NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS
Lic. Walter Ramos Melo
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
EXPRESIONES ALGEBRAICAS Es un conjunto letras y números (variables y constante) relacionadas entre si por las operaciones aritméticas (suma, diferencia, multiplicación, división, potenciación y radicación) o alguna combinación de éstas en un número limitado de veces.
La representación simbólica que permite reconocer las variables de una expresión algebraica es llamada notación matemática
,
es la expresión
,
de variable
es la expresión
de variable
e
Observación En una expresión algebraica ninguna variable podrá formar parte de algún exponente y/o índice de un signo radical, así las expresiones
no son expresiones algebraicas, al igual que estas otras
a éstas expresiones se les da el nombre de expresiones trascendentes
Término algebraico Es la mínima parte de una expresión algebraica, donde no existen operaciones de adición y/o sustracción.
Todo término algebraico presenta tres partes: coeficiente con signo, variables y exponente (grado)
Clasificación de expresiones algebraicas Racionales: Se le llama así cuando todos los exponentes de sus variables son números enteros a su vez pueden ser: 3
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a) Enteras: Cuando las variables están en el numerador y están afectadas con exponente enteros positivos
b) Fraccionarias: Cuando al menos una variable está afectada con exponente entero negativo o se encuentra en el denominador
Irracionales: Se le llama así cuando al menos una variable está afectada con exponente fraccionario o figura con un signo de radicación
VALOR NUMÉRICO El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas.
Ejercicios 01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) La expresión
es un término algebraico.
b) El valor numérico de
c) La expresión
, cuando
,
, es 0,25
,
, es
es algebraica
d) El valor numérico de
, cuando
Resolución a)
presenta operación de sustracción, por lo que no es un término algebraico
Falso 4
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b)
÷
÷
÷
ˆ Falso
c)
, las variables son x; y y los exponentes no presentan dichas variables ˆ si es expresión algebraica Verdadero
d) ÷
÷ ÷ ˆ Verdadero
02. Dada la expresión
calcule el valor de
, cuando
Resolución
5
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÷
÷
÷
÷
ˆ
03. Dada la expresión
calcule el valor de
, cuando
y
Resolución
÷
÷
÷
÷
÷
ˆ
6
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Nivelación en matemática
DESPEJES DE VARIABLES Dada una expresión algebraica igualada a otra, así como cualquier tipo de fórmula matemática, con frecuencia se requiere aislar o “despejar” de dicha expresión alguna de sus variables; esto es, se pretende que dicha variable quede sola en uno de los dos lados de la igualdad. No siempre es posible; pero para los casos en que es factible hacerlo se deberá tener en mente las siguientes recomendaciones: Los términos o monomios pasarán de un lado de la igualdad al otro cambiando de signo y es lo primero que se hará, si es necesario.
Ejercicios 01. Despeje el valor de
:
Resolución Aislamos
en la izquierda de la igualdad
÷ ˆ
02. Despeje el valor de
:
Resolución Aislamos
en la derecha de la igualdad
ˆ
03. Despeje el valor de
:
Resolución Aislamos
en la derecha de la igualdad
ˆ
7
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04. Despeje el valor de
Nivelación en matemática
:
Resolución Aislamos
en la derecha de la igualdad
ˆ
05. Despeje el valor de
:
Resolución Aislamos
en la derecha de la igualdad
efectuando la parte izquierda de la ecuación
invirtiendo ambos miembros ˆ
06. Despeje el valor de
:
Resolución Como
se encuentra en el numerador y denominador del primer miembro de la ecuación, pasamos su
denominador a multiplicar al otro miembro de la ecuación
÷ aislamos
en la izquierda de la igualdad
÷ 8
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factorizando
Nivelación en matemática
en el primer miembro
ˆ
07. La fórmula
permite calcular la Velocidad de un cuerpo en movimiento armónico simple. Despeje expresión que permita calcular el valor de
modelando la
.
Resolución Como
se encuentra en la parte interna de una raíz, despejamos el radical
elevamos al cuadrado para eliminar el radical
aislamos
en la derecha de la igualdad
ˆ
08. En la fórmula
de dilatación lineal de los cuerpos debido al cambio de temperatura, despeje
.
Resolución Como
se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su
entorno ÷
9
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÷
÷
÷
pasando y dejando solo a
en la parte izquierda
ˆ
09. En la ecuación de los lentes:
despeje
.
Resolución Como
se encuentra en la parte interna de la expresión, entonces despejamos las expresiones a su
entorno ÷
pasando y dejando solo a
en la parte izquierda
÷
efectuando la parte derecha ÷
invirtiendo los dos miembros ˆ
10. La expresión
10
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determina el área de la región de un triángulo equilátero de lado
cm, calcule el área de la región del
triángulo equilátero cuyo lado mide 4 cm.
Resolución
nos piden ÷
ˆ
11. La expresión
permite calcular el volumen de un cilindro recto, con radio en base de volumen del cilindro con radio 2 cm y altura 10 cm.
Resolución
nos piden
ˆ 12. Calcule el valor de la expresión
para
,
Resolución
nos piden ÷ ÷ ˆ
11
cm y altura
cm. Calcule el
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Polinomio Es aquella expresión racional entera, es decir la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.
Ejemplos:
Representación general de un polinomio de una variable
Si
, se dice que es un polinomio de grado se llama término independiente se le llama coeficiente principal
Ejemplo
Grado(P) = 3 Coeficiente principal = 7 Coeficiente del término cuadrático = 2 Coeficiente del término lineal = 5 Término independiente = 13
DEFINICIÓN: En todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio mónico” Ejemplos
Grado(P) = 7 coeficiente principal = 1 ÷ P(x) es mónico
Grado(Q) = 9 coeficiente principal = -1 ÷ Q(x) no es mónico 12
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VALORES NUMÉRICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = Término independiente P(1) = Suma de coeficientes
Grado Es una característica de las expresiones algebraicas, relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay 2 tipos de grados y son: Grado Absoluto (G.A.) Grado Relativo (G.R.)
Grado de monomios El grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable.
Ejemplo
Sólo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.
Grado de polinomios El grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio.
Ejemplo
entonces
Polinomio homogéneo Es aquel en el cual todos sus términos tienen el mismo grado absoluto.
13
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Ejemplo
es un polinomio homogéneo de grado de homogeneidad “9".
Polinomios idénticos Dos o más polinomios son idénticos, si tienen el mismo valor numérico para cualquier sistema de valores atribuidos a sus variables
Ejemplo:
Asignemos el valor de:
, tenemos
÷ ÷
cumple
Asignemos el valor de:
, tenemos
÷ ÷
cumple
En dos polinomios idénticos reducidos se cumple que los coeficientes de sus términos semejantes son iguales. Así, si: ÷
W
W
Ejemplo Determine los valores de a, b y c en
Solución Efectuando
igualando los coeficientes de los términos semejantes ÷
÷
÷
÷
ˆ
14
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POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO Un polinomio reducido es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero.
