Probabilitat by 5minutsciencia

TEMA 12 PROGRAMACIÓ DIDÀCTICA CONTINGUTS Dimensió resolució de problemes

Esdeveniments aleatoris. Relacions i operacions. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats. Probabilitats en experiències simples i compostes. Composició d’experiències.

Dimensió raonament i prova

Distinció de tipus d’experiències.

Dimensió connexions

Probabilitats aplicades a la vida quotidiana.

Dimensió comunicació i representació

Representació de taules de contingència i de diagrames en arbre.

Deducció de probabilitats. Càlcul manual i mental. Expressió oral i escrita dels conceptes associats a la probabilitat. Coneixement de l’ús de la calculadora.

CRITERIS D’AVALUACIÓ Dimensió resolució de problemes

Resoldre problemes de la vida quotidiana en què calgui la utilització de taules, diagrames i nocions de probabilitat, fent ús de la forma de càlcul més apropiada i valorant l’adequació del resultat al context. Aplicar propietats dels esdeveniments i de les probabilitats. Resoldre problemes de probabilitat composta utilitzant el diagrama en arbre quan convingui. Interpretar les taules de contingència. Resoldre problemes de probabilitat relacionats amb aquestes taules.

318

Dimensió raonament i prova

Planificar i utilitzar processos de raonament i estratègies de resolució de problemes, tals com la realització de conjectures, la seva justificació i la generalització.

Dimensió connexions

Utilitzar models que facilitin la comprensió de conceptes i propietats per a la resolució de problemes en contextos d’altres disciplines. Emprar també relacions que afavoreixin l’anàlisi de situacions i el raonament.

Dimensió comunicació i representació

Expressar verbalment i per escrit amb precisió raonaments, relacions quantitatives i informacions que incorporin elements matemàtics, simbòlics o gràfics, valorant la utilitat del llenguatge matemàtic.

OBJECTIUS DE L’APRENENTATGE COMPETÈNCIES BÀSIQUES DE L’ÀMBIT MATEMÀTIC Dimensió resolució de problemes

C1 C2

Entendre el plantejament de problemes de probabilitats. Determinar correctament la informació que s’hi aporta i la que es demana. Calcular probabilitats en experiències de diferents tipus. Saber emprar diferents sistemes per resoldre problemes i per comprovar solucions.

Revisar els procediments utilitzats i, si cal, rectificar-los. Recórrer al càlcul manual o al mental, segons que convingui.

Dimensió raonament i prova

Plantejar problemes senzills a partir de les dades d’un altre problema.

Raonar si una experiència és simple o composta, regular o irregular, amb reemplaçament o sense, independent o dependent... Deduir la probabilitat segons el tipus d’experiència.

Dimensió connexions Dimensió comunicació i representació

Utilitzar la probabilitat en situacions properes, com per exemple en exercicis amb boles, daus, monedes, cartes i fitxes de dòmino, o en l’estudi d’hàbits i característiques de persones.

Resoldre alguns problemes de càlcul de probabilitats mitjançant la combinatòria.

Identificar l’aplicació del treball amb probabilitats en les ciències experimentals, en les ciències socials...

Representar i interpretar taules de contingència i diagrames en arbre.

C10

Exposar, oralment o per escrit, les idees matemàtiques de manera entenedora emprant la terminologia adequada. Habituar-se a comprendre les idees matemàtiques expressades pels companys.

C12

Emprar la calculadora per fer les operacions més feixugues.

Competències bàsiques GENERALS CB1. Competència comunicativa, lingüística i audiovisual

Saber interpretar adequadament i amb la màxima precisió els enunciats dels problemes. Ser capaç d’expressar correctament les idees matemàtiques i d’explicar els procediments emprats per a la resolució dels problemes. Adquirir i usar el vocabulari específic adequat.

CB3. Competència en el coneixement i la interacció amb el món físic

Valorar les matemàtiques com un mitjà per estudiar fets quotidians.

CB5. Competència digital

Utilitzar la calculadora com a ajut en els càlculs.

CB6. Competència social

Aprendre les nocions necessàries per interpretar les enquestes que surten als mitjans de comunicació, així com les taules i gràfics que hi apareixen.

i ciutadana

CB7. Competència d’aprendre Saber millorar l’atenció, la concentració i la memòria. a aprendre Obtenir informació i transformar-la en coneixement propi. Aplicar coneixements i destreses adquirits amb anterioritat en altres contextos.

CB8. Competència

d’autonomia, iniciativa personal i emprenedoria

Mostrar iniciativa pròpia. Organitzar les tasques i els temps d’una manera adequada.

319

Notes

TEMA 12

CÀLCUL DE PROBABILITATS Probabilitat: del joc…

Històricament, l’interès per la probabilitat comença amb els jocs d’atzar. Cardano, algebrista italià del segle XVI, va ser un jugador incorregible en algunes èpoques de la seva vida. Aquesta passió el va dur a escriure un llibre sobre el joc, en el qual, per primera vegada, es teoritza sobre les probabilitats. Va ser un altre jugador, al segle XVII, el cavaller de Méré, qui va induir, sense saber-ho, els matemàtics Pascal i Fermat a mantenir una fructífera correspondència: en les seves cartes proposaven solucions a alguns problemes sobre jocs plantejats per Méré i elucubraven sobre altres situacions probabilístiques. Així va néixer, amb aquests dos genis, la base de la teoria de les probabilitats. Ni Pascal ni Fermat van publicar les seves conclusions, però sí que ho va fer Huygens el 1656, en un breu llibre titulat Sobre els raonaments en els jocs d’atzar.

…a la ciència

Jacques Bernoulli va recollir allò que havia escrit Huygens, ho va ampliar i completar, i va construir així el primer llibre important sobre la teoria de les probabilitats: Art de la conjectura.

Laplace, el 1812, va publicar Teoria analítica de les probabilitats, on va recollir i organitzar nombrosos resultats que havia anat obtenint i difonent des de feia 40 anys. Es tracta de la major aportació de la història a aquesta teoria. És seva la frase següent: La teoria de les probabilitats és només sentit comú expressat amb nombres.

Al començament del segle XX, el rus Kolmogorov va elaborar una axiomàtica de la teoria de la probabilitat, cosa que va acabar de conferir-li la precisió necessària per ser considerada una branca de les matemàtiques.

264

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 264

És interessant veure com les especulacions empíriques sorgides de la pràctica del joc donen lloc a tota una ciència ben fonamentada. L’atzar, allò aleatori, que és sinònim d’imprevisible, caòtic, es doma i es canalitza de manera que serveix de base per realitzar previsions sòlides. Aquesta lectura es pot complementar amb la introducció històrica de la unitat 13 de 3r.

320

14/06/16 11:41

solucions Un problema bonic, una resolució enginyosa

Abans de començar, utilitza el que ja saps

La proporció de nusos bons en el segon pas és 2/3.

Un problema bonic, una resolució enginyosa Hi ha problemes de probabilitats la resolució dels quals, aparentment molt difícil, se simplifica notablement si s’enfoca de manera adequada. Imagina una gran quantitat de gent duent a terme l’experiència següent:

S’agafen 6 trossos de corda.

Es lliguen suaument amb un nus central.

Si hem arribat fins aquí, el tercer nus és necessàriament bo. És a dir, tots ho són. La proporció d’èxits és: 4 2 8 · ·1= 5 3 15 Més de la meitat de les vegades!

Es nuen, de dos en dos, els sis caps de dalt. També els de baix.

Notes

Es desfà el nus central. Quina proporció de gent aconseguirà que els sis trossos de corda els quedin com es veu a la dreta? Fes tu mateix l’experiència. Si ho feu tots els de la classe, podreu veure que, sorprenentment, hi haurà molts «èxits».

D B B B

Segueix aquest raonament per esbrinar la proporció de persones que aconsegueix tenir èxit: Després dels tres primers nusos, tothom es troba com veus a l’esquerra. Fins aquí, tots els qui ho intenten van per bon camí. S’agafa un dels caps. El podem nuar a qualsevol dels altres cinc. Quatre d’aquests són bons (B) i un és dolent (D). 4 . La proporció de gent que farà un nus bo és 5 Ja s’ha fet un nus bo. Amb un dels caps que queden podem fer tres nusos, només dos dels quals són bons. Per tant…

• Completa el raonament i esbrina quina proporció de persones tindrà «èxit». És a dir, quina és la probabilitat que s’aconsegueixi un únic cercle amb les sis cordes.

Hauràs de recordar

• Què són els esdeveniments. • Quines experiències són regulars i quines són irregulars.

www1. Alguns continguts estan desenvolupats en www.espaibarcanova.cat, juntament amb algunes activitats per posar-los en pràctica.

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 265

265

14/06/16 11:41

Abans de començar

Hauràs de recordar

Abans de veure teòricament aquest bonic problema, es pot realitzar empíricament a l’aula. Per a això, només cal portar tants manats de sis cordes com alumnes hi hagi i seguir, pas a pas, el que es descriu aquí. El resultat serà: alguns obtenen tres anells de dues cordes cada un; altres, dos anells, un de dues cordes i un altre de quatre cordes; i els altres, un únic anell amb les sis cordes. La sorpresa serà comprovar que aquests darrers són majoria, aproximadament la meitat del total (els alumnes, a priori, creuen que aquest és un cas molt rar, per la qual cosa solen celebrar amb entusiasme l’obtenció de cada èxit).

El web www.espaibarcanova.cat ofereix recursos amb què activar coneixements previs i repassar continguts bàsics imprescindibles per abordar amb èxit l’estudi de la unitat. Es treballen, en concret, les qüestions següents: • Què són els esdeveniments. • Quines experiències són regulars i quines són irregulars.

321

coneixements mínims • Conèixer les experiències aleatòries, les seves característiques i nomenclatura.

1. Els esdeveniments: relacions i operacions

www2. Repàs. Conceptes d’experiment aleatori, espai mostral i esdeveniment.

Sovint ens trobem amb esdeveniments que no podem predir si ocorreran o no; és a dir, que depenen de l’atzar. Són esdeveniments aleatoris. S’anomenen esdeveniments aleatoris aquells en la realització dels quals influeix l’atzar.

Notes

1.1. Experiències aleatòries Per estudiar l’atzar i les seves propietats, podem fer experiències aleatòries, és a dir, experiments els resultats dels quals depenen de l’atzar. Per exemple, estudiem l’experiència aleatòria consistent a tirar un dau i observar el que surt i recordem, a partir d’aquesta, alguns conceptes bàsics. • Cas: Cada un dels resultats que es poden obtenir en dur a terme una experiència aleatòria s’anomena cas. Els possibles casos , , , , , en tirar un dau són: • Espai mostral: El conjunt de tots els casos possibles s’anomena espai mostral, que designem amb E. , , , , , En el dau, l’espai mostral és: E =

{

}

• Esdeveniments: Són els subconjunts de l’espai mostral. Alguns esdeveniments (n’hi ha molts més) de l’experiència tirar un dau són:

{

},{

},{ },{

}

Experiència aleatòria és aquella el resultat de la qual depèn de l’atzar. Cada possible resultat d’una experiència aleatòria s’anomena cas. Espai mostral és el conjunt de tots els casos possibles. Els esdeveniments són subconjunts extrets de l’espai mostral. Els casos també són esdeveniments. Es denominen esdeveniments elementals. • L’espai mostral es designa també com a esdeveniment total o esdeveniment segur. • L’esdeveniment buit, Ö, no té cap cas. S’anomena, també, esdeveniment impossible. • • • • •

Cada vegada que es duu a terme una experiència aleatòria, ocorre un esdeveniment elemental. També ocorre qualsevol esdeveniment que conté aquest esdeveniment elemental. Per exemple, si en tirar un dau surt 2, ocorren els esdeveniments {2}, PARELL = {2, 4, 6}, {2, 5}, {1, 2, 3} i qualsevol altre esdeveniment que contingui el 2. L’esdeveniment E ocorre sempre. L’esdeveniment Ö no ocorre mai. www 2. Repàs. Conceptes d’experiment aleatori, espai mostral i esdeveniment.

