79 Potencia eléctrica y calor perdido by Ernesto Yañez

Potencia eléctrica y calor perdido (o gastado) por un conductor. Cuando una corriente que pasa por un conductor eléctrico no consume su energía produciendo algún efecto mecánico o químico, ordinariamente dicha energía se manifiesta en forma de calor haciendo que se eleve la temperatura del conductor, este fenómeno se denomina efecto joule. Energía eléctrica gastada en un conductor. Debido a que una batería o un generador al surtir corriente a un sistema eléctrico, mantiene una diferencia de potencial entre las dos terminales del circuito, entonces se realiza un trabajo que como ya hemos visto, se conoce como diferencia de potencial, debido a la carga q. es decir: V =

W q

donde: V = voltaje = volts. W = trabajo = joule. Q = carga = Coulomb [C]. como:

q I = ⇒ q = It ∴ t W = Vq = VIt

además:

V V2 ⇒ W = I 2 Rt = t I R

Por el principio de la conservación de la energía, cada caloría de calor producida requerirá el consumo de una cantidad definida de energía eléctrica ya que, la energía eléctrica se mide en Joule, igual que la mecánica, recordemos la ecuación del efecto joule, que es:

J =

W Q

donde: J = 4.18 Joule /Cal. Por lo que al sustituir nos da : Energía eléctrica gastada en un conductor

ecuación de efecto joule

W VIt = Joule / Cal = 0.24VIt (Cal ) = 0.24 I 2 Rt ( Cal ) ) J 4.18

Potencia eléctrica [P]. la rapidez con que se produce o consume la energía. P = I 2R =

V2 = VI R

donde : P = potencia de watts [w] R =Ohms Ω V = volts [V]. I = amperes [A].

SI :

1.-Una lámpara eléctrica tiene un filamento de 80Ω conectado a una línea de corriente directa de 110V ¿cual es la corriente que circula por el filamento ? ¿cuál es la potencia consumida en watts ? Datos Fórmula

(110v ) = 1.375 A V = R ( 80Ω)

R= 80Ω

I =

V= 110 v I=? P=?

P = VI = (110V )(1.375a ) = 151.25w

R=1.375A ; 151.25W La potencia en kilowatt multiplicada por el tiempo en horas, da la energía en kilowatt-hora (Kwh.) que es la unidad con que se calcula y paga todo consumo de energía. 1KWH = 1000 x 3600 Joules = 3.6 x 10 6 J. 2.-Cuál es el costo de calentar eléctricamente 80 litros de agua de 20°c a 100°c a razón de 80 centavos KWHR? Datos Fórmula Desarrollo kg   Q = mc∆T Q = ( 80kg ) 1000 3 (100°C − 20°C ) = 64 x105 cal. V= 80 l m   Ti= 20°C 1 cal=4.186 Joules Tf= 100°C

(

)

 4.186 J  2 Q = 64 x105 cal   = 267904 x10 Joules  cal 

1KWh = 3.6 X 106 Joules  1KWh  Q = 267904 x10 2 J   = 7.43kwh 6  3.6 x10 J 

Costo=7.43 KWh($0.80)=$5.95 nota : En muchas aplicaciones de la ingeniería, la resistividad se expresa en unidades híbridas (combinadas). la longitud se mide en pies y el área en mils

circulares (milc). un mil circular se define como : “el área de sección transversal de un alambre de un mil (0.001 in) de diámetro”. Procedimiento para calcular el área de un alambre a mils circulares :  Se convierte su diámetro a mils. Como un mils = 0.00in, un diámetro puede convertirse de pulgadas a mils, simplemente desplazando el punto decimal tres lugares a la derecha. Ejemplo : = 225mils. El área de un alambre en mils cuadrados se determina mediante : πD 2 A= mils cuadrados 4

Por definición, un alambre que tiene un diámetro de un mils, tiene una área de un mils (un mil circular) . Energía eléctrica gastada en un conductor 1 MILC = π 4

(mils cuadrados).

El área en mils circulares, es igual al cuadrado del diámetro en mils :

(Dmils)²

Si el área de un alambre se da en mils circulares y su longitud en pie, la unidad de resistividad es : ϑ=

RA Ω • MILC = L ft

RESISTIVIDAD

Material aluminio

Ω•m 2.8x 10 −8

Ωmilc/ft 17.0

cobre________________________1.72x 10 −8 __________________10. oro__________________________2.2x 10 −8 ___________________13.0 hierro________________________9.5x 10 −8 ___________________57.0 tungsteno ____________________ 5.5x 10 −8 ___________________33.2 plata_________________________1.63x 10 −8 ___________________9.6 Ejercicios propuestos 1.-Calcula la resistencia de un alambre de plata de 500ft que tiene una sección transversal de 3 mm ? R= 0.83Ω. 2.-Un dispositivo para soldar emplea 0.75 A A 120 V ¿cual es su resistencia ? ¿cuanta energía utiliza en 15 min ?. R= R=160Ω ; W = 22.5x 10 -3 KWHR 3.-Supóngase que el costo de la energía eléctrica en una casa es de 8centavos por kilowatt-hora. Una familia inicia sus vacaciones de dos semanas y deja encendida una lámpara de 80watts ¿cual es el costo ?. R.= $2.15 Pesos

