LEYES DE CONSERVACIÓN
L
as leyes de conservación son algunas de las más poderosas leyes de la Física. Por ejemplo, la energía potencial gravitacional almacenada en un bloque de piedra colocado en la cima de una pirámide hace 2 500 años, sigue siendo la misma. Sin considerar el fenómeno de erosión, si hoy se deja caer el bloque, podría realizar el mismo trabajo que se hizo cuando se colocó en su sitio.
CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA La conservación de la energía no la predicen ninguna de las leyes físicas. Es un hecho de la naturaleza. La cantidad total existente de ese algo que llamamos energía, no cambia. Lo anterior se enuncia en uno de los principios fundamentales de la Física:
LEY DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA Dentro de un sistema, la energía puede cambiar de forma, pero su cantidad total se conserva en forma constante: La energía no puede ser creada ni destruida, únicamente puede ser transformada de una clase a otra
La ley de conservación de la energía se extiende para todo el Universo. De hecho, la cantidad total de energía en el Universo es constante.
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
A
lgunos autos modernos tienen instaladas bolsas de aire, y en caso de colisión o choque, los conductores pueden salir ilesos. La forma en que ayuda la bolsa de aire para reducir las lesiones sobre una persona, en caso de choque, es reduciendo el espacio entre la persona y el volante, obligándolo a detenerse en forma rápida. Es decir, al conductor del auto se le aplica una fuerza para desacelerarlo. En este capítulo, más que hacer un análisis de las fuerzas de aceleración y desaceleración resultante, estudiaremos aquellas propiedades de un conjunto de objetos claramente definidos que permanecen constantes antes y después de una interacción, colisión o choque. Iniciaremos el estudio de esas propiedades definiendo dos importantes conceptos: IMPULSO ¿Recuerdas la primera ley del movimiento de Newton? "Para modificar la velocidad de un cuerpo es necesario la aplicación de una fuerza. También, si un cuerpo está en reposo, para sacarlo del mismo, se necesita aplicar una fuerza " ¡Muy bien! En ambos casos, si se considera un intervalo de tiempo corto en la aplicación de una fuerza, se dice que el cuerpo recibe un impulso. Como ejemplos; al golpear una pelota de golf, de fútbol o cuando un tenista, con su raqueta, regresa una bola.
Tenemos, en estos casos, que el tiempo de contacto entre los cuerpos es relativamente corto, lo que hace que las dos pelotas sean impulsadas. En forma general:
IMPULSO Es la aplicación de una fuerza F sobre un cuerpo, durante un intervalo de tiempo corto, ∆t.
La definición anterior se representa a través de la ecuación siguiente:
I = F ∆t
Donde: I = impulso recibido F = fuerza aplicada ∆t = tiempo corto de aplicación de la fuerza. Impulso es una cantidad vectorial con la misma dirección que la fuerza. Las unidades para representar el impulso en Sistema Internacional es N ⋅ s. La unidad de impulso en el Sistema Inglés es lb ⋅ s
EJERCICIO RESUELTO
1. Un jugador de jockey da un golpe al disco ejerciendo sobre él una fuerza de 30 N durante 0.16 s ¿Cuál es el impulso dado al disco? Datos F = 30 N ∆t = 0.16 s I =?
Fórmula I = F ∆t
Desarrollo I = (30 N)(0.16 s) I = 4.8 N s
MOMENTUM O CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La palabra momentum (momento) se utiliza con frecuencia en el lenguaje común; de un campeón mundial de cualquier deporte, se dice que está en su mejor momento. Lo mismo se dice de un político cuando los votos lo favorecen. Sin embargo, en Física el momentum tiene un significado muy especial. Analicemos el ejemplo siguiente. Imagina una bola de boliche y un balón de fútbol moviéndose sobre la pista con la misma velocidad; si se quiere que los dos cuerpos se detengan en el mismo intervalo de tiempo, a la bola de boliche se le aplicará una mayor fuerza.