266

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 266

En aquest epígraf es pretén mostrar les relacions que es poden trobar entre els diferents esdeveniments. Creiem que analitzar situacions reals és l’opció més adequada per assegurar que els estudiants diferenciïn l’esdeveniment incompatible del contrari i identifiquin un esdeveniment com a unió i intersecció d’altres. Pot ser un bon exercici que, utilitzant diagrames gràfics, representin A » B, A « B, dos esdeveniments incompatibles i dos de contraris. Aquests continguts es reforçaran al llarg de la unitat resolent activitats en què és necessari fer servir la unió i la intersecció d’esdeveniments per descriure el resultat d’un experiment així com les seves probabilitats.

322

14/06/16 11:41

1.2. Relacions i operacions amb esdeveniments

A«B

12.1. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b) A = {2, 3, 5, 7} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10} B = {3, 6, 9} B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 9} A » B = {3} A « A' = E A » A' = Ö

Per exemple, si A = {1, 2, 3, 4} i B = {1, 3, 5}, aleshores A « B = {1, 2, 3, 4, 5}.

S’anomena intersecció de dos esdeveniments A i B, i es designa A » B (es llegeix «A intersecció B») l’esdeveniment format pels elements que pertanyen simultàniament a A i a B. L’esdeveniment A » B ocorre quan ho fan al mateix temps A i B. Per exemple, si A = {1, 2, 3, 4} i B = {1, 3, 5}, aleshores A » B = {1, 3}.

} i{

{

són incompatibles

}

12.2. a) {c, c, c}, {c, c, +}, {c, +, c}, {+, c, c}, {c, +, +}, {+, c, +}, {+, +, c}, {+, +, +}

Dos esdeveniments són incompatibles quan no tenen en comú cap esdeveniment elemental. És a dir, és impossible que ocorrin simultàniament.

b) S = {{c, c, c}, {c, c, +}, {c, +, c}, {c, +, +}}

Per exemple, els esdeveniments {1, 2} i {4, 5, 6} són incompatibles perquè no tenen cap esdeveniment elemental comú. Si dos esdeveniments, A i B, són incompatibles, aleshores A » B = Ö.

{

} i{

són contraris

ACTIVITATS

}

c) S': «la primera vegada ha sortit creu»

Un esdeveniment, S’, es diu que és contrari de l’esdeveniment S quan entre ambdós es reparteixen els elements de l’espai mostral. És a dir, sempre ocorre l’un o l’altre, però no ocorren mai simultàniament.

www3. Reforç. Relació entre un esdeveniment i el seu contrari.

Per exemple, l’esdeveniment contrari de S = {1, 2} és S' = {3, 4, 5, 6} perquè no tenen cap esdeveniment elemental comú i junts formen tot l’espai mostral. És a dir, S’ és el que li falta a S per completar E. Si S' és l’esdeveniment contrari de S, aleshores S » S' = Ö i S « S' = E.

12.1. Una bossa conté 10 boles numerades de l’1

12.2. Llancem tres vegades una moneda.

al 10. L’experiència consisteix a extreure’n una i anotar-ne el número. a) Quin és l’espai mostral? b) Considerem els esdeveniments: A = «obtenir nombre primer» B = «obtenir múltiple de 3» Escriu els esdeveniments: A A' A«B A « A' B B' A»B A » A'

a) Escriu tots els esdeveniments elementals: (C, C, C ), (C, C, +), (C, +, C )… b) Indica quins d’aquests esdeveniments componen l’esdeveniment S = «la primera vegada ha sortit cara». c) Escriu un esdeveniment incompatible amb S.

• Conèixer les operacions amb esdeveniments aleatoris i les relacions entre aquests. solucions

S’anomena unió de dos esdeveniments A i B, i es designa A « B (es llegeix «A unió B») aquell esdeveniment format per tots els elements de A i per tots els de B. L’esdeveniment A « B ocorre quan ho fan A o B o ambdós.

A»B

TEMA

coneixements mínims

Notes

www 3. Reforç. Relació entre un esdeveniment i el seu contrari.

267

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 267

14/06/16 11:41

323

coneixements mínims • Reconèixer que els fenòmens d’atzar estan sotmesos a regularitats i lleis.

2. Probabilitats dels esdeveniments. Propietats

Notes

La probabilitat d’un esdeveniment S, que es designa P[S], indica el grau de confiança que podem tenir que aquest esdeveniment ocorri. S’expressa mitjançant un nombre comprès entre 0 i 1. 1 significa que, a la llarga, l’esdeveniment S ocorre 3 una de cada tres vegades que es duu a terme l’experiència. Si P [S ] és un nombre pròxim a 0, l’esdeveniment és poc probable. Si P [S ] és un nombre pròxim a 1, l’esdeveniment és molt probable. Per exemple, P [S ] =

2.1. Propietats de les probabilitats dels esdeveniments

La probabilitat que ocorri l’esdeveniment segur és 1; això és natural, perquè ocorre el 100 % de les vegades que es duu a terme l’experiència. També és natural que aquest 100 % es reparteixi entre els esdeveniments elementals de què consta la prova. Les propietats següents són traducció d’aquests fets.

Propietats de la probabilitat • La probabilitat de l’esdeveniment impossible és zero: P[Ö] = 0 La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1: P[E] = 1 La probabilitat de qualsevol altre esdeveniment és un nombre comprès entre 0 i 1: 0 < P[S ] < 1 • La suma de les probabilitats dels esdeveniments elementals és 1. És a dir: Si E = {x1, x2, …, xn}, aleshores: P[x1] + P[x2] + … + P[xn] = 1 • La probabilitat d’un esdeveniment és la suma de les probabilitats dels seus esdeveniments elementals: Si S = {s1, s2, …, sk}, aleshores: P[S] = P[s1] + P[s2] + … + P[sk] • Si dos esdeveniments S i S’ són contraris, aleshores les seves probabilitats sumen 1: P[S] + P[S' ] = 1

P[S' ] = 1 – P[S]

268

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 268

Plantegem aquí les regles del joc en probabilitat, unes regles que s’han de complir perquè tot sigui correcte. Apel·lant a la relació entre probabilitat i freqüència relativa, els estudiants han de descobrir amb facilitat com estan d’íntimament relacionades també les seves propietats.

324

14/06/16 11:41

TEMA

12 EXEMPLE

coneixements mínims • Conèixer la diferència entre experiències aleatòries regulars i irregulars.

Assignació de probabilitats a les cares d’un dau. Entre les sis cares del dau, les relacions següents: • P [E ] = P [

] + P[

solucions

, es donen

] + P[

12.3. • Dau correcte: 2 1 P [A] = ; P [A' ] = 3 3 • Dau defectuós: P [A] = 0,5; P [A'] = 0,5

]=1

• La probabilitat d’un esdeveniment que consta de diversos casos: S={

}

8 P [S ] = P [

] + P[

]

• La probabilitat de l’esdeveniment contrari de S és: P [S' ] = P [

= P [E ] – (P [

] = P[ ] + P[

] + P[ ] + P[

] + P[

Notes

]) = 1 – P [S ]

Per assignar valors concrets a aquestes probabilitats, hem de saber com és el dau:

Si el dau és correcte, la probabilitat de cada cara és 1/6.

a) Si el dau és correcte, els sis esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat (són equiprobables). En aquest cas: • P[ ] = P [ ] = … = P [ ] = 16 , perquè 6 · 16 = 1 , , • P[S] = P [{ }] = P [ ] + P [ ] + P [ ] = 3 · 16 = 12 1 1 • P[S' ] = 1 – P[S] = 1 – = 2 2 b) Si el dau és defectuós, els esdeveniments elementals no tenen la mateixa probabilitat. • El repartiment de probabilitats pot ser qualsevol, sempre que la seva suma sigui 1. Per exemple:

Si el dau és defectuós, les cares tenen probabilitats diferents.

] = 0,2

] = 0,3

] = 0,15

] = 0,1 P [

• P[S] = P [{

}] = P [

] = 0,15 ] = 0,1

] + P[

= 0,2 + 0,15 + 0,1 = 0,45 • P[S' ] = 1 – P[S] = 1 – 0,45 = 0,55 Realment, en aquest cas, l’assignació de probabilitats s’ha de fer mitjançant l’experimentació, com s’explica en l’apartat següent.

ACTIVITATS 12.3. Troba la probabilitat dels esdeveniments

A = {3, 4, 5, 6} i A', tant en el cas del dau correcte com

en el del dau defectuós de l’exemple anterior.

269

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 269

14/06/16 11:41

325

coneixements mínims • Saber assignar probabilitats a successos elementals d’experiències aleatòries regulars i irregulars.

3. Probabilitats en experiències simples 3.1. Experiències irregulars

Notes

Per calcular la probabilitat d’un esdeveniment corresponent a una experiència irregular (una xinxeta, un dau carregat, extreure una bola d’una bossa la composició de la qual ignorem…) caldrà experimentar. És a dir, repetir l’experiència moltes vegades, esbrinar la freqüència relativa d’aquest esdeveniment i assignar-li aquest valor (aproximat) a la probabilitat. Com més vegades fem l’experiència, més fiable serà el valor assignat. Per exemple, si en una bossa hi ha boles de cinc colors ( , , , i ) i fem 100 vegades l’experiència d’extreure, mirar, anotar i tornar a la bossa, obtenint els resultats següents: f ( ) = 34, f ( ) = 23, f ( ) = 21, f ( ) = 8, f ( ) = 14 assignaríem els valors següents a les probabilitats: P [ ] ≈ fr ( ) = 0,34; P [ ] ≈ fr ( ) = 0,23; P [ ] ≈ fr ( ) = 0,21; P [ ] ≈ fr ( ) = 0,08; P [ ] ≈ fr ( ) = 0,14

3.2. Experiències regulars. Llei de Laplace Si l’experiència aleatòria es realitza amb un instrument regular (dau correcte, baralla completa…), entra en joc la llei de Laplace. Recordem-la: • Si l’espai mostral té n casos i l’experiència és regular, aleshores tots tenen la mateixa probabilitat, 1/n. • Si un esdeveniment té k casos, aleshores la seva probabilitat és k/n. nombre de casos favorables a S P [S] = nombre total de casos possibles Per exemple, en una bossa hi ha 40 boles idèntiques excepte en el color. D’aquestes, 15 són vermelles. Aleshores, en extreure una bola a l’atzar: 15 3 = = 0,375 P [Vermella] = 40 8

ACTIVITATS RESOLTES 1. Tirem un dau amb forma de dodecaedre perfecte, amb les cares numerades de l’1 al 12. Calcula: 1 a) P[8] P[8] = . Hi ha 12 casos, i el «8» és un d’ells. 12 2 1 b) P[menor que 3] Només 1 i 2 són menors que 3 8 P[menor que 3] = = 12 6 6 1 c) P[senar] Hi ha 6 números senars menors que 12 8 P[senar] = = 12 2 5 d) P [nombre primer] 2, 3, 5, 7, 11 són primers 8 P[nombre primer] = 12 3 1 e) P[més gran que 4 però menor que 8] P [{5, 6, 7}] = = 12 4

270

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 270

L’alumne ha de veure clarament que la via experimental (reiterar l’experiència, comptar la freqüència amb què ocorre l’esdeveniment i estimar la probabilitat a partir d’aquesta) és l’única manera d’assignar probabilitats als esdeveniments de les experiències que anomenem irregulars. Arribats a aquest punt, ens plantegem calcular la probabilitat en experiències regulars; és de suposar que l’alumnat identifica quan es dóna aquesta situació en un problema. Per tant, l’esforç l’han de posar a comptar intel·ligentment els casos favorables i possibles.

