Tutti abbiamo un po’ di Matematica nel sangue
Sommario Sommario
Pag. 1
Premessa
Pag. 2
Biomatematica
Pag. 3
Cos’è il sangue?
Pag. 4
I modello: Formazione e distruzione delle cellule del sangue
Pag. 8
II modello: Velocità del flusso sanguigno
Pag. 19
Doping
Pag. 25
Autori e ringraziamenti
Pag. 26
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Premessa Il progetto “Matematica&Realtà” nasce con l’intenzione di avvicinare i ragazzi all’arte di modellizzare. Modellizzare significa studiare un fenomeno attraverso un modello, sintetizzando le parti fondamentali della natura per un’analisi funzionale. Ma che cos’è un Modello? Dal latino “modulus” (misura), il modello è un oggetto o un concetto utilizzato per rappresentare qualcos’altro, in poche parole una semplificazione della realtà; è uno dei modi con cui l’uomo interagisce con il mondo che lo circonda. In particolare un Modello Matematico è un modello costruito con strumenti matematici quali funzioni, equazioni, variabili e costanti. Tutte le scienze si servono di modelli matematici, tanto che la Matematica rappresenta il più grande veicolo della ricerca scientifica.
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Biomatematica La BIOMATEMATICA è la scienza che rappresenta un ponte sospeso tra Matematica e Biologia e si occupa di inserire i fenomeni biologici e medici all’interno di un modello matematico: è la dimostrazione che la Matematica, regina di tutte le scienze, regola ogni singolo aspetto della natura e della nostra vita.
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Cos’è il sangue? Il sangue è un tessuto fluido, circolante nel cuore e nel sistema dei vasi sanguigni, che si presenta come un liquido viscoso di colore rosso (scarlatto il sangue arterioso rosso scuro quello venoso) ed è costituito da una parte liquida, il plasma, e da una parte copuscolata: i globuli rossi, i globuli bianchi (linfociti, granulociti e monociti) e le piastrine, definiti appunto elementi corpuscolati o figurati del sangue. I globuli rossi, i globuli bianchi (compresi i linfociti) e le piastrine vengono tutti prodotti nel midollo osseo da un elemento precursore comune. Il midollo osseo è un tessuto con capacità emopoietiche, presente, nell'uomo adulto, solo in alcune ossa (principalmente, sterno, bacino, coste, vertebre). Ha il compito di fornire gli elementi progenitori delle diverse serie ematiche.
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Quali sono le principali funzioni del plasma sanguigno? • Funge da mezzo di sospensione delle cellule del sangue; • trasporta ai tessuti le sostanze nutritive assorbite nell'apparato digerente; • trasporta agli organi escretori, quali polmoni e reni, i prodotti dei processi metabolici che riceve dai tessuti; • contiene sostanze necessarie per la coagulazione del sangue (fibrinogeno, protrombina, fattori della coagulazione).
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Quali compiti hanno i globuli rossi?
Queste cellule, che vengono definite anche eritrociti o emazie, contengono il pigmento del sangue, l'emoglobina, che ha la proprietà di legarsi chimicamente con l'ossigeno (ciò avviene al passaggio del sangue attraverso i polmoni); quando il sangue attraversa i tessuti, l'emoglobina cede loro l'ossigeno e si carica di anidride carbonica, prodotto di scarto delle reazioni organiche. I globuli rossi hanno quindi il vitale compito di trasportare ossigeno dai polmoni ai tessuti e l'anidride carbonica dai tessuti ai polmoni.
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Quali sono i compiti delle piastrine e dei globuli bianchi? I globuli bianchi, o leucociti, costituiscono un elemento del meccanismo di difesa dell'organismo e nella lotta contro le malattie. Le piastrine, invece, che vengono chiamate anche trombociti, hanno un ruolo importantissimo nel processo di coagulazione del sangue. piastrine viste al microscopio
globuli bianchi
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I modello: Formazione e distruzione delle cellule del sangue
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue In condizioni normali, il numero e il tipo di cellule sanguigne prodotte è regolato da un meccanismo di controllo sulla base delle necessità . In maniera schematica, una mancanza di ossigeno porta alla produzione dell’ormone eritropoietina, che stimola uno sviluppo dei globuli rossi tra le cellule primitive e specializzate. Tali cellule primitive sono dette essere pluripotenziali per il fatto che sono in grado di produrre cellule formative specializzate, ossia cellule che possono svilupparsi in uno dei tipi di cellule del sangue. Dopo una fase di maturazione, le cellule diventano cellule di un certo tipo e entrano nella circolazione sanguigna. Le cellule del sangue possono morire, sia per età che per infezione o malattia.
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue La popolazione di cellule del sangue varia nel tempo
∆= !!!! − !! !
unità di tempo
!! ! n° di cellule al tempo !! !
! !! ! n° cellule distrutte
nell’intervallo di tempo
!(!! )! n° cellule prodotte
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!! , !! + 1 !
Formazione e distruzione delle cellule del sangue La funzione ! ! ! Deve essere “identificata” sulla base di dati sperimentali. Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una frazione costante di popolazione.
!!
! !! = ! ∗ !! ! c=coefficiente di distruzione
La funzione !(!)! Deve essere “identificata” sulla base di considerazioni fisiologiche. La velocità di produzione aumenta quando il numero di cellule è basso.
!! !(!)! cresce inizialmente e raggiunge un massimo
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue Esiste un livello critico al di sotto del quale l’organismo non recupera.
!!