Ejemplo: 2
Si: ax + bx + c / 0 entonces: a = 0 W b = 0 W c = 0
Observación Un polinomio idénticamente nulo al ser evaluado para cualquier valor de su variable se ANULA (se hace cero).
Ejercicios 01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a. La expresión
es un polinomio.
b. El grado absoluto del polinomio
, es 8
c. La suma de los coeficientes de
, es
d. En el monomio
para que el grado relativo de la variable
sea 20, el valor de
,
debe de ser 2.
02. El polinomio
, se sabe que el término independiente es el triple de la suma de sus
coeficientes. Modele una ecuación que permita determinar el valor de
03. Calcule
.
, si el polinomio
es homogéneo.
Términos semejantes Son aquellos términos que tienen la misma parte literal.
Ejemplos: 1.
2.
;
son términos semejantes.
;
son términos semejantes
Reducción de términos semejantes Se suman los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal.
Ejemplo:
15
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Ejercicios 01. Dados los sólidos:
a. Modele el polinomio que representa el área total de A, B y C b. Calcule el G.A. del polinomio que representa el volumen de A + B + C
02. El lunes gané gané
billetes de
soles, el martes gané
billetes de
veces lo que gane en los dos días anteriores. Si inicialmente tenía
soles, y el miércoles , ¿cuánto tengo ahora,
asumiendo que no gasté nada?
03. Los lados de un rectángulo son:
Rpta.
,
. Calcule el perímetro y el área del rectángulo
;
04. Vendí mi bicicleta en
soles, ganando
, ¿cuánto costó la bicicleta?
Rpta.
05. En la figura muestra la vista panorámica del proyecto de un parque de forma rectangular. En su interior se encuentran jardines cuyas dimensiones se muestran en la figura y una vereda alrededor de los jardines del mismo ancho en todo el parque.
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a. Modele la expresión que represente el perímetro del proyecto del parque en función del ancho de la vereda.
b. Modele la expresión que represente el área del proyecto del parque en función del ancho de la vereda.
Rpta. a.
b.
, x ancho de la vereda
, x ancho de la vereda
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PRODUCTOS NOTABLES Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se pueden obtener en forma directa, sin necesidad de efectuar la operación de multiplicación. Entre las más importantes tenemos:
Binomio al cuadrado
Nota: •
Al producto se le llama trinomio cuadrado perfecto
•
Identidades de Legendre
Binomio al cubo
Identidades de Cauchy
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Multiplicación de la suma por la diferencia
Al producto se le llama diferencia de cuadrados
Multiplicación de un binomio por un trinomio
Al producto se le llama suma de cubos
Al producto se le llama diferencia de cubos
Producto de dos factores con un término común
Trinomio al cuadrado
Identidad Trinómica (Argan''D)
Ejercicios 01. Si
,
, simplifique
Resolución
desarrollando
reduciendo
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Nivelaciรณn en matemรกtica
รท ห
02. Efectuar
03. Indicar el equivalente reducido
04. Efectuar
05. Efectuar
06. Determine el resultado de efectuar
07. Efectuar
08. Halle el resultado de simplificar
09. Sabiendo que
calcule
10. Sabiendo que
20
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Nivelación en matemática
Calcule
11. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) Al efectuar
se obtiene
.
b) No es posible que ocurra c) Si d) Si e) Si
entonces
. .
entonces necesariamente se tiene entonces necesariamente se tiene
Resolución a) Falso
b) efectuando la parte izquierda
reduciendo ÷ ÷ ˆ Será posible cuando Falso
c) ÷ ÷ ÷ ˆ Verdadero
d) ÷ ÷ ÷
21
. .
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÷ eliminando el factor común ÷ ÷
e igualando a
para no perder soluciones
w w
Falso
12. Modele una ecuación que permita determinar el polinomio y sumar
al resultado, se obtenga la cuarta potencia del exceso de
Resolución determinar el polinomio
, sabiendo que al multiplicarlo por
y sumar
se obtenga la cuarta potencia
del exceso de
, sabiendo que al multiplicarlo por
sobre
22
sobre
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DIVISIÓN ALGEBRAICA Dados dos polinomios dividendo polinomios:
y
divisor
, la división es una operación que consiste encontrar otros dos
denominados cociente y residuo respectivamente que verifican la siguiente relación:
Una división es exacta si y solo si: entonces
, también se dice que D(x) es divisible por d(x)
PROPIEDADES 1.
2/
Ejemplo:
Luego:
El residuo como máximo es de grado 2, pero también podría ser de primer grado o de grado cero (una constante real).
Métodos de división 1// Clásico Ejemplo:
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Observación *
*
*
Luego:
2// William Horner Este método se basa en la división por coeficientes separados. Los polinomios dividendo y divisor se presentan en el esquema como polinomios completos y ordenados por lo general en forma decreciente. Si faltase algún término para que sean completos se colocará un cero. Si la división es exacta, los polinomios dividendo y divisor pueden ser ordenados en forma creciente.
Esquema:
NOTA: El número de columnas que presenta el residuo es numéricamente igual al grado del divisor contado de derecha a izquierda.
Ejemplo: Dividir:
Como no existe término cúbico, en el dividendo, se completa con cero Nótese que los coeficientes del divisor cambia de signo, excepto el primero Se divide el primer coeficiente del dividendo entre el primer coeficiente del divisor, para calcular el primer coeficiente del cociente
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El coeficiente calculado se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor, con signos cambiados, para formar la siguiente fila
Luego:
;
3// Paolo Ruffini Se utiliza cuando el divisor es de primer grado: ,a…0
Esquema:
&
x' & b a
b a
Ejemplo Dividir:
Como no existe el término de cuarto grado, se completa con cero
Se baja el primer coeficiente del dividendo, la cual se multiplica con el valor calculado de “x”, cuyo resultado se coloca en la siguiente columna
Nótese que los coeficientes encontrados se debe de dividir entre el coeficiente de “x”, para calcular los coeficientes del cociente
x'&
3 2
&
3 2
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Nivelación en matemática
Luego:
Teorema del resto Tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar dicha operación. Se aplica cuando el divisor es de la forma ax + b, o transformable a ella
Demostración
Sea la división:
, donde se pide calcular el residuo
÷ Por la propiedad fundamental de la división ... (1) Se desea calcular
y no dividir, entonces debemos de eliminar el cociente
, que se consigue igualando
a cero el divisor
÷
÷
reemplazamos el valor encontrado en (1)
÷
ˆ
Pasos a seguir: I.
Se iguala el divisor a cero.
II. Se despeja una variable. III. Se reemplaza el valor o equivalente de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.
26
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Nivelaci贸n en matem谩tica
Ejercicios 01. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) Al efectuar b) Al efectuar
se obtiene
.
, se obtiene como cociente un polinomio y un resto igual a cero.
c) Al efectuar la divisi贸n
, se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes
es 2017. d) No es posible efectuar
en el campo de los polinomios.