326

14/06/16 11:41

TEMA

12 ACTIVITATS RESOLTES 2. S’han fabricat amb un motlle diversos milers de daus. Sospitem que són incorrectes. Com procedirem per esbrinar si són correctes o no? En el cas que no ho siguin, com avaluarem la probabilitat de cada cara? Podem suposar que tots els daus són idèn1 2 3 4 5 6 tics. Experimentem amb diversos daus fent, f 154 123 236 105 201 181 en total, 1.000 llançaments. Aquests són els resultats: fr 0,154 0,123 0,236 0,105 0,201 0,181

1 1 ; b) P [<5] = ; 4 2 • 1 3 c) P [primer] = ; d) P [no 3 ] = 2 4 12.5. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 11 9 7 ; P [2] = ; P [3] = ; 36 36 36 5 3 1 P [4] = ; P [5] = ; P [6] = 36 36 36 3 b) P [<4] = 4 1 c) P [no <4] = 4 www4. Reforç. Càlcul de probabilitats senzilles. P [1] =

Nre. de vegades

Probabilitat

6/36

10/36

8/36

6/36

4/36

2/36

solucions •

3. Tirem dos daus correctes i anotem les diferències de les puntuacions. A partir de la taula de l’esquerra, construïm la distribució següent:

Diferències

• Saber aplicar amb eficàcia la llei de Laplace.

12.4. a) P [3 ] =

Observem que algunes de les freqüències relatives es diferencien massa del valor 1/6 = 0,166… Com que el nombre d’experimentacions (1.000) és prou gran, podem concloure que el dau és defectuós. Prendrem les freqüències relatives de les diverses cares com a valors aproximats de les respectives probabilitats. 0

coneixements mínims

a) Quin és l’espai mostral? Quina probabilitat té cada cas? En la taula anterior hi ha l’espai mostral, E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, amb les probabilitats associades a cada cas. b) Troba la probabilitat de l’esdeveniment «la diferència és superior a 3». P [Diferència superior a 3] = P [{4, 5}] = 4/36 + 2/36 = 6/36 = 1/6

Notes

4. Un joc de cartes només distingeix aquestes possibilitats: FIGURA (sota, cavall o rei), AS, MENOR QUE 6 (2, 3, 4, 5), MÉS GRAN QUE 5 (6, 7). Hi ha 40 cartes. La probabilitat de cada una és 1/40. a) Quin és l’espai mostral? En aquest joc l’espai mostral és E = {«FIGURA», «AS», «< 6», «> 5»}. b) Digues la probabilitat en cada cas. Hi ha 3 figures en cada pal ÄÄ8 P [FIGURA] = 12/40 = 3/10 = 0,3 Hi ha 4 asos en la baralla ÄÄÄÄ8 P [AS] = 4/40 = 1/10 = 0,1 Hi ha 4 números < 6 en cada pal 8 P [< 6] = 16/40 = 2/5 = 0,4 Hi ha 2 números > 5 en cada pal 8 P [> 5] = 8/40 = 1/5 = 0,2 c) Quina és la probabilitat de «no FIGURA» P [no FIGURA] = 1 – P [FIGURA] = 1 – 0,3 = 0,7

ACTIVITATS 12.4. Tirem un dau amb forma d’octaedre, amb

12.5. Tirem dos daus i anotem la menor puntuació.

les cares numerades de l’1 al 8. Avalua aquestes probabilitats: a) P [múltiple de 3] b) P[menor que 5] c) P[nombre primer] d) P[no múltiple de 3]

a) Escriu l’espai mostral i assigna-li probabilitat a cada un dels casos. b) Troba la probabilitat de l’esdeveniment «la menor puntuació és menor que 4» = «< 4». c) Troba P[no < 4].

www 4. Reforç. Càlcul de probabilitats senzilles.

271

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 271

14/06/16 11:41

Moltes vegades tendeixen a aplicar la llei de Laplace de manera equivocada. Per exemple, en llançar dues monedes es poden obtenir 0 cares, 1 cara o 2 cares, de manera que li assignen probabilitat 1/3 a cada un d’aquests tres casos. És, per tant, necessari realitzar activitats en què se n’identifiqui de forma clara l’ús i un altre tipus d’activitats en què es requereixi una reflexió prèvia abans d’usar la llei de Laplace. Activitats en aquesta línia es veuen en les activitats resoltes i es proposen al final de la pàgina.

327

coneixements mínims • Saber distingir les experiències dependents de les independents.

4. Probabilitats en experiències compostes

solucions

Les experiències simples que formen una experiència composta poden ser dependents o independents.

12.6. Són independents. 12.7. Són dependents.

Dues experiències aleatòries o més s’anomenen independents quan el resultat de cada una no depèn del resultat de les altres.

www5. Reforç. Distinció entre experiències dependents i independents.

Per exemple, el llançament de dos daus pot considerar-se com a composició de dues proves (un dau i un altre dau) independents, perquè el resultat de cada dau no influeix en l’altre.

Notes

Dues experiències aleatòries o més s’anomenen dependents quan el resultat de cada una influeix en les probabilitats de les següents. Per exemple, extreure dues cartes d’una baralla (una carta seguida d’una altra carta) és la composició de dues proves dependents, perquè el resultat de la primera influeix en les probabilitats dels esdeveniments de la segona: 1a extracció queden 2a extracció —————— ———— —————— AS 39 cartes, 3 ASOS P[AS] = 3/39 NO AS 39 cartes, 4 ASOS P[AS] = 4/39 Com veiem, les probabilitats dels esdeveniments en la 2a extracció depenen del que va ocórrer en la 1a.

4.1. Extraccions amb reemplaçament o sense

Recorda Les experiències següents: a) Extreure tres cartes d’una baralla. b) Tirar cinc daus. es poden considerar com a experiències compostes d’altres simples: a) Extreure una carta d’una baralla, després una altra, i després una altra. b) Tirar un dau, i un altre… i un altre.

La 1a és AS. Queden 3 ASOS en 39 cartes. La 1a no és AS. Queden 4 ASOS en 39 cartes.

«Extraiem una bola d’aquesta bossa i, després, una altra». Falta una dada: la que hem extret la tirem novament a la bossa abans de la 2a extracció o no? • «En traiem una bola, la mirem, la tornem a la bossa, removem i en tornem a treure una», ho resumim així: «en traiem dues boles amb reemplaçament». • «En traiem una bola, la mirem i en traiem una altra» es resumeix així: «en traiem dues boles sense reemplaçament». En el primer cas, les experiències són independents. En el segon, dependents.

ACTIVITATS 12.6. Tirem un dau i, des-

12.7. Tirem un dau. Si surt

prés, traiem una bola de la bossa. Aquestes dues experiències, són dependents o independents?

parell, extraiem una bola de la bossa A. Si surt imparell, de la B. Les experiències, són dependents o independents?

A L

R PA

IMPARELL

www 5. Reforç. Distinció entre experiències dependents i independents.

272

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 272

El càlcul de probabilitats es comença a complicar amb les experiències compostes, per la qual cosa resulta convenient descompondre-les en experiències simples com es mostra en aquest apartat. S’aprèn a distingir les experiències independents de les dependents. Entre les experiències compostes, són molt freqüents (s’hi recorre molt) aquelles que tracten d’extraccions: treure boles d’una bossa, naips d’una baralla, individus d’un col· lectiu… Ara bé, és necessari distingir extraccions amb reemplaçament i sense, així com fer servir de forma àgil aquesta nomenclatura.

328

14/06/16 11:41

5. Composició d’experiències independents Experiències independents

És més senzill calcular les probabilitats dels esdeveniments compostos descomponent-los en esdeveniments simples.

El resultat de cada experiència no influeix en el resultat de la següent.

Quan diverses experiències aleatòries són independents, la probabilitat que ocorri S1 en la primera, S2 en la segona, etc., és:

TEMA

coneixements mínims • Conèixer i aplicar la composició d’experiències aleatòries independents. solucions 9 1 ; b) ; 1.000 1.000 27 729 c) ; d) 1.000 1.000

12.8. a)

P[S1 i S2 i …] = P[S1] · P[S2] · …

12.9. a)

PROBLEMES RESOLTS

1 31 ; b) 32 32

1. Tirem dos daus, un de vermell (Vm) i un altre de verd (V). Troba aquestes probabilitats: b) 5 en Vm i 3 en V

P[5 en Vm i 3 en V] = P[5] · P[3] = 1/6 · 1/6 = 1/36

c) un 3 i un 5

P[un 3 i un 5] = P[3 en Vm i 5 en V] + P[5 en Vm 1 1 2 1 i 3 en V] = + = = 36 36 36 18

PARELL

12.10. a)

P[3 en Vm i 5 en V] = P[3] · P[5] = 1/6 · 1/6 = 1/36

a) 3 en Vm i 5 en V

1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4

en Vm i > 2 en V; «PARELL» = {2, 4, 6}; «> 2» = {3, 4, 5, 6} 3 4 12 1 · = = 6 6 36 3

1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5

P [PARELL en Vm i > 2 en V] = P [PARELL] · P [> 2] =

1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6

2. Traiem una bola de l’urna A i una bola de l’urna B. Calcula:

a) P[

]

] = P[1a

] · P[2a

2 3 6 1 · = = 5 6 30 5

b) P[

]

] = P[1a

] · P[2a

2 2 4 2 · = = 5 6 30 15

c) P[

]

] = P[1a

] · P[2a

d) P[una

i l’altra

e) P[la segona

]

] = P[

1 24 1 b) P [+, +, (2, 4, 6)] = 8 12.11. a) P [c, c, 6] =

1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2

( ) ( )

1 1 7 ; b) ; c) 8 8 8

www6. Reforç. Càlcul de probabilitats amb experiències independents.

Notes

3 3 9 3 · = = 5 6 30 10 4 9 13 i ] + P[ i ] = + = 30 30 30

P[una

i una altra

P[la 2a

] = P[qualsevol cosa la 1a] · P[la 2a

]=1·

1 1 = 6 6

ACTIVITATS 12.8. S’extreuen 3 cartes amb reemplaçament.

12.10. Tirem 3 monedes. Calcula:

Troba: a) P[AS en 1a i FIGURA en 2a i 3a] c) P[un AS i dues FIGURES]

a) P[tres cares] c) P[alguna cara]

b) P[3 ASOS] d) P[cap AS]

12.9. Es llancen 5 monedes. Troba la probabilitat d’obtenir: a) 5 cares

b) alguna creu

b) P[cap cara]

12.11. Es llancen dues monedes i un dau. Quina és la probabilitat d’obtenir cara en ambdues monedes i sis en el dau? Quina, la d’obtenir creu en les monedes i parell en el dau?

www 6. Reforç. Càlcul de probabilitats amb experiències independents.

273

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 273

14/06/16 11:42

Abans de donar pas a calcular la probabilitat d’esdeveniments independents, val la pena que els alumnes aportin exemples d’experiències independents: • Llançaments de daus o de monedes. • Extraccions de boles d’una urna, o de cartes d’una baralla, amb reemplaçament. Una vegada que s’ha identificat l’experiència com a independent, caldria analitzar si l’esdeveniment que perseguim es pot descompondre en dos. Per exemple: si es demanés «calcular la probabilitat que en llançar dos daus la suma sigui més gran que 4», malgrat ser una experiència independent no es podria descompondre en dos esdeveniments. Per tant no es pot recórrer a calcular la probabilitat mitjançant el producte de probabilitats.

329

coneixements mínims • Conèixer i aplicar la composició d’experiències aleatòries dependents.

