Marrazketa teknikoa 1 Batxilergoa

13:20

Página 1

B ATXIL ERGOA 1

22/5/12

MARRAZKETA TEKNIKOA Batxilergoa 1 Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala

erein

MARRAZKETA TEKNIKOA

AZALA MARRAZKETA 1.qx:PORTADA DIBUJO TECNICO 1Bach.qx

erein

Eusko Jaurlaritzako Hezkuntza, Unibertsitate eta Ikerketa sailak onetsia (2003-09-25) Azalaren diseinua: Iturri Diseinua eta maketazioa: IPAR Marrazkiak: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles Garcia, Jose Antonio Oriozabala Argazkiak: Juan Carlos Ruiz, Jesus Mª Peman © Testua: Rafael Ciriza, Roberto Galarraga, Mª Angeles Garcia, Jose Antonio Oriozabala © EREIN 2003. Tolosa Etorbidea 107 - 20018 Donostia ISBN: 978-84-9746-120-7 L.G.: SS-746/2012 Imprimategia: Gertu. Zubillaga industrialdea, 9. 20560 Oñati

Marrazketa teknikoa Batxilergoko 1. maila Rafael Ciriza Roberto Galarraga Mª Angeles García José Antonio Oriozabala

EREIN

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

AURKIBIDEA

1. Marrazketarako materialak eta horien erabilera ............................................................... 9 Marrazketarako materialak ....................................................................................... 9 2. Planoan egiten diren oinarrizko marrazkiak ................................................................... 19 Elementu geometrikoak. Definizioak ................................................................... 19 Zuzenak planoan ..................................................................................................... 21 Angeluak .................................................................................................................. 23 Leku geometrikoa ................................................................................................... 28 Zirkunferentzia-lerroak eta zuzenkiak ................................................................. 29 3. Triangeluak, laukiak eta poligono erregularrak ............................................................. 33 Poligono definizioa ................................................................................................. 33 Triangelua ................................................................................................................ 33 Laukia ....................................................................................................................... 37 Poligono erregularrak ............................................................................................. 38 4. Proportzionaltasuna eta eskalak ....................................................................................... 46 Proportzionaltasuna ................................................................................................ 46 Eskalak ...................................................................................................................... 49 5.Berdintasuna, baliokidetasuna, antzekotasuna eta simetria ........................................... 54 Berdintasuna ............................................................................................................ 54 Baliokidetasuna ....................................................................................................... 55 Antzekotasuna ......................................................................................................... 57 Simetria ..................................................................................................................... 59 6. Ukitzaileak. Oinarriak eta ebazpen prozedurak ............................................................. 61 Ukitzaileak. Oinarriak ............................................................................................. 61 Ukitzaileen problemak ........................................................................................... 64 7. Kurba teknikoak .................................................................................................................. 77 Obaloa ...................................................................................................................... 77 Oboidea .................................................................................................................... 79 Kiribila ...................................................................................................................... 79 Boluta ........................................................................................................................ 80 Helize zilindrikoa .................................................................................................... 81 8. Kurba konikoak ................................................................................................................... 83 Sarrera ....................................................................................................................... 83 Elipsea ...................................................................................................................... 84 Parabola .................................................................................................................... 86 Hiperbola .................................................................................................................. 87

5

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

9. Geometria deskribatzailearen oinarriak ........................................................................... 94 Oinarrizko kontzeptuak ......................................................................................... 94 Proiekzio motak ...................................................................................................... 95 Irudikapen sistemak ................................................................................................ 95 10. Sistema diedrikoa: puntua, zuzena eta planoa ........................................................... 102 Sarrera ..................................................................................................................... 102 Puntuaren irudikapena ......................................................................................... 104 Zuzenaren irudikapena ........................................................................................ 105 Planoaren irudikapena ......................................................................................... 107 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren arteko barnekotasun erlazioa ............. 111 11. Normalizazioa .................................................................................................................. 121 Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 121 Marrazketa teknikorako arau orokorrak ............................................................ 122 12. Bistak ................................................................................................................................ 128 Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 128 Bisten izenak, arauaren arabera .......................................................................... 130 Bisten aukera ......................................................................................................... 134 13.Ebakidurak eta epaiak ..................................................................................................... 138 Ebakidura ............................................................................................................... 138 Ebakidura-motak ................................................................................................... 139 Ebakiduraren eta epaiaren arteko bereizkuntza 14. Akotazioa ......................................................................................................................... 146 Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 146 Kota lerroak ........................................................................................................... 147 Lerro lagungarriak ................................................................................................. 148 Geziak eta kota-marrak ........................................................................................ 148 Kota-zifrak .............................................................................................................. 149 Akotazio-sinboloak ............................................................................................... 151 15. Finkagarriak. Torloju-hariaren akokotazioa eta irudikapena .................................... 156 Definizioak ............................................................................................................. 156 Hariak normalizatzeko sarrera ............................................................................ 157 Torloju-harien sailkapena .................................................................................... 157 Torloju-hariaren konbentziozko irudikapena ................................................... 158 Torloju-hariaren irudikapen motak .................................................................... 159 Torloju-hariaren beste irudikapen batzuk ......................................................... 161 Torloju-harien akotazioa ...................................................................................... 163 Torloju-hari ohikoenen profilak eta neurriak ................................................... 166