Resoluci贸n a)
Falso
b)
el residuo es Falso
c)
por Ruffini
el cociente es Suma de coeficientes del cociente es:
entonces Falso
d) En el campo de los polinomios no es posible efectuar, dado que el grado del dividendo es mayor que el divisor Verdadero 27
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02. En una división de polinomios el cociente fue
, mientras que el residuo fue tres unidades menor que el
doble del cociente. Modele una ecuación que permita determinar el divisor, sabiendo además que el dividendo excede en
unidades al cubo del cociente.
Resolución
cociente fue
, entonces
el residuo fue tres unidades menor que el doble del cociente, entonces
el dividendo excede en
unidades al cubo del cociente, entonces ÷
como nos piden determinar el divisor, sea el divisor Del algoritmo de la división por lo tanto la ecuación será
03. Calcule
, sabiendo que el polinomio
es divisible por
Resolución Como es divisible, entonces el residuo es cero. Por Horner
v
entonces
÷
v
ˆ
04. Calcule
si la división
deja resto nulo
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Resolución Por Horner
v
entonces
v
ˆ
05. Al dividir un polinomio
entre
y
respectivamente. Calcule el resto de dividir
, separadamente se obtuvieron como restos 12 y 20 entre
.
Resolución Según dato: •
el resto es 12, entonces por teorema del resto
... (1)
•
el resto es 20, entonces por teorema del resto
... (2)
Nos piden el residuo de dividir
como el divisor es de segundo grado, entonces el máximo grado del residuo es 1, osea es de la forma
Aplicando el algoritmo de la división entonces tenemos
como son polinomios idénticos, podemos darle valores convenientemente para que se elimine el cociente, que no se conoce para
,
÷
para
,
÷
resolviendo el sistema (3) y (4) se obtiene
v
ˆ 29
... (3) ... (4)
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06. Al dividir un polinomio coeficientes es
entre
se obtiene como resto
. Calcule el resto de dividir
y un cociente cuya suma de
entre
Resolución
entre
se obtiene como resto
entonces por el algoritmo de la división ... (1)
un cociente cuya suma de coeficientes es entonces
... (2)
Nos piden el residuo de dividir
, por teorema del resto, nos piden
en (1)
de (2)
ˆ
07. Al dividir entre
entre
se obtiene como resto
.
Resolución
dividir
entre
se obtiene como resto
aplicamos el algoritmo de la división ... (1)
Nos piden el resto de dividir
entre
por el teorema del resto, nos piden
en (1)
÷ ÷
ˆ 30
, calcule el resto de dividir
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Nivelación en matemática
08. Determine un polinomio
de grado tres, que sea divisible separadamente por
y por
;
sabiendo además que la suma de sus coeficientes es 24 y su término independiente es 2.
Resolución
es divisible separadamente por como
y
y por
son primos, entonces
es divisible entre el producto
por el algoritmo de la división ... (1) Como entonces
de grado tres es de primer grado de la forma
en (1) ... (2)
su término independiente es 2 entonces en (2) , entonces
, entonces
la suma de sus coeficientes es 24 entonces en (2) , entonces
, entonces
remplazando en (2)
ˆ
09. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) El resto de dividir
es 3.
b) El residuo de dividir cualquier polinomio independiente de c) Si
entre
siempre será un número (término
).
es divisible por
entonces siempre es posible hallar un polinomio
, tales que
. d) Si un polinomio
es divisible por
y también es divisible por
divisible por el producto de ellos, es decir, por
.
31
, entonces necesariamente es
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Nivelación en matemática
Resolución
÷
a) Por teorema del resto
, reemplazando en el dividendo
÷
entonces
ˆ Verdadero
b) Como el divisor
, es de primer grado, entonces máximo grado del residuo es 1 - 1 = 0, osea un
término independiente de Verdadero c) Como
es divisible por
, por el algoritmo de la división
Verdadero
es divisible por
d)
entonces
y también es divisible por
es divisible por el mínimo común múltiplo de
y
Falso
10. Se sabe que
es divisible por
determinar el valor de
. Modele una ecuación que permita
.
Resolución
÷
Por teorema del resto
, reemplazando en el dividendo
y considerando el residuo cero, por ser divisible entonces
11. Si al efectuar la división:
, deja como residuo
Resolución
÷
Por teorema del resto
dando forma el dividendo con
÷ reemplazando
, para calcular el residuo
÷
32
, calcule los valores de
y
.
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Nivelación en matemática
÷ ÷ Por dato
entonces
÷
ˆ
33
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FACTORIZACIÓN Factorizar un polinomio es escribirlo como un producto de factores polinómicos primos entre si.
Divisores o factores de un polinomio Dado un polinomio, se dice que un factor o divisor de este es cualquier polinomio que lo divide sin dejar resto.
Ejemplo: Si los factores son: cada uno de ellos divide sin dejar residuo a
Factores primos de un polinomio Un polinomio se considera primo sobre un campo numérico, si ya no se le puede factorizar sobre el mismo campo numérico.
Si los factores primos son:
Factorización de polinomios Es un proceso inverso a la multiplicación, consiste en transformar el polinomio en un producto de dos o más factores primos en el campo racional Q.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN Factorización por factor común monomio Aquí buscamos un término repetido en toda la expresión, dicho término también denominado factor común se deberá extraer considerando a sus variables con su menores exponentes.
Ejemplo: Factorice el polinomio
Resolución El término repetido es
, luego el polinomio factorizado es:
los factores primos son:
Factorización por factor común polinomio En este método debemos tener en cuenta la cantidad de términos del polinomio a factorizar. Se requiere agrupar los términos del polinomio de 2 en 2, de 3 en 3, ... buscando un factor común polinomio. 34
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Nivelación en matemática
Ejemplo: Factorizar
Resolución El polinomio no presenta factor común monomio, presenta 4 términos, dos términos positivos y dos términos negativos, dos de ellos son múltiplos de 5, factorizamos esos términos por factor común monomio. Dichos términos tiene en factor común monomio
agrupamos el segundo y tercer término
factorizando el factor común polinomio
los factores primos son:
Factorización por identidades En este método se aplica las fórmulas de productos notables
Trinómio cuadrado perfecto
Ejemplo: Factorice
Resolución
Diferencia de cuadrados
Ejemplo 1: Factorice
35
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Nivelación en matemática
Resolución Dando forma
por diferencia de cuadrados
Ejemplo 2: Factorice
Resolución La expresión parece provenir de
, como no tiene el término
, entonces podemos como:
por diferencia de cuadrados
Ejemplo 3:
se repite en los dos términos
; , entonces factorizamos éstas variables elevados a su menor exponente que
son:
por diferencia de cuadrados
Suma y diferencia de cubos
Ejemplo 1: Factorice
Resolución Dando forma
36
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Nivelación en matemática
por diferencia de cubos
Argan''s
Ejemplo Factorice
Resolución
Factorización por aspas Este método se aplica cuando existen variables al cuadrado ( dos (
), variables lineales (
), productos de variables de dos en
) y un término independiente.
Para factorizar se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado y el término independiente, para comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa.