Leyes de kirchhoff. Gustav Kirchhoff. Científico Alemán desarrollo un método practico que permite resolver problemas en una red de circuito complejo, es decir para redes que contienen varias mayas de conductores y pilas (fuentes del fem ), donde resulta difícil aplicar la ley de Ohm que hemos visto anteriormente, con el cual no es sencillo predecir el comportamiento de la corriente. Leyes de Kirchhoff.-el método de kirchhoff, comprende la aplicación de 2 leyes que son :

PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF La suma de las corrientes que entran a un nodo es igual ala suma de corrientes que salen del mismo nodo. ΣI ENTRAN = ΣI SALEN

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF La suma de las fems alrededor de cualquier malla de corriente cerrada es igual a la suma de todas las caídas de potencial ir alrededor de dicha malla. NODO Es un punto en el circuito donde tres o mas conductores se unen. La primera ley establece que la corriente no puede acumularse en un nodo, si no que debe fluir en forma continua. La segunda ley establece la conservación de la energía. La energía ganada por unidad de carga debe ser igual ala energía perdida por unidad de carga. La engría se gana por una fuente de fem, mediante la transformación de engría química o mecánica en energía eléctrica. la energía se pierde ya sea en forma de caídas de potencial ir o en el proceso de revertir la corriente a través de la fuente de fem. en este ultimo caso, la engría eléctrica se transforma en energía química necesaria para cargar un acumulador o la engría eléctrica se transforma en energía mecánica para operar un motor. Se debe cumplir la primera Ley de Kirchhoff. La suma de las corrientes que entran a un nodo debe ser igual a la suma de corrientes que salen del mismo nodo. Pasos a seguir para resolver problemas de circuitos eléctricos aplicando las leyes de kirchhoff.  1.-Supóngase una dirección de la corriente en cada maya de la red.  2.-Aplicando la primera ley de kirchhoff para obtener una ecuación de corriente para todas, menos uno de los puntos de unión. ∑I entrada = ∑I salida.  3.-Indicar con una flecha pequeña la dirección en la cual cada fem, que actúa sola, causaría que una carga positiva se moviera.  4.-Aplicando la segunda ley de kirchhoff ΣE=ΣIR para obtener una ecuación para todas las corrientes de mallas posibles. se escoge una dirección positiva arbitraria. una fem se considera positiva si su dirección de salida es la misma que la dirección escogida. una caída IR se considera

positiva cuando la dirección supuesta de la corriente es la misma que su dirección.  5.-Resolver las ecuaciones simultaneas que resulten para determinar las cantidades desconocidas.

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Aplica las leyes de kirchhoff para determinar las corrientes que circulan por el circuito mostrado.

Circuitos de corriente continua. CIRCUITO ELÉCTRICO: Es aquel que esta constituido ordinariamente por una fuente de energía y un conductor de conductores por los cuales circula la corriente, cuya dirección convencional es la misma dirección que el campo eléctrico “E” que produce la corriente en serie, en paralelo o mixtas. Asociación de resistencias: Las resistencias pueden estar conectadas de las siguientes formas: Conexión en serie: Se caracteriza porque las resistencias solamente tienen un punto en común que no se encuentra conectado a un tercer elemento; además: La corriente en todas las partes de un circuito en serie es la misma. El voltaje total de resistores conectados en serie es igual a la suma de los voltajes en cada resistencia.

La resistencia equivalente de resistores conectados en serie es la suma de las resistencias individuales.

Conexión de un circuito serie y su equivalente

Circuitos de corriente continua Nota: Existen varias limitaciones para operara los circuitos en serie, ya que si un elemento falla, cesa la corriente por el circuito, además, cada elemento en un circuito en serie hace que aumente la resistencia total limitando la corriente total a suministrar. Conexión en paralelo: este tipo de circuito se presenta cuando dos o mas resistores se conectan a dos puntos comunes en el circuito. En las conexiones en paralelo, la corriente puede dividirse entre dos o mas resistores, es de mayor utilidad en las instalaciones eléctricas. Para los resistores conectados en paralelo, se debe cumplir con:  La corriente total en un circuito en paralelo es igual a la suma de las corrientes en cada elemento.  Las caídas de voltaje a través de todas las ramas en un circuito paralelo debe ser el mismo. La inversa de la resistencia equivalente es igual a la suma de las inversas de las resistencias individuales.

Conexi贸n de resistores en paralelo y su equivalente.

Ecuaciones para circuitos en paralelo: ecuaciones

Ve = V1 = V2 = V3 ... I T = I 1 + I 2 + I 3 +... 1 1 1 1 = + + +... Re R1 R2 R3

Circuitos de corriente continua Circuito mixto: Este circuito es una combinaci贸n de los dos anteriores y para obtener el resistor equivalente, se utilizan las formulas ya conocidas.

Conexi贸n mixta de resistores.

