (5 × 2) 50

10 = 5

• La proprietà invariantiva è necessaria quando nella divisione il divisore è un numero decimale. In questo caso si devono moltiplicare dividendo e divisore per 10, 100… per rendere il divisore un numero intero. | ESEMPIO 36 : 1,2

(36 × 10) : (1,2 × 10)

360 : 12 = 30

• La proprietà invariantiva è utile quando, applicandola, si riesce a semplificare la divisione. | ESEMPIO 210 : 14

(210 : 7) : (14 : 7)

30 : 2 = 15

N umeri

Moltiplicazione e divisione: operazioni inverse La moltiplicazione è l’operazione inversa alla divisione. La divisione è l’operazione inversa alla moltiplicazione.

| ESEMPIO :6 18 ×6

18 : 6 = 3 3 × 6 = 18

Se si divide 18 per 6, si ottiene 3. Se si moltiplica 3 per 6, si ritorna ad avere il numero di partenza.

La prova Per fare la prova della divisione si esegue la sua operazione inversa: la moltiplicazione. Divisione Prova 31 : 5 = 6 resto 1

6 × 5 = 30

30 + 1 = 31

ella prova, si moltiplica il quoziente per il divisore. Poi si aggiunge l’eventuale N resto della divisione. Se il risultato della prova è uguale al dividendo, la divisione è giusta. Per fare la prova della moltiplicazione si applica la proprietà commutativa. Moltiplicazione

Prova

12 × 26 = 72 240 312

26 × 12 =

52 260 312

S i esegue una seconda moltiplicazione in cui l’ordine dei fattori viene cambiato. Se il risultato della prova è uguale a quello della moltiplicazione, la moltiplicazione è giusta. Nella prova della moltiplicazione il risultato finale deve essere uguale, ma i risultati parziali sono quasi sempre diversi.

N umeri

Le moltiplicazioni per 10, 100, 1 000 con i numeri interi Moltiplicare un numero intero per 10, 100, 1 000… vuol dire aumentare il suo valore di 10, 100, 1 000… volte. 137 × 10 = k

er moltiplicare per 10 un numero intero, P ogni cifra si sposta di un posto verso sinistra e si aggiunge uno zero (unità). 137 × 10 = 1 370

28 × 100 = k

100

er moltiplicare per 100 un numero P intero, ogni cifra si sposta di due posti verso sinistra e si aggiungono due zeri (decine, unità). 28 × 100 = 2 800

5 × 1 000 = k

5 5

1 000

er moltiplicare per 1 000 un numero P intero, ogni cifra si sposta di tre posti verso sinistra e si aggiungono tre zeri (centinaia, decine, unità). 5 × 1 000 = 5 000

Per moltiplicare velocemente un numero intero per 10, 100, 1 000…, si aggiungono 1, 2, 3… zeri al moltiplicando tanti quanti sono gli zeri del moltiplicatore.

N umeri

Le divisioni per 10, 100, 1 000 con i numeri interi Dividere un numero intero per 10, 100, 1 000… vuol dire diminuire il suo valore di 10, 100, 1 000… volte.

6 450 : 10 = k

er dividere per 10 un numero intero, P ogni cifra si sposta di un posto verso destra e si toglie lo zero delle unità. 6 450 : 10 = 645

3 800 : 100 = k

100

er dividere per 100 un numero intero, P ogni cifra si sposta di due posti verso destra e si tolgono due zeri: quello delle decine e quello delle unità. 3 800 : 100 = 38

7 000 : 1 000 = k

0 7

1000

er dividere per 1 000 un numero intero, P ogni cifra si sposta di tre posti verso destra e si tolgono tre zeri: quello delle centinaia, quello delle decine e quello delle unità. 7 000 : 1 000 = 7

Per dividere velocemente un numero intero per 10, 100, 1 000…, si tolgono 1, 2, 3… zeri dal dividendo, partendo dallo zero delle unità, quanti sono gli zeri del divisore.

ne La spiegazio ni per delle divisio 0 dei 10, 100, 1 00 NON numeri che on uno terminano c trova o più zeri si . a pagina 58

N umeri

Il ruolo dello zero e dell’uno nelle quattro operazioni Operazione

Lo 0 è l’elemento neutro. La somma non si modifica. ADDIZIONE

9+0=9 0+6=6 9 + 4 = 13 9 + 4 + 0 = 13 Lo 0 (al sottraendo) è l’elemento neutro. Il minuendo non cambia.

SOTTRAZIONE

1 469 – 0 = 1 469 0 – 1 469 è impossibile (nell’insieme dei numeri naturali)

MOLTIPLICAZIONE

Lo 0 è l’elemento assorbente. Il risultato è sempre uguale a 0. 704 × 0 = 0 0 × 576 = 0

DIVISIONE

L’1 è l’elemento neutro. Il risultato è uguale al fattore diverso da 1. 325 × 1 = 325 1 × 78 = 78

È impossibile dividere un numero per 0.

L’1 (al divisore) è l’elemento neutro. Il quoziente è uguale al dividendo.

36 : 0 =

9 043 : 1 = 9 043

Se il dividendo è 0, il quoziente sarà sempre 0. 0 : 653 = 0

N umeri

Multipli e divisori

I multipli di un numero sono tutti i numeri interi che lo contengono in modo esatto una o più volte. Si ottengono moltiplicando quel numero per un qualsiasi altro numero intero. I multipli di un numero sono infiniti. | ESEMPIO I multipli di 2 sono 2, 4, 6, 8, 10, … 1 000, 1 002, … 12 568…

I divisori di un numero sono tutti i numeri interi che lo dividono in modo esatto. I divisori non sono infiniti. Ogni numero ha almeno 2 divisori: se stesso e il numero 1. | ESEMPIO I divisori di 15 sono 15, 5, 3, 1.

L e espressioni “essere multiplo di…“ e “essere divisore di…” indicano condizioni tra loro contrarie. | ESEMPIO

è multiplo di… 24

è divisore di… 24 è multiplo di 6. 6 è divisore di 24. Le espressioni “essere multiplo di…“ e “essere divisibile per…“ possono essere intese come sinonimi, perché esprimono un significato analogo. | ESEMPIO 24 è multiplo di 6. 24 è divisibile per 6.

Criteri di divisibilità

N umeri

I criteri di divisibilità sono regole che permettono di visualizzare immediatamente se un numero è divisibile per alcuni particolari numeri. Un numero è divisibile per… 2

Quando…

Esempi

è un numero pari

2, 4, 6… sono divisibili per 2

la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 3

3 567 3 + 5 + 6 + 7 = 21 21 è multiplo di 3, perciò il numero è divisibile per 3

le ultime due cifre sono un numero multiplo di 4, o sono 00

34 684 84 è divisibile per 4, perciò il numero è divisibile per 4

il numero termina con 0 oppure con 5

605, 370, 45 sono divisibili per 5, perché terminano con 0 oppure con 5

sommando la cifra delle unità, moltiplicata per 5, al numero ottenuto togliendo le unità, si ottiene 0 oppure un numero multiplo di 7

147 14 + (7 × 5) = 14 + 35 = 49 49 è multiplo di 7, perciò il numero è divisibile per 7

la somma delle cifre che lo compongono è multiplo di 9

1 467 1 + 4 + 6 + 7 = 18 18 è multiplo di 9, perciò il numero è divisibile per 9

il numero termina con 0

90, 1 050, 78 620 sono divisibili per 10 perché terminano con 0

il numero termina con 00, 25, 50, 75

100, 125, 450, 975 sono divisibili per 25 perché terminano con 00, 25, 50, 75

100

il numero termina con 00

100, 300, 9 700, 10 400 sono divisibili per 100 perché terminano con 00

N umeri

Numeri primi e numeri composti I numeri primi sono quei numeri che hanno solo due divisori: il numero 1 e se stessi.

| ESEMPIO 13 è un numero primo perché è divisibile solo per 1 e per 13.

I numeri composti sono quelli che hanno più di due divisori.

| ESEMPIO 25 è un numero composto perché è divisibile per 1, 5 e 25.

I numeri primi sono tutti numeri dispari, tranne il numero 2. Il numero 1 non è né un numero primo né un numero composto, perché ha un solo divisore: se stesso. Il numero 0 non è né un numero primo né un numero composto, perché non può essere diviso per se stesso.

Scomporre un numero in fattori primi

N umeri

Scomporre un numero composto in fattori primi vuole dire trovare tutti i numeri primi che lo dividono. Per scomporre un numero in fattori primi: • si scrive il numero da scomporre a sinistra di una linea verticale e a destra il suo più piccolo numero primo divisore; • sotto il numero a sinistra si scrive il quoziente ottenuto dalla divisione; • si procede dividendo i quozienti ottenuti per tutti i numeri primi divisori del numero; • si termina la scomposizione quando si ottiene come quoziente 1; • i fattori primi della scomposizione sono i numeri incolonnati alla destra della linea verticale. Numero primo | ESEMPIO Numero Quoziente divisore 60 2 30 2 15 3 5 5 1

Scomposizione in fattori primi di 60 = 2 × 2 × 3 × 5. • La scomposizione è giusta se, moltiplicando tra loro i fattori primi, si ottiene il numero dato.

La scomposizione può essere espressa anche utilizzando le potenze. | ESEMPIO 60 = 2 × 2 × 3 × 5 60 = 22 × 3 × 5

N umeri

Le potenze

La potenza di un numero è il prodotto del numero moltiplicato per se stesso tante volte quante ne indica l’esponente.

na potenza è il modo più breve per scrivere una moltiplicazione U con fattori tutti uguali. 2×2×2×2

I termini della potenza esponente: indica il numero di volte per cui la base deve essere moltiplicata per se stessa

23 base: indica il numero che deve essere moltiplicato

Per calcolare la potenza di un numero si deve moltiplicare il numero (base) per se stesso tante volte quante sono quelle indicate dall’esponente. 34 si legge 3 alla quarta, oppure 3 elevato alla quarta. 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81

Le potenze di 10

N umeri

L e potenze del numero 10 si ottengono aggiungendo alla cifra 1 tanti zeri quanti ne indica l’esponente. 100 = 1 101 = 10

Un numero può essere scomposto in potenze di 10.

10 = 100 2

10 = 1 000

| ESEMPIO 7 456 =

104 = 10 000

(7 × 1 000) + (4 × 100) + (5 × 10) + (6 × 1) =

105 = 100 000

(7 × 103) + (4 × 102) + (5 × 101) + (6 × 100)

Le potenze: casi particolari Esponente 1

Il valore della potenza è sempre uguale alla base, qualunque sia la base. | ESEMPIO 431 = 43

Il valore della potenza è sempre uguale a 1, qualunque sia la base purché diversa da 0. Esponente 0

Base 1

Base 0

| ESEMPIO 320 = 1 00 = non ha significato

Il valore della potenza è sempre uguale a 1, qualunque sia l’esponente. | ESEMPIO 14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1

Il valore della potenza è sempre uguale a 0, qualunque sia l’esponente. | ESEMPIO 02 = 0 × 0 = 0

N umeri

Le espressioni aritmetiche

Le espressioni aritmetiche sono una serie di operazioni da svolgere in successione seguendo un preciso ordine.

ESPRESSIONI SENZA LE PARENTESI S e in un’espressione non ci sono parentesi, si eseguono:

| ESEMPIO

5 + 3 × 4 – 20 : 4 + 6 =

• prima moltiplicazioni e divisioni; • poi addizioni e sottrazioni, nell’ordine in cui si incontrano.

