IVERSID AD DE AYAQUI L ultad de geniería dustrial
nidad #
FÍSICA
MA:
ndament os de metría y
onometr DAMENTOS ía EOMETRIA cente:
aldo ONOMETRI rade
egrante
Velastegui Bazaran
ony erosÍndice aly fajardo FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA Ángulos y sus medidas……………………………………………………………….. 2 Definición de semirrecta…………………………………………………………. ….2 Definición de ángulo……………………………………………………...…………..2 Definición de coterminales…………………………………………………………... 2 Definición de consecutivos………………………………………………..…….…….2 Definición de adyacentes ……………………………………………………………..2 Definición de complementarios………………………………………………………..3 Definición de suplementarios…………………………………………………………..3 Definición de opuestos por el vértice …………………………………………..………3 TRIANGULOS………………………………………………....……………..…………3 Definicion de triángulos………………………………………………………..………..3 Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados ………………………………...3 Clasificación de triángulos por la medida de sus angulos ………………………….……3 Propiedades ……………………………………………………………………………….4 Semejanza y congruencia …………………………………………………………………4 Objetivos…………………………………………………………………………………..4 Teorema de thales …………………………………………………………………………4 Congruencia y semejanzas de triángulos ………………………………………………….5 Resolución de triángulos …………………………………………………………………..6 Objetivos …………………………………………………………………………………..6 Teorema de pitagoras ………………………………………………………………………6 Ley de los senos ……………………………………………………………………………6 Ley de los cosenos ………………………………………………………………………….6 Triángulos rectángulos ……………………………………………………………………..7 Angulo de elevación y angulo de depresión ………………………………………………..7. Perímetro y área de un poligono…………………………………………………………….8 Objetivos ………………………………………………………………………………….…8 Áreas de un circulo……………………………………………………………………….….9 Área del sector circular…………………………………………………………………...…9 Área del segmento circular …………………………………………………………………10 Área de una corona circular…………………………………………………………………10 Volúmenes de poliedros …………………………………………………………………….10 Objrtivos………………………………………………………………………………………11 Área de la superficie total de un cubo…………………………………………………………11
FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA 1
4.1 Ángulos y sus medidas Iniciaremos esta sección describiendo un elemento importante para la definición de ángulo, éste es la semirrecta. Una de las semirrectas se conoce como el lado inicial del ángulo, mientras que la otra recibe el nombre de lado terminal o final. El extremo donde se intersecan las semirrectas se denomina vértice del ángulo. Se puede designar a los ángulos, por medio de puntos de las semirrectas o utilizando solamente el vértice, si es que no hay confusión. Por ejemplo: Definición 4.1 (Semirrecta) Una semirrecta es la parte de una recta que está a un lado de la misma, desde un punto fijo llamado extremo y se extiende indefinidamente en una sola dirección. Definición 4.2 (Ángulo) Es la unión de dos semirrectas que se intersecan en su extremo. 4.1.2 Clases de ángulos Definición 4.3 (Coterminales) Son aquellos ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal. Ejemplo 4.2 Ángulos coterminales. Sean α = π 3 y β = - 5π 3. Graficando se observa que los ángulos son coterminales. https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/coterminal-angles
Definición 4.4 (Consecutivos) Dos ángulos de un mismo plano son consecutivos cuando sólo tienen un lado en común.
Definición 4.5 (Adyacentes) Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos y los lados no comunes son semirrectas en la misma dirección, pero en sentido contrario. La suma de las medidas de estos ángulos es 180º. Definición 4.6 (Complementarios) Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de un ángulo recto: α + β = 90º. Definición 4.7 (Suplementarios) Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus medidas constituye la medida de dos ángulos rectos: α + β = 180º. Definición 4.8 (Opuestos por el vértice) Dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son semirrectas opuestas a los lados del otro, verificándose que α = β.
7.5 Triángulos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá:
2
* Dado un triángulo, clasificarlo de acuerdo a la longitud de sus lados y a la medida de sus ángulos. * Dado un triángulo, identificar sus rectas y puntos notables. Definición 7.7 (Triángulos) Un triángulo es un polígono de tres lados. Dados tres puntos no colineales A, B y C, éstos determinan el triángulo ABC.
Clasificación de triángulos por la longitud de sus lados ▪ Escaleno: Es un triángulo que no tiene lados congruentes. ▪ Isósceles: Es un triángulo que tiene dos lados congruentes. ▪ Equilátero: Es un triángulo que tiene sus tres lados congruentes.
