matematiksel iktisat ders notları (kısıtlamalı optimizasyon) by Ertaç GÜÇLÜ

KISITLAMALI OPTİMİZASYON

Kısıtsız optimizasyon konusunda, seçim değişkenlerinden hiç birinin, diğer seçim değişkenleri üzerinde bir sınırlayıcı etki oluşturmadan optimali belirlediğini gördük. Ancak, örneğin firmalar bir üretim kotası (kısıtı), toplam harcama kısıtı gibi kısıtlar altında ya da bir tüketici bütçe (gelir) kısıtı altında optimal seçimi gerçekleştirmek durumunda kalabilirler. Böyle bir durumda seçim değişkenleri arasında, birbirlerini kısıtlayıcı bir bağ oluşur. Bütçe (gelir) kısıtı altında, faydasını maksimize etmeye çalışan bir tüketiciyi şöyle düşünebiliriz.

U = x1 x2 + 2 x1

Fayda Fonksiyonu (Amaç Fonksiyonu)

4 x1 + 2 x2 = 60

Bütçe Kısıtı (Kısıt Fonksiyonu)

Şekil 3.1, hem serbest (kısıtsız) durumda oluşan maksimum ile

kısıtlama

konulması

durumunda

oluşan

maksimumu

göstermektedir. Kısıtlamalı maksimum, hiçbir zaman serbest maksimumdan büyük değer alamaz. Yukarıda verdiğimiz bütçe kısıtı altında faydayı maksimize edecek olan tüketim düzeylerinin belirlenmesini basit bir yolla çözelim.

Şekil 3.1. Serbest ve Kısıtlı Uçdeğer

•

Serbest z Maksimu m Kısıtlamalı

•

Maksimum

U = x1 x2 + 2 x1 4 x1 + 2 x2 = 60

→

x2 = 30 − 2 x1

U = x1 ( 30 − 2 x1 ) + 2 x1 = 32 x1 − 2 x

2 1

∂U = 32 − 4 x1 = 0 ∂x1

→

x = 8 , x = 14 * 1

* 2

Kısıt fonksiyonu daha karmaşık bir hal alırsa ya da kısıt sayısı artarsa, yukarıdaki yöntemin kullanımı giderek zorlaşır. Bu nedenle, analitik açıdan daha üstün olan Lagrange Çarpanı yöntemine bakacağız. Lagrange çarpanının özü, kısıtlamalı bir uçdeğer problemini, serbest

uçdeğer

probleminin

birinci

sıra

koşulunun

uygulanabileceği bir biçime dönüştürmektir. Yukarıdaki fayda maksimizasyonu

problemine

Lagrange

çarpanı

yaklaşalım. Lagrange fonksiyonu şöyle oluşacaktır:

yöntemiyle

Z = x1 x2 + 2 x1 + λ ( 60 − 4 x1 − 2 x2 ) λ

, değeri önceden bilinmeyen bir parametredir ve Lagrange

çarpanı olarak ifade edilmektedir. ile

‘nun kısıtlamalı maksimizasyonu yerine,

Kısıtı tamamen yerine getirirsek, λ ortadan kalkar ve eşitlenir. Böylece

‘nin serbest maksimizasyonunu çözer duruma geliriz. Buna göre, parantez içindeki ifadenin yok olmasını nasıl sağlarız? Bunun yolu, Lagrange fonksiyonunda dikkate almaktır.

λ‘yı

ek bir değişken gibi

Yani, Z=Z(λ, x1, x2). Bu durumda birinci sıra koşullar şöyle yazılır:

∂Z Z1 ≡ = x2 + 2 − 4λ = 0 ∂x1 ∂Z Z2 ≡ = x1 − 2λ = 0 ∂x 2 ∂Z Zλ ≡ = 60 − 4 x1 + 2 x2 = 0 ∂λ

x = 8 , x = 14 * 1

* 2

λ = 4 , Z = 128 *

Lagrange

fonksiyonunu,

aşağıdaki

gibi

bir

amaç

fonksiyonu için genel olarak yazalım.

z = f ( x, y )

Amaç Fonksiyonu

g( x , y ) = c

Kısıt Fonksiyonu

Lagrange Fonksiyonu:

Z = f ( x , y ) + λ [ c − g ( x , y )]

kısıt

’nin durgunluk değerlerini belirlemek için birinci sıra koşulları

şöyle oluştururuz.

Birinci Sıra Koşullar:

Z x = f x − λg x = 0 Z y = f y − λg y = 0 Z λ = c − g( x , y ) = 0

Örnek 1:

z=xy

fonksiyonunun,

x+y=6

kısıtı altında uçdeğer-

lerini bulalım. Lagrange Fonksiyonu:

Z = xy + λ [ 6 − x − y ] Birinci Sıra Koşullar:

Zx = y − λ = 0 Zy = x − λ = 0 Zλ = 6 − x − y = 0

x* = 3 , y* = 3 , λ = 3 Z =z =9 *

Lagrange çarpanı (λ), kısıttaki değişme karşısında

Z’nin

(ve

z’nin) duyarlılığını ölçmektedir. Bunu görebilmek için, Lagrange fonksiyonundan elde ettiğimiz birinci sıra koşulları kullanarak bir karşılaştırmalı durağanlık analizi yaparız. Öncelikle birinci koşuldaki her bir fonksiyonu, birer örtük fonksiyon olarak tanımlayalım ve Jacobian determinantı elde edelim.

F 1 = c − g( x , y ) = 0 F = f x − λg x = 0 2

F 3 = f y − λg y = 0

∂F ∂λ

∂F ∂x

∂F ∂y

∂F J = ∂λ

∂F ∂x

∂F = ∂y

∂F ∂λ

∂F ∂x

∂F ∂y

− gx

− gy

− gx

f xx − λ g xx

f xy − λ g xy

− gy

f yx − λg yx

f yy − λ g yy

Jacobian determinantın sıfırdan farklı olduğunu kabul edelim ve kısıttaki (c) bir değişmenin,

x, y

optimal değerlerini nasıl

etkilediğini inceleyelim.

λ = λ (c ) *

x = x (c ) *

y = y (c ) *

Birinci sıra koşulları, optimal

x, y

değerleri için yeniden

yazalım.

c − g( x , y ) ≡ 0 *

f x ( x , y ) − λg x ( x , y ) ≡ 0 *

f y ( x , y ) − λg y ( x , y ) ≡ 0 *

Benzer şekilde Lagrange fonksiyonunu da optimal

x, y

değerleri için yeniden yazalım (Z’nin bu durumda dolaylı olarak

c’nin de fonksiyonu olduğuna dikkat edelim).

15 * * ⎡ Z = f ( x (c ), y (c ) ) + λ (c ) ⎣ c − g ( x (c ), y (c ) ) ⎤⎦ *

Z ’nin c ’ye göre toplam türevini alalım. * * * ⎛ ⎞ λ dZ * dx* dy* ⎡ d dx dy * * * = fx + fy + ⎣ c − g ( x (c ), y (c ) ) ⎤⎦ + λ ⎜ 1 − gx − gy ⎟ dc dc dc dc dc dc ⎝ ⎠

* * * dZ * dx dy d λ = ( f x − λ* gx ) + f y − λ* g y + ⎡⎣ c − g ( x* (c ), y* (c ) ) ⎤⎦ + λ* dc dc dc dc

(

)

0 *

dZ * =λ dc

z = f ( x1 , x2 , ....., xn )

Amaç Fonksiyonu

g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c

Kısıt Fonksiyonu

Lagrange Fonksiyonu:

Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + λ ⎡⎣c − g( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦ Birinci Sıra Koşullar:

Z λ = c − g ( x1 , x2 , ....., xn ) = 0 Z1 = f1 − λ g1 = 0 Z 2 = f 2 − λ g2 = 0 #

Z n = f n − λ gn = 0

z = f ( x1 , x2 , ....., xn )

Amaç Fonksiyonu

g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c

Kısıt Fonksiyonları

h( x1 , x2 , ....., xn ) = d Lagrange Fonksiyonu:

Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + λ ⎡⎣c − g( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦ +µ ⎡⎣d − h( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦ Birinci Sıra Koşullar:

Z λ = c − g( x , y ) = 0 Zµ = d − h( x , y ) = 0 Z i = f i − λ gi = 0 ,

( i = 1, 2, ..., n)

Yukarıda,

kısıtlamalı

optimizasyonda

birinci

sıra

koşulları

kısıtsız optimizasyondakine benzer biçimde elde ettik. Şimdi ikinci sıra koşulu da elde etmek için,

d2z

ifadesinin işaret

belirliliğini elde etmemiz gereklidir. Bunun için

’nin toplam

diferansiyelinden hareket edelim.

