Notas Sobre a Geometria Diferencial

Notas sobre a

Geometria Diferencial

(uma exposição com base nos vetores e nos diádicos)

Elysio R. F. Ruggeri

Preparado em janeiro de 1995.

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RESUMO

Neste artigo, valoriza-se a utilização do Cálculo Poliádico (particularmente o Cálculo Vetorial e o Cálculo Diádico) como uma ferramenta eficaz para o estudo da geometria diferencial.

A teoria dos contatos torna-se mais clara, mais simples e até mais concretas.

Calcula-se o limite da razão, para o arco, da distância de pontos eqüidistantes sobre dois arcos.

Apresentam-se expressões novas para as curvaturas normal e de torção de uma  do plano tangente. superfície no seu ponto genérico, na direção do unitário arbitrário u Essas expressões são independentes das clássicas "primeira e segunda formas quadráticas fundamentais" e respectivos "coeficientes de Gauss". São elas:

1  u . ( m  ) . u e 1  m  . [u . ( m  )  u ], R T  é o diádico gradiente do unitário da normal à onde R e T são os raios de curvatura e  m superfície no ponto. Aqui, o operador  é o análogo (curvo) do clássico nabla do espaço euclideano (plano) bidimensional.

Caracterizam-se os pontos da superfície por métodos poliádicos. Para atender o interesse do calculista de estruturas em casca, estudam-se situações específicas em que a superfície é representada analiticamente em forma explícita, o caso das superfícies de revolução e o caso das rebaixadas (para as quais a curvatura de torção é desprezível e a métrica é praticamente euclideana).

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§ 01 -Representações de curvas e superfícies.

Das superfícies em geral.

Em relação a um certo sistema de coordenadas retilíneas X,Y,Z uma superfície (S) é um conjunto de pontos cujas coordenadas satisfazem a uma equação da forma F(X,Y,Z)=Constante,

(01),

-dita, forma implícita de representação da superfície - e que, por hipótese, admite derivadas parciais (ao menos até a terceira ordem) finitas e contínuas. Nesse caso, (S) é dita uma superfície regular.

Quando F é um polinômio em X,Y e Z, a superfície é dita algébrica, e o grau do polinômio é o grau da superfície. As superfícies do 1º grau são os planos; as do 2º grau as quádricas; as do 3º as cúbicas etc.

As superfícies que não forem algébricas serão ditas transcendentes. Às vezes é possível expressar Z como uma função única de X e Y (além de uma constante), na forma Z=G(X,Y,const.),

(02),

caso em que (02) é dita uma forma explícita de representação de (S). É lógico que (01) é uma forma mais geral de representação de (S) que (02), já que poderíamos escrever FZ - G(X,Y,const.)=0.

Uma superfície pode também ser representada analiticamente expressando as coordenadas dos seus pontos como funções (unívocas e contínuas, por hipótese) de dois parâmetros; essa representação é denominada paramétrica e é a que mais interessa na Teoria da Elasticidade. Escrevemos: X=X(U1,U2,const.),

Y=Y(U1,U2,const.),

Z=Z(U1,U2,const.),

(03).

A cada par de valores dos parâmetros corresponderá um ponto da superfície; e reciprocamente. Se for possível eliminar os dois parâmetros U 1 e U2 entre as equações (03), obteremos uma equação do tipo (01).

Se, em relação aos vetores de base u , u e u associados aos eixos do sistema de 1

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coordenadas, r é o vetor posicional de R, então

r  Xu1  Yu2  Zu3 e a forma vetorial de representação de (S), equivalente a (01), é F(r)=constante, A equivalente vetorial de (03) é

(011).

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r=r(U1,U2,const.),

(03 1),

e nesse caso (S) será dita, também, a hodógrafa da função vetorial (031).

A cada valor da constante corresponde uma superfície; logo, fazendo-se variar a constante, obteremos uma família de superfícies.

Exemplo: (superfícies quádricas Se  é um diádico simétrico, a um vetor e A um número, todos independentes do ponto (isto é, de X, Y e Z), a equação

F(r)  r. .r  a.r  A  0 ,

(012),

um caso particular de (011), representa uma família de superfícies quádricas reais ou imaginárias. Para um valor particular da constante, a equação individua uma determinada quádrica. Se a=o a quádrica tem centro (a troca de r por -r não altera a sua equação); nesse caso a sua equação pode ser reduzida à forma

r. .r  1, sendo  = A .

Curvas reversas.

Consideremos uma dada superfície (S) de uma família (constante fixada) e arbitremos na sua equação paramétrica um valor para o parâmetro U  (=1 ou 2). Então, qualquer que seja o parâmetro considerado, (03 1) é escrita na forma: r=r(U, constante),

(04).

Quando U variar, o ponto R descreverá uma curva que pertence a essa superfície e (04) será dita a sua equação vetorial paramétrica. Essa curva é a hodógrafa da equação (01) e sua representação paramétrica cartesiana pode ser obtida diretamente das (03). Como essas funções são unívocas e contínuas, concluímos que a cada ponto de (S) está associado um e um único par de curvas de (S). Cotando essas curvas em valores dos respectivos parâmetros, estabeleceremos sobre (S) uma rede de curvas que funciona como um sistema do coordenadas curvilíneas para os pontos de (S). Tal como no plano associamos, imaginariamente, a cada ponto, um par de retas - suas coordenadas retilíneas -, na superfície associamos a cada ponto um par de curvas - suas coordenadas curvilíneas.

De um modo geral, toda equação do tipo (04) representa uma curva reversa ou espacial; ela será dita plana se todos os seus pontos pertencerem a um plano.

Teor. 1: A CNS para que uma curva r=r(U) seja plana é que (rr'r")=0, ou (r'r"r"')=0: r=r(U) curva plana



(rr'r")=0, ou (r'r"r"')=0

(05).

Provemos a primeira parte. Se r=r(U) é uma curva plana e a é um unitário fixo ortogonal ao seu plano, r.a=0. Por derivação em relação ao parâmetro da curva deduzimos: r'.a=r".a=0. Então, r, r' e r"são vetores ortogonais a a, isto é, coplanares com produto

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misto nulo. Reciprocamente, se uma curva r=r(U) admite (rr'r")=0 para todo r, r é paralelo a um plano fixo (teorema clássico), e a curva pertence a esse plano.

Provemos a segunda parte. Se a curva é plana, a primeira parte garante ser (rr'r")=0; derivando vem: (rr'r"')=0. Logo são coplanares r, r', r" e r"', ou seja (r'r"r"')=0. Reciprocamente, se (r'r"r"')=0 para todo r, existe um vetor w(U) que é perpendicular ao plano de r', r"e r"', sendo, pois, r'. w=0=r". w. Por derivação em relação ao parâmetro vem: r". w + r'. w'=0=r"'. w + r". w'. Logo, r'. w'=0=r". w', isto é, w é paralelo ao seu vetor derivada (por serem ambos perpendiculares a r' e a r"). Segundo teorema clássico, w tem direção constante, digamos a do unitário u. Então de r'. w=0=r". w=r"'. w vem (u.r)'=(u.r')'=(u.r")'=0, ou, integrando, u.r=u.b sendo b vetor constante.

Assim, (r-b).u=0 e o vetor r-b pertence ao plano de r', r"e r"', Por isso, (r-b)^r'.r"=0, ou seja (rr'r")=(br'r"). Pela demonstração da primeira parte (rr'r")=0, o que implica ser b vetor coplanar com r' e r". Então u.r=0 e r pertence também a esse plano.

Os sistemas de coordenadas curvilíneas de uma superfície em geral são curvas reversas.

Superfícies cilíndricas e cônicas.