6

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

16. Multzoak ........................................................................................................................... 173 Mekanismoen adibide bat .................................................................................... 173 Ohiko plano-motak ............................................................................................... 174 Multzoko planoaren osagaiak ............................................................................. 175 Atalkatzea ............................................................................................................... 177 17. Krokisen prestaera .......................................................................................................... 181 Oinarrizko kontzeptuak ....................................................................................... 181 Neurtzeko tresnak ................................................................................................. 182 Krokis bat egiteko egin beharreko urratsak ...................................................... 183 18. Perspektiba axonometrikoa eta Cavalieriren perspektiba ....................................... 186 Perspektiba axonometrikoa ................................................................................. 186 Irudi lauak perspektiba axonometrikoan irudikatzeko modua ...................... 190 Gorputz trinkoak perspektiba axonometrikoan irudikatzeko modua ........... 195 Cavalieri perspektiba ............................................................................................ 198 Irudi lauak Cavalieri perspektibaren arabera irudikatzen ............................... 201 Gorputz trinkoak Cavalieri perspektibaren arabera irudikatzen .................... 201

7

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

1. Marrazketarako materialak eta haien erabilera Marrazketa teknikoa

Helburuak – Lan teknikoaren munduan erabiltzen diren espresio grafikoaren hainbat molde desberdinak eta spresio grafikoaren tekniketan maizenik erabiltzen diren tresnak eta osagarriak ezagutzea.

Marrazketarako materialak

Funtsezkoak dira doitasuna eta zehaztasuna formen eta objektuen aurkezpen teknikoa bideratzerakoan.

Marrazteko tresnak behar bezala ezagututa eta kalitatezko tresnak erabilita baino ez diegu aterako grafikoei probetxu handiena.

Hona hemen marrazki teknikoan erabiltzen diren oinarrizko materialak:

– Marrazki-paper egokia

– Konpas-sorta

– Marrazki-lapitzak

– Estilografoa

– Borragomak

– Errotulatzeko txantiloiak

– Erregela milimetratua

– Kurba-txantiloiak

– Eskuaira eta kartaboia

– Txantiloi bereziak

– Lapitz-zorrozkailu

– Bilbeak

– Angelu-garraiagailua

– Ordenagailu 9

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Papera

Marrazki-papera erroilutan edo plegutan merkaturatzen da, arauturiko neurri jakin batzuetan eta lodiera desberdinetan, gramaiaren arabera, hau da, metro karratuko duen gramo-kopuruaren arabera, moztua.

Zimurtsua, matea edo satinatuxea izan daiteke haren azala.

Paper-mota asko dago. Hona hemen marrazki teknikoan maizenik erabiltzen direnak: – Paper zuri opakoa; guztiz erabilia, zirriborroak eta lehen marrazkiak egiteko aproposa. – Landare-paper gardena; planoak kalkatu eta tintaz marrazteko erabiltzen da nagusiki. – Paper opako satinatua; tintaz marrazteko erabiltzen da, ez ordea aurrekoak bezainbestetan. – Paper milimetratua; inprimaturik ditu koadrikulak eta gardena edo opakoa izan daiteke. Oso baliagarria da grafikoak eta diagramak marrazterakoan. – Paper garden plastifikatua; landare-paperaren antzekoa, baina iraunkortasun handiagokoa. Bereziki aproposa da maizetan erabiliko diren planoak egiteko.

Lapitza

10

Eskuarki, marrazkiak lapitzez egiten dira lehenik, eta ondoren tintaz kalkatu. Marrazkia lanaren ezaugarriei begira behar bezain argia bada, baliteke tintaz kalkatzeko beharrik ez izatea. Komeni da lapitzen gogortasun-maila desberdinak ezagutzea, egokiro aplikatu eta marrazkian behar diren lodiera eta akabera desberdinak erdietsi ahal izateko.

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Lapitz mina-egozleak abantaila handi bat du ohiko lapitzen aldera, haren mina ez baita zorroztu behar nahi den lodiera lortzeko. Lodiera egokia edukiko du beti mina horrek.

