® Fundación Polar www.fpolar.org.ve HECHO EL DEPÓSITO DE LEY Depósito legal lf2592004510252 ISBN 980-379-082-X ciencia@fpolar.org.ve
Presentación
Desde la creación de Fundación Polar, hace casi 27 años, hemos mantenido un interés creciente por la educación en nuestro país y aportamos nuestra contribución en búsqueda de su desarrollo y mejoramiento, particularmente de la educación básica, donde se abre para todos la senda del verdadero progreso y bienestar duradero. Hoy día los educadores piensan que las matemáticas son uno de los ejes fundamentales sobre los que se sustenta la formación de los niños y jóvenes, no sólo porque es el lenguaje de la ciencia y la técnica, imprescindible para comunicar ideas a través de números y formas y para resolver problemas, también porque han demostrado que su aprendizaje contribuye significativamente al desarrollo del pensamiento lógico, ordenado y metódico. Diversos diagnósticos realizados por especialistas nacionales y foráneos han detectado en nuestras escuelas un bajo rendimiento de los estudiantes en dicha disciplina, lo cual preocupa y llama a la reflexión de muchos sobre la efectividad de nuestro sistema educativo. Estas razones nos estimularon a participar en el propósito común de mejorar su enseñanza en la escuela. Así, junto a un grupo de especialistas y docentes, de larga experiencia en las aulas, nos dimos a la tarea de elaborar esta colección de fascículos que presentan la matemática en sus múltiples facetas, con un lenguaje sencillo y directo, apoyado en cientos de imágenes y gráficos de impactante colorido que ilustran los diversos conceptos desarrollados y muestran que la matemática está presente en la naturaleza, en la casa, en el mercado, en los juegos de los niños, en el deporte, en la geografía, en fin, en nuestra vida cotidiana. Estamos seguros de que estos fascículos despertarán la curiosidad y el interés de nuestros niños y jóvenes, que también serán acompañantes ideales de los docentes en su labor de enseñanza y lectura fácil para todos aquellos que los tengan entre sus manos, amén de que en los hogares serán de gran ayuda para los padres preocupados por la educación de sus hijos. El Diario Últimas Noticias es nuestro aliado en la tarea de difundir esta colección de 13 fascículos, en 22 entregas, que hoy se inicia a todo lo largo y ancho del país, confiados como estamos en que llegará a todas las escuelas del territorio nacional y así comenzar a ver más cercana la meta, y nuestro sueño, de ayudar a construir un país de niños y jóvenes, hombres y mujeres capaces de labrarse una vida digna, útil y placentera.
Fundación POLAR • Matemática para todos
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Pitágoras de Samos Filósofo y matemático griego (siglo VI a.C.)
¿Matemática para todos? Matemática para Todos es una colección de fascículos concebida como una muestra de temas de cuatro áreas de la matemática, presentados de tal forma que sean motivantes para estudiantes de la Educación Básica, docentes de matemática y público en general, que encontrarán en éstas una serie de vinculaciones con situaciones de la vida diaria.
Áreas que componen los fascículos:
Geometría
Medidas
Números
Esa división responde a cierta organización, propia de la matemática, en áreas como: la geometría, la medición, la aritmética, los gráficos, la probabilidad y la estadística, correspondiendo en parte a una formulación clásica de la matemática que, posterior a Newton y Leibniz (s. XVII), señala a ésta como “el estudio de la forma, del número, del movimiento, del cambio y del espacio”.* La presentación de los temas se realiza en forma sencilla, sin formalismos y prestando especial atención al uso de imágenes y gráficas que ilustran los diversos conceptos y aplicaciones desarrolladas. Los diferentes temas que componen los fascículos contienen ideas focalizadas en aspectos importantes de la matemática escolar, varias de ellas contempladas en los programas instruccionales de la Educación Básica, que constituyen parte del conocimiento y herramientas esenciales para la comprensión de la matemática y su uso en la vida diaria, así como para entender un mundo de extraordinario y acelerado cambio.
Gráficos, probabilidad y estadística
El nombre de matemática se debe a Pitágoras. Los pitagóricos tenían como divisa “todo es número” y establecieron la división de la matemática en cuatro componentes, el quadrivium (atribuido a Arquitas): aritmética, música, geometría y astronomía. Esa clasificación del saber se completó con el trivium: la gramática, la retórica y la dialéctica, y perduró en la enseñanza durante unos dos mil años. El quadrivium y el trivium constituían las siete artes liberales y durante muchos siglos se consideró que una persona culta era aquella que dominaba esas siete artes liberales.
Se presentan: Reseñas históricas; Situaciones interesantes; Vinculación con otras áreas: geometría y arte, geometría y geografía, geometría y tecnología, medidas y geografía, números y códigos, matemática y petróleo, matemática y mapas. Esto es con el fin de mostrar la necesidad de conocer y apreciar cómo la matemática está presente en la vida cotidiana, en nuestro mundo actual, lo cual tiende a incrementarse, exigiendo cada día más experticia que contribuya a abrir puertas hacia el trabajo productivo. Se espera que el enfoque y los contenidos matemáticos aquí tratados sean un medio para estimular la creatividad en los niños y jóvenes, en los docentes, en los padres y representantes y, en general, en todos aquellos que cada día aspiran incorporarse a esta era del conocimiento. Este es el propósito de MATEMÁTICA PARA TODOS.
