ARCOS - Conceptos prácticos by estructuras3sv

ARCOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA

FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO TALLER VERTICAL DE ESTRUCTURAS S | V

ARCOS PROFESORES: Ing. R. SCASSO – Ing. A. VICENTE

ESTRUCTURAS III

2020

Arq. I. Martini

Ing. J. D’Arcangelo

Rev.

GUIA Nº

REV.

EMISION

ELABORO

REVISION

TALLER VERTICAL DE ESTRUCTURAS Nivel III ARCOS Taller: S | V

S|V

Revisión: A

TABLA DE CONTENIDOS 1 2 2.1 2.2 3 4 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.2 5.2.1 5.3 5.4 5.4.1 5.4.2 5.5 5.5.1 5.5.2 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10

GENERALIDADES CONDICIONES De proyecto De carga MATERIALES PROYECTO CALCULO ARCO PARABOLICO TRI-ARTICULADO Predimensionado del arco Análisis de cargas Dimensionado del arco ARCO PARABÓLICO BIARTICULADO Dimensionado del arco ARCO PARABÓLICO BI-EMPOTRADO ARCO CIRCULAR TRI-ARTICULADO Predimensionado del arco Dimensionado del arco ARCOS CIRCULARES CON DOS ARTICULACIONES Y BI-EMPOTRADOS Arcos circulares bi-articulados Arcos circulares bi-empotrados RESUMEN DE LAS SOLICITACIONES DIMENSIONADO DEL ARCO CALCULO DE UN ARCO CARGADO CON UNA FUERZA CONCENTRADA EJERCICIOS BIBLIOGRAFIA

3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6 8 8 9 11 11 12 13 14 14 15 16 16 17 18

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GUÍA DE TRABAJO PRÁCTICO – ARCOS 1

GENERALIDADES

El objetivo de esta guía es brindar algunos elementos adicionales a las clases teóricas, que ayuden a desarrollar casos prácticos y a fijar los conocimientos sobre el funcionamiento de las estructuras de compresión dominante para cubrir grandes luces. Definimos como arco a la estructura rígida de eje curvo con apoyos indesplazables (articulado o empotrado) que cargada verticalmente produce esfuerzos oblicuos en los mismos. Esta condición hace que el arco soporte fundamentalmente esfuerzos de compresión. Si se produce desplazamiento de los apoyos, el arco se comportará estructuralmente como una viga curva, perdiendo su capacidad resistente por forma, y desarrollando tensiones de flexión como respuesta estructural. 2

CONDICIONES 2.1

De proyecto

Estas estructuras se destinan a proyectos de grandes luces, y que requieran superficies interiores parcial o totalmente libres de columnas, de acuerdo a las necesidades del programa o proyecto arquitectónico. Algunas de las ventajas de la utilización de arcos triarticulados (su análisis se verá más adelante), son la simplicidad del análisis estructural y su adaptabilidad ante pequeños cambios de cargas y descensos de apoyo sin que se produzcan tensiones adicionales. Además al tener una articulación central, en la clave, esta condición posibilita utilizar ese punto como unión de dos partes diferentes presentando por esta razón facilidades constructivas en el proceso de montaje. 2.2

De carga

Los arcos se construyen con materiales rígidos imposibilitados a variar su forma. Esta forma se determina fundamentalmente en función del estado de cargas predominantes, lo que asegura una resistencia a flexión suficiente para afrontar el resto de los estados de carga. 3 MATERIALES Los más usuales son: - Madera laminada - Hormigón Armado - Acero

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PROYECTO

El proyecto deberá tener en cuenta las siguientes premisas: a- Se recomienda una relación f/L (flecha/luz) del orden del 20%, dentro de un rango usual entre (L/3 a L/6) para lograr esfuerzos de magnitudes razonables en el arco y los apoyos. b- A mayor altura, disminuye el empuje horizontal H; por lo tanto, se requiere menor sección de resistencia, pero se obtiene un arco de mayor longitud. Si se disminuye la altura, aumenta el empuje y se requerirá mayor sección de arco por resistencia, pero tendrá menor desarrollo longitudinal.

CALCULO

Los arcos tri-articulados (isostáticos) y bi-articulados o empotrados (hiperestáticos) tienen una respuesta estructural similar. Dada la similitud entre ellos, sólo se desarrollarán en detalle las ecuaciones que proporcionan el valor de los esfuerzos en los arcos isostáticos, con las correcciones o consideraciones aplicables al resto de los casos. A los efectos de comparar los resultados en función de sus condiciones de apoyo, se plantea en todos los casos, cubrir una planta de 30 m de ancho por 50 m de largo, con arcos separados cada 5 m, utilizando una flecha (f) de 8 m (L/3,75), analizados para una misma carga.

