UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA SEMILLERO DE MATEMÁTICAS NIVEL 11 TALLER N º 2 LÓGICA MATEMÁTICA RESEÑA HISTÓRICA Etimológicamente la palabra lógica viene del Griego "logos = razón, idea, razonamiento". Entendida como el estudio de métodos y principios utilizados para diferenciar un razonamiento correcto de otro incorrecto, la lógica, fue creada por ARISTÓTETES en el siglo V (AC) en su libro" Organón = Instrumento". La Lógica puede ser natural y formal. La natural es propia de todos los humanos (un niño de pocos meses pide el balón Y el tetero; voy a pasear entonces llevo pantaloneta). La formal es simbólica, sistemática y propia de los lógicos. En este sentido es el lenguaje de las ciencias y de las matemáticas en particular. La lógica simbólica se inició con LEIBNIZ, quien consideró un lenguaje científico universal común a todos los hombres de ciencia, y un cálculo del razonamiento, reglas precisas, para la manipulación de aquel lenguaje, aunque sin mucha profundidad. Motivados por los estudios de Leibniz, Lambert y Holland hicieron algunos aportes a esta ciencia. Entre 1825 y 1850 GEORGE BOOLE basado en estudios de Hamilton y Demorgan propuso su álgebra de la lógica, que permite un cálculo manejable y completo, donde se aplican operaciones de tipo matemático. La estructura del sistema de Bool se basa en tres ideas fundamentales: elección de símbolos, leyes del pensamiento expresadas por reglas de operación que actúan sobre los símbolos, y la observación, de que dichas reglas, actúan algebraicamente sobre los números cero y uno de igual forma.
BIOGRAFÍA DE GEORGE BOOLE Nació: El 2 de noviembre de 1815 en Lincoln (Inglaterra). Murió: El 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple (Irlanda). Era de familia humilde (una forma delicada de decir que era pobre) y recibió una educación elemental. Estudió por su cuenta latín y griego. A los 12 años era un experto en latín. A esta edad tradujo una oda de Horacio, pero la traducción era tan perfecta que no creían que era la traducción de un niño. Boole no cursó estudios oficiales. A los 16 años era ayudante del maestro de escuela (en aquella época, todos los alumnos, estaban en la misma aula y los alumnos de los cursos superiores, ayudaban al maestro en la enseñanza de los cursos inferiores). En 1835 abrió su propia escuela y empezó a estudiar matemáticas por su cuenta. En esta época fué cuando estudió los trabajos de Laplace y Lagrange. Se casó con una sobrina de George Everest (el que dio el nombre a la famosa montaña). En 1847 publicó “The Mathematical Análisis of Logic” y en 1854 “Investigation of the Laws of though”, un clásico de la historia de las matemáticas porque es el origen de la Teoría de conjuntos. Es muy conocido por lo que hoy se llama lógica booleana, que se utiliza en los computadores. A pesar de no tener estudios oficiales, Boole tuvo el reconocimiento de las Universidades de Dublín y Oxford. Murió a los 49 años, como consecuencia de un resfriado debido a que se mojó en la caminata desde su casa a la escuela.
OBJETIVO GENERAL Promover en los alumnos el desarrollo del razonamiento lógico, mediante la solución de problemas, en los que se apliquen leyes de la lógica de proposiciones y de la lógica de las funciones proposiocionales.
TEORIA PROPOSICIÒN: Enunciado del cual podemos afirmar que es verdadero o que es falso. Ejemplos: 2 es un número primo (Verdadero) Los martes hay semillero de matemáticas. (Falso) ¿Cómo estás? No es una proposición puesto que no podemos afirmar que es verdadera o falsa. VALOR DE VERDAD: Es la Verdad o falsedad de un enunciado. CONJUNCION: p ∧ q Dos proposiciones simples se pueden conectar por la palabra “y” para formar una proposición compuesta, que se llama la conjunción. El valor de verdad de la conjunción satisface la siguiente condición: La conjunción de dos enunciados simples es verdadera solamente si cada uno de los enunciados es verdadero.
DISYUNCIÒN: p ∨ q La disyunción únicamente es falsa cuando las dos proposiciones son falsas.
LA NEGACIÒN: ~ p p: 3 es un número primo ( V ) p: 3 no es un número primo o también no es cierto que 3 sea un numero primo( F ) EL CONDICIONAL: p → q Se lee “si p entonces q “ “p siempre que q” “p solo si q” “p es suficiente para q” El condicional únicamente es falso cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso, porque una proposición verdadera no implica una falsedad. Nota: Si en el condicional se cumplen las condiciones: 1. Las proposiciones están lógicamente ligadas 2. El condicional es verdadero. Entonces el condicional se llama una implicación y se escribe p ⇒ q Ejemplo: Si 2x = 4 entonces, x = 2 es verdadero y se puede escribir: 2x = 4 implica que x = 2.
