Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques

14

Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques

En aquesta Unitat aprendràs a: • Treballar amb la funció exponencial.

• Treballar amb logaritmes.

• Resoldre equacions exponencials i logarítmiques.

• Conèixer les característiques fonamentals de les funcions exponencials i logarítmiques.

• Aplicar aquestes funcions a situacions reals com l’interès compost i el decreixement radioactiu, entre d’altres.

• Manejar la calculadora per a calcular exponencials i logaritmes.

• Conèixer les característiques fonamentals de les funcions trigonomètriques i a interpretar alguns fenòmens periòdics.

• Representar funcions trigonomètriques senzilles.

Bach_CT_U14_VAL.indd 273

19/5/08 14:04:58

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.1 La funció exponencial

14.1 La funció exponencial En la funció exponencial, la variable independent figura en l’exponent d’una potència. La seva f (x)5a x , on a . 0 i a ? 1. expressió més simple és Les seves característiques fonamentals són: • El seu valor sempre és positiu. Això és: f (x)5a x > 0 , per a tot x.

• Si la base a . 1, la funció sempre és creixent.

• Si la base 0 , a , 1, la funció sempre és decreixent.

• L’eix OX, la recta y 5 0, és una asímptota horitzontal de la funció; cap a 2` si a . 1, o cap a 1 ` si 0 , a , 1.

En les següents figures es mostren algunes gràfiques de funcions exponencials. f (x)=ex f (x)=2x x

f (x)522 és sempre decreixent i sempre negativa, perquè és l’oposada de f (x)52 x .

5 f (x)=(1/e)x=e-x

4

f (x)=(0,5)x=2-x 3

3 2

2

f (x)=1,5x

f (x)=0,6x

1 -3 -2 -1

1 1

2

3

-3 -2 -1

-1

1

2

3

-1

Les funcions f (x)52 x i f (x)51,5 x són creixents.

Les funcions f (x)50,5 x 522 x i f (x)50,6 x són decreixents

Fig. 14.1.

Fig. 14.2.

La funció general f (x)5a g ( x ) , a . 0 està definida sempre que ho estigui g(x). Així, per 2 2 exemple, f (x)53 x 21 està definida per a tot nombre real; mentre que f (x)531/( x 21) no està definida quan x 5 21 o x 5 1.

Exemple 1 Representa, amb l’ajuda de la calculadora, les funcions f (x)53 x i h(x)50, 4 x .

6 5

Construïm la taula de valors:

4

x f (x)53

23 x

22

21

0

1

2

3

1/27

1/9

1/3

1

3

9

27

15,625

6,25

2,5

1

0,4

0,16

0,064

f (x)=3x

3

f (x)=0,4x

2 1

h(x)50, 4 x

-3 -2 -1

Representats els parells respectius s’obtenen les gràfiques adjuntes.

1

2

3

Fig. 14.3.

Activitats 1>

Representa, amb l’ajuda de la calculadora, les funcions f (x)51,8 x i h(x)50,3 x .

274

Bach_CT_U14_VAL.indd 274

19/5/08 14:05:08

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.2. La funció logarítmica

14.2 La funció logarítmica A. Logaritme d’un nombre. Propietats Per definició, loga x 5b ⇔ a b 5 x . loga x es llegeix logaritme en base a de x. La base a ha de ser positiva i diferent d’1.

Així, per exemple: log28 5 3, aleshores 23 5 8; log5 25 5 2, aleshores 52 5 25.

Les bases usuals són a 5 10 i a 5 e. Als logaritmes en base 10 se’ls anomena decimals; els logaritmes en base e s’anomenen neperians. Tots dos es poden trobar amb l’ajuda d’una calculadora, amb les tecles log i ln , respectivament.

Per exemple: log10 10000 5 4, aleshores 104 5 10000; log 18 5 1,25527…

log 0,001 5 log 1023 5 23 ln 3,45 5 1,23837…

És evident que: loga a n 5n , per a tot n.

En particular: log 10n 5 n; ln en 5 n, Igualment: loga 150, llavors a 0 51.

En particular: log 1 5 0; ln 1 5 0.

El logaritme dels nombres reals menors o iguals que 0 no està definit.

Per exemple, log (21) o log 0 no existeixen. La calculadora dóna missatge d’error.

Les propietats fonamentals són: 1. loga (A?B)5log a A1log a B

Exemple: log 5 1 log 20 5 log (5 ? 20) 5 log 100 5 2

2. loga A n 5n log a A

Exemple: log 57 5 7 ? log 5; log 3x 5 xlog 3

3. loga

A 5log a A2log a B B

Exemple: log

1 5log12log2052log20 20

B. La funció logarítmica L’expressió de la funció logarítmica és: f (x)5log a x (a . 0; a ? 1).

• • • •

Les bases usuals són a 5 10 i a 5 e. Funcions: f (x)5log x i f (x)5ln x .

El seu domini de definició són els nombres reals més grans que 0.

L’eix OY, la recta x 5 0, és asímptota vertical de la seva corba.

La gràfica de la funció logarítmica és la que s’indica en la figura adjunta.

Alguns parells de la funció y 5ln x són: (0,5, 20,69); (1, 0); (1,5, 0,41); (2, 0,69); (3, 1,1); (5, 1,61). En tots els casos hem arrodonit a les centèsimes. Representa’ls i troba la seva gràfica aproximada.

y 3 2

y=lnx

-1

3

2

1

5

6

7 x

-3 Fig. 14.4.

y

En particular: a) log 10 101,3 51,3 b) 10log10 1,3 510 0 ,11394... 51,3

4

-2

La funció general f (x)5loga g(x) està definida sempre que g(x) . 0.

Com que f (x)5log a x ⇔ x 5a f ( x ) , s’observa que una funció exponencial està associada a una funció logarítmica. Per ser més precisos, les funcions exponencial i logarítmica són inverses; això és, si apliquem successivament el logaritme i l’exponencial en la mateixa base, tornem al punt de partida. És a dir: 2. a loga x 5 x 1. log a a x 5 x

y=logx

1

y=2x

6 5 4 3 2 1 -2 -1

y=log2x 1 2 3 4 5 6 x

-2 Fig. 14.5.

275

Bach_CT_U14_VAL.indd 275

19/5/08 14:05:10

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.3 Equacions exponencials

14.3 Equacions exponencials En el CD i en el CEO (centre de ensenyament en línia) creats per a aquest projecte podràs trobar el següent material addicional: Enllaços, bibliografia i activitats interactives sobre funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques.

Les equacions exponencials són aquelles en les quals la incògnita apareix en l’exponent.

Alguns exemples són: a) 3x 5 9;

b)

1 532 ; 2x

c) 4x 2 5 ? 2x 2 24 5 0;

d) 17x 5 1700

Els mètodes de resolució bàsics són dos: 1. Quan no hi ha sumands es poden resoldre amb l’ajuda del logaritme. (Si els dos membres de l’equació es poden posar com a potències de la mateixa base, n’hi hauria prou d’igualar els exponents; donant així lloc a una equació normal.)

Així, les equacions a) i b) de dalt són immediates, ja que: 3x 5 9 ⇔ 3x 5 32 ⇒ igualant exponent, que x 5 2.

Igualment,

1 53 2 ⇔ 22x 5 32 ⇔ 22x 5 25 ⇒ x 5 25.

2x

2. Si hi ha sumands, en alguns casos es resolen transformant-les prèviament mitjançant un canvi de variable; un canvi afortunat pot ser a x 5t . Les resoldrem més endavant.

A. Casos bàsics d’equacions lligades a exponencials i logaritmes Encara que el Cas 2 x a 5b es pot fer amb calculadora, resulta més instructiu resoldre’l aplicant logaritmes.

Són els següents: 1. a x 5b ; 3. loga x 5b ;

2. x a 5b ; 4. loga b5 x ;

5. log x a5b

Observa que en cap cas hi ha sumands.

Es resolen utilitzant la definició de logaritme i/o la calculadora.

Cas 1: Equació a x 5b . (En general, cal que a i b siguin positius) Es resolen aplicant logaritmes.

