Processamento Digital de Sinal Representação de Sinais e Resposta de Sistemas
Processamento Digital de Sinal
Representação de sinais e Resposta de Sistemas
Ricardo Jorge de Loureiro Silva Nº1841 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000
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Procedimentos Utilizei o MatLab como ferramenta de trabalho, seguindo a proposta do professor, implementei os exercícios descritos na ficha de laboratório referente à prática nº1.
Trabalho prático No primeiro ponto foram geradas e representadas uma série de sequências ao longo do intervalo determinado para cada sequência.
Ponto 1 – sequência 1
x1 n 4 n 3 2 n 1 3 (n 5) ,
-6 n 6
O sinal x1(n) é um sinal discreto amostrado para uma gama de valores de n compreendida entre –6 e 6. É composto por uma sequência de impulsos discretos deslocados. Este impulso discreto é definido por: 1, n 0 n 0, n 0 Caso, esteja deslocado no tempo, então: 1, n n0 n n 0 0, n n0
Destas duas hipóteses de caracterização do impulso posso concluir que o sinal pode assumir apenas três valores, os correspondentes ao deslocamento do impulso –3, 1 e 5.
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Representação no MatLab do sinal x1 [n]
Ponto 1 – sequência 2 x 2 n nu n u n 10 10e 0.4( n 6) u n u n 18, 0 n 20
O sinal x2[n] é composto por três tipos de sinais: uma rampa, um degrau e uma exponencial. Relativamente ao primeiro sinal, a rampa discreta, pode ser definido por
r n n para todo o Z0
sendo Z0 o conjunto de números naturais positivos e negativos, com o zero incluído O segundo sinal é o degrau discreto que é definida da seguinte forma
1, n 0 u n 0, n 0 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000
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Caso estejamos perante um degrau deslocado então:
1, n n0 u n 0, n n0
O terceiro sinal é uma exponencial discreta, que neste caso concreto é uma exponencial decrescente, uma vez que o seu expoente é tanto menor quanto maior for o n.
Considerando que x2[n] é o produto de todos estes sinais, posso concluir teóricamente, que o resultado da primeira parte do sinal será uma rampa apenas definida entre 0 e 10, visto ser o produto de uma rampa discreta por uma diferença do degrau na origem por um deslocado 10 unidades para a direita. A segunda parte do sinal é a multiplicação de uma exponencial decrescente com a subtracção de um degrau na origem com um, deslocado 18 unidades, o que quer dizer que essa exponencial virá apenas definida no valores de n entre 0 e 18. Representação gráfica no MatLab do sinal x2 [n]
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Ponto 1 – sequência 3
X 3 n cos(0.08n
) 0.3W (n), 0 n 40 5
sendo w(n) uma sequência aleatória com média zero e variância unitária. Representação gráfica no MatLab do sinal x3 [n]
Ponto 1 – sequência 4
X(n)={...,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,5+j,3-j,j,2+0.5j,1,...}
Esta sequência pode ser dividida em duas partes: a parte real que é X(n)={...,5,3,0,2,1,5,3,1,2,,1,5,3,0,2,1,...} e a parte imaginária formada pela sequência X(n)={...,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,1,-1,1,0.5,0,...} dentro de uma gama de valores entre –20 e 20. Ambas as frequências tem período igual a 5.
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Representação gráfica no MatLab do sinal x4 [n] Parte real
Parte imaginária
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Ponto 1 – alinea b
Gerar o sinal complexo e representar a amplitude, fase, valor real e imaginário em quatro subplot. x5 n e ( 0.2 0.5 j ) n , - 10 n 10
Representação gráfica no MatLab do sinal x5 [n]
Análise teórica do sinal O sinal x5(n) pode ser decomposto da seguinte forma x5 n e 0.2n 0.5 nj e 0.2 n e 0.5 nj
Através da fórmula de Euler a exponencial complexa pode ser transformada numa soma de senos e cosenos.
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Então : x5 n e 0.2n cos(0.5n) jsin (0.5n) (1)
Com este sinal transformado através da fórmula de Euler podemos passar ao cálculo da amplitude, fase, valor real e valor imaginário.
a) Amplitude
A amplitude de um sinal complexo consiste em calcular a raiz quadrada dos quadrados da parte real e imaginária. Se nos lembrarmos da fórmula principal da trigonometria, o quadrado do cos(0.5n) mais o quadrado do sen(0.5n) é igual a um, pelo que:
x 5 n
e
0.2 n 2
e 0.2 n
Amplitude x5 [n]
O módulo ou amplitude deste sinal vai assumir tantos valores quantos os de n. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000
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b) Fase
A fase de um sinal complexo é a tangente da parte imaginária sobre a parte real, pelo que através da expressão (1) vem que:
sen(0.5n) arctag (tag (0.5n)) 0.5n x 5 n arctag cos( 0 . 5 n )
Fase x5 [n]
c) Valor real x5(n) A parte real de um sinal é a que se encontra
sobre o eixo real. Se
observarmos a expressão(1)
V.R= e 0.2 n cos(0.5n)
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d) Valor imaginário x5(n) A parte imaginária de um sinal é a que se encontra sobre o eixo imaginário. Se observarmos a expressão (1)
V.I= e 0.2 n sen(0.5n)
Ponto 2 – alinea a
Dada a seguinte equação às diferenças:
y(n) - y(n-1) + 0.4 * y(n-2) = x(n) +x(n-1);
n
Calcular e representar a resposta recursivamente a resposta a uma rampa r(n) entre n=-10, ... , +15 supondo como condições iniciais :
Y(-3)=-2; y(-2)=1; y(-1)=-3
Ponto 2 – alinea b Calcular e representar a resposta impulsional h(n) entre n=-20 ,...., +20, e
verifique se o sistema especificado por h(n) é estável. Por definição, a resposta a um impulso de um sistema LTI, é a resposta do sistema quando lhe é aplicado um impulso unitário localizado em n=0, quando as condições iniciais do sistema são zero.