INTERESANTE El precursor Francisco de Miranda y las matemáticas Francisco de Miranda (1750-1816) tuvo bastante interés en las matemáticas, estudiando matemáticas e idiomas en Madrid en el año 1771. Además, en su casa de Londres, en 1800, formó una sociedad de jóvenes americanos a quienes dictó clases de matemáticas como parte de su preparación para la difícil y compleja tarea que vendría con el fin de independizar la América del dominio español. Miranda les enseñó álgebra aplicada a las armas, levantamiento de planos y fortificaciones. Fundación POLAR • Matemática para todos
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Contenido de los fascículos La obra se ha dividido en doce fascículos además de éste, el fascículo 1, donde se hace la presentación general, la descripción de cada uno de los fascículos y los créditos de los participantes en su elaboración.
Geometría En el tiempo de los griegos, la matemática desarrollada por esta civilización fue principalmente en el área de la geometría, además de la aritmética, el método axiomático y el razonamiento deductivo de lo que son sus creadores. Por lo tanto, la matemática era el estudio de los números y de las formas, correspondiendo esta última a la geometría, la cual alcanzó su punto culminante con Los elementos de Euclides (300 a.C.), una de las obras de mayor divulgación mundial. Tradicionalmente la geometría se ha incluido en el currículo escolar, además de su utilidad práctica, como un medio para que los estudiantes aprendan a razonar y entiendan el método axiomático de la matemática. Su estudio es esencial para la comprensión del espacio real por medio de la intuición geométrica o percepción espacial. En los fascículos 2 y 3 examinaremos, a grandes rasgos, aspectos fundamentales de la geometría: figuras planas y del espacio como los polígonos, los ángulos, las circunferencias y círculos, los poliedros, los prismas y las pirámides, los sólidos de revolución (esfera, cono, cilindro). Culminaremos en el fascículo 4 con el estudio de los movimientos rígidos o isometrías que son aquellas transformaciones geométricas que no cambian el tamaño ni la forma de las figuras sino únicamente su posición: traslaciones, rotaciones y simetrías axiales. En estos fascículos se ha vinculado la geometría con el arte, la decoración, la tecnología y la geografía.
Fascículo 2. El mundo de las formas Descubriendo el mundo de las formas 18 Formas completamente redondas 19 Formas con partes planas y superficies curvas 20 Formas con todas sus caras planas 23 Descubriendo las formas con todas sus caras planas Tengo que pensarlo 27 Geometría y tecnología 28 Geometría y ciencia 28 Geometría y arte 29 Ventana didáctica 30 Información actualizada 31 Miguel Méndez 32
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Fascículo 3. El mundo de las líneas Descubriendo el mundo de las líneas 34 Líneas curvas 35 Segmentos, semirrectas y rectas 36 Ángulos y polígonos 37 Polígonos regulares 38 Descubriendo el mundo de los triángulos 39 Descubriendo la clasificación y las propiedades de los triángulos Geometría y geografía 42 Geometría y arte 43 ¡A jugar! 44 Tengo que pensarlo 45 Ventana didáctica 46 Información actualizada 47 Luis Herrera Cometta 48
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Fascículo 4. El mundo de los movimientos y de las simetrías Descubriendo el mundo de los movimientos 50 Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral) Simetría de traslación, rotación y axial 53 Simetría y decoración 54 Geometría y arte 55 Descubriendo el mundo de los movimientos 56 Geometría y ciencia-tecnología 61 Tengo que pensarlo 62 Ventana didáctica 63 Ana María Font 64
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Medidas Desde inicios de la Educación Básica los niños se enfrentan con el mundo de las medidas, puesto que comienzan midiendo longitudes con sus manos, pies, brazos, pabilo y cintas métricas, determinando largos y anchos, alturas y profundidades. Posteriormente calcularán áreas, volúmenes y capacidades de recipientes, de figuras como cuadrados, triángulos, rectángulos, circunferencias y círculos, esferas, conos y cilindros, entre otros. Así, el estudio de las medición es importante en el currículo escolar desde el Primer Grado hasta el Ciclo Diversificado puesto que esto es una práctica constante en la vida cotidiana y es vinculante con otras partes de la Matemática, ya que para ello se necesita utilizar números, proporcionalidad, geometría, tablas, conceptos estadísticos, funciones y gráficos. En los fascículos 5 y 6 de medidas introduciremos a los lectores en el mundo de las medidas mediante el "descubrir qué es medir”, “¿qué medimos?” y “¿cómo se mide?”. El medir conlleva implícito varios procesos y acciones, como son: comparar, juntar o agregar, separar, clasificar, ordenar. Un comentario especial merece el tercer fascículo de medidas "Estimando medidas" porque este tema no está contemplado en los programas instruccionales de la Educación Básica ni en el Ciclo Diversificado, sin embargo, es de tal importancia que pensamos que en alguna futura reforma de los programas debería incluirse. Efectivamente, es frecuente el análisis de situaciones donde no se dispone de fórmulas para hacer mediciones ni las técnicas presentadas en los dos fascículos anteriores son aplicables y, por lo tanto, se acude a efectuar aproximaciones, a estimar las medidas, en donde se debe calcular la precisión y los errores cometidos. Este proceso adquiere gran relevancia con el uso de la tecnología de las calculadoras y computadoras que permiten efectuar numerosos cálculos, utilizando números con muchas cifras, y con gran rapidez. En estos fascículos se ha vinculado la medición con la tecnología, la ciencia y la geografía.
