El nombre real Editorial Barcanova

BLOC

I AR I T M È T I C A I ÀL G E B R A L

’ordre i la regularitat de les seves estructures, la potència i la precisió dels seus mecanismes fan que en tota excursió pel camp numèric trobem bellesa i eficàcia.

1 EL

NOMBRE REAL

REFLEXIONA

ET CONVÉ RECORDAR COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL EXACTE EN FORMA DE FRACCIÓ

ENTERS Z

?

NATURALS N (enters positius)

— ; √81 0 ; 4 ; 24 6

ENTERS NEGATIUS

–24 ; 3√–8 –11 ; — 4

RACIONALS Q

27,8025 =

3 ; 7,31 ; — –5 …

0,31 ; — 4 9

FRACCIONARIS (racionals no enters)

Per obtenir una fracció equivalent a un nombre decimal exacte, només cal interpretar correctament la part decimal. Per exemple: 278 025 11 121 = 10 000 400

El denominador de la fracció irreductible corresponent només té els factors 2 i 5 (400 = 24 · 52).

Troba la fracció irreductible equivalent als nombres decimals següents i descompon els seus denominadors en factors primers. a) 6,388 b) 0,00875

NO RACIONALS

3

√2 ; –√3 ; √5 ; π …

Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimals exactes.

2 a) 3741 b) 3147 c) 2 · 23 · 5 · 37 · 91 d) 57 330 2 ·3·5 ·7 100 000 1250 10 500

COM PODEM EXPRESSAR UN DECIMAL PERIÒDIC EN FORMA DE FRACCIÓ En calcular la fracció generatriu d’un decimal periòdic s’obtenen, multiplicant-lo per potències de 10, dos decimals amb un període idèntic. La diferència que hi ha és un nombre enter.

El denominador de la fracció irreductible equivalent a un decimal periòdic té algun factor diferent de 2 o 5.

Exemple 1r: A dalt hi ha l’esquema que engloba tots els nombres, racionals i no racionals. En aquesta unitat els estudiarem detalladament. Comença classificant alguns nombres seguint l’esquema anterior.

) N = 7,31 100 N = 731,3131…

N=

La llista següent consta de tots els nombres escrits a la pissarra i d’alguns més: 0; 4; –11; 0,31; 12 ;

3 ; 4

7 3 24 ; 15 ; ; 4 6

) 3 – 24 5 ; – 13 ; 1– 8 ; 181 ; 7,31; π; – 4 9

Classifica’ls en una graella com la següent en el teu quadern. Has de tenir en compte que un mateix nombre es pot incloure en més d’un conjunt.

NATURALS

ENTERS

(N)

(Z)

RACIONALS

(Q)

NO RACIONALS

Exemple 2n:

7,3131…

}

100 N – N = 731 – 7 → N =

724 99

) N = 5,3724

10 000 N = 53 724,724724…

10 N =

53,724724…

53 724 – 53 53 671 = 10 000 – 10 9990 ) )

N=

Troba la fracció generatriu de: a) 0,051

b) 1,23456

)

c) 7,456

Explica per què les fraccions següents són equivalents a nombres decimals periòdics.

2 a) 3 b) 37 c) 2 · 3 · 52 · 11 2 · 3 · 5 · 19 7 2·5·7

1

1

l

NOMBRES IRRACIONALS

d =Φ l

d

RECORDA

El resultat de sumar, restar, multiplicar o dividir nombres racionals és, també, un nombre racional.

Els nombres racionals són els que es poden escriure com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és exacta o periòdica.

Els nombres irracionals són els no racionals, és a dir, els que no poden obtenir-se com a quocient de dos nombres enters. La seva expressió decimal és infinita no periòdica. N’és un exemple el nombre p = 3,14159265359…

DUES CONSTRUCCIONS DEL NOMBRE F

Hi ha infinits nombres irracionals, alguns dels quals són especialment interessants. Vegem-ne alguns.

1 — 2

– L A D I A G O N A L D E L Q U A D R AT: E L N O M B R E 1 2 – 12

1

1

TINGUES EN COMPTE

En la descomposició en factors primers d’un quadrat perfecte, cada nombre primer hi és un nombre parell de vegades. Per exemple: N = 22 · 3 · 53 N 2 = (22 · 3 · 53)2 = 24 · 32 · 56 Tots els exponents de N 2 són parells.

FES-HO TU

anterior Repeteix el raonament – per provar que 13 és irracional.

FES-HO TU

Segueix el raonament que hem fet servir–a la dreta i demostra que 31 7 + 15 és irracional.

12

1

_ 1 —5 2

El teorema de Pitàgores ens proporciona el – valor de – – la diagonal d’un qua2 2 drat el costat del qual mesura 1: d = 11 + 1 = 1 2 – Demostrarem, ara, que 1 2 és irracional, és a dir, que no es pot escriure com a quocient de dos nombres enters. Ho farem per reducció a l’absurd, que consisteix a suposar que sí i veure que s’arriba a un absurd.

– — Suposem que 1 2 és racional.

— En aquest cas, es podria escriure com a quocient de dos nombres en– ters: 1 2 = a b 2 — Elevem al quadrat els dos membres: 2 = a 2 → a 2 = 2b2 b Com que b2 és un quadrat perfecte, conté el factor 2 un nombre parell de vegades. Per tant, 2b2 té el factor 2 un nombre senar de vegades, la qual cosa és impossible ja que 2b2 = a2 és un altre quadrat perfecte.

– D’aquesta manera completem el raonament següent: «Si suposem que 12 és racional, arribem a l’absurd.»

– I així hem demostrat, per reducció a l’absurd, que 1 2 no és racional.

A LT R E S I R R A C I O N A L S E X P R E S S AT S M I T J A N Ç A N T RADICALS

– – D’acord amb el que hem vist per a 12, si p no és un quadrat perfecte, 1p n– és irracional. I, en general, si p no és un potència n-èsima exacta, 1p és un nombre irracional.

– 3– 5– – Per exemple, 15, 19 i 1 10 són nombres irracionals. També ho són 15 + 3, 3– 5– 1 9 : 7 i 4 – 1 10.

5– 5– Provem que si 1 10 és irracional, aleshores també ho és 4 – 1 10: 5– 5– — Anomenem N = 4 – 1 10 → 1 10 = 4 – N. 5– — Si N fos racional, 4 – N també ho seria. És a dir, 1 10 ho seria, la qual cosa és falsa.

1 — 2

1 1 — 2

15 + 1 2

La–diagonal d’un pentàgon el costat del qual és igual a la unitat és el nombre (1 5 + 1): 2 que, evidentment, és irracional. A més, és, històricament, el primer nombre del qual es va tenir consciència que ho era.

Al segle V aC els grecs pitagòrics van descobrir amb sorpresa (i gairebé amb espant) que la diagonal del pentàgon i el seu costat no mantenien una proporció exacta. Fins aleshores es deia que tot l’Univers es regia pels nombres naturals i les proporcions entre aquests (fraccions), però en descobrir que no era així els va semblar que el caos treia el nas al seu món. Per això van anomenar irracional (contrària a la raó) aquesta relació entre la diagonal i el costat del pentàgon regular.

Més endavant, els mateixos grecs van considerar que la proporció F:1 era especialment harmoniosa, per la qual cosa la van anomenar proporció àuria i van batejar F amb el nom de nombre auri.

El nombre F (fi, lletra F en grec) és la inicial de Fídies, escultor grec que va utilitzar reiteradament aquesta proporció.

EL NOMBRE p

L

L =π 2r

2r

EL NOMBRE D’OR: F =

– – A diferència de 1 2, 1 5, F i altres nombres irracionals, el nombre p no es pot representar de forma exacta.

Com ja sabem, p és la relació entre la longitud d’una circumferència i el seu diàmetre. Aquest nombre el coneixes i l’utilitzes des de fa molts anys.

Concretament, has fet servir aquestes aproximacions del nombre p: 3,14 (arrodonida per defecte) o 3,1416 (arrodonida per excés).

Una calculadora et donarà el valor de p (p sol compartir tecla amb EXP), amb moltes xifres {«Ÿ‘¢‘∞£“\∞«∞£}. Es tracta d’un nombre irracional i, per tant, té infinites xifres decimals no periòdiques. p és la lletra grega corresponent a la P. Per què aquest nom? La paraula grega perifereia significa ‘circumferència’ (la perifèria del cercle).

A C T I V I TAT S 1.1 Justifica que aquestes construccions donen un segment la mida del qual és igual al nombre d’or, – – 15 + 1 15 1 F= = + .

2 2 2

1

1.2 Volem – demostrar que F és irracional.– Sabem que 15 ho és (per la mateixa raó que 12). Observa que: – – – 15 + 1 F= → 2F = 15 + 1 → 15 = 2F – 1 2 – A partir de la igualtat 15 = 2F – 1, què deduiríem si F fos racional?

1

13

1

2

R E P R E S E N TA C I Ó D E N O M B R E S S O B R E L A R E C TA R E A L

ELS NOMBRES REALS

Com hem vist en pàgines anteriors: El conjunt format pels nombres racionals i els irracionals s’anomena conjunt de nombres reals i es designa per Á. Així doncs, l’esquema de la primera pàgina de la unitat es pot ampliar i completar de la manera següent: –    Naturals N → 0; 4; 24 ; 1121  6  Enters Z   27 ; 13 –  Racionals Q Enters negatius → –11; – –8   3  Reals Á  ) Fraccionaris → 5,84; 7 ; 5,83; – 3   4 10  – – – –  No racionals → 12; 13; F; p; – 15 + 2; 2 + 13 5  Amb els nombres reals podem fer les mateixes operacions que amb els nombres racionals: suma, resta, multiplicació i divisió (excepte amb el zero), i es mantenen les mateixes propietats.

— Els nombres racionals es poden representar mitjançant una expressió decimal finita o periòdica.

— Els nombres irracionals s’expressen mitjançant infinites xifres decimals no periòdiques.

 

També podem extreure arrels de qualsevol índex (excepte arrels d’índex parell de nombres negatius) i el resultat continua sent un nombre real.

Això no passava amb els nombres racionals.

Tot nombre real pot situar-se en la recta real, depenent de com sigui el nombre: • Enter o decimal exacte. Per exemple, 3,47: –1

Els nombres racionals, com ja sabem, se situen en la recta de manera densa, és a dir, de manera que en cada tram, per petit que sigui, n’hi ha infinits. No obstant això, i encara que sembli estrany, hi ha infinits forats entre aquests nombres, que són ocupats pels nombres irracionals. Entre tots omplen la recta.

0

La recta real és completa, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real i a cada nombre real, un punt de la recta.

00 0

2

3

4

1100 10

nació d’aquests, es pot representar mitjançant la construcció de triangles rectangles, com hem vist anteriorment.

10 33 10 3 10

00 0

• Si un nombre irracional és radical quadràtic ( 12 , 110 …) o una combi-

1

0

11 1

22 2

1,7 1,7 1,7 1,73 1,732 1,73 1,732 1,73 1,732

3,5

nera, se situa fàcilment en la recta. ) Per exemple: 0,83333… = 0,83 = 5 6

11

00

3,47

• Decimal periòdic. Pot expressar-se en forma de fracció i, d’aquesta ma-

1

Si en una recta situem un origen (el zero, 0) i marquem la longitud unitat, a cada punt li correspon un nombre racional o un nombre irracional, és a dir, a cada punt de la recta li correspon un nombre real. Per això la recta numèrica rep el nom de recta real.

1

3,4 55 — — 5 66 11 — 6 1

L A R E C TA R E A L

Entre cada dos nombres racionals hi ha altres infinits nombres racionals.

0

1,8 1,8 1,8 1,74 1,74 1,74

• Si un nombre irracional ve donat per la seva expressió decimal, podem

representar-lo de manera aproximada mitjançant el procés que descrivim a l’esquerra per representar 13 = 1,732…

El nombre 13 està situat en el segment vermell, que és una centèsima part de l’interval 1,7 – 1,8. En la recta inicial seria més fi que la punta d’una agulla, però encara podríem seguir afinant més, tant com volguéssim.

Observa com es representen en la recta alguns nombres racionals i irracionals: 14 4 — =2 +— 5 5

0

1

Els nombres reals poden ser expressats en la recta real, segons els casos, de manera exacta o bé amb tanta aproximació com vulguem.

2

4 3 2+— 5

0

1

2

3 2

5

3

10

4

A C T I V I TAT S

A C T I V I TAT S 1.3 Representa

14

5 , – 5 i 26 .

7 7 7

– – – 1.4 Justifica la construcció de 1 2, 1 3 i 1 10. Re– – presenta 1 11 i 1 17 (Observa que 17 = 42 + 12).

1.5 Representa en la recta real aquests nombres: a) De manera exacta: –2; 3,75; 15 ; 0,666…

– 1 + 1 5 i de manera b) Φ de manera exacta 2 aproximada (1,618…).

(

)

15

1

3

I N T E R VA L S I S E M I R E C T E S

Per designar alguns trams de la recta real, hi ha una nomenclatura que hem de conèixer.

(–`, a) = {x / x < a} a

(–`, a] = {x / x < a} a

I N T E R VA L O B E RT I N T E R VA L O B E RT

(a, b) = {x / a < x < b}

L’interval obert (a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, sense incloure-hi ni a ni b: {x / a < x < b}. Es representa així: a

a

SEMIRECTES

SEMIRECTES

(a, +`) = {x / x > a} a

[a, +`) = {x / x > a}

b

b

a

Per exemple, l’interval (–2, 1) és el conjunt de tots els nombres compresos entre –2 i 1, sense incloure-hi ni el –2 ni l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva representació és aquesta: –2

(–`, a) són els nombres més petits que a: {x / x < a}.

(–`, a] són els nombres més petits que a i el mateix a: {x / x < a}. (a, +`) són els nombres més grans que a: {x / x > a}. [a, +`) són els nombres més grans que a i el mateix a: {x / x > a}.

Les seves representacions són aquestes: a (– `, a)

a (– `, a]

a (a, +`)

a [a, +`)

Per exemple: (–`, 2) és el conjunt dels nombres més petits que 2, sense incloure-hi el 2: {x / x < 2} →

2

[2, +`) és el conjunt dels nombres més grans que 2, incloent-hi el 2:

1

{x / x > 2} →

2

I N T E R VA L TA N C AT I N T E R VA L TA N C AT

[a, b] = {x / a < x < b}

a a

b

Per exemple, l’interval [–2, 1] és el conjunt de tots els nombres compresos entre –2 i 1, incloent-hi el –2 i l’1: {x / –2 < x < 1}. La seva representació és aquesta: –2

1

I N T E R VA L S E M I O B E RT

(a, b] = {x / a < x < b}

L’interval (a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi b, però no pas a: {x / a < x < b}. Es representa així: a

a

b

[a, b) = {x / a < x < b} a

b

b

L’interval [a, b) és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi a, però no pas b: {x / a < x < b}. Es representa així: a

b

Per exemple, l’interval (3, 4] és el conjunt de tots els nombres compresos entre 3 i 4, incloent-hi el 4, però no pas el 3: {x / 3 < x < 4}. La seva representació és aquesta: 3

4

L’interval [3, 4) és el conjunt de tots els nombres compresos entre 3 i 4, incloent-hi el 3, però no pas el 4: {x / 3 < x < 4}. La seva representació és aquesta: 3 16

4

La mateixa recta real es representa en forma d’interval així: Á = (–`, +`).

A C T I V I TAT S

b

I N T E R VA L S E M I O B E RT

R E C TA R E A L

L’interval tancat [a, b] és el conjunt de tots els nombres compresos entre a i b, incloent-hi aquests: {x / a < x < b}. Es representa així:

1.6 Escriu en forma d’interval i representa els nombres que compleixen les condicions indicades en cada cas. a) Compresos entre 5 i 6, incloent-los tots dos. b) Més grans que 7. c) Més petits o iguals que –5.

1.7 Escriu en forma d’interval i representa. a) {x / 3 < x < 5} b) {x / x > 0} c) {x / –3 < x < 1} d) {x / x < 8} 1.8 Escriu en forma de desigualtat i representa. a) (–1, 4) b) [0, 6] c) (–`, –4) d) [9, +`)

E X E R C I C I R E S O LT

1. Expressem en forma d’interval i representem: a) 2 < x < 3, b) x < 1, c) x > 0 a) Interval semiobert (2, 3]

2

b) Semirecta (–`, 1]

3 1

c) Semirecta (0, +`)

0

2. Expressem en forma de desigualtat i representem: a) [–2, 0], b) [–1, +`], c) (0, 1) a) {x / –2 < x < 0}

–2

0

b) {x / x > –1} c) {x / 0 < x < 1}

–1 –2

0

1

3. Per a quins valors de x són vàlides les expressions següents? a) 1x – 3 , b) 1(x + 2) (x – 3) a) 1x – 3 es pot calcular sempre que x valgui 3 o més: semirecta [3, +`).

3

b) L’arrel quadrada es pot calcular quan el radicand és zero o positiu.

I això passa quan un dels factors és zero, quan tots dos són negatius o quan tots dos són positius. És a dir, si x < –2 o si x > 3.

(–`, –2] < [3, +`]

–3 –2 –1

0

1

2

3

4

5 17

1

4 Recorda:

POTÈNCIES I ARRELS SENZILLES:

x$h$ Totes les calculadores científiques tenen les tecles x i $. Moltes tenen també les tecles h i $, malgrat que aquestes acostumen a ser-hi com a segona funció (és a dir, fora de la tecla i, per tant, han de ser precedides per s).

n

S’anomena arrel n-èsima d’un nombre a, i s’escriu 1a , un nombre b que compleix la condició següent: n 1a = b si bn = a n 1a s’anomena radical; a, radicand, i n, índex de l’arrel.

C À L C U L M E N TA L

1. Digues el valor de k en cada cas.

3

a) 1k = 2 4

c) 1k =

Quan facis servir expressions com aquesta, de vegades hauràs de calcularne el valor numèric, per a la qual cosa hauràs de tenir en compte la definició, com en el cas de les que es proposen al marge, o bé hauràs de recórrer a la calculadora. Altres vegades, però, hauràs de mantenir el radical, simplificar-lo, operar amb altres radicals, etc. En el pròxim apartat ens dedicarem a això.

k

b) 1–243 = –3

2 3

k

d) 11024 = 2

2. Calcula les arrels següents.

3

b) 132

5

5

d) 10

4

f ) 1125

a) 1–8

8

c) 1–32

2472 → 247 x{∫∫\‘…≠≠£} x 4,83 → 4,8 h{∫‘‘≠…∞£“} 3

Hi ha calculadores antigues que ho fan al revés: — 1 247 → 247 ${‘∞Ÿ|‘\“««\}

• Si a < 0, només existeixen les seves arrels d’índex senar.

• Tot i que 4 té dues arrels quadrades, amb 14 ens referim només a la positiva: 14 = 2. En general, un nombre positiu, a, té dues arrels quadrades: 1a i – 1a

ARRELS D’ÍNDEX QUALSEVOL:

1

‰ ( O B É h) 17,845 → 17,84 ‰ 5 ={‘°≠|≠\\Ÿ£|£°¢} 42,5 → 4 ‰ 2,5 ={∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫«“}

1

n

1

m an ,

n

ja que 1am = n

1 (am) n

=a

=

m an

(127 )2

$ en les calculadores de pantay

=

(133 )2 6

=

(33/6)2

=

36/6

=3

lla senzilla. $ en les calculadores de pantalla descriptiva.

En algunes calculadores la funció $ s’anomena ≈. n

164 = 126 = 26/3 = 22 = 4 3

3

M

y

1.9 Expressa en forma exponencial. a) 1x

b) (1x 2 )5

c) 1a 6

d)

–

e) 11x

18

n

M

$5 n

©

32 =

5— 1 32

2

Fins i tot hi ha calculadores amb la tecla $, i aleshores cal prémer aquestes tecles: 5— 1 32 → 32 $ 5 ={∫∫∫∫∫“} y

CÀLCUL D’ARRELS AMB LA TECLA DE POTÈNCIA

‰

5— 1 32 = 321/5 → 32 ‰ 5 Y={∫∫∫∫∫“} 5— a 1 323 = 323/5 → 32 ‰ 3 h 5 ={∫∫∫∫∫°} b/c

A C T I V I TAT S

3

$)

y

Per exemple: 6

BÉ

5 $2 ={∫∫∫∫∫“} M

1 m· n

x

x

— → 1 32 → 5

1a = a n , ja que (a n )n = a n = a

m an

$ (O

xn

Atenció, aquí l’ordre en què intervenen l’índex, el radicand i la tecla depèn molt de la calculadora. Per exemple:

Els radicals es poden expressar com a potències:

1am =

15

Si en la pantalla hi ha un nombre l’arrel quadrada del qual vols calcular, abans de prémer la tecla $ hauràs de prémer la tecla =.

POTÈNCIES D’ÍNDEX QUALSEVOL:

n

5

3

n

1a = a n 1am =

— 1 247 → $ 247 ={‘∞Ÿ|‘\“««\¢} 3— 1 4,8 → $ 4,8 ={‘Ÿ\°\°\∞««≠\}

Per exemple: {∞°…¢≠«} =$={“¢‘Ÿ\\|‘“\¢«\}

FORMA EXPONENCIAL DELS RADICALS

n

3

Per exemple:

• Si a > 0, 1a existeix, sigui n el nombre que sigui.

AT E N C I Ó n

x3

3

x3

A L G U N E S P E C U L I A R I TAT S D E L E S A R R E L S

3

e) 181

POTÈNCIES I ARRELS AMB CALCULADORA

5

ARRELS I RADICALS

1.10 Calcula: a) 41/2 d) 82/3

3

1

a 13 a6

n m—

f ) 1 1a k

b) 1251/3

c) 6251/4

e) 645/6

1.11 Expressa en forma radical. a) x 7/9

b) (m 5 · n 5)1/3

c) a 1/2 · b 1/3

d) [(x 2)1/3] 1/5

A C T I V I TAT S Fes aquestes operacions amb la calculadora: 3— — 1.12 a) 1 54 b) 3272 c) 1 8,53 5— 6— 4— 1.13 a) 1 8,24 b) 1586 c) 1 79,46 5— 4— 3 — 1.14 a) 1372 b) 12,15 c) 1 0,0082

1.15 Calcula les arrels de l’activitat 1.13 amb la tecla ‰ (per exemple, 8,24 ‰ 5 Y =).

1.16 Calcula les arrels de l’activitat 1.14 amb la tea 5 =). cla ‰ (per exemple, 37 ‰ 2 h b/c

19

1

6

P R O P I E TAT S D E L S R A D I C A L S

POTÈNCIA D’UN RADICAL

P R O P I E TAT 4 p

(1a ) = 1a p , ja que: (1a )p = (a 1/n) p = a p/n = 1a p n

n

n

Els radicals tenen una sèrie de propietats que cal conèixer i utilitzar amb soltesa. Totes són conseqüències immediates de propietats ben conegudes de les potències.

SIMPLIFICAR RADICALS

P R O P I E TAT 1 np

n

1a p = 1a , ja que: np

1a p = a p/np = a1/n = 1a

4

( 123 )4 = 1212 = 26 = 64 ( 12 )3 = 123 = 18 5

4

19 = 132 = 3 2/4 = 31/2 = 13

m n

1 1a = 1a , ja que:

Per exemple:

m·n

m n

1 1a =

(a 1/n)1/m

=

3

a1/m·n

112 115

m·n

= 1a

4

Només es poden sumar els radicals idèntics.

Dos radicals diferents no poden sumar-se si no és a partir de les seves expressions decimals aproximades. Només poden sumar-se radicals idèntics.

Per exemple:

3

Per exemple, per comparar 1586 amb 170 , cal fer aquestes operacions: 1586 =

5861/3

=

5862/6

=

15862

6

= 1343 396

6

170 = 701/2 = 703/6 = 1703 = 1343 000

}

13 + 12 3

17 + 17

→ 1586 > 170 3

n

n

n

Per simplificar alguns radicals i per sumar-los i restar-los, de vegades caldrà treure factors fora d’una arrel. Vegem-ne alguns exemples:

1a · b = (a · = 1/n 1/n =a ·b = n n = 1a · 1b

1720 = 124 · 32 · 5 = 124 · 132 · 15 = 22 · 3 · 15 = 12 15

P R O P I E TAT 3

20

n

1/n = a1/n = 1a n b 1b

1/n

1.17 Simplifica:

1.20 Treu del radical els factors que sigui possible:

a) 1x 9

b) 1x 8

c) 1y10

Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).

d) 18

6

e) 164

9

f ) 181

3

6

6

6

12

5

3

3

9

6

1 6

3

c) 164

5

3 5 c) 1a b c 1ab3c3

b) 181a3b5c

5

8

1.18 Quin dels dos és més gran en cada cas?

4

3

a) 132x4

a) 131 i 113

1.21 Simplifica: a) 19 3 13 d) ( 1a2 )6 3

4

b) 116 12 e) ( 1x )3 · (1x ) 3

8

f ) ( 1112 )

6

13 · 12 = 133 · 122 = 133 · 22 = 1108 3

12

b) 151 i 1132 650

Per exemple:

4

A C T I V I TAT S

Per exemple: 115 · 120 = 115 · 20 = 1300

COL·LOCAR PRODUCTES I QUOCIENTS DE RADICALS S O TA U N A S O L A A R R E L

n

a = 1a , ja que: n b 1b

n

= 4 12 + 3 12 – 5 12 = 2 12 18 + 14 = 123 + 122 = 2 12 + 12 = 3 12 4

A J U N TA R D O S R A D I C A L S E N U N D E S O L

1 a 1 ab = ( b )

132 + 118 – 150 = 125 + 132 · 2 – 152 · 2 =

118 = 132 · 2 = 132 · 12 = 3 12

Hem aplicat la propietat 2 (vegeu el marge).

n

Hi ha casos en què la possibilitat de simplificar una suma de radicals queda amagada. Prèviament, haurem de treure els factors que puguem fora de les arrels o simplificar-les. Per exemple:

T R E U R E FA C T O R S F O R A D ’ U N A A R R E L

b)1/n

Només poden solucionar-se de manera aproximada o bé cal deixar-les indicades.

7 15 + 11 15 – 15 = 17 15

n

1a · b = 1a · 1b , ja que:

}

Sí que es pot simplificar l’expressió següent:

Hem tornat a aplicar la propietat 1 (vegeu el marge).

P R O P I E TAT 2

12

= 15

S U M A I R E S TA D E R A D I C A L S

RECORDA

Quan volem comparar dos radicals de diferent índex, no sempre és fàcil.

Si els expressem amb el mateix índex, és molt més senzill. En realitat, es tracta simplement de reduir-los a denominador comú.

6

3

6

= 12

Hem aplicat la propietat 5 (vegeu el marge).

REDUIR RADICALS A ÍNDEX COMÚ

6

5

ARRELS D’ARRELS

Hem aplicat la propietat 1 (vegeu el marge).

3

5

Hem aplicat la propietat 4 (vegeu el marge).

P R O P I E TAT 5

Si expressem els radicals en forma exponencial, veiem que, de vegades, es poden simplificar. Per exemple:

n

Per exemple:

n

6 116 = 1162 = 28 = 12 3 = 12 6 6 5 2 132 132 Hem aplicat les propietats 1, 2 i 3 (vegeu el marge).

1.22 Fes aquestes operacions:

1.19 Redueix: 3

5

a) 13 · 12

3

6

b) 16 · 13

10

c) 1a 4 b6

a) 118 + 150 – 12 – 18 b) 112 + 175 – 127 21

1 RACIONALITZACIÓ DE DENOMINADORS

O B S E R VA

— 1 2 = 1,14142... És més difícil fer la primera operació que la segona: 1,00000000 1,4142 0100600 0,7071...

016060 01918 1,4142 2 014 0,7071...

02 0 I el resultat és el mateix.

Antigament, quan no existien instruments de càlcul com els d’ara, calia esforçar-se a aconseguir mètodes per facilitar les operacions. Per exemple, 1 per calcular a mà , es pot fer directament (es poden calcular unes quan12 — tes xifres de 1 2 i després dividir 1 entre el resultat). Però els càlculs se simplifiquen extraordinàriament si es té en compte que: — — 1 = 1 · 12 = 12 — — — 2 12 12 · 12 Si fas l’operació de les dues maneres, veuràs que és molt més avantatjós suprimir el radical del denominador (vegeu-ne el marge).

RECORDEM EL QUE ÉS ESSENCIAL NOMBRES REALS Els nombres racionals, juntament amb els irracionals, omplen tota la recta numèrica.

NOMBRES RACIONALS

Es poden expressar com una fracció de nombres enters.

DECIMALS NO EXACTES

Per exemple:

La seva expressió requereix infinites xifres no periòdiques.

4 Per exemple: 1 3 , 1 5 , p, Φ.

Decimals exactes

El procés pel qual fem desaparèixer els radicals del denominador s’anomena racionalització de denominadors.

PRIMER CAS: ARRELS QUADRADES.

Decimals periòdics

APROXIMACIÓ DECIMAL A la pràctica, n’hi ha prou d’expressar, tant els nombres racionals com els irracionals, amb unes quantes xifres significatives.

— — 2 = 2 · 1 3 = 21 3 — — — 3 13 13 · 13

RADICALS n

Arrel n-èsima de a: 1 a = b si bn = a

SEGON CAS: ALTRES ARRELS.

Per exemple: 5— 5— 5— 1 73 = 1 73 1 = 1 73 = 5— 5— 5— 5— 7 1 72 1 72 · 1 73 1 75

TINGUES EN COMPTE

(a + b) · (a – b) = a2 – b 2 — — L’expressió 1 a – 1 b s’anome— — na conjugat de 1 a + 1 b.

— — I, al revés, 1 a + 1 b és el con— — jugat de 1 a – 1 b.

n

m

Notació exponencial: 1 am = a n

Per exemple: — — — — — — 15 + 13 1 1 · (1 5 + 1 3 ) 15 + 13 = = = — — — — — — — — 2 1 5 – 1 3 (1 5 – 1 3 ) · (1 5 + 1 3 ) (1 5 )2 – (1 3 )2 — — — — 2 = 2 · (3 – 1 2) 6 – 21 2 = 6 – 21 2 = 6 – 21 2 — — — = 2 —2 3 + 1 2 (3 + 1 2 ) · (3 – 1 2 ) 3 – (1 2 ) 9–2 7

Exemple: Exemple:

3

1 1 728 = 12, ja que 123 = 1 728 6

4

3

1 36 = 3 4 = 3 2 = 1 33

TERCER CAS: SUMES I RESTES D’ARRELS.

Propietats dels radicals np

n

1.23 Racionalitza els denominadors: — 5 1 a) 5— b) 1— c) 3— 12 17 12

n

1

a b

n

n

= 1n a 1b n

• ( 1 a )p = 1 ap

2 d) 5— 1 32

e) — 4 — 13 + 12

f)

3 — 2 – 13

n

• 1a · b = 1a · 1b n

A C T I V I TAT S

n

• 1 ap = 1 a

•

22

No es poden expressar com una fracció de nombres enters.

Nombres enters

Malgrat que amb les eines de càlcul senzilles i potents de què disposem actualment no cal, encara tendim a donar els resultats finals dels problemes mitjançant expressions numèriques que no tinguin radicals en el denominador.

En cada cas, ens farem aquesta pregunta: Per quina expressió he de multiplicar el denominador perquè el producte no tingui radicals? Un cop trobada l’expressió, també multiplicarem per aquesta el numerador perquè el resultat final no variï.

NOMBRES IRRACIONALS

– m·n • 1 1 a = 1a m n

Racionalització de denominadors Consisteix a eliminar les arrels del denominador.

Per exemple: 5 –– 5 –– 5 –– 1 1 122 122 122 • 5 = 5 · 5– = 5– = 18 123 122 125 2 – – – – 312 (13 + 12) 312 • – – = – – – – = (13 – 12) (13 + 12) 13 – 12 =

– – – – 312 · 13 + 312 · 12 3–2

= 3 16 + 6

23

1

E X E R C I C I S D E L A U N I TAT

PRACTICA Nombres reals

E X E R C I C I R E S O LT

1.29

Expressa en notació científica:

1.24

Potències i arrels

Inter vals

a) 1x 2

b) (1a 2 )3 c) 1a 5 · a 2

e) ( 1a )–3

f ) 1a 3

b) 75 · 10–4

c) 843 · 107

d) 458 · 10–7

Resolució

e) 0,03 · 106

f ) 0,0025 · 10–5

M = (–3, 4] és un interval semiobert que inclou el 4 i no inclou el –3.

1.26 Ordena de més petit a més gran. Utilitza l’aproximació decimal.

3 ) b) 12 ; 13 ; 13 a) 1,45; 1,4; 12 9 1.27 a) Observa el diagrama i completa en el teu quadern el quadre adjunt.

E D C B

C'

D'

π

.

17 –19 18 108 –— –458 5 B' 0,37

..

21 12

2

–3

2 0,1

A

2

7 – 6 — 3 14,2

1– 3 — 2

N ABB' 2, 17, Z A… Q Á

–3

0

1.30 Escriu simbòlicament i representa els intervals següents.

A = {x / –6 < x < 3} C = {x / 3 < x} E = {x / x > –2}

3

5

B = {x / –4 < x < 4} D = {x / 0 < x < 5} F = {x / 10 > x}

8

b) (a 2)1/3

e) (a 2/3)1/2

f ) a 2 · a1/2

( )

161/4 = (24)1/4 = 2 14 = 122 = 22/6 = 21/3

d) –5 < x < 5

e) –5 < x

f) 1 < x < 3

1 = 1 = 2–3 8 23

T = (2, +`)

I = (–5, 2]

6

6

c) Com s’anomenen els nombres de DEE’D’?

1.28 Classifica aquests nombres segons que pertanyin als conjunts N, Z, Q i Á.

3

–3/4

12

–2

π

1/3

24

3

1–1

2

2,48

–1

1–5

4

1.33 a) Representa les semirectes A = (–`, 2] i B = [–2, +`) en una mateixa recta. b) Quins són els nombres que pertanyen a totes dues semirectes? c) Expressa en forma d’interval la part comuna a A i B, (A > B).

1.34

7,23

a) (–`, –1] < [3, +`]

0

–4

b) (–`, 2] < (7, +`)

11/9

1–5

18

1 + 12

1

1,010203…

b) 13 – x

6

b) 1212

12

e) 1(x 2y 2)2

a) 153 d) 1a 4 · b 8

15

c) 1a 8

10

8

f ) 11x 5 · x 7

Extreu factors dels radicals següents.

a) 116x 6

b)

1 28x 75y

1 8ab

e)

1 25ac b

3

d)

3 4

5

4

2

—

c) ( 1 12 )10

3

2

f)

6

32a 1 45b

3 4

1.45 Redueix a índex comú i ordena de més petit a més gran.

4

5

6

3

4

6

b) 124 , 153 , 135

14

— 8 c) 13— 14

1 a2

f) a 1

3

— 8 d) 1 a2 a

3

e)

1

1 d) 2 5 1 12

5

a) 19,52 4

15–9

3

b) 1–173

1a

e)

283/4

(1 149 ) 4

c)

3 2

a) 2

b) 3

4

Soluciona amb la calculadora.

1.40

Introdueix dins de l’arrel i simplifica.

1.46

3

f ) 8–1/3

h) ( 10,0025 )–1 5

Expressa com a potència única.

3— — 4 7 125 a) 1 a4 b) 1 c) 13— a a 1 25 3— 3— 2 2 3 4 d) 1 12 12 e) 1 a— f ) 1 a2 · a 2 a1a a 1a

1

3

14 9 f) 2 3 14

2 3

c) 2

1

3

e) 1 112 2

Divideix i simplifica el resultat.

1.47

3

a) 112 13

b) 14 12

4

d) 41a 1ab

e)

4

c)

1 1 3 : 2

4

1 13 5 : 12

20

6

f ) 120 4 110

2 3

1.41

1.35 Per a quins valors de x són vàlides les expressions següents? a) 1x – 5

Simplifica els radicals següents.

3

b) 2 1

3

a) 13 13

g) 0,03–3/2

Representa en la recta real.

=

2–5/3

3

Expressa com a potència única.

1.39

d)

·

2–3

3

a) 12 , 13 , 14 , 15 , 16

3

b) Situa els nombres següents al lloc que correspongui en el diagrama i en el quadre. ) 3,28 ; 14 ; 18 ; – 19 7

2·

21/3

3

b) 1a 1a 2 1b 4 1b 2

c) 15a 110ab 18a 3b 1a

1.44

Expressem com a potència de base 2 cadascun dels nombres que van entre parèntesis i fem, després, l’operació.

6 (161/4 ) · (14 ) · 1 8 Resolució

c) x > 0

S = [–3, +`)

g) (3–2/5)10/3

E X E R C I C I R E S O LT

1.38

b) x < –3

R = [–7, 0]

d) (a1/5)–4

3

a) 12a 13a 16a

1.43

c) (x–1)5/4

a) 0 < x < 1

Q = [–2, 3]

5

h) 1a10

Expressa com una arrel.

1.37

1.31 Escriu en forma d’interval o semirecta i representa els nombres que compleixen la desigualtat indicada en cada cas.

P = (1; 2,5)

3 4—

4

Multiplica i simplifica el resultat.

1.42

d) 1 1x

g) (1a 2 )2

6

a) 151/2

4

1.32 Escriu en forma de desigualtat i representa els intervals següents.

E'

Expressa en forma exponencial.

1.36

Expressem en forma d’interval i representem el conjunt M = {x / –3 < x < 4}.

a) 32 · 105

1.25 Digues quins d’aquests nombres són irracionals.

– ) – 3 ; 1,73 ; 13 ; π; 19 ; 1 + 1 5 4 2

Radicals

c) 12x – 1

1

1.48 sultat.

Fes aquestes operacions i simplifica’n el re-

3

a) 14 · 12 6

4

c) 120 : 110

3

3

b) ( 12 · 13 ) : ( 12 · 13 ) 4

3

d) 127 · 118 25

1

E X E R C I C I S D E L A U N I TAT

E X E R C I C I R E S O LT

1.49

1.53 a) 2 12

Expressem com un sol radical.

5 1112 163 – 128 + 3 2 Resolució

1.54 a) 33 15

Descomponem en factors cada radicand: 163 = 13 2 · 7 = 3 17 1112 = 12 4 · 7 = 4 17

      

128 = 12 2 · 7 = 2 17

→

)

Suma.

1.50

a) 13 + 313 – 513 b) 2 18 + 4 172 – 7 118 4 3 c) 3 12 + 4 18 – 132 + 150 d) 5 112 + 127 – 8 175 + 148

3

a) 1320 + 180 – 1500 c)

1

7 + 64

1

3 32

d) 196 – 3

3

E X E R C I C I R E S O LT

Racionalitzem: a) 1 + 16 2 13 Resolució

– – b) 31 6–+ 21 2 31 3 + 2

a) Multipliquem numerador i denominador per 13 .

– – – – – – – 1 + 1 6 = (1 + 1 6) 1 3 = 1 3 + 1 18 = 1 3 + 31 2 – – – 2 13 2 13 13 2·3 6 b) De la mateixa manera multipliquem per 3 13 – 2.

– – – – – 31 6 + 21 2 = (3 1 6 + 21 2) (31 3 – 2) = – – – (31 3 + 2) (31 3 – 2) 31 3 + 2 – – – – 6 + 61 6 – 41 2 = 91 18 – 61– (31 3)2 – 22 Simplifiquem i comprovem que és igual a 12 .

26

PENSA I RESOL

1.61 Els costats iguals d’un triangle isòsceles mesuren el doble que la base, la longitud de la qual és 13 m. Calcula el perímetre del triangle, l’altura i l’àrea. Expressa el resultat en radicals.

a) La diagonal d’una cara. b) La diagonal del cub. c) El volum del cub.

Expressa els resultats en forma radical.

8

3

4

a) 122 · 12

4

c) 4 –18 – 13 · 12

6

b) 1a 3 · 1a 5

REFLEXIONA SOBRE LA TEORIA

3

6

5

) 1.66 ) Quants nombres racionals hi ha entre 0, 8 i 0, 9? Posa’n exemples i raona la teva resposta.

M

A

1 cm

Q

P

N

R

n

4=2 1

d4

dn

1.71 Doblega un full DIN A4 i forma un quadrat. Expressa la diagonal d’aquest quadrat en funció del costat petit, l. Comprova, amb un altre full igual, que el costat gran mesura el mateix que la diagonal del quadrat. Quina és la raó entre les dimensions del full DIN A4? l

d

l

d

Racionalitza i simplifica.

– – a) 2 –3 12 b) 31 6–+ 21 2 12 31 3 + 2 – – 1 c) 41 15–– 21–21 d) x + 1x 2 – 1 21 5 – 1 7

1.72

3

1.67 Escriu dos nombres racionals, un que sigui més gran que 12 i un altre que sigui més petit que 12 , que es diferenciïn en menys d’una mil·lèsima.

1.68 Justifica si, en cada cas, els dos radicals són iguals o diferents.

1.74 Per a quins valors de x es poden calcular les arrels següents?

6

8

6

12

a) 18 i 116

3

5

4

6

b) 127 i 132 d) 125 i 1125

S B

d3

Resol i simplifica.