Ahora considera dos bolas de boliche; si una de ellas se desplaza con una velocidad mayor que la otra, a ésta se le aplicará una mayor fuerza para detenerla.
Es obvio que, tanto la masa como la velocidad de un objeto son determinantes para saber qué se necesita para cambiar su movimiento, entonces:
MOMENTUM Es el producto de la masa m de un cuerpo por la velocidad v que éste desarrolla en su movimiento.
La forma matemática que representa al concepto anterior es:
p=mv
Donde: p = momentum m = masa del cuerpo v = velocidad desarrollada El momentum es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección que la velocidad. A la ecuación p = mv se le denomina universalmente momentum; en algunos casos como ímpetu. En español se emplean los términos cantidad de movimiento lineal o simplemente momento. Las unidades de momentum en el Sistema Internacional son kg ⋅ m/s En el Sistema Inglés las unidades son slug ⋅ ft/s
EJERCICIO RESUELTO
1. Una bola de boliche de 7.5 kg se mueve sobre la pista con una velocidad de 1.6 m/s. a) Encuentra el momentum de la bola b) Encuentra la velocidad a la cual una bola de billar de 125 gr tiene el mismo momentum que la bola de boliche. Datos m = 7.5 kg v = 1.6 m/s p =?
m = 125 gr p = 12 kg m/s v =?
F贸rmulas p = mv
Desarrollo p = (7.5 kg)(1.6 m/s) p = 12 kg m/s
v=
p m
v=
12kgm / s 0.125kg
v = 96 m/s
RELACIÓN ENTRE IMPULSO Y MOMENTUM
Si se tiene un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v 1 y suponiendo que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante un intervalo de tiempo ∆t, se observará que el cuerpo sufre una variación en su velocidad v1, pasando a ser v2, al final del intervalo.
La segunda ley de Newton describe como cambia la velocidad de un cuerpo cuando sobre él actúa una fuerza. F = m a ……………..(1) a=
∆v .....................(2) ∆t
sustituyendo (2) en (1) F =m
∆v ∆t
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por ∆t, se obtiene:
F ∆t = m ∆v
Si la masa del cuerpo es constante, entonces al cambiar su velocidad implica que cambiará su momentum. Es decir, que ∆p = m∆v. De esta forma, se puede observar que el impulso proporcionado a un cuerpo es igual al cambio en su momentum.
F ∆t = ∆p
o bien,
I = ∆p
Esta ecuaciĂłn se denomina teorema del impulso y el momentum; que indica, en forma general:
Si una fuerza F actĂşa sobre una masa m durante un tiempo t lo hace cambiar su velocidad desde v1 hasta v2. Es decir: El impulso recibido por un cuerpo es igual a su incremento de momentum.
Lo cual se puede representar como:
Ft = m v2 – m v1
Donde: Ft = Impulso recibido m = la masa del cuerpo v1 = velocidad inicial del cuerpo v2 = velocidad final del cuerpo
o bien,
Ft = m (v2 - v1)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un golfista da un golpe a una pelota de 50 g que está en reposo aplicando una fuerza de 15 N. Tal golpe produce en la pelota una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es el impulso recibido por la pelota y cuál es el tiempo de impacto? Datos
Fórmulas
m = 50 g F = 15 N v1 = 0 v2 = 30 m/s ∆t =? I =?
Desarrollo
F∆t = mv2 – mv1 F∆t = mv2
F∆t = (0.050 kg)(30 m/s) F∆t = 1.5 kg m/s
∆t =
mv2 F
∆t =
1.5kgm / s 15 N
2. Una pelota de béisbol de 0.145 kg es lanzada en forma horizontal con una velocidad t = 0.1 s de 40 m/s. Después de ser golpeada por un bate se mueve horizontalmente, en sentido contrario, con una velocidad de 60 m/s. a) ¿Qué impulso le dio el bate a la pelota? b) Si la pelota y el bate estuvieron en contacto 6x10 -4 s ¿Cuál es la fuerza media que ejerció el bate sobre la pelota? c) Encuentra la aceleración media de la pelota durante su contacto con el bate. Datos m = 0.145 kg v1 = + 40 m/s v2 = - 60 m/s
Fórmulas I = m (v2 – v1)
Desarrollo I = 0.145 kg (- 60 m/s - 40 m/s) I = 0.145 kg (-100 m/s) I = - 14.5 kg m/s (en la dirección de la velocidad final de la pelota)
∆p = 14.5 kg m/s ∆t = 6x10-4 s FB =?