Graduazioak zenbakien bidez zehaztuta Graduazioak siglen bidez zehaztuta

Bigunak 00

0

Erdibidekoak 1

2

3

8B 7B 6B 5B 4B 3B 2B B HB F

Gogorrak 4

Guztiz gogorrak 5

6

7

8

9

H 2H 3H 4H 5H 6H 7H 8H 9H 10H

Idazteko eta marrazteko Marrazketa teknikorako Marrazkiak, krokisak eta itzaldurak egiteko Topografia-planoak marrazteko Azalera lakarreko marrazki-orrietarako Marrazkiak azalera gogorren gainean egiteko Aurkezpen heliografikoetarako balio dutenak

Taulako zati grisek gogortasun batzuen eta besteen erabilera-eremuak adierazten dituzte.

Lapitzaren muturra zorrozteko edozein labana-aho edo, errazago, zorrozkailu bat erabil dezakegu. Lapitz mina-egozlearen mina lodia bada, mina-zorrozkailu batez zorroztuko dugu.

Zenbakiz edo letraz eta zenbakiz osaturiko sigla batzuen bidez adierazten da minen gogortasuna.

Mina biguna krokisak egiteko erabiltzen da. Mina gogorrago bat erabiltzen da paper zuriaren gaineko lapitz-marrazkietan, eta gogorragoa landare-paperaren gainean marrazteko.

11

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Borragomak

Borragomak marrazki batean soberan dauden aldeak zuzentzeko erabiltzen dira. Lapitza ezabatzen dute batzuek, eta tinta, beste batzuek.

Lapitza ezabatzeko gomak biguna izan behar du. Gogorragoa izango da goma hori, marrazkian erabilitako mina ere gogorragoa den neurrian.

Tinta ezabatzeko gomak urratzaile batez hornitua gogorra izan behar du, tinta ezabatu eta paper-geruza oso fin bat, eta harekin batean tinta, urra dezan.

Landare-paperean erabiltzen denean, tinta ezabatzeko, borragomaz gainera, erabil daitezke bizar-xaflak, kontu handiz, papera ez zulatzeko, erabiltzen badira.

Trazu berria aurrez ezabatu den eremuaren gainetik tintaz pasatu behar denean, komeni izaten da eremu hori lapitz bigun batez satinatzea trazu berriaren tinta lerra ez dadin.

Erregela, eskuaira eta kartaboia

Ezinbestekoak dira hiru elementu hauek edozein marrazki tekniko egiterakoan.

Erregela: neurriak eramateko eta zuzenkiak neurtu eta trazatzeko erabiltzen da. Haien luzera 30 eta 100 cm bitartekoa izaten da, eta milimetrotan graduatzen dira eskuarki.

Erregela graduatuaz gainera, eskalimetroa ere erabil daiteke. Erregelamota berezi honek sei eskala ditu grabaturik. Plano bat eskala jakin batean zuzenean marrazteko, matematika-eragiketen beharrik gabe, eta plano baten gainean objektuen benetako neurriak interpretatzeko erabiltzen da eskalimetroa.

Eskuaira: Triangelu angeluzuzen isoszele baten itxura du. Halatan, luzera berekoak dira haren bi katetuak eta 45째-ko angelua eratzen dute hipotenusarekin.

Kartaboia: Triangelu angeluzuzen eskaleno baten itxura du. Katetuek hipotenusarekin eratzen dituzten angeluak 30째 eta 60째-koak dira.

Kartaboiaren katetu nagusiak eskuairaren hipotenusaren luzera bera izan behar du.

12

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Eskuaira eta kartaboi bidezko trazatuak

Garrantzitsua da eskuaira eta kartaboia behar bezala erabiltzea. Leun eta aise bideratu behar dira, txantiloien gainean gehiegizko presiorik eragin gabe, baina egoki eutsirik, halere, nahi ez den mugimedurik suerta ez dadin.

Eskuaira eta kartaboi-jokoa behar bezala egokituz lortu ahal izango ditugu marra paraleloak horizontalean eta bertikalean, baita angelu desberdinak ere. Geroago ikusiko dugu hau, Oinarrizko Trazatuen gaian.

Konpasa

Konpasa arkuak eta zirkunferentziak trazatzeko erabiltzen den marrazkitresna da.

Konpas-mota asko daude. Hona hemen erabilienak: – Konpas bakuna. Arkuak eta zirkunferentziak trazatzeko erabiltzen da, baita neurriak marrazkira garraiatzeko ere. Konpas-mota honi tintarako elementu edo osagarri batzuk erants dakizkioke, baita luzagarri bat ere.

– Kalostradun konpasa. Erradio txikiko zirkunferentziak egiteko erabiltzen da.

– Kalostradun konpas eroa. Kalostradun konpasak bideratzen dituen baino erradio oraindik txikiagoko zirkunferentziak egiteko erabiltzen da.