Se (04) é proveniente de (03) e, eventualmente, (rrr)  o , a curva é plana e (01) pode ser reduzida a uma forma implícita em que falte, digamos, a letra Z. Nesse caso a superfície terá por equação F(X,Y)=constante,

(06).

Se X0,Y0 é um par de números que satisfaz (05), todos os pontos do espaço de coordenadas (X0,Y0,Z) também a satisfarão. Então, todos os pontos da reta paralela ao eixo dos Z e que passe por X0,Y0 do plano X,Y pertencem à superfície (05). Esta superfície é uma superfície cilíndrica, de geratriz paralela ao eixo Z e sua interseção com o plano X,Y é a curva de equação (05).

Seja (C) uma curva reversa qualquer cujo ponto genérico, R, é definido pelo vetor r(U). Seja a) uma reta que se desloque sempre paralelamente a um vetor de direção fixa, de unitário k , mas sempre apoiada em (C). Então, se q é o vetor posicional do ponto genérico Q de a), isto e, do ponto genérico da superfície cilíndrica correspondente (Fig. 01),

q(U, V)  r(U)  Vkˆ , onde V é um parâmetro variável em todo o campo real.

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Se adotarmos a direção de k para eixo dos Z, e se projetarmos (C) sobre um plano perpendicular a k , então esta mesma superfície cilíndrica será representada cartesianamente por uma equação do tipo (05).

• Se (04) é uma reta, r tem direção constante (Fig. 02) e, portanto, na equação (01) faltará também uma segunda letra, digamos Y se adotarmos a direção constante como eixo do X. A equação da superfície é, então, F(X)=constante,

(06).

Se X=X1, X=X2, ... são valores de X que satisfazem (06), então essa equação representa os planos X=X1, X=X2, ... paralelos ao plano YZ porque ela é satisfeita para esses valores de X e valores arbitrários de Y e Z. Se a curva reversa (C) anteriormente considerada como diretriz da superfície cilíndrica fosse uma reta qualquer, a), a sua projeção ortogonal sobre um plano ) ortogonal à direção fixa k seria também uma reta, b). Adotando-se como origem de um sistema um ponto qualquer do plano ) e como eixos cartesianos: uma reta qualquer paralela a k como eixo Z, uma reta paralela a b) como eixo Y e uma perpendicular a b) como eixo X, a equação do plano definido por a) e k seria X = constante. Então o vetor posicional de um ponto qualquer desse plano seria

q(U, V)  Xˆi  p

..........

etc

Vê-se, assim, que em geral os sistemas de coordenadas curvilíneas de uma superfície são compostos por curvas reversas, exceto no caso das superfícies regradas (as cilíndricas e as cônicas).

Superfície cônica Exemplo:(caso das quádricas) ...... etc

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§ 02 - Parametrização da equação de uma curva pelo comprimento do arco.

Comprimento de arco.

Chama-se comprimento de arco elementar de uma curva ao número real ds  dr.dr . Como dr  dU dr dU , tem-se: ds2  (dU)2 (dr dU)2 . O comprimento de um arco de curva compreendido entre os valores U0 e U do parâmetro é obtido efetuandose a soma de infinitos arcos elementares em que se pode subdividir esse arco. Como r=r(U) é função contínua, existe o limite 2

s  lim  ds  lim 

U dr dr dr dr . dU , sendo s  U . dU . dU dU dU dU 0

A equação paramétrica de uma curva pode ser estabelecida com uma infinidade de parâmetros. O parâmetro com o qual se ganha em simplicidade é o comprimento de arco da curva; e para que isso se verifique, é CNS que

dr . dr  1, ou, pondo r  dr , r . r  1,  dU   dU dU

(01).

Nesse caso deduzimos, por derivações sucessivas:

r. r  0,  r. r  r2 ,  r. rIV  3r. r , r.r V  4r.rIV  3r2 ,  r.r VI  5r.r V  10r.rIV ,  r.r VII , 2

r.r VII  6r.r VI  15r.r V  10rIV , etc

(01 1),

as derivadas enésimas de (01) podendo ser escritas na forma

((r  r))(n)  C0nr(n1) . r  C1nr(n) . r  C2nr(n1) . r  C3nr(n2) . rIV  ...  Cnn1r. r(n)  Cnnr. r(n1) onde a operação simbólica ((  ))(n) indica que se deva desenvolver as potências enésimas de r  r pela fórmula clássica do binômio de Newton como se r fosse um número, e substituir as potências formadas, (r)i , por derivadas (i+1)-ésimas, isto é, por

(r) i  r (i1) , inclusive para i = 0.

Uma primeira conseqüencia imediata da primeira das (01 1) está em que a derivada primeira do posicional do ponto genérico de uma curva em relação ao arco é um vetor unitário que é perpendicular ao vetor derivada segunda.

Tangente a uma curva.

Vamos caracterizar geometricamente o vetor derivada primeira, r'. Sejam P e Q pontos de uma curva de equação vetorial parametrizada pelo comprimento de arco, s,

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correspondentes aos valores s e s+,  sendo o comprimento do arco PQ. O vetor r(s), cuja origem é arbitrária, pode ser representado pela fórmula de Taylor:

r(s + )  r(s)  1 r (s)  1 r(s) 2  1 r(s) 3  ... , 1!

2!

3!

(02),

r(s + )  r(s) 1  r (s)  1 r(s)  1 r (s) 2  ... ,  1!

2!

3!

(021).

donde,

Considerando (01) e as (011), deduzimos de (021):

[

r(s + )  r(s) 2 ]  1  2 r  2  2  2 r .r  3  1 (9r .r IV  8r  2 ) 4   4!

4!

3  5!

2  1 (4r .r V  15r .r IV ) 5  1 (5r.r VI  16r .r V  45 r IV ) 6  ... , 7!

4 6!

(03).

Por (03) vemos que quando Q tende para P (ou 0) a razão do quadrado do vetor-corda r(s  )  r(s) para o quadrado do arco =ds tende para a unidade positiva.

Independentemente do sinal de , o vetor [ r(s  )  r(s) ]/ aponta sempre no sentido do crescimento do arco. Representando por tˆ(s) o unitário da tangente no ponto P de parâmetro s, podemos escrever, então:

lim

QP

r(s + ds)  r(s) ˆ  t(s)  r(s) , ds

(04).

Em resumo: Quando a equação de uma curva está parametrizada no comprimento do arco medido a partir de um de seus pontos, o vetor r'(s), determinado por (04) no ponto corrente P de parâmetro s, é o vetor unitário da tangente à curva em P, tˆ , e aponta no sentido do crescimento do arco.

Se x é o posicional do ponto corrente X da tangente a uma curva (C) de equação r=r(s) num ponto P(s), a equação vetorial dessa tangente é

x  r(s)  Dt (s)  r(s)  D dr , ds

(05),

onde D é a distância de P a X. As distâncias sobre a tangente são positivas se o vetor de origem P e extremidade X tem o mesmo sentido que t(s) .

§ 03 - Contato.

Intuitivamente, dizer que duas figuras (não superponíveis) têm um certo número N de "pontos consecutivos" em comum eqüivale a dizer que elas admitem "um contato de ordem N". Vamos matematizar, ou melhor, vamos tornar preciso esse conceito do ponto de vista matemático.

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Sejam duas curvas quaisquer (R) e (V), planas ou reversas, com um ponto de contato, um ponto ordinário, P. Tomemos esse ponto como origem de medida dos arcos sobre cada uma delas. Dois pontos, um de cada curva, serão ditos eqüidistantes do contato quando os arcos que os separam desse contato têm o mesmo comprimento, digamos  (Fig. 03).

Definição: Diremos que duas curvas (R) e (V) têm um contato de ordem N num ponto P comum a ambas se a razão d/k da distância retilínea d=QD de dois pontos Q e D dessas curvas, eqüidistantes de P do arco , tende para um limite finito se k = N + 1 e para zero se k = N, quando  tende para 0:  d  n finito, lim  0  N 1 Contato de (R) e (V) de ordem N   , (01).  lim dN  0   0  Como a origem dos posicionais é arbitrária, podemos tomá-la provisoriamente no ponto P. Nesse caso, se r é o posicional de Q de (R) e v o de D de (V), escrevemos d2  (r  v)2 , ou

( d )2  ( r )2  ( v )2  2 r . v ,     

(02).

Os quadrados de r e v são dados por ((03), §02) onde se faça r=r e r=v. A terceira parcela do segundo membro de (02) pode ser deduzida de ((02 1), §02) para r(s)=o, com derivadas calculadas na origem. Tem-se:

r. v  r. v  1 (r. v  r. v)  [ 1 (r. v  r. v)2  1 r. v]2  2!

3!

2!2!

1 IV IV [ (r. v  r . v)  1 r. v  r. v]3  4!

2!3! [ 1 (r. v V  r V . v)  1 (r. vIV  rIV . v)  1 r. v]5 + ...

5!

2!4!

3!3!

Então, quaisquer que sejam as curvas (R) e (V), (d/)2 é um polinômio em  que, ordenado pelas potências de expoentes crescentes de , apresenta as seguintes parcelas:

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2 (1  r. v) , (r. v  r. v) ,  2 (r  v)2 2 , 4!  1 (r  v). (r  v)3 , 3!  10 [3(r  v). (rIV  v IV )  2(r  v)2 ]4 , 6!  2 [3(r  v). (r V  v V )  5(r  v). (rIV  vIV )]5  ... etc.

6!

(031).

Conforme (01), vemos que para N=0 (k=1), é

lim d  2[1  (r1). (r2 )]

 0

e

lim d  0,

 0

(032).

Se representarmos por  o ângulo das tangentes às curvas em P (Fig. 03), escreveremos: , lim d  2 sen  2

 0

(033).

Concluímos: Teor. 1: Duas curvas reversas com um ponto comum: 1) - têm um contato de ordem zero; 2) - têm a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato como um infinitésimo de mesma ordem que o arco , valendo o duplo desse arco multiplicado pelo seno da metade do ângulo das tangentes.

Esse resultado de certa forma podia até ser esperado porque, no limite, estaríamos calculando o "lado não igual" de um triângulo isósceles tal que os lados iguais (a ) formassem um ângulo .

Curvas com uma tangente comum.

Se as curvas (R) e (V) admitirem uma tangente comum no ponto P (logo, θ=0), isto é, se em P, r  v , então r.v  1 (ou, ainda r  tˆ  v ) e

r.v  v.r  0,

r.v  r.v  r.v,

r. v IV  2r. v  r. v  v. v IV  3v2 , v.r IV  ...  3r. v, etc.

Agora, então, (d/2)2 é um novo polinômio em  que escrevemos na forma,

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( d2 )2  2 ( v  r)2  4!   1 (r  v). (r  v)  3!  10 [3(r  v). (rIV  v IV )  2(r  v)2 ]2  6!  2 [3(r  v). (r V  v V )  5(r  v). (rIV  vIV )]3  ...

6!

(04).

De (04) e (033) deduzimos, respectivamente:

lim

0

d 3  | v  r  | e 2 6

lim

0

d  0, 

(041).

Reciprocamente, se duas curvas com um ponto comum admitem nesse ponto um contato de ordem um, tem-se, de (04):

d 3  | v  r  | .

2  6 0 lim

e

lim d  2(1  r. v)  0 .

 0

Da segunda das condições acima resulta r'. v'=1, ou seja, esses unitários (r' e v') devem ser iguais. Concluímos: Teor. 2: A CNS para que duas curvas com um ponto comum tenham um contato de ordem um nesse ponto é que admitam as mesmas derivadas primeiras nesse ponto, ou, o que é o mesmo, A CNS para que duas curvas tenham, num ponto comum, um ponto consecutivo também comum, é que elas tenham o mesmo vetor tangente nesse ponto.

A distância retilínea, d, entre os pontos eqüidistantes  do ponto comum a duas curvas com um contato de ordem um é infinitésimo de segunda ordem em relação ao arco  e pode ser calculada por (041).

Se uma das curvas em referência é a (reta) tangente à outra, concluímos que Teor. 3: Toda tangente a uma curva tem com ela um contato de primeira ordem no ponto de contato, ou, o que é o mesmo, Corol. 1: Todo curva tem em comum com a sua tangente o ponto consecutivo ao ponto de contato.

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§ 04 - As curvaturas das curvas reversas.

Se  tˆ  tˆ Q  tˆ P é a variação de tˆ entre P e seu consecutivo Q (Fig. 04), então |

tˆ | é igual ao ângulo - medido em radianos, e denominado ângulo de contingência das tangentes - de que girou a tangente entre os pontos de abcissas curvilíneas s e s+. Em P, o plano definido por tˆ P e sua tangente consecutiva tˆ Q é denominado "plano osculador" da curva nas vizinhanças de P. Como, em P, a tangente tˆ P contem o ponto consecutivo Q (Corol. 1, Teor. 3, §03) e em Q, tˆ Q contem o ponto consecutivo Q', concluímos: Teor. 1: O plano osculador de um ponto de uma curva tem com ela um contato de segunda ordem nesse ponto.

O vetor | tˆ |, variação da tangente entre o ponto P de uma curva (C) e o seu consecutivo, pertence ao plano osculador de P e permite avaliar quanto essa curva se "flete", ou se "flexiona", no plano osculador, nas vizinhanças de P. Denomina-se "vetor curvatura de flexão" de (C) em P, e o representaremos por c, o limite da variação  tˆ de t por unidade de comprimento de arco de curva, s=, quando este tende para zero. No limite esse quociente (que existe sempre se r(s) é contínua) é a derivada de t em relação ao arco s, e escrevemos:

 tˆ d tˆ  ; ds s0 s

c  lim ou, ainda, lembrando que tˆ  r  dr / ds :

c

d tˆ d 2r   r (s), d s d s2

(01).

O módulo de c denomina-se, simplesmente, curvatura de flexão da curva (C) em P, e tem a dimensão do inverso de um comprimento; por isso mesmo o inverso do módulo de c é denominado raio de curvatura de flexão da curva no ponto, e o representamos por R. Se representarmos por nˆ o unitário de c, escreveremos a primeira fórmula da Frenet-Serret,

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c

nˆ dtˆ  , R ds

(011).

De (01) e (011) resultam:

| c |

1 d tˆ  nˆ .  0, R ds

nˆ  R r

e

| r  |

1 R

(012).

Por ser tˆ.tˆ  1 é tˆ.dtˆ  0 , isto é, c - um vetor do plano osculador que aponta no sentido da concavidade da curva - é perpendicular a tˆ .

 (ou de c) é conhecida como normal principal de (C) em P, razão A direção de n pela qual dá-se também a |c| a denominação de curvatura normal.