Fascículo 5. El mundo de las medidas Descubriendo las medidas 66 ¿Cómo se mide? 72 Fórmulas y propiedades que permiten determinar medidas Medida, ciencia y tecnología 76 Tengo que pensarlo 77 Ventana didáctica 78 ¡A jugar! 79 Carlos A. Di Prisco 80
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Fascículo 6. El mundo de las medidas ¿Qué medimos? 82 Unidades de longitud 83 Algunos instrumentos utilizados para medir longitudes 84 Calculando áreas 85 ¿Cómo calculamos el área de una figura plana? 86 ¿Cómo calculamos el área de algunas figuras que no son planas? Calculando volúmenes 89 Interesante 90 Medidas y tecnología 91 Medidas y geografía 92 Medidas y ciencia 93 Ventana didáctica 94 Tengo que pensarlo 95 Luis Báez Duarte 96
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Fascículo 7. Estimando medidas Estimando medidas 98 Estimando la longitud de una circunferencia 99 Error en la estimación 100 Estimando áreas 101 Estimando volúmenes 103 Cálculo de volúmenes de sólidos mediante aproximaciones Ventana didáctica 108 Tengo que pensarlo 109 ¡A jugar! 110 Gustavo Ponce 112
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Números En el tiempo de los egipcios y babilonios, la matemática desarrollada por estas civilizaciones fue principalmente en el campo del álgebra y la aritmética, esto es, con los números, específicamente con los números racionales positivos (enteros positivos y fracciones positivas). Históricamente el estudio de los números ha sido la piedra angular del currículo matemático de la Educación Básica, puesto que además de su propio desarrollo y la utilización de los números naturales para contar, encontramos que todas las otras partes de la matemática escolar utilizan los números: en geometría y en medidas, en los gráficos y funciones, en el álgebra, en la estadística, así como la ciencia y la tecnología se comunican y expresan cuantitativamente en forma numérica. De allí que esta área no podía faltar en los fascículos de Matemática para todos, a la cual dedicamos tres fascículos. En los fascículos 8 y 9 descubrimos el mundo de los números utilizados por los niños y jóvenes hasta el octavo grado: los naturales, los enteros y los racionales, asi como sus operaciones. El fascículo 10, “El mundo de las proporciones", nos conduce a la proporcionalidad y los porcentajes. Un comentario especial merece el fascículo 11 ubicado en el área de números pero no relacionado únicamente con lo numérico. Hay algunas secciones relativas a los números como culminación de esta área y otras secciones de tipo conceptual referidas a aspectos esenciales para la comprensión y utilización de la matemática, lo cual se ejemplifica con dos títulos: matemática y petróleo, matemática y mapas, a fin de mostrar que el quehacer matemático no se lleva a cabo en forma parcelada sino de manera integral utilizando contenidos de diversas áreas de la matemática.
Fascículo 8. El mundo de los números Descubriendo el mundo de los números 114 Números en el tiempo 115 Descubriendo los números 116 Descubriendo operaciones: la adición 117 Descubriendo operaciones: la sustracción 118 Descubriendo operaciones: la multiplicación 119 Descubriendo operaciones: la división 120 Algoritmo de la división 121 Números y códigos 122 Números y deportes 123 Ventana didáctica 124 Tengo que pensarlo 125 ¡A jugar! 126 Información actualizada 127 Ernesto Medina Dagger 128
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Simón Stevin Matemático belga (1548-1620)
El matemático Stevin publicó, en 1585, la primera obra europea conocida, consagrada a la teoría general de fracciones decimales.
Fascículo 9. El mundo de las fracciones El mundo de las fracciones 130 Interpretaciones de fracciones 131 Fracciones 132 Fracciones equivalentes 133 Suma y resta de fracciones 134 Multiplicación y división de fracciones 135 Fracciones cuyo numerador es mayor o igual que el denominador Fracciones y cocina 137 Mantenernos en forma y... 138 Tengo que pensarlo 139 Ventana didáctica 140 Información actualizada 143 Hugo Leiva 144
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Fascículo 10. El mundo de las proporciones El mundo de las proporciones 146 Proporcionalidad 147 Porcentaje (%) 149 ¿Cómo calculo el n% de una cantidad C? 150 Figuras semejantes 151 Dibujos e identificación de figuras semejantes Proporciones y recetas de cocina 153 Proporcionalidad y belleza 154 La divina proporción 155 Tengo que pensarlo 156 ¡A jugar! 157 Ventana didáctica 158 Jesús Alberto León 160
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Fascículo 11. El mundo y los números Importancia de la matemática 162 La matemática 163 Los números 164 Números y operaciones 165 Números naturales especiales 166 Matemática y petróleo 167 Matemática y mapas 171 Ventana didáctica 174 Tengo que pensarlo 175 José Rafael León 176
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El récord de jonrones en una carrera deportiva está en manos de Henry Louis “Hank” Aaron con 755, consiguió 733 con los Bravos de Milwakee (1954-1965) y los Bravos de Atlanta (1966-1974) en la Liga Nacional, y 22 con los Cerveceros de Milwakee en la Liga Americana. Fuente: Guinness. Libro de records. www.guinnessrecords.com.
Probabilidad y estadística En esta sociedad tecnológica en la que tanto el volumen como el flujo de información crecen día a día en nuestra vida cotidiana, se hace necesario que todo ciudadano cuente con conocimientos que le permitan el estudio de los fenómenos regidos por el azar y métodos que le ayuden a comprender la variabilidad, hacer inferencias, interpretar o construir gráficos y en definitiva, generar conocimientos que lo orienten en la toma de decisiones. Esto lo hace la estadística y la probabilidad.