– Doitasun-konpasa. Bakunen eta kalostradunen ezaugarriak ditu konpas-mota honek. Artikulatua da eta besoak doitu eta graduatzeko mekanismo bat du.

13

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Konpasa egoki erabiltzeak berebiziko garrantzia du marrazketa teknikoan, haren araberakoa izango baita, neurri handi batean trazuen kalitatea eta zehaztasuna. Honako arau hauek hartu behar dira kontuan beti: – Mina alakan edo biselean eta konpasaren barnealderantz zorroztu behar da beti. – Konpasari eusterakoan, hatz erakuslearen eta lodiaren artean hartu behar da goialdeko zilindroa, eta beste eskuaz lagundu beharra dago orratza behar den lekuan ipintzeko. – Paperaren perpendikularrean zehaztuko dira mina inprimatzen duen besoa eta konpasaren orratza.

Estilografoa

14

Marrazketa-luma tradizionalaren ordez, egun tintazko delineazioan erabiltzen den tresna da estilografoa. Abantaila handiak ditu marrazketalumaren aldean, oso garbia eta erabiltzen guztiz erraza delako.

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Estilografoa paperaren azaleraren perpendikularrean erabili behar da beti.

Estilografoa egokigailu batez molda daiteke konpasean, arkuak eta zirkunferentziak tintaz marratzeko. Egokigailua barne edo kanpoaldean ezar daiteke, zirkunferentzien erradio handietara eta txikietara moldatzeko.

Txantiloiak

– Kurba-txantiloiak. Lagungarri gisa erabiltzen dira, kurbak trazatzerakoan. Kurbako puntu ezagunetara hobekien moldatzen den txantiloi-zatia aurkitu beharra dago.

15

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

– Txantiloi bereziak. Ugari eta oso molde askotakoak dira.

– Errotulatzeko txantiloiak. Idazketaren homogeneotasuna lortzeko erabiltzen dira.

16

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Bilbeak

Ordenagailua

Marrazkietara eraman daitezkeen elementuz hornituriko orriak dira.

Molde askotakoak daude merkatuan. Zuzenean itsatsita edo elementu bakoitza marrazki-paperaren gainean igurtzita aplikatzen dira gehienetan.

Espresio Grafikoalantzeko trebakuntza honetan ezin dugu aipatu gabe utzi ordenagailua bezalako tresna garrantzitsua. Profesionalek produktibitate-maila eta eginiko lanaren kalitatea etengabe hobetzeko aukera ematen dien tresneria behar dute.

17

1. Marrazkirako materialak eta haien erabilera

.................................................................................................................................................................................................

Ordenagailu on baten eta merkatuan dauden CAD / OBD (Computer Asisted Design / Ordenagailu Bidezko Diseinua) programa desberdinen bidez lor daiteke hori.

Gaur egun guztiz erabiltzen da ordenagailu bidezko marrazkia diseinubulegoetan, eta oso normala da, halaber, bezeroei eman edo haiekin trukatu beharreko informazio grafikoa disketeen bitartez bideratzea.

Neurri handian murriztu da, horrenbestez, hasieratik paperean eginiko planoen kopurua.

18

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

2. Funtsezko trazatuak planoan Marrazketa teknikoa

Helburuak – Marrazketa geometrikoaren oinarriak ezagutzea, era horretara ikasgaiaren gainerako edukiez erosoago jabetuahal izateko.

– Soluzio grafikoak argi eta zehatz adierazteko gai izatea.

Puntua: Puntuak ez du neurririk, kokaleku bat baizik ez da. Letra larri batez edo zenbaki batez izendatzen da. (1. irud.)

A

Elementu geometrikoak.

Azalpenak.

B C 1. irud.

Lerro zuzena: Norabide berean doazen puntuen sekuentzia bat da. Letra txiki batez izendatzen da. (2. irud.)

r

2. irud.

r

s B

Zuzenen arteko posizioak: – Bi zuzenek elkar ebakitzen dute puntu bat elkarrekin badute. (3. irud.)

3. irud. a

∞

∞

b

∞

∞

4. irud.

– Bi zuzen paraleloak dira elkarren arteko elkargunerik inoiz ez badute. Haien elkarrekiko puntua infinituan dagoela esaten da orduan. Puntu inpropioa dela esaten da elkargune horretaz. (4. irud.)

P r Q

P1 - Q1

s

– Bi zuzenek elkar gurutzatzen dute espazioan elkarrekikon punturik ez badute. (5. irud.)

s1

r1 π 5. irud.

