˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi Tahmin Sorunu Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ˙Iktisat Bölümü
˙IKT351 – Ekonometri I
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Kullanım Sartları ¸
˙Is¸ bu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından, "Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License" (CC-by-SA-3.0) lisans s¸ artları altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve ˘ geçerli lisansın korunması s¸ artıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir, ˘ stirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansı degi¸ ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne “http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz. Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Ders Planı
1
˘ skenli Model Üç Degi¸ Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
2
˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
3
˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ sken Y ’nin yalnızca bir Önceki bölümlerde bagımlı degi¸ ˘ sken X tarafından etkilendigi ˘ varsayılmı¸stı. açıklayıcı degi¸ ˘ Ancak iktisat kuramı bu denli basit degildir. ˘ Örnek: Bir mala olan talep yalnızca o malın fiyatına degil; ikame ya da tamamlayıcı malların fiyatına, gelir düzeyine, ˘ degi¸ ˘ skenlere de baglı ˘ olabilir. nüfusa ve diger ˘ ki¸sinin Örnek: Tüketim harcamaları yalnızca gelir ile degil; ˘ ya¸sı, egitim düzeyi, cinsiyeti, toplam serveti ve benzer ˘ skenler ile de ili¸skili olabilir. degi¸ ˘ skenler eklemek bizi çoklu baglanım ˘ Modele ba¸ska degi¸ çözümlemesine götürür.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ skenli Model Üç Degi¸
˘ ˘ En basit çoklu baglanım modeli, bir bagımlı ve iki açıklayıcı ˘ skenden olu¸san üç degi¸ ˘ skenli baglanımdır: ˘ degi¸ Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui ˘ ˘ sken, X2 ve X3 açıklayıcı Burada Y bagımlı degi¸ ˘ skenler, u olasılıksal hata terimi, i gözlem no’sudur. degi¸ ˘ skenlerin Y üzerindeki β1 , modelde bulunmayan tüm degi¸ ortalama etkisini gösteren sabit terimdir. ˘ β2 ve β3 ’e de “kısmi baglanım katsayısı” (partial regression coefficient) adı verilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ Kısmi Baglanım Katsayıları ˘ skenli modeli ele alalım: Üç degi¸ Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + ui ˘ Çoklu modeldeki kısmi baglanım katsayılarının anlamı s¸ udur: ˘ smeye kar¸sı β2 , X3 sabit tutulurken X2 ’deki bir birimlik degi¸ ˘ ˘ smeyi ölçer. Y ’nin beklenen degeri E (Y |X2 , X3 )’teki degi¸
Bir ba¸ska deyi¸sle β2 , X3 sabitken E (Y |X2, X3 )’ün X2 ’ye ˘ göre egimini verir. ˘ bir deyi¸sle β2 , X2 ’deki bir birimlik degi¸ ˘ smenin Y Diger üzerindeki X3 ’ten ayrı, net etkisini gösterir. β3 ’ün yorumu da benzer s¸ ekildedir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ skenli Model Varsayımları Üç Degi¸ Daha önce KDBM çerçevesinde yapılmı¸s olan varsayımlar, k ˘ skenli çoklu baglanım ˘ degi¸ modeli için de geçerlidir: 1 ˘ ˘ stirgelerde