Fascículo 12. El mundo del procesamiento de datos Descubriendo el mundo de la probabilidad 178 Descubriendo el mundo de la estadística 180 Estadística en el tiempo 181 Estadística descriptiva 182 Estadística y la vida cotidiana 183 Ventana didáctica 184 Tengo que pensarlo 185 Un juego probabilístico 186 Probabilidades en nuestro juego de béisbol 187 Vladimiro Mujica 188
Fascículo 13. El mundo de los gráficos El mundo de los gráficos 190 Descubriendo el mundo de los gráficos 191 Otro tipo de relaciones (correspondencias) Crecimiento 193 Decrecimiento 194 Gráficos y cuerpo humano 195 Confiabilidad 196 ¡A jugar! 197 Ventana didáctica 198 Tengo que pensarlo 199 Leonardo Mora 200
Fundación Luis Roche 1956 Sentados de izquierda a derecha: Jorge Vera, Mario Calcinay, Miguel Layrisse, Marcel Roche, Luis Roche, Francisco de Venanzi, Gabriel Chuchani, Luis Carbonell. De pie: Abraham Levy, Andrés Gerardi, José Forero, Leocadia Escalona, María Enriqueta Tejera, Gloria Villegas, Slavka Hitrovo y Francisco Peña.
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¿Por qué matemática? La matemática es una parte de nuestra herencia cultural. Es uno de los grandes logros intelectuales de la humanidad, con un pasado que data, aproximadamente, desde cuatro milenios antes de la era cristiana. Ella se encuentra presente en todas las culturas y desde los albores de la humanidad el ser humano la empleó para contar sus rebaños o para medir el tiempo a través de calendarios a los fines de determinar las épocas de siembra y cosecha de los frutos de la tierra. La mayoría de las profesiones y los trabajos técnicos que hoy en día se ejecutan requieren de conocimientos matemáticos. Las actividades industriales, la medicina, la química, la sociología, la economía, la ingeniería y la arquitectura, la robótica, las artes y la música la utilizan, entre otras cosas, para expresar y desarrollar muchas ideas en forma gráfica, numérica y analítica (mediante fórmulas). La matemática es considerada un medio universal para comunicarnos y un lenguaje de la ciencia y la técnica. Ella permite explicar y predecir situaciones presentes en el mundo de la naturaleza, en lo económico y en lo social. A esto se suma que la matemática contribuye a desarrollar lo metódico, el pensamiento ordenado y el razonamiento lógico. Su estudio favorece que la mente humana distinga el todo de las partes, lo analítico y lo sintético, lo ordenado de lo no ordenado, lo que está clasificado de lo que está “revuelto”, entre otros procesos fundamentales del pensamiento.
INTERESANTE El Padre Andújar y los estudios de matemáticas en Venezuela El capuchino aragonés Fray Francisco de Andújar propuso en 1785, al gobernador Manuel González, que le permitiesen regentar una cátedra de matemáticas. Fue en junio de 1798 cuando se inició el proyecto del padre Andújar que apenas duró unos meses, como se dice en el acta del Consulado de mayo de 1800, el "Padre Andújar tuvo que valerse de casa particular para establecer la clase de Matemáticas que tuvo por algún tiempo". Fue el joven Simón Bolívar, con apenas quince años de edad en ese entonces, quien cedió una de las habitaciones de su casa para la clase del padre Andújar, de quien fue su alumno, como así lo reconoce el Libertador en su carta al general Santander de fecha 20 de mayo de 1825, firmada en Arequipa: "Robinson, que Vd. conoce, fue mi maestro de primeras letras y gramática; de bellas letras y geografia, nuestro famoso Bello; se puso una academia de matemáticas sólo para mí por el padre Andújar, que estimó mucho el barón de Humboldt. Después me mandaron a Europa a continuar mis matemáticas en la academia de San Fernando". Fundación POLAR • Matemática para todos
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¿Por qué matemática en la educación básica? En la Educación Básica del mundo entero se inicia el aprendizaje de la matemática con la adquisición de un lenguaje universal de palabras y símbolos que es usado para comunicar ideas de número, espacio, formas, patrones y problemas de la vida cotidiana. Así, encontramos palabras como cuadrado, círculo, cono, porcentaje, decimal, ... ; relaciones del tipo mayor que, dentro de, paralelo a, tangente a, más grande que... Asimismo, se utilizan símbolos como =, >, <, x, ≈, los cuales estimulan ideas acerca de lo que ellos representan. La utilización de esa nomenclatura no se limita únicamente a la educación formal, sino que cada día se hace necesario este conocimiento para desenvolverse diariamente pues está presente en el quehacer cotidiano, en los medios de comunicación, en la ciencia y en la tecnología. Por otra parte, la contribución del aprendizaje de la matemática en la formación del razonamiento no ofrece discusión. De allí que a lo largo de los programas instruccionales de la Educación Básica se consideran algunos tipos de razonamiento como se expresa en el siguiente diagrama:
Algunos tipos de razonamiento Razonamiento inductivo como consecuencia de situaciones en las que a partir de la observación de ejemplos se obtienen conclusiones que deben demostrarse. Por ejemplo: el producto de un número impar por un número par es un número par y siempre será par cualesquiera que sean esos dos números considerados. Esta conclusión puede inferirse a partir de la observación de varios ejemplos.
Razonamiento espacial se aplica para obtener conclusiones a partir de observaciones en el espacio.
Razonamiento deductivo significa demostrar una suposición mediante reglas de la lógica y enunciados verdaderos ya demostrados.
Razonamiento proporcional es el utilizado cuando se establecen relaciones entre variables en los que se obtiene una constante de proporcionalidad.
Para alcanzar un buen nivel de razonamiento es necesario que los docentes faciliten a los alumnos variadas experiencias conectadas con el mundo real y con otras ciencias, que estimulen la habilidad para resolver problemas en forma oral y escrita y se apoyen en los diferentes tipos de razonamiento. Estos fascículos de Matemática para todos fueron concebidos con una visión global de la matemática y con ellos se aspira desmitificar la percepción de que la matemática es sólo para algunos privilegiados. Se espera una actitud positiva en los docentes que estimule la natural curiosidad de sus alumnos para que aprendan a valorar la frondosidad del árbol matemático que atraerá a los niños y jóvenes, de acuerdo con sus intereses y talentos.