∂ (dz ) ∂ (dz ) d (dz ) = d z = dx + dy ∂x ∂y 2

d z= 2

∂ ( f x dx + f y dy ) ∂x

dx +

∂ ( f x dx + f y dy ) ∂y

⎡ ⎛ ⎡ ∂ (dy ) ⎞ ⎤ ∂ (dy ) ⎞ ⎤ ⎛ dx + ⎢ f yx dx ⎜ f yy dy + f y d z = ⎢ f xx dx ⎜ f xy dy + f y ⎟ ⎥ dy ⎟ ⎥ ∂x ⎠ ⎦ ∂y ⎠ ⎦ ⎝ ⎣ ⎝ ⎣ 2

∂ (dy ) dx d z = f xx dx + f xy dydx + f y ∂x 2

∂ (dy ) dy + f yx dxdy + f yy dy + f y ∂y 2

Kısıtlı optimizasyonda seçim değişkenleri bağlı

olduğundan

bulundurarak, hareketle

üçüncü

dy=f(x,y) fonksiyonun ve

altıncı

(x,y)

durumunu toplam terimleri

birbirlerine

göz

önünde

diferansiyelinden yeniden

yazabiliriz:

⎡ ∂ (dy ) ∂ (dy ) ⎤ 2 fy ⎢ dx + dy ⎥ = f y d (dy ) = f y d y ∂y ⎣ ∂x ⎦

şöyle

Bunu

dikkate

alarak,

d2z

ifadesini

yeniden

yazalım:

düzenleyerek

d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2 + f y d 2 y

Daha önce kısıtsız optimizasyonda

d2z şöyleydi:

d 2 z = f xx dx 2 + 2 f xy dxdy + f yy dy 2

Dikkat edilebileceği gibi, kısıtlı ve kısıtsız optimizasyonda d2z ifadeleri arasındaki fark, yalnızca

fyd2y

teriminden kaynak-

lanmaktadır. Bu terim birinci dereceden olduğundan, kısıtlı optimizasyondaki d2z ifadesi karesel biçim olamaz. Ancak

g(x,y)=c

kısıtına dayanarak,

d2z

karesel biçime dönüştürü-

lebilir.

dg = 0

⇒

d (dg ) = d g = 0 2

Yukarıda

d2z

ifadesini elde etme yöntemini kullanarak,

d2g

ifadesinde elde edebiliriz.

d g = g xx dx + 2 g xy dxdy + g yy dy + g y d y = 0 2

Yukarıdaki son denklemi

d2y

için çözüp,

d2z

‘deki yerine

koyarsak, karesel biçimi elde ederiz:

⎛ ⎞ 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 fy fy fy d z = ⎜ f xx − g xx ⎟ dx + 2 ⎜ f xy − g xy ⎟ dxdy + ⎜ f yy − g yy ⎟ dy ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g g g y y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

Ayrıca birinci sıra koşullardan şunu da yazabiliriz:

(

)

λ=

(

fy gy

)

d 2 z = ( f xx − λg xx ) dx 2 + 2 f xy − λg xy dxdy + f yy − λg yy dy 2

Birinci sıra koşullardaki denklemlerin yeniden kısmi türevleri alınırsa;

Z x = f x − λg x = 0

Z xx = f xx − λ g xx

Z y = f y − λg y = 0

Z yy = f yy − λ g yy

Z λ = c − g( x , y ) = 0

Z xy = Z yx = f xy − λ g xy

Buna göre

d2z

ifadesini yeniden yazalım:

d z = Z xx dx + 2 Z xy dxdy + Z yy dy 2

ya da

d 2 z = Z xx dx 2 + Z xy dxdy + Z yx dxdy + Z yy dy 2 Yukarıda

ulaştığımız

d2z

ifadesini

kullanarak,

iki

seçim

değişkenli ve tek kısıt denklemli bir optimizasyon probleminde uçdeğerleri

bulmak

için

gereken

yeterli

olan

işaret

belirlemesini yapabiliriz ve uçdeğere ilişkin genel koşulları söyleyebiliriz.

İkinci Sıra Gerekli Koşullar: Maksimum z için:

dg=0 kısıtı altında d2z negatif yarı belirli

Minimum z için: dg=0 kısıtı altında

d2z pozitif yarı belirli

İkinci Sıra Yeterli Koşullar: Maksimum z için:

dg=0 kısıtı altında d2z negatif belirli

Minimum z için: dg=0 kısıtı altında

d2z pozitif belirli

İkinci sıra koşulu determinant biçiminde ifade edebilmek için çitlenmiş

Hessian

’dan

yararlanacağız.

Şimdi

kavramı geliştirelim. Bunun için yine

hareket

olarak

edelim.

Ancak

burada

aşağıda

karesel biçiminden bir

kısıt

denklemimiz yer almaktadır.

⎛α⎞ q = au + 2huv + bv , αu + β v = 0 → v = − ⎜ ⎟ u ⎝β⎠ 2 α 2 α 2 2 q = au − 2h u + b 2 u β β 2

2 u 2 2 q = ( αβ − 2hαβ + ba ) 2 β

ancak ve ancak parantezdeki ifade pozitif ise pozitif, negatif

ise

negatif

belirli

olacaktır.

Ayrıca

parantezdeki

ifadenin

simetrik determinantının da negatif olduğunu dikkate alarak şu sonucu yazabiliriz:

αu + β v = 0

kısıtı altında,

0 α β α β

a h = 2hαβ − aβ − bα h b 2

⇒

q>0

⇒

q<0

Şimdi bu genellemeyi,

d2z

karesel biçiminden

biçimine

aktaralım.

g x dx + g y dy = 0

kısıtı altında,

H = gx

Z xx

Z xy

Z yx

Z yy

Burada H

(α = g

, β = gy

)

< 0 ⇒ d 2z > 0

z minimumdur.

> 0 ⇒ d 2z < 0

z maksimumdur.

, çitlenmiş (kısıtlı) Hessian anlamına gelmektedir.

Kısıtlı uçdeğer probleminin Hessian determinantı ile, Jacobian determinantın da eşit olduğuna dikkat edelim.

H = gx

Z xx

Z xy = J

Z yx

Z yy

Örnek 2:

z=xy

fonksiyonunun,

x+y=6

kısıtı altında uçdeğer-

lerini Örnek 1’de incelemiştik. Şimdi bu problemi ikinci sıra koşullar açısından inceleyelim. Daha önce şunları bulmuştuk:

Zx = y − λ = 0 x =3 , y =3 *

Zy = x − λ = 0

λ=3 , Z =z =9 *

Zλ = 6 − x − y = 0 Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian determinantı oluşturalım.

Buna göre, ikinci derece kısmi türevleri bularak, Hessian determinantı oluşturalım.

Z xx = 0 Z yy = 0 Z xy = Z xy = 1 gx = g y = 1 0 1 1 H = 1 0 1 = 2>0 1 1 0

z* = 9

bir maksimumdur.

z = f ( x1 , x2 , ....., xn )

Ama癟 Fonksiyonu

g ( x1 , x2 , ....., xn ) = c

K覺s覺t Fonksiyonu

0 g1 H = g2 # gn

g1 Z11 Z 21 # Z n1

g2 Z12 Z 22 # Zn2

" " " # "

gn Z1 n Z2n # Z nn

Hessian determinantın ana minörleri:

0 H 2 = g1

g1 Z11

g2 Z12

Z 21

Z 22

Sonuncu ana minör:

Hn = H

H3 =

0 g1

g1 Z11

g2 Z12

g3 Z13

Z 21

Z 22

Z 23

Z 31

Z 32

Z 33

z ’nin minimum olması için:

H 2 , H 3 , ........., H n < 0

⇒

d z>0 2

z ’nin maksimum olması için:

H 2 > 0, H 3 < 0, H 4 > 0,.........,(−1) H n > 0 ⇒ d z < 0 n

Z = f ( x1 , x2 , ....., xn ) + ∑ ⎡⎣ c j − g j ( x1 , x2 , ....., xn )⎤⎦ j =1

H =

0 # 0

1 1 1 2

g g #

2 1 2 2

g g #

gn1

gn2

" " " "

g11

g21

0 # 0

2 1

2 2

gn1 2 n

g # m g1

g # m g2

" " "

g # m gn

" " "

m 1 m 2

g g #

Z11 Z 21 #

Z12 Z 22 #

" " "

Z1 n Z2n #

gnm

Z n1

Zn2

Z nn

seçim değişkeni ve bir kısıtı yer alan bir problemin genel

uçdeğer koşulları şöyledir:

Koşul Birinci Sıra Koşul İkinci Sıra Koşul

Maksimum

Minimum

Zλ = Z1 = Z 2 = ... = Z n = 0 Zλ = Z1 = Z 2 = ... = Z n = 0

H 2 > 0, H 3 < 0, H 4 > 0,.....,( −1) H n > 0 n

H 2 , H 3 ,....., H n < 0

n seçim değişkeni ve m kısıtı yer alan bir problemde;

Maksimum için yeterli koşul: ul

H m +1

çitlenmiş ana minörün işareti

( −1)

m+ 1

olmak üzere, çit-

lenmiş ana minörler işaret değiştirmelidir.