dogrusaldır. ˘ Çoklu baglanım modeli degi¸ 2 ˘ skenler tekrarlı örneklemlerde degi¸ ˘ smez. Açıklayıcı degi¸ 3 ˘ skenlerde yeterli degi¸ ˘ skenlik bulunur. Açıklayıcı degi¸ 4 Hata teriminin ortalaması sıfırdır: E (ui |X2i , X3i , . . . , Xki ) = 0 5 Hata teriminin varyansı sabittir: var(ui ) = σ 2 6 ˘ ˘ ui ve X ’ler birbirlerinden bagımsız dagılmaktadır: cov(ui , X2i ) = cov(ui , X3i ) = . . . = cov(ui , Xki ) = 0 7 “Dizisel ilinti” (serial correlation) bulunmamaktadır: cov(ui , uj ) = 0 (i 6= j) 8 “Model belirtim hatası” (model specification error) yoktur. 9 ˘ X2 ile X3 arasında “tam e¸sdogrusallık” (exact collinearity) bulunmamaktadır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ E¸sdogrusallık Kavramı ˘ ˘ söyleyen X2 ile X3 arasında tam bir dogrusal ili¸ski olmadıgını ˘ “e¸sdogrusal-dı¸ sılık” (non-collinearity) varsayımı s¸ u demektir: ˘ Tam E¸sdogrusallık ˘ ˘ sken dogrusal ˘ ˘ A¸sagıdaki gibi tanımlanan iki degi¸ bagımlıdır: X2i = aX3i
ya da
X2i − aX3i = 0,
a∈R
˘ X2 ve X3 aynı modelde yer alırlarsa, tam e¸sdogrusal ˘ Eger ili¸ski ortaya çıkar. ˘ ˘ skenlerin bagımlı ˘ Tam e¸sdogrusallık altında açıklayıcı degi¸ ˘ sken üzerindeki tekil etkilerini bulmanın yolu yoktur. degi¸
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
˘ E¸sdogrusallık Kavramı ˘ ˘ Tam e¸sdogrusallık olması durumunda kısaca elde iki degil ˘ ˘ sken var demektir. bir bagımsız degi¸ ˘ skenli model Örnek: 4X2i = X3i olsun. Bu durumda üç degi¸ ikili modele indirgenir: Yi
= = =
β1 + β2 X2i + β3 (4X2i ) + ui β1 + (β2 + 4β3 )X2i + ui β1 + αX2i + ui
˘ sken arasındaki ˘ yandan, eger ˘ X3i = X2i2 ise iki degi¸ Diger ˘ ˘ ˘ ili¸ski dogrusal degildir. Bu durumda da e¸sdogrusal-dı¸ sılık ˘ varsayımı çignenmi¸ s olmaz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
SEK Tahmincileri ˘ skenli modelin SEK tahmincilerini bulmak için önce Üç degi¸ ˘ ˘ örneklem baglanım i¸slevini a¸sagıdaki gibi yazalım: Yi = βˆ1 + βˆ2 X2i + βˆ3 X3i + uˆi SEK yöntemi, P anakütle tahmincilerini kalıntı kareleri toplamı ( uˆi 2 ) en küçük olacak biçimde hesaplar: min
P
uˆi 2 = min
P (Yi − βˆ1 − βˆ2 X2i − βˆ3 X3i )2
˘ enazlayacak en dogrudan ˘ ˘ Yukarıdaki e¸sitligi süreç e¸sitligin ˆ β’lara göre türevini almak, bunları sıfıra e¸sitlemek ve daha sonra e¸sanlı olarak çözmektir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
SEK Tahmincileri ˘ skenli model için SEK yöntemi s¸ u tahmincileri verir: Üç degi¸ βˆ1
=
βˆ2
=
βˆ3
=
ˆ − βˆ2 X ¯2 − βˆ3 X ¯3 Y P P P P ( yi x2i )( x3i2 ) − ( yi x3i )( x2i x3i ) P 2 P 2 P ( x2i )( x3i ) − ( x2i x3i )2 P P P P ( yi x3i )( x2i2 ) − ( yi x2i )( x2i x3i ) P P P ( x2i2 )( x3i2 ) − ( x2i x3i )2
βˆ2 ve βˆ3 tahmincileri bakı¸sımlıdır ve paydaları aynıdır. ˘ stirilirse βˆ2 ile βˆ3 ’ün de Demek ki X2 ile X3 ’ün yerleri degi¸ ˘ sir ama bu baglanım ˘ yeri degi¸ sonuçlarını etkilemez. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
Varyans ve Ölçünlü Hatalar ˘ SEK tahmincilerinin varyansları ise a¸sagıdaki gibi bulunur:
var(βˆ1 ) var(βˆ2 ) var(βˆ3 )