6. Composició d’experiències dependents

www7. Ampliació. Càlcul de probabilitats en composició d’experiències dependents amb diagrames en arbre.

Si dos esdeveniments S1 i S2 corresponen a proves dependents, la probabilitat que ocorri S1 en la 1a i S2 en la 2a és: P[S1 i S2] = P[S1] · P [S2 en la 2a / S1 en la 1a] = P[S1] · P[S2 / S1] L’expressió P[S2 / S1] s’anomena probabilitat condicionada: probabilitat de S2 condicionada que ocorri S1. Per a tres esdeveniments dependents:

Notes

Experiències dependents El resultat de cada experiència influeix en les probabilitats de les següents.

P [S1 i S2 i S3] = P [S1] · P [S2 / S1] · P [S3 / S1 i S2] La probabilitat condicionada P [S3 / S1 i S2] significa «probabilitat que ocorri S3 ja que s’han esdevingut S1 i S2».

ACTIVITAT RESOLTA D’una urna amb 3 boles verdes i 2 de vermelles, n’extraiem dues boles. Calcula la probabilitat que: a) Ambdues siguin verdes. Imaginem una gran quantitat de gent amb una urna amb 3 boles verdes i 2 boles vermelles. Són sotmeses a dues proves: 1a prova: Han d’extreure bola verda. 2a prova: Han de tornar a extreure verda. Esbrinem quina proporció de gent supera cada prova i, en conseqüència, quina proporció supera les dues. P[ ] = 3/5. De mitjana, 3 de cada 5 individus extreuen bola verda i superen la 1a prova. Ara, la composició de l’urna es modifica depenent del resultat de la primera prova. Com que estem seguint la pista als que extreuen bola verda, aquests tenen ara una urna amb 2 boles verdes i 2 boles vermelles. Vegem quina proporció supera la 2a prova.

PRIMERA

EXTRACCIÓ

P[ ] = 3 5

Si la 1a és

P[ en aquest cas] = 2 P[ ] = 2/4. De mitjana, 2 de cada 4 4 EXTRACCIÓ dels que superen la 1a prova superen també la 2a. 3 2 6 Proporció d’individus que superen ambdues proves: · = . És a dir: 5 4 20 3 2 6 3 la 1a] · P[ la 2a / la 1a] = · = P[ i ] = P[ = 5 4 20 10 Aquestes proves són dependents, perquè el resultat de la primera influeix en la segona. SEGONA

b) La 1a sigui vermella i la 2a verda. P[

] = P[

la 1a] · P[

la 2a /

la 1a] =

2 3 6 3 · = = 5 4 20 10

la 2a /

la 1a] =

2 1 2 1 · = = 5 4 20 10

c) Les dues siguin vermelles. P[

] = P[

la 1a] · P[

Si la 1a és , en queden quatre: 1 i 3

www 7. Ampliació. Càlcul de probabilitats en composició d’experiències dependents amb diagrames en arbre. 274

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 274

De nou és molt positiu que es posin exemples d’aquesta situació i es conclogui que quan hi ha una extracció «sense reemplaçament» s’està treballant amb experiències dependents.

330

14/06/16 11:42

TEMA

12 6.1. Descripció de l’experiència

mitjançant un diagrama en arbre

Descripció de l’experiència de la pàgina anterior en un diagrama en arbre: 3 2 6 3 P[ i ] = · = = 2/4 5 4 20 10 3 2 6 3 3/5 = P[ i ] = · = L’urna 2/4 5 4 20 10 queda així 2 3 6 3 = P[ i ] = · = 3/4 2/5 5 4 20 10 2 1 2 1 L’urna 1/4 = P[ i ] = · = 5 4 20 10 queda així

Observa

ACTIVITAT RESOLTA

Si en la 1a surt AS, queden 3 ASOS en 39 cartes. Per tant: P[AS en 2a / AS en 1a] = 3 39 Anàlogament: P[AS en 3a / AS en 1a i 2] = 2 38

Extraiem tres cartes d’una baralla espanyola. Troba la probabilitat d’obtenir tres ASOS. P[3 ASOS] = P[AS en 1a i AS en 2a i AS en 3a] = = P[AS en 1a] · P[AS en 2a / AS en 1a] · P[AS en 3a / AS en 1a i 2a] = 4 3 2 = · · 40 39 38 Ho descrivim en un 3a EXTR. 2a EXTR. diagrama en arbre: 2/38 AS 1a EXTR.

4/40

3/39

Queden 39 cartes. 3 són asos.

36/39 36/40

AS Queden 38 cartes. 2 són asos.

36/38

coneixements mínims • Càlcul de probabilitats en experiències compostes senzilles utilitzant un diagrama en arbre. solucions 12.12. P [rei i as] =

2 195

12.13. P [cap as] =

357 494

12.14. P [3 blanques] = P [3 negres] =

5 28

12.15. a) P [3 bastos] = b) P [3 bastos] =

1 64

3 247

12.16. P [blanca] =

NO AS

1 56

1 3

Notes

NO AS

P[3 ASOS] = P[AS i AS i AS] = P[AS] · P[AS en 2a / AS en 1a] · 4 3 2 1 · P[AS en 3a / AS en 1a i 2a] = · · = 40 39 38 2.470

ACTIVITATS 12.12. Extraiem dues cartes d’una baralla espa-

12.15. S’extreuen, l’una darrere de l’altra, 3 car-

nyola. Quina és la probabilitat que la primera sigui un REI i la segona un AS?

BASTOS

12.13. Completa el diagrama en arbre de l’activitat resolta d’aquesta pàgina i troba-hi P[CAP AS].

12.14. Una urna conté 5 boles negres i 3 de blanques. Extraiem tres boles. Quina és la probabilitat que les tres siguin blanques? I negres?

tes d’una baralla. Quina és la probabilitat d’obtenir les tres vegades? a) Suposa que s’extreuen amb reemplaçament. b) Suposa que s’extreuen sense reemplaçament.

12.16. Una urna A té tres boles blanques i una de negra. Una altra B té una bola negra. Traiem una bola de A i la tirem a B. Removem i traiem una bola de B. Quina és la probabilitat que sigui blanca?

275

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 275

14/06/16 11:42

El diagrama en arbre permet visualitzar-ne el procés i, per tant, el facilita. És molt interessant interpretar, com es fa en el marge, el significat de cada probabilitat que es fa servir en el diagrama, així com descriure-la utilitzant la nomenclatura adequada.

331

coneixements mínims • Conèixer les taules de contingència, així com saber-les aplicar per calcular proporcions i probabilitats.

7. Taules de contingència Cultural

Esportiva

Cap

Total

Notes

TIPUS D’ACTIVITAT EXTRAESCOLAR

CURS

En un centre docent hi ha 400 alumnes de l’ESO (120 de 1r, 100 de 2n, 100 de 3r i 80 de 4t). Cada un pot participar en una activitat extraescolar (només en una o en cap). Hi ha activitats extraescolars de dos tipus: culturals i esportives. En la taula adjunta es descriu el repartiment d’alumnes segons el curs i segons el tipus d’activitat en què participen. És una taula de contingència, perquè descriu un col·lectiu d’individus (els alumnes d’un centre) repartits per dos conceptes (curs i activitat extraescolar). En cada concepte hi ha diverses classes (4 cursos, 3 activitats). Cada individu està comptabilitzat en alguna casella i només en una.

www8. Full de càlcul. Treball amb taules de contingència.

120

100

Total

160

168

400

7.1. Proporcions i probabilitats

Com interpretem aquestes proporcions com a probabilitats? Vegem: a) Prenem a l’atzar un alumne del centre. Quina probabilitat hi ha que sigui de 1r? P[1r] = 120/400 = 0,30 b) Prenem a l’atzar un alumne de 1r. Quina probabilitat hi ha que participi en una activitat cultural? P[CULTURAL / 1r] = 12/120 = 0,10 Com designem els 44 alumnes que es troben en la intersecció de la fila 3r i la columna ESPORTIVA? Són els alumnes de 3r que participen en una activitat esportiva. Podríem calcular la probabilitat que en triar, a l’atzar, un alumne del centre, sigui de 3r i participi en una activitat esportiva: P[[3r i eSPORTIVA] = P[3r » ESPORTIVA] = 44/400 = 0,11

7.2. Probabilitats condicionades Una de les probabilitats obtingudes més amunt, P[CULTURAL / 1r], és una probabilitat condicionada. El col·lectiu de referència no és el total d’alumnes del centre sinó només els de 1r. Anàlogament, P[3r / CULTURAL] significa que el col·lectiu de referència és el conjunt d’alumnes que participen en alguna activitat cultural i ens preguntem per la probabilitat que, en triar-ne un a l’atzar, sigui de 3r.

Total

Observa la taula que tens més amunt i respon: a) a) Quants alumnes del centre participen en activitats culturals? Quants són de 2n? b) b) Quants alumnes del centre no participen en cap activitat extraescolar? Quants són de 4t? c) c) Quants alumnes de 3r participen en activitats esportives? d) d) Quants alumnes que participen en activitats esportives són de 3r?

Cap

a) Quina proporció del total són alumnes de 1r? N’hi ha 120 d’un total de 400. Per tant, 120/400 = 0,3. Són el 30 %. b) Quina proporció d’alumnes de 1r participen en activitats culturals? 12 d’un total de 120 alumnes de 1r: 12/120 = 0,10. El 10 %.

Esportiva

Interpretar una taula

Cultural

En aquesta taula podem calcular multitud de proporcions. Per exemple:

120

100

Total

160

168

400

www 8. Full de càlcul. Treball amb taules de contingència.

276

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 276

Aquesta manera de classificar els elements d’un conjunt permet posar en pràctica, a més de la destresa a interpretar una taula, la revisió d’una sèrie de conceptes lligats als esdeveniments i les seves probabilitats, així com la nomenclatura adequada: unió i intersecció d’esdeveniments, probabilitat condicionada, esdeveniment contrari… Per això, el maneig de taules de contingència resulta molt formatiu.

332

14/06/16 11:42

TEMA

12 Cap

72 120

45 100

35 100

Total

Esportiva

1. Explica el significat dels nombres que es ressalten a aquesta taula: • 400 és el total d’alumnes del centre. • 80 és el nombre d’alumnes de 4t. • 160 és el nombre d’alumnes que participen en alguna activitat esportiva. • 21 és el nombre d’alumnes de 3r que participen en alguna activitat cultural, és a dir, «3r i CULTURAL» (o bé «3r » CULTURAL»). • 40 alumnes de 2n participen en alguna activitat esportiva. • 72 alumnes de 1r no participen en cap activitat extraescolar.

Cultural

ACTIVITATS RESOLTES

Total 72 160 168 400 2. Explica el que significa cada expressió i dóna’n el valor: P[3r]: probabilitat que, en prendre un alumne del centre a l’atzar, sigui de 3r. P[3r] = 100/400 = 1/4 = 0,25 P[CAP]: proporció d’alumnes que no practiquen cap activitat. P[CAP] = 168/400 = 0,42 P[2n / CAP]: entre els alumnes que no practiquen cap activitat extraescolar, quina proporció són de 2n. P[2n / CAP] = 45/168 = 0,27 P[CAP / 2n]: entre els alumnes de 2n, quina proporció no practica cap activitat extraescolar. P[CAP / 2n] = 45/100 = 0,45

3. Per analitzar l’evolució de la participació en activitats CULTURALS en avançar l’edat, quines proporcions hem de calcular i comparar? Hem de comparar P[CULT./1r], P[CULT./2n], P[CULT./3r], P[CULT./4t]. P[CULT. / 1r] = 12/120 = 0,10 ° La participació en activitats culturals § P[CULT. / 2n] = 15/100 = 0,15 § evoluciona, de 1r a 4t, així: ¢ 10 % 8 15 % 8 21 % 8 30 % P[CULT. / 3r] = 21/100 = 0,21 § P[CULT. / 4t] = 24/80 = 0,30 §£ És clar que augmenta amb l’edat.