Se x é o posicional do ponto corrente do plano osculador do ponto P de r(s), a sua equação é, então, (x  r).r  r  0 ,

(02),

uma vez que qualquer que seja x, os vetores x-r, r'e r" devem ser coplanares. O plano osculador está sempre determinado, exceto nos pontos em que r'=o, r"=o, ou r"=A(s)r' (r" é paralelo a r'). Nos dois primeiros casos a curva é uma reta e para os pontos da reta o plano osculador é indeterminado. No segundo caso - r"=A(s)r' - r' é paralelo ao seu vetor derivada; logo, r' tem direção fixa (teorema clássico). Nesse ponto, então, (rr'r")=0, isto é, a curva é localmente plana, o que tem sentido porque nesse ponto, conforme Teor. 1, três de seus pontos (P e seus dois consecutivos) pertencem ao plano osculador. Se A não varia com s (r' é paralelo ao seu vetor derivada em todo ponto) a curva é uma reta porque r' é fixo em todo ponto.

Se a curva r(s) é plana, (02) é uma identidade (porque o plano osculador é o próprio plano da curva) e r"=A(s)r' significa que, no ponto, a curva é localmente retilínea porque o contato é de ordem dois: de um lado e outro desse ponto - denominado ponto de inflexão - r" deve trocar de sinal, anulando-se, portanto, no ponto. Se A é uma constante, r(s) é uma reta.

A circunferência do plano osculador de um ponto P de uma curva, de raio igual a R e centro no ponto de posicional x  r(s)  R(s) nˆ ,

(021),

isto é, ponto situado sobre a normal principal, no interior da concavidade da curva, denomina-se circunferência de curvatura dessa curva (Fig. 06); o centro dessa circunferência denomina-se centro de curvatura da curva no ponto P. É evidente que a circunferência de curvatura e a curva têm tangente comum em P.

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Curvas com tangente e vetor curvatura comuns.

Se duas curvas têm uma tangente comum, a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato - um infinitésimo de segunda ordem em relação a esse arco - pode ser assim expressa em relação a :

d 3 3 1 1  | v  r |= | nˆ (R)  nˆ (V) | , 2 6 6 R (R) R (V) expressão em que R(R) e R(V) são os raios de curvatura das curvas (R) e (V) em P. Deve ser observado que os unitários das normais principais das curvas são vetores distintos em geral (Fig. 05, a)).

Se duas curvas, alem de terem uma tangente comum num ponto, têm também vetor curvatura de flexão paralelos, terão, evidentemente, o mesmo plano osculador. Se as curvaturas são as mesmas, os unitários das respectivas normais principais poderão ter o mesmo sentido (Fig. 05,c)), ou sentidos opostos (Fig. 05,b)), casos em que, respectivamente, r   v  e r    v  .

Para o primeiro caso - mesmo unitário de tangente (logo, um contato de ordem um), e mesmo vetor curvatura - deduzimos de ((04), §03): d 10 ( 3 ) 2  [2(r   v ) 2  (r   v ). (r IV  v IV ) ]  ...= 6!  1 1 = (r   v ) 2  (r   v ). (r IV  v IV )   ...

36 72 de onde vem, d 1 e (03). lim d  0 lim 3  | v   r | 6   0 2  0 

16

Nesse caso, então, as curvas têm também um contato de ordem dois no ponto.

Reciprocamente, se duas curvas apresentam um contato de ordem um e ordem dois num ponto, deduzimos de ((04), §03):

| v  r| lim d3  1 6  

 0

e

3 lim d2  0  6 | r  v| . 

 0

Como essa curvas têm também o mesmo plano osculador, têm a mesma normal principal e seus vetores curvatura são paralelos. Da segunda das condições acima ( | r  v|  0 ) deduzimos, afinal, que seus vetores r" e v" devem ser iguais necessariamente. Concluímos: Teor. 5: A CNS para que duas curvas tenham um contato de ordem dois num ponto é que tenham as mesmas derivadas primeira e segunda nesse ponto, ou, o que é o mesmo A CNS para que duas curvas tenham num ponto tres pontos consecutivos em comum é que elas tenham o mesmo vetor tangente e o mesmo vetor curvatura de flexão nesse ponto.

Nesse caso, a distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato é um infinitésimo de terceira ordem em relação ao  e pode ser calculada por (03).

Corol. 1: Toda curva tem com suas circunferências de curvatura um contato de ordem dois.

Teor. 6: Duas curvas que têm num ponto o mesmo unitário de tangente mas vetores curvatura de flexão opostos, têm contato de ordem um nesse ponto.

Pois fazendo  v   r  em (04),§ 03 escrevemos,

(

d 2 2 2 2 )  r   r . (r   v )  ..., 4!

3 2

donde lim

 0

d 3 3  | v |  2 6 6 R 

e

lim

0

d  0, 

(031).

A distância retilínea, d, entre seus pontos eqüidistantes  do ponto de contato (Fig. 05, b)) é um infinitésimo de segunda ordem em relação a  e pode ser calculada por (031).

Triedro de Frenet-Serret.

Como nˆ .tˆ  0 , temos: nˆ .d tˆ  tˆ.d nˆ . Logo:

17

d nˆ , (04), ds isto é, em P, o unitário da tangente e o incremento da normal principal formam um ângulo obtuso. Como nˆ .d nˆ  0 , o incremento d nˆ , por ser perpendicular a nˆ , é um vetor do plano ortogonal a nˆ ; tal plano denomina-se retificante. O plano conduzido por P ortogonalmente ao retificante e ao osculador denomina-se normal e sua interseção com o retificante, binormal. Tomaremos como unitário da binormal o vetor bˆ definido por | c | tˆ.

bˆ  tˆ  nˆ ,

(05).

Então, os unitários tˆ, nˆ e bˆ definem uma base ortonormada em P; o triedro que lhes corresponde é denominado triedro de Frenet-Serret.

Por ser dr paralelo a t e nˆ perpendicular a tˆ , resulta que, para as curvas reversas, os vetores nˆ , dnˆ e dr nunca são coplanares; e reciprocamente: r(s) curva reversa

  P  r(s) 

(nˆ dnˆ dr)  0 .

Isso traduz importante propriedade geométrica das curvas reversas: As normais principais de pontos consecutivos de uma curva reversa nunca se interceptam.

Reciprocamente, se as normais principais em pontos consecutivos de uma curva não se interceptam, essa curva é reversa.

Curvatura de torção.

Consideremos, agora, quatro pontos consecutivos, P, P', Q e Q' de uma mesma curva. O plano osculador de P (que contem P, P' e Q) não é o mesmo de P' (que contem P', Q e Q'). Ocorre, pois, uma variação de posição desses planos osculadores consecutivos.

Dizemos que, em P, ocorre uma torção, ou um "empenamento" de (C). A variação do ângulo desses planos permite avaliar o quanto a curva se "torce" ou se "empena" entre pontos consecutivos. Essa avaliação pode ser facilmente calculada pela correspondente variação do ângulo dos unitários das normais aos planos osculadores respectivos, já que o ângulo desses unitários é igual ao ângulo daqueles planos. Se a variação de bˆ é  bˆ , então |  bˆ | é aproximadamente igual ao ângulo (medido em radianos) das normais aos planos osculadores de P e de P'; esse ângulo é denominado ângulo de contingência das binormais. O limite do quociente da variação da binormal,  bˆ , pelo comprimento do arco entre P e P', s, terá por módulo a variação correspondente do ângulo dos planos osculadores para o comprimento do arco; tal vetor, que representaremos por , denomina-se "vetor curvatura de torção" da curva em P. O módulo de  denomina-se "curvatura de torção" da curva em P, e tem a dimensão do inverso de um comprimento. Por isso mesmo o inverso do módulo de  é denominado raio de curvatura de torção da curva no ponto, e o representamos por T. Então:  bˆ d bˆ   lim  , (05). ds s0 s

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Como dtˆ é paralelo a nˆ , e conseqüentemente perpendicular a bˆ , bˆ .d tˆ  0 . Logo, por ser bˆ .tˆ  0, é bˆ .d tˆ + tˆ.d bˆ  0; isto é, d bˆ .tˆ  0 . Então, o incremento de bˆ é perpendicular a tˆ .