F ∆t = ∆p F =
∆p ∆t
F =
− 14.5kgm / s 6 x10 −4 s
F = - 24 166.667 N (en la dirección de la velocidad final de la pelota) F = - 24 166 667 N m = 0.145 kg a =?
F = ma a=
F m
a=
− 24166.667 N 0.145kg
a = - 166 666.667 m/s2 (en la dirección de la velocidad final de la pelota)
3. Sobre un motocicleta, de 2.5x102 kg, se ejerce una fuerza constante durante un minuto. La velocidad inicial de la motocicleta es de 6 m/s y su velocidad final es de 28 m/s. a) ¿Cuál es el cambio en su momento? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre ella? Datos m = 2.5x102 kg t = 60 s v1 = 6 m/s v2 = 28 m/s
Fórmulas ∆p = m (v2 – v1) F ∆t = ∆p F =
∆p ∆t
Desarrollo ∆p = (250 kg)(28m/s – 6m/s) ∆P = 5.5x103kg m/s
F =
5.5 x103 kgm / s 60 s
F = 91.667 N 4. Sobre un auto de 15 680 N que se mueve con una velocidad de 20 m/s actúan los frenos con una fuerza de 6.4x102 N, hasta llevarlo al reposo. a) ¿Cuál es su momentum inicial? b) ¿Cuál es el cambio en el momentum del auto? Desarrollo c) ¿Cuánto tiempo actuaron losFórmulas frenos sobre el auto hasta detenerlo? Datos w 15680 N m= m= g 9.8m / s 2 w = 15 680 N v1 = 20 m/s m = 1.6x103 kg F = - 6.4x102 N v2 =? p1 =? p1 = m v1 p1 = (1.6x103 kg)(20 m/s) p1 = 3.2x104 kg m/s
p1 = 3.2x104 kg m/s p2 = 0 ∆p =?
∆p = p2 – p1 F ∆t = ∆p
∆p = - 3.2x104 kg m/s F = - 6.4x102 N ∆t =?
∆t =
∆p F
∆p = 0 – 3.2x104 kg m/s ∆p = - 3.2x104 kg m/s ∆t =
− 3.2 x104 kgm / s − 6.4 x102 N
∆t = 50 s
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
L
a conservación de la cantidad de movimiento encuentra su mayor aplicación en el estudio de las interacciones, colisiones o choques, en los cuales dos o más cuerpos ejercen mutuamente fuerzas muy grandes que duran, sin embargo, un intervalo de tiempo relativamente pequeño. Dichas fuerzas se denominan fuerzas impulsivas. Las colisiones o choques entre dos cuerpos se clasifican de la siguiente manera: •
Cuando dos cuerpos chocan y sus direcciones no se alteran, es decir que siguen moviéndose sobre una misma recta antes y después del choque, entonces se produce un choque directo o unidimensional.
DESPUÉS
ANTES
•
Si los cuerpos tienen distintas direcciones antes y después del choque, entonces el choque es oblicuo o bidimensional.
•
Si al chocar dos cuerpos no sufren alteraciones o deformaciones permanentes durante el impacto. Es decir, si la energía cinética del sistema se conserva antes y después del impacto, el choque es elástico.
•
Si al chocar dos cuerpos sufren alteraciones o deformaciones durante el impacto, entonces el choque es inelástico. Sin embargo, la energía total se conserva siempre.
•
Si después de la colisión los cuerpos se mueven con la misma velocidad (continúan juntos), se tiene un choque totalmente inelástico.