5.1

ARCO PARABOLICO TRI-ARTICULADO

5.1.1

Predimensionado del arco

El primer paso consiste en hallar la longitud del arco parabólico.

a- Longitud del arco

l Ap

 8  f 2   L 1       3  L  

l Ap

 8  8m  2   30 m 1      35,69 m  3  30 m   

f L

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b- Angulo de arranque del arco (θ)

tg 

4f L

tg 

4  8m  1,06  46,84 30m

c- Luz de pandeo La luz de pandeo se calcula con la mitad de la longitud del arco resultando la ecuación de la siguiente manera.

S Kp 

35,69m  17,85m 2

d- Predimensionado de la sección (en función de esbeltez) Este análisis preliminar se realiza para una estructura de hormigón armado. Aunque el estudio de las reacciones es válido para otros materiales. Proponemos una esbeltez λ=6970, para obtener una estructura de “esbeltez moderada” en H°A°. Para una sección rectangular se puede utilizar la siguiente expresión:

  3,47

Sk d

d p  3,47

Se aconseja un ancho

b

1785cm  89,76cm  90cm 69

1 1 a dp 3 5

bp 

90cm  20cm 4,5

5.1.2 Análisis de cargas Las cargas del peso propio se obtienen multiplicando el volumen de cada sección (Superficie x espesor) por el peso específico del material empleado. Por simetría sólo se trabaja con la mitad de las fuerzas. Hormigón de cubierta: esp (0,06m) x PE (2400kg/m3) Contrapiso liviano: esp (0,05m) x PE (1000kg/m3) Alisado: esp (0,01m) x PE (1900kg/m3) Aislación hidrófuga: Cargas Gravitatorias g Sobrecarga de cubierta inaccesible p Carga total q

= 144 kg/m² = 50 kg/m² = 19 kg/m² = 10 kg/m² = 223 kg/m² = 30 kg/m² = 253 kg/m²

Qtotal (lineal)

q (253 kg/m²) x S (5 m)

= 1265 kg/m

Qarco (peso propio)

sup(0,20mx0,90m) x PE 2400kg/m3

= 432 kg/m

Q Totalarco =

Qtotal + Qarco= 1265 kg/m + 432 kg/m

= 1697 kg/m

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5.1.3

Revisión: A

Calculo de las reacciones del arco

a. Cálculo de las reacciones verticales

 L M B  V A L  qL   0 2 q C

 L V A L  qL  ; V A  2

Y HA

HB VB

L 2 qL L 2

 L M A  VB L  qL   0 2 L qL  L 2 qL VB L  qL  ; VB  L 2 2 y se obtiene: V A  VB 

V A  VB 

qL 2

1697kg / m  30m  25455kg  25T 2

Para un arco tri-articulado las reacciones verticales resultan iguales a las que se producirían en una viga simplemente apoyada y con idéntica carga. b. Cálculo de los empujes horizontales Para hallar el empuje H se analiza, como cuerpo libre, medio arco, al que se le ha aplicado el empuje de compresión H sobre la articulación superior para garantizar el equilibrio del sistema. Evaluando los momentos con respecto al punto A, se obtiene:

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 L  L  MA  q    Hf  0  2  4 

q C

Despejando el empuje resulta:

f HA VA

V=qL/ 2 L/2

H

qL2 8f

1697kg / m  30 2 m² H  23864kg  24T 8 x8m

VB L

equivalente al esfuerzo de tracción en cables de forma parabólica.

c. Cálculo de las reacciones en los apoyos Finalmente, las reacciones en los apoyos del arco son:

R  H 2 V 2 

V H  sen cos

tg 

V H

R  23.86T 2  25 .45T 2  569T 2  647 T 2 R  1217 T 2  34.88T

q d. Cálculo del ángulo de las reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal. C

HA 23.86T cos     0,6839    46.84º R 34.88T sen 

VA 25.45T   0,7290    46.84º R 34.88T

  46 .84 º  47 º

A   47 

R VA

V=qL/ 2 L/2

HB VB

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5.2

Revisión: A

ARCO PARABÓLICO BI-ARTICULADO

5.2.1

Calculo de las reacciones del arco

a- Cálculo de las reacciones verticales

Las reacciones verticales (VA y VB) de los arcos parabólicos con dos articulaciones y los empotrados, se calcula con la misma carga (q) y la misma luz (L), que los arcos tri-articulados, por lo tanto, VA y VB son iguales en todos los casos.