Ejemplo: Factorice
Resolución Se descompone los términos que tienen las variables al cuadrado, entonces se descomponen
se deben de comprobar los demás términos, mediante la suma del producto en aspa
, no existe término con
, no existe término con
, cumple
, cumple
37
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Nivelación en matemática
, cumple
÷
cumple
ˆ
Factorización por divisores binomios Se emplea para factorizar polinomios de cualquier grado que admita por lo menos un factor binomio de la forma o transformable a ella.
Ceros del polinomio Es el valor o conjunto de valores que anulan al polinomio (valor numérico)
Ejemplo: Sea el polinomio: Si evaluamos para
÷ Como
se anula para
÷
Teorema del factor Si un polinomio
Sea Si
se anula para
entonces diremos que
un polinomio entonces
Si
entonces
Si
entonces
es un factor de es un factor de es un factor de
38
es un factor de
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Nivelación en matemática
Ejemplo: Sea
un polinomio
Si
entonces
Si
es un factor de
entonces
Si
es un factor de
entonces
es un factor de
Procedimiento para factorizar 1. Se calculan valores que anulen al polinomio (ceros del polinomio)
“Posibles ceros” del polinomio (PC):
2. Se evalúa cada posible cero (PC) en el polinomio: Si
, entonces
es un factor de
3. Luego de encontrar el factor o factores binomios, para calcular el otro factor se tendrá que dividir el polinomio inicial entre el factor o factores binomios obtenidos utilizando el método de Ruffini y el cociente resultante será el otro factor.
Ejemplo 1: Factorice:
Resolución i) en el ejemplo tenemos ocho posibles ceros
y se tiene que probar hasta que con uno de ellos
el polinomio se anule.
ii) Para
÷ ÷ ÷
es un factor de
iii) Por Ruffini:
39
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Nivelación en matemática
como el polinomio por factorizar es de tercer grado y encontramos un factor
, entonces el otro factor,
de segundo grado es el cociente
ˆ
Ejemplo 2: Factorice
Resolución
se anula para se anula para
, entonces un factor es
.
, entonces un factor es
, notese que el divisor se dividió entre 3, que es
el denominador de la fracción. se anula para
, entonces un factor es
El polinomio a factorizar es de cuarto grado, se encontró 3 valores que anulan al polinomio, entonces el cociente es de grado uno, entonces el otro factor es
.
ˆ
Ejercicios 01. Factorice
Resolución El término repetido es
, luego el polinomio factorizado es:
40
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Nivelación en matemática
02. Factorice
Resolución El término repetido es
, luego el polinomio factorizado es:
03. Factorice
Resolución El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio
Factorizando
se obtiene
04. Factorice
Resolución El polinomio presenta tres términos, factorizando el signo negativo del término central, buscando factor común polinomio
Factorizando el factor común polinomio se obtiene
05. Factorice
Resolución El polinomio presenta seis términos, tres de ellos tienen factor común monomio , los otros tres tienen factor común monomio
, factorizando de tres en tres.
El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio
41
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Nivelación en matemática
Factorizando el factor común polinomio se obtiene
06. Factorice
Resolución El polinomio presenta cuatro términos, dos de ellos tienen factor común monomio factor común monomio
, factorizando de dos en dos.
El polinomio presenta dos términos con un factor común polinomio Factorizando el factor común polinomio se obtiene
07. Factorice
Resolución Los dos términos que tiene el polinomio tiene la forma de diferencia de cuadrados
por diferencia de cuadrados se obtiene
reduciendo se obtiene
08. Factorice
Resolución Por aspa
42
, los otros tres tienen
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Nivelación en matemática
, cumple
la factorización será:
se observa diferencia de cuadrados
por diferencia de cuadrados se obtiene
09. Factorice
Resolución Se observa suma de cubos
por suma de cubos
efectuando se obtiene
10. Factorice
Resolución Por aspa
, cumple
la factorización será:
43
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Nivelación en matemática
se observa diferencia y suma de cubos
por diferencia y suma de cubos
efectuando se obtiene
11. Factorice
Resolución Se observa que se repite
, hacemos el cambio de variable
, entonces
entonces tenemos que factorizar
por aspa se obtiene
reemplazando
efectuando y reduciendo se obtiene
12. Factorice
Resolución multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores sean iguales, ellos son:
;y
entonces:
hacemos cambio de variable, sea reemplazando tenemos
efectuando y reduciendo se obtiene
por aspas se obtiene
44
Walter Ramos Melo
reemplazando
Nivelación en matemática
se obtiene
13. Factorice
Resolución multiplicando convenientemente, buscando que la suma de los términos independientes de dos factores sean iguales, ellos son:
;y
entonces:
hacemos cambio de variable, sea reemplazando tenemos
efectuando y reduciendo se obtiene
por identidades
reemplazando
se obtiene
14. Factorice
Resolución Por divisores binomios
se anula para
, entonces un factor es
se anula para
, entonces un factor es
.
45
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Nivelación en matemática
El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el cociente es de grado uno, entonces el otro factor es
.
ˆ
15. Factorice
Resolución Por divisores binomios
se anula para
, entonces un factor es
se anula para
, entonces un factor es
.
El polinomio a factorizar es de tercer grado, se encontró 2 valores que anulan al polinomio, entonces el cociente es de grado uno, entonces el otro factor es
ˆ
46
.
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
FRACCIONES ALGEBRAICAS Es el cociente indicado de 2 expresiones algebraicas racionales enteras llamadas numerador (el dividendo) y denominador (el divisor) donde este último es a lo menos de 1/ grado.
Representación de una fracción
donde: A es el polinomio dividendo (Numerador) B es el polinomio divisor (Denominador)
Ejemplos: son fracciones algebraicas
no es fracción algebraica
Signos de una fracción En toda fracción podemos distinguir 3 signos:
+ : signo del numerador - : signo del denominador - : signo de la fracción
Nota: En toda fracción no se altera al cambiar cualquier par de sus signos.
Ejemplos •
•
•
Reducir
47
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Nivelación en matemática
Resolución Buscando fracciones homogéneas
sumando las fracciones homogéneas
cambiando de signos convenientemente
simplificando
ˆ
Clases de fracciones Fracciones Propias Cuando el numerador es de menor grado que el denominador. Así:
Fracciones Impropias Cuando el numerador es de mayor o igual grado que el denominador. Así:
Fracciones Homogéneas Son aquellas que tienen iguales denominadores. son fracciones homogéneas
Fracciones Heterogéneas Son aquellas que tienen denominadores diferentes. son fracciones heterogéneas
48
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Nivelación en matemática
OPERACIONES CON FRACCIONES Suma o diferencia *
(fracciones homogéneas)
*
(fracciones heterogéneas: bdf = MCM de los denominadores)
Multiplicación
División
o también:
TEOREMA Si:
tiene un mismo valor constante “k” para cualquier valor de x e y de su dominio,
entonces:
Fracciones parciales Es posible expresar una fracción propia
de
sea menor que el grado de
de
.