ACTIVITATS 12.17.

Explica el significat dels nombres 120, 168, 12, 45 i 40 (de 4t) de la taula de l’activitat resolta 1.

12.18.

Explica què significa, per a la taula de l’activitat resolta 1, cada una de les expressions següents i dóna’n el valor: P[1r] P[CULTURAL] P[CULTURAL / 4t] P[4t / CULTURAL]

12.19. Volem analitzar, partint de les dades de la taula de l’activitat resolta 1, l’evolució de l’absentisme (falta de participació) en activitats extraescolars qualssevol, en augmentar l’edat. Calcula les proporcions que convingui i compara-les.

12.20.

En una bossa hi ha 40 boles buides, i a dins de cada una hi ha un paper en què posa SÍ o NO.

Sí

Total

a) Descriu els esdeveniments SÍ, NO, , / SÍ, SÍ / i calcula’n les probabilitats. b) N’hem tret una bola vermella. Quina probabilitat hi ha que hi hagi SÍ? I si la bola és blava? c) Se n’ha tret una bola i dins posa SÍ. Quina és la probabilitat que sigui , o ?

1 1 ; P[no] = ; 2 2 1 3 P[ ] = ; P[ /sí] = ; 2 4 3 P[sí/ ] = 4 3 1 b) P[sí/ ] = ; P[sí/ ] = 4 12 3 1 c) P[ /sí] = ; P[ /sí] = ; 4 5 1 P[ /sí] = 20 www9. Reforç. Treball amb taules de contingència. 12.20. a) P[sí] =

www 9. Reforç. Treball amb taules de contingència.

277

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 277

12.17. 120 8 Nombre d’alumnes de 1r. 160 8 Nombre d’alumnes amb cap activitat extraescolar. 12 8 Nombre d’alumnes de 1r amb activitat cultural. 45 8 Nombre d’alumnes de 2n amb cap activitat extraescolar. 40 8 Nombre d’alumnes de 4t amb activitat esportiva. 120 12.18. P [1r] = = 0,3 400 (Probabilitat que un alumne triat a l’atzar sigui de 1r). 72 = 0,18 P [cultural] = 400 (Probabilitat de triar un alumne amb activitat cultural). 24 P [4t/cultural] = = 0,375 72 (Probabilitat que havent triat un alumne amb activitat cultural, aquest sigui de 4t). 24 P [cultural/4t] = = 0,3 80 (Probabilitat de triar un alumne amb activitat cultural entre tots els de 4t). 12.19. P [cap/1r] = 0,6 P [cap/2n] = 0,45 P [cap/3r] = 0,35 P [cap/4t] = 0,2 A mesura que van passant els cursos, cada vegada hi ha menys alumnes que no fan cap activitat extraescolar.

Total

solucions

14/06/16 11:42

333

coneixements mínims • Saber utilitzar la combinatòria en problemes de probabilitat.

8. Càlcul de probabilitats amb combinatòria

Notes

Vegem alguns problemes de probabilitat per a la resolució dels quals s’utilitza la combinatòria.

PROBLEMES RESOLTS 1. «Les figures de la baralla». S’extreuen tres cartes d’una baralla de 40. Quina és la probabilitat que les tres siguin FIGURES (sota, cavall o rei)? RESOLUCIÓ SENSE COMBINATÒRIA

Composició de tres experiències dependents. A la baralla hi ha 12 figures: 12 11 10 11 P [3 F] = P [1a F] · P [2a F / 1a F] · P [3a F / 1a F i 2a F] = · · = 40 39 38 494 RESOLUCIÓ RECORRENT A LA COMBINATÒRIA

Casos favorables: extreure 3 figures d’un total de 12 → C 312 Casos possibles: extreure 3 cartes d’un total de 40 → C 340 (12 · 11 · 10) / (3 · 2 · 1) 12 · 11 · 10 11 C3 = = = P [3 F] = 12 (40 · 39 · 38) / (3 · 2 · 1) 40 · 39 · 38 494 C 340

Com és natural, coincideixen els dos resultats.

2. «Els daus». Es tiren tres daus. Casos possibles en tirar tres daus: VR36 = 63 = 216 a) Calcula la probabilitat que el valor mitjà sigui «3». Per exemple:

Casos favorables a l’esdeveniment «3» = «EL 3 ÉS EL VALOR MITJÀ». Els comptem: • a

°§ a = b ¢ §b = £

• • a

°§ ¢ 2 · 3 = 6 possibilitats § £

Però podria ser o qualsevol altra permutació. Cada possibilitat anterior admet P3 = 6 ordenacions diferents. Per tant, en total hi ha 6 · 6 = 36 casos.

b → 3 possibilitats. Cada una admet 3 ordenacions. Per tant, hi ha 3 · 3 = 9 casos. → 2 possibilitats, 3 ordenacions → 6 casos

• → 1 cas En total, 36 + 9 + 6 + 1 = 52 casos favorables → P [3] = 52/216 = 0,241 b) Calcula la probabilitat que el valor mitjà sigui 6. Casos favorables a l’esdeveniment «6» = «EL MITJÀ ÉS 6». Els comptem: • a . On a pot ser 1, 2, 3, 4, 5. Són 5 casos. Cada un admet 3 ordenacions (a 6 6, 6 a 6 i 6 6 a). Hi ha, doncs, 15 casos. •

. Només 1 cas.

16 = 0,074 216 Atenció. Observem que, per simetria, es donen les igualtats següents: P [1] = P [6]; P [2] = P [5]; P [3] = P[4]. Per tant, P [1] + P [2] + P [3] = 0,5. Podem obtenir la probabilitat de cada cara: P [1] = P [6] = 0,074; P [3] = P [4] = 0,241; P [2] = P [5] = 0,5 – (0,074 + 0,241) = 0,185

En total hi ha 16 casos favorables. P [6] =

278

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 278

En aquest nivell, el més raonable és resoldre els problemes de probabilitat d’experièn cies compostes raonant pas a pas, com hem suggerit en pàgines anteriors. Una vegada captades les tècniques combinatòries de la unitat anterior, és bo que l’alumne vegi la seva possible aplicació al càlcul de probabilitats. I això s’aconsegueix utilitzant- les en la resolució d’alguns problemes.

334

14/06/16 11:42

TEMA

12 PROBLEMES RESOLTS

Notes

3. «Joc de les banderes». Tenim 6 feixos d’adhesius: 1

Volem formar alguna d’aquestes banderes: Troba la probabilitat d’aconseguir una d’aquestes banderes mitjançant ALEMANYA ÀUSTRIA XINA cada un d’aquests procediments: El nombre de resultats possibles en tirar tres vegades un dau (o tres daus ARGENTINA RÚSSIA HOLANDA diferents) és: VR 36 = 63 = 216 Aquests són els casos possibles en els dos procediments descrits. Calculem els casos favorables i, en conseqüència, la probabilitat en cadascun dels dos procediments: a) Tirem un dau, agafem l’adhesiu corresponent al nombre obtingut i l’enganxem en horitzontal; tirem un altre dau i enganxem l’adhesiu que toqui a sota del primer… Com que les franges es col·loquen una a una, de dalt a baix, l’única possibilitat d’aconseguir cada una de les banderes és que surtin aquests colors i en aquest ordre. Per tant, només hi ha 6 casos favorables (les sis banderes). 16 1 = La probabilitat que s’obtingui una de les banderes és: P [una de les sis banderes] = 216 36 b) Tirem tres daus i agafem els colors que toquin. Amb aquests intentem formar una de les banderes. Si en els daus surt 6, 1, 4, es pot formar la bandera d’Alemanya. Però també si surt qualsevol de les possibles permutacions d’aquests 3 nombres: 3! = 6. ALEMANYA ÀUSTRIA XINA ARGENTINA RÚSSIA HOLANDA

NVmG VmBcVm VmVmVm BBcB BcBVm VmBcB

→ → → → →

3! = 6 maneres 3 maneres 1 manera 3 maneres 6 maneres

Hi ha 19 maneres diferents d’aconseguir alguna de les 6 banderes.

Si s’obté VmBcB és el mateix que si s’obté BcBVm. El jugador haurà de decidir si forma la bandera de Rússia o la d’Holanda, però qualsevol de les dues val. 19 P [alguna de les 6 banderes] = 216 4. «Cinc butaques per a tres persones». A la cua del cine hi ha tres persones: un noi (C), una noia (A) i una senyora (S). La taquillera els diu que només queda lliure la primera fila, en què hi ha 5 seients. Quina és la probabilitat que el noia i la noia seguin junts? Per comptar el nombre de casos possibles, ordenem les tres persones C, A, S i, en aquest ordre, assignem a cadascun un seient de l’1 al 5: D’aquesta manera, 352 significa:

S 2

C 3

A 5

Hi ha, per tant, VR 35 = 5 · 4 · 3 = 60 maneres diferents de situar-se (casos possibles). Comptem els casos favorables: C i A junts. Per a això, és necessari que els toquin els seients 1, 2 o 2, 3 o 3, 4 o 4, 5. En cadascun dels casos poden ser CA o AC: dues possibilitats. I, a més a més, la senyora, S, pot estar en qualsevol dels altres 3 seients. Per tant: Casos possibles = 4 · 2 · 3 = 24 24 2 = = 0,4 P [C i A junts] = 60 5

279

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 279

14/06/16 11:42

335

competències rellevants 12.21. C1 C2 C6

ACTIVITATS

12.22. C1 C2 C6 12.23. C1 C2 C10 12.24. C1 C2 C10 12.25. C1 C2 C6

Practica

Experiències simples

Relacions entre esdeveniments

12.25.

12.21.

En un sorteig de loteria observem la xifra en què acaba la «grossa». a) Quin és l’espai mostral? b) Escriu els esdeveniments: A = MENOR QUE 5; B = = PARELL. c) Troba els esdeveniments A « B, A » B, A', B', A' » B'.

12.26. C1 C2 C6 12.27. C1 C2 C3 12.28. C1 C2 C3 C6 12.29. C1 C2 C3 C6 12.30. C1 C2 C3 C6

12.22.

Escrivim cada una de les lletres de la paraula PREMI en una fitxa i les posem en una bossa. N’extraiem una lletra a l’atzar. a) Escriu els esdeveniments elementals d’aquest experiment. Tenen tots la mateixa probabilitat? b) Escriu l’esdeveniment «obtenir vocal» i calcula’n la probabilitat. c) Si la paraula triada fos SORT, com respondries als apartats a) i b)?

solucions 1 ; P[2] = 1 ; 12 36 P[3] = 5 ; P[4] = 7 ; 36 36 P[5] = 1 ; P[6] = 11 4 36

12.27. a) P[1] =

12.23.

Tirem un dau vermell i un altre de verd. Anotem el resultat. Per exemple, (3, 4) significa 3 en el vermell i 4 en el verd. a) Quants elements té l’espai mostral? b) Descriu els esdeveniments següents: A: La suma de punts és 6; A = {(5, 1), (4, 2), …} B: En un dels daus ha sortit 4; B = {(4, 1), …} C: En els daus ha sortit el mateix resultat. c) Descriu els esdeveniments A « B, A » B, A » C. d) Calcula la probabilitat dels esdeveniments dels apartats b) i c). e) Calcula la probabilitat de A', B' i C'.

b) P[A] = 7/12; P[B] = 1/4; P[A » B] = 1/12

12.24.

El joc del dòmino té 28 fitxes. N’agafem una i anotem la suma (x) de les puntuacions. a) Quin és l’espai mostral? Digues la probabilitat de cada un dels 13 casos que poden donar-se. b) Descriu els esdeveniments: A: x és un nombre primer. B: x és més gran que 4. A « B, A » B, A'. c) Calcula les probabilitats dels esdeveniments descrits en l’apartat b).