Per a resoldre l’equació 17x 5 17 000, aplicant logaritmes es té:

Ús de la calculadora 1. antilog 0,1483926882 5 100,1483926882.

Amb la calculadora s’obté aplicant successivament les tecles SHIFT

log

2. Posem tants decimals perquè el lector pugui comprovar el resultat amb seguretat; també perquè si s’ometen, el resultat pot diferir notablement. Així, per exemple, si escrivim log 4,2 0,6 log x 5 5 50,14 ⇒ 4,2 4,2... ⇒ x 5 antilog 0,14 5 1,38 ? 1,4073…

log(17x) 5 log 17000 ⇒ x log175log17 000 ⇒ x 5 Cas 2:

log17 000 53, 438... log17

Equació x a = b . (Si b és negatiu aquesta expressió no té sentit)

Es pot resoldre directament amb la calculadora si tenim en compte que: x a 5b ⇔

a

x a 5 a b ⇔ x 5b1/ a

També es resolen aplicant logaritmes. (O antilogaritmes.)

Així, l’equació x 4 ,2 54,2 es pot resoldre de dues maneres: a) Aïllant: x 4 ,2 54,2 ⇒ x 54,21/ 4 ,2 54,20 ,2380952381 51, 407319444 b) Aplicant logaritmes: x 4 ,2 54,2 ⇒ log x 4 ,2 5log 4,2 ⇒ ⇒ 4,2log x 5log 4,2 ⇒ log x 5

log 4,2 0,6232492904 5 50,1483926882 ⇒ 4,2 4,2

⇒ x 5 antilog 0,1483926882 5 1,407319444.

276

Bach_CT_U14_VAL.indd 276

19/5/08 14:05:12

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.3 Equacions exponencials

Cas 3: Equació loga x 5b Es resol utilitzant la definició de logaritme i la potenciació, ja que loga x 5b ⇔ x 5a b Així, de log x 5 2,3 ⇒ x 5 102,3 ⇒ x 5 199,5262315 (També: x 5 antilog 2,3) Igualment, si log3 x 521,3 ⇒ x 5 321,3 5 0,2397410311.

Cas 4:

Equació loga b5 x

Si les bases són 10 o e es resolen directament amb la calculadora; en qualsevol altre cas cal aplicar la definició de logaritme. (O aplicar la fórmula del canvi de base.)

Per exemple:

Per a calcular el logaritme en qualsevol base no decimal es pot utilitzar la fórmula: log b . loga b5 log a Així, per exemple:

a) El cas log13,65 x és immediat; només cal utilitzar la calculador: x 5 1,1335. b) En canvi, log1/2 4 5 x es pot resoldre aplicant la definició de logaritme, ja que log1/2 4 5 x ⇔ 1 54 ⇒ 22x 5 22 ⇒ x 5 22. x 2

I també aplicant la fórmula: x 5 Cas 5:

Canvi de base

log 4 0,6020599913 5 522 log1 / 2 20,3010299957

log8 455

log 45 51,8306 . log 8

Equació log x a5b

Aplicant la definició de logaritme es transforma en una altra equació ja vista, aleshores: log x a5b ⇒ a5 x b ⇒ x 5a 1/ b .

Així, log x 1 00055 ⇔ x5 5 1 000 ⇒ x 5 1 0001/5 5 3,98107.

Exemple 2 Resol les equacions següents. a) 82 x 545

b) log3 1 4205 x

1 8

c) log x 524

a) Aplicant logaritmes: log(82 x )5log 45 ⇒ 2x log 8 5 log 45 ⇒ x 5

log 45 50,9153088 .

2log 8

b) log3 1 4205 x ⇔ 3x 5 1420 ⇒ log3 x 5log1 420 ⇒ x log35log1 420 ⇒ x 5 1 8

c) log x 524 ⇔ x −4 5

log1 420 56,60689 . log3

1 1 1 ⇒ 45 ⇒ x 4 58 ⇒ x 5 4 8 523/ 4 .

8 8 x

Activitats 2>

Resol les equacions següents. b) x 6 564 a) 125 5 x 2 d) log5 2005 x e) log x 1 024510

c) 32 x 5531 441 f) log2 3x 55

R: a) 498,8306; b) 2; c) 6; d) 3,2920; e) 2; f) 32/3.

277

Bach_CT_U14_VAL.indd 277

19/5/08 14:05:14

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.3 Equacions exponencials

B. Altres equacions logarítmiques i exponencials Quan en les equacions exponencials o logarítmiques intervinguin sumes o productes, les tècniques poden ser molt variades. En alguns casos, es resolen aplicant les propietats dels logaritmes, fent un canvi del tipus a x 5t o, simplement, traient factor comú o aplicant alguna altra propietat algebraica. Ho veiem en els exemples següents.

Exemple 3 Resol les equacions següents de tipus exponencial. b) 4 x 2 5 ? 2 x 2 24 5 0 a) 2?3 x 25?3 x 21 53 x 11 2x d) xe x 2e x 50 c) 4 164?4 5257 a) Es resol operant l’expressió: 2?3 x 25?3 x 21 53 ⇔ 2?3 x 25?

3x 53 ⇔ 6?3 x 25?3 x 59 ⇒ 3 x 59 ⇒ x 5 2.

3

b) Per a resoldre 4 x 2 5 ? 2 x 2 24 5 0 cal fer el canvi 2 x 5 t, amb la qual cosa: 4 x 2 5 ? 2 x 2 24 5 0 ⇔ (2 x)2 2 5 ? 2 x 2 24 5 0 ⇔ t2 2 5t 2 24 5 0 L’última equació, que és de segon grau, té per solucions t 5 8 i t 5 23.

Per a t 5 8, es té t 5 2 x 5 8 ⇒ x 5 3. Per a t 5 23, t 5 2 x 5 23, que és impossible.

En conseqüència, la solució és x 5 3. c) Primer operem i després fem el canvi 4x 5 t.

4 x 11 164?42 x 5257 ⇒

4?4 x 1

64 5257 4x

⇒

4?(4 x )2 1645257?4 x ⇒

4?(4 x )2 2257?4 x 16450 (fent 4 x 5t ) ⇒

⇒ 4t 2 2257t 16450 ⇒ t 5 ¼, t 5 64.

1 ⇒ x 5 21. Si t 5 64 ⇒ 4 x 5 64 5 43 ⇒ x 5 3.

4 d) xe x 2e x 50 ⇒ (x 21)e x 50 ⇒ x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1

Si t 5 ¼ ⇒ 4 x 5

Exemple 4 Resol les equacions logarítmiques següents. a) log (x 1 5) 1 log (x 2 5) 5 log 11;

b) log((41 x)1log(42 x)52log(3x 24)

a) Aplicant la propietat del logaritme d’una suma es té: log (x 1 5) 1 log (x 2 5) 5 log 11 ⇔ log [(x 1 5)( x 2 5)] 5 log 11.

Operant: log (x 2 2 25) 5 log 11 ⇒ x2 2 25 5 11 ⇒ x2 5 36 ⇒ x 5 6.

Es pot observar que la solució x 5 26 no és factible, perquè donaria lloc a una expressió inicial sense sentit. b) Utilitzant les propietats dels logaritmes: log((41 x)1log(42 x)52log(3x 24) ⇔ log ⎡⎣(41 x)(42 x)⎤⎦ 5log(3x 24)2 Traient logaritmes: (42 x)(41 x)5(3x 24)2 ⇒ 162 x 2 59x 2 224 x 116 ⇒ 10 x 2 224 x 50 ⇒ 2x(5x 212)50 ⇒ x 5 12/5 o x 5 0.

La solució x 5 0 no és vàlida, ja que en el segon membre de l’equació inicial apareixeria log(24).

278

Bach_CT_U14_VAL.indd 278

19/5/08 14:05:16

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.3 Equacions exponencials

Activitats 3>

Resol les equacions de tipus exponencial següents. a) 4 x 12 x 13 22050 ; R: a) 1;

b) 2 x 12 x 11 12 x 13 588 ;

b) 3;

c) x 2 e x 22xe x 50 .

c) 0 i 2.