b- Cálculo de los empujes horizontales HA El empuje horizontal (H) para un arco parabólico con dos articulaciones, sometido a carga uniforme, no difiere mucho del arco tri-articulado, resultando igual al esfuerzo que se produce en un arco triarticulado (Hisost) disminuido en A. Esto es:

H  H isost 1  A VALORES DEL FACTOR DE CORRECCIÓN A f/L

1/12 (0,0833)

1/8 (0,125)

1/4 (0,25)

1/2 (0,5)

0,225

0,099

0,023

0,004

Para este caso:

f /L

8m  0,266 30m

con este valor entramos a la tabla y obtenemos un A de 0,023

Reemplazando en la ecuación anterior resulta:

H  H isost 1  0,023  H  23 .86T  0,977  23 .14  23T

c. Cálculo de las reacciones en los apoyos Las reacciones en los apoyos del arco parabólico con dos articulaciones son:

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R  H 2 V 2 

V H  sen cos

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tg 

V H

R  23 .14T 2  25 .45T 2  547  647 R  1195 T  34 .57T d. Cálculo del ángulo de las reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal.

cos  

HA 23.14T   0,6693    47.98º R 34.57T

sen 

VA 25.45T   0,7361    47.40º R 34.57T

  47 

5.3

ARCO PARABÓLICO BI-EMPOTRADO

a. Cálculo de los empujes horizontales De la misma manera que para el caso anterior, se plantean simplificadamente las ecuaciones del esfuerzo horizontal (H). Donde:

H

M vigaequivalente  M C  M A   1    M  f vigaequivalente  

  8  1  M C  M A     f q  L2   8  

qL

H

MC 

q  L2  24

1697kg / m  (30m) 2 MC   63637,5kgm  64tm 24

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MA 

q  L2  12

MA 

1697kg / m  (30m) 2  127275kgm  127tm 12

Reemplazando tenemos:

1,697T / m  (30m) 2 H

 64tm  127tm 8  1   2  1,697T / m  (30m) 8 

    32T  

b. Cálculo de las reacciones en los apoyos Las reacciones en los apoyos del arco parabólico con dos articulaciones son:

R  H 2 V 2 

V H  sen cos

tg 

V H

R  32T 2  25T 2  1024 T  625T R  1649 T  41T

c. Cálculo del ángulo de las reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal.

cos 

HA 32T   0,78    38,74 R 41T

sen 

VA 25T   0,61    37,59 R 41T

  38 

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5.4

Revisión: A

ARCO CIRCULAR TRI-ARTICULADO

5.4.1

Predimensionado del arco

Así como para el arco parabólico, también en este caso predimensionaremos el arco con una esbeltez menor a 70. Para ello será necesario calcular la longitud del arco y la luz de pandeo.

q a- Longitud del arco

   l Ac  2   ºr    180 

Para calcular la longitud del arco es necesario conocer el radio del arco y el ángulo  .

A L/2

f r-f

L/2 B



HB VB

b- Calculo del radio 2

 L 2 r 2     r  f  2 2

 L r     r 2  2rf  f 2 2 2

 L r  r  2rf     f 2 2 2

 L 2    f 2 r  2f 2

 30m  2   8 225  64 2  r   18,06m 28 16 Angulo de arranque del arco (θ)

cos 

r f r f f 8   1 1  1  0,44  0,56    56.15º r r r r 18,06

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L   15m 2 sen    0,83    56,15º r 18,06m

  56  Reemplazando en la ecuación del punto (a) tenemos:

   l Ac  2    r    180   3,14  l Ac  2  56  18,06     35,28m  180 

c- Luz de pandeo

S Kc 

Larco(m) 2

S Kc 

35,28  17,64m 2

d- Dimensionado de la esbeltez Adoptamos una esbeltez λ=6970 Para una sección rectangular se puede utilizar la siguiente expresión:

  3,47

Sk d

d c  3,47

Se aconseja un ancho b 

5.4.1

1 1 a d 3 5

bc 

1764cm  88,71cm  90cm 69

90cm  20cm 4,5

Calculo de las reacciones del arco

a- Cálculo de las reacciones verticales

V A  VB  q

L 30m  1697kg / m   25455kg  25T 2 2

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Revisión: A

En este caso como se calcula con la misma carga (q)y la misma luz (L), V A y VB del arco parabólico tri-articulado es igual a VA y VB del arco circular tri-articulado. b- Cálculo de los empujes horizontales