EL BICONDICIONAL: p ↔ q y se lee “p si y sólo si q”
El bicondicional es equivalente a (p → q) ∧ (q → p) El bicondicional es verdadero si las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad y es falso si las proposiciones tienen valores diferentes.
EJERCICIO: Sea p: “El es fuerte” y q: “El es inteligente”. Escribir en forma simbólica los siguientes enunciados: 1. El es fuerte e inteligente. 2. El es fuerte pero no es inteligente. 3. Es falso que él es débil o inteligente. ~(~p ∨ q ) 4. El no es ni fuerte ni inteligente. 5. No es verdad que él es débil o que no es inteligente. 6. El es fuerte, o él es débil e inteligente 7. Ser fuerte es suficiente para ser inteligente. 8. El es débil sólo si no es inteligente. 9. Hay que ser débil para ser inteligente.
REGLAS DE INFERENCIA: Son reglas que nos sirven para probar que a partir de unas premisas es posible hacer la demostración de una conclusión específica. REGLA 1:
p→q p
q (conclusión) Ejemplo: 1. Si hoy es sábado entonces hay semillero de matemática. 2. Hoy es sábado. Hay semillero de matemáticas. (Conclusión). REGLA 2: p∨q p ∨ q ~q ~p p (conclusión) q (conclusión) Ejemplo: 1. Un número natural a es par o impar 2. a no es impar. a es par. (Conclusión) REGLA 3: p→q ~q ~p (conclusión). 1. Si llueve entonces la calle está mojada. 2. La calle no está mojada. No está lloviendo (conclusión) REGLA 4: (TRANSITIVIDAD) p→q q→ r p → r (conclusión) Ejemplo: 1. Si n es par entonces n es divisible por 2. 2. Si n es divisible por 2 entonces n es múltiplo de 2. Si n es par entonces n es múltiplo de 2. (conclusión) REGLA 5: p q p ∧ q (conclusión) Ejemplo: 1. Hoy es sábado. 2. Mañana es Domingo. Hoy es sábado y mañana es Domingo. (Conclusión) REGLA 6: p∨q p→ r
p∨ q p→ r
q→ s q→ r r ∨ s (conclusión) r (conclusión) Ejemplo de la parte 1 de la regla 6: 1. Voy al colegio o me quedo en casa. 2. Si voy al colegio entonces asistiré al laboratorio de física. 3. Si me quedo en casa entonces escucharé música. Asistiré al laboratorio de física o escucharé música.
REGLA 7: p∧q p (conclusión)
p∧q q (conclusión)
Ejemplo: 1. Hoy voy a estudiar al semillero y luego voy a la piscina. Hoy voy a estudiar al semillero. (conclusión) OTRAS LEYES QUE SE UTILIZAN CON FRECUENCIA: Ley de Demorgan ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q ~(p ∧ q) ⇔ ~ p ∨ ~q Ley de la doble negación: ~(~p) ⇔ p Regla de la adición: p p ∨ q (conclusión) Un ejemplo usando las reglas de inferencia Si el partido A gana las elecciones, tendrá mayoría en el congreso. Si tiene mayoría el presidente podrá cumplir el programa de gobierno propuesto. O el presidente no podrá cumplir el programa propuesto o la oposición lo atacará duramente pero la oposición no lo atacará duramente. A. El partido A ganará las elecciones B. La oposición lo atacará duramente C. El partido A no ganará las elecciones D. El partido A tendrá mayoría en el congreso. Solución: A. Sacar premisas p: El partido A gana las elecciones q: El partido A tendrá mayoría en el congreso r: El presidente podrá cumplir el programa de gobierno propuesto. s: La oposición lo atacará duramente. B. Leer el texto cuidadosamente y usar los conectivos adecuados 1. p→q 2. q→r 3. ~r v s 4. ~s C. Recuerda que cada enunciado 1,2,3,4 es verdadero De 4, se tiene que ~s es verdadero, luego en 3, se tiene que s es falso; por lo tanto ~r tiene que ser verdadero (disyunción: es falsa cuando ambas son falsas), así que en 2, r es falsa, por consiguiente q tiene que ser falsa (la implicación es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso) luego en 1, como q es falsa, p tiene que ser falsa, entonces se tiene que ~p es verdadero, por lo tanto la conclusión es la C.
CONDICION SUFICIENTE PERO NO NECESARIA. Una condición es suficiente para la realización de un proceso, cuando en su presencia el suceso debe ocurrir. (O sea que basta). Ejemplo: Si soy antioqueño, entonces soy colombiano.
