Globin mat dpa 11rus (013 13) s

А.И. Глобин, О.В. Ергина, П.Б. Сидоренко, И.Е. Панкратова

СБОРНИК ЗАДАНИЙ для государственной итоговой аттестации по математике

Рекомендовано Министерством образования и науки, молодежи и спорта Украины Перевод с украинского

11

класс

Киев Центр навчально-методичної літератури 2013

3

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Пособие «Сборник заданий для государственной итоговой аттестации по математике. 11 класс» предназначено для про­ ведения государственной итоговой аттестации по математике в одиннадцатых классах общеобразовательных учебных за­ ведений, а также проверки знаний и умений учеников в тече­ ние учебного года. Оно содержит 50 вариантов аттестацион­ ной работы, каждый из которых состоит из четырех частей. Эти части отличаются по форме тестовых заданий и по уров­ ню их сложности. Содержание всех заданий соответствует действующим учебным программам по математике: для уров­ ня стандарта, академического уровня, профильного уровня и уровня углубленного изучения математики. Ученики общеобразовательных классов, изучавшие ма­ тематику по программе уровня стандарта, выполняют все задания первой и второй частей, а также два зада­ ния из третьей части — задания достаточного уровня по алгебре и началам анализа и одно из заданий высокого уровня по собственному выбору. Если ученик решил оба задания высокого уровня, к итоговому результату засчитыва­ ется лишь один (лучший) результат. Ученики, изучавшие математику по программе акаде­ мического уровня, выполняют все задания первой, второй и третьей частей аттестационной работы. Ученики общеобразовательных классов, изучавшие ма­ тематику по программе профильного уровня, выполняют все задания первой, второй и третьей частей аттеста­ ционной работы, а также два задания из четвертой ча­ сти — одно из двух заданий по алгебре и началам анализа по собственному выбору и одно из двух заданий по геоме­ трии по собственному выбору. Если ученик решил оба за­ дания по алгебре и началам анализа, к итоговому результату зачисляется лишь один (лучший) результат. То же касается и заданий по геометрии. Ученики классов (школ) с углубленным изучением ма­ тематики, продолжавшие изучение двух предметов — «Ал­ гебра и начала анализа» и «Геометрия» — по программе углубленного уровня, выполняют все задания первой, второй, третьей и четвертой частей аттестационной работы. Государственная итоговая аттестация по математике прово­ дится в течение 3 академических часов для учеников, изучав­ ших математику по программе уровня стандарта и академиче­ ского уровня. Ученики, изучавшие математику по программе профильного уровня, выполняют аттестационную работу в

МАТЕМАТИКА

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Структура, содержание и оценивание выполнения заданий аттестационной работы

В первой части аттестационной работы предлагается 12 заданий с выбором одного правильного ответа. К каждому заданию предложено четыре возможных варианта ответов, из которых только один является правильным. Задание с выбо­ ром одного ответа считается выполненным правильно, если в бланке ответов1 указана только одна буква, которой обозна­ чен правильный ответ. Каких-либо рассуждений, объясняю­ щих выбор ответа, ученик приводить не должен. Распределение заданий первой части по классам, предме­ там и уровням учебных достижений учеников приведено в таблице 1. Таблица 1

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

­ ечение 3,5 академического часа, а ученики классов (школ) с т углубленным изучением математики — 4 академических ча­ сов.

1

4

Номер задания

Соответствие задания классу обучения

Предмет

1.1

5–6 кл.

математика

1.2

7 кл.

алгебра

1.3

8 кл.

алгебра

1.4

9 кл.

алгебра

1.5

10–11 кл.

1.6

10–11 кл.

1.7

10–11 кл.

1.8

10–11 кл.

1.9 1.10

7–9 кл.

7–9 кл.

математика, алгебра и начала анализа математика, алгебра и начала анализа математика, алгебра и начала анализа математика, алгебра и начала анализа геометрия геометрия

Соответствие задания уровню учебных Примечание достижений учеников начальный или средний Два из заданачальный или ний 1.1–1.4 – средний начального уровня, начальный или а два других — средний среднего начальный или средний начальный средний начальный средний начальный средний

Образец бланка ответов приведен в конце сборника.

Продолжение таблицы 1 Номер задания

Соответствие задания классу обучения

1.11

10–11 кл.

1.12

10–11 кл.

Предмет математика, геометрия математика, геометрия

Соответствие задания уровню учебных достижений учеников

Примечание

начальный средний

Каждое правильно решенное задание 1.1–1.12 первой части оценивается в 1 балл. Если в бланке ответов указан правиль­ ный ответ, то за выполнение этого задания насчитывается 1 балл, если же указанный учеником ответ является непра­ вильным, то выполнение задания оценивается в 0 баллов. Вторая часть аттестационной работы состоит из 4 заданий открытой формы с коротким ответом. Задание этой части считается выполненным правильно, если в бланке ответов за­ писан только правильный ответ (например, число, выраже­ ние, корни уравнения и т. п.). Все необходимые вычисления, преобразования и т. п. ученики выполняют на черновиках. Распределение заданий второй части по классам, предме­ там и уровням учебных достижений учеников приведено в таблице 2.

Номер задания

Соответствие задания классу обучения

Предмет

Соответствие задания уровню учебных достижений учеников

2.1

10–11 кл.

математика, алгебра и начала анализа

достаточный

2.2

10–11 кл.

математика, алгебра и начала анализа

достаточный

2.3

10–11 кл.

математика, алгебра и начала анализа

достаточный

2.4

10–11 кл.

математика, геометрия

достаточный

МАТЕМАТИКА

Таблица 2

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Поÿñíитеëüíàя çàïèñêà

Правильное решение каждого из заданий 2.1–2.4 оценива­ ется двумя баллами: если в бланке ответов указан правиль­ ный ответ к заданию, то за это начисляется 2 балла, если же указанный учеником ответ является неправильным, то баллы

5

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

за такое задание не начисляются. Частичное выполнение за­ дания второй части (например, если ученик правильно нашел один из двух корней уравнения или решений системы урав­ нений) оценивается 1 баллом. Если ученик считает нужным внести изменения в уже записанный в бланк ответ к какому-либо из заданий пер­ вой или второй части, то он может это сделать только в специально отведенной для этого части бланка. Такое исправление не ведет к потере баллов. Если же исправле­ ние сделано в основной части бланка ответов, то баллы за такое задание не начисляются. Третья и четвертая части аттестационной работы со­ стоят из заданий открытой формы с развернутым ответом. Такие задания считаются выполненными правильно, если ученик привел развернутую запись решения с обосно­ ванием каждого его этапа и дал правильный ответ. Задание третьей и четвертой частей аттестационной работы ученики выполняют на листах со штампом соответствующего общеоб­ разовательного учебного заведения. Условия заданий третьей и четвертой частей ученики не переписывают, а указывают только номер задания. Третья часть аттестационной работы содержит три зада­ ния, четвертая часть — четыре. Распределение заданий тре­ тьей и четвертой частей по классам, предметам и уровням учебных достижений учеников приведено в таблицах 3 и 4.

МАТЕМАТИКА

Таблица 3 Номер задания

Соответствие задания классу обучения

Предмет

Соответствие задания уровню учебных достижений учеников

3.1

10–11 кл.

математика, алгебра и начала анализа

достаточный

3.2

10–11 кл.

математика, алгебра и начала анализа

высокий

3.3

10–11 кл.

математика, геометрия

высокий

Правильное решение задания 3.1 оценивается четырьмя баллами, а каждое из заданий 3.2, 3.3, 4.1м–4.4м — шестью баллами. Оценивание в баллах выполнения заданий третьей и чет­ вертой частей аттестационной работы осуществляется по кри­ териям, приведенным в таблице 5.

6

Таблица 4 Соответствие задания уровню учебных достижений учеников

Номер задания

Соответствие задания классу обучения

Предмет

4.1м

10–11 кл.

алгебра и начала анализа

высокий

4.2м

10–11 кл.

алгебра и начала анализа

высокий

4.3м

7–9 кл.

геометрия

4.4м

10–11 кл.

геометрия

высокий высокий

Примечание

Задания 4.1м–4.4м соответствуют программе классов с углубленным изучением математики

Таблица 5

Получил правильный ответ и привел пол­ ное его обоснование Получил правильный ответ, но недостаточно обоснованный или решение содержит незначительные недостатки Получил ответ, записал правильный ход решения задания, но в процессе решения допустил ошибку вычислительного или логического (при обосновании) характера Существенно приблизился к правильному конечному результату или в результате нашел лишь часть правильного ответа Начал решать задание правильно, но в процессе решения допустил ошибки в применении необходимого утверждения или формулы Только лишь начал правильно решать задание или начал неправильно, но в дальнейшем отдельные этапы решения выполнил правильно (выполнил тождественные преобразования, решил уравнение и т. п.) Решение не соответствует ни одному из вышеприведенных критериев

МаксимальМаксимальный балл — 6 ный балл — 4 6 баллов

4 балла

5 баллов 3 балла 4 балла

3 балла

МАТЕМАТИКА

Что выполнил ученик

Соответствующее количество баллов за задание

2 балла

2 балла 1 балл 1 балл

0 баллов

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Поÿñíитеëüíàя çàïèñêà

0 баллов

Примечание. В случае, если ученики общеобразователь­ ных классов, которые изучали математику по программе про­

7

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА

фильного уровня, а также ученики классов с углубленным изучением математики правильно решили стереометрические задачи 3.3 и 4.4м и привели полное обоснование решения од­ ной из них, а для другой задачи правильно записали ход ре­ шения с частичным обоснованием его шагов, то обе задачи оцениваются в 6 баллов. Исправления и зачеркивания в оформлении решения зада­ ний третьей и четвертой частей, если они сделаны аккуратно, не являются основанием для снижения оценки. Приведенные критерии должны быть известны ученикам. Перевод оценки в баллах в оценку по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учеников

Сумма баллов, начисленных за выполненные учеником за­ дания, переводится в оценку по 12-балльной системе оцени­ вания учебных достижений учеников по специальной шкале. Для учеников классов, изучавших математику на уровне стандарта, максимально возможная сумма баллов за аттеста­ ционную работу составляет 30 (см. табл. 6). Соответствие ко­ личества набранных учеником баллов оценке по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учеников приведе­ но в таблице 7. Таблица 6 Номера заданий 1.1–1.12 2.1–2.4 3.1 Одно из заданий 3.2, 3.3

Количество баллов

Всего

12 баллов по 2 балла 8 баллов 4 балла 4 балла по 1 баллу

6 баллов

Сумма баллов

6 баллов 30 баллов

Таблица 7 Количество набранных баллов 0–2 3–4 5–6 7–8 9–10 11–12 13–16 17–20 21–23 24–26 27–28 29–30

Оценка по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учеников 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Для учеников классов, изучавших математику на ака­ демическом уровне, максимально возможная сумма баллов за аттестационную работу составляет 36 (см. табл. 8). Соот­ ветствие количества набранных учеником баллов оценке по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учени­ ков приведено в таблице 9.

8

Номера заданий 1.1–1.12 2.1–2.4 3.1

Количество Всего баллов по 1 баллу 12 баллов по 2 балла 8 баллов 4 балла 4 балла по 6 бал12 баллов 3.2, 3.3 лов Сумма баллов 36 баллов

Таблица 9 Количе- Оценка по 12-балльной ство насистеме оценивания бранных учебных достижений баллов учеников 0–2 1 3–4 2 5–6 3 7–8 4 9–10 5 11–12 6 13–16 7 17–20 8 21–24 9 25–28 10 29– 32 11 33–36 12

Для учеников, которые изучали математику на профиль­ ном уровне, максимально возможная сумма баллов за атте­ стационную работу составляет 48 (см. табл. 10). Соответствие количества набранных учеником баллов оценке по 12-балль­ ной системе оценивания учебных достижений учеников при­ ведено в таблице 11. Таблица 11 Таблица 10 Номера заданий 1.1–1.12 2.1–2.4 3.1 3.2, 3.3

Количество Всего баллов по 1 баллу 12 баллов по 2 балла 8 баллов 4 балла 4 балла по 6 бал12 баллов лов

Одно из заданий 6 баллов 4.1м, 4.2м Одно из заданий 6 баллов 4.3м, 4.4м Сумма баллов

6 баллов 6 баллов 48 баллов

Количе- Оценка по 12-балльной ство насистеме оценивания бранных учебных достижений баллов учеников 0–3 1 4–6 2 7–9 3 10–12 4 13–15 5 16–18 6 19–23 7 24–28 8 29–33 9 34–38 10 39– 43 11 44–48 12

Для учеников классов с углубленным изучением математи­ ки максимально возможная сумма баллов за аттестационную работу составляет 60 (см. табл. 12). Соответствие количества

9

МАТЕМАТИКА

Таблица 8

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Поÿñíитеëüíàя çàïèñêà

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА

набранных учеником баллов оценке по 12-балльной системе оценивания учебных достижений учеников приведено в таб­ лице 13. Таблица 12 Таблица 13 Номера за- Количество Всего даний баллов 1.1–1.12 по 1 баллу 12 баллов 2.1–2.4 по 2 балла 8 баллов 3.1 4 балла 4 балла по 6 бал12 баллов 3.2, 3.3 лов по 6 бал4.1м–4.4м 24 балла лов Сумма баллов 60 баллов

Количе- Оценка по 12-балльной ство насистеме оценивания бранных учебных достижений баллов учеников 0–4 1 5–8 2 9–12 3 13–16 4 17–20 5 21–24 6 25–30 7 31–36 8 37–42 9 43–48 10 49–54 11 55–60 12

Образец выполнения тестовых заданий и заполнения бланка ответов

Образец выполнения заданий аттестационной работы и за­ полнения бланка ответов для первой и второй частей рассмот­ рим на примере одного из вариантов.

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите 0,12 + 1,2. А) 1,14; Б) 1,122; В) 1,32; Г) 0,24. Ответ. В).

1.2. Упростите выражение

a2b · 0,9ab7.

A) –0,3a3b8; Б) 0,3a3b8; B) –0,3(ab)11; Г) Р е ш е н и е. Ответ. А).

10

a3b8.

1.3. Чему равен дискриминант квадратного уравнения x2 + 2x – 3 = 0? А) –8; Б) 16; В) 14; Г) –10. Р е ш е н и е. D = 22 – 4 · 1 · (–3) = 4 + 12 = 16. Ответ. Б).

1.4. Известно, что a > b и b > 0. Какое из неравенств является правильным? А) a < 0; Б) –a > –b; В) Ответ. Г).

; Г) –2a < –2b.

1.5. Какая из функций показательная? А) y = x2; Б) y = 2x; В) y = (–2)x; Г) y = 0x. Ответ. Б).

1.6. На каком из рисунков изображен график функции y = sin(π – x)? А)

МАТЕМАТИКА

Б)

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Обðàçец

В)

Г)

11

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Р е ш е н и е. Поскольку sin(π – x) = sinx для любого значе­ ния x, то имеем функцию y = sinx. Ее график изображен на рисунке А). Ответ. А).

1.7. Какая из функций является первообразной для функции f(x) = 2x? А) F(x) = 2; Б) F(x) = 2 + x; В) F(x) = x2 + 7; Г) F(x) = 2x. Р е ш е н и е. Поскольку (x2 + 7)′ = 2x, то F(x) = x2 + 7 яв­ ляется первообразной для функции f(x) = 2x. Ответ. В).

1.8. Найдите интервал возрастания функции f(x) = x2 – 4x + 3. А) (–; –2]; Б) [–2; +); В) [2; +); Г) (–; 2]. Р е ш е н и е. f′(x) = 2x – 4; f′(x) = 0, когда x = 2. Функция возрастает на интервале [2; +). Ответ. В).

1.9. Сумма трех сторон ромба равна 12 см. Найдите его пери­ метр. А) 12 см; Б) 16 см; В) 24 см; Г) 48 см. Р е ш е н и е. Сторона ромба а = 12 : 3 = 4 (см), его пери­ метр Р = 4а = 4 · 4 = 16 (см). Ответ. Б).

МАТЕМАТИКА

1.10. В ∆ АВС ∠С = 90°, sin ∠В =

, АС = 15 см. Найдите AВ.

А) 9 см; Б) 16 см; В) 20 см; Г) 25 см. Р е ш е н и е. sin ∠В =

;

АВ =

= 15 :

=

= 25 (см).

Ответ. Г).

1.11. Радиус основания конуса равен 4 см, а образующая – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. А) 20 см2; Б) 20π см2; В) 12π см2; Г) 15π см2. Р е ш е н и е. r = 4 см; l = 5 см; Sбок = π ∙ r ∙ l = π · 4 · 5 = 20π (см2). Ответ. Б).

12

1.12. Сравните длины отрезков АС и ВС, если А(–2; 3; 4), В(0; 4; –1), С(5; 4; 4). А) АС > ВС; В) АС = ВС; Б) АС < ВС; Г) сравнить невозможно. Р е ш е н и е.

Следовательно, АС = ВС. Ответ. В). Оформление бланка ответов первой части

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Обðàçец

Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

.

2.1. Вычислите Р е ш е н и е.

Ответ.

.

2.2. Сколько разных четырехзначных чисел можно сложить из цифр 0; 1; 2; 3, если цифры в числе не повторяются? Р е ш е н и е. Из данных четырех цифр можно образовать Р4 = 4! четырехзначных записей. Но поскольку среди цифр есть нуль, то надо исключить записи, которые на­ чинаются с него, то есть Р3 записей. Следовательно, мож­ но получить Р4 – Р3 = 24 – 6 = 18 чисел. Ответ. 18.

13

МАТЕМАТИКА

Часть вторая

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченную линиями y = = x2 – 2x и y = 4 + x. Р е ш е н и е. Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций: x2 – 2x = 4 + x; x2 – 3x – 4 = 0; x1 = –1; x2 = 4. Ординаты точек пересечения y1 = 3; y2 = 8. Изображаем графики схемати­ чески (см. рис.). Искомая площадь равна

Ответ.

.

2.4. Основанием пирамиды является прямоугольник с боль­ шей стороной см и углом 60° между диагональю ос­ нования и меньшей стороной. Каждое боковое ребро пи­ рамиды равно 15 см. Найдите объем пирамиды. Р е ш е н и е. На рисунке основанием пирамиды является прямоугольник ABCD; AD = см; ∠AСD = 60°, точка О – основание высоты. В {AСD (∠D = 90°): (cм).

SABСD = AD · DС = 9 · = (cм2). Поскольку SA = SВ = SС = SD, то {SОA = {SОВ = {SОС = = {SОD (по катету и гипотенузе), то AО = ВО = СО = = DО. Точка О равноудалена от вершин прямоугольника ABCD и принадлежит плоскости основания, а потому является

14

В {ADС:

(см). (cм).

В {SОС: Тогда объем пирамиды

(см). (см3).

см3.

Ответ.

Оформление бланка ответов второй части

2.1 2.2

2.3 18

см3

2.4

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и их объяснение, сделать ссылку на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45. Р е ш е н и е. Решим уравнение методом равносильных преобразований: 3 · 42х – 2 · 42х–1 + 5 · 42х–2 = 45; 3 · 42х – 2 · 42х · 4–1 + 5 · 42х · 4–2 = 45; 42х

= 45; 42х ·

Ответ. х = 1.

= 45;

42х = 16; 42х = 42; 2х = 2; х = 1.

15

МАТЕМАТИКА

центром описанной вокруг этого прямоугольника окруж­ ности (точкой пересечения диагоналей прямоугольника).

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Обðàçец

.

Р е ш е н и е.

. Выполним сокращение дроби на sin22a при условии, что sin2a ≠ 0, то есть что , где n ∈ Z. Имеем Ответ. sin2α.

3.3. Основанием прямого параллелепипеда является паралле­ лограмм с острым углом 30° и площадью 15 см2. Площа­ ди боковых граней параллелепипеда равны 20 см2 и 24 см2. Найдите высоту параллелепипеда. Р е ш е н и е. Пусть стороны основания параллелепипеда равны a и b, а вы­ сота – h. По условию Sосн = absin30° = 15, то есть

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

3.2. Упростите выражение

ab = 15; ab = 30.

Боковые грани параллелепипеда – прямоугольники со сторонами a и h и b и h. Поэтому по условию ah = 20; bh = 24. Имеем систему уравнений

Почленно перемножим левые и правые части уравнений системы: a2b2h2 = 30 ∙ 20 ∙ 24 = 3 ∙ 10 · 2 · 10 · 2 ∙ 3 ∙ 4; (abh)2 = (10 · 2 ∙ 3 ∙ 2)2; abh = 120 (учитывая, что a > 0, b > 0, h > 0). Поскольку ab = 30, имеем: 30h = 120, h = 4. Ответ. 4 см.

16

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и их объяснение, сделать ссылку на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение cosx + sinx = . Р е ш е н и е. ОДЗ: х ≠

+ πk, k ∈ Z. На ОДЗ исходное

уравнение равносильно уравнению: cos2x + sinxcosx = а; 2 cos x + sinxcosx = а(sin2x + cos2x); аsin2x – sinxcosx + (а – 1)cos2x = 0.