H

q  L2 8f

H

1697kg / m  30 2 m  23864kg  24T 8  8m

En es te caso también el empuje horizontal (H) del arco parabólico tri-articulado es igual al empuje horizontal (H) del arco circular tri-articulado por ser sus variables constantes. c- Cálculo de las reacciones en los apoyos Dado que las reacciones verticales (VA y VB) y los empujes horizontales (H) son iguales en los arcos parabólicos tri-articulados y en los arcos circulares tri-articualdos, las reacciones en los apoyos (R) y los ángulos de dichas reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal, también son iguales para los dos tipos de arcos. 5.5

ARCOS CIRCULARES BI-ARTICULADOS Y BI-EMPOTRADOS

Los esfuerzos horizontales (H) para los arcos circulares con dos articulaciones y los biempotrados difieren del cálculo de los arcos parabólicos. La siguiente tabla sintetiza los coeficientes (E) para el cálculo de los esfuerzos horizontales (H) para distintas relaciones f/L. VALORES DE LOS COEFICIENTES (E) PARA ARCOS CIRCULARES f/L

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

H/qL (bi-articulado)

1,23

0,82

0,61

0,48

0,39

0,33

0,28

0,24

0,21

H/qL (bi-empotrado)

1,26

0,83

0,61

0,52

0,44

0,38

0,34

0,30

0,28

Para este caso la relación f/L es:

8m / 30 m  0,266 De la tabla obtenemos un coeficiente E de 0,48 para el arco circular bi-articulado y un E de 0,52 para el arco circular empotrado. Con estos coeficientes se obtiene el empuje H en cada tipo de arco utilizando la expresión:

H  EqL

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5.5.1

Revisión: A

Arcos circulares bi-articulados

a- Cálculo de los empujes horizontales

H  0,48  q  L 

H  0,48  1,69T  30 m  24,44T HA

b. Cálculo de las reacciones en los apoyos

R  H 2 V 2 

V H  sen cos

tg 

V H

R  24.44T  25 .45T 2

 597 T  647 T 2

R  1245 T  35 .28T c. Cálculo del ángulo de las reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal.

cos  

HA 24,44T   0,6926    46,15º R 35,28T

sen 

VA 25.45T   0,7212    46,15º R 35.28T

  46  5.5.2

Arcos circulares bi-empotrados q

a- Cálculo de los empujes horizontales

H  0,52  q  L  H  0,52  1,69T  30 m  26,36T

b. Cálculo de las reacciones en los apoyos L

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R  H 2 V 2 

Revisión: A

V H  sen cos

tg 

V H

R  26,36T 2  25,45T 2  695  647 T R  1342 T  36,64T

c. Cálculo del ángulo de las reacciones en los apoyos con respecto a la horizontal.

cos  

HA 26,36T   0,7194    43,99º R 36,64T

sen 

VA 25,45T   0,6945    43,99º R 36,64T

  44  5.6

RESUMEN DE LAS REACCIONES

El siguiente cuadro sintetiza los resultados obtenidos para cada tipo de arco en función del tipo de apoyos.

ARCOS

Reacciones Verticales

Reacciones Horizontales

Reacciones en los apoyos

Ángulo de las reacciones

Va=Vb



Parabólico tri-articulado

V  qL

Parabólico bi-articulado

V  qL

Parabólico bi-empotrado

V  qL

Circular tri-articulado

V  qL

Circular bi-articulado

V  qL

Circular bi-empotrado

V  qL

H  qL

2 2

H  H isost  1   

R  H 2 V 2 R  H 2 V 2

HA R HA cos  R cos 

M A  q  L2 / 12 M C  q  L2 / 24

M vigaequiv  M C M A   H  1    f M vigaequiv   H  qL

R  H 2 V 2

cos 

R  H 2 V 2

cos 

H  E tabla  q  L

R  H 2 V 2

H  E tabla  q  L

R  H 2 V 2

HA R

HA R HA cos  R HA cos  R

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Revisión: A

En todos los casos: Resultante de las reacciones HA y HB

R  H 2 V 2 Angulo que forma la resultante con la horizontal

cos  

HA R

Para nuestro ejemplo Reacciones Verticales

Reacciones Horizontales

Reacciones en apoyos

Ángulo de reacciones

Angulo del Arco (apoyo)