CIRCUITOS SERIE, PARALELO Y COMBINADOS DE C.C. Introducción. Se dice que los resistores están conectados en paralelo cuando aparece el mismo voltaje a través de cada componente. Cuando se tienen distintos valores de resistencias circulan diferentes valores de corriente a través de cada resistor. La corriente total que se demanda de la alimentación, es la suma de las corrientes en los resistores individuales. El valor de la resistencia equivalente de un circuito de resistores en paralelo se calcula más fácilmente usando la inversa del valor de cada resistencia(es decir, usando valores de conductancia). En la figura siguiente se muestra el circuito de dos resistores conectados en paralelo y una batería. Obsérvese que en un circuito paralelo circulan distintas corrientes a través de cada componente. I

I2 A I1 + E R1

B I La corriente a través de cada resistor es:

I1 =

E R1

I2 =

E R2

Si se observa la dirección de las corrientes con respecto a la unión A, I1 circulando a través de R 1, está saliendo de A. La corriente I de la batería está circulando hacia A. También I, I1 e I2 son las únicas corrientes entrando o saliendo de la unión, en consecuencia. I = I1 + I 2

El mismo razonamiento es aplicable en la unión B donde I1 e I2 están entrando a B y al corriente I saliendo de B, por lo que: I = I1 + I 2

En el caso donde hallan (N) resistores en paralelo la corriente de la batería, es: I = I1 + I 2 + .... + I N

La regla acerca de las corrientes entrantes y salientes en una unión está definida por la LEY DE KIRCHHOFF DE CORRIENTES QUE ESTABLECIÓ: La suma algebraica de las corrientes que entran a un punto en un circuito eléctrico, debe ser igual a la suma algebraica de las corrientes que salen del mismo punto.

A las distintas trayectorias de corriente en un circuito se les conoce como ramas, y no deben ser necesariamente los mismos valores en cada trayectoria. Algunas formas de conexión de ramas en paralelo se muestran a continuación:

Ejemplos de paralelo

circuitos

De c.c.

Los circuitos con resistencias en paralelo. En un circuito paralelo, las resistencias se conectan en forma separada a la fuente. La instalación eléctrica de una casa habitación es un ejemplo típico de un circuito paralelo. Son tres las reglas básicas para los circuitos en paralelo: a).- El voltaje en cada rama es el mismo. Dado que las ramas están conectadas todas a la misma fuente de voltaje(o al mismo par de nodos del circuito), no es posible para la rama tener un voltaje diferente. b).- La corriente total que demanda un circuito paralelo es la suma de las corrientes en cada rama. Cada rama demanda una corriente de carga separada de la fuente, de manera que la corriente total de carga proporcionada o suministrada por la fuente debe ser igual a la suma de las corrientes que demandan las ramas. I1+I2+I3

I2+I3

+ R1

I3 R3

IT - I1

IT - (I1+I2)

I = I1 + I 2 + .... + I N

circuito en paralelo con tres ramas c).- La resistencia total de un circuito en paralelo es menor que la resistencia de cualquiera de las ramas. Resistencia equivalente para un circuito en paralelo. Si en la figura anterior, se aplica la Ley de Ohm a cada una de las ramas con resistencia se obtiene:

I1 =

V V V I2 = I3 = R1 R2 R3

De manera que la corriente total es: IT = I1 + I 2 + I 3

Se puede escribir, como: IT =

1 1 1  IT = V  + +   R1 R2 R3 

V V V + + R1 R2 R3

La ecuación anterior se puede escribir como: IT =

 1 V =V  R REQ  EQ

   

Donde: REQ = resistencia equivalente del circuito

 1 V R  EQ

    =V  1 + 1 + 1  R  R3   1 R2  

Por lo tanto: R = R + R + R EQ 1 2 3

Donde 1/REQ = Siemens La ecuación se puede escribir también, como: REQ =

1 1  1   1    +   +    R1   R2   R3 

El circuito equivalente, es el siguiente: IT + V -

Usando el concepto, de que la conductancia es la recíproca de la resistencia, es decir G=1/R, se puede escribir también: GT = G1 + G2 + G3

De aquí: REQ =

1 GT

En forma similar a un circuito en serie, la potencia total disipada en un circuito en paralelo está dada por: PT = P1 + P2 + P3 Watts pT = REQ I 2 = VI T

Ejemplos Una fuente de 30 volts se conecta a través de tres resistores en paralelo que tienen valores de: R1=2 KΩ, R2=1 KΩ y R3=4 KΩ, como se muestra en la figura. Calcular:

La corriente que circula por el resistor La corriente total La resistencia equivalente del circuito El valor de corriente que se lee en un amperímetro entre R 1 y R2 La potencia disipada por cada resistor La potencia total que entrega la fuente IT

+ 30 V

R1=2KΩ

R2= 1KΩ

R3= 4KΩ

solución La corriente que circula por cada resistor I1=V/R1=(30 V)/(2 000 Ω)= 0.015 amperios = 15 miliamperios I2=V/R2=(30 V)/(1 000 Ω)= 0.030 amperios = 30 miliamperios I3=V/R3=(30 V)/(4 000 Ω)= 0.0075 amperios = 7.5 miliamperios