5 + 12 – 5 + 6 =

17 – 5 + 6 =

12 + 6 = 18

ESPRESSIONI CON LE PARENTESI L e parentesi che si possono incontrare in un’espressione sono: ( ) tonda [ ] quadra { } graffa Se in un’espressione ci sono parentesi si eseguono • prima le operazioni nelle parentesi tonde; • poi quelle nelle parentesi quadre; • infine quelle nelle parentesi graffe. ell’eseguire le operazioni nelle parentesi N occorre rispettare le stesse regole delle espressioni senza parentesi.

| ESEMPIO

{

} 8 + {12 × 3 – [10 : 5]} = 8 + {12 × 3 – 2} = 8 + {36 – 2} =

8 + 12 × (7 – 4) – [10 : (4 + 1)] =

8 + 34 = 42

N umeri

I numeri relativi

I numeri 1… 24… 500… 7 691… “normalmente” si scrivono senza essere preceduti da alcun segno e indicano una quantità. I numeri positivi sono i numeri preceduti dal segno +. Sulla linea dei numeri sono rappresentati a destra dello zero. I numeri negativi sono i numeri preceduti dal segno –. Sulla linea dei numeri sono rappresentati a sinistra dello zero. – 10 – 9 – 8 – 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2

– 1

+ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10

I numeri relativi sono tutti i numeri positivi e negativi, più lo zero. I numeri relativi sono: • positivi, se preceduti dal segno + • negativi, se preceduti dal segno – Lo zero non è né negativo né positivo e separa i numeri negativi da quelli positivi. I numeri relativi servono, ad esempio, per misurare: • la temperatura

• la profondità dei mari o l’altezza sul livello del mare

• i piani di un palazzo

Il valore assoluto di un numero è il numero stesso senza alcun segno. Il valore assoluto di + 7 è 7. Il valore assoluto di – 7 è 7.

N umeri

Le frazioni Frazionare significa dividere un intero in parti uguali.

L a frazione è un numero particolare: indica una quantità ottenuta dividendo un intero in un certo numero di parti uguali tra loro. L’unità frazionaria è ognuna delle parti in cui è stato diviso l’intero.

1 unità frazionaria 3 Se l’intero NON è diviso in parti uguali, ogni parte NON è un’unità frazionaria. unità frazionaria

L’intero è frazionato in parti uguali.

L’intero non è frazionato. in parti uguali.

Numeratore Indica il numero delle parti che sono considerate.

5 7

Linea di frazione Rappresenta la divisione. Denominatore Indica il numero delle parti in cui è stato diviso l’intero.

Frazioni proprie, improprie, apparenti

N umeri

L a frazione propria rappresenta una parte minore dell’intero. Il numeratore è minore del denominatore. | ESEMPIO

2 è una frazione propria. 7 2 <1 7 L a frazione impropria rappresenta una parte maggiore dell’intero. Il numeratore è maggiore, ma NON multiplo del denominatore. | ESEMPIO 5 è una frazione impropria. 4 5 >1 4 L a frazione apparente rappresenta uno o più interi. Il numeratore è uguale o multiplo del denominatore. | ESEMPIO

4 è una frazione apparente 4 che corrisponde a 1 intero.

8 è una frazione apparente 4 che corrisponde a 2 interi.

N umeri

La frazione complementare Due frazioni sono complementari quando, insieme, formano l’intero.

L a frazione complementare di un’altra frazione indica la parte che manca per raggiungere l’intero. | ESEMPIO

3 2 + = 5 =1 5 5 5 3 2 e sono frazioni tra loro complementari. 5 5 3 2 è complementare di 5 5 2 3 è complementare di 5 5 Le frazioni complementari sono sempre frazioni proprie.

N umeri

Frazioni: casi particolari na frazione non può avere denominatore 0. U Il denominatore indica in quante parti si deve dividere l’intero, e un intero non si può dividere in zero parti. | ESEMPIO 4 NO!! 0

na frazione può avere numeratore 0. U In questo caso la frazione è uguale a 0 perché nessuna parte è stata considerata. | ESEMPIO 0 =0 4

na frazione può avere denominatore 1, U ma, generalmente, non si scrive. | ESEMPIO 4 =4 1

La frazione si legge quattro primi e corrisponde a 4 interi.

N umeri

Trasformare le frazioni apparenti e improprie

L a frazione apparente può essere trasformata in un numero intero dividendo il numeratore per il denominatore. | ESEMPIO 5 =5:5=1 5 | ESEMPIO 9 =9:3=3 3

Un numero misto è un numero formato da un intero e da una frazione propria. | ESEMPIO 1 1 + è un numero misto. 4

La frazione impropria può essere trasformata in un numero misto. • Si divide il numeratore per il denominatore e si trova la parte intera del numero misto; 10 : 4 = 2 (parte intera del numero) • Per trovare la parte frazionaria si scrive al numeratore il resto della divisione eseguita precedentemente; 10 : 4 = 2 resto 2 (parte frazionaria) • Il denominatore è lo stesso della frazione impropria. In questo caso 4. 10 = 2 + 2 4 4 | ESEMPIO 10 4

Le frazioni equivalenti

N umeri

Due frazioni sono equivalenti quando, pur essendo scritte in modo diverso, indicano la stessa quantità. | ESEMPIO

2 4

4 8

er trasformare una frazione in un’altra ad essa equivalente si applica P la proprietà invariantiva, cioè si moltiplica o si divide sia il numeratore sia il denominatore per uno stesso numero, diverso da 0. | ESEMPIO

: 3 3 1 6 2 : 3 3 1 e sono frazioni equivalenti 6 2

× 2 2 4 3 6 × 2 2 4 e sono frazioni equivalenti 3 6

SEMPLIFICARE LE FRAZIONI Per semplificare una frazione si dividono denominatore e numeratore per un divisore comune, ottenendo così una frazione equivalente. Questa operazione può essere ripetuta più volte. Quando non ci sono più divisori comuni, si dice che la frazione è stata ridotta ai minimi termini. | ESEMPIO

: 5 : 3 1 15 3 4 60 12 : 5 : 3

N umeri

Confronto tra frazioni

S e si confronta una frazione propria con una frazione impropria, è sempre maggiore quella impropria. Infatti una frazione propria rappresenta sempre una parte minore dell’intero, mentre quella impropria rappresenta sempre una parte maggiore dell’intero. | ESEMPIO 5 2 > 4 3

> 5 4

2 3

S e si confronta una frazione propria con una frazione apparente, è sempre maggiore quella apparente. Infatti una frazione propria rappresenta sempre una parte minore dell’intero, mentre quella apparente rappresenta sempre uno o più interi. | ESEMPIO 5 4 > 5 7

> 5 5

4 7

N umeri S e si confrontano due frazioni con uguale denominatore, è sempre maggiore quella con il numeratore maggiore. | ESEMPIO 5 2 > 6 6

> 5 6

2 6

S e si confrontano due frazioni con uguale numeratore, è sempre maggiore quella con il denominatore minore. | ESEMPIO 3 3 > 5 8

> 3 5

3 8

Se due frazioni sono riferite allo stesso intero, il denominatore minore indica che l’intero è stato diviso in un minor numero di parti e, di conseguenza, ogni parte è più grande. Per confrontare due frazioni con diverso denominatore e diverso numeratore occorre trasformarle in frazioni equivalenti con lo stesso denominatore: • si moltiplicano tra loro i denominatori; • si trasformano entrambe le frazioni in frazioni equivalenti con quel denominatore. | ESEMPIO

3 2 e 5 7

5 × 7 = 35 × 7

× 5

3 21 5 35 × 7

2 10 7 35 × 5

21 10 > 35 35

N umeri

La frazione di un numero

Per calcolare la frazione di un numero: • si divide il numero per il denominatore per ottenere il valore dell’unità frazionaria; • si moltiplica il valore dell’unità frazionaria per il numeratore. | ESEMPIO 2 di 12 3

• 12 : 3 = 4

•4×2=8 2 di 12 = 8 3

Dalla frazione all’intero

er calcolare il valore dell’intero conoscendo la frazione e il numero della P frazione: • si divide il numero per il numeratore per trovare il valore dell’unità frazionaria; • si moltiplica il valore dell’unità frazionaria per il denominatore. | ESEMPIO 2 6 corrisponde a dell’intero. 5

•6:2=3

• 3 × 5 = 15 6=

2 di 15 5

N umeri

Frazioni e numeri decimali

Ogni frazione decimale può essere scritta anche sotto forma di numero decimale. Le frazioni decimali sono frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10. frazione decimale 1 (un decimo) 10 numero decimale u 0

d ,

frazione decimale 1 (un centesimo) 100 numero decimale u 0

frazione decimale 1 (un millesimo) 1000 numero decimale u 0

N umeri

I numeri decimali

I numeri decimali sono numeri formati da una parte intera e una parte decimale. La parte decimale è più piccola dell’unità. La virgola divide la parte intera da quella decimale.

parte intera

parte decimale

234,561 virgola

L ’ordine dei decimali, partendo da dopo la virgola è: decimi, centesimi, millesimi. Anche nei numeri decimali le cifre rispettano il valore posizionale e ogni cifra assume un valore diverso a seconda del posto che occupa. Periodo delle unità semplici

Periodo dei decimali

N umeri

Frazioni decimali e numeri decimali Per trasformare una frazione decimale in un numero decimale: • si scrive il numeratore; • si mette la virgola in modo che alla sua destra ci siano tante cifre quanti sono gli zeri del denominatore; • se necessario, si aggiungono degli zeri prima del numero.

Nei numeri decimali la cifra delle unità deve sempre comparire. Se il numero è minore di 1, la cifra delle unità sarà 0.

| ESEMPI

65 = 6,5 10

18 = 0,018 1000

er trasformare un numero decimale in una frazione P decimale: • si scrive al numeratore il numero senza virgola; • si scrive al denominatore la cifra 1 seguita da tanti zeri quante sono le cifre della parte decimale. | ESEMPI

25,3 Numero senza virgola Cifra 1 seguita da uno zero, perché nel numero decimale c’è una sola cifra dopo la virgola

253 10

0,007 Numero senza virgola (non si scrivono gli zeri iniziali perché sono inutili)

7 1 000

Cifra 1 seguita da tre zeri, perché nel numero decimale ci sono tre cifre dopo la virgola

N umeri

Trasformare frazioni non decimali in numeri decimali Ogni frazione può essere trasformata in numero, dividendo il numeratore per il denominatore.

FRAZIONI APPARENTI ella trasformazione di una frazione apparente in numero N si ottiene un numero intero. | ESEMPIO 12 = 12 : 3 = 4 3

ALTRI TIPI DI FRAZIONE ella trasformazione di tutti gli altri tipi N di frazione in numero si ottiene un numero decimale. | ESEMPIO 2 5

2 : 5 = 0,4

7 2

7 : 2 = 3,5

11 4

11 : 4 = 2,75

Quando si trasforma una frazione in numero decimale è meglio continuare la divisione fino a quando non si ottiene il resto 0, altrimenti fino ai millesimi.

ne La spiegazio ni io delle divis ome che hanno c n quoziente u imale numero dec pagine si trova alle 60-62.