Minimum için yeterli koşul: ul Tüm ana minörler aynı işareti, yani

( −1)m

işaretini almalıdır.

Örnek 3:

Z = f ( x , y, w ) = x + y + 2w 2

100 = x + 2 y + 3 w 80 = 2 x + y + w Lagrange Fonksiyonu:

 = ( x + y + 2w 2

) + λ (100 − x − 2 y − 3w )

+ µ ( 80 − 2 x − y − w )

Birinci sıra koşular:

 x = 2 x − λ − 2µ = 0  y = 2 y − 2λ − µ = 0  w = 4 w − 3λ − µ = 0  λ = 100 − x − 2 y − 3 w = 0  µ = 80 − 2 x − y − w = 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

0 0

2 0

0 4

1 2

2 1

3 1

−1 −2 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡ 0 ⎤ −2 −1⎥⎥ ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎢⎢ 0 ⎥⎥ −3 −1 ⎥ ⎢ w ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ λ ⎥ ⎢100 ⎥ 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ µ ⎥⎦ ⎢⎣ 80 ⎥⎦

265 215 135 210 * * * * x = , y = ,w = , λ = 10 , µ = 11 11 11 11 *

İkinci sıra koşular:

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ H =⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣

H3 = 9 > 0

f xx

f xy

f yx

f yy

f wx

f wy

gw ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢ hw ⎥ 0 ⎢ ⎥ f xw = ⎢ 1 ⎥ ⎢ f yw ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ f ww ⎥⎦ ⎣ 3

0 2

2 2

1 0

3⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 4 ⎥⎦

H 4 = H = 88 > 0 Kısıt sayısı:

m=2

( −1) = ( −1) = 1 > 0 m

Bu nedenle bir minimizasyon vardır.

Aşağıdaki gibi bir fayda fonksiyonuna ve bütçe kısıtına sahip bir bireyin fayda maksimizasyonunu inceleyelim.

U = U ( x, y )

, (U x , U y > 0) , xPx + yPy = M

Z = U ( x , y ) + λ ⎡⎣ M − xPx − yPy ⎤⎦ Birinci Sıra Koşullar:

Z λ = M − xPx − yPy = 0 Z x = U x − λ Px = 0 Z y = U y − λ Py = 0

Ux Uy λ= = Px Py

U x Px = U y Py

ya da

∂U λ = ∂M *

U x Px = U y Py

Tüketici Denge Koşulu

İkinci Sıra Koşullar:

H = Px

U xx

U xy = 2 Px PyU xy − P U xx − P U yy > 0

U yx

U yy

2 y

2 x

ise,

’nun

olacaktır.

’daki durgunluk değeri (U*) maksimum

Şekil 3.2. Bütçe Doğrusu

y M z Py

Bütçe Doğrusu

Px dy =− dx Py z

M Px

Şekil 3.3. Tüketici Dengesi

U x Px = U y Py E •

Kayıtsızlık Eğrileri

U2 U1

U* Tüketicinin Bütçe Doğrusu (Kısıtı)

İkinci derece kısmi türevler (Uxx ,

Uyy , Uxy),

fayda fonksiyonu

ve dolayısıyla kayıtsızlık eğrisi üzerinde çeşitli sınırla-malar getirmektedir.

dy/dx=−Ux/Uy

kayıtsızlık eğrisinin negatif eğimli,

kesin dışbükey olmasını sağlar. Bunu görelim.

d2y/dx2>0

Ux dy =− dx Uy

⎛ dy ⎞ d⎜ ⎟ 2 d y dx ⎠ ⎝ = 2 dx dx

Ux = ⎛ Ux d⎜− ⎜ U y ⎝ = dx

dU x dy = U xx + U yx , dx dx px dy =− dx py

U y px Py

⎞ ⎟⎟ ⎠ = − 1 ⎛ U dU x − U dU y ⎞ ⎟ y x 2 ⎜ Uy ⎝ dx dx ⎠ dU y

dy = U xy + U yy dx dx

d y = 2 dx

2 Px PxU xy − Py2U xx − Px2U yy 2 y

P Uy

H 2 y

P Uy

Fayda maksimizasyonu ikinci sıra koşulu sağlanırsa ( H > 0 ),

d2y/dx2>0

olur,

yani

kayıtsızlık

eğrisi

orijine

göre

kesin

dışbükey (konveks) biçimdedir diyebiliriz. Bu nedenle, Şekil 3.3’de kesikli yeşil çizgiyle gösterilen kayıtsızlık eğrisi, bu seçim noktalarında fayda maksimizasyonu sağlanamadığından, fayda teorisinden dışlanan bir kısımdır.

Eğer kayıtsızlık eğrisi, bütçe doğrusuna tek noktada değil de, iki ve daha çok noktada teğet olacak şekilde bir doğru kısma sahipse, koşul

d2y/dx2=0

ortadan

olacağından,

kalkmakla

H = 0 ‘dır. Ancak ikinci sıra

birlikte,

fayda

maksimizasyonu

sağlanabilmektedir. Buna göre, fayda fonksiyonu bu bölümde içbükeyimsidir deriz.

Cobb-Douglas Fayda ve Talep Fonksiyonları: 1. Genel Talep Fonksiyonunun Türetilmesi

U =x y ,

x, y ≥ 0

max

M − xPx − yPy ≥ 0 α

(

Z = x y + λ M − xPx − yPy

)

αM x = ( α + β ) Px

⎫ ⎪ ⎪⎪ α β− 1 Z y = β x y − λ Py = 0 ⎬ ⎪ ⎪ Z λ = M − xPx − yPy = 0 ⎪⎭ Z x = αx α− 1 y β − λ Px = 0

Genel Talep Fonksiyonları

∗

βM y = ( α + β ) Py ∗

∗

λ =

( ) (y )

α x

∗

α− 1

∗

2. Gelir-Tüketim Eğrisi Birinci sıra koşulların ilk denkleminde

λ ’ları çekerek, denklem-

leri eşitleyelim.

∗

λ =

( ) (y )

α x

∗

α− 1

β Px ∗ y = x αPy ∗

∗

( ) (y )

β x

∗

β −1

Gelir-Tüketim Eğrisi

Şekil 3.4. Slutsky Teoremi: Normal Mal x1-x2 : İkame Etkisi (İE)

x2-x3 : Gelir Etkisi (GE)

x1-x3 : Toplam Etki (TE)

•

e •2

•

İE GE

x2 TE

x3 B

B′

B′′

Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu

Slutsky Teoremini Şekil 3.4’ü kullanarak açıklayalım. X malının fiyatı (Px) düştüğünde, bütçe doğrusu toplam olarak

doğrudan

miktar

den

AB′

ye kayar.

malından satın alınan

x1’den x2’ye yükselir. Bunun iki nedeni vardır:

İkame Etkisi

Gelir Etkisi

İkame etkisine göre tüketici, göreli anlamda daha ucuz olan

malı tüketimini artırmıştır. Bunu ifade edebilmenin yolu şudur: Birey aynı fayda düzeyindeyken, yeni fiyatları gösteren bütçe doğrusunu

U1’e teğet olacak şekilde çizeriz. Teğet noktasında,

geçici denge noktası oluşur (e2).

e2 denge noktasına karşılık gelen x tüketim düzeyi x2 kadardır. x’i y

malına ikame etmemizden dolayı,

etkisi oluşur.

x1-x2

kadar bir ikame

Diğer yandan,

Px’in

düşmesi nedeniyle bireyin reel gelirinde

bir artış olur. Yani birey her iki maldan da daha fazla tüketebilme olanağına kavuşur. Bu nedenle bireyin fayda düzeyi, daha yukarıda yer alan

U2’ye

çıkar. Bu durumda bütçe

doğrusunun eğimi, yeni göreli mal fiyatlarını ve yeni dengeyi yansıtacak şekilde

tüketim düzeyi, etkisidir. etkisi

U2’ye

teğet biçimde sağa kayar.

x2’den x3’e

malı

artmış olmaktadır. Bu kısım gelir

Bu örneğimizde nedenle,

x malının normal mal olduğu varsayılmıştır. Bu

Px’deki azalma, x’in satın alınan miktarını artırmıştır.

