VERSIDA D DE AYAQUIL TEMÁTIC AS
OFESOR: ARNALDO NTONIO NDRADE RQUIZA GRANTES: ERICK LASTEGUI VEZ, JOSE AZARAN, NTHONY ONTEROS
ATRICE
título del mento]
Índice Matriz………………………………………………………………...2 Tipos de Matrices…………………………………………………….2 Matriz Fila……………………………………………………………2 Matriz Columna………………………………………………………3 Matriz Rectangular……………………………………………………3 Matriz Cuadrada………………………………………………………3 Diagonal principal…………………………………………………….3 Traza…………………………………………………………………..4 Traza secundaria………………………………………………………4 Matriz triangular superior……………………………………………..4 Matriz triangular inferior Matriz nula…………………………………4 Matriz diagonal………………………………………………………...4 Diagonal superior………………………………………………………5 Matriz Escalar………………………………………………………….5 Matriz Identidad………………………………………………………..5 Operaciones con matrices………………………………………………5 Suma……………………………………………………………………5 Resta de Matrices……………………………………………………….6 Multiplicación de Matrices……………………………………………...7 Transposición de una Matriz……………………………………………8 Matriz Simétrica………………………………………………………...8 Matriz Anti Simétrica……………………………………………………9 Igualdad de Matrices…………………………………………………….9 Inversa de una Matriz…………………………………………………...10 Calculo de Determinantes………………………………………………10 Método Gauss…………………………………………………………...11 Determinantes……………………………………………………………12 Inversa de una Matriz (Adjunta de Cofactores)………………………….13
Matriz Es un arreglo bidimensional de números. Dado que puede definirse tanto la suma como el producto de matrices, en mayor generalidad se dice que son elementos de un anillo. Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B..) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece. Es un arreglo bidimensional de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas (o renglones) y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con n filas y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito ) donde . El conjunto de las matrices de tamaño
se representa
como , donde es el campo al cual pertenecen las entradas. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.
Tipos de matrices La matriz es un concepto principal, no sólo en el campo de las matemáticas, sino en el de las Computadoras también. Una matriz puede definirse simplemente como una ordenación rectangular de números reales o complejos. Cada número o entrada en una matriz es llamado un elemento de la matriz. Los elementos incluidos en la línea horizontal forman una fila de la matriz. Los elementos incluidos en la línea vertical forman una columna de la matriz. Una matriz es de diversos tipos y formas. Se pueden clasificar en:
Matriz fila Es una matriz que tiene una sola fila es decir su orden es 1xn Ejemplo:
Matriz columna Es una matriz que tiene una sola columna Ejemplo:
Matriz rectangular Es una matriz que tiene el nĂşmero de filas diferente al de columna sumando su orden m=n Ejemplo:
Matriz cuadrada Es una matriz que tiene igual nĂşmero de fila n=m
Diagonal principal La constituyen los elementos aj que cumple las condiciones aij
Traza Es la suma de los elementos de la diagonal principal
Traza secundaria La constituyen los elementos aj que cumple la condiciรณn de que i+j=n+1
Matriz triangular superior Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal igual a 0. Esto es aj=0 si se cumple i es mayor aj
Matriz triangular inferior Es una matriz tiene todos los elementos sobre la diagonal principal igual a cero. Esto es aij=0 si se cumple i menor a j
Matriz Nula Es una matriz en donde todos sus elementos son iguales a cero tambien se denominan matriz cero
Matriz diagonal Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre la diagonal principal iguales a cero
Diagonal superior Esto es aj=0 si se cumple que i=j
Matriz Escalar Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero y además los elementos de la diagonal principal son iguales entre si. Esto es aij=0 si se cumple i=j, aii=k, con k que pertenece a los reales
Es un caso particular del conjunto de matrices diagonales
Matriz Identidad Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos iguales a cero excepto a los de la diagonal principal que son iguales a uno. Se denota por la otra (m=m)
Operaciones con Matrices Suma Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar
ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplo:
Resta de matrices La Resta de dos Matrices es aquella operación que consiste en restar los elementos que tienen la misma posición en ambas matrices. Ejemplo:
Multiplicación de matrices Encuentre el producto
Tenemos que multiplicar una matriz 1 × 3 por una matriz 3 × 1. El número de columnas en la primera es igual al número de renglones en la segunda, así son compatibles. El producto es:
Multiplicación de matrices Vamos a realizar el siguiente problema, multiplicar una matriz 2 × 3 con una matriz 3 × 2, para obtener una matriz 2 × 2 como el producto. Las entradas de la matriz producto son llamadas e ij cuando están en el renglón i th y en la columna j th
Para obtener e 11 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.