Cuando
como una suma de fracciones más sencillas, siempre que el grado
. Estas fracciones sencillas son conocidas como fracciones parciales
es impropia, se divide la fracción para expresarlo de la siguiente manera
49
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
donde:
Ejemplo , es fracción impropia
dividiendo
ˆ
Casos Para descomponer una fracción propia, en suma de fracciones parciales, debemos de factorizar el denominador y tener en cuenta que cada fracción parcial debe de ser también fracción propia, osea el grado del polinomio numerador es de menor grado del polinomio denominador.
Caso 1 Cuando el denominador no presenta factores repetidos
Notese que cada fracción parcial se considera propia
Ejemplo 1: Determine las fracciones parciales de
Resolución Factorizando el denominador
50
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Nivelación en matemática
tiene factor común monomio
por aspa simple
÷
efectuando
÷ como son idénticos podemos darle valores convenientemente
÷
para
÷
÷
para
÷
÷
÷
÷
para
÷
÷
÷
ˆ
Ejemplo 2: Determine las fracciones parciales de
Resolución
efectuando
÷ 51
÷
÷
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
dando valores convenientemente
÷
para
÷
÷
÷
÷
para
÷
÷
÷
÷
÷
para
÷
÷
÷
ˆ
Caso 2 Cuando el denominador presenta un factor repetidos
Notese que las potencias tienen la misma forma que su factor simple
Ejemplo Determine las fracciones parciales de
Resolución
efectuando
÷ dando valores convenientemente
÷
para
÷
÷
52
÷
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷
para
÷
÷
÷
para
÷ ÷
÷
÷
÷
ˆ
Ejercicios 01. Simplificar
Resolución
factorizando el factor común monomio
del numerador
factorizando por aspas
simplificando
ˆ 02. Efectuar
Resolución
53
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Nivelación en matemática
efectuando el primer factor
por Legendre y por suma por diferencia
simplificando
03. Reducir
Resolución buscando fracciones homogéneas, cambiando de signos de dos en dos, convenientemente
sumando las fracciones homogéneas
ˆ
54
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
04. Simplificar
Resolución
efectuando
ˆ 05. Simplificar
Resolución
Los dos primeros términos del numerador tienen factor común polinomio
, lo factorizamos
efectuando por productos notables
reduciendo
los dos términos del numerador tienen el factor común polinomio
55
, lo factorizamos
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ˆ 06. Calcule
, sabiendo que
Resolución Efectuando el primer miembro
Cambiando un par de signos el segundo miembro
para
÷
para
÷
÷
÷
÷
ˆ 07. Simplifique y efectúe la siguiente expresión
Resolución
56
÷
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ˆ 08. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) Si la fracción
b) Al sumar
c) La expresión
d) Si la fracción
e) Al sumar
es equivalente a la fracción
entonces se cumple
se obtiene cero.
es equivalente a
.
, es igual a su recíproco, entonces
se obtiene
.
Resolución a)
÷ Verdadero
b)
cambiando un par de signo en la segunda fracción
57
.
.
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
Verdadero
c)
Verdadero
÷
d)
÷
÷
÷
Verdadero
e)
Falso
09. Al sumar
los valores de
se obtiene
y
. Modele una ecuación (o unas ecuaciones) que permitan determinar
.
Resolución
÷
÷ ÷
ˆ
10. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) La expresión
b) La expresión
c) La expresión
puede ser una fracción parcial.
puede ser una fracción parcial.
se descompone en exactamente dos fracciones parciales.
58
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Nivelación en matemática
d) La expresión
no puede ser una fracción parcial.
Resolución a) La fracción parcial debe de ser propia Falso
b) La fracción parcial es propia y el denominador no se puede factorizar más. Verdadero
c)
Falso
d) La expresión
, el denominador es factorizable
ser una fracción parcial. Verdadero
59
, entonces no puede
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Nivelación en matemática
ECUACIONES Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas donde a las variables que aparecen en la igualdad se les denominan incógnitas y a los valores que verifican la igualdad se les llama soluciones de la ecuación las cuales forman el conjunto solución (CS)
Notación general
Ejemplo: Sea la ecuación:
÷
Si:
÷
÷
Si:
÷
como 3 y -1 verifican la igualdad, son las soluciones de la ecuación
ˆ
Observaciones •
Si la ecuación tiene una sola variable, la solución también se nombra raíz.
•
La ecuación:
es cuadrática de ahí sus dos soluciones
Clasificación de las ecuaciones De acuerdo al tipo de solución se clasifica en:
1. Ecuaciones compatibles Cuando admiten solución, éstas se dividen en:
1.1 Ecuación compatible determinada Cuando tiene un número limitado de soluciones
Ejemplo: Resolver la ecuación:
Resolución Efectuando tenemos
÷ ˆ
1.2 Ecuación compatible indeterminada Cuando tiene un número ilimitado de soluciones 60
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Nivelación en matemática
Ejemplo: Resolver la ecuación:
Resolución Efectuando tenemos
÷ se verifica para cualquier valor de “ ”
2. Ecuaciones incompatibles Cuando no admiten solución. El conjunto solución es vacío.
Ejemplo: Resolver la ecuación:
Resolución Efectuando tenemos
÷ absurdo
ˆ
Definición Se dice que dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.
Ejemplo: Si:
÷
Si:
÷
ˆ Las ecuaciones son equivalentes Observación Si las ecuaciones son equivalentes no necesariamente deben ser del mismo grado.
Recomendaciones para resolver ecuaciones 1. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el numerador, se le debe de considerar igual a cero para no perder soluciones
61
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
Ejemplo: Resolver la ecuación:
Resolución Eliminando los factores comunes de ambos miembros e igualando a cero
w
w
w
w
ˆ
2. Si a ambos miembros de una ecuación se elimina un factor en el denominador, se le debe de considerar diferente a cero
Ejemplo: Resolver la ecuación
Resolución Eliminando los factores comunes de ambos miembros
v v ˆ
3. Para elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación, nos debemos de asegurar que los dos miembros sean positivos y todos los radicandos sean positivos
Ejemplo: Resolver la ecuación
Resolución Analizando la existencia de la ecuación
÷
... (1)
Como los dos términos son positivos, podemos elevar al cuadrado la ecuación
÷ 62
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Nivelación en matemática
÷ ÷ ÷
w
considerando (1)
ˆ 4. Podemos aplicar las propiedades de razones y proporciones
Ejemplo: Resolver la ecuación
Resolución
÷
÷
÷
÷
÷ ÷
ˆ
63
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
Ejemplo: Resolver la ecuación
Resolución Sea
v entonces tenemos
por proporciones
÷
÷
elevando al cubo
÷ por proporciones
÷
÷
ˆ
64
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ECUACIÓN LINEAL Es aquella ecuación polinomial que se reduce a la siguiente forma general: ,œa…0
cuya solución es:
Observaciones 1. Si:
v
÷ La ecuación es compatible indeterminada
2. Si
÷ La ecuación es compatible determinada
3. Si
v
÷ La ecuación es incompatible
Ejemplo: Analizar la ecuación en
Resolución Agrupando los que tienen la incógnita
÷ analizamos a) Para que se compatible indeterminada
v v ˆ
b) Para que se compatible determinada
ˆ
c) Para que se compatible incompatible
v v
(a - 3)(a - 2) … 0 v (a - 1)(a - 2) = 0 (a … 3 v a … 2) v (a = 1 w a = 2)
ˆ
ˆ
65
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Nivelación en matemática
Modelación de problemas La parte más difícil al resolver un problema de aplicación, suele ser su traducción en una ecuación. Por tal motivo antes de resolver algunos problemas, practicaremos la traducción del problema verbal a su representación algebraica.
