Diseños de Sistemas de Control en Tiempo Discreto

UNIVERSIDAD FERMIN TORO

FACULTAD DE INGENIERÍA

DIANA HURTADO ESSER V- 24.393.444 ISAAC RODRIGUEZ V-25.688.054 JOSE TORREALBA V-26.261.092 ING. MARIENNYS ARRIECHE TEORIA DE CONTROL II SAIA “A”

La estabilidad de sistemas discretos está determinada por la ubicación de sus polos.

•La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en el interior del círculo unitario.

•Si algún polo está situado sobre la circunferencia unitaria el sistema es críticamente estable •Los ceros no afectan a la estabilidad con lo cual pueden localizarse en cualquier lugar del plano z •Ceros en el interior del círculo unitario, sistema de fase mínima •Ceros en el exterior del círculo unitario, sistema de fase no mínima

Error en estado estacionario o permanente •El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada.

•El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.

Puede observarse de que el error depende: •De la entrada: R(S) •De las características del sistema de lazo abierto GH(S) Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es:

El error en estado estacionario es

Error en estado estable para una entrada escalรณn de magnitud R1,Rs=R1s

La constante estรกtica de error de posiciรณn Kp se define como

Error en estado estable para una entrada rampa de magnitud R2,Rs=R2s2

La constante estรกtica de error de velocidad Kv se define como

Error en estado estable para una entrada parรกbola de magnitud R3,Rs=R3s3

La constante estรกtica de error de aceleraciรณn Ka se define como

Para poder entender mejor que es el tiempo de levantamiento y el sobrepaso máximo es buenos conocer al menos de forma general las definiciones de respuesta transitoria.

Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica. (Si se conoce la respuesta a una entrada escalón, es matemáticamente posible calcular la respuesta para cualquier entrada.)

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable.

Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente: Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.

• Tiempo de levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobre-amortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.

• Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.

• Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante: • La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.

• Tiempo de asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control.

Un diagrama de bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema.

Normalmente posee dos graficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase. Recibe su nombre de Hendrik Wade Bode el científico norte americano que lo desarrollo.

El diagrama de Bode consiste en 2 trazas por separado, la magnitud logarítmica /G(jv)/ en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G(jv) en función del logaritmo de v. la traza de la magnitud logarítmica se basa en la factorización de G(jv), de tal forma que funciona en el principio de sumar los términos individuales factorizados, en vez de multiplicar los términos individuales.

Aplicando la transformada bilineal, pueden trazarse mediante métodos asintóticos los diagramas de bode que ofrecen la información de la respuesta en frecuencia evaluada sobre la venda primaria.

La respuesta de frecuencia trazada en el plano transformado bilineal (w) no será periódica debido a que únicamente contiene la información de la banda primaria del sistema discreto en el plano S, sin embargo esta sentencia no es muy importante, dado que, en su funcionamiento correcto, el sistema discreto utilizará señales que verificarán teorema de Snannon. Ello conlleva un análisis detallado transformada bilineal, debido a que la información que aparece como una distorsión en el eje frecuencial; en conclusión, deberá considerarse la relación no lineal existente entre la frecuencia bilineal y la frecuencia real de la señal

1.Dado el diagrama de bloques K

Z _ (Z-1)(Z²-Z+0,5)

Reducimos por serie y tenemos:

KZ _ (Z-1)(Z²-Z+0,5)

Tenemos que la ecuación característica del Sistema viene dada por:

R(Z) = P (Z) = 1+ GH(Z) = 0 Luego, con retroalimentación unitaria se tiene que:

GH(Z) = KZ _ (Z-1)(Z²-Z+0,5) Por tanto:

1 + GH (Z) = 1 + = KZ _ =0 ( Z-1)(Z²-Z+0,5) Resolvemos la suma y queda:

( Z-1)(Z²-Z+0,5)+KZ = 0 ( Z-1)(Z²-Z+0,5 Multiplicamos ( Z-1)(Z²-Z+0,5) ambos lados de la igualdad y resulta