N umeri

Confronto tra numeri decimali Il confronto tra due numeri decimali serve per stabilire qual è maggiore e qual è minore. Per confrontare due numeri decimali: • prima si confronta la parte intera. È maggiore il numero che ha la parte intera maggiore. | ESEMPIO

Confrontare 122,4 e 121,998 122 > 121 122,4 > 121,998 • Se la parte intera è uguale, si confronta la parte decimale. Si confrontano i decimi: è maggiore il numero che ha la cifra dei decimi maggiore. | ESEMPIO

11,763 e 11,82

7<8

11,763 < 11,82 • Se anche i decimi sono uguali, si confrontano i centesimi. | ESEMPIO

0,325 e 0,318

2>1

0,325 > 0,318 • Se anche i centesimi sono uguali, si confrontano i millesimi. | ESEMPIO

34,035 e 34,036 34,035 < 34,036

5<6

N umeri

Addizioni e sottrazioni con i numeri decimali

Per eseguire addizioni e sottrazioni con i numeri decimali: • si incolonnano i numeri, rispettando la posizione di ogni cifra; • la virgola deve sempre essere incolonnata; • si aggiungono eventuali zeri nella parte decimale per fare in modo che tutti i termini dell’operazione abbiano lo stesso numero di cifre decimali; • si esegue l’operazione partendo dalla cifra più a destra della parte decimale, rispettando le regole delle addizioni e delle sottrazioni. | ESEMPIO

| ESEMPIO

13,786 + 4,309 = 18,095

182,3 + 85,903 = 268,203

8 6

| ESEMPIO

78,21 – 14,5 = 63,71

904 – 72,87 = 831,13

1 6

–

Gli zeri segnaposto sono necessari quando la parte decimale del minuendo ha meno cifre del sottraendo (ad esempio 3,4 – 2,73).

N umeri

Le moltiplicazioni per 10, 100, 1 000 con i numeri decimali Moltiplicare un numero decimale per 10, 100, 1 000 vuol dire aumentare il suo valore di 10, 100, 1 000… volte. er moltiplicare per 10, 100, 1 000… un numero decimale, ogni cifra si sposta P di 1, 2, 3… posti verso sinistra. S e necessario, si aggiungono gli zeri perché la cifra delle unità deve sempre essere scritta. | ESEMPIO

| ESEMPIO

1,25 × 10 =

1,25 × 100 =

h da u

, 2

m ×

h da u

, 2

2 , 5

1,25 × 10 = 12,5

m ×

100

1,25 × 100 = 125

| ESEMPIO

1,25 × 1 000 = k

h da u

, 2

m ×

1 000

1,25 × 1 000 = 1 250 Per moltiplicare velocemente un numero decimale per 10, 100, 1 000…, si sposta verso destra la virgola del moltiplicando di 1, 2, 3… posti.

N umeri

Le divisioni per 10, 100, 1 000 con i numeri decimali Dividere un numero decimale per 10, 100, 1 000 vuol dire diminuire il suo valore di 10, 100, 1 000… volte.

er dividere per 10, 100, 1 000… un numero decimale, ogni cifra si sposta P di 1, 2, 3… posti verso destra. S e necessario, si aggiungono gli zeri perché la cifra delle unità deve sempre essere scritta. | ESEMPIO

| ESEMPIO

38,2 : 10 =

47,1 : 100 =

h da u 3

c m

8 , 2 3 , 8

h da u :

7 , 1 0 , 4

38,2 : 10 = 3,82

c m : 100 7

47,1 : 100 = 0,471

| ESEMPIO

15 : 1 000 = h da u 1

c m

5 0 , 0

: 1 000 1

Per dividere velocemente un numero decimale per 10, 100, 1 000…, si sposta verso sinistra la virgola del dividendo di 1, 2, 3… posti.

15 : 1 000 = 0,015 er dividere per 10, 100, 1 000… un numero intero, si utilizza la stessa regola P dei numeri decimali. Occorre ricordarsi che la virgola nel numero intero non è espressa, ma dividendo il numero si deve inserire la virgola partendo dalle unità. 376 : 100 = 3,76

Moltiplicazioni con i numeri decimali

N umeri

Per eseguire moltiplicazioni con i numeri decimali: • si scrivono i numeri in colonna come se la virgola non ci fosse; • si esegue l’operazione rispettando le regole della moltiplicazione; • si contano le cifre decimali complessive dei due fattori; • partendo dall’ultima cifra a destra del prodotto finale, si colloca la virgola facendo in modo che esso abbia tante cifre decimali quante sono quelle complessive dei due fattori. | ESEMPIO

| ESEMPIO

87 × 3,2 = 278,4

1,53 × 5,6 = 8,568

3 , 2

8 , 4

1 , 5

5 , 6

8 , 5

Quando si esegue una moltiplicazione con i numeri decimali, i fattori si considerano come numeri interi: si opera, dunque, una moltiplicazione per 10, 100, 1 000… × 100

4,3 × 2,1 = 4 , 3

× 10

2 , 1

× 10

9 , 0

: 100

Il risultato della moltiplicazione con i numeri interi è (in questo caso) 100 volte superiore (10 x 10 = 100). Di conseguenza, per ottenere il giusto risultato occorre dividere il prodotto per 100.

N umeri

Divisioni con i numeri decimali

elle divisioni con i numeri decimali occorre fare attenzione a dove si colloca N la virgola nel quoziente.

DIVIDENDO MINORE DEL DIVISORE

S e il dividendo è minore del divisore, il quoziente sarà un numero compreso tra 0 e 1. Per ottenere un risultato più preciso si continua la divisione fino ai decimi o ai centesimi. u

5 5

c m

5 : 6 = 0,833 resto 2 millesimi (0,002)

0 ,8

| ESEMPIO

0 2

Prima di dividere la parte decimale si deve scrivere la virgola al quoziente.

0 2

NUMERO DECIMALE COME DIVIDENDO S e il dividendo è un numero decimale, prima di abbassare la cifra dei decimi, si scrive la virgola al quoziente. u

7 , 3

1 ,4

3 3

7 2

| ESEMPIO

7,37 : 5 = 1,47 resto 2 centesimi (0,02)

N umeri

NUMERO DECIMALE COME DIVISORE

S e il divisore è un numero decimale, si applica la proprietà invariantiva moltiplicando dividendo e divisore per 10, 100, 1 000… per trasformare il divisore in un numero intero. S i moltiplicherà: • per 10, se il divisore ha solo una cifra decimale; • per 100, se il divisore ha due cifre decimali; • per 1 000, se il divisore ha tre cifre decimali. | ESEMPIO

2 040 34

204 : 3,4 = × 10 × 10

00 60 0

2 040 : 34 = 60

NUMERI DECIMALI SIA COME DIVIDENDO SIA COME DIVISORE | ESEMPIO

1,875 : 0,25 = × 100 × 100

187,5 25 125 7,5 0

187,5 : 25 = 7,5

Il dividendo può essere un numero decimale, ma il divisore NO e deve sempre essere trasformato in numero intero.

N umeri

QUOZIENTE APPROSSIMATO elle divisioni si può continuare a dividere il resto fino a giungere ad avere N resto zero. | ESEMPIO

| ESEMPIO

25 : 16 = 1,5 resto 10 decimi (1)

25 : 16 = 1,56 resto 4 centesimi (0,04)

da u 2

d da u

6 1 ,5

Quoziente approssimato ai decimi.

Le divisioni possono essere continuate trasformando il resto in centesimi, millesimi… aggiungendo di volta in volta al resto uno zero.

da u 2

da u

In questo caso occorre ricordare che il resto è 8 millesimi, cioè 0,08.

1 ,5

0 4

Quoziente approssimato ai centesimi.

da u d c m da u d c m 2 5

9 0 25 : 16 = 1,516 resto 8 millesimi (0,08)

6 1 ,5 6 2

1 0 0 4 0 8

La percentuale

N umeri

La percentuale equivale a una frazione decimale con denominatore 100.

L a percentuale si indica con numero accompagnato dal segno % che si legge “per cento”. 15% (quindici per cento) = 15 100 | ESEMPIO “Il 25% dei bambini della mia città sono allievi della 25 Scuola Primaria”, significa che nella mia città i 100 di tutti i bambini frequentano la Scuola Primaria.

La percentuale si usa soprattutto nelle indagini statistiche, nei campi della ricerca, nella compravendita.

Per fare un confronto tra percentuali occorre specificare a quale grandezza esse fanno riferimento. | ESEMPIO

“Il 10% dei bambini di quinta pratica il nuoto; il 20% delle bambine di quinta pratica la pallavolo”. Questa frase non indica che le bambine che praticano la pallavolo sono il doppio dei bambini, perché non viene indicato quanti sono i maschi e quante le femmine. Ad esempio, se le bambine sono 30 e i maschi sono 50, praticano il nuoto 5 maschi e la pallavolo 6 femmine.

N umeri

Calcolare il valore percentuale di un numero

Per calcolare il valore percentuale di un numero dato: • si trasforma la percentuale in una frazione decimale con denominatore 100; • si calcola la frazione decimale del numero dato. | ESEMPIO

3% di 250

3 • 3% = 100 3 di 250 = (250 : 100) × 3 = 2,5 × 3 = 7,5 • 100

3% di 250 = 7,5 | ESEMPIO

Al torneo di scacchi partecipa il 20% dei bambini della scuola. I bambini della scuola sono 150. Quanti bambini partecipano? 20 20% di 150 • 20% = 100 20 di 150 = (150 : 100) × 20 = 1,5 × 20 = 30 • 100 Perciò: 20% di 150 = 30 I bambini che partecipano al torneo di scacchi sono 30. Poiché una percentuale corrisponde sempre a una frazione con denominatore cento, per calcolare in modo più semplice il valore percentuale di un numero: • si divide il numero dato per 100; • si moltiplica il risultato per la percentuale. 14% di 800

(800 : 100) × 14 = 8 × 14 = 112

N umeri

Trasformare una frazione in una percentuale Le frazioni che hanno numeratore 100 si possono scrivere sotto forma di percentuale.

34 = 34% 100

Qualsiasi frazione può essere trasformata in percentuale: • si trasforma la frazione in un numero decimale, dividendo il numeratore per il denominatore, approssimando il quoziente ai centesimi; • se il numero ottenuto è un numero intero o decimale con solo la cifra dei decimi, si aggiungono gli zeri necessari fino ai centesimi; • si trasforma il numero decimale in frazione decimale con denominatore 100; • si trasforma la frazione con denominatore 100 in percentuale. | ESEMPIO

| ESEMPIO

2 2 : 5 = 0,4 5 • 0,4 = 0,40

I bambini delle classi quinte iscritti alle gare di atletica sono 40. 8 vincono una medaglia. A quale percentuale corrispondono i bambini che hanno vinto una medaglia?

•

• 0,40 =

40 100

40 = 40% 100 2 • = 40% 5

•

I bambini che vincono una medaglia sono 8 dei bambini che partecipano 8 su 40, cioè 40 alle gare. 8 8 : 40 = 0,2 0,2 = 0,20 40 20 20 = 20% 0,20 = 100 100 I bambini che vincono una medaglia corrispondono al 20% del totale dei bambini partecipanti.

N umeri

Rappresentare le percentuali La percentuale può essere rappresentata attraverso diagrammi.

| ESEMPIO Ripartizione del territorio della regione Marche: collina: 74% AREOGRAMMA QUADRATO montagna: 22% La percentuale è rappresentata pianura: 4% su un quadrato suddiviso in 100

quadratini, ognuno dei quali corrisponde all’1%.

AREOGRAMMA CIRCOLARE L a percentuale è rappresentata su un cerchio suddiviso in settori circolari. Ogni settore rappresenta una percentuale.

COSTRUIRE UN AREOGRAMMA er rappresentare le percentuali su un P areogramma quadrato si colorano tanti quadratini quanti ne indica la percentuale stessa.

| ESEMPIO

30%

Per rappresentare la percentuale del 30% su un areogramma circolare: • si disegna un cerchio che rappresenta il 100%; • poiché l’angolo giro misura 360° (e un cerchio è un angolo giro), l’1% corrisponde a un centesimo dell’angolo giro, cioè a un settore di 3,6°; | ESEMPIO • si moltiplica il valore percentuale (30) × 3,6 e si ottiene l’ampiezza del settore circolare: 30% 30 × 3,6° = 108°; • si fa coincidere il centro del goniometro con il centro del cerchio e si traccia un settore circolare dell’ampiezza trovata (108°).

