4A2S - Representação de Sinais e Resposta de Sistemas

Processamento Digital de Sinal Representação de Sinais e Resposta de Sistemas

Processamento Digital de Sinal

Representação de sinais e Resposta de Sistemas

Ricardo Jorge de Loureiro Silva Nº1841 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000

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Procedimentos Utilizei o MatLab como ferramenta de trabalho, seguindo a proposta do professor, implementei os exercícios descritos na ficha de laboratório referente à prática nº1.

Trabalho prático No primeiro ponto foram geradas e representadas uma série de sequências ao longo do intervalo determinado para cada sequência. 

Ponto 1 – sequência 1

x1 n   4 n  3  2 n  1  3 (n  5) ,

-6  n  6

O sinal x1(n) é um sinal discreto amostrado para uma gama de valores de n compreendida entre –6 e 6. É composto por uma sequência de impulsos discretos deslocados.

Este impulso discreto é definido por: 1, n  0  n    0, n  0 Caso, esteja deslocado no tempo, então: 1, n  n0  n  n 0    0, n  n0

Destas duas hipóteses de caracterização do impulso posso concluir que o sinal pode assumir apenas três valores, os correspondentes ao deslocamento do impulso –3, 1 e 5.

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Representação no MatLab do sinal x1 [n]

 Ponto 1 – sequência 2 x 2 n   nu n   u n  10   10e 0.4( n 6) u n   u n  18, 0  n  20

O sinal x2[n] é composto por três tipos de sinais: uma rampa, um degrau e uma exponencial.

Relativamente ao primeiro sinal, a rampa discreta, pode ser definido por

r n   n para todo o Z0

sendo Z0 o conjunto de números naturais positivos e negativos, com o zero incluído O segundo sinal é o degrau discreto que é definida da seguinte forma

1, n  0 u n    0, n  0 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000

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Caso estejamos perante um degrau deslocado então:

1, n  n0 u n    0, n  n0

O terceiro sinal é uma exponencial discreta, que neste caso concreto é uma exponencial decrescente, uma vez que o seu expoente é tanto menor quanto maior for o n.

Considerando que x2[n] é o produto de todos estes sinais, posso concluir teóricamente, que o resultado da primeira parte do sinal será uma rampa apenas definida entre 0 e 10, visto ser o produto de uma rampa discreta por uma diferença do degrau na origem por um deslocado 10 unidades para a direita.

A segunda parte do sinal é a multiplicação de uma exponencial decrescente com a subtracção de um degrau na origem com um, deslocado 18 unidades, o que quer dizer que essa exponencial virá apenas definida no valores de n entre 0 e 18.

Representação gráfica no MatLab do sinal x2 [n]

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

Ponto 1 – sequência 3

X 3 n   cos(0.08n 

 )  0.3W (n), 0  n  40 5

sendo w(n) uma sequência aleatória com média zero e variância unitária.

Representação gráfica no MatLab do sinal x3 [n]



Ponto 1 – sequência 4

X(n)={...,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,...}

Esta sequência pode ser dividida em duas partes: a parte real que é X(n)={...,5,3,0,2,1,5,3,1,2,,1,5,3,0,2,1,...} e a parte imaginária formada pela sequência X(n)={...,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,...} dentro de uma gama de valores entre –20 e 20.

Ambas as frequências tem período igual a 5.

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Representação gráfica no MatLab do sinal x4 [n] Parte real

Parte imaginária

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

Ponto 1 – alinea b

Gerar o sinal complexo e representar a amplitude, fase, valor real e imaginário em quatro subplot. x5 n   e ( 0.2 0.5 j ) n , - 10  n  10

Representação gráfica no MatLab do sinal x5 [n]



Análise teórica do sinal O sinal x5(n) pode ser decomposto da seguinte forma x5 n   e 0.2n  0.5 nj  e 0.2 n  e 0.5 nj

Através da fórmula de Euler a exponencial complexa pode ser transformada numa soma de senos e cosenos.

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Então : x5 n   e 0.2n  cos(0.5n)  jsin (0.5n)  (1)

Com este sinal transformado através da fórmula de Euler podemos passar ao cálculo da amplitude, fase, valor real e valor imaginário.

a) Amplitude

A amplitude de um sinal complexo consiste em calcular a raiz quadrada dos quadrados da parte real e imaginária. Se nos lembrarmos da fórmula principal da trigonometria, o quadrado do cos(0.5n) mais o quadrado do sen(0.5n) é igual a um, pelo que:

x 5 n  

e



 0.2 n 2

 e 0.2 n

Amplitude x5 [n]

O módulo ou amplitude deste sinal vai assumir tantos valores quantos os de n.

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b) Fase

A fase de um sinal complexo é a tangente da parte imaginária sobre a parte real, pelo que através da expressão (1) vem que:

 sen(0.5n)    arctag (tag (0.5n))  0.5n x 5 n   arctag  cos( 0 .