1) Если а = 0, то из исходного уравнения имеем:

(1)

cosx + sinx = 0; tgх = –1; х = – + πn, n ∈ Z. 2) Если а ≠ 0, то имеем однородное тригонометрическое уравнение (1). Разделим обе части этого уравнения на cos2x ≠ 0. Получим: аtg2х – tgх + (а – 1) = 0. Обозначим tgх = t, получим уравнение аt2 – t + (а – 1) = 0.

D = 1 – 4а(а – 1) = 1 + 4а – 4а2.

D I 0, когда

. ; + πm, m ∈ Z. или

, то уравнение решений

не имеет. Ответ. Если а = 0, то х = – если

, то

+ πn, n ∈ Z; +

+ πm, m ∈ Z;

17

МАТЕМАТИКА

.

В этом случае

Если

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Обðàçец

или

, то уравнение решений

не имеет.

4.2м. Решите уравнение

.

Р е ш е н и е. Поскольку

и

ству Коши

;

, то по неравен­

Рассмотрим функцию у = cos5x. Область значений этой функции Е(cos5x) = . Тогда Е(1 + cos5x) = . х –х Е(2 + 2 ) Е(1 + cos5x) = . Следовательно, корнем уравнения может быть только то значение х, для кото­ рого значения левой и правой частей уравнения равны 2.

2х + 2–х = 2, только когда х = 0. Но при х = 0 имеем = 2. Следовательно, х = 0 – единственный корень исходного уравнения. Ответ. х = 0. м

4.3 . Через некоторую точку внутри треугольника параллель­ но его сторонам проведены три прямые. Эти прямые де­ лят треугольник на шесть частей, три из которых – тре­ угольники. Площади этих треугольников равны S1, S2 и S3. Найдите площадь данного треугольника. Р е ш е н и е. Обозначим длины отрезков АF = x, LC = y, FL = z. Из параллельности прямых MN, FP и KL соответствующим сторонам АВС следует, что каждый из полученных тре­ угольников МKO, OРN, FOL подобен треугольнику АВС (по двум углам). Если искомую площадь треугольника АВС обозна­ чить через S, то по свойству площадей подобных тре­ угольников можно записать таких три равенства:

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

если

Сложив почленно эти три равенства, получим:

18

,S=

.

Ответ.

.

4.4м. В цилиндр вписан прямоуголь­ ный параллелепипед, диаго­ наль которого образует с приле­ гающими к ней сторонами основания углы α и β. Найдите отношение объема параллеле­ пипеда к объему цилиндра. Р е ш е н и е. Поскольку цилиндр и параллелепипед имеют оди­на­ ковые высоты, то искомое от­ ноше­ние объемов равно отноше­ нию площадей оснований. Обозначим радиус основания цилиндра R. Тогда:

Поскольку ВА ⊥ АD и ВА является проекцией B1А на плоскость основания параллелепипеда, то, по теореме о трех перпендикулярах, B1А ⊥ АD. Угол ∠АDB1 – это угол, который образует диагональ B1D со стороной основания параллелепипеда AD и, по условию, ∠АDB1 = α. Обозначим B1D = d. Из {B1АD (∠А = 90°, ∠АDB1 = α, B1D = d) находим АD = dcosα. Аналогично из {B1DС находим DС = dcosβ.

SABCD = AD · DC = d 2cosαcosβ. Из {АBD (∠А = 90°) по теореме Пифагора находим BD = Учитывая, что BD = 2R, имеем Таким образом, искомое отношение: .

Ответ.

.

19

МАТЕМАТИКА

Отсюда имеем

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Обðàçец

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ І ВАРИАНТ 1

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) 20; Б) 35; В) 28; Г) 6.

1.2. Решите систему уравнений А) (2; 3); Б) (3; 2); В) 1.3. Представьте степень А)

; Б)

; Г) (7; 4).

в виде дроби.

; В)

; Г)

.

1.4. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии 16; 8; 4; ... А) 32; Б) 24; В) 10

; Г) 40.

1.5. Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна

.

А) 90°; Б) 120°; В) 240°; Г) 60°.

1.6. Решите неравенство А) (0,5; 5,5]; В) [0,5; 13]; Б) (–u; 13]; Г) (0,5; 13].

.

1.7. Найдите производную функции А) ; Б) ; В) ; Г) 1.8. Найдите

площадь

, А)

; Б)

,

фигуры, ,

. .

ограниченную

линиями

.

; В) ; Г)

.

1.9. На каком из рисунков углы AOB и MON являются верти­ кальными?

20

Б)

В)

Г)

1.10. Найдите градусную меру внутреннего угла правильного восьмиугольника. А) 120°; Б) 135°; В) 150°; Г) 160°.

1.11. Объем призмы равен 150 см3, а площадь основания – 10 см2. Найдите высоту призмы. А) 5 см; Б) 10 см; В) 12 см; Г) 15 см.

1.12. Все вершины ромба ABCD принадлежат плоскости a. Прямая m параллельна прямой AB. Как могут быть рас­ положены прямая m и плоскость a? Выберите правиль­ ное утверждение. А) прямая m может принадлежать плоскости a или пе­ ресекать ее, прямая m не может быть параллельной плоскости a; Б) прямая m может принадлежать плоскости a, прямая m не может пересекать плоскость a или быть парал­ лельной плоскости a; В) прямая m может принадлежать плоскости a или быть параллельной плоскости a, прямая m не может пересекать плоскость a; Г) прямая m может принадлежать, быть параллельной плоскости a или пересекать плоскость a.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

.

2.2. В коробке находится 30 карточек, пронумерованных на­ туральными числами от 1 до 30. Из коробки наугад взяли одну карточку. Какова вероятность того, что на ней за­ писано число, которое не является делителем 30?

2.3. Решите уравнение

.

2.4. Высота конуса относится к его диаметру как 2 : 3, а об­ разующая конуса равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности конуса.

21

МАТЕМАТИКА

А)

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 1

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 2

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

.

1.1. Вычислите А)

; Б)

; В)

1.2. Разложите на множители . А) ; Б) ; В)

.

; Г)

.

1.3. Найдите значение выражения , если , А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6.

.

1.4. Ставка подоходного налога в Украине равна 15 %. Какой подоходный налог надо заплатить из зарплаты 3000 грн.? А) 450 грн.; Б) 300 грн.; В) 45 грн.; Г) 150 грн.

1.5. Представьте степень с дробным показателем в виде корня. А)

; Б)

; В)

1.6. Решите уравнение

МАТЕМАТИКА

; Г)

; Г)

, где a > 0, .

.

А)

; В)

;

Б)

; Г)

.

1.7. Стрелок в пяти сериях по 10 выстрелов в каждой попал в мишень следующее количество раз: 8; 7; 9; 6; 7. Найдите размах этой выборки. А) 3; Б) 4; В) 7; Г) 9.

1.8. Найдите А)

, если

; Б)

.

; В) 2; Г)

.

1.9. Параллельный перенос задан формулами , . В какую точку при таком параллельном пере­ носе переходит точка M(4; –1)? А) M′(2; –2); Б) M′(6; –4); В) M′(2; 4); Г) M′(–2; 2).

22

А) 7,5 см2; Б) 12 см2; В) 15 см2; Г) 20 см2.

1.11. Пирамида имеет ровно девять граней. Сколько сторон имеет многоугольник, являющийся основанием пира­ миды? А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10.

1.12. Прямая AK перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, KC = 10 см, AK = 10 см. Найдите AB.

А)

см; Б) 6 см; В) 3 см; Г)

см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции 2.2. Решите уравнение 2.3. Для функции

. . найдите общий

вид первообразных.

2.4. Хорда основания цилиндра равна 8 см и удалена от цент­ ра этого основания на 3 см. Отрезок, соединяющий центр другого основания с серединой данной хорды, образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем цилиндра.

23

МАТЕМАТИКА

1.10. Диагональ параллелограмма равна 5 см и перпендику­ лярна к стороне параллелограмма, равной 3 см. Найди­ те площадь параллелограмма.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 2

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 3

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) 0,84; Б) 8,4; В) 7,4; Г) 84.

1.2. Приведите одночлен А)

; В)

; Г)

.

1.3. Чему равен свободный член квадратного уравнения ? А) –8; Б) 8; В) 7; Г) 2.

1.4. Известно, что вильным?

. Какое из неравенств является пра­

А)

; В)

Б)

; Г)

; .

1.5. Какая из приведенных функций убывает на множестве действительных чисел? А)

МАТЕМАТИКА

; Б)

к стандартному виду.

; Б)

; Г)

.

.

1.6. Вычислите А)

; В)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.7. Какая из функций является первообразной для функ­ ции А)

? ; Б)

; В)

; Г)

.

1.8. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . А) ; Б) ; В) ; Г) .

1.9. Найдите периметр прямоугольника, стороны которого равны 3 см и 5 см. А) 8 см; Б) 15 см; В) 16 см; Г) 18 см.

24

см. Найдите AC.

,

А) 9 см; Б) 16 см; В) 15 см; Г) 8 см.

1.11. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, ради­ ус основания которого равен 4 см, а высота – 3 см. А) 28p см2; Б) 42p см2; В) 224p см2; Г) 56p см2.

1.12. Середина отрезка AB с концами в точках A(–2; 3; 5) и B(2; –3; 7) принадлежит... А) оси x; Б) оси y; В) оси z;

Г) плоскости xy.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции .

2.2. Сколькими способами на книжной полке в один ряд можно расставить шесть учебников по разным предметам так, чтобы учебник по геометрии стоял крайним справа?

2.3. Найдите

и

площадь .

фигуры,

ограниченной

линиями

2.4. Основанием пирамиды является прямоугольный треуголь­ ник с меньшим катетом 5 см и острым углом 30°. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите объем пи­ рамиды.

25

МАТЕМАТИКА

1.10. Дан {ABC, ∠C = 90°,

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 3

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 4

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Морская вода содержит 6 % соли. Сколько соли содер­ жится в 300 кг морской воды? А) 18 кг; Б) 50 кг; В) 1,8 кг; Г) 5 кг.

1.2. А)

... ; Б)

; В)

.

1.3. Представьте в виде дроби выражение ; Б)

А)

; В)

.

; Г)

.

1.4. Какое из чисел не является решением неравенства ? А) –1; Б) 0; В) 1; Г) 3.

1.5. Чему равно А)

; Б)

? ; В)

1.6. Решите уравнение

МАТЕМАТИКА

; Г)

; Г)

.

.

А) –1, 2; Б) –2, 1; В)

; Г) 2.

1.7. Из букв, написанных на отдельных карточках, составле­ но слово ГЕОМЕТРИЯ. Потом эти карточки переверну­ ли, перемешали и наугад взяли одну. Какова вероятность того, что на ней написана буква А? А) ; Б) 1.8. Найдите А) Б)

; В)

общий .

вид

; Г) 0.

первообразных ; В) ; Г)

для

функции ; .

1.9. , , . Найдите градусную меру угла . А) 40°; Б) 50°; В) 90°; Г) невозможно определить.

26

А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.11. Радиус основания конуса равен 4 см, а образующая – 5 см. Найдите высоту конуса. А) 3,5 см; Б)

см; В) 3 см; Г)

см.

1.12. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна 5 см, а площадь полной поверхности призмы – 110 см2. Найдите высоту призмы. А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите неравенство

. .

2.3. Найдите наименьшее значение функции

на

отрезке [1; 4].

2.4. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилин­ дра с точкой окружности нижнего основания, равен 6 см и образует с плоскостью нижнего основания цилиндра угол 60°. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

27

МАТЕМАТИКА

1.10. Стороны треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см. Найдите косинус наибольшего по величине угла треугольника.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 4

ВАРИАНТ 5

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из предложенных дробей равна дроби ? А) ; Б)

; В)

; Г)

.

1.2. Найдите корень уравнения . А) –0,5; В) 2; Б) 0,5; Г) уравнение не имеет корней.

1.3. Преобразуйте в дробь выражение А)

; Б)

; В)

; Г)

. .

1.4. Точка M(–2; 8) принадлежит графику функции Найдите коэффициент a. А) 4; Б) –4; В) –2; Г) 2.

.

1.5. На каком из рисунков схематически изображен график функции ? А) В)

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

Б)

28

Г)

1.7. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой . А) –2; Б) –1; В) 1; Г) 2.

1.8. Игральный кубик подбрасывают один раз. Какова веро­ ятность того, что выпавшее число является простым? А)

; Б)

; В) ; Г)

.

1.9. Два угла трапеции равны 100° и 110°. Найдите градус­ ную меру меньшего из неизвестных углов трапеции. А) 60°; Б) 70°; В) 80°; Г) 90°.

1.10. Составьте уравнение окружности с центром в точ­ ке Q(2; –1), которая проходит через точку M(–1; 3). ; В) ; Г)

А) Б)

; .

1.11. Найдите объем шара, диаметр которого равен 6 см. А) 216p см3; Б) 108p см3; В) 36p см3; Г) 288p см3.

1.12. Сторона основания правильной четырехугольной пира­ миды равна см, а высота – 5 см. Найдите площадь диагонального сечения этой пирамиды. А) 20 см2; Б) 10 см2; В) 40 см2; Г)

см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

.

2.2. Решите неравенство

.

2.3. Найдите производную функции .

в точке

2.4. Высота конуса равна 12 см, а радиус его основания – 4 см. Плоскость, перпендикулярная к оси конуса, пере­ секает его боковую поверхность по окружности, длина которой равна 6p см. Найдите расстояние от вершины конуса до плоскости сечения.

29

МАТЕМАТИКА

1.6. При каких значениях переменной выражение имеет смысл? А) [2; +u); Б) (–u; 2]; В) (–u; 2); Г) (–u; +u).

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 5

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 6

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

.

1.1. Вычислите А)

; Б) 60; В)

; Г)

.

1.2. Какая из пар чисел является решением уравнения ? А) (6; –1); Б) (2; 7); В) (7; 2); Г) (–2; –6).

1.3. Упростите выражение А)

; Б)

. ; В)

; Г)

.

1.4. Последовательность ( ) является геометрической про­ грессией. Найдите знаменатель этой прогрессии, если , . А) –5; Б) 5; В) 2; Г) 0,5.

1.5. График какой из предложенных функций изображен на рисунке?

А)

; Б)

; В)

; Г)

1.6. Решите уравнение . А) –1; В) –2, 0; Б) 0, 2; Г) уравнение не имеет решений.

1.7. Найдите , если . А) –1; Б) 1; В) 2; Г) –2.

30

.

1.9. Площадь параллелограмма равна 24 см2, а одна из его сторон – 6 см. Найдите высоту параллелограмма, прове­ денную к этой стороне. А) 8 см; Б) 4 см; В) 2 см; Г) 3 см.

1.10. Найдите градусную меру угла при вершине равнобед­ ренного треугольника, если угол при основании этого тре­угольника равен 48°. А) 132°; Б) 36°; В) 66°; Г) 84°.

1.11. Какая из приведенных точек принадлежит координат­ ной плоскости xz? А) M(0; –5; 0); В) T(–3; 0; 2); Б) N(4; –12; 0); Г) K(0; –2; 12).

1.12. Длина окружности основания цилиндра равна 6p см, а длина образующей – 5 см. Найдите площадь осевого се­ чения цилиндра. А) 30 см2; Б) 15 см2; В) 60 см2; Г) 30p см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

.

2.2. Одновременно подбрасывают два игральных кубика. Ка­ кова вероятность того, что на кубиках выпадет одинако­ вое количество очков?

2.3. Вычислите значение выражения

.

2.4. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани образуют с плоскостью основания углы 30°. Найдите пло­ щадь боковой поверхности пирамиды, если ее апофема равна см.

31

МАТЕМАТИКА

1.8. Скорость движения материальной точки задается урав­ нением (м/с). Найдите уравнение движения , если в момент времени с эта точка прошла расстояние м. А) ; В) ; Б) ; Г) .

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 6

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 7

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из чисел является корнем уравнения А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10.

1.2. Разложите на множители А) ; В) Б) ; Г)

?

. ; .

1.3. Какое из равенств является правильным? А) ; Б) ; В) ; Г)

.

1.4. Пятипроцентный раствор соли содержит 10 г соли. Сколь­ ко воды в этом растворе? А) 190 г; Б) 200 г; В) 210 г; Г) 180 г.

1.5. Представьте корень телем. А)

; Б)

в виде степени с дробным показа­

; В)

; Г)

.

1.6. Найдите область определения функции А) (–u; +u); Б) [–3; –1]; В) (–3; –1); Г) [1; 3].

.

1.7. На тарелке лежит 7 яблок и 5 слив. Сколькими способа­ ми из тарелки можно взять один фрукт? А) 7; Б) 2; В) 5; Г) 12.

1.8. Найдите корни уравнения , где А) –3; Б) 3; В) –6, 0; Г) –6.

.

1.9. На рисунке изображен прямоугольный треугольник ABC ( ). Найдите . А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.10. Точки M(x; –2) и M′(5; y) симметричны относительно точки O(0; 4). Найдите x и y. А) , ; В) , ; Б) , ; Г) , .

32

1.12. Радиус основания конуса равен 10 см. Через середину высоты конуса проведено сечение, параллельно его ос­ нованию. Найдите площадь этого сечения. А) 100p см2; Б) 25p см2; В) 10p см2; Г) 16p см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Движение мяча описывается законом , где s – расстояние в метрах от поверхности земли, t – время в секундах, . Найдите наибольшую высоту, на ка­ кую поднялся мяч.

2.2. Решите уравнение 2.3. Вычислите

. .

2.4. В основании наклонной призмы лежит равносторонний тре­угольник со стороной см. Одна из вершин верхне­ го основания равноудалена от всех вершин нижнего ос­ нования. Найдите высоту призмы, если ее боковое ребро равно 10 см.

33

МАТЕМАТИКА

1.11. Сколько разных плоскостей можно провести через три точки, которые лежат на одной прямой? А) одну; Б) две; В) три; Г) бесконечное множество.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 7

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 8

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите отношение 10 см : 5 дм. А) 1 : 2; Б) 1 : 50; В) 2; Г) 1 : 5.

1.2. Какой из одночленов представлен в стандартном виде? А) ; Б) ; В) ; Г) .

1.3. Разложите на линейные множители квадратный трех­ член . А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.4. Известно, что . Сравните числа x и y. А) ; В) ; Б) ; Г) сравнить невозможно.

1.5. Решите уравнение . А) –2; Б) 0; В) 2; Г) 4.

1.6. Найдите

, если

и

.

А) 0,36; Б) 0,8; В) –0,6; Г) 0,6.

1.7. Найдите неопределенный интеграл А)

; Б)

; В)

.

; Г)

.

1.8. Найдите точки максимума функции . А) 1; В) 0, 1; Б) 0; Г) функция не имеет точек максимума.

1.9. Найдите сторону AC треугольника ABC, изображенного на рисунке (длины отрезков даны в сантиметрах).

А) 6 см; Б) 6,5 см; В) 7 см; Г)

см.

1.10. Разность между периметром квадрата и длиной одной из его сторон равна 12 см. Найдите периметр квадрата. А) 15 см; Б) 16 см; В) 18 см; Г) 20 см.

34

А) 3 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

1.12. Основанием пирамиды является ромб со стороной 6 см и высотой 2 см. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 7 см. А) 28 см3; Б) 56 см3; В) 84 см3; Г) 14 см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите число x, если

.

2.2. В чемпионате города по футболу играет 10 команд, каж­ дая из которых проводит по две встречи с каждым из соперников. Сколько всего матчей будет проведено в чем­ пионате города?

2.3. Материальная точка движется прямолинейно со скоро­ стью (t измеряется в секундах, v – в м/с). Найдите путь, который прошла точка за интервал време­ ни от с до с.

2.4. Плоскость g параллельна стороне AВ треугольника ABC и пересекает стороны AC и BC соответственно в точках D и E. Найдите AC, если AD = 8 см, DЕ = 3 см, AВ = 9 см.

35

МАТЕМАТИКА

1.11. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10 см, а диаметр основания – 6 см. Найдите длину образую­ щей цилиндра.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 8

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 9

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из приведенных чисел кратно числу 5? А) 284; Б) 417; В) 395; Г) 198.

1.2. Преобразуйте выражение

в многочлен.

А)

; В)

;

Б)

; Г)

.

1.3. Выполните действие А)

; Б)

. ; В)

; Г)

.

1.4. Решите неравенство . А) [–2; 0]; В) (–u; –2] ∪ [0; +u); Б) (–2; 0); Г) [0; 2].

1.5. Решите уравнение

.

А)

; В)

;

Б)

; Г)

.

1.6. Вычислите значение выражения А)

; Б)

; В)

. ; Г) 3.