Lo sconto e l’aumento

N umeri

La percentuale è anche utilizzata per indicare: • lo sconto di un prezzo; • l’aumento di un prezzo. er calcolare il prezzo scontato, conoscendo P la percentuale di sconto: • si calcola il valore della percentuale; • successivamente si sottrae lo sconto al valore intero per ottenere il prezzo scontato. | ESEMPIO

25% di sconto sul prezzo di € 120,00. • 25% di 120,00 = (120,00 : 100) × 25 = 1,2 × 25 = 30 Lo sconto è di € 30,00. • 120,00 – 30,00 = 90,00 Il prezzo scontato è di € 90,00.

er calcolare il prezzo aumentato, P conoscendo la percentuale di aumento: • si calcola il valore della percentuale; • al prezzo iniziale, si somma il valore della percentuale, ottenendo il prezzo aumentato. | ESEMPIO

8% di aumento sul prezzo di € 200,00. • 8% di 200,00 = (200,00 : 100) × 8 = 2 × 8 = 16 L’aumento è di € 16,00. • 200,00 + 16,00 = 216,00 Il prezzo aumentato è di € 216,00.

N umeri

L’arrotondamento di un numero Quando un numero è composto da molte cifre è possibile arrotondarlo, cioè sostituire le ultime cifre con degli zeri.

Il numero arrotondato non è preciso, ma è più facile da comprendere. | ESEMPIO

La distanza media tra il Sole e la Terra è di 149 597 870,700 km. Il numero può essere arrotondato a 150 000 000 km. Si può arrotondare per eccesso o per difetto. Per arrotondare un numero: • si decide la cifra di riferimento cui arrotondare il numero (ad esempio hk, dak, uk… u, d…).

CASO 1

CASO 2

• Se la cifra a destra di quella presa come riferimento è minore di 5, il numero si arrotonda per difetto; • si trasformano in zeri tutte le cifre a destra di quella presa come riferimento.

• Se la cifra a destra di quella presa come riferimento è uguale o maggiore di 5, il numero si arrotonda per eccesso; • si aumenta di 1 la cifra presa come riferimento e si trasformano in zeri tutte quelle alla sua destra.

| ESEMPIO

Arrotondare 765 297 alle unità di migliaia. 765 000 è il numero arrotondato alle unità di migliaia per difetto.

Arrotondare 914 956 alle unità di migliaia. 915 000 è il numero arrotondato alle unità di migliaia per eccesso.

Arrotondare 1,436 ai decimi. 1,400 è il numero arrotondato ai decimi per difetto. Può essere espresso, in modo ancora più semplice, con il numero 1,4.

Arrotondare 4,287 ai decimi. 4,300 è il numero arrotondato ai decimi per eccesso. Può essere espresso, in modo ancora più semplice, con il numero 4,3.

N umeri

Mappa riassuntiva NUMERI INTERI possono essere

relativi

possono essere

naturali

primi composti

vengono usati nelle

operazioni

divisori tra loro

multipli che sono

addizioni

sottrazioni

esprimono

che hanno

proprietà

divisioni

significati differenti

moltiplicazioni alcune possono essere rappresentate anche come

potenze

possono essere raggruppate in

espressioni 69

N umeri

Mappa riassuntiva

NUMERI RAZIONALI comprendono

numeri interi

che si trasformano in

frazioni

numeri decimali con cui si possono eseguire le

che possono indicare una

che godono della proprietà

percentuale

operazioni

invariantiva complementari

che possono essere

proprie

improprie

apparenti

decimali

generano numeri

equivalenti <1 70

interi

decimali

S pazio e figure

SPAZIO E FIGURE

La geometria è la parte della matematica che studia le proprietà delle figure sul piano e nello spazio.

FIGURE SUL PIANO

FIGURE NELLO SPAZIO

I TERMINI DELLA GEOMETRIA

l lato P perimetro h altezza A area b base (o base minore) B base maggiore D diagonale maggiore d diagonale minore a apotema V volume

S pazio e figure

Linee • Figure piane • Solidi Le linee hanno una sola dimensione: la lunghezza. lunghezza

Le linee chiuse delimitano le figure piane. Le figure piane hanno due dimensioni: la lunghezza e la larghezza.

larghezza

lunghezza

Le figure piane sono le facce dei solidi. Le figure solide hanno tre dimensioni: la lunghezza, la larghezza, l’altezza.

altezza

larghezza lunghezza

Le linee

S pazio e figure

Una linea è:

• chiusa, quando delimita uno spazio

• aperta, quando non delimita uno spazio

• semplice, quando non si sovrappone in alcun punto

• intrecciata, quando si sovrappone in uno o più punti

• retta, quando mantiene sempre la stessa direzione

• curva, quando cambia direzione senza formare angoli

• spezzata, quando cambia direzione formando angoli (la linea spezzata è formata da tratti di linea retta)

• mista, quando è formata da tratti di linea retta e tratti di linea curva

Per definire una linea occorre conoscere se è: • aperta o chiusa; • semplice o intrecciata; • retta, curva, spezzata o mista.

S pazio e figure

Retta • Semiretta • Segmento A •

A •

retta

semiretta

B •

segmento

La retta non ha né un inizio né una fine. È infinita e viene generalmente indicata con dei puntini alle estremità.

La semiretta ha un inizio, chiamato punto di origine, ma non ha una fine. Viene indicata con dei puntini a una sola estremità.

Il segmento è una parte di retta o di semiretta: ha un inizio e una fine.

La retta viene indicata con una lettera minuscola.

Il punto di origine viene indicato con una lettera maiuscola.

I punti iniziale e finale del segmento vengono indicati con lettere maiuscole.

LA POSIZIONE Rette, semirette e segmenti mantengono sempre la stessa direzione. Possono essere in posizione:

obliqua orizzontale verticale

S pazio e figure

La posizione reciproca delle rette Due o più rette, rispetto alla loro posizione reciproca, possono essere:

a b

Quando, anche se prolungate all’infinito, non si incontrano mai e mantengono sempre la stessa distanza.

parallele a

A •

Quando si incontrano in un punto; incontrandosi formano 4 angoli.

incidenti

A • b

Quando, incontrandosi, formano 4 angoli retti. Sono particolari tipi di rette incidenti.

perpendicolari

S pazio e figure

Il piano cartesiano

Il piano cartesiano è un piano su cui sono state tracciate due rette perpendicolari. Gli elementi del piano cartesiano sono: • l’origine: il punto in cui si incontrano le due rette perpendicolari; • l’asse delle ascisse (asse delle x): è la retta orizzontale; • l’asse delle ordinate (asse delle y): è la retta verticale; • le coordinate: sono due numeri o lettere, il primo preso sull’asse delle ascisse e il secondo sull’asse delle ordinate, che identificano e distinguono i punti del piano. y 10

B (7, 9)

9 8 7 6 5 4 3

C (2, 5) A (4, 3)

2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Le isometrie

S pazio e figure

Le isometrie sono spostamenti di figure sul piano che non modificano la forma e la grandezza delle figure spostate. Sono trasformazioni isometriche: la simmetria, la rotazione, la traslazione.

SIMMETRIA

TRASLAZIONE

ROTAZIONE

La parola isometria deriva dal greco ísos (uguale) e métron (misura). Perciò isometria significa “che mantiene la stessa misura”.

S pazio e figure

La simmetria

La simmetria è una isometria che “ribalta” una figura rispetto a una retta, chiamata asse di simmetria. asse di simmetria

figura

figura simmetrica

I punti A e A1 hanno la stessa distanza dall’asse di simmetria. L’asse di simmetria può essere:

• interno, se attraversa la figura e la divide in due parti simmetriche;

• esterno, se si trova fuori dalla figura.

L’asse di simmetria (esterno o interno) può essere:

orizzontale

verticale

obliquo

La rotazione

S pazio e figure

La rotazione è una isometria che ruota una figura attorno a un punto. In ogni rotazione sono presenti: • il centro di rotazione, cioè il punto attorno a cui avviene la rotazione; • il verso della rotazione: – orario, se avviene nello stesso verso in cui si spostano le lancette dell’orologio; – antiorario se si muove nel verso contrario; • l’ampiezza della rotazione, cioè la misura dell’angolo (angolo di rotazione) formato dalla rotazione della figura. La rotazione è indicata da una freccia curva. La punta indica il verso della rotazione.

verso della rotazione

figura

figura ruotata ampiezza della rotazione centro di rotazione

| ESEMPIO La figura ha ruotato di 90 gradi con verso orario.

La figura ha ruotato di 90 gradi con verso antiorario.

S pazio e figure

La traslazione

La traslazione è una isometria che sposta una figura in linea retta per una certa distanza. La linea che identifica la traslazione è chiamata vettore di traslazione e indica: • la misura dello spostamento (la lunghezza del vettore); • la direzione dello spostamento (orizzontale, verticale, obliqua); • il verso dello spostamento (destra, sinistra; alto, basso). vettore di traslazione

figura

figura traslata

Il vettore di traslazione indica lo spostamento della figura perciò unisce i due punti corrispondenti delle figure.

NON è il vettore di traslazione

È il vettore di traslazione

Tutte le linee che congiungono due punti corrispondenti della figura originaria e di quella traslata sono tra loro parallele.

S pazio e figure

Gli angoli

L’angolo è la parte di piano compresa tra due semirette che hanno la stessa origine. Gli elementi dell’angolo

lato

Le semirette sono i lati dell’angolo; il punto di origine si chiama vertice.

ampiezza

Di ogni angolo si può misurare l’ampiezza. L’unità di misura dell’ampiezza è il grado, il cui simbolo è °.

vertice

lato

Misurare gli angoli Per misurare l’ampiezza di un angolo si utilizza il goniometro.

90 90

10 0 110 80 70

12 0 60 13 0 50

0 1 80 17 16 0 10 0 20

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

15 0 30

90 90

10 0 110 80 70

12 0 60 13 0 50

15 0 30

0 1 80 17 16 0 10 0 20

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

80 10 0

7 0 6 0 110 12 0

12 0 60 13 0 50

10 0 110 80 70

0 10 20 18 0 1 70 3 16 0 1 0 50

90 90

80 10 0

I goniometri, generalmente, riportano i gradi in due versi (da 0° a 180° e da 180° a 0°). Ciò permette di misurare angoli orientati in modo differente. 7 0 6 0 110 12 0

80 10 0

7 0 6 0 110 12 0

Per misurare un angolo si procede in questo modo: • si fa coincidere il vertice dell’angolo con il centro del goniometro; • si fa coincidere uno dei lati con la linea che passa per zero; • si legge sul goniometro il numero di gradi indicato dall’altro lato.

S pazio e figure

Tipi di angolo

Gli angoli si classificano in base alla loro ampiezza.

• Angolo retto

• Angolo acuto

• Angolo ottuso

O misura 90°

misura meno di 90°

• Angolo piatto

misura più di 90°

• Angolo giro O

O misura 180°

misura 360°

Un angolo può essere: • concavo:

• convesso:

O O contiene il prolungamento dei propri lati; misura più di 180°

NON contiene il prolungamento dei propri lati; misura meno di 180°

Due angoli possono essere, fra loro: • complementari, se insieme formano un angolo retto

• supplementari, se insieme formano un angolo piatto

• esplementari, se insieme formano un angolo giro

I poligoni

S pazio e figure

I poligoni sono figure piane delimitate da una linea chiusa spezzata semplice. Le figure piane che sono delimitate da linee curve o miste non sono poligoni.

poligono

non poligono

Un poligono non può avere meno di 3 lati. Ogni poligono ha lo stesso numero di lati, angoli, vertici. I poligoni prendono il nome dal numero dei lati e degli angoli.