En la loteria primitiva s’extreuen boles numerades de l’1 al 49. Calcula la probabilitat que la primera bola extreta sigui un nombre…: a) … d’una sola xifra. b) … múltiple de 7. c) … més gran de 25.

12.26.

S’extreu una carta d’una baralla espanyola. Digues quina és la probabilitat que sigui: c) NO SIGUI ESPASES. a) REI o AS. b) FIGURA i OROS.

12.27.

Tirem dos daus i anotem la puntuació 1 2 més alta (si coincideixen, la 2 5 d’un dels daus). a) Completa la taula i di4 6 gues les probabilitats dels sis esdeveniments elemen6 tals 1, 2, 3, 4, 5 i 6. b) Troba la probabilitat dels esdeveniments: A: nre. parell, B: nre. menor que 4, A » B.

Experiències compostes

12.28.

a) Tenim dues baralles de 40 cartes. Traiem una carta de cada una. Quina és la probabilitat que ambdues siguin 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguin figures (sota, cavall o rei)? b) Tenim una baralla de 40 cartes. Traiem dues cartes. Quina és la probabilitat que ambdues siguin 7? Quina és la probabilitat que ambdues siguin figura?

12.29.

Tirem tres daus. Quina és la probabilitat que les tres puntuacions siguin menors que 5?

12.30.

Traiem una bola de cada urna. Calcula la probabilitat que: a) Ambdues siguin vermelles. b) Ambdues siguin negres. c) Alguna sigui verda.

solucionari

de les activitats

280

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 280

12.21. a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) A = {0, 1, 2, 3, 4}; B = {0, 2, 4, 6, 8} c) A « B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}; A » B = {0, 2, 4}; A' = {5, 6, 7, 8, 9}; B' = {1, 3, 5, 7, 9}; A' » B' = {5, 7, 9}

12.22. a) {P}, {R}, {E}, {M}, {I}. Sí, tots són igual de probables. b) {E, I}; P[V] = 2/5 c) {S}, {O}, {R}, {T}, tots tenen la mateixa probabilitat. P[V] = 1/4.

12.23. a) 36 elements. b) A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)} B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} C = { (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

336

14/06/16 11:42

c) A « B = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} A » B = {(4, 2), (2, 4)} A » C = {(3, 3)} 11 1 7 1 5 d) P[A] = ; P[B] = ; P[C] = ; P[A « B] = ; P[A » B] = ; 36 6 18 18 36 1 P[A » C] = 36 5 31 25 ; P[B'] = ; P[C'] = e) P[A'] = 6 36 36

12.24. a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} P[0] = P[1] = P[11] = P[12] = 1/28 P[2] = P[3] = P[9] = P[10] = 2/28 P[4] = P[5] = P[7] = P[8] = 3/28 P[6] = 4/28

12.31.

Una urna té 3 boles vermelles i 2 de verdes. N’extraiem dues. Calcula P[2 vermelles] i P[2 verdes].

TEMA

12 Aplica el que has après

12.35.

R 12.32.

En un centre escolar hi ha 1.000 alumnes repartits així: Nois

Noies

Duen ulleres

147

135

No duen ulleres

368

350

Anomenem: A 5 noia, N 5 noi, U 5 duu ulleres, no U 5 no duu ulleres. Calcula: U P[no U a) P[A], P[N], P[G], G] b) Descriu els esdeveniments següents i calcula’n les probabilitats: A i U, N i no U, A / U, U / A, U / N.

12.33.

En una empresa de 200 empleats hi ha 100 homes i 100 dones. Sabent que 40 homes i 35 dones treballen amb el sistema Mac i els altres ho fan amb PC: a) Construeix una taula de contingència amb aquestes dades. b) Si triem un empleat a l’atzar, calcula la probabilitat que sigui home i treballi amb PC: P[H i PC] c) Calcula també: P[D i Mac], P[D / Mac], P[Mac / D]

12.34.

Els 200 socis d’un club de jubilats es distribueixen de la forma que s’indica en la taula. Homes

Dones

Juguen al dòmino

No juguen al dòmino

Si es tria una persona a l’atzar, calcula la probabilitat que: a) Sigui un home. b) Sigui una dona. c) Jugui al dòmino. d) Sigui una dona i jugui al dòmino. e) Sigui un home que no jugui al dòmino. f ) Jugui al dòmino, sabent que és un home. g) Sigui una dona, sabent que no juga al dòmino.

12.31. C1 C2 C3 12.32.

Rúbrica

C1 C2

C5 C10

Una urna conté 100 boles numera-

12.33. C1 C2 C6

00, 01, 02 … 99 Anomenem x la xifra de les desenes i y la xifra de les unitats del nombre que té cada bola. Se n’extreu una a l’atzar. Calcula la probabilitat que: a) x = 3 b) y = 3 c) x ? 7 d) x > 5 e) x + y = 9 f ) x < 3 g) y > 7 h) y < 7

12.34. C1 C2 C6

12.37. C1 C2 C5 C6

12.36.

12.38. C1 C2 C5 C6

des així:

Taules de contingència

competències rellevants

12.35. C1 C2 C6 12.36. C1 C2 C6 C10

Després de tirar moltes vegades xinxetes d’un model determinat, sabem que la probabilitat que una xinxeta qualsevol caigui amb la punta cap amunt és 0,38. Si tirem dues xinxetes, quina serà la probabilitat que les dues caiguin de manera diferent?

SOLUCIONS 12.34. a) 0,445 b) 0,555 c) 0,55 d) 0,17 e) 0,065 f) 0,854 g) 0,856 12.35. a) 1/10

b) 1/10 c) 9/10 d) 2/5 e) 1/10 f) 3/10 g) 1/5 h) 7/10

12.37.

En un laboratori se sotmet un nou medicament a tres controls. La probabilitat de passar el primer és 0,89, la de passar el segon és 0,93 i la de passar el tercer és 0,85. Quina és la probabilitat que el nou producte passi les tres proves?

12.36. 0,47 12.37. 0,703 12.38. a) 2/5

12.38.

Traiem una bola de A, la tirem en B, removem i en traiem A B una de B. Calcula: a) P[1a vermella i 2a vermella] b) P[1a vermella i 2a verda] c) P[2a vermella / 1a verda] d) P[2a vermella / 1a vermella] e) P[2a vermella] f ) P[2a verda] g) Per calcular aquesta probabilitat, tingues en compte el diagrama:

3 — 5

2 — 3

3 ·— 2 — 5 3

1 — 3

2 1 —·— 5 3

b) 1/5 c) 1/3 d) 2/3

e) 8/15 f) 7/15

Notes

2 — 5 B

solucionari

de les activitats

281

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 281

14/06/16 11:42

b) A = {2, 3, 5, 7, 11}; B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A « B = { 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A » B = {5, 7, 11} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

12.30. a) 6/25

b) 4/25 c) 1/5

12.31. a) 3/10

b) 1/10

c) P[A] =11/28; P[B] = 19/28; P[A « B] = 23/28; P[A » B] = 1/4; P[A'] = 17/28

b) P[A i U] = 0,135; P[N i no U] = 0,368; P[A/U] = 0,479; P[U/A] = 0,278; P[U/N] = 0,285

12.25. a) 9/49 12.26. a) 1/5

b) 1/7 c) 24/49 b) 1/10 c) 3/4

12.28. a) P[7 i 7] = 1 ; P[F i F] = 9 100 100 1 11 b) P[7 i 7] = ; P[F i F] = 130 130

12.32. a) P[A] = 0,485;

12.33. a)

P[N] = 0,515; P[U] = 0,282; P[no U] = 0,718

Homes

Dones

Mac

b) 60/200 = 0,3 c) P[D i Mac] = 0,175; P[D/Mac] = 0,467; P[Mac/D] = 0,35

12.29. 8/27

337

competències rellevants 12.39. C1 C2 C6 12.40. C1 C2 C6

12.39.

En una classe hi ha 17 nens i 18 nenes. Triem dos alumnes d’aquesta classe a l’atzar. Calcula la probabilitat que: a) Tots dos siguin nens. b) Siguin dues nenes. c) Siguin un nen i una nena.

12.41. C1 C2 C10 12.42. C1 C2 C3 12.43. C1 C2 C3 12.44. C1 C2 C4

12.40.

Tirem dos daus correctes. Digues quina és la probabilitat d’obtenir: a) La mateixa puntuació en tots dos. b) Un 6 en algun dels daus. c) En un dau, major puntuació que en l’altre.

12.45. C1 C2 C4 12.46. C1 C2 C4 12.47.

Rúbrica

C1 C2 C3

12.48. C1 C2 C3

12.41.

Extraiem una tarO O S N geta de cada una d’aquestes bosses. a) Calcula la probabilitat d’obtenir una S i una Í, «SÍ». b) Quina és la probabilitat d’obtenir «NO»? c) Són esdeveniments conS S N traris «SÍ» i «NO»? Í sí Resol-ho omplint aquesO ta taula.

Notes

12.42.

S’extreuen dues boles d’aquesta bossa. Calcula la probabilitat que ambdues siguin del mateix color.

En fer una nova extracció, digues quina probabilitat assignaries a: a) Treure bola blanca. b) No treure bola blanca. c) Treure bola verda o blava. d) No treure bola negra ni blava. e) Si dins la bossa hi ha 22 boles, quantes estimes que n’hi haurà de cada un dels colors?

12.45.

L’Anna tira un dau i la seva germana Eva el tira després. Quina és la probabilitat que la puntuació de l’Eva sigui superior a la de l’Anna?

12.46.

Traiem dues fitxes d’un dòmino. Quina és la probabilitat que en ambdues la suma de les puntuacions sigui un nombre primer (2, 3, 5, 7 o 11)? 4 + 3 = 7 és primer

R 12.47.

En un lloc concret se sap que si avui fa sol, la probabilitat que demà també en faci és 4/5. Però si avui està ennuvolat, la probabilitat que demà ho continuï estant és 2/3. Si avui és divendres i fa sol, quina és la probabilitat que diumenge també faci sol? Per resoldre-ho, completa el diagrama i raona:

Divendres

Diumenge …

4 — 5

12.43.

En una bossa tenim les lletres S, S, N, Í, Í, O. En traiem dues. Quina és la probabilitat que amb aquestes es pugui escriure SÍ?

Resol problemes

Dissabte

…

1 — 5

1 — 3

1 1 1 —·—=— 5 3 15

2 — 3

1 ·— 2=— 2 — 5 3 15

12.48.

12.44.

Dins d’una bossa hi ha boles de colors, però no sabem quantes n’hi ha ni quins colors tenen. En 1.000 extraccions (tornant la bola cada vegada) hem obtingut bola blanca en 411 ocasions, bola negra en 190, bola verda en 179 i bola blava en 220.

En Xavier té 4 monedes de cinc cèntims, 3 de vint i 2 d’un euro. Si n’agafa dues a l’atzar, troba la probabilitat d’aquests esdeveniments: a) Que totes dues siguin de cinc cèntims. b) Que cap sigui d’un euro. c) Que tregui 1,20 €. d) Que tregui més de 30 cèntims.

solucionari

de les activitats

282

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 282

8 / b) 9 / c) 18 35 35 35 12.40. a) 1 / b) 11 / c) 5 36 6 6

12.39. a)

12.41.

12.42. 12.43.

338

sí

3 7 2 15

a) 2 9 ní no b) 2 9 no c) No són contraris. N

14/06/16 11:42

12.44. a) 0,411 / b) 0,589 / c) 0,399 / d) 0,59 Si hi ha 22 boles: 9 de blanques, 4 de negres, 4 de verdes i 5 de blaves.

12.45. 5/12 12.46.