1.7. Какое из четырех приведенных событий является невоз­ можным? А) опоздание поезда Львов–Киев; Б) выиграть партию в шахматы у равного вам по силе со­ перника; В) выпадение очков, дающих в сумме меньше 12, при подбрасывании двух игральных кубиков; Г) выпадение очков, дающих в сумме больше 12, при подбрасывании двух игральных кубиков.

36

найдите первообразную, гра­

фик которой проходит через точку ; В) ; Г)

А) Б)

. ;

.

1.9. Какая из точек принадлежит оси ординат? А) (–2; 2); Б) (–15; 0); В) (0; 4); Г) (4; –13).

1.10.

Найдите

.

,

см,

см,

см.

А) 4 см; Б) 4,5 см; В) 18 см; Г) 8 см.

1.11. Прямая AK проходит через вер­ шину A треугольника ABC, и . Какой угол образует прямая AK с пло­ скостью треугольника ABC? А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) невозможно определить.

1.12. Осевым сечением конуса является равносторонний тре­ угольник с высотой см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. А) 8p см2; Б) 16p см2; В) 4p см2; Г) 12p см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение числового выражения .

2.2. Решите неравенство

.

2.3. Найдите точки максимума функции

.

2.4. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найди­ те объем параллелепипеда, если угол между диагоналями его основания равен 30°.

37

МАТЕМАТИКА

1.8. Для функции

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 9

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 10

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) 24; Б) 18; В) –24; Г) –12.

1.2. Корнем уравнения является число... А) –0,5; Б) 0,5; В) –2; Г) 2.

1.3. Найдите частное А)

; Б)

; В)

. ; Г)

.

1.4. На каком из рисунков схематически изображен график функции ? А) В)

Б)

Г)

1.5. Какое из выражений не имеет смысла? А) ; Б) ; В) ; Г)

.

1.6. Решите уравнение . А) 2; Б) –2; В) –2; 2; Г) 164.

1.7. Знак производной функции , определенной на R, изменяется по схеме, изображенной на рисунке. Найдите все промежутки, на которых функция убывает.

А) (–u; –3], [2; +u); В) [–3; 2], [2; +u); Б) (–u; –3], [–3; 2]; Г) [–3; 2].

38

1.9. Найдите градусную меру центрального угла правильного шестиугольника. А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 90°.

1.10. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вер­ шины тупого угла, образует с боковой стороной угол 32°. Найдите градусную меру острого угла трапеции. А) 48°; Б) 16°; В) 64°; Г) 58°.

1.11. Какой из предложенных четырехугольников не может быть основанием параллелепипеда? А) трапеция; Б) квадрат; В) прямоугольник; Г) ромб.

1.12. Длина окружности основания конуса равна 6p см, а его образующая – 5 см. Найдите объем конуса. А) 30p см3; Б) 12p см3; В) 16p см3; Г) 36p см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

.

2.2. Решите неравенство 25x + 5x – 2 J 0.

2.3. Тело движется прямолинейно по закону (x измеряется в метрах, t – в секундах). В какой момент времени тело остановится?

2.4. Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если B(–2; 7; 1), C(4; –2; 3), D(0; 11; –2).

39

МАТЕМАТИКА

1.8. Игральный кубик подбрасывают дважды и записывают числа, которые выпадают. Сколько разных последова­ тельностей чисел можно при этом получить? А) 30; Б) 36; В) 25; Г) 12.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 10

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 11

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) 30; Б) 20; В) 5000; Г) 50.

1.2. График какого уравнения проходит через точку A(–3; 2)? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.3. Какое из чисел записано в стандартном виде? А) ; В) ; Б) ; Г) 119.

1.4. Последовательность ( ) – геометрическая прогрессия. Найдите , если , . А) –4; Б) 4; В) –8; Г) 8.

1.5. Значение какого из предложенных выражений является положительным? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.6. Найдите значение выражения А) 3; Б) 2; В) 1; Г) –3.

1.7. Найдите производную функции А)

; Б)

; В)

; Г)

1.8. Найдите площадь заштрихован­ ной фигуры, изображенной на рисунке. А) 4,5; В) 3; Б) 3,5; Г) 4.

1.9. Какие градусные меры из пред­ ложенных могут иметь два смежных угла? А) 130° и 70°; В) 92° и 88°; Б) 125° и 45°; Г) 135° и 55°.

40

.

. .

1.10. Радиус круга равен 6 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна 80°. А) 16p см2; Б) 4p см2; В) 6p см2; Г) 8p см2.

1.11. Найдите объем пирамиды, основанием которой являет­ ся квадрат со стороной 6 см, если высота пирамиды рав­ на 4 см. А) 48 см3; Б) 24 см3; В) 32 см3; Г) 144 см3.

1.12. Сторона AB треугольника ABC параллельна плоскости a, а стороны CA и CB пересекают плоскость a в точках A1 и B1 соответственно. Найдите AB, если см, см, см. А) 4 см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 10 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

.

2.2. Из ящика, содержащего пять пронумерованных от 1 до 5 шариков, наугад вынимают один за другим все шарики. Какова вероятность того, что все шарики были вынуты в порядке нумерации?

2.3. Решите уравнение

.

2.4. В цилиндре перпендикулярно радиусу основания через его середину проведено сечение. В сечени образовался квад­рат с диагональю см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

41

МАТЕМАТИКА

2.1. Решите уравнение

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 11

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 12

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответа, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению, ответ и обозначьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите значение выражения А)

; Б)

; В)

; Г)

. .

1.2. Представьте в виде произведения А) ; В) Б) ; Г)

. .

1.3. Вычислите значение выражения

.

;

А) –15; Б) 15; В) –3; Г) 3.

1.4. Для пошива одного костюма используют 3,4 м ткани. Ка­ кое наибольшее количество костюмов можно пошить из 20 м такой ткани? А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6.

1.5. Какое из равенств является правильным? А)

; Б)

; В)

1.6. Решите уравнение А)

; В)

Б)

; Г)

; Г)

.

. ; .

1.7. Баскетболист в пяти сериях по 10 бросков в каждой по­ пал в корзину следуещее количество раз: 7, 6, 9, 8, 8. Найдите среднее значение этой выборки. А) 7,8; Б) 8; В) 7,4; Г) 7,6.

1.8. Найдите производную функции А) Б)

42

; В) ; Г)

. ; .

и

1.10. Найдите площадь треугольника, стороны которого рав­ ны 5 см, 5 см и 8 см. А) 10 см2; Б) 12 см2; В) 16 см2; Г) 24 см2.

1.11. Найдите площадь боковой поверхности правильной шести­ угольной пирамиды, если площадь одной боковой грани равна 5 см2. А) 25 см2; Б) 30 см2; В) 35 см2; Г) 40 см2.

1.12. Плоскости равных равносторонних треугольников ABC и ABC1 перпендикулярны, см. Найдите высо­ ту CK треугольника ABC.

А) 4 см; Б) 3 см; В) 2 см; Г)

см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции .

2.2. Решите уравнение 2.3. Для функции

. найдите первообразную F(x),

график которой проходит через точку В(–1; 3).

2.4. Высота конуса равна 12 см, а сумма образующей конуса и его радиуса – 18 см. Найдите объем конуса.

43

МАТЕМАТИКА

1.9. Найдите скалярное произведение векторов . А) 12; Б) 11; В) 13; Г) 9.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 12

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 13

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из приведенных десятичных дробей меньше дроби 7,13? А) 7,2; Б) 7,130; В) 7,129; Г) 7,15.

1.2. Упростите выражение А) ; Б) ; В)

. ; Г)

.

1.3. Какое из выражений является квадратным трехчленом? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.4. Решите неравенство . А) (–u; –10); Б) (–10; +u); В) (10; +u); Г) (–u; 10).

1.5. Известно, что . Сравните и . А) ; В) ; Б) ; Г) сравнить невозможно.

1.6. Какая из предложенных функций является нечетной? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.7. Для какой функции первообразной является функция ? А) ; В) ; Б) ; Г) . все промежутки убывания . А) (–u; –2]; В) (–u; –2], [2; +u); Б) [2; +u); Г) [–2; 2].

1.8. Найдите

функции

1.9. Диагональ ромба образует со стороной угол 40°. Найдите градусную меру острого угла ромба. А) 20°; Б) 40°; В) 60°; Г) 80°.

1.10. В треугольнике ABC см, .

. Найдите BC, если

А) 8 см; Б) 9 см; В) 10 см; Г) 12 см.

44

1.11. Найдите площадь полной поверхности конуса, радиус основания которого равен 3 см, а образующая – 4 см. А) 21p см2; Б) 28p см2; В) 7p см2; Г) 63p см2.

1.12. Какой из предложенных векторов перпендикулярен к вектору (–2; 3; –1)? А) (4; 0; –7); В) Б) ; Г)

(4; 1; –5); (2; –3; 1).

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Между какими двумя последовательными целыми числа­ ми на числовой прямой содержится число ?

2.2. Решите уравнение

.

2.3. Материальная точка движется прямолинейно со скоро­ стью (t измеряется в секундах, v – в м/с). Найдите путь, который прошла точка за первые 10 с дви­ жения.

МАТЕМАТИКА

2.4. Двугранный угол при основании правильной треуголь­ ной пирамиды равен 45°. Отрезок, соединяющий середи­ ну высоты пирамиды и середину ее апофемы, равен 2 см. Найдите объем пирамиды.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 13

45

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 14

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. За первую неделю туристы прошли 30 км, что составляет 60 % туристического маршрута. Сколько километров со­ ставляет длина маршрута? А) 60 км; Б) 18 км; В) 180 км; Г) 50 км.

1.2. Преобразуйте выражение А) ; Б) ; В) 1.3. Приведите дробь А)

в многочлен. ; Г)

к знаменателю

; Б)

; В)

.

.

; Г)

.

1.4. Решением какого из приведенных неравенств является число –1? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.5. Решите уравнение

.

А)

; В)

Б)

; Г)

; .

1.6. Найдите область определения функции А) (4; +u); В) [8; +u); Б) [4; +u); Г) (–u; +u).

.

1.7. В коробке 40 шариков, половина из которых – белые. На­ угад берут один шарик. Какова вероятность того, что он белый? А)

; Б)

1.8. Вычислите

; В)

; Г) .

.

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

46

А) Б)

; В) ; Г)

; .

1.10. В треугольнике ABC см, . Найдите ра­ диус окружности, описанной около треугольника. А) 4

см; Б) 8 см; В) 4 см; Г) 2 см.

1.11. Диаметр шара равен 10 см. Найдите площадь большого круга шара. А) 25p см2; Б) 100p см2; В) 36p см2; Г) 400p см2.

1.12. Какой многоугольник является основанием призмы, если она имеет ровно 24 ребра? А) шестиугольник; В) десятиугольник; Б) восьмиугольник; Г) двенадцатиугольник.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите

, если

и

.

2.2. Найдите наименьшее целое число, являющееся решени­ ем неравенства .

2.3. Найдите промежутки убывания функции f(x) = xex.

2.4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Параллельно оси цилиндра про­ ведено сечение, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь этого сечения.

47

МАТЕМАТИКА

1.9. CD – высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе. Какое из равенств является правильным?

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 14

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 15

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из предложенных дробей меньше 1? А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.2. Решите уравнение . А) 0,4; Б) 2; В) 1,6; Г) 3.

1.3. Выполните деление А)

; Б)

.

; В)

; Г)

.

1.4. Не выполняя построения, найдите координаты всех то­ чек пересечения графика функции с осью аб­ сцисс. А) (–2; 0), (2; 0); Б) (2; 0); В) (0; –4); Г) (–2; 0).

1.5. Для положительных чисел a и b известно, что ните и .

. Срав­

; В) ; ; Г) сравнить невозможно.

А) Б)

1.6. Вынесите множитель из-под знака корня А)

; Б)

; В)

; Г)

. .

1.7. По какой формуле можно найти площадь заштрихован­ ной на рисунке фигуры?

А)

48

; Б)

; В)

; Г)

.

1.8. В корзине 12 красных, 5 зеленых и 3 желтых яблока. На­ угад выбирают одно яблоко. Какова вероятность того, что оно зеленое или желтое? А) 0,6; Б) 0,15; В) 0,25; Г) 0,4.

1.9. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания рав­ны 2 см и 8 см. А) 4 см; Б) 5 см; В) 6 см; Г) 7 см.

1.10. Чему равен угловой коэффициент прямой, заданной уравнением ? А) 2; Б) –2; В)

; Г) .

1.11. Найдите объем конуса, диаметр основания которого ра­ вен 8 см, а высота – 3 см. А) 16p см3; Б) 24p см3; В) 48p см3; Г) 12p см3.

1.12. Основанием пирамиды является прямоугольник со сто­ ронами 6 см и 8 см, а основанием высоты пирамиды является точка пересечения диагоналей этого прямо­ угольника. Найдите высоту пирамиды, если ее боковое ребро равно 13 см. А) 9 см; Б) 10 см; В) 11 см; Г) 12 см.

Часть вторая

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 15

2.1. Решите уравнение 2.2. Найдите область определения функции

. .

2.3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(x) = e–x в точке с абсциссой .

2.4. Два отрезка упираются своими концами в две параллель­ ные плоскости. Длины отрезков равны 26 см и 30 см, а их проекции на одну из плоскостей относятся как 5 : 9. Найдите расстояние между данными плоскостями.

49

МАТЕМАТИКА

Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 16

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Выполните деление А)

; Б)

.

; В)

; Г) 3.

1.2. Решением какой из систем является пара чисел (–2; 2)? А)

В)

Б)

Г)

1.3. Запишите число А) ; В) Б) ; Г)

в стандартном виде. ; .

1.4. Последовательность ( ) – арифметическая прогрессия. Найдите разность этой прогрессии, если , . А) 9; Б) –9; В) 4; Г)

.

1.5. Какому из выражений тождественно равно выражение ? А) ; Б) ; В) ; Г) .

1.6. Найдите x из условия . А) 1; Б) 8; В) 10; Г) 180.

1.7. Дано . Найдите . А) –1; Б) 4; В) –5; Г) 5. площадь фигуры, π π y = sinx, y = 0, x = , x = .

3 2

1.8. Найдите

А)

; Б)

; В)

ограниченной

; Г)

линиями

.

1.9. Сторона ромба равна 4 см. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 60°. А) 8 см2; Б) 8 см2; В) 8 см2; Г) 16 см2.

50

А) 52°; Б) 62°; В) 72°; Г) 31°.

1.11. Найдите скалярное произведение векторов (–2; 3; 1) и (0; –2; 2). А) 4; Б) 2; В) –4; Г) –6.

1.12. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания ци­ линдра с точкой окружности нижнего основания, равен см и образует угол 60° с плоскостью нижнего осно­ вания. Найдите высоту цилиндра. А) 4

см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 12 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

.

2.2. На десяти карточках записаны натуральные числа от 1 до 10. Наугад берут две из них. Какова вероятность того, что модуль разности чисел на карточках равен 3?

2.3. Вычислите значение выражения

.

2.4. Основанием пирамиды является прямоугольный тре­ угольник с катетами 6 см и 8 см. Все боковые ребра пи­ рамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом. Найдите длину бокового ребра пирамиды, если ее высота равна 12 см.

51

МАТЕМАТИКА

1.10. На рисунке прямые a и b параллельны, c – секущая. Найдите градусную меру ∠1.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 16

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 17

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Корнем какого из уравнений является число 2? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.2. Представьте трехчлен дву­члена. А) ; В) Б) ; Г)

в виде квадрата ; .

1.3. Упростите выражение А) ; Б) ; В)

. ; Г)

.

1.4. Цена некоторого товара снизилась с 50 грн. до 40 грн. На сколько процентов снизилась цена товара? А) 20 %; Б) 10 %; В) 25 %; Г) 15 %.

1.5. На каком из рисунков схематически изображен график функции ? А) В)

Б)

Г)

1.6. Решите уравнение

52

.

А)

; В)

Б)

; Г)

; .

А) ; Б) ; В) ; Г) 1. . Найдите

1.8. Дано

.

А) –4; Б) –1; В) 0; Г) 4.

1.9. На рисунке изображен прямо­ угольный треугольник KLM ( ). Найдите . А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.10. Какой из предложенных векторов коллинеарен вектору ? А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.11. Сторона AD параллелограмма ABCD принадлежит пло­ скости b, а сторона BC не принадлежит этой плоскости. Сколько общих точек имеют прямая BC и плоскость b? А) ни одной; Б) одну; В) две; Г) бесконечное множество.

1.12. Сфера, радиус которой равен 5 см, пересечена плоско­ стью на расстоянии 3 см от центра сферы. Найдите дли­ ну линии пересечения сферы и плоскости. А) 4p см; Б) 6p см; В) 8p см; Г) 10p см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Исследуйте функцию

на четность.

2.2. Решите уравнение 2.3. Вычислите

. .

2.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с острым углом 60° и стороной 2 дм. Большая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь боковой поверхности паралле­ лепипеда.

53

МАТЕМАТИКА

1.7. Из букв, написанных на отдельных карточках, состав­ лено слово АЛГЕБРА. Потом эти карточки перевернули, перемешали и наугад взяли одну из них. Какова вероят­ ность того, что на ней написана буква Б?

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 17

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 18

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите неизвестный член пропорции

.

А) 12; Б) 10; В) 25,6; Г) 6.

1.2. Найдите сумму многочленов А) ; Б) ; В)

. ; Г)

.

1.3. Решите биквадратное уравнение . А) –2; –1; 1; 2; В) –2; 2; Б) 1; 2; Г) уравнение не имеет решений.

1.4. Какое из предложенных чисел является решением систе­ мы неравенств А) –2; Б) 2; В) 1; Г) –3,8.

1.5. Решите неравенство А) (–u; –1);

.

Б) (–1; +u); В) (–u; 1); Г) (1; +u).

1.6. Упростите выражение

.

А)

; В)

;

Б)

; Г)

.

1.7. Найдите общий вид первообразных для функции А)

; В)

Б)

; Г)

.

; .

1.8. Какая из приведенных функций возрастает на (–u; +u)? А) ; В) ; Б) ; Г) .

54

А)

; В)

;

Б)

; Г)

.

1.10. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точ­ ке O, . Найдите градусную меру угла BOC.

А) 60°; Б) 65°; В) 70°; Г) 80°.

1.11. Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см вращается во­ круг большей стороны. Найдите длину радиуса образо­ вавшегося цилиндра. А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

1.12. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда рав­ ны 3 см и 7 см, а диагональ одной из боковых граней – 5 см. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда. А) 140 см3; Б) 105 см3; В) 63 см3; Г) 84 см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение , .

, если

,

,

2.2. Сколькими способами 8 туристов можно распределить между двумя четырехместными лодками?

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями .

и

2.4. Плоскости g и b параллельны. Через точку K, которая ле­ жит между этими плоскостями, проведены прямые a и b, пересекающие плоскость g в точках A1 и B1, а плоскость b – в точках A2 и B2. Найдите длину отрезка A2B2, если A1B1 = 12 см и B1K : BB2 = 2 : 3.

55

МАТЕМАТИКА

1.9. В треугольнике против стороны a лежит угол 40°, а про­ тив стороны b – угол 20°. Какое из равенств является правильным?

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 18

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 19

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из приведенных чисел является простым? А) 18; Б) 12; В) 11; Г) 10. …

1.2. А)

; Б)

; В)

1.3. Представьте в виде дроби А)

; Б)

; В)

; Г)

.

. ; Г)

.

1.4. Решите неравенство . А) (–u; –3) ∪ (1; +u); В) (–3; 1); Б) (–u; –1) ∪ (3; +u); Г) (–1; 3).

1.5. Сколько корней имеет уравнение ? А) ни одного; Б) один; В) два; Г) бесконечное множество.

1.6. При каком значении a график функции через точку M(–1; 2)? А) 2; Б) ; В)

проходит

; Г) 4.

1.7. Подбрасывают игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет 5 очков? А)

; Б)

; В)

; Г) .

1.8. Найдите неопределенный интеграл А) ; В) Б) ; Г)

. ; .

1.9. Найдите расстояние от начала координат до точки M(4; –3). А) 1; Б) 3; В) 4; Г) 5.

1.10. O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD с ос­ нованиями AB и CD. AB = 12 см, CD = 4 см, DO = 1 см. Найдите OB. А) 2 см; Б) 3 см; В) 4 см; Г) 6 см.

56

А) ни одной; В) бесконечное множество; Б) одну; Г) невозможно определить.

1.12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13 см, а вы­ сота – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности ци­ линдра. А) 60p см2; Б) 30p см2; В) 132p см2; Г) 66p см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите неравенство

. .

2.3. Найдите наибольшее значение функции на отрезке [–2; 1].

2.4. Основанием наклонной призмы является квадрат со сто­ роной 6 см. Одна из вершин верхнего основания равно­ удалена от всех вершин нижнего основания. Найдите объем призмы, если ее боковое ребро образует с плоскостью ос­ нования угол 45°.

