KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV
2 Karşılaştırmalı
durağanlık,
dışsal
değişkenlerin
ya
da
parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak incelenmesini sağlar. Örneğin ulusal gelir denge düzeyi belirliyken para arzında ya da vergi oranlarındaki bir değişmenin ulusal gelir denge düzeyini nasıl yeni bir denge değerine taşıyacağına bakabiliriz. Bu şekildeki
analizleri
yapabilmemiz
için
(diferansiyel) gibi konuları anlamak gerekir.
türev,
türevsel
3 İlk olarak değişim oranı ve türev kavramına bakalım. Bir y=f(x) fonksiyonu düşünelim. x değiştiğinde, y ’nin değişimini inceleyelim.
∆x = x1 − x0
→
x1 = x0 + ∆x
∆y = f ( x1 ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) x ’deki bir birimlik değişime karşılık y ’de meydana gelen değişiklik:
∆ y f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) = ∆x ∆x
4
Örnek 1:
y = f ( x) = 3 x − 4 2
f ( x0 ) = 3 ( x0 ) − 4 2
,
f ( x0 + ∆x ) = 3( x0 + ∆x ) − 4 2
∆y f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) 3( x0 + ∆x )2 − 4 − 3( x0 )2 + 4 = = ∆x ∆x ∆x
∆y = 6 x0 + 3 ∆ x ∆x
x0 = 3 ,
∆x = 4 olursa ,
∆y = 30 ∆x
olur .
5
Türev ∆x→0
olurken,
∆y/∆x’in
limiti
varsa,
bu
fonksiyonunun türevidir.
∆y dy lim ≡ ≡ f ′( x ) ∆x → 0 ∆ x dx Buna göre Örnek 1’i uygulayalım.
∆y = lim ( 6 x0 + 3∆x ) = 6 x lim ∆x → 0 ∆ x ∆x → 0
limit
y=f(x)
6
Türev ve Bir Eğrinin Eğimi Türev ile eğrinin eğimi bağlantısını aşağıdaki şekil yardımıyla açıklayalım. miktarının
Şekil bir
3.1,
toplam
fonksiyonu
olarak
maliyet
maliyeti
göstermektedir.
üretim Marjinal
maliyet, üretimdeki ∆Q kadarlık artışın, toplam maliyette yol açtığı artıştır (∆C ):
∆C MC = ∆Q
7
Şekil 3.1. Değişim ve Türev
C
C = f (Q )
C2
•B
C1
•D •G
∆C
A
E • • F
•
C0
•
K
•H
∆Q 0
Q0
Q1 Q2
Q
8
∆Q→0 olurken, ∆C son derece küçük değerler alacaktır. Bu durumda oransal değişim, türev olarak ifade edilebilecektir.
∆C dC ≡ ≡ f ′( Q ) MC = lim ∆Q → 0 ∆ Q dQ Başlangıçta Q0 üretim miktarında toplam maliyetin C0 olduğunu varsayalım. Üretim miktarı Q2 ’ye çıkarsa, toplam maliyet C2 olur. Buna göre marjinal maliyet (ortalama marjinal maliyet) şöyle belirlenir:
∆C C 2 − C 0 MC = = ∆Q Q2 − Q0
9 Bu oransal değişimi geometrik olarak BE’nin AE’ye oranı olarak gösterebiliriz. Bu, AB doğrusunun eğimidir. Q ’nun değişim miktarını giderek sıfıra yaklaştırırsak, C
’nin değişimi de
giderek küçülür. Limitte bu oransal değişim, türev biçimini alır. Şekil üzerinde, A noktasında toplam maliyet fonksiyonuna teğet olan KG doğrusunun eğimi MC ’yi tanımlar. Yani GH’nin KH’ye oranı.
10
Sağdan ve Soldan Limit:
∆y ≡q ∆x
,
∆x ≡ v
dy ∆y = lim = lim q dx ∆x → 0 ∆x v → 0 Ya da daha genel olarak v→N olurken, q hangi değere yaklaşır? Bu sorunun yanıtı, v ’nin N ’ye soldan ve sağdan yaklaşmasına bağlı olarak değişebilir.
11
v N ’ye soldan yaklaşırken (v→N−), q L gibi sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun soldan limiti denir.
v N ’ye sağdan yaklaşırken (v→N+), q L gibi sonlu bir sayıya yaklaşıyorsa, L ’ye q ’nun sağdan limiti denir. Sağdan limit ile soldan limit değerleri eşit olmayabilir. Ancak ve ancak bu iki limit sonlu bir sayıya eşitse, q ’nun limiti olduğunu söyleyebiliriz.
12
lim q = ∞ ,
v→ N
lim q = −∞
v→ N
gibi durumlarda “q ’nun limiti yoktur” ya da “q sonsuz limite sahiptir” deriz.
Ancak bazı durumlarda v→±∞ yaklaşımı yalnızca soldan ve sağdan olanaklı olabilir. Böyle durumlarda limitin varlığı yine sonlu sayıya yaklaşılıp yaklaşılmadığına bağlıdır.
13 Aşağıda yer alan dört farklı şekli, v→N durumunda q ’nun limiti açısından inceleyelim.
(a) şeklinde v→N+ ya da v→N− olurken her iki durumda da q tek bir değere, yani L ’ye yaklaşmaktadır. Bu durumda q bir limite sahiptir:
lim− q = lim+ q = L
v→ N
v→ N
14 (b) şeklinde de durum (a)’daki gibidir. Ancak (c) şeklinde v N ’ye soldan yaklaşırken q ’nun limiti L1 , sağdan yaklaşırken L2 ’dir. Bu nedenle q bir limite sahip değildir.
lim− q = L1 ≠ lim+ q = L2
v→ N
v→ N
(d) şekli için de şunları yazabiliriz:
lim− q = −∞ ,
v→ N
lim+ q = ∞
v→ N
lim q = lim q = M
v →−∞
v →+∞
15
Şekil 3.2. Limit
q a ( ) L
(c)
q
L1 L2
( b) • N
v
• • N
(d )
q
L
•
q
N
v
N
v
M
v
16 Şimdi limit kavramı için sistematik bir tanım verelim:
v, N gibi bir sayıya yaklaşırken L ’nin her komşuluğu için fonksiyonun önalanında buna karşılık gelen bir N komşuluğu (v=N
noktası
dışında)
bulunabiliyorsa
ve
fonksiyonun
görüntüsü ( q ), bu N komşuluğundaki her v değeri için seçilen L komşuluğu içine düşüyorsa, q=f(v) fonksiyonunun limiti L ’dir.
17
Şekil 3.3. Limit
q = g(v ) L + a2
a1 L L − a1
( N , L)
•
a2
b2
b1 0
N − b1
N
N + b2
18 Yukarıdaki şekil, yukarıda verdiğimiz sistematik limit tanımını görselleştirmektedir. N ’nin yakın komşuluklarında q ’nun limit değeri L, L yakın komşuluğu içine düşmektedir. Şekilde (N,L) tüm
yakın
komşuluklarda
renkli
dikdörtgen
alanın
kalmaktadır. Bazı limit uygulamaları aşağıda verilmiştir.