¯ 2 P x2 + X ¯ 2 P x 2 − 2X ¯2 X ¯3 P x2i x3i 1 X 2 3i 3 2i P P P = ( + )σ 2 n ( x2i2 )( x3i2 ) − ( x2i x3i )2 P 2 x σ2 σ2 = P 2 = P 2 P 2 3i P 2 ) 2 ( x2i )( x3i ) − ( x2i x3i ) x2i (1 − r23 P 2 x σ2 2 P σ = = P 2 P 2 2i P 2 ) ( x2i )( x3i ) − ( x2i x3i )2 x3i2 (1 − r23
var(βˆ2 ) ve var(βˆ3 ) formüllerinde yer alan r23 , X2 ve X3 arasındaki örneklem ilinti katsayısı r ’dir. ˘ Ölçünlü hatalar ise varyansların karekökleridir: q artı degerli ˆ ˆ = var(β). öh(β) Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
Varyans ve Ölçünlü Hatalar Varyans ve ölçünlü hata formüllerindeki σ 2 ’nin anakütle ˘ hata terimi ui ’nin sabit varyansı oldugunu biliyoruz. Bu anakütle katsayısının yansız tahmincisi s¸ öyledir: P 2 uˆi 2 σ ˆ = n−3 2 ’nin bu tahmincisi ile iki degi¸ ˘ skenli modeldeki tahmincisi σP 2 ˆ ˘ skenli ( ui /n − 2) benzerdir. Aralarındaki tek fark üç degi¸ model için serbestlik derecesinin artık (n − 3) olmasıdır. Kalıntılar bulunduktan sonra σ ˆ 2 kolayca hesaplanabilir. Kalıntı kareleri toplamı ise s¸ u e¸sitlik ile kolayca bulunabilir: P P 2 P 2 ˆ P uˆi = yi − β2 yi x2i − βˆ3 yi x3i Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
SEK Tahmincilerinin Özellikleri ˘ skenli model için SEK tahmincilerinin özellikleri iki Üç degi¸ ˘ skenli model ile aynıdır: degi¸ ¯, X ¯2 , X ¯3 1 ˘ skenli baglanım ˘ ˘ Üç degi¸ dogrusu (düzlemi) Y ¯ = βˆ1 + βˆ2 X ¯2 + βˆ3 X ¯3 ortalamalarından geçer: Y ˆ¯i = Y ¯i 2 Yˆi ’nın ortalaması gözlenen Yi ortalamasına e¸sittir: Y P 3 ˆi = u¯ˆi = 0 uˆi = nu¯ Kalıntılar toplamı sıfıra e¸sittir: P P 4 uˆi X2i = uˆi X3i = 0 Kalıntılar X2i ve X3i ile ili¸skisizdir: P ˆ 5 uˆi Yi = 0 uˆi kalıntıları Yˆi ile de ili¸skisizdir: 6
7 8
˘ gibi, X2 ile X3 arasındaki Varyans formüllerinden görüldügü ilinti katsayısı r23 artarken βˆ2 ve βˆ3 ’nın varyansları yükselir. Gözlem sayısı n artarken βˆ2 ve βˆ3 ’nın varyansları da azalır. ˘ βˆ2 ve βˆ3 tahmincileri, en iyi dogrusal yansız tahminci ya da kısaca EDYT’dirler. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
ÖB˙I’nin Sapmalar Kalıbında Gösterimi ˘ skenli modelde ÖB˙I’nin sapmalar kalıbı gösterimi Çok degi¸ ˘ a¸sagıda verilen s¸ ekilde elde edilir: 1
2
˘ Üçlü baglanım modelini ele alalım: Yˆi = βˆ1 + βˆ2 X2i + βˆ3 X3i ¯, X ¯2 , X ¯3 ortalamalarından geçtigi ˘ ˘ için: Baglanım yüzeyi Y ¯ Y βˆ1
3
= =
¯2 + βˆ3 X ¯3 βˆ1 + βˆ2 X ¯ − βˆ2 X ¯2 − βˆ3 X ¯3 Y
Yukarıdaki e¸sitliklerden s¸ unu buluruz: ¯ − βˆ2 X ¯2 − βˆ3 X ¯3 ) + βˆ2 X2i + βˆ3 X3i Yˆi = (Y ¯ = βˆ2 (X2i − X ¯2 ) + βˆ3 (X3i − X ¯3 ) Yˆi − Y yi = βˆ2 x2i + βˆ3 x3i + uˆi = yˆi + uˆi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Gösterim ve Varsayımlar ˘ Kısmi Baglanım Katsayılarının Tahmini
Ençok Olabilirlik Tahmincileri
˙Iki degi¸ ˘ skenli modelde oldugu ˘ gibi çoklu modeller için de ˘ baglanım katsayılarının SEK ve EO tahmincileri aynıdır. P 2 uˆi /(n − 3) Ancak üçlü modelde σ 2 ’nin SEK tahmincisi ˘ iken P 2EO tahmincisi modelde kaç degi¸sken olursa olsun uˆi /n olarak bulunur.