I1= 15 mA I2= 30mA I3= 7.5 mA

La corriente total: IT=I1+I2+I3= 15+30+7.5= 52.5 miliamperios IT= 52.5 mA La resistencia equivalente del circuito se puede calcular, como: REQ=V/IT=(30 volts)/(0.0525 amperes)=571.428 Ω REQ= 571.428 Ω También se puede calcular de acuerdo con la expresión obtenida para la resistencia equivalente en circuitos paralelo. 1 1 1 1 = + + REQ R1 R2 R3

1/REQ= 1/2000 + 1/1000 + 1/4000= 0.00175 siemens= 1.75 milisiemens REQ= 1/(1.73x10-3)= 571.428 Ω REQ= 571.428 Ω d) El valor de corriente que se lee en el amperímetro entre R 1 y R2 es: IT – I1= 52.5 –15= 37.5 miliamperios I1=37.5 mA ó I2 + I3= 30 + 7.5 = 37.5 miliamperios

La potencia disipada en cada resistor es: P1= V2/R1= (30 volts)2/(2 000Ω)= 0.450 watts 450 miliwatts P1= 450mW P2= V2/R2= (30 volts)2/( 1000Ω)= 0.900 watts= 900 miliwatts P2= 900mW P3= V2/R3= (30 volts)2/(4 000Ω)= 0.225 watts= 225 miliwatts P3= 225mW f) La potencia total que entrega la fuente se puede calcular, como: PT= P1+P2+P3= 450+900+225= 1 575 miliwatts P T= 450mW También se puede calcular como: PT= VIT= (30 volts)( 0.0525 amperes)= 1575 miliwatts P T= 1575mW Otras ecuaciones para calcular la resistencia equivalente Existen dos formas útiles para calcular la resistencia equivalente en redes con resistencias en paralelo.

Para cuando se tienen únicamente dos resistencias en paralelo

REQ =

( R1 )( R2 ) ( R1 + R2 )

Cuando se tiene N resistencias del mismo valor R en paralelo: R=

R N

R= (Resistencia de un resistor)/( Número de resistores) Ejemplo 2.2 Calcular la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo, una de 2 KΩ y otra de 4 KΩ.

R1= 2 KΩ

R2= 4 KΩ

Solución REQ= (R1xR2)/(R1+R2)= (2X4)/(2+4)= 1.33 KΩ

REQ= 1.33KΩ

Ejemplo 2.3.- Se tienen 3 resistencias en paralelo de 600 Ω cada una, conectadas a través de una fuente de 60 volts. Calcular: a) La resistencia total del circuito. b) La corriente total que se demanda de la fuente. La corriente en cada rama en paralelo.

IT + 60 v -

600 Ω

600Ω

solución La resistencia total del circuito es: REQ= R/N= (600Ω)/3= 200Ω La corriente total que se demanda de la fuente. IT=V/REQ= (60volts)/(200Ω)= 0.3 amperes A

IT=0.3

La corriente en cada rama en paralelo. Debido a que las tres resistencias son iguales, la corriente es igual en todas las ramas, es decir: I1 = I 2 = I 3 = 0.3 A I 0.3 A IT = = = 0.1A 3 3

Ejemplo 2.4.-Dado el circuito mostrado en la figura con las resistencias R 1=390 KΩ, R2= 1.2 KΩ, R3= 1.8 KΩ Y R4= 2.2 KΩ. calcular: a).-La conductancia total b).-La resistencia equivalente R1

390KΩ 1.2kΩ 1.8KΩ 1.2 kΩ Circuito paralelo

solución GT =

1 1 1 1 1 1 + + = + + = 193.19Ω R1 R2 R3 300 1200 2200

Ejemplo 2.5.- Una extensión para alumbrado decorativo tiene 8 lámparas conectadas en paralelo alimentadas de una fuente de 120 volts, cada lámpara tiene una potencia de 60 watts. Calcular la corriente total que demanda. Calcular la corriente por lámpara. Calcular la resistencia equivalente del arreglo. Solución Como las 8 lámparas tienen la misma potencia, tienen el mismo valor de resistencia, es decir de la expresión: P=

V2 R

despejando: R=V2/P= (120volts)2/(60 watts)= 240 Ω R= 240Ω La resistencia equivalente es: REQ=R/N= (240Ω)/(8)= 30Ω REQ=30Ω La corriente total es: IT=V/REQ=(120 volts)/(30Ω)= 4 amperes IT=4 Amperes También se puede calcular a partir de la potencia total que demandan las 8 lámparas que son: PT=P1+P2+P3+P4+P5+P6+P7+P8= 8X60watts= 480 watts PT=480 Watts De la expresión:

P=VIT IT=P/V=(480 watts)/(120 volts)= 4 amperes IT=4 Amperes La corriente por lámpara es I=IT/N= 4/8= 0.5 amperes I= 0.5 Amperes ó también I=V/R=(120 volts)/(240Ω)= 0.5 amperios I= 0.5 Amperes La resistencia equivalente se calculó en el inciso a) y resultó ser de 30Ω

Ejemplo 2.6.- Dado el circuito mostrado en la figura, obtener la resistencia equivalente.

