Math merzlyak chastina2 e (1)

ÓÄÊ 373.5.091.26:51 ÁÁÊ 74.262.21 Ñ23 Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû (ïðèêàç Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû îò 27.12.2013 № 1844)

Ï å ð å â å ä å í î ï î è ç ä à í è þ: Çáіðíèê çàâäàíü äëÿ äåðæàâíîї ïіäñóìêîâîї àòåñòàöії ç ìàòåìàòèêè : 11-é êë. : ó 2-õ ÷. / À.Ã. Ìåðçëÿê [òà іí.]; çà ðåä. Ì.І. Áóðäè. — Ê. : Öåíòð íàâ÷.-ìåòîä. ë-ðè, 2014. — 224 ñ.

Ñáîðíèê çàäàíèé äëÿ ãîñóäàðñòâåííîé èòîãîâîé àòÑ23 òåñòàöèè ïî ìàòåìàòèêå : 11-é êë.: â 2-õ ÷. / À.Ã. Ìåðçëÿê [è äð.]; ïîä ðåä. Ì.È. Áóðäû. — Ê. : Öåíòð íàâ÷.ìåòîä. ë-ðè, 2014. — 208 ñ.

ISBN 978-617-626-173-5. ×. 2. — ISBN 978-617-626-201-5. ÓÄÊ 373.5.091.26:51 ÁÁÊ 74.262.21

ISBN 978-617-626-173-5 (ðóñ.)

ISBN 978-617-626-172-8 (óêð.)

ISBN 978-617-626-201-5 (×. 2)

© Ìåðçëÿê À.Ã., Ïîëîíñêèé Â.Á., ßêèð Ì.Ñ., 2014 © Öåíòð íàâ÷àëüíîìåòîäè÷íîї ëіòåðàòóðè, ñåðèéíîå îôîðìëåíèå, îðèãèíàë-ìàêåò, 2014

Вариант 1 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения: 2

⎛ 9+4 5 − 9−4 5 ⎞ . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

2.2. Решите неравенство 7 x + 2 − 14 ⋅ 7 x ≤ 5 .

2.3. Решите уравнение: log 52 x + 2 log 5 x = 2 .

2.4. Найдите промежутки убывания функции f ( x) = − 1 x 3 − 1 x 2 + 2 x − 6 .

3 2 2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = 1 sin x + 4 cos 4 x , график кото3 3 рой проходит через точку A( π; 3) .

2.6. Двое рабочих изготовили за первый день 100 деталей. За второй день первый рабочий изготовил деталей на 20 % больше, чем за первый день, а второй рабочий — на 10 % больше, чем за первый день. Всего за второй день они изготовили 116 деталей. Сколько деталей изготовил за первый день первый рабочий?

2.7. Одна сторона треугольника равна 35 см, а две другие относятся как 3 : 8 и образуют угол 60°. Найдите большую сторону треугольника.

2.8. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15 см, имеет площадь 64 π см2. Найдите площадь поверхности шара. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами. x3

3.1. Постройте график функции f= ( x)

4

x4

+2.

3.2. Решите уравнение: sin 2 x + sin 2 2 x = cos2 3x + cos2 4 x .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

3

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений ⎧x + 3 y + 5 = 0, ⎨ 2 2 ( x − a ) + y = 4 ⎩ имеет три решения?

4.2.м Решите неравенство: 2 log 21 4 x + log 2 x ≥ 8 .

8 2

4.3.м Найдите

общие

точки

графиков

функций

f ( x) = x 3 − 3x + 2

и g ( x) = ( x − 1) 2 , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) делит медиану BM в отношении 3 : 4, считая от вершины B. В каком отношении точка K делит сторону BC ?

4

Вариант 2 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите систему уравнений: ⎧ x 2 − y 2 = 24, ⎨ ⎩ x − y = 2.

2.2. Чему равен cos α , если sin α = 0,6 и π < α < π ?

2 2.3. Вычислите значение выражения

log 9 27 + log 9 3 ⋅ 2 log 2 6 − log 2 9

2.4. Решите уравнение:

32 x +1 − 10 ⋅ 3 x + 3 = 0 .

2.5. Чему равно наименьше значение функции f ( x ) =+ 2 3x 2 − x 3 на промежутке [–1; 1] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 150 и делятся нацело на 4.

2.7. Известно, что O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (BC || AD). Найдите отрезок BO, если AO : OC = 7 : 6 и BD = 39 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной a, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой y = 4 .

параболой y= 8 − x 2 и

3.2. Решите уравнение: x + 2 + 3x − 2 = 4.

3.3. Стороны треугольника равны соответственно 11 см, 12 см и 13 см. Найдите медиану, проведенную к большей стороне треугольника.

5

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции f (x) = sin x ? a − cos x 4.2.м Найдите все пары действительных чисел ( x; y ) , удовлетворяющие уравнению: log 3 ( x 2 + 6 x + 12) log 5 ( y 2 + 2 y + 6) = 1 .

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧x 2 + 2 y = 7, ⎪ 2 −7 , ⎨ y + 4z = ⎪z 2 + 6 x = − 14 . ⎩ 4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ AOC = 120°. Докажите, что ∠C1BO = ∠C1A1O.

6

Вариант 3 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение (1 + tg α ) 2 + (1 − tg α) 2 .

2.2. Решите неравенство:

( x − 7)( x + 3) ≥ 0. x−2 1

2.3. Упростите выражение 2.4. Решите уравнение:

1 4x − 4x 2

⋅

+1

2x 2 −1 1 x2

.

−2

log 6 ( x − 2) + log 6 ( x − 11) = 2 .

1

2.5. Вычислите интеграл

1

4x 2 − 8

∫ 0

⎛ 6 ⎞ ⎜ − x ⎟⎟ dx . ⎜ ⎝ 3x + 1 ⎠

2.6. Решите неравенство 4 x − 6 ⋅ 2 x + 8 ≥ 0 .

2.7. Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Чему равно расстояние между серединами ее диагоналей?

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f= ( x ) cos x − cos2 x .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции f ( x) = xe

−x 2

.

3.3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 8 см, а боковое ребро — 2 см. Через сторону AC нижнего основания и середину стороны A1B1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

7

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение sin 2 x − a + 1 sin x + a = 0 2 2

(

)

имеет на промежутке ⎢⎡ 0; 5π ⎤⎥ три корня? ⎣ 4⎦ 4.2.м Решите уравнение:

2 x = 3x − 1 .

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧x + y + z = 3, ⎪1 1 1 + + = ⎨ x y z 3, ⎪ ⎩ xyz = 1.

4.4.м Два треугольника ABC и A1B1C1 расположены так, что точка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка A — середина отрезка CA1. Найдите площадь треугольника A1B1C1, если площадь треугольника ABC равна S.

8

Вариант 4 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 49 x − 6 ⋅ 7 x − 7 = 0 .

1 log 12 9

2.2. Чему равно значение выражения 81 2

+ 6 2 log6 3 ?

3

5 ⎞ ⎛ − 34 12 6 a a a ⎜ ⋅ 1⎟ .

2.3. Упростите выражение 5 − ⎜ 12 ⎟ a 6⎠ ⎝ a

2.4. Решите уравнение

8 − 7x = −x .

2.5. Упростите выражение sin 3α + sin α − 2sin 2α . cos 3α + cos α − 2 cos 2α 2.6. Найдите первообразную функции f ( x) =

3 2 3x + 4

− 2 x , график которой

проходит через точку A (7; − 2) .

2.7. На сторонах AB и BC треугольника ABC отметили точки M и K соответственно так, что MK || AC и AM : BM = 2 : 5. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 98 см2.

2.8. Основа прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону основания, равна l и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: cos x − 3 sin x = 2 sin 3x .

3.2. Запишите уравнение касательной к графику функции которая параллельна прямой x − y = 5 .

y = x 2 − 3x + 2 ,

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если диагональ трапеции равна 20 см, а ее высота — 12 см.

9

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Сколько решений имеет уравнение 0 ( log2 ( x + 1) − 3) x − a =

в зависимости от значения параметра a?

4.2.м Решите неравенство:

( x − 3) x 2 + 4 ≤ x 2 − 9 .

4.3.м Постройте график функции y =

1 . sin 2(arcctg x)

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит пополам отрезок, соединяющий середины двух его противолежащих сторон. Докажите, что эта диагональ делит четырехугольник на два равновеликих треугольника.

10

Вариант 5 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Представьте в виде дроби выражение

a a −1

−

4 4

a

a +1

.

2.2. Решите уравнение: 9 x − 6 ⋅ 3 x − 27 = 0 .

2.3. Решите неравенство:

log 3 (4 x − 5) < log 3 7 + 2 .

2.4. Решите уравнение 2 cos 2 x = 3 sin x + 2 .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f ( x ) = x 3 − x 2 − 5x − 3 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 2x + 1 ≤ 1 ? x −3 2.7. Стороны треугольника равны 29 см, 25 см и 6 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его меньшей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, являющееся квадратом со стороной 6 см и отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 и прямой y= x + 2 .

3.2. Решите уравнение:

(x

2

)

− 4 x + 3 5x − 2 − 2 x 2 = 0.

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом β и гипотенузой c. Боковое ребро, проходящее через вершину данного острого угла, перпендикулярно плоскости основания, а боковая грань, содержащая катет, противолежащий данному куту, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите объем пирамиды.

11

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a неравенство sin 2 x − (2a + 1) sin x + a 2 + a > 0 выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение:

| lg x + 2 | + | lg x − 1 | = 3 .

4.3.м Решите уравнение: 8 x + 1 + 3x − 5=

7x + 4 + 2x − 2 .

4.4.м На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и N так, что СМ : MD = 1 : 1 и AN : ND = 1 : 2. Отрезки BM и CN пересекаются в точке K. Найдите отношение BK : KM.

12

Вариант 6 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2 +1

2.2. Решите неравенство 4 x ⋅ 2 x

2

3a

−1 3

a 3 − 2a

−1 3

при a = 5 ?

> 16 .

1 4 log5 3 + log5 4 2 2.3. Вычислите значение выражения 5 .

2.4. Решите уравнение

2− x + x+3 = 31 ⋅ x+3 2− x 3

2.5. Найдите первообразную функции f (x) = ходит через точку A( 9; 30) .

12 , график которой про3x − 2

2.6. Моторная лодка проплыла 7 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 12 см, а меньшая боковая сторона — 4 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 120°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и острым углом α. Меньшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума 2 функции f (x) = x 2 + 1 . x −1 3.2. Докажите тождество:

(sin ( π − 3α ) − cos ( 32π + α )) (sin ( π2 + 3α ) + cos ( π + α )) = − sin 4α .

1 + cos (π − 2α) 3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5 см, а основание — 3 см. Найдите медиану треугольника, проведенную к его боковой стороне.

13

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество решений уравнения 1−

x−2 = a

в зависимости от значения параметра a.

4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: arctg x + arctg 1 = π . x 2 4.3.м Решите уравнение: log 2 x x 2 − log 4 x x = 0 .

4.4.м Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на стороны AC и AB соответственно. Докажите, что ∠C1 AP = ∠C1B1P.

14

Вариант 7 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения 1

2 log 3 5 25

.

1

2x 6 + 3 4x 3 − 9 : 2.2. Упростите выражение .

1 1 6 3 6x 6x

2.3. Решите уравнение: 6 x + 61− x = 7 .

2.4. Укажите область определения функции = f ( x)

4 + 8 .

3x − 15 x 2 − 36

2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = 4 x 3 − 4 x + 6 , график которой проходит через точку A (1; 5) .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 3 и 48, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 7 см и 11 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96π см3. Вычислите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите уравнение касательной к графику f ( x= ) 0,4 x 2 + 3x − 9 , которая параллельна прямой y = 7 x − 8 .

3.2. Упростите выражение

(ctg

2

функции

)

α − tg 2 α cos 2α ⋅ tg 2α , если π < α < π .

4 2

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом 60°. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.

15

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f ( x ) =( 2 x − 1) 4 x − a .

4.2.м Решите неравенство: x − 2 + 2x + 5 ≥ 3 .

4.3.м Постройте график функции: y = arcsin x + arcsin 1 − x .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведены биссектрисы AA1 и BB1. Найдите углы треугольника ABC, если AA1 = 2BB1.

16

Вариант 8 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

2.1. Упростите выражение 2.2. Решите уравнение:

1

1

m3 −m6n6 1 m3

1

:

1

1

1

m 3 − 2m 6 n 6 + n 3 1 m6

1 n6

.

7 x + 2 − 2 ⋅ 7 x + 1 + 5 ⋅ 7 x = 280 .

2.3. Упростите выражение ctg α + sin α .

1 + cos α 2.4. Первый член арифметической прогрессии равен –3, а разность равна 4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 150?

2.5. Решите уравнение: x − x +1 = 5.

4 2.6. Найдите наименьшее значение функции f (x= ) x − 2x 2 на промежут4 ке [0; 4].

2.7. Высота BD треугольника ABC делит его сторону AC на отрезки AD и CD. Найдите отрезок CD, если AB = 2 3 см, BC= 5 см, ∠ A = 60°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 12 3 см и наклонена к плоскости основания под углом 30°. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5x и прямыy 4x + 1 и x = 2 . ми = 3.2. Решите неравенство lg 2 100 x − 7 lg x ≥ 8 .

3.3. В прямоугольном треугольнике MNK (∠N = 90°) известно, что MN = 6 см, MK= 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки N, M и точку пересечения биссектрисы угла M с катетом NK. 17

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения x 3 + ax 2 + bx − 17 = 0 равен 2 − 1 ?

4.2.м Сколько корней уравнения

cos 3x + cos x = 0 принадлежат промежут1 − sin x

ку ⎡⎢ − π ; π ⎤⎥ ? ⎣ 2 2⎦ 4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( x; y ) , удовлетворяющие неравенству: x 2 + 8 x + 20 ⋅ y 2 − 10 y + 34 ≤ 6 .

4.4.м Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равна произведению ее оснований.

18

Вариант 9 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение: 25 x + 25 = 26 ⋅ 5 x . f ( x) = e 4 x + e − x

2.2. Найдите значение производной функции x0 = 0 .

2

в точке

−1

⎛ 12 43 ⎞ 2.3. Чему равно значение выражения ⎜ 8 1⋅ 9 1 ⎟ ? ⎜ −9 4 ⎟ ⎝ 27 ⋅ 4 ⎠

2.4. Найдите область определения функции f ( x) = 2.5. Вычислите интеграл

10 2−4 x

.

∫ ( 4x − x ) dx .

3

1

2.6. Упростите выражение

3 sin α + 2 cos(60° + α) .

2sin(60° + α) − 3 cos α

2.7. Из точки A, лежащей вне прямой m, проведены к этой прямой наклонные AC и AD, которые образуют с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите проекцию наклонной AD на прямую m, если AC = 4 2 см.

2.8. На расстоянии 12 см от центра шара проведена плоскость. Площадь образовавшегося сечения равна 64π см2. Найдите площадь поверхности шара. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение x log 2 x = 16 .

3.2. Постройте график функции f (x) =

| sin x | ⋅ sin x

3.3. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

19

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 3

x−2 + x+6 = 6.

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x 3 − 7 x 2 + ax − 8 = 0 имеет три действительных корня, которые образуют геометрическую прогрессию?

1⋅ 4.3.м Докажите, что cos π + cos 3π + cos 5π + ... + cos 17π = 19 19 19 19 2 4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении медиана BM делит отрезок AD ?

20

Вариант 10 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

1 1 . + 6−2 6 6+2 6

2.2. Упростите выражение cos 7α + cos α . sin 7α − sin α 2.3. Решите уравнение 36 x − 4 ⋅ 6 x − 12 = 0 .

1 lg 25−3 lg 2

2.4. Вычислите значение выражения 100 2

2.5. Найдите первообразную функции f (x) =

(

)

.

6 , график которой проcos 2 6x

ходит через точку A π ; 3 3 .

18 2.6. Первый тракторист может вспахать поле на 3 ч быстрее, чем второй. Если первый тракторист проработает 4 ч, а затем его сменит второй, то последний закончит вспашку этого поля за 3 ч. За сколько часов может вспахать все поле первый тракторист?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке K. Меньшее основание BC трапеции равно 4 см, BK = 5 см, AB = 15 см. Найдите большее основание трапеции.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая находится на расстоянии d от центра верхнего основания и которая видна из этого центра под углом ϕ. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол β. Найдите объем цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f (x) = x + 6x . x−2 3.2. Решите неравенство log 1 log 2 x − 1 > −1 .

2− x 3 3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 18 см и 24 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его меньшего острого угла.

21

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты

которых (x; y) удовлетворяют уравнению

2 x 2 + 2 y 2 − 2 xy − 1 = y − x .

4.2.м При каких значениях параметра a функция

y = f ( x + a)

является

) 2 x + 4x ? четной, если f (x= 2

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧sin x sin y = ⎪ ⎨ ⎪cos x cos y = ⎩

3, 4 3.

4

4.4.м Точки M и N — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD (AD ≠ BC). Известно, что = MN 1 (BC + AD) . Докажите, что 2 данный четырехугольник — трапеция.

22

Вариант 11 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. m − 4 mn : m − 2 4 mn + n .

4 m mn

2.1. Упростите выражение

3x − 2

()

2 1 2.2. Решите уравнение 27 ⋅ 9 x = 3

.

2.3. Упростите выражение: cos π + α cos(π − α) + sin 3π + α sin(π + α) .

2 2

(

(

)

)

(

2.4. Вычислите значение выражения log 2 12 − log 2 3 + 9log9 8

)

lg 3

.

2.5. Дана функция f ( x) = e −2 x cos x . Найдите f '(0) .

2.6. Катер прошел 48 км по течению реки и вернулся назад, затратив на путь против течения на 3 ч больше, чем на путь по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 4 км/ч.

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 25 см и 17 см. Найдите длины проекций этих наклонных на данную прямую, если они относятся как 5 : 2.

2.8. Диагональ грани куба равна a. Чему равна диагональ куба? Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x) = x2+ 2 . x +5 3.2. Постройте график функции f ( x ) = log 2 ( x − 2) ⋅ log x − 2 2 .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольник, одна из сторон которого равна a и образует с диагональю прямоугольника угол α. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом β. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.

23

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение arcsin 2 x + (3a − 3) arcsin x + (a − 2) (5 − 4a ) = 0 имеет решения?

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку минимума функции: 3 f ( x) = x − a + 1 x 2 + ax − 7 .

3 2 4.3.м Решите неравенство:

x3 + 8 > x − 2 . x 4.4.м Точки M, N, P принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AM : AB = BN : BC = CP : CA = 1 : 3. Площадь треугольника MNP равна S. Найдите площадь треугольника ABC.

24

Вариант 12 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

5

1

6 6 2.1. Чему равно значение выражения a +1 a при a = 27 ? a6

2.2. Решите уравнение:

sin 2 x + 3 sin x cos x = 0 .

2.3. Решите систему уравнений:

56, ⎧ xy + x = ⎨ x − y = 2. ⎩

2.4. Вычислите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (an ) , если a10 = 32 , а разность прогрессии d = 4 .

(

2.5. Решите неравенство tg π 12

)

3x − 2 x −5

(

≤ tg π 12

)

7 x −5

.

2.6. Найдите промежутки возрастания функции f ( x) = 2 x 4 − 2 x3 − x 2 + 2 .

2.7. Площадь ромба равна 120 см2, а его диагонали относятся как 5 : 12. Найдите периметр ромба.

2.8. Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если образующая цилиндра равна l. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство log3(2x − 1) + log3(x − 9) < 2 .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 − 4x + 5 и прямой y= 5 − x .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

25

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Упростите выражение: a +2 a +4 +5 + a −2 a +4 +5.

4.2.м Постройте график функции y = cos (2 arcsin x ) .

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧2x 2 − 3xy + 2 y 2 = 14, ⎨ 2 2 x + xy − y = 5. ⎩ 4.4.м В треугольник ABC вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Периметр треугольника KBL равен 2q. Найдите сторону AC, если периметр треугольника ABC равен 2p.

26

Вариант 13 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения (50,6) −0,6 ⋅ (0, 2) −2,36 ?

2.2. Решите неравенство:

3x + 2 − 3x ≤ 24 .

2.3. Найдите значение cos α , если tg α = −3 и 3π < α < 2π .

2 2.4. Решите уравнение:

4 log 2 3 x + log 2 1x = −1 .

2.5. Геометрическая прогрессия bn= 7 ⋅ 2

n −1

(bn)

задана формулой общего члена

. Найдите сумму шести первых членов прогрессии.

2.6. Смешав 3-процентный и 8-процентный растворы соли, получили 260 г 5-процентного раствора. Сколько взяли граммов 3-процентного раствора?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке M. Найдите отрезок AM, если AB = 6 см и BC : AD = 3 : 4.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен R. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 − 6 x + 9 и прямой y= 5 − x .

3.2. Упростите выражение:

( a + 2) 2 − 8 a + ( a − 2) 2 + 8 a .

3.3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 12 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 5 см.

27

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Сколько критических точек на промежутке [− a ; a] имеет функция 3 2 f ( x) = x − x − 2 x 3 2 в зависимости от значения параметра a (a > 0) ?

4.2.м Докажите тождество: arctg x = arcsin

x .

1 + x2

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧ x− y =20 , ⎪x − y + x+ y x+ y ⎨ ⎪ x2 + y 2 = 34. ⎩ 4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠AA1C=∠CC1A. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

28

Вариант 14 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 810,25 − 90,5 − (0, 2) −2 .

2.2. Найдите корень уравнения 9 x +1 − 9 x = 24 .

2.3. Упростите выражение 2.4. Решите неравенство:

2sin α cos β − sin(α + β) . cos(α + β) + 2sin α sin β

log 6 ( x + 1) + log 6 (2 x + 1) ≤ 1 .

2.5. Найдите первообразную функции= f ( x)

проходит через начало координат.

1 + cos x , график которой 2 3x + 1

2 2.6. Найдите область определения функции y = 4 x − 2x .

4x − 1

2.7. В четырехугольнике ABDC, изображенном на рисунке, AB = BD = a , ∠A = ∠D = 15°. Найдите периметр четырехугольника ABDC, если ∠ACD = 90°.

2.8. Угол при вершине осевого сечения конуса равен α, а расстояние от центра основания до образующей конуса равно a. Найдите площадь боковой поверхности A конуса.

B

a

C

a

D

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума 2 функции f ( x) = x + 7 x . x −9 3.2. Постройте график функции f ( x ) = tg x cos x .

3.3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 11 см и 21 см, а боковая сторона — 13 см.

29

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( x − a ) 3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3x ≥ 0 .

4.2.м Докажите, что периодической.

функция

4.3.м Вычислите интеграл

π 2

∫

f ( x) = cos x + cos( x 2 )

не

является

x 2 sin xdx .

−π 2

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника равны a и b. Отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Найдите площадь четырехугольника.

30

Вариант 15 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции f (x) = x 2 − 10x + 27 .

2.2. Упростите выражение: ⎛ x +1 ⎞ − x −1 ⎟ : 4 x . ⎜ x + 1 ⎠ x −1 ⎝ x −1

2.3. Решите уравнение:

6 − 5 =2.

4x − 2 4x + 1

2.4. Двое рабочих, работая вместе, могут изготовить некоторое количество одинаковых деталей за 10 ч. За сколько часом может изготовить эти детали один рабочий, если другому для этого надо 35 ч?

2.5. Найдите наибольшее значение функции y= x + 4x на промежутке [1; 3].

2.6. Решите уравнение:

1 + sin 2x = (sin 2x − cos 2x) 2 .

2.7. Основания равнобокой трапеции равны 4 см и 6 см, а диагональ является биссектрисой ее острого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MB и MC, образующие с плоскостью углы, равные 30°. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если ∠BMC= 90°, а длина отрезка BC равна 8 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой y= x + 2 .

y = 4 − x2

3.2. Найдите область определения функции f ( x) = log 0,3 x − 1 . x+5 3.3. Основание прямой призмы — ромб со стороной a и тупым углом α. Через бóльшую диагональ нижнего основания и вершину тупого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.

31

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите уравнение касательной к графику функции

проходящей через точку O (0; 0) .

f ( x) = x + 4 , x+3

4.2.м Решите неравенство: x 2 − 3x − 18 < 4 − x .

4.3.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение a 2 cos πx + ax 2 = 1 2 имеет единственное решение.

4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен R.

32

Вариант 16 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения

(

4

3−42

)(

4

3+42

)(

)

3+ 2 ?

2.2. Решите уравнение: x 2 + 7 x + 12 =6 − x .

2.3. Вычислите значение выражения 10 2 lg 5 − 49 log7 4 .

2.4. При каком положительном значении x значения выражений x − 7 , x + 5 , 3 x + 1 являются последовательными членами геометрической прогрессии?

2.5. Укажите область определения функции y = ln 4 − 5x . x−2 2.5. Вычислите интеграл

ln 3

∫e

3x

dx .

ln 2

2.7. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, делит ее на отрезки длиной 4 см и 16 см, считая от вершины угла при основании. Найдите основание треугольника.

2.8. Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом α. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину апофемы, равен a. Найдите объем пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f ( x ) =

2x − 4 2x − 4

⋅

3.2. Докажите тождество:

( tg 94π + tg ( 52π − α )) + (ctg 54π + ctg ( π − α )) = sin2 α .

2

2

2

3.3. Точка пересечения биссектрис острых углов при большем основании трапеции принадлежит меньшему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 17 см и 25 см, а высота — 15 см.

33

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: cos x ⋅ 4 x − 3 − x 2 ≥ 0 .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции f ( x) = x 2 + | 2 x + 1 | на промежутке [–1; 0].

4.3.м Прямая y = 6 x − 7 касается параболы Найдите уравнение параболы.

y = x 2 + bx + c в точке M (2; 5).

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. Известно, что SABE = 1 см2, SDCE = 4 см2, SABCD ≤ 9 см2. Найдите площади треугольников ADE и BCE.

34

Вариант 17 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите корни уравнения

3 sin x − cos x = 0.

2.2. Вычислите значение выражения 3log6 11 ⋅ 2log6 11 .

1

1

1

6 3 3 2.3. Упростите выражение m −5 3m + n 1 − m 1 ⋅ m6 − 3 n6 + m6

2.4. Решите уравнение:

22 x +1 + 3 ⋅ 2 x − 2 = 0.

2.5. Найдите первообразную функции

f= ( x)

проходит через точку N (9; –8).

3 − 2 x , график которой 2 x

2.6. Лодка, собственная скорость которого равна 8 км/ч, проплыла 15 км против течения реки и вернулась назад, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения реки.

2.7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BM = 4 см, AC = 8 см, AM = MK. Найдите сторону AB. 2.8. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема — 15 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество

sin 2 2α − 4sin 2 α = tg 4 α . sin 2 2α + 4sin 2 α − 4

3.2. Постройте график функции f ( x) =

log 22 x . log 2 x

3.3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащая гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

35

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: ( x 2 − x − 2) cos x ≤ 0 .

4.2.м Решите неравенство:

8 x − 7 ⋅ 4 x + 7 ⋅ 2 x +1 − 8 > 0 .

4.3.м Сколько критических точек на промежутке [0; 1] имеет функция 3 2 ) x − ax f ( x= 3 2 в зависимости от значения параметра a?

4.4.м В треугольнике ABC проведена медиану AA1. Через точку C проведен отрезок FN, равный отрезку AA1 и параллельный ему. Найдите площадь четырехугольника AFNA1, если площадь треугольника ABC равна S.

36

Вариант 18 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

⎛ 6 12 ⎞ 4 ⎜a b ⎟ 2.1. Найдите значение выражения ⎝ 1 9⎠ при a = 6 , b = 9 . a 2b 8

( ) ≥ ( 32 )

2.2. Решите неравенство 2 3 2.3. Упростите выражение 2.4. Решите уравнение

x2

5 x− 6

.

sin(30° + α) − cos( 60° + α) . sin(30° + α) + cos( 60° + α)

x 2 − x − 6 = −2 x .

2.5. Вычислите значение производной функции f = ( x ) ( x + 1) 5 в точке x0 = 1 .

2.6. Катер прошел 24 км против течения реки и 27 км по озеру, затратив на весь путь 3 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

2.7. На стороне BC прямоугольника ABCD отметили точку М. Найдите площадь четырехугольника AMCD, если AM = 13 см, AB = 12 см, BD = 20 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной 8 2 см на расстоянии 4 см от центра основания. Найдите объем конуса, если его образующая наклонена к плоскости основания под углом 60°. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 6sin 2 x − 3sin x cos x − 5cos 2 x = 2.

3.2. При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную графиком функции y = 8x и прямыми y = 0 , x = 2 , x = 8 , на две равновеликие части?

3.3. В равнобедренный треугольник вписана окружность, радиус которой равен 10 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 : 5, считая от вершины равнобедренного треугольника. Найдите площадь этого треугольника.

37

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 4 x − ( a + 3) ⋅ 2 x + 4a − 4 = 0 имеет только один действительный корень?

4.2.м Решите уравнение: 2

log 22 x

+x

log 2 x

= 1024 .

4.3.м Докажите неравенство: 2 n > 2n + 1 , n ∈ N , n ≥ 3 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной 1 . Докажите, что ∠ ACB = 120°. из вершины C, 1 + 1 = AC BC CD

38

Вариант 19 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения

(

6

8 − 4 25

)(

6

)

8 + 4 25 .

2.2. Решите неравенство: 165 − 3 x ≥ 0,1255 x − 6 .

2.3. Найдите первообразную функции проходит через точку A (1; 3e).

f ( x ) = 4 e 2 x −1 , график которой

2.4. Решите уравнение lg10 x ⋅ lg 0,1x = 3 .

2.5. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 4, а сумма первых тридцати членов равна 2100?

2.6. Найдите промежутки возрастания функции f ( x) = 4 x − 5 . x+2 2.7. Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8. Высота конуса равна 6 см, а угол при вершине осевого сечения — 120°. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите

площадь

фигуры,

ограниченной

параболами

y = x2

и= y 4x − x2 .

3.2. Решите уравнение

x + 8 − 2x − 1 = 2.

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью одной боковой грани угол α, а с плоскостью другой боковой грани — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

39

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 x − 3 =x + a

имеет три решения?

4.2.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству: (2sin x + 1)(2 cos y + 3) ≥ 15 .

4.3.м Докажите, что при x > 0 выполняется неравенство x > sin x .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, которые пересекаются в точке M. Докажите, что прямая, содержащая высоту MK треугольника DMB, также содержит медиану треугольника CMA.

40

Вариант 20 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения 16−0,75 ⋅ 8

−5 12

5

⋅ 48 .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 5 ≤ 51− x < 125 ?

2.3. Решите уравнение:

2 log 0,5 x − 0, 25log 0,5 x 4 = 2 .

2.4. Чему равно значение tg α , если cos α = 1 и 3π < α < 2π ?

2 5 2 2.5. Укажите область определения функции f ( x) = 5 − 4 x − x . x+2

2.6. Вычислите интеграл

1

⎛

∫ ⎜⎝ 0

15 − x ⎞ dx . ⎟ 5x + 4 ⎠

2.7. В равнобокой трапеции ABCD известно, что AB = CD = 6 см, BC = 8 см, AD = 12 см. Найдите тангенс угла A трапеции.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 6 см,

а высота пирамиды — пирамиды.

22 см. Найдите площадь боковой поверхности

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума 2 функции f ( x) = x 2 − 1 . x +1 3.2. Найдите наибольшее значение выражения 12 sin α − 5 cos α .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 1 : 4. Найдите периметр прямоугольника, если его площадь равна 36 см2.

41

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

sin x (4 − 5 cos x − 2 sin 2 x ) = 0.

4.2.м Решите неравенство: x 2 − 1 + 2x − 1 ≥ 1 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение 16 x − (a + 1) ⋅ 4 x + 4a − 12 = 0 имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M. Окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются. Докажите, что AB + MC = AM + BC.

42

Вариант 21 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2 ⎧ 2 91, 2.1. Решите систему уравнений ⎨ x − y = x y 13. + = ⎩

2.2. Решите уравнение log52 x + 0,5log5 x 2 = 6 .

2 2.3. Укажите наибольшее целое решение неравенства x + 3x ≥ 0 .

4− x

2.4. Вычислите интеграл

1

3

∫ (4x − 3) dx .

0

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn ) , если b1 = 6 , b4 = 162 .

2.6. Упростите выражение

(sin 8α − sin 2α)(cos 2α − cos8α) ⋅ 1 − cos 6α

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AMFK так, что угол A у них общий, а вершина F принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 10 см, AC = 15 см.

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали C1D его грани отметили точку M JJJJG JJJG так, что DM : MC1 = 5 : 3. Выразите вектор AM через векторы AB , JJJJG JJJG AD и AA1 . Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f ( x) = x3 − 3x 2 − 8 x + 9 наклонена к оси абсцисс под углом α = π .

4 3.2. Постройте график функции f ( x) = 4 ( x − 2) 4 − 2 x .

3.3. Основание пирамиды — ромб со стороной a и углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны β. Найдите объем пирамиды.

43

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите первообразную функции f ( x ) = cos 2 x cos x , график которой

(

)

проходит через точку M π ; 1 .

2 12 4.2.м Решите уравнение: log3 (3x 2 − 4 x += 4) log3x 3 + log 3x x .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x 2 − (3a − 4) x + (a − 1)(2a − 3) > 0 выполняется при всех положительных значениях x?

4.4.м Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 1 высоты, проведенной к средней по длине стороне 3 треугольника.

44

Вариант 22 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Укажите область определения функции f = ( x) 2.2. Решите уравнение:

4

2 x + 16 .

2 x + 22− x = 5 .

2.3. Решите неравенство: log 0,4 (5x + 1) < log 0,4 ( 3 − 2 x ) .

2 2.4. Найдите производную функции f ( x) = x 2 − 6 ⋅ x +4

2.5. Укажите область значений функции y = − x 2 − 4 x − 10 .

2.6. Из города A в город B выехал товарный поезд. Через 2 ч из города A выехал пассажирский поезд, который прибыл в город B одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами A и B равно 350 км.

2.7. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и PE. Найдите сторону NF, если EP = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.

2.8. Высота цилиндра равна 8 см, радиус основания — 5 см. На расстоянии 4 см от оси цилиндра параллельно ей проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося при этом сечения цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение sin 2 x += sin x 2 cos x + 1 .

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной

прямыми y = 4 и x = 4 .

гиперболой

y = 4x

и

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне и равна 4 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 2,5 см.

45

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение log x (ax − 4) = 2 имеет единственное решение.

4.2.м Докажите, что arctg 1 + arctg 1 = π ⋅ 3 2 4 4.3.м Решите неравенство:

3 x + 4 x ≥ 5x .

4.4.м В треугольнике ABC (∠C = 90°) на катете AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB в точке E. Через точку E проведена касательная к этой окружности, которая пересекает катет BC в точке D. Докажите, что DE = DB.

46

Вариант 23 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

2

()

2.1. Чему равно значение выражения 9 2 + 27 3 − 1 4

−3 2

?

2.2. Вычислите значение выражения 91−log3 6 .

2.3. Решите неравенство 5 x +1 − 3 ⋅ 5 x − 2 < 122 .

2.4. Решите уравнение

x2 + 4x − 5 = x − 1 .

( x) 2e − x + cos 3x , график которой 2.5. Найдите первообразную функции f= проходит через точку A (0; 2) .

2.6. Найдите корни уравнения: 3 sin 2 x + sin 2 x − 3 cos 2 x = 0.

2.7. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 3 см и 5 см, считая от вершины острого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 60°.

2.8. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 10 см и 24 см. Меньшая диагональ призмы равна 26 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество: (sin α + sin β) 2 + (cos α + cos β)2 = 4 cos 2

α −β .

2

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x) = x . ln x 3.3. Через гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 45°. Найдите углы, которые образуют катеты треугольника с этой плоскостью.

47

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

4.

2 log8 2 x + log8 ( x 2 − 6 x + 9) = 3

4.2.м Решите неравенство:

(2

x −1

)

−1

x2 + 2x − 8 ≥ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a система (a − 1) x − 2ay =2 − 4a, ax + (a + 2) y = 3 имеет бесконечно много решений?

{

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Проведены диаметры AD и AC этих окружностей. Докажите, что точки B, C и D лежат на одной прямой. (Рассмотрите случаи расположения центров окружностей в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

48

Вариант 24 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение cos 2α + sin 2α tg α .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 3x + 2 ≤ 1 ?

2x + 4 2.3. Решите неравенство log 1 (5 − 3x) ≥ −1 .

4

2.4. Решите уравнение: 23 − x= x − 3 .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f ( x= ) x3 − 27 x .

2.4. Найдите первообразную функции

f (= x) 6 x 2 + e 4 x , график которой

2⎞ ⎛ проходит через точку A ⎜ 1 ; e ⎟ .

2 4 ⎝ ⎠

2.7. В равнобокой трапеции ABCD основание BC равно 6 см, высота трапеции равна 2 3 см, а боковая сторона образует с основанием AD угол 60°. Найдите основание AD трапеции.

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник со стороной a. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество: ⎛ 4 a − 5 4 a + 5 ⎞ 10 4 a − = 2. ⎜4 ⎟: ⎝ a + 5 4 a − 5 ⎠ 25 − a 3.2. Постройте график функции = f ( x) log 1 log 4 − x (4 − x) 2 .

2

3.3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, BD и AM — высоты треугольника, BD : AM = 3 : 1. Найдите cos C.

49

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество корней уравнения sin x = a на промежутке − π ; 2π ⎤⎥ в зависимости от значения параметра a.

6 3⎦

(

4.2.м Решите неравенство: x 2 + 10 x −

5 + 29 ≤ 0 . x +5

4.3.м Решите уравнение 5 x = 4 x + 1 .

4.4.м Из точки M, которая движется по окружности, опускают перпендикуляры на фиксированные диаметры AB и DC. Докажите, что длина отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, не зависит от положения точки M.

50

Вариант 25 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения cos 43° cos17° − sin 43° sin17° . sin 37° cos 23° + cos 37° sin 23° 2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 1 < 32− x ≤ 27 ?

27 2.3. Чему равно значение выражения

2 log 7 4 + log 7 0,5 ? log 7 18 − log 7 9

2.4. Найдите область определения функции = y

6 + 1 . x −1 3x + 2

) x 3 − 3x 2 .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f ( x=

2.6. Вычислите интеграл

e2

∫ 3x dx .

1

2.7. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом 120°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если длина хорды равна 6 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Чему равно значение выражения 3.2. Решите уравнение:

3

5 − 2 6 ⋅ 6 49 + 20 6 ?

2 sin x − 3 cos x = 2 .

3.3. Через сторону нижнего основания и середину противоположного бокового ребра правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°. Площадь образовавшегося сечения равна 16 6 см2. Найдите объем призмы.

51

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству: log 2 xy = log 2 ( − x ) + log 2 ( − y ) .

4.2.м Решите систему уравнений: 72 , ⎧ xy ( x − 1)( y − 1) = ⎨ 20 . ⎩( x + 1)( y + 1) = 4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f ( x) = − x 3 + 3x x − 3

на промежутке [0; 4].

4.4.м На стороне AC остроугольного треугольника ABC найдите такую точку, чтобы расстояние между ее проекциями на две другие стороны было наименьшим.

52

Вариант 26 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение: 11 5

⎛ 14 − 13 ⎞ ⎜a b ⎟ ⎝ ⎠

⋅a 0,7b0,4 .

2.2. Решите уравнение 3x + 3 + 3x = 84 .

2.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций и y = x.

y = 2− x

2.4. Какое наибольшее значение принимает функция f ( x) = 6 x 2 − x 4 − 6 ?

2.5. Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой b= 3 − 2 , а знаменатель = q 3+ 2 .

1 2.6. Катер должен был преодолеть расстояние между двумя портами, равное 80 км, за некоторое время. Поскольку он двигался со скоростью на 10 км/ч меньшей, чем предусматривалось, то опоздал на 24 мин. С какой скоростью должен был двигаться катер?

2.7. Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников BOC и AOD, если BC = 3 см, AD = 7 см.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — равносторонний треугольник. Найдите объем пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

log x 9 x 2 ⋅ log 32 x = 4 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x) = 2 x . x −4 3.3. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 20 см и 30 см соответственно. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

53

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция

f ( x) = ln

(

a2 + x2 − x

)

является нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, образованного прямой y = 2 − x , осью

абсцисс и касательной к параболе y = 1 + 2 x − x 2 в точке ее пересечения с осью ординат.

(

)

4.3.м Найдите значение выражения tg 1 arcsin 5 .

2 13 4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Около данного треугольника описана окружность. Биссектриса угла B пересекает эту окружность в точке D. Докажите, что DJ = DA = DC.

54

Вариант 27 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

(

)

2.1. Упростите выражение tg ( π + α ) + ctg π + α .

2 2.2. Решите уравнение

8 − 6− x = 2.

6− x

2.3. Вычислите значение выражения

log 6 12 + log 6 3 .

2 log 3 6 − log 3 4

2.4. Решите уравнение 2 ⋅ 3x + 3x − 2 = 57 .

2.5. Найдите точку минимума функции f ( x) = 1 x3 − 2,5x 2 + 6 x − 1 .

3 2.6. Арифметическая прогрессия (a n ) задана формулой общего члена a n = 5n − 2 . Найдите сумму двадцати первых членов прогрессии.

2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 30 см, а радиус описанной около него окружности — 17 см. Вычислите площадь данного треугольника.

2.8. Точка A находится на расстоянии 9 см от плоскости α. Наклонные AB и AC образуют и плоскостью α углы 45° и 60° соответственно, а угол между проекциями наклонных на плоскость α равен 150°. Найдите расстояние между точками B и C. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами. f ( x ) log x + 4 ( 9 − 8 x − x 2 ) .

3.1. Найдите область определения функции =

3.2. Постройте график функции y =

4 12

x x

−3.

3.3. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с углом α при основании. Диагональ боковой грани призмы, содержащей боковую сторону равнобедренного треугольника, равна l и наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

55

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция f ( x) = 4 ln x + ax − 3 не имеет критических точек?

4.2. Вычислите интеграл

2

x

∫ 22x +− 11 dx .

−2

4.3.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству: | sin x sin y | = 1 .

4.4.м Точка M принадлежит стороне BC треугольника ABC. Докажите, что отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников AMB и MAC, не зависит от выбора точки M на стороне BC.

56

Вариант 28 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2.2. Решите уравнение:

6

5 7 55 ?

7 25

3x ⋅ 5 x − 2 = 0, 04 ⋅158−3x .

2.3. Найдите значение выражения

sin (−α) − sin 3 (−α) . sin 2 (−α) cos (−α)

2.4. Упростите выражение log 2 3 ⋅ log 3 5 ⋅ log 5 8 .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f (= x) (2 x − 1) e3x .

2.6. Теплоход прошел 27 км по течению реки и 21 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч?

2.7. Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и B, равна 250°. Найдите угол ACB. 2.8. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен 6 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой = y 2x − x 2 , касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 = 2 , и осью ординат. ) 3.2. Найдите область определения функции f ( x=

sin x + 4 − x 2 .

3.3. Диагонали трапеции перпендикулярны, одна из них равна 48 см, а средняя линия трапеции — 25 см. Найдите высоту трапеции.

57

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите систему уравнений: ⎪⎧ x log3 y + y log3 x = 18, ⎨ log x log y 3. + = ⎪⎩ 3 3 4.2.м Решите неравенство:

(2

x

−2

)

x2 − x − 6 ≥ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − 2) arcsin ( x − a ) = 0 имеет единственное решение?

4.4.м На одной из сторон угла с вершиной в точке M выбраны точки A и B, а на другой стороне — точки C и D так, что MA ⋅ MB = MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

58

Вариант 29 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

2.1. Сократите дробь

a − 9a 2 3 a4

1 + 3a 2

( )

2.2. Решите неравенство 4 5

.

6 x + 9− x2

> 16 .

25

2.3. Решите уравнение: x − 1 + x + 15 =2 .

2.4. Чему равно наименьшее значение функции f ( x ) = 1 x 3 − 2 x 2 + 3x − 5 на 3 промежутке [2; 4] ?

2.5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии: −10,2 ; –9,6; –9; ... .

2.6. Решите уравнение: 3 sin 2 x + cos 5x − cos 9 x = 0.

2.7. Из точки D, не лежащей на прямой n, проведены к этой прямой наклонные DK и DB, образующие с ней углы 45° и 60° соответственно. Найдите длину проекции наклонной DK на прямую n, если DB = 10 3 см.

2.8. Высота конуса равна 20 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 12 см. Найдите объем конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

2 lg x =1. lg(5x − 4)

3.2. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f ( x) = x + 3 в точке с абсциссой x0 = 3 . x−2 3.3. Основание прямой призмы — ромб с острым углом α. Площадь диагонального сечения призмы, проходящего через бóльшую диагональ основания, равна S. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

59

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 2 sin = x cos 2 x

5 sin 2 x − 6 sin x .

4.2.м Определите количество решений системы ⎧ y= a + x , ⎨ 0 ⎩2 x + y − 1 =

в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Решите уравнение: 4 x − (19 − 3x ) ⋅ 2 x + 34 − 6 x = 0.

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямим углом. Докажите, что AC 2 + BD 2 = 4 R2 .

60

Вариант 30 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

18 a+

1 3a 2

−

6

.

1 a2

1 log 36 − 2 log 3 7 7

2.2. Чему равно значение выражения 49 2

?

2.3. Решите уравнение:

2 cos 2 x + cos 2 x = 0 .

2.4. Решите уравнение: (5 x −3 ) x −1 = 25 x ⋅ 125 x +1 . x ) e 2 x − cos x , график которой 2.5. Найдите первообразную функции f (= проходит через начало координат.

2.6. Чему равна сумма корней уравнения x 4 − 3x 2 − 4 = 0?

2.7. На стороне BC квадрата ABCD отметили точку M так, что ∠ DAM = 60°. Найдите отрезок MD, если AB = 3 см.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = 1 .

3.2. Найдите область определения функции f ( x) =

f= ( x)

4x − 3

( x + 4)(3 − x) . lg( x 2 + 1)

3.3. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее большей боковой стороны на 15 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.

61

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: 2 ⋅ 5x − 1 > 5x − 2 .

4.2.м При каких значениях параметра b система a, ⎧2x + y = ⎨ b ⎩ax + y = имеет решения при любом значении параметра a?

4.3.м Решите уравнение:

2

(arcsin x) (arccos x) = − π .

9

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.

62

Вариант 31 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

2 cos 2 α tg α . cos 2α − sin 2 α

2.2. Найдите значение x, если log 7 x = log 7 2,5 + 4 log 7 2 − log 7 10 .

2.3. Упростите выражение: ⎛ a −8 ⎞ − a + 8 ⎟ : 16 a . ⎜ a − 8 ⎠ 64 − a ⎝ a +8 2 2.4. Решите неравенство 6 x − x < 1 .

36

2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = 8 x 3 + 3x 2 − 2 , график которой проходит через точку A (−1; 2) .

2.6. Число 162 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18; ... . Найдите номер этого члена.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AC= BC, AB = 2 2 см, ∠BAC= 30°, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AD. 2.8. Площадь боковой поверхности конуса равна 240π см2. Найдите объем этого конуса, если радиус его основания равен 12 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: 10sin

2

x

+ 10cos

2

x

= 11 .

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1) 4 в точке с абсциссой x0 = 0 .

3.3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 15 см, а диагональ боковой грани — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

63

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − a) arcsin ( x − 7) = 0 имеет единственное решение?

4.2.м Решите систему уравнений: 4, ⎪⎧3 x + y + 4 + 3 y + 7 = ⎨ ⎪⎩ x + 2 y = 5.

4.3.м Решите неравенство:

log x ( 4 + 3x ) > 2 .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.

64

Вариант 32 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. −1

3 2.1. Чему равно значение выражения 81 1⋅ 27 ?

93

2.2. Найдите корень уравнения 0,125 x = 2 ⋅ 4 x .

2.3. Чему равно значение выражения

sin ( 2α − 3π ) , если

sin α = − 0, 6

и π < α < 3π ?

2 2.4. Найдите множество решений неравенства log8 (2 x + 3) > log8 ( x − 1) .

2.5. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = 2 .

2.6. Решите уравнение

3

f ( x) = x 3 − 5 x

4 + 3 x +3 = 2.

5 x +2

2.7. В прямоугольной трапеции ABCD известно, что BC || AD, ∠D = 45° , AC = CD = 4 см. Чему равна площадь трапеции?

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведенной хорды равно a. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите интеграл

2

∫

4 − x 2 dx .

−2

3.2. Упростите выражение

2 cos 2 2α − 1 ⋅ π 2 ctg − 2α cos 2 π + 2α 4 4

(

) (

)

3.3. Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC, если AD : DB = 1 : 2.

65

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x 2 + ( 2a − 1) x + a 2 − 3a = 0 имеет два различных положительных корня?

4.2.м Решите уравнение:

log 22 x + ( x − 1) log 2 x =6 − 2 x .

3

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 x + 3 x 2 на

промежутке ⎡ − 1 ; 1⎤ . ⎣ 8 ⎦ 4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.

66

Вариант 33 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения log 4 36 − log 4 5 + 1 log 4 25 ?

2 81 2.2. Решите уравнение: 3x + 3 + 5 ⋅ 3x − 1 = 86 .

2.3. Решите неравенство:

( x − 4)( x + 3) x2

≤0.

2.4. Вычислите значение выражения: 6

(8 − 7 ) 6 + 4 (2 − 7 ) 4 .

2.5. Найдите первообразную функции f ( x ) = 6 x 2 − 8 x + 3 , график которой проходит через точку M (–2;10).

2.6. Найдите функцию, обратную к функции = y 1 x−7 .

6 2.7. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите площадь параллелограмма.

2.8. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 8 см, проведена плоскость, которая пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой 120°. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 16 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Составьте

уравнение касательной к 2 1 f ( x) = x − x − 4 в точке с абсциссой x0 = 2 .

2

графику

функции

3

3.2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 1. sin 2 x + 0,5 sin 2 x = 3.3. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

67

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 0 x 4 − ( a − 3) x 2 + a 2 − 5a = имеет три различных корня?

4.2.м Вычислите интеграл:

2

∫

2 x − x 2 dx .

1

4.3.м Решите неравенство:

32 x +1 − 8 ⋅ 15x + 52 x +1 ≤ 0 .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

68

Вариант 34 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения log 4 log 9 4 81 ?

2.2. Упростите выражение sin 3α − cos 3α . sin α cos α 2.3. Решите уравнение: 3x 2 + 7 x − 4 =− x .

2 2.4. Найдите множество решений неравенства x + 2 x + 1 < 0 . x −1

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f ( x) = 1 + 3x 2 − x3 на промежутке [–1; 1] ?

2.6. Найдите первообразную функции

f ( x) =

проходит через точку A (4; 5) .

2 , график которой 3x + 4

2.7. В трапеции ABCD известно, что BC || AD, K — точка пересечения диагоналей, AK : KC = 9 : 4, DK – BK=15 см. Найдите диагональ BD. 2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f ( x) = cos x − 1 + 1 .

3.2. Решите уравнение:

3 log32 (27 x) + log3 x = 17 .

9

3.3. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

69

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 1+ 4sin x cos x

5

2

2

( 2 ) − 5 =0 .

cos π − x

− 24 ⋅ 5

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 0. которая перпендикулярна прямой x − 2 y + 2 =

f ( x) = − x 2 + 4 ,

4.2.м При каких натуральных значениях n многочлен

(

P( x) = 12 − 7 x 2

)

n

− ( 5x − 14 )

2n

делится нацело на многочлен x − 2 ?

4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади треугольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

70

Вариант 35 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

(

7−4 3 + 7+4 3) .

2

2.2. Укажите область значений функции f ( x) = 3sin x .

2.3. Решите неравенство: log 1 ( x + 4) > log 1 ( x 2 + 2 x − 2) .

6

6

2.4. Решите уравнение cos 2 x + sin x = 0 .

2.5. Вычислите интеграл

1

⎛

⎞

∫ ⎜⎝ 2 − x12 ⎟⎠ dx .

1 2

2.6. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой общего члена an= 7 − 3n . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 36 см. Точка касания окружности со стороной BC делит ее в отношении 2 : 5, считая от точки B, а точка касания со стороной AC удалена от точки A на 4 см. Найдите сторону AB. 2.8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Чему равна площадь треугольника ADC1? Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = π .

2 3.2. Докажите тождество

( (

) )

( (

f ( x ) = cos 2 x

) )

cos 2π + α − sin 2π + α ctg α 4 4 8 = tg α ⋅ 8 7 π α α cos − + cos − 3π ctg α 2 4 4 8

3.3. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

71

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: 6 + x − x2 ≥ 6 + x − x2 ⋅ 2x + 5 x+4

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение

(

)(

)

x − a 32 x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения: sin 2 x + sin 2 y = 2 .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = p ( p − c) , где p — полупериметр треугольника, c — длина гипотенузы.

72

Вариант 36 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение sin α + sin 3α . cos α + cos 3α 2.2. Решите неравенство 4 x +1 + 4 x ≥ 320 .

1⎞ ⎛ 23 ⎜ 8 − 2 2 ⎟ ( 4 + 2) ⎠ 2.3. Чему равно значение выражения 3 ⎝ 3 ?

3 ( 3 − 2 )( 9 + 3 6 + 3 4 ) 2 2.4. Решите неравенство x −28 x + 16 ≤ 0 . x −4

2.5. Вычислите интеграл

2

∫ (x

−3

2

)

− 2 x dx .

2.6. Найдите функцию, обратную к функции y =

x . x+2

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AKPE так, что угол A у них общий, а вершина P принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 6 см, АC = 3 см.

2.8. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно a. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

(

)

(

)

log 3 4 x − 3 + log 3 4 x − 1 = 1.

3.2. Число 60 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

3.3. В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AO = 6 см, BO = 10 см, ∠С = 60°.

73

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

(2

x

−a

)

x−3 ≥ 0.

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство: ex − 1 ≥ x .

4.3.м Найдите корни уравнения:

cos 3x + cos 5x = 2 .

2

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

74

Вариант 37 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства x 2 ( x + 1)( x − 4) < 0 ?

2.2. Решите уравнение log 27 x − log 7 x 2 − 3 = 0.

2.3. К сплаву массой 150 кг, содержавшему 20 % меди, добавили 10 кг меди. Какое процентное содержание меди в новом сплаве?

2.4. Найдите корни уравнения: sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f ( x ) = 2 x 3 − 3x 2 − 12 x + 1 на промежутке [0; 3] ?

2.6. Найдите первообразную функции f ( x ) = 3x 2 − 6 x + 4 , график которой проходит через точку A (1; 4) .

2.7. Чему равна площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из них перпендикулярна его стороне?

2.8. Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — прямоугольный треугольник. Найдите объем конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство:

2 2 2 2 32 x − x + 2 − 52 x − x −1 > 52 x − x +1 + 32 x − x −1 .

3.2. Решите уравнение: 3x 2 − 9 x − 26 = 12 + 3x − x 2 .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

75

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение cos2 2 x − a cos 2 x = 0 имеет на промежутке ⎡⎢ π ; 3π ⎤⎥ два корня? ⎣4 4 ⎦ 4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f ( x ) = x 3 + x 2 − 6 x + 1 в точке с абсциссой x0 = 1 .

4.3.м Решите уравнение: lg 2 ( x + 1= ) lg ( x + 1) lg ( x − 1) + 2 lg 2 ( x − 1) .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.

76

Вариант 38 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции y = 6 1 − 4 x .

2

1

1

2.2. Вычислите значение выражения 8 3 + 16 4 − 49 2 .

2.3. Решите неравенство:

2.4. Решите уравнение:

x2 −7 x + 6 (0, 6) x −3

≤ 1.

1 + 2 =1.

5 − lg x 1 + lg x

2.5. Найдите первообразную функции f ( x ) = 5x 4 + 3x 2 − 4 , график которой проходит через точку B (–1;12).

2.6. Найдите точку максимума функции f ( x= ) x 4 − 4x 2 .

2.7. Отрезки AB и CD, изображенные на ∠ ABC= 90° , рисунке, параллельны, AB = 24 см, BO = 10 см, CO = 5 см. Найдите отрезок AD.

A

B O C

D

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение

α⋅ ( coscos4αα − sinsin4αα ) ⋅ cos 6αsin−3cos10 α

3.2. Постройте график функции f ( x) = 6 x 6 − 2 x .

3.3. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

77

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 4x − 2x − 3 =

4 ⋅ 2x − 7 .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f ( x ) = ( a − 12) x 3 + 3( a − 12) x 2 + 6 x + 7 возрастает на R. 4.3.м Докажите тождество: cos (arctg x) =

1 ⋅ 1 + x2

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

78

Вариант 39 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 81−0,5 ⋅ 27

−7 12

7

⋅ 98 .

2.2. Решите неравенство 2 ⋅ 3x + 3x − 2 ≤ 57 .

2.3. Найдите область определения функции y = lg 3x − 1 .

3x + 1 2.4. Решите уравнение

x + 4 x −6 = 0.

2.5. Найдите корни уравнения cos 2 x = cos x .

2.6. Найдите первообразную функции

f (= x ) 6 x 2 + e 4 x , график которой

2⎞ ⎛ проходит через точку A ⎜ 1 ; e ⎟ . ⎝2 4 ⎠

2.7. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: lg 2 100 x − 5 lg x = 6 .

3.2. Вычислите значение выражения: sin 20° cos 70°+ sin 2 110° cos2 250°+ sin 2 290° cos2 340° .

3.3. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь его основания равна S.

79

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция f ( x ) =x 3 − ax 2 + 3ax + 1 возрастает на всей числовой прямой?

4.2.м Решите уравнение:

x 2 − 2 x sin πx + 1 = 0.

2

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧9 x − 4 ⋅ 35− y + 27 = 0, ⎨ − = − + y. y x x 2 3 4 4 ⎩ 4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 40°, ∠CBA = 50°. На стороне AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ACM =∠MCB.

80

Вариант 40 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

a 0,5 − 5 + 50 . a − 5 a 0,5 + 5 25 − a 0,5

2, ⎧x − y = 2.2. Решите систему уравнений ⎨ 3 3 − = x y 56. ⎩

2.3. Упростите выражение

1 + tg α .

1 + ctg α

2.4. Сколько целых решений имеет неравенство log 0, 4 3 x > log 0, 4 ( x + 12) ?

2.5. Решите уравнение

x − 2 = 1. x

2.6. Какой номер первого положительного члена арифметической прогрессии –7,2; – 6,7; – 6,2; ... ?

2.7. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD так, что AD = 12 см, CD = 4 см. Найдите сторону BC, если ∠ A = 30°.

2.8. Основание прямой призмы — треугольник со стороной c и прилежащими к ней углами α и β. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу α, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

4 ⋅ 9 x − 7 ⋅12 x + 3 ⋅16 x = 0.

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума ) ( x − 1) x . функции f ( x= 3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

81

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

2

4.1.м Найдите область значений функции y = 2 (sin x + cos x ) .

4.2.м Решите неравенство: (cos x − sin x ) 3x − x 2 ≥ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − a ) log 2 ( 3x − 7) = 0 имеет единственное решение?

4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и DCB, соответственно равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

82

Вариант 41 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите сумму десяти первых натуральных чисел, кратных числу 7.

2.2. Решите уравнение: 3 1 − x 2 =3 − x .

6 2.3. Найдите область определения функции y = x3x − 8 .

3 − 27

2.4. Решите уравнение:

sin 2 x + 4sin x cos x + 3cos 2 x = 0.

2.5. Найдите значение производной функции f ( x) = ln 3 x в точке x0 = e .

2.6. Вычислите интеграл

π 8

∫ sindx2 4 x .

π 16

2.7. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его основанию как 5 : 6, а высота треугольника, опущенная на основание, равна 12 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение log5 (5x − 4) =1 − x . ⎧ x −2 , если x ≤ −1, 3.2. Постройте график функции f ( x) = ⎨ 2 Пользуясь постро⎩ x , если x > −1. енным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с плоскостью квадрата угол 45°. Найдите угол между диагональю квадрата и этой плоскостью.

83

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − a ) (tg x − 1) = 0

(

имеет единственный корень на промежутке 0; π ⎤⎥ ?

2⎦ 4.2.м Решите неравенство:

3x + 9 − 4 3x + 5 + 3x + 14 − 6 3x + 5 ≤ 1 .

4.3.м На параболе y = x 2 выбраны две точки с абсциссами x = 1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки O и K — центры описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что точки B, O, K и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

84

Вариант 42 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 36 log 2 4 23 2 .

2 2.2. Сократите дробь a +2 a − 6 . a −9

2.3. Решите неравенство 1 ≥ 1 . x 2 2

2.4. Вычислите интеграл

∫ ( x 2 − 4 x + 5) dx .

−1

2.5. Решите уравнение: 3 cos2 x + 7 sin x − 5 = 0 .

2.6. При каком значении a наименьшее значение функции f ( x) = x 2 − 2 x + a равно 2?

2.7. Длины диагоналей ромба относятся как если его периметр равен 40 см.

3 : 1. Найдите площадь ромба,

2.8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен α. Найдите объем конуса, образованного при вращении этого треугольника вокруг катета, противолежащего данному куту. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство: log 0,2 ( x − 1) + log 0,2 ( x + 3) ≥ −1 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума 2 функции f ( x) = 2 x . x − 16 3.3. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB = BC = 17 см, отрезок BD — высота, BD = 15 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBK.

85

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x −a x− 4 = 0 x имеет единственное решение?

(

)(

)

4.2.м Решите систему уравнений: ⎧sin x sin y = 1 , ⎪ 4 ⎨ 1 ⎪⎩ tg x tg y = 3 .

4.3.м Решите уравнение: 3x + 4 x = 5 x .

4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC= 17 см, а высота трапеции равна 8 см.

86

Вариант 43 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2 lg 5 + 1 lg16 ?

2 2.2. При каком значении a график функции y = ax −3 проходит через точ-

( )

ку A 3; 1 ?

54 2.3. Решите уравнение: 22 x +3 + 4 x = 72 .

2.4. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 0,8, а сумма первых десяти членов равна 22?

2.5. Найдите корни уравнения: 1 − cos 8 x = sin 4 x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции = f ( x) ln (2 x + 1) в точке с абсциссой x0 = 1,5 ?

2.7. Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а сумма диагоналей — 14 см.

2.8. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, длины которых равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9 : 16. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

4

4 ( x + 1)= 2x − 3 .

3.2. Постройте график функции f ( x ) = lg cos x .

3.3. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к плоскости его основания под углом α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра его основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m.

87

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Вычислите интеграл

1

∫ lg(

x 2 + 1 + x)dx .

−1

4.2.м Найдите корни уравнения:

− 8 ctg x . sin 2 x + tg 2 x = 3

4.3.м При каких значениях параметра a функция 3 2 f ( x) = x − (a − 1) x − 2(a − 1) x − 9 3 2 имеет положительную точку минимума?

4.4.м В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что отрезки BO и A1C1 перпендикулярны.

88

Вариант 44 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции y = π − 2 arctg x .

2, ⎧x − y = 2.2. Решите систему уравнений ⎨ 2 2 − = 8. x y ⎩

2.3. Решите уравнение sin 2 x + sin x cos x = 0 .

2.4. Решите неравенство: 2.5. Решите уравнение

4

log 2 (2 x − 1) < log 2 (11 − 3 x) .

1 + 3 =2. x −1 4 x + 1

2.6. Вычислите интеграл

π 4

∫ sin 2x dx .

0

2.7. Прямая a — общая внешняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 8 см, а расстояние между их центрами — 13 см. Найдите расстояние между точками касания прямой a с данными окружностями.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x= ) x2 + 2 . x 3.2. Докажите тождество:

(

)

− cos α + sin α 2 2 sin α sin α + π .

1= 2 2 4

3.3. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 9 см.

89

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

5 ⋅ 32 x + 15 ⋅ 52 x −1 ≤ 8 ⋅ 15 x .

4.2.м Определите количество корней уравнения cos x + 1 ( sin x − a ) = 0 2 на промежутке [ 0; 2π ) в зависимости от значения параметра a.

(

)

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству log x ( 4 − y 2 ) ≥ 2 .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Известно, что AB = 10 см, BC = 12 см, CD = 18 см, DA = 8 см. Найдите угол ADC.

90

Вариант 45 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби

3

7 .

36 − 3 6 + 1

2.2. Решите неравенство: 9 x ⋅ 273− x > 3x .

2.3. Найдите корни уравнения: cos 2 x + 3 sin x = 2 .

2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции f ( x) = x 2 − 4 x + 7 .

2 2.5. Решите неравенство x2 − 2 x + 1 ≥ 0 . x + 2x − 8

2.6. В сплаве меди и цинка масса меди составляет 1 массы цинка. Какое 3 процентное содержание меди в сплаве?

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

2.8. Диагональ прямоугольника равна d и образует с его большей стороной угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения log 4 5 ⋅ log5 6 ⋅ log 6 7 ⋅ log 7 32 .

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 7x и прямой x+y= 8.

3.3. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани ASD и BSC наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона грани CSD к плоскости основания.

91

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

( x − 3) x 2 + x − 2 ≥ 0 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − cos 2x =cos x + sin x .

4.3.м Решите уравнение: 3x − 1 + 3 x − 9 = 8.

4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO = ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM 2+XN 2 не зависит от выбора точки X.

92

Вариант 46 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение: ⎛ ⎞ 1 − 1 2 ⎟ : 22a . ⎜ 2 ⎝ a − 6a + 9 9 − a ⎠ a − 9 2.2. Решите уравнение 32 x +1 + 8 ⋅ 3x − 3 = 0.

2.3. Решите неравенство:

log 1 (2 x + 5) > −2 .

3

2.4. Вычислите интеграл

3

∫ (2 x + 1) dx .

1

2.5. Решите уравнение:

1 + cos 2 x = 2 cos x .

2.6. Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если a3 + a7 = 30 и a6 + a16 = 60 .

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, бóльшая диагональ — 17 см, а высота — 8 см. Чему равен периметр трапеции?

2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом α при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

x + 2 − 2x − 3 = 1.

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции f ( x) = x 2 − 5x , которая параллельна прямой y = − x .

3.3. Отрезок BM — медиана треугольника ABC, BM = m, ∠ABM = α, ∠MBC = β. Найдите сторону AB.

93

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

log x ( 2 x + 3) ≥ 2 .

4.2.м Решите уравнение:

x

x

⎛⎜ 5 + 24 ⎞⎟ + ⎛⎜ 5 − 24 ⎞⎟ = 10 . ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения sin x + 1 = 0 2 1 a и sin x + sin x − = 0 равносильны.

2 2

(

)(

)

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.

94

Вариант 47 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 0,25

−3 2

−1

+ 3 ⋅ 81

(

4

1

− 0,027 3 .

)

2.2. Упростите выражение (1 + cos( π + 2α)) tg 3π − α .

2 2.3. Решите уравнение

2− x = x .

2 2.4. Найдите множество решений неравенства x 2 + x − 20 ≤ 0 . x − 6x + 9

2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x) = 2 x + 1 в точке с абсциссой x 0 = 7,5 ?

2 ⎧ 2 100, 2.6. Решите систему уравнений ⎨ x + 25 y + 10 xy = 4. ⎩x − y =

2.7. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, AD = a, ∠C = 90°, ∠BAC = α. Найдите отрезок BD. 2.8. Отрезок CE — медиана грани BMC пирамиды MABC, точка K — сереJJJJG JJJG JJJJG JJJJG дина отрезка CE. Выразите вектор AK через векторы AB , AC и AM . Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: xlg x − 2 = 1000 .

3.2. Постройте график функции f ( x) = 2cos x − 2 .

3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания конуса угол β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.

95

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Вычислите интеграл

5

∫ | x − 2 | dx .

0

4.2.м На гиперболе y = 1x , x < 0, задана точка M ( x0 ; y0 ) такая, что y 0 = 1 x 0 .

4 Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение:

sin πx = x 2 − 4 x + 5 .

4

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 6 см, OD = 8 см.

96

Вариант 48 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение 1

a4 a 3 a .

(

)

2.2. Чему равно значение выражения 2sin 2 3α + 5sin 3π − α + 2 cos 2 3α , если 2 cos α = 0,2 ?

2.3. Найдите значение выражения

log 7 125 + 3log 7 2 . log 7 1, 4 − log 7 14

2.4. Вычислите значение производной функции f (= x ) e5x + e −2 x в точке x0 = 0 .

2.5. Вычислите интеграл

∫ ( 2 cos 2x + 13 sin 3x ) dx . π 0

( x) log 2 ( x 2 − 4) + 1 .

2.6. Найдите область определения функции f= x −5

2.7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а разность катетов — 7 см.

2.8. Через две образующие конуса, угол между которыми равен ϕ, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен α. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство: 0,25x − 12 ⋅ 0,5x + 32 ≥ 0 .

3.2. Решите уравнение: cos 9 x − cos 5x = 3 sin 2 x .

3.3. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит его сторону BC на отрезки BM и MC длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

97

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

2

4.1.м Решите уравнение 32 − x = x 2 + 9 .

4.2.м Найдите множество значений функции f ( x= ) cos x + − cos2 3x .

4.3.м Решите неравенство:

1 + 2 log x + 2 5 ≥ log 5 ( x + 2) .

4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.

98

Вариант 49 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

(

)

2.1. Чему равно значение выражения arccos sin 2π ?

3 2.2. Упростите выражение

( a15− 7 − a − 7 ) ⋅ a

2

7−a . − 16a + 64

2 2.3. Найдите производную функции f ( x) = x . x −1

2.4. Найдите область определения функции f ( x) =

5− x .

7 x − 49

3

∫ (4 x 3 − 4 x + 1) dx .

2.5. Вычислите интеграл

1

2.6. Решите уравнение: log 6 ( x − 2) + log 6 ( x − 1) = 1 .

2.7. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AС биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы треугольника ABC, если ∠ AMB = 117°.

2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 200π см2, а его образующая — 17 см. Найдите объем конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

x 2 − 3x + 5 + x 2 = 3x + 7 .

3.2. Докажите тождество:

(

)

(

)

cos 2 π − 2α − cos 2 π + 2α= sin 4α .

4 4

3.3. Основание пирамиды MABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань CMD перпендикулярна плоскости основания, грани AMD и BMC наклонены к плоскости основания под углом α, а грань AMB — под углом β. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

99

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения параметра a: ⎧⎪cos x cos y = a 2 , ⎨ ⎪⎩sin x sin y = 1.

4.2.м Решите неравенство:

(

)

log3 10 − 3x ≥ 5log5 (2− x) .

4.3.м При каких значениях b и c прямая = y 4 x + 1 касается параболы y = x 2 + bx + c в точке A (1; 5)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и ∠COD = 30°.

100

Вариант 50 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 8 2.2. Упростите выражение

−5 6

⋅ 321,2 ⋅ 4

−3 4

?

sin α + 1 + cos α .

1 + cos α sin α

2.3. Решите неравенство 9 x − 9 x −1 ≥ 24 .

2.4. Решите уравнение

x + 4 x = 12 .

2.5. Найдите значение производной функции f ( x) = ) 2.6. Найдите область определения функции f ( x=

4

3x − 2 в точке x0 = 2 . x −1 20 + x − x 2 + 4 . x−2

2.7. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

2.8. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна a. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество cos 2 α + cos 2 β − cos(α + β) cos(α − β) =1 .

3.2. Решите уравнение:

lg (lg x ) + lg (lg x 4 − 3) = 0.

3.3. Основания трапеции равны 2 см и 6 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. Найдите площадь трапеции.

101

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: − x 2 + 7 x − 10 log 2 ( x − 3) ≤ 0 .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 cos2 x + cos x = 0 ?

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧⎪3 x − 3 y = y − x, ⎨ 2 ⎪⎩ x + xy + y 2 = 12.

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

102

Вариант 51 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения:

2

⎛⎜ 5 − 2 6 + 5 + 2 6 ⎞⎟ . ⎝ ⎠

2.2. Решите неравенство 5 x +1 + 2 ⋅ 5 x −1 ≥ 27 .

2.3. Решите уравнение: log 32 x − 8 log 3 4 x = 8 .

2.4. Найдите промежутки возрастания функции f ( x) = − 1 x 3 + x 2 + 3x + 8 .

3 2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = 1 cos x − 5 sin 5 x , график кото2 2 рой проходит через точку B( π; 0) .

2.6. Телевизор и мобильный телефон стоили вместе 1800 грн. После того как телевизор подорожал на 10 %, а телефон подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 1840 грн. Найдите первоначальную цену телевизора.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AB : AC = 3 2 : 7, ∠BAC = 45°. Найдите сторону AC, если BC = 30 см.

2.8. Длина линии пересечения сферы и плоскости, удаленной от ее центра на 12 см, равна 10π см. Найдите площадь сферы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f= ( x)

x3 6

x6

+ 3.

3.2. Решите уравнение: sin 2 2 x + sin 2 3x + sin 2 4 x + sin 2 5x = 2 .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом β при основании. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны α. Найдите объем пирамиды.

103

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений ⎧ x + y−4= 0, ⎨ 2 2 9 ( y − a ) + x = ⎩

имеет одно решение?

4.2.м Решите неравенство: 2 log 21 3x + log3 x ≥ 4 .

9 3

4.3.м Найдите

общие

точки

графиков

функций

f ( x) = x 3 + 2 x + 1

и

g ( x) = ( x + 1) 2 , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принадлежит стороне BC) в отношении 3 : 1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?

104

Вариант 52 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите систему уравнений:

⎧ x 2 − y 2 = 27, ⎨ ⎩ x + y = 9.

2.2. Чему равен sin α , если cos α = 0,8 и 3π < α < 2π ?

2 2.3. Вычислите значение выражения 2.4. Решите уравнение:

log 8 128 − log 8 2 ⋅ 3 log 6 2 + log 6 27

2 2 x +1 − 5 ⋅ 2 x + 2 = 0 .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f ( x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x + 3 на промежутке [0; 2] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 160 и делятся нацело на 3.

2.7. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC ) пересекаются в точке O. Найдите отрезок AO, если AD : BC = 3 : 2, CO = 8 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если расстояние от центра основания до проведенной хорды равно d. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y= 6 − x 2 и прямой y = 5 .

3.2. Решите уравнение: x + 3 + 5x − 1 = 4.

3.3. Две стороны треугольника равны 15 см и 25 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 16 см. Найдите третью сторону треугольника.

105

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции f ( x) = cos x ? a + sin x 4.2.м Найдите все пары действительных чисел ( x; y ) , удовлетворяющие уравнению: log 2 ( x 2 − 2 x + 3) log 3 ( y 2 + 4 y + 7) = 1 .

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧ x 2 − 10 y = − 49 , ⎪ 2 y + 6 z = 7 , ⎨ ⎪⎩z 2 − 2 x = 7.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ ABC = 60°. Докажите, что ∠C1OB = ∠C1A1B.

106

Вариант 53 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение (1 + ctg β) 2 + (1 − ctg β) 2 .

2.2. Решите неравенство:

( x + 8)( x − 3) ≤0. x−9

2.3. Упростите выражение 2.4. Решите уравнение:

y − 25 1 3y 2

+9

1

⋅

y2 +3 1 y2

.

−5

log 4 ( x + 3) + log 4 ( x + 15) = 3 .

1

2.5. Вычислите интеграл

⎛

∫ ⎜⎜⎝ 0

2.6. Решите неравенство:

⎞ − 2 ⎟⎟ dx .

8x + 1 ⎠ 4

9 x − 12 ⋅ 3x + 27 ≤ 0 .

2.7. Большее основание трапеции равно 20 см, а расстояние между серединами ее диагоналей — 6 см. Найдите длину меньшего основания трапеции.

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является прямоугольным треугольником. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f = ( x ) sin x + sin 2 x .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума 2

функции f ( x ) = e − x .

3.3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 8 2 см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ BD нижнего основания и середину стороны B1C1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

107

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ⎛ ⎞ sin 2 x − ⎜ a + 2 ⎟ sin x + 2 a = 0 2 ⎠ 2 ⎝ имеет на промежутке ⎡⎢ 0; 5π три корня? ⎣ 4

)

4.2.м Решите уравнение:

3x = 4 x + 1 .

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧x + y + z = 6, ⎪1 1 1 3 , ⎨x + y + z = 2 ⎪ ⎩ xyz = 8.

4.4.м Два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что точка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точка D — середина отрезка CD1, точка A — середина отрезка DA1. Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.

108

Вариант 54 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 64 x − 7 ⋅ 8 x − 8 = 0 .

1 log 16 2

2.2. Чему равно значение выражения 33 log3 2 − 2 2

?

9

⎛ − 56 13 72 ⎞ 2.3. Упростите выражение ⎜ b 7b ⋅ b 5 ⎟ . − ⎟ ⎜ 18 b 7⎠ ⎝ b

2.4. Решите уравнение

9 − 8x = − x .

2.5. Упростите выражение cos 3α − cos α − sin 2α . sin 3α − sin α + cos 2α 2.6. Найдите первообразную функции f ( x) =

14 7x + 2

+ 3 x 2 , график которой

проходит через точку C (2; 0) .

2.7. В треугольнике ABC сторона АC разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB треугольника. Меньший из отрезков этих прямых, находящихся между сторонами треугольника, меньше стороны AB на 8 см. Найдите сторону AB треугольника.

2.8. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащая основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

3 cos x + sin x = 2 cos 3x .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции которая параллельна прямой x + y + 3 = 0 .

y = x2 − x + 3 ,

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если боковая сторона трапеции равна 2 см, а высота трапеции — 1,6 см.

109

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Сколько решений имеет уравнение 0 ( log 3 ( x − 2) − 2) x − a =

в зависимости от значения параметра a?

4.2.м Решите неравенство:

( x − 1) x 2 + 1 ≤ x 2 − 1 .

4.3.м Постройте график функции: y=

1 ⋅ cos 2 (arctg x)

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырехугольника.

110

Вариант 55 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Представьте в виде дроби выражение

3 3

b

b −4

−

6 6

b

b +2

.

2.2. Решите уравнение 4 x − 14 ⋅ 2 x − 32 = 0 .

2.3. Решите неравенство:

log 2 (3 x + 2) < log 2 5 + 4 .

2.4. Решите уравнение:

2 sin 2 x = 3 cos x .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f ( x ) = x 3 − x 2 − x + 8 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 3x − 5 ≤ 1 ? x+3 2.7. Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверх-

ности цилиндра, если радиус основания равен 2 2 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 и прямой y= 2 − x .

(

)

3.2. Решите уравнение x 2 − 6 x + 5 2 x + 8 − x 2 = 0.

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом α. Боковое ребро, проходящее через вершину другого острого угла основания, перпендикулярно плоскости основания и равно h, а боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем пирамиды.

111

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a неравенство cos 2 x − (2a − 1) cos x + a 2 − a > 0 выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение:

| lg x + 1 | + | lg x − 3 | = 4 .

4.3.м Решите уравнение: 5x + 1 + x + 6=

2 x + 3 + 6x − 2 .

4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN : NA = 1 : 1 и DF : FA = 3 : 1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM : MC.

112

Вариант 56 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения

4a

3 a4

−1 4

−1 − 3a 4

при a = 2 ?

2 2.2. Решите неравенство 125 x ⋅ 5 x − x +3 < 125 .

2.3. Вычислите значение выражения 6 2.4. Решите уравнение

6log6 2 + 1 log6 27 3 .

3 − x + x +1 = 41 . x +1 3− x 4

2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = ходит через точку A (3; 18) .

12 , график которой про4x − 3

2.6. Катер прошел 40 км по течению реки и такое же расстояние против течения, затратив на путь против течения на 20 мин больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

2.7. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — 3 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и тупым углом α. Бóльшая диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f (x) = x 2 + 4 . x −4 3.2. Докажите тождество:

(cos ( 2π − α ) + sin ( 32π + 5α )) (cos ( π2 − α ) − sin ( π + 5α )) = sin 4α . (

1 + sin 3π − 6α 2

)

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а медиана, проведенная к этой стороне, — 3 см. Найдите периметр треугольника.

113

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество решений уравнения 1−

x+3 = a

в зависимости от значения параметра a.

4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: arcctg x + arcctg 1 = π . x 2 4.3.м Решите уравнение:

log 3 x x 3 − log 9 x x 2 = 0 .

4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произвольную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ∠ ANC = ∠ AMC.

114

Вариант 57 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения 8

2 log 3 2

1

.

1

2 y 4 − 5 4 y 2 − 25 2.2. Упростите выражение . : 1 1 4 2 5y 5y

2.3. Решите уравнение 4 x + 41− x = 5 .

2.4. Укажите область определения функции = f ( x)

5 − 7 .

4 x − 12 x 2 − 16

2.5. Найдите первообразную функции f ( x) = 3x 2 − 2 x + 4 , график которой проходит через точку M (1; − 2) .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 2 и 162, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса равен 100π см3, высота — 12 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f ( x= ) 0,2 x 2 + 4 x − 5 , которая параллельна прямой y = 6 x − 3 .

3.2. Упростите

выражение

( ctg α − tg α ) ⋅ 2 ctg 2α ⋅ tg 2α + 2 ,

если

π < α < 3π .

2 4

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной 6 см. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

115

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f ( x ) = ( 3x − 2) 6 x − a .

4.2.м Решите неравенство: 2 x − 20 + x + 15 ≥ 5 .

4.3.м Постройте график функции y = arccos x + arccos 1 − x .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1 = 2BB1.

116

Вариант 58 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

2.1. Упростите выражение

2.2. Упростите выражение tg β + 2.3. Решите уравнение:

1

1

1

a 2 + 2a 4 b 4 + b 2 1 1 a 4b 4

1

:

1

1

a 2 + a 4b 4 1 a2

.

cos β .

1 + sin β

6 x +2 − 4 ⋅ 6 x +1 + 8 ⋅ 6 x = 120 .

2.4. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а разность равна –2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной −30 ?

2.5. Решите уравнение: x + 78 − x = 6.

4 2.6. Найдите наибольшее значение функции f (x= ) x − 9x 2 2 ке [–1; 2].

на промежут-

2.7. Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите отрезок MN, если FK = 6 3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 8 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 3x и прямыy 2x + 1 и x = 3 . ми = 3.2. Решите неравенство lg 2 10 x − lg x ≥ 3 .

3.3. Биссектриса угла A треугольника ABC (∠C= 90°) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC. 117

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения x 3 + ax 2 + bx − 16 = 0 равен 2 + 1 ?

4.2.м Сколько корней уравнения sin 3x − sin x = 0 1 − cos x π ⎡ принадлежит промежутку ⎢ ; 7π ⎤⎥ ? ⎣6 6 ⎦ 4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( x; y) , удовлетворяющих неравенству: x 2 − 6 x + 18 ⋅ y 2 + 14 y + 50 ≤ 3 .

4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, вычисляется по формуле r = ab , где a и b — длины a+b оснований трапеции.

118

Вариант 59 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Решите уравнение 9 x − 9 = 8 ⋅ 3 x . x

2.2. Найдите значение производной функции f ( x) = e − 2 x + e 2 в точке x0 = 0 . −1

2 ⎞ ⎛ 23 3 ⋅ 16 25 ⎜ ⎟ ?

2.3. Чему равно значение выражения 1 ⎜ − 23 ⎟ 9 ⎝ 4 ⋅125 ⎠

2.4. Найдите область определения функции f (x) = 2.5. Вычислите интеграл

6 . x −9

∫ ( 3x + x ) dx .

4

1

2.6. Упростите выражение

2 cos α − 2 cos(45°+α ) 2 sin(45°+α ) − 2 sin α

.

2.7. Из точки M, не лежащей на прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если длина проекции наклонной MN на прямую l равна 4 3 см.

2.8. Через конец M радиуса OM шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 30°. Площадь образовавшегося сечения равна 36π см2. Найдите площадь поверхности шара. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение xlog3 x = 81 .

3.2. Постройте график функции y = cos x . | cos x | 3.3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

119

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 3

x+6 + x+2 = 4.

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x 3 − 13x 2 + ax − 27 = 0 имеет три действительных корня, образующие геометрическую прогрессию?

4.3.м Докажите, что cos 2π + cos 4π + cos 6π + ... + cos 20π =− 1 ⋅ 21 21 21 21 2 4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении отрезок AD делит медиану BM ?

120

Вариант 60 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

1 1 + .

4+2 3 4−2 3

2.2. Упростите выражение cos 5α + cos 3α . sin 5α + sin 3α 2.3. Решите уравнение 25 x + 4 ⋅ 5 x − 5 = 0.

1 lg 27 − lg 5

2.4. Вычислите значение выражения 100 3

2.5. Найдите первообразную функции f (x) =

(

)

ходит через точку B π ; − 2 3 .

24

.

4 , график которой проsin 2 4x

2.6. Первому маляру требуется на 4 ч больше, чтобы покрасить комнату, чем второму. Если первый маляр проработает 3 ч, а затем его сменит второй, то последний докрасит эту комнату за 6 ч. За сколько часов может покрасить всю комнату второй маляр?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке E. Большее основание AD трапеции равно 12 см, AE =15 см, BE =5 см. Найдите меньшее основание трапеции.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, длина которой равна b. Эта хорда видна из центра нижнего основания под углом β, а отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол α. Найдите объем цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f ( x) = x − 5 x . x+4

3.2. Решите неравенство log 1 log3 x − 2 > −1 .

1− x 2 3.3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а один из катетов — 5 см. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины его большего острого угла.

121

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют уравнению: 2 x 2 + 2 y 2 + 2 xy − 1 = y + x .

4.2.м При каких значениях параметра a функция

y = f ( x + a ) является

) 2 x − 8x ? нечетной, если f ( x= 2

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧sin x cos y = − 0,5 , ⎨cos x sin y = 0,5. ⎩ 4.4.м Точки M и N — середины диагоналей AC и BD выпуклого четырехMN 1 ( AD − BC ) . угольника ABCD (AD > BC). Известно, что = 2 Докажите, что данный четырехугольник — трапеция.

122

Вариант 61 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

6

6

3 ab a :3 .

3 6 ab + 3 b a + 6 ab + 9 3 b

3x 2 8⋅ 1 2.2. Решите уравнение 1 ⋅ 22 x = .

4 2

( )

2.3. Упростите выражение: sin π − α cos(2π − α) + cos 3π − α sin(π − α) .

2 2

(

(

)

)

(

2.4. Вычислите значение выражения log14 2 + log14 7 + 5log5 6

)

log 7 2

.

2.5. Дана функция f ( x) = e x sin 3x . Найдите f '(0) .

2.6. Катер проплыл 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 4 км/ч.

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные, длины проекций которых на эту прямую равны 6 см и 15 см. Найдите длины наклонных, если они относятся как 10 : 17.

2.8. Диагональ куба равна a. Чему равен объем куба? Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x) = x2 + 1 . x +3 3.2. Постройте график функции = f ( x) log3 log x − 2 ( x − 2)9 .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, катет которого равен b, а противолежащий острый угол — β. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом α. Найдите боковую поверхность конуса, описанного около данной пирамиды.

123

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Постройте график функции y = cos (2 arccos x) .

4.2.м В зависимости от значения параметра a найдите точку максимума функции: 3 f ( x) = x − a + 2 x 2 + 2ax + 4 .

3 2 4.3.м Решите неравенство:

x3 + 27 > x − 3 . x 4.4.м Точки P, Q, R принадлежат сторонам AB, BC, CA треугольника ABC соответственно. Известно, что AP : AB = BQ : BC = CR : CA = 1 : 4. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника PQR.

124

Вариант 62 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

3

2.1. Чему равно значение выражения

1

a8 − a8 1 a8

при a = 16 ?

2.2. Решите уравнение cos 2 x − sin x cos x = 0 . ⎧ xy − x = 30 , 2.3. Решите систему уравнений ⎨ ⎩y − x = 2.

2.4. Вычислите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии (a n ) , если a12 = 52 , а разность прогрессии d = 5 .

4 x −3

5

2.5. Решите неравенство (sin1) x + 6 ≥ (sin1) x + 6 .

2.6. Найдите промежутки убывания функции f ( x) = x 4 − 2 x3 + x 2 − 5 .

2.7. Периметр ромба равен 60 см, а его диагонали относятся как 3 : 4. Найдите площадь ромба.

2.8. Хорда нижнего основания цилиндра видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания и середину данной хорды, наклонен к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус основания равен R. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство: log 6 ( x + 1) + log 6 (2 x + 1) < 1 .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 − 3x + 4 и прямой y= 4 − x .

3.3. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите расстояние от вершины большего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

125

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Упростите выражение: b−2 b+8 +9 + b+ 2 b+8 +9 .

4.2.м Решите систему уравнений: ⎧ x 2 − 2 xy − y 2 = 2, ⎨ 2 4. ⎩ xy + y = 4.3.м При каких значениях параметра a уравнение arccos 2 x − (7a − 7) arccos x + 2a (5a − 7) = 0 имеет решения?

4.4.м В треугольник ABC, периметр которого равен 2p, вписана окружность. Касательная к этой окружности пересекает стороны AB и BC в точках K и L соответственно. Найдите периметр треугольника KBL, если AC=b.

126

Вариант 63 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения (2−0,7 ) −0,7 ⋅ (0,5)3,49 ?

2.2. Решите неравенство 4 x +1 + 4 x ≥ 80 .

2.3. Найдите значение sin α , если ctg α = 2 и π < α < 3π .

2 2.4. Решите уравнение:

log 4 1 + 4 log 4 x = −3 . x2

2.5. Геометрическая прогрессия n −1

bn = 5 ⋅ 3

(bn )

задана формулой общего члена

. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

2.6. Чтобы получить 50 кг 46-процентного сплава цинка, взяли его 40-процентный и 50-процентный сплавы. Сколько взяли килограммов 40-процентного сплава?

2.7. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите отрезок AB, если AF = 10 см и BC : AD = 2 : 5.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна l. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x 2 + 2 x + 1 и прямой y= x + 3 .

3.2. Упростите выражение:

(

)

2

b −1 + 4 b −

(

)

2

b +1 − 4 b .

3.3. Основание пирамиды — квадрат со стороной 9 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основания. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если среднее по длине боковое ребро пирамиды равно 15 см.

127

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Сколько критических точек имеет функция 3 2 f ( x) = x + x − 2 x 3 2 на промежутке [−a ; a] в зависимости от значения параметра a (a > 0) ?

4.2.м Докажите тождество: arcsin x = arctg

x .

1 − x2

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧ x+ y =6 , ⎪x + y − x− y x− y ⎨ ⎪ x2 + y 2 = 41. ⎩ 4.4.м В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и CC1. Известно, что ∠ A1CC1 = ∠C1AA1. Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

128

Вариант 64 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 810,25 − ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝9⎠

−1 2

+ (0,5) −2 .

2.2. Найдите корень уравнения 8 x + 2 − 8 x = 126 .

2.3. Упростите выражение:

2.4. Решите неравенство:

sin(α + β) − 2 cos α sin β .

2 cos α cos β − cos(α + β)

log 4 ( x + 3) + log 4 ( x + 15) ≤ 3 .

2.5. Найдите первообразную функции= f ( x)

проходит через начало координат.

1 − sin x , график которой 4 2x + 1

2 2.6. Найдите область определения функции y = 6 x − 3x .

3x + 1

B

2.7. Определите величину угла α, изображенного на рисунке.

20°

α

2.8. Угол при основании осевого сечения конуса равен β, а расстояние от центра основания до середины образующей равно a. Найдите объем конуса.

A

D 70°

C 40°

90°

E

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f ( x) = x − 8x . x +1 3.2. Постройте график функции f ( x ) = ctg x sin x .

3.3. Найдите радиус окружности, описанной около равнобокой трапеции, основания которой равны 7 см и 25 см, а диагональ — 20 см.

129

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Для каждого значение параметра a решите неравенство:

( x − a ) 6 ⋅ 5x − 5 ⋅ 6 x ≤ 0 .

4.2.м Докажите, что функция дической.

4.3.м Вычислите интеграл

1

∫x

3

f ( x) = cos x cos( x 2 ) не является перио-

cos xdx .

−1

4.4.м Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четырехугольника, равны.

130

Вариант 65 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции f (x) = x 2 + 8x − 3 .

2.2. Упростите выражение: ⎛ m −2 ⎞ − m +2⎟: 8 m . ⎜ m −2⎠ m−4 ⎝ m+2 2.3. Решите уравнение

8 − 6 = 3.

5x − 3 5x + 1

2.4. К бассейну подведены две трубы, через которые его можно наполнить за 4 ч. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, если открыть только вторую трубу?

2.5. Найдите наименьшее значение функции

ке [– 4; –1].

y = 9x + x

на промежут-

2.6. Решите уравнение 1 − sin 2 x = (cos 2 x + sin 2 x) 2 .

2.7. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой ее тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

2.8. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, которые образуют с плоскостью углы, равные 60°. Найдите расстояние между точками B и C, если ∠BAC= 90°, а расстояние от точки A до плоскости α равно 3 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y = 4 − x 2 и прямой y= 2 − x .

3.2. Найдите область определения функции f ( x) = log 0,6 x + 2 . x−3 3.3. Основание прямой призмы — ромб с большей диагональю d и острым углом α. Через меньшую диагональ нижнего основания и вершину острого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы.

131

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите уравнение касательной к графику функции

которая проходит через точку O (0; 0) .

f ( x) = x + 9 , x+5

4.2.м Решите неравенство: x 2 − 3x < 5 − x .

4.3м Найдите все значения параметра a, при которых уравнение a 2 cos 3πx − a | x | = 1 2 имеет единственное решение.

4.4.м Окружность, построенная на большем основании трапеции как на диаметре, касается меньшего основания, пересекает боковые стороны и делит их пополам. Найдите боковую сторону трапеции, если радиус окружности равен R.

132

Вариант 66 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2.2. Решите уравнение

(

7+ 5

)( 4 7 + 4 5 )( 4 7 − 4 5 ) ?

x 2 + 5 x − 24 =4 − x .

2.3. Вычислите значение выражения 62 −log6 9 − 25log5 3 .

2.4. При каком отрицательном значении x значения выражений 2 x − 3 , x − 4 , x + 2 будут последовательными членами геометрической прогрессии?

2.5. Найдите область определения функции y = log π 2 − 3x . x −3 2.6. Вычислите интеграл

ln 4

∫e

−x

dx .

ln 3

2.7. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см и делит ее на две части, одна из которых, прилежащая к вершине равнобедренного треугольника, равна 6 см. Найдите основание треугольника.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол β. Отрезок, соединяющий середину высоты пирамиды и середину бокового ребра, равен b. Найдите объем пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f ( x) = 3.2. Докажите тождество:

(

| 3x − 27 | .

27 − 3x

) (

(

2

ctg 13π + tg ( 2π − β ) + tg 17π + ctg 7π − β 4 4 2

))

2

=

2 . cos 2 β

3.3. Точка пересечения биссектрис тупых углов при меньшем основании трапеции принадлежит большему основанию. Найдите площадь трапеции, если ее боковые стороны равны 10 см и 17 см, а высота — 8 см.

133

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

sin x ⋅ 5 x − 4 − x 2 ≤ 0 .

4.2.м Найдите наименьшее значение функции f ( x) = x 2 + | 2 x − 1 | на промежутке [0; 1].

4.3.м Прямая = y 4 x + 1 касается параболы y = x 2 + bx + c в точке M (1; 5). Найдите уравнение параболы.

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что SBCO = 1 см2, SAOD = 9 см2, SABCD ≤ 16 см2. Найдите площади треугольников ABO и COD.

134

Вариант 67 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите корни уравнения sin x + 3 cos x = 0 .

2.2. Вычислите значение выражения 2lg 7 ⋅ 5lg 7 .

1

1

1

8 4 4 2.3. Упростите выражение a +7 7a − a 1 − b 1 ⋅ a 8 + 7 a8 − b8

2.4. Решите уравнение:

32 x +1 + 8 ⋅ 3x − 3 =.

0

2.5. Найдите первообразную функции

проходит через точку M (4; –3).

f= ( x)

5 + x , график которой 2 x

2.6. Лодка, собственная скорость которой равна 6 км/ч, проплыла 8 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки.

2.7. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке K, BK = 2 см, AC = 12 см, MK = KC. Найдите сторону BC. 2.8. Высота правильной треугольной пирамиды равна 15 см, а апофема — 17 см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество: sin 2 2α − 4 cos 2 α = ctg 4 α . sin 2 2α + 4 cos 2 α − 4

3.2. Постройте график функции f ( x) = log 32 x log x 3 .

3.3. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

135

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

( x 2 + x − 2) sin x ≤ 0 .

4.2.м Решите неравенство:

27 x − 13 ⋅ 9 x + 13 ⋅ 3x+1 − 27 > 0 .

4.3.м Сколько критических точек имеет функция 3 2 ) x + ax f ( x= 3 2 на промежутке [–2; 0] в зависимости от значения параметра a?

4.4.м Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведен отрезок EF параллельно стороне AB. Найдите площадь четырехугольника ABFE, если AB = EF и площадь треугольника ABC равна S.

136

Вариант 68 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

⎛ 8 13 ⎞ 6 ⎜⎜ m n ⎟⎟ 2.1. Найдите значение выражения ⎝ 1 19⎠ при m = 14 , n = 16 . m 3 n 18

( ) ≤ ( 74 )

2.2. Решите неравенство 4 7 2.3. Упростите выражение 2.4. Решите уравнение

x2

8−6 x

.

sin (45° + α) + cos ( 45° + α) . sin (45° + α) − cos ( 45° + α)

x 2 + x − 16 = −5 x .

2.5. Вычислите значение производной функции f ( x) = ln( x 2 − 4 x) в точке x0 = 5 .

2.6. Катер прошел 24 км по течению реки на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения равна 3 км/ч.

2.7. На катете AC прямоугольного треугольника ABC (∠A = 90°) отметили точку K. Найдите площадь треугольника KBC, если AK = 8 см, BK = 17 см, BC = 25 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда длиной 12 см, которая видна из центра основания под углом 120°. Найдите объем конуса, если его образующая равна 8 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 5 sin 2 x + 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 3 .

3.2. При каком значении a прямая x = a делит фигуру, ограниченную графиком функции y = 4x и прямыми y = 0 , x = 4 , x = 9 , на две равновеликие части?

3.3. В равнобедренный треугольник вписана окружность, центр которой удален от вершины равнобедренного треугольника на 51 см, а точка касания делит боковую сторону на отрезки, длины которых относятся как 8 : 9, считая от вершины угла при основании. Найдите площадь этого треугольника.

137

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 25 x + (a − 1) ⋅ 5 x + a − 2a 2 = 0 имеет два различных действительных корня?

4.2.м Решите уравнение: 2

3log3 x + x log3 x = 162 .

4.3.м Докажите неравенство: 2n +1 > 2n + 3 , n ∈ N , n ≥ 2 .

4.4.м В треугольнике ABC точка D — основание биссектрисы, проведенной 1 . из вершины C, ∠ ACB = 120°. Докажите, что 1 + 1 = AC BC CD

138

Вариант 69 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения

( 4 49 + 6 125 )( 4 49 − 6 125 ) .

2.2. Решите неравенство: 257 −5 x ≤ 0, 0083x −1 .

2.3. Найдите первообразную функции проходит через точку A (1; 5e).

f ( x) = 6e3x − 2 ,

график

которой

2.4. Решите уравнение log 2 4 x ⋅ log 2 x = 5 .

4 2.5. Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –8, а сумма первых десяти членов равна 190?

2.6. Найдите промежутки возрастания функции f ( x) = 3x − 2 . x+3 2.7. Одна из диагоналей трапеции и ее основания равны соответственно 40 см, 18 см и 30 см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит данную диагональ.

2.8. Высота конуса равна 10 см, а угол между образующей конуса и плоскостью основания — 45°. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами

y = x2

и

2

= y 2x − x .

3.1. Решите уравнение

2 x + 14 − 3x + 1 = 2.

3.3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d и образует с плоскостью основания угол α, а с плоскостью боковой грани — угол β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

139

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 x − 5 =a − x

имеет три решения? м

4.2. Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству: (3 cos x − 1)(3 sin y + 2) ≥ 10 .

4.3.м Докажите, что при x < 0 выполняется неравенство x < sin x .

4.4.м В окружности проведены две перпендикулярные хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M. Докажите, что прямая, содержащая медиану MK треугольника DMB, также содержит высоту треугольника CMA.

140

Вариант 70 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения 625−2,25 ⋅ 25

−2 3

⋅125

25 9

.

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 1 < 63− x ≤ 36 ?

6 2.3. Решите уравнение: 2 log 0,2 x + 0,5log 0,2 x 2 = 2 .

2.4. Чему равно значение ctg α , если sin α = 1 и π < α < π ?

3 2 2 2.5. Найдите область определения функции f ( x) = 8 − 2 x − x . x+3

2.6. Вычислите интеграл

1

⎛

∫ ⎜⎝ 0

14 − 2 ⎞ dx . ⎟ 7x + 9 ⎠

2.7. В прямоугольной трапеции ABCD (BC || AD, ∠ A = 90°) известно, что AB = 4 см, BC = 7 см, AD = 10 см. Найдите синус угла D трапеции.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см,

а высота пирамиды — 2 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f ( x) = 2x . x −1 3.2. Найдите наименьшее значение выражения 15 sin α + 8 cos α .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит его диагональ в отношении 2 : 7. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 108 см.

141

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

cos x (8 sin x + 5 − 2 cos 2 x ) = 0.

4.2.м Решите неравенство: x 2 − 1 + 3x − 2 ≥ 1 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение 36 x − ( a + 5) ⋅ 6 x + 6a − 6 = 0 имеет единственное решение?

4.4.м На стороне AC треугольника ABC отметили точку M так, что AB + MC = AM + BC. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABM и MBC, касаются.

142

Вариант 71 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2 ⎧ 2 2.1. Решите систему уравнений ⎨ x − y = −12, 2. ⎩x − y =

2.2. Решите уравнение:

log32 x − 1 log 3 x 2 = 2 .

2

2 2.3. Укажите наименьшее целое решение неравенства 6 x − x ≤ 0 . x+5

2.4. Вычислите интеграл

0

∫ (2 x + 1)

4

dx .

−1

2.5. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn ) , если b1 = 12 , b4 = 96 .

2.6. Упростите выражение

(sin 2α + sin 6α)(cos 2α − cos 6α) ⋅ 1 − cos8α

2.7. В треугольник ABC вписан ромб CMKD так, что угол C у них общий, а вершина K принадлежит стороне AB. Найдите сторону BC, если AC= 12 см, а сторона ромба равна 4 см.

2.8. Дан куб ABCDA1B1C1D1. На диагонали AD1 его грани отметили точку E JJJG JJJG JJJJG так, что AE : ED1 = 2 : 7. Выразите вектор BE через векторы BA , BC JJJG и BB1 . Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f ( x ) = x 3 − x 2 − 2 x + 7 наклонена до оси абсцисс под углом α = 3π .

4 3.2. Постройте график функции f ( x ) =

6

( x + 3) 6 + 2 x .

3.3. Основание пирамиды — ромб с углом α. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны ϕ. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H. 143

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите первообразную функции f ( x) = sin 3x cos 2 x , график которой

(

)

проходит через точку K 0; − 3 .

5 4.2.м Решите уравнение: log 2 (2 x 2 − 3x += 3) log 2 x 2 + log 2 x x .

4.3.м При каких значениях параметра a неравенство x 2 − (4a + 1) x + (a + 2)(3a − 1) > 0 выполняется при всех отрицательных значениях x?

4.4.м Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1 одной из его 3 высот. Докажите, что длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию.

144

Вариант 72 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

6

2.1. Укажите область определения функции f = ( x) 2.2. Решите уравнение:

3x + 9 .

3x + 32− x = 10 .

2.3. Решите неравенство: log 0,3 (2 − 3x ) > log 0,3 (5x − 1) .

2.4. Найдите производную функции f ( x) =

x2 − 2 x2 − 7

⋅

2.5. Укажите область значений функции y = − x 2 − 2 x + 3 .

2.6. Расстояние между пунктами A и B составляет 40 км. Автобус проехал из A в B и вернулся назад. Возвращался он со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной и потратил на обратный путь на 20 мин больше, чем на путь из A в B. Найдите первоначальную скорость автобуса.

2.7. Высота AM треугольника ABC делит его сторону BC на отрезки BM и MC. Найдите отрезок MC, если AB = 10 2 см, AC = 26 см, ∠B = 45°.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной 8 см, находящаяся на расстоянии 3 см от центра этого основания. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его высота равна 6 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: sin 2 x − cos x = 2 sin x − 1 .

3.2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 3x и прямыми y = 3 и x = 3 .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции перпендикулярна боковой стороне, которая равна 15 см. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности, описанной около нее, равен 12,5 см.

145

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите все значение параметра a, при которых уравнение log x (ax − 9) = 2 имеет единственное решение.

4.2.м Докажите, что arctg 2 + arctg 1 = π ⋅ 3 5 4 4.3.м Решите неравенство:

5 x + 12 x ≤ 13 x .

4.4.м Касательная в точке A к окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает прямую BC в точке D, отрезок AE — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AD = DE.

146

Вариант 73 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

1

()

2.1. Чему равно значение выражения 36 2 + 1 9

−0,5

1

− 1000 3 ?

2.2. Вычислите значение выражения 251+ log5 2 .

2.3. Решите неравенство 3x − 4 ⋅ 3x− 2 > 15 .

2.4. Решите уравнение: x 2 + 8x + 7 = x + 1 .

2.5. Найдите первообразную функции f = ( x) 3e3x + sin 2 x , график которой проходит через точку B(0; 3) .

2.6. Найдите корни уравнения: 3 sin 2 x − sin 2 x − 3 cos 2 x = 0.

2.7. Биссектриса острого угла параллелограмма делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 2 см, считая от вершины тупого угла. Вычислите площадь параллелограмма, если его острый угол равен 30°.

2.8. Основание прямой призмы — ромб с диагоналями 16 см и 30 см. Бóльшая диагональ призмы равна 50 см. Вычислите площадь боковой поверхности призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество: (sin α − sin β) 2 + (cos α − cos β) 2 = 4sin 2

α −β .

2

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f ( x) = x . ln x 3.3. Через катет прямоугольного равнобедренного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 60°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

147

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение:

2.

2 log 27 3x + log 27 ( x 2 − 4 x + 4) = 3

4.2.м Решите неравенство:

(3

x−2

)

−1

x2 − 2x − 8 ≥ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a система (a + 3) x + 4 y = 3a − 5, 2 ax + (a − 1) y = не имеет решений?

{

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена секущая, пересекающая окружности в точках C и D. Докажите, что величина угла CAD является постоянной для любой секущей, проходящей через точку B. (Рассмотрите случаи расположения точек C и D в одной и в различных полуплоскостях относительно прямой AB.)

148

Вариант 74 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение cos 2α − sin 2α ctg α .

2.2. Чему равна сумма целых решений неравенства 3x − 8 ≤ 2 ? x−2 2.3. Решите неравенство log 1 (1 − 2 x) ≥ −2 .

5

2.4. Решите уравнение: 19 − 2 x= x − 2 . ) x 3 − 48 x .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f ( x= x

2.6. Найдите первообразную функции f ( x) = 8x3 − e 2 , график которой про-

ходит через точку B (1; − 2 e ) .

2.7. В равнобокой трапеции ABCD основания AD и BC соответственно равны 18 см и 12 см. Боковая сторона трапеции образует с ее основанием угол 30°. Найдите диагональ трапеции.

2.8. Основанием пирамиды является прямоугольник с диагональю d. Угол между стороной и диагональю прямоугольника равен α. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом β. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество: ⎛ 4 b + 4 4 b − 4 ⎞ 4 b + 64 + = −1. ⎜4 ⎟: 2 ⎝ b − 4 4 b + 4 ⎠ 16 − b

3.2. Постройте график функции f ( x) = log 1 log x +1( x + 1)9 .

3

3.3. В треугольнике ABC известно, что AB = BC, отрезки BD и CK — высоты треугольника, cos A = 3 . Найдите отношение CK : BD. 7

149

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Определите количество корней уравнения cos x = a на промежутке ⎡⎢ 0; 5π в зависимости от значения параметра a. ⎣ 4

)

4.2.м Решите неравенство: x 2 − 8x −

3 + 18 ≤ 0 . x−4

4.3.м Решите уравнение 6 x = 5x + 1 .

4.4.м Внутри угла AOB отметили точку M, проекциями которой на прямые OA и OB являются точки M1 и M2. Докажите, что M1 M 2 ≤ OM .

150

Вариант 75 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение sin128° cos 68° − cos128° sin 68° . cos 44° cos16° − sin 44° sin16° 2.2. Сколько целых решений имеет неравенство 1 ≤ 23− x < 8 ?

16 2.3. Чему равно значение выражения

log 5 18 + log5 0,5 ? log 5 12 − 2 log 5 2

= y 2.4. Найдите область определения функции

5 − 1 . x −2 7x + 3

2.5. Найдите промежутки убывания функции f ( x) = 2 x 2 − x 4 .

2.6. Вычислите интеграл

e2

∫ 2x dx . e

2.7. Найдите длину окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 14 см и 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра нижнего основания под углом 90°, а из центра верхнего основания — под углом 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если радиус его основания равен 4 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Чему равно значение выражения 3.2. Решите уравнение:

3

1+ 2 ⋅6 3 − 2 2 ?

5 sin x − 6 cos x = 5 .

3.3. Через сторону нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60°. Площадь образовавшегося сечения равна 8 3 см2. Найдите объем призмы.

151

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству: log 2 x 2 + log 2 y 2 = 2 log 2 x + 2 log 2 y .

4.2.м Решите систему уравнений: 72 , ⎧ xy ( x + 1) ( y + 1) = ⎨ −5 . ⎩( x − 2) ( y − 2) = 4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f ( x) = x3 − 2x x − 2

на промежутке [0; 3].

4.4.м Около треугольника ABC описана окружность. Из произвольной точки M окружности проведены перпендикуляры MN и MK к прямым AB и AC соответственно. Найдите положение точки M, для которого длина отрезка NK является наибольшей.

152

Вариант 76 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

5 ⎛ −2 1 ⎞ 2.1 Упростите выражение x −1 y 4 ⋅ ⎜ x 7 y 14 ⎟ ⎝ ⎠

−3,5

.

2.2. Решите уравнение 5 x + 2 + 5 x = 130 .

2.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций = y и y = x.

3 − 2x

2.4. Какое наибольшее значение принимает функция f ( x) = 4 x3 − x 6 + 1 ?

2.5. Найдите третий член геометрической прогрессии, первый член которой b1= 2 + 3 , а знаменатель q= 2 − 3 .

2.6. Бригада рабочих должна была изготовить 900 деталей. Из-за болезни одного из рабочих каждому из тех, кто работал, пришлось изготовить на 10 деталей больше, чем планировалось. Сколько рабочих в полном составе бригады?

2.7. Диагонали трапеции ABCD (BC || AD) пересекаются в точке O. Найдите отношение площадей треугольников AOD и BOC, если AO = 8 см, OC = 5 см.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a, а ее диагональное сечение — прямоугольный треугольник. Найдите объем пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

log x 125 x ⋅ log 52 x = 4 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x) = 2x . x −1 3.3. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 24 см и 40 см соответственно. Найдите биссектрису треугольника, проведенную из вершины угла при его основании.

153

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция f ( x) = ln

(

)

a 2 + x 2 + x явля-

ется нечетной?

4.2.м Найдите площадь треугольника, ограниченного осью ординат, прямой y= 7 − x и касательной к графику функции f ( x) = x 2 − 2 x + 4 в точке с абсциссой x0 = 3 . ⎛ ⎞ 4.3.м Найдите значение выражения ctg ⎜ 1 arccos 3 ⎟ ⋅ 2 10 ⎠ ⎝

4.4.м Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке J. Точка J1 – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Биссектриса угла B пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что DJ = DJ1.

154

Вариант 77 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

(

)

2.1. Упростите выражение cos 3π − α + sin ( π − α ) .

2 2.2. Решите уравнение:

10 − x − 9 = 3. x−9

2.3. Вычислите значение выражения 2.4. Решите уравнение:

log 7 28 − log 7 4 .

3log 6 3 + log 6 8

4x − 3 ⋅ 4x−2 = 52 .

2.5. Найдите точку максимума функции f ( x) = 1 x3 + x 2 − 8x + 7 .

3 2.6. Арифметическая прогрессия (an ) задана формулой общего члена a= 6n − 1 . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии. n 2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а медиана, проведенная к гипотенузе, — 6,5 см. Вычислите площадь этого треугольника.

2.8. Точка K находится на расстоянии 2 см от плоскости α. Наклонные K A и K B образуют с плоскостью α углы 45° и 30° соответственно, а угол между наклонными равен 135°. Найдите расстояние между точками A и B. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите область определения функции = f ( x ) log x −4 (14 + 5x − x 2 ) .

3.2. Постройте график функции y =

x6 − 2 . x

3.3. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащей основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем цилиндра, описанного около призмы.

155

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция f ( x ) = 3 ln x − ax + 4 не имеет критических точек?

4.2. Вычислите интеграл

3

x

∫ 33x +− 11 dx .

−3

4.3.м Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют равенству: cos x cos y = 1 .

4.4.м Докажите, что окружность, проходящая через ортоцентр треугольника и две его вершины, равна окружности, описанной около треугольника.

156

Вариант 78 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения

3

35 3 ?

5 9

2.2. Решите уравнение: 7 x ⋅ 2 x −3 = 0,125 ⋅149 − 2 x .

2.3. Упростите выражение

cos(−β) − cos3 (−β) . sin(−β) cos 2 β

2.4. Найдите значение выражения log3 6 ⋅ log 6 7 ⋅ log 7 9 .

2.5. Найдите промежутки убывания функции f (= x) (3x − 1) e2 x .

2.6. Комбайнер должен был собрать урожай с поля площадью 60 га. Он собирал ежедневно урожай с площади на 2 га большей, чем планировал, а поэтому закончил уборку урожая на 1 день раньше срока. За сколько дней комбайнер собрал урожай?

2.7. Сумма внешних углов треугольника ABC, взятых по одному при вершинах A и C, равна 230°. Найдите угол ABC. 2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 12 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна диаметру основания. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой = y 3x − x 2 , касательной, проведенной к данной параболе в точке с абсциссой x0 = 3 , и осью ординат.

3.2. Найдите область определения функции: f ( x= ) cos x + ( x + 2)(1 − x ) .

3.3. Диагонали трапеции перпендикулярны и равны 12 см и 16 см. Найдите высоту трапеции.

157

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите систему уравнений: ⎪⎧ xlog 2 y + y log 2 x = 16, ⎨ 2. ⎪⎩log 2 x − log 2 y = 4.2.м Решите неравенство:

(3

x

−9

)

x2 − 2x − 8 ≤ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − 1) arccos( x − a ) = 0 имеет единственное решение?

4.4.м Известно, что M — точка пересечения отрезков AB и CD, MA ⋅ MB = MC ⋅ MD. Докажите, что точки A, B, C и D принадлежат одной окружности.

158

Вариант 79 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. − 49b 0,5 .

2.1. Сократите дробь b0,75 b − 7b 0,5 8+ 4 x − x 2

( )

2.2. Решите неравенство 2 3 2.3. Решите уравнение

< 8 .

27

x + 7 + x + 10 = 3.

3 2.4. Чему равно наибольшее значение функции f ( x) = x − 3x 2 + 5x − 7 на 3 промежутке [0; 3] ?

2.5. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 10,5; 9,8; 9,1; ... .

2.6. Решите уравнение

2 cos 5x + sin 3x − sin 7 x = 0.

2.7. Из точки K, не лежащей на прямой a, проведены к этой прямой наклонные KA и KB, которые образуют с ней углы 45° и 30° соответственно. Найдите длину проекции наклонной KB на прямую a, если KA = 8 6 см.

2.8. Радиус основания конуса равен 2 5 см, а расстояние от центра его основания до образующей — 4 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

2 lg x = 1. lg(4 x − 3)

3.2. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f ( x) = x + 2 в точке с абсциссой x0 = 2 . x −1 3.3. Основание прямой призмы — ромб с острым углом α, площадь которого равна S. В призме проведено диагональное сечение, проходящее через меньшую диагональ основания. Диагональ этого сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

159

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 2 cos x= cos 2 x

6 cos x + 5 sin 2 x .

4.2.м Определите количество решений системы 0, ⎧3x + y − 2 = ⎨ y= a + x ⎩

в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Решите уравнение:

9 x − (14 − x ) ⋅ 3x + 33 − 3x = 0.

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две пересекающиеся хорды AB и CD. Известно, что AC 2 + BD 2 = 4 R 2 . Докажите, что хорды AB и CD перпендикулярны.

160

Вариант 80 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

16

1 b + 8b 2

− 21 . b2 1 log 64 −3log 2 6 6

2.2. Чему равно значение выражения 36 3

?

2.3. Решите уравнение: 2sin 2 x − cos 2 x = 0 .

2.4. Решите уравнение: +2 (2 x −1) x= 32 x ⋅ 8 x + 2 .

2.5. Найдите первообразную функции проходит через начало координат.

f= ( x) sin x − e3x , график которой

2.6. Чему равна сумма корней уравнения x 4 + 8x 2 − 9 = 0?

2.7. На стороне CD квадрата ABCD отметили точку K так, что ∠ ABK = 60°. Найдите отрезок AK, если BC = 6 см.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и образует с образующей цилиндра угол α. Найдите объем цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой x0 = 2 .

3.2. Найдите область определения функции f ( x) =

f ( x) = 2 x − 3

( x + 5)(2 − x) ⋅ lg( x 2 + 1)

3.3. Центр окружности, вписанной в равнобокую трапецию, удален от концов ее боковой стороны на 12 см и 16 см. Вычислите площадь трапеции.

161

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: 20 ⋅ 3x − 11 > 3x − 4 .

4.2.м При каких значениях параметра b система b, ⎧4x + ay = ⎨ a ⎩x + y = имеет решения при любом значении параметра a?

4.3.м Решите уравнение:

5π2 ⋅ (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 36

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая AH во второй раз пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что BD = HB.

162

Вариант 81 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

sin 2 α ctg α . sin 2α

2.2. Найдите значение x, если log 0,6 x = 2 log 0,6 6 − log 0,6 12 + log 0,6 1,5 .

2.3. Упростите выражение: 4b + 100 : ⎛ b + 5 + b − 5 ⎞ . ⎟ b − 25 ⎜⎝ b − 5 b +5⎠ 2 2.4. Решите неравенство 52 x − x > 1 .

125

2.5. Найдите первообразную функции f ( x) =2 x − 6 x 2 − 4 x3 , график которой проходит через точку B (−1; − 3) .

2.6. Число 192 является членом геометрической прогрессии 6; 12; 24; ... . Найдите номер этого члена.

2.7. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 15°, AC = 3 3 см, отрезок CM — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AM. 2.8. Площадь боковой поверхности конуса равна 20π см2. Найдите объем этого конуса, если его образующая равна 5 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 64 tg

2

x

1

2 + 8 = 9 ⋅ 8 cos x

−1

.

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции = f ( x) в точке с абсциссой x0 = −1 .

3x 2 − 22 x

3.3. Боковое ребро правильной призмы ABCDA1B1C1D1 равно 161 см, а диагональ призмы — 17 см. Найдите площадь четырехугольника AB1С1D.

163

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − a ) arccos( x + 5) = 0 имеет единственное решение?

4.2.м Решите систему уравнений: ⎧⎪3 x + 2 y + 3 x − y + 2 = 3, ⎨ 7. ⎩⎪2 x + y = 4.3.м Решите неравенство:

log x (2 x + 3) < 2 .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит один из катетов в отношении 1 : 2, считая от вершины прямого угла. Расстояние от центра вписанной окружности до вершины прямого угла равно 18 см. Найдите стороны треугольника.

164

Вариант 82 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов. −2

5 2.1. Чему равно значение выражения 25 1⋅ 5 ?

12515

2.2. Найдите корень уравнения 0, 0016 x = 5 ⋅ 25 x .

2.3. Чему равно значение выражения

)

(

cos 2α − π , если 2

cos α = − 0,8

и π <α < π?

2 2.4. Найдите множество решений неравенства log 7 (4 x − 6) > log 7 (2 x − 4) . ) 4 x − 1 x3 2.5. Составьте уравнение касательной к графику функции f ( x= 3 в точке с абсциссой x0 = 3 .

2.6. Решите уравнение

3

x +1 + 2

3

9 =4. x +2

2.7. На катете BC треугольника ABC ( ∠ACB = 90° ) отметили точку D. Найдите площадь треугольника ABD, если AB = 25 см, AD = 17 см, AC = 15 см.

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом β. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, равен l и образует с плоскостью основания угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите интеграл

3

∫

9 − x 2 dx .

−3

3.2. Упростите выражение

2sin 2 3α − 1 .

2 ctg π + 3α cos 2 π − 3α 4 4

(

) (

)

3.3. Окружность, центр которой принадлежит стороне MK треугольника MKE, проходит через точку K, касается стороны ME в точке E и пересекает сторону MK в точке F. Найдите больший угол треугольника MKE, если сторона ME равна радиусу данной окружности.

165

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 0 x 2 + (2a − 3) x + a 2 − 2a = имеет два различных отрицательных корня?

4.2.м Решите уравнение: log 23 x + ( x − 1) log 3 x = 12 − 3x .

3

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = 2 x − 3 x 2 на

промежутке ⎡ −1; 1 ⎤ .

8⎦ ⎣ 4.4.м В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон, равны. Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны.

166

Вариант 83 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 1 log 5 8 + log 5 75 − log 5 2 ?

3 27 2.2. Решите уравнение: 2.3. Решите неравенство

4 x + 2 + 6 ⋅ 4 x −1 = 70 . ( x + 5)( x − 2) ≤0. ( x − 1)2

2.4. Вычислите значение выражения

6

(6 − 5)6 + 8 (1 − 5)8 .

2.5. Найдите первообразную функции f ( x ) = 3x 2 − 4 x + 5 , график которой проходит через точку M (2;–7).

2.6. Найдите функцию, обратную к функции = y 1 x+2.

3 2.7. Стороны параллелограмма равны 24 см и 30 см, а угол между его высотами — 30°. Найдите площадь параллелограмма.

2.8. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 6 2 см, проведена плоскость, пересекающая основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь сечения, если угол между диагональю сечения и указанной хордой равен 60°. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Составьте

уравнение касательной к 2 1 f ( x) = − x − x + 4 в точке с абсциссой x0 = 2 .

2

графику

функции

3

3.2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 1. cos2 x − 0,5 sin 2 x = 3.3. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину противолежащего бокового ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

167

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 0 x 4 + (a + 2) x 2 + a 2 + 3a = имеет три различных корня?

4.2.м Вычислите интеграл:

2

∫

4 x − x 2 dx .

0

4.3.м Решите неравенство:

2 2 x + 1 − 5 ⋅ 6 x + 32 x + 1 ≥ 0 .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую прямой AB (но не отрезку AB), проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках K и L, вторую — в точках M и N. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

168

Вариант 84 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения log 27 log 8 5 32 ?

2.2. Упростите выражение cos 3α + sin 3α .

2sin α 2 cos α 2.3. Решите уравнение: 4 x 2 − 5x − 2 = −x .

2 2.4. Найдите множество решений неравенства x − 4 x + 4 > 0 . x +1

2.5. Найдите наименьшее значение функции f ( x) = 1 x3 + 1 x 2 − 6 x на проме3 2 жутке [0; 3].

2.6. Найдите первообразную функции

f ( x) =

проходит через точку M (5; 7) .

3 , график которой 4x + 5

2.7. В трапеции ABCD известно, что AD || BC, O — точка пересечения диагоналей, AO : OC = 5 : 2, средняя линия трапеции равна 7 см. Найдите большее основание трапеции.

2.8. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 4 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Постройте график функции f ( x) = 2 − sin x − 1 .

3.2. Решите уравнение:

2 log 22 (4 x) + log 2 x = 8 .

8

3.3. Бóльшая диагональ прямоугольной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 9 см, а бóльшая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

169

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 3− 4sin 2 x

4

2

( 2 ) − 4 =0 .

sin π − x

+ 15 ⋅ 4

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 0. которая перпендикулярна прямой y − x − 3 =

f ( x) = − x 2 − 3 ,

4.3.м При каких натуральных значениях n многочлен

(

P( x) =1 − 2 x 2

)

n

+ ( 3x − 8 )

2n

делится нацело на многочлен x − 5 ?

4.4.м На отрезке, соединяющем середины оснований трапеции, отметили точку и соединили ее со всеми вершинами трапеции. Докажите, что треугольники, прилежащие к боковым сторонам трапеции, равновелики.

170

Вариант 85 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите значение выражения

(

8−3 7 +

8+3 7

)

2

.

2.2. Укажите область значений функции f ( x) = 7cos x .

2.3. Решите неравенство log 1 ( x + 2) > log 1 ( x 2 − x − 1) .

3

3

2.4. Решите уравнение cos 2 x + cos x = 0 .

2.5. Вычислите интеграл

1

⎛

⎞

∫ ⎜⎝ x12 − 3 ⎟⎠ dx .

1 3

2.6. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой общего члена a= 5n − 12 . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии. n 2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 30 см. Точка касания окружности со стороной AB делит ее в отношении 3 : 2, считая от точки A, а точка касания со стороной BC удалена от точки C на 5 см. Найдите сторону AC. 2.8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AD = 24 см, CD = 5 см, AA1 = 10 см. Найдите площадь прямоугольника A1 B1CD . Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f ( x ) = tg 2 x в точке с абсциссой x0 = π .

8

(

) )

( (

) )

cos π − α − sin π − α tg α 2 4 2 4 8 = tg α .

3.2. Докажите тождество 8 5 π α α sin + − sin − 3π tg α 2 4 4 8

(

3.3. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с двумя другими сторонами треугольника углы по 45°. Найдите угол между плоскостью треугольника и проведенной плоскостью.

171

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: 3 − 2x − x2 ≤ 3 − 2x − x2 ⋅ x+8 2x + 1

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение

(

)(

)

x − a 22 x − 10 ⋅ 2 x + 16 = 0

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения: cos 2 x + cos 2 y = 2 .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = ( p − a ) ( p − b) , где p — полупериметр треугольника, a и b — длины катетов.

172

Вариант 86 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение sin 5α − sin α . cos α + cos 5α 2.2. Решите неравенство 5 x + 5 x+ 2 ≤ 130 .

2.3. Чему равно значение выражения

( 3 2 + 1)( 3 4 − 3 2 + 1) ?

1⎞ ⎛ 12 2 (3 − 5) 9 5 + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

2 2.4. Решите неравенство x +26 x + 9 ≤ 0 . x −1 3

2.5. Вычислите интеграл

∫ ( x 2 + 4 x) dx .

−1

2.6. Найдите функцию, обратную к функции y = x − 3 . x 2.7. В треугольник ABC вписан ромб DMNA так, что угол A у них общий, вершина M принадлежит стороне BC, CM = 6 см, BM = 4 см, AB = 20 см. Найдите сторону ромба.

2.8. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Найдите площадь его сечения, проходящего через ребро DC и середину ребра AB. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

(

)

(

)

log 4 5x − 4 + log 4 5x − 1 = 1.

3.2. Число 48 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.

3.3. В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если BO = 2 3 см, CO = 3 см, ∠ A = 120°.

173

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

(3

x

−a

)

x−2 ≤ 0 .

4.2.м Докажите, что при всех x > −1 выполняется неравенство: ln( x + 1) ≤ x .

4.3.м Найдите корни уравнения:

cos 2 x + cos 3x = 2 .

4

4.4.м Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равна одному из катетов. Найдите острые углы треугольника.

174

Вариант 87 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства ( x + 1) 2 ( x + 6)( x − 2) < 0 ?

2.2. Решите уравнение log 23 x − log 3 x 2 − 8 = 0.

2.3. К раствору массой 180 г, содержавшему 15 % соли, добавили 20 г воды. Какое процентное содержание соли в новом растворе?

2.4. Найдите корни уравнения: cos x + cos 2 x + cos 3 x = 0 .

2.5. Чему равно наименьшее значение функции f ( x ) = 2 x 3 − 15x 2 + 24 x + 3 на промежутке [0; 2]?

2.6. Найдите первообразную функции f ( x ) = 4 x 3 − 2 x + 3 , график которой проходит через точку A (1; 8).

2.7. Чему равна площадь параллелограмма со сторонами 9 см и 15 см, если одна из диагоналей перпендикулярна его стороне?

2.8. Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — равносторонний треугольник. Найдите объем конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство:

2 2 2 2 2 x + x +1 − 3 x + x > 3 x + x −1 − 2 x + x .

3.2. Решите уравнение: 2 x 2 − 6 x + 40 = x 2 − 3x + 8 .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом b и противолежащим ему углом β. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

175

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение sin 2 2 x − a sin 2 x = 0 имеет на промежутке ⎢⎡ π ; π ⎤⎥ два корня? ⎣2 ⎦ 4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат f ( x) и касательной к графику функции = x0 = 2 .

2 x 2 − 4 в точке с абсциссой

4.3.м Решите уравнение: 2 lg 2 (2 x −= 1) lg 2 (2 x + 1) − lg (2 x − 1) ⋅ lg (2 x + 1) .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD провели диагональ AC. Окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

176

Вариант 88 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область определения функции y = 8 1 − 6 x .

2

3

1

2.2. Вычислите значение выражения 216 3 − 16 2 + 25 2 .

2.3. Решите неравенство (1,3) 2.4. Решите уравнение:

x 2 −9 x +8 x−4

≥1.

1 + 2 =1. lg x + 3 3 − lg x

2.5. Найдите первообразную функции f ( x ) = 3x 2 − 4 x + 5 , график которой проходит через точку A( 2; 6) .

2.6. Найдите точку минимума функции f ( x) = x 2 − 1 x 4 .

4 2.7. Отрезки AC и BD, изображенные на ∠BDM = 90° , рисунке, параллельны, BM = 10 см, BD = 8 см, AC = 24 см. Найдите длину отрезка CD.

A C

M

D

B 2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой c и острым углом α. Диагональ боковой грани, содержащей катет, противолежащий углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Упростите выражение:

6α ⋅ ( cossin5αα + sincos5αα ) ⋅ sin10cosα −4sin α

3.2. Постройте график функции f ( x) = 4 x 4 + 2 x .

3.3. Основания равнобокой трапеции равны 6 см и 18 см, а диагональ — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

177

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 1 + 3x − 9 x =

4 − 3 ⋅ 3x .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f ( x ) =(a − 8) x 3 − 3(a − 8) x 2 − 12 x + 5 убывает на R. 4.3.м Докажите тождество: sin(arctg x) =

x ⋅ 1 + x2

4.4.м Окружность, построенная на стороне AC треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и BC в точках M и F соответственно. Найдите отношение площадей треугольников MFB и ABC, если ∠ ABC = 45°.

178

Вариант 89 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 10 000 −0,25 ⋅ 100

−1

3

2

⋅ 1000 9 .

2.2. Решите неравенство 5 ⋅ 2 x + 2 x−3 ≥ 82 .

2.3. Найдите область определения функции y = lg 1 − 2 x . x +1 2.4. Решите уравнение

x −24 x −3 = 0.

2.5. Найдите корни уравнения 1 − cos 2 x + sin x = 0 . x

2.6 Найдите первообразную функции f ( x) = 16 x3 + e 2 , график которой про-

(

)

ходит через точку B 1; 2 e .

2.7. Высота равнобедренного остроугольного треугольника, проведенная к его основанию, равна 8 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — 5 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 6 см, 25 см и 29 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1 : 3, считая от вершины пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: lg 2 100 x − 8 lg x = 4 .

3.2. Вычислите значение выражения: cos10° sin 80°+ sin 2 280° cos2 100°+ sin 2 170° sin 2 350° .

3.3. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основу цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна S.

179

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a функция f ( x ) =x 3 + ax 2 − 2ax + 3 возрастает на всей числовой прямой?

4.2м Решите уравнение:

4 x 2 − 4 x cos 8πx + 1 = 0.

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧4 x + 2 y = 12 , ⎨ x − y = 3 2 5 + x − 3y . ⎩ 4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 20°, ∠CBA = 40°. На стороне AB построен равносторонний треугольник ABM, точки M и C лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ ACM = ∠MCB.

180

Вариант 90 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение

b − 3 + b 0,5 .

9 − b b 0,5 + 3 b0,5 − 3

2, ⎧x + y = 2.2. Решите систему уравнений ⎨ 3 3 + = x y 26. ⎩

2.3. Упростите выражение

1 − ctg β .

1 − tg β

2.4. Сколько целых решений имеет неравенство: log 0,7 ( x + 4) > log 0,7 (19 − 4 x) ?

2.5. Решите уравнение

x− 6 =5. x

2.6. Какой номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии 3,4; 3; 2,6; ... ?

2.7. Высота AF делит сторону BC треугольника ABC на отрезки BF и CF. Найдите сторону AC, если CF = 13 см, ∠ ABC = 60°, а сторона AB равна 18 см.

2.8. Основание прямой призмы — треугольник со стороной a, противолежащим этой стороне углом α и прилежащим углом β. Диагональ боковой грани, содержащей сторону основания, к которой прилежат углы α и β, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 5 ⋅ 4 x − 7 ⋅ 10 x + 2 ⋅ 25x = 0 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x= ) (2 − x) x .

3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 24 см и 51 см.

181

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите область значений функции y = 3 |sin x cos x | .

4.2.м Решите неравенство: (sin x − cos x ) 5x − 4 − x 2 ≥ 0 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( x + a ) log 3 (2 x − 5) = 0 имеет единственное решение?

4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Биссектрисы прямых углов треугольников ACD и DCB соответственно равны l1 и l 2. Найдите биссектрису треугольника ABC, проведенную из вершины его прямого угла.

182

Вариант 91 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите сумму двенадцати первых натуральных чисел, кратных числу 6.

2.2. Решите уравнение 2 4 − x 2= x + 4 .

4 2.3. Найдите область определения функции y = 7x − 2 x .

4 − 16

2.4. Решите уравнение:

sin 2 x + 2sin x cos x − 3cos 2 x = 0.

2.5. Найдите значение производной функции f ( x) = ln2x в точке x0 = e . x 2.6. Вычислите интеграл

π

∫ cosdx2 x .

0

3

2.7. Основание равнобедренного треугольника относится к его высоте, опущенной на основание, как 8 : 3, боковая сторона треугольника равна 40 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 30°. Объем призмы равен 48 3 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение: log 3 ( 3x − 8) =2 − x .

⎧ x 2 , если x ≤ 1, 3.2. Постройте график функции f ( x) = ⎨ −2 Пользуясь построен⎩ x , если x > 1. ным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с его диагональю угол 30°. Найдите угол между плоскостью квадрата и проведенной плоскостью.

183

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( x − a) (tg x + 3) = 0

)

имеет единственный корень на промежутке ⎡⎢ − π ;0 ? ⎣ 2 4.2.м Решите неравенство: 5x + 8 − 6 5x − 1 + 5x + 24 − 10 5x − 1 ≤ 2 .

4.3.м На параболе y = 4 − x 2 выбраны две точки с абсциссами x = −1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки H и O — соответственно ортоцентр и центр вписанной окружности остроугольного треугольника ABC. Известно, что точки B, H, O и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

184

Вариант 92 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 12 log 7 5 7 4 7 .

2.2. Сократите дробь

b 2 − 16 . b + b − 12 2

2.3. Решите неравенство 1 ≤ 1 . x 3 2.4. Вычислите интеграл

1

∫ (x

−2

2.5. Решите уравнение:

2

)

− 2 x + 4 dx .

4 sin 2 x − 11cos x − 1 = 0 .

2.6. При каком значении a наибольшее значение функции f ( x) = − x 2 + 2 x + a равно 3?

2.7. Длины диагоналей ромба относятся как если его периметр равен 36 см.

5 : 2. Найдите площадь ромба,

2.8. Катет прямоугольного треугольника равен a, а прилежащий угол равен α. Найдите площадь боковой поверхности конуса, образовавшегося при вращении этого треугольника вокруг данного катета. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите неравенство: log 0,5 ( x − 1) + log 0,5 ( x − 2) ≥ −1 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ2 ции f ( x) = 2x . x −9 3.3. В равнобедренном треугольнику ABC известно, что AB = BC = 13 см, AC = 24 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках F и N соответственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник FBN.

185

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x −a x− 9 = 0 x имеет единственное решение?

(

)(

)

4.2.м Решите систему уравнений: ⎧⎪ cos x cos y = 3 , ⎨ 4 ⎪⎩ tg x tg y = −1.

4.3.м Решите уравнение:

5x + 12 x = 13x .

4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC = 12 см, а средняя линия трапеции равна 10 см.

186

Вариант 93 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Чему равно значение выражения 2 log 6 3 + 1 log 6 64 ?

3 2.2. При каком значении a график функции y = ax −5 проходит через точ-

(

)

ку B 1 ; 192 ?

2 2.3. Решите уравнение:

9 x +1 + 9 x = 270 .

2.4. Чему равна разность арифметической прогрессии, первый член которой равен –2,5, а сумма десяти первых членов равна 110?

2.5. Найдите корни уравнения: 1 + cos 8 x = cos 4 x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции = f ( x) ln (5 x + 4) в точке с абсциссой x0 = 5 ?

2.7. Вычислите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а разность диагоналей — 10 см.

2.8. Из точки M к плоскости α проведены наклонные MN и MK, длины которых относятся как 25 : 26. Найдите расстояние от точки M до плоскости α, если длины проекций наклонных MN и MK на эту плоскость равны 7 см и 10 см. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

4

2 ( x − 2)= 3x − 4 .

3.2. Постройте график функции f ( x ) = log 2 sin x .

3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол β. Найдите объем конуса, если его образующая равна а.

187

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Вычислите интеграл: 1

∫ ln(

x 2 + 1 − x)dx .

−1

4.2.м Найдите корни уравнения:

sin 2 x + tg 2 x = − 5 ctg x .

6

4.3.м При каких значениях параметра a функция 3 2 f ( x) = x − (a + 2) x − 3(a + 2) x − 1 3 2 имеет отрицательную точку максимума?

4.4.м Через вершины A и C треугольника ABC проведена окружность, пересекающая стороны BA и BC в точках M и N соответственно. Прямая BF — касательная к окружности, описанной около треугольника ABC. Докажите, что прямые MN и BF параллельны.

188

Вариант 94 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Найдите область значений функции y= π − 2 arcctg x .

2 6, ⎧x + y = 2.2. Решите систему уравнений ⎨ 2 2 − = x y 12. ⎩

2.3. Решите уравнение sin x cos x − cos 2 x = 0 .

2.4. Решите неравенство log 1 (7 x − 28) > log 1 6 x .

2

2.5. Решите уравнение

3

2

1 + 2 =1. x +1 3 x + 3

2.6. Вычислите интеграл

π 6

∫ cos 3x dx .

0

2.7. Прямая m является общей внешней касательной двух окружностей, радиусы которых равны 10 см и 2 см, точки A и B — точки касания прямой m с данными окружностями, AB = 15 см. Найдите расстояние между центрами окружностей.

2.8. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 4 см и образует с плоскостью основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f ( x)= x + 9 . x 3.2. Докажите тождество:

(

)

1= − cos α − sin α 2 2 sin α sin α − π .

2 2 4

3.3. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее тупых углов и точкой пересечения делятся в отношении 11 : 25. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 120 см.

189

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

27 ⋅ 22 x − 5 ⋅ 6 x +1 + 8 ⋅ 9 x ≥ 0 .

4.2.м Определите количество корней уравнения cos x − 1 ( sin x − a ) = 0 2 на промежутке ( 0; 2π] в зависимости от значения параметра a.

(

)

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты

которых (x; y) удовлетворяют неравенству log y (9 − x 2 ) ≥ 2 .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ BD является биссектрисой угла ABC. Известно, что AB = 9 см, BC = 14 см, CD = 12 см, DA = 13 см. Найдите угол BCD.

190

Вариант 95 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 2.2. Решите неравенство

( 259 ) ⋅ ( 53 ) x

x −2

>

27 (125 )

x

3

4 .

25 + 3 5 + 1

.

2.3. Найдите корни уравнения 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0.

2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции f ( x) =x 2 + 14 x + 43 .

2 2.5. Решите неравенство x 2 − 4 x + 4 ≥ 0 . x − x − 12

2.6. В растворе соли в воде масса соли составляет 1 массы воды. Сколько 4 процентов массы раствора составляет масса соли?

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные длиной 13 см и 15 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если разность проекций наклонных на эту прямую равна 4 см.

2.8. Диагональ прямоугольника равна a и образует с его меньшей стороной угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Вычислите значение выражения log 9 10 ⋅ lg 11 ⋅ log11 12 ⋅ log12 27 .

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y = 5x 6. мой x + y =

и пря-

3.3. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD. Боковая грань BMC перпендикулярна плоскости основания, грань AMD наклонена к плоскости основания под углом 30°, грани AMB и CMD образуют с плоскостью основания равные углы. Найдите угол наклона грани AMB к плоскости основания.

191

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство:

(x − 4) x 2 − x − 2 ≥ 0 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − cos 2 x =cos x − sin x .

4.3.м Решите уравнение: 2x − 1 + 2x − 2 = 1.

4.4.м Даны две концентрические окружности. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки одной окружности до концов диаметра другой окружности не зависит ни от выбранной точки, ни от выбранного диаметра.

192

Вариант 96 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Упростите выражение: ⎞ 2b : ⎛ 1 − 1 2 ⎟. ⎜ 2 b − 25 ⎝ b + 10b + 25 25 − b ⎠ 2

0.

2.2. Решите уравнение 62 x −1 − 1 ⋅ 6 x − 4 = 3

2.3. Решите неравенство:

log 1 (3x − 1) > −3 .

2

2.4. Вычислите интеграл

2

∫ (4x − 1) dx .

−1

2.5. Решите уравнение:

1 − cos 2 x = 2 sin x .

2.6. Найдите разность арифметической прогрессии (an), если a5 + a12 = 41 62 . и a10 + a14 = 2.7. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 3 см и 5 см, а меньшая

диагональ —

58 см. Чему равен периметр трапеции?

2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с основанием b и углом β при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем призмы. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение

3x + 1 − x + 1 = 2.

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции f ( x) = x 2 + 3x , которая параллельна прямой y = x .

3.3. Отрезок AK — медиана треугольника ABC, AC = a, ∠ BAK = α, ∠CAK = β. Найдите медиану AK.

193

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: 4.2.м Решите уравнение:

(

log x (4 x − 3) ≤ 2 .

3+ 8

) +( x

3− 8

)

x

= 6.

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения cos x − 1 = 0 2 1 a − 2 и cos x − cos x + = 0 равносильны.

2 2

(

)(

)

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AB и MC отметили соответственно точки N и P так, что отрезок NP разбивает треугольник ABC на две равновеликие части. Докажите, что MN || BP.

194

Вариант 97 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Вычислите значение выражения 0,125

−1

3

1

+ 0,216 3 − 2 ⋅ 16

(

−1

4

.

)

2.2. Упростите выражение (1 + cos( 2π − 2α)) ctg 3π + α .

2 2.3. Решите уравнение

10 − 3x = − x .

2 2.4. Найдите множество решений неравенства x 2− 5 x − 14 ≤ 0 . x − 2x + 1

2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции f ( x) = 5 x + 1 в точке с абсциссой x0 = 3 .?

2 ⎧ 2 81, 2.6. Решите систему уравнений ⎨16 x + y + 8 xy = 1. ⎩x − y =

2.7. На стороне BC треугольника ABC отметили точку D. Найдите отрезок BD, если ∠C = 90°, ∠BAC = α, ∠BAD = β, AB = c.

2.8. Диагонали грани BB1C1C призмы ABCA1B1C1 пересекаются в точке O. JJJJG JJJG JJJJG JJJG Выразите вектор AO через векторы AB , AC и AA1 . Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение:

x lg x − 3 = 10 000 .

3.2. Постройте график функции = f ( x)

6

sin x − 1 .

3.3. Плоскость, проходящая через вершину конуса, пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра основания под углом β. Плоскость сечения образует с высотой конуса угол ϕ. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.

195

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Вычислите интеграл

2

∫ | x + 1| dx .

−2

4.2.м На гиперболе

y = 1x , x > 0, задана точку

M ( x0 ; y0 ) такаю, что

x 0 = 1 y 0 . Найдите площадь треугольника, образованного касательной 9 к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение:

cos πx = x 2 + 8 x + 17 .

2

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 12 см, CD = 20 см.

196

Вариант 98 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение 1

b3 6 b b .

2.2. Чему равно значение выражения

(

)

− 4 x +1

в точке

3 tg 7α ctg 7α − 2 cos π + α , если 2

sin α = 0,25 ?

2.3. Найдите значение выражения

3lg 4 + lg 0,5 . lg 9 − lg18

2.4. Вычислите значение производной функции x0 = 1 .

2.5. Вычислите интеграл

f ( x) = e3 x

2

π 2

∫ ( 3sin 3x − 12 cos 2x ) dx .

0

2.6. Найдите область определения функции f ( x= ) log 3 (9 − x 2 ) + 1 . x +1 2.7. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 21 см, а другой катет на 7 см меньше гипотенузы. Найдите площадь треугольника.

2.8. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен R, а угол между образующей конуса и плоскостью основания равен β. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

( )

3.1. Решите неравенство 1 7

2 x −1

( )

−8 1 7

x

+1 ≤ 0 .

3.2. Решите уравнение sin 2 x + sin 8x = 2 cos 3x .

3.3. Биссектриса угла прямоугольника делит диагональ на отрезки длиной 30 см и 40 см. На отрезки какой длины делит эта биссектриса сторону прямоугольника?

197

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

2

4.1.м Решите уравнение 23− x = x 2 + 8 .

4.2.м Найдите множество значений функции f ( x= ) cos x − − sin 2 3x .

4.3.м Решите неравенство:

2 + 3 log x +1 3 ≥ log 3 ( x + 1) .

4.4.м Продолжения высот остроугольного треугольника ABC, проведенных к сторонам BC, AC и AB, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника A1B1C1 совпадает с ортоцентром треугольника ABC.

198

Вариант 99 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

(

)

2.1. Чему равно значение выражения arcsin cos 2π ?

3

)

(

2 2.2. Упростите выражение c + 14c + 49 : 13 − c + 6 . c+6 c+6 2 2.3. Найдите производную функции f ( x) = x . x+2

2.4. Найдите область определения функции f ( x) = 3x − x .

3 −1 2

2.5. Вычислите интеграл

∫ (3x

2

− 6 x − 1) dx .

1

2.6. Решите уравнение: log 3 ( x − 3) + log 3 ( x − 1) = 1 .

2.7. В равнобедренном треугольнике MKE (MK = KE) биссектриса угла E пересекает сторону MK в точке C. Найдите углы треугольника MKE, если ∠KCE = 126°.

2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 90π см2, а его образующая больше радиуса основания на 8 см. Найдите объем конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Решите уравнение 3 x 2 − 4 x + 20 + 4 x = x 2 + 10 .

3.2. Докажите тождество:

(

)

(

)

sin 2 π − 2α − sin 2 π + 2α =− sin 4α .

4 4

3.3. Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани CSB и ASD наклонены к плоскости основания под углом β, а грань CSD — под углом ϕ. Найдите объем пирамиды, если AB = 2a.

199

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения параметра a: ⎧⎪sin x cos y = a , ⎨ ⎪⎩sin y cos x = 1.

4.2.м Решите неравенство:

(

)

log 2 9 − 2 x ≥ 3log3 (3− x) .

4.3.м При каких значениях a и b прямая = y 7 x − 3 касается параболы y = ax 2 + bx + 1 в точке B (1; 4)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если ∠BOA = 60°, а высота трапеции равна h.

200

Вариант 100 Часть вторая Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.

5

2.1. Чему равно значение выражения 2712 ⋅ 9 2.2. Упростите выражение

−5 8

3

⋅ 814 ?

cos α + 1 + sin α .

1 + sin α cos α

2.3. Решите неравенство 8 x − 8 x− 2 ≤ 126 .

2.4. Решите уравнение

x + 24 x = 8 .

2.5. Найдите значение производной функции f ( x) = 4 x − 3 в точке x0 = 3 . x−2 2.6. Найдите область определения функции f ( x) =

4

18 + 3x − x 2 − 5 . x−4

2.7. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) катет AC равен 5 см, а медиана AM — 13 см. Найдите гипотенузу AB. 2.8. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна b. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 120°. Угол между образующими в полученном сечении равен 90°. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

3.1. Докажите тождество sin 2 α + sin 2 β + cos(α + β) cos(α − β) =1 .

3.2. Решите уравнение:

lg (lg x ) + lg (lg x 3 − 2) = 0.

3.3. Основания трапеции равны 2 см и 7 см, а ее диагонали — 10 см и 17 см. Найдите площадь трапеции.

201

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите неравенство: − x 2 + 6 x − 5 log 3 ( x − 2) ≤ 0 .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 cos2 x − 3 cos x = 0?

4.3.м Решите систему уравнений: ⎧lg x − lg y = y − x, ⎨ 2 2 ⎩ x − xy + y = 9.

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и одной из вневписанных окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

202

Бланк ответов государственной итоговой аттестации по математике ученика / ученицы 11 ______ класса

____________________________________________________________ название учебного заведения

____________________________________________________________ фамилия, имя, отчество ученика (ученицы)

Вариант № ______

Внимание! Отмечайте только один вариант ответа в строке вариантов ответов к каждому заданию. Любые исправления в бланке недопустимы. Если Вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ можно указать в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка ответов.

В заданиях 1.1–1.16 правильный ответ обозначайте только так:

1.1 1.2 1.3 1.4

А Б В Г

1.5 1.6 1.7 1.8

А Б В Г

1.9 1.10 1.11 1.12

А Б В Г

1.13 1.14 1.15 1.16

А Б В Г

В заданиях 2.1–2.8 впишите ответ.

2.1. _______________________

2.5. ______________________

2.2. _______________________

2.6. ______________________

2.3. _______________________

2.7. ______________________

2.4. _______________________

2.8. ______________________

Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенных клеточках, а правильный, по Вашему мнению, ответ — в соответствующем месте.

Задания 1.1 – 1.16 номер задания

1.

1.

1.

1.

А Б В Г

Задания 2.1 – 2.8 номер задания

2.

________________________________

2.

________________________________

2.

________________________________

2.

________________________________