Fenómenos ondulatorios. Los fenómenos ondulatorios más comunes y que consideramos para nuestro estudio son: Principio de superposición. Este fenómeno físico se presenta cuando dos o más ondas se propagan simultáneamente a través del misma medio. Como ya sabemos, la velocidad de la onda transversal se determina por la tensión de la cuerda y su densidad lineal, debido a esto, cualquier onda transversal tendrá la misma velocidad para cierta cuerda sometida a tensión constante.
Principio de superposición Cuando dos ondas o más existen simultáneamente en el mismo medio, cada onda viaja a través del medio como si las otras no estuvieran presentes, y el desplazamiento resultante en cualquier tiempo y punto es la suma algebraica de los desplazamientos de cada onda.
La demostración de este fenómeno físico se puede observar en la siguiente figura, que muestra gráficamente este principio. A)
B)
Demostración gráfica del principio de superposición (A) interferencia constructiva; (B) interferencia destructiva. En la figura del inciso (A), da como resultado una superposición de onda, de mayor amplitud, que se conoce como interferencia constructiva, es decir que la amplitud resultante es mayor. Reflexión de una onda ¿Que pasa con una onda cuando llega al extremo de un soporte rígido donde se encuentra fija una cuerda? Como se observa en la siguiente figura, la onda que está viajando, lleva energía hacia la derecha, la que debe ser absorbida por el soporte o reflejada hacia atrás. En la práctica parte de la energía es absorbida por la conexión con la pared, sin embargo si el soporte es bastante sólido o el extremo se halla completamente libre, una fracción grande de la energía se reflejará. En consecuencia una onda reflejada viajará hacia la izquierda al mismo tiempo que la onda original se mueve a la derecha. Para comprender mejor este fenómeno físico, consideramos sólo una onda cuya cresta se propaga a lo largo de la cuerda como se muestra en la siguiente figura (a) cuando ésta onda llega a la pared, no puede empujarla hacia arriba, ya que, la pared no cede; ejerce sobre la cuerda un impulso hacia abajo, este impulso acelera la cuerda de modo que el momento que lleva la cuerda la hace ir por debajo de la línea de equilibrio. El resultado es que el pulso se invierte cuando choca con la pared y la onda reflejada tiene el aspecto mostrado en la figura (b). Si el extremo de la cuerda pudiera moverse libremente hacia arriba y hacia abajo, la onda no se invertiría aunque hubiera sido reflejada.
Conclusión Un pulso se invierte al reflejarse en un extremo fijo. En un extremo libre se refleja pero no se invierte. Una onda se invierte cuando se refleja en un extremo fijo
Resonancia Este fenómeno físico se presenta cuando una fuerza se halla en la misma frecuencia que la frecuencia que un sistema vibrante. Podemos explicar este fenómeno físico con un ejemplo común, que se presenta cuando tenemos que empujar a un niño de un columpio para elevarlo a una altura grande. Un pequeño empujón periódico causará rápidamente una oscilación de gran amplitud. Podemos explicar lo anterior con el empleo de algunos conceptos que hemos estudiado acerca del trabajo. Cuando alguien empuja al columpio en dirección de su movimiento se efectúa un trabajo sobre el mismo. La energía proporcionada de esta manera hace que el niño se eleve más en la siguiente oscilación. Cuando este proceso se repite, el niño, asciende cada vez más al darle energía al sistema. La amplitud límite se presenta cuando la energía alimentada por la persona que está empujando, es exactamente igual a la pérdida de energía por rozamiento durante una oscilación completa. Cualquier sistema vibrante puede efectuar oscilaciones de gran amplitud mediante una fuerza impulsora periódica, como lo fue el caso anterior. Obsérvese sin embargo que la fuerza impulsora deberá de aplicarse en el tiempo apropiado a fin de que añada energía al sistema. Se deben de satisfacer dos condiciones para que haya resonancia:
1) La fuerza aplicada deberá tener la misma frecuencia que la frecuencia de vibración libre del sistema. 2) La fuerza deberá ser aplicada en fase con la vibración. Esto es, que la fuerza y la vibración deberán estar acompasadas. Ondas estacionarias. La mayoría de las ondas sonoras que emanan de los instrumentos musicales, son resultado de ondas estacionarias, éstas, se pueden producir en cualquier sustancia, ya sea sólida, líquida o gaseosa por medio de dos trenes de ondas de igual frecuencia que avanzan en el mismo medio pero en sentidos opuestos. En la siguiente figura, se ilustra la forma de conseguir la producción de ondas estacionarias usando el principio de superposición en una cuerda cuyos extremos están fijos.