R1 50Ω

R2 100Ω

R3 200Ω

R4 200Ω

Solución Se puede usar la técnica de combinar resistencias en paralelo por parejas de final hacia la fuente, es decir: 1) combinando R3 y R4 R3-4=200Ω/2= 100 Ω R3-4=100Ω 2) combinando R2 con R3-4 R2-3-4= 100Ω/2= 50 Ω R2-3-4= 50Ω 3) Finalmente combinando las resistencias en paralelo REQ= 50Ω/2= 25 Ω REQ= 25Ω Ejemplo 2.7.- En el circuito mostrado en la figura IT=0.3 amperios. Calcular el valor de R2.

IT= 0.3 amperios R1= 30Ω

R2=?

6V + -

Solución La resistencia equivalente del circuito se puede obtener como: REQ=V/IT= (6 volts)/(0.3 amperios)= 20 Ω

REQ=20 Ω

De la fórmula para el cálculo de la resistencia equivalente de dos resistencias en paralelo. ( R1REQ ) = ( 30 X 20) = 60Ω ( R1R2 ) R2 = REQ = ( R1 − REQ ) ( 30 − 20) ( R1 + R2 ) Se puede también el valor de esta resistencia con otro método alterno. La corriente de rama de 30 Ω es: I1 =V/R1=(6 volts)/(30Ω)= 0.2 amperes I1 =0.2 A I2= IT-I1= 0.3-0.02= 0.1 amperes I2=0.1A Por lo tanto: R2= V/I2=(6 volts)/(0.1 amperios)= 60Ω R2=60Ω Circuitos serie-paralelo Hasta ahora se han estudiado los llamados circuitos serie y paralelo. Por la estructura de las conexiones se puede afirmar que los circuitos paralelo son los más ampliamente usados en los llamados sistemas eléctricos de potencia, o de fuerza, como algunos los llaman. En realidad se podría decir que considerando los elementos que intervienen en la mayoría de los circuitos, incluyendo los conductores que conectan a los elementos, todos los circuitos son serie-paralelo. En la electrónica es la conexión más usada. El circuito serie-paralelo es básicamente un circuito en serie con algunos de sus elementos del circuito en serie, conectados en paralelo. Existe una corriente total suministrada por la fuente, que circula a través de los elementos en serie y se mueve en los circuitos conectados en paralelo. I2 R2

R1 I3 IT R3 R4 I4

R5 I5

R6 I6

IT R7 distribución de corrientes en un circuito serie paralelo La solución de estos circuitos no es difícil , una vez que se ha comprendido, como relacionar sus distintas partes del circuito entre sí; es decir combinando en paralelo o en serie a los elementos que así estén originalmente conectados. La solución para corrientes y voltajes en los circuitos serie-paralelo es prácticamente la aplicación de estas para los circuitos indistintamente. Una forma de explicar estos procedimientos de reducción se da a través de un ejemplo.

Ejemplo 2.8.- Encontrar la resistencia equivalente para el circuito siguiente:

R1=15 KΩ

R2=18 kΩ

R3=18 kΩ

solución

Combinando en paralelo R2 y R3 R2-3= (18kΩ)/2= 9 kΩ Combinando en serie R1 con R2-3 REQ= 24 kΩ REQ= R1+R2-3= 15 kΩ + 9 kΩ = 24 kΩ

REQ=24 kΩ Ejemplo 2.9.- Obtener la resistencia equivalente del siguiente circuito. R1=180 Ω

R2=270 Ω

solución:

R3=1000Ω

R4 1500Ω

R5=2700Ω

Resolviendo para las resistencias R1 y R2 en paralelo R1-2= (180x270)/(180+270)= 108 Ω R1-2=108 Ω La resistencia equivalente de R3,R4 y R5 es: R3-4-5= 1/(1/1000 + 1/1500 + 1/2700)= 491 Ω R3-4-5=491 Ω El circuito equivalente es ahora:

108 Ω

491 Ω

La resistencia equivalente es la combinación serie de estas dos resistencias, es decir: REQ= 108+491= 599 Ω REQ=599 Ω Análisis del circuito serie-paralelo El análisis del circuito serie-paralelo, requiere simplemente de las reglas aplicadas a los circuitos serie y paralelo, descritas en el capítulo anterior. Por lo general, se reduce un circuito serie-paralelo a un circuito serie, reemplazando los elementos en paralelo por resistencias equivalentes. Una vez que se tiene un circuito equivalente serie, para un circuito serie-paralelo, las soluciones para corriente y voltaje se pueden obtener fácilmente. El procedimiento que se usará en cada caso, depende del tipo de problema por resolver, pero existen criterios básicos que se pueden adoptar a partir de algunos ejemplos, como los siguientes: Ejemplo 2.10.- Obtener la caída de voltaje en cada una de las resistencias del circuito mostrado en la figura. R1=15 Ω

24 v

R 3= 56Ω R2=47Ω R4= 100 Ω R 5= 150Ω

R6= 33Ω

Solución Resolviendo para la resistencia equivalente de cada circuito en paralelo. R2-3= (R2xR3)/(R2+R3)=(45x76)/(45+76)= 25.6 Ω R4-5-6 = 1/(1/100 + 1/150 + 1/33)= 21.3 Ω