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Equipo de trabajo Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer. Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)
Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV)
Simón Bong Profesor de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Magíster en Procesos de Aprendizaje (UCAB) Profesor Instructor (UPEL)
Rafael J. Orellana Chacín Licenciado en Estadística (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de París V Francia) Profesor Titular (J) (UCV)
Nora Ghetea de Jaegerman Licenciada en Educación Matemática (UCAB) Magíster en Educación Matemática (Universidad de Pittsburgh, EE.UU.) Gisela Marcano Coello Maestra Normalista Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Profesora (J) CENAMEC Miriam Meza Hidalgo Licenciada en Educación Matemática (UCV) Magíster en Didáctica de la Matemática (Universidad Laval, Canadá). Profesor Asociado (CENAMEC)
Colaboradores Sandra Leal (UPEL) Amanda Pérez Gómez (CENAMEC) Teresa Tesoro (USB) Ligia de Bianchi
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Jorge Salazar Profesor de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Ph.D. en Matemática (Universidad del Estado de Oklahoma-EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL) José Francisco Salinas Licenciado en Estadística (UCV) Magíster en Estadística (UCV) Profesor Asociado (J) (UCV) Víctor Vásquez Licenciado en Matemática (USB) Ph.D. en Educación Matemática (Universidad de Berkeley-EE.UU.) Asesor internacional de proyectos educativos del Banco Mundial
Validadores Henry Martínez (UCAB) Saulo Rada (UPEL) Ricardo Ríos (UCV) Sergio Rivas (UNA) Rafael Sánchez (UCV) Ennodio Torres (UCLA) Wilfredo Urbina (UCV)
Interesante
La Armonía de las esferas según Kepler
Los pitagóricos (siglo VI-V a.C.) pensaban que los planetas se movían en superficies esféricas cuyo centro era la Tierra. Dichos movimientos producían sonidos armónicos a los que llamaron “la música de las esferas”. Así explicaban el universo con esta teoría de “Armonía celeste”. Muchos siglos después, en 1595, el astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571-1630), en sus consideraciones acerca de la armonía matemática del Universo, formuló una teoría en relación con las distancias entre los planetas para lo cual se valió de los cinco poliedros regulares metidos dentro de esferas: seis esferas que correspondían a los seis planetas conocidos en su tiempo (Saturno, Júpiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) separados (en ese orden) por el cubo, el tetraedro, el dodecaedro, el octaedro y el icosaedro. Kepler intentó encontrar las razones de por qué solamente existían seis planetas y cinco poliedros regulares. Su teoría fue posteriormente desechada con el descubrimiento de Urano en 1781. Fundación POLAR • Matemática para todos
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Olimpíadas Matemáticas Rafael Sánchez Lamoneda Escuela de Matemáticas- Facultad de Ciencias- UCV Las competencias de matemáticas han existido desde hace cientos de años, basta recordar la historia que envuelve el descubrimiento de la solución general de una ecuación de tercer grado, evento que se desarrolló en la Italia del siglo XVI. En épocas más recientes, a finales del siglo XIX en Hungría, se organizaban concursos de matemáticas elementales dirigidos a estudiantes en su último año de educación secundaria. Estos concursos se conocen bajo el nombre de Competencias Eötvös y se pueden considerar como el origen de las Olimpíadas de Matemáticas, OM.
Actualmente existen muchas competencias de matemáticas, unas de carácter presencial, otras en las cuales se participa por correspondencia. Todas con un propósito común, “motivar a jóvenes estudiantes hacia el estudio de la matemática”, además de generar por parte de los de docentes, la producción e intercambio de problemas interesantes, novedosos y retadores. El desarrollo de las Olimpíadas Matemáticas, ha sido tan rápido y vigoroso que hoy en día participan anualmente en la Olimpíada Internacional de Matemáticas, más de 80 países y alrededor de 500 estudiantes, cuando hace sólo 20 años participaban una veintena de países, principalmente de Europa y Norteamérica, lo que dice mucho del desarrollo de estos juegos olímpicos. En Venezuela las Olimpíadas de Matemática se realizan desde 1975, como un proyecto del Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia (CENAMEC), liderado inicialmente por el profesor Saulo Rada. Hoy en día se llevan a cabo competencias de matemáticas en diferentes niveles del sistema educativo, tanto de carácter nacional como internacional. Entre ellos cabe destacar el concurso Canguro Matemático, la competencia juvenil de matemática más grande del mundo. En los tres últimos años Venezuela ha tenido una destacada actuación en varias olimpíadas de matemáticas en el mundo, cabe destacar la obtención de dos medallas de plata, dos de bronce y dos menciones honoríficas en las Olimpíadas Internacionales de Matemáticas en los años 2001 y 2002, así como tres medallas de plata y una de bronce en la Olimpíada Iberoamericana de Matemáticas en Uruguay, en el año 2001. Estos premios vinieron acompañados de la obtención de la copa Puerto Rico, en la misma olimpíada iberoamericana señalada. Esta copa la gana el país que muestra el mayor desarrollo en dos años consecutivos. En la actualidad la Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas (ACM) tiene como objetivo la promoción de las matemáticas y la organización de un programa de captación de jóvenes con talento para la matemática con la finalidad de llevarlos a competir en diversas Olimpíadas de Matemática alrededor del mundo.