Clasificación de triángulos por la medida de sus ángulos ▪ Equiángulo: Es un triángulo que tiene sus tres ángulos congruentes. ▪ Rectángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo recto. ▪ Acutángulo: Es un triángulo que tiene tres ángulos agudos. ▪ Obtusángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo obtuso.
PROPIEDADES ▪ La suma de las medidas de los ángulos interiores en todo triángulo es 180º. ▪ La suma de las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual a 90º. ▪ Los ángulos interiores de un triángulo equilátero miden 60º. ▪ En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es la suma de las medidas de los ángulos interiores no contiguos. ▪ En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es mayor que cualquier ángulo interior no adyacente. ▪ La suma de las medidas de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es igual a la medida de cuatro ángulos rectos (360º). ▪ Todo triángulo equiángulo es equilátero, y viceversa, todo triángulo equilátero es equiángulo.
SEMEJANZA Y CONGRUENCIA Objetivos
3
Al finalizar esta sección el lector podrá: * Aplicar el teorema de Thales, para establecer proporcionalidades entre segmentos. * Dados dos polígonos, reconocer si son semejantes o congruentes. * Dados dos triángulos, aplicar los criterios de semejanza y congruencia existentes en la resolución de problemas Teorema 7.1 (Teorema de Thales) Dado un conjunto de al menos tres rectas paralelas, intersecadas por dos transversales, las rectas paralelas determinan en las rectas secantes segmentos correspondientes proporcionales. Ejemplo 7.9 Aplicación del teorema de Thales. http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html
En el siguiente bosquejo, si L1 || L2, OA = 2x + 12, AB = 4x, OC = 5x + 8, determine el valor de x y las longitudes de dichos segmentos.
CD = 4x + 1,
Solución: Si se traza una recta por el punto O paralela a L1 y L2 , se puede aplicar el corolario del teorema de Thales y se tiene la proporción: OA OC = AB CD ⇒ 2x + 12 5x + 8 = 4x 4x + 1 (2x + 12)(4x + 1) = 4x (5x + 8) 8x2 + 50x + 12 = 20x2 + 32x 12x2 - 18x - 12 = 0 2x2 - 3x - 2 = 0 Esta es una ecuación de segundo grado cuyas raíces son x1 = 2 y x2 = - 1 2. El segundo valor debe descartarse pues conduce a valores negativos para las longitudes de los segmentos. Luego, nos queda x = 2, que sí es válido como medida. De esta manera las longitudes de los segmentos son:OA = 16u, AB = 8u, OC = 18u y CD = 9u, donde u representa unidades.
Congruencia y semejanza de Triángulos En la práctica, es muy útil poder determinar con rapidez la congruencia de triángulos. Para ello existen los siguientes criterios: Criterio LAL (LADO-ÁNGULO-LADO): Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo de igual medida, formado por lados de longitudes iguales. Criterio ALA (ÁNGULO-LADO-ÁNGULO): Dos triángulos son congruentes si tienen un lado de igual longitud y los ángulos adyacentes a ese lado son correspondientemente de igual medida. Criterio LLL (LADO-LADO-LADO): Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados de longitudes respectivamente iguales. Para determinar la semejanza de triángulos, se puede emplear alguno de los siguientes criterios: Criterio AA (ÁNGULO-ÁNGULO): Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente de igual medida.
4
Criterio ALL (ÁNGULO-LADO-LADO): Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo con igual medida y las longitudes de los lados de ese ángulo son proporcionales; esto es, P1 P3 Q1 Q3 = P2 P3 Q2 Q3 = k; y, además m( P3) = m( Q3).
Criterio LLL (LADO-LADO-LADO): Dos triángulos son semejantes si las longitudes de sus tres lados son proporcionales: P2 P3 Q2 Q3 = P3 P1 Q3 Q1 P1 P2 Q1 Q2 = = k.
Ejemplo 7.10 Semejanza de triángulos. Demostrar que una recta paralela a un lado de un triángulo que interseca los otros dos, determina en estos últimos, segmentos proporcionales. Solución: Hipótesis: ∆ABC cualquiera, L || AB, M y N puntos de intersección de la recta L con los lados del triángulo.
