Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ˙Iktisat Bölümü
˙IKT352 – Ekonometri II
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Kullanım Sartları ¸
˙Is¸ bu ekonometri ders malzemesi, A. Talha Yalta tarafından, "Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported License" (CC-by-SA-3.0) lisans s¸ artları altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmu¸stur. Yani, eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve ˘ geçerli lisansın korunması s¸ artıyla özgürce kullanılabilir, çogaltılabilir, ˘ stirilebilir. Creative Commons örgütü ve “CC-by-SA-3.0” lisansı degi¸ ile ilgili ayrıntılı bilgi “http://creativecommons.org” adresinde bulunmaktadır. Ders notlarının “pdf” biçimindeki en yeni sürümüne “http://yalta.etu.edu.tr” adresinden ula¸sabilirsiniz. Dr. A. Talha Yalta, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi (2010)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Ders Planı 1
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙Is¸ lemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
2
Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
3
Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizey Nedir? ˘ skenli bir baglanım ˘ Dizey cebiri kullanmaksızın k degi¸ ˘ smak son derece karma¸sık bir i¸stir. modeliyle ugra¸ ˘ ˘ Burada, dogrusal baglanım modelini dizey yakla¸sımı ile ele alabilmek için gerekli temel altyapı sunulacaktır. Dizey M × N boyutlu bir “dizey” (matrix), M satır ve N sütun biçiminde ˘ düzenlenmi¸s sayılar veya ögelerin dikdörtgen bir dizgesidir. a11 a12 . . . A = [aij ] = a21 a22 . . . .. .. .. . . . aij burada A dizeyinin i’inci satırı ve j’inci sütununda ˘ görülen ögeyi anlatmaktadır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Sayıl 2 × 3 boyutundaki bir dizeye örnek: 2 3 5 A2×3 = 6 1 3
Sayıl “Sayıl” (scalar), tek bir gerçek sayıdır ve 1 × 1 boyutunda bir dizey kabul edilir. Sayıla örnek: B1×1 = [5]
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Satır ve Sütun Yöneyleri
Sütun Yöneyi Tek bir sütunu ve M sayıda satırı olan dizeye “sütun yöneyi” (column vector) denir. Satır Yöneyi Tek bir satırı ve N sayıda sütunu olan dizeye “satır yöneyi” (row vector) denir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Sütun yöneyine örnek: 3 3 6 4 7 7 =6 4 5 5 9 2
A4×1
Satır yöneyine örnek: B1×4 =
ˆ
1
2
5
−4
˜
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Altdizey Altdizey M × N boyutundaki bir A dizeyinin r sayıda satırı ile s sayıda ˘ sütununun dı¸sındaki tüm ögeleri silinirse elde edilen r × s boyutlu dizey, A’ya ait bir “altdizey” (submatrix) olur. ˘ Örnek olarak, a¸sagıda verilen A dizeyinin üçüncü satırıyla ikinci sütununu silersek A’nın 2 × 2 boyutundaki bir B altdizeyini bulmu¸s oluruz: 3 5 7 3 7 B2×2 = A3×3 = 8 2 1 8 1 3 2 1 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Kare Dizey ve Kö¸segen Dizey Kare Dizey Satır sayısı sütun sayısı ile aynı olan dizeye “kare dizey” (square matrix) denir.
Kare dizeye örnek: 3 5 7 A3×3 = 8 2 1 3 2 1
Kö¸segen Dizey Asal (sol üst kö¸seden sag˘ alt kö¸seye uzanan) kö¸segeninde en ˘ bulunan az bir sıfırdan farklı öge ˘ ve bu kö¸segen dı¸sı tüm ögeleri sıfır olan dizeye “kö¸segen dizey” (diagonal matrix) denir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Kö¸segen dizeye örnek: −2 0 0 B3×3 = 0 0 0 0 0 5
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Sayıl Dizey ve Birim Dizey Sayıl Dizey ˘ Kö¸segeni üzerindeki ögelerinin hepsi aynı olan kö¸segen dizeye “sayıl dizey” (scalar matrix) denir. Birim Dizey ˘ Kö¸segeni üzerindeki ögelerinin hepsi 1 olan kö¸segen dizeye “birim dizey” (identity matrix) denir ve I ile gösterilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Sayıl dizeye örnek: 2 σ 0 0 A3×3 = 0 σ 2 0 0 0 σ2 Birim dizeye örnek: 1 0 0 I3×3 = 0 1 0 0 0 1
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Bakı¸sımlı Dizey ve E¸sit Dizeyler Bakı¸sımlı Dizey ˘ Asal kö¸segeni üzerindeki ögeleri, ˘ asal kö¸segeni altındaki ögelerinin bakı¸sımı olan dizeye “bakı¸sımlı dizey” (symmetric matrix) denir. ˘ kendisine e¸sittir. Devrigi E¸sit Dizeyler A ve B gibi iki dizeyin boyutları ˘ aynıysa ve kar¸sılıklı ögeleri birbirine e¸sitse (aij = bij ), bu dizeyler e¸sittir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bakı¸sımlı dizeye örnek: 9 1 3 I3×3 = 1 8 2 3 2 7 E¸sit dizeylere örnek: 1 0 1 0 5 1 5 1 0 1 = 0 1 7 4 7 4