Ă?ndice y crĂŠditos de la obra
Fascículo 1 Presentación ¿Por qué el mundo de la matemática? Los temas de El mundo de la matemática Sucesiones y modelos matemáticos Álgebra Estadísticas y gráficos
3 4 6 6 7 8
Fascículo 2 Las sucesiones Analizando sucesiones Progresiones aritméticas, geométricas y otras sucesiones
10 12 13
Fascículo 3 Otras sucesiones Sucesiones y dedos Fibonacci y el mundo Fibonacci y el número de oro El número de oro en el arte y la arquitectura Fibonacci, el número de oro y Le Corbusier
18 20 21 22 23 24
Fascículo 4 Matemáticas recreativas El ajedrez Las torres de Hanoi Sucesiones y música Orientaciones metodológicas (Sugerencias para los docentes) Tengo que pensarlo
26 26 27 28 30 32
Fascículo 5 Situaciones de coordenadas Sistemas de coordenadas en la recta Orden en la recta Sistemas de coordenadas en el plano Coordenadas y nuestro planeta Tierra Coordenadas y hora mundial
34 35 36 37 39 40
Fascículo 6 El lenguaje de las matemáticas Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas Ecuaciones lineales Funciones afín y cuadrática Ecuaciones cuadráticas
42 44 45 47 48
Fascículo 7 Ecuaciones de grado mayor que dos Soluciones de ecuaciones cúbicas Funciones polinómicas Adición Multiplicación División Polinomios y tecnología
50 51 52 52 53 54 55
Fascículo 8 Ecuaciones lineales con dos incógnitas Matemática recreativa Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Tengo que pensarlo
58 60 62 64
Fascículo 9 Funciones y sus gráficas Leyendo gráficas y analizando tablas de valores Demanda y oferta de un bien Test de tolerancia a la glucosa Movimiento de un corredor Onda cuadrada Tasas de varación o de cambio
66 68 68 69 70 70 72
Fascículo 10 Tasas de varación o de cambio Otras situaciones de cálculo de tasas de cambio Analizando cambios a partir de gráficos y tablas Frecuencia y gráficos Desde las fichas y tablillas de arcilla hasta las computadoras
74 75 76 77 78
Fascículo 11 El mundo de las funciones La función exponencial La función logarítmica La función potencial La función potencial en ayuda de la industria De las escalas aritméticas a las escalas logarítmicas Un ejemplo de gráfico con escala logarítmica
82 82 83 84 85 86 87
Fascículo 12 La función logarítmica entre temblores y terremotos Torres sismorresistentes Logaritmos y acústica Logaritmos y química Tengo que pensarlo
90 92 93 94 95
Fascículo 13 El mundo de las inecuaciones Inecuaciones en la recta Resolviendo inecuaciones Solución geométrica de una inecuación lineal Inecuaciones cuadráticas Resolviendo inecuaciones
98 99 100 101 102 103
Fascículo 14 Inecuaciones en el plano Inecuación versus ecuación
106 109
Coordenadas en el espacio Sistemas de coordenadas en el espacio Coordenadas esféricas Coordenadas y tecnología
110 111 112
Fascículo 15 Ecuaciones lineales con tres incógnitas Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Solución al problema de las balanzas Tengo que pensarlo Juego: ¿Quién llega primero?
114 116 118 119 120
Fascículo 16 El mundo de los modelos matemáticos Los modelos matemáticos Situación A. Caso de una sucesión con crecimiento indefinido Situación B. Caso de la altura de un árbol que está en una colina Situación C. Caso del volumen de una naranja
122 124 124 125 126
Fascículo 17 Modelos matemáticos 130 Situación D.Un modelo dinámico: Crecimiento de la población mundial 131 Modelos en Venezuela 135 La matemática aplicada y los modelos matemáticos: una breve historia Tiempo remoto 136 Fascículo 18 Renacimiento La gran creación: El cálculo infinitesimal (s. XVII) Siglo XIX Siglo XX Otro modelo estático: modelo de empaquetamiento Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Modelos en Venezuela
137 138 138 139 140 143 144
Fascículo 19 • Estadística y conocimiento Estadística y conocimiento Experimentos comparativos Estudios observacionales Construcción de modelos estadísticos Medición Tipos de medición Fascículo 20 • Variación y distribución Variación Validez y confiabilidad Descripción estadística: Variación y distribuciones de frecuencia unidimensionales Dispositivo de Tallos y Hojas Histograma
146 148 149 149 150 152 154 155 156 158 159
Fascículo 21 • Localización, variabilidad y concentración Localización de una distribución Medición de la variabilidad Desviación estándar Concentración Estadística y lactancia materna Tengo que pensarlo
162 163 164 165 166 168
Fascículo 22 • Distribuciones bidimensionales Distribuciones bidimensionales Correlación Regresión Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Estadística y VIH/SIDA
170 171 172 174 175
Fascículo 23 Probabilidad en el tiempo Probabilidad Teorema de Bayes Modelos de Bernoulli y binomial Modelo binomial Modelo normal
178 179 181 182 183 184
Fascículo 24 Índice de la obra Fe de erratas Equipo de trabajo
186 190 191
Fascículo
Página
1
3
Donde dice
Debe decir
4 7 2
14 y 15
5
36
6
42
En los dos dibujos las líneas deben ser punteadas
48 7
51 55
En el dibujo de la derecha: en el eje 0x es -1 y en el eje 0y es 10 y
y
ax y=
+b x
O
ax y=
b
+b x
O
b es fijo
56
56
O
O
b y c fijos
11
88
b y c fijos
Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)