Yani talep yasası gerçekleşmiştir. Talep yasası, gelir etkisinin ters yönde işlediği durumlarda geçerliliğini yitirir. Bu türden mallar, Giffen malı olarak tanımlanmaktadır. Giffen malları aşırı bayağıdır ve pozitif eğimli talep eğrisine sahiptir. Aşağıdaki şekillerde bayağı ve Giffen malı durumları için ikame ve gelir etkileri gösterilmiştir.

Şekil 3.5. Slutsky Teoremi: Bayağı Mal x1-x2 : İkame Etkisi (İE)

x2-x3 : Gelir Etkisi (GE)

x1-x3 : Toplam Etki (TE)

e1•

•

Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu

GE İE

x1 x3 x2 TE

B′

B′′

Şekil 3.6. Slutsky Teoremi: Giffen Malı

y A

x1-x2 : İkame Etkisi (İE) x2-x3 : Gelir Etkisi (GE) x1-x3 : Toplam Etki (TE)

• y1

•

GE İE

x3 x1 x2 TE ( − )

Tazmin Edilmiş Bütçe Doğrusu

U1 B

B′

B′′

Fayda maksimizasyonunu incelerken bireyin gelirini (M), mal fiyatlarını (Px,Py ) veri (dışsal) olarak aldık. Birinci ve ikinci sıra koşullar sağlandığında, denge değerlerini (x*, değişkenlerin durumda

bir

H = J)

fonksiyonu

olarak

y* , l*

yazabiliriz

), dışsal

(çünkü

ve gelirdeki ya da fiyatlardaki değişmelerin,

bireyin optimal dengesi üzerine etkilerini inceleyebiliriz. Buna karşılaştırmalı durağanlık analizi diyoruz. Bunu dikkate alarak, denge değerlerini tanımlayalım:

λ = λ ( Px , Py , M ) *

x = x ( Px , Py , M ) *

y = y ( Px , Py , M ) *

Şimdi de birinci sıra koşulları, denge değerlerini dikkate alarak yazalım.

M − x Px − x Py ≡ 0 *

U x ( x , y ) − λ Px ≡ 0 *

U y ( x , y ) − λ Py ≡ 0 *

Her bir özdeşliğin toplam diferansiyelini bulalım.

− Px dx − Py dy = x dPx + y dPy − dM *

− Px d λ * + U xx dx * + U xy dy * = λ *dPx − Py d λ * + U yx dx * + U yy dy * = λ * dPy Tüketicinin dengesine

gelirindeki nasıl

etki

dPx=dPy=0 , dM≠0

bir

değişmenin,

edebileceğini

optimal

inceleyelim.

tüketici

Dolayısıyla

varsayımlarını yapalım. Yukarıdaki birinci

sıra koşulların toplam diferansiyelleri soldaki biçime dönüşür. Eşitliklerin her iki yanını

dM terimiyle bölelim

(sağdaki biçim).

0d λ − Px dx − Py dy = − dM *

− Px d λ + U xx dx + U xy dy = 0 *

− Py d λ + U yx dx + U yy dy = 0 *

∂λ ∂x ∂y 0 − Px − Py = −1 ∂M ∂M ∂M * * * ∂λ ∂x ∂y − Px + U xx + U xy =0 ∂M ∂M ∂M ∂λ * ∂x * ∂y * − Py + U yx + U yy =0 ∂M ∂M ∂M *

Yukarıdaki (sağdaki) son ifadeyi matris biçimiyle yazalım.

⎡ 0 ⎢ ⎢ − Px ⎢ − P ⎣ y

− Px U xx U yx

− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dM ⎤ ⎡ −1⎤ ⎥⎢ * ⎥ ⎢ ⎥ U xy ⎥ ⎢ ∂x dM ⎥ = ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ∂y* dM ⎥ ⎢ 0 ⎥ U yy ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

H = J Şimdi

Cramer

çözüm

yöntemini

durağanlıkları ifade edelim.

kullanarak,

karşılaştırmalı

1 ∂x = − Px ∂M J − Py *

0 * ∂y 1 = − Px ∂M J − Py

−1 − Py 0

U xy

U yy

− Px U xx U yx

1 − Px = J − Py

−1 1 − Px 0 = J − Py 0

U xy U yy

U xx U yx

Şimdi de

Px ’deki değişimin etkilerine bakalım.

⎡ 0 ⎢ ⎢ − Px ⎢ P − ⎣ y

− Px U xx U yx

− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dPx ⎤ ⎡ x * ⎤ ⎥⎢ * ⎥ ⎢ *⎥ U xy ⎥ ⎢ ∂x dPx ⎥ = ⎢ λ ⎥ ⎥ ⎢ ∂y* dP ⎥ ⎢ 0 ⎥ U yy ⎦ ⎣ x⎦ ⎣ ⎦

x malı için karşılaştırmalı durağanlık şöyle olacaktır:

1 ∂x * = − Px ∂Px J − Py

− Px

U xy

U yy

− x * − Px = J − Py * ⎛ ∂ x * = (− x ) ⎜ ⎝ ∂M

U xy U yy

⎞ λ* 0 ⎟+ ⎠ J − Py

Gelir Etkisi Gelir etkisi terimindeki

λ* 0 + J − Py

− Py U yy − Py U yy

İkame Etkisi

x*, ağırlık görevi görür. Toplam bütçede

x malının önemi ne kadar büyükse, gelir etkisi de o denli büyük olacaktır.

’de meydana gelen değişimin yol açacağı gelir kaybını şu

diferansiyelle gösterebiliriz:

dM = − xdPx

→

dM x =− dPx *

Bunu, karşılaştırmalı durağanlıktaki yerine yazalım.

0 1 ∂x = − Px ∂Px J − Py *

x * λ 0

− Px * ⎛ ∂x U xy = ⎜ ⎝ ∂M U yy

⎞ ⎛ dM ⎟⎜ ⎠ ⎝ dPx

Gelir Etkisi

⎞ λ* 0 ⎟+ ⎠ J − Py

− Py U yy

İkame Etkisi

Şimdi

Px ’deki artışın yol açtığı gelir kaybının, bireye ek bir gelir

verilerek telafi edildiğini varsayalım. Bu durumda gelir etkisini ortadan kaldırmaktayız, telafi sonrası yalnızca ikame etkisini görmüş olmaktayız. Gelir kaybının telafi edilmesi, birinci sıra koşulların toplam diferansiyelinde yer alan ilk denklemdeki

dM=−xdPx

teriminin sıfır olması anlamına gelir.

terimin sıfır olabilmesi için,

’ın

dPx≠0

iken, bu

‘e göre karşılaştırmalı

durağanlığını oluşturduğumuz matris eşitliklerinin sağındaki vektörün ilk terimi (x*) sıfır olmalıdır.

x =0 *

⎡ 0 ⎢ ⎢ − Px ⎢ ⎣ − Py

− Px U xx U yx

⎛ ∂x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ∂Px ⎠Tazmin Edilmiş *

− Py ⎤ ⎡ ∂λ * dPx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎥⎢ * ⎥ ⎢ *⎥ U xy ⎥ ⎢ ∂x dPx ⎥ = ⎢ λ ⎥ ⎥ ⎢ ∂y* dP ⎥ ⎢ 0 ⎥ U yy ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ x⎦

0 1 = − Px J − Py

0 * λ 0

− Px * λ 0 U xy = J − Py U yy

− Py U yy

Buna, göre

’deki artışın yol açtığı gelir ve ikame etkilerini

birlikte yeniden yazalım.

⎛ ∂x ∂x = −⎜ ∂Px ⎝ ∂M *

⎞ * ⎛ ∂x ⎞ ⎟ ⎟x +⎜ ⎠ ⎝ ∂Px ⎠Tazmin Edilmiş

Gelir Etkisi

İkame Etkisi

Gelir ve ikame etkisini iki bileşene ayıran bu sonuca, Slutsky denklemi diyoruz.

‘deki artışın sonucunda gelir etkisi ve ikame etkisinin

işaretleri konusunda ne söyleyebiliriz? * 0 ⎛ ∂x * ⎞ λ = ⎜ ⎟ J − Py ⎝ ∂Px ⎠Tazmin Edilmiş

(+) ∂x 1 − Px = ∂M J − Py *

(+)

(?)

− Py U yy

(−)

U xy > 0 U yy < 0

(?)

İşaretin belirliliği, malın normal mal mı, yoksa bayağı mal mı olduğuna bağlıdır. Normal mallarda pozitif, bayağı mallarda negatif olur.

Slutsky teoremini anlatırken, Lagrange fonksiyonunu bütçe kısıtı altında faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduk ve problemi çözdük. Bu problemin duali (ikincili) fayda kısıtı altında toplam harcamanın minimize edilmesidir. Bu durumda Lagrange fonksiyonunu şöyle oluştururuz:

⎛ ⎞ ⎜ xPx + yPy ⎟ , min ⎝ ⎠ α

x, y ≥ 0

U−x y ≥0 Z = xPx + yPy + µ ( U − x y α

)

Her iki problemin çözümünden elde edilecek olan optimal

y* değerleri aynıdır. Aşağıdaki örnek ile bunu görelim.

U = U ( x , y ) = xy

max

M = xPx + yPy

x, y ≥ 0

x* ve

(

Z = xy + λ M − xPx − yPy Z x = y − λ Px = 0 Z y = x − λ Py = 0 Z λ = M − xPx − yPy = 0 M x = , 2 Px ∗

M y = 2 Py ∗

)

Dolaylı Fayda Fonksiyonu:

⎛ M ∗ ∗ ∗ U = x y =⎜ ⎝ 2 Px

⎞⎛ M ⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ 2 Py

2 ⎞ M ⎟⎟ = ⎠ 4 Px Py

Şimdi de yukarıdaki problemin dualini yazalım:

⎛ ⎞ ⎜ xPx + yPy ⎟ ⎝ ⎠ min

x, y ≥ 0

U − U ( x , y ) = U − xy

Z = xPx + yPy + µ ( U − xy ) Z x = Px − µy = 0

M ∗ ∗ x = , x = xc 2 Px ∗ c

Z y = Px − µx = 0

M ∗ ∗ y = , y = yc 2 Py ∗ c

Z µ = U − xy = 0

Px Py µ= = y x

→

Px y= x Py

→

⎛ Py ⎞ x =⎜ U⎟ ⎝ Px ⎠

1 2

∗

⎛ ⎞ P ∗ x y =⎜ U⎟ ⎜P ⎟ ⎝ y ⎠

⎛ Px ⎞ Px 2 U = xy = x ⎜ x⎟ = x ⎜P ⎟ P y ⎝ y ⎠ x

malının Tazmin Edilmiş

Genel Talep Fonksiyonu

1 2

malının Tazmin Edilmiş

Genel Talep Fonksiyonu

Harcama Fonksiyonu: ∗

∗

M = x c Px + y c Py 1 2

1 2

⎛ ⎞ P ⎛ ⎞ P y ∗ x M = ⎜ U ⎟ Px + ⎜ U ⎟ Py ⎜P ⎟ P ⎝ x ⎠ ⎝ y ⎠

∗

(

M = 2 Px PyU

)

1 2

Fiyat

değişimleri

karşısında

tazmin

edilmiş

talep

fonksiyonlarına ulaşabilmek için, veri bir fayda düzeyini sabit olarak kabul edip, bireyin buna ulaşmasını sağlayacak optimal miktarları

belirleriz.

fonksiyonlarını

Bulacağımız

kullanarak,

tazmin

bireyin

aynı

edilmiş

talep

(veri)

fayda

düzeyinde kalmasını sağlayacak olan minimum gelir düzeyini belirlemiş oluruz.

Veri fayda düzeyi:

M U= 4 Px Py

Veri faydayı, tazmin edilmiş genel fayda fonksiyonlarındaki yerlerine yazalım ve düzenleyelim.

1 2

2 ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ P P M M⎛ 1 ⎞ y y ∗ xc = ⎜ U ⎟ = ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜P ⎟ ⎜ P 4P P ⎟ P P 2 x x y x x ⎠ ⎝ ⎝ x ⎠ ⎝ ⎠

2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ Px Px M M ⎛ Px ⎞ ∗ yc = ⎜ U ⎟ = ⎜ = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜P ⎟ ⎜ P 4P P ⎟ P P 2 y y x y y x ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 2

Veri fayda düzeyi için elde ettiğimiz talep fonksiyonlarını dual problemin amaç fonksiyonundaki yerlerine yazarak, minimum gelir düzeyini belirlemiş oluruz.

M ∗ = xc∗ Px + yc∗ Py ⎛M⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ M ⎛P ⎞ ⎞ ∗ x ⎜ ⎟ ⎜ M = ⎜ ⎟ Px + ⎜ ⎟ ⎟ Py ⎜ 2 ⎝ Px Px ⎠ ⎟ ⎜ 2 Py ⎝ Px ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 2

⎛ Px ⎞ M = M⎜ ⎟ ⎝ Px ⎠ ∗

1 2

minimum

gelirin

gerçekleştirilebilmesi

∗

optimal ( M ) ve gerçek gelir (

için,

tüketiciye

düzeyleri arasındaki fark

kadar bir sübvansiyon sağlanmalıdır. Bu sübvansiyonu şöyle belirleriz: 1 2

⎛ Px ⎞ S = M −M = M⎜ ⎟ −M ⎝ Px ⎠ ∗

∗

⎛⎛ P ⎞ ⎞ ∗ x ⎜ S = M ⎜ ⎟ − 1⎟ ⎜ ⎝ Px ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ 1 2

Örnek 4: Aşağıdaki fayda fonksiyonunu, veri gelir ve fiyatları dikkate

, y ∗),

toplam

(düzeltilmiş)

talep

alalım. Buna göre optimal tüketim düzeylerini (x faydayı ∗

U(∗

∗

fonksiyonlarını ( x c , yc düzeylerini (

telafi

edilmiş

∗

∗ ∗ ), minimum gelir ve sübvansiyon M ,S

) belirleyelim. 2

M , M = 100 , Px = 4 , Py = 5 U= 4 Px Py

M 100 x = = = 12.5 , 2 Px 2(4) ∗

M 100 y = = = 10 2 Py 2(5) ∗

( 100 ) M U = = = 125 4 Px Py 4(4)(5) ∗

1 2

100 ⎛ 1 ⎞ M⎛ 1 ⎞ − 12 x = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 25 ( Px ) 2 ⎝ Px Px ⎠ 2 ⎝ 4 Px ⎠ ∗ c

1 2

1 100 ⎛ Px ⎞ M ⎛ Px ⎞ 2 5 y = P = = ( ⎜ ⎟ x) ⎜ ⎟ 2 Py ⎝ Px ⎠ 2(5) ⎝ 4 ⎠

∗ c

(

M = x Px + y Py = 25 ( Px ) ∗

∗ c

M = 50 ( Px ) ∗

∗ c

− 12

1 2

S = M − M = 50 ( Px ) − 100 ∗

∗

1 2

) P + ( 5 ( P ) ) (5) 1 2

Şimdi

malı fiyatının

’e yükseldiğini varsayarak, yukarıda

bulduklarımızı yeniden inceleyelim, ikame ve gelir etkilerini belirleyelim.

x = 25 ( Px ) ∗ c

− 12

= 25 ( 5 )

− 12

= 11.18

y = 5 ( Px ) = 5 ( 5 ) = 11.18 1 2

∗ c

1 2

Buna göre ikame etkisi: ∗

∗ c

x − x = 12.5 − 11.18 = 1.32 y ∗ − yc∗ = 10 − 11.18 = −1.18

Şekil 3.7. Slutsky Teoremi

y M2 Py

M1 Py

• •

∗ y2c ∗ y2u y1∗

•

x −x

İkame Etkisi

∗ x1∗ − x2c

∗ ∗ x2u x2c

İkame Etkisi

•

x1∗

U 1∗

U 2∗

• M•

M1 P x2

2 2 x

∗ 2u

Gelir Etkisi

•

∗ 2c

•

M1 P x1

Bireyin,

x malı fiyatının değişmesinden

önceki fayda düzeyini

( U 1∗) sağlayabilmek için öncekinden daha yüksek bir parasal gelire ihtiyacı vardır. Bu gelir:

M = 50 ( Px ) = 50 ( 5 ) = 112 1 2

∗

Aynı

fayda

düzeyini

1 2

elde

edebilmek

için

sağlanacak

sübvansiyon:

S = M − M = 50 ( Px ) − 100 = 112 − 100 = 12 ∗

∗

1 2

Sübvanse edilmemiş tüketim düzeylerini de (

∗ u

x ,y

∗ u

) şöyle

buluruz:

M 100 = = 10 x = 2 Px 2(5) ∗ u

M 100 = = 10 y = 2 Py 2(5) ∗ u

Buna göre gelir etkisi: ∗ c

∗ u

∗ c

∗ u

x − x = 11.18 − 10 = 1.18 y − y = 11.18 − 10 = 1.18

Slutsky Denklemi: Slutsky denklemini türetmek için, harcama minimizasyonu ya da bunun duali olan fayda maksimizasyonu problemi ile işe başlarız. Her iki şekilde oluşturulan problemin birinci sıra koşullarının çözümünden elde edilecek optimal düzeyleri ( x ∗ ∗ c

∗ c

∗

∗ c

= x , y = y ) aynıdır:

( P , P ,U ) = x ( P , P , M ( P , P ,U ) ) ∗

∗

tüketim

Yukarıdaki eşitliğin her iki yanının

∗ c

∂x ∂x ∂ x ∂M = + ∂Px ∂Px ∂M ∂Px ∗

∗ c

dx dPx

∗

ya da

⎛ ∗ dx dx ⎜ = + dPx dM = 0 ⎜⎜ dM dPy = 0 ⎝ ∗

dU = 0 dPy = 0

Px ’e göre türevini alalım:

⎞⎛ ∗ ⎟ ⎜ dM ⎜ dP dPx = 0 ⎟ ⎟⎜ x dPy = 0 ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ dU = 0 ⎟ dPy = 0 ⎠

Son ifadeyi yeniden düzenleyerek Slutsky denklemine ulaşırız:

dx dPx

⎛ ∗ dx dx ⎜ = − dPx dU = 0 ⎜⎜ dM dPy = 0 ⎝ ∗ c

∗ dM = 0 dPy = 0

⎞⎛ ∗ ⎟ ⎜ dM ⎜ dP dPx = 0 ⎟ ⎟⎜ x dPy = 0 ⎠ ⎝

Slutsky denkleminin sağındaki son terim görelim.

⎞ ⎟ ⎟ dU = 0 ⎟ dPy = 0 ⎠

’a eşittir. Bunu

∗

M = Px x + Py y

∗

∂M ∗ =x ∂Px

dx dPx

⎛ ∗ dx ∗ ⎜ dx = −x ⎜ dM dPx dU = 0 ⎜ dPy = 0 ⎝ ∗ c

∗ dM = 0 dPy = 0

⎞ ⎟ dPx = 0 ⎟ ⎟ dPy = 0 ⎠

HOMOJEN VE HOMOTETİK FONKSİYONLAR

Homojen (Türdeş) Fonksiyonlar

Eğer bir fonksiyonun tüm bağımsız değişkenleri

gibi bir sabitle

çarpıldığında fonksiyonun değeri jr oranında artıyorsa, bu tür bir fonksiyona

r. dereceden türdeş (homojen) fonksiyon deriz.

f ( jx1 , jx2 , ....., jxn ) = j f ( x1 , x2 , ....., xn ) r

Örnek 5:

x 2w f ( x, y, w ) = + y 3x

fonksiyonunu, türdeşlik açısından

inceleyelim.

( jx ) 2( jw ) + f ( jx , jy , jw ) = ( jy ) 3( jx ) x 2w = + y 3x = f ( x, y, w ) = j f ( x, y, w ) 0

97 2

Örnek 6:

x 2w + f ( x, y, w ) = y x

fonksiyonunu, türdeşlik açısından

inceleyelim.

j x j 2w ( jx ) 2( jw ) + = + f ( jx , jy , jw ) = jy jx ( jy ) ( jx ) ⎡x 2w ⎤ = j⎢ + ⎥ x ⎦ ⎣ y 2

= jf ( x , y , w ) = j f ( x , y , w ) 1

Örnek 7:

f ( x , y , w ) = 2 x + 3 yw − w 2

fonksiyonunu, türdeşlik

açısından inceleyelim.

f ( jx , jy , jw ) = 2( jx ) + 3( jy )( jw ) − ( jw ) 2

= j

( 2x

+ 3 yw − w

= j f ( x, y, w ) 2

)

Doğrusal türdeş fonksiyonlarda, tüm bağımsız değişkenler gibi bir oranda artırıldığında, fonksiyonun değeri de artar.

Bunun

iktisat

fonksiyonlarıdır.

teorisindeki

Şimdi

doğrusal

iyi

türdeş

oranında

örneği, bir

üretim üretim

fonksiyonunu dikkate alalım:

Q = f ( K , L) Bu doğrusal türdeş üretim fonksiyonuna ilişkin aşağıdaki özellikleri söyleyebiliriz.

100

ÖZELLİK I:

Q=f(K,L)

doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda

ser-maye ve işgücünün ortalama fiziksel ürünleri (APPK

APPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.

Q ⎛ K L⎞ ⎛K ⎞ = f ⎜ , ⎟ = f ⎜ ,1 ⎟ Q = f ( K , L) → L ⎝ L L⎠ ⎝L ⎠ Q APPL = = q = φ( k ) L Q Q L φ( k ) = APPK = = K LK k

101

Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal türdeş), sermaye ve işgücünün ortalama fizik ürünleri sıfırıncı dereceden türdeştir. Yani

K ve L

’deki aynı oranlı değişiklikler,

ortalama fizik ürünleri etkilemeyecektir.

102

ÖZELLİK II :

Q=f(K,L)

doğrusal türdeş üretim fonksiyonunda

ser-maye ve işgücünün marjinal fiziksel ürünleri (MPPK

MPPL) yalnızca K/L ’nin bir fonksiyonudur.

Q = f ( K , L) → Q = Lφ( k ) ⎛K⎞ ∂⎜ ⎟ ∂k L⎠ 1 ⎝ = = L ∂K ∂K ⎛K⎞ ∂⎜ ⎟ ∂k L ⎠ −K ⎝ = = 2 L ∂L ∂L

∂Q ∂ [ Lφ( k )] ∂φ( k ) MPPK ≡ = =L ∂K ∂K ∂K 1 d φ( k ) ∂k =L = Lφ′( k ) = φ′( k ) dk ∂K L ∂Q ∂ [ Lφ( k )] ∂φ( k ) MPPL ≡ = = φ( k ) + L ∂L ∂L ∂L ∂k = φ( k ) + Lφ′( k ) ∂K −K = φ( k ) + Lφ′( k ) 2 = φ( k ) − k φ′( k ) L

103

104

Üretim fonksiyonu birinci dereceden türdeş ise (doğrusal türdeş), sermaye ve işgücünün marjinal fizik ürünleri sıfırıncı dereceden türdeştir. Yani

K ve L

’deki aynı oranlı değişiklikler,

marjinal fizik ürünleri etkilemeyecektir.

ÖZELLİK III :

Q=f(K,L)

doğrusal türdeş üretim fonksiyonuysa,

şunu yazabiliriz:

∂Q ∂Q K +L ≡Q ∂K ∂L

105

Kanıt:

∂Q ∂Q K +L = K φ′( k ) + L [ φ( k ) + k φ′( k )] ∂K ∂L = K φ′( k ) + Lφ( k ) − K φ′( k ) = Lφ( k ) = Q

Euler Teoremi olarak adlandırılan bu sonuca göre, doğrusal türdeş üretim fonksiyonuyla üretim yapılan bir yerde, girdilere marjinal ürünleri ölçüsünde ödeme yapıldığında, ortadan ne dağıtılmayan, ne de fazla ürün kalmayacağını söylemektedir.

106

Cobb-Douglas Üretim Fonksiyonu α

Q = AK L , Burada

α>0 ,

β>0

teknolojik düzey indeksi;

, sermayenin toplam

üründen aldığı pay (ya da üretim-sermaye esnekliği);

β,

işgücünün toplam üründen aldığı paydır (ya da üretim-işgücü esnekliği). Fonksiyonun bazı özellikleri şöyledir: 1. (α+β) derecesinden homojendir. 2.Eşürün eğrileri negatif eğimli ve kesin dışbükeydir. 3.Üretim fonksiyonu kesin içbükeyimsidir.