Activitats 4>

Calcula el valor de x en l’equació següent. x b) log (x 1 1) 2 log (x 2 3) 5 5 a) 3log x 25log25log 2

R: a) 0 i 4;

b) 300 001/99 999.

C. Sistemes d’equacions logarítmiques Els sistemes d’equacions logarítmiques es resolen aplicant les tècniques conegudes de resolució de sistemes ordinaris. A més, caldrà tenir en compte les propietats i suggeriments que hem donat aquí. Ho veurem amb un parell d’exemples. ⎧ log x 2log y 57

a) Per a resoldre el sistema ⎨

⎩3log x 12log y 511

Així, es té:

podem aplicar el mètode de reducció.

⎧ log x 2log y 57 2E1 ⎧2log x 22log y 514 ⇒ (sumant) ⇒ 5log x 5 25 ⇒ log x 5 5 ⇒ ⎨ ⎨ ⎩3log x 12log y 511 ⎩ 3log x 12log y 511

⇒ x 5 105 5 100 000 Substituint log x 5 5 en la primera equació: 5 2 log y 5 7 ⇒ log y 5 22 ⇒ y 5 1022 5 0,01.

La solució del sistema és x 5 10 000, y 5 0,01. ⎧2log x 2log y 51

b) Per a resoldre el sistema ⎨ ⎩

log(xy 2 )58

⎧ 2log x 2log y 51

la manera següent: ⎨ ⎩

2

log(xy )58

poden aplicar les propietats dels logaritmes de

⎧ 2log x 2log y 51

⇔ ⎨

⎩ log x 1log y 58 2

⎧ 2log x 2log y 51

⇔ ⎨

⎩ log x 12log y 58

Aplicant el mètode de reducció (fes-ho) es té: x 5 100, y 5 1000.

Una altra possibilitat, també aplicant les propietats, és:

⎧ ⎛ x2 ⎞ ⎧ 2log x 2log y 51 ⎧ log x 2 2log y 51 ⎪ log ⎜ ⎟ 51 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⎝ y⎠ ⇔ (Traient logaritmes) ⎨ log(xy 2 )58 log(xy 2 )58 ⎩ ⎩ ⎪ log(xy 2 )58 ⎩ ⎧ x2 2 ⎧ x2 2 510 ⎛x ⎞ 5y ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ 10 (substituint) ⇒ x ⎜ ⎟ 510 8 ⇒ x 5 51010 ⇒ x 5 100 ⎨ y ⎝ 10 ⎠ ⎪ xy 2 510 8 ⎪ xy 2 510 8 ⎩ ⎩

La solució del sistema és x 5 100, y 5 1 000.

279

Bach_CT_U14_VAL.indd 279

19/5/08 14:05:18

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes

14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes La funció exponencial de la forma f (x)5C ?a kx , on C, a i k són constants (a . 0) i x, la variable, té múltiples aplicacions. A continuació n’estudiarem alguna.

A. Problemes d’interès bancari L’interès és el guany o renda produïda per un capital durant un període de temps; aquest interès pot ser simple, compost o continu. La taxa d’interès, que generalment es dóna en tants per cent, pot ser anual, semestral, trimestral, mensual, diària o contínua.

Si els interessos s’abonen trimestralment (n 5 4), la fórmula seria 4t

⎛ r⎞ C(t)5C 0 ⎜ 11 ⎟ .

4⎠ ⎝ Si els interessos s’abonen mensualment (n 5 12), la fórmula seria ⎛ r ⎞ C(t)5C 0 ⎜ 11 ⎟ ⎝ 12 ⎠

Interès simple Una quantitat inicial, C0, al cap d’un any, a un interès del i % produeix una renda de valor R 5C 0 ?

i 5C 0 ?r , on r indicarà la taxa en tant per un.

100

El capital acumulat al cap d’un any serà C 5C 0 (11r) .

12t

.

Per tant, un capital de 20000 €, al 5% anual, produeix una renda anual de 20000 ? 0,05 5 1000 €.

El capital acumulat al cap d’un any serà C 520 000?(110,05)521 000 €.

milers d’euros

Interès compost i continu

60 50 40 30 20 10

En l’interès compost, el capital inicial es va incrementant amb els interessos produïts en els períodes anteriors de temps (anuals, semestrals, etc). Si considerem períodes de temps infinitesimals, l’interès s’anomena continu: els interessos es van acumulant en cada instant de temps.

C(f )=20(1,06)x

2 4 6 8 10 12 14 anys Evolució d’un capital de 20000 € a un 6 % anual.

(Es doblaria, aproximadament, transcorreguts 12 anys).

Fig. 14.6.

Per a l’interès compost, el capital acumulat al cap de t anys, a una taxa d’interès anual r (en tant per un), serà: nt

⎛ r⎞ C(t)5C 0 ⎜ 11 ⎟ , n⎠ ⎝

sent n el nombre de períodes anuals.

C(t)5C 0 ?e rt .

Per a l’interès continu,

Per exemple, un capital de 20 000 €, al 6 % anual, es converteix al cap de 8 anys en C(8)520 000 (110,06

)

8

5 31876,96 €

• Si els interessos s’abonen trimestralment (n 5 4), els 20 000 € anteriors es convertirien en ⎛ 0,06 ⎞ C(8)520 000 ⎜ 11 4 ⎟⎠ ⎝

4 ?8

532206, 49 €.

• Si els interessos s’abonen mensualment (n 5 12), els 20 000 € es convertirien en ⎛ 0,06 ⎞ C(8)520 000 ⎜ 11 12 ⎟⎠ ⎝

12?8

532282,86 €

• Observa que si els períodes de capitalització són inferiors a 1 any els interessos produïts augmenten. Això està relacionat amb l’anomenada TAE. (Vegeu el Problema resolt 9.)

280

Bach_CT_U14_VAL.indd 280

19/5/08 14:05:19

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes

B. Creixement logístic

B P(t)5 11 A?e2kt

on t és la variable independent (el temps), i A, B i k les constants positives.

Aquesta funció està limitada per la capacitat poblacional B, que depèn habitualment de circumstàncies físiques: espai, aliments, etc. La recta y 5 B és una asímptota horitzontal d’aquesta funció.

Un exemple de funció logística és P(t)5

10

milers de conills

La funció de creixement logístic és el model al qual s’ajusta l’evolució de determinades poblacions, el nombre d’afectats per una malaltia contagiosa, la contaminació de determinat ambient, etc.

La seva expressió és:

8 6 4 2

anys 5

10

15

20

25

Evolució del núm. de conills Fig. 14.7.

10 000 , que es pot utilitzar per a deter11199?e20 ,5t

minar el nombre de conills en una illa, que estarà condicionat per l’hàbitat: superfície disponible,capacitat de producció d’aliments, clima, depredadors, etc. Amb això: La població inicial de conills va ser, P(0)5

10 000 10 000 5 550 .

11199?e20 ,5?0 200

Mentre que transcorreguts 8 anys, hi haurà P(8)5

10 000 10 000 5 ø2153 .

11199?e20 ,5·8 4,6448

C. Desintegració de substàncies radioactives La quantitat de matèria radioactiva que queda en un determinat element amb el transcurs del temps s’ajusta a la funció R(t)5R0 e2kt , on t és la variable independent (el temps), R0 la quantitat inicial en l’element i k una constant positiva.

S’anomena vida mitjana (o període de semidesintegració) al temps que triga a desintegrar-se la meitat d’una substància radioactiva.

Coneixent la vida mitjana, V, l’expressió (que és equivalent a l’anterior), que dóna la quantitat de ⎛ 1⎞ matèria radioactiva transcorreguts t anys és R(t)5R0 ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

t /V

(Vegeu el Problema proposat 28)

Per exemple, el percentatge de l’isòtop radioactiu carboni 14 (C214) present en un organisme, des del moment de la seva mort, ve donada per la fórmula P(t)5100e20 ,00012t .

En l’instant de la seva mort aquest percentatge és 100, P(0)5100e 5100 .