Saulo Rada Aranda Profesor de Física y Matemática (IPC) Maestría en Educación Matemática (Universidad de Maryland, EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)
Alberto Camardiel Licenciado en Estadística (UCV) Magíster en Estadística (Universidad de Stanford, EE.UU.) Profesor Titular (UCV)
Sergio Rivas Licenciado en Matemática (UCV) Maestría en Matemática (UCV) Profesor Asociado (J) (UNA)
Antonio Dávila Profesor de Física y Matemática (IPC) Curso Especialización en Enseñanza de la Física (UPEL) Profesor (J) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte
Luis Beltrán Salas Licenciado en Estadística (UCV) Doctor en Ciencias Económicas y Sociales (UCV) Profesor Titular (J) (UCV)
Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV) Colaboradores Lucila Blanco (UCV) Marco Falcón Ascanio (UCV) María Elena Guerra (UCV)
Validadores Henry Martínez (UCAB) Rafael Sánchez (UCV) Antonio Acosta (UCV) Laura Galindo (UCV) Julio Grau José Manuel Pinto Revisión de textos
Ricardo Alezones Renato Valdivieso
Fundación Polar es la expresión del compromiso institucional de Empresas Polar con Venezuela. Fue creada para apoyar y fomentar innovaciones e iniciativas sustentables que fortalezcan el tejido social de Venezuela y que contribuyan a mejorar la calidad de vida de sus habitantes. Objetivos • Aliviar disparidades de la sociedad • Consolidar valores éticos y patrimoniales • Fomentar y potenciar el talento y el conocimiento • Estimular la participación responsable y el consenso entre los diversos actores de la sociedad
Edificio Fundación Polar 2da avenida de Los Cortijos de Lourdes Apartado Postal 70.934, Los Ruices Caracas 1071-A. Venezuela Telf: 58 (212) 202.75.30 Fax: 58 (212) 202.76.01 E-mail: ciencia@fpolar.org.ve
www.fpolar.org.ve
Ă?ndice, crĂŠditos y fe de erratas
30
2006
Índice de la obra Polígonos y poliedros
Introducción Fascículo 1 Equipo de trabajo Presentación Introducción Los temas de Matemática Maravillosa
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
234
1 2 3 4 6
Fascículo 2 El mundo de las formas poligonales y poliédricas Clasificación de polígonos El mundo de los polígonos regulares El mundo de los cuadriláteros concíclicos Los polígonos en el diseño, las artes y la arquitectura Fascículo 3 El mundo de los poliedros Clasificación de poliedros El mundo de los poliedros regulares Proyección de Schlegel Pero, ¿existen otros tipos de poliedros? Fascículo 4 Los polígonos y los poliedros en las ciencias naturales Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingeniería Fascículo 5 Superficies esféricas y poliedros en arquitectura e ingeniería Teselaciones Mosaicos Mosaicos regulares Mosaicos semirregulares Fascículo 6 Mosaicos de Escher Mosaicos de Penrose Teselaciones en el espacio Dimensiones, coordenadas y grados de libertad Fascículo 7 Grados de libertad y coordenadas ¿Cuántas dimensiones podemos considerar que tengan utilidad tanto en matemática como en otras disciplinas? La cuarta dimensión y el hipercubo Fascículo 8 ¿Cómo estudiar el hipercubo? Bibliografía Tengo que pensarlo
9 10 11 12 14 15 17 18 19 20 21 24 25 26 31 33 34 36 38 38 40 41 42 43 44 45 49 50 54 55 57 58 63 64
Trigonometría Fascículo 9 65 El mundo de las demostraciones con ayudas visuales 67 El mundo de las demostraciones 69 Fascículo 10 73 Descubriendo el mundo de la trigonometría 74 ¿Qué es medir ángulos? 75 Funciones trigonométricas de un ángulo 77 La identidad fundamental 79 Trigonometría y arte 79 Fascículo 11 81 La ley de los senos 82 La ley de los cosenos 83 Venezuela en el Polo Norte 84 Tengo que pensarlo 86 Bibliografía 88 Fascículo 12 89 El mundo de la trigonometría 90 Funciones trigonométricas de números reales 92 Propiedades gráficas de las funciones trigonométricas 95 Fascículo 13 97 La función tangente y otras funciones trigonométricas 98 Funciones trigonométricas y música 101 Fascículo 14 105 El mundo de las funciones inversas 106 Funciones trigonométricas inversas 107 Geometría de la esfera 108 Las curvas de “rumbo” (loxodromas) en la esfera y la navegación 110 Tengo que pensarlo 112 Bibliografía 112
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
235
Cónicas y cuádricas Fascículo 15 Elementos básicos de geometría El mundo de las cónicas Propiedades ópticas de las cónicas Cónicas y sus aplicaciones Fascículo 16 El mundo de las cuádricas Las cuádricas de revolución ¿Cuáles superficies se obtienen al rotar otras cónicas: elipse, parábola e hipérbola? Esfera y esferoide Fascículo 17 Ayer Hoy Las cuádricas, la arquitectura y la ingeniería Fascículo 18 Otras curvas Bibliografía
113 114 115 118 119 121 122 124 125 127 129 130 131 134 137 141 144
Matrices Fascículo 19 Matrices y vida cotidiana Adición de matrices Producto de un número por una matriz Producto escalar de vectores Producto de matrices Tengo que pensarlo Fascículo 20 Matrices y grafos Matrices y cuadrados mágicos Tengo que pensarlo Algunas curiosidades de los cuadrados mágicos Fascículo 21 Matrices y transformaciones geométricas en el plano Fasciculo 22 Matrices y transformaciones en el espacio Fascículo 23 Matrices y códigos Códigos más complejos Matrices y números complejos Matrices y sistemas de ecuaciones lineales
145 146 148 149 149 150 152 153 154 156 159 160 161 162 169 170 177 178 180 183 184