içinde
19
( q=
v 2 + v − 56
( v − 7)
)
0 lim q = v→7 0
→
( v + 8 )( v − 7 ) q= = ( v + 8) (v − 7)
( q=
q 15
0
v 2 + v − 56
( v − 7)
• 7
v
lim q = lim ( v + 8 ) = 15
→
v→7
)
v→7
20
q=
( v + 2)
3
−8
0 lim q = v→0 0
→
v
2 2⎤ ⎡ ⎡ ⎤ 2 2 2 2 2 2 v v v + − + + + + ) ⎦ ⎣( ) ( ) ( v + 2 ) − 2 ⎣( ⎦ = q= v v 3
3
q = v 2 + 6v + 12
→
q q=
v→0
( v + 2)
3
−8
v
•
12
0
(
)
lim q = lim v 2 + 6v + 12 = 12
v
v→0
21
1 q = 5− v
→
1 lim q = lim 5 − lim = 5 − 0 = 5 v →∞ v →∞ v →∞ v
→
1 lim q = lim 5 − lim = 5 − 0 = 5 v →−∞ v →−∞ v →−∞ v
q
5
0
v
22
Limit Teoremleri: Teorem 1:
q = av + b
⇒
q = 5v + 7
⇒
lim q = aN + b
v→ N
lim q = 17 v→2
Teorem 2:
q = g(v ) = b
⇒
q=3
lim q = 3
⇒
v→2
lim q = b
v→ N
23 Teorem 3:
q=v
⇒
q=v
k
q=v
3
⇒ ⇒
lim q = N
v→ N
lim q = N
k
v→ N
lim q = 2 = 8 3
v→2
24
Teorem 4:
q1 = g (v )
,
q2 = h(v )
lim q1 = L1
,
lim q2 = L2
v→ N
v→ N
lim ( q1 ± q2 ) = L1 ± L2
v→ N
Teorem 5:
lim ( q1 q2 ) = L1 L2
v→ N
25
Teorem 6:
⎛ q1 lim ⎜ v→ N q ⎝ 2
⎞ L1 ⎟= ⎠ L2
,
L2 ≠ 0
1+ v) 1 ( ( 1 + v ) lim v →0 = = lim v →0 ( 2 + v ) lim ( 2 + v ) 2 v→0 Genel Bir Polinomun (Çokterimli) Limiti:
q = g (v ) = a0 + a1 v + a2 v 2 + ..... + an v n lim q = a0 + a1 N + a2 N + ..... + an N 2
v→ N
n
26
Bir Fonksiyonun Sürekliliği ve Türevlenebilirliği: q=g(v) gibi bir fonksiyon v önalanındaki N gibi bir noktaya yaklaşırken bir limite sahipse ve bu limit aynı zamanda g(N) ’ye eşitse, bu fonksiyon N noktasında süreklidir. Örneğin aşağıdaki şekillerden (a) ve (b) N noktasında sürekli, (c) şeklinde kırmızıyla gösterilen dirsekli eğri sürekli, mavi renkli ve iki parçadan oluşan eğri de süreksizdir.
Şekil 3.4. Süreklilik ve Türevlenebilirlik
27
q
q
• N
• v
(a ) (c )
N
q
(b)
• • • N
v
v
28 Örneğin aşağıdaki aşağıdaki fonksiyonu süreklilik açısından inceleyelim. 2
4v q = g(v ) = 2 v +1 lim ( 4v
2
)
2 4 N lim q = v → N 2 = 2 v→ N lim ( v + 1) N + 1 v→ N
Görüldüğü gibi limit tüm sonlu sayılar için tanımlıdır. Bu nedenle fonksiyon N noktasında süreklidir.
29
Ĺžekil 3.5. SĂźreklilik 4
q 2
4v q = g(v ) = 2 v +1 3
2
1
-10
-5
5
10
v
30
x=x0 gibi bir noktada vÆ0 olurken q ’nun limiti varsa, fonksiyon bu noktada türevlenebilir. Bir fonksiyonun, belirli bir noktada türevlenebilmesinin önkoşulu sürekliliktir. Ancak süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli koşul değildir.
Türevlenebilirlik
sürekliliği
içermekte,
değildir. Bunu aşağıdaki örnekle görelim.
ancak
tersi
doğru
31
y = f ( x) = x − 2 + 1 Bu fonksiyon x=2 noktasında süreklidir, ancak türevlenebilir değildir. Süreklilik için fonksiyonun xÆ2 için limitine bakarsak, sağdan ve soldan limitlerin eşit olduğunu, x=2 değerinin fonksiyonun önalanı içinde yer aldığını ve y=f(2)=1 olduğunu görebiliriz:
lim− ( x − 2 + 1) = lim+ ( x − 2 + 1) = 1
x→2
x→2
32 Bu fonksiyonun x=2 noktasında türevlenemez olduğunu şöyle gösterebiliriz:
⎛ ( x − 2 + 1) − 1 ⎞ ⎛ f ( x ) − f (2) ⎞ = lim− ⎜ lim− ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ x→2 ⎝ x−2 x−2 ⎠ x → 2 ⎜⎝ ⎠ ⎛ − ( x − 2) ⎞ ⎛ x−2 ⎞ = lim− ⎜ = lim− ⎜ ⎟ ⎟ x→2 ⎝ x − 2 ⎠ x→2 ⎝ x − 2 ⎠ = lim− ( −1) = −1 x→2
⎛ f ( x ) − f (2) ⎞ ⎛ x−2⎞ lim+ ⎜ = lim+ ⎜ =1 ⎟ ⎟ x→2 ⎝ x−2 ⎠ x→2 ⎝ x − 2 ⎠
Şekil 3.5. Süreklilik ve Türevlenebilirlik
33
y 4
y = x −2 +1
3
2
• ( 2,1)
1 −1
0
1
2
3
x
34
Şekil 3.6. Süreklilik ve Türevlenebilirlik
y 1
0.8
0.6
0.4
x+2 y = f ( x) = 2 x +2
0.2
x -10
10
20
35
Türev Alma Kuralları 1. Sabit Fonksiyon Kuralı
y = f ( x) = k
→
dy d ( k ) = = f ′( x ) = 0 dx dx
2. Kuvvet Fonksiyonu Kuralı
y = f ( x) = x
y = f ( x) = x
n
3
→
→
n
dy d ( x ) = = f ′( x ) = nx n − 1 dx dx 3
dy d ( x ) 2 ′ = = f ( x) = 3 x dx dx
36 3. Genelleştirilmiş Kuvvet Fonksiyonu Kuralı n
→
dy d (cx ) n −1 ′ = = f ( x ) = cnx dx dx
y = f ( x) = 5 x3
→
dy d (5 x 3 ) = = f ′( x ) = 15 x 2 dx dx
y = f ( x ) = 2 x −3
dy d (2 x −3 ) → = = f ′( x ) = − 6 x − 4 dx dx
y = f ( x ) = cx
n
y = f ( x) = 4 x = 4 x
12
→
2 dy −1 2 = f ′( x ) = 2 x = dx x
37 4. Toplam-Fark Kuralı
d [ f ( x ) ∓ g ( x )] dx
d d = f ( x) ∓ g ( x ) = f ′( x ) ∓ g ′ ( x ) dx dx
y = f ( x ) = 7 x 4 + 2 x 3 − 3 x + 37 4 3 ⎡ dy d ⎣ 7 x + 2 x − 3 x + 37 ⎤⎦ = dx dx
dy d d d d 4 3 = 7x + 2x − 3x + 37 = 28 x 3 + 6 x 2 − 3 dx dx dx dx dx
38
5. Çarpım Kuralı
d [ f ( x ) g ( x )] dx
d d = g( x ) f ( x ) + f ( x ) g ( x ) = g ( x ) f ′( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) dx dx
y = f ( x ) = (1 − x )