P(Z)= ( Z-1)(Z²-Z+0,5)+KZ = 0

Distribuimos

P(Z) = Z³- Z² + 0,5Z - Z² +Z-0,5+KZ = 0 P(Z) = Z³- 2Z² +(1,5K+K)Z-0,5 = 0

Polinomio Característico del Sistema Así a₀ = -0,5 a₁ = k+1,5 n = 3 (Ecuación de orden 3) a₂ = -2 a₃ = 1 Las condiciones 1. |a ₀| < an |-0,5|<1 = 0,5 < 1 se cumple 2. P(1) > 0 1³-2(1)²+(K+1,5)(1) – 0,5 > 0 = 1-2+ K + 1,5 – 0,5 > 0 = K > 0 (Primera condición para k) 3. P(-1) < 0 (n = 3; impar) P(-1) = (-1) ³ - 2(-1) ² + (k+1,5)(-1)- 0,5 < 0 = -1 -1 – K – 1,5 – 0,5 < 0 =-K<5 = K > -5 (segunda condición para k) 4. |b₀| < |b₂| Donde: a₀ a₃ b₀ = = a₃ a₀ a₀ a₁ b₂=

a₃ a₂

-0,5 1

1 -0,5

=((-0.5)(-0.5)) – (1)(1) =

-0,5 K+1,5 =

1

-2

= ((-0.5)(-2)) – ((1)(k+1.5)) =1 – K – 1, 5 = - 0,5 – K

Así |b₀| < |b₂| = |-0,75| < |-0,5 – K| = 0,75 < |0,5 + K| = 0,5 + K > 0,75 = K > 0,25 (tercera condición para k) De todas las condiciones

| -5

0,25 -1 = -0,75

| 0

| 0,25

K > 0,25 Así, el sistema es estable K > 0,25

GH(Z) =

K(Z+1/3)(Z+1/2)_______ Z(Z+1/2+5/2) (7+1/2+j/2) Z= -1/3 n=2 2 ceros finitos Z= -1/2 Z= 0 Z= -1/2 – ½ n= 3 Z=-1/2 + j/2

3 polos

Se trabajó con este denominador para Que se cumpliese la conjugada entre raíces complejas

aZ²+bZ+C = 0

Z = -b± √b²-4ac 2ª = - b ± √b²-4ac 2ª 2ª L.G.R en el eje real P4

P3

>>>>>>

-1/2 -1/3 P2 0

P1

•A la derecha de P1 no hay polos ni ceros: n+m = 0 no hay rama del L.G.R •A la derecha de P2 n + m = 1 ( 1 polo); impar hay una rama en (-1/3, 0) •A la derecha de P3 n + m = 1 + 1 = 2 (par); No hay rama del L.G.R en (-1/2, -1/3) •A la derecha de P4 hay n+ m = 2 + 1 =3 (impar) hay una rama del L.G.R en (-∞, 1/2) Asínfontos y centro de asintotas Q= ± (1P+1) 180 = ± (2P+1)180° = ±(2P+1)180° n-m 3-2 P=0,1 Q₀= ±180°; Q₁= ± 540° = Σpolos – Σ ceros = ½- ½-1/2- ½ - 1/3 – ½ n-m 3-2 =1/2 – 1=3 = 1/6 = Tce =1/6 3. Punto de ruptura: (dk = 0) dz De la ecuación característica +1+ K(Z+1/3)(Z+1/2) = 0 Z( Z² + Z + ½) Z³ + Z² + 1/2Z + K(Z² + 5/6Z + 1/6) = 0 =K= - (Z³ + Z² + 1/2Z) Z² + 5/6 Z + 1/6

dk = - [(3Z²+2Z+1/8) (Z²+5/6Z+1/6) – (2Z+5/6)(Z³+Z²+1/2Z)] dz (Z²+5/6Z+1/6) ² =dk = - [-7Z²+2Z+2+(2Z+1) ²(3Z+1) ² dz (2Z+1) ²(3Z+1) ² =- 36Z⁴ + 60Z ⁴ + 30Z ² + 12Z+ 3 (2Z+1) ² (3Z+1) ²

dk = 0 si 36Z ⁴+ 60Z³ + 30Z ²+ 12Z+3= 0 dz Z₁ = -1,1228 Z₂ = -0,4106 Z₃ = -0,0611 Z₄ = -0,0611