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Bo¸s Dizey ve Bo¸s Yöney
Bo¸s Dizey ˘ Bütün ögeleri sıfır olan dizeye “bo¸s dizey” (null matrix) denir ve 0 ile gösterilir. Bo¸s Yöney ˘ Bütün ögeleri sıfır olan satır veya sütun yöneyine “bo¸s yöney” (null vector) denir ve 0 ile gösterilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
Bo¸s dizeye örnek: 0 0 0 03×3 = 0 0 0 0 0 0 Bo¸s yöneye örnek: 01×4 = 0 0 0 0
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizey Toplaması ve Çıkarması Dizey Toplaması ve Çıkarması ˘ A ve B dizeylerinin toplamı veya farkı, kar¸sılıklı ögelerinin toplamı veya farkı alınarak elde edilir. Bu dizeylerin toplama veya çıkarma için uyumlu olabilmeleri için boyutları aynı olmalıdır. Dizey toplamasına örnek: 3 4 3 0 6 4 A3×2 + B3×2 = 1 0 + 6 0 = 7 0 0 8 7 1 7 9
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizey Çarpımı Bir Dizeyin Bir Sayıl ile Çarpımı veya Bölümü Bir A dizeyini λ ∈ R sayılı ile çarpmak veya bölmek için, dizeyin ˘ bütün ögeleri λ ile çarpılır veya λ 6= 0’a bölünür. Dizeyler Çarpımı Boyutu M × N olan A ve boyutu N × P olan B dizeylerinin AB ˘ çarpımı, M × P boyutunda ve a¸sagıdaki gibi bir C dizeyi olur. cij =
N X
aik bkj
i = {1, 2, . . . , M}
j = {1, 2, . . . , P}
k =1
˘ bir deyi¸sle C’nin i’inci satır ve j’inci sütun ögesi, ˘ Diger A’nın ˘ i’inci satırındaki ögelerinin B’nin j’inci sütunundaki kar¸sılıklı ˘ ögeleri ile çarpılıp, çarpımların toplanması ile bulunur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizey Çarpımının Özellikleri ˘ Dizey çarpımı i¸slemi a¸sagıdaki özellikleri ta¸sır: 1
˘ smeli olmak zorunda degildir. ˘ Dizey çarpımı degi¸ Kısaca dizeylerin çarpım sıralaması önemlidir: AB 6= BA
2
AB ve BA’nın sonuç dizeyleri aynı boyutta olmayabilir: AK ×L BL×K = CK ×K
BL×K AK ×L = DL×L
3
A1×K satır yöneyiyle önden çarpılan BK ×1 sütun yöneyi bir sayıl olur.
4
AK ×1 sütun yöneyiyle önden çarpılan B1×K satır yöneyi bir dizey olur.
5
Dizey çarpımı birle¸stiricidir: (AB)C = A(BC)
6
˘ Dizey çarpımı toplama bakımından dagıtıcıdır: A(B + C) = AB + AC Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
˘ Alınması Dizey Devrigi
Devrik Alma ˘ (transpose), M × N bir A dizeyinin A′ ile gösterilen “devrigi” ˘ stirterek, yani A’nın i’inci A’nın satır ve sütunlarına yer degi¸ satırını A′ ’nün i’inci sütunu yaparak elde edilen N × M dizeyidir. 4 5 4 3 5 ′ A2×3 = A3×2 = 3 1 5 1 0 5 0 ˘ sütun yöneyi olup, bir sütun Bir satır yöneyinin devrigi ˘ de satır yöneyidir. yöneyinin devrigi
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Devrik Dizeyin Özellikleri Devrik dizey dönü¸sümünün bazı özellikleri s¸ unlardır: 1 2
˘ ilk dizeydir: (A′ )′ = A Devrik bir dizeyin devrigi ˙Iki dizey toplamının devrigi, ˘ devriklerin toplamıdır: (A + B)′ = A′ + B′
3
˘ bu dizeylerin devriklerinin ters Dizey çarpımının devrigi, sırada çarpımıdır: (ABCD)′ = D′ C′ B′ A′
4
˘ kendisidir: I′ = I Birim dizey I’nın devrigi
5
˘ kendisidir. λ bir sayıl olsun: λ′ = λ Bir sayılın devrigi
6
λ bir sayıl olsun: (λA)′ = λA′ = A′ λ = A′ λ′
7
˘ A′ = A olacak s¸ ekilde kare dizeyse, A A dizeyi eger bakı¸sımlı bir dizey olur.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Bir Dizeyin Belirleyeni Her kare dizey A için, belirleyen (determinant) diye bilinen ve |A| s¸ eklinde gösterilen bir sayıl vardır. Bir dizeyin belirleyeninin hesaplanması, iyi tanımlı bir dizi i¸slem ile gerçekle¸stirilir. Örnek olarak 2 × 2 boyutundaki bir dizeyin belirleyeni, asal ˘ ˘ kö¸segen kö¸segen üzerindeki ögelerin çarpımından diger ˘ ögelerinin çarpımının çıkartılması ile bulunur. Herhangi bir derecedeki belirleyenin açılımında, terimler dönü¸sümlü olarak + ve − i¸saret alırlar. 3 × 3 bir belirleyenin açılımında 6 terim bulunur. Genel olarak, N × N bir belirleyenin açılımında N! terim vardır. Buna göre, 5 × 5 bir dizeye ait belirleyenin açılımında 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 terim bulunur. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Belirleyenin Özellikleri ˘ Belirleyenin özellikleri a¸sagıdaki gibidir: 1 Belirleyeni sıfır olan dizeye “tekil dizey” (singular matrix) denir. Bireysel bir dizey için dizey tersi bulunamaz. 