20

Transcorreguts 5000 anys, queda P(5 000)5100e20 ,00012?5 000 5 54,9, el 54,9 % del percentatge inicial.

Al cap de 5730 anys, queda P(5730)5100e20 ,00012?5 730 5 50,2781, aproximadament la meitat del percentatge inicial. (La vida mitjana del carboni 14 és d’uns 5730 anys.)

Vida mitjana d’alguns isòtops radioactius Àstat 210 → 8,3 hores Carboni 14 → 5 730 anys Poloni 210 → 138 dies Protoactini 231 → 34 300 anys Protoactini 233 → 27 dies Radi 226 → 1620 anys Radó 222 → 3,8 dies Tori 230 → 80 000 anys Urani 238 → 4 500 milions d’anys

Percentatge 100 75 50 25 10 000

20 000 anys

Proporció de C14 a la mostra Fig. 14.7.

281

Bach_CT_U14_VAL.indd 281

19/5/08 14:05:21

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.5 Funcions trigonomètriques

14.5 Funcions trigonomètriques A. Funció sinus La funció sinus és la funció que assigna a cada nombre el valor del seu sinus. La seva expressió és: f (x)5sin x

La variable independent x és un nombre real. (No és un angle en sentit estricte, encara que la relació 360º 5 2p radians permet intercanviar les unitats de mesura.)

La gràfica de la funció sinus és: f (x)⫽sin x 1 -4 -␲

-2

-1

2 ␲

6 2␲

4

3␲ 10

8

x

Fig. 14.9.

Una funció és periòdica de període p si f (x)5 f (x 1 p) . Això significa que la funció es repeteix en cada interval d’amplitud p.

Des del punt de vista teòric, la majoria de les funcions periòdiques estan relacionades amb les funcions trigonomètriques.

Les característiques fonamentals d’aquesta funció són: • És periòdica de període p 5 2p. Això és: s in x 5s in(x 12p) , per a qualsevol valor de x.

• Està definida sempre: Dom 5 R. • El seu recorregut és l’interval [21, 1]. (Insistim: el valor del sinus mai pot ser menor que 21 ni més gran que 1.)

• És una funció imparella, ja que f (2x)5s in (2x)52s in x 52 f (x) . Per tant, és simètrica respecte de l’origen.

2p • La funció f (x)5sin kx és periòdica de període p 5 , aleshores: k

È Ê 2p ˆ ˘ sin Í k Á x 1 ˜ ˙ 5sin (kx 12p)5sin kx k ¯˚ Î Ë

B. Transformacions a partir de la funció sinus A partir de la gràfica de la funció f (x)5sin x , es poden dibuixar les de f (x)52sin x , f (x)5 sin x , f (x)5k 1sin x , f (x)5sin (x 1k) , f (x)5k ?sin x o f (x)5sin kx .

Aquestes gràfiques es tracen seguint les pautes indicades a la unitat anterior. A continuació en representem algunes: f (x)=-sin x x

1 -1

-1 1

2

3

4

5

6

1 -1

f (x)=sinx x

-1 1

f (x)=sin x

2

3

4

5

6

-2

-2

f (x)=sinx-2 Fig. 14.10.

3 2 1

El període de f(x) 5 sin 2x és p 5 p; el 1 de f (x)5 sin x és p 5 4p.

2

-1

Fig. 14.11.

f(x)=3sinx f(x)=0,5sinx

-1 1 2 3 4 -2 -3 f(x)=sinx

Fig. 14.12.

f(x)=senx f(x)=sen2x 1 f(x)=sen x 2

5

6 x

1

-1

2

4

␲

6 2␲

8

10 12 x 3␲

Fig. 14.13.

282

Bach_CT_U14_VAL.indd 282

19/5/08 14:05:22

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.5 Funcions trigonomètriques

C. Funció cosinus Ê

Atès que per a qualsevol número α, cos α 5 sin ÁA 1 Ë

pˆ , definim: 2 ˜¯

pˆ Ê f(x)5cos x 5sin Á x 1 ˜ 2 ¯ Ë p

Per tant, la seva gràfica serà idèntica a la del sinus però amb un desfasament de (traslla2 p a l’esquerra). Així: dada 2

f (x)=cosx

-␲/2

␲/2

␲

2␲

3␲/2

Les funcions de la forma f (x)5 A sin(vx 1f) , on A, v i f són constants, descriuen l’anomenat moviment harmònic simple. El valor de f (x) indica la distància de l’objecte a un punt fix (o a un eix) en l’instant x. El número A s’anomena amplitud; v és la velocitat angular.

2p El seu període és p5 . v

f (x)=sinx Fig. 14.14.

Les característiques fonamentals d’aquesta funció es dedueixen de les de la funció sinus: • És periòdica de període p 5 2p. Això és: cos x 5cos(x 12p) , per a qualsevol valor de x.

• Està definida sempre: Dom 5 R. • l seu recorregut és l’interval [21, 1]. (Insistim: el valor del cosinus mai pot ser menor que 21 ni més gran que 1.)

• És una funció parella, ja que f (2x)5cos (2x)5cos x 5 f (x) . Per tant, és simètrica respecte de l’eix OY. • La funció f (x)5cos kx és periòdica de període p 5

2p . k

Exemple 5

2 1 -1

Dibuixa, a partir de la funció f (x)5cos x , les gràfiques de les funcions. b) f (x)52cos x c) f (x)5cos 3x a) f (x)511cos x

-1

f (x)=1+cosx +1 ␲/2 3␲/2 1 2 3 4 5 6 x f (x)=cosx

a) La funció és la mateixa que cos x però desplaçada cap a dalt en una unitat. b) En cada cas, el valor del cos x es multiplica per 2.

Fig. 14.15.

del cos x s’hi introdueixen 3 cicles del cos 3x.

f (x)=2cosx

2

2p . Va 3 vegades més ràpida que el cos x. En cada cicle c) El seu període és p5 3

1 -1

␲/2

-1 -2

1

2

3␲/2 3

4

5

6 x

f (x)=cosx

Fig. 14.16.

Activitats 2

5>

f (x)=cos(3x)

1

␲/2

Dibuixa, a partir de la funció f (x)5cos x , les gràfiques de les funcions. a) f (x)5cos x 21 ;

b) f (x)5cos(x 22) ;

x 2

-1

c) f (x)5cos .

-1

1

2

3␲/2 3

4

5

6 x

f (x)=cosx Fig. 14.17.

283

Bach_CT_U14_VAL.indd 283

19/5/08 14:05:25

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.5 Funcions trigonomètriques

D. Funció tangent La funció tangent es defineix així: f (x)5tag x 5 ␲

-␲ -␲/2

␲/2

2␲ 3␲/2

5␲/2

sin x cos x

Les seves característiques fonamentals són: • És periòdica de període p 5 p. Això és: tag x 5tag(x 1p) , per a tot x. p 2

• Està definida sempre que cos x ? 0: això és, si x ? 1kp .

• Té per asímptotes verticals les rectes: x5 6

Fig. 14.18.

p 3p , x 56 ,…

2 2

Observació sobre el domini de les funcions trigonomètriques en general

En el CD i en el CEO (centre de ensenyament en línia) creats per a aquest projecte pots realitzar activitats sobre funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques per a reforçar el que has après.

Les funcions f (x)5sin g(x) i f (x)5cos g(x) estan definides sempre que ho estigui la funció p 2

g(x). La funció f (x)5tag g(x) està definida sempre que g(x)? 1kp .

Vegem-ne uns exemples: a)

La funció f (x)5sin

1 no està definida quan x 5 0. x

b)

f (x)5cos(12 x 2 ) està definida per a tot valor de x.

c)

f (x)5tag (213x) no està definida quan 213x 5

p p kp22 1kp ⇒ x 5 1 .

2 6 3

E. Les funcions trigonomètriques inverses Recorda Perquè una funció f posseeixi inversa cal que sigui injectiva, és a dir, que no hi pot haver dos nombres diferents amb la mateixa imatge.

