REGLA DEL TRAPECIO
Método de Simpson Cuadratura Gaussiana
En ocasiones requerimos el conocimiento de calcular una integral definida, esto ocurre en distintas áreas de la ingeniería. Al pasar el tiempo la ingeniería avanza, con ello el desarrollo es de notar en la búsqueda de valores como lo es el cálculo de una variable, estos cálculos numéricos también son posibles a través de calculadora y computadores.
En análisis numérico existen métodos numéricos para aproximar valores, entre esos métodos está la integración numérica ella constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales.
El término cuadratura numérica es más o menos sinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones también se utiliza. Entre esos métodos están: La cuadratura de Gauss, la regla del trapecio y método de Simpson.
Un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función, en la rama del análisis numérico. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración polinómica de grado cinco.
La cuadratura de Gauss selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de un polinomio de grado 2n-1 o menor, elegibles para los puntos xi y los coeficientes wi para i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1] dada por:
Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.
AUTOR: DIANA HURTADO ESSER
En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral: Consideramos el polinomio interpolante de orden dos P2(x), que aproxima a la función integrando f(x) entre los nodos x0 = a, x1 = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es: Así, la integral buscada se puede aproximar como:
El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es:
AUTOR: JESUS BARROSO STORMES
Regla de Simpson compuesta En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta del trapecio. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que xi = a + ih, donde h = (b −a) / n para i = 0,1,...,n. Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos:
Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:
El máximo error viene dado por la expresión:
AUTOR: JESUS BARROSO STORMES
Como bien es sabido, el objetivo principal del análisis numérico es llegar a respuestas aproximadas de problemas matemáticos mediante la realización de una serie de pasos. En esta oportunidad, estudiaremos la regla del trapecio simple, la cual nos permite hallar un valor aproximado de una integral definida. Para esto consideramos a una función f(x) en un intervalo [a,b]. Comprendiendo el método… En la gráfica se observa que el área sombreada entre los puntos f(a) y f(b) de la función dada f(x) al evaluar la misma proporciona el valor exacto del área, mientras que el trapecio formado por el intervalo a y b con longitud igual, el valor de la misma, es igual a la integral calculada mediante la regla del trapecio.
AUTOR: ISAAC RODRIGUEZ
A continuaci贸n, veamos el polinomio a utilizar:
Como sabemos, al tratarse de una aproximaci贸n, existe un error cometido. Para conocer el error cometido durante la aplicaci贸n de la regla del trapecio simple utilizaremos la siguiente f贸rmula:
AUTOR: ISAAC RODRIGUEZ