3
(
(
x2 + 2
)
)
3 2 ⎡ ⎤ − + d x x 1 2 ( ) dy ⎣ ⎦ = dx dx 3⎞ 3⎛ d ⎛ d ⎞ 2 2 = ⎜ (1 − x ) ⎟ x + 2 + (1 − x ) ⎜ x +2 ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
(
(
= −3(1 − x )
(
2
)( x
)
2
(
)
+ 2 + (1 − x )
= (1 − x )2 −5 x 2 + 2 x − 6
)
3
(2x)
)
39
6. Bölüm Kuralı
d d g( x ) f ( x ) − f ( x ) g( x ) d ⎡ f ( x) ⎤ g ( x ) f ′( x ) − f ( x ) g ′( x ) dx dx = = ⎢ ⎥ 2 2 dx ⎣ g ( x ) ⎦ [ g ( x )] [ g ( x )]
y = f ( x) =
(1 − x )
(
x2 + 2
dy d ⎡ ( 1 − x ) ⎢ = dx dx ⎢ x 2 + 2 ⎣
3
(
3
)
) (
⎤ −3(1 − x ) ⎥= ⎥⎦ =
2
)( x + 2 ) − (1 − x ) ( 2 x ) ( x + 2) 3
2
2
(
(1 − x )2 − x 2 − 2 x − 6
(x
2
+2
)
2
2
)
40
7. Zincir Kuralı
z = f ( y)
,
y = g( x )
dz dz dy = = f ′ ( y ) g ′( x ) dx dy dx z = 3y
2
dz = 6y dy
, ,
y = 2x + 5 dy =2 dx
dz = ( 6 y )( 2 ) = 12 y = 12 ( 2 x + 5 ) = 24 x + 60 dx
41
z= y
17
,
dz 16 = 17 y dy dz 16 = 17 y dx
(
y = x + 3x − 2 2
,
dy = 2x + 3 dx
) ( 2 x + 3 ) = 17 ( x
2
+ 3x − 2
) ( 2 x + 3) 16
42 8. Ters Fonksiyon Kuralı
y=f(x) fonksiyonu birebirse, bu fonksiyon bir ters fonksiyona sahiptir: −1
x = f ( y) Birebir özelliği yalnızca monotonik (tekdüze) fonksiyonlarda vardır. Monotonik fonksiyonlarda şu durum gözlenir:
x1 < x2
⇒
f ( x1 ) < f ( x2 )
Monotonik artan
x1 < x2
⇒
f ( x1 ) > f ( x2 )
Monotonik azalan
43
Ĺ&#x17E;ekil 3.7. Monotonik Fonksiyonlar
y
y Monotonik azalan
Monotonik artan
x y
x
Monotonik DeÄ&#x;il
x
Marjinal Hasılat ile Fiyat-Talep Esnekliği İlişkisi
P = f (Q ) TR = PQ = f (Q )Q dTR dQ dQ MR = = f (Q ) + Q f ′( Q ) = f ( Q ) + Q f ′( Q ) dQ dQ dQ ⎡ ⎡ ⎤ Q 1⎤ MR = f (Q ) ⎢1 + f ′(Q ) ⎥ = f (Q ) ⎢1 − ⎥ f (Q ) ε⎦ ⎣ ⎦ ⎣
44
45 Marjinal Maliyet ve Ortalama Maliyet Fonksiyonları Arasındaki İlişki
TC = TC (Q ) d ( AC ) dQ d ( AC ) dQ d ( AC ) dQ
,
TC (Q ) AC = Q
d ⎛ TC (Q ) ⎞ = ⎜ ⎟ dQ ⎝ Q ⎠ TC ′(Q )Q − TC (Q ) = 2 Q 1⎛ TC (Q ) ⎞ = ⎜ TC ′(Q ) − ⎟ Q⎝ Q ⎠
d ( AC ) dQ d ( AC ) dQ d ( AC ) dQ d ( AC ) dQ
46
1 = ( MC (Q ) − AC (Q ) ) Q
=0
→ MC = AC
<0
→
MC < AC
>0
→
MC > AC
Şekil 3.8. AC ve MC Fonksiyonları Arasındaki İlişki
MC AC
MC AC
A
•
ACmin Q
47
48 Toplam Hasılat ve Üretim Girdisi İlişkisi:
TR = f (Q ) d ( TR ) dL d ( TR ) dL
=
,
Q = g ( L)
d ( TR ) dQ dQ
dL
= f ′(Q ) g ′( L) = ( MR ) ( MPL ) = MRPL
49
Kısmi Türev
y = f ( x1 , x2 , ....., xn ) f ( x1 + ∆x1 , x2 , ....., xn ) − f ( x1 , x2 , ....., xn ) ∆y = ∆x1 ∆x1 ∆y ∂y lim ≡ ≡ f1 ∆x1 → 0 ∆x ∂x1 1
50
Örnek 2:
y = f ( x1 , x2 ) = 3 x + x1 x2 + 4 x 2 1
∂y ≡ f1 ≡ 6 x1 + x2 ∂x1
,
2 2
∂y ≡ f 2 ≡ x1 + 8 x2 ∂x 2
Örnek 3:
y = f ( x1 , x2 ) = ( x1 + 4 )( 3 x1 + 2 x2 ) ∂y ≡ f1 ≡ ( 3 x1 + 2 x2 ) + 3 ( x1 + 4 ) = 6 x1 + 2 x2 + 12 ∂x1 ∂y ≡ f 2 ≡ 2 ( x1 + 4 ) ∂x 2
Şekil 3.9. Çok Seçim Değişkenli Fonksiyonların Analizi (Örnek 2) -10
51
y = f ( x1 , x2 ) = 3 x12 + x1 x2 + 4 x22
-5 0 5 10 0
-50
-100
-150 -200 0 -10 -5 0 5 10
52
Piyasa Modeli
QD = a − bP
( a, b > 0)
QS = − c + dP
( c, d > 0 )
a+c P = b+d ∗
∗
∂P 1 = >0 ∂a b+d
,
ad − bc Q = b+d ∗
a+c P = b+d ∗
0(b + d ) − (a + c) − (a + c) ∂P = = <0 2 2 ∂b (b + d ) (b + d ) ∗
∗
1 ∂P == >0 ∂c (b + d ) 0(b + d ) − (a + c) − (a + c) ∂P = = <0 2 2 ∂d (b + d ) (b + d ) ∗
53
54
Şekil 3.10. Talep Eğrisindeki Hareketler
P
P
S0
S0 P1 P∗
P1 P∗
E1
• E
•
D1
∗
D1
D0
D0
Q ∗ Q1
∂P ∗ >0 ∂a
Q
Q
∗
Q Q1 ∗
∂P <0 ∂b
55
Şekil 3.11. Arz Eğrisindeki Hareketler
P
P
S0
S0 S1 ∗
P P1
E∗
•
P∗
•E
E∗
•
P1
1
S1
E1
•
D0
D0 Q ∗ Q1
∂P ∗ >0 ∂c
Q
Q
∗
Q
Q1 ∗
∂P <0 ∂d
Leontief Girdi-Çıktı Modeline Dinamik Bakış
⎡ x1∗ ⎤ ⎡ b11 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x2∗ ⎥ ⎢ b21 ⎢ ⎥=⎢ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ x∗ ⎥ ⎢b ⎣ n ⎦ ⎣ n1
b12
...
b22
...
...
...
bn 2
...
b1n ⎤ ⎡ d1 ⎤ ⎥⎢ ⎥ b2 n ⎥ ⎢ d 2 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥⎢ ⎥ bnn ⎥⎦ ⎢⎣ d n ⎥⎦
⎡ x1∗ ⎤ ⎡ b11 d1 + b12 d 2 + ..... + b1n d n ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x2∗ ⎥ ⎢ b21 d1 + b22 d 2 + ..... + b2 n d n ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎢ ....................................... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x ∗ ⎥ ⎢ b d + b d + ..... + b d ⎥ nn n ⎦ ⎣ n ⎦ ⎣ n1 1 n 2 2
56
57
∂x ∗j ∂d k
= b jk
∗ 1
∂x = b11 ∂d 1 ∗ 2
∂x = b21 ∂d 1 ∗ 3
∂x = b31 ∂d 1
j , k = 1, 2, 3
, ∗ 1
∂x = b12 ∂d 2 ∗ 2
∂x = b22 ∂d 2 ∗ 3
∂x = b32 ∂d 2
∗ 1
∂x = b13 ∂d 2 ∗ 2
∂x = b23 ∂d 3 ∗ 3
∂x = b33 ∂d 3
58
⎡ b11 ⎢ ∗ ⎢ b21 ∂x =⎢ ∂d ⎢ ... ⎢ ⎢b ⎣ n1
b12
...
b22
...