˘ bir deyi¸sle SEK tahmincisi serbestlik derecesini Diger hesaba katarken yanlı EO tahmincisi bunu dikkate almaz. ˘ n çok büyükse ku¸skusuz EO ve SEK tahmincileri Eger birbirlerine yakla¸sırlar.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Çoklu Belirleme Katsayısı R 2 ˙Iki degi¸ ˘ skenli durum için geli¸stirmi¸s oldugumuz ˘ r 2 , ikiden ˘ skenli baglanım ˘ çok degi¸ modellerine de geni¸sletilebilir. ˘ R 2 ya da “çoklu belirleme Çoklu modelde bu istatistige katsayısı” (multiple coefficient of determination) denir. ˘ ˘ sken Y ’deki degi¸ ˘ simin X2 , X3 , . . . , Xn ile R 2 , bagımlı degi¸ topluca açıklanabilme oranını gösterir. Çoklu Belirleme Katsayısı R 2 P P βˆ2 yi x2i + βˆ3 yi x3i BKT = R = P 2 TKT yi 2
R 2 de r 2 gibi 0 ile 1 arasındadır. R 2 1’e ne kadar yakınsa modelin verilere yakı¸sması da o ˘ R 2 = 1 ise, yakı¸stırılan baglanım ˘ kadar iyidir. Eger Y ’deki ˘ simin tamamını açıklıyor demektir. degi¸ Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Çoklu ˙Ilinti Katsayısı R ˙Iki degi¸ ˘ sken arasındaki dogrusal ˘ ili¸skinin derecesini ölçen ˘ ˘ da “çoklu ilinti katsayısı” r ’nin çoklu baglanımdaki kar¸sılıgı (coefficient of multiple correlation) olup, R ile gösterilir: Çoklu ˙Ilinti Katsayısı R √ R = ± R2 ˘ ˘ ˘ sken Y ile tüm açıklayıcı degi¸ ˘ skenler R degeri, bagımlı degi¸ arasındaki ortak ili¸skinin derecesini ölçer. Ancak uygulamada R’nin önemi azdır. Asıl anlamlı büyüklük R 2 ’dir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
¯2 Ayarlamalı Belirleme Katsayısı R ˘ modelde bulunan açıklayıcı R 2 ’nin önemli bir özelligi, ˘ sken sayısının azalmayan bir i¸slevi olmasıdır. degi¸ ˘ bir deyi¸sle açıklayıcı degi¸ ˘ sken sayısı arttıkça R 2 Diger hemen hemen her zaman artar, asla azalmaz. Bunu görebilmek için belirleme katsayısının tanımını anımsayalım: P 2 uˆi KKT =1− P 2 R =1− TKT yi 2
˘ Burada TKT, X ’lerin sayısından bagımsızdır. KKT ise ˘ sken sayısı arttıkça azalma egilimine ˘ açıklayıcı degi¸ girer. ˘ ˘ skeni aynı olan ama farklı sayıda Bu nedenle, bagımlı degi¸ ˘ sken içeren iki ayrı baglanım ˘ açıklayıcı degi¸ modeline ait R 2 ˘ degerleri kar¸sıla¸stırırken dikkatli olunmalıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
¯2 Ayarlamalı Belirleme Katsayısı R ˙Iki R 2 degerini ˘ kar¸sıla¸stırırken modelde var olan açıklayıcı ˘ sken sayısını da dikkate alma gereksinimi “ayarlamalı” degi¸ ¯ 2 tanımına yol açmı¸stır: (adjusted) belirleme katsayısı R Ayarlamalı R 2 P 2 uˆi /(n − k) 2 ¯ R =1− P 2 yi /(n − 1)
ya da
ˆ2 ¯2 = 1 − σ R sY2
Burada k, sabit terimle birlikte modeldeki katsayı sayısıdır. sY2 ise Y ’nin örneklem varyansıdır. ˘ giren kareler toplamının serbestlik Ayarlamalı sözcügü, ˘ anlamına gelir. derecesine göre ayarlanmı¸s oldugu P 2 ˘ skenli baglanım ˘ uˆi sd’sinin (n − 3) Dikkat: Üç degi¸ için ˘ oldugunu anımsayınız. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