}ϵR }ϵR + 0,4186j } Ɇ R – 0,4186j } Ɇ R

Si Z= -1,1338 K= - [ (-1,1338)³ + (-1,1338)²+ ½ (-1,1338)] (-1,1338)²+5/6(-1,1338)+1/6 = 1,4564 Si Z= -0,4106 =K= -15,3354 < 0 Asi Z= -1,1338 es punto de ruptura, quedando: K= 1,4564 Finalmente la grafica del L.G. R

De la transformación bilineal Z= W+ 1 W-1 Del polinomio característico P(Z)= Z³+ Z²+ 1/2Z+ K(Z²+5/6Z+1/6)= 0 P(W)= (W+1)³+(W+1)²+1/2(W+1)+ K[(W+1)²+5/6(W+1)+1/6] = 0 W-1 W-1 W-1 W-1 W-1 =(W+1)³+(W+1)²+W+1+ K[(W+1)²+5/6(W+1)+1/6] = 0 W-1³ W-1² 2(W-1) W-1 W-1 Multiplicamos por (W-1)³ P(W)= (W+1)³+(W+1)² (W-1)+(W+1)(W-1)² + K [(W+1)²(W1)+5/6(W+1)(W-1)²+1/6(W-1) ³] =0 2

=W³+3W²+3W+1+(W²-2W+1)+K[(W²+W+1)(W-1)+5/6(W+1)(W²2W+1)+1/6(W³-2W+1)+1/6(W³-3W²+3W-1)] =W ³+3W²+3W+1+W³+W²-W-1+1/2(W³-W²-W+1)+K[W³+W²-W1+5/6(W³-W²-W+1)+1/6(W³-3W²+3W-1)] =5/2W ³+7/2W²+3/2W+1/2+K[2W³-1/3W²-4/3W-1/3] = 0 P(W)=(5/2+2K)W³+(7/2-K/3)W²+(3/2-4K/3)W+1/2-K/3= 0 Del criterio de routh thust

W³ W² W W⁰

5/2+2K 7/2-K/3 A B

3/2-4/3K ½-K/3 0 0

A= (7/2 – k/3)(3/2-4/3K)- (5/2+2K)(1/2-K/3) 7/2-K/3 = 21/4-31/6K+4/9K²-5/4-1/6K+2/3K² 7/2-K/3 B= ½ -K/3 Asi A= 10/9 (K-3,869)(K-0,930) (7/2-K/3) A>0 si Kϵ(-∞, 0.930) U(1.17, 3,869) B>0 si ½ -K/2 > 0 K > 3/2 Asi 1,17<K<1,5 0<K<0,53 Rango de estabilidad

G(Z) 10(Z-0,8) Z³-2Z²+2Z-1

_

α Para el sistema dado E(Z)= R(Z) - αG(Z) Donde C(Z)=G(Z) E(Z)

1 2

2 en 1 E(Z)-R(Z)-αG(Z)E(Z) E(Z)+αG(Z)E(Z)=R(Z) E(Z)[1+αG(Z)]= R(Z) E(Z)= R(Z) _ 1+αG(Z) En estado ??????????

E(Z)= lim (Z-1) R(Z) _ z->1 1+αG(Z) Para el error de velocidad R(Z)= T(Z) (Z-1)² ev= lim (Z-1) TZ/(Z-1)² z->1 1+αG(Z) =lim TZ ____ = lim TZ _ _ z->1 [1+αG(Z)](Z-1) z->1 [(Z-1)+αG(Z)](Z-1) =lim T _ z->1 αG(Z)(Z-1) =lim T _ z->1 α 10(Z-0,5) (Z-1) Z³-2Z²+2Z-1 Factorizando Z³-2Z²-2Z-1 1

1 -2 2 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 0

Z³-2Z²-2Z-1 =(Z-1)(Z²-Z+1)

C(Z)

ev= lim T _ Z->1 α 10(Z-0,8)(Z-1) (Z-1)(Z²-Z+1) =_ T α(10)(1-0,8) 1-1+1

_ = T α(10)0,2

Como ev = T = T _ 2 2α α=1 Asi α= 1 si ev=T/2

=

T 2α