...
...
bn 2
...
b1n ⎤ ⎥ b2 n ⎥ ⎥=B ... ⎥ ⎥ bnn ⎥⎦
59
Jacobian Determinant Bir denklem sisteminin içsel değişkenlere göre birinci sıra kısmi türevlerinin
oluşturduğu
sistemin
determinantı,
Jacobian
determinanttır. Jacobian determinantı elde edebilmek için, aşağıdaki gibi çok seçim değişkenli bir modeli dikkate alalım.
y1 = f
1
( x1 , x2 , ....., xn )
y2 = f
2
( x1 , x2 , ....., xn )
................................... yn = f n ( x1 , x2 , ....., xn )
60
J ≡
∂ ( y1 , y2 , ....., yn )
∂ ( x1 , x2 , ....., xn )
∂y1 ∂x1
∂y1 ∂x 2
...
∂y1 ∂x n
∂y 2 ≡ ∂x1
∂y 2 ∂x 2
...
∂y 2 ∂x n
...
...
...
...
∂y n ∂x1
∂y n ∂x 2
...
∂y n ∂x n
61 Örnek 4:
y1 = f
1
( x1 , x2 ) = 2 x1 + 3 x2
y2 = f 2 ( x1 , x2 ) = 4 x12 + 12 x1 x2 + 9 x22 ∂y1 =2 ∂x1
∂y1 =3 ∂x 2
∂y 2 = 8 x1 + 12 x2 ∂x1
∂y 2 = 12 x1 + 18 x2 ∂x 2
62
J =
2
3
8 x1 + 12 x2
12 x1 + 18 x2
=
J = ( 24 x1 + 36 x2 ) − ( 24 x1 + 36 x2 ) = 0
63
Diferansiyel
y = f ( x) ⎛ ∆y ⎞ ∆y = ⎜ ∆x ⎟ ⎝ ∆x ⎠ ⎛ dy ⎞ dy = ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
→
→
⎡ ⎛ ∆y ⎞ ⎤ lim ( ∆y ) = lim ⎢⎜ ∆x ⎥ ⎟ ∆x → 0 ∆x → 0 ⎣ ⎝ ∆x ⎠ ⎦ dy = f ′( x )dx
64 Örnek 5:
y = f ( x) = 3 x + 7 x − 5 2
dy = f ′( x ) = 6 x + 7 dx ⎛ dy ⎞ dy = ⎜ ⎟ dx ⎝ dx ⎠
→
dy = ( 6 x + 7 ) dx
65 Örnek 6: Nokta Esnekliği
Q = f (P)
⎛ ⎜ lim ⎜ ∆P → 0 ⎜⎜ ⎝
→
∆Q ∆Q Q ∆P ε= = Q ∆P P P
∆Q ⎞ ∆P ⎟ = 1 lim ⎛ ∆Q ⎞ = ⎟ Q ⎟ Q ∆P → 0 ⎜⎝ ∆P ⎟⎠ ⎟ P ⎠ P
dQ dP Q P
→
dQ ε = dP Q P
66
Şekil 3.12. Talep ve Arz Nokta Esneklikleri
P
P
S
•
• D θ0
0
θm
θ0 Q
0
θm Q
67
Toplam Diferansiyel
y = f ( x1 , x2 , ....., xn ) ∂y ∂y ∂y dy = dx1 + dx2 + ..... + dxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n Örnek 7: Tasarruf Fonksiyonu
S = S (Y , i ) ∂S ∂S dS = dY + di = SY dY + S i di ∂Y ∂i
68
Örnek 8: Fayda Fonksiyonu
U = U ( x1 , x2 , ....., xn ) ∂U ∂U ∂U dU = dx1 + dx2 + ..... + dxn ∂x1 ∂x 2 ∂x n n
dU = U 1 dx1 + U 2 dx2 + ..... + U n dxn = ∑ U i dxi i =1
U = U ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 9 x1 x2 + x
2 2
dU = ( 2 + 9 x2 ) dx1 + ( 2 x2 + 9 x1 ) dx2
69 Örnek 9:
x1 y = y ( x1 , x2 ) = x1 + x2 ⎛ x2 dy = ⎜ ⎜ ( x + x )2 2 ⎝ 1
⎞ ⎛ − x1 ⎟ dx1 + ⎜ ⎟ ⎜ ( x + x )2 2 ⎠ ⎝ 1
⎞ ⎟ dx2 ⎟ ⎠
70 Örnek 10:
U = U ( x1 , x2 ) = 2 x1 + 9 x1 x2 + x
2 2
Yukarıdaki fayda fonksiyonunda x1 3 ’ten 3.001’e ve x2 5 ’ten 5.003’e değiştiğinde, ∆U
’nun bir yaklaştırımı olarak dU
bulalım.
x1 = 3 ,
x2 = 5
x1 = 3.001 , x2 = 5.003 dU
→
U = 166
→
U = 166.158
∆U = 166 − 166.158 = 0.158
’yu
71
Örnek 11: Bir malın arz fonksiyonu şöyledir:
Q = a + bP + R 2
, (a < 0 , b > 0)
12
P, ürünün fiyatı; R, yağış miktarıdır. Arzın fiyata ve yağışa göre esnekliklerini belirleyelim ve bu esnekliklerin monotonik olup olmadığını inceleyelim.
ε QP
∂Q P P 2bP 2 = = ( 2bP ) = >0 2 12 ∂P Q Q a + bP + R
ε QR
∂Q R = = ∂R Q
(
1 2
R
− 12
)
1 2
R R = >0 2 12 Q a + bP + R 1 2
72
ε QP
2bP 2 = a + bP 2 + R1 2
ε QR =
1 2
R
1 2
a + bP + R 2
12
→
→
∂ε QP ∂P
∂ε QR ∂R
=
=
(
4bP a + R
( a + bP
2
+R
1 2
)
12
)
2
2 2 + a bP ( )
4 R ( a + bP + R 2
12
)
2
73
Şekil 3.13. Fiyat-Arz Esnekliği
ε QP
2bP 2 = a + bP 2 + R1 2
a = −10 , b = 0.5 5
10
0
8
-5 0
6 4
2 4 2
6 8 10 0
74
Şekil 3.14. Yağış-Arz Esnekliği
ε QR =
1 2
R
1 2
a + bP 2 + R1 2
a = −10 , b = 0.5 0.25 0 -0.25 -0.5 0
10 8 6 4
2 4 2
6 8 10 0
75
Diferansiyel Kuralları 1.
dk = 0
(
n
) = cnu
n −1
2.
d cu
du
3.
d ( u ± v ) = du ± dv
4.
d ( uv ) = vdu + udv
5.