¯2 Ayarlamalı Belirleme Katsayısı R ¯ 2 ’nin R 2 ile ili¸skisini a¸sagıdaki ˘ R e¸sitlikle gösterebiliriz: ¯ 2 ve R 2 Kar¸sıla¸stırması R ¯ 2 = 1 − (1 − R 2 ) n − 1 R n−k ¯ 2 < R 2 ’dir. ˘ Buradan da görülüyor ki k > 1 oldugunda R ˘ bir deyi¸sle, X ’lerin sayısı arttıkça ayarlamalı R 2 Diger “ayarlamasız” (unadjusted) R 2 ’ye göre daha az artar. ¯ 2 ’nin eksi degerler ˘ ˘ görülmektedir. Ayrıca R de alabildigi 2 ¯ eksi bulunursa uygulamada sıfır kabul edilir. ˘ R Eger Tüm modern ekonometri yazılımları alı¸sıldık R 2 ’nin ˘ de verir. yanısıra ayarlamalı R 2 istatistigini Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ R 2 Degerlerinin Kar¸sıla¸stırılması ˙Iki farklı modeli ayarlamalı veya ayarlamasız R 2 temelinde kar¸sıla¸stırabilmek için iki noktaya daha dikkat edilmelidir: 1
˘ n her iki model için aynı olmalıdır. Örneklem büyüklügü ˘ ˘ Dikkat: Modele gözlem eklendiginde veya çıkartıldıgında, 2 ˘ secegini ˘ unutmayınız. hesaplanan R ’nin de degi¸
2
˘ ˘ sken Y de her iki model için aynı olmalıdır. Bagımlı degi¸ ˘ ˘ skenlerinin Y ’deki Dikkat: R 2 degerinin, X açıklayıcı degi¸ ˘ simi açıklama oranını gösterdigini ˘ anımsayınız. Eger ˘ degi¸ ˘ sim Y ’ler farklıysa, hesaplanan R 2 ’ler de farklı s¸ eylerin degi¸ ˘ için kar¸sıla¸stırılamaz. oranını gösterecegi
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ R 2 Degerlerinin Kar¸sıla¸stırılması ˘ ˘ skenleri aynı olmayan iki model dü¸sünelim: Bagımlı degi¸ ˆ Yi = β1 + β2 X1i + β3 X2i d ln Yi = α1 + α2 ln X1i + α3 ln X2i
˘ Burada R 2 degerlerini kar¸sıla¸stırmak için 2 yol izlenebilir: 1. Yol ˙Ikinci modelden tahmin edilen d ln Yi ’ların anti-logaritmaları ˘ alınır. Bulunan degerler ile Yi 2 ˘ arasında hesaplanan r degeri birinci modeldeki R 2 ile kar¸sıla¸stırılabilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
2. Yol Birinci modelden tahmin edilen Yˆi ’ların logaritmaları alınır. ˘ Bulunan degerler ile ln Yi ˘ arasında hesaplanan r 2 degeri 2 ikinci modeldeki R ile kar¸sıla¸stırılabilir. ˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ R 2 Degerlerinin Kar¸sıla¸stırılması ˘ ˘ skenleri farklı modelleri kar¸sıla¸stırmak için, iki Bagımlı degi¸ ˘ degi¸sken arasındaki ilinti formülünün karesine dayanan s¸ u r 2 formülü kullanılabilir: P (yi yˆi )2 2 r = P P ( yi2 )( yˆi 2 ) ˘ ölçmede kullanılan Son olarak, R 2 ’nin yakı¸smanın iyiligini ˘ unutulmamalıdır. istatistiklerden yalnızca biri oldugu ˙Iki model arasında seçim yapmak için “Akaike bilgi ölçütü” (Akaike information criterion) ve “Schwarz ölçütü” (Schwarz criterion) gibi ba¸ska istatistikler de bulunmaktadır. ˘ skenlerin bagımlı ˘ Ara¸stırmacının asıl ilgisi, açıklayıcı degi¸ ˘ sken ile olan mantıksal ya da kuramsal ili¸skilerine ve degi¸ bunların istatistiksel anlamlılıklarına yönelik olmalıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Örnek: Geni¸sletmeli Phillips Egrisi ˘ Çoklu baglanıma örnek olarak “beklentilerle-geni¸sletmeli ˘ (expectations-augmented Phillips