57

МАТЕМАТИКА

1.11. Плоскости прямоугольников ABCD и ABKL перпенди­ кулярны. Сколько общих точек имеют прямая BL и плоскость ACD?

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 19

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 20

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите значение выражения . А) –5; Б) 2,5; В) –2,5; Г) 5.

1.2. Какое из предложенных уравнений не является линей­ ным уравнением? А) ; Б) ; В) ; Г) .

1.3. Выполните умножение А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.4. Графиком какой из функций является парабола, ветки которой направлены вверх? А) ; В) ; Б) ; Г) .

1.5. Какая из приведенных функций убывает на (0; +u)? А) ; В) ; ; Г)

Б)

МАТЕМАТИКА

.

1.6. Вычислите А)

.

.

; Б) 27; В) –27; Г) 3.

1.7. Знак производной функции , определенной на R, изменяется по схеме, изображенной на рисунке. Опреде­ лите все точки максимума функции.

А) нет точек максимума; В) 2; Б) –1; 2; Г) –1.

1.8. Сколько можно составить разных двузначных натураль­ ных чисел, в записи которых есть только нечетные циф­ ры, если цифры в числе могут повторяться? А) 25; Б) 36; В) 20; Г) 10.

58

1.9. Найдите площадь круга, радиус которого равен 4 см. А) 8p см2; Б) 16p см2; В) 4p см2; Г) 32p см2.

1.10. Основания трапеции относятся как 2 : 3, а ее средняя линия равна 20 см. Найдите длину меньшего основания трапеции. А) 8 см; Б) 12 см; В) 16 см; Г) 24 см.

1.11. В четырехугольной призме площадь основания равна 3 см2, а площадь каждой из боковых граней – 5 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы. А) 8 см2; Б) 20 см2; В) 23 см2; Г) 26 см2.

1.12. Объем цилиндра равен 45p см3, а диаметр его основа­ ния – 6 см. Найдите высоту цилиндра. А) 5 см; Б) 7,5 см; В) 1,25 см; Г) 15 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2.2. Решите неравенство

. .

2.3. Найдите значение производной функции .

2.4. Модуль вектора

МАТЕМАТИКА

точке

в

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 20

равен 7. Найдите m.

59

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 21

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите 9 ⋅ (7 + 5 ⋅ 2). А) 153; Б) 216; В) 73; Г) 26.

1.2. Решите систему уравнений А) (2; 3); Б) (4; 1,5); В) (3; 2); Г) (3; 5).

1.3. Упростите b30 : b5. А) b6; Б) b25; В) b35; Г) b150.

1.4. (bn) – геометрическая прогрессия, b1 = 16, те b6. А)

; Б)

Найди­

; В) –1; Г) 1.

1.5. График какой из предложенных функций изображен на рисунке?

А)

Б)

В)

Г)

1.6. Решите неравенство А) [1; +); Б) [1; 3]; В) [1; 3); Г) (3; +).

1.7. Найдите производную функции А)

; Б)

; В)

; Г)

1.8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2x, y = 0, x = 1, x = 3. А) 6; В) 8; Б) 7; Г) 9.

60

1.10. Длина окружности равна 6π см. Найдите площадь кру­ га, которая ограничивается этой окружностью. А) 3π см2; Б) 9π см2; В) 36π см2; Г) 9 см2.

1.11. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, ли­ нейные размеры которого равны 3 см, 4 см и 5 см. А) 48 см3; Б) 120 см3; В) 60 см3; Г) 94 см3.

1.12. Прямые a и b параллельны в пространстве, а прямая c пересекает прямую a. Как могут быть расположены прямые b и c? Выберите правильное утверждение. А) прямые b и c могут быть параллельными, не могут быть скрещивающимися или пересекаться; Б) прямые b и c могут пересекаться, не могут быть па­ раллельными или скрещивающимися; В) прямые b и c могут быть скрещивающимися, не мо­ гут быть параллельными или пересекаться; Г) прямые b и c могут пересекаться или быть скрещива­ ющимися, не могут быть параллельными.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 4 · 32х + 3х · 4х – 3 · 42х = 0.

2.2. Из натуральных чисел от 1 до 30 наугад выбирают одно. Какова вероятность того, что это число является делите­ лем числа 30?

2.3. Решите уравнение 2.4. Хорда, лежащая в основании цилиндра, равна см и стягивает дугу 120°. Отрезок, соединяющий один из кон­ цов хорды с центром другого основания, образует с пло­ скостью основания угол 45°. Найдите площадь полной по­ верхности цилиндра.

61

МАТЕМАТИКА

1.9. Луч PK проходит между сторонами ∠ APB, ∠ APK = = 25°, ∠KPB = 35°. Найдите градусную меру ∠ APB. А) 10°; Б) 20°; В) 30°; Г) 60°.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 21

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 22

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

.

1.1. Вычислите А)

Б)

В)

Г)

1.2. Вынесите за скобки общий множитель в выражении 6x + 4. А) 6(x + 4); Б) 4(2x + 1); В) 2(3x + 2); Г) 2(3x – 2). .

1.3. Вычислите

А) 1,5; Б) 1,1; В) 0,1; Г) –0,2.

1.4. Измерили (в см) рост пяти одиннадцатиклассников и по­ лучили следующие данные: 175, 172, 182, 180, 181. Най­ дите среднее значение полученных данных. А) 177 см; Б) 182 см; В) 180 см; Г) 178 см.

1.5. Решите уравнение

.

А) В) 16 или –16; Б) 16; Г) уравнение не имеет решений.

1.6. Найдите область определения функции y = arcsin(x – 2). А) Б) (1; 3);

В) x – любое число; Г) [1; 3].

1.7. На тарелке лежит 5 яблок и 4 груши. Сколькими спосо­ бами с тарелки можно взять одно яблоко и одну грушу? А) 9; Б) 12; В) 16; Г) 20.

1.8. Найдите производную функции y = sin4x. А) cos4x; Б)

В) 4cos4x; Г) –4cos4x.

1.9. Какая точка симметрична точке (–1; 2) относительно на­ чала координат? А) (1; –2); Б) (–1; –2); В) (2; –1); Г) (1; 2).

62

1.10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 8 см, а угол при основании составляет 75°. Найдите площадь треугольника. А) 8 см2; Б) 16 см2; В) 32 см2; Г)

см2.

1.11. Сторона основания правильной четырехугольной пира­ миды равна 3 см, а апофема – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. А) 30 см2; Б) 15 см2; В) 60 см2; Г) 45 см2.

1.12. Прямая a перпендикулярна к плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α, но не является перпендикуляр­ ной к ней. Как могут быть расположены прямые a и b? Выберите правильное утверждение. А) прямые a и b могут быть параллельными, не могут быть скрещивающимися или пересекаться; Б) прямые a и b могут быть скрещивающимися, не мо­ гут быть параллельными или пересекаться; В) прямые a и b могут пересекаться, не могут быть па­ раллельными или скрещивающимися; Г) прямые a и b могут пересекаться или могут быть скрещивающимися, не могут быть параллельными.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 22

2.2. Решите уравнение 2log3(x – 1) = log3(4х + 1).

2.3. Найдите неопределенный интеграл

.

2.4. Через вершину конуса проведена плоскость под углом 45° к плоскости основания. Эта плоскость пересекает основа­ ние по хорде длиной cм, которую видно из центра основания под углом 120°. Найдите объем конуса.

63

МАТЕМАТИКА

2.1. Исследуйте функцию f(х) = (х – 1)2 + (х + 1)2 на четность.

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 23

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите 3,9 + 5,3. А) 8,12; Б) 8,93; В) 8,2; Г) 9,2.

1.2. Найдите разность многочленов А) 2x + 6; В) 4х2 – 8x + 4; Б) 2x – 6; Г) –2x + 6.

1.3. Чему равно произведение корней уравнения x2 + 3x – 4 = 0? А) 4; Б) –4; В) 3; Г) –3.

1.4. Известно, что a > b, 0 < b, 0 > c. Расположите в порядке возрастания числа a, b, c, 0. А) с, b, 0, a; В) c, 0, b, a; Б) a, b, 0, c; Г) 0, c, b, a.

1.5. Решите неравенство А) (–; 1]; Б) [1; +); В) (–; 1); Г) (1; +).

1.6. Упростите выражение А)

Б)

В)

Г)

1.7. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = x7. А) F(x) = 7x6 + C; В) Б) F(x) = 7x6; Г)

; .

1.8. Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функции f(x) = x4 в точке с абсциссой –1. А) 1; Б) –4; В) 4; Г) другой ответ.

1.9. Сумма трех сторон квадрата равна 18 см. Найдите пери­ метр квадрата. А) 6 см; Б) 12 см; В) 18 см; Г) 24 см.

1.10. Сторона ромба равна 13 см, а одна из его диагоналей – 24 см. Найдите другую диагональ ромба. А)

64

; Б)

; В) 10 см; Г) 5 см.

1.11. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. А) 15π см2; Б) 30π см2; В) 75π см2; Г) 45π см2.

1.12. Найдите длину вектора

если A(–1; 2; 3), B(1; 8; 0).

А) 3; Б) 5; В) 7; Г) 8.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите

.

2.2. Решите уравнение Сх2 = 66.

2.3. Тело двигается прямолинейно со скоростью v(t) = 6t – – 0,3t2 (м/с). Найдите путь, который прошло тело от на­ чала движения до остановки.

МАТЕМАТИКА

2.4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сто­ ронами 12 см и 16 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 26 см. Найдите объем пирамиды.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 23

65

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 24

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Тракторист вспахал 8 га, что составляет 40 % поля. Най­ дите площадь поля. А) 5 га; Б) 20 га; В) 200 га; Г) 32 га.

1.2. (c – 6)2 = … А) c2 – 12c – 36; В) c2 + 12c + 36; Б) c2 – 12c + 36; Г) c2 + 12c – 36.

1.3. Упростите выражение А) 1; Б) x – 1; В) 2; Г) 1.4. Решением какого неравенства является число 1? А) x2 + x J 0; В) x2 – x + 1 J 0; Б) x2 + x – 1 < 0; Г) x2 – x I 0.

1.5. Чему равен А)

МАТЕМАТИКА

.

Б)

В)

Г)

1.6. Решите уравнение А) –1; Б) 1; В) –3; Г) x – любое число.

1.7. Какое из четырех приведенных событий является слу­ чайным? А) при температуре 0 °С вода замерзнет; Б) после понедельника наступит вторник; В) в марте 31 день; Г) при подбрасывании кубика выпадет 6 очков.

1.8. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 8x7. А)

В) F(x) = 56x6;

Б) F(x) = x8 + C; Г) F(x) = 56x6 + C.

66

Найдите

отношение А) 2 : 3; Б) 3 : 2; В) 5 : 2; Г) 3 : 5.

1.10. В треугольнике АВС АВ = 1 см, ВС = 2 см, Вычислите средний по величине угол треугольника. А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 75°.

1.11. Радиус сферы равен 6 см. Каким не может быть рассто­ яние между двумя произвольными точками сферы? А) 5 см; Б) 11 см; В) 12 см; Г) 13 см.

1.12. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 6 см, а диагональ параллелепипеда – 7 см. Найдите площадь полной поверхности параллелепипе­ да. А) 72 см2; Б) 54 см2; В) 36 см2; Г) 108 см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. При каких значениях х функция f(x) = 1 – lg(x – 3) при­ обретает положительные значения?

2.3. Найдите критические точки функции 2.4. Диагональ сечения цилиндра, которое параллельно его оси, равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Сечение отсекает от окружности основания дугу 120°. Найдите радиус основания цилиндра.

67

МАТЕМАТИКА

1.9. Треугольники АВC и A1B1C1 подобны;

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 24

ВАРИАНТ 25

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из приведенных дробей является правильной? А)

Б)

В)

Г)

1.2. Решите уравнение А) 0,6; Б)

В) –0,4; Г) –0,6.

1.3. Представьте выражение А)

Б)

в виде дроби.

В)

Г)

1.4. Найдите нули функции А)

Б)

В)

Г)

1.5. На каком из рисунков схематически изображен график функции ?

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

А)

В)

Б)

Г)

1.6. Вычислите А) 0; Б)

68

В)

Г)

А) [–1; 2], [2; +); В) (–; –1], [2; +); Б) [2; +); Г) [–1; 2].

1.8. В коробке 6 синих, 3 красных и 1 зеленая ручка. Наугад берут одну из них. Какова вероятность того, что она – не синяя? А)

Б)

В)

Г)

1.9. Основания равнобедренной трапеции равны 7 см и 9 см, а боковая сторона – 5 см. Найдите периметр трапеции. А) 21 см; Б) 26 см; В) 28 см; Г) 30 см.

1.10. Найдите точку пересечения прямой абсцисс.

с осью

А) (–3; 0); Б) (3; 0); В) (0; 2); Г) (2; 0).

1.11. Объем цилиндра равен 250π см3, а его высота – 10 см. Найдите площадь основания цилиндра. А) 25π см2; Б) 5π см2; В) 10π см2; Г) 15π см2.

1.12. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна см, а высота – 7 см. Найдите площадь сече­ ния пирамиды, проходящего через ее высоту и боковое реб­ро. А)

см2; Б)

см2; В) 42 см2; Г) 21 см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение cos6x = cos2x.

2.2. Решите неравенство 4x – 6 · 2х + 8 < 0.

2.3. Составьте уравнение касательной к графику функции f(х) = х2 + 2х + 3 в точке с абсциссой х0 = 1.

2.4. Хорда основания конуса равна 6 см и стягивает дугу 90°. Через эту хорду и вершину конуса проведено сечение. Найдите его площадь, если высота конуса равна 4 см.

69

МАТЕМАТИКА

1.7. Знак производной функции определенной на R, изменяется по схеме, изображенной на рисунке. Опреде­ лите все промежутки, на которых функция возрастает.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 25

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 26

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите А)

.

Б) 96; В)

Г) 54.

1.2. Какая пара чисел является решением системы А) (–1; 3); Б) (3; –1); В) (–1; 1); Г) (–3; 1).

1.3. Упростите выражение А) 1; Б) x; В) x6; Г)

.

1.4. Последовательность (yn) задана формулой Найдите А) 7; Б) 9; В) 13; Г) 15.

1.5. Упростите выражение А) Б) В)

Г) –1.

1.6. Найдите область определения функции А) (0; 3); В) Б) Г) [0; 3].

1.7. Найдите

, если

А) 1; Б) –1; В) 0; Г) 1.8. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображен­ ной на рисунке.

А) 8; Б) 4; В) 2; Г) 16.

70

1.10. Один из смежных углов на 20° меньше другого. Найди­ те больший из смежных углов. А) 70°; Б) 80°; В) 100°; Г) 120°.

1.11. Найдите модуль вектора

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

1.12. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота – 8 см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра. А)

Б) 10 см; В)

Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2.2. Подбрасывают одновременно два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма очков на кубиках окажется меньше 5.

2.3. Решите уравнение 2.4. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно см и образует угол 45° с плоскостью основа­ ния. Найдите апофему пирамиды.

71

МАТЕМАТИКА

1.9. Найдите площадь треугольника, одна из сторон которого равна 6 см, а высота, проведенная к этой стороне, – 7 см. А) 42 см2; Б) 24 см2; В) 10,5 см2; Г) 21 см2.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 26

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 27

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из чисел является корнем уравнения А) –1; Б) 0; В) 1; Г) 2.

1.2. Разложите на множители выражение А)

В)

Б)

Г)

1.3. Какое из выражений не имеет смысла на множестве дей­ ствительных чисел? А)

В)

Б)

Г)

1.4. При обработке 40 т риса получили 32 т крупы. Найдите процент выхода крупы при обработке риса. А) 60 %; Б) 70 %; В) 80 %; Г) 90 %.

1.5. Решением какого из неравенств является число 64? А)

Б)

В)

Г)

МАТЕМАТИКА

1.6. Решите уравнение А)

В)

Б)

Г)

1.7. Найдите моду выборки 2; 1; 3; 2; 7; 4; 8; 2; 7. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 7.

1.8. Решите неравенство f′(x) > 0, де f(x) = x2 – 2x. А) (1; +); Б) (2; +); В) (–; 1); Г) [1; +).

1.9. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см. А) Б) 7 см; В) 9 см; Г) 10 см.

1.10. Среди точек Р(–2; 5), М(–2; –5), K(5; –2), L(2; –5) укажи­ те пару точек, симметричных относительно оси ординат. А) М и Р; Б) М и L; В) Р и K; Г) K и L.

72

1.12. Образующая конуса равна 8 см и образует угол 60° с вы­ сотой. Найдите площадь осевого сечения конуса. А) Б)

В) 32 см2; Г) другой ответ.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции

2.2. Решите уравнение log25(x – 2) – 2log5(x – 2) – 3 = 0.

2.3. Найдите определенный интеграл 2.4. Основанием прямой призмы является ромб с тупым углом 150°. Площадь боковой поверхности призмы равна 96 см2, а площадь ее полной поверхности – 132 см2. Най­ дите высоту призмы.

73

МАТЕМАТИКА

1.11. Какое из утверждений правильное? А) через три точки всегда можно провести лишь одну плоскость; Б) через три точки всегда можно провести лишь две плоскости; В) через три точки всегда можно провести бесконечное множество плоскостей; Г) через три точки можно провести одну или бесконеч­ ное множество плоскостей.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 27

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 28

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Отношение 20 : 15 равно... А) 3 : 4; Б) 10 : 5; В) 5 : 3; Г) 4 : 3.

1.2. Какое из выражений является одночленом? А) Б) В) Г) 7(m – n).

1.3. Решите уравнение А)

Б)

В)

Г)

1.4. Если a > b и b > 0, то... А) a > 0; Б) В) b > a; Г) 2a < 2b.

1.5. Решите уравнение . А) 1; В) 3; Б) –1; Г) уравнение не имеет решений.

1.6. Найдите cosα, если sinα = 0,6 и

.

А) В) –0,8; Б) 0,8; Г) другой ответ.

1.7. Какая из функций является первообразной для функции ? А) Б)

В) Г)

1.8. Найдите угловой коэффициент касательной, проведен­ ной к графику функции f(x) = x2 – 1 в точке с абсциссой x0 = 3. А) 8; Б) 7; В) 6; Г) 2.

1.9. В {АВС ВС = 5 см, СА = 8 см, ∠С = 60°. Найдите АВ. А)

Б)

В) 7 см; Г) 6 см.

1.10. Один из углов параллелограмма на 10° меньше другого. Найдите градусную меру острого угла параллелограмма. А) 10°; Б) 75°; В) 85°; Г) 95°.

74

1.12. Стороны основания прямого параллелепипеда равны см и 5 см и образуют между собой угол 60°. Найди­ те объем параллелепипеда, если его боковое ребро равно 10 см. А) 300 см3; В) 150 см3; Б) Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения 1000lg3–lg6 – log2cos60°.

2.2. Сколькими способами группу из 8 учеников можно рас­ пределить для участия в олимпиадах по математике и физике, если в олимпиаде по математике могут прини­ мать участие 5 учеников, а в олимпиаде по физике – 3?

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 3х2 и у = 1 – 2х.

2.4. Из точки А к плоскости α проведены две равные наклон­ ные по 4 см каждая. Угол между наклонными равен 60°, а угол между их проекциями – прямой. Найдите расстоя­ ние от точки А к плоскости α.

75

МАТЕМАТИКА

1.11. Прямоугольник со сторонами 5 см и 6 см вращается во­ круг большей стороны. Найдите длину диаметра образо­ вавшегося цилиндра. А) 5 см; Б) 10 см; В) 6 см; Г) 12 см.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 28

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 29

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из приведенных чисел является делителем числа 12? А) 7; Б) 6; В) 24; Г) 9.

1.2. Упростите выражение

.

А)

В)

Б)

Г)

1.3. Сократите дробь А)

.

Б)

В)

Г)

1.4. Решите неравенство x2 – 3x – 4 J 0. А) (–; –1] ∪ [4; +); В) (–1; 4); Б) (–; –1) ∪ (4; +); Г) [–1; 4].

1.5. Сколько решений имеет уравнение А) одно; В) бесконечное множество; Б) два; Г) ни одного.

1.6. Решите уравнение А) 5; –4; Б) 5; 4; В) –4; 5; Г) –4; –5.

1.7. Подбросили игральный кубик. Какова вероятность того, что выпадет четное число? А)

Б)

В)

Г)

1.8. Найдите неопределенный интеграл

76

А)

В)

Б)

Г)

.

1.10. Найдите высоту прямоугольного треугольника, прове­ денную к гипотенузе, если она делит гипотенузу на от­ резки длиной 1 см и 9 см. А) 4 см; Б) 6 см; В) 3 см; Г) 9 см.

1.11. AC – перпендикуляр, АВ – наклонная, проведенные из точки A к плоскости α. Сравните АВ и AC. А) АВ > AC; В) АВ < AC; Б) АВ = AC; Г) сравнить невозможно.