⎛ u ⎞ vdu − udv d⎜ ⎟= 2 v ⎝v⎠
76
Örnek 12:
y = 3 x12 + x1 x22 ∂y ∂y dy = dx1 + dx2 = ( 6 x1 + x22 ) dx1 + ( 2 x1 x2 ) dx2 ∂x1 ∂x 2 dy = d ( 3 x + x1 x 2 1
2 2
) = d (3x ) + d ( x x ) 2 1
= ( 6 x1 ) dx1 + x22 d ( x1 ) + x1 d ( x22 ) = ( 6 x1 + x22 ) dx1 + ( 2 x1 x2 ) dx2
1
2 2
77
Örnek 13:
x1 + x2 y= 2 x12 ⎛ − ( x1 + 2 x2 ) ⎞ ⎛ 1 ∂y ∂y dy = dx1 + dx2 = ⎜ ⎟⎟ dx1 + ⎜ 2 3 ⎜ ∂x1 ∂x 2 2 x1 ⎝ 2 x1 ⎝ ⎠
⎛ x1 + x2 dy = d ⎜ 2 x 2 ⎝ 1
=
⎞ ⎟= ⎠
⎞ ⎟ dx2 ⎠
2 2 x d x + x + x + x d x 2 2 ( ) ( ) ( 1) 1 2 ( 1) 1 2
( 2x ) 2 1
2
2 x 2 ( 1 ) ( dx1 + dx2 ) + ( x1 + x2 ) 4 x1dx1
( 2x ) 2 1
2
⎛ − ( x1 + 2 x2 ) ⎞ ⎛ 1 =⎜ ⎟⎟ dx1 + ⎜ 2 3 ⎜ 2 x1 ⎝ 2 x1 ⎝ ⎠
⎞ ⎟ dx2 ⎠
78
Toplam Türev
y = f ( x, w ) , dy ∂y dx ∂y = + dw ∂x dw ∂w
y
f
x = g (w) →
x f
dy dx = fx + fw dw dw
g
w
79
Örnek 14:
y = f ( x , w ) = 3 x − w , x = g ( w ) = 2w + w + 4 2
dy ∂y dx ∂y = + dw ∂x dw ∂w dx ∂y ∂y =3 , = −2 w , = 4w + 1 dw ∂x ∂w dy = ( 3 )( 4 w + 1) + ( −2 w ) = 10 w + 3 dw
2
80
Toplam Türev (Daha Çok Değişken)
y = f ( x1 , x2 , w ) , x1 = g ( w ) , x2 = h( w ) dy ∂y dx1 ∂y dx2 ∂y = + + → dw ∂x1 dw ∂x2 dw ∂w
y
f
f
x1
x2 f
dx1 dx2 dy = f1 + f2 + fw dw dw dw
g
h
w
81
Örnek 15:
Q = Q ( K , L ) = 25 KL − K − 2 L 2
K = g ( t ) = 0.3t ,
2
L = h ( t ) = 0.2t
dQ ∂Q dK ∂Q dL = + dt ∂K dt ∂L dt ∂Q = 25 L − 2 K , ∂K
∂Q dK = 25 L − 4 L , = 0.3 , ∂L dt
dQ = ( 25 L − 2 K )( 0.3 ) + ( 25 L − 4 L )( 0.2 ) → dt
dL = 0.2 dt
dQ = 2.66t dt
82
W = W ( x , y , u ) = ax + bxy + cu 2
x = x ( u, v ) = αu + β v , y = y ( u ) = γu ∂ W ∂ W ∂x ∂W ∂ y ∂ W = + + ∂u ∂x ∂ u ∂ y ∂u ∂ u ∂W = ( 2ax + by )( α ) + ( bx )( γ ) + c ∂u
83
W = W ( x , y , u ) = ax 2 + bxy + cu x = x ( u, v ) = αu + β v , y = y ( u ) = γu ∂W ∂W ∂x ∂W ∂y ∂W = + + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂v ∂W = ( 2ax + by )( β ) + ( bx )( 0 ) + 0 = β ( 2ax + by ) ∂v
84
Örtük Fonksiyonlar
y = f ( x) = 3 x
4
Açık Fonksiyon
y − 3x = 0 4
Örtük Fonksiyon
F ( y, x ) = x 2 + y 2 − 9 = 0
Örtük Fonksiyon
y = f ( x) = ∓ 9 − x
Açık Fonksiyon
2
Çember Denklemi:
F ( y, x ) = x + y − 9 = 0 2
2
y 3
−3
0
y = f ( x) = 9 − x2 3
x
y = f ( x) = − 9 − x2
−3
86
F ( y , x1 , x2 , ....., xn ) = 0 dy dxi
tanımlı ise
→
y = f ( xi ) , i = 1, 2, ....., n
87
∂F ∂F ∂F ∂F dy + dx1 + dx2 + ..... + dxn = 0 ∂y ∂x1 ∂x 2 ∂x n dx1 ≠ 0
,
dx2 = dx3 = ..... = dxn = 0
∂F ∂F dy + dx1 = 0 ∂y ∂x1 ∂F ∂x1 dy =− ∂F ∂y dx1
→
→
∂F ∂F dy = − dx1 ∂y ∂x1 ∂F ≠0 ∂y
88 Yukarıda tanımladığımız gibi, bir örtük fonksiyonda yer alan değişkenler
arasında
açık
fonksiyonel
ilişkilerin
tanımlı
olabilmesi için, şu iki kuralın sağlanması gerekir. Bu kurallar, örtük fonksiyon kuralı olarak ifade edilmektedir:
1. F fonksiyonunun tüm kısmi türevleri sürekli olmalıdır. 2. Fy , ( y0 , x10 , x20 ,…, xn0 ) noktasında sıfır olmamalıdır.
89 Yukarıda
verdiğimiz
gösterdiğimiz
çember
örtük
fonksiyon
denklemine
kuralını,
uygulayarak,
daha
önce
bu
örtük
fonksiyondan tanımlanabilecek açık fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. İlk olarak tüm kısmi türevlerin sürekli olduklarını görelim.
F ( y, x ) = x 2 + y 2 − 9 = 0 ∂F = 2y , Fy ≡ ∂y
∂F = 2x Fx ≡ ∂x
lim± Fy = 2 N ,
lim± Fx = 2 N
y→ N
x→ N
90 İkinci olarak, Fy ’nin sıfır olup olmadığına bakacağız.
y=0
⇒
Fy = 2 y = 0
y=0
⇒
x2 − 9 = 0 →
x = ±3
Fy y=0 noktasında sıfır değerini aldığından, dy/dx tanımsızdır. Yani
(3,0) ve (-3,0) noktalarında y=f(x) fonksiyonu tanımlı
değildir. Bu iki noktanın dışında örtük fonksiyon kuralı tümüyle sağlandığından,
çember
tanımlanmaktadır.
denkleminden
iki
farklı
fonksiyon
91
(
y = 9− x = 9− x 2
dy d ⎡ 2 ≡ 9− x dx dx ⎢⎣
(
)
1 2
2
)
⎤= ⎥⎦
(
1 2
1 2
y = − 9− x = − 9− x 2
dy d ⎡ 2 ≡ − 9− x ⎢ dx dx ⎣
(
)
1 2
(9 − x ) 2
2
⎤= ⎥⎦
) 1 2
− 12
−x , ( −2 x ) = y
y≠0
1 2
(9 − x ) 2
− 12
x (2x) = , y
y≠0
92
Örnek 16:
F ( y , x , w ) = y x + w + yxw − 3 = 0 3
2
3
Fx 2 y 3 x + yw ∂y =− = 2 2 Fy 3 y x + xw ∂x
( 1,1,1) →
F ( y , x , w ) = y 3 x 2 + w 3 + yxw − 3 = 0 3
( 1,1,1)
→
Fy = 3 y x + xw = 4 ≠ 0 2
2
Buna göre, (1,1,1) noktasında y=f(x,w) fonksiyonu tanımlanabilir.
93
Örtük Fonksiyonlar: Eşanlı Denklemlere Genelleştirme
F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 1
F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 2
........................................................ F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 n
94
y1 = f
1
( x1 , x2 , ....., xn )
y2 = f
2
( x1 , x2 , ....., xn )
.................................... y3 = f
n
( x1 , x2 , ....., xn )
∂ ( F , F , ....., F 1
J ≡
2
n
∂ ( y1 , y2 , ....., yn )
)
95
∂ ( F , F , ....., F 1
J ≡
2
n
∂ ( y1 , y2 , ....., yn )
)
∂F 1 ∂y1
∂F 1 ∂y 2
∂F 2 ≡ ∂y1 ... ∂F ∂y1
n
...
∂F 1 ∂y n
∂F 2 ∂y 2
...
∂F 2 ∂y n ≠ 0
...
...
...
...
∂F ∂y n
∂F ∂y 2
n
n
96
F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 1
F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 2
........................................................ F ( y1 , y2 , ....., yn ; x1 , x2 , ....., xn ) = 0 n
Bu denklem sisteminin toplam diferansiyelini bulal覺m.