R2-3=25.6 Ω R4-5-6 =21.3 Ω

El circuito equivalente es el siguiente:

15 Ω

25.6 Ω

21.3 Ω La resistencia total de este circuito serie es: REQ= 15 + 25.6 + 21.3= 61.9 Ω REQ = 61.9 Ω La corriente total es: IT= V/REQ= (24 volts)/(61.9 Ω)= 0.388 amperes IT=0.388 A Calculando las caídas de voltaje: V1= R1IT=(15 Ω)(0.388 amperes)= 5.82 volts V1= 5.82 V V2=V3=R2-3 IT= (25.6 Ω)(0.388 amperes)= 9.92 volts V2=9.92 V V4=V5=V6=R4-5-6 IT= (21.3 Ω)(0.388 amperes)= 8.26 volts V4=8.26 V La suma de estas caídas de voltaje debe ser igual al voltaje aplicado: V= V1 + V2 + V3= 5.82 + 9.92 + 8.26 = 24 volts V=24 V Las corrientes se calculan como: I1=IT= 0.388 amperes I1=0.388 A I2=V2/R2=(9.922 volts)/(47 Ω)= 0.211 amperes I2=0.211

I3= V2/R3= (9.92 volts)/(56 Ω)= 0.177 amperes I3=0.177 A IT=I2 + I3= 0.211 + 0.177= 0.388 amperes IT=0.388 A I4= V4/R4=(8.26 volts)/(100 Ω)= 0.0826 amperes I4=0.0826 A I5=V4/R5=(8.26 volts)/(150 Ω)= 0.0551 amperes I5=0.0551 A I6=V4/R6=(8.26 volts)/(33 Ω)= 0.250 amperes I6=0.250 A IT=I4 + I5 + I6= 0.0826 + 0.0551 + 0.250 IT= 0.387 amperes

Ejemplo 2.11.- Para el circuito serie-paralelo mostrado. Calcular al resistencia total y los voltajes, así como corrientes en cada resistencia.

R1=10 Ω

V1=V2 36 V

R2=15 KΩ

R3= 27 KΩ R4=27 KΩ

R6=2kΩ Solución

R5=27 KΩ

Con el objeto de no perder el control de todos los datos e incógnitas del problema, es conveniente elaborar una tabla con estas cantidades, como se muestra a continuación: V V1= 36 V V2= 36 V V3= V4= V5= V6=

I I1= I2= I3= I 4= I5= 2 mA I6

R R1= 10 KΩ R2= 15 KΩ R3= 27 KΩ R4= 27 KΩ R5= 27 KΩ R6= 2 KΩ

La resistencia equivalente se puede obtener de combinar las resistencias de los elementos como sigue: R1-2= (10x15)/(10+15)= 6 kΩ R2-4-5 = (27 kΩ)/3= 9 KΩ El circuito equivalente es ahora:

6 kΩ

9 KΩ

2 KΩ

RT= 6+9+2= 17 kΩ Las corrientes I1 e I2, se calculan con el mismo voltaje, ya que R1 y R2 están en paralelo. I1= V1/R1=(36 volts)/(10 000 Ω)= 0.0036 amperios = 3.6 miliamperios I2=V1/R2= (36 volts)/(15 000 Ω)= 0.0024 amperios = 2.4 miliamperios A la salida de las resistencias R1 y R2 la corriente debe ser: IT= I1 + I2= 3.6 miliamperios + 2.4 miliamperios = 6 miliamperios La caída de voltaje en R3-4-5 es: V3=V4=V5=R3-4-5x IT=(9 000 Ω)(0.006 amperes)= 54 volts Se puede obtener también a partir de la corriente I 5 de 0.002 amperios que circula a través de R5. V3=V4=V5= R 3-4-5 x IT =(9 000Ω)(0.006 amperios)= 54 volts Las corrientes I3, 4 I3=V3/R3=(54 volts)/(27 000 Ω)= 0.002 amperes = 2 miliamperes I4=V3/R4=(54 volts)/(27 000 Ω)= 0.002 amperes = 2 miliamperes

IT= I3 + I4 + I5= 0.002 + 0.002 + 0.002= 0.006 amperes = 6 miliamperes La caída de voltaje en R6 es: V6=R6xIT=(2 000 KΩ)(0.006 amperios)=12 volts La tabla elaborada anteriormente, se puede llenar ahora con los valores calculados.

