1.3.5 SUMA Y RESTA DE VECTORES Existen métodos adecuados para poder efectuar la suma de cantidades vectoriales, estos métodos no pueden utilizarse directamente con los principios de la aritmética. Para efectuar la suma de vectores se considera la magnitud, la dirección y el sentido de los vectores, algo importante que no debes de olvidar es que la magnitud de un vector siempre se toma positiva, si es negativo antes del símbolo que especifica un vector quiere decir que cambia su sentido. La suma de vectores se pueden realizar por dos métodos: el gráfico y el analítico. Método Gráfico
Paralelogramo Triángulo Polígono
Método Analítico
Teorema de Pitágoras Ley de senos y cosenos Componentes rectangulares
Por lo tanto para encontrar la suma de vectores que pueden ser gráficos y analíticos. Como consecuencia de la adición se obtiene un vector llamado Resultante.
RESULTANTE Es aquel que sustituye un sistema de vectores y que representa a todos los vectores sumados.
EQUILIBRANTE Es un vector con la misma magnitud y dirección que la resultante pero con sentido contrario.
TEOREMA DE PITÁGORAS (MÉTODO ANALÍTICO) Este método se utiliza cuando dos vectores A y B son perpendiculares entre si, al sumarse forman un triángulo rectángulo. La magnitud de la resultante se determina aplicando el teorema de Pitágoras.
TEOREMA DE PITÁGORAS Para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos catetos.
R B θR A
Este teorema se representa algebraicamente de la manera siguiente:
R 2 = A 2 + B2
La dirección de la resultante se calcula por la función tangente
tan θR =
B A
θR = tan −1
B A
MÉTODO DEL TRIÁNGULO (MÉTODO GRÁFICO) Se suman como máximo dos vectores y consiste, en colocar el segundo vector después de haber graficado el primero (respetando magnitud, dirección y sentido), con la característica de que el origen del segundo vector parte del final del primero. La resultante estará comprendida entre el origen del primer vector y el final del segundo. El sentido de la resultante siempre irá del origen del sistema al segundo vector. Procedimiento: a) Dibuja los ejes cartesianos que nos servirán como marco de referencia. b) Selecciona una escala para trazar la magnitud de los vectores uno a continuación del otro a partir del origen. c) La resultante se traza desde el origen del sistema hasta el punto final del ultimo vector. d) El ángulo, se mide a partir de la dirección positiva del eje (+x ) Ejemplo: Con la aplicación del teorema de Pitágoras resuelve el siguiente ejercicio de vectores utilizando el método del triángulo. Un joven camina 3 m hacia el Este y luego 7 m hacia el Norte. Determina: a) La resultante del desplazamiento de la persona. b) ¿Cuál será la dirección de la resultante?
Cรกlculo grรกfico 1) Se elige un marco de referencia
2) Selecciona la escala convencional 1 cm = 1 m 3) Dibuja el primer vector partiendo del punto de origen; en este caso 3 m al Este.
N
O
E o
S
4) Dibuja el segundo vector partiendo del punto final del primer vector respetando magnitud dirección y sentido. 7 m hacia el Norte. N 7m O
E o 3m
S
5. La resultante estará comprendida entre el origen del primer vector y el final del segundo; el sentido de la resultante siempre irá del origen del sistema al segundo vector. Calculo gráfico: N
R = 7.615 m
B=7m 66°
O
E O
A=3m
S
y
Cálculo analítico Datos A =3m B =7m R =? θR = ?
Fórmula
Desarrollo
R2 = A 2 + B2
R = (3m )2 + (7m )2
R = A 2 + B2
R = 9m 2 + 49m 2
R = 58m 2
R = 7.615 m R = 7.615 m
Cálculo de la dirección Datos
Fórmula
A =3m
tan θ =
B A
B =7m θR = ?
Desarrollo tan θ =
7m 3m
tan θ = 2.33
θ = 2.33 tan −1
θ = 66°
SUMA DE DOS VECTORES ANGULARES
LEY DE SENOS Y LEY DE COSENOS (MÉTODO ANALÍTICO) La ley de los senos establece que en todo triángulo oblicuángulo (son aquellos que no tienen ningún ángulo recto) se cumplen las siguientes relaciones:
b
a
γ
α
β
c
a b c = = Senα Senβ Senγ
LEY DE LOS COSENOS En todo triángulo oblicuángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados, menos su doble producto, multiplicado por el coseno del ángulo formando por estos dos lados.
b
γ
α
β c
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ
Ejemplo:
a
Encontrar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal en la siguiente suma de vectores por el método gráfico y analítico.
F1=26 N 35° F2 =40 N
Gráfico Método del triángulo • • • •
se toma un punto de referencia elige la escala convencional trazamos los vectores respetando magnitud, dirección y sentido. se obtiene el vector resultante.
R
F1 = 26 N 35°
F2=40 N
Analítico: Ley de senos y cosenos.