! 0 = 0! La produzione diminuisce se il numero di cellule è elevato. Non è necessaria a livelli ”super elevati” di cellule.
!! p(x) decresce per x grande
! ! → 0!
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue ! ! =
! !! ! !
! +!
Mackay-Glass 1971
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! !
Formazione e distruzione delle cellule del sangue Modello
!!!! = !! − !!! + !(!! )! che è della forma
!!!! = !(!! )! Dove la funzione d’iterazione f è:
! ! = ! 1 − ! + !(!)!
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue Il livello stazionario In condizioni normali, le cellule raggiungono un livello stazionario al quale produzione e distruzione avvengono alla stessa velocitĂ
!! !: ! ! = !(!)!
!! ! = !(!)! 16
Formazione e distruzione delle cellule del sangue Livelli stazionari di Mackey
Livelli stazionari di Lasota
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Formazione e distruzione delle cellule del sangue Una malattia corrisponde, dal punto di vista matematico, al fatto che alcuni dei parametri del modello hanno valori che si discostano da quelli che definiscono un livello stazionario
!! Analisi della stabilitĂ del modello
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Doping L'eritropoietina o EPO è un ormone glicoproteico prodotto negli esseri umani dai reni e in misura minore dal fegato e dal cervello, che ha come funzione principale la regolazione dell'eritropoiesi (produzione dei globuli rossi da parte del midollo osseo). L'EPO è stata prodotta anche in laboratorio e utilizzata come farmaco per curare le anemie in pazienti affetti da malattie renali o da malattie del sangue, o per permettere un recupero più veloce dopo la somministrazione di chemioterapia nei pazienti affetti da cancro. In studi recenti è stato osservato un ruolo neuroprotettivo di EPO come agente antinfiammatorio. Al di fuori delle indicazioni previste nella scheda tecnica, il farmaco è stato anche impiegato come sostanza dopante sfruttando la sua capacità di aumentare il numero di eritrociti anche in soggetti sani, come gli atleti, al fine di aumentare il trasporto di ossigeno ai tessuti (specie quello muscolare scheletrico e cardiaco) e di migliorare quindi la performance sportiva.
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II modello: VelocitĂ del flusso sanguigno
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Velocità del flusso sanguigno La legge di Poiseuille è usata per descrivere un flusso di sangue in un vaso sanguigno. Consideriamo un modello semplificato con le seguenti ipotesi: • Una porzione di arteria o di vena è un cilindro perfetto di lunghezza l e con sezione trasversale circolare di raggio R;
• Il sangue scorre all’interno del vaso spinto da una differenza di pressione ∆P;
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Velocità del flusso sanguigno • Come qualsiasi liquido, il sangue produce un attrito: la viscosità, che si oppone allo scorrimento, la indicheremo con η e si misura in (in onore di Poiseuille);
poise=cm-‐1gs-‐1 In questo modello si suppone la viscosità e la densità del sangue costanti all’interno dell’arteria o della vena. Le pareti del vaso sanguigno esercitano una naturale pressione sul fluido. In particolare la velocità del sangue è nulla vicino alle pareti, mentre raggiunge il massimo al centro, lungo l’asse del cilindro. • La velocità del fluido è ovunque sufficientemente bassa, in modo da mantenere il cosiddetto flusso laminare, in cui tutte le particelle si muovono nella stessa direzione, parallelamente all’asse, con una velocità che diminuisce gradualmente, o in modo regolare, dal centro verso le pareti della vena. Se è violata l’ultima ipotesi, cioè se la velocità supera un certo valore critico che dipende dalla viscosità e dalle altre variabili del problema, il flusso diventa turbolento e il presente modello non vale più. 22
Velocità del flusso sanguigno Sotto queste ipotesi, Poiseuille provò sperimentalmente la validità della seguente relazione quadratica tra la velocità v di una particella di fluido e la distanza r dall’asse del cilindro:
Δ! ! ! ! = (! − ! ! )! 4!" dove r è la variabile indipendente, v è la variabile dipendente, R, l, ∆P sono le costanti del modello. La funzione quadratica v(r) ha come dominio l’intervallo [0, R] e come immagine l’intervallo [0, vmax] con
!!"#
! !
Δ! ∙ = ! 4!"
Descrive il fatto che la velocità è massima al centro del vaso sanguigno (r = 0) mentre la velocità è minima e uguale a 0 lungo le pareti della vena. 23
Velocità del flusso sanguigno Δ! ! ! ! = (! − ! ! )! 4!"
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Velocità del flusso sanguigno Studiamo ora un caso realistico: il flusso sanguigno all’interno di una vena di lunghezza l = 1cm. Supponiamo inoltre che R = 2mm e ∆P = 90dinecm−2. Per quanto riguarda la viscosità, il sangue arterioso ha una alta concentrazione di ossigeno O2 combinato con l’emoglobina e, per questo, a una viscosità molto più bassa del sangue venoso, possiamo allora supporre η = 0, 03. L’equazione data diventa allora:
90 ! ! = 4.10!! − ! ! = 30 − 750! ! ! 4!0.03!1 Se r=0.1 dal centro, il sangue scorre con velocità
v(r)=22.5cms-‐1
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Il lavoro è stato svolto da: Carapella Claudia Caruso Federica Furno Giulia Maffei Cosimo Nicoletti Ermanno Piccirillo Serena Stanzione Augusto Vernillo Daniele La tutor: Prof.ssa Rosanna Leone 26
Grazie per l’attenzione
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