Sendo assim, x(n)=x(n)-x(n-1) e y(n)=h(n)
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Quando o sistema é representado à custa de equações diferenciais, que é o caso, a resposta impulsional pode ser obtida de pelo menos três maneiras diferentes: Resposta recursiva
Resposta através da resolução da equação às diferenças 1º Equação característica 2º Raízes da equação característica 3º Solução Homogénea 4º Solução Particular 5º Solução Homogénea mais Particular
Transformada de Fourier 1º Aplicar a transformada de Fourier ao sistema (DTFT) 2º Factorizar o denominador da expressão obtida em 1 3º Fazer a expansão em fracções parciais 4º Aplicar à expressão 4 a transformada inversa de Fourier (IDTFT)
RESPOSTA RECURSIVA
Para se determinar a resposta usando este método, tem que se partir das condições iniciais. Neste sistema, Y(-3)=-2 , Y(-2)=1 e Y(-1)=-3, para que o sistema em análise seja causal. Um sistema diz-se causal se a saída não depende dos valores futuros da entrada. RESPOSTA DA EQUAÇÃO ÁS DIFERENÇAS
1º
Sendo h() h(n1)+0.4h(n-2)+ (n)+ (n-1)
TRANSFORMADA DE FOURRIER DISCRETA
Y n Y n 1 0.4Y (n 2) X n X (n 1)
Y e e
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jw
jw
Y e jw 0.9e 2 jwY e jw X e jw (1)
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Em (1) aplicou-se a propriedade do deslocamento no tempo da DTFT.
Y e jw 1 e jw 0.9e 2 jw 1
(2)
Em (2) aplicou-se a transformada de Fourier do impulso unitário discreto.
Y e jw
1 e
jw
1 1 jw 2 jw 0. 9e (e 1.25 0.96 j )(e jw 1.25 0.96 j )
1j 1 1 jw 1.2 1 (1.25 0.96 j )e 1 (1.25 0.6 j )e jw
(3)
Em (3) fez-se a factorização do polinómio do denominador e a expansão em fracções parciais.
1j 1 1 Y n 1 jw 1 (1.25 0.96 j )e jw 1.2 1 (1.25 0.96 j )e 1j n n 1.25 0.96 j un 1.25 0.96 j un 1.2
O sistema especificado por H[n] é estável?
Por definição, um sistema diz-se estável se para uma entrada limitada a saída também for limitada.
Ponto 3
Um sistema discreto h(n), linear e invariante no tempo é caracterizado pela sua resposta impulsional h(n)=u(n). Determine a resposta do sistema a entrada x(n), para =0.5, N1=10 e N2=20. Diga justificando se o sistema é causal e/ou estável. Licenciatura em Engenharia Electrotécnica – 1999/2000
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0 n X (n) 0 n N2 0
n0 0 n N1 N1 n N 2 N 2 n N 2 N1 outroscasos
Seja o sistema assim representado:
H[n] X[n]
Y[n]
De onde se pode retirar que
Y n X n H n A operação acima utilizada é chamada de convolução. A convolução de dois sinais é a soma sucessiva da multiplicação de um sinal por outro deslocado no tempo, ou seja:
Y n
k
X k H n k
X n k H k
k
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Convolução de X(n) com h(n)
O sistema especificado por H(n) é estável?
Por definição, um sistema diz-se estável se para uma entrada limitada a saída também for limitada..
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Índice
Procedimentos ............................................................................................................ 2 Trabalho prático .......................................................................................................... 2 Ponto 1 – sequência 1 ..................................................................................... 2 Representação no MatLab do sinal x1 [n] ............................................ 3 Ponto 1 – sequência 2 ..................................................................................... 3 Representação gráfica no MatLab do sinal x2 [n]................................. 4 Ponto 1 – sequência 3 ..................................................................................... 5 Representação gráfica no MatLab do sinal x3 [n] ................................ 5 Ponto 1 – sequência 4 ..................................................................................... 5 Representação gráfica no MatLab do sinal x4 [n] ................................ 6 Ponto 1 – alinea b............................................................................................ 7 Representação gráfica no MatLab do sinal x5 [n] ................................. 7 Análise teórica do sinal .................................................................................... 7 Fase x5 [n] ........................................................................................... 9 Ponto 2 – alinea a.......................................................................................... 10 Ponto 2 – alinea b.......................................................................................... 10 Ponto 3 .......................................................................................................... 12
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