Si no és així, la inversa presenta restriccions. És el cas del sinus i de l’arc sinus, que són inverses en l’interval [2p/2, p/2] Igualment, cosinus i arc cosinus són funcions inverses només si les considerem en l’interval [0, p].

Tangent i arc tangent són inverses només en l’interval [0, p].

Escrivim la paraula funcions amb lletra cursiva per cridar l’atenció sobre el seu significat: en cap cas es tracta de funcions, ja que a cada valor de y li corresponen infinits valors de x.

En les calculadores apareixen, en color groguenc i sobre les tecles de sin, cos i tan, les funcions sin21, cos21 i tan21, respectivament, el significat de les quals és: • Arc sinus (sin21): • Arc cosinus (cos21): • Arc tangent (tan21):

x 5 arcsin y ⇔ sin x 5 y x 5 arccos y ⇔ cos x 5 y x 5 arctag y ⇔ tag x 5 y

Així: a) arcsin 0,5 5 0,523… 5 p/6 o 5p/6. En general, arcsin 0,5 5 p/6 1 2kp o 5p/6 1 2kp b) arccos 0,5 5 1,047… 5 p/3 o 2p/3. En general, arccos 0,5 5 p/3 1 2kp o 2p/3 1 2kp. c) arctag 1 5 0,785… 5 p/4 o 5p/4. En general, arctag 1 5 p/4 1 kp.

Com pots veure, en els tres casos la correspondència no és única. A cada valor de y se li assignen infinites imatges.

284

Bach_CT_U14_VAL.indd 284

19/5/08 14:05:27

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.6 Interpretació gràfica de les solucions d’equacions trigonomètriques

14.6 Interpretació gràfica de les solucions d’equacions trigonomètriques Les equacions trigonomètriques elementals són de la forma: sin ax 5 b cos ax 5 b tag ax 5 b Totes es poden resoldre directament amb la calculadora, aplicant les funcions trigonomètriques inverses. Així: arcsin b sin ax 5 b ⇒ ax 5 arcsin b ⇒ x 5

y=sinx

a arccos b cos ax 5 b ⇒ ax 5 arccos b ⇒ x 5 a arctag b tag ax 5 b ⇒ ax 5 arctag b ⇒ x 5 a

y=0,5 y=-0,5 y=-1

Geomètricament, aquestes solucions són les abscisses dels punts de tall de les corbes associades a sin ax , cos ax o tag ax amb la recta y 5 b Així, per exemple, les solucions de les equacions sin x 5 0,5 i sin x 5 20,5, que són: sin x 5 0,5 ⇒ x 5 arcsin 0,5 5 p/6 1 2kp o 5p/6 1 2kp sin x 5 20,5 ⇒ x 5 arcsin (20,5) 5 7p/6 1 2kp o 11p/6 1 2kp (210º i 330º) coincideixen són les abscisses dels punts de tall de la corba y 5 sin x amb les rectes y 5 0,5 i y 5 20,5, donen les solucions indicades més amunt.

3␲/2=270° 330° 210°

␲ ␲/6=30°

2␲

5␲/6=150°

Fig. 14.19.

Exemple 6

a) Resol les equacions trigonomètriques. a) cos x 5 0,5 b) cos 3x 5 21 b) Representa gràficament les funcions f(x) 5 cos x i g(x)5cos 3x i dóna una interpretació gràfica de les solucions trobades. a) cos x 5 0,5 ⇒ x 5 arccos 0,5 → x 5 1,047… 5 p/3 p 2kp b) cos 3x 5 21 ⇒ 3x 5 arccos (21) → 3x 5 p 1 2kp → x 5 1 3

3

La interpretació gràfica d’aquestes equacions és la següent: y=cos3x y=cosx ␲/2

0,5

␲/3

␲/3

␲ 3␲/2 5␲/3 2␲

Fig. 14.20.

-1

␲

5␲/3

2␲

y=-1

Fig. 14.21.

Els punts de tall de la corba y 5 cos x amb la recta y 5 0,5 són x 5 p/3 i x 5 5p/3; i es repeteixen cada 2p.

Anàlogament, la gràfica de y 5 cos 3x es talla amb la recta y 5 21 en els punts x 5 p/3 1 2p/3.

Activitats 6>

Resol les equacions trigonomètriques. a) 1 2 2sin x 5 3 b) cos 2x 5 1/2 Representa gràficament les funcions f (x)52sin x i g(x)5cos 2x i dóna una interpretació gràfica de les solucions trobades.

285

Bach_CT_U14_VAL.indd 285

19/5/08 14:05:29

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes resolts

Problemes resolts Tipus I: Les funcions exponencial i logarítmica

1>

Tipus II: Equacions i sistemes (exponencials i logarítmics)

Comprova que f(x) 5 ax i g(x) 5 logax, (a . 0) són funcions inverses.

R: Cal veure que f(g(x)) 5 x i g(f(x)) 5 x.

Efectivament: • f(g(x)) 5 f(logax) 5 alogax ⇒ (per la definició de logaritme) ⇒ alogax 5 P ⇔ logax 5 logaP ⇒ P 5 x x • g(f(x)) 5 g(ax) 5 logaa 5 xlogaa 5 x

2>

b) e210 x 54 ⇒ ln(e210 x )5ln 4 ⇒ 210 x ln e5ln 4 ⇒ 1,38629 520,138629 210 x c) xe 2 x 50 ⇒ x(e x 21)50 ⇒ x 5 0

⇒ x5

1 sempre és positiu. d) Està definida sempre, llavors 2 x 11

Demostra la fórmula del canvi de base logarítmica, loga x 5

d) 4 x 250?2 x 59984 ⇔ 22 x 250?2 x 59984 ⇔ ⇔ 22 x 250?2 x 2998450

1 d) k(x)5log 2 . x 11

R: a) Està definida sempre, ja que l’exponent 2x 2 1 sempre està definit. b) No està definida en x 5 0, ja que per a aquest valor, l’exponent 1/x tampoc està definit. c) Està definida quan x 2 5 . 0; això és, per a x . 5.

log x , que permet calcular el logaritme en log a

Fent 2 x = t , es té: t 2 250t 2998450 , les solucions de les quals són t 5 128 i t 5 −78.

Si t 5 128 ⇒ 2 x 5128 ⇒ x 5 7 (llavors 128 5 27) Si t 5 −78 ⇒ 2 x 5278 , que no pot ser.

5>

2x 23 2x 23 5 5log52log10 ⇒ log 5log 3x 11 3x 11 10 2x 23 5 ⇒ 5 ⇒ 4x 2 6 5 3x 1 1 ⇒ x 5 7.

3x 11 10 log

⇒ log10 x 5 (log10a ) 5 T log10a ⇒ T 5

5

log10 x

Segon membre:

log10 a

log(3 ? 7 1 1) 2 1 5 log 22 2 log 10 5 log

Per tant: a) log2 35 5

log10 35 log10 2

b) log5 120 5 c) log0,5 2,2 5

⇒

Comprovació: Primer membre de l’equació: 11 log(2 ? 7 2 3) 2 log 5 5 log 11 2 log 5 5 log .

R: Tenim que loga x 5 T. T

Resol l’equació: log(2x 2 3) 2 log5 5 log(3x 1 1) 2 1.

R: Aplicant les propietats: log(2x 2 3) 2 log5 5 log(3x 1 1) 2 1 ⇔ ⇔ log(2x 2 3) 2 log(3x 1 1) 5 log5 2 1 ⇔

qualsevol base a partir dels logaritmes decimals. Aplica la fórmula esmentada per trobar: a) log2 35; b) log5 120; c) log0,5 2,2

Com que loga x 5 T ⇔ x 5 aT ⇒

Resol les equacions següents: b) e210 x 54 ; a) 4 123 x 52 x 22 ; x d) 4 x 250?2 x 59984 c) xe 2 x 50 ;

R: a) 4 123 x 52 x 22 ⇔ (22 )123 x 52 x 22 ⇔ 2226 x 52 x 22 .

Com que les bases són iguals, també han de ser-ho els exponents: 2 2 6x 5 x 2 2 ⇒ 7x 5 4 ⇒ x 5 4/7

Calcula el domini de les funcions: b) g(x) 5 21/x a) f(x) 5 e2x21; c) h(x) 5 log5(x 2 5);

3>

4>

22 11 5log .

10 5

Efectivament són iguals.

55,1292…

log10 120 log10 5 log10 2,2 log10 0,5

6> 52,9746…

⎧log x 1log y 54

Resol el sistema següent: ⎨

2 ⎩log x 23log y 53

.

R: Aplicant les propietats dels logaritmes: 521,1375…

(Tots aquests resultats han estat truncats.)

⎧log x 1log y 54 ⎧log x 1log y 54 ⇔ ⎨ . ⎨ 2 log x 23log y 53 ⎩2log x 23log y 53 ⎩

286

Bach_CT_U14_VAL.indd 286

19/5/08 14:05:31

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes resolts

Multiplicant la primera equació per 3, i sumant les dues equacions: ⎧3log x 13log y 512 ⇒ 5 log x 5 15 ⇒ ⎨ ⎩2log x 23log y 53

⇒ log x 5 3 ⇒ x 5 1000.

Substituint en qualsevol de les equacions: 3 1 log y 5 4 ⇒ log y 5 1 ⇒ y 5 10.

(Comprova el resultat.)

7>

⎧

Resol el sistema: ⎨

3x 15 y 535

⎩log x 2log y 51

⎧

R: ⎨

3x 15 y 535

⎩log x 2log y 51

⎧3x 15 y 535 ⎪ ⇔ ⎨ x 510 ⎪ y ⎩

.

⎧3x 15 y 535 ⎪ ⇔ x ⎪ log y 51 ⎩

⇔ ⎨

9>

R: Quan els períodes de capitalització són inferiors a un any (mensuals, per exemple), els interessos produïts (o meritats) per un capital són superiors a la taxa d’interès anual. El percentatge d’interès real que s’obté (o paga) s’anomena taxa anual efectiva o taxa anual equivalent, T.A.E. Ho aclarim amb un exemple.

• 100 euros, a un interès del 12 % anual (s’anomena taxa nominal), produeixen a l’any 12 euros.

• 100 euros, a un interès del 12 % anual, amb interessos liquidables mensualment, produeixen 12

⎛ 0,12 ⎞ C 5100? ⎜ 11 5112,6825 .

12 ⎟⎠ ⎝

Això és, un guany de 12,6825 €.

Aquesta quantitat és la mateixa que produirien 100 euros a un 12,6825 % d’interès anual. Aquesta és la TAE corresponent. En aquest cas, la informació bancària correcta ha de ser: “interessos d’un 12 %(12,6825 % TAE)”.

⇒ (x 5 10y)

Substituint en la primera equació: 3 ? (10y) 1 5y 5 5 35 ⇒ y 5 1; x 5 10.

(Comprova el resultat.)

Donem ara la solució del problema plantejat. a) Si l’interès s’abona anualment, la TAE coincideix amb la taxa nominal. El seu valor serà del 5 %.

Tipus III: Aplicacions d’exponencials i logaritmes

8>

⎛

Calcula el capital acumulat al cap de 8 anys per a 10 000 euros al 5 %, si els interessos s’abonen: a) Anualment b) Trimestralment c) Mensualment d) Contínuament

b) Trimestralment: C 5100? ⎜ 11 → TAE 5 5,0945.

4 ?8

c) Mensualment (n 5 12): 12?8

£ 0,05 ¥ C 510 000? ² 11 ´ 514 905,85 €.

12 ¦ ¤ d) Contínuament: C 510 000?e 0 ,05?8 514 918,25 €.

Tots els resultats han estat arrodonits. Observa que, a mesura que el període de liquidació és menor, el capital acumulat augmenta.

12

→ TAE 5 5,1162.

nt

⎛ r⎞ C 5C 0 ⎜ 11 ⎟ , en què r és la taxa d’interès, t el temps n⎠ ⎝

£ 0,05 ¥ C 510 000? ² 11 ´ 514 881,31 €.

4 ¦ ¤

⎝

4

0,05 ⎞ 5105,0945 € 4 ⎟⎠

⎛ 0,05 ⎞ 5105,1162 € c) Mensualment: C 5100? ⎜ 11 12 ⎟⎠ ⎝

R: L’expressió que dóna el capital acumulat és

en anys i n el nombre de períodes anuals.

En aquest cas, C0 5 10 000 €, el 5 % és una taxa de r 5 0,05 i t 5 8. a) Si l’interès s’abona anualment: C 5 10 000 ? (1 1 0,05)8 5 14 774,55 €. b) Trimestralment (n 5 4):

Per a cada un dels casos anteriors, calcula la taxa anual efectiva (TAE).

d) Contínuament: C 5 100 ? e0,05 5 105,1271 € → TAE 5 5,1271.

10>

→

El radi es descompon radioactivament. La quantitat d’ell existent en una mostra després de t anys ve donada per C(t)5C 0 e20 ,00043t , en què C0 és la quantitat inicial. a) Quina quantitat de radi quedarà d’una mostra de 10 g al cap de 1 500 anys? b) Quina és la vida mitjana (en anys) del radi?

R: a) Si t 5 1500, C(1500) 5 C0e20,00043·1500 5 5 5,2466 grams. b) Si la vida mitjana és m anys, transcorregut aquest temps, dels 10 grams inicials n’han de quedar 5, aleshores 5 5 10e20,00043·m ⇒ 0,5 5 e20,00043m ⇒ ⇒ ln 0,5 5 −0,00043m ⇒ m 5 1 612 anys.

NOTA: La vida mitjana del radi2226 és de 1 620 anys.

287

Bach_CT_U14_VAL.indd 287

19/5/08 14:05:32

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes resolts

14>

Tipus IV: Funcions trigonomètriques i aplicacions

11>

Determina el període de les funcions trigonomètriques següents: x a) f(x) 5 sin4x b) f(x) 5 cos 3

R: Les funcions sinus i cosinus són periòdiques de període 2p. Per tant: a) f(x) 5 sin4x 5 sin(4x + 2p) 5

R: Com que g (x) 5 sin2 x 5 (sin x)2, per a dibuixar la seva gràfica n’hi ha prou de trobar el quadrat de les ordenades de la funció f (x) 5 sin x. En conseqüència, x -1

)

1

R: Pel que hem dit abans, g(x) 5 sinx cosx 5 sin2x.

2 Per tant, com: f(x)=sinx

1 -1

-1

1 2 3 4 5 6 7 x

S’obté una funció de període p. Els màxims els aconsegueix quan sin x 5 ±1; en els punts x 5 p/2 1 kp. En l’interval demanat, en x 5 p/2, x 5 3p/2 i x 5 5p/2.

Fig. 14.22.

Es tindrà:

-1

-1

f(x)=sin2x f(x)= 1 sin2x 2 1 2 3 4 5 6 7 x

Fig. 14.23.

13>

15>

La temperatura de l’aire, T, en graus centígrads, en una ciutat, en un dia de primavera, ve donada per la funció p (t 2 8) , on t és el temps mesurat T (t) 5 15 1 6 sin 12 en hores des de la mitjanit. a) Quina és la temperatura a les 8 h, a les 12 h i a les 18 h? b) Representa gràficament aquesta funció.

R: a) T(8) 5 15 1 6 sin

f(x)=sin2x

1

-1

1 2 3 4 5 6 7 8

Fig. 14.24.

El seu període és 6p.

Partint de la gràfica de f(x) 5 sinx i sabent que sin 2x 5 2sin x cos x, fes una representació gràfica de la funció g(x) 5 sinx cosx.

g(x)=sin2x

1

¥ ¥ ¥ ¥ p p ´´ 2p ´´ sin ¦ 4 ¦ x 1 µµ 5sin ¦ 4 ¦ x 1 µµ . El seu període és .

2 2 4 § ¶ § ¶ ¶ ¶ § § ⎛x ⎞ ⎛1 ⎞ x b) f (x)5cos 5 cos ⎜ 12p ⎟ 5cos ⎜ ( x 16p ⎟ .