curve) Phillips egrisi” modelini ele alalım: Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + ut Burada: ˘ Yt bagımlısı t dönemindeki fiili enflasyon oranını, X2t açıklayıcısı t dönemindeki i¸ssizlik oranını, X3t ise t dönemindeki beklenen enflasyon yüzdesini göstermektedir. ˙Iktisat kuramına göre β2 eksi, β3 ise artı degerli ˘ olmalıdır. Aslında kurama göre β3 = 1 beklentisi vardır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Örnek: Geni¸sletmeli Phillips Egrisi 1970-1982 dönemi için ABD ekonomisi verileri kullanılarak ve ˘ SEK yöntemi ile elde edilen baglanım bulgularını inceleyelim: Yˆt öh
=
7,1933 − 1,3925 X2t + 1,4700 X3t (1,5948) (0,3050) (0,1758)
R 2 = 0,8766
βˆ2 ve βˆ3 önbeklentilerle uyumlu i¸saret ta¸sımaktadır. βˆ1 ’ya göre örneklem döneminde X2 ve X3 sıfırda sabit tutulursa ortalama enflasyon yakla¸sık %7,19 olacaktır. β1 ’in bu mekanik yorumu iktisadi anlam içermeyebilir. ˘ ˘ −1,3925 büyüklügündeki βˆ2 kısmi baglanım katsayısı, X3 ˘ sabit tutuldugunda i¸ssizlikteki her %1’lik artı¸sa kar¸sılık ˘ anlamına gelir. enflasyonun ortalama %1,4 azalacagı 2 ˘ ˘ R degeri, enflasyon oranındaki degi¸simin %88’inin bu iki ˘ skenle açıklanabildigini ˘ göstermektedir. açıklayıcı degi¸ Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı
˘ ˘ Klasik dogrusal baglanım modeli varsayımlarına göre ˘ ˘ kurulmu¸s olmalıdır. baglanım modeli dogru ˘ çözümlemede kullanılacak baglanım ˘ Eger modeli yanlı¸s ˘ (model specification kurulursa “model belirtim yanlılıgı” bias) ortaya çıkar. Bu varsayımın önemini vurgulayabilmek için elimizdeki ˘ Phillips egrisi modeli yardımcı olabilir. (. . . devam)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı ˘ ˘ ˘ Az önce ele almı¸s oldugumuz a¸sagıdaki üçlü baglanım ˘ ˘ modelinin “dogru” model oldugunu varsayalım: Yt = β1 + β2 X2t + β3 X3t + u1t ˘ skenli modele yakı¸stırmakta diretiyor Verileri s¸ u iki degi¸ olalım: Yt = α1 + α2 X2t + u2t Yt burada t dönemindeki fiili enflasyon yüzdesini, X2t ise t dönemindeki i¸ssizlik oranını göstermektedir. ˘ ˘ Birinci model “dogru” olduguna göre ikinci model bir model belirtim hatası içermektedir. ˘ skenini Buradaki hata, X3t beklenen enflasyon oranı degi¸ modelden dı¸slamı¸s olmaktır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Birinci modeldeki βˆ2 ’nın gerçek β2 ’nin yansız bir tahmincisi ˘ oldugunu biliyoruz. ˘ yandan ikinci modeldeki α ˘ stirgesi β2 ’nin yansız Diger ˆ 2 degi¸ ˘ tahmincisi degildir. ˘ ˘ α2 ’nin X3 ’ün X2 ’ye göre baglanımından ortaya çıkan egim ˘ stirgesi α3 ile ili¸skili oldugunu ˘ degi¸ gösterebiliriz: α2 = β2 + β3 α3 + hata terimi ˘ ˘ de β2 + β3 α3 Buna göre E (α2 ) beklenen degeri β2 degil olarak kar¸sımıza çıkmaktadır. ˘ stirgesi X2 ’nin Y Sonuç olarak, ilk modeldeki β2 degi¸ ˘ üzerindeki dogrudan ya da tekil etkisini ölçmektedir. ˘ stirgesi ise X2 ’nin Y üzerindeki Hatalı modeldeki α2 degi¸ ˘ hem dogrudan hem de X3 üzerinden dolaylı etkisini verir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı ˘ Hatalı modelin SEK tahmini a¸sagıdaki bulguları vermektedir: Yˆt = 6,1272 + 0,2448 X2t öh (4,2853) (0,6304) t (1,4298) (0,3885)