CONDICION NECESARIA PERO NO SUFICIENTE: Una condición es necesaria cuando su cumplimiento es indispensable para la realización de un proceso. Pero una condición puede ser necesaria y sin embargo el suceso puede ser que no ocurra. Ejemplo: La presencia de oxigeno es condición necesaria para que se produzca fuego, puesto que si no hay oxigeno no se produce fuego. La presencia de oxigeno no es condición suficiente par que se produzca fuego. Una expresión equivalente a “p es condición necesaria para q” es: ~p → ~q. En el ejemplo: Si no hay oxigeno entonces no hay fuego.
CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE:
Ser p una condición necesaria y suficiente para q es equivalente a p ↔ q, o sea (p → q) ∧ (q → p)
GLOSARIO Proposición, conjunción, disyunción, implicación, conectivos, antecedente, consecuente, inferencia.
TALLER En los ejercicios del 1 al 8 hallar la conclusión correspondiente a las premisas dadas. 1. María tiene clase. Si llueve en la madrugada, entonces: Si María tiene clase, llegará tarde. No es cierto que: No llueve en la madrugada o hace frío. A. Llueve en la madrugada B. María llegará tarde C. María no tiene clase. D. Hace frío. 2. Si el invierno continúa o las inundaciones aumentan, entonces las viviendas peligran o los alimentos se encarecen. No es cierto que los alimentos se encarecen. El invierno continúa. A. El invierno terminó. B. Las viviendas peligran. C. Los alimentos se encarecen D. Las inundaciones disminuyen. 3. Si el partido A gana las elecciones, tendrá mayoría en el congreso. Si tiene mayoría el presidente podrá cumplir el programa de gobierno propuesto. O el presidente no podrá cumplir el programa propuesto o la oposición lo atacará duramente pero la oposición no lo atacará duramente. A. B. C. D.
El partido A ganará las elecciones La oposición lo atacará duramente El partido A no ganará la elecciones El partido A tendrá mayoría en el congreso.
4. Si estudio, entonces no perderé matemáticas. Si no juego baloncesto, entonces estudiaré. Pero perdí matemáticas A. B. C. D.
No jugué baloncesto Estudié No perderé matemáticas Jugué baloncesto
5. Si Marcela digita bien, entonces Alejandro o Edwin entregará el trabajo a tiempo. Pero Marcela digitó bien y Alejandro no entregó el trabajo a tiempo. Por tanto. A. B. C. D.
Edwin no entregó el trabajo a tiempo Edwin entregó el trabajo a tiempo. Marcela no entregó el trabajo a tiempo Edwin también digitó el trabajo.
6. Si el reloj está adelantado, entonces Juan llegó antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. O Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj está adelantado. Por tanto. A. B. C. D.
Juan es el criminal Andrés no dice la verdad Juan dice la verdad Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen
7. Cuando se prevén fuertes movimientos sísmicos, el observatorio avisa a las autoridades y alerta a la población. El observatorio no ha avisado a las autoridades o no ha alertado a la población. A. B. C. D.
No se prevén fuertes movimientos sísmicos La autoridades alertan a la población El observatorio no avisa a la autoridades No se informa a las autoridades.
8. Si el equipo ganó el domingo, podrá jugar en el extranjero. Y jugará en el extranjero sólo si ha contratado a un nuevo entrenador. O el equipo no ha contratado a un nuevo entrenador, o ha quedado descalificado. Pero no ha quedado descalificado. A. B. C. D.
El equipo no ganó el domingo El equipo contratará un nuevo entrenador El equipo jugará en el extranjero El equipo no ha quedado descalificado.
9. Indicar si los siguientes enunciados son condiciones suficientes, necesarias o suficientes y necesarias. Justifique su respuesta. A. B. C. D.
Si hay presencia de oxigeno, se produce combustión. Si un número es divisible por 6, entonces es par. Si X es un número positivo, X2 es positivo. Si se eleva la temperatura a un punto crítico en presencia del oxigeno, entonces hay combustión de una sustancia.