3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠

12>

A partir de la gràfica de f (x) 5 sin x, dibuixa la gràfica de g (x) 5 sin2 x. Quin període té g (x) 5 sin2 x? Quants màxims té en l’interval [0, 3p]? Indica les seves abscisses.

Troba, en l’interval [0, 2p], els punts de tall amb l’eix OX de les funcions: x a) f(x) 5 sinx 2 cos x; b) y 5tag .

2

R: En aquests punts la funció val 0; es troben resolent l’equació f (x) = 0 . a) f(x) 5 sinx 2 cosx 5 0 ⇒ sin x 5 cos x ⇒ ⇒ x 5 p/4 (45º); x 5 5p/4 (225º) x x x 5 arctag 0 ⇒ 5 kp ⇒ b) y 5tag 5 0 ⇒ 2 2 2 x 5 2kp. Això és, x 5 0 i x 5 2p.

p (8 2 8)

5 15 1 6 sin 0 5 15º C. 12 p (12 2 8) 5 15 1 6 sin (p /3) 5 T(12) 5 15 1 6 sin 12 5 15 1 6 ? 0,866 5 20,2º C. p (18 2 8) 5 15 1 6 sin (p /6) 5 T(18) 5 15 1 6 sin 12 5 15 1 6 ? 0,5 5 18º C. b) La funció és periòdica de període 24: 2p 5 24. p5 p / 12 La seva amplitud és 6. Varia des de 15 2 6 fins a 15 1 6, interval [9, 21].

Donant alguns valors més (T(0) 5 9,8; T(2) 5 9; T(4) 5 9,8; T(14) 5 21; T(20) 5 15; …) podem dibuixar-la.

25 20 15 10 5 4

8 12 16 20 24 28 32

Fig. 14.25.

288

Bach_CT_U14_VAL.indd 288

19/5/08 14:05:34

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes proposats

Problemes proposats Tipus I: Les funcions exponencial i logarítmica

1>

Calcula, aplicant la definició de logaritme, el valor de: a) log9 81 1 c) log4 16

R: a) 2; b)

2>

b) log2 128 4

d) log5 125 7 3 ; c) 22; d) .

2 4

Sabent que log 2 5 0,3010, troba (sense calculadora) el valor de: a) log 20 b) log 200 c) log 0,0002

R: a) 1,3010;

3>

b) 2,3010;

c) 23,699.

b) 4,4771;

c) 20,9542.

A partir dels valors de logaritme de 2 i de 3, troba: a) log 6; b) log 75; c) log(0,36).

Troba el domini de definició de les funcions següents: 1 . a) y 5 log(x 1 3); b) y 5 log(x2 1 3); c) y 5 log(x 13)

R: a) (23, `); b) R; c) (23, `) 2 {22}.

11>

Tenim la funció f(x) 5 log(2x2 1 x 1 2). Indica el seu domini de definició i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

R: Dom f(x) 5 (21, 2). Talls: (0; 0,3010); 1 6 5 , 0 .

2

Tipus II: Equacions i sistemes (exponencials i logarítmics)

12>

Sabent que log 3 5 0,4771, troba (sense calculadora) el valor de: a) log 0,3; b) log 30 000; c) log (1/9).

R: a) 20,5229;

4>

10>

Resol les equacions següents: b) x 51,001100 a) x 515,21,1 2x c) 0,555 d) 35 x 2,5 2x f) 5 5625 e) 53 x 12 515625

R: a) 19,954; b) 1,105; c) 20,215; d) f) 2; h) 4/3.

13>

2,5

3 5 1,552;

Resol les equacions següents.

80 b) 3 x 232 x 5 a) 4 123 x 52 x 22 9

R: a) 0,7781;

5>

b) 3,8614;

c) 6,0959.

Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament les funcions: a) f (x) = 1,1 x ; b) y = (0,8) x

7>

Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament la funció exponencial f (x) = e 2 x −1 .

8>

Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament la funció logarítmica f (x) 5 log (x2 1 1).

9>

Troba el domini de definició de les funcions següents: a) f (x)510 x 22 ; b) f (x)5101/( x 22) ; c) f (x)510 x 22 .

R: a) R;

b) R 2 {2};

c) 3 x 23 x 21 13 x 22 521 e) 4 x 250?2 x 59984

c) 20,4438.

Utilitzant la fórmula del canvi de base, troba: b) log5 500 c) log8 320 000 a) log2 100

R: a) 6,6439;

6>

b) 1,8751;

c) [2, `).

d) 9 x 28?3 x 11 28150 f) 25 x 2100?5 x 53125

R: a) 4/7; b) 22 i 2. c) 3; d) 3; e) 7; f) 0,192645 i 3.

14>

Resol: a) e 2 x 22 51 c) (x 2 22x 11)e x 50

b) e210 x 54 d) 112e x 52

R: a) 1; b) 20,138629; c) 1; d) 20,6931.

15>

Troba el valor de x en les equacions següents: b) log5 x 52,5 a) log6 x 53 c) log7 3x 520,2 d) log x 524 e) ln x 5 3,2 f) log16 45 x

R: a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) 1/2.

16>

Resol les equacions: a) log6 1405 x c) log2 8 x 57

b) log x 100522 d) 4 log2 (2x 11)516

R: a) 2,7580; b) 1/10; c) 16; d) 15/2.

289

Bach_CT_U14_VAL.indd 289

19/5/08 14:05:37

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes proposats

17>

23>

Resol les equacions: a) 3 1 log (x 1 1000) 5 7 b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x −3) 5 1 c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1 d) log(32 x 22 17)52log(3 x 21 11)

Una població de conills augmenta anualment en un 50 %. Si en el moment inicial hi ha 100 conills: a) Quants n’hi haurà passats 8 anys? b) Quant temps ha de transcórrer perquè el seu total sigui de 30 000?

R: a) 2.562. b) 14,07 anys.

R: a) 9000; b) 4; c) 4: d) 2.

18>

24>

Resol els sistemes: ⎧ 2log x 23log y 57 a) ⎨ 2 ⎩ log x 12log y 52

19>

24 24 ; y5 .

25 125

R: a) 50; 2 153. b) Mai passa de 10 000 conills.

Resol els sistemes següents: ⎧ log x 1log y 55 3

a) ⎨

2 ⎩ log x 2log y 53

10 000

a la funció P(t)5 , t 5 0 en el moment 11199?e20 ,5t inicial. a) Quants n’hi havia en el moment inicial?; i al cap de 8 anys? b) Quant temps ha de transcórrer perquè el seu total sigui de 30000?

⎧log x 3 2log y 2 5log24 b) ⎨ ⎩ log x 2log y 5log5

R: a) x 5 100; y 5 1/10. b) x 5

⎧log125 2log25 52log5 x

b) ⎨ ⎩

y

log 4 x 2log64 y 5log 8

25>

R: a) x 5 100, y 5 10; b) x 5 3/7; y 5 25/14.

Tipus III: Aplicacions d’exponencials i logaritmes

20>

Durant quant temps has de mantenir 10 000 € en un banc, a una taxa del 6,1 % anual, si vols duplicar el teu capital?: a) A interès compost anual. b) Si els interessos s’abonen mensualment.

Suposem que un automòbil deprecia el seu valor en un 15 % anual. a) Si nou va costar 24 000 €, quant valdrà als 6 anys? b) Quants anys han de passar perquè el seu valor sigui inferior a 5 000 €?

R: a) 9 051,59 €. b) 8,53 anys.

22>

Admetem que el sou dels funcionaris experimenta una pujada anual del 3,5 %, des de l’any 2000. Si un funcionari guanyava 1 600 euros mensuals a començaments de l’any 2000, quant trigarà a guanyar el doble?

R: 20,15 anys.

El 1987, la població mundial era d’uns 5000 milions d’habitants. Si el seu creixement era d’uns 80 milions per any, i suposant que la taxa de creixement romangués constant, quant temps trigaria a duplicar-se?