19

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

Lerro kurbatua: Norabide berean ez dauden puntuen sekuentzia bat da. Letra txiki batez izendatzen da. (6. irud.)

a

6. irud. r

∞

A

Zuzenerdia: Ertz batean mugaturiko lerro zuzena da. Ertzeko puntuaren eta zuzenaren izenen bitartez izendatzen da: Ar zuzenerdia. Bi zuzenerditan banatzen du lerro zuzena haren gainean zehazturiko puntu batek. (7. irud.)

P ∞

∞

7. irud.

A

B 8. irud.

r d π

9. irud.

Zuzenkia: Bi ertzetatik mugaturiko zuzen baten zatia da: AB zuzenkia (8. irud.)

Planoa: Lerro zuzen batek norabide jakin batean mugitu den unean sorturiko puntu-multzoa da planoa. Letra greko baten bitartez izendatzen da: π planoa (9. irud.)

Honako elementu hauek zehaztu dezakete plano bat:

A

C

B

π

10. irud.

P r

– Lerro banatan dauden hiru puntu. (10. irud.). Horrexegatik bilatzen dugu hiru puntutan oinarrituriko euskarri bat, eremu irregular batean euskarri egokia lortu nahi dugunean.

Honen erakusgarri ditugu argazkimakinetarako tripodea edo hiru hankako aulkia.

– Elkar ebakitzen duten bi lerro zuzen. (11. irud.

s

π 11. irud.

– Bi zuzen paralelo. (12. irud.) s

r π

12. irud.

– Lerro zuzen bat eta hartatik kanpo dagoen puntu bat. (13. irud.) r P π

20

13. irud.

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

Planoerdia r π

Planoerdia

Zuzenak planoen barnean

2

14. irud.

Zuzenki baten erdibitzailea: Zuzenkiaren perpendikularrean, erdiko puntuan, trazaturiko zuzena da. (15. irud.)

M 1 m

A

B

1

2 N

15. irud.

M P

Honela trazatuko dugu: AB zuzenkian, A eta B puntuak bereiziko ditugu zentro gisa eta, erradioa zuzenkiaren erdia baino luzeagoa harturik, M eta N puntuetan elkar ebakiko duten 1. eta 2. arkuak trazatuko ditugu. M eta N puntuak elkartu ondoren lortuko dugu AB zuzenkiaren m erdibitzailea. r zuzenaren elkarzuta M kanpoko puntu batetik. (16. irud.) M zentro gisa bereizi eta, nahi bezalako erradioa harturik, zuzena A eta B puntuetan ebakitzen duen arkua trazatuko dugu. AB zuzenkiaren m erdibitzailea da proposatutakoaren soluzioa.

1

2

Zuzen bat planoaren barnekotzat hartzen da, haren puntu guztiak planoaren barnean badaude. Zuzenak bereizten dituen plano zatiei planoerdi deitzen zaie. (14. irud.)

r m t A

B

2

1 Q

16. irud.

M

2

1

m r A

P

2

B

r zuzenaren elkarzuta P barneko puntu batean. (17. irud.) P zentro gisa bereizi eta, nahi bezalako erradioa hartu ondoren, zuzena ebakitzerakoan A eta B puntuak zehaztuko dituen arkua trazatuko dugu. AB zuzenkiaren m erdibitzailea da bilatzen ari garen soluzioa.

1 N 17. irud.

21

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

M

m B

C

P

r

A

18. irud.

M

P

r

s

A

B

19. irud.

Zuzen paraleloak eta elkarzutak eskuairaz eta kartaboiz trazatzen

Pr zuzenerdiaren elkarzuta P ertzeko puntuan. (18. irud.) P zentro gisa bereizi eta, PA erradio arbitrarioa duen arkua trazatuko dugu. A zentro gisa bereizi eta beste arku bat trazatuko dugu, erradio berdinean, aurreko arkua B puntuan ebaki dezan. B zentro gisa bereizi eta erradio berdineko arkuaz ebakiko dugu lehen arkua C puntuan. BC zuzenkiaren m erdibitzailea da bilatzen ari garen soluzioa. s zuzenaren zuzen paraleloa P puntutik. (19. irud.) s zuzenaren edozein puntu, A puntua, zentro gisa bereizi eta P puntutik igarotzen den arkua, PB arkua, trazatuko dugu. P zentro gisa bereizi eta A puntutik igaroko den arkua marraztuko dugu, aurreko erradio berdinean. BP zuzenkia erradio bihurtu eta A zentro gisa hartu ondoren zehaztuko dugu M puntua.

M eta P puntuek zehazturiko zuzena da soluzioa.

Kartaboiari finko eutsi eta haren hipotenusaren luzeran lerratuko dugu eskuairaren katetuetako bat, zuzen paraleloak, r, s, t, eta abar, lortzeko.

(20. irud.) r s Eskuaira

t Eskuaira Kart abo ia

20. irud.