2 ˘ A’nın herhangi bir satırındaki tüm ögeler sıfırsa, belirleyeni de sıfır olur. 3 A ile devrik A’nın belirleyenleri aynıdır: |A′ | = |A| 4 ˘ stirirse, A dizeyinin herhangi iki satır veya sütunu yer degi¸ ˘ sir. |A|’nın i¸sareti degi¸ 5 A’nın iki satır veya sütunu aynıysa, belirleyeni sıfır olur. 6 A’nın bir satır veya sütunu ba¸ska bir satır veya sütununun ˘ bir katı veya dogrusal bir birle¸simiyse, belirleyeni sıfırdır. 7 ˘ A’nın bir satır veya sütunundaki tüm ögeler bir λ sayılı ile çarpılırsa, |A| da λ ile çarpılır. ˙Iki dizeyin çarpımının belirleyeni dizeylerin ayrı ayrı 8 belirleyenlerinin çarpımına e¸sitir: |AB| = |A||B| Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Bir Dizeyin Derecesi Bir Dizeyin Derecesi Bir dizeyin “derecesi” (rank), belirleyeni sıfır olmayan en büyük alt dizeyinin boyutudur. ˘ ˘ Örnek olarak, a¸sagıda verilen dizey için |A| = 0 oldugu görülebilir. Ba¸ska bir deyi¸sle A tekil bir dizeydir: 3 6 6 A3×3 = 0 4 5 3 2 1 Burada A’nın derecesi 2’dir çünkü 2 × 2 boyutundaki bir altdizeyinin belirleyeni sıfırdan farklıdır: 4 5 B2×2 = 2 1 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Minör Minör N × N boyutundaki bir A dizeyinin i’inci satırı ile j’inci sütunu ˘ silinirse, kalan altdizeyin belirleyenine aij ögesinin “minörü” (minor) denir ve |Mij | ile gösterilir. ˘ Örnek olarak a¸sagıda verilen dizeyi ele alalım: a11 a12 a13 A3×3 = a21 a22 a23 a31 a32 a33 Burada a11 ’in minörü s¸ udur:
a a23 |M11 | =
22 a32 a33 Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
= a22 a33 − a23 a32
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
E¸sçarpan Dizey ve Ek Dizey E¸sçarpan ˘ N × N boyutlu bir A dizeyinin aij ögesinin “e¸sçarpanı” (cofactor) s¸ öyle tanımlanır: cij = (−1)i+j |Mij | Bir ba¸ska deyi¸sle e¸sçarpan i¸saretli bir minördür ve i¸sareti de (i + j) toplamı çiftse artı, tekse eksidir. E¸sçarpan Dizeyi ˘ A’nın “e¸sçarpan dizeyi” (cofactor matrix), aij ögelerinin yerine e¸sçarpanları koyularak elde edilir ve (cof A) ile gösterilir. Ek Dizey ˘ “Ek dizey” (adjoint matrix), e¸sçarpan dizeyinin devrigidir ve (adj A) ile gösterilir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
˘ Alma Bir Dizeyin Evrigini Evrik Dizey A tekil olmayan (|A| = 6 0) bir dizeyse, A−1 “evrik” (inverse) dizeyi s¸ u s¸ ekilde bulunur: A−1 =
1 (adjA) |A|
˘ alma i¸sleminin adımları a¸sagıdaki ˘ Dizey evrigi gibidir: 1
A’nın belirleyeni hesaplanır.
2
˘ A’nın aij ögelerinin yerine e¸sçarpanları koyularak e¸sçarpan dizeyi (cof A) elde edilir.
3
˘ alınarak ek dizey (adj A) bulunur. E¸sçarpan dizeyin devrigi
4
˘ Son olarak ek dizeyin tüm ögeleri |A|’ya bölünür. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Dizeyler ile ˙Ilgili Tanımlar Dizey ˙I¸slemleri Dizeylerde Belirleyen ve Evrik Alma
Dizeylerde Türev Alma Dizeylerde türev almaya ili¸skin iki önemli kural s¸ unlardır: 1. Kural ˘ a′ 1 × N boyutunda bir satır yöneyi ve x N × 1 boyutunda Eger ˘ bir sütun yöneyiyse, a¸sagıdaki e¸sitlik geçerlidir: ∂(a′ x) =a ∂x 2. Kural ˘ A N × N boyutunda bir kare dizeyse, a¸sagıdaki ˘ Eger e¸sitlikler geçerlidir: ∂(x′ Ax) = 2Ax = 2x′ A ∂x Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
Dizey Yakla¸sımının Önemi ˘ ˘ skeni ile (k − 1) sayıda açıklayıcı degi¸ ˘ sken Y bagımlı degi¸ ˘ skenli dogrusal ˘ ˘ (X2 ,X3 , . . . ,Xk ) içeren k degi¸ baglanım ˘ yakla¸sım dizey cebiridir. modelini ele almak için en dogru ˘ herhangi Dizey cebirinin “sayıl” (scalar) cebirine üstünlügü, ˘ sken içeren baglanım ˘ bir sayıda degi¸ modellerini ele alı¸staki yalın ve öz yakla¸sımıdır. ˘ skenli model bir kez kurulduktan ve dizey cebiri ile k degi¸ ˘ skene çözüldükten sonra bu çözüm çok sayıda degi¸ kolaylıkla uygulanabilir. ˘ skenli anakütle baglanım ˘ k degi¸ i¸slevini (AB˙I) hatırlayalım: Yi = β1 + β2 X2i + β3 X3i + · · · + βk Xki + ui ,
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
i = 1, 2, . . . , n
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
˘ skenli Dogrusal ˘ ˘ k Degi¸ Baglanım Modeli ˘ Elimizdeki AB˙I, a¸sagıda gösterilen n sayıdaki e¸sanlı denklemin kısa yazılı¸sıdır: Y1 Y2 .. .
= = .. .
β1 β1 .. .
+ β2 X21 + β2 X22 .. .. . .
+ β3 X31 + β3 X32 .. .. . .
+ ... + ... .. . . . .
+ βk Xk 1 + βk Xk 2 .. .. . .
+ + .. .
u1 u2 .. .
Yn
=
β1 + β2 X2n + β3 X3n + . . . + βk Xkn
+
un
Yukarıdaki denklem setini s¸ öyle de gösterebiliriz:
Y1 Y2 .. . Yn
=
Yani: Yn×1 =
X21 X22 .. .
X31 X32 .. .
... ... .. .
Xk 1 Xk 2 .. .
1 X2n
X3n
...
Xkn
1 1 .. .