1.12. Прямоугольный треугольник с катетом 4 см и гипотену­ зой 5 см вращают вокруг данного катета. Найдите пло­ щадь полной поверхности образовавшегося конуса. А) 100π см2; Б) 80π см2; В) 32π см2; Г) 24π см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите неравенство log4(x2 – 3x) J 1.

2.3. Найдите интервалы возрастания функции 2.4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб с периметром 20 см и диагональю 6 см. Большая диаго­ наль параллелепипеда равна 10 см. Найдите объем па­ раллелепипеда.

77

МАТЕМАТИКА

1.9. Какое из уравнений является уравнением окружности? А) x + y = 4; В) x + y2 = 4; Б) x2 + y2 = 4; Г) x2 + y3 = 4.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 29

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË I

ВАРИАНТ 30

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) –16; Б) –32; В) 16; Г) 32.

1.2. Какое из уравнений является линейным? А) Б) В)

1.3. Выполните умножение А)

Б)

Г)

. В)

Г)

1.4. Графиком какой из функций является парабола? А)

Б)

В)

1.5. Сравните числа a и b, если

Г) .

А) сравнить невозможно; В) Б) Г) 1.6. Решите уравнение . А) уравнение не имеет решений; В) –3; 3; Б) 3; Г) –3.

1.7. Касательная к графику функции y = f(x) в точке с аб­ сциссой x0 образует с положительным направлением оси абсцисс угол 60°. Найдите f′(x0). А)

; Б)

; В)

; Г) 1.

1.8. В классе 12 юношей и 16 девушек. Какова вероятность того, что наугад выбранный ученик этого класса – юноша? А)

В)

Б)

Г) другой ответ.

1.9. Найдите длину окружности, диаметр которой равен 6 см. А) 3π см; Б) 6π см; В) 12π см; Г) 18π см.

78

А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

1.11. Площадь основания треугольной прямой призмы рав­ на 6 см2, а площади боковых граней – 12 см2, 16 см2 и 20 см2. Найдите площадь полной поверхности призмы. А) 54 см2; Б) 108 см2; В) 60 см2; Г) 72 см2.

1.12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 17 см, а вы­ сота – 15 см. Найдите объем цилиндра. А) 960π см3; Б) 120π см3; В) 255π см3; Г) 240π см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение

2.2. Найдите область определения функции

.

2.3. Тело движется прямолинейно по закону x(t) = 2t2 – 20t + 3 (х измеряется в метрах, t – в секундах). В какой момент времени скорость тела будет равна 8 м/с?

2.4. Найдите координаты точки, которая лежит на оси аб­ сцисс и равноудалена от точек А(2; 3; 3) и В(3; 1; 4).

79

МАТЕМАТИКА

1.10. Основание трапеции равно 10 см, а средняя линия – 6 см. Найдите длину другого основания.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 30

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 31

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите 26 – 2 · 8 + 7. А) 199; Б) 3; В) 17; Г) –4.

1.2. Найдите решение системы А) (–8; –5); Б) (–2; –5); В) (–5; –8); Г) (–5; –2).

1.3. Упростите a –3 · a5. А) a –15; Б) a15; В) a –2; Г) a2.

1.4. (an) – арифметическая прогрессия, a1 = 3; d = –2. Найдите a11. А) 17; Б) –17; В) –19; Г) –15.

1.5. Найдите значение выражения cos405°. А) –1; Б)

; В)

; Г)

.

1.6. Решите уравнение А) –1; В) 1; Б) уравнение не имеет решений; Г) 3.

1.7. Найдите производную функции А) sinx – 2x; В) –sinx – 2x; Б) –cosx + 2x; Г) –sinx + 2x.

.

1.8. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображен­ ной на рисунке.

А)

80

; Б) 4; В) 3; Г)

.

А) 12π см; Б) 6π см; В) 4π см; Г) 2π см.

1.11. Найдите объем пирамиды, площадь основания которой равна 15 см2, а высота – 4 см. А) 60 см3; Б) 20 см3; В) 30 см3; Г) 240 см3.

1.12. Площади α и β пересекаются по прямой m. Прямая a принадлежит плоскости α. Как могут быть расположе­ ны прямые a и m? Выберите правильное утверждение. А) прямые a и m могут пересекаться, не могут быть па­ раллельными или скрещивающимися; Б) прямые a и m могут быть параллельными, не могут быть скрещивающимися или пересекаться; В) прямые a и m могут быть скрещивающимися, не мо­ гут быть параллельными или пересекаться; Г) прямые a и m могут пересекаться или быть парал­ лельными, не могут быть скрещивающимися.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции

.

2.2. В ящике лежит 12 белых шариков и несколько черных. Сколько черных шариков в ящике, если вероятность вы­ тянуть наугад черный шарик равна 2.3. Решите уравнение 2.4. Вершины квадрата со стороной 8 см принадлежат сфере. Найдите площадь сферы, если расстояние от центра сфе­ ры до плоскости квадрата равно 2 см.

81

МАТЕМАТИКА

1.9. Луч AK – биссектриса угла BAC. Найдите градусную меру угла KАС, если ∠BAC = 40°. А) 20°; Б) 40°; В) 60°; Г) 80°.

1.10. Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, которая соответствует центральному углу 120°.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 31

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 32

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

.

1.1. Вычислите А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.2. Представьте в виде квадрата двучлена выражение 4x2 – – 4x + 1. А) (2x – 1)2; В) (1 + 2x)2; Б) (2x + 1)2; Г) (x – 2)2.

1.3. Упростите выражение А)

Б)

.

В)

Г)

1.4. В банкомате остались три купюры по 100 грн., а осталь­ ные – по 50 грн. Клиент заказал сумму 450 грн. Банко­ мат выдает сначала все имеющиеся купюры по 100 грн., а потом купюры по 50 грн. Сколько купюр по 50 грн. выдаст банкомат клиенту? А) 9; Б) 8; В) 6; Г) 3.

1.5. На каком из рисунков схематически изображен график функции А)

Б)

В)

Г)

1.6. Решите уравнение А)

; В)

Б)

; Г)

;

1.7. Сколько трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 4, 5 и 6, если цифры в числе не повторяются? А) 4; Б) 6; В) 8; Г) 12.

82

если A(–3; 2), В(4; 3).

1.9. Найдите координаты вектора В) Г)

А) Б)

1.10. Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями – 60°. А) 25 см2; Б)

В) 50 см2; Г)

1.11. Сколько всего ребер имеет двенадцатиугольная пирами­ да? А) 12; Б) 24; В) 36; Г) 48.

1.12. Площади квадратов АВCD и АВKL перпендикулярны, АВ = 2 см. Найдите расстояние между точками K и D. А)

Б)

В) 4 cм; Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции f(х) = 2sin2х – 3.

2.2. Решите уравнение log2(5 · 2x+1 – 36) = х.

2.3. Для функции

найдите такую первообразную

F(х), что F(4) = –10.

2.4. Шар, объем которого 36π см3, имеет сечение. Радиус шара, один из концов которого принадлежит сечению, образует с площадью сечения угол 45°. Найдите площадь сечения.

83

МАТЕМАТИКА

1.8. Дано f(x) = cosx – sinx. Найдите . А) –1; Б) 0; В) 1; Г) 2.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 32

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 33

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите 4,2 – 3,8. А) 0,6; Б) 0,4; В) 1,4; Г) 1,6.

1.2. Представьте выражение А) Б)

в виде многочлена.

В) Г)

1.3. Чему равен дискриминант уравнения А) 10; Б) –68; В) 100; Г) 37.

= 0?

1.4. Оцените значение выражения 2 – 3a, если А) В) Б) Г) 1.5. На каком из рисунков схематически изображен график функции А)

В)

Б)

Г)

1.6. Найдите значение выражения . А) 5; Б) 3; В) –3; Г) 1.

1.7. Какая из функций не является первообразной для функ­ ции f(x) = 2x? А) F(x) = x2; В) F(x) = x2 + 1; Б) F(x) = x2 – 3; Г) F(x) = x2 + x.

84

1.9. Точка пересечения диагоналей квадрата находится на расстоянии 3 см от одной из его вершин. Найдите сумму длин диагоналей этого квадрата. А) 6 см; Б) 9 см; В) 12 см; Г) 15 см.

1.10. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 15 см, а высота, проведенная к основанию, – 9 см. Най­ дите основание равнобедренного треугольника. А) 6 см; Б) 12 см; В) 18 см; Г) 24 см.

1.11. Найдите площадь поверхности шара, диаметр которого равен 8 см. А) 36π см2; Б) 256π см2; В) 16π см2; Г) 64π см2.

1.12. Какой из векторов коллинеарен вектору А) Б)

В) Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите 2log481 – log827.

2.2. Решите уравнение Рх+2 = 56Рх.

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = = sin2x, y = 0,

и

2.4. Двугранный угол при основании правильной четырех­ угольной пирамиды равен 30°, а отрезок, соединяющий основание высоты пирамиды с серединой апофемы, – 2 дм. Найдите объем пирамиды.

85

МАТЕМАТИКА

1.8. Найдите критические точки функции y = x3 – 3x2. А) 0; 3; Б) 0; 2; В) 2; Г) 0; 6.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 33

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 34

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. В процессе перегонки нефти образуется 30 % керосина. Сколько керосина образуется после перегонки 240 т неф­ ти? А) 8 т; Б) 72 т; В) 800 т; Г) 24 т.

1.2. Представьте выражение Б)

А)

в виде многочлена.

В)

Г)

В)

Г)

1.3. Сократите дробь Б)

А) 1.4. Какое

из

чисел

является

решением

неравенства

А) –4; Б) –2; В) 0; Г) 2.

1.5. Какое из уравнений не имеет решений? А) sinx = 1; В) tgx = 3; Б) cosx = –1; Г) sinx = 3.

1.6. Сравните

a,

числа

b

и

c,

если

,

. А) c < b < a; Б) b < a < c; В) a < b < c; Г) a < c < b.

1.7. Какое из приведенных событий является достоверным? А) выиграть в лотерею; Б) солнце взошло на западе; В) после 1 марта наступит 2 марта; Г) при подбрасывании монеты выпал герб.

1.8. Вычислите

dx.

А) 2; Б) 1; В) –1; Г) 0.

86

1.10. В треугольнике ABC Найдите AC. А)

см; Б)

см, ∠A = 15°, ∠C = 135°. см; В) 2 см; Г)

см.

1.11. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая на­ клонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите образующую конуса. А)

см; Б) 6 см; В) 15 см; Г) 12 см.

1.12. В правильной четырехугольной призме сторона основа­ ния равна см, а боковое ребро – 5 см. Найдите пло­ щадь диагонального сечения призмы. А) 30 см2; Б)

см2; В)

см2; Г) 15 см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите sin2α, если cosα = –0,6; 2.2. Решите неравенство 2.3. Найдите интервалы убывания функции

2.4. Сечением цилиндра плоскостью, параллельно его оси, яв­ ляется квадрат, отсекающий от окружности основания дугу 90°. Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения, если высота цилиндра равна 6 см.

87

МАТЕМАТИКА

1.9. {ABC V {MNQ; ∠B = 135°. Какой из углов треугольника MNQ равен 135°? А) M; Б) N; В) Q; Г) ни один.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 34

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 35

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из приведенных дробей является неправильной? А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.2. Решите уравнение (2x + 3) – (4x – 1) = 4. А) –2; Б) 0; В) 1; Г) –1.

1.3. Выполните деление А) 2; Б)

; В)

; Г)

.

1.4. Графиком функции y = ax2 + bx + c является парабола, изображенная на рисунке, D – дискриминант квадратного уравнения ax2 + bx + + c = 0. Сравните a и D с нулем.

А) a > 0; D > 0; В) a < 0; D = 0; Б) a > 0; D = 0; Г) a < 0; D < 0.

1.5. Чему равен log216? А) 2; Б) 4; В) 8; Г) 16.

1.6. Какая из точек принадлежит графику функции А) (–32; 2); Б) (–32; –2); В) (16; 2); Г) (–1; 1).

1.7. Известно, что Найдите угол, который образует касательная, проведенная к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой 3, с положительным направлением оси абсцисс. А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) 135°.

1.8. Сколькими способами из пяти членов баскетбольной ко­ манды можно выбрать капитана и его заместителя? А) 10; Б) 20; В) 24; Г) 120.

88

1.10. Сравните расстояния АВ и АС, если А(4; 2), В(1; –2), С(8; –1). А) АВ = АС; В) АВ < АС; Б) АВ > АС; Г) невозможно сравнить.

1.11. Найдите объем цилиндра, у которого радиус основания равен 4 см, а высота – 5 см. А) 16π см3; Б) 100π см3; В) 40π см3; Г) 80π см3.

1.12. Какому из приведенных чисел может равняться общее количество ребер пирамиды? А) 2013; Б) 2014; В) 2015; Г) 2047.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2.2. Решите неравенство 2.3. Найдите производную функции

в точке

х0 = –2.

2.4. Высота конуса равна 5 см, а разность образующей и ра­ диуса основания – 1 см. Найдите площадь осевого сече­ ния конуса.

89

МАТЕМАТИКА

1.9. Острый угол прямоугольной трапеции равен 70°. Найди­ те градусную меру тупого угла этой трапеции. А) 110°; Б) 120°; В) 130°; Г) 140°.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 35

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 36

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Выполните деление дробей А) 2; Б)

.

В)

Г)

1.2. Для какой из приведенных систем уравнений решением является пара чисел (1; 3)? А)

Б)

В)

Г)

1.3. Вычислите (–3)–2. А)

; Б) –9; В)

Г)

1.4. Какая из последовательностей является геометрической прогрессией? А) 0; 1; 0; 1; В) 1; 2; 4; 8; Б) 1; 2; 4; 16; Г) –1; 2; 4; 8.

1.5. Упростите выражение А) Б)

В)

Г)

1.6. Решите неравенство А) [4; +); Б) (–; 4]; В) (1; 4); Г) (1; 4].

1.7. Для функции y = cosx найдите А) 1; Б) –1; В) 0; Г) 1.8. Найдите площадь заштрихован­ ной фигуры, изображенной на рисунке.

А) Б)

90

В)

Г)

1.10. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 260°. Найдите острый угол между пря­ мыми. А) 130°; Б) 65°; В) 25°; Г) 50°.

1.11. Найдите координаты A(–2; 3; 4), B(2; 3; 8).

середины

отрезка

AB,

если

А) (0; 3; 6); В) (–2; 0; –2); Б) (–4; 0; –4); Г) (0; 6; 12).

1.12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см и об­ разует угол 45° с основанием цилиндра. Найдите радиус цилиндра. А) 8 см; Б)

см; В) 4 см; Г) 2 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 0,55–2х + 3 · 0,253–х = 20.

2.2. В коробке 15 конфет из черного шоколада и некоторое количество из белого. Известно, что вероятность вытя­ нуть наугад из коробки конфету из белого шоколада меньше

. Каким может быть в коробке наибольшее ко­

личество конфет из белого шоколада?

2.3. Решите уравнение 2.4. Основанием пирамиды является равнобедренный тре­ угольник с основанием 6 см и боковой стороной 5 см. Боковые грани пирамиды, содержащие боковые стороны этого равнобедренного треугольника, перпендикулярны к основанию, а третья боковая грань наклонена к плоско­ сти основания под углом 60°. Найдите высоту пирамиды.

91

МАТЕМАТИКА

1.9. Площадь прямоугольника равна 12 см2, а одна из его сторон – 4 см. Найдите длину стороны, не параллельной данной. А) 2 см; Б) 3 см; В) 6 см; Г) 16 см.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 36

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 37

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Корнем какого из уравнений является число 0? А) Б) В) Г) 1.2. Разложите на множители выражение А) В) Г)

Б)

1.3. Для функции найдите значение y при А) 3; Б) 81; В) 0; Г) невозможно определить.

1.4. Скорость автомобиля увеличилась с 80 км/ч до 100 км/ч. На сколько процентов увеличилась скорость автомобиля? А) 20 %; Б) 25 %; В) 30 %; Г) 40 %.

1.5. Какое из чисел является корнем уравнения

А) 0; Б) 1; В) 2; Г) –1.

1.6. Решите уравнение

.

А)

В)

Б)

Г)

1.7. В ящике 10 шариков, из которых 3 белые. Какова веро­ ятность того, что вытянутый наугад из ящика шарик окажется белым? А) 1; Б)

В)

Г)

1.8. Найдите , если А) 1; Б) 5; В) 6; Г) 12.

1.9. Одна из сторон прямоугольника равна 8 см, а его диаго­ наль – 10 см. Найдите неизвестную сторону прямоуголь­ ника. А) 6 см; Б) 7 см; В) 8 см; Г) см.

92

1.10. Заданы векторы вектора

и

Найдите координаты

А) (0; –14); Б) (0; 14); В) (12; 10); Г) (12; –14).

1.11. Плоскости α и β параллельны. Точка P не принадлежит ни одной из плоскостей. Сколько существует прямых, которые проходят через точку P параллельно плоско­ стям α и β? А) ни одной; В) две; Б) одна; Г) бесконечное множество.

1.12. Осевое сечение конуса – прямоугольный треугольник с гипотенузой длиной 8 см. Найдите высоту конуса. А) см; В) 8 см; Б) 4 см; Г) другой ответ.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите нули функции 2.2. Решите уравнение

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 37

2.4. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 5 см. Через основание этого треугольника проведено сечение, которое образует угол 60° с плоскостью основания и пере­ секает боковое ребро. Найдите площадь этого сечения.

93

МАТЕМАТИКА

2.3. Вычислите

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 38

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Из каких двух отношений можно составить пропорцию? А) 8 : 2 и 10 : 3; В) 8 : 4 и 3 : 6; Б) 5 : 1 и 14 : 2; Г) 10 : 5 и 12 : 6.

1.2. Какое из выражений является многочленом? А)

В)

Б)

Г)

1.3. Решите уравнение 3x2 – 2x – 5 = 0. А) 1,5; –2,5; В) Б)

Г)

1.4. Если 2 J a J 3, то... А) –2 J –a J –3; В) –3 J a J –2; Б) –3 J –a J –2; Г) –2 J a J –3.

1.5. Сравните x и y, если А) сравнить невозможно; В) Б)

Г) 1.6. Упростите выражение А) Б) 1.7. Для А) Б)

какой

В)

Г)

из приведенных функций является первообразной? В) Г)

функция

1.8. Тело движется прямолинейно по закону (t измеряется в секундах, х – в метрах). Найдите ско­ рость тела в момент времени t = 5 c. А) –5 м/с; Б) 4 м/с; В) 5 м/с; Г) 25 м/с.

1.9. В треугольнике АВC sin∠ A = 0,3, sin∠B = 0,6, BC = 10 cм. Найдите AC. А) 20 см; Б) 10 см; В) 5 см; Г) 6 см.

94

А) 7 см; Б) 10 см; В) 12 см; Г) невозможно определить.

1.11. Прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см вращается во­ круг меньшей стороны. Найдите длину образующей об­ разованного цилиндра. А) 8 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 3 см.

1.12. Основанием прямой призмы является треугольник со стороной 5 см и высотой 6 см, которая проведена к этой стороне. Найдите высоту призмы, если ее объем равен 120 см3. А) 16 см; Б) 4 см; В) 8 cм; Г) 12 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите 2.2. Сколько разных пятизначных натуральных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 5, 7 так, чтобы цифры в каж­ дом из чисел не повторялись?

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2 – х2 и у = –х.

2.4. Через конец С отрезка СD проведена плоскость α. Через конец D и точку А этого отрезка проведены параллель­ ные прямые, которые пересекают плоскость α в точках D1 и А1 соответственно. Найдите длину отрезка АА1, если DD1 = 15 см и СА : АD = 2 : 1.

95

МАТЕМАТИКА

1.10. O – точка пересечения диагоналей прямоугольника, AC = 10 см, периметр треугольника AOD равен 17 см. Найдите AD.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 38

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 39

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из приведенных утверждений является правиль­ ным? А) 10 – делитель числа 21; В) 15 – кратное числу 3; Б) 20 – делитель числа 10; Г) 3 – кратное числу 15.

1.2. Упростите выражение

А)

В)

Б)

Г)

1.3. Выполните сложение дробей А)

В)

Б)

Г)

1.4. Решите неравенство А)

В)

Б)

Г)

1.5. Найдите корни уравнения А)

В)

Б)

Г)

1.6. Вычислите А)

96

.

.

Б) 5; В)

Г) 1.

А)

Б)

В)

найдите первообразную F(x)

1.8. Для функции такую, что

Г)

.

А) F(x) = ctgx + 1; В) F(x) = –tgx + 3; Б) F(x) = tgx + 1; Г) F(x) = –ctgx + 3.

1.9. Какое из приведенных уравнений является уравнением прямой? А) В) Б) Г) 1.10. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а его проекция на гипотенузу – 3 см. Найдите гипотенузу треугольника. А) 8 см; Б) 9 см; В) 10 см; Г) 12 см.