Utilizando el principio de superposición notamos: 1) Para un tiempo de t = 0, la onda incidente que viaja a la derecha (línea sólida delgada), forma con la reflejada (línea discontinua) una interferencia destructiva, como las dos ondas tienen la misma longitud y velocidad de onda, pero sentidos opuestos, la resultante es la línea recta horizontal. 2) Un instante después, las ondas se han desplazado una distancia finita es decir, si t = ¼ T, la onda incidente se ha desplazado hacia la derecha una distancia de λ. La onda reflejada se desplaza hacia la izquierda una distancia de ¼ λ, dando como resultado una onda resultante por efecto de interferencia constructiva del doble de amplitud de las ondas componentes. 3) Cuando el tiempo t =1/2 T ocurre nuevamente una interferencia destructiva total y la resultante es una línea recta. 4) Cuando el tiempo t = 3/4 T se obtiene una interferencia constructiva, la cuerda alcanza su máxima amplitud en dirección opuesta. 5) Estas ondas se llaman ondas estacionarias, que se forman a intervalos de tiempo muy pequeños, donde se advierte que los puntos fijos a lo largo de
la cuerda, permanecen en reposo, se llaman nodos y se representan por N. Los puntos de
máxima amplitud y que ocurren entre los nodos en su punto medio se les conoce como antinodos. Se observa también que λ= distancia entre nodos o antinodos alternados.
Frecuencias características: Supóngase una cuerda de longitud L y con sus extremos fijos, determinan estas frecuencias, como se muestra en la figura siguiente. Llamados condiciones de frontera.
λ1 = 2 L =
λ2 = l =
2L 1
2l 2
( )
2l λ3 = 2 3 l = 3
λ4 =
l 2l = 2 4
Ondas estacionarias en una cuerda vibrante (a). Llamado modo fundamental de oscilación, consiste en un único vientre con sus nodos en cada extremo. (b) . (c). (d). Llamados modos superiores de oscilación y ocurren para longitudes de onda cada vez mas cortas donde λ es:
λ1 =
2l 2l 2l 2l l : λ2 = : λ3 = : λ4 = = 1 2 3 4 2
Representándola en forma de ecuación nos da: λn =
2l ; n = 1,2,3,... n
donde : λn = longitud de onda de los modos superiores de oscilación. l = longitud de la cuerda n = múltiplo entero en el que se divide la longitud de onda La frecuencia de vibración se obtiene de: v = λf ⇒ f = v / λ Sustituyendo a λn, nos da: fn = nv / 2 l = n ( v / 2 l): n = 1,2,3,... donde : fn = frecuencias características de vibración F
v = velocidad de propagación de ondas transversales ( v = µ ) n F n FL fn = f n= Es decir: o n = 1, 2, 3... µ M 2l 2L De ésta fórmula, sí: n = 1 ⇒ f1 es la frecuencia más baja llamada también frecuencia fundamental: f1 = v / 2 l Las otras frecuencias que son múltiplos enteros de la fundamental se conocen como sobretonos: es decir: fn = n f1; n = 1,2,3... A la serie completa que consta de la frecuencia fundamental y de los sobretonos se le conoce como: serie armónica, esto es: f1 = primera armónica o frecuencia fundamental f2 =2 f1 = primer sobretono o segunda armónica f3 = 3 f1 = segundo sobre tono o tercera armónica Conclusión: A la serie fn = n f1 se le conoce como: Serie armónica que es múltiplo entero de la frecuencia fundamental.