Para obtener e 12 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.
Para obtener e 21 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.
Para obtener e 22 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.
Escribiendo la matriz producto, obtenemos:
Por lo tanto, hemos mostrado que:
Transposición de una Matriz Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:
La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.
Matriz Simétrica Una matriz simétrica se refiere a la matriz cuadrada cuyo valor es igual al transpuesto de la matriz. Es decir, .La simetría de la diagonal simétrica está relacionada con la diagonal principal. Por otra parte, toda matriz diagonal es simétrica.
Matriz Anti simétrica Se trata de una matriz cuyo valor de transposición es negativo de su valor. Es decir,
Ejemplo:
Igualdad de matrices Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales. Por ejemplo: Las matrices A y B son iguales.
Es decir: Las matrices A = [aij] y B = [bij] son iguales si y solo si, tienen el mismo orden y aij=bij para cada i y cada j. Donde “i” es el número de renglón o fila y “j” el número de la columna de la matriz. Es decir:
Inversa de una Matriz Se dice que una matriz cuadrada A es inversible, si existe una matriz B con la propiedad de qué A·B = B·A = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Una matriz se dice que es inversible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular. Ejemplo:
Calculo de determinantes (Método Gauss)} El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que efectivamente se obtiene la matriz inversa. En esencia, el método consiste, para una matriz cuadrada de orden n, en:
1. Formar una matriz de orden nx2n tal que las primeras columnas sean las de la matriz A y las otras n las de la matriz identidad de orden n.
2. Mediante las transformaciones elementales de las filas de una matriz, convertir la matriz anterior en otra que tenga en las n primeras columnas la matriz identidad y en las n últimas otra matriz que precisamente será A-1 El método consiste, pues, en colocar juntas la matriz a invertir, y la matriz identidad.
Ejemplo: Ver si es inversible o no y calcular (si se puede) la inversa de la siguiente matriz.
Planteamos, como hemos dicho, las dos matrices:
En primer lugar, por simplicidad en las operaciones, vamos a intercambiar las filas 2 y 3:
Hacemos 3ª f = 3ª f - 2·1ª f (y dejamos el resto igual):
Ahora 3ª f = 3ª f + 4·2ª f (estos dos pasos se podrían haber resumido en una sola operación, 3ª f = 3ª f-2·1ª f + 3.2ª f, no se ha hecho por claridad al ser el primer paso):
Ahora hacemos 1ª f = (1ª f)/2 y 3ª f = (3ª f)/(-6):
Y, por último, hacemos la operación 1ª f = 1ª f - (3/2)· 2ª f - 2.3ª f:
Con lo que la inversa es:
Comprobémoslo:
Determinantes Supongamos una matriz cuadrada A (puede repasar la noción de matriz) de orden n:
Llamamos determinante de A, det A, al número obtenido al sumar todos los diferentes productos de n elementos que se pueden formar con los elementos de dicha matriz, de modo que en cada producto figuren un elemento de cada distinta fila y uno de cada distinta columna, a cada producto se le asigna el signo (+) si la permutación de los subíndices de filas es del mismo orden que la permutación de los subíndices de columnas, y signo (-) si son de distinto orden. El alumno puede dar un repaso de la noción de permutación, en caso de necesitarlo. Para el determinante de A, suelen emplearse indistintamente las notaciones: det A, | A|. Pasemos a ver ejemplos: Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula:
Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que ser un elemento de la primera columna y un elemento de la segunda. Sólo hay dos emparejamientos posibles, los que están arriba indicados. En cuanto al signo de cada producto, si los ordenamos siempre según el orden de las filas (12) nos debemos fijar en el orden de las columnas (los segundos índices) de cada agrupación, nosotros lo hemos indicado debajo entre corchetes.
Inversa de una Matriz (Adjunta de Cofactores) Si A es una matriz triangular o diagonal, entonces el determinante de A es igual a det(A)= A11 . A22 . A33 . . . Ann A es inversible si y solo si el determinante de A es diferente de cero Ejemplo: Calcular los cofactores de la matriz A.
Con los elementos Aij se conforma C, que es la matriz de los cofactores de A. En este caso: