˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ˙Iktisat Bölümü
˙IKT351 – Ekonometri I
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Kullanım Sartları ¸
˙Is¸ bu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından, "Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License" (CC-by-SA-3.0) lisans s¸ artları altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve ˘ geçerli lisansın korunması s¸ artıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir, ˘ stirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansı degi¸ ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne “http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz. Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Ders Planı
1
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım
2
Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları
3
˘ Baglanım Modellerinin ˙Is¸ lev Biçimleri ˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Kuram bazen modelde sabit terimin bulunmamasını öngörür: Yi = β2 Xi + ui ˘ ˘ bazı Sıfır noktasından geçen baglanım modelinin uygun oldugu durumlar s¸ unlardır: ˘ fiyatlama modeli” (capital asset pricing “sermaye varlıgı model) ya da kısaca “SVFM” (CAPM), Milton Friedman’ın “kalıcı gelir önsavı” (permanent income hypothesis), “Maliyet çözümlemesi kuramı” (cost analysis theory), ˘ sim ile orantılı Enflasyon oranının para arzındaki degi¸ ˘ oldugunu ileri süren para kuramı çe¸sitlemeleri. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım ˘ ˘ Sıfır noktasından geçen baglanım için ÖB˙I a¸sagıdaki gibidir: Yi = βˆ2 Xi + uˆi Yukarıdaki modele ait SEK tahmincileri s¸ u s¸ ekilde bulunur: β1 = 0 Modeli βˆ2 = var(βˆ2 ) = σ ˆ2 =
Alı¸sılmı¸s Model P XY P i 2i Xi 2 σ P 2 X P i2 uˆi n−1
βˆ2 = var(βˆ2 ) = σ ˆ2 =
P xy P i 2i xi 2 σ P 2 x P i2 uˆi n−2
Kısaca, β1 = 0 modeli formüllerinde ortalamalardan sapma ˘ skenlerinin gerçek degerleri ˘ yerine X ve Y degi¸ kullanılır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım ˘ Sabit terimsiz modelin iki özelliginin bilinmesinde yarar vardır: P 1 Bu modellerde uˆi kalıntı toplamı her zaman sıfır olmak ˘ zorunda degildir. 2
Alı¸sılmı¸s modeller için hesaplanan belirleme katsayısı r 2 ˘ sabit terimsiz modellerde zaman zaman eksi degerler ˘ alabilir ve bu nedenle kullanılması uygun degildir.
˘ Sıfır noktasından geçen baglanımlarda “ham” (raw) r 2 kullanılır: Alı¸sılmı¸s r 2
Ham r 2
P ( Xi Yi )2 ham r = P 2 P 2 Yi Xi 2
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
P ( xi yi )2 r = P 2P 2 yi xi 2
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım
˘ sürece sabit terimin Önsel dayanaklar çok güçlü olmadıgı modele eklenmesinde yarar vardır. ˘ modele sabit terim eklenir ve bu terim istatistiksel Eger olarak anlamsız bulunursa, zaten elde sıfır noktasından ˘ geçen bir baglanım modeli var demektir. ˘ yandan, gerçekte modelde sabit terim varken sabit Diger terimsiz model yakı¸stırılmaya çalı¸sılırsa “model belirtim hatası” (model specification error) yapılmı¸s olur.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım ˘ ˘ Sıfır noktasından geçen baglanıma örnek olarak, a¸sagıdaki yatırım çözümlemesi modelini ele alalım: Yi = α + βXi + ui Burada: Yi , belli bir fona ait yıllık getiri oranını (%); Xi , piyasa portföyünün yıllık getiri oranını (%); ˘ katsayısını; β, portföy kuramında beta diye bilinen egim α ise sabit terimi göstermektedir. ˘ α’nın degeri konusunda yazında bir uzla¸sma olmamakla birlikte, görgül çalı¸smalar α’nın istatistiksel olarak sıfırdan ˘ göstermi¸stir. farklı olmadıgını
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım ˘ Bu modeli sıfır noktasından geçen baglanım olarak hesaplarsak ˘ a¸sagıdaki bulguları elde ederiz: ˆi Y öh t
=
1,0899 Xi (0,1916) (5,6884)
ham r 2 = 0,7825
˘ ˘ sınamak için Sabit terimsiz baglanımın uygun olup olmadıgını ˘ alı¸sılmı¸s baglanıma da bakalım: ˆi Y öh t
=
1,2797 (7,6886) (0,1664)
+
1,0691 Xi (0,2383) (4,4860)
r 2 = 0,7155
˘ Xi katsayı tahminlerinde çok fark yoktur. ˙Ikinci baglanımda sabit ˘ sıfır önsavı da reddedilmez. Demek ki, sıfır terimin sıfır oldugu ˘ noktasından geçen baglanımın kullanılması burada uygundur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Ölçekleme ve Ölçü Birimleri
˘ Baglanım çözümlemesinde dikkat edilmesi gereken bir nokta da “verileri ölçekleme” (data scaling) konusudur. Verilerin ölçeklenmesi ile ilgili iki önemli soru s¸ udur: 1
2
˘ skenlerinin ölçü birimleri baglanım ˘ X ve Y degi¸ bulgularını etkiler mi? ˘ Baglanım çözümlemesi için ölçü biriminin seçilmesinde izlenilmesi gereken bir yol var mıdır?
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ ABD’ye ait a¸sagıdaki yatırım ve üretim verilerini ele alalım: Çizelge: Gayrisafi Yurtiçi Özel Yatırım ve Gayrisafi Milli Hasıla Yıl
GSY˙IÖY (milyar $)
GSY˙IÖY (milyon $)
GSMH (milyar $)
GSMH (milyon $)
1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
828,2 863,5 815,0 738,1 790,4 863,6 975,7 996,1 1084,1 1206,4
828200 863500 815000 738100 790400 863600 975700 996100 1084100 1206400
5865,2 6062,0 6136,3 6079,4 6244,4 6389,6 6610,7 6761,6 6994,8 7269,8
5865200 6062000 6136300 6079400 6244400 6389600 6610700 6761600 6994800 7269800
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ ˘ Ortaya atmı¸s oldugumuz iki soruyu yanıtlayabilmek için a¸sagıda ˘ verilen baglanım bulgularını inceleyelim: Hem GSY˙IÖY, hem GSMH milyar dolar: \ ˙IÖYi GSY = −37,0015205 + 0,17395 GSMHt (76,2611278) (0,05406)
r 2 = 0,5641
Hem GSY˙IÖY, hem GSMH milyon dolar: \ ˙IÖYi GSY = −37001,5205 + 0,17395 GSMHt (76261,1278) (0,05406)
r 2 = 0,5641
GSY˙IÖY milyar dolar, GSMH milyon dolar: \ ˙IÖYi GSY = −37,0015205 + 0,00017395 GSMHt (76,2611278) (0,00005406)
r 2 = 0,5641
GSY˙IÖY milyon dolar, GSMH milyar dolar: \ ˙IÖYi GSY = −37001,5205 + 173,95 (76261,1278) (54,06)
r 2 = 0,5641
GSMHt
Not: Ölçünlü hatalar parantez içerisinde verilmi¸stir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Ölçekleme ve Ölçü Birimleri
˘ Baglanım bulgularının dördü de GSMH’deki bir milyon ˘ simin GSY˙IÖY’de ortalama 0,17395 milyon dolarlık bir degi¸ ˘ ˘ dolarlık bir degi¸sime yol açtıgını göstermektedir. Öyleyse, SEK tahmincilerinin bilinen özellikleri farklı ölçü birimlerinin kullanılmasından etkilenmemektedir. ˘ Öte yandan, baglanım hesapları bilgisayar kullanılarak ˘ için, verilerin uygun biçimde ölçeklendirilmesi yapıldıgı uygulamada zaman zaman önemli olabilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Sayısal Hesaplama Sorunları Ekonometri, birçok karma¸sık matematiksel ve istatistiksel yöntem içeren bir bilim dalıdır. ˘ ara¸stırmacı çe¸sitli tekniklerin yalnızca birkaç Ancak çogu ˘ izlenimini ta¸sımaktadır. fare tıklaması ile uygulanabilecegi Bilgisayar yazılımlarının her zaman sayısal olarak tutarlı ˘ oldugunu varsaymak hatalı bir yakla¸sımdır. ˘ tüm hesaplamalarda Günümüz bilimsel yazılımlarının çogu 64bit “kayan nokta” (floating point) aritmetik kullanmaktadır. Bu altyapı gerçel sayı sistemini tümüyle kar¸sılayamayarak dört tür hataya yol açabilmektedir: “Yuvarlama hataları” (rounding errors) “˙Iptal etme hataları” (cancellation errors) “Kırpma hataları” (truncation errors) “Çözümyolu hataları” (algorithm errors) Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Yuvarlama Hataları
˘ Yuvarlama hatası, bazı sayıların bilgisayarların kullandıgı ikili düzende tam olarak gösterilememesinden kaynaklanır. Örnek olarak 0,1 ondalık sayısının ikili düzende gösterimi ˘ 0,00011’dir. Bu sayı yeniden ondalık sisteme çevrildiginde 0,09999999403953 olur. ˘ olan (p = q) Bu nedenle, cebirsel olarak birbirine e¸sdeger ˘ ve (p − q = 0) gibi iki denklem bilgisayarda uygulandıgında farklı sonuçlar verebilmektedir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
˙Iptal Etme Hataları
˙Iptal etme hatası, yuvarlama hatasının özel bir durumudur. ˘ Gözlemlerde fazla sayıda sabit öncül basamak oldugunda ortaya çıkar. ˘ gösteren veri setlerine “katı” (stiff) veri seti denir. Bu özelligi Örnek olarak 1,000,000,001 sayısından 1,000,000,000 ˘ çıkarılınca geriye yalnızca en sagdaki tek basamak kalır. ˘ Ba¸staki sayının büyüklügünden dolayı, bu son basamak yuvarlama hatalarına fazla duyarlıdır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Kırpma Hataları Kırpma hatası, “yinelemesel” (iterative) i¸slemlerde görülen ve yazılımdan zorunlu olarak kaynaklanan bir hata türüdür. ˘ Örnek olarak exp(x) i¸slevi x = 1 noktasında a¸sagıdaki gibi geni¸sletilir: exp(x) =
∞ X xi i=0
i!
=
x0 x1 x2 x3 + + + + ... = e 0! 1! 2! 3!
˘ gibi, “oransız sayı” (irrational number) e’nin Görüldügü hesaplanabilmesi sonsuz sayıda toplama gerektirmektedir. Ancak bilgisayar hesaplaması sınırlı sayıda i¸slem içerebilir ve sonuçta bir kırpma hatası ortaya çıkar.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Çözümyolu Hataları ˘ zaman birden fazla Çözümyolu hatası, bir problemin çogu ˘ gerçeginden ˘ s¸ ekilde çözülebilecegi kaynaklanır. ˘ Sonuçta bazı çözümler digerlerinden daha iyidir. ˘ Örnek olarak, dogrusal SEK modelini hesaplamak için kullanılabilecek yöntemlerden bazıları s¸ unlardır: “Gaussçu eleme” (Gaussian elimination) ˘ ayrı¸stırması” (singular value decomposition) “Tekil deger “Cholesky çarpanlaması” (Cholesky factorization) “QR çarpanlaması” (QR factorization) ˘ Bunlar içinde QR yöntemi, çoklue¸sdogrusal veriler dı¸sında ˘ digerlerine göre daha güvenilir sonuçlar vermektedir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
Sayısal Hesaplama Sorunları
Sayısal Hesaplama Sorunları ˘ kagıt-kalem ˘ Sonuç olarak, bilgisayar matematigi ˘ matematiginden tümüyle farklıdır. Sayısal hataları azaltmanın kolay yolu, çözümleme öncesi verileri uygun s¸ ekilde ölçeklemektir. Tüm verileri öntanımlı olarak [0, 1) veya [0,10) aralıklarına ˘ bir yakla¸sımdır. göre ölçeklemek dogru Çok büyük ve çok küçük sayıları birlikte kullanmanın hatalı ˘ unutulmamalıdır. sonuçlara davetiye çıkarmak oldugu Ayrıca ara¸stırmacı çalı¸smasında yalnızca veri kaynaklarını ˘ belirtmekle yetinmemeli, verilerin nasıl ölçüldügünü ve ˘ de mutlaka açıklamalıdır. ölçeklendigini
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Baglanım Modellerinin ˙Is¸ lev Biçimleri ˘ ˘ skenlerde dogrusallık ˘ Dogrusallık kavramının degi¸ ve ˘ stirgelerde dogrusallık ˘ degi¸ olmak üzere iki ayrı s¸ ekilde ˘ anımsayalım. tanımlandıgını ˘ stirgelerde dogrusallık ˘ KDBM için degi¸ zorunlu olsa da ˘ skenlerde dogrusallık ˘ ˘ degi¸ zorunlu degildir. ˘ stirgelerde dogrusal ˘ ˘ skenlerde dogrusal-dı¸ ˘ Degi¸ ama degi¸ sı ˘ stırmak” bazı modelleri uygun dönü¸stürmelerle “dogrusalla¸ (linearize) olanaklıdır. ˘ Yaygın bazı dogrusalla¸ stırılmı¸s model biçimleri s¸ unlardır: ˘ “Log-dogrusal model” (Log-linear model) “Yarı-logaritmik model” (semi-logarithmic model) “Evrik model” (reciprocal model) Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Log-Dogrusal Modeller ˘ “Üstel” (exponential) baglanım modeli diye adlandırılan ˘ a¸sagıdaki modeli ele alalım: Yi = β1 Xiβ2 eui ˘ ˘ Yukarıdaki gösterim a¸sagıdaki s¸ ekilde dogrusalla¸ stırılabilir: ln Yi = ln β1 +β2 ln Xi + ui = α +β2 ln Xi + ui ˘ Bu model, α ve β2 anakütle katsayılarında dogrusaldır ve ˘ SEK yöntemiyle a¸sagıdaki gibi tahmin edilebilir: Yi∗ = α + β2 Xi∗ + ui Burada Yi∗ = ln Yi ve Xi∗ = ln Xi ’dir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Log-Dogrusal Model
˘ Her iki yanının logaritması alınarak dogrusalla¸ stırılmı¸s ˘ (log-linear), “log-log” (log-log) modellere “log-dogrusal” veya “çifte-log” (double-log) modeller adı verilir. ˘ Log-dogrusal modellerde, α ve β2 ’nin SEK tahmincileri α ˆ ve βˆ2 EDYT’dirler. Ancak β1 ’in tahmincisi βˆ1 = antilog(ˆ α) biçiminde tahmin ˘ edildiginden yanlı bir tahmincidir. Birçok uygulamada sabit terim ikinci derecede önemli ˘ oldugundan, βˆ1 ’in yanlı olmasına aldırılmayabilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Log-Dogrusal Model ˘ ˘ ˘ β2 Log-dogrusal modelin yaygınlıgına yol açan çekici özelligi, ˘ katsayısının Y ’nin X ’e göre esnekligini ˘ vermesidir: egim ˘ Dogrusal Model
˘ Log-dogrusal Model
Yi = α + β2 Xi + ui
Yi = exp(α + β2 ln Xi + ui )
˘ (birim degi¸ ˘ sim): Egim dYi = β 2 dXi
˘ (birim degi¸ ˘ sim): Egim dYi 1 dXi = exp(α + β2 ln Xi + ui )β2 Xi Yi = β2 Xi ˘ sim): Esneklik (yüzde de gi¸
˘ sim): Esneklik (yüzde degi¸ d(Yi /Yi ) Xi dYi Xi d(X /X ) = dXi Yi = β2 Yi i
i
d(Yi /Yi ) d(Xi /Xi )
=
dYi Xi dXi Yi
= β2 YXii
Xi Yi
= β2
˘ ˘ Bu özelliginden dolayı log-dogrusal model “sabit esneklik” (constant elasticity) modeli diye de adlandırılır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Log-Dogrusal Model Örnek olarak kahve talebi modeline dönelim. ˘ Veriler üzerinde log-log dogrusalla¸ stırması yapıldıktan ˘ sonra hesaplanan baglanım s¸ u sonuçları vermektedir: d ln Yi öh t
=
0,7774 (0,0152) (51,1447)
−
0,2530 ln Xi (0,0494) (-5,1214)
r 2 = 0,7448 F1,9 = 26,27
˘ katsayısı −0,25 olarak bulunmu¸stur. Fiyat esnekligi Buna göre kahve fiyatında yüzde 1 artı¸s olması durumunda kahve tüketiminin ortalama yüzde 0,25 azalması beklenir. ˘ Öyleyse kahve talebinin kendi fiyatına göre esnek olmadıgı söylenebilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Log-Dogrusal Model ˘ ˘ Zaman zaman dogrusal ve log-dogrusal model arasında bir seçim yapmak gerekli olabilir. ˘ ˘ skenler aynı olmadıgı ˘ için, böyle bir durumda Bagımlı degi¸ ˘ ˘ iki r 2 degerini dogrudan kar¸sıla¸stırma yoluna gidilemez. ¯ /Y ¯) Katsayı tahminlerini kar¸sıla¸stırma konusunda ise β2 (X ˘ tanımından yararlanılarak dogrusal model için bir ortalama esneklik hesaplanabilir. ˘ Kahve talebi örneginde, log-log modelden elde edilen β2 ˘ esneklik katsayısı −0,25 iken, dogrusal modelin ortalama ˘ de benzer biçimde −0,22 olarak bulunur. esnekligi ¯ /Y ¯ ) kullanılarak bulunan ortalama esneklik Dikkat: β2 (X ¯ ¯ ˘ ˘ ˘ farklı X ve Y degerlerine baglıdır. Log-dogrusal modelin esneklik katsayısı β2 ise her fiyat düzeyinde aynıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Log-Dog˘ Modeli Ekonomistler sık sık para arzı, istihdam, GSMH gibi ˘ skenlerin büyüme oranlarının tahmini ile ilgilenirler. degi¸ Bile¸sik faiz formülünü anımsayalım: Yt = Y0 (1 + r )t Burada r , Y ’nin zaman içindeki (bile¸sik) büyüme hızıdır. Yukarıdaki denklemin logaritmasını alalım: ln Yt = ln Y0 + t ln(1 + r ) β1 = ln Y0 ve β2 = ln(1 + r ) tanımlamalarını yapıp hata terimini de ekledikten sonra modeli s¸ öyle yazabiliriz: ln Yt = β1 + β2 t + ut ˘ (log-lin) modeli denir. Yukarıda gösterilen modele “log-dog” Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Log-Dog˘ Modeli ˘ ˘ sim” (absolute Bu noktada, sık sık kar¸sıla¸stıgımız “mutlak degi¸ ˘ sim” (relative change) ve yüzde degi¸ ˘ sim change), “göreli degi¸ (percentage change) terimleri arasındaki farka dikkat edelim: ˘ sim Mutlak degi¸ ∆X
˘ sim Göreli degi¸
˘ sim Yüzde degi¸
∆X /X
100 × ∆X /X
˘ X ’deki degi¸ ˘ sim küçükse, a¸sagıda ˘ Eger gösterilen “yakla¸stırma” (approximation) uygulamada sıklıkla kullanılır: ˘ sim) ∆ ln X ≈ ∆X /X (göreli degi¸
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Log-Dog˘ Modeli Log-dog˘ modeline geri dönelim: ln Yt = β1 + β2 t + ut ˘ sken t’deki mutlak Bu modelde β2 katsayısı, açıklayıcı degi¸ ˘ smeye kar¸sılık Y ’deki göreli degi¸ ˘ simi ölçmektedir: bir degi¸ β2 =
∆ ln Y ∆t
˘ bir deyi¸sle, β2 katsayısı Yt degi¸ ˘ skenindeki büyüme Diger hızını (β2 > 1) ya da küçülme hızını (β2 < 1) vermektedir. Bu nedenle, log-dog˘ modellerine aynı zamanda “sabit büyüme” (fixed growth) modelleri de denir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Log-Dog˘ Modeli ˘ Reel GSY˙IÜ örnegine dönersek, log-dog˘ modeline dayanan ˘ ˘ ˘ baglanım bulgularının a¸sagıdaki gibi oldugunu görürüz: \˙IÜ ln GSY t öh t
=
8,0139 (0,0114) (700,54)
+
0,02469 t (0,00956) (25,8643)
r 2 = 0,9738
Buna göre, 1972-1991 döneminde ABD’de reel GSY˙IÜ yılda ortalama yüzde 2,469 büyümü¸stür. Ayrıca, ln Y0 = 8,0139’un anti-logaritmasını alacak olursak ˘ ˘ bulacagımız 3022,7 degeri de 1972 ba¸sında GSY˙IÜ’nün ˘ gösterir. 3023 milyar dolar olarak tahmin edildigini
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ ˘ Dogrusal Egilim Modeli
˘ Ara¸stırmacılar kimi zaman log-dog˘ modeli yerine a¸sagıdaki modeli tahmin ederler: Yt = β1 + β2 t + ut ˘ ˘ ln Yt yerine Yt ’nin zamana göre baglanımının hesaplandıgı ˘ ˘ egilim” (linear trend) modeli denir. bu modele “dogrusal ˘ ˘ skeni diye adlandırılır. Buradaki t, “egilim” (trend) degi¸ ˘ β2 egim ˘ katsayısı artı çıkarsa Yt ’de zaman içinde bir Eger ˘ ˘ artı¸s egilimi, eksi çıkarsa da bir dü¸sü¸s egilimi var demektir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ ˘ Dogrusal Egilim Modeli ˘ ˘ ˘ Reel GSY˙IÜ örnegine geri dönelim ve dogrusal egilim modelini tahmin edelim: \ ˙IÜt GSY öh t
=
2933,0538 (50,5913) (57,9754)
+
97,6806 t (4,2233) (23,1291)
r 2 = 0,9674
Buna göre, 1972-1991 döneminde ABD’de reel GSY˙IÜ ortalama olarak yılda yakla¸sık 97,68 milyar dolar mutlak büyüme göstermi¸stir. ˘ Demek ki bu dönemde reel GSY˙IÜ’de artı¸s egilimi vardır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ ˘ Dogrusal Egilim Modeli
˘ ˘ Log-dog˘ ve dogrusal egilim modellerine ili¸skin iki noktayı özellikle belirtmekte yarar vardır: ˙Iki modelin bagımlı 1 ˘ ˘ skenleri farklı oldugu ˘ için bu degi¸ ˘ ˘ degildir. ˘ modellerin r 2 degerlerini kar¸sıla¸stırmak dogru 2
˘ ˘ skenin zaman içinde degi¸ ˘ siminin bu s¸ ekilde Bagımlı degi¸ ˘ (stationary) incelenmesi ancak zaman serisinin “duragan” olması durumunda uygundur.