107

Türdeşliğini inceleyelim: α

A( jK ) ( jL) = j α+β=1

α+β

AK L = j

α+β

durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal

türdeştir. Şimdi de eşürün eğrisi ile ilgili özelliklere bakalım. Bunun için Cobb-Douglas üretim fonksiyonundan hareketle, üretim düzeyini veri (Q0) kabul ederek aşağıdaki işlemleri yapalım. α

AK L = Q0 ln A + α ln K + β ln L − ln Q0 = 0

108

Yukarıdaki son ifade bir örtük fonksiyondur. Yalnızca

’nin değişimine izin vererek, toplam diferansiyeli yazalım.

∂F ∂F ∂F ∂F dK + dL = 0 → dK = − dL ∂K ∂L ∂K ∂L ∂F dK = − ∂L = − ∂F dL ∂K

β L = − βK α αL K

Eşürün eğrisi negatif eğimlidir.

109

⎛ dK ⎞ ⎛ βK ⎞ ⎛K⎞ d⎜ d⎜− d⎜ ⎟ ⎟ ⎟ 2 ⎝ dL ⎠ = d K = ⎝ αL ⎠ = − β ⎝ L ⎠ = 2 dL dL dL α dL d K β 1 ⎛ dK ⎞ L =− −K⎟>0 2 2 ⎜ dL α L ⎝ dL ⎠ 2

Eşürün eğrisi dışbükeydir.

110

α+β=1

durumunda Cobb-Douglas üretim fonksiyonu doğrusal

türdeştir: α

1−α

Q = AK L

Şimdi bu fonksiyonu, doğrusal türdeş fonksiyonun özellikleri açısından inceleyelim. İlk olarak, fonksiyonu yoğunlaştırılmış biçimde yazalım. α

1−α

Q = AK L α

−α

= AK LL

K ⎛K⎞ α Q = A α L = LA ⎜ ⎟ = LAk L ⎝ L⎠

111

Ortalama Fizik Ürünler:

Q = LAk

Q Q L LAk 1 Ak APPK = = = = = Ak α−1 K LK L k k Q LAk α α APPL = = = Ak L L

112

Marjinal Fizik Ürünler:

∂Q α−1 1−α MPPK = = AαK L ∂K = AαK

α−1

− ( α− 1)

⎛K⎞ = Aα ⎜ ⎟ ⎝ L⎠

α− 1

∂Q α −α MPPL = = A(1 − α ) K L ∂L α

⎛K⎞ α = A(1 − α ) ⎜ ⎟ = A(1 − α )k ⎝ L⎠

= Aαk

α− 1

113

EULER Teoremi:

∂Q ∂Q α−1 α K +L = K ( Aαk ) + L ( A(1 − α )k ) ∂K ∂L ⎡ Kα ⎤ = LAk ⎢ + 1 − α⎥ ⎣ Lk ⎦ α

= LAk

[ α + 1 − α ] = LAk

α ve β parametrelerinin anlamları: 1. Sermaye ve işgücünün üretimdeki göreli paylarıdır: Sermayenin göreli payı: α−1

K (∂Q ∂K ) KAαk = α Q LAk

=α

İşgücünün göreli payı: α

L(∂Q ∂L) LA(1 − α)k = = 1− α α Q LAk

114

115

2. Sermaye ve işgücünün üretime göre esneklikleridir:

εQK

εQL

α−1

(∂Q ∂K ) Aαk = = =α α (Q K ) ( LAk ) K

(∂Q ∂L) A(1 − α)k = = = 1− α α (Q L) ( LAk ) L

116

Endüşük Maliyetli Girdi Bileşimi Bir firmanın üretim kotası (üretim kısıtı) koyarak, toplam maliyetlerini minimize etmeyi amaçladığını varsayalım. Bu tür bir problem, kısıtlamalı optimizasyon konusuyla ilgilidir. Önce genel bir üretim fonksiyonu ile çalışalım, daha sonra CobbDouglas üretim fonksiyonunu kullanalım.

Q = Q ( K , L) , QK > 0 , QL > 0 Amaç Fonksiyonu:

TC = rK + wL

Kısıt Fonksiyonu:

Q( K , L) = Q0

117

Lagrange Fonksiyonu:

Z = rK + wL + µ ⎡⎣Q0 − Q( K , L)⎤⎦ Birinci Sıra Koşullar:

Z µ = Q0 − Q( K , L) = 0 Z K = r − µQK = 0 Z L = w − µQL = 0 Üretici Denge Koşulu:

r w = =µ QK QL

118

Denge koşuluna göre, her iki girdinin birim marjinal ürünü başına

yapılan

maliyetlerini

harcamaların

minimize

eşitlendiği

etmektedir.

Lagrange

optimal durumdaki marjinal maliyettir.

Denge koşulunu şöyle de yazabiliriz:

r w = QK QL

→

durumda,

QL w = QK r

çarpanı

firma (µ),

119

Bu durumda denge koşulu, eşürün eğrisinin eğimiyle, bütçe doğrusunun (toplam harcama doğrusunun) eğimi birbirine eşit olmakta

her

iki

eğri

denge

noktasında

olmaktadırlar.

Q( K , L) = Q0

∂Q ∂Q dK + dK = 0 → dQ0 = ∂K ∂K

dK ∂Q ∂ L Q L =− = dL ∂Q ∂K Q K TC w TC = rK + wL → K = − L r r dK w =− dL r

teğet

120

Şekil 3.8a. Üretim Kısıtı Altında Maliyetin Minimizasyonu: Dışbükey Eşürün Eğrisi

d 2 K −1 2 2 ⎡ ⎤ Q Q 2 Q Q Q Q Q = − + KL K L LL K ⎦ > 0 2 3 ⎣ KK L dL QL

A A′ K*

QL w = QK r

Q0 0

B′

121

Şekil 3.8b. Üretim Kısıtı Altında Maliyetin Minimizasyonu: İçbükey Eşürün Eğrisi

d 2 K −1 2 2 ⎡ ⎤ Q Q 2 Q Q Q Q Q = − + KL K L LL K ⎦ < 0 2 3 ⎣ KK L dL QL

K A A′

QL w = QK r

Q0 0

B′

122

İkinci Sıra Koşullar: Minimum maliyetin garanti edilebilmesi için, H < 0

sağlanma-

lıdır:

H =

0 QK

QK −µQKK

QL −µQKL

−µQLK

−µQLL

= µ ⎡⎣Q QKK − 2QKLQK QL + Q QLL ⎤⎦ < 0 2 L

2 K

2 2 ⎡ µ > 0 , ⎣QLQKK − 2QKLQK QL + QK QLL ⎤⎦ < 0

123

Eşürün eğrisinin eğimini inceleyelim:

d K −1 2 2 ⎡ ⎤ Q Q 2 Q Q Q Q Q = − + KL K L LL K ⎦ > 0 2 3 ⎣ KK L dL QL 2

Bu sonuç, denge noktasında eşürün eğrisinin kesin dışbükey olacağını söylemektedir. Ancak ve ancak, birinci ve burada elde ettiğimiz ikinci sıra koşullar sağlandığında, belirli üretim kısıtı altında

toplam

maliyeti

minimize

eden

üretim

düzeyini

belirleyebiliriz (Şekil 3.8a). Şekil 3.8b durumunda ise, birinci sıra koşul sağlanmakla birlikte, ikinci sıra koşul yerine getirilememektedir.

124

Bu modelde, etkilerine,

‘daki değişmelerin üretici dengesi üzerine

karşılaştırmalı

durağanlık

analizleriyle

bakalım.

Üretim kısıtındaki her değişme, üreticinin yeni bir denge noktasına

geçmesine

neden

olacaktır.

noktaları

birleştirirsek, üretim genişleme çizgisini izgisi elde ederiz. Eşürün

eğrisinin

kesin

dışbükey

olduğunu

kabul

ederek,genişleme çizgisini birinci sıra koşullardan hareketle elde

ederiz.

Cobb-Douglas

ile

bunu

görelim.

koşulundan, denge tanımını elde etmiştik:

Birinci

sıra

125

β−1

w QL Aβ K L βK = = = α−1 β αL r QK AαK L α

ile girdi fiyatları sabitken, bu oranı yeniden şöyle

yazabiliriz:

K αw = * L βr *

α ve β

Üretim Genişleme Çizgisi

ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda

α ve β toplamının

bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 3.9b’deki gibi her zaman doğrusaldır. Genel olarak, her hangi bir türdeş üretim fonksiyonu, doğrusal üretim genişleme çizgisine yol açar.