DESCRIPCIÓN DE UN PROCESO DE RIEGO PARA UN CULTIVO. El diagrama indica el caudal de una acequia (1) que suministra el agua para el riego de un cultivo de maracuyá (3) mediante dos sistemas independientes así: En el primero, el agua ingresa por la compuerta A hasta el tanque (2) donde es almacenada y posteriormente a través de la compuerta C, es distribuida por un sistema de mangueras subterráneas que efectúan un riego por aspersión. En el segundo el agua ingresa por la compuerta B y es distribuida directamente por un sistema de surcos en todo el cultivo, efectuándose un riego por inundación. Una ley de recursos hídricos del INDERENA sólo permite tomar agua de la acequia por la compuerta A o la compuerta B pero no por las dos al mismo tiempo, con el objetivo de distribuir la toma de aguas entre los demás usuarios de la acequia. Cuando el tanque (2) está lleno y la compuerta A está abierta pero la compuerta C está cerrada, el agua sobrante pasa por un desagüe D a formar parte del acueducto de una finca. No hay otras condiciones bajo las cuales circule agua por D. Las situaciones que se plantean a continuación, se fundamentan en el proceso descrito textualmente y se asumen las condiciones normales de funcionamiento.
PLANTEAMIENTO DE UNA SITUACIÓN PROBLEMA-DESCRIPCIÓN DE UN PROCESO DE RIEGO PARA CULTIVO 1. De las situaciones que se describen a continuación, indique cuáles son posibles y cuáles no los son, en las condiciones de funcionamiento del sistema. Argumente en forma breve su respuesta. A. B. C. D. E. F. G. H. I. J.
La compuerta A está abierta y no hay riego en el cultivo. Las compuertas A y B está cerradas y hay riego en el cultivo. La compuerta B está abierta y hay riego por aspersión La compuerta B está abierta y hay agua circulando por el desagüe D. La compuerta A está abierta y hay riego por inundación La compuerta C está abierta y no hay riego en el cultivo. La compuerta B está cerrada y no hay agua circulando por el desagüe D. Hay agua circulando por el desagüe D y hay riego en el cultivo. Hay riego por inundación y por aspersión simultáneamente. La compuerta B está cerrada, el tanque está lleno no hay agua circulando por el desagüe D y no hay riego en el cultivo. K. El tanque está lleno y no hay riego en el cultivo. L. El tanque está vació completamente y hay riego en el cultivo. M. Hay dos compuertas abiertas y no hay riego en el cultivo. N. Hay una compuerta abierta y hay riego en el cultivo. O. Hay una compuerta abierta y no hay riego en el cultivo. 2. Hoy no hay riego en el cultivo. Señale en las opciones siguientes cuál o cuáles de ellas son causa de este hecho. A. La compuerta A está cerrada. B. La compuerta B está cerrada C. Las compuertas A y B están cerradas. D. La compuerta A está abierta y la compuerta C está cerrada. E. La compuerta B y C está cerradas. F. Hay agua circulando por el desagüe D. G. Hay dos compuertas cerradas. H. El tanque está vació. 3. Hay dos compuertas abiertas, señale, cuál o cuáles de las opciones siguientes son consecuencia de este hecho. A. Hay riego por aspersión B. Hay riego por inundación C. Hay riego en el cultivo D. No hay agua circulando por el desagüe D. E. La compuerta A está abierta F. La compuerta C está abierta.
4. Señale, en las opciones siguientes, la condición o condiciones siguientes para que haya riego en el cultivo. Destaque las implicaciones respectivas. A. B. C. D. E. F. G.
La compuerta A está abierta. La compuerta B está abierta. La compuerta A está abierta o la compuerta B está abierta. La compuerta C está abierta Las compuertas A y C están abiertas. Las compuertas B y C está abiertas. No hay agua circulando por el desagüe D.
5. Señale, en las opciones del numeral anterior, la condición o condiciones necesarias para que haya riego en el cultivo. Destaque las implicaciones respectivas. 6. De acuerdo a lo determinado en los numerales 4 y 5 se pueden señalar algunas equivalencias? 7. Señale, en las opciones siguientes, la condición o condiciones suficientes para que circule agua por el desagüe D. Destaque las implicaciones respectivas. A. B. C. D. E. F. G. H. I. J.
La compuerta B está cerrada La compuerta C está cerrada. La compuerta A está abierta El tanque 2 está lleno. Las compuertas B y C está cerradas. El tanque está lleno y la compuerta A está abierta. El tanque está lleno y la compuerta C está cerrada El tanque está lleno, la compuerta C está cerrada y la compuerta B esta abierta. El tanque está lleno, la compuerta A está abierta y la compuerta C está cerrada. El tanque está lleno, la compuerta A está abierta y no hay riego en el cultivo.
8. Señale, en las opciones del numeral anterior, la condición o condiciones necesarias para que circule agua por el desagüe D. Destaque las implicaciones respectivas.
BIBLIOGRAFÍA • • •
Matemática, una propuesta curricular 11, Julio Uribe Calad. Introducción al simbolismo lógico. Hugo Guarín. Pagina Web http://www.terra.es/personal/jftjft/Historia/Biografias/Boole.htm