Resolución de triángulos Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un triángulo rectángulo, determinar la medida de alguno de sus elementos empleando relaciones trigonométricas. * Dado un triángulo rectángulo, determinar la medida de alguno de sus lados empleando el teorema de Pitágoras. * Dado un triángulo no rectángulo, resolverlo empleando la Ley de los Senos o la Ley de los Cosenos. * Dado un problema real asociado a triángulos, plantear y resolver el problema analíticamente, interpretando la solución dentro del contexto del problema
Teorema 7.2 (Teorema de Pitágoras) En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las longitudes de sus catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Teorema 7.4 En todo triángulo, a lados de longitudes iguales se oponen ángulos de medidas iguales. Teorema 7.5 (Ley de los Senos) Para un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a, b, c y tienen ángulos opuestos α, β, γ, respectivamente, se cumple que: Teorema 7.6 (Ley de los Cosenos) En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros lados, menos el doble producto de estas longitudes por el coseno del ángulo que forman. 5
a2 = b2 + c2 - 2bc cos(α) b2 = a2 + c2 - 2ac cos(β) c2 = a2 + b2 - 2ab cos(γ)
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Para resolver triángulos rectángulos es suficiente conocer la medida de un ángulo agudo y la longitud de un cateto, o bien la longitud de un cateto y la longitud de la hipotenusa, o la longitud de sus catetos. Luego aplicamos los teoremas mencionados según corresponda, así como las funciones trigonométricas estudiadas en el capítulo 4. Dado que uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo mide 90º y de acuerdo al Teorema 7.3, los otros dos ángulos son complementarios. Así mismo, si α y β son las medidas de los ángulos complementarios de un triángulo rectángulo, se verifica lo siguiente
sen (α)
=
cos (β)
cos (α)
=
sen (β)
tan (α)
=
cot (β)
cot (α)
=
tan (β)
sec (α)
=
csc (β)
csc (α)
=
sec (β)
Definición 7.10 (Ángulo de elevación y ángulo de depresión). Si una persona está mirando hacia arriba un objeto, el ángulo agudo medido desde la horizontal a la línea de visión del objeto se denomina ángulo de elevación. Por otro lado, si la persona está mirando hacia abajo un objeto, el ángulo agudo medido desde la línea de observación del objeto y la horizontal, se denomina ángulo de depresión
Ejemplo 7.15 Resolución de Triángulos Rectángulos.
Aplicando el teorema 7.3: Aplicando funciones trigonométricas: Para encontrar el valor del cos (15º), utilizamos la identidad del coseno de la diferencia de ángulos. Por lo tanto, c = 3(√6 - √2). α = 180º - γ - β = 180º - 90º - 15º α = 75º 6
cos (β) = a c cos(15º) = 3 c cos(15º) = cos(45º - 30º) = cos(45º) cos(30º) + sen(45º) sen(30º) = 2 √2 2 √3 + 2 √2 1 2 cos(15º) = √6 + √2 4 Solución: Aplicando el teorema de Pitágoras: b = √c2 - a2 = √[3(√6 - √2)]2 - 32 = √9(6 - 4√3 + 2) - 9 b = 3√7 - 4√3cm
Ejemplo 7.20 Resolución de Triángulos Rectángulos. El ángulo de elevación de la parte superior de una torre mide 30º. Acercándose 100 metros se encuentra que el ángulo de elevación es de 60º, determine la altura de la torre. Solución: Se puede hacer una interpretación gráfica del problema.
PERÍMETRO Y ÁREA DE UN POLÍGONO Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dadas las dimensiones de los elementos de un polígono, calcular su perímetro y área. * Resolver problemas de áreas y perímetros de regiones con polígonos. * Aplicar los criterios de semejanza para calcular áreas de las superficies de polígonos.
La siguiente tabla contiene las expresiones para calcular el perímetro y el área de los polígonos más conocidos, en base a sus dimensiones.
Ejemplo 7.29 Área de la superficie de un triángulo equilátero. Demuestre que el área de la superficie de un triángulo equilátero de longitud de lado L, es igual a L2 √3 4 Http://www.calculararea.com área de un triángulo
Ejemplo 7.32 Área de la superficie de cuadriláteros. Se cubre el piso de un cuarto con 4 baldosas idénticas. Cada baldosa es un cuadrado negro en donde se ha pintado un cuadrado blanco cuyos 7
vértices son los puntos medios de cada lado de dicha baldosa. Determine el porcentaje total de piso negro.
Solución: Divídase cada baldosa en cuatro partes, como se muestra a continuación:
Se observa entonces que el piso negro corresponde al 50% del total.