V1= 36 V

I1= 0.0036 A

R1= 10 000 Ω

V2= 36 V

I2= 0.0024 A

R2= 15 000 Ω

V3= 54 V

I3= 0.002 A

R3= 27 000 Ω

V4= 54 V

I4= 0.002 A

R4= 27 000 Ω

V5= 54 V

I5= 0.002 A

R5= 27 000 Ω

V6= 12 V

I6= 0.006 A

R6= 2000 Ω

VT= 102 V

IT= 0.006 A

RT= 17 KΩ

Ejemplo 2.12.- Para el circuito mostrado en la figura, la corriente I7= 0.2 amperes R2=27 Ω

R1=28 Ω

R3=22 Ω

R4=4.7 Ω

R5=15 Ω R6=47 Ω R7=33 Ω I7=0.2 A

Solución Dada la corriente en R7 se calcula la caída de voltaje a través de esta resistencia, por lo que: V7=V6=V5+V4 V7= R7I7=(0.2 amperes)(33 Ω)= 6.6 volts Las corrientes para el resto de los elementos de esta rama en paralelo, son: I6= V6/R6=(6.6 volts)/(47 Ω)= 0.14 amperios I4-5=(V4+V5)/(R4+R5)=(6.6 volts)/(4.7 + 15 Ω)= 0.335 amperes La corriente total es: IT= I4-5 + I6 +I7= 0.335 + 0.14 + 0.2 = 0.675 amperes Las caídas de voltaje a través de R4 y R5 son: V4= I4-5R4=(0.335 amperios)( 4.7 Ω)= 1.57 volts V5= I4-5R5=(0.335 amperios)( 15 Ω )= 5.03 volts La resistencia equivalente de R2 y R3 R2-3=(R2xR3)/(R2+R3)=(27x22)/(27+22)= 12.12 Ω La caída de voltaje a través de cada rama en paralelo. V2=V3=ITxR 2-3=(0.675 amperes)(12.12 Ω)= 8.18 volts La caída de voltaje a través de R1 es: V1=ITR1=(0.675 amperes)( 18 Ω)= 12.15 volts El voltaje total es: VT=V1+V2+V7= 12.15+8.18+6.6=VT= 29.63 volts Técnicas para el análisis de redes. Algunas redes resistivas son tan complejas que no pueden ser analizadas por las técnicas sencillas serie-paralelo descritas en los párrafos anteriores, ya que en los estudios existen muchos circuitos eléctricos que no tienen componentes ni en serie, ni en paralelo, o en serie-paralelo. En estos casos, las reglas para la

solución de circuitos serie, paralelo o serie-paralelo, no se pueden emplear y entonces se deben aplicar métodos más generales. Cualquier circuito se puede resolver por las Leyes de Kirchhoff, debido a que no dependen de conexiones serie o paralelo. En 1847 el físico alemán Gustav R. Kirchhoff, estableció dos reglas básicas para voltajes y corrientes que son: A.- En cualquier punto de un circuito, la suma algebraica de las corrientes que entran o salen debe ser cero. B.- La suma algebraica de las fuentes de voltaje y las caídas de voltaje (IR) en cualquier trayectoria cerrada debe ser cero.

LEY DE KIRCHHOFF DE CORRIENTES. La suma algebraica de las corrientes que entran y salen de un punto(Nodo o punto de unión) en un circuito, debe ser igual a cero. Se puede colocar de otra forma: ”La suma algebraica de las corrientes que entran a un punto y las corrientes salientes del mismo debe ser igual a cero”. Por suma algebraica, quiere decir la combinación de signos positivos y negativos. Por comodidad se acostumbra establecer una convención que determine los signos algebraicos para los términos de corrientes y voltajes. Una convención para las corrientes, es la siguiente: Se consideran todas las corrientes que entran o llegan a un punto o nodo como positivas y todas las corrientes que salen del nodo o punto como negativas. En la figura siguiente se puede ilustrar esto. IA=3 A IC= 8 A IB= 5 A IA+IB-IC=0

3 A+5 A – 8 A =0

Ejemplo 2.13.- Escribir las ecuaciones de nodo para el diagrama mostrado y resolver para la corriente I5 .

I1 I5=?

I2 I4

I1= 1.0 A I2= 2.5 A I3= 3.0 A I4= 4.5 A

Solución De la Ley de Kirchhoff de corrientes se sabe que se debe de cumplir, que la suma de corrientes que entra es igual a la suma de corrientes que sale del nodo o unión. Saliendo = Entrando I1 + I 4 = I 2 + I 3

Para determinar si I5 es corriente entrante o saliente, se sustituyen los valores: Saliendo = Entrando 1.0 + 4.5 = 3 + 4.5 5.5 = 7.5 Como 5.5 no es igual a 7.5, entonces la corriente corresponde a las salientes, Saliendo = Entrando 5.5. + I5 = 7.5 I5= 2 amperios saliendo del nodo Otra aplicación de la Ley de Kirchhoff de corrientes a una red eléctrica se da en la siguiente figura, en donde se muestra un circuito serie-paralelo con las corrientes en sus direcciones correctas. R1= 5 Ω IT=6 A VT=240 V

I3= 2 A

R4= 10 Ω I4-5= 4 A R3=60 Ω

R5= 20 Ω

R2=15 Ω Se toma el nodo en la parte superior y se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes y se tiene:

IT= I3 + I 4-5 6A=2A+4A

LA LEY DE KIRCHHOFF DE VOLTAJES Esta ley establece, que: “La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero”. Es decir, si se inicia un recorrido en un punto de el circuito a un cierto potencial, la diferencia de potencial debe ser cero. Para determinar los signos algebraicos de los términos que aparecen en las ecuaciones de voltaje, se puede establecer una convención en forma similar a la establecida por la ley de Kirchhoff de corrientes. Por ejemplo, se puede recorrer una trayectoria cerrada y considerar voltaje cuya salida de corriente sea por la terminal positiva. Designando a ésta como la polaridad positiva, y extendiendo esto a los otros elementos. Este método se aplica tanto a fuentes de voltaje como a caídas de voltaje. La dirección de recorrido puede ser en sentido contrario a las manecillas del reloj. Ecuaciones de malla. Cualquier trayectoria cerrada en un circuito eléctrico se conoce como una malla o lazo.Hay tres métodos de análisis que se usan en las leyes de Kirchhoff que son: A.- Análisis de las corrientes de rama. Este método se basa en la aplicación de la Ley de Kirchhoff de corrientes y el uso de la ley de voltajes. B.- Análisis de las corrientes de malla. Este método es muy similar al análisis de las corrientes de rama, excepto que las ecuaciones de los circuitos están basadas en las corrientes de malla en lugar de las de rama.

C. Análisis de los voltajes de nodo. En este método se escriben las ecuaciones basadas en la Ley de Kirchhoff de corrientes y en la Ley de Ohm. El procedimiento de solución para cada uno de estos métodos de análisis se describe a continuación. ANÁLISIS DE LAS CORRIENTES DE RAMA. 1.- Identificar las corrientes de rama y asignar direcciones. La selección de la dirección de las corrientes no es importante. Cuando se completa la solución, cualquier corriente que resulte negativa simplemente se dice que está en dirección contraria. 2.- Se escriben las ecuaciones de corriente aplicando la Ley de Kirchhoff de corrientes. 3.- Se asigna polaridad a las caídas de voltaje alrededor del circuito, de acuerdo a las corrientes supuestas. 4.- Escribir las ecuaciones de voltaje para cada malla usando la Ley de Kirchhoff de voltajes. 5.- Resolver las ecuaciones para corrientes, usando alguno de los métodos algebraicos conocidos. ANÁLISIS DE LAS CORRIENTES DE MALLA 1.- Dibujar las corrientes de malla en el circuito. La dirección asignada es arbitraria y no es tan importante. 2.- Asignar la polaridad a las caídas de voltaje alrededor del circuito. 3.- Aplicar y escribir la Ley de Kirchhoff de voltaje. 4.- Resolver las ecuaciones de malla. 5.- Calcular las corrientes de rama aplicando la Ley de Kirchhoff de corriente. ANÁLISIS DE LOS VOLTAJES DE NODO 1.- Seleccionar un nodo que se debe usar como nodo de referencia. Puede ser el nodo con el mayor número de elementos conectados, y frecuentemente se selecciona como nodo de referencia: tierra. 2.- Identificar los voltajes de los otros nodos con respecto al nodo de referencia.

3.- Escribir las ecuaciones para las caídas de voltaje. Estas se escriben como la suma o la diferencia de voltajes. 4.- Por medio de la Ley de Ohm, escribir las corrientes de rama, usando las caídas de voltaje del paso anterior. 5.- Realizar la solución algebraica de las corrientes planteadas en el paso anterior.

Ejemplo 2.14.- Usando el método de análisis de las corrientes de rama, obtener las corrientes de rama del circuito mostrado en la figura: I1

I2 NODO R2=5 Ω

R1=10Ω + E1=20 V

R3= 20 Ω

+ E2= 30 V -

Solución Las corrientes de rama mostradas en el circuito se han indicado en forma arbitraria, si se aplica la Ley de Kirchhoff de corrientes en el nodo, se tiene lo siguiente: I1 + I 2 + I 3 = 0 I1 = I 2 + I 3

I 2 = I 3 − I1

Aplicando la ley de kirchhoff de voltajes a cada trayectoria cerrada del circuito. 20 volts – 10(I1) – 20(I2)= 0 30 volts –5(I2) – 20(I3)=0 Rescribiendo estas ecuaciones.

á) 20 I3 + 10(I1)= 20 volts b´) 20(I3) + 5(I2)= 30 volts Para la solución de estas ecuaciones, se puede emplear el método algebraico denominado sustitución. Rescribiendo las ecuaciones á y b´ á) 20(I3) + 10(I1)= 20 volts Como I1= I3 – I2 20 + 10(I3-I2)= 20 volts 30 I3 –10 2= 20 volts Despejando I2 30(I3) – 20 volts= 10 (I2) I2= 3I3-2 Sustituyendo este valor de I2, el paso anterior para I2 20I3 + 5I2 = 30 volts 20I3 + 5(3I3-2) = 30 volts 20I3 + 15I3 – 10 = 30 volts 35I3= 40 volts I3=40/35 I3= 1.143 amperios Este valor de I3 se sustituye en á) para obtener el valor de I1 20I3 + 10I1= 20 Volts 20(1.143) +10I1=20 volts 22.86 + 10I1= 20 volts 10I1= 20 – 22.86 10I1= -2.86 I1= -0. 286

El signo negativo de la corriente indica que fue considerada en sentido contrario para obtener I2 se sustituye en la correspondiente ecuación. I2=I3 - I1

I2=1.143-(-0.286) I2= 1.429 amperios