110 = 0,146 756

12.47. DIVENDRES 4/5 1/5

DISSABTE

DIUMENGE 4/5 1/5 1/3 2/3

P[sol diumenge] = 53 = 0,7 75 1 12.48. a) / b) 7 / c) 1 / d) 1 6 12 6 2

4 ·— 4 — 5 5 4 1 — ·— 5 5 1 1 — ·— 5 3 1 ·— 2 — 5 3

— = 16 25 4 =— 25 1 =— 15 2 =— 15

12.49.

Dins d’una bossa hi ha 4 boles, dues estan marcades amb un 1 i les altres dues amb un 2. Se’n fan tres extraccions i se n’anoten els resultats en ordre. Calcula la probabilitat que el nombre format sigui el 121, suposant que l’experiència sigui: a) Amb reemplaçament. b) Sense reemplaçament

12.50.

Un joc consisteix a tirar a cistella des de la línia de personal consecutivament fins que es cometi un error. S’anoten tants punts com encistellades. Per exemple: encert-encert-encert-fallada són tres punts. Per a un jugador que habitualment encistella el 75 % de les personals, calcula la probabilitat que obtingui: a) 0 punts b) 1 punt c) 2 punts d) 3 punts

12.51.

En Maties i l’Elena juguen amb una moneda. La llancen tres vegades i si surt dues vegades cara i una vegada creu o dues vegades creu i una vegada cara, guanya en Maties. Si surt tres vegades cara o tres vegades creu, guanya l’Elena. Calcula la probabilitat que té cada un de guanyar.

12.52.

Una família té 4 fills. Si la probabilitat de néixer nena és 0,51 i la de néixer nen, 0,49: a) Quina és la probabilitat que siguin tots homes? b) Quina probabilitat hi ha que hi hagi alguna dona? c) Calcula la probabilitat que totes siguin dones. d) Quina probabilitat hi ha que hi hagi dos nens i dues nenes?

TEMA

12 Problemes +

12.54.

competències rellevants 12.49. C1 C3 C4 12.50. C1 C3 C4 12.51. C1 C3 C4 12.52. C1 C3 C6

Extraiem tres cartes d’una baralla de 40. Calcula la probabilitat que siguin oros.

12.53. C1 C3 C6

12.55.

a) Tirem 3 daus. Calcula, pas a pas, la probabilitat que el valor mitjà sigui «2». b) Tirem 3 daus. Calcula la probabilitat que el resultat més alt sigui «4».

12.54. C1 C2 C4 12.55. C1 C2 C4 12.56. C1 C2 C4

12.56.

Tres persones se situen a l’atzar en 6 seients. Quina és la probabilitat que dues en concret estiguin juntes? I si només s’asseguessin dues?

12.57. C1 C3 C4

12.57.

12.59. C1 C3 C4

12.58. C1 C3 C4

En una urna marcada amb la lletra A hi ha una bola vermella i una de negra. En una altra urna, que porta la lletra B, hi ha una bola blava, una de verda i una de blanca. Es llança un dau; si surt parell, es treu una bola de l’urna A, i si surt senar, de l’urna B. a) Escriu tots els resultats possibles d’aquesta experiència aleatòria. b) Té la mateixa probabilitat l’esdeveniment PARELL i VERMELLA que el SENAR i VERDA?

Notes

12.58.

Quina és la probabilitat d’obtenir bola blanca en triar a l’atzar una d’aquestes bosses i extreure’n una bola? A

3 — 6 1 — 3

1 3 1 Blanca — ·—=— 3 6 6 No blanca

1 — 3

Blanca … B No blanca

12.53.

Es fa girar cada una d’aquestes ruletes, i guanya la que aconsegueixi la puntuació més alta. Calcula la probabilitat que guanyi A i la que guanyi B.

1 — 3

Blanca … C No blanca

12.59.

Tenim tres cartolines. La primera té una cara vermella (Vm), i l’altra, blava (B); la segona B i verda (V), i la tercera, V i Vm. Les deixem caure sobre una taula. Què és més probable, que dues siguin del mateix color o que les tres siguin de colors diferents?

A B

solucionari

283

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 283

12.49. a)

de les activitats

14/06/16 11:42

1 / b) 1 8 6

12.50. a) 0,25 / b) 0,19 / c) 0,14 / d) 0,105 12.51. P[guanyi en maties] =

40 = 1 120 3 40 = 5 llocs per seure juntes · 2 posicions (AB o BA) · 4 llocs per a la persona C; 120 = V6,3 Si s’asseuen dues: P[A i B juntes] = 10 = 1 30 3 12.57. a) E = {(parell, vermella), (parell, negra), (senar, blava), (senar, verda), (senar, blanca)} b) P[(parell, vermella)] = 1 ; P[(senar, verda)] = 1 4 6 No, no és la mateixa. 12.58. P[blanca] = 2 3 12.59. És més probable que siguin del mateix color. P[mateix color] = 3 ; P[diferent color] = 1 4 4

12.56. Si s’asseuen tres: P[A i B juntes] =

3 1 ; P[guanyi l’elena] = 4 4

12.52. a) 0,494 = 0,058 / b) 1 – 0,494 = 0,942 / c) 0,514 = 0,068 / d) 6 ∙ 0,512 ∙ 0,492 = 0,374 12.53. P[guanyi A] = 4 ; P[guanyi B] = 5 9 9 3 12.54. 247 12.55. a) 5 / b) 52 = 13 54 27 216

339

matsapp

competències rellevants

M ÀT I C A A P L I

M tspp

En aquest apartat es proposen activitats competencials més contextualitzades perquè l’alumnat prengui consciència de la utilitat de les matemàtiques en qualsevol àmbit, especialment en els més quotidians.

Anem a la fira

C1 C2 C3 C5 C6 C10

L’Anna i en Bru visiten les parades i atraccions de la fira que s’ha muntat a la vora del poble, com a cada festa major. Com que la festa coincideix amb el final de curs, l’escola del poble acostuma a muntar una carpa on s’exposen treballs fets pels alumnes i s’imparteixen tallers per a totes les edats. Aquest any, el mestre de Matemàtiques hi fa demostracions en directe per explicar les aplicacions del càlcul de probabilitats, suggerint que els practiquin allà i els posin en pràctica a la resta de parades. Per començar, el mestre ha imprès en un panell el diagrama de barres següent, que mostra les puntuacions obtingudes en llançar 1.000 vegades un dau «que no és gaire ben fet» i cau de manera irregular. El mestre els explica que els daus poden trucar-se de manera que caiguin més per una banda que per una altra, afectant així als resultats. El públic pot veure, tocar i llançar el dau trucat.

Notes

220 180

200

160 130

120

a) Quina és la probabilitat esperada per a cada una de les sis puntuacions? b) Tot i conèixer l’experiment i els seus resultats, l’Anna i en Bru decideixen jugar amb el dau. Tiren el dau a l’aire i estableixen les regles següents: • L’Anna guanyarà si surt un 2, un 3 o un 5. • En Bru guanyarà si surt un 1, un 4 o un 6. Quines probabilitats té cada un de guanyar? c) El mestre els pregunta: «Se us acut alguna manera de fer que el joc sigui equitatiu utilitzant aquest mateix dau?». Ajuda l’Anna i en Bru a respondre. Després d’altres demostracions pràctiques, el mestre els convida a jugar en un concurs benèfic que fan abans de la sortida de la carpa; també els proposa que vagin per les parades de jocs i els analitzin des del punt de vista probabilístic. Els assegura que si ho fan, aprendran coses que els serviran per destriar qui els vol enganyar i qui no en moltes situacions de la vida.

solucionari matsapp

284

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 284

Anem a la fira a) P(1) 8 180 = 0,18 1.000 130 P(3) 8 = 0,13 1.000 P(5) 8 200 = 0,20 1.000

14/06/16 11:42

d) P(2) 8 160 = 0,16 1.000 P(4) 8 210 = 0,21 1.000 P(6) 8 120 = 0,12 1.000

b) P(anna): P(2) + P(3) + P(5) = 0,16 + 0,13 + 0,20 = 0,49 P(bru): P(1) + P(4) + P(6) = 0,18 + 0,21 + 0,12 = 0,51 Cal observar que entre l’Anna i en Bru abasten totes les possibilitats. c) Sí. Triar un grup de tres resultats, la probabilitat dels quals sigui aproximadament 0,5; per exemple, P(1) + P(6) + P(5) i P(2) + P(3) + P(4).

Barret

Camisa

Pantalons

Total

En total són 12 possibles puntuacions.

340

L’Anna i en Bru participen en el concurs benèfic «Tria i remena» organitzat pel mestre dins de la carpa. Per participar, cada concursant paga 2 euros; el mestre donarà els beneficis a la biblioteca de l’escola. Els concursants han d’embenar-se els ulls i posar-se enfront de tres maletes. En la primera maleta hi ha dos barrets amb les puntuacions 1 i 3; en la segona, 3 camises amb les puntuacions 2, 4 i 6; en la tercera, 2 pantalons amb les puntuacions 7 i 9. Cada concursant ha d’agafar, a l’atzar, un barret, una camisa i uns pantalons de cada maleta i posarse’ls. Després, obtindrà tants punts com faci la suma de les puntuacions de les peces de roba triades. • Si la puntuació és 12, li tornaran els 2 euros. • Si és 14 o 16, rebrà 10 euros.

TEMA

Notes

• Si és 18, aconseguirà el premi màxim, 20 euros. • Si és menys de 12, perd i queda eliminat.

d) Escriu totes les possibles puntuacions. e) Escriu les probabilitats dels esdeveniments següents: I. Quedar eliminat i perdre. II. No guanyar ni perdre res. III. Guanyar alguna cosa. B

IV. Guanyar més de 8 euros. V. Guanyar 2 euros. VI. Guanyar 18 euros o menys.

Ja fora de la carpa de l’escola, l’Anna i en Bru veuen que en una de les casetes de la fira s’invita els visitants a agafar un parell de dards i llançar-los amb els ulls embenats perquè es clavin sobre un gran tauler quadrat. «És impossible que el dard caigui fora! És igual de probable que el dard caigui en qualsevol de les caselles!», assegura el firaire. Tal com pots veure a la figura, les caselles del quadrat són en quatre zones, A, B, C i D, de mesures (en m) 3 Ò 3, 3 Ò 1, 1 Ò 3 i 1 Ò 1, respectivament.