GLI ELEMENTI DEL POLIGONO • Il contorno è la linea spezzata che chiude il poligono. • Il lato è ogni segmento che forma la linea del contorno. • La superficie è la parte di piano chiusa dal contorno. • Il vertice è il punto in cui due lati si incontrano. • L’angolo è lo spazio compreso tra due lati consecutivi. • La diagonale è il segmento che unisce due vertici non consecutivi. • L’altezza è il segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente sul lato opposto al vertice. • L’asse di simmetria è la retta che divide in due parti simmetriche il poligono. ei poligoni le altezze sono tante quanti sono i vertici (nel triangolo N sono 3, nel quadrato sono 4…). L’unico poligono che non ha diagonali è il triangolo.

S pazio e figure

Le caratteristiche dei poligoni

Un poligono può essere: • convesso, quando i prolungamenti dei suoi lati non lo attraversano

• concavo, quando lo attraversano i prolungamenti di due o più lati

Gli angoli dei poligoni convessi sono tutti minori di 180°. Nei poligoni concavi almeno un angolo è maggiore di 180°. Poligono

Caratteristiche

Equilatero

Tutti i lati sono uguali.

Equiangolo

Tutti gli angoli sono uguali.

Regolare

Tutti i lati sono uguali, tutti gli angoli sono uguali. È equiangolo e equilatero.

Irregolare

Gli angoli e i lati non sono tutti uguali.

Esempio

S pazio e figure

Il perimetro

Il perimetro è la misura del contorno di una figura piana. Il perimetro di una figura piana si calcola sommando le lunghezze dei lati. I l perimetro si calcola utilizzando le misure di lunghezza.

3 cm 7 cm

6 cm

Perimetro = l + l + l + l 10 cm

Perimetro = 3 + 6 + 10 + 7 = 26 cm

Se il poligono ha tutti i lati uguali (equilatero), si moltiplica la misura di un lato per il numero dei lati. | ESEMPIO

Perimetro = l × 5 Perimetro = 2 × 5 = 10 cm 2 cm Due o più figure sono isoperimetriche se hanno lo stesso perimetro.

2 cm

3 cm 4 cm Perimetro = 3 × 4 = 12 cm

Perimetro = 4 + 2 + 4 + 2 = 12 cm

Due figure uguali sono sempre isoperimetriche, ma due figure isoperimetriche NON sono necessariamente uguali!

S pazio e figure

L’area

L’area è la misura della superficie di una figura piana.

L’area si calcola utilizzando le misure di superficie (km2, m2, dm2…). Due figure sono equiestese quando hanno la stessa area. = 1 cm2

Area = 5 cm2

ue o più figure sono congruenti se hanno la stessa area, lo stesso perimetro, D la stessa forma.

Se una figura viene scomposta in varie parti e queste sono utilizzate per comporre un’altra figura, quest’ultima sarà equiestesa alla prima.

I triangoli

S pazio e figure

Il triangolo è un poligono con tre lati, tre angoli e tre vertici.

Gli elementi del triangolo vertice

lato

La base è il lato su cui si appoggia il triangolo. Il triangolo non ha diagonali.

altezza base

angolo

Il triangolo isoscele ha 1 solo asse di simmetria.

Il triangolo equilatero ha 3 assi di simmetria.

Il triangolo ha 3 altezze, tante quante sono i vertici. • L’altezza può cadere all’esterno del triangolo, sul prolungamento della base.

• L’altezza può coincidere con uno dei lati.

La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

S pazio e figure

La classificazione dei triangoli

In base ai lati: Nome

Lati

Scaleno

Tutti disuguali.

Isoscele

Due uguali e uno no.

Equilatero

Triangolo

Tutti uguali.

In base agli angoli: Nome

Angoli

Acutangolo

Tutti acuti.

Ottusangolo

Uno ottuso e gli altri due acuti.

Rettangolo

Triangolo

Uno retto, gli altri acuti.

Il triangolo equilatero può essere solo acutangolo. triangolo acutangolo scaleno

triangolo rettangolo isoscele

S pazio e figure

Perimetro e area dei triangoli PERIMETRO Nome Scaleno

Perimetro P=a+b+c

Triangolo a

c b

Isoscele

P=l×2+b

b Equilatero

P=l×3

l l

AREA La superficie di un triangolo è uguale alla metà della superficie di un parallelogramma che ha la stessa base e la stessa altezza.

h b Area A = (b × h) : 2

Formule inverse b = (A × 2) : h h = (A × 2) : b

S pazio e figure

I quadrilateri

I quadrilateri sono poligoni con 4 lati, 4 angoli, 4 vertici e 2 diagonali. I quadrilateri sono classificati in base alle caratteristiche dei lati e degli angoli. QUADRILATERI trapezi parallelogrammi rettangoli

quadrati

rombi

I quadrilateri sono poligoni con 4 lati: • i trapezi hanno almeno una coppia di lati paralleli; • i parallelogrammi hanno due coppie di lati paralleli; • i rettangoli hanno due coppie di lati paralleli e tutti gli angoli retti; • i quadrati hanno due coppie di lati paralleli, tutti gli angoli retti e tutti i lati uguali; • i rombi hanno due coppie di lati paralleli e tutti i lati uguali.

Il quadrato

S pazio e figure

Il quadrato è un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli uguali e retti. Gli elementi del quadrato Il quadrato è l’unico quadrilatero regolare. lati: 4 uguali e paralleli a due a due. angoli: 4 retti. diagonali: 2 uguali e perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 4.

Poiché nel quadrato tutti i lati sono uguali, non si parla di base e altezza, ma solo di lati.

AREA

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

Area

P=l×4

l=P:4

A=l×l

S pazio e figure

Il rettangolo

Il rettangolo è un poligono con 4 lati uguali a due a due e 4 angoli uguali e retti. Gli elementi del rettangolo lati: 4 uguali e paralleli a due a due. angoli: 4 retti. diagonali: 2 uguali e NON perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 2.

PERIMETRO

Perimetro P=l+l+l+l P = (b + h) × 2 P = (b × 2) + (h × 2)

AREA

Formule inverse b = (P : 2) – h h = (P : 2) – b

Area

A=b×h

Formule inverse b=A:h h=A:b

S pazio e figure

Il rombo

Il rombo è un poligono con 4 lati uguali e 4 angoli uguali a due a due. Gli elementi del rombo lati: 4 uguali e paralleli a due a due. D d

angoli: 4; gli angoli opposti sono uguali a due a due (2 angoli ottusi e 2 angoli acuti). diagonali: 2 perpendicolari tra di loro, una maggiore (D) e una minore (d); si tagliano a metà nel punto di incrocio.

assi di simmetria: 2, che coincidono con le due diagonali.

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

P=l×4

l=P:4

AREA

L a superficie del rombo è uguale alla metà della superficie di un rettangolo che ha come base una diagonale del rombo e come altezza l’altra diagonale. Area A = (D × d) : 2

Formule inverse D = (A × 2) : d d = (A × 2) : D

S pazio e figure

Il parallelogramma (romboide) Il parallelogramma è un poligono con 4 lati uguali a due a due e 4 angoli uguali a due a due.

Gli elementi del parallelogramma lati: 4 uguali e paralleli a due a due. angoli; 4: gli angoli opposti sono uguali a due a due (2 angoli ottusi e 2 angoli acuti).

diagonali: 2 diagonali diverse NON perpendicolari tra loro; si tagliano a metà nel punto di incrocio..

assi di simmetria: NON ha assi di simmetria.

PERIMETRO

Perimetro P=l+l+l+l P = (l di base + lato obliquo) × 2 P = (l di base × 2) + (lato obliquo × 2) Formule inverse Lato di base = (P : 2) – lato obliquo Lato obliquo = (P : 2) – lato di base

AREA

L a superficie del parallelogramma è uguale alla superficie di un rettangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del parallelogramma. Area

Formule inverse

A=b×h

b=A:h h=A:b

Il parallelogramma è chiamato anche romboide. Nel parallelogramma l’altezza NON coincide con il lato obliquo.

Il trapezio

S pazio e figure

Il trapezio è un poligono con 4 lati, di cui una coppia paralleli. Gli elementi del trapezio

base minore

lato obliquo

lato obliquo altezza base maggiore

Trapezio

Nome

diagonali

Caratteristiche

Scaleno

I lati e gli angoli sono disuguali. 2 diagonali, diverse fra loro. Nessun asse di simmetria.

Isoscele

2 lati obliqui uguali. Gli angoli uguali a due a due: 2 sono ottusi e 2 sono acuti. Ha un asse di simmetria. 2 diagonali uguali.

Rettangolo

2 angoli retti. 2 diagonali, diverse fra loro. Nessun asse di simmetria.

S pazio e figure

Perimetro e area del trapezio

PERIMETRO lato obliquo

base minore

lato obliquo

base maggiore

Perimetro

Formule inverse (valide solo per il trapezio isoscele)

P=l+l+l+l B = P – (lato obliquo × 2 + b) Il trapezio isoscele ha due lati uguali, b = P – (lato obliquo × 2 + B) perciò per calcolare il perimetro si può anche usare la formula: lato obliquo = [P – (b + B)] : 2 P = B + b + (lato obliquo × 2)

AREA L a superficie del trapezio è uguale alla superficie di metà di un parallelogramma che ha come base la somma delle basi del trapezio e la stessa altezza del trapezio.

h B

Area

Formule inverse

A = (B + b) × h : 2

(B + b) = A × 2 : h h = A × 2 : (B + b)

S pazio e figure

I poligoni regolari

I poligoni regolari sono poligoni che hanno tutti i lati e tutti gli angoli uguali. Gli elementi dei poligoni regolari lati: tutti uguali. angoli: tutti uguali.

diagonali: tutte uguali.

assi di simmetria: tanti quanti sono i lati. centro altezze: tante quanti sono i vertici. I poligoni prendono il nome dal numero di lati. Il centro del poligono si trova nel punto di incontro degli assi di simmetria. L’apotema (a) di un poligono regolare è l’altezza di ognuno dei triangoli uguali in cui è scomposto il poligono. L a misura dell’apotema dipende da quella del lato. Per calcolare la misura dell’apotema si moltiplica la misura del lato del poligono per un numero fisso.

apotema (a)

Apotema

Formule inverse

a = l × numero fisso

l = a : numero fisso numero fisso = a : lato

S pazio e figure

Perimetro e area dei poligoni regolari

PERIMETRO

Perimetro

Formula inversa

P = l × numero dei lati

l = P : numero dei lati

AREA S e si raddoppiano i triangoli in cui è scomposto il poligono regolare, si ottiene un parallelogramma che ha area doppia rispetto a quella del poligono. La base del parallelogramma è lunga quanto il perimetro del poligono e l’altezza è uguale all’apotema del poligono.

Area del poligono regolare

Formule inverse

A = (P × a) : 2

a = (A × 2) : P P = (A × 2) : a

S pazio e figure

La circonferenza

La circonferenza (C) è una linea curva chiusa i cui punti hanno tutti la stessa distanza da un punto detto centro.

centro circonferenza

L a circonferenza ha una sola dimensione: la lunghezza.

GLI ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA corda

arco

raggio

semicirconferenza

diametro

Elemento

Definizione

Raggio

Segmento che unisce un qualsiasi punto della circonferenza con il centro.

Diametro

Segmento che unisce due punti della circonferenza, passando per il centro; il diametro è lungo il doppio del raggio.

Corda Arco Semicirconferenza

Il diametro è la corda più lunga possibile in una circonferenza.

Segmento che unisce due punti sulla circonferenza. Parte di circonferenza. Arco compreso tra gli estremi di un diametro.