Representar los siguientes enunciados verbales en expresiones algebraicas:
01. El doble de un número, más uno. Resolución Sea el número: x
el doble: multiplica toda la expresión hasta que exista una coma o punto. el doble del número, es: 2x luego el doble más uno: “2x + 1"
02. El doble de un número más uno. Resolución Sea el número: x
el doble: multiplica toda la expresión hasta que exista una coma o punto. el doble del número más uno, es: 2(x + 1)
03. Dos números cuya suma es 70 Resolución Sea uno de ellos: x el otro será: 70 - x
04. Tres enteros consecutivos Resolución Si “x” es el menor de los enteros entonces (x + 1) y (x + 2) serán las otras dos.
05. Dos números cuya diferencia sea 11 Resolución Si “x” es el número menor entonces (x + 11) es el número mayor.
06. El exceso de 20 sobre el triple de un número Resolución Sea “x” el número dado el exceso de 20 sobre 3x es: (20 - 3x)
66
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Nivelación en matemática
07. La edad de Juan es el doble que la de Luis y la de éste es el triple que la de Ricardo. Expresar cada una de estas edades en función de una de ellas. Resolución Sea x la edad de Ricardo la de Luis será: 3x y la de Juan será: 2(3x) = 6x
ENUNCIADO VERBAL
REPRESENTACIÓN ALGEBRAICA
Siete sumado al doble de un número La suma del doble de un número más siete
2x + 7
El doble de un número, aumentado en siete Siete más que el doble de un número Tres menos que el doble de un número El doble de un número, disminuido en tres
2x - 3
La diferencia del doble de un números y tres Tres restado del doble de un número
ENUNCIADO VERBAL
UN NÚMERO
SEGUNDO NÚMERO
Dos números que difieren en tres
x
x+3
La edad de Ricardo y su edad dentro de 4 años
x
x+4
Un número es el quíntuplo de otro
x
5x
La suma de dos números es 18
x
18 - x
Un alambre de 30 metros cortado en dos
x
30 - x
ENUNCIADO
REPRESENTACIÓN
Dos números proporcionales a 4 y 5.
A = 4x; B = 5x
Dos números en relación de 4 a 5. Dos números son como 4 es a 5. La relación de dos números es 4/5. La razón de dos números es 4/5. 5A = 4B
ENUNCIADO A excede a B en 7.
REPRESENTACIÓN A-B=7
B es excedido por A en 7. El exceso de A sobre B es 7.
A = x + 7; B = x
A es mayor que B en 7. B es menor que A en 7. La diferencia entre A y B es 7.
67
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ENUNCIADO
REPRESENTACIÓN A = 3B
A es el triple de B. A es tres veces B. A es tres veces mayor que B.
A = 3x; B = x
A es dos veces más que B. B es un tercio de A.
Nota: “m” veces más <> “m + 1" veces
El cuadrado de la suma de dos números A y B.
El reciproco de x
La suma de los cuadrados de los números A y B La suma de las reciprocas de x e y El cubo de la suma de los números A y B La suma de los inversos de las reciprocas de x e y
La suma de los cubos de los números A y B
La inversa de un número x
Algo que recordar PALABRA
SIGNIFICADO
Veces
Producto
De , del , de los
Producto
Como...es a ...
Proporción
en relación
Proporción
Es , en ,sea, tiene, tendrá, equivale tanto como
Igualdad
Planteo y resolución de problemas de aplicación A continuación indicaremos algunas recomendaciones para resolver un problema verbal: 01. Lea la pregunta con cuidado 02. De ser posible, haga un dibujo que le ayude a visualizar el problema 03. Determine la cantidad que se debe encontrar, elija una letra para representar a esta cantidad desconocida. Escriba con exactitud lo que representa (significa). Si hay más de una cantidad desconocida, represente todas las otras en términos de la primera. 04. Escriba el problema verbal como una ecuación 05. Despeje la incógnita de la ecuación 06. Responda a la o las preguntas planteadas 68
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
Ejercicios 01. Resolver la ecuación
Resolución Juntando las fracciones homogéneas
efectuando las fracciones homogéneas
como eliminamos
, debemos de considerar
, entonces
ˆ 02. Resolver la ecuación
Resolución Factorizando los denominadores
efectuando
eliminamos los factores , entonces
y
de los denominadores, debemos de considerar
v
69
v
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ˆ
03. Resolver la ecuación
Resolución Efectuando
÷
÷
÷
÷
ˆ
04. Resolver la ecuación
Resolución Despejando el radical
÷ para que exista el radical y el problema
v v elevando al cuadrado
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
w 70
Walter Ramos Melo
÷
w
Nivelación en matemática
, pero
ˆ 05. Resolver la ecuación
Resolución Despejando un radical
÷ para que exista el radical y el problema
v v ÷
elevando al cuadrado
÷ ÷ ÷ Absurdo, dado que un negativo no puede ser igual a un positivo
ˆ 06. Resolver la ecuación
Resolución Sea
v entonces tenemos
por proporciones
÷
71
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷
elevando al cuadrado, dado que los dos términos son positivos
÷ ÷
ˆ 07. Resolver la ecuación
Resolución Despejando el radical
para que exista el radical y el problema
v v entonces elevando al cuadrado
÷ ÷ ÷ ÷
, pero
ˆ 08. Resolver la ecuación
Resolución Efectuando
÷
÷ ÷
72
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷ ÷
ˆ 09. Resolver
Resolución juntando los términos que tienen
÷ el primer miembro se factoriza el factor común monomio
, en el segundo miembro se factoriza el factor
común polinomio
÷ por diferencia de cuadrados en el primer miembro y reduciendo el segundo miembro
÷ eliminando
y factorizando 3 en el segundo miembro
÷ ÷
ˆ 10. Resolver la ecuación
Resolución Por proporciones
÷
÷ ÷ ÷ ÷ ÷
73
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
11. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones (justifique su respuesta) a) El conjunto solución de la ecuación
es
b) Una solución de la ecuación
c) La ecuación
.
es 72.
no es una ecuación de primer grado.
d) La ecuación
, es equivalente a la ecuación
Resolución a)
, efectuando
÷ ÷ eliminando
÷
e igualando a cero ara no perder soluciones
w
ˆ Falso
b)
, efectuando
÷ ÷ es una verdad absoluta
ˆ Verdadero
c)
, efectuando
÷ ÷ es una ecuación de primer grado Falso
d)
÷ eliminando
÷
e igualando a cero para no perder soluciones
w
ˆ
74
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷ ÷ ˆ Las ecuaciones no tienen el mismo conjunto solución, por lo que no son equivalentes Falso
12. Una varilla de longitud
se parte en dos pedazos, de tal modo que uno de ellos excede en
la mitad del otro. Modele una ecuación que permita determinar las medidas de ambas partes.