Como o incremento de bˆ também é perpendicular a bˆ , ele é paralelo a nˆ . Em resumo: No ponto corrente de toda curva reversa, a curvatura de torção é a medida da variação da direção da sua binormal, e o vetor curvatura de torção é sempre paralelo à normal principal.

Se convencionarmos que às curvaturas de torção positivas correspondem rotações ˆ de b (no plano normal) no sentido anti-horário quando vistas da face positiva do plano normal (da qual aponta tˆ ), nˆ e  terão direções opostas. Então escreveremos a segunda fórmula de Frenet-Serret



nˆ d bˆ ,  T ds

(051),

de onde também deduzimos:

|  | .(nˆ ) 

1 dbˆ dnˆ ,   .nˆ  bˆ .

T ds ds

(06),

ˆ .nˆ  0 é bˆ .dnˆ + nˆ .dbˆ  0 . Pode-se, ainda, escrever, em vista de (03): porque sendo b

|  | t  nˆ .

dnˆ , ds

(061).

Por esta equação, e pela impossibilidade de interseção das normais principais em pontos consecutivos, resulta: A CNS para que uma curva seja reversa é que seja não nula a sua curvatura de torção em todos os seus pontos.

Nota: Contrariamente às tangentes e às binormais, de cuja interseção dos suportes em pontos consecutivos nos valemos para definir os ângulos de contingêcias (das tangente e das normais), e, portanto as curvaturas, os suportes das normais principais nunca se cruzam.

§ 05 - Sistema de coordenadas curvilíneas recíprocas de uma superfície.

A continuidade de ((01), §01) permite-nos concluir que os vetores

r  r U

(  1,2),

(01),

calculados em cada ponto de (S), existem sempre, finitos e não nulos. Tais vetores são tangentes às respectivas coordenadas curvilíneas do ponto, não sendo unitários em geral,

19

exceto se os parâmetros U são os comprimentos de arco dessas coordenadas. O ponto comum às duas curvas de (S) e seus consecutivos (um sobre cada curva ou sua tangente) definem um plano que é o plano tangente a (S) no ponto. Tais vetores r serão sempre não paralelos e constituirão uma base sobre o plano tangente, nas vizinhanças do ponto.

Ora, se existe em todo ponto R de (S) uma base definida por vetores r tangentes às respectivas coordenadas curvilíneas de R, existem também os vetores r, recíprocos dos r ,no plano tangente, tais que r .r   (,   1,2), (02), os  sendo os deltas de Kronecker. Então, existem outras coordenadas curvilíneas para R que denominaremos coordenadas curvilíneas recíprocas ou duais das U - representadas por curvas de (S) às quais os vetores r são tangentes. Como r2 é perpendicular a r1, e r1 a r2, essas coordenadas curvilíneas são trajetórias ortogonais das primeiras; vamos representa-las por U1 e U2. Assim, às coordenadas curvilíneas U1 e U2 - também denominadas coordenadas curvilíneas contravariantes de R - correspondem os vetores de base covariantes r1 e r2; às U1 e U2 - denominadas coordenadas curvilíneas covariantes de R - correspondem os vetores de base contravariantes r1 e r2. Existem, pois, funções

U  U   U  ( U1 , U 2 ), com |

U  | 0 (Jacobiano não nulo), U 

(03),

mediantes as quais se pode passar de um sistema para o outro.

Escreveremos, então, em geral:

r  R i (U1 , U 2 )ui  R i (U1 , U 2 )ui

(i  1,2,3) ,

(04),

para representar o ponto genérico de (S), qualquer uma das duas formas de representação tendo igual status para o estudo da superfície.

.

A derivada direcional de n Ora,

  d n  d S d n  (d S t). ( t d n ), dS dS ou melhor,

d n  d r. n ,

(06),

sendo d r  d S t o deslocamento arbitrário de P sobre a curva, e

  n  t d n , dS

(07),

um diádico linear, evidentemente não simétrico, cujo plano é o plano tangente. Vamos denomina-lo diádico tangente da curva no ponto considerado (por analogia com o diádico tg de uma sup onde?). Assim: A variação da normal principal no ponto genérico de uma curva reversa é o transformado do deslocamento arbitrário desse ponto sobre a curva mediante o diádico tangente correspondente usado como pós-fator.

Podemos também escrever:

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d nˆ ˆ  t. nˆ , dS

(08),

 na e entender d n d S - tal como no caso das sup - como a derivada direcional de n direção da tangente à curva em R.  formam um ângulo agudo; seja ele . Por Por (06,§04) concluímos que b e d n  formam um ângulo obtuso. Mas, sendo d n  perpendicular (04,§04) concluímos que t e d n  n  1 e n.  d n  0), d n  (porque n.  é paralelo ao plano tangente. an Em resumo:  é um vetor paralelo ao plano tangente, forma o ângulo agudo  com b e o dn ângulo (obtuso)  +  2 com t .

Conforme (05) podemos enunciar: As curvaturas de flexão e de torção relativas a um ponto qualquer de uma curva reversa são as projeções ortogonais da derivada direcional do unitário da sua normal principal sobre os suportes da sua tangente e da sua binormal, respectivamente.

Podemos, então, escrever o diádico tangente na forma cartesiana

 n  | c| t t +|  | t b ,

(071).

É evidente, por (071), que se uma curva é plana - caso em que ||=0 - o diádico tangente é unilinear em todos os seus pontos.

Reciprocamente, seja (C) uma curva, por hipótese reversa, mas cujo diádico tangente seja unilinear em todo ponto, então, por (071), é ||=0.

Resulta, então, demonstrado o seguinte Teor.: A CNS para que uma curva seja plana é que seja unilinear o diádico tangente de todos os seus pontos.

Levando (08) a (051), encontramos:

|  | nˆ .[tˆ.(nˆ )  tˆ] ,

(09),

ou, ainda, recorrendo ao vetor de  n :

|  | nˆ .(nˆ ) V  nˆ .rot nˆ ,

(10).

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Considerando (07) e (08) e recorrendo ao escalar de  n obtemos, ainda, duas outras formas alternativas de representação da curvatura de flexão em R:

| c | tˆ.(nˆ ).tˆ  (nˆ ) E  div nˆ ,

(11).

As expressões (10) e (11) são de capital importância porque expressam as curvaturas da curva em função dos invariantes do diádico tangente.

Raios e centros de curvatura, evolutas Os inversos das curvaturas de flexão e de torção, por terem a dimensão de um comprimento, denominam-se raio de curvatura de flexão e raio de curvatura de torção de (C) em P; serão representados por r n e rt. Os pontos distantes de P, no mesmo sentido e  , de comprimentos iguais, respectivamente, aos raios de curvatura no sentido contrário de n de flexão e de torção, denominam-se centros de curvatura de flexão e de torção de (C) em P. Como a cada P de (C) corresponde um e um único par de centros de curvatura (dispostos de um lado e outro de P ao longo da normal principal), os lugares geométricos desses pontos relativos a todos os pontos de (C) serão duas curvas, em geral reversas; denominam-se evolutas de flexão e de torção da curva (C).

Se A é a projeção, sobre a tangente, da extremidade do vetor derivada direcional da normal, este aplicado em P, o vetor de origem P e extremidade A tem por módulo a curvatura de flexão e sentido oposto ao unitário da tangente. Seja E o centro de curvatura de flexão da curva, ponto este, situado sobre o suporte da normal principal. A paralela a AN conduzida pela extremidade do oposto do unitário da tangente passa por E. Com efeito, por semelhança de triângulos temos:

PA  1 , donde, PE  1  1  r .