S pazio e figure

Il cerchio

Il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza.

È una figura piana, ma non è un poligono. cerchio

GLI ELEMENTI DEL CERCHIO settore circolare

segmento circolare

semicerchio

corona circolare

Elemento

Definizione

Segmento circolare Parte di cerchio racchiusa tra una corda e un arco. Settore circolare Semicerchio Corona circolare

100

Parte di cerchio compresa tra due raggi e un arco. Parte di cerchio delimitata da un diametro e da una semicirconferenza. Parte di cerchio delimitata da due circonferenze che hanno lo stesso centro (concentriche).

S pazio e figure

Misurare la circonferenza

La circonferenza si misura utilizzando le misure di lunghezza. oiché è una linea curva, non può P essere misurata direttamente utilizzando un righello o una squadra; deve essere prima “rettificata”, cioè si deve immaginare di tagliarla in un punto e allungarla in modo da formare un segmento.

DIAMETRO E CIRCONFERENZA S e si confrontano due o più circonferenze, si nota che la più lunga è quella con il diametro maggiore. La circonferenza aumenta man mano che aumenta il diametro. L a proporzione tra la lunghezza di un diametro e quella della sua circonferenza è sempre costante: ogni circonferenza è lunga un po’ più di 3 volte il suo diametro.

IL PI GRECO Il Pi greco è il rapporto tra la misura Elemento Formula della circonferenza e il diametro. Esso è composto da un numero infinito Circonferenza diametro × π (3,14) di cifre (Circonferenza : diametro = 3,14…). diametro C : π (3,14) Il suo simbolo è π; il suo valore è approssimato, per difetto, a 3,14. Il raggio è la metà del diametro. Elemento

Formula

Circonferenza

raggio × 2 × π (3,14) raggio × 6,28

raggio

C : 6,28

101

S pazio e figure

L’area del cerchio

esagono 6 lati

icosagono 20 lati

decagono 10 lati

Si può immaginare il cerchio come un poligono con un numero infinito di lati. La circonferenza coincide con il perimetro del poligono. Il raggio del cerchio coincide con l’apotema del poligono. Area di un poligono regolare

Area del cerchio

A=P×a:2

A=C×r:2

Formule inverse r = (A × 2): C C = (A × 2) : r

La formula per trovare l’area del cerchio può essere semplificata: A cerchio = C × r : 2 A cerchio = (r × 2 × 3,14 ) × r : 2 A cerchio = r × 2 × 3,14 × r : 2 Le operazioni × 2 e : 2 sono opposte, quindi si eliminano. Formula semplificata: A cerchio = r × r × 3,14 oppure A cerchio = r2 × 3,14

102

S pazio e figure

Perimetro e area delle figure piane Poligono

Perimetro

Area

P=l+l+l

A = (b × h) : 2

P=l×4

A=l×l

P = (b × 2) + (h × 2) oppure: P = (b + h) × 2

A=b×h

P=l+l+l+l

A = (B + b) × h : 2

P=l×4

A = (D × d) : 2

P = (l di base + l obliquo) × 2 P = (l di base × 2) + (l obliquo × 2)

A=b×h

P = l × numero dei lati

A = (P × a) : 2

P = C = diametro × π (3,14)

A=C×r:2 Formula semplificata: A = r × r × 3,14

Triangolo

Quadrato

Rettangolo

Trapezio

Rombo

Parallelogramma (romboide)

Poligono regolare

Cerchio

103

S pazio e figure

I solidi

I solidi sono figure geometriche che hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza.

altezza

larghezza lunghezza

I solidi geometrici si dividono in: • poliedri: solidi chiusi da poligoni

104

• solidi di rotazione: solidi che si ottengono con la rotazione di una figura piana

S pazio e figure

Gli elementi dei solidi

POLIEDRI

Elemento

vertice spigolo altezza

Faccia Base

faccia

Definizione Ognuno dei poligoni che chiude il poliedro. Faccia su cui poggia il poliedro.

Spigolo

Lato comune a due facce.

Vertice

Punto in cui si incontrano gli spigoli.

Altezza

Segmento che dalla faccia superiore cade perpendicolarmente alla base.

base

SOLIDI DI ROTAZIONE

altezza

Elemento

Definizione

Base

Figura piana su cui poggia il solido.

Altezza

Segmento che dalla faccia superiore cade perpendicolarmente alla base.

base

L a superficie laterale è curva. I solidi di rotazione NON hanno spigoli.

105

S pazio e figure

Lo sviluppo e l’area dei solidi Lo sviluppo di un solido è la figura piana formata da tutte le facce del solido.

L’area di un solido è la misura della superficie del suo sviluppo, cioè la misura della superficie delle sue facce.

L’area laterale è la misura della superficie di tutte le facce laterali.

L’area di base è la misura della superficie della faccia di base.

106

L’area totale è la misura della superficie di tutte le facce del solido: quelle laterali e quelle di base. Area totale = area laterale + area delle basi

S pazio e figure

Il volume dei solidi

Il volume di un solido è la misura dello spazio che racchiude.

volume = 5 cubetti

volume = 8 cubetti

volume = 4 cubetti

Per misurare il volume si usano le misure cubiche:

1 cm3

• cm3 (centimetri cubi); • dm3 (decimetri cubi); • m3 (metri cubi)…

Per calcolare il volume di un solido si deve calcolare quanti cm3, dm3, m3… sono contenuti in esso.

Le misure cubiche sono scritte con l’esponente 3 perché indicano che le unità di misura di volume hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza e altezza.

107

S pazio e figure

I poliedri

I poliedri si suddividono in: • prismi: poliedri che hanno almeno due facce uguali e parallele prisma a base pentagonale

parallelepipedo cubo • piramidi: poliedri delimitati da un poligono e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono piramide a base quadrata

• poliedri regolari: poliedri che hanno tutte le facce uguali

dodecaedro

cubo

108

icosaedro

I prismi

S pazio e figure

I prismi sono poliedri che hanno almeno due facce uguali e parallele. Il poligono di base identifica i diversi tipi di prisma.

prisma a base triangolare

prisma a base pentagonale

prisma a base esagonale

prisma a base ottagonale

I l prisma ha come basi 2 poligoni uguali e come facce laterali tanti rettangoli quanti sono i lati del poligono di base.

prisma a base pentagonale

sviluppo del prisma a base pentagonale

L’AREA DEL PRISMA Area prisma a base pentagonale Area laterale = perimetro di base × altezza

Formule inverse sviluppo del prisma a base pentagonale Perimetro di base = area laterale : altezza

Area totale = area laterale + area delle due basi

h = area laterale : perimetro di base

IL VOLUME DEL PRISMA Volume

Formule inverse

V = area di base × altezza

Area di base = volume : altezza h = volume : area di base

109

S pazio e figure

Il parallelepipedo

Il parallelepipedo è un prisma che ha come basi 2 rettangoli o 2 quadrati e come facce laterali 4 rettangoli.

parallelepipedo

sviluppo del parallelepipedo

L’AREA DEL PARALLELEPIPEDO Area

Formule inverse

Area laterale = perimetro di base × altezza

Perimetro di base = area laterale : altezza

Area totale = area laterale + area delle due basi

h = area laterale : perimetro di base

IL VOLUME DEL PARALLELEPIPEDO Volume V = area di base × altezza Formule inverse Area di base = volume : altezza h = volume : area di base

110

Il cubo

S pazio e figure

Il cubo è un prisma che ha come basi e facce laterali 6 quadrati uguali tra loro.

cubo sviluppo del cubo

L’AREA DEL CUBO Area Area laterale = l × l × 4 = (l2 × 4) Area totale = l × l × 6 = (l2 × 6)

IL VOLUME DEL CUBO Volume V = l × l × l = (l3)

111

S pazio e figure

Le piramidi

Le piramidi sono poliedri delimitati da un poligono di base e tanti triangoli quanti sono i lati del poligono. Il poligono di base identifica i diversi tipi di piramide.

piramide a base triangolare

piramide a base quadrata

piramide a base pentagonale

Lo sviluppo della piramide varia in base al tipo di piramide. Varia sia il poligono di base sia il numero dei triangoli che formano le facce laterali.

piramide a base quadrata

sviluppo della piramide a base quadrata

L’AREA DELLA PIRAMIDE Area

Area laterale = (Perimetro di base × altezza della faccia) : 2 oppure area di una faccia × numero delle facce Area totale = area laterale + area della base

Formule inverse

Perimetro di base = (area laterale × 2 ) : altezza della faccia Altezza della faccia = (area laterale × 2) : perimetro di base

112

Il cilindro

S pazio e figure

Il cilindro è un solido di rotazione che ha come basi due cerchi e come faccia laterale un rettangolo “arrotolato”. È ottenuto dalla rotazione di un rettangolo. Il cilindro ha la stessa altezza del rettangolo e il raggio del cerchio di base è uguale alla base del rettangolo che ruota.

cilindro

sviluppo del cilindro

L’AREA DEL CILINDRO Area

Formule inverse

Area laterale = circonferenza di base × altezza

Circonferenza di base = area laterale : altezza

Area totale = area laterale + area delle due basi

h = area laterale : circonferenza di base

La base del rettangolo che forma la faccia laterale del cilindro è lunga quanto la circonferenza del cerchio.

113

S pazio e figure

Mappa riassuntiva LA GEOMETRIA STUDIA:

le linee

le figure piane

i solidi

hanno una sola dimensione: la lunghezza

hanno due dimensioni: lunghezza e larghezza

hanno tre dimensioni: lunghezza, larghezza, altezza

si dividono in

poligoni

non poligoni

si dividono in

solidi di rotazione

poliedri

sono classificati in base a

lati

angoli

di essi si può calcolare

perimetro

di essi si può calcolare

area area

114

volume

MISURE

M isure

La misura è la parte della matematica che confronta le grandezze utilizzando unità di misura convenzionali. Si misurano grandezze come, per esempio, la lunghezza, la massa, la capacità, il tempo… Per la misura di ogni grandezza occorre utilizzare un’adeguata unità di misura. In quasi tutti i Paesi del mondo si utilizzano le unità di misura del Sistema Internazionale di unità di misura (abbreviato con S.I.). In Italia si adotta il S.I. dal 1982. I simboli del S.I.: • devono essere scritti con l’iniziale minuscola; • non sono seguiti dal punto.

115

M isure

Le misure di lunghezza Le misure di lunghezza permettono di conoscere l’altezza, la lunghezza, la larghezza, lo spessore di un elemento, la distanza tra due punti.

L’unità di misura di lunghezza è il metro (m). unità di misura

multipli

sottomultipli

chilometro

ettometro

decametro

metro

decimetro

centimetro

millimetro

dam

1000 m

100 m

10 m

0,1 m

0,01 m

0,001 m

STRUMENTI PER MISURARE LA LUNGHEZZA

righello metro avvolgibile

metro da falegname

116

contachilometri

M isure

Le misure di peso o massa Le misure di peso o massa permettono di conoscere quanto pesa un oggetto o un corpo. L’unità di misura di massa è il chilogrammo (kg). unità di misura

multipli Megagrammo

Mg 1000 kg

h di kg

da di kg

sottomultipli

chilogrammo ettogrammo decagrammo grammo

h di kg da di kg

dag

100 kg

1 kg

0,1 kg

0,01 kg

0,001 kg

10 kg

I sottomultipli del grammo sono usati per misurare piccole masse, come le pillole medicinali o minuscoli oggetti di oreficeria.

sottomultipli del grammo grammo

decigrammo

centigrammo

milligrammo

0,1 g

0,01 g

0,001 g

STRUMENTI PER MISURARE LA MASSA

bilancia digitale

bilancia a dinamometro

bilancia a due piatti

iriagrammo, quintale e tonnellata corrispondono M rispettivamente a 10, 100, 1000 chilogrammi. Queste misure non sono più usate nel Sistema Internazionale, però talvolta si incontrano nel linguaggio comune.