Resolución
Longitud de la varilla : Sea la longitud del pedazo menor : entonces la longitud del pedazo mayor es : como : “uno de ellos excede en entonces
unidades a la mitad del otro”
, es la ecuación para calcular la longitud
del pedazo menor.
Longitud de la varilla : Sea la longitud del pedazo mayor : entonces la longitud del pedazo menor es : como : “uno de ellos excede en entonces
unidades a la mitad del otro”
, es la ecuación para calcular la longitud
del pedazo mayor.
13. Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18. El número es:
Resolución “Dos veces” multiplica por 2 a toda la expresión hasta que exista una coma o punto
75
unidades a
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Nivelación en matemática
“Dos veces la diferencia” resta dos cantidades
“Dos veces la diferencia de un número con 3” los números a restar es un número desconocido, llamémoslo
, con 3
“Dos veces la diferencia de un número con 3 es igual a 18". se completa la ecuación
dividiendo entre 2
ˆ
13. Dividir 5 000 en dos parte tales que la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte.
Resolución Comencemos desde el final de la oración “el triple de la segunda parte” multiplica por 3 la segunda parte, sea
la segunda parte
“200 más que el triple de la segunda parte” suma 200 al triple de la segunda parte
“la primera parte sea 200 más que el triple de la segunda parte” nos da el valor de la primera parte
pero, entonces la suma de las dos parte nos da el total 5 000 se completa la ecuación
÷ ÷
ˆ
76
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
14. El producto de 3 números enteros consecutivos es igual a 15 veces el segundo. La suma de ellos es:
Resolución Como son tres números consecutivos, entonces llamamos al número central
, entonces el anterior será
y el posterior como el producto de ellos es igual a 15 veces el segundo, la ecuación será:
eliminando
÷
e igualando a 0, para no perder soluciones
w
por diferencia de cuadrados
÷
w
÷
w
÷
w
÷
w
w
si entonces los tres números serán: -1; 0 ; 1
ˆ
si entonces los tres números serán: -5; -4 ; -3
si entonces los tres números serán: 3; 4 ; 5
15. La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base. Si el perímetro es 96 unidades. Calcular las longitudes de los lados del rectángulo.
Resolución Comencemos desde el final de la oración “2 veces su base” multiplica por 2 a la base, llamemos
la longitud de la base
“6 unidades menor que 2 veces su base” 6 unidades menor que, resta 6 unidades a la frase que le sigue 77
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
“La altura de un rectángulo es 6 unidades menor que 2 veces su base” nos da la altura del rectángulo
pero,
como el perímetro es 96 unidades la ecuación será:
dividiendo entre 2
÷ ÷ ÷
ˆ
16. La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura, siendo esta altura igual a la de un cuadrado. Calcular las dimensiones del rectángulo si su perímetro es el doble del perímetro del cuadrado.
Resolución “La base de un rectángulo es”
“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm”
“La base de un rectángulo es el doble más 2 cm que su altura” sea la altura del rectángulo
, que es igual a la altura del cuadrado
78
Walter Ramos Melo
como el perímetro del rectángulo (
Nivelación en matemática
) es el doble del perímetro del cuadrado (
)
se completa la ecuación
efectuando
÷ ÷
ˆ
17. Calcular la edad de Ricardo, si dentro de 30 años tendrá el cuadrado de la que tiene ahora.
Resolución Sea
la edad actual de Ricardo.
en 30 años su edad será:
por dato
÷ ÷ ÷
w
ˆ
18. Un padre tiene triple de la edad de su hijo, si el padre tuviera 20 años menos y su hijo 16 años más, ambos tendrían la misma edad. Calcular sus edades actuales.
Resolución “Un padre tiene triple de la edad de su hijo” Sea: La edad del hijo : entonces, la edad del padre es :
79
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
Supuesto “si el padre tuviera 20 años menos” la edad del padre sería :
“y su hijo 16 años más” la edad del hijo sería :
“ambos tendrían la misma edad” se completa la ecuación
reduciendo
÷ ÷
ˆ
19. Dentro de 20 años, Luis Enrique tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años. ¿Cuántos años tiene actualmente?
Resolución Sea la edad actual de Luis Enrique : dentro de 20 años tendrá : hace 10 años tenía :
años
años años
“Dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad que tenía hace 10 años” se completa la ecuación
efectuando
÷ ÷
ˆ
20. Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo. Si trabajando juntas pueden terminarlo en 9 horas. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno?
Resolución 80
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
“Carla tarda en coser un vestido el doble de tiempo que a Rosa le toma hacerlo” Si Rosa se tarda
horas, entonces Carla se tarda
Si Rosa se tarda
horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará
Si Carla se tarda
horas
horas en terminar el trabajo, entonces en una hora hará
entonces, trabajando juntas en una hora harán
del trabajo
del trabajo
del trabajo ... (1)
“Si trabajando juntas pueden terminarlo en 9 horas” entonces, trabajando juntas en una hora harán
del trabajo ... (2)
(1) = (2)
efectuando
÷
÷
ˆ
21. Dos motociclistas parte del mismo lugar en dirección opuesta. El primero viaja a 4 km/h más rápido que el segundo. Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro. ¿Cuál es la velocidad del primero?
Resolución “El primero viaja a 4 km/h más rápido que el segundo” Sea la velocidad del segundo : entonces la velocidad del primero es :
Entonces en 6 horas : el segundo recorre :
81
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
el primero recorre :
“Después de 6 horas se encuentran a 3 000 km el uno del otro” entonces
÷ dividiendo entre 6
÷ ÷ ÷
ˆ
22. Un camión de 30 m de largo se desplaza con velocidad de 15 m/s. si necesita 6 segundos para cruzar un puente. ¿Cuál es la longitud de dicho puente?
Resolución Sea
m la longitud del puente, para que el camión termine de cruzar el puente, debe de recorrer longitud
del puente y su longitud
Entonces, espacio recorrido es : tiempo : velocidad : como entonces se completa la ecuación
÷
ˆ
82
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
23. El mercado de muebles de Occidente recibió 55 mesas, algunos burós y algunas mesas para café. La factura fue por $ 645. Si cada buró cuesta $ 9 y cada mesa para café tiene un precio de $ 15. ¿Cuántas mesas de cada tipo recibieron?
Resolución Se recibieron 55 mesas, distribuidos de la siguiente manera
Cantidad
Costo unitario
Costo
x
$9
9x
55 - x
$ 15
15(55 - x)
Burós Mesas para café Total
55
9x + 15(55 - x)
La factura fue por $ 645 entonces se completa la ecuación
efectuando
÷ ÷ ÷
ˆ
24. Un comerciante regala lapiceros a sus clientes. Si regala 8 a cada uno le sobra 15, si regala 11 a cada uno le faltan 3 a) Modele la ecuación que permita calcular la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante. b) Resuelva la ecuación y determine la cantidad inicial de lapiceros que tenía el comerciante.