97
∂F 1 ∂F 1 ∂F 1 ∂F 1 dy1 + ..... + dyn + dx1 + ..... + dxn = 0 ∂y1 ∂y n ∂x1 ∂x n ∂F 2 ∂F 2 ∂F 2 ∂F 2 dy1 + ..... + dyn + dx1 + ..... + dxn = 0 ∂y1 ∂y n ∂x1 ∂x n ........................................................................................ ∂F ∂F ∂F ∂F dy1 + ..... + dyn + dx1 + ..... + dxn = 0 ∂y1 ∂y n ∂x1 ∂x n n
n
n
n
98
⎛ ∂F 1 ⎞ ∂F 1 ∂F 1 ∂F 1 dy1 + ..... + dyn = − ⎜ dx1 + ..... + dxn ⎟ ∂y1 ∂y n ∂x n ⎝ ∂x1 ⎠ 2 2 ⎛ ⎞ ∂F ∂F ∂F ∂F dyn = − ⎜ dx1 + ..... + dxn ⎟ dy1 + ..... + ∂y1 ∂y n ∂x n ⎝ ∂x1 ⎠ 2
2
......................................................................................... n n ⎛ ⎞ ∂F ∂F ∂F ∂F dy1 + ..... + dyn = − ⎜ dx1 + ..... + dxn ⎟ ∂y1 ∂y n ∂x n ⎝ ∂x1 ⎠ n
n
99
dx1 ≠ 0 , dx2 = dx3 = ..... = dxn = 0 olduğunu varsayalım. Yani x1 dışındaki x değişkenlerini sabit kabul edelim.
∂F ∂F ∂F dy1 + ..... + dyn = − dx1 ∂y1 ∂y n ∂x1 1
1
1
∂F ∂F ∂F dy1 + ..... + dyn = − dx1 ∂y1 ∂y n ∂x1 2
2
2
........................................................... ∂F n ∂F n ∂F n dy1 + ..... + dyn = − dx1 ∂y1 ∂y n ∂x1
100
∂F 1 dy1 ∂F 1 dy2 ∂F 1 dyn ∂F 1 + + ..... + =− ∂y1 dx1 ∂y2 dx1 ∂yn dx1 ∂x1 2 2 2 dy dy dy ∂F ∂F ∂F ∂F n 1 2 + + ..... + =− ∂y1 dx1 ∂y2 dx1 ∂yn dx1 ∂x1 2
........................................................................ ∂F dy1 ∂F dy2 ∂F dyn ∂F + + ..... + =− ∂y1 dx1 ∂y2 dx1 ∂yn dx1 ∂x1 n
n
n
n
101
⎡ ∂F 1 ⎢ ⎢ ∂y1 ⎢ 2 ⎢ ∂F ⎢ ∂y ⎢ 1 ⎢ ... ⎢ ⎢ n ⎢ ∂F ⎢ ∂y1 ⎣
∂F 1 ∂y 2
...
∂F 2 ∂y 2
...
...
...
∂F ∂y 2
n
...
J
∂F 1 ⎤ ⎥ ∂y n ⎥ ⎥ 2 ∂F ⎥ ∂y n ⎥ ⎥ ⎥ ... ⎥ n ⎥ ∂F ⎥ ∂yn ⎥⎦
1 ⎡ ⎤ F ∂ dy ⎡ 1⎤ ⎢ dx ⎥ ⎢ − ∂x ⎥ 1 ⎥ ⎢ 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎢ dy2 ⎥ ⎢ − ∂F ⎥ ⎢ dx1 ⎥ = ⎢ ∂x1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ... ⎥ ⎢ ... ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ dy ⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ n ⎥ ⎢ − ∂F ⎥ ⎣⎢ dx1 ⎦⎥ ⎢⎣ ∂x1 ⎥⎦
102
J1 dy1 = dx1 J J2 dy2 = dx1 J ................ Jn dyn = dx1 J
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭
dy j dx1
=
Jj J
,
j = 1, 2, ....., n
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
J ≠0
Ulusal Gelir Modeli
103
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ j ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ C − α − β ( Y − T ) = 0 ⎬ F ( Y , C , T ; I 0 , G0 , α , β , γ , δ ) = 0 ⎪ ⎪ ∗ ∗ T − γ − δY = 0 ⎪⎭
Y ∗ − C ∗ − I 0 − G0 = 0
dG0 ≠ 0 , dI 0 = d α = d β = d δ = d γ = 0
104
∂F ∂F ∂F ∂F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT + dG0 = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 1
1
1
1
∂F ∂F ∂F ∂F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT + dG0 = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 2
2
2
2
∂F ∂F ∂F ∂F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT + dG0 = 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 3
3
3
3
105
∂F ∂F ∂F ∂F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT = − dG0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 1
1
1
1
2 2 2 ∂F 2 ∂ F ∂ F ∂ F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT = − dG0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0
∂F ∂F ∂F ∂F ∗ ∗ ∗ dY + dC + dT = − dG0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 3
3
3
3
106
∗
1
∗
2
∗
3
∗
1
∗
2
∗
3
∗
∂F dY ∂F dC ∂F dT ∂F + + =− ∗ ∗ ∗ ∂Y dG0 ∂C dG0 ∂T dG0 ∂G0 1
1
∗
2
∗
3
∂F dY ∂F dC ∂F dT ∂F + + =− ∗ ∗ ∗ ∂Y dG0 ∂C dG0 ∂T dG0 ∂G0 2
∂F dY ∂F dC ∂F dT ∂F + + =− ∗ ∗ ∗ ∂Y dG0 ∂C dG0 ∂T dG0 ∂G0 3
107
⎡ ∂F ⎢ ∗ Y ∂ ⎢ ⎢ 2 F ∂ ⎢ ∗ ⎢ ∂Y ⎢ 3 ⎢ ∂F ⎢ ∂Y ∗ ⎣ 1
∂F ∗ ∂C
1
∂F ∗ ∂C
2
∂F ∗ ∂C
3
∂F ⎤ ∗ ⎥ ∂T ⎥ 2⎥ ∂F ⎥ ∗ ∂T ⎥ ⎥ 3 ∂F ⎥ ∗ ⎥ ∂T ⎦ 1
⎡ dY ∗ ⎤ ⎡ ∂F 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ dG0 ⎥ ⎢ ∂G0 ⎥ ⎢ ∗⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ dC ⎥ = ⎢ − ∂F ⎥ ⎢ dG ⎥ ⎢ ∂G ⎥ 0 ⎢ 0⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗⎥ ⎢ 3⎥ ⎢ dT ⎥ ⎢ − ∂F ⎥ ⎢⎣ dG0 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂G0 ⎥⎦
108
∂F ∂F ∂F ∂F =1 , = −1 , =0 , = −1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 1
1
1
1
∂F ∂F ∂F ∂F = −β , =1, =β , =0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 2
2
2
2