117

M isure

Peso lordo, peso netto, tara Peso lordo

Peso netto

Il peso lordo è la somma del peso del contenuto e del peso del contenitore.

118

Tara

Il peso netto è il peso del contenuto.

La tara è il peso del contenitore vuoto.

Peso lordo

Peso netto

Tara

Peso netto

Peso lordo

–

Tara

Peso lordo

–

Peso netto

Le misure di capacità

M isure

Le misure di capacità si usano per misurare la quantità di liquido contenuta in un recipiente.

L’unità di misura di capacità è il litro (l ). unità di misura

multipli

sottomultipli

ettolitro

decalitro

litro

decilitro

centilitro

millilitro

dal

100 l

10 l

0,1 l

0,01 l

0,001 l

STRUMENTI PER MISURARE LA CAPACITÀ

119

M isure

Le equivalenze Un’equivalenza è la trasformazione di una misura in un’altra misura che abbia identico valore, ma sia espressa con una unità di misura diversa.

Per fare un’equivalenza occorre capire il valore di ogni cifra, partendo da quella indicata dalla marca.

COME TROVARE IL VALORE DI OGNI CIFRA 1. Individuare l’unità di misura indicata dalla marca. La marca corrisponde sempre alla cifra delle unità. • Nei numeri interi è la prima cifra a destra. | ESEMPIO 75 dm la cifra 5 indica i dm 46 876 m la cifra 6 indica i m • Nei numeri decimali è la cifra che precede la virgola. | ESEMPIO 13,46 dal la cifra 3 indica i dal 0,476 l la cifra 0 indica i l 2. Trovare il valore delle altre cifre. | ESEMPIO 13,46 dal la cifra 3 indica i dal hl

dal

In tutte le misure la marca segue il numero. | ESEMPIO 3,2 m

120

m 3,2

Eseguire le equivalenze

M isure

Per eseguire le equivalenze si possono utilizzare più sistemi. 1. Individuare il valore delle cifre. • Si individua il valore di ogni cifra. • Si mette la virgola immediatamente dopo la cifra che rappresenta la nuova marca. Se dopo tale cifra non ce ne sono altre, la virgola si omette. | ESEMPIO 1 4673 m = ......................... dam

dam

4673 m = 467,3 dam | ESEMPIO 2 3,467 hm = ......................... dm

dam

3,467 hm = 3467 dm • Se necessario, si aggiungono gli zeri segnaposto per arrivare a esprimere la cifra delle unità. | ESEMPIO 3 3,2 km = ......................... m

dam

3,2 km = 3200 m

121

M isure 2. Moltiplicare o dividere. Si osservano le due marche: 3 dm = 300 mm

300 mm = 3 dm

se la prima è maggiore, il numero andrà moltiplicato per 10, 100, 1000…

se la prima è minore, il numero andrà diviso per 10, 100, 1 000…

er stabilire per quanto si deve moltiplicare o dividere, occorre stabilire P di quanti posti ci si deve spostare sulla tabella delle misure. si moltiplica km

dam

si divide • Se il posto è uno solo (es. m • dam), si divide o moltiplica × 10; • se i posti sono due (es. m • hm), si divide o moltiplica × 100; • se i posti sono tre (es. m • km), si divide o moltiplica × 1 000 e così via… | ESEMPIO 14,27 m = ................. cm da metri a centimetri occorre spostare la virgola di due posti verso destra 14,27 × 100 = 1427 14,27 m = 1427 cm

122

Le misure di superficie

M isure

Le misure di superficie si usano per misurare l’area delle figure piane. L ’unità di misura della superficie è il metro quadrato (m2), cioè un quadrato con il lato di un metro. Ogni marca si riferisce alla cifra delle unità e a quella delle decine. unità di misura

multipli

sottomultipli

chilometro quadrato

ettometro quadrato

decametro quadrato

metro quadrato

decimetro quadrato

centimetro quadrato

millimetro quadrato

km2

hm2

dam2

dm2

cm2

mm2

1 000000 m2

10 000 m2

100 m2

1 m2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

gni unità di misura di superficie è 100 volte più piccola di quella O che la precede e 100 volte più grande di quella che la segue. Per eseguire le equivalenze tra misure quadrate si seguono le regole delle pagine 121 e 122, ma occorre tenere presente che, passando da un’unità di misura all’altra, occorre moltiplicare o dividere per 100, anziché per 10.

LE MISURE AGRARIE Le misure agrarie si usano per misurare le superfici dei terreni agricoli. ettaro

ara

centiara

(corrisponde all’ettometro quadrato)

(corrisponde al decametro quadrato)

(corrisponde al metro quadrato)

u 100 a

u 1a

u 0,01 a

123

M isure

Il volume Le misure di volume si usano per misurare lo spazio occupato dai solidi.

L ’unità di misura di volume è il metro cubo (m3), cioè un cubo con il lato di un metro. gni marca si riferisce alla cifra delle unità, a quella delle decine O e a quella delle centinaia. unità di misura

multipli

sottomultipli

chilometro cubo

ettometro cubo

decametro cubo

metro cubo

decimetro cubo

centimetro cubo

millimetro cubo

km3

hm3

dam3

dm3

cm3

mm3

gni unità di misura di volume è 1 000 volte più piccola di quella O che la precede e 1 000 volte più grande di quella che la segue. Per eseguire le equivalenze tra misure di volume si seguono le regole delle pagine 121 e 122, ma occorre tenere presente che, passando da un'unità di misura all'altra, occorre moltiplicare o dividere per 1 000, anziché per 10.

L’unità di misura del volume ha esponente 3 perché il volume comprende 3 dimensioni.

124

Le misure di tempo

M isure

Le misure di tempo permettono di conoscere la durata degli eventi. L’unità di misura del tempo è il secondo (s). unità di misura

multipli giorno

ora

minuto

secondo

min

24 h

60 min

60 s

sottomultipli decimo di secondo

centesimo di secondo

millesimo di secondo

0,1 s

0,01 s

0,001 s

I MULTIPLI DEL GIORNO E DELL’ANNO giorno ×7

×5

lustro

settimana

× 10

decennio

× 100

secolo

× 1 000

millennio

29 • 30 • 31 mese × 12

anno

×4

quadrimestre

×3

trimestre

125

M isure

Il tempo, la velocità, lo spazio La velocità è una grandezza che indica quanto si è rapidi a percorrere una distanza. Velocità, spazio percorso e tempo impiegato sono collegati tra loro.

Si calcolano in questo modo: Velocità

Spazio

Tempo

| ESEMPIO Se un ciclista percorre 45 km in 3 ore, la velocità è di 15 km all’ora. (45 : 3 = 15)

Spazio

Velocità

Tempo

| ESEMPIO Un’automobile che viaggia a 100 km all’ora per 2 ore percorre 200 km. (100 × 2 = 200)

Tempo

Spazio

| ESEMPIO Un treno che percorre 450 km alla velocità di 150 km orari impiega 3 ore. (450 : 150 = 3)

126

Velocità

M isure

Costo unitario e costo totale Il costo unitario è il prezzo di un solo elemento acquistato. Il costo totale (o complessivo) è il prezzo di tutti gli elementi acquistati.

Costo totale

| ESEMPIO Costo unitario Numero oggetti Costo totale

Costo unitario | ESEMPIO Costo totale Numero oggetti Costo unitario

Numero oggetti | ESEMPIO Costo totale Costo unitario Numero oggetti

Costo unitario

Numero oggetti

€ 0,80 5 € 0,80 × 5 = € 4,00

Costo totale

Numero oggetti

€ 45,00 3 € 45,00 : 3 = € 15,00

Costo totale

Costo unitario

€ 18,00 € 3,00 € 18,00 : € 3,00 = 6

127

M isure

La compravendita

er capire il meccanismo della compravendita bisogna immaginare P di essere un negoziante.

La spesa indica quanto il negoziante ha pagato per acquistare le merci dal grossista.

Il ricavo è il denaro che il negoziante incassa dalla vendita dei prodotti.

Se il negoziante ha venduto la merce a un prezzo superiore alla spesa, ha ottenuto un guadagno.

Se il negoziante ha venduto la merce a un prezzo inferiore alla spesa, ha subito una perdita.

Ricavo

Spesa

Guadagno

Spesa

Ricavo

–

Guadagno

Ricavo

–

Spesa

Perdita

Spesa

–

Ricavo

Nella compravendita vi sono sempre una spesa e un ricavo. Non possono, invece, esserci contemporaneamente perdita e guadagno.

128

Mappa riassuntiva

M isure

MISURARE significa

trovare quante volte un’unità campione è contenuta nella grandezza da misurare

un numero accompagnato da un’unità di misura

si esprime con

necessita di

unità di misura

che sono di

che dipendono

che può essere trasformato in un altro numero accompagnato da un’altra marca

dalla grandezza da misurare

attraverso una

equivalenza

Unità di misura Marca lunghezza

metro

superficie

metro quadrato

volume

metro cubo

peso / massa

chilogrammo

capacità

litro

tempo

secondo

valore

euro

€

129

R elazioni, dati e previsioni

RELAZIONI, DATI E PREVISIONI La statistica è il ramo della matematica che studia i fenomeni collettivi che possono essere conosciuti attraverso osservazioni sistematiche.

Dunque, chi studia statistica deve: • raccogliere i dati relativi al fenomeno da indagare; • scoprire le relazioni tra i dati stessi; • classificare i dati raccolti; • esporli attraverso grafici e tabelle.

ompito della statistica è anche fare previsioni C su eventi incerti, per valutare le probabilità che un fenomeno si verifichi.

130

R elazioni, dati e previsioni

Classificare

Per classificare numeri, figure, oggetti, occorre riconoscere le proprietà comuni che essi hanno.

CLASSIFICARE IN BASE A UNA PROPRIETÀ Per classificare, occorre definire: • un criterio di classificazione; • il gruppo di elementi nei quali viene operata la classificazione. | ESEMPIO L’insieme dei giocattoli rossi di Luca.

Criterio di classificazione: essere di colore rosso. Gruppo di elementi nei quali viene operata la classificazione: i giocattoli di Luca. La palla rossa appartiene all’insieme perché è rossa. La palla blu NON appartiene all’insieme perché NON è rossa. Quando si opera una classificazione, vanno utilizzati criteri di classificazione oggettivi e non soggettivi. Ad esempio, è possibile classificare i giocattoli di Luca raggruppando quelli rossi, ma non è possibile raggruppare quelli belli, perché non tutti hanno gli stessi gusti.

131

R elazioni, dati e previsioni

Classificazioni: il diagramma di Venn

Le classificazioni possono essere rappresentate attraverso differenti schemi o diagrammi. Il diagramma di Venn utilizza una linea chiusa che rappresenta un insieme.

INSIEMI DISGIUNTI Gli insiemi disgiunti sono insiemi che non hanno alcun elemento in comune. L’insieme degli ombrelli aperti non contiene gli ombrelli chiusi e l’insieme degli ombrelli chiusi non contiene gli ombrelli aperti.

SOTTOINSIEME Al sottoinsieme appartengono tutti gli elementi dell’insieme che hanno una caratteristica comune in più rispetto agli altri elementi. L’insieme contiene i gattini e il sottoinsieme contiene solo i gattini con il collare azzurro.

INTERSEZIONE All’intersezione appartengono gli elementi che hanno le caratteristiche di entrambi gli insiemi. L’insieme intersezione contiene il clown che ha sia il cappellino sia la trombetta.