1.11. Из точки B к плоскости β проведены перпендикуляр BK и наклонная BL. Найдите LK, если BL = 5 см, BK = 4 см. А) 2 см; Б) 3 см; В) 1 см; Г) 4 см.

1.12. На расстоянии 6 см от центра сферы проведено сечение, пересекающее сферу по окружности, длина которой равна 16π см. Найдите площадь сферы. А) 100π см2; Б) 256π см2; В) 400π см2; Г) 800π см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите неравенство log3(x – 2) + log3x I 1.

2.3. Найдите точки минимума функции 2.4. В прямой треугольной призме стороны основания равны 13 см, 14 см и 15 см. Через боковое ребро призмы и сред­ нюю по длине высоту основания проведено сечение, пло­ щадь которого 60 см2. Найдите объем призмы.

97

МАТЕМАТИКА

1.7. В ящике 12 карандашей, 5 из которых красные. Наугад выбирают один карандаш. Какова вероятность того, что он окажется красным?

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 39

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 40

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите значение выражения А) –3; Б) 3; В) 5; Г) –5.

1.2. Решите уравнение А) 2; Б) –2; В) 6; Г) уравнение не имеет решений.

1.3. Возведите в степень А)

Б)

. В)

Г)

1.4. Найдите абсциссу вершины параболы, являющейся гра­ фиком функции . А) –4; Б) 4; В) 2; Г) –2.

1.5. Решите уравнение А)

Б) –1; В) 1; Г) 3.

1.6. Упростите выражение

А) 1; Б) p; В)

Г)

1.7. По какой формуле можно найти площадь заштрихован­ ной на рисунке фигуры?

98

В)

Б)

Г)

1.8. В ящике 20 шариков, 4 из которых белые. Наугад выби­ рают один шарик. Какова вероятность того, что он ока­ жется не белым? А)

Б)

В)

Г)

1.9. Найдите площадь круга, диаметр которого равен 8 см. А) 4π см2; Б) 16π см2; В) 32π см2; Г) 64π см2.

1.10. В равнобедренной трапеции боковая сторона вдвое длиннее высоты. Найдите градусную меру острого угла трапеции. А) 30°; Б) 45°; В) 60°; Г) невозможно определить.

1.11. В правильной четырехугольной призме сторона основа­ ния равна 4 см, а боковое ребро – 5 см. Найдите пло­ щадь боковой поверхности призмы. А) 20 см2; Б) 40 см2; В) 60 см2; Г) 80 см2.

1.12. Осевое сечение конуса – правильний треугольник, высо­ та которого равна см. Найдите объем конуса. А) Б)

см3; В) см3; Г)

см3; см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2.2. Решите неравенство 2.3. На графике функции f(х) = х2 – 2х – 4 найдите точку, в которой касательная к этому графику параллельна прямой у = 4х + 7.

2.4. Угол между векторами

и

равен 120°. Найдите

,

если

99

МАТЕМАТИКА

А)

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 40

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 41

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите . А) 108; Б) 76; В) 268; Г) 12.

1.2. Решите систему уравнений А) (1; 2); Б) (2; 1); В) (–4; 7); Г) (1; –2).

1.3. Упростите выражение

А)

В)

Б)

. Г)

1.4. (an) – арифметическая прогрессия, , . Найдите . А) 43; Б) 45; В) 47; Г) другой ответ.

1.5. Для функции y = sinx найдите А) 0; Б)

; В)

.

; Г) 1.

1.6. Вычислите 3log749 – log28. А) 9; Б) 6; В) 3; Г) другой ответ.

1.7. Найдите производную функции А) В) Б) Г) 1.8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями , А)

, Б)

,

. В)

Г)

1.9. Точка K принадлежит отрезку AB = 8 см; AK = 2 см. Най­ дите длину отрезка BK. А) 10 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) 2 см.

100

А) 1800°; Б) 1620°; В) 1440°; Г) 1260°.

1.11. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, сторона основания которой равна 3 см, а высота – 7 см. А) 84 см3; Б) 21 см3; В) 189 см3; Г) 63 см3.

1.12. Прямая a параллельна плоскости β, а прямая b при­ надлежит плоскости β. Как могут быть расположены прямые a и b? Выберите правильное утверждение. А) прямые a и b могут быть параллельными, не могут быть скрещивающимися или пересекаться; Б) прямые a и b могут быть скрещивающимися, не мо­ гут быть параллельными или пересекаться; В) прямые a и b могут пересекаться, не могут быть па­ раллельными или скрещивающимися; Г) прямые a и b могут быть параллельными или скре­ щивающимися, не могут пересекаться.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2.2. На карточках записаны числа от 1 до 12. Наугад берут две из них. Какова вероятность того, что сумма чисел на карточках будет равна 12?

2.3. Решите уравнение 2.4. Хорду, лежащую в основании конуса, из его вершины видно под углом 60°, а из центра основания – под пря­ мым углом. Найдите площадь боковой поверхности кону­ са, если его образующая равна 4 см.

101

МАТЕМАТИКА

1.10. Вычислите сумму внутренних углов выпуклого десяти­ угольника.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 41

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 42

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите А)

; Б)

; В)

; Г)

.

1.2. Разложите многочлен x2 – 25 на множители. А) (x – 5)(x – 5); В) (x + 5)(x + 5); Б) (x – 5)(x + 5); Г) (x – 25)(x + 25).

1.3. Вычислите А) –0,2; Б) 0,2; В) 0,1; Г) –0,1.

1.4. Сколько сдачи должен дать кассир покупателю, который купил товар на сумму 70 грн. 50 коп. и дал кассиру ку­ пюру в 200 грн.? А) 129 грн. 50 коп.; В) 270 грн. 50 коп.; Б) 130 грн. 50 коп.; Г) 29 грн. 50 коп.

1.5. Найдите область определения функции . А) [10; +); Б) (–; +); В) [0; +); Г) (–; 0].

1.6. Решите уравнение sin2x = 1. А)

+ πk, k ∈ Z; В)

+ 2πk, k ∈ Z;

Б)

+ 2πk, k ∈ Z; Г) (–1)k

+ πk, k ∈ Z.

1.7. В корзине 20 яблок, 7 из которых красные. Наугад вы­ тягивают одно яблоко. Какова вероятность того, что оно окажется красным? А)

Б)

1.8. Дана функция А)

102

Б)

В)

Г) Найдите

.

В) 1; Г) другой ответ.

1.9. Найдите модуль вектора А) 4; Б) 1; В) 5; Г) 3.

1.10. Найдите площадь равнобедренной трапеции, основания которой равны 7 см и 13 см, а боковая сторона – 5 см. А) 80 см2; В) 50 см2; Б) 40 см2; Г) другой ответ.

1.11. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а площадь боковой поверхности – 60 см2. Найдите апофему пирамиды. А) 5 см; Б) 10 см; В) 2,5 см; Г) 3 см.

1.12. Из точки A к плоскости α проведены наклонные АВ, AC и перпендикуляр AK, AB = 10 см, BK = 6 см, KC = 15 см. Найдите AC. А)

Б) 17 см; В) 25 см; Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 42

2.3. Для функции

найдите первообразную,

график которой проходит через точку 2.4. В сосуде, имеющем форму цилиндра, уровень воды нахо­ дится на высоте 45 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в сосуд цилиндрической формы, радиус которого в 3 раза больше радиуса данного?

103

МАТЕМАТИКА

2.2. Решите уравнение

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 43

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из приведенных десятичных дробей больше дроби 4,25? А) 4,1073; Б) 4,251; В) 4,24; Г) 4,209.

1.2. Выполните умножение одночленов

.

А) –a9b4; Б) –2a9b3; В) 2a9b4; Г) –2a9b4.

1.3. Чему равна сумма корней уравнения x2 – 2x – 3 = 0? А) –2; Б) –3; В) 3; Г) 2.

1.4. Решите неравенство 6 – 2x J 4. А) [1; +); Б) (–; 1]; В) [–5; +); Г) [–1; +).

1.5. Решите уравнение 2x–1 = 32. А) 5; Б) 6; В) 3; Г) 4.

1.6. Какая из функций является четной? А) y = 5 + cosx; В) y = 2tgx; Б) y = 3 – sinx; Г) y = –3ctgx.

МАТЕМАТИКА

1.7. Найдите неопределенный интеграл А)

Б)

В)

Г)

1.8. Найдите точки минимума функции А) 4; В) 0; 4; Б) 0; Г) функция не имеет точек минимума.

1.9. Найдите больший угол параллелограмма, если сумма двух его углов равна 140°. А) 70°; Б) 90°; В) 110°; Г) 140°.

1.10. Диагональ квадрата равна 4 роны квадрата.

см. Найдите длину сто­

А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

1.11. Радиус основания конуса равен 2 см, а образующая – 3 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. А) 2π см2; Б) 4π см2; В) 6π см2; Г) 9π см2.

104

1.12. Расстояние от какой точки: A(–2; 0; 3) или В(1; –1; 3) – до начала координат является наименьшим? А) A; В) расстояния одинаковы; Б) В; Г) невозможно определить.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Известно, что log27 = a, log23 = b. Представьте log242 через a и b.

2.2. Есть 6 разных блокнотов и 7 разных ручек. Сколькими способами можно сформировать набор из 3 блокнотов и 2 ручек?

2.3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = ех, у = е3х и х = 1.

МАТЕМАТИКА

2.4. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно

см и образует угол 45° с плоскостью основания. Най­ дите объем пирамиды.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 43

105

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 44

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. У ученика было 24 грн. На приобретение книги он потра­ тил 6 грн. Какой процент денег потратил ученик? А) 6 %; Б) 20 %; В) 25 %; Г) 100 %.

1.2. Преобразуйте выражение (x + 5)2 в многочлен. А) x2 + 5x + 25; В) x2 – 10x + 25; Б) x2 + 10x + 25; Г) x2 + 10x + 5.

1.3. Сократите дробь А)

; Б)

. ; В)

; Г)

.

1.4. Какое из чисел является решением неравенства x2 + 2x – 3 I 0? А) –3; Б) –2; В) –1; Г) 0.

1.5. Какое из уравнений имеет решения? А) sinx = –2; Б) sinx = 2; В) cosx = 2; Г) tgx = 2.

1.6. Решите уравнение 2x–2 + 2x = 10. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

1.7. Среди 9 платков, которые лежат в ящике, 2 платка бе­ лых. Наугад берут один платок. Какова вероятность того, что он окажется белым? А)

Б)

В)

Г)

1.8. Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку M(0; –2). А) В) Б) Г) 1.9. Треугольник АВC подобен треугольнику KLM, ∠A = 30°, ∠L = 70°. Найдите градусную меру угла C. А) 30°; Б) 70°; В) 80°; Г) 100°.

106

А)

см; Б)

см; В)

см; Г)

см.

1.11. Высота конуса равна 6 см, а образующая – 10 см. Най­ дите радиус основания конуса. А) 4 см; Б) 8 см; В) 16 см; Г)

см.

1.12. В правильной треугольной призме сторона основания равна 3 см, а диагональ боковой грани – 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы. А) 27 см2; Б) 36 см2; В) 48 см2; Г) 45 см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Найдите область определения функции 2.3. Найдите

координаты

точки

минимума

функции

.

2.4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 17 см, а вы­ сота цилиндра на 11 см больше его радиуса. Найдите пло­ щадь осевого сечения цилиндра.

107

МАТЕМАТИКА

1.10. Стороны параллелограмма равны 4 см и 7 см, а угол между ними – 60°. Найдите длину большей диагонали параллелограмма.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 44

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 45

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какая из предложенных дробей больше единицы? А)

Б)

В)

Г)

1.2. Решите уравнение А) –0,5; Б) 1,5; В) 0,5; Г) 2,5.

1.3. Выполните умножение А)

Б)

В)

Г)

1.4. Найдите множество значений функции А) (–; –1]; В) [–1; +); Б) (–1; +); Г) [1; +).

1.5. Решите неравенство А) [3; +); Б) (–; 3]; В) (0; 3]; Г) (0; 3).

1.6. Решите уравнение А) 2; Б) –1; 2; В) 1; –2; Г) 1.

1.7. По какой формуле можно найти площадь заштрихован­ ной на рисунке фигуры?

А)

В)

Б)

Г)

1.8. Сколькими способами из 20 учеников класса можно сформировать команду из 3 учеников для участия в спор­ тивном соревновании? А) 190; Б) 570; В) 1140; Г) 6840.

108

1.10. Окружность задана уравнением x2 + y2 = 25. Какая из приведенных точек принадлежит окружности? А) (–3; 3); Б) (–3; 4); В) (5; 1); Г) (0; 6).

1.11. Площадь основания конуса равна 9π см2, а его объем – 12π см3. Найдите высоту конуса. А) 2 см; Б) 12 см; В) 8 см; Г) 4 см.

1.12. Сторона основания правильной четырехугольной пира­ миды равна 3 см, а апофема – 4 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. А) 33 см2; Б) 30 см2; В) 24 см2; Г) 42 см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 2sin2x + 5cosx + 1 = 0.

2.2. Решите неравенство 2х+2 + 2х+1 J 24.

2.3. На графике функции f(х) = х2 – 5х + 7 найдите точку, в которой касательная образует угол 45° с положительным направлением оси абсцисс.

2.4. Вершины равностороннего треугольника со стороной 3 дм лежат на поверхности шара, радиус которого равен 2 дм. Найдите расстояние от центра шара до плоскости треугольника.

109

МАТЕМАТИКА

1.9. Острый угол равнобедренной трапеции равен 50°. Найди­ те градусную меру тупого угла этой трапеции. А) 100°; Б) 110°; В) 120°; Г) 130°.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 45

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 46

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Выполните умножение дробей А)

Б)

В)

⋅ Г)

1.2. Какая пара чисел является решением системы А) (4; 2); Б) (2; 4); В) (5; 1); Г) (4; –2).

1.3. Вычислите А)

Б) 8; В) –8; Г)

.

1.4. Какая из последовательностей является арифметической прогрессией? А) 1; 2; 3; 5; В) –1; 0; 2; 3; Б) 0; 1; 0; –1; Г) –1; 0; 1; 2.

1.5. Упростите выражение 5cos2α + 5sin2α. А) 5; В) 5sin2αcos2α; Б) 6; Г) 5 + sin2α + cos2α.

1.6. Вычислите . А) 25; Б) 9; В) 3; Г) 6.

1.7. Дано y = x3. Найдите y′(–1). А) –1; Б) 3; В) –3; Г) 1.

1.8. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 0, x = 2, x = 4. А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 8.

1.9. Основания трапеции равны 7 см и 5 см, а ее высота – 3 см. Найдите площадь трапеции. А) 36 см2; Б) 105 см2; В) 52,5 см2; Г) 18 см2.

1.10. Точка K делит отрезок AB длиной 10 см в отношении 2 : 3, считая от точки A. Найдите длину отрезка KB. А) 2 см; Б) 4 см; В) 8 см; Г) 6 см.

110

1.11. Найдите расстояние между точками A(0; 1; –3) и B(2; –1; –2). А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 6.

1.12. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь которого равна 36 см2. Найдите радиус основания цилиндра. А) 9 см; Б) 3 см; В) 6 см; Г) 12 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 5x–2 · 2x+3 = 320.

2.2. Есть пять карточек с числами 2, 4, 6, 8, 10. Наугад вы­ бираем три из них. Какова вероятность того, что из них можно составить арифметическую прогрессию?

2.3. Решите уравнение

МАТЕМАТИКА

2.4. В правильной треугольной пирамиде боковые грани обра­ зуют с плоскостью основания углы 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания пирамиды равна 2 дм.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 46

111

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 47

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Корнем какого из приведенных уравнений является чис­ ло 1? А) x + 3 = 4 – x; В) 7x = x + 5; Б) 2x = x + 3; Г) 9x = 10 – x.

1.2. Разложите на множители многочлен mc – c – 2m + 2, ис­ пользуя способ группирования. А) (m – 1)(c – 2); В) (1 – m)(c – 2); Б) (m + 1)(c + 2); Г) (m – 1)(c + 2).

1.3. Какое из уравнений не имеет корней на множестве дей­ ствительных чисел? А)

Б)

В)

Г)

1.4. Вкладчик положил в банк 10 000 грн. под 16 % годовых. Сколько гривен будет на счете вкладчика через год? А) 10 600 грн.; В) 11 600 грн.; Б) 1600 грн.; Г) 12 600 грн.

1.5. Вычислите А)

Б)

В)

1.6. Решите уравнение А)

В)

Б)

Г)

Г)

1.7. Найдите медиану выборки 1; 3; 2; 7; 3; 2; 1. А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 7.

1.8. Найдите производную функции А) Б)

112

В) Г)

А) 6 см; Б)

В)

Г) 8 см.

При каком значении x

1.10. Даны векторы выполняется равенство

А) 1; Б) –2; В) 2; Г) –1.

1.11. Прямые a и b не параллельны и не пересекаются. Сколько плоскостей можно провести через эти пря­ мые? А) ни одной; В) две; Б) одну; Г) бесконечное множество.

1.12. Диаметр шара равен 8 см. Точка A принадлежит каса­ тельной к шару плоскости и находится на расстоянии 3 см от точки касания шара и плоскости. Найдите рас­ стояние от точки A до центра шара. А)

Б)

В) 10 cм; Г) 5 см.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Исследуйте функцию f(x) = sinx – x3 на четность.

2.2. Решите уравнение log2(2x – 1) = 2log23 – log2(x – 4).

2.3. Вычислите

2.4. Найдите площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его диагональ больше линейных измерений соответственно на 1 см, 9 см и 10 см.

113

МАТЕМАТИКА

1.9. Сторона квадрата равна 4 см. Найдите его диагональ.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 47

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 48

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Найдите неизвестный член пропорции А) 20; Б) 2; В) 3,2; Г) 1,25.

1.2. Выполните умножение А) Б) В)

Г)

1.3. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа –2 и 3. А) В) Б) Г) 1.4. Решите неравенство А) (–; 3]; В) [3; +); Б) (–; –3]; Г) [–3; +).

1.5. Какая из приведенных функций возрастает на множестве действительных чисел? А)

В)

Б)

Г)

1.6. Упростите выражение А)

Б)

В)

Г)

1.7. Найдите общий вид первообразных для f(x) = sinx. А) F(x) = cosx + C; В) F(x) = –sinx + C; Б) F(x) = cosx; Г) F(x) = –cosx + C.

функции

1.8. Найдите интервалы возрастания функции f(x) = 3x – x3. А) Б)

В) [–1; 1]; Г)

1.9. В треугольнике ABC BC = 2 см, AC = 6 см, Найдите А) 0,1; Б) 0,3; В) 0,8; Г) 0,9.

114

А) 40°; В) 60°; Б) 50°; Г) 70°.

1.11. Образующая цилиндра равна 12 см, а диагональ осевого сечения – 13 см. Найдите диаметр основания цилиндра. А) 10 см; Б) 5 см; В) 2,5 см; Г) 6 см.

1.12. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см и образует угол 45° с боковым ребром. Найдите объем пирамиды. А) 144 см3; Б) 72 см3; В) 288 см3; Г) 432 см3.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите х, если log2x = log432 + 2log43 – log42.

2.2. Сколько разных правильних несократимых дробей мож­ но составить из чисел 1, 2, 3, 7, 11, 18 так, чтобы числи­ телем и знаменателем каждой дроби были числа из дан­ ного набора?

2.3. Скорость движения точки задается уравнением v(t) = 5 + + 2t (м/с). Найдите уравнение движения s = s(t), если s(3) = 30.

2.4. Точка М находится вне плоскости прямоугольного тре­ угольника АВС, у которого ∠С = 90°, АС = 8 см, ВС = = 6 см, и на одинаковом расстоянии от его вершин. Най­ дите это расстояние, если расстояние от точки М до пло­ скости треугольника равно 12 см.

115

МАТЕМАТИКА

1.10. ABCD – ромб, ∠ABD = 55°. Найдите градусную меру угла CDK.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 48

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 49

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Какое из приведенных чисел кратное числу 4? А) 2; Б) 18; В) 19; Г) 20.

1.2. Преобразуйте выражение А)

В)

Б)

Г)

1.3. Представьте в виде дроби А)

Б)

в многочлен.

.

В)

Г)

1.4. Решите неравенство x2 – 9 > 0. А) (3; +); В) (–3; 3); Б) (–; –3) ∪ (3; +); Г) (–; –3] ∪ [3; +).

1.5. Решите уравнение cosx = 1. А) 2πk, k Z; В) π + 2πk, k Б) πk, k

Z;

Z; Г)

1.6. Не выполняя построения, найдите точку пересечения графиков

и y = 5.

А) (1; 5); Б) (–1; 5); В) (–1; –5);

Г) (5; –1).