Fractales Fascículo 24 El mundo de los fractales Los fractales Fascículo 25 Auto-semejanza en los fractales La auto-semejanza y la espiral logarítmica La espiral de Arquímedes La espiral de Bernoulli La dimensión fractal o dimensión de auto-semejanza Fascículo 26 Fractales en la vida diaria El tetraedro de Sierpinski La esponja de Menger Fractales en el tiempo Bibliografía
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
236
185 186 187 193 194 195 196 196 198 201 202 203 204 206 208
Índice, créditos y fe de erratas Fascículo 30 Índice de la obra Equipo de trabajo Fe de erratas
233 234 238 239
Matemática, arte y arquitectura Fascículo 27 Construcciones geométricas y perspectiva Construcción de polígonos regulares Fascículo 28 Construcción de polígonos regulares Dibujando matemáticamente Dibujando técnicamente Geometría descriptiva Las perspectivas Fascículo 29 Matemática, arte y arquitectura a través del tiempo Bibliografía
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
237
209 214 216 217 218 220 221 222 224 225 226 232
Túnel púrpura. Fuente: http://www.majcher.com/xhibition/images/ 2004_08_08/DSCF0219.JPG.html
Equipo de trabajo Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica y especialista del área Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)
Saulo Rada Aranda Profesor de Física y Matemática (IPC) Maestría en Educación Matemática (Universidad de Maryland, EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)
Rogelio Chovet Voza Arquitecto (UCV) Profesor Geometría Descriptiva y Dibujo de Proyectos (UC) Instructor de programas de diseño gráfico (Adobe y Macromedia)
Sergio Rivas Licenciado en Matemática (UCV) Maestría en Matemática (UCV) Profesor Asociado (J) (UNA)
Antonio Dávila Profesor de Física y Matemática (IPC) Curso Especialización en Enseñanza de la Física (UPEL) Profesor (J) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte
Jorge Salazar Profesor de Matemática y Física (IPC) PhD en Matemática (Universidad de OklahomaEE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)
Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV) Validadores
Revisión de textos
Oswaldo Araujo (ULA) Laura Galindo (UCV) Henry Martínez (UCAB) Rafael Sánchez (UCV)
Ricardo Alezones Renato Valdivieso
Diseño, investigación gráfica y desarrollo Rogelio Chovet Voza
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
238
Fe de erratas
Fascículo 10
Fascículo 18
Página 78 • Dice: ...= 2Rsen ( /2) Fascículo 1 2 α Página 3 Debe decir: ...= 2Rsen ( ) 2 • Dice: cuadráticas y debe decir: Dice: ...= 120sen ( /2) cuádricas 2 α Debe decir: ...= 120sen ( ) Fascículo 2 2 Fascículo 12 Página 11 Dice: ... P y Q cualesquiera en el Página 90 polígono, pero el segmento PQ no... Dice: ...ángulo a’b’ y debe decir Debe decir: ...dos puntos P y Q de tal ...ángulo ab manera que el segmento PQ no ... Fascículo 13
Página 141 Dice: -1 + x2/2... Debe decir: -1 + 1 + x2/2...
Página 98 π π Página 59 Dice: ...t=2n+1 = nπ 2 2 Dice: corresponpondiente a y debe π π Debe decir: ...t=(2n+1) = + nπ decir: correspondiente a 2 2 Página 103 Fascículo 9 Dice: Clarinete (ƒ=209...) debe decir Página 67 Clarinete (ƒ=260...) Dice: ... del lado t y debe decir: ... de Fascículo 14 lado t. Página 107 Página 71 Dice: El número cuyo seno es x tal Dice: ...= AC’ y debe decir ...= AC’ que... y debe decir: El número x cuyo AE’ AE seno es tal que... Dice: ...= AC’ y debe decir ...= AC En lugar de • va π AE AE
Página 170 Dice: ... traslaciones, rotaciones y simetrías Debe decir: ...simetrías, rotaciones y traslaciones
Fascículo 8
Fascículo 10
Fascículo 15
Página 114 Página 77 Dice: Una recta l y un plano α y debe El segmento CD es el que debería decir: Una recta m y un plano α estar solamente coloreado de verde.
Fascículo 19 Página 148 Dice: 130 000 y debe decir: 140 000
Fascículo 21 Página 164 Dice: De ángulo θ Debe decir: De ángulo θ y centro (0,0)
Fascículo 22
Fascículo 23 Página 184 Dice: Ax=C Debe decir: Ax=X’ Dice: Ohmn Ohmnios Omnios Debe decir: Ohm Ohmios Ohmios Dice: a1x + b1y +c1z = d1 A=
Fascículo 17
Página 133 La ilustración de la sala del Palacio del Descubrimiento es la que está a continuación.
a2x + b2y +c2z = d2 a3x + b3y +c3z = d3
Debe decir: a1 b 1 c 1 A=
a2 b2 c2 a3 b3 c3
El gráfico debe ser el siguiente: z 1 X
X’ y
Fascículo 30 • Índice, créditos y fe de erratas
239
1
2
Fundación Empresas Polar es la expresión institucional de Empresas Polar creada, hace 29 años, para apoyar y fomentar iniciativas innovadoras y sustentables que mejoren la calidad de vida y contribuyan a fortalecer el tejido social de nuestro país. Objetivos • Aliviar disparidades de la sociedad • Consolidar valores éticos y patrimoniales • Fomentar y potenciar el talento y el conocimiento • Estimular la participación responsable y el consenso entre los diversos actores de la sociedad Segunda avenida, Los Cortijos de Lourdes, edificio Fundación Polar, 1º piso. Apartado postal 70934. Los Ruices. Zona postal: 1071-A. Caracas, Venezuela. Teléfonos • Recepción (0212) 202.75.30 • Biblioteca (0212) 202.75.35 al 38 • Ediciones (0212) 202.75.61 • Fax (0212) 202.75.22
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