132

R elazioni, dati e previsioni

Il diagramma di Carroll

Il diagramma di Carroll rappresenta le classificazioni in una tabella.

CLASSIFICAZIONE IN BASE A DUE PROPRIETÀ Con lo zaino

Senza zaino

Con il casco

Senza il casco

Il diagramma ad albero Il diagramma ad albero utilizza uno schema che permette di separare gli elementi che possiedono una proprietà da quelli che non la possiedono. Il diagramma ad albero è adatto a rappresentare anche classificazioni in base a tre o più proprietà. con il collare

a macchie con guinzaglio

senza collare con il collare

non a macchie senza collare

CANI a macchie

con il collare senza collare

senza guinzaglio

con il collare non a macchie senza collare

133

R elazioni, dati e previsioni

La probabilità

Un evento può essere: • certo, se si verificherà di sicuro; • impossibile, se non potrà mai verificarsi; • possibile, se potrebbe verificarsi, ma non si può averne la certezza. | ESEMPIO Lanciando un dado:

• è certo che uscirà un numero compreso tra 1 a 6; • è impossibile che esca il numero 7; • è possibile che esca un numero pari.

L a probabilità che un evento accada dipende dal numero di casi favorevoli e dal numero di casi possibili. casi favorevoli Probabilità = casi possibili

Probabilità di estrarre una pallina rossa: • casi favorevoli: 4 • casi possibili: 10 Probabilità

134

4 10

R elazioni, dati e previsioni

Il calcolo delle probabilità La probabilità si può esprimere per mezzo di una frazione o attraverso una percentuale.

E sprimere la probabilità attraverso la percentuale rende più semplice il confronto tra due eventi.

Probabilità di estrarre una pallina gialla:

• casi favorevoli: 3 • casi possibili: 12

• casi favorevoli: 4 • casi possibili: 20

Probabilità 3 12

3 12

3 : 12 = 0,25 =

Probabilità 25 = 25% 100

4 20

4 : 20 = 0,20 =

20 = 20% 100

È più probabile estrarre una pallina gialla dal primo sacchetto.

L a probabilità di un evento certo è pari a 100% La probabilità di un evento impossibile è pari a 0% La probabilità di un evento possibile è maggiore di 0% e minore di 100%

135

R elazioni, dati e previsioni

Gli indici statistici: la frequenza, la moda e l’intervallo di variazione La frequenza è il numero di volte in cui ogni dato appare nell’indagine statistica. | ESEMPIO

Giorno della settimana Presenze in piscina

lunedì martedì mercoledì giovedì venerdì sabato domenica 40

120

100

170

200

La frequenza relativa al lunedì è 40. La moda, in una rilevazione statistica, è il dato che appare con frequenza maggiore. | ESEMPIO Presenze di turisti nelle città d’arte nel mese di marzo

250 000 200 000 150 000

La moda è rappresentata dalla città di Roma.

100 000 50 000 Venezia

Roma Napoli Firenze Palermo Siena

L’intervallo di variazione è la differenza tra il valore minimo e quello massimo dei dati raccolti nell’indagine statistica. | ESEMPIO

Sport

Calcio

Nuoto

Karate

Frequenza

136

Il valore massimo è 8. Il valore minimo è 2. Calcolo dell’intervallo di variazione: 8–2=6

R elazioni, dati e previsioni

Gli indici statistici: la media e la mediana

La media aritmetica è un indice statistico che si ottiene addizionando tutti i dati raccolti nell’indagine statistica e dividendo la somma per il numero dei dati. | ESEMPIO

Settimane

km percorsi

1° settimana

450

2° settimana

640

3° settimana

520

4° settimana

360

5° settimana

720

Calcolo della media: (450 + 640 + 520 + 360 + 720) : 5 = 2690 : 5 = 538 La media è pari a 538 chilometri alla settimana.

La mediana è il valore centrale della serie di dati raccolti nell’indagine statistica, ordinati in ordine crescente o decrescente. S e nella serie ordinata i dati: • sono in numero dispari, la mediana è rappresentata solo da un numero; • sono in numero pari, la mediana è rappresentata dalla media dei due numeri centrali. 25

Numero di risposte esatte nella prova di verifica di italiano 24

20 15

20 18 14

18 15

Numero di risposte esatte nella prova di verifica di matematica

Dina Sergio Sandro Lella Sara

La mediana è 16.

Anes

Lea Susanna Chiara Filippo Claudio

Calcolo della mediana (16 + 18) : 2 = 34 : 2 = 17 La mediana è 17.

137

R elazioni, dati e previsioni

I grafici

I grafici sono strumenti che servono per visualizzare i dati raccolti nelle indagini statistiche. Gli istogrammi rappresentano i dati attraverso colonne verticali o barre orizzontali.

GRAFICO A COLONNE

GRAFICO A BARRE

Popolazione del Comune di Casedisotto 4 000

Lunghezza di alcuni fiumi d’Italia 652

3 000

maschi femmine

2 000

Adige

410

Tevere

405

Adda

313

Arno

1 000

Ofanto

0 2018

2019

2020

241 170 100 200 300 400 500 600 700 km

Gli areogrammi rappresentano i dati espressi in percentuale.

AREOGRAMMA QUADRATO L’areogramma quadrato è costituito da un quadrato suddiviso in 100 quadretti.

AREOGRAMMA CIRCOLARE O “A TORTA” Territorio italiano

Terre emerse

23% 7% Europa 30% Asia 20% Africa 28% America 6% Oceania 9% Antartide

138

42% 35%

collina montagna pianura

R elazioni, dati e previsioni Gli ideogrammi rappresentano i dati attraverso dei simboli. Ogni simbolo rappresenta la quantità indicata nella legenda. | ESEMPIO

Libri prestati dalla biblioteca nel mese di marzo

Legenda:  = 10 libri

Argomento

Numero di libri prestati

Avventura

     

Fantascienza Fiabe Fumetti Horror Scienza

Il diagramma cartesiano rappresenta i dati tramite un piano cartesiano. | ESEMPIO Temperatura della settimana temperatura 20° 19° 18° 17° 16° 15° 14° 13° 12° 11° 10°

lun

mar mer

gio

ven

sab dom

giorno

139

R elazioni, dati e previsioni

Mappa riassuntiva LA STATISTICA è la parte della matematica che

scopre le relazioni tra essi

raccoglie i dati

calcola la probabilità che un fatto accada

in base ai quali

li classifica li sintetizza

fa delle previsioni

mediante per mezzo di

diagrammi

di Venn

grafici e tabelle

di Carroll

ad albero

indici statistici

utilizza

quali

frequenza 140

moda

media

mediana

intervallo di variazione

PROBLEMI

P roblemi

“Risolvere problemi significa trovare una strada per uscire da una difficoltà, una strada per aggirare un ostacolo, per raggiungere uno scopo che non sia immediatamente raggiungibile”. George Polya

Il problema matematico è un testo che illustra una situazione che deve essere risolta.

Nel testo di un problema si trovano: • i dati; • la domanda (o le domande). Per risolvere il problema occorre utilizzare: • le informazioni del testo, che generalmente sono espresse attraverso dei numeri; • eseguire le operazioni necessarie per rispondere alla/e domanda/e.

Per risolvere il problema è necessario: • comprendere la situazione; • rappresentarla mentalmente; • pianificare la successione delle operazioni necessarie per giungere alla soluzione; • valutare se il risultato raggiunto è coerente con i dati del problema.

141

P roblemi

Gli elementi del problema

IL TESTO Il testo:

• fornisce le informazioni (dati); • pone la domanda (o le domande).

LA DOMANDA La domanda può essere formulata: • con una frase che termina con un punto interrogativo; • con una indicazione (Trova… Si vuole sapere…). La domanda può essere: • esplicita; • nascosta. La domanda nascosta non è chiaramente espressa o scritta nel testo, ma deve essere intuita per poter giungere alla soluzione del problema.

I DATI I dati sono le informazioni numeriche fornite dal testo del problema. Dati utili Dati inutili

Sono i dati necessari per risolvere il problema. Sono dati forniti dal testo del problema, ma che non sono necessari per la risoluzione del problema.

Dati espliciti Sono i dati numerici indicati chiaramente nel testo. Dati impliciti

Sono i dati non espressi in maniera chiara, ma “nascosti” in parole significative. Ad esempio: una settimana, un paio, una dozzina, la metà…

Talvolta si può trovare un problema con dati mancanti, cioè non forniti e non ricavabili dal testo. In tal caso il problema NON può essere risolto.

142

P roblemi

Il procedimento risolutivo La soluzione del problema viene raggiunta attraverso una serie di operazioni aritmetiche. Le operazioni possono essere indicate: • in successione; • in un diagramma; • con un’espressione aritmetica. | ESEMPIO Un ristoratore ha comperato 8 scatole di bicchieri da vino, ognuna delle quali ne contiene 12, e 7 scatole di bicchieri da acqua, ognuna delle quali ne contiene 6. Quanti bicchieri ha comperato in tutto?

Successione di operazioni 12 × 8 = 96 6 × 7 = 42 96 + 42 = 138 Diagramma 12

× 96

138 Espressione (12 × 8) + (6 × 7) = 138

143

P roblemi

Le tappe per risolvere un problema Per risolvere un problema si deve: leggere attentamente il testo

rappresentare mentalmente la situazione

riflettere sulla/e domanda/e e comprendere che cosa viene richiesto

individuare i dati utili (impliciti ed espliciti)

individuare il percorso per risolvere il problema

eseguire le operazioni

scrivere la/le risposta/e

144

Nuovi

i d r a u g r T @ tica a

CODING DELLA DIDATTICA

METODO TESSITORE

Matem Attiva

CLASSE 4

ISBN per l’adozione ambito antropologico: 978-88-468-4188-9 ISBN per l’adozione ambito scientifico: 978-88-468-4189-6

• Sussidiario Storia con Quaderno operativo 4: 120 + 72 pagine • Sussidiario Geografia con Quaderno operativo 4: 96 + 72 pagine • Sussidiario Matematica con Quaderno operativo 4: 144 + 96 pagine • Sussidiario Scienze e Tecnologia con Quaderno operativo 4: 96 + 72 pagine • Quaderno delle Verifiche Storia-Geografia 4: 48 pagine • Quaderno delle Verifiche Matematica-Scienze-Tecnologia 4: 48 pagine • Mappe mentali (ambito antropologico e scientifico) 4: 72 pagine • Atlante multidisciplinare (ambito antropologico e scientifico) 4: 72 pagine • Educazione Civica 4-5: 96 pagine • La Mia Matematica Attiva 4-5: 144 pagine

CLASSE 5

ISBN per l’adozione ambito antropologico: 978-88-468-4190-2 ISBN per l’adozione ambito scientifico: 978-88-468-4191-9

• Sussidiario Storia con Quaderno operativo 5: 120 + 72 pagine • Sussidiario Geografia con Quaderno operativo 5: 96 + 72 pagine • Sussidiario Matematica con Quaderno operativo 5: 144 + 96 pagine • Sussidiario Scienze e Tecnologia con Quaderno operativo 5: 96 + 72 pagine • Quaderno delle Verifiche Storia-Geografia 5: 48 pagine • Quaderno delle Verifiche Matematica-Scienze-Tecnologia 5: 48 pagine • Mappe mentali (ambito antropologico e scientifico) 5: 72 pagine • Atlante multidisciplinare (ambito antropologico e scientifico) 5: 72 pagine

Alla classe il

è disponibile anche la versione in TOMO

FLIP POSTER di STORIA GEOGRAFIA SCIENZE

UNICO

ISBN per l’adozione della classe 4: 978-88-468-4192-6 ISBN per l’adozione della classe 5: 978-88-468-4193-3

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