1 PE PA | c| n Analogamente, se B é a projeção da extremidade do vetor derivada direcional da normal sobre a binormal, o vetor de origem P e extremidade B tem por módulo a curvatura de torção e o mesmo sentido do unitário da binormal. Se T é o centro de curvatura de torção - ponto este, situado sobre a normal principal (mas no sentido oposto ao do unitário desta)-,

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e se N' é o oposto de N em relação a P, a paralela a BN' conduzida pela extremidade do unitário da binormal passa por T. Pois, tal como na demonstração anterior, por semelhança de triângulos escrevemos:

PB  1 , donde, PT  1  1  r .

1 PT PB | | t

§06 - Curvaturas de curvas contidas em uma superfície.  da A interseção de (S) com um plano qualquer, ), que contenha o unitário m normal a (S) no seu ponto corrente P é uma curva plana, ( m ) , dita seção normal de (S) em P. Seja  o ângulo do plano de uma seção normal ( m ) de (S) pelo ponto genérico P com o plano de uma seção ( ) de (S) que contenha o unitário t m da seção normal. As curvas ( ) e ( m ) admitem o mesmo plano normal porque admitem o mesmo unitário de tangente. O plano normal contem, além da normal `superfície, as normais principais de ( ) e ( m ) . Os unitários destas normais principais, n m e n , formam o mesmo ângulo  denominado ângulo normal das curvas - podendo-se, então, escrever:

n m  cos  n + sen b , Coforme ((021),§05):

(01).

  d n m e  1  t.  d n ,  1  t. rnm dS rn dS

Mas

 d n m   cos  d n  sen  d b  (sen  n + cos  b ) d  . dS dS dS dS Considerando que o vetor entre parênteses é b m e que t é perpendicular a b e a b m , resulta, multiplicando escalarmente ambos os membros dessa igualdade por t :

rn  rnm cos,

(02).

Se (C) é uma curva reversa contida em (S) e que admite a mesma tangente que ( m ) em P, e se  é o ângulo do plano osculador de (C) com o plano de ( m ), são válidos, ainda, os mesmos resultados anteriores, mantendo-se, inclusive, a nomenclatura do ângulo normal das curvas. Isto nos permite concluir o seguinte Teor.: (Meusnier) O centro de curvatura relativo a um ponto de uma curva de uma superfície, é a projeção, sobre o seu plano osculador, do centro de curvatura daquela seção da superfície que é tangente à curva no ponto.

§07 - Curvaturas extremas de uma superfície.

Num ponto de uma curva sobre uma superfície, as curvaturas (de flexão e de torção) dessa curva, são ditas, também, as curvaturas da superfície no ponto. Quando tais curvas têm uma tangente comum, é válida a equação ((02),§06) que mostra, por evidência,

23

que as curvaturas de flexão das seções normais são menores que as correspondentes de todas as outras curvas. Nesse caso, então, pretendo-se determinar os extremados de tais curvaturas, o caminho mais imediato consiste em estabelecer a expressão geral da curvatura    n é o unitário (constante) da normal à superfície e t , na forma ((11),§05), onde m uma incógnita - é o unitário da direção que extrema a curvatura. Assim,

   ). t  d m | c|  t. (m . t, dS

(01).

Podemos entender, geometricamente, que o unitário t , variável, esteja especificando as  , e um plano infinitamente várias interseções de cada plano de um feixe que contem m próximo do plano tangente à superfície e do qual se aproxima deslocando-se no sentido de  . Nesse caso, a curva interseção da superfície com o plano vizinho da tangente é a m descrita pela extremidade do vetor d r , sendo  d r | c| dS 2 , d m. d r  d r. m.

(011), equação esta geometricamente equivalente a (01).

Ora, sendo uniplanar simétrico o diádico tangente, (011) é a equação de uma cônica. Então, por (01) e (011), vemos que, enquanto a extremidade de t descreve a circunferência de raio unitário e centro P, no plano tangente, a projeção R da extremidade  sobre t , e a extremidade de d r , descrevem cônicas de da derivada direcional de m mesmos gêneros e coaxiais (elipses, hipérboles ou pares de retas), também do plano tangente.  - os extremados da curvatura de flexão no ponto, Os auto-valores de m denominados curvaturas principais do ponto - são números reais finitos; e seus autoversores - as direções principais do ponto -, ortogonais. Supondo distintos os auto-valores dos diádicos tangentes, designando-os por 1 Ri ,1 R j e os auto-versores por i e j , escrevemos:

  1 i i + 1 j j, m Ri Rj

(02)1,

i. m   1 i e j. m   1 j, Ri Rj

(021).

sendo, ainda,

Em forma diferencial, a equação (02) assim se escreve:

  d r. m   1 d ri + 1 d rj , dm Ri Rj

(03)2,

d ri  dSi i  (d r. i ) i e d rj  dS j j  (d r. j) j,

(031),

onde

são os vetores deslocamento do ponto nas direções principais.

1Como m  existe sempre, finito e não nulo, ao menos um(a) dos(as) raios de curvatura (curvaturas) da superfície é não nulo(a), isto é, ao menos um dos auto-valores é não nulo.

2É evidente que a repetição dos índices i e j, no caso, não implicam somatórias.

24

 importa considerar, no momento, o seu escalar e o seu Dos invariantes de m terceiro. Tem-se:

 ) E  div m   1 + 1 , (m Ri R j

(04),

e

 )3  (m

1 , Ri R j

(05).

O escalar do diádico tangente é a chamada primeira curvatura da superfície; é também, o duplo da curvatura média (semi-soma das curvaturas principais de flexão) da superfície no ponto. O terceiro do diádico tangente é a chamada segunda curvatura ou curvatura gaussiana da superfície no ponto.

Podem-se determinar, com facilidade, o escalar e o terceiro do diádico tangente em termos da função S(X,Y,Z)=constante, isto é, da equação da superfície em forma implícita.

Podemos escrever ((09),§03) na forma

  S  2mm.   S. mm   + S. mm  . | S| m Sendo

( S) E  div S  lap S,   S. mm   ) E  m.  S. m , ( mm.   ) E  m.  S. m , ( S. mm

tem-se, logo:

 ) E  lap S  m.  S. m , | S|(m

ou

  div m

lap S S. S. S  , | S| | S|3

(06).

Agora, tomando o terceiro de ambos os membros de ((09), §03) tem-se, aplicando propriedades:

 )3  (m

1 (  mm   )3 (S)3 (  mm   ) 3. | S|2

ˆm ˆ  ˆi ˆi + ˆj ˆj, (  m ˆm ˆ )3  (ˆi  ˆj).(ˆi  ˆj)  1 . Logo: Sendo   m

 )3  (m

(S)3 , | S)|4

Fórmulas de Euler. Teorema de Dupin.

(07).

25

Sejam | c u | e | c v | as curvaturas extremadas de flexão num ponto P de (S), correspondentes às direções ortogonais definidas pelos unitários u e v do plano tangente; isto é, | c u | e | c v | são as curvaturas de flexão das seções planas de (S) correspondentes a u e v . Se  e  +  2 são os ângulos de u e v com i , então

u  cos  i + sen  j e v   sen  i + cos  j.

Mas, sendo

 m.  u e | c v |  v.  m.  v , | c u |  u.

 pelos seus valores em função de i e j : resulta, substituindo u , v e m | cu |  1 cos2 + 1 sen2, Ri Rj

| cv |  1 sen2 + 1 cos2, Ri Rj

(08).