Arestian trazaturiko zuzen paraleloen elkarzutak lortzeko, aski da eskuairak kartaboiaren hipotenusaren luzeran mugitzea. (21. irud.) p Bertikalak egiteko eskuaira Kartaboi finkoa t

Horizontalak egiteko eskuaira

21. irud.

22

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

Angeluak

Jatorri bera duten bi zuzenerdien artean eraturiko eremu-zatia da angelua. Zuzenerdiak dira angeluaren aldeak eta haien jatorrizko puntua da angeluaren erpina. (22. irud.) Negatiboa da angelua erlojuaren orratzen noranzkoan neurtzen denean, eta positiboa kontrako noranzkoan neurtzen dugunean. Letra greko batez izendatzen dira angeluak.

Honela sailkatzen dira angeluak, balioen arabera:

α α

Angelu hutsa (α = 0°)

Angelu zorrotza (α < 90°)

α

α

Angelu zuzena (α = 90°)

Angelu kamutsa (α > 90°)

α α

Angelu laua (α = 180°) Angelu betea (α = 360°)

22. irud.

Lau angelu sorrarazten dituzte elkar ebakitzen duten bi zuzenek: binaka harturik, elkarren kontra daudenak erpinez aurkakoak dira, eta elkarren alboan daudenak, berriz, auzokideak. Balio berekoak dira erpinez aurkako angeluak, eta elkarren betegarriak dira, hau da, bien artean 180°-ko balioa dute, auzokideak. (23. irud.) s

r

β

α

α

β

23. irud.

Ondoz ondokoak dira bi angelu alde bat elkarrekin dutenean. Elkarren osagarriak dira bien artean 90°-ko balioa badute. (24. irud.)

63°

38°

27°

27° Ondoz ondokoak

24. irud.

Osagarriak

23

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

Zortzi angelu sortzen ditu bi zuzen paralelo ebakitzen duen zuzen batek. (25. irud.) t

α

β

s β

α

α

β

r β α

25. irud.

Korrespondentzia-angeluak dira zuzen ebakitzailearen alde berean dauden angeluak; zuzen paraleloen barnealdean dago horietako bat eta kanpoaldean bestea. Korrespondentzia-angeluek balio bera dute biak.

Txandakako barneangeluak edo txandakako kanpoangeluak dira ebakitzailearen alde banatan dauden angeluak, eta zuzen paraleloen barneangeluak edo kanpoangeluak dira hurrenez hurren. Angelu hauek ere balio bera dute.

Angelu baten angelu berdina egiten (26. irud.)

Angelu eragiketak

Emaniko angeluaren V erpina zentro gisa hartu eta arku bat marraztuko dugu, nahi bezalako erradioaz, aldeetan A eta B puntuak zehaztu ditzan. a’ zuzenean V’ puntua bereiziko dugu angelu berriaren erpin gisa. V’ puntua zentrotzat hartu eta aurreko erradioan marraztuko dugu arku bat, a’ zuzenean A’ puntua zehaztu dezan. A’ zentrotzat hartu eta AB erradioko arkua marraztuko dugu. B’ puntua zehaztuko du bi arkuen arteko elkarguneak. B’ eta V’ puntuak elkartuta lortuko dugu bilatzen ari ginen angelua. b'

b B'

B

α

α

a

V

A

26. irud.

a'

V'

A'

Angeluen batura (27. irud.)

Aurreko metodoari jarraituz, V erpineko angeluaren angelu berdina egingo dugu a’ zuzenean. Ob’ aldean eta norabide berean, V’ erpineko angeluaren angelu berdina marraztuko dugu. a’Od’ angelua da soluzioa. d' 4'

d

α–β=γ

b

c'

2

3'

4 γ β

V

a

α 1

β V'

O 27. irud.

24

2' a'

α

c 3

b'

1'

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

Angeluen kendura (28. irud.)

Lehenengo angelua marraztu ondoren, haren gainean baina kontrako norabidean marraztuko dugu bigarren angelua. a’Oc’ angelua da soluzioa. α–β=γ

b

c'

d' 2'

2

3'

4' d 4

b' γ

β

α a V

1

V'

α

c

β

O

3

a' 1'

28. irud.

Angelu baten erdikaria Angelua bi atal berdinetan zatitzen duen zuzena da. (29. irud.) b

P b

B

a

A V

29. irud.

Erdikaria lortzeko, V zentrotzat hartu eta, nahi bezalako erradioko arkua trazatu ondoren, A eta B ebaki-puntuak zehaztuko ditugu. Puntu hauek zentrotzat hartu eta erradio berdineko arku bana egingo dugu; P puntua zehaztuko dute elkar ebakitzen duten gunean. V eta P puntuen arteko zuzena da bilatzen ari ginen erdikaria.