˘ Duraganlık kavramı ileride zaman serileri ekonometrisi konusu altında incelenecektir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Dog-Log Modeli ˘ X ’deki yüzde degi¸ ˘ sime kar¸sılık Y ’deki mutlak degi¸ ˘ sim Eger ile ilgileniyorsak, buna uygun bir modeli s¸ öyle yazabiliriz: Yi = β1 + β2 ln Xi + ui ˘ Yukarıdaki modele “dog-log” (lin-log) modeli denir. Bu modelde β2 katsayısını kullanarak s¸ unu gösterebiliriz: β2 =
∆Y ∆X /X
⇒
∆Y = β2 (
∆X ) X
˘ smeye Böylece X ’deki 0,01 (yüzde 1) oranındaki göreli degi¸ ˘ sme olmaktadır. kar¸sı Y ’de β2 × 0,01 boyutunda mutlak degi¸ ˘ ˘ katsayısı β2 ’yi 0,01 ile Dolayısıyla, dog-log modellerin egim ˘ çarptıgını söyleyebiliriz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˘ Dog-Log Modeli
Örnek olarak 1973-1987 yıllarında ABD’deki GSMH ve para ˘ arzı verilerini kullanarak dog-log modelini tahmin edelim: Ybt t p
=
−16329,0 (−23,494) (0,0000)
+
2584,8 ln Xt (27,549) (0,0000)
r 2 = 0,9832
˘ ˘ katsayısının anlamı, örneklem 2585 büyüklügündeki egim döneminde para arzındaki yüzde 1’lik bir artı¸sın GSMH’de ˘ ortalama 25,85 milyar dolarlık artı¸sa yol açmı¸s oldugudur.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Evrik Modeller ˘ A¸sagıda gösterilen türden modellere evrik model denir: Yi = β1 + β2
1 + ui Xi
˘ skeni modele evrik girdiginden, ˘ Yukarıdaki model, X degi¸ ˘ ˘ ˘ X ’te dogrusal degildir ama β1 ve β2 ’de dogrusaldır. ˘ de X sonsuza yakla¸sırken Y ’nin β1 Modelin bir özelligi ˘ “kavu¸smazsal” (asymptotic) degerine yakınsamasıdır. ˘ sken büyürken Dolayısıyla, evrik modeller açıklayıcı degi¸ ˘ ˘ skenin de yakla¸stıgı ˘ bir limit veya kavu¸smaz bagımlı degi¸ ˘ degeri içerirler. ˘ Evrik modellere örnek olarak Phillips egrisi ya da üretimin ortalama sabit gider ile olan ili¸skisi verilebilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Evrik Modeller Örnek olarak 1950-1966 dönemi için ˙Ingiltere’de ücretlerdeki ˘ sim (Y ) ile i¸ssizlik oranı (X ) verilerini evrik modele yüzde degi¸ yakı¸stıralım: Ybt t
=
−
1,4282 (2,0675)
+
8,2743 1/Xt (2,8478)
r 2 = 0,3849 F1,15 = 9,39
Buna göre ücret dü¸sü¸s tabanı −1,43’tür. ˘ bir deyi¸sle X sonsuza dogru ˘ büyürken ücretlerdeki Diger dü¸sü¸s yüzde 1,43’ten fazla olamaz.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Log-Evrik Modeller Evrik modellerin bir türü olan “log-evrik” (log-reciprocal) ˘ modeller a¸sagıdaki biçimi alır: ln Yi = β1 − β2
1 + ui Xi
˘ Türev hesabı kullanılarak burada Y ’nin X ’e göre egimi 2 d/dX (ln Yi ) = β2 (1/Xi ) olarak bulunur. ˘ Model çizim üzerinde incelendiginde de X artarken Y ’deki artı¸sın önce dı¸sbükey ve daha sonra da içbükey görünüm ˘ anla¸sılır. sergiledigi Öyleyse böyle bir model, sermaye sabitken üretimin önce ˘ ve sonra da azalarak arttıgı ˘ üretim-i¸sgücü artarak arttıgı ili¸skisini çözümlemede kullanılabilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi ˘ ˘ Hata terimi içermeyen a¸sagıdaki baglanım modeline bakalım: Yi = β1 Xiβ2 Bu modeli tahmin amacıyla üç farklı s¸ ekilde yazabiliriz:
˙Iki yanlı logaritmalarını alırsak da s¸ unları elde ederiz:
Yi = β1 Xiβ2 ui
ln Yi = α + β2 ln Xi + ln ui
Yi = β1 Xiβ2 eui
ln Yi = α + β2 ln Xi + ui
Yi = β1 Xiβ2 + ui
ln Yi = ln(β1 Xiβ2 + ui )
Buradaki α = ln β1 ’dir. ˙Ilk iki model degi¸ ˘ stirgelerde dogrusalken, ˘ üçüncü modelin ˘ ˘ özünde dogrusal-dı¸ sı olduguna dikkat ediniz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi ˘ SEK’in EDYT özelliginin hatalarda sıfır ortalama ve sabit ˘ anımsayalım. varyans aradıgını ˘ ˘ Ayrıca önsav sınaması için ui ’lerin normal dagılımlı oldugu, 2 kısaca ui ∼ N(0, σ ) varsayılmaktadır. ˘ Buna göre, örnegimizdeki ikinci modeli kullanmak istersek 2 ln ui ∼ N(0, σ ) varsaymamız gereklidir. 2 ˘ ln ui ∼ N(0, σ 2 ) ise, ilk modeldeki ui de eσ /2 Ancak eger 2 2 ˘ olur. ortalama, eσ (eσ − 1) varyansla log-normal dagılımlı ˘ stirgelerde dogrusal-dı¸ ˘ ˘ için Üçüncü model ise degi¸ sı oldugu ancak yinelemesel bir yöntem ile çözülebilir. ˘ Sonuç olarak, modeli baglanım için dönü¸stürürken hata terimine özel bir dikkat göstermek gereklidir. ˘ Hatalı dogrusalla¸ stırma, arzulanan istatistiksel özellikleri ta¸sımayan bir modele yol açabilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
˙Is¸ lev Biçiminin Seçimi ˘ Görgül çalı¸smalarda model seçiminin deneyim gerektirdigi açıktır. Yardımcı olabilecek birkaç nokta s¸ unlardır: Bazı durumlarda iktisat kuramı belli bir i¸slev biçimini gösterebilir veya öngörebilir. ˘ Tahmin edilen katsayıların önsel beklentileri kar¸sıladıgı ˘ dogrulanmalıdır. ˘ ve esneklik Alma¸sık modelleri kar¸sıla¸stırmak için egim katsayılarını hesaplamak yardımcı olabilir. ˘ ˘ bagımlı ˘ Veri setine iki farklı model yakı¸stırıldıgında, eger ˘ skenler aynı ise r 2 degerleri ˘ degi¸ kar¸sıla¸stırılabilir. Ancak iki modeli r 2 temelinde kar¸sıla¸stırmak her zaman ˘ uygun degildir. Bunun bir nedeni, eklenen her açıklayıcı 2 ˘ skenin r ’yi yükseltecek olmasıdır. degi¸ Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Model ˙Is¸ lev Biçimlerinin Özeti ˘ ve Esneklikleri Çizelge: Çe¸sitli ˙Is¸ lev Biçimlerinin Egim ˙Is¸ lev Biçimi
dY ˘ ( dX Egim )
˘ Dogrusal
Y = β 1 + β2 X
β2
Log-Log
ln Y = β1 + β2 ln X
β2
Log-Dog˘
ln Y = β1 + β2 X
β2 (Y )
Model
˘ Dog-Log
Y = β1 + β2 ln X
β2
Evrik
Y = β 1 + β2
1 X
−β2
ln Y = β1 − β2
1 X
Log-Evrik
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
β2
Esneklik ( dY dX
X Y)
β2 YX
Y X
1 X
1 X2 Y X2
β2 β2 (X ) β2
−β2 β2
1 Y
1 XY 1 X
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)
˘ Sıfır Noktasından Geçen Baglanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri ˘ Baglanım Modellerinin ˙I¸slev Biçimleri
˘ Log-Dogrusal Modeller Yarılogaritmik Modeller Evrik ve Log-Evrik Modeller
Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev
Ödev Kitaptan Bölüm 6 “Extensions of the Two-Variable Regression Model” okunacak. Önümüzdeki Ders ˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi: Tahmin Sorunu
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˙Iki Degi¸ ˘ skenli Baglanım ˘ Modelinin Uzantıları (sürüm 1,81)