Xn×k
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
β1 β2 .. . βk
+
u1 u2 .. . un
Bk ×1 + un×1 ˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
˘ skenli Dogrusal ˘ ˘ k Degi¸ Baglanım Modeli ˘ yol açmayacagı ˘ X, Y, B ve u’nun boyutlarının karı¸sıklıga ˘ ˘ durumda, dogrusal baglanım modelinin dizey gösterimi ˘ a¸sagıdaki gibi olur: Y = XB + u Burada: ˘ ˘ sken gözlemlerinin n × 1 boyutlu sütun Y, bagımlı degi¸ yöneyini; ˘ skenin n sayıdaki X, X2 ’den Xk ’ye kadar olan k − 1 degi¸ gözleminin n × k boyutlu dizeyini; B ise β1 , β2 , . . . , βk anakütle katsayılarının k × 1 boyutlu sütun yöneyini; u ise n sayıdaki ui “bozukluklarının” (disturbance) n × 1 boyutundaki sütun yöneyini göstermektedir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
˘ skenli Dogrusal ˘ ˘ k Degi¸ Baglanım Modeli ˘ skenli Örnek olarak, daha önce incelenmi¸s olan iki degi¸ tüketim-gelir modelinin dizey yakla¸sımı ile gösterimi s¸ udur: 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4
70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
3
2
7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7=6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 5 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Y10×1 = X10×2
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
3
2
6 7 6 7 6 7 6 7 6 7» – 6 7 6 7 β1 +6 7 β 6 7 2 6 7 6 7 6 7 6 7 4 5
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u10
3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5
B2×1 + u10×1
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
1. Varsayım ˘ Dizey cebiri yakla¸sımı, önceden görmü¸s oldugumuz klasik ˘ ˘ dogrusal baglanım modeli (KDBM) varsayımlarını incelemede ˘ büyük kolaylık saglamaktadır. Simdi ¸ bu be¸s varsayımı dizey yakla¸sımı ile ele alalım: 1. Varsayım ˘ ˘ sıfırdır. u bozukluk yöneyinin tüm ögeleri için beklenen deger ˘ Kısaca hata teriminin beklenen degeri sıfırdır: E (u) = 0. Daha açık olarak E (u) = 0 s¸ u demektir: u1 B6 u2 B6 E B6 . @4 .. un 02
31
7C 7C 7C = 5A
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
E(u1 ) 6 E(u2 ) 6 6 .. 4 . E(un ) 2
2 0 7 6 0 7 6 7=6 . 5 4 .. 0 3
3 7 7 7 5
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
2. Varsayım
2. Varsayım ui hataları, sıfır ortalama ve sabit bir varyans ile normal ˘ dagılırlar: u ∼ N(0, σ 2 I). u burada n × 1 boyutlu sütun yöneyi, 0 ise aynı boyutlu bir bo¸s yöneydir. ˘ Bu varsayım, baglanımın tahmin edilmesinden sonra çe¸sitli önsav sınamalarının yapılabilmesi için gereklidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
3. Varsayım 3. Varsayım Hatalar arasında serisel ilinti yoktur: E (uu′ ) = σ 2 I. Bu varsayımın daha önce sayısal olarak ele alınan üç ˘ s¸ öyle gösterilebilir: varsayımın kısa ve öz anlatımı oldugu 2
6 6 E(uu′ ) = E 6 4
u1 u2 .. . un
3
7ˆ 7 7 u1 5
2
u2
...
un
˜
6 6 =E6 4
u12 u2 u1 .. . un u1
u1 u2 u22 .. . un u2
... ... .. . ...
u1 un u2 un .. . un2
3 7 7 7 5
(. . . devam)
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
3. Varsayım ˘ ˘ Dizeyin her bir ögesinin beklenen degerini alalım: u12 6 u2 u1 6 E6 .. 4 . un u1 2
u1 u2 u22 .. . un u2
u1 un u2 un .. . un2
... ... .. . ...
3
7 7 7= 5
E(u12 ) 6 E(u2 u1 ) 6 6 .. 4 . E(un u1 )
E(u1 u2 ) E(u22 ) .. . E(un u2 )
2
E(u1 un ) E(u2 un ) .. . E(un2 )
... ... .. . ...
3 7 7 7 5
Hata terimi ortalaması sıfır varsayılıdır: E (ui ) = µ = 0 Varyans ve kovaryansın formüllerini hatırlayalım: var(X ) = E (X 2 ) − µ2 , cov(X , Y ) = E (XY ) − µX µY Buna göre, ui hatalarının “varyans-kovaryans dizeyi” (variance-covariance matrix) 3. varsayıma göre s¸ öyledir: σ2 6 0 6 E(uu′ ) = 6 . 4 .. 0 2
0 σ2 . .. 0
... ... .. . ...
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
0 0 . .. σ2
3
2
6 7 6 7 7 = σ2 6 4 5
1 0 . .. 0
0 1 . .. 0
... ... .. . ...