∂F ∂F ∂F ∂F = −δ , =0, =1 , =0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∂Y ∂C ∂T ∂G0 3
3
3
3
109
⎡ dY ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ dG0 ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ∗⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dC ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎢ dG ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∗ ⎥ ⎣ 0⎦ ⎢ dT ⎥ ⎢⎣ dG0 ⎥⎦ ∗
⎡1 ⎢ ⎢ −β ⎢ ⎢⎣ −δ
−1 1 0
J
0⎤ ⎥ β⎥ ⎥ 1 ⎥⎦
110
1
−1
0
0
1
β
0 −1
1 1 = >0 0 1 − β (1 − δ )
0 dY ∗ J 1 = = 1 dG0 J −β
1
β
−δ
0
1
111
1
1
0
−β
0
β
0 −1
β (1 − δ ) 1 = >0 0 1 − β (1 − δ )
−β
1
β
−δ
0
1
J2 −δ dC = = 1 dG0 J ∗
112
Piyasa Modeli
Qd = Qs = Q * Qd = D ( P , Y0 ) , *
Qs = S ( P
*
)
,
∂D ∂D <0 , >0 * ∂P ∂Y0
∂S >0 * ∂P
F 1 ( P * , Q * ;Y0 ) = D ( P * , Y0 ) − Q * = 0 F 2 ( P * , Q* ;Y0 ) = S ( P * ) − Q * = 0
113
D Fonksiyonu
S Fonksiyonu
P
*
Q
*
Y0
Şekil 3.15. Gelirdeki Değişimin Piyasa Dengesine Etkisi
P S E2
•
**
P * P
E1•
D1 D0
0
*
Q Q
**
Q
114
115 1 1 ∂F 1 ∂ ∂ F F * * + + dQ dP dY0 = 0 * * ∂Q ∂P ∂Y0
∂F ∂F ∂F * * dQ + dP + dY0 = 0 * * ∂Q ∂P ∂Y0 2
2
2
∂F 1 dQ * ∂F 1 dP * ∂F 1 + =− * * ∂Q dY0 ∂P dY0 ∂Y0 ∂F dQ ∂F dP ∂F + =− * * ∂Q dY0 ∂P dY0 ∂Y0 2
*
2
*
2
116
⎡ ∂F ⎢ * Q ∂ ⎢ ⎢ ⎢ ∂F 2 ⎢ * ⎣ ∂Q 1
⎡ ⎢ −1 ⎢ ⎢ −1 ⎢⎣
∂F ⎤ * ⎥ ∂P ⎥ ⎥ 2⎥ ∂F * ⎥ ∂P ⎦ 1
∂D ⎤ ∂P * ⎥ ⎥ ∂S ⎥ ∂P * ⎥⎦
⎡ dQ * ⎤ ⎡ ∂F 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ dY0 ⎥ ⎢ ∂Y0 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ dP * ⎥ ⎢ ∂F 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢⎣ dY0 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂Y0 ⎥⎦
⎡ dQ * ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ − ∂D ⎤ ⎢ dY0 ⎥ ⎢ ∂Y ⎥ 0 = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ dP * ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ dY0 ⎥⎦
117
∂D − ∂Y0 J1 dQ = = dY0 J *
∂D * ∂P
+
+
∂D ∂S ∂S 0 * * ∂P = ∂Y0 ∂P > 0 ∂S ∂D ∂D − * −1 * * ∂P ∂P ∂P + − ∂S −1 * ∂P
118
∂D −1 − ∂Y0 J1 −1 dP = = dY0 J −1 *
∂D ∂Y0
0 = >0 ∂S ∂D ∂D − * * * ∂P ∂P ∂P ∂S −1 * ∂P
119 Ulusal Gelir Modeli
I = I (i) ,
dI ≡ I′ < 0 di
S = S (Y , i ) ,
∂S 0< ≡ SY < 1 ∂Y
M = M (Y ) ,
dM 0< ≡ M′ < 1 dY
M d = L (Y , i ) , MS = MS0
∂L ≡ LY > 0 ∂Y
∂S ≡ Si > 0 ∂i
,
,
,
X = X0
∂L ≡ Li < 0 ∂i
120
I ( i* ) + X 0 = S (Y * , i* ) + M (Y * ) L (Y * , i* ) = M S 0 F (Y , i ; X 0 , M S 0 ) = I ( i 1
F
2
*
(Y
*
*
*
)+ X
, i ; X 0 , M S 0 ) = L (Y , i *
*
*
− S (Y , i *
0
)−M
S0
=0
*
) − M (Y ) = 0 *
121
⎡ ∂F 1 ⎢ * ⎢ ∂Y ⎢ ∂F 2 ⎢ * ⎣ ∂Y
∂F 1 ⎤ * ⎥ ∂i ⎥ 2⎥ ∂F ⎥ ∂i * ⎦
⎡ − SY − M ′ ⎢ ⎢ LY ⎣
⎡ dY * ⎤ ⎡ ∂F 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ dX 0 ⎥ ⎢ ∂X 0 ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ di * ⎥ ⎢ ∂F 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎢⎣ dX 0 ⎥⎦ ⎢⎣ ∂X 0 ⎥⎦
I ′ − Si ⎤ ⎥ ⎥ Li ⎦
⎡ dY * ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ dX 0 ⎥ ⎡ −1⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ di * ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ dX 0 ⎥⎦
122
−1
I ′ − Si
0 Li dY = I ′ − Si dX 0 − SY − M ′ *
LY
Li
− Li dY * = >0 dX 0 Li ( − SY − M ′ ) − LY ( I ′ − Si )
123
Basit Keynesyen Modelde Denk Bütçe Çarpanı
Y = C (Y *
d
)+ I +G
dC 0 < C′ ≡ <1 , d dY
,
Y = Y − T0 d
I = I0 ,
*
G = G0
d d dC dY dC dY * * dY = dY + dT0 + dI 0 + dG0 * d d dY dY dY dT0
124
dT0 = dG0 ,
dI 0 = 0
dY = C ′dY − C ′dG0 + dG0 *
*
* ′ ( 1 − C ) dY = ( 1 − C ′ ) dG0
dY = dG0 *
125
IS-LM Modelinde Denk Bütçe Çarpanı
Y = C (Y *
d
) + I (r ) + G *
dC <1 , 0 < C′ ≡ d dY M = L (Y , r *
*
,
Y = Y − T0 d
*
dI <0 , I′ ≡ dr
G = G0
)
∂L >0 , LY ≡ ∂Y
∂L <0 Lr ≡ ∂r
,
M = M0
126
Y = C ( Y − T0 ) + I ( r *
*
M 0 = L (Y , r *
*
*
)+G
0
)
d d dC dY dC dY dI * * * dY = dY + dT0 + * dr + dG0 d d * dY dY dY dT0 dr
∂L ∂L * * dM 0 = dY + * dr * ∂Y ∂r
127
dY * = C ′dY * − C ′dT0 + I ′dr * + dG0 dM 0 = LY dY + Lr dr *
dG0 = dT0 ,
*
dM 0 ≠ 0
dY = C ′dY − C ′dG0 + I ′dr + dG0 *
*
0 = LY dY + Lr dr *
*
*
128
dY * = C ′dY * − C ′dG0 + I ′dr * + dG0 0 = LY dY + Lr dr *
*
* * ′ ′ ( 1 − C ) dY − I dr = ( 1 − C ′ ) dG0
LY dY + Lr dr = 0 *
*
129 *
*
dY dr − I′ = (1 − C ′ ) (1 − C ′ ) dG0 dG0 *
*
dY dr + Lr =0 LY dG0 dG0