1.7. Из 10 учеников, участвовавших в районной олимпиаде, трое заняли призовые места. Из этих 10 учеников наугад выбирают одного. Какова вероятность того, что он стал призером олимпиады? А) 0,3; Б) 0,7; В) 0,1; Г) 0,5.

116

А) –3; Б) 3; В) 9; Г) –9.

1.9. Найдите координаты середины отрезка АВ, если A(–2; 4), В(6; 8). А) (4; 12); Б) (2; 6); В) (8; 4); Г) (4; 2). , АВ = 5 см, A1В1 = 15 см. Найдите от­

1.10. ношение

.

А) 1 : 3; Б) 1 : 2; В) 2 : 1; Г) 3 : 1.

1.11. Прямая b перпендикулярна к плоскости α, а прямая a лежит в плоскости α и проходит через точку М пересе­ чения прямой b и плоскости α. Каким является угол между прямыми a и b?

А) 30°;

Б) 60°; В) 90°; Г) невозможно определить.

1.12. Диагональ осевого сечения цилиндра равна см и об­ разует с плоскостью основания угол 45°. Найдите пло­ щадь полной поверхности цилиндра. А) 96π см2; Б) 48π см2; В) 24π см2; Г) 64π см2.

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите неравенство log0,5(x2 + 3x) J –2.

2.3. Найдите точки максимума функции 2.4. Основанием прямого параллелепипеда является паралле­ лограмм со сторонами 7 см и 3 см и острым углом 30°. Найдите объем параллелепипеда, если его полная поверх­ ность равна 141 см2.

117

МАТЕМАТИКА

1.8. Вычислите

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 49

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

РАЗДЕЛ I

ВАРИАНТ 50

Часть первая Задания 1.1–1.12 имеют по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, на ваш взгляд, ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Вычислите А) –72; Б) 8; В) 40; Г) –40.

1.2. Решите уравнение А) 3; В) нет решений; Б) x – любое число; Г) 0.

1.3. Выполните деление А)

Б)

В)

Г)

1.4. Графиком какой из функций является парабола, ветки которой направлены вниз? А) В) Г)

Б)

1.5. Решите уравнение . А) 6; Б) 8; В) 9; Г) нет решений.

1.6. Вычислите

.

А) –3; Б) 3; В) –7; Г) 7.

1.7. Знак производной функции , определенной на R, изменяется по схеме, изображенной на рисунке. Опреде­ лите точки минимума функции.

А) 4; Б) 1; В) 1; 4; Г) нет точек минимума.

1.8. Игральный кубик подбрасывают один раз. Какова веро­ ятность того, что выпадет число, которое является дели­ телем числа 24? А)

118

Б)

В)

Г) 1.

1.10. В прямоугольной трапеции тупой угол в 3 раза больше острого. Найдите градусную меру острого угла трапе­ ции. А) 75°; Б) 65°; В) 55°; Г) 45°.

1.11. Сколько всего ребер у пятиугольной призмы? А) 5; Б) 10; В) 15; Г) 20.

1.12. Сечением шара плоскостью, проведенной на расстоянии 4 см от центра, является круг площадью 9π см2. Найди­ те объем шара. А)

Б) 125π см3; В) 600π см3; Г)

Часть вторая Решите задания 2.1–2.4. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение cos2x + 10cosx – 11 = 0.

2–3

2.2. Решите неравенство 90,5х

I 27.

2.3. Найдите угловой коэффициент касательной к графику в точке с абсциссой х0 = 5.

функции 2.4. Даны

и

Найдите модуль вектора

119

МАТЕМАТИКА

1.9. Какая из фигур является правильным многоугольником? А) трапеция; В) прямоугольный треугольник; Б) квадрат; Г) окружность.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 50

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

МАТЕМАТИКА

РАЗДЕЛ II ВАРИАНТ 1

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Основанием прямой призмы является параллелограмм со сторонами 3 м и 4 м. Одна из диагоналей призмы равна 5 м, а другая – 7 м. Найдите площадь боковой поверхно­ сти этой призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых урав­ нение имеет два разных корня.

4.2м. Постройте график уравнения

.

м

4.3 . Во внутренней области равностороннего треугольника взята точка. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника равна высоте треугольни­ ка.

4.4м. Найдите радиус сферы, вписанной в правильную тре­ угольную пирамиду, высота которой равна h, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен a.

120

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение

.

3.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке

.

3.3. Высота конуса равна 4 см. Площадь сечения конуса пло­ скостью, параллельной его основанию, равна половине площади основания. Найдите расстояние от вершины ко­ нуса до сечения.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Постройте геометрическое место точек, удовлетворяю­ щих неравенству 4.3м. Высота прямоугольного треугольника АВС, проведен­ ная к гипотенузе, делит его на два треугольника. Рас­ стояние между центрами окружностей, вписанных в эти треугольники, равно 1 см. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

4.4м. В правильную треугольную пирамиду вписан шар. Рас­ стояние от центра шара до вершины пирамиды равно а. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основа­ ния под углом α. Найдите объем шара.

121

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 2

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 2

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 3

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

3.2. Решите уравнение sin2x + |sinx|cosx = 0.

3.3. Шар по одну сторону от его центра пересекли двумя па­ раллельными плоскостями. Площади образованных сече­ ний равны 36π см2 и 64π см2, а расстояние между ними – 2 см. Найдите площадь поверхности шара.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых урав­ нение x3 – 2x2 + x + a = 0 имеет три корня.

4.2м. Решите неравенство logx3 · log3x3 · log3(81x) J 1.

4.3м. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Рас­ стояние от центра окружности до точки пересечения ди­ агоналей трапеции относится к радиусу окружности как 3 : 5. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности.

4.4м. Основанием прямой призмы является равносторонний треугольник. Через одну из его сторон проведена плос­ кость под углом α к основанию призмы. Эта плоскость отсекает от призмы треугольную пирамиду, объем кото­ рой равен V. Найдите площадь сечения.

122

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения .

3.2. Решите неравенство

.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с тупым углом α, в которую можно вписать окружность. Диагональ боковой грани, содержащей бо­ ковую сторону трапеции, равна b и наклонена к плоско­ сти основания под углом β. Найдите полную поверхность призмы.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых систе­ ма уравнений

имеет бесконечное

множество решений.

4.2м. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [0; 3].

4.3м. Две окружности, радиусы которых равны R и r, лежат в одной плоскости и касаются друг друга. Найдите радиус окружности, касающейся заданных окружностей и их общей внешней касательной.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде отношение длины бокового ребра к длине ребра основания равно . Через диагональ основания пирамиды паралельно боко­ вому ребру проведена секущая плоскость. В каком соот­ ношении эта плоскость делит объем пирамиды?

123

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 4

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 4

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 5

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство

.

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и 3.3. Площадь основания цилиндра равна S. В цилиндре па­ раллельно его оси проведена плоскость, пересекающая основание по хорде, которую видно из центра этого ос­ нования под углом α. Угол между диагональю образован­ ного сечения и плоскостью основания цилиндра равен β. Найдите площадь сечения.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. При каких значениях параметра а все точки экстрему­ ма функции y = x3 – 3ax2 + 3(a2 – 1)x – 4 принадлежат промежутку [–2; 4]?

4.2м. Решите систему уравнений 4.3м. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, равна 8 см, а медиана, проведенная к бо­ ковой стороне, – см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

4.4м. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида так, что центр шара лежит на высоте пирами­ ды. Найдите объем пирамиды, если радиус окружности, описанной около ее основания, равен r.

124

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения .

3.2. Решите неравенство 3.3. Основанием прямого параллелепипеда является ромб. Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 10 м2, а площадь одного из его диагональних сечений равна 4 м2. Найдите площадь другого диагонального се­ чения параллелепипеда.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых урав­ нение имеет только один корень на промежутке .

4.2м. Исследуйте функцию

и постройте ее гра­

фик.

4.3м. АВСD – параллелограмм. Точки K и М – середины сто­ рон ВС и СD соответственно. Через вершину А паралле­ лограмма проведены прямые АK и АМ. Докажите, что эти прямые делят диагональ ВD параллелограмма на три равные части.

4.4м. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а его острый угол – α. Найдите объем тела, образовавшегося вращением треугольника вокруг его гипотенузы.

125

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 6

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 6

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 7

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения .

3.2. Вычислите значение выражения

.

3.3. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной приз­ мы равна d и образует с боковым ребром призмы угол a. Найдите объем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. При каких значениях параметра а уравнение х2 + имеет больше двух корней?

4.2м. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой

.

м

4.3 . Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четы­ рехугольника, равны.

4.4м. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пира­ мида с плоским углом a при вершине. Найдите высоту пирамиды.

126

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения .

3.2. Решите уравнение cos4x + 2cos2x = 0.

3.3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна S. Хорду, лежащую в основании цилиндра, видно из центра этого основания под углом a. Найдите площадь сечения, прохо­ дящего через данную хорду параллельно оси цилиндра.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a решите уравнение .

4.2м. Исследуйте функцию

и постройте ее график.

4.3м. Cторона квадрата равна а. Этот квадрат повернули во­ круг одной из его вершин на 45°. Найдите площадь об­ щей части данного и полученного квадратов.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде отношение длины бокового ребра к длине ребра основания равно . Через диагональ основания пирамиды перпендику­ лярно к боковому ребру проведена секущая плоскость. Площадь образованного сечения равна S. Найдите объ­ ем пирамиды.

127

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 8

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 8

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 9

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения .

3.2. Найдите интервалы возрастания и убывания и точки экс­ тремума функции

.

3.3. Шар пересекли двумя параллельными плоскостями, рас­ положенными по одну сторону от его центра. Площади полученных сечений равны см2 и см2. Найдите расстояние между этими плоскостями, если площадь по­ верхности шара равна см2.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых систе­ ма уравнений 4.2м. Решите уравнение

не имеет решений. .

4.3м. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей равно 4.4м. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна h, а ее боковая грань образует с плоскостью основания угол α. Через диагональ основания параллельно боко­ вому ребру проведена секущая плоскость. Найдите пло­ щадь сечения.

128

ВАРИАНТ 10

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения

.

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми ра­ вен α, проведена плоскость, образующая с основанием ко­ нуса угол β. Найдите объем конуса, если его высота равна h.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 10

ки экстремумов функции принадлежат промежутку

.

м

4.2 . Постройте геометрическое место точек плоскости, удов­ летворяющих уравнению .

4.3м. Точка K – середина стороны АВ квадрата АВСD, а точка M делит его диагональ АС в отношении . Докажите, что угол KMD прямой.

4.4м. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н и образует с боковой гранью пирамиды угол α. Че­ рез сторону основания пирамиды перпендикулярно к противоположной грани проведена секущая плоскость. Найдите объем пирамиды, отсекающейся от данной пи­ рамиды секущей плоскостью.

129

МАТЕМАТИКА

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых все точ­

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 11

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство 3.2. Вычислите значение выражения

.

3.3. Основанием пирамиды является прямоугольный тре­ угольник с катетом b и противоположным ему углом β. Все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом α. Найдите объем пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. При каком наименьшем значении параметра а система уравнений

МАТЕМАТИКА

.

имеет единственное реше­

ние?

4.2м. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = 4sin2x – 2sin4x на отрезке [0; p].

4.3м. Докажите, что для любой трапеции площадь треуголь­ ника, основанием которого является одна из непараллель­ ных сторон трапеции, а вершиной – середина противопо­ ложной стороны, равна половине площади трапеции.

4.4м. В шар радиуса R вписана правильная треугольная приз­ ма. Из одной вершины призмы проведены высота осно­ вания и диагональ боковой грани, угол между которы­ ми равен α. Найдите объем призмы.

130

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите точки экстремума функции 3.2. Решите уравнение cos2x – 3.3. Основанием пирамиды является квадрат. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основа­ ния. Наибольшее боковое ребро пирамиды образует с вы­ сотой угол ϕ. Расстояние от основания высоты пирамиды до середины этого ребра равно d. Найдите длину стороны основания пирамиды.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение 3x – x2 + | x – 4 | – a = 0.

4.2м. Решите неравенство

.

4.3м. Три окружности, радиусы которых равны 1 дм, 1 дм и дм, лежат в одной плоскости и попарно касают­ ся друг друга. Найдите площадь фигуры, ограниченной меньшими дугами этих окружностей.

4.4м. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Угол между диа­ гоналями равных боковых граней призмы равен β. Че­ рез эти диагонали проведено сечение. Площадь сечения равна S. Найдите объем призмы.

131

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 12

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 12

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 13

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство

.

3.2. Решите уравнение 3.3. Основанием прямой призмы является ромб. Сечение при­ змы плоскостью, проведенной через большую диагональ ее нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол . Сечением является треугольник, угол которо­ го при вершине верхнего основания призмы равен ,а площадь – 36 см2. Найдите объем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых не­ равенство выполняется при всех положительных значениях х.

4.2м. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции в точке с абсциссой х0 = 2.

4.3м. Равносторонний треугольник, площадь которого S, по­ вернули вокруг одной из его вершин на 30°. Найдите площадь общей части данного и полученного треуголь­ ников.

4.4м. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикуляр­ на к боковой стороне. Боковая сторона равна b и образу­ ет с большим основанием угол α. Найдите площадь по­ верхности тела, образовавшегося вращением трапеции вокруг большего основания.

132

ВАРИАНТ 14

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наименьший положительный корень уравнения .

3.2. Решите неравенство

.

3.3. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник, острый угол которого равен α, а гипотенуза равна с. Диагональ грани, содержащей катет, противопо­ ложный данному углу, образует с плоскостью основания призмы угол β. Найдите объем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 14

имеет положительную точку минимума. м

4.2 . Постройте геометрическое место точек плоскости, удов­ летворяющих неравенству .

4.3м. Найдите угол между векторами , если век­ торы перпендикулярны между собой и равны по модулю.

4.4м. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна Н, а плоский угол при вершине – α. Найдите объем пи­ рамиды.

133

МАТЕМАТИКА

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых функция

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 15

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, y = x2 – 5x + 4 и y = x – 4.

ограниченной

3.2. Решите неравенство

.

линиями

3.3. Основанием прямой призмы является ромб, сторона кото­ рого равна а. Угол между плоскостями двух боковых гра­ ней призмы равен j. Большая диагональ призмы накло­ нена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых урав­ нение 2cos2x – 4|a|cosx + a2 + 2 = 0 не имеет корней.

4.2м. Решите уравнение

.

4.3м. В равнобедренную трапецию вписана окружность, ра­ диус которой равен 5 см. Расстояние между точками ка­ сания, лежащими на ее боковых сторонах, равно 8 см. Найдите площадь трапеции.

4.4м. Тупоугольный треугольник с острыми углами α и b и меньшей из его высот, длина которой равна h, враща­ ется вокруг стороны, лежащей против угла b. Найдите площадь поверхности образованного тела вращения.

134

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение

.

3.2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

.

3.3. В цилиндре паралельно его оси проведена плоскость, пе­ ресекающая основание по хорде, которую видно из цен­ тра этого основания под углом α. Угол между диагона­ лями образованного сечения равен β, а его площадь – S. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра a, при каждом из ко­ торых система уравнений

имеет

бесконечное множество решений.

4.2м. Постройте геометрическое место точек плоскости, удо­ влетворяющих неравенству .

4.3м. В треугольнике АВС длина высоты АD равна 4 см. Ме­ диана ВK и биссектриса ВЕ делят АD на три равные части. Найдите длину стороны АВ.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде центры впи­ санного и описанного шаров совпадают. Найдите объем пирамиды, если длина стороны основания равна а.

135

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 16

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 16

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 17

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение те его значение при

и найди­ .

3.2. Решите неравенство

.

3.3. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом b. В основание конуса вписан треугольник со стороной а и противоположным ей углом α. Найдите пол­ ную поверхность конуса.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра a, при каждом из ко­ торых функция убы­ вает на всей своей области определения.

4.2м. Решите уравнение

.

м

4.3 . В прямоугольном треугольнике меньший угол равен α. Перпендикулярно к гипотенузе проведена прямая, ко­ торая делит треугольник на две равновеликие части. В каком отношении эта прямая делит гипотенузу?

4.4м. В шар радиуса R вписана правильная четырехугольная пирамида так, что центр шара лежит на продолжении высоты пирамиды. Найдите объем этой пирамиды, если радиус окружности, описанной вокруг ее основания, ра­ вен r.

136

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество

.

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Основанием пирамиды является правильный треуголь­ ник, площадь которого равна см2. Одна грань пи­ рамиды перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­ торых уравнение 36x + (a – 1) ⋅ 6x + a – 2a2 = 0 имеет два разных действительных корня.

4.2м. Исследуйте функцию фик.

и постройте ее гра­

4.3м. Основания трапеции равны 13 см и 7 см. Прямая, па­ раллельная основанию трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину отрезка этой прямой, содержащегося между боковыми сторонами трапеции.

4.4м. Объемы тел, образовавшихся вращением прямоугольно­ го треугольника вокруг его гипотенузы и катетов, соот­ ветственно равны Vc, Va, Vb. Докажите, что

.

137

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 18

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 18

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 19

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите точки экстремума функции

.

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Сторона основания правильной четырехугольной призмы в 2 раза меньше ее бокового ребра. Через сторону осно­ вания и середину противоположного ей бокового ребра проведено сечение. Найдите площадь боковой поверхно­ сти призмы, если радиус окружности, описанной вокруг сечения приз­мы, равен см.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых не­ равенство выполняется при всех отрицательных значениях х.

4.2м. Постройте график уравнения 4.3м. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 20 см, а высота, проведенная к боко­ вой стороне, – 24 см. Найдите периметр треугольника.

4.4м. Радиус основания конуса равен R, а угол развертки его боковой поверхности – прямой. Найдите объем конуса.

138

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство

.

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и y = 5 + x.

3.3. Основанием прямой призмы является ромб. Площади ди­ агональних сечений призмы равны 36 м2 и 48 м2. Мень­ шая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите полную поверхность призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при каждом из ко­ торых функция воз­ растает на всей своей области определения.

4.2м. Решите систему уравнений 4.3м. В прямоугольном треугольнике острый угол равен , а противоположный ему катет равен 1 см. Из верши­ ны второго острого угла проведена биссектриса, которая делит этот треугольник на два треугольника. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в полученные треугольники.

4.4м. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды рав­ но а, а угол наклона боковой грани к плоскости основа­ ния равен α. Найдите объем шара.

139

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 20

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 20

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 21

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение

.

3.2. Представьте число 225 в виде двух положительных мно­ жителей так, чтобы их сумма приобретала наименьшее значение.

3.3. Основанием пирамиды является ромб с тупым углом β и меньшей диагональю d. Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

4.2м. Постройте график функции

.

4.3м. Периметр равнобедренной трапеции в 2 раза больше длины вписанной в эту трапецию окружности. Найдите острый угол трапеции.

4.4м. В шар радиуса R вписан конус. В этот конус вписан цилиндр, осевым сечением которого является квадрат. Известно, что угол между образующей и плоскостью ос­ нования конуса равен α. Найдите площадь полной по­ верхности цилиндра.

140

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

.

3.1. Вычислите 3.2. Решите уравнение

.

3.3. В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом j. Рассто­ яние от основания высоты пирамиды до бокового ребра равно l. Найдите объем пирамиды.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

4.2м. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

4.3м. Углы при основании трапеции равны 20° и 70°, а длина отрезка, который соединяет середины оснований, – 2 см. Найдите длины оснований трапеции, если длина ее средней линии равна 4 см.

4.4м. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепи­ пед, диагональ которого образует с плоскостью основа­ ния угол α, а с меньшей боковой гранью – угол β. Най­ дите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

141

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 22

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 22

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 23

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите точки экстремума функции 3.2. Постройте график функции 3.3. Через диагональ нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания правильной четырехуголь­ ной призмы проведено сечение. Угол наклона сечения к основанию равен 60°. Найдите объем призмы, если пло­ щадь сечения равна 8 м2.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при каждом из кото­ рых уравнение имеет корни.

4.2м. Решите неравенство

.

м

4.3 . Докажите, что сумма расстояний от любой точки, взя­ той на стороне правильного треугольника, до двух его других сторон является постоянной величиной.

4.4м. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно b и образует с плоскостью основания угол α. В эту пира­ миду вписан цилиндр, высота которого равна диаметру, а основание лежит в плоскости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра.

142

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x3 – 3x2 + e2.

3.2. Решите уравнение

.

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда образует с плоскостью одной боковой грани угол α, а с плоскостью другой – угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если его диагональ равна d.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Решите неравенство x2 + 4x + 5 J cos2(2 + x).

4.3м. В прямоугольной трапеции отношение длин оснований равно 4, а отношение длин диагоналей равно 2. Найдите острый угол трапеции.

4.4м. Плоский угол при вершине правильной треугольной пи­ рамиды равен α. Радиус окружности, описанной около боковой грани, равен R. Найдите объем шара, описанно­ го около данной пирамиды.