0 0 . .. 1
3
7 7 7 = σ2 I 5
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
4. Varsayım
4. Varsayım ˘ n × n boyutlu X dizeyi olasılıklı degildir. ˘ bir deyi¸sle X2i , X3i , . . . , Xki degi¸ ˘ smeyen sayılardan Diger olu¸smaktadır. ˘ gibi, elimizdeki baglanım ˘ Ba¸sta belirtildigi çözümlemesi X ˘ skenlerinin verili degerlerine ˘ ˘ bir ko¸sullu baglanım ˘ degi¸ baglı çözümlemesidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
5. Varsayım
5. Varsayım X’in derecesi k’dir: ρ(X) = k. k burada X’in sütun sayısı olup, gözlem sayısı n’den küçüktür. ˘ bir deyi¸sle, X degi¸ ˘ skenleri arasında tam bir dogrusal ˘ Diger ˘ (multicollinearity) yoktur. ili¸ski ya da “çoklue¸sdogrusallık” ˘ bu varsayım gerçekle¸smez ise, baglanıma ˘ Eger ait X′ X dizeyinin belirleyeni sıfır olur ve çözümlemede gerekli olan tersi bulunamaz.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini
B yöneyini tahmin etmede sıradan en küçük kareler (SEK) ya da ençok olabilirlik (EO) yöntemleri kullanılabilir. ˘ Biz dikkatimizi SEK yöntemi üzerinde toplayacagız. ˘ ˘ skenli Baglanımın SEK tahminini bulmak için önce k degi¸ ˘ örneklem baglanım i¸slevini (ÖB˙I) yazalım: ˘ sken ˙Içeren ÖB˙I k Degi¸ Yi = βˆ1 + βˆ2 X2i + βˆ3 X3i + · · · + βˆk Xki + uˆi
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini ˘ Örneklem baglanım i¸slevi, dizey gösterimiyle açık olarak s¸ öyle gösterilebilir: 2 6 6 6 4
Y1 Y2 .. . Yn
3
2
7 6 7 6 7=6 5 4
Yn×1 =
1 1 .. . 1
X21 X22 .. . X2n
X31 X32 .. . X3n
Xn×k
... ... .. . ...
Xk 1 Xk 2 .. . Xkn
32 76 76 76 56 4
βˆ1 βˆ2 .. . βˆk
3
2 7 6 7 6 7+6 7 4 5
uˆ1 uˆ2 .. . uˆn
3 7 7 7 5
ˆ k ×1 + u ˆ n×1 B
Yukarıdaki e¸sitlik s¸ u s¸ ekilde de yazılabilir: ˆ ˆ = Y − XB u ˘ gibi SEK tahmincileri hata kareleri toplamının Bilindigi enazlanması yolu ile bulunmaktadır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini ˘ Hata kareleri toplamının a¸sagıda verilen gösterim s¸ ekline dikkat etmek gerekir:
ˆ′u ˆ= u
ˆ
uˆ1
uˆ2
...
uˆn
2
˜6 6 6 4
uˆ1 uˆ2 . .. ˆ un
3
7 X 2 7 2 2 2 uˆi 7 = uˆ1 + uˆ2 + · · · + uˆn = 5
˘ Buna göre u′ u’nun dizey gösterimi a¸sagıdaki gibidir: ˆ ˆ = Y − XB u ′ ˆ ′ (Y − XB) ˆ ˆu ˆ = (Y − XB) u ′ ′ ′ ˆ ˆ ˆ = Y Y − 2B X Y + B′ X′ XB ˆ bir sayıl oldugu ˘ için kendi devrigi ˘ olan Burada Y′ XB, ′ ′ ˆ B X Y’ye e¸sittir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini ˆ ′ X′ Y + B ˆ ′ X′ XB ˆ e¸sitligini ˆ ′u ˆ = Y′ Y − 2B ˘ enazlamak için, bu u ˆ ˘ B’ya göre kısmi türevi alınır ve sıfıra e¸sitlenir. e¸sitligin Bu i¸slem bize “normal denklemler” (normal equations) denilen k bilinmeyenli k e¸sanlı denklemi verir: P X3i + βˆ3 P ˆ X2i X3i + β3 P 2 ˆ X3i + β3 . . . . . . P + βˆ3 Xki X3i
P X βˆ n + βˆ2 P 2i P 1 2 ˆ ˆ X2i X + β β1 P2 P 2i ˆ ˆ X3i X2i X3i + β2 β1 . . . . . . . . . P P βˆ1 Xki + βˆ2 Xki X2i
n P 6 6 P X2i 6 X3i 6 6 6 . 6 . 4 . P Xki 2
P X P 2i 2 X2i P X3i X2i
P
P
P
. . . Xki X2i
P X3i X2i X3i P 2 X3i
. . . Xki X3i
... ... ... .
.
.
...
P Xki P X2i Xki P X3i Xki
+···+ +···+ +···+ . . . . . . . . . +···+
P Xki βˆk P ˆ X X βk P 2i ki ˆ X3i Xki βk . . . P 2 βˆk Xki
2 3 βˆ1 1 7 6 βˆ 7 6 X21 2 7 76 6 7 6 βˆ 7 6 X 31 76 3 7 =6 7 6 . 76 . . 7 6 76 . . . 7 4 5 4 5 . . . P 2 X ˆ k 1 βk Xki
(X′ X)k ×k Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
32
ˆ k ×1 = B
= = = . . . =
1 X22 X32 . . . Xk 2
P Y P i X Y P 2i i X3i Yi . . . P Xki Yi
... ... ... . . . ...
1 X2n X3n . . . Xkn
Y1 7 6 Y2 76 7 6 Y3 76 76 . 76 . 54 . Yn 32
3 7 7 7 7 7 7 5
X′ k ×n Yn×1
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini 2
6 6 6 XX=6 6 4 ′
n P X2i P X3i .. . P Xki
P X P 2i2 X2i P X3i X2i .. . P Xki X2i
P
X3i X2i X3i P 2 X3i .. . P Xki X3i
P
... ... ... .. . ...
P Xki P X2i Xki P X3i Xki .. . P 2 Xki
3 7 7 7 7 7 5
Normal denklemlerin dizey gösteriminde yer alan yukarıdaki ˘ (X′ X) dizeyi önemlidir. Bu dizeyin s¸ u üç özelligine dikkat edelim: 1
˘ (X′ X) dizeyi k × k boyutundadır ve olasılıksal degildir.
2
˘ Asal kö¸segen ögeleri ham kare toplamlarını, kö¸segen dı¸sı ˘ ögeler ise ham çapraz çarpım toplamlarını gösterir.
