TALLER DE CÁLCULO DIFERENCIAL la primera pregunta del parcial será la pregunta que falta por resolver del quiz. La segunda y la tercera preguntas serán acerca de funciones. La cuarta pregunta tendrá dos incisos, uno sobre función exponencial y uno sobre función logarítmica (pueden ser ecuaciones o ejercicios de aplicación). La quinta pregunta será demostrar una identidad trigonométrica. Todas las preguntas saldrán de este taller. 1. Determinar el centro y el radio de la circunferencia que satisface la ecuación 2. Si f (x)=3x 2−x+2 , encontrar ⟦f (2)⟧
(Función mayor entero).
x 3 2 3. Dada la función f por la fórmula f (x)=x −4x , evaluar f 2
()
{
3x si x<0 f (x)= x+1 si 0⩽x⩽2 4. Dada la función f por la fórmula (x−2)2 si x>2 f (−5), f ( 0), f (1) , f (2) , f (5) 5. Encontrar el dominio de la función
x 2+ y 2+6x=0 .
}
.
,evaluar
4
g( x )=√ x 2−6x .
6. Hallar el dominio y el contradominio de f (x)= √ x+2 . 7. La longitud de un lote de edificación rectangular es tres veces su ancho. Encontrar una función que modele su área en términos de su ancho w . 8. Dos barcos salen del puerto al mismo tiempo. Uno navega hacia el sur a 15 millas/h y el otro navega hacia el oeste a 20 millas/h. Encontrar la función que modela la distancia D entre los barcos en términos del tiempo t (en horas) transcurrido desde su partida.
9. Determinar si la función f dada es uno a uno. Indicar si es par o impar o ninguna: 1 f ( x)= +1 x f (x)=
1 x2
f ( x)=
x+5 2
10. Encontrar f ∘ g∘ h donde f (x)=x 4+1 ,
g(x )=x−5 y h( x )=√ x .
11. Encontrar la función de la forma f ( x)=Ca x cuya gráfica pasa por los puntos (0,3) y (2,12) . 12. Las poblaciones de animales no pueden crecer sin restricción debido a las limitaciones de hábitat y suministro de alimento. En tales condiciones la población sigue un modelo de crecimiento logístico P(t)=
d 1+ke−ct
donde c , d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces en un pequeño estanque d=1200, k=11, c=0,2 y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t=0 . ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque? ¿Cuál será la población después de 20 años? 13. Encontrar el dominio de la función
g( x )=ln( x−x 2) .
14. Cierta colonia de bacterias se divide cada tres horas. Si una colonia comienza con 50 bacterias, entonces el tiempo t (en horas) requerido para que la colonia crezca a N bacterias se expresa como t=3
log(N /50) log(2)
Calcular el tiempo requerido para que la colonia crezca a un millón de bacterias. 15. Resolver las siguientes ecuaciones: 2 x
x
x
x e +2x e +e =0
log( x −4)=3 16. Resolver la inecuación 3⩽log(x )⩽4 . 17. la presión atmosférica P (en kilopascales, kPa) a la altura h (en kilómetros, km) está gobernada por la fórmula ln
( PP )=−( hk ) 0
donde k =7 y
P0=100 kPa son constantes. Despeje
P de la ecuación.
18. El número de bacterias en un cultivo se modela mediante la ecuación
n(t)=500 e 0,45t donde t se mide en horas ¿Después de cuántas horas la cantidad de bacterias llega a 10000? 19. Demostrar la identidad trigonométrica
20. Demostrar la identidad
sen ( x)+cos( x ) =sen (x) cos (x) sec ( x)+csc( x)
1 1 − =2 sec( x)tan( x ) . 1−sen ( x ) 1+sen ( x)