r 2 = 0,0135
˘ Kuramın öngörüsünün aksine α2 burada artı degerlidir ve ˘ istatistiksel olarak sıfırdan yeterince uzak da degildir. ˘ Demek ki belli bir model “dogru” olarak kabul ediliyorsa bir ˘ skeni çıkartarak modeli degi¸ ˘ stirmek yanlı ya da birkaç degi¸ tahminlere yol açmaktadır. Yanlı¸s belirtilen bir model anakütle katsayı tahminlerinin yanlı olması gibi ciddi bir soruna neden olabilmektedir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Basit ˙Ilinti Katsayıları
˙Iki degi¸ ˘ sken arasındaki dogrudan ˘ ili¸skinin bir ölçüsü olarak tanımlanan ilinti katsayısı r kavramını anımsayalım. ˘ skenli model için böyle üç ayrı “basit ilinti katsayısı” Üç degi¸ ˘ (simple correlation coefficient) degerinden söz edilebilir: Y ile X2 arasındaki ilinti katsayısı: r12 Y ile X3 arasındaki ilinti katsayısı: r13 X2 ile X3 arasındaki ilinti katsayısı: r23 Bunlara aynı zamanda “sıfırıncı dereceden ilinti katsayısı” (correlation coefficient of zero order) da denmektedir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Kısmi ˙Ilinti Katsayıları ˘ bir X3 degi¸ ˘ skeni hem Y hem de X2 ile ili¸skiliyse, bu Eger durumda Y ve X2 arasındaki basit ilinti r12 yanıltıcıdır. ˙Iki degi¸ ˘ sken arasında, üçüncü bir degi¸ ˘ skenin etkisinden ˘ bagımsız olarak bulunan “kısmi ilinti katsayısı” (partial correlation coefficient) ise s¸ öyle tanımlanır: X3 sabitken Y ile X2 arasındaki kısmi ilinti: r12.3 X2 sabitken Y ile X3 arasındaki kısmi ilinti: r13.2 Y sabitken X2 ile X3 arasındaki kısmi ilinti: r23.1 Bunlara “birinci dereceden” (first order) ilinti katsayıları denir. Buradaki derece ikincil alt imlerin sayısıdır. Buna göre, X3 ve ikinci bir X4 sabit tutulurken bulunan r12.34 de ikinci dereceden bir ilinti katsayısı olur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Kısmi ˙Ilinti Katsayıları Birinci dereceden kısmi ilinti katsayılarını hesaplamak için ˘ a¸sagıdaki e¸sitlikler kullanılabilir: r12.3 = q r13.2 = q r23.1 = q
r12 − r13 r23
2 )(1 − r 2 ) (1 − r13 23
r13 − r12 r23
2 )(1 − r 2 ) (1 − r12 23
r23 − r12 r13
2 )(1 − r 2 ) (1 − r12 13
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Çoklu Belirleme ve ˙Ilinti Katsayıları ˘ Sorunu Model Belirtim Yanlılıgı Kısmi ˙Ilinti Katsayıları
Kısmi ˙Ilinti Katsayıları ˘ skenli modellerde basit ilinti katsayılarını yorumlarken Çok degi¸ dikkatli olunmalıdır. Formüllerden s¸ unlar görülebilmektedir: r12 = 0 olsa bile r13 veya r23 sıfır olmadıkça r12.3 = 0 olmaz. ˘ r12.3 ile r12 aynı i¸sareti ta¸sımak zorunda degildir. r13 = r23 = 0 olması r12 = 0 anlamına gelmez. ˙Ikili baglanımdaki ˘ 0 ≤ r 2 ≤ 1 tanımını anımsayalım. Kısmi ilinti katsayıları kareleri için de geçerli olan bu durumdan yararlanılarak, üç sıfırıncı dereceden ilinti