3
˘ X2i X3i çapraz çarpımı X3i X2i çapraz çarpımına e¸sit oldugu için dizey bakı¸sımlıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
SEK Tahmini Normal denklemlerin dizey gösterimi kısaca s¸ öyledir: ˆ = X′ Y (X′ X)B ′ ˘ (X X) dizeyinin evrigi ˘ varsa, yukarıdaki denklemin her Eger iki yanını bu evrik dizeyle önden çarparak s¸ unu bulabiliriz: ˆ = X′ Y (X′ X)B ′ −1 ′ ˆ = (X′ X)−1 X′ Y (X X) (X X)B ˆ = (X′ X)−1 X′ Y IB Buna göre SEK kuramının temel denkleminin dizey gösterimi s¸ udur: ˆ = (X′ X)−1 X′ Y B ˆ yöneyinin nasıl Yukarıdaki e¸sitlik, eldeki verilerden B ˘ gösterir. tahmin edilecegini Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
Varyans-Kovaryans Dizeyi Herhangi bir βˆi varyansı yanında tüm βˆi ve βˆj ’lar arasındaki kovaryansları dizey yöntemi ile kolayca gösterebiliriz. Bu varyans ve kovaryanslar çe¸sitli istatistiksel çıkarsama i¸slemleri için önemlidir. ˆ “varyans-kovaryans dizeyi” (variance-covariance B’nın matrix) s¸ u s¸ ekilde tanımlanmı¸stır: Varyans-Kovaryans Dizeyi ˆ = E [B ˆ − B][B ˆ − B]′ varcov(B) Buna göre: 2
6 6 ˆ =6 varcov(B) 6 4
var(βˆ1 ) cov(βˆ2 , βˆ1 ) .. . cov(βˆk , βˆ1 )
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
cov(βˆ1 , βˆ2 ) var(βˆ2 ) .. . cov(βˆk , βˆ2 )
... ... .. . ...
cov(βˆ1 , βˆk ) cov(βˆ2 , βˆk ) .. . var(βˆk )
3 7 7 7 7 5
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
VarCov Dizeyinin Türetilmesi ˆ ˘ varcov(B)’yı türetmede Y = XB + u e¸sitliginden yararlanılır. ˆ = (X′ X)−1 X′ Y Üsttekini B temel denkleminde yerine koyarsak s¸ unu elde ederiz:
ˆ − B = (X′ X)−1 X′ u. Demek ki B ˆ varcov(B) varyans-kovaryans ˘ s¸ öyledir: dizeyi ise tanım geregi ′ ˆ ˆ ˆ varcov(B)=E([ ` B − B][B − B] ) ´ =E [(X′ X)−1 X′ u][(X′ X)−1 X′ u]′ ′ −1 ′ ′ ′ −1 =E(X X) X uu X(X X) )
′ ˆ B=(X X)−1 X′ (XB + u) =(X′ X)−1 X′ XB + (X′ X)−1 X′ u =B + (X′ X)−1 X′ u
˘ X ’lerin olasılıklı olmadıgına dikkat edilerek s¸ u bulunabilir: ˆ varcov(B)
= = =
(X′ X)−1 X′ E(uu′ )X(X′ X)−1 (X′ X)−1 X′ σ 2 IX(X′ X)−1 σ 2 (X′ X)−1
Dikkat: Yukarıda E (uu′ ) = σ 2 I varsayımı kullanılmı¸stır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
Varyans-Kovaryans Dizeyi ˘ gibi varyans-kovaryans Türetilmesinden de anla¸sılacagı ˘ dizeyi a¸sagıdaki gibi gösterilmektedir: ˆ = σ 2 (X′ X)−1 varcov(B) ˆ SEK tahmincilerini veren e¸sitlikte yer (X′ X)−1 burada B alan evrik dizeydir. σ 2 ise ui ’nin sabit varyansıdır. Uygulamada σ 2 yerine yansız tahminci σ ˆ 2 kullanılır. ˘ skenli durumda σ ˘ k degi¸ ˆ 2 a¸sagıdaki e¸sitlikten bulunabilir: ˆ ′u ˆ u uˆi 2 = σ ˆ = n−k n−k 2
P
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
Varyans-Kovaryans Dizeyi ˆ ′u ˆ , ilke olarak tahmin edilen kalıntılardan bulunabilse de u ˘ uygulamada s¸ u yolla dogrudan hesaplanabilir: P 2 uˆi = KKT = TKT − BKT ˘ Toplam kareleri toplamı a¸sagıdaki s¸ ekilde gösterilir: TKT P
¯2 yˆi 2 = Y′ Y − nY
¯ 2 terimi burada ortalamadan sapma kareleri toplamının nY bulunması için gereken düzeltme terimidir. ˘ Baglanım kareleri toplamının dizey gösterimi ise s¸ öyledir: BKT P P ˆ ′ X′ Y − n Y ¯2 yi xki = B βˆ2 yi x2i + · · · + βˆk Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
Varyans-Kovaryans Dizeyi
Kalıntı kareleri toplamı, TKT ve BKT’nin dizey gösterimleri ˘ kullanılarak a¸sagıdaki gibi bulunur: KKT KKT ˆ ′u ˆ u
= = =
TKT − BKT ¯ 2 ) − (B ˆ ′ X′ Y − n Y ¯ 2) (Y′ Y − nY ˆ ′ X′ Y Y′ Y − B
ˆ ′u ˆ bulunduktan sonra σ u ˆ 2 ’yi kolayca hesaplayabiliriz. σ ˆ 2 ’yi hesapladıktan sonra ise varyans-kovaryans dizeyini tahmin edebiliriz.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
ˆ SEK Yöneyinin Özellikleri B
˘ SEK tahmincilerinin en iyi dogrusal yansız tahminci ya da kısaca “EDYT” (BLUE) olduklarını biliyoruz. ˆ yöneyi için de geçerlidir. Bu özellik B ˆ yöneyinin her bir ögesi ˘ ˘ ˘ skeninin dogrusal ˘ B Y bagımlı degi¸ i¸slevidir. ˆ yansızdır. Diger ˘ bir deyi¸sle tüm ögelerinin ˘ B beklenen ˆ = B. ˆ ˘ degeri kendisine e¸sittir: E (B) ˆ tüm B tahmincileri içinde en iyi, enaz SEK tahmincisi B, varyanslı tahmincidir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
R 2 ’nin Dizeyle Gösterimi
Belirleme katsayısı R 2 daha önce s¸ öyle tanımlanmı¸stı: R2 =
BKT TKT
Buna göre belirleme katsayısının dizey gösterimi de s¸ öyledir: R2 =
ˆ ′ X′ Y − n Y ¯2 B ¯2 Y′ Y − n Y
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
KDBM Varsayımlarının Dizey ile Gösterilmesi SEK Tahmini Varyans-Kovaryans Dizeyi
˙Ilinti Dizeyi ˘ skenli durumda, tüm degi¸ ˘ skenler arasındaki sıfırıncı k degi¸ dereceden ilinti katsayılarını veren “ilinti dizeyi” (correlation ˘ matrix) a¸sagıdaki gibi tanımlanır:
R=
r11 r21 .. .