30. irudian ikusten den bezala, bada erdikaria lortzeko beste metodo bat. V puntua zentrotzat hartu eta, nahi bezalako erradioko bi arku marraztu ondoren, A, B, C eta D ebaki-puntuak zehazten dira. AD eta BC zuzenek P puntua zehazten dute elkar gurutzatzean, eta P eta V puntuak elkartzen dituen zuzena da angeluaren erdikaria.

D b

P

B

C

= =

V

A

30. irud.

25

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

Erpina marrazki-paperetik kanpora duen angeluaren erdikaria (31. irud.)

Bi aldeetako baten V puntutik, beste aldearen s’ zuzen paraleloa marraztuko dugu. rVs’ angeluaren b’ erdikaria trazatuko dugu. Erdikariaren elkarzut bat marraztu eta MN zuzenkiaren P erdiko puntutik trazatuko dugu b’ zuzenaren paraleloa. b zuzena da bilatzen ari ginen erdikaria.

M s

P

b B

s'

b' C

V

A

r

N

31. irud.

Angeluak egiten

Angeluen arteko eragiketetan, hau da, angeluen batuketan, kenketan eta erdikarien trazaketan, oinarrituko gara ondoren angeluak egiterakoan.

B 60°

r

A V

32. irud.

60°-ko angelua: (32. irud.) Vr zuzenerdia trazatuko dugu. V zentrotzat hartu eta arku bat marraztuko dugu, nahi bezalako erradioan, zuzenerdia A puntuan ebaki dezan. A zentrotzat hartu eta beste arku bat trazatuko dugu, erradio berean, aurreko arkua B puntuan ebaki dezan. 60°-koa da BVA angelua.

90°-ko angelua: Aski da zuzenerdi baten muturrean zuzenerdiarekiko elkarzuta trazatzea. Dagoeneko azaldu dugu elkarzut hau nola zehaztu.

45°

45°-ko angelua: 90°-ko angelua erdibituta lortuko dugu. (33. irud.)

33. irud.

30°-ko angelua: 60°-ko angelua erdibituta lortuko dugu. (34. irud.)

30º 34. irud.

15°-ko angelua: 30°-ko angelua erdibituta lortuko dugu. (35. irud.)

15°

35. irud.

26

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

75°-ko angelua: 45° eta 30° dituzten angeluak batuta lortuko dugu. (36. irud.)

75°

36. irud.

105°-ko angelua: 60° eta 45° dituzten angeluak batuta lortuko dugu. (37. irud.)

105°

37. irud.

120°-ko angelua: 60° dituzten bi angeluak batuta lortuko dugu. (38. irud.)

120°

38. irud.

135°-ko angelua: 90° eta 45° dituzten angeluak batuta lortuko dugu. (39. irud.)

135°

39. irud.

150°-ko angelua: 90° eta 60° dituzten angeluak batuta lortuko dugu. (40. irud.)

150°

40. irud.

Balio hauek beren erdiekin, betegarriekin, bikoitzekin eta abarrekin konbinatu ondoren beste angelu-balio ugari lortuko dugu, angelugarraiagailua erabili behar izan gabe.

Angeluak marrazteko eskuaira eta kartaboia nola erabili (41. irud.)

Beren geometriari esker ageri dituzten 30°, 60°, 45° eta 90°-ko angeluez gainera, 15°, 75°, 120°, 135° eta 150°-ko angeluak lor ditzakegu txantiloi hauen bidez, 41. irudian adierazten den bezala.

41. irud.

27

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

Leku geometrikoa

Ezaugarri geometriko bat berdina duten puntuen multzoa da. Esate baterako: Zirkunferentzia: Plano batean, zentro izeneko O puntutik distantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da. Zirkulu esaten zaio zirkunferentziaren barneko azalerari. (42. irud.)

O

42. irud.

Zuzenki baten erdibitzailea: Plano batean, zuzenki baten bi muturretatik distantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da.

Angelu baten erdikaria: Plano batean, emandako bi zuzenetatik distantzia berera dauden puntuen leku geometrikoa da. Ikusi ditugu dagoeneko nola zehazten diren erdibitzaileak eta erdikariak.

Zuzenki baten arku kapaza angelu jakin baten arabera: Plano batean, zuzenki jakin bat angelu jakin baten arabera ikusteko aukera ematen duten puntuen leku geometrikoa da (43. irud.). Irudian berdinak dira A, B eta C erpinak dituzten angeluak. Beraz, PABCQ zirkunferentzia-arkua PQ zuzenkiaren arku kapaza da α angelu eman baten arabera. Esate baterako, 90°-ko angelu baten arabera ikusiko den zuzenkiaren arku kapaza diametrotzat zuzenki hori duen zirkunferentzierdia da. (44. irud.)