katsayısı arasındaki ili¸ski s¸ öyle gösterilebilir: 2 + r 2 + r 2 − 2r r r 0 ≤ r12 12 13 23 ≤ 1 23 13 ˘ gibi, Y ile X2 ve Yukarıdaki e¸sitsizlikten de anla¸sılabilecegi ˘ X2 ile X3 ’ün ilintisiz olması Y ile X3 ’ün de ilintisiz olacagı anlamına gelmemektedir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ Çokterimli Baglanım Modelleri ˙Iki degi¸ ˘ sken arasındaki dogrusal ˘ olmayan bir ili¸skiyi SEK yöntemi ile inceleyebilmek için “çokterimli” (polynomial) ˘ baglanım modellerinden yararlanılabilir. Örnek olarak bir malın üretiminin marjinal maliyeti (Y ) ile o malın üretim düzeyi (X ) arasındaki ili¸skiyi gösteren “u” harfi ˘ biçimindeki MM egrisi geometrik olarak bir paraboldür: Y = β0 + β1 X + β2 X 2 Bu i¸sleve “kareli i¸slev” (quadratic function) ya da “ikinci derece çokterimli” (second degree polynomial) adı verilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ Çokterimli Baglanım Modelleri ˘ ˘ olasılıksal olarak yazalım: Marjinal maliyet egrisi örnegini Yi = β0 + β1 Xi + β2 Xi2 + ui ˘ sken olan X , farklı kuvvetlerle Buradaki tek açıklayıcı degi¸ ˘ için bu model bir çoklu baglanım ˘ gösterildigi modelidir. ˘ Çokterimli modeller β katsayılarında dogrusal oldukları için SEK yöntemi ile tahmin edilebilirler. Bu modelde X ve X ’in kuvvetleri arasındaki ili¸ski güçlü ˘ ˘ için, KDBM’nin olmakla birlikte dogrusal olmadıgı ˘ ˘ “çoklue¸sdogrusallık yoktur” varsayımı çignenmemi¸ s olur.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ Çokterimli Baglanım Modelleri ˘ Çokterimli baglanım modeline örnek olarak üretim ve toplam maliyet arasındaki ili¸skiyi ele alalım. ˘ ˘ Yayvan bir “s” egrisine benzeyen toplam maliyet egrisini üçüncü derece bir çokterimli ile modelleyebiliriz: Yi = β0 + β1 Xi + β2 Xi2 + β3 Xi3 + ui Modelin kuramsal beklentilere uyması ve “u” biçimindeki ˘ ortalama ve marjinal maliyet egrilerini gösterebilmesi için gerekli matematiksel sınırlamalar s¸ unlardır: β0 , β1 , β3 > 0 β2 < 0 β22 < 3β1 β3 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
˘ ˘ Çokterimli modeli yapay verilere yakı¸stırdıgımızda a¸sagıdaki bulguları elde ediyoruz: Yˆt = 141,7667 + 63,4776 Xi - 12,9615 Xi2 + 0,9396 Xi3 R 2 = 0,9983 öh (6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591)
˘ Sonuçlar katsayı tahmin degerlerinin kuramsal beklentiler ˘ ile örtü¸stügünü göstermektedir. ˘ Bulguların istatistiksel olarak degerlendirilmesi ise bir sonraki bölümde ele alınacaktır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)
˘ skenli Model Üç Degi¸ ˘ ˘ Çoklu Baglanımda Yakı¸smanın ˙Iyiligi ˘ Çokterimli Baglanım Modelleri
Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev
Ödev Kitaptan Bölüm 7 “Multiple Regression Analysis: The Problem of Estimation” okunacak. Önümüzdeki Ders ˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi: Çıkarsama Sorunu
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ Çoklu Baglanım Çözümlemesi (sürüm 1,81)