Para emplear este método se requiere graficar el sistema vectorial, aunque no es necesario que se haga a escala. Para ello se ubican las fuerzas en un sistema de coordenadas cartesiano colocando el segundo vector en el extremo del primero, formando un triángulo al graficar la fuerza resultante que consiste en unir el origen de la primera fuerza con el extremo de la segunda. Los lados del triángulo representan la magnitud de las fuerzas del sistema y la magnitud de la fuerza resultante
R α
F1 = 26 N
β = 145° F2=40 N
35°
Aplicando la ley de los cosenos para encontrar la resultante tenemos: Datos
Fórmula
F1 = 26 N F2 = 40 N θR = 145° Fx = ? Fy = ?
R=
2
2
F1 + F2 − 2 F1 F2 cos β
Desarrollo R=
(26 N)2 + (40 N)2 − 2(26 N)(40 N) cos145°
R=
676 N 2 +1600 N 2 − 2080 N 2 (-0.8191)
R=
2276 N 2 +1703.728 N 2
R = 3979.728 N 2
R = 63.085 N
Aplicando la ley de los senos se obtendrá el ángulo de la resultante con respecto a la horizontal.
Fórmula F1 R = senα senβ
senα =
F1senβ R
Desarrollo sen α =
(26 N )(sen 145°) 63.085 N
sen α =
(26 N )(0.5735) = 0.2363 63.085 N
α = 0.2363 sen -1 α = 13°
y (m) y después 35 m en dirección 60° al Un automóvil viaja 20 m hacia el Norte Noroeste, como se muestra en la figura. Encontrar la magnitud y la dirección del B = 35 m desplazamiento resultante del automóvil. 60° R
θ β A = 20 m x (m) o
Para obtener la solución analítica para la magnitud R usaremos la ley de los cosenos de trigonometría. Ya que como observamos A, B y R forman un triángulo obtuso. Aplicando la ley de los cosenos para poder encontrar la resultante tenemos: Datos
Fórmula
A = 20 m al Norte B = 35 m a 60° al Norte R =?
R=
A 2 + B2 − 2AB cosθ
Desarrollo
R =
(20 m)2 +(35 m)2 −2(20 m)(35 m) cos120°
R =
400 m 2 +1225 m 2 −(1400 m 2 ) (-0.5)
R = 1625 m 2 +700 m 2 R =
2325 m 2
R = 48.218 m La dirección de R medida desde la dirección Norte se puede obtener de la ley de los senos. Desarrollo
sen β sen θ = ∴ B R sen β =
B sen θ R
sen β =
(35 m) (sen 120°) 48.218 m
sen β = 0.6286 β = 0.6286 sen -1 β = 39°
MÉTODO DEL POLÍGONO (MÉTODO GRÁFICO) Este método permite sumar dos o más vectores en forma gráfica, utilizando el siguiente procedimiento: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Dibuja los ejes cartesianos Ubica un punto de aplicación Traza el primer vector En la punta del primer vector, traza el segundo vector y así sucesivamente. La resultante del origen del primer vector a la punta del último vector. Se mide y se convierte según la escala elegida para obtener su magnitud. Colocando en el centro del origen el transportador se mide su ángulo.
Ejemplo: Encontrar el vector resultante de los vectores que se dan a continuación: A = 2 N a 35°; B = 4 N a 45°; C = 6 N a 20°; D = 5 N a 120° Paso 1 Elegir una escala 1 cm : 1 N Paso 2 Ubica el punto de aplicación dentro de un marco de referencia (eje cartesiano) y
x o
Paso 3 Traza el primer vector partiendo del punto de origen (0) del eje de cartesiano, con la ayuda del transportador
Paso 4
o
En la punta del primer vector, traza el segundo vector respetando sus caracterĂsticas. Y asĂ sucesivamente hasta colocar el ultimo vector.
Paso 5 La resultante se traza del origen del primer vector a la punta del ultimo vector
Paso 6 Se mide la magnitud de acuerdo a la escala elegida, en este caso la resultante es de 12.8 N Paso 7 Colocando el transportador en el origen se mide el รกngulo del vector resultante, partiendo del eje x positivo.
SUMA DE VECTORES POR EL MÉTODO DE COMPONENTES ( MÉTODO ANALÍTICO ) Este método permite sumar 2 o más vectores. Para la solución de un sistema de fuerzas en donde se requiera determinar el vector resultante se realizan los siguientes pasos: 1) Se dibujan las fuerzas dadas en el plano de coordenadas rectangulares (diagrama vectorial) 2) Cada fuerza se descompone en sus componentes en el eje x y eje y. 3) Se suman las componentes x para obtener la componente resultante en el eje x. F ∑
X
4) Se suman las componentes y para obtener la componente resultante en el eje y. F ∑
Y
5) Se calcula la resultante utilizando el teorema de Pitágoras FR =
(∑F )
2
x
+
(∑F )
2
y
6) Se determina la dirección por medio de la función tangente θ = tan
-1
∑F ∑F
y
x
7) Se Representa gráficamente el vector resultante.