R: 43,7 anys.

26>

Un isòtop radioactiu decau un 9,5 % anualment. Quina és la seva vida mitjana?

R: 6,94 anys.

27>

R: a) 11,7 anys; b) 11,4 anys.

21>

A causa de la pressió ambiental, la població de conills considerada en el problema anterior s’ajusta més aviat

Sabent que el període de semidescomposició (vida mitjana) del radi 226 és de 1620 anys, calcula la quantitat de radi que quedarà d’una mostra de 12 grams al cap de 2 000 anys.

R: 5,1 grams.

28>

Com sabem, l’expressió C(t)5C 0 e2kt dóna la quantitat de matèria radioactiva d’un determinat element al cap de t anys. a) Comprova que si V és la vida mitjana d’aquest elet

£ 1 ¥v ment, llavors C(t)5C 0 ² ´ . ¤2¦

b) Troba aquesta expressió per al cas del radi. c) Quina quantitat de radi quedarà d’una mostra de 10 g al cap de 1 500 anys?

R: b) C(t) 5

; c) 5,263 g.

290

Bach_CT_U14_VAL.indd 290

19/5/08 17:21:54

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes proposats

29>

En començar l’any 2001, el nombre de refugiats emparats per ACNUR (organisme de l’ONU) era de 12,10 milions. a) Durant l’any 2000 el nombre de refugiats va augmentar un 4 %. Quants refugiats hi havia a principis del 2000? b) Durant l’any 2001 el nombre de refugiats va augmentar un 10 %. Quants refugiats hi havia a finals de 2001? c) Suposant que a partir del 2002 hi hagi una disminució regular del 10 % anual, quin any hi haurà menys d’un milió de refugiats?

R: a) 11,635 milions b) 13,31 milions; c) a mitjans del 2026.

30>

35>

A partir de la gràfica de y 5 cos x, dibuixa la gràfica de: a) f (x)522cos x; b) f (x)511cos 2x; c) f (x)5cos(x 2p)

36>

A partir de les gràfiques de les funcions sinus i cosinus dibuixa la gràfica d’aquestes funcions: b) g(x)5sin x 1cos x a) f (x)5sin2 x En cada cas, determina el període. Utilitza la calculadora per precisar algun valor.

R: a) p; b) 2p.

37>

F (x)540 000135 000?sin(0,6x).

Fa quatre anys que es va repoblar una zona amb 100 exemplars d’una nova espècie de pins. Actualment n’hi ha 25 000 exemplars. S’estima que el número N de pins ve donat en funció del temps, t, per la funció N 5 AeBt, on A i B són dos constants. El temps t es considera expressat en anys des del moment de la repoblació. Quant temps s’ha d’esperar perquè n’hi hagi 200 000 exemplars?

on x és el temps en anys des de la data de partida. L’estudi de les fluctuacions de la seva principal presa,la llebre, també varia de manera sinusoïdal amb el mateix període. Es va observar, no obstant això, que les llebres aconseguien un màxim de 110 000 individus dos anys abans que els linxs aconseguissin el seu, sent el mínim estimat de llebres de 10 000. a) Troba la funció f (x) que descrigui el nombre de llebres. b) Representa les funcions F (x) i f (x) i indica en el gràfic el moment en què les dues poblacions són iguals.

R: 5,5 anys.

Tipus IV: Funcions trigonomètriques i aplicacions

31>

Troba el període de les funcions següents: b) f (x)54 x 1sin x ; a) f (x)54sin x ; c) f (x)542sin x En quins punts tallen aquestes funcions l’eix OX?

R: a) 2p; x 5 kp; b) No és periòdica; x 5 0; c) 2p.

32>

Troba el període de les funcions següents: x a) f (x)5412cos x ; b) f (x)5cos ; c) f (x)5cos 2x 2

En quins punts tallen aquestes funcions l’eix OX? R: a) 2p; b) 4p; x 5 p 1 2Kp; c) p; x 5 p/4 1 kp/2.

33>

Troba el període de les funcions següents: a) f (x)512tagx ; b) f (x)5tag2x ; c) f (x)5tagpx En quins punts tallen aquestes funcions l’eix OX?

R: a) p; x 5 p/4 1 kp; b) p/2: x 5 kp/2; c) 1; x 5 k.

34>

A partir de la gràfica de y 5 sin x, dibuixa la gràfica de: a) f (x)52sin x ; b) f (x)522sin x ; c) f (x)5sin(x 22) .

Suposem que el nombre de linxs en una regió del Canadà es pot expressar per la funció:

R: a) f (x)560 000150 000 sin ÈÎ 0,6(x 12)˘˚ .

38>

Resol amb la calculadora l’equació 2 cos p x 5 1,8.

Dóna la interpretació gràfica de les solucions.

R: 0,1436; 1,8564.

39>

El consum d’energia elèctrica d’una família, en quilowatts hora (kWh), ve donat per la funció ¥ £ 2p E(x)56001450 cos ² (x 21)´ , on x indica els me¤ 12 ¦

sos de l’any (gener 5 1). a) Quin és el consum el gener, el juliol, l’octubre? b) Quin mes es consumeix més?; i quin menys? c) Quin període té E(x)? d) Fes un esbós de la seva gràfica.

R: a) 1050, 150 i 600 kWh; b) gener; juliol; c) anual.

291

Bach_CT_U14_VAL.indd 291

19/5/08 14:05:40

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 10 qüestions bàsiques • 2 qüestions per a investigar

10 qüestions bàsiques Les 10 qüestions que segueixen has de contestar-les, aproximadament, en 15 minuts. Si en falles més de dues, et recomanem que estudiïs una mica més.

1>

Sabent que loga x 5b ⇔ a b 5 x, troba: a) log3 81 ;

b) loga a 3 ;

2>

Troba amb la calculadora:

a) log327 ;

b) ant log 4,28

3>

Resol:

a) 3 x 581;

b) 3 x

4>

Resol:

a) 3 x 510

b) log x 552

5>

Resol:

a) log 52

6>

Quina de les afirmacions següents és falsa?: a) f (x)52 x és creixent sempre. b) g(x)50,5 x és decreixent sempre. c) h(x)53 x pot prendre valors negatius.

7>

Indica les igualtats que són vertaderes: A a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B c) log A2log B5log b)

x 5

2 21

c) ln e 6 .

527

b) log5 x 52

e) (log A)n 5 n ? log An

B

A log A 5log B log B

d) n ? log A 5 log An

f) 3 1 log A 5 log(3000A)

8>

Una colònia de 2500 ratpenats augmenta de nombre anualment un 12 %. Quants ratpenats hi haurà al cap de 6 anys?

9>

Dibuixa en l’interval [0, 2p] les funcions sinus i cosinus.

10>

Aparella les funcions: f (x)521sin x; g(x)5sin2x ; h(x)5sin(x 12) amb les gràfiques que segueixen:

1

1 -2

π

x

-2

1

π

x

-2

π

x

Fig. 14.26

R: 1. a) 4; b) 3; c) 6. 2. a) 2,5145; b) 19054,6. 3. a) 4; b) ± 2. 4. a) 2,0959; b) 2,24. 5. a) 500; b) 2,86. 6. c).

7. c) i d) 8. 4935. 10. D’esquerra a dreta: g(x), f(x), h(x).

2 qüestions per a investigar 1>

Investiga sobre els models de creixement de poblacions (dinàmica de població). Entra a: http://platea.pntic.mec. es/~cmarti3/CTMA/BIOSFERA/crecto.htm http://www.educa.aragob.es/iescarin/depart/biogeo/varios/BiologiaCurtis/Seccion%208/8%202%20Capitulo%2052.htm

2>

Representa les gràfiques que indiquen l’hora de l’alba i de la posta de sol per a la teva ciutat l’any en curs. Per a obtenirne les dades entra a la pàgina web http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/astronomia.htm. Les coordenades geogràfiques de les ciutats d’Espanya es troben a: http://www.sitiosespana.com/paginas/coordenadas.htm

292

Bach_CT_U14_VAL.indd 292

19/5/08 14:05:43