Va=Vb



Parabólico tri-articulado

25 T

24 T

35 T

47°

Parabólico bi-articulado

25 T

23 T

34 T

47°

Parabólico bi-empotrado

25 T

32 T

41 T

38°

Circular tri-articulado

25 T

24 T

35 T

47°

Circular bi-articulado

25 T

24 T

35 T

46°

Circular bi-empotrado

25 T

26 T

36 T

44°

Tipo de Arcos

5.7

46,84°

56°

DIMENSIONADO DEL ARCO

En el arco parabólico, y en este caso por tratarse de una carga uniformemente distribuida, el momento flector es nulo. Esto se debe a que partimos de la condición que la forma del arco corresponde al antifunicular de las cargas. Ello significa que la línea de presiones cae dentro del núcleo central de la sección, por lo tanto, la armadura se calcula para una sección que esta solamente comprimida. En el caso del arco circular, como la forma del arco no corresponde al antifunicular de las cargas, además de estar sometido a compresión, tiene flexión debido a la aparición de momentos flectores, existiendo una excentricidad estática. Esta situación también se produce en los arcos sobre los que actúan cargas asimétricas como viento y nieve, en esta situación el arco tampoco tendrá la forma del antifunicular de las cargas, debido a esto aparecerán solicitaciones de flexión (M) sumadas a las de compresión (N). Para dimensionar el arco en primer lugar se determina la excentricidad estática, si este valor cae dentro del “núcleo central” de la sección la misma se puede dimensionar solamente a compresión. En cambio, si la excentricidad estática cae fuera del núcleo central, es decir, hay una zona de la sección traccionada, se debe colocar una armadura adicional de acero. En resumen, el arco está sometido a flexo compresión y debe dimensionarse a flexión compuesta. Concepto de excentricidad estática, línea de presiones y núcleo central Se aclaran aquí los conceptos mencionados en el dimensionado del arco visto anteriormente.

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Excentricidad estática: es el cociente entre el momento flector y el esfuerzo de compresión.

eo 

M N

Línea de presiones: Se determina uniendo los valores de la excentricidad calculados para cada progresiva del arco, medidos desde el eje baricéntrico de la sección. Núcleo central: en el caso de una sección rectangular de ancho b y altura h, el núcleo central es un área interior de forma romboidal cuyas diagonales valen h/3 y b/3.

5.8

CALCULO DE UN ARCO CARGADO CON UNA FUERZA CONCENTRADA V o H 

Fuerza concentrada Vertical (V). - Determinar gráficamente las reacciones de vínculo, equilibrando las tres fuerzas Ra, Rb y F en el punto de concurrencia d, donde se encuentran las mismas al trasladarse a lo largo de su recta de acción.

F d

E Ha

A L/2

L/2 BB

HB Vb

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Revisión: A

La reacción Rb deberá pasar por la articulación de la clave y del apoyo B, ya que no hay ninguna fuerza del lado derecho del arco. Por lo tanto, Rb pasa por B y C determinando sobre la recta de acción el punto d de concurrencia de las tres fuerzas Ra, Rb y F.

Dicho punto d con el apoyo A, establece la dirección de la reacción Ra.

A partir de la construcción de los polígonos de fuerza se determinan las magnitudes de Ra y Rb y estas pueden descomponerse en una horizontal y una vertical obteniendo Ha, Va, Hb y Vb.

Ra F Ha

Rb -



La recta de acción de Ra, nos da la línea de presiones del segmento del arco AE, ya que a la izquierda de la sección E, solo tenemos la reacción Ra. De la misma manera, en el segmento del arco BE, la línea de presiones estará dada por la recta de acción Rb, ya que en este segmento no actúa ninguna fuerza.

Fuerza concentrada Horizontal (H). - En el caso de una fuerza horizontal, procedemos de la misma manera para determinar Ra y Rb y sus componentes Ha, Va, Hb y Vb.

d A L/2

L/2 B

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5.9 BIBLIOGRAFIA SALVADORI, Mario y HELLER, Robert. “Estructuras para arquitectos.” Editorial CP67. Buenos Aires 1987. PERLES, Pedro. “Estructuras de compresión dominante” en Temas de estructuras especiales. ISBN: 987-9474-15-5. Editorial: NobuKo BECKER, José y KUSCHNIR, Estela. “Tipologías Estructurales. La desmaterialización de las Estructuras de Grandes Luces.” ISBN: 987-43-9405-6.

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