Essas fórmulas são conhecidas como fórmulas de Euler; somando-as membro a membro, tem-se:

| cu |+| cv |  1 + 1 , Ri R j o que demonstra o seguinte Teor.: A soma das curvaturas em direções ortogonais por um ponto de uma superfície, é igual ao escalar do diádico tangente do ponto, ou, ainda, Teor.: (Dupin) A soma das curvaturas de flexão em duas direções ortogonais por um ponto de uma superfície é constante e igual à soma das curvaturas principais desse ponto.

Nota: Poderia parecer que o produto das curvaturas nas direções ortogonais fosse também invariante e igual ao produto das curvaturas principais, o que não é verdade, nem tem razão de ser. Tem-se:

| cu || cv | 

1 +[2( 1 + 1 ) sen 2]2 .

Ri R j Ri R j

Classificação dos pontos de uma superfície.

Supondo, ainda, Ri  Rj, ao variar , a extremidade do unitário da tangente descreve a circunferência de raio um; e o ponto R, a cônica tal, que, conforme a fórmula de Euler:

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| cu |  1 cos2 + 1 sen2  1 , Ri Rj Ru ou, ainda, pondo

Rucos  X e Rvsen  Y, a cônica

X 2 + Y2  1 , Ri R j R u

(09).

Três situações devem ser analisadas quando Ri e Rj são distintos e não nulos: - Se têm o mesmo sinal, rnu terá o sinal comum a Ri e Rj. A cônica é uma elipse, e o ponto de diz elíptico. A superfície estará toda de um só lado do plano tangente nas vizinhanças do ponto; e a superfície se dirá convexa no ponto.

- Se têm sinais diferentes, Ru terá o sinal de um ou do outro; a cônica é uma hipérbole, e o ponto se dirá hiperbólico. Nas vizinhanças do ponto, a superfície estará de um lado e outro do plano tangente, e se dirá côncavo-convexa.

Linha assintótica Na direção em que Ru=  a cônica se degenera no par de (retas) assíntotas; a direção correspondente será dita assintótica da superfície no ponto. Tais assíntotas serão imaginárias se o ponto for elíptico; e reais se o ponto for hiperbólico.

Se num ponto, uma das curvaturas principais se anula, o diádico tangente - cujo terceiro é, então, nulo - reduz-se à forma

  1 i i; m Ri a cônica degenera-se num par de retas paralelas à direção principal i . O ponto é dito, no caso, parabólico.

O lugar geométrico dos pontos parabólicos de uma superfície pode ser determinado imediatamente; basta impor a condição de que esses pontos devam satisfazer a  )3  0 , isto é, ((01), § 01) e a (07) com (m

S(X, Y, Z)  constante e (S)3  0 .

A direção assintótica esta, pois, associada à nulidade da curvatura da superfície  dm  d S  0 ; isto é, a direção assintótica é nessa direção, caso em que (01) dá t. perpendicular ao vetor derivada direcional do unitário da normal à superfície no ponto. A recíproca é evidente. Fica, pois, demonstrado o seguinte Teor.: A CNS para que uma direção por um ponto de uma superfície seja uma direção assintótica é que essa direção seja perpendicular à derivada direcional do unitário da normal à superfície pelo ponto.

27

Se r é o vetor posicional do ponto genérico de uma curva sobre uma superfície, na direção da qual a curvatura da superfície é nula em todo ponto, então, conforme (01 1), a equação diferencial dessa curva é

 dr  0 . dm.

Uma curva de uma superfície, em cujas direções a curvatura da superfície é nula, é dita uma linha assintótica dessa superfície.

As conclusões anteriores podem, então, ser resumidas na forma do seguinte Teor.: A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha assintótica dessa superfície é que as suas tangentes, em todos os seus pontos, sejam perpendiculares às correspondentes derivadas direcionais do unitário da normal à superfície.

Se num ponto de uma superfície os auto-valores são iguais, o diádico tangente pode ser reduzido (de infinitas maneiras) à forma

  1 ( i i + j j), m Ri onde i e j são dois unitários ortogonais arbitrários do plano tangente. A cônica (07) é degenerada na circunferência de equação

X2  Y2 

R2 , Ru

e o ponto correspondente é dito umbílico; nas suas vizinhanças a superfície é convexa e as direções assintóticas são imaginárias.

Como a cônica (09) indica a natureza (elíptica, hiperbólica ou parabólica) dos pontos da superfície aos quais está ligada, costuma-se denomina-la cônica indicatriz, embora haja quem a denomine, também, de indicatriz de Dupin.

As indicatrizes de todos os pontos dos elipsóides e dos hiperbolóides de duas folhas são elipses; essas quádricas são, pois, convexas em todos os seus pontos. Já a indicatriz de todos os pontos do hiperbolóide de uma folha é uma hipérbole; ele é totalmente côncavo-convexo. A indicatriz de uma superfície esférica é uma circunferência (degeneração da elipse); ela é, pois, convexa, e seus pontos, todos umbílicos. A indicatriz de todos os pontos de um cone ou de um cilindro é um par de retas paralelas; logo, todos os seus pontos são parabólicos.

Linhas de curvatura

 dm  dr)  0 em geral, porque a normal Ora, para qualquer curva reversa de (S), (m à superfície e a normal principal da curva em geral são distintas. Mas às direções principais de um ponto correspondem duas curvas reversas tais, que  dm  dri )  0 e (m  dm  dr j )  0, (m

(10),

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o que se comprova facilmente multiplicando escalarmente ambos os membros de (03 1) por ˆ d m ˆ . Com efeito, pois, m ˆ d m ˆ é um vetor perpendicular ao plano tangente, logo, m   perpendicular a i e a j .

Então, em geral, para os pontos de uma curva (C) de (S), as normais à superfície em pontos vizinhos não se interceptam; mas, para cada ponto da superfície há duas curvas sobre (S), reversas em geral, em cujos pontos vizinhos as normais a (S) se interceptam. Tais curvas reversas, ortogonais, cujas tangentes no ponto são as direções principais do ponto ou os eixos (principais) da cônica indicatriz do ponto, denominam-se linhas de curvatura.  e d r são vetores do plano tangente; e devendo ser coplanares com m , Ora, d m são paralelos. Assim, se uma curva reversa de uma superfície é uma linha de curvatura, em todos os seus pontos o deslocamento na direção dessa curva é sempre paralelo ao correspondente vetor derivada direcional do unitário da normal a essa superfície. A equação diferencial de uma linha de curvatura é, então:

ˆ  dr  o , dm

(11).

Reciprocamente, se para todo ponto de uma certa curva de uma superfície subsiste a equação (11), podemos escrever, lembrando (05) e (02):

 .  dr  0  dr.( dr. m

1 ˆˆ ˆˆ ii + jj)  dr Ri

Representando por  o ângulo de dr com a direção principal do ponto, definida pelo unitário i , tem-se:

dr.ˆi | dr | cos, dr.ˆj | dr | sen ˆ , ˆj  dr | dr | cos m ˆ. i  dr | dr | sen m Logo:

1 | dr|2 ( 1 + 1 )sen 2 m   o, isto é ,   0, ou    .

2 Ri R j 2

Então, se subsiste (11), a direção de dr ou é a de i , ou é a de j . Resulta, assim, demonstrado o seguinte Teor.: A CNS para que uma curva de uma superfície seja uma linha de curvatura é que a tangente a essa curva num ponto qualquer seja paralela à derivada direcional da normal à superfície nesse ponto.

Então, sobre a superfície existem dois sistemas (duas famílias) de linhas de curvatura, ortogonais, cuja equação diferencial é  dm  dr)  0, (m (12), ou cuja equação integral é

ˆ dm ˆ .uˆ .m ˆ  uˆ , uˆ )  0  m dS Normálias. Superfície dos centros. (m

(13).

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As normais a uma superfície ao longo de cada linha de curvatura de um seu ponto geram duas superfícies regradas denominadas normálias do ponto. As normálias gozam da propriedade de serem desenvolvíveis, o que se justifica pelas (08). O ponto de interseção das normais vizinhas ao longo de cada linha de curvatura de um ponto é um centro de curvatura da superfície no ponto; logo, num ponto, uma superfície tem dois centros de curvatura. As distâncias dos centros de curvatura aos pontos correspondentes da superfície são os raios de curvatura da superfície3. Quando um ponto se desloca sobre uma linha de curvatura, os centros de curvaturas correspondentes se deslocam sobre uma segunda curva, em geral reversa. Portanto, a cada ponto da superficie corresponde duas curvas reversas, lugares geométricos dos centros de curvaturas da superfície. A cada sistema de linhas de curvatura corresponderá, então, uma superfície. Na verdade, como as linhas de curvatura existem aos pares para cada ponto, a superfície lugar geométrico dos centros de curvatura de todos os pontos de (S) é composta de duas folhas, cada folha correspondendo-se com um sistema de linhas; tal superfície denomina-se superfície dos centros.

§03 - O diádico gradiente do unitário da normal a uma superfície.

Embora existam infinitos sistemas regulares de coordenadas curvilíneas para  da representar uma dada superfície, existe sempre, determinado e único, o unitário m normal a (S) no seu ponto genérico R. Podemos escrever:

ˆ  m

r1  r2 , | r1  r2 |

(01).

   1, resulta4 m. dm   0 . Por ser m  uma função de U1 e U2 Por ser, então, m.m     m dU  0 . Os vetores  m , além de finitos, pertencem também ao tem-se também m. U U plano tangente. Logo:

A variação (total ou parcial) do unitário da normal a uma superfície num ponto é um vetor do seu plano tangente nesse ponto.

Postulando-se uma relação entre as coordenadas curvilíneas (contravariantes, por 1 2 exemplo) U1 e U2, seja em forma implícita: H(U , U )  C  const., ou em forma 1

1

2

2

paramétrica (em relação aos comprimentos de arco): U  U (S) e U  U (S) - funções essas, todas contínuas e com derivadas contínuas - fixa-se uma curva, (C), geralmente reversa sobre a superfície. Seja P o seu ponto genérico fixado para um dado valor do arco, e portanto, para os valores U1 e U2 determinados das coordenadas curvilíneas. Estas linhas 3Devemos observar novamente que os centros e os raios de curvatura das linhas de curvatura são distintos daqueles da superfície, porque a normal à superfície e as normais principais dessas curvas são retas distintas. Aliás, conforme o teorema de Meusnier, as curvaturas das linhas de curvatura são menores que as curvaturas da superfície.

4 Supomos conhecidas do leitor as propriedades formais de derivadas e diferenciais de vetores,

30

coordenadas de P e as U1+dU1 e U2+dU2 (das suas vizinhanças) definem um quadrilátero curvilíneo elementar arbitrário, PQRS. O arco PR de (C) é, pois, um deslocamento arbitrário de P sobre (S); podemos representa-lo na forma (02), d r  d S u ,  o unitário da tangente a (C) em P. A normal à onde dS é a medida algébrica do arco PR e u superfície é também a normal a (C) porque ambas são paralelas às variações dos unitários das tangentes de todas as curvas que passem por P. Por outro lado,

d r  d U  r  d Ur , (  1,2), U

(03),

e, conforme ((03),§02),

    d U  m dm  d U (r .r )  m , (,   1,2) .  U U Agrupando convenientemente, vem:

   (d Ur ). (r   m dm ), (,   1,2) ,  U ou melhor, considerando (03): com

  d r . m , dm   = r  m m ,  U

(04),

(  1,2),

(05).

Então: Nas vizinhanças de qualquer ponto de uma superfície regular, a variação do unitário da normal é uma função vetorial linear da variação do ponto.

 , isto é, o gradiente do unitário da normal à superfície, existe O diádico  m sempre finito, não nulo, e é evidentemente uniplanar porque os seus antecedentes e os seus conseqüentes pertencem ao plano tangente.

Definição: ( diádico gradiente)  será denominado diádico tangente da superfície no seu ponto O diádico  m genérico.

Propriedades do diádico tangente Teor. 1: O diádico tangente é simétrico:

  Tm , m

(06).

 através da área do quadrilátero Pelo teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de m curvilíneo PQRS é igual à circulação ao longo do contorno PQRS que é fechado.

Desprezando, no cálculo da circulação, os infinitésimos de ordem superior à primeira,

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 não é necessariamente  ). m  d S  0, isto é, rot m   o, porque rot m teremos: ( rot m  . Então,  m  tem vetor nulo, sendo, pois, simétrico. ortogonal a m Podemos fazer uma segunda demonstração deste teorema que consiste em escrever  , porque  S é normal à superfície. Então, posto que no espaço euclideano  S  | S | m tridimensional rot  S  o, e que, conforme fórmula conhecida do Cálculo Poliádico 5:

  o,  )  ( |  S |)  m ˆ + | S |rot m rot ( |  S | m   o, porque  |  S |  m  . E sendo nulo o vetor do diádico tangente, este resulta rot m diádico é simétrico.

Em resumo: Em todo ponto de uma superfície regular, o diádico tangente correspondente é uniplanar, simétrico, e seu plano é o plano tangente à superfície pelo ponto.

Por isso mesmo:

 m   (m  ). m   o, m.

(07),

ˆ ).(m ˆm ˆ )  (m ˆm ˆ ).( m ˆ )  , ( m

(08),

e expressões nas quais o é o vetor nulo e  é o diádico nulo.

Teor. 2: Tem-se:

  m

1 (  mm   ). S. (  mm   ), | S |

(09),

onde  é o diádico unidade do espaço euclideano tridimensional.

 , podemos escrever:  S  ( S . m  )m  ; donde, tomando  de De  S  |  S | m ambos os membros, aplicando propriedades do operador  sucessivamente, e agrupando convenientemente6:

 )]m  + ( S. m  ) m   S  [  ( S. m   ) + ( m.  S) m  + ( S. m  ) m .  S. ( mm Transpondo termos, ˆ  |  S|  S.m

reagrupando,

lembrando

(08)

e

considerando,

ainda,

que

  ) | S | m.  ( + mm   ). S. (  mm Finalmente, considerando que 5Genericamente, se F é escalar e v é um vetor, ambos variáveis, ( Fv)  (F) v + F v. Logo, tomando o vetor de ambos os membros: rot(Fv)  (F)  v + F rotv.

6 Além das fórmulas já citadas consideraremos também, que:

(a.b)  (a).b  (b). a .

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  ). m.  ( + mm   )  m  +[(m  ). m  ]m  m  (m.  m  ), (  mm e lembrando (07), tem-se, logo, (09).

§04 - Derivada direcional do unitário da normal a uma superfície.

Consideremos um deslocamento arbitrário na direção dos S crescentes da curva reversa (C) contida em (S). Podemos escrever ((04),§03) na forma

 dm  m   (m  ).u ,  u. dS

(01).

Definição: (deriva direcional)  por unidade de comprimento de arco no  d S é a variação de m O vetor d m  na ponto, na direção da curva (C); denomina-se vetor derivada direcional de m . direção de u Então: O vetor derivada direcional do unitário da normal a uma superfície no seu ponto genérico, na direção de um unitário qualquer do seu plano tangente, é o vetor desse plano, transformado desse unitário mediante o diádico tangente do ponto.