Resolución a) Sea
la cantidad de lapiceros
“Si regala 8 a cada uno le sobra 15" Si le sobra 15, entonces reparte
lapiceros
como a cada uno regala 8 lapiceros, entonces el número de clientes es:
“si regala 11 a cada uno le faltan 3" Como le falta 3 lapiceros, entonces necesita
lapiceos para repartir 11 a cada uno, entonces el
número de clientes es
Igualando el número de clientes
83
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
ˆ
b)
por proporciones
÷
÷ ÷
ˆ
84
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Es aquel conjunto formado por dos o más ecuaciones en el cual su conjunto solución verifica cada una de las ecuaciones dadas.
Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Forma general:
donde: x e y son variables ,
,
,
,
,
son coeficientes
Métodos de solución También resolveremos problemas con (3) variables empleando los mismos métodos de solución.
I.
Método de reducción Cuando nos referimos a este método, la idea es eliminar una de las variables (la que sea más simple para eliminar). En algunos casos la reducción no es sencilla; se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación y luego se procederá a reducirla.
Ejemplo Resolver
Resolución
debemos de buscar que una incógnita tenga coeficientes iguales en valor absoluto, pero diferentes en signo, en éste caso busquemos que ocurra con la incógnita sus coeficientes
, para ello buscamos el mínimo común múltiplo de
, entonces multiplicamos a la primera ecuación por 4, para que resulte igual
al MCM y a la segunda por -3, así tendremos
Sumando las dos ecuaciones
÷ reemplazando en 85
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷ ÷ ÷
ˆ Representación gráfica de la solución La gráfica de la ecuación
es una recta, necesitamos dos puntos para trazar la recta
Si
÷
÷
Si
÷
÷
La gráfica de la ecuación
, entonces un punto será
, entonces un punto será
será
en la ecuación Si
÷
÷
, entonces un punto será
Si
÷
÷
, entonces un punto será
La gráfica de la ecuación
lo representamos junto a la anterior y será
86
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
II. Método de sustitución Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar una de las incógnitas de una ecuación y reemplazarla en la otra:
Ejemplo Resolver
Resolución Despejando
÷
de la primera ecuación
reemplazando en la segunda ecuación:
÷ ÷ ÷ reemplazando en la primera ecuación
÷ ÷
ˆ
87
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
III. Método de igualación Cuando nos referimos a este método, la idea es despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualarlas.
Ejemplo Resolver
Resolución Despejando
de la primera ecuación
Despejando
de la segunda ecuación
÷
÷
Igualando
÷ ÷ reemplazando en la primera ecuación
÷ ÷
ˆ
IV. Método de Cramer En éste método se usa determinantes Forma general:
Para calcular una incógnita, se forma una división de determinantes, en el numerador se escribe el determinante de la incógnita, que se forma en eliminar la columna de la incógnita y colocar en su lugar la columna de los términos independientes y en el denominador el determinante del sistema, así
;
88
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
para efectuar el determinante de segundo orden, se multiplica los coeficientes de la diagonal principal y se resta el producto de la diagonal secundaria
Ejemplo Resolver
Resolución
÷
÷
ˆ Si el sistema presenta 3 incógnitas Forma general:
89
Walter Ramos Melo
Nivelaciรณn en matemรกtica
Ejemplo Resolver el siguiente sistema por la regla de Cramer
Resoluciรณn
รท
รท
90
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷
ˆ
Estudio de las soluciones en el sistema de ecuaciones lineales Sea el siguiente sistema:
1. Sistema Compatible Determinado (única solución)
En este caso el corte entre ambas rectas nos indica la única solución que existe.
2. Sistema Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)
91
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
En este caso las dos rectas están superpuestas, debido a esto hay infinitos cortes, entonces infinitas soluciones.
3. Sistema Incompatible (No existe solución)
÷
En este caso observamos que las rectas son paralelas, entonces no hay solución.
Ejercicios 01. Resolver el siguiente sistema
Resolución Sumando las tres ecuaciones
÷
... (1)
reemplazando la primera ecuación en (1)
÷
÷
÷
reemplazando la segunda ecuación en (1)
÷
÷
÷ 92
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
reemplazando la tercera ecuación en (1)
÷
÷
÷
ˆ
02. En el siguiente sistema, hallar el valor de
para que el sistema tenga infinitas soluciones e indicar su
conjunto solución.
Resolución Para que tenga infinitas soluciones, las rectas deben de ser coincides o una es múltiplo de la otra
÷
÷
ˆ La única ecuación será Si
÷
÷
ˆ
03. Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana, y hace 8 años era el doble que la de Susana. Modele el sistema de ecuaciones lineales que al resolverla permita conocer las edades de Juan y Susana. Calcule las edades de Juan y Susana.
Resolución Sea: x : la edad de Juan y : la edad de Susana como “Las dos terceras partes de la edad de Juan exceden en 4 años a la de Susana”
93
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÷
Nivelación en matemática
÷
además “hace 8 años era el doble que la de Susana”
÷
÷
Entonces el sistema que resuelve las edades de Juan y Susana es:
multiplicando la segunda ecuación por -2
÷ sumando las dos ecuaciones
÷ reemplazando en la primera ecuación
÷
ˆ
04. En un triángulo isósceles de 14 cm de perímetro, el lado desigual es tres veces menor que cada uno de los otros lados. Determine la medida de los lados.
Resolución Sea el triángulo isósceles
perímetro 14 cm, entonces
÷
como “el lado desigual es tres veces menor que cada uno de los otros lados” entonces
÷
Entonces el sistema que resuelve los lados del triángulo isósceles es:
reemplazando la segunda ecuación en la primera 94
Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
÷ reemplazando en la segunda ecuación
÷ ÷
ˆ
05. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. En total hay 50 habitaciones y 87 camas. Calcule el número de habitaciones de cada tipo.
Resolución Sea: x : número de habitaciones dobles y : número de habitaciones simples
como “en total hay 50 habitaciones” entonces
como “hay 87 camas” entonces
Entonces el sistema que resuelve el número de habitaciones de cada tipo es:
multiplicando por -1 a la primera ecuación
sumando las ecuaciones
÷ como
÷ ÷
ˆ
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Walter Ramos Melo
Nivelación en matemática
06. Un oficinista compra 250 objetos entre lápices y bolígrafos con un costo de S/. 200. Si los lápices cuestan S/. 0,50 y los bolígrafos S/.2. Calcule el número de bolígrafos y lapiceros que se compró.
Resolución Sea: x : número de lápices comprados y : número de bolígrafos comprados
como “compra 250 objetos” entonces
como cada lápiz cuesta S/. 0,50 y se compró x lápices, entonces se invirtió S/. 0,5x en lápices como cada bolígrafo cuesta S/. 2,00 y se compró y bolígrafos, entonces se invirtió S/. 2y en bolígrafos
entonces se invirtió en total multiplicando por 2, entonces
Entonces el sistema que resuelve el número de lápices y bolígrafos es:
multiplicando por -1 a la primera ecuación
sumando las dos ecuaciones
÷ como
÷ ÷
ˆ
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