⎡( 1 − C ′ ) ⎢ ⎣ LY
⎡ dY * ⎤ ⎢ ⎥ − I ′ ⎤ ⎢ dG0 ⎥ ⎡( 1 − C ′ ) ⎤ ⎥ ⎢ * ⎥=⎢ ⎥ Lr ⎦ dr ⎣ 0 ⎦ ⎢ ⎥ ⎢⎣ dG0 ⎥⎦
130
(1 − C ′ )
−I′
LY
Lr
0 Lr ( 1 − C ′ ) Lr dY = = >0 dG0 ( 1 − C ′ ) − I ′ ( 1 − C ′ ) Lr + LY I ′ *
(1 − C ′ ) (1 − C ′ ) *
dr = dG0
LY
0
(1 − C ′ )
−I′
LY
Lr
− ( 1 − C ′ ) LY = >0 ( 1 − C ′ ) Lr + LY I ′
Şekil 3.16. IS-LM Modelinde Denk Bütçe Çarpanı
r
LM
E
**
r * r
131
E
•
*
**
•
*
*
dY dr >0 , >0 dG0 dG0
IS2 IS1
Y
*
Y
**
Y
132
Kapalı Bir Ekonomide Kamu Harcama Çarpanı ya da AD-AS Modeli:
⎛ * W ⎞ Y = C ⎜ Y , * ⎟ + I (Y * , r * ) + G P ⎠ ⎝ *
∂C 0 < CY ≡ <1 , ∂Y ∂I >0 , IY ≡ ∂Y
∂C >0 CW ≡ ∂ (W P )
∂I <0 Ir ≡ ∂r
133
M * * = L (Y , r ) * P ∂L LY ≡ >0 , ∂Y
∂L Lr ≡ <0 ∂r
P = P + g (Y − Y *
E
*
F
)
*
,
dP g′ ≡ ≥0 * dY
Şekil 3.17. Toplam Arz Eğrisi
P
134
AS2 ( Klasik Durum) AS3
P
E
AS1 Keynesyen Durum ( Sabit Fiyat )
Y
F
Y
135 * * * ∂ W P ( ) ∂P ∂Y ∂Y ∂Y ∂r = CY + CW + IY + Ir +1 * ∂G ∂G ∂P ∂G ∂G ∂G *
*
∂ ( M P ) ∂P * ∂Y * ∂r * = LY + Lr * ∂P ∂G ∂G ∂G
∂P * ∂P * ∂Y * = * ∂G ∂Y ∂G
136
∂ (W P ) ∂P
*
−W = 2 P
∂(M P)
,
∂P
*
−M = 2 P
∂Y ∂Y ∂Y ∂r ⎛ −W ⎞ ∂P = CY + CW ⎜ 2 ⎟ + IY + Ir +1 ∂G ∂G ∂G ∂G ⎝ P ⎠ ∂G *
*
*
∂Y ∂r ⎛ − M ⎞ ∂P ⎜ P 2 ⎟ ∂G = LY ∂G + Lr ∂G ⎝ ⎠ *
∂P * ∂Y * = g′ ∂G ∂G
*
*
*
*
137
∂Y * ∂Y * ∂Y * ∂r * − CY − IY − Ir + CW ∂G ∂G ∂G ∂G ∂Y ∂r ⎛ M ⎞ ∂P + Lr +⎜ 2 ⎟ =0 LY ∂G ∂ G ⎝ P ⎠ ∂G *
*
∂Y * ∂r * ∂P * − g′ +0 + =0 ∂G ∂G ∂G
*
* W P ∂ ⎛ ⎞ ⎜ P 2 ⎟ ∂G = 1 ⎝ ⎠
138
∂Y * ∂r * − Ir + CW ( 1 − CY − IY ) ∂G ∂G
* ∂ W P ⎛ ⎞ ⎜ P 2 ⎟ ∂G = 1 ⎝ ⎠
∂Y ∂r ⎛ M ⎞ ∂P + Lr +⎜ 2 ⎟ =0 LY ∂G ∂G ⎝ P ⎠ ∂G *
*
*
∂Y * ∂r * ∂P * − g′ +0 + =0 ∂G ∂G ∂G
139
⎡ ⎢1 − CY − IY ⎢ ⎢ ⎢ LY ⎢ ⎢ ⎢ − g′ ⎢ ⎣
− Ir Lr 0
J
⎛ W ⎞ ⎤ ⎡ ∂Y * ⎤ CW ⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ P ⎝ ⎠ ⎥ ⎢ ∂G ⎥ ⎡1⎤ ⎥⎢ *⎥ ⎢ ⎥ M ⎥ ⎢ ∂r ⎥ = ⎢ 0 ⎥ 2 ⎥ ⎢ ∂G ⎥ ⎢ ⎥ P ⎥⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎥ ⎢ ∂P * ⎥ ⎣ ⎦ 1 ⎥⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ∂G ⎦
140
1
− Ir
CW (W P
0
Lr
M P2
0
1
0 J1 ∂Y = = J ∂G 1 − CY − IY *
− Ir
CW (W P
LY
Lr
M P
− g′
0
1
2
2
)
2
)
141
1 J1 =
− Ir
CW (W P
0
Lr
M P
0
0
1
J 1 = Lr < 0
2
2
)
142
1 − CY − IY J =
− Ir
CW (W P 2
LY
Lr
M P
− g′
0
1
⎛ M J = g ′ ⎜ I r 2 + Lr CW ⎝ P
)
2
⎛ W ⎞⎞ ⎜ P 2 ⎟ ⎟ + ( Lr ( 1 − CY − IY ) + LY I r ) < 0 ⎝ ⎠⎠
143
∂Y * = ∂G
Lr ⎛ M g ′ ⎜ I r 2 + Lr CW ⎝ P
⎛ W ⎞⎞ ⎜ P 2 ⎟ ⎟ + ( Lr ( 1 − CY − IY ) + LY I r ) ⎝ ⎠⎠
>0
⎛ W ⎞⎞ ⎛ − ⎜ LY + g ′ ⎜ 2 ⎟ ⎟ * ∂r ⎝ P ⎠⎠ ⎝ = >0 ∂G ⎛ M W ⎞⎞ ⎛ g ′ ⎜ I r 2 + Lr CW ⎜ 2 ⎟ ⎟ + ( Lr ( 1 − CY − IY ) + LY I r ) ⎝ P ⎠⎠ ⎝ P
Şekil 3.18. AD-AS Modelinde Kamu Harcamalarının Etkisi
P AS
P
**
P
*
E**
• E*
•
AD1
Y
*
Y
**
AD2
Y
144
145
Tekelci Piyasada Satış Vergisinin Etkileri
P (Q)
dP , P′ (Q ) ≡ <0 dQ
C (Q)
dC >0 , , C′ (Q ) ≡ dQ
π ( Q ) = P ( Q ) Q − C ( Q ) − tQ
d 2C > =0 C ′′ ( Q ) ≡ 2 < dQ
146 Birinci ve ikinci sıra koşulları oluşturalım:
π′ ( Q ) = QP ′ ( Q ) + P ( Q ) − C ′ ( Q ) − t = 0 π′′ ( Q ) = P ′ ( Q ) + QP ′′ ( Q ) + P ′ ( Q ) − C ′′ ( Q ) < 0
Tekelci
firmanın
Q*
denge
üretimi
gerçekleştirdiğini
varsayarak, birinci sıra koşulu yeniden yazalım ve birinci sıra koşulu, satış vergisindeki bir değişmeyi dikkate alacak şekilde yeniden inceleyelim.
147
Q* ( t ) P ′ ( Q* ( t ) ) + P ( Q* ( t ) ) − C ′ ( Q* ( t ) ) − t = 0 *
*
*
*
dQ dQ dQ dQ P′ (Q ) + QP ′′ ( Q ) + P′ (Q ) − C ′′ ( Q ) −1= 0 dt dt dt dt dQ * 1 = <0 dt P ′ ( Q ) + QP ′′ ( Q ) + P ′ ( Q ) − C ′′ ( Q ) dP ( Q ( t ) ) dP dQ* > = = P′ (Q ) <0 dt dt dt *
*
Şekil 3.19. Tekelci Piyasada Satış Vergisinin Etkileri
P
MC + t
MC
P ** P* E ** •
E*
•
MR
Q** Q*
D Q
148
149 Yukarıdaki şekil, vergi öncesi ve sonrasında tekelci firma dengesini göstermektedir. Aşağıdaki şekilde, marjinal maliyet eğrisinin eğimindeki bir artışın karşısında, tekelci piyasadaki miktar ve fiyat etkilerinin ne olacağını göstermektedir. Buna göre, marjinal maliyet eğrisinin eğimi artarsa, vergi artışı üretimin daha az düşmesine, fiyatın daha az artmasına neden olur:
∂C − ∂Q 2 ∂θ 3
∂Q =− >0 2 ∂t ∂θ ( P ′ ( Q ) + QP ′′ ( Q ) + P ′ ( Q ) − C ′′ ( Q ) ) 2
*
Şekil 3.19. Tekelci Piyasada MC ’nin Eğimine Göre Satış Vergisinin Etkileri
MC2 + t MC1 + t
P
MC2 MC1
P ** P*
•• E *** • MR Q ** Q *
D Q
150