143

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 24

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 24

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 25

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите значение выражения

если

3.2. Решите уравнение 3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренный тре­угольник. Диагонали боковых граней, содержащих бо­ ковые стороны этого треугольника и имеющих общую вер­ шину, равны d и образуют между собой угол α. Плоскость, которая проходит через эти диагонали, наклонена к пло­ скости основания под углом β. Найдите объем призмы.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство

4.2м. Упростите

выражение

,

если

.

4.3м. Высота равнобедренной трапеции в 2 раза меньше боко­ вой стороны. В эту трапецию вписан круг. Найдите отно­ шение площади трапеции к площади вписанного круга.

4.4м. Высота конуса равна H, а угол между высотой и его об­ разующей – α. В этот конус вписан второй конус так, что вершина второго конуса совпадает с центром осно­ вания первого, основания конусов параллельны, а об­ разующая второго конуса перпендикулярна к соответ­ ствующей образующей первого конуса. Найдите объем вписанного конуса.

144

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наименьший положительный корень уравнения 3cosx – sin2x = 0.

3.2. Разложите число 24 на два слагаемых так, чтобы сумма кубов этих слагаемых была наименьшей.

3.3. Концы отрезка принадлежат двум перпендикулярным плоскостям. Проекции отрезка на каждую из плоскостей соответственно равны см и 20 см. Расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из концов отрезка к плоскостям, – 12 см. Найдите длину данного отрезка.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

4.2м. Определите количество корней уравнения

4.3м. В равносторонний треугольник АВС вписан другой рав­ носторонний треугольник EFG, вершины которого ле­ жат на сторонах первого треугольника и делят каждую из них в отношении 1 : 2. Найдите отношение площадей треугольников EFG и АВС.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основа­ ния равна a, двугранный угол при ребре основания – α. Найдите объем шара, описанного около этой пирамиды.

145

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 26

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 26

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 27

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите все корни уравнения

, кото­

рые принадлежат интервалу (– p; π).

3.2. Для графика функции запишите уравнение касательной, параллельной прямой .

3.3. Расстояние от центра основания конуса до его образую­ щей равно d. Угол между образующей и высотой равен α. Найдите полную поверхность конуса.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 – 4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство (x – а)(lg2x + lgx – 2)  0.

4.2м. Решите уравнение

.

м

4.3 . Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, в 2 раза больше площади этого прямоугольного треугольника. Найдите отношение катетов прямоугольного треуголь­ ника.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде длина ребра основания равна a, а двугранный угол при ребре осно­ вания равен α. В пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат в плоскости основания пирамиды, а другие четыре – на боковых ребрах пирамиды. Найдите объем куба.

146

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение 3.2. Решите неравенство

.  2.

3.3. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, стяги­ вающая дугу градусной меры 2α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой хорды нижнего основания, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до середины данного отрезка равно l.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Постройте геометрическое место точек плоскости, удов­ летворяющих уравнению

.

4.3м. Средняя линия трапеции делит площадь трапеции в от­ ношении 3 : 5. Найдите основания трапеции, если ее средняя линия равна 10 см.

4.4м. Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпен­ дикулярны. Известно, что около пирамиды можно опи­ сать конус. Найдите угол между образующей описанно­ го конуса и его высотой.

147

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 28

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 28

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 29

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

.

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью абсцисс.

3.3. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с углом β при основании и радиусом описанной окружно­ сти R. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если все ее грани наклонены к плоскости основания под углом α.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а укажите количество корней уравнения .

4.2м. Вычислите значение выражения

4.3м. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Дока­ жите, что площадь этой трапеции равна произведению ее оснований.

4.4м. В шар, радиус которого равен R, вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треуголь­ ник с острым углом α, а диагональ боковой грани, ко­ торая содержит катет, прилегающий к этому углу, об­ разует с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.

148

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции f(x) = 2x2 – x4 + 1 на интервале [–2; 0].

3.2. Найдите значение выражения .

3.3. Основанием пирамиды является правильный треуголь­ ник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья – наклонена к ней под углом β. Высота пирамиды равна Н. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Найдите наибольшее целое число, которое является ре­ шением неравенства

.

4.3м. Две стороны треугольника равны 1 см и см, а ме­ диана, проведенная к третьей стороне, – 2 см. Найдите площадь треугольника.

4.4м. В конус вписан шар. Радиус шара равен R, а угол между двумя образующими в осевом сечении конуса – 2α. Най­ дите объем тела, ограниченного поверхностями шара и конуса.

149

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 30

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 30

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 31

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение и 0° < a < 90°,

3.2. Докажите, что если 0° < b < 90°, то a + b = 60°.

3.3. Апофема правильной треугольной пирамиды образует с ее высотой угол α. Найдите полную поверхность пирами­ ды, если отрезок, соединяющий основание высоты пира­ миды с серединой апофемы, равен m.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a решите неравенство .

4.2м. Исследуйте функцию y =

и постройте ее график.

4.3м. В равнобедренной трапеции АВСD (АD || ВС) расстояние от вершины А до прямой СD равно длине боковой сторо­ ны, а основания трапеции АD и ВС относятся как 5 : 1. Найдите углы трапеции.

4.4м. В конус, угол между образующей и плоскостью основа­ ния которого равен α, вписан шар. В этот шар вписали куб. Найдите отношение объемов конуса и куба.

150

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите точки экстремума функции 3.2. Решите неравенство

.

3.3. Боковые грани правильной треугольной призмы – ква­ драты. Найдите угол между прямыми, одна из которых содержит диагональ боковой грани, а другая – сторону основания призмы, которая не пересекает эту диагональ.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. При каком значении параметра а система уравнений имеет единственное решение?

4.2м. Решите уравнение 4.3м. Угол между единичными векторами Найдите

. и

равен 120°.

.

4.4м. В правильную четырехугольную пирамиду вписан ци­ линдр так, что его нижнее основание лежит в основа­ нии пирамиды, а верхнее основание касается всех ее боковых граней. Радиус основания цилиндра равен R, а его высота в 2 раза меньше высоты пирамиды. Угол на­ клона боковой грани пирамиды к плоскости основания равен α. Найдите объем пирамиды.

151

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 32

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 32

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 33

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [–2; 0].

3.2. Найдите значение выражения

, если

3.3. Шар касается всех сторон треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Расстояние от центра шара до пло­ скости треугольника равно 3 см. Найдите площадь по­ верхности шара.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра a, при которых урав­ нение 16x – (a + 1) · 4x + 4a – 12 = 0 имеет только один корень.

4.2м. В прямоугольной системе координат на плоскости по­ стройте множество точек (х; у), удовлетворяющее нера­ венству .

4.3м. Найдите угол между векторами и , если векторы и перпендикулярны между собою и равны по модулю.

4.4м. Две правильные четырехугольные пирамиды имеют об­ щее основание, и одна из них находится внутри другой. Боковое ребро большей пирамиды наклонено к плоско­ сти основания под углом α, а меньшей – под углом β. Радиус окружности, описанной вокруг общего основа­ ния пирамид, равен R. Найдите объем части простран­ ства, ограниченной боковыми гранями этих пирамид.

152

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и .

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Из концов отрезка, принадлежащего двум перпендику­ лярным плоскостям, к линии пересечения плоскостей проведены перпендикуляры, длины которых см и 4 см. Расстояние между основаниями проведенных пер­ пендикуляров равно 4 см. Вычислите углы, которые об­ разует этот отрезок с данными плоскостями.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a решите уравнение .

4.2м. Найдите множество значений функции

.

4.3м. Окружность вписана в прямоугольный треугольник. Точка касания делит меньший из катетов в отношении . Найдите углы этого треугольника.

4.4м. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом α при верши­ не. Из этой вершины в боковых гранях призмы прове­ дены диагонали. Угол между проведенными диагоналя­ ми равен β. Найдите объем цилиндра, описаного вокруг данной призмы.

153

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 34

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 34

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 35

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождественность 3.2. Решите уравнение 2 logх27 – 3log27x = 1.

3.3. Основанием пирамиды является равнобедренный тре­ угольник с основанием а и углом α при вершине. Боковая грань, содержащая основание этого треугольника, пер­ пендикулярна к плоскости основания, а две другие – на­ клонены к плоскости основания под углом j. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a решите неравенство .

4.2м. Найдите площадь треугольника, образованного касатель­ ной к графику функции у

в точке х0 = 1 и от­

резками, которые эта касательная отсекает на осях ко­ ординат.

4.3м. В трапеции проведены диагонали. Площади треуголь­ ников, прилегающих к ее основанию, равны S1 и S2. До­ кажите, что площадь этой трапеции равна м

.

4.4 . В цилиндр вписан параллелепипед. Сторона основания большей боковой грани параллелепипеда равна a. Диа­ гональ параллелепипеда образует с плоскостью основа­ ния угол α, а с большей боковой гранью – угол β. Най­ дите объем цилиндра.

154

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите интервалы возрастания и убывания функции

3.2. Решите систему уравнений

3.3. Основанием прямой призмы является треугольник со стороной a и прилегающими к ней углами α и β. Диаго­ наль боковой грани, содержащей эту сторону, образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство (x – a)(4x – 2x – 12) J 0.

4.2м. Найдите значение выражения 2π 4π 8π 16π 32π . cos cos cos cos cos 31 31 31 31 31 4.3м. Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на четыре треугольника. Площади трех из них равны S1, S2, S3. Найдите площадь четвертого треугольника.

4.4м. Конус вписан в шар. Площадь осевого сечения конуса равна S, а угол между его высотой и образующей – α. Найдите площадь поверхности шара.

155

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 36

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 36

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 37

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [0; 2].

3.2. Вычислите значение выражения

.

3.3. Основанием пирамиды является прямоугольник. Диаго­ наль прямоугольника равна d и образует с его стороной угол γ. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоско­ сти основания под углом α. Найдите объем пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Решите неравенство 4.3м. Угол между единичными векторами Найдите | |.

. и

равен 60°.

4.4м. В усеченном конусе образующая наклонена к большему основанию под углом α. В этот конус вписан шар радиу­ са r. Найдите длину линии, вдоль которой шар касается боковой поверхности конуса.

156

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

.

3.2. Сумма двух положительных чисел равна 8. Найдите эти числа, если известно, что сумма квадрата одного из них и куба второго принимает наименьшее значение.

3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с диагональю d и острым углом α. Диагонали трапеции перпендикулярны к ее боковым сторонам. Най­ дите объем призмы, если ее диагональ образует с плоско­ стью основания угол β.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

4.2м. Упростите

выражение

,

если

.

4.3м. В сектор АОВ с центральным углом a

вписан

круг, касающийся радиусов ОА и ОВ и дуги АВ. Найди­ те отношение площади сектора к площади вписанного круга.

4.4м. Вокруг пирамиды, основанием которой является пра­ вильный треугольник со стороной a, описан шар. Из­ вестно, что одно из боковых ребер пирамиды перпен­ дикулярно к плоскости основания и равно b. Найдите радиус шара.

157

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 38

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 38

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 39

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение

3.2. Решите неравенство

.

3.3. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с острым углом β. Площадь боковой грани, содержащей катет, противоположный данному углу, рав­ на S, а ее диагональ наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем призмы.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м– 4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых уравне­ ние имеет толь­ ко один корень.

4.2м. Решите уравнение 4.3м. Угол при основании равнобедренного треугольника ра­ вен α. Найдите отношение радиуса окружности, вписан­ ной в этот треугольник, к радиусу описанной окружно­ сти.

4.4м. Угол между плоскостью основания и боковой гранью правильной четырехугольной пирамиды равен α. Пло­ щадь поверхности шара, вписанного в пирамиду, равна S. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

158

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения 3.2. Представьте число 5 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы произведение первого числа на квадрат второго числа было наибольшим.

3.3. В нижнем основании цилиндра на расстоянии а от центра проведена хорда, которую видно из центра этого основа­ ния под углом 2β. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведенной хорды, обра­ зует с плоскостью основания угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a решите неравенство 4.2м. Сколько корней имеет уравнение ?

4.3м. Основания трапеции равны а и b. Отрезок, концы кото­ рого лежат на боковых сторонах трапеции, параллелен основаниям и делит трапецию на две равновеликие ча­ сти. Найдите длину этого отрезка.

4.4м. Апофема правильной треугольной пирамиды равна a. Боковое ребро образует с высотой пирамиды угол α. Найдите объем шара, описаного вокруг этой пирамиды.

159

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 40

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 40

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 41

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение cos2x – 5cosx – 2 = 0.

3.2. Найдите интервалы возрастания и убывания и точки экс­ тремума функции f(x) = (x2 – 2x – 3)2.

3.3. Площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы в 12 раз больше площади основания. Найдите угол между диагональю боковой грани и плоскостью ос­ нования призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Найдите

наименьшее

целое

решение

неравенства

.

4.3м. В параллелограмме проведены биссектрисы всех его углов. Докажите, что четырехугольник, образованный точками пересечения биссектрис, является прямоуголь­ ником, диагональ которого равна разности соседних сторон параллелограмма.

4.4м. Образующая конуса равна l и образует угол α с плоско­ стью основания конуса. В этот конус вписано полуша­ рие так, что центр полушария принадлежит основанию конуса, а поверхность полушария касается боковой по­ верхности конуса. Найдите объем полушария.

160

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 3.2. Постройте график функции 3.3. Радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного ко­ нуса соответственно равны R и r, а его образующая на­ клонена к плоскости нижнего основания под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности этого усеченного конуса.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра a укажите ко­ личество точек пересечения графика функции f(x) = – x2 + 3x + | x – 4 | и прямой y = a.

4.2м. Решите неравенство

.

4.3м. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках M и N. Эти точки соединены с произвольной точкой K, принадлежащей стороне АС. Найдите площадь четырехугольника МВNK, если известно, что площади треугольников АВС и МNK соответственно равны Q и q.

4.4м. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен α. Вокруг этой пирамиды описан шар, радиус которого равен R. Найдите объем пирамиды.

161

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 42

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 42

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 43

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство 3.2. Найдите значение tga + ctga = 3.

выражения

tg4a

ctg4a,

+

если

3.3. Основанием прямой призмы является прямоугольник с углом α между диагоналями. Диагональ призмы равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите объ­ ем призмы.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

4.2м. Решите уравнение

.

4.3м. Основания равнобедренной трапеции равны 10 см и 26 см, а ее диагонали перпендикулярны к боковым сто­ ронам. Найдите площадь этой трапеции.

4.4м. В правильной треугольной пирамиде расстояние от цент­ ра описанного вокруг нее шара до бокового ребра равно а. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости ос­ нования под углом α. Найдите площадь полной поверх­ ности пирамиды.

162

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство

.

3.2. Постройте график функции 3.3. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде пло­ щади нижнего и верхнего оснований соответственно рав­ ны Q и q, а боковое ребро образует с плоскостью основа­ ния угол 45°. Найдите площадь диагонального сечения этой усеченной пирамиды.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите все значения параметра а, при которых урав­ нение только два корня.

на интервале

имеет

4.2м. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале [0; 4].

4.3м. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите отношение площадей описанного и вписанного в него кругов.

4.4м. Вокруг конуса, образующая которого наклонена к пло­ скости основания под углом α, описан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

163

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 44

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 44

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 45

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

.

3.2. Найдите значение выражения

, если

.

3.3. Угол между диагоналями основания прямоугольного па­ раллелепипеда равен 30°. Диагональ параллелепипеда об­ разует с плоскостью основания угол 60°. Найдите высоту параллелепипеда, если его объем равен 18 см3.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. При

каких

значениях

параметра

a

функция

имеет отрицательную точку минимума?

4.2м. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x2 – 2x + 3, касательной, проведенной к нему в точке с абсциссой x0 = 2, и осью ординат.

4.3м. В треугольнике высота и медиана, проведенные из одной вершины, делят угол при этой вершине на три равные части. Найдите углы треугольника.

4.4м. В усеченный конус вписан шар, радиус которого равен r. Диаметр большего основания усеченного конуса вид­ но из центра шара под углом α. Найдите объем усечен­ ного конуса.

164

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции f(x) = 2x3 – 4x2 – 14x + log28.

3.2. Решите систему уравнений 3.3. Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом α при вершине и радиусом описан­ ной окружности R. Диагональ боковой грани, содержа­ щей боковую сторону этого треугольника, образует с пло­ скостью основания угол β. Найдите объем призмы.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

4.2м. Решите уравнение

.

4.3м. Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит его гипотенузу на два отрезка. Докажите, что произведение длин этих отрезков равно площади тре­ угольника.

4.4м. Сфера вписана в правильную четырехугольную пирами­ ду со стороной основания а. Найдите длину бокового ребра пирамиды, если радиус сферы равен R.

165

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 46

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 46

МАТЕМАТИКА

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 47

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 3.2. Представьте число 3 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма утроенного первого числа и куба другого числа была наименьшей.

3.3. Основанием пирамиды является трапеция, параллель­ ные стороны которой равны 6 см и 8 см, а высота – 7 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите высоту пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Найдите наименьшее значение параметра а, при кото­ ром система уравнений

имеет един­

ственное решение. м

4.2 . Найдите область определения функции .

4.3м. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три меньшие окружности. Найдите сторону данного тре­ угольника, если радиус меньшей окружности равен r.

4.4м. Угол между образующей конуса и его осью равен α. В этот конус вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.

166

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество

.

3.2. Разложите число 6 на два неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение их квадратов было наибольшим.

3.3. Шар касается всех сторон ромба, диагонали которого рав­ ны 30 см и 40 см. Расстояние от центра шара к пло­ скости ромба равно 5 см. Найдите площадь поверхности шара.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а определите количе­ ство корней уравнения .

4.2м. Найдите область определения функции .

4.3м. В окружность, радиус которой равен R, вписан тре­ угольник. Вершины треугольника делят окружность на три части в отношении 2 : 5 : 17. Найдите площадь тре­ угольника.

4.4м. В правильной четырехугольной пирамиде длина ребра основания равна a, а двугранный угол при ребре осно­ вания – α. В эту пирамиду вписан куб так, что четыре его вершины лежат в плоскости основания пирамиды, а другие четыре вершины – на апофемах боковых граней пирамиды. Найдите объем куба.

167

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 48

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 48

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

PАÇÄЕË II

ВАРИАНТ 49

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и 3.2. Решите уравнение lg2100x – 7lgx = 8.

3.3. Разность образующей и высоты конуса равна d, а угол между ними α. Найдите объем конуса.

Часть четвертая м

Решения заданий 4.1 –4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите неравенство .

МАТЕМАТИКА

4.2м. Вычислите значение выражения .

4.3м. Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта ди­ агональ делит пополам отрезок, соединяющий середи­ ны двух противоположных сторон четырехугольника.

4.4м. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды рав­ но a, а угол наклона боковой грани к плоскости основа­ ния – α. Найдите площадь боковой поверхности пира­ миды.

168

Часть третья Решения заданий 3.1–3.3 должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите интервалы возрастания и убывания и точки экс­ тремума функции

.

3.2. Решите уравнение sin2x +

|sinx|cosx = 0.

3.3. Основанием пирамиды является треугольник со сторона­ ми 13 см, 14 см и 15 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найди­ те площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Часть четвертая Решения заданий 4.1м–4.4м должны иметь обоснования. В них нужно записать последовательные логические действия и объяснение, сделать ссылки на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если необходимо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1м. Для каждого значения параметра а решите уравнение

4.2м. Вычислите значение выражения .

4.3м. В равнобедренный треугольник вписан круг радиуса R. К кругу проведена касательная, параллельная основа­ нию. В полученный треугольник вписан круг радиуса r. Докажите, что косинус угла при основании этого тре­ угольника равен

.

4.4м. В цилиндр вписан параллелепипед, диагональ которого с плоскостью основания образует угол α, а с большей боковой гранью – угол β. Сторона основания большей боковой грани параллелепипеда равна а. Найдите объ­ ем цилиндра.

169

МАТЕМАТИКА

ВАРИАНТ 50

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ

Вариант 50

РА Б О ТА на государственную итоговую аттестацию по__________________________________ название предмета

за курс старшей школы ученика (ученицы) _____________ класса ____________________________________ название учебного заведения

___________________________________ фамилия, имя, отчество в родительном падеже

Вариант № _______________

Внимание! Отмечайте к каждому заданию только один вариант ответа. Любые исправления в бланке недопустимы. Если вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ можно отметить в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка ответов.

В заданиях 1.1–1.12 правильный ответ отмечайте только так:

В заданиях 2.1–2.4 впишите ответ.

2.1

2.3

2.2

2.4

Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенной клеточке, а правильный, на ваш взгляд, ответ – в соответствующем месте. Задания 1.1–1.12

Задания 2.1–2.4 Номер задания 2.

2.

Исправленный ответ

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК

ДЛЯ ЗАМЕТОК