Independientemente del tipo de colisión, debido a que las fuerzas impulsivas son muy grandes y actúan en un intervalo de tiempo muy corto sólo alteran, considerablemente, las cantidades de movimiento de las partículas del sistema, pero no alteran el momentum total. Lo anterior se conoce como: LA LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento total de un sistema de cuerpos que chocan, inmediatamente antes de la colisión, es igual a la cantidad de movimiento del sistema, inmediatamente después del choque.
La representación matemática de esta ley es:
m1u1 + m2u2 = m1v1 +m2v2 LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ANTES DEL CHOQUE = LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DESPUÉS DEL CHOQUE
EJERCICIOS RESUELTOS
Una bola de 5 kg se mueve con una velocidad de 20 m/s y choca con otra de 10 kg que se mueve en el mismo sentido que la primera con una velocidad de 10 m/s. Después del impacto, la primera bola sigue en la misma dirección, pero con una velocidad de 8 m/s. Encuentra la velocidad de la segunda bola después del impacto. Fórmula
Datos m2 = 5 kg u1 = 20 m/s m2 = 10 kg u2 = 10 m/s v1 = 8 m/s v2 =?
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 v2 =
m1u1 + m2u2 − m1v1 m2 v2 =
Desarrollo
(5kg )(20m / s ) + (10kg )(10m / s ) − (5kg )(8m / s ) 10kg
v2 = 16 m/s Dos masas inelásticas, una de 16 gr y la otra de 4 gr, se mueven en la misma dirección pero sentido contrario con velocidades de 30 cm/s y -50 cm/s, respectivamente. Encuentra la velocidad, en m/s, que llevarán ambas masas después del choque. Datos m1 = 16 gr m2 = 4 gr u1 = 30 cm/s u2 = - 50 cm/s vs =?
Fórmulas
Desarrollo
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 m1u1 + m2u2 = (m1 + m2)vS vs =
m1u1 + m2u2 m1 + m2
vs =
(0.016kg )(0.3m / s ) + (0.004kg )(−0.5m / s ) (0.016kg ) + (0.004kg )
vs = 0.140 m/s
Una bala de 8 gr se dispara en forma horizontal sobre un bloque de madera de 9 kg suspendido por una cuerda, como se indica en la figura. Si la velocidad del bloque y de la bala después del choque es de 40 cm/s. Determina la velocidad inicial de la bala, en m/s.
Gráfica
Datos mb = 8 gr mB = 9 kg vs = 40 cm/s ub =? uB = 0
Fórmula
Desarrollo
mbub + mBuB = mbvb + mBvB mbub = mbvb + mBvB vb = vB ub =
(mb + mB )vB mb ub =
(0.008kg + 9kg )(0.4m / s ) 0.008kg
ub = 450.4 m/s
Un jugador de 95 kg que corre con una velocidad de 8.2 m/s choca en el medio campo con un defensa de 128 kg que se mueve en dirección opuesta. Ambos jugadores quedan sin movimiento después del impacto. ¿Con qué velocidad se movía originalmente el defensa?
Datos m1 = 95 kg u1 = 8.2 m/s v1 = v2 = 0 u2 =?
Fórmula
Desarrollo
m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2 m1u1 + m2u2 = 0 u2 = −
m1u1 m2
u2 = −
(95kg )(8.2m / s ) 128kg
u2 = - 6.1 m/s (el signo negativo indica el sentido contrario al corredor)
Una bala de 35 gr que viaja con una velocidad de 475 m/s choca contra un bloque de madera de 2.5 kg que está en reposo, lo atraviesa y al salir por el lado opuesto tiene una velocidad de 275 m/s ¿Qué velocidad tiene el bloque cuando la bala sale de él? Datos mb = 35 gr ub = 475 m/s mB = 2.5 kg uB = 0 vb = 275 m/s vB =?
Fórmula
Desarrollo
mbub + mBuB = mbvb + mBvB como uB = 0 mbub = mbvb + mBvB vB =
mbub − mb vb mB
vB =
(0.035kg ( 475m / s ) − (0.035kg )(275m / s ) 2.5kg
vB = 2.8 m/s