Participar costa 2 € (1 euro per dard). • • • •

Si un dard cau en la zona A, no s’obté premi; si cau en C, el premi és 1 €; si cau en B, el premi són 3 €, si cau en D, el premi són 4 €.

f ) L’Anna llançarà dos dards. • Quants resultats possibles pot obtenir amb cada un? • Quines són les parelles de resultats possibles? • Quines quantitats pot rebre l’Anna? Fes una taula per mostrar-ho. g) S’han clavat en el tauler 160 dards. Estima quants hauran caigut en cada una de les zones. h) Per llançar dos dards cal pagar 2 €. • Quina és la probabilitat de perdre’ls? I la de perdre’n només un? • Quina és la probabilitat de ni perdre ni guanyar res? • I la de guanyar 1 €? I la de guanyar 2 €? I la de guanyar més de 2 €?

solucionari 285

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 285

14/06/16 11:42

g) P(A) = 9/16 8 A: 9/16 · 160 = 90 vegades P(A) = 3/16 8 A: 3/16 · 160 = 30 vegades P(A) = 3/16 8 A: 3/16 · 160 = 30 vegades P(A) = 1/16 8 A: 1/16 · 160 = 10 vegades

e) P(I) = P(perdre) = P(treure 10p) = 1/12 P(II) = P(treure 12p) = 3/12 = 1/4 P(III) = P(treure +12p) = 8/12 = 2/3 P(IV) = P(treure 18p) = 1/2 P(V) = P(treure 12p) = 3/12 = 1/4 P(VI) = P(no ser eliminat) = 11/12 f) Per a cada dard hi ha 4 resultats possibles (A, B, C i D). Així, per als dos dards el nombre de resultats és 10. AA

matsapp

La taula seria:

A la taula es mostra quants euros s’obtenen en llançar dos dards.

h) P(perdre 2 €) = P(A, A) = 9/16 · 9/16 · 100 = 31,64 % P(perdre 1 €) = P(C, A) + P(A, C) = 2 · 3/16 · 9/16 · 100 = 21,09 % P(ni perdre ni guanyar) = P(treure 2 €) = P(C, C) = 3/16 · 3/16 · 100 = = 3,52 % P(guanyar 1 €) = P(treure 3 €) = P(A, B) + P(B, A) = 2 · 9/16 · 3/16 · 100 = = 21,09 % P(guanyar 2 €) = P(treure 4 €) = P(A, D) + P(D, A) + P(B, C) + P(C, D) = = (2 · 9/16 · 1/16 + 2 · 3/16 · 3/16) · 100 = 14,06 % P(guanyar +2 €) = P(treure +4 €) = = P(B, B) + P(B, D) + P(D, B) + P(C, D) + P(D, C) + P(D, D) = = (3/16 · 3/16 + 2 · 3/16 · 1/16 + 2 · 3/16 · 1/16 + 1/16 · 1/16) · 100 = = 8,59 %

341

Notes ORGANITZA ELS TEUS CONEIXEMENTS

286

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 286

Organitza els teus coneixements En aquesta pàgina, a tall de recapitulació, es proporciona a l’alumnat un esquema que recull els conceptes bàsics que s’han treballat al llarg del tema. Els servirà per situar d’una manera organitzada els coneixements que han adquirit.

342

14/06/16 11:42

TEMA

I per acabar... Llegeix i comprèn

• (6 € Ò 2) – (3 € Ò 4) = 0 €; 0 € / 6 tirades = 0 €/tirada; el joc ara sí seria equitatiu.

• Sabries tu descobrir qui ha fet trampa?

• Que no és equitatiu, perquè afavoreix a l’organitzador del joc.

AJUDA:

En tirar la moneda, la probabilitat que surti cara (1/2) és la mateixa que la probabilitat que surti creu, independentment del resultat de la tirada anterior. I això equival a dir que, aproximadament, el color d’una casella serà la meitat de les vegades igual que el de l’anterior, i l’altra meitat, diferent. Et serveix aquesta idea per resoldre la qüestió?

Val a dir que el percentatge de retorn en premis de les loteries del nostre país és habitualment entre el 50 % i el 55 %, i en aquest cas (800 € de cada 1.000 jugats) és d’un 80 %; o sigui que, malgrat no ser equitatiu, ho és més que les loteries que solem veure, que són una bona entrada de diners per a les administracions.

Comprèn i expressa’t Suposa que participes en aquest joc: «Tirem un dau. Si surt menys de tres, guanyes 5 euros; en cas contrari, pagues 3 euros a la banca». Vas amb avantatge o amb desavantatge? O, per contra, ni una cosa ni l’altra? És equitatiu? En cada tirada, de sis resultats possibles, dos t’afavoreixen (1, 2) i quatre et fan perdre (3, 4, 5, 6). Per tant, en teoria, si repeteixes el joc moltes vegades, de cada sis tirades guanyaràs en dues i perdràs en quatre: 5 € × 2 – 3 € × 4 = –2 €. Cosa que suposa, a la llarga, sortir perdent una mitjana de 0,3333… euros per tirada. (–2 : 6 = –0,333…). És a dir, el joc no és equitatiu, ja que afavoreix una de les parts (en aquest cas, la banca). El guany (+) o pèrdua (–) mitjana per jugada es diu esperança matemàtica, i un joc és equitatiu quan la seva esperança matemàtica és zero; és a dir, si la seva anàlisi teòrica no afavoreix cap de les parts. • Quina seria l’esperança del joc canviant una mica l’enunciat? «Tirem un dau. Si surt menys de tres, guanyes 6 €; en cas contrari, pagues 3 € a la banca». • Què diries d’un joc de loteria que per cada 1.000 euros venuts dóna 800 euros en premis?

Ha fet trampes l’Albert, perquè la seva freqüència relativa (78 %) se separa massa de la teòrica (50 %). En haver-hi un guany per a «la banca» (l’organitzador del joc), la totalitat del premi és inferior a la totalitat de la despesa efectuada pels jugadors. Per tant, l’esperança matemàtica és negativa.

CRISTINA

Atzar i esperança

Llegeix i comprèn

Comprèn i expressa’t

ALBERT

Treball amb trampa L’Albert i la Cristina omplen, per a un treball de classe, un tauler de 50 caselles de la manera següent: avançant d’esquerra a dreta i de dalt a baix, es decideix a cara o creu si la casella s’acoloreix de vermell o de verd. A la dreta pots veure els quadres presentats. Però el cas és que un ha fet la feina a consciència, tirant una moneda per a cada casella. I l’altre, fent trampa, l’ha omplert en un moment, capritxosament. No obstant això, el professor ha posat mala nota a qui no ha treballat. Com ho ha descobert?

solucions

–3

Notes

–3

287

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 287

14/06/16 11:42

I per acabar... Cada tema ofereix textos amb informació curiosa i activitats lúdiques. En definitiva, una manera de jugar amb les matemàtiques.

343

intel·ligències múltiples TEMa 12 intel·ligències

tasques Activitats de comparar, ordenar, relacionar, operar amb nombres.

LOgicomatemàtica

Lingüística

344

activitats 12.1, 12,2

Resolució de problemes.

12.6, 12.7 a 12.11, 12.19, 12.20, 12.39 a 12.59

Argumentacions lògiques: rols, punts de vista.

12.6, 12.7, 12.17, 12.18

Deduccions.

12.3 a 12.5, 12.25 a 12.36

Creació i descomposició de conjunts.

12.1, 12.2, 12.22 a 12.24

Treball de l’expressió escrita.

12.17, 12.18

Descripcions.

ESPACIOVISUAL

Utilització de mitjans audiovisuals i suport visual.

Intrapersonal

Argumentació de la resposta.

12.32 12.12 a 12.16, 12.38, 12.47, 12.58 12.6, 12.7, 12.17, 12.18

Notesâ&#x20AC;¦

345

projecte 3

PROJECTE 3

Per acabar aquest trimestre proposem uns seguit de problemes que l’alumne haurà de resoldre aplicant els coneixements i les estratègies matemàtiques apreses en els temes 9, 10, 11 i 12 del llibre.

Setmana cultural a l’institut En un centre docent volen celebrar la setmana cultural durant la qual es faran moltes activitats diverses: de lectura, pintura, música, teatre, cinema, dansa, poesia, ciència aplicada, art urbà... Els estudiants s’encarregaran d’organitzar les activitats. Per fer-ho, han de formar equips cada un dels quals prepararà una de les tasques. A més, també caldrà formar un equip que s’encarregui de la coordinació del conjunt d’activitats, ajudant els alumnes a inscriure’s en una o altra, establint els horaris de cada una i evitant-ne els solapaments en la mesura del possible, acondicionant alguns espais del centre docent per fer-les, vetllant per la bona marxa de tot plegat, etc.

Es tracta d’una proposta d’activitats que globalitza els coneixements adquirits i els posa en un context d’aplicació a la vida quotidiana. Aquest mateix Projecte 3 el trobareu en el llibre digital per treballar-lo fent servir recursos 3.0 per adquirir les competències digitals. També el podreu trobar al web www.espaibarcanova.cat.

Notes S‘ha de fer un sondeig per saber quines activitats agraden més a l’alumnat. La professora que l’organitza demana voluntaris:

1. Es presenten 7 estudiants per a un equip de 4. De quantes maneres diferents es poden seleccionar els 4 estudiants entre els 7 voluntaris?

2. Els 7 estudiants són 3 nois i 4 noies. Si la professora encarregada prefereix que en el grup hi hagi 2 nois i 2 noies, de quantes maneres els pot seleccionar?

La Laura és una de les voluntàries per a l’equip de 4 que s’haurà d’ocupar de la coordinació del conjunt dels actes de la setmana. Quina probabilitat té de ser escollida si la selecció es fa com en l’activitat 1? I si es fa com en l’activitat 2?

En Miquel és un altre voluntari per formar part de l’equip de 4. Té la mateixa probabilitat que la Laura de ser escollit si la selecció es fa com en l’activitat 1? I si es fa com en l’activitat 2?

solucionari projecte 3

288

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 288

14/06/16 11:42

1. No hi entren tots, no importa l’ordre, no es repeteixen. Són combi-

2. Combinacions de 3 nois agafats de 2 en 2 + combinacions de 4 noies agafades de 2 en 2 = 3 + 6 = 9 maneres diferents.

Si es fa com en la 2, té una probabilitat de ser-ho de 0,58.

nacions de 7 alumnes agafats de 4 en quatre = 35 maneres diferents.

Si la selecció es fa com en l’activitat 1, té una probabilitat de ser escollida de 0,76.

4. Si la selecció es fa com en l’activitat 1, té la mateixa probabilitat de ser escollit que la Laura. Si es fa com en la 2, té més probabilitat de ser escollit que ella, un 0,83.

346

PROJECTE

solucions

5. L’equip de les activitats de lectura dissenya una llista dels 35 llibres més importants de la literatura, segons el seu criteri. Han mostrat aquesta llista de títols a 66 persones de fora del centre i els han demanat que responguin a la pregunta: Quants llibres d’aquesta llista has llegit? Aquests són els resultats que han obtingut:

6. a) 100 %

50 %

Llibres llegits

Nre. de persones

1 10 %

a) Troba’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació. b) Calcula la mediana i els quartils i representa els resultats en un diagrama de caixa i bigotis en una quadrícula com la que et donem de model.

70 EDAT

7. a) i c) NRE. LLIBRES LLEGITS

6. Les edats de les persones consultades es distribueixen així: Edat

[15, 25)

[25, 35)

[35, 45)

[45, 55)

[55, 65)

[65, 75)

Nre. de persones

a) Confecciona una taula de freqüències acu- 100 % mulades i representa-la en uns eixos mil·limetrats com els que es mostren a la dreta. b) Calcula, a partir de la gràfica que obtinguis i tenint en compte la distribució de les edats, la mediana, els quartils i els percentils p80 , 50 % p90 i p95 .

10 20 30 40 50 60 70 80

EDAT

b) La correlació és positiva i bastant forta.

Notes

10 % 10

Edat

EDAT

NRE. LLIBRES LLEGITS

Sabem que 8 dels enquestats són aficionats a la música clàssica. Aquestes són les seves respostes a les preguntes de les activitats anteriors: Llibres llegits

a) Representa’ls en un núvol de punts en uns eixos com els que et donem de model. b) Estima si la correlació és positiva o negativa i forta o dèbil. c) Representa, de manera aproximada, la recta de regressió.

10 20 30 40 50 60 70 80

EDAT

solucionari projecte 3

289

Libro_Mates_4tESO_2016.indb 289

14/06/16 11:43

5. a) Mitjana = 1,59 llibres per persona

6. a) Vegeu gràfic al marge.

Desviació típica = 1,86 Coeficient de variació = 1,17

xi M. de classe

b) Q1 = 0 Me = 1 Q3 = 2

Fi % acum.

fi xi

[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75) 20

8 8 12,12 160

14 22 33,33 420

19 41 66,12 760

16 57 86,4 800

6 63 95,5 360

3 66 100 210

b) Q1 = 30 Me = 30 Q3 = 50 p80 = 50 p90 = 60 p95 = 60

7. Vegeu solució al marge.

347