r12 r22 .. .
r13 r23 .. .
... ... .. .
r1k r2k .. .
rk 1
rk 2
rk 3
...
rkk
=
1 r21 .. .
r12 1 .. .
r13 r23 .. .
... ... .. .
r1k r2k .. .
rk 1
rk 2
rk 3
...
1
˘ ˘ sken Y ’yi gösterir. Örnek 1 alt imi burada bagımlı degi¸ olarak, Y ile X2 arasındaki ilinti katsayısı r12 ’dir. ˘ skenin kendisiyle Asal kö¸segen üzerindeki 1’ler ise bir degi¸ olan ilinti katsayısının her zaman 1 olmasındandır. ˙Ilinti dizeyi R kullanılarak birinci dereceden ve daha yüksek dereceden ilinti katsayılarını da elde etmek olasıdır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Tahmin sonrasında çıkarsama yapabilmek için, ui hatalarının sıfır ortalama ve sabit varyans σ 2 ile normal ˘ dagıldıklarını varsayıyoruz: u ∼ N(0, σ 2 I) u burada n × 1 boyutlu sütun yöneyi, 0 ise bo¸s yöneydir. ˘ Buna göre, SEK tahmincileri βˆi ’lar da a¸sagıda gösterilen ˘ s¸ ekilde normal dagılırlar: ˆ ∼ N[B, σ 2 (X′ X)−1 ] B ˆ ˘ ˘ Demek ki β’nın her ögesi, gerçek B ögesiyle e¸sit ortalama ′ −1 ˘ ile ve (X X) ters dizeyinin asal kö¸segenindeki uygun öge ˘ çarpı σ 2 ’ye e¸sit varyans ile normal dagılmaktadır. ˘ σ 2 (X′ X)−1 ’in varyans-kovaryans dizeyi olduguna dikkat ediniz. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları ˘ için t dagılımına ˘ Uygulamada σ 2 bilinmedigi geçilir ve σ ˆ2 tahmincisi kullanılır. ˆ ˘ ˘ Bu durumda B’nın her ögesi n − k sd ile t dagılımına uyar: t=
βˆi − βi öh(βˆi )
ˆ ˘ βˆi burada B’nın bir ögesidir. ˘ Demek ki t dagılımını kullanarak herhangi bir βˆi ’nın güven ˘ aralıgını bulmak ve çe¸sitli sınamaları yapmak olanaklıdır.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Varyans Çözümlemesinin Dizey Gösterimi ˘ ˘ Tüm baglanım katsayılarının e¸sanlı olarak sıfıra e¸sit oldugu ˘ skenin ek katkısını ölçmek önsavını sınamak veya bir degi¸ için VARÇÖZ yöntemi kullanılır. TKT, BKT ve KKT’nin dizey gösterimleri kullanılarak ˘ a¸sagıdaki gibi bir VARÇÖZ çizelgesi düzenlenebilir: ˘ simin Kaynagı ˘ Degi¸
KT
sd
Kalıntılardan (KKT)
¯2 ˆ ′ X′ Y − nY B ′ ′ ′ ˆ Y Y−B X Y
Toplam (TKT)
Y′ Y
˘ Baglanımdan (BKT)
¯2 − nY
k −1 n−k
OKT ˆ ′ X′ Y−nY ¯2 B k −1 ′ ′ ′ ˆ Y Y−B X Y n−k
n−1
Buna göre: F =
¯ 2 )/(k − 1) ˆ ′ X′ Y − n Y (B ˆ ′ X′ Y)/(n − k) (Y′ Y − B
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Varyans Çözümlemesinin Dizey Gösterimi ˘ ˘ F ve R 2 degerleri arasında sıkı bir ili¸ski oldugunu biliyoruz. 2 Buna göre, VARÇÖZ çizelgesinin R gösterimi s¸ öyledir: ˘ simin Kaynagı ˘ Degi¸ ˘ Baglanımdan (BKT)
KT
sd
¯ 2) R 2 (Y′ Y − nY R 2 )(Y′ Y
Kalıntılardan (KKT)
(1 −
Toplam (TKT)
Y′ Y −
¯2 nY
¯ 2) − nY
k −1 n−k
OKT ¯ 2) R 2 (Y′ Y−nY k −1 2 ′ ¯ 2) (1−R )(Y Y−nY n−k
n−1
Demek ki: F =
R 2 /(k − 1) (1 − R 2 )/(n − k)
˘ tüm hesaplamaların yalnız R 2 ile Bu gösterimin üstünlügü, yapılabilmesi ve sadele¸stirme sonrası ortadan kalkacak ¯ 2 ) terimiyle ilgilenmeye gerek kalmamasıdır. olan (Y′ Y − nY Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Genel F Sınaması Genel olarak, F sınamasının amacı bir ya da birden fazla ˘ anakütle katsayısı üzerine konulan dogrusal sınırlamaları sınamaktır. ˘ ˘ Bu sınamanın dizey kar¸sılıgını türetebilmek için a¸sagıdaki tanımlardan yararlanalım: ˆS u ˆ SM u P 2 ˆS = ˆ ′S u ˆS u u P 2 ˆ SM = uˆSM ˆ ′SM u u m k n
˘ : Sınırlamalı SEK baglanımının kalıntı yöneyi ˘ : Sınırlamasız SEK baglanımının kalıntı yöneyi ˘ : Sınırlamalı baglanıma ait KKT ˘ : Sınırlamasız baglanıma ait KKT ˘ : Dogrusal sınırlama sayısı : Sabit terim dahil anakütle katsayılarının sayısı : Gözlem sayısı
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Genel F Sınaması
˘ Genel F sınamasının dizey gösterimi a¸sagıdaki gibidir: F =
ˆ ′S u ˆS − u ˆ ′SM u ˆ SM )/m (u ′ ˆ SM u ˆ SM )/(n − k) (u
Yukarıda gösterilen istatistik, m ve (n − k) serbestlik ˘ derecesi ile F dagılımına uyar. ˘ ˘ kritik F degerinden ˘ Hesaplanan F degeri eger büyükse, ˘ sınırlamalı baglanım sıfır önsavı reddedilir.