– – – 2 – – 1 6 – 1 3 (1 a) – – (3 + 21 2) b) 5–+ 1) – 31 5 16 + 13 15 – 1 – – c) 1 – 1 3 – : 1 + 1 3 – 1 + 13 1 – 13

c) 19 i 116 C

1

d2

l

4

1–20 , 10,12 , 1–1 , 1241 , 1–16

1.58 Calcula l’àrea total i el volum d’aquest con mitjançant nombres irracionals.

1.60 Troba el perímetre dels triangles dibuixats. Expressa el resultat amb radicals.

1

d1

Quines d’aquestes arrels no existeixen?

1.57 Tallem un sector circular de 120º d’amplitud d’un cercle la circumferència del qual mesura 30p m. Calcula l’àrea del sector i dóna el seu valor en funció de p.

1.59 Calcula l’altura d’un tetraedre regular de 8 cm d’aresta. Expressa-la amb radicals.

1

3

APROFUNDEIX

Redueix a un sol radical.

1.63

2

1

1

1.65 Escriu un nombre racional i un d’irracional compresos entre els nombres donats. ) b) 71 i 64 a) 3,7 i 3,78 50 45 – – 3 4 c) 1 2 i 1 3 d) 12 i 13

5 cm

Calcula el valor de la diagonal en cada cas.

1.70

En un cub de 13 cm d’aresta, calcula:

1.62

1.64

cm 10

1.52

5

1 f ) 135 – 5 1 8 18 5

e) 1150 + 154 – 124

Racionalitza i simplifica.

2 a) b) 14 – c) 23 – – 1 + 12 3 – 12 5 – 12 – – – 3 11 1 3 + 21 2 d) 1 + 1– e) f ) – – – 1 3 – 21 2 1 – 13 2 15 + 3 – – – 10 12 15 – 13 g) h) i) – – – – – 213 – 12 212 + 3 15 + 13

3

b) 154 – 12

7 4

d) –13 – 12 + 13

1.56 Troba el valor exacte de l’àrea total i del volum d’un cilindre de 5 cm de radi i 12 cm d’altura. (Expressa’l en funció de p).

Resol.

1.51

Racionalitza. b) 8 1 c) 8 5 1a 15 – 1

d) 3 115

1.55

5 4 3 17 – · 2 17 + 417 = 3 – 5 + 17 = – 2 17 3 2 3 3

(

Racionalitza i simplifica. b) 4 c) 6 16 112

1.69 Explica un procediment per construir un segment que mesuri exactament 17 cm.

1.73

( (

a) 1x – 2

)

)(

b) 1–x

)

c) 18 – x

d) 1x 2 + 1

1.75 Si saps que a > 1, com ordenaries els nombres següents de més petit a més gran? a, 1 , – 1 , 1 , – 1 a a a+1 a+1 27

1

JOCS PER PENSAR

P R O B L E M E S D ’ E S T R AT È G I A

Es diu que un rectangle és auri quan els seus costats tenen la proporció divina o àuria. És a dir, que si agafem el costat menor com a unitat, la mida del cos– tat gran és el nombre d’or, Φ = (1 + 1 5)/2 = 1,618...

1

Φ

    

Φ

Radis i Fibonacci

Φ

1+Φ

Escriu la sèrie ordenada dels radis de l’espiral que has vist en la pàgina anterior.

1

R1 = Φ R2 = Φ + 1

Aquests rectangles tenen una propietat ben curiosa: si recolzem un quadrat sobre el costat llarg del rectangle auri, obtenim un altre rectangle auri.

R3 = 2Φ + 1

1+Φ 1 = + 1 = –2 + 1 = ............... = Φ Φ Φ 15 + 1

R5 = 5Φ + 3

Comprova-ho:

R4 = 3Φ + 2

    

Rectangles auris

Continua la sèrie amb alguns termes més.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Trobes cap relació entre aquesta sèrie i la successió de Fibonacci?

Espiral i natura Si continuem recolzant quadrats –cada cop més grans– en la construcció de l’apartat anterior, obtindrem una successió de rectangles auris sobre els quals es pot dibuixar una espiral formada per arcs de circumferència.

    

3Φ + 2

2Φ + 1 1 Φ

Φ

Leonardo de Pisa (1170-1250), també anomenat Fibonacci (‘fill d’home bo’). El seu pare va ser comerciant i cònsul de Pisa a la ciutat de Bugia, a l’actual Algèria. Això li va permetre aprendre les matemàtiques dels àrabs, especialment el sistema de numeració decimal, el qual va contribuir a introduir a Europa. Se l’associa a la famosa sèrie:

en què cada terme s’obté de la suma dels dos anteriors.

Aquesta sèrie té una gran relació amb el nombre auri, Φ.

Cases amb parcel·la

De lògica

Divideix la finca de manera que a cada casa li correspongui una parcel·la de la mateixa forma i mida.

Aquí pots veure una sèrie de tres objectes ordenats seguint un cert criteri:

1+Φ

Es tracta d’una espiral molt coneguda en matemàtiques (espiral equiangular o espiral geomètrica). Però el més sorprenent és que existeix de manera espontània i natural en nombroses espècies vegetals i animals (flors, fruits, closques de mol·lusc, etc.)

Calcula el radi dels tres arcs que segueix l’espiral del dibuix.

Quin dels objectes de sota continua la sèrie, seguint aquest mateix criteri?

Dins del quadrat

Racionals i irracionals en el cub En un cub d’aresta 1, la diagonal d’una cara,

Calcula l’àrea de la zona acolorida.

k = 112 + 12 = 12

k d

1

i la diagonal del cub, – d = 1 1 2 + (1 2) 2 = 1 3

A

B

Ordena de menor a major

són nombres irracionals.

Va d ’ e s p e l m e s D’aquestes dues espelmes, la més estreta mesura 14 cm i es consumirà del tot en 3 hores i mitja. L’altra tardarà 5 hores a consumir-se.

12 cm m

Esbrina si són racionals o irracionals les distàncies m i n indicades en la figura.

28

2 900 1 n

D

0

7300

8 99

C

1 67 5

2 5 150

3212

0

Si les deixem cremar, després de dues hores tindran la mateixa alçària. Quina alçària té ara l’espelma més ampla?

29