Ejemplos, 1.- Calcular gráfica y analíticamente la fuerza resultante del siguiente sistema de fuerzas Datos F1 = 6 N F2 = 3 N F3 = 7 N F4 = 5 N
25° 90° 125° 230°
Cálculo analítico Diagrama vectorial y
F3
F2 125° 90° x´
F1 25°
230° F4 y´
x
Cálculo de los componentes de cada vector F3
F3x
y
F2 F3y F1x
F1
55° 25° F1y x F4y 50° F4
F4x
F1 :
F1x = F1 (cos 25°) = (0.9063) (6 N) = 5.437 N F1y = F1 (sen 25°) = (0.4226) (6 N ) = 2.535 N
F2 :
F2x = no tiene componente en x = 0 F2y = F2 (sen 90°) = (1) (3 N) = 3 N
F3 :
F3x = F3 (cos 55°) = (-0.5735) (7 N) = -4.014 N F3y = F3 (sen 55°) = (0.8191) (7 N) = 5.733 N
F4 :
F4x = F4 (cos 50°) = (-0.6427) (5 N) = -3.213 N F4y = F4 (sen 50°) = (-0.7660) (5 N) = -3.83 N
∑ Fx = F1x + F2x + F3x + F4x ∑ Fx = 5.437 N + (- 4.014 N) + (-3.213 N) ∑ Fx = - 1.79 N ∑ Fy = F1y + F2y + F3y + F4y ∑ Fy = 2.535 N + 3 N +5.733 N + (-3.83 N) ∑ Fy = 7.438 N
Aplicación del teorema de Pitágoras para calcular magnitud de la fuerza resultante
(∑ F )
FR =
(∑F )
FR =
(- 1.79 N) 2 + (7.438 N) 2
FR =
3.204 N 2 + 55.323 N 2
FR =
58.527 N 2
2
x
+
2
y
FR = 7.650 N Cálculo del ángulo α formado por la resultante tag θ =
tag -1 θ =
Fy Fx 7.438 N = − 4 .155 −1.79 N
θ = − 4.155 tag −1
θ = 76°
Hacer la gráfica Como la ΣFx es (-) y la ΣFy es (+) la fuerza resultante (F R) estará en el segundo cuadrante, así como el ángulo α de la FR es de 76°; se hace la observación siguiente α = 180° - 76° = 104°
y
ΣFy = 7.438 N θ x´
Cálculo gráfico
ΣFx = 1.79 N
104° o
y´
x
Del mismo ejemplo, aplicando el método del polígono quedaría de la siguiente manera:
y 230° F4
F3
FR
125° F2 90° F1
α=104° 25°
0
x
Escala 1 cm :
2. Determina analíticamente la fuerza resultante del siguiente sistema vectorial y F2 = 14 N F3 = 17 N 45°
60°
x´ 30°
A
x F1= 20 N
270° F4 = 12 N F5 = 15 N y´
Datos F1 = 20 N F2 = 14 N F3 = 17 N F4 = 12 N F5 = 15 N
0° 60° 45° 30° 270°
y F3x
F2x F2
F3 F2y F3y 45° 30°
60°
x´
F1 x
F4y F4
F4x F5
Calculo de los componentes de cada vector. y´ F1 :
F1x (cos 0°) = (1) (20 N) = 20 N F1y = 0 No tiene componente en y
F2 :
F2x (cos 60°) = (0.5) (14 N) = 7 N F2y (sen 60°) = (0.8660) (14 N) = 12.124 N
F3 :
F3x (cos 45°) = (-0.7071) (17 N) = -12.020 N F3y (sen 45°) = (0.7071) (17 N) = 12.020 N
F4 :
F4x (cos 30°) = (-0.8660) (12 N) = -10.392 N F4y (sen 30°) = (-0.5) (12 N) = - 6 N
F5 :
F5x = 0 No tiene componente en x F5y (sen 90°) = (-1) (15 N) = -15 N
∑ Fx = F1x + F2x + F3x + F4x + F5x ∑ Fx = 20 N + 7 N + (-12.020 N) + (-10.392 N) ∑ Fx = 4.588 N
∑ Fy = F1y + F2y + F3y + F4y + F5y ∑ Fy = 12.124 N + 12.020 N + (-6 N) + (-15 N) ∑ Fy = 3.144 N Teorema de Pitágoras para calcular la fuerza resultante
(∑ F )
FR =
(∑ F )
FR =
(4.588 N) 2 + (3.144 N) 2
FR =
21.049 N 2 + 9.884 N 2
FR =
30.933 N 2
2
x
+
2
y
FR = 5.561 N El calculo del ángulo α formado por la resultante tan θ = tan -1 tan -1
Fy
Fx 3.144 N θ= 4.588 N θ = 0.6852 θ = 0.6852 tan -1
θ = 34° Como la ΣFx es (+) y la ΣFy es (+) la fuerza resultante FR estará en el primer cuadrante por lo tanto:
y
Fy
θ 34° Fx
FR = 5.561 N x