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
˘ Çoklu Baglanımla Kestirim ˘ ˘ Tahmin edilen bir baglanım i¸slevi, belli bir X0 degerine kar¸sılık gelen Y ’yi kestirmek için kullanılabilir. ˙Iki türlü kestirim vardır: “Ortalama kestirim” (mean prediction) ve “bireysel kestirim” (individual prediction). ˘ ˘ ˘ Ortalama kestirim, seçili X0 degerlerine baglanım dogrusu üzerinde yakı¸stırılan noktanın tahmin edilmesi demektir. ˘ olan Y degerinin ˘ Bireysel kestirim ise X0 ’ın kar¸sılıgı kendisidir. ˆ için aynı nokta tahmini verir. Bu iki kestirim biçimi de Y ˘ yandan bireysel kestirimin varyansı, ölçünlü hatası Diger ˘ olarak da güven aralıgı ˘ ortalama kestirime ve bunlara baglı göre daha yüksektir. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Ortalama Kestirimin Dizey Gösterimi Ortalama kestirimi dizey cebiri ile göstermek için, tahmin ˘ edilen çoklu baglanımın sayıl gösterimini hatırlayalım: ˆ ˆ ˆ Yi = β1 + β2 X2i + βˆ3 X3i + · · · + βˆk Xki ˘ dizey gösterimi kısaca s¸ öyledir: Yukarıdaki e¸sitligin ˆ Yˆi = x′ i B ′ x i = [1, X2i , X3i , . . . , Xki ] burada bir satır yöneyidir. ˆ ise tahmin edilen β’ları gösteren bir sütun yöneyidir. B Buna göre, verili bir x′ 0 = [1, X20 , X30 , . . . , Xk 0 ] yöneyine ˘ kar¸sılık gelen Yˆ0 ortalama kestirim a¸sagıdaki biçimi alır: ˆ (Yˆ0 |x′ 0 ) = x′ 0 B ˘ Burada x0 degerleri verilidir. Ayrıca ortalama kestirim ˆ = x′ 0 B. ˆ yansız bir kestirimdir: E (x′ 0 B) Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Ortalama Kestirimin Varyansı Ortalama kestirimin varyansı s¸ öyledir: var(Yˆ0 |x′ 0 ) = σ 2 x′ 0 (X′ X)−1 x′ 0 ˘ skenlerinin x′ 0 burada kestirim yapmada kullanılan X degi¸ ˘ verili degerlerini içeren satır yöneyidir. ˘ (X′ X)−1 ise çoklu baglanım tahmininde kullanılan dizeydir. Uygulamada, hata teriminin sabit varyansı σ 2 yerine yansız tahmincisi σ ˆ 2 koyularak formül s¸ u s¸ ekilde yazılır: var(Yˆ0 |x′ 0 ) = σ ˆ 2 x′ 0 (X′ X)−1 x′ 0 Yukarıdaki e¸sitlik kullanılarak, x′ 0 veriliyken Yˆ0 ortalama ˘ bulunabilir. kestirimin %100(1 − α) güven aralıgı Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Bireysel Kestirimin Dizey Gösterimi Y ’nin bireysel kestirimi (Y0 |x′ 0 ), ortalama kestirim (Yˆ0 |x′ 0 ) ile aynıdır: ˆ (Y0 |x′ 0 ) = x′ 0 B ˘ yandan, bireysel kestirimin varyansı ortalama Diger kestirimin varyansından büyüktür: var(Y0 |x′ 0 ) = σ ˆ 2 [1 + x′ 0 (X′ X)−1 x′ 0 ] var(Y0 |x′ 0 ) burada E [Y0 − Yˆ0 |X ]2 demektir. ˘ gibi, σ 2 yerine Uygulamada, ortalama kestirimde oldugu 2 yansız tahmincisi σ ˆ kullanılır. Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)
Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Yakla¸sımı ile Tahmin Sorunu Dizey Yakla¸sımı ile Çıkarsama Sorunu
Bireysel Katsayıların Önsav Sınamaları Varyans Çözümlemesi ve F Sınaması ˘ Çoklu Baglanım ile Kestirim
Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev
Ödev Kitaptan Appendix B “Rudiments of Matrix Algebra” ve Appendix C “The Matrix Approach to Linear Regression Model” okunacak. Önümüzdeki Ders ˘ Çoklue¸sdogrusallık
Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA (2007 - 2010)
˘ ˘ Dogrusal Baglanım Modeline Dizey Yakla¸sımı (sürüm 1,81)