126

Şekil 3.9. Üretim Genişleme Çizgisi

Üretim Genişleme Çizgisi

e •3 • e2 • e1

•

•e

L (a)

L (b)

127

ile Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda

toplamının bire eşit, büyük ya da küçük olmasından bağımsız olarak üretim genişleme çizgisi Şekil 15b’deki gibi her zaman doğrusaldır.

Genel

olarak,

her

hangi

bir

türdeş

üretim

fonksiyonu, doğrusal üretim genişleme çizgisine yol açar. Çünkü eğer üretim fonksiyonu

QL, K

derecesinden türdeş ise,

QK ve

girdilerine göre (r−1) derecesinden türdeştir. Bu

durumda her bir girdi artacağından,

kat arttığında,

QK /QL oranında hiçbir değişme olmaz.

j(r−1)

kat

128

Homotetik Fonksiyonlar Yukarıda

genel

olarak,

homojen

üretim

fonksiyonlarının

doğrusal bir genişleme çizgisine yol açtığını gördük. Homotetik fonksiyonlar da aynı özelliğe sahiptir. Bir homotetik fonksiyon, aynı zamanda türdeş olmayı içerir. Ancak bunun tersi doğru değildir.

Q(K,L), r.

derecen homojen bir fonksiyon ise, bir

homotetik fonksiyonu şöyle yazabiliriz:

H ( Q ) = h ⎡⎣Q ( K , L ) ⎤⎦ , h′ ( Q ) ≠ 0

129

homotetik fonksiyonu,

türetilmesine rağmen, Buna karşın

H’nin

Bunun nedeni,

h ve

gibi homojen bir fonksiyondan

L’ye

göre homojen olmayabilir.

genişleme çizgisi, eşürün eğrisinin,

h’ninki Q

gibi doğrusaldır.

eşürün eğrisiyle aynı

eğime sahip olmasıdır.

h′ ( Q ) QL HL QL − =− =− HK h′ ( Q ) QK QK

130

Şekil 3.10. Homotetik Üretim Fonksiyonu

0e 2 ≡ j 0e1

Üretim Genişleme Çizgisi

•e

jK 0 K0

•e

Q0 jL0

131

Örnek 8:

H (Q ) = Q

Hem Q hem de homojen

, Q = AK L

h′ ( Q ) = 2Q > 0

(

H ( Q ) = AK L α

)

2α

2β

=A K L 2

2β− 1

HL βK 2β A K L − =− =− 2 2 α− 1 2β HK αL 2αA K L 2

Doğrusal Genişleme Patikası

132

Örnek 9:

H ( Q ) = e , Q = AK L α

Q homojen, H ise homojen değil

Q ′ h (Q) = e > 0

H (Q) = e

AK α Lβ

β− 1 AK α Lβ

HL β AK L e βK − =− α β = − α− 1 β AK L HK αL αAK L e

Doğrusal Genişleme Patikası

133

CES Üretim Fonksiyonu

CES (Constant Elasticity of Substitution, Sabit İkame Esnekliği) üretim fonksiyonu şöyledir: −ρ −ρ ⎡ Q = A ⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦

−

1 ρ

, A > 0 , 0 < δ < 1 , −1< ρ ≠ 0

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun (ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Bunu daha sonra göreceğiz. CES’deki bir çok parametre ve değişken, Cobb-Douglas’daki gibidir.

etkenlik parametresidir (teknoloji endeksi);

üretimin girdiler arasındaki dağılımını; esnekliğinin derecesini belirler.

δ,

parametresi, ikame

134

İlk olarak CES’in türdeşliğini inceleyelim:

= A ⎡⎣ δ( jK )−ρ + (1 − δ )( jL)−ρ ⎤⎦ = jA ⎡⎣ δK

−ρ

+ (1 − δ ) L ⎤⎦ −ρ

−

1 ρ

−

1 ρ

= jQ

Bu sonuca göre CES, birinci dereceden (doğrusal) türdeştir. Yani ölçeğe göre sabit getiriye sahiptir. Ortalama ve marjinal fizik ürünler sıfırıncı dereceden türdeştir, Euler teoremini sağlar ve kesin içbükeyimsidir (kayıtsızlık eğrileri kesin dışbükeydir). Bu son özelliği görelim. Bunun için aşağıda sırasıyla işgücü ve sermaye için marjinal fizik ürünleri belirleyelim.

135 1 − −1 ⎛ 1⎞ ∂Q −ρ −ρ ρ QL = (1 − δ )( −ρ ) L−ρ−1 = A ⎜ − ⎟ ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦ ∂L ⎝ ρ⎠

= (1 − δ ) A ⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦ 1+ρ

A = (1 − δ ) ρ A

(1 − δ ) ⎛ Q ⎞ = ⎜ ⎟ ρ A ⎝ L⎠ ∂Q δ ⎛Q⎞ QK = = ρ⎜ ⎟ ∂K A ⎝ K ⎠

(

−

1+ρ ρ

L− (1+ρ )

⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦

1+ρ

)

1 − 1+ρ ρ

L− (1+ρ )

136

Eşürün eğrisinin eğimi:

QL dK =− = dL QK

Şimdi de

d2K/dL2

(1 − δ ) ⎛ Q ⎞ ⎜ ⎟ ρ A ⎝ L⎠ δ ⎛Q⎞ ⎟ ρ ⎜ A ⎝K⎠

1+ρ

(1 − δ ) ⎛ K ⎞ =− ⎜ ⎟ δ ⎝ L⎠

1+ρ

’ye bakalım:

d 2 K d (dK / dL) (1 − δ )(1 + ρ ) K 1+ρ Lρ = = >0 2 2 (1+ρ ) δ dL dL (L )

137

İkame esnekliği, göreli faktör fiyatlarındaki yüzde değişimin, sermaye ve işgücü ikamesinde yüzde olarak nasıl bir değişme olabileceğini, bir başka ifadeyle veri faktör fiyatlarında

’nin birbirini ne ölçüde ikame ettiklerini gösterir. Bunu CES için görelim:

d ( K L) d ( K L) d (w r ) ( K L) σ= = d (w r ) ( K L) (w r ) (w r )

Genel olarak ikame esnekliği

138

Optimal girdi bileşimi sağlandığında, şu denge koşulunun geçerli olacağından hareket edelim:

QL w (1 − δ ) ⎛ K ⎞ = = ⎜ ⎟ QK r δ ⎝ L⎠

1+ρ

Buradan optimal girdi oranını yazabiliriz:

K ⎛ (1 − δ ) ⎞ =⎜ ⎟ * L ⎝ δ ⎠ *

1 1+ρ

⎛w⎞ ⎜r⎟ ⎝ ⎠

1 1+ρ

139

Her iki yanın önce logaritmasını, sonra da (w/r)’ye göre türevini alırsak, ikame esnekliğini elde ederiz. *

d ln( K L ) d ( K L ) ( K L ) 1 σ= = = d ln( w r ) d (w r ) (w r ) 1+ ρ

140

Cobb-Douglas üretim fonksiyonu, CES üretim fonksiyonunun (ρÆ0 iken) özel bir biçimidir. Aşağıdaki işlemleri yaparak, bunu görelim:

Q = A ⎡⎣ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤⎦

−

1 ρ

1 − ⎛ ⎞ 0 −ρ −ρ ρ lim ( Q ) = lim ⎜ A ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦ ⎟ = ρ→ 0 ρ→ 0 ⎝ ⎠ 0

Belirsizliğini

ortadan

kaldırmak

için,

her

iki

logaritmasını alıp, L’Hopital kuralını kullanalım.

yanın

doğal

ln ⎡⎣ δK Q ln = − A

−ρ

141

+ (1 − δ ) L ⎤⎦ ρ −ρ

(

⎛ d − ln ⎡ δK −ρ + (1 − δ ) L−ρ ⎤ ⎣ ⎦ ⎜ ⎜ dρ ⎛ Q⎞ lim ⎜ ln ⎟ = lim ⎜ ρ→ 0 dρ ⎝ A ⎠ ρ→ 0 ⎜ dρ ⎜ ⎝

) ⎟⎞

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

L’Hopital kuralı uygulandı.

⎛ Q⎞ ⎛ δ ln K + (1 − δ ) ln L ⎞ δ 1−δ lim ⎜ ln ⎟ = lim ⎜ = ln ( K L ) ⎟ ρ→ 0 1 ⎝ A ⎠ ρ→ 0 ⎝ ⎠ 1 − ⎛ ⎞ −ρ −ρ ρ lim Q = lim ⎜ A ⎡⎣ δK + (1 − δ ) L ⎤⎦ ⎟ = AK δ L1−δ ρ→ 0 ρ→ 0 ⎝ ⎠