Área del círculo El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos regulares inscritos en la respectiva circunferencia lim A(Pn) = A(círculo) Si consideramos un polígono regular p de n lados, de perímetro Per y apotema a, podemos descomponerlo en n triángulos congruentes con base l y altura a, de tal forma que: A(polígono) = 2n(la)/2 = Área del sector circular 8
(nl)a/2 =
Per(p)a/2
Si θ es la medida en radianes del ángulo central de un sector circular, establecemos una relación de regla de 3 simple, a saber: Por tanto:
A(sector circular) = r2 θ/2, θ se mide en radianes
Si θ viene dado en grados sexagesimales A(sector circular) = r2 θ/360
Área del segmento circular El área del segmento circular se obtiene como la diferencia entre las áreas del sector circular y del triángulo correspondiente. De la figura anterior, podemos deducir que: A(segmento circular) = A(sector circular AOB) – A (triángulo AOB) El área del triángulo AOB se puede calcular como 1 2 r2sen(θ), con θ expresado en radianes. Así A(segmento circular) = 1/ 2 r2 θ – 1/ 2 r2 sen(θ) A(segmento circular) = 1 /2 r2 (θ - sen(θ))
Área de la corona circular El área de la corona circular se obtiene como la diferencia entre las áreas de los círculos concéntricos El área de la corona circular se obtiene como la diferencia entre las áreas de los círculos concéntricos
VOLUMEN DE POLIEDROS Objetivos Al finalizar esta sección el lector podrá: * Dado un prisma, calcular su volumen. * Dada una pirámide, calcular su volumen. * Dada una pirámide truncada, calcular su volumen. En esta sección se calculará el volumen de un cuerpo poliédrico con las características estudiadas en las secciones anteriores. Se denomina volumen V de un cuerpo geométrico a la medida del espacio que ocupa. A partir del cálculo del volumen del paralelepípedo recto rectangular se pueden derivar las reglas que permiten calcular el volumen de los demás poliedros.
V = AB . altura V = (largo . ancho) . altura V=a.b.h 9
El cubo es un ortoedro con todas sus aristas de igual longitud, entonces su volumen es: V=a.a.a V = a3 El volumen de cada prisma triangular de la figura es igual a la mitad del volumen del paralelepípedo. Por el postulado de Cavalieri (véase apéndice B) se establece que todo prisma triangular se puede descomponer en tres pirámides o tetraedros de igual volumen. De aquí se obtiene que el volumen de un tetraedro es igual a la tercera parte del volumen del prisma de igual base triangular; entonces, el volumen de una pirámide triangular es: V = 1/ 3 (AB . h) El área de la superficie total de un cilindro recto es AT = AL + 2�r2, esto es: AT = 2�r(g + r) El área de la superficie lateral de un cono recto será el área de la superficie del triángulo, cuya base tiene por longitud el perímetro de la circunferencia de radio r de la base, es decir 2πr, y cuya altura tiene por longitud la de la generatriz g, luego: AL = �rg Un cilindro está inscrito en un cubo cuya diagonal d mide 20cm. Calcule el área de la superficie lateral del cilindro. Solución: d = 20cm La altura h del cubo coincide con la generatriz a del cilindro, h = a. Además: d = a √3
⇒ a √3 = 20 ⇒ a = √3 20
Longitud del radio de la base del cilindro: r=a2 Luego: AL = 2�rh = 2� a 2 a = �a2 AL = 400� 3 cm2
Ejemplo 8.15 Área de la superficie total de un cilindro
Determine el área de la superficie total de un cilindro cuya generatriz h es perpendicular al diámetro de su base de radio r, que a su vez es congruente con la generatriz del cono inscrito en él.
Solución:
10
AL = 2�rh La longitud de la generatriz se puede obtener aplicando el teorema de Pitágoras h
= √4r2 − r2 = √3 r
AL = 2 √3�r2 AB = �r2 AT = AL + 2AB AT = 2 √3�r2 + 2�r2 AT = 2� (√3 + 1)r2u2
Ejemplo 8.16 Área de la superficie lateral de un cono. Un cono recto de altura h = 3m, tiene un área de la superficie lateral de 6�m2. Determine la medida del ángulo α que la generatriz g forma con la altura h.
Solución: h = 3m AL = 6�m2 AL = �rg ⇒ rg = 6 ⇒ r = 6 /g
Por el teorema de Pitágoras
g2 = h2 + r2 ⇒ g2 − r2 = h2 ⇒ g2 − 36 g2 = 9 Por tanto:
g4 − 9g2 − 36 = 0 (g2 − 12)(g2 + 3) = 0 (g2 = 12) ∨ (g2 = −3) De donde:
g = √12 = 2√3 Además: cos(α) = h g = 2 √3 ⇒ α = �/
11