B C

A α α

P 43. irud.

α

P

Q

44. irud.

Q

Ikus dezagun nola aurkitu, MN zuzenkiaren arku kapaza; esate baterako, 60°-ko angelu baten arabera. (45. irud.) MN zuzenkiaren erdibitzailea trazatuko dugu lehenik. M puntua erpintzat hartu eta 60°-ko angeluaren angelu osagarria, hau da 30°-ko angelua, marraztuko dugu. Angelu honen aldeak O puntuan ebakiko du zuzenkiaren erdibitzailea. O zentrotzat hartu eta OM erradioko arku kapaza marraztuko dugu.

60° 30°

O

m N

M 45. irud.

Arku honetako edozein puntutatik ikusiko dugu MN zuzenkia, 60°-ko angeluaren arabera.

28

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

Zirkunferentzialerroak eta zuzenkiak

Erradioa: Mutur bata zirkunferentziaren zentroan eta bestea haren gainean dituen r zuzenki oro da erradioa.

Diametroa: Zentroarekiko lerroan dauden bi zirkunferentzia-puntu elkartzen dituen d zuzenkia da.

Korda: Kurba bateko bi puntu haren zentrotik igaro gabe elkartzen dituen c zuzenkia da.

Korda baten gezia: Zirkunferentziaren eta kordaren arteko f erradiozuzenkia da, kordaren elkarzuta denean.

Ebakitzailea: Zirkunferentzia bi puntutan ebakitzen duen s zuzena da.

Ukitzailea: Zirkunferentziarekin puntu komun bakarra duen t zuzena da. Erradioaren elkarzuta da puntu horretan.

A s

B

B

d

O

O

r A

c E

t

F

D f

T

C

46. irud.

ARIKETA EGINAK 1. Marraz ezazu A, B eta C puntu jakinetatik igarotzen den zirkunferentzia.

Soluzioa:

O zentroak A eta B puntuetatik distantzia berera egon behar du eta beraz, AB zuzenkiaren erdibitzailean egongo da. Distantzia berera egongo da halaber B eta C puntuetatik, BC zuzenkiaren erdibitzailean alegia. Erdibitzaile bien elkargunea izango da bilatzen genuen zirkunferentziaren zentroa.

B

C

A O

29

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

2. Irudiko mapan, aurki ezazu ontzia itsaso zabalean dagoen P puntua, jakinik ontziko marinel batek itsasbazterreko A, B eta C itsasargi ezagunak ikusten dituela APB = 30° eta BPC = 45°-eko angeluetatik.

Soluzioa:

Marraz ezazu AB zuzenkiaren arku kapaza 30°-ko angelu baten arabera. Ondoren, marraz ezazu BC zuzenkiaren arku kapaza 45°-ko angelu baten arabera. Bi arkuen arteko elkarguneak adieraziko dizu ontzia dagoen puntua.

P O1 A

m1

60°

O2 m2 B

45° C

3. Pirata batek uharte txiki bateko leku ezkutu batean lurperatu zuen bere altxorra, urrats hauek emanez: palmondo batetik abiatu (P puntua) eta, lerro zuzenean 20 m (20 mm mapan) ibili ondoren, A eta B harkaitz handiak 60°-ko angelu-zabaleraz ikusten zituen puntura iritsi zen. Leku hau A-tik B-tik baino hurbilago zegoela egiaztatu zuen. Mapan harkaitzen eta palmondoaren kokalekuak adierazirik daudela, zehazta ezazu altxorra dagoen T tokia.

Soluzioa:

Traza ezazu AB zuzenkiaren arku kapaza 60°-ko angeluaren arabera. Ondoren, marraz ezazu P zentroko arku bat, 20 milimetroko erradioaz. Bi arkuen arteko elkarguneak adieraziko dizu altxorraren T kokalekua.

P T O 30° A

30

B

2. Funtsezko trazatuak planoan .................................................................................................................................................................................................

ARIKETAK 1. Marraz ezazu AB zuzenkiaren erdibitzailea.

A

B

2. Marraz ezazu emandako zirkunferentziaren ukitzailea T puntuan.

T

O

3. Zati ezazu irudiko angelua lau atal berdinetan.

V

4. Egin itzazu honako angelu hauek: 75째, 105째, 135째 eta 150째.

V

V

V

V

31

2. Funtsezko trazatuak planoan

.................................................................................................................................................................................................

5. Eskuaira, kartaboia eta graduaturiko erregela erabilita, marraz ezazu irudiko poligonoa.

D E

C 150° 120° 90°

135° 75°

165°

B

F A

G

6. Marraz itzazu irudian jokalari bat 30°-ko angelutik atera jaurtitzeko moduan egongo den futbol-zelaiko posizio guztiak.

32