5 n )  

Fase x5 [n]

c) Valor real x5(n) A parte real de um sinal é a que se encontra

sobre o eixo real. Se

observarmos a expressão(1)

V.R= e 0.2 n cos(0.5n)

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d) Valor imaginário x5(n) A parte imaginária de um sinal é a que se encontra sobre o eixo imaginário. Se observarmos a expressão (1)

V.I= e 0.2 n sen(0.5n)



Ponto 2 – alinea a

Dada a seguinte equação às diferenças:

y(n) - y(n-1) + 0.4 * y(n-2) = x(n) +x(n-1);

n

Calcular e representar a resposta recursivamente a resposta a uma rampa r(n) entre n=-10, ... , +15 supondo como condições iniciais :

Y(-3)=-2; y(-2)=1; y(-1)=-3



Ponto 2 – alinea b Calcular e representar a resposta impulsional h(n) entre n=-20 ,...., +20, e

verifique se o sistema especificado por h(n) é estável.

Por definição, a resposta a um impulso de um sistema LTI, é a resposta do sistema quando lhe é aplicado um impulso unitário localizado em n=0, quando as condições iniciais do sistema são zero.

Sendo assim, x(n)=x(n)-x(n-1) e y(n)=h(n)

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Quando o sistema é representado à custa de equações diferenciais, que é o caso, a resposta impulsional pode ser obtida de pelo menos três maneiras diferentes: Resposta recursiva

Resposta através da resolução da equação às diferenças 1º Equação característica 2º Raízes da equação característica 3º Solução Homogénea 4º Solução Particular 5º Solução Homogénea mais Particular

Transformada de Fourier 1º Aplicar a transformada de Fourier ao sistema (DTFT) 2º Factorizar o denominador da expressão obtida em 1 3º Fazer a expansão em fracções parciais 4º Aplicar à expressão 4 a transformada inversa de Fourier (IDTFT)

RESPOSTA RECURSIVA

Para se determinar a resposta usando este método, tem que se partir das condições iniciais.

Neste sistema, Y(-3)=-2 , Y(-2)=1 e Y(-1)=-3, para que o sistema em análise seja causal. Um sistema diz-se causal se a saída não depende dos valores futuros da entrada.

RESPOSTA DA EQUAÇÃO ÁS DIFERENÇAS

1º

Sendo h() h(n1)+0.4h(n-2)+ (n)+ (n-1)

TRANSFORMADA DE FOURRIER DISCRETA

Y n   Y n  1  0.4Y (n  2)  X n   X (n  1)



Y  e   e

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jw

 jw

 

 

 

 Y e jw  0.9e  2 jwY e jw  X e jw (1)

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Em (1) aplicou-se a propriedade do deslocamento no tempo da DTFT.

 



Y e jw 1  e  jw  0.9e 2 jw  1

(2)

Em (2) aplicou-se a transformada de Fourier do impulso unitário discreto.

 

Y e jw  

1 e

 jw

1 1  jw   2 jw  0. 9e (e  1.25  0.96 j )(e jw  1.25  0.96 j )

1j  1 1    jw 1.2  1  (1.25  0.96 j )e 1  (1.25  0.6 j )e  jw



 



  (3) 

Em (3) fez-se a factorização do polinómio do denominador e a expansão em fracções parciais.

 1j  1 1  Y n   1    jw 1  (1.25  0.96 j )e  jw  1.2  1  (1.25  0.96 j )e 1j n n   1.25  0.96 j  un  1.25  0.96 j  un 1.2



 





     



O sistema especificado por H[n] é estável?

Por definição, um sistema diz-se estável se para uma entrada limitada a saída também for limitada.



Ponto 3

Um sistema discreto h(n), linear e invariante no tempo é caracterizado pela sua resposta impulsional h(n)=u(n).

Determine a resposta do sistema a entrada x(n), para =0.5, N1=10 e N2=20.

Diga justificando se o sistema é causal e/ou estável.

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0  n   X (n)  0  n  N2  0

n0 0  n  N1 N1  n  N 2 N 2  n  N 2  N1 outroscasos

Seja o sistema assim representado:

H[n] X[n]

Y[n]

De onde se pode retirar que

Y n   X n  H n A operação acima utilizada é chamada de convolução. A convolução de dois sinais é a soma sucessiva da multiplicação de um sinal por outro deslocado no tempo, ou seja:

Y n  





k  

X k   H n  k  



 X n  k  H k 

k  

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Convolução de X(n) com h(n)

O sistema especificado por H(n) é estável?

Por definição, um sistema diz-se estável se para uma entrada limitada a saída também for limitada..

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Índice

Procedimentos ............................................................................................................ 2 Trabalho prático .......................................................................................................... 2 Ponto 1 – sequência 1 ..................................................................................... 2 Representação no MatLab do sinal x1 [n] ............................................ 3 Ponto 1 – sequência 2 ..................................................................................... 3 Representação gráfica no MatLab do sinal x2 [n]................................. 4 Ponto 1 – sequência 3 ..................................................................................... 5 Representação gráfica no MatLab do sinal x3 [n] ................................ 5 Ponto 1 – sequência 4 ..................................................................................... 5 Representação gráfica no MatLab do sinal x4 [n] ................................ 6 Ponto 1 – alinea b............................................................................................ 7 Representação gráfica no MatLab do sinal x5 [n] ................................. 7 Análise teórica do sinal .................................................................................... 7 Fase x5 [n] ........................................................................................... 9 Ponto 2 – alinea a.......................................................................................... 10 Ponto 2 – alinea b.